七年级上册数学角与角的计算同步讲义

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4.4角第2课时角的度量与计算-2024-2025学年初中数学七年级上册(沪科版)上课课件

第4章几何图形初步 4.4 角
第2课时角的度量与运算
沪科版 ·七年级数学上册
新课导入
我们可以度量角吗？如果可以，那你知道角的度量单位有哪些吗？度量单位之间的关系是怎样的呢？
新知探究
知识点1 角的度量及换算
角的度量单位是“度、
分、秒”. 把一个周角360
1°
等分，每一等份是1度的
南 40° B
注意：（1）习惯上，把南或北写在前，把偏东或偏西的角度写在后. （2）“东北方向”指的是北偏东45°，西北方向、东南方向、西南方向同理.
练习
【教材P155 练习第1题】
1. 填空：
（1）
1 4
°
__1_5__'
__0___'';
（2）52°19'12'' __5_2_._3_2_°.
例 2 把一个周角17等分，每份是多少？（精确到1′）
解：360°÷17 = 21°+3°÷17 = 21°+180′ ÷17 ≈21°11′.
方法总结：（1）将度用度、分、秒表示的方法：先将度的小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒. （2）将度、分、秒用度表示的方法：先将秒化为分，再将分化为度，也可以直接将分除以60，秒除以3600，再相加.
解:射线OA表示北偏东40°方向.
（1）射线OB如图所示.
C
60°
（2）射线OC如图所示.
B
（3）射线OD如图所示.
课堂小结
度分秒的换算：1°=60′ 1′=60″ 平面测量时，通常以正北、正
南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫作方向角.

【精品讲义】七年级上册数学角

xx一对一辅导讲义学生姓名年级七年级科目数学授课教师上课时间年月日课时2h教学课题角的计算和证明教学目标1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；6．了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．教学重点与难点掌握互为余角和互为补角的概念及性质，会用余角、补角及性质进行有关计算；了解方位角的概念，并会用方位角解决简单的实际问题．教学过程考点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．图1 图2（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2. 角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3. 角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角（牢记三角板角度）．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．考点二、角的比较与运算1. 角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于等于60时要向高一位进位．2. 角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3. 角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4. 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．考点三、余角和补角1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．2．性质：（1）同角（等角）的余角相等．（2）同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一般地，锐角α的余角可以表示为(90°-α)，一个角α的补角可以表示为(180°-α) ．显然一个锐角的补角比它的余角大90°。

七年级上-角及角计算

角及角计算知识集结知识元概念辨析知识讲解角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1)如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2)如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.例题精讲概念辨析例1.下列语句正确的是（）.①角的大小与边的长短无关；②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个；③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个；④两条射线组成的图形叫做角.A．①②B．①③C．①④D．②③角的表示知识讲解角的表示方法1．利用三个大写字母来表示注意：顶点一定要写在中间．也可记为，但不能写成或等．2.利用一个大写字母来表示注意：用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．3.用数字来表示角4.用希腊字母来表示角例题精讲角的表示例1.下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）.A．B．C．D．如图，∠AOB=90°，以O为顶点的锐角共有个．基础概念型知识讲解∙一、角的度量∙1.度量角的工具常用量角器∙用量角器注意：对中（顶点对中心）．重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）．读数（读出角的另一边所在线的度数）∙2.角的度量单位及其换算∙角的度量单位是度．分．秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1°．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1′．∙把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1″．角度之间的关系1周角=360°1平角＝180°1直角＝90°1周角＝2平角1平角＝2直角角的分类：锐角、直角、钝角．二、单位换算1度＝60分1分=60秒∙三、两角的和、差、倍、分∙两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.∙四、角平分1.从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线.2.角平分线的画法：①用量角器②用折叠法例题精讲基础概念型射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是（）. A．∠AOC=∠BOC B．∠AOC+∠BOC=∠AOBC．∠AOB=2∠AOCD．∠BOC=∠AOB例2.时钟显示为8：30时，时针与分针所夹的角是（）.A．90°B．120°C．75°D．84°例3.（1）35.42°=度分秒（2）40°25′48″=．例4.'计算：（1）40°26′+30°30′30″÷6；（2）13°53′×3﹣32°5′31″．'角平分线中找规律问题知识讲解应熟记角平分线的定义，并找出所求角与已知角的关系。

角的比较和运算课件(共20张PPT) 华师大七年级数学上册

已知角. 难点：角的平分线的应用.
线段定义类比
角
定义
表示表示
大小运算
大小运算
叠合法度量法和、差、倍、分叠合法度量法和、差、倍、分
合作探究
1 角的大小
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
结论：角的大小比较：度量法、叠合法
叠
C
C
C
合
法 O'
D
O'
结B
论
D
D C
O'
第三章图形的初步认识
3.6 角
2 角的比较和运算
华师版七年级(上)
教学目标
1. 运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系.
2. 借助三角板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线.
重点：比较角的大小，认识角的平分线，做一个角等于
B C
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这条
射线叫做这个角的平分线.
O
A
几何语言
因为 OC 是∠AOB 的角平分线，所以∠AOC＝∠BOC = 1 ∠AOB
2 或∠AOB ＝2∠BOC＝2∠AOC
试一试
D
类比：仿照角平分线的结论，你能写出
C
B
角的三等分线的结论吗？
O
A
因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线，
所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD，
∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD.
例1 如图，已知点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化问题：∠MON＝∠MOC＋∠CON，再结合角平分线的定义，易得到 ∠MOC＋∠CON＝ 1 2∠AOB.

第9讲角-华东师大版七年级数学上册讲义(机构专用)

第9讲角知识点整合1.认识角定义：角是由两条有公共端点的射线组成的图形；角是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形；射线的端点叫做角的顶点，起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。

角度：1周角=360° 1平角=180° 1°=60′ 1′=60″2.角的比较和运算角的大小比较方法：1，直接根据角度大小比较； 2，使两个角一条边重合，根据另一条边的位置比较；角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

3.余角和补角余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。

补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。

重点讲解重点1：认识角下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边延长线上取一点D ；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：①角是由有公共端点的两条射线组成的图形，错误；②角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，错误；③角的边是射线，不能延长，错误；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，说法正确．所以只有④正确．故选A.方法总结：本题主要是对角的定义的考查，正确理解角的定义是解题的关键：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，需要熟练掌握．下列四个图形中，能用∠1、∠AOB 、∠O 三种方法表示同一个角的图形是( )A BC D解析：在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的．所以A 、C 、D 错误，故选B.方法总结：角的两个基本元素中，边是两条射线，顶点是这两条射线的公共端点．解题时要善于排除一些似是而非的说法的干扰，选出能准确描述“角”的说法．用三个大写字母表示角，表示角顶点的字母在中间．重点2：角的比较和运算如图，射线OC ，OD 分别在∠AOB 的内部，外部，下列各式错误的是( )A ．∠AOB <∠AOD B ．∠BOC <∠AOBC ．∠COD <∠AOD D ．∠AOB <∠AOC解析：A.∠AOB 与∠AOD 的边OA 重合，OB 在∠AOD 内，所以∠AOB <∠AOD ，A 正确；同理B 、C 正确；D.∠AOB 和∠AOC 的边AO 重合，OC 在∠AOB 内，所以∠AOB >∠AOC .D 错误，故选D.方法总结：此题主要考查了角的比较大小，解题的关键是掌握角比较大小的方法．探究点二：角度的有关计算如图，∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC . (1)求∠EOD 的度数；(2)若∠BOC ＝90°，求∠AOE 的度数．解析：(1)根据OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC 可知∠DOE ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ，由此即可得出结论；(2)先根据∠BOC ＝90°求出∠AOC 的度数，再根据角平分线的定义即可得出结论．解：(1)∵∠AOB ＝120°，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，∴∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC ＝12(∠BOC ＋∠AOC )＝12∠AOB ＝12×120°＝60°；(2)∵∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，∴∠AOC ＝120°－90°＝30°，∵OE 平分∠AOC ，∴∠AOE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°.方法总结：能够根据图形正确找到角之间的和差关系，理解角平分线的概念是解题的关键．如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则∠AOC ＋∠DOB＝()A．120° B．180° C．150° D．135°解析：由图可得∠AOC＋∠DOB＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°.故选B.方法总结：此题主要考查学生对角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是让学生通过观察图示，发现几个角之间的关系．重点3：余角和补角如果α与β互为余角，则( )A．α＋β＝180° B．α－β＝180°C．α－β＝90° D．α＋β＝90°解析：如果α与β互为余角，则α＋β＝90°.故选D.方法总结：正确记忆互为余角的定义是解决问题的关键．已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数．解析：根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠2的值．解：∵∠A与∠B互余，∴∠A＋∠B＝90°，又∵∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，∴∠A＝3∠B＋30°，∴3∠B＋30°＋∠B＝90°，解得∠B＝15°.故∠B的度数为15°.方法总结：此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．如图，已知∠AOB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM、ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补，求∠BON的度数．解析：根据补角的性质，可得∠AOB ＋∠COM ＝180°，根据角的和差，可得∠AOB ＋∠BOM ＝90°，根据角平分线的性质，可得∠BOM ＝12∠AOB ，根据解方程，可得∠AOB 的度数，根据角的和差，可得答案．解：由∠AOB 与∠COM 互补，得∠AOB ＋∠COM ＝180°.由角的和差，得∠AOB ＋∠BOM ＋∠COB ＝180°，∠AOB ＋∠BOM ＝90°. 由OM 是∠AOB 的平分线，得∠BOM ＝12∠AOB ，即∠AOB ＋12∠AOB ＝90°.解得∠AOB ＝60°.由角的和差，得∠AOC ＝∠BOC ＋∠AOB ＝90°＋60°＝150°.由ON 平分∠AOC 得∠AON ＝12∠AOC ＝错误!×150°＝75°.由角的和差，得∠BON ＝∠AON－∠AOB ＝75°－60°＝15°.方法总结：本题考查了余角与补角及角平分线的相关知识，利用了补角的性质，角的和差，角平分线的性质进行计算，解决问题一定要结合图形认真分析，做到数形结合．探究点二：方位角巩固练习1，如图所示，在∠AOB 的内部有3条射线，则图中角的个数为( )A ．10B ．15C ．5D ．20解析：可以根据图形依次数出组成角的个数；或者根据公式求图中角的个数是：12×5×(5－1)＝10.故选A.方法总结：若从一点发出n 条射线，则构成12n (n －1)个角．2， (1)用度、分、秒表示48.26°； (2)用度表示37°24′36″.解析：(1)度、分、秒是常用的角的度量单位．根据1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″把大单位化成小单位乘以60即可；(2)根据度分秒之间60进制的关系计算．解：(1)48.26°＝48°＋0.26×60′＝48°15′＋0.6×60″＝48°15′36″； (2)根据1°＝60′，1′＝60″得36″÷60＝0.6′，24.6′÷60＝0.41°，所以37°24′36″用度来表示为37.41°.3，如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′，D 点落在D ′处．若∠EFC ＝119°，则∠BFC ′为( )A ．58°B ．45°C ．60°D ．42°解析：∵将矩形ABCD 沿EF 折叠，C 点落在C ′，D 点落在D ′处，∠EFC ＝119°，∴∠EFC ′＝∠EFC ＝119°，∠EFB ＝180°－∠EFC ＝61°，∴∠BFC ′＝∠EFC ′－∠EFB ＝119°－61°＝58°，故选A.方法总结：掌握折叠的性质，要善于发现题中的隐含条件：折叠前后两图形是完全重合的，其角不变．4，计算：(1)153°29′42″＋26°40′32″； (2)110°36′－90°37′28″； (3)62°24′17″×4； (4)102°43′21″÷3.解析：(1)相同单位相加，超过60向上一位进1即可；(2)先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；(3)每一个单位分别乘以4，分、秒超出60的部分向上一个单位进1即可；(4)从度开始计算，余数乘以60继续除以3进行计算即可得解．解：(1)153°29′42″＋26°40′32″＝179°69′74″＝180°10′14″； (2)110°36′－90°37′28″＝109°95′60″－90°37′28″＝19°58′32″； (3)62°24′17″×4＝248°96′68″＝249°37′8″； (4)102°43′21″÷3＝102°42′81″÷3＝34°14′27″.方法总结：角度的运算规律为：(1)加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；(2)乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；(3)除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入．5， M 地是海上观测站，从M 地发现两艘船A 、B 的方位如图所示，下列说法中正确的是( )A ．船A 在M 的南偏东30°方向B ．船A 在M 的南偏西30°方向C ．船B 在M 的北偏东40°方向D ．船B 在M 的北偏东50°方向解析：船A 在M 的南偏西90°－30°＝60°方向，故A 、B 选项错误；船B 在M的北偏东90°－50°＝40°方向，故C正确，D错误．故选C.方法总结：用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．6，如图所示，甲、乙、丙三艘轮船从港口O出发，当分别行驶到A、B、C处时，经测量得甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向．(1)求∠BOC的度数；(2)求∠AOB的度数．解析：(1)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOC的度数，根据角的和差，可得答案；(2)根据方向角的表示方法，可得∠EOB，∠EOA的度数，根据角的和差，可得答案．解：如图，(1)由乙船位于港口的北偏东76°方向，丙船位于港口的北偏西45°方向，得∠EOB＝76°，∠EOC＝45°.由角的和差，得∠BOC＝∠EOB＋∠EOC＝76°＋45°＝121°；(2)由甲船位于港口的北偏东44°方向，乙船位于港口的北偏东76°方向，得∠EOB＝76°，∠EOA＝44°.由角的和差，得∠AOB＝∠EOB－∠EOA＝76°－44°＝32°.方法总结：解决本题主要是理解方向角的表示方法，结合图形找到相应的角，然后进行计算．提升练习1.下列说法正确的是( )A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形D．角可以看成是由一条线段绕着它的端点旋转而成的图形答案：选c本题考查角2.下列说法正确的是( )A．平角就是一条直线B．周角就是一条射线C．平角的两条边在同一条直线上D．周角的终边与始边重合，所以周角的度数是0°。

讲义-数学七年级上册-第13讲-角

讲义【知识梳理】1．角的定义：定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．定义2：角也可以看作是一条射线绕着其端点，从起始位置旋转到终止位置所组成的图形．【注意】角的定义1是直接根据角的构成作出的静态定义，而定义2是以动态观点定义的，它强调角的形成过程．2．角的表示方法：角可用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有四种表示方法．(1)用三个大写英文字母表示任一个角，如图①所示，记作AOB∠，其中O为角的顶点，A、B分别为角的两边上的点，“∠”是角的符号．(2)在一个顶点处只有．．一个角的角，我们也可以用一个表示顶点的大写字母表示O∠，如图①所示．(3)用小写希腊字母表示，记作α∠，如图①所示．(4)用数学表示单独的一个角，记作1∠，如图①所示．【注意】表示角时应注意以下问题：(1)用三个大写字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧；(2)在一个顶点处有两个及两个以上的角时，其中的任何一个角都不能用一个大写英文字母表示； (3)用小写希腊字母或数字不能表示超过一个以上的角. 3．方位角定义及其应用：定义：轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，如图所示．【注意】(1)方位角的正方向与地图中一样，为上北下南，左西右东．(2)处于四个直角平分线上的方向，也分别被称为东南、东北、西南、西北．(3)对于其他方向要用到“偏”这个字，例如：北偏东20︒，这里的“偏”字相当于旋转的意思，北偏东20︒，就是以正北方向的射线为始边，绕中心顺时针旋转20︒所成的角的终边所在的方向．一般在表示方向时，始边是正北或正南方向的射线． 4．角的大小比较方法：角的大小比较一般有两种方法：(1) 度量法：用量角器量出角的度数（量法与小学学习方法相同）．通过比较度数的大小来确定角的大小．若用量角器测得130∠=︒，245∠=︒，3045︒<︒，12∴∠<∠(2)叠合法：如下图所示，把一个角放在另一个角上，使它们的顶点重合，并将其中一边也重合，并使这两个角的另一边都放在这条边的同侧，就可以明显看出两个角的大小．如下图所示，先让顶点O 与E 重合，再让OA 边与EC 边重合，并且使另一边OB 、ED 在OA 的同侧；如果OB 与OD 重合，则表示这两个角相等，如图①，记作AOB COD ∠=∠．如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的外部，则表示AOB ∠小于AOD ∠，记作AOB AOD ∠<∠．如图①所示，如果OD 落在AOB ∠的内部，则表示AOB ∠大于AOD ∠，记作AOB AOD ∠>∠【例题精讲】例1. 如图，图中共有多少个角？【考点】角的概念与表示．【解析】以OA 为始边的角有AOB ∠、AOC ∠、AOD ∠、AOE ∠，共4个，以OB 为始边的角有BOC ∠、BOD ∠、BOE ∠，共3个，以OC 为始边的角有COD ∠、COE ∠共2 个，以OD 为始边的角有DOE ∠，共1个，所以共有432110+++=（个）．【答案】10个．【教学建议】找角的个数与找线段方法一样，都按一定的方法分类，找角的个数可按顺时针方向数．也可按逆时针方向数．本题也可看作过点O 引出5条射线共54102⨯=个角，若过点O 引出n 条射，则共有()12n n -个角，这和线段的计数方法一样（注意，此处角指小于平角的角）.例2. 画出表示下列方向的射线：(1)南偏东25︒方向；(2)北偏西60︒方向；(3)东南方向；(4)南偏西80︒方向．【考点】角的概念与表示，方位角．【解析】(1)以正南方向的射线为始边，逆时针逆转25︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (2)以正北方向的射线为始边，逆时针旋转60︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示． (3)以正南方向的射线为始边，逆时针旋转45︒，所成角的终边即为所求的射线，如隔①所示． (4)以正南方向的射线为始边，顺时针旋转80︒，所成角的终边即为所求的射线，如图①所示．【答案】略．【教学建议】教师需引导学生回顾角的表示和方位角的概念，在进行本题的解答，并且通过本题进一步正确理解方位角的概念，正确表示方位角．【巩固测试】1. 观察图所示各角，哪个角最大？有没有相等的角？用度量法比较角的大小，看看与观察的结果是否相同？【考点】角的大比较．【解析】估计1∠最大，2∠与3∠相等，测量：1150∠=︒，2330∠=∠=︒，460∠=︒．由以上测量得到的数据可知，测量的结果与观察结果相同．【答案】1∠最大，2∠与3∠相等．【教学建议】用度量法测量角的大小是常用的一种方法，但只为比较两个角的大小，靠观察也能判定．角的大小与边的长短无关，“开口”大的角就大，因此估计角的大小要从角的“开口”大小比较．2. 已知40AOB ∠>︒，用量角器画出AOC ∠,使40AOC ∠=︒，然后比较AOB ∠和BOC ∠的大小．【考点】角的大比较．【解析】如图所示，当1AOC ∠在AOB ∠的内部时，1BOC AOB ∠<∠；当2AOC ∠在AOB ∠的外部时，2BOC AOB ∠>∠.【答案】略．【教学建议】因为40AOB ∠>︒，要画出40AOC ∠=︒，所以AOB AOC ∠>∠，又因为OA 是两个角的一条公共边，所以可能在AOB ∠的内部也可能在AOB ∠的外部.二、尺规作图【知识梳理】 5．画相等的角：（1）度量法．①对中：将量角器的中心点与角的顶点重合； ①对线：将量角器的零度刻度线与角的一边重合；①读数：看角的另一边落在量角器的什么刻度线上，从而读数．（2）尺规法．6．角的和、差、倍的画法：（1）度量法：用量角器分别量出两个角的度数，根据角的和、差、倍的意义可以画出角度等于两个角和（或差）的角．（2）尺规作图法．利用尺规可以作一个角等于已知角，作两角的和的要领是“二合异侧”．作两个角的差的要领是“二合同侧”． 7．角平分线的概念及画法（作法）（1）概念：以一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，这时，12AOC BOCAOB ∠=∠∠或2AOB AOC A BOC ∠=∠=∠. （2）画法．①利用量角器画图：量→算→画． ①利用直尺和圆规作图．8．余角、补角的定义．(1)余角的定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角．(2)补角的定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角．简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角． 9．余角、补角性质．(1)余角的性质：同角（或等角）的余角相等．(2)补角的性质：同角（或等角）的补角相等．【注意】(1)余角、补角是指两个角关系的概念，是相互的，我们不能单独说哪一个角是补角，哪一个角是余角，并且只和角的度数有关，和角的位置无关． (2)余角、补角的性质是证明两角相等的常用方法． 10．角的度量单位、角的换算及角的分类 (1)角的度量单位是：度、分、秒． 1度的160为1分，记作1'，即160'︒=．1分的160为1秒，记作1''，即160'''=．【注意】①角度的度、分、秒是60进制，与时间的时、分、秒进制相同，角的度数换算有两种：一种是把度化成度、分、秒的形式；一种是把度、分、秒化成度的形式；②1︒的角是指将一个周角分成360等份，每一份就是1︒的角．1周角＝360︒，1平角＝180︒ (2)角的分类：小于90︒的角叫做锐角、等于90︒的角叫做直角、大于90︒小于180︒的角叫做钝角．【例题精讲】例1. 如图，已知β∠，用直尺、圆规作出COD ∠，使COD β∠=∠.【考点】画相等的角．【解析】(1)作射线OC ；(2)以β∠的顶点为圆心、取定的长a 半径作弧，分别交β∠的两边于点E 、F （如图①）；① ①(3)以点O 为圆心、a 的长为半径作弧，交OC 于点M ； (4)以点M 为圆心、EF 的长为半径作弧，交前弧于点N ；(5)经过点N 作射线OD （如图①）．COD ∠就是所求作的角．【教学建议】教师需先引导学生回顾画相等的角的基本方法和过程，并通过本题进一步熟悉画相等的角的过程．例2. 已知α∠、β∠ (如图所示)，作一个角2AOB αβ∠=∠-∠【考点】画角的和、差、倍．【解析】2AOD ααα∠=∠+∠=∠（二合异侧），2AOB αβ∠=∠-∠ (二合同侧)．保留作图痕迹线，了解作图的基本语句．结果如图所示．【教学建议】两个角的和、差、倍类同于有理数的和、差、倍，如2αβ∠-∠的度数，等于两个α∠的度数和再减去β∠的度数．例3. 如图已知α∠，β∠，用直尺和圆规求作一个γ∠，使得12γαβ∠=∠-∠（只需作出正确图形，保留作图痕迹，不必写出作法）【考点】画角的和、差、倍．【解析】如图所示，BCD ∠即为所求作的γ∠．【教学建议】本题先画出12β∠，再画12αβ∠-∠．例4. 一个角的补角比它的余角的2倍多5︒，求这个角．【考点】余角与补角．【解析】设这个角为α，则它的补角为180α︒-，余角为90α︒-，依题意得180α︒-＝2(90α︒-)＋5︒，18018025,5ααα︒-=︒-+︒=︒．所以这个角的度数为5︒．【答案】5︒．【教学建议】这是一个角的补角与它余角的关系问题，可先从设定这个角入手，再把它的补角、余角用这个角表示出来，根据题意列出方程解决即可．例5.如图所示，已知：OC 是AOB ∠的角平分线，OD 是AOC ∠内的一条射线，已知AOD ∠比BOD ∠小30︒，求COD ∠的大小．【考点】余角与补角．【解析】因为OC 是AOB ∠的平分线（已知）．所以AOC BOC ∠=∠ (角平分线的意义) 设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=,根据题意，得BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，所以()()30αβαβ+--=︒．解方程，得15β=︒，即15COD ∠=︒．【答案】15COD ∠=︒．【教学建议】根据已知可设AOC BOC α∠=∠=，COD β∠=．则有BOD αβ∠=+，AOD αβ∠=-，利用等量关系，30BOD AOD ∠-∠=︒列出式子，即可解出β的度数．例6.如图所示，射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，已知BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒，试用含有m ，n 的式子表示AOF ∠的度数．【考点】余角与补角．【解析】因为射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线(已知)．所以AOB BOC ∠=∠，DOE EOF ∠=∠（角平分线的意义）．又因为AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠．所以222()AOF BOC DOE COD BOC DOE COD ∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠. 又因为BOE m ∠=︒，COD n ∠=︒ (已知)．所以BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．所以()()222AOF BOC DOE COD m n n m n ∠=∠+∠+∠=-+=-．【答案】2AOF m n ∠=-．【教学建议】AOF AOB BOC COD DOE EOF ∠=∠+∠+∠+∠+∠，而射线OB 和射线OE 分别是AOC ∠和DOF ∠的角平分线，因此2AOB BOC BOC ∠+∠=∠，2DOE EOF DOE ∠+∠=∠，那么22AOF BOC DOE COD ∠=∠=∠+∠．由于BOC DOE BOE COD m n ∠+∠=∠-∠=-．然后把相关角的式子分别代入，问题就解决了．【巩固测试】1. 如图所示，已知90AOC BOD ∠=∠=︒． (1)AOD ∠与BOC ∠有什么关系？为什么？ (2)若35DOC ∠=︒，则AOB ∠等于多少度？ (3)若150AOB ∠=︒，则DOC ∠等于多少度？【考点】余角与补角．【解析】(1) AOD ∠＝BOC ∠.理由如下：由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，90AOD DOC ∠+∠=︒，90BOC DOC ∠+∠=︒所以AOD ∠＝BOC ∠ (同角的余角相等)． (2)由已知35DOC ∠=︒，所以903555AOD BOC ∠=∠=︒-︒=︒，所以553555145AOB AOD DOC BOC ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒． (3)由已知90AOC BOD ∠=∠=︒，150AOB ∠=︒．所以1509060AOD AOB BOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．所以906030DOC AOC AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒.【答案】（1）AOD ∠＝BOC ∠；（2）145AOB ∠=；（3）30DOC ∠=︒．【教学建议】此类题比较常见，这个图形可以作为一个基本图形去记忆．第(3)小题也可以这样解：把DOC ∠看作是两个直角AOC ∠和BOD ∠的重叠部分，那么()18015030DOC AOC BOD AOB ∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒.课堂练习一、选择题1. 如图，能用∠1，∠ACB ，∠C 三种方法表示同一个角的是（）2. 学校M 在小明家N 的北偏东30°的方向，那么小明上学要走的路线可能是（）ABCDMMNN MM NN3. 如图所示，已知①AOB ＝64°，OA 1平分①AOB ，OA 2平分①AOA 1，OA 3平分①AOA 2，OA 4平分①AOA 3，则①AOA 4的大小为（）AB C 1A B DCAB CAB CD111A BCD课后作业1、如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠AOB=1400，则∠DOC的度数是（）A、300B、400C、500D、6002、一副三角尺可拼成很多角，如下图是由一副三角尺拼成的2个图形，请你计算：在第一个图中：∠ACD= °，∠ABD= °；在第二个图中：∠BAG= °，∠AGC= °。

七年级数学上册角复习讲义

角知识导图基础知识点1角：有公共端点的两条射线组成的图形．角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．1．下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（）．A BC D2把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分得角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″．2．计算：（1）902339'︒-︒=；（2）17652'3︒÷=．3角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线．3．已知30°ABC∠=，BD是ABC∠的平分线，则ABD∠＝______度．4如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其4．已知26α∠=，则α∠的补角是度．B1AOCBA1OOCBA1BA1O几何图形点、线、面、体立体图形平面图形从不同方向看立体图形展开立体图形直线、射线、线段平面图形线段的大小比较两点确定一条直线两点之间、线段最短角的度量角角的比较与运算余角和补角角的平分线等角的余角相等等角的补角相等重点题型1【互余、互补】5．下列叙述正确的是（）．A ．90︒的角是余角B ．110︒和90︒的角互为补角C ．15︒、25︒、50︒的角互为余角D ．120︒和60︒的角互为补角6．若90αβ∠+∠=︒，90βγ∠+∠=︒，则α∠与γ∠的关系是（）．A ．互余B ．互补C ．相等D ．90αγ∠=︒+∠ 7．如果一个角的余角是50︒，那么这个角的补角的度数是（）．A ．130︒B ．40︒C ．90︒D ．140︒8．一个角的补角加上10︒后，等于这个角的余角的5倍，求这个角的度数．9．两个角的大小之比是7:3，他们的差是72°，求这两个角的度数．ABCDEF123 O ABCDE重点题型2【角度计算】10．如图所示，直线AB 、CD 相交于O ，OE 平分∠AOD ，∠FOC ＝90°，∠1＝40°，求∠2和∠3的度数．11．如图，从∠AOB 内部引出一条射线OC ，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，若∠AOB ＝80°，求∠DOE 的度数．12．如图，BD 平分∠ABC ，BE 分∠ABC 为2:5两部分，∠DBE ＝21°，求∠ABC 的度数．两步一回头13．下列关于角的说法正确的是（）．A ．两条射线组成的图形叫做角B ．延长一个角的两边C ．角的两边是射线，所以角不可以度量D ．角的大小与这个角的两边长短无关 14．下列各角中，是钝角的是（）．A ．14周角 B ．23周角 C ．23平角 D ．14平角能用一副三角板画出来的角都是______的倍数． 15．下面一些角中，可以用一副三角尺画出来的角是（）．①15︒的角；②65︒的角；③75︒的角；④135︒的角；⑤145︒的角． A ．①③④B ．①③⑤C ．①②④D ．②④⑤16．时钟在4点整时，时针与分针的夹角为度． 17．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是（）．A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°问题探究【角的几何推理】18．如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOC ，ON 平分∠BOC ．求：（1）∠MON ＝ °；（2）如果（1）中的∠BOC ＝β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数；（3）如果（1）中的∠AOB ＝α，其它条件不变，求∠MON 的度数；（4）从（1）、（2）、（3）的结果中能看出什么规律？19．已知∠AOB 是直角，∠BOC ＝30°，OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，求∠MON 的度数．（本题所指的角均是小于平角的角）MONC B ACAO D EB图12拓展延伸20．如图，表示南偏东40°的方向线是射线（）．A ．OAB ．OBC ．OCD ．OD21．学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C ，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25︒方向，那么平面图上的∠CAB 等于（）． A ．115︒ B ．155︒ C ．25︒ D ．65︒22．如图12，AB 、CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ，若∠DOE ＝60°，则∠AOC 的度数是．23．如图13所示，∠AOB 是平角，∠AOC ＝40°，∠BOD ＝70°，OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，∠MON 等于_________．24．一个角的补角比这个角的余角的2倍还大28°，这个角的度数为． 25．观察时针，回答问题：（1）分针多长时间转一圈？它的转速是多少度/分？（2）从1时开始到6时整，时针转动了多少度？（3）从中午12时整开始，经过多少时间，时针与分针再次重合？26．如图，东西方向的海岸线上有A 、B 两个观测站，在A 地发现它的北偏东30︒方向上有一条渔船，同一时刻，在B 地发现这条渔船在它的北偏西60︒方向上，试画图说明这条渔船的位置．ABCMA DNB O图1327．如下图1，将面积为a 2的小正方形BFED 与面积为b 2的大正方形AECM 放在一起（b ＞a ＞0），试用a 、b 表示三角形ABC 的面积．28．在抗日战争时期，一组游击队员奉命把A 村的一批文物送往一个安全地带，在A 村的南偏东50°距离3千米处有一B 村，他们从A 村出发，以北偏东80°方向行军，不知道走了多远以后，他们发现B 村出现了烟火，于是决定先把文物就地埋藏起来，然后调转方向走了7千米的路程，直接赶到B 村消灭了敌人，结束战斗后，这组游击队员应到哪里去取文物呢？假如你在场，凭以上信息，你能估计文物藏在什么地方吗？（画图说明）课堂加油站天气要降温了，如果怕冷你可以去墙角取暖，因为墙角有90度．不过躺在地下会更暖，因为地面有180度．如果还是怕冷你可以自转一周，因为有360度．但是，如果还是怕冷，可以众里寻她（他）……课堂小结A B C D MFECB这一讲我们主要学习了什么？一、互余、互补二、角的平分线，如图：因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB ＝∠______＝12∠____．三、几何定值问题有什么技巧？西南北东30° OAa b1 2 O课后练习29．下列说法正确的是（）．A ．角的两边都是线段B ．一条射线是一个周角C ．平角是一条线段D ．角的大小与它的两边的长短无关30．如图，OA 是表示北偏东30︒方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：（1）南偏东30︒；（2）北偏西60︒．31．如图，O 为直线AB 上一点，∠AOC ＝50°，OD 平分∠AOC ，∠DOE ＝90°．（1）请你数一数，图中有个小于平角的角；（2）求出∠COE 的度数．课堂小测32．把一个圆形的蛋糕等分成12份，每份中的角是 °．33．如图，直线a ，b 相交于点O ，若1∠等于40︒，则2∠等于（）．A ．50︒B ．60︒C ．140︒D ．160︒34．已知∠α的余角是4251'16''︒，则α∠的度数是___________． 35．已知∠α与∠β是互为补角，∠α＝100°30'，那么∠β的度数是（）．A ．80°30'B ．100°30'C ．179°30'D ．79°30'36．点B 在点A 的南偏东40°，则点A 在点B 的____________． 37．已知∠AOB ＝3∠BOC ，若∠BOC ＝30°，则∠AOC 等于（）．A ．120°B ．120°或60°C ．30°D ．30°或90°38．已知OC 是∠AOB 的平分线，则下列各式：①12AOC AOB ∠=∠；②∠AOC ＝ ∠COB ；③∠AOB ＝2∠AOC ，其中正确的是（）．A ．只有①B ．只有①②C ．只有②③D ．①②③39．小明从A 处向北偏东72°38'方向走10m 到达B 处，小亮也从A 处出发向南偏西15°38'方向走15m 到达C 处，则∠BAC 的度数为度．40．若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，根据_____________________，可得∠2＝∠4． 41．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示角的式子中：①90°－∠β；3cm7cm 62° 80°西南东CMA BN 50°北②∠α－90°；③1()2αβ∠+∠；④1()2αβ∠-∠．能表示∠β的余角的是_______（填序号）．参考答案 1．B2．（1）6621'︒；（2）5857'20''︒． 3．15 4．1545．D 6．C 7．D8．解：设这个角的度数为x ，180105(90)x x -+=-，65=x ．9．解：设两个角的度数为7x 、3x ，7372x x -=，18x =，两个角的度数是126、54． 10．解：∠2=70°，∠3=50°．11．解：因为OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，所以∠COD ＝12∠AOC ，∠COE ＝12∠BOC ，因为∠AOB ＝∠AOC ＋∠BOC ＝80°，所以∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝40°． 12．98°13．D14．C15．A16．12017．B18．（1）45°；（2）45°；（3）2α；（4）∠MON 只与∠AOC 有关，与∠BOC 无关． 19．当OC 在∠AOB 内部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝30°；当OC 在∠AOB 外部时，∠MON ＝12∠AOB －∠BOC ＝60°．20．C 21．A 22．30° 23．125︒ 24．28°25．（1）60分钟；6度/分；（2）150°；（3）72011分钟．26．北偏东30︒方向和北偏西60︒方向两射线的交点即为渔船的位置 27．212b28．解：由题意作答图，作法如下：（1）在平面上任找一点为A （村）（2）作出A 村的南偏东50°的方向线AM ，在AM 上截取AB ＝3cm （以1cm 表示1千米）（3）作出A 村的北偏东80°的方向线AN （4）以B 点为圆心，以7cm 为半径作圆弧交AN 于C（5）连结BC ，量出C 点在B 点处的方向为北偏东62°，BC ＝7cm ，则从B 处以北偏东62°的方向出发走7千米到达C 处，则C 处附近就为藏文物地点．29．D 30．略 31．（1）9；（2）65°． 32．30 33．C 34．478'44''︒ 35．D36．北偏西40°37．B38．D39．12340．等角的余角相等41．①②④。

人教版七年级数学上册角的运算课件

1
1
= ∠ − ∠
2
2
1
= (∠ − ∠)
2
1
= ∠
2

例题讲解
解：因为平分∠ ，平分∠ ，
1
1
所以∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
2
2
所以∠ = ∠ − ∠
1
1
= ∠ − ∠
2
2
1
1
所以∠ = ∠ = × 128° = 64°.
2
2

例题讲解
例3
如图，∠ 是直角，∠ = (0° < < 90°) ，
平分∠ ，平分∠ ，求∠ 的度数.
分析
1
1
∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
2
2
∠ = ∠ − ∠

()

例题讲解
例1
如图，已知是∠ 的平分线，是∠ 的平
分线，若∠ = 25°，求∠ 的度数.
分析
由角平分线的定义可以得

∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ，
因为∠ = 25°，
所以可以求∠ 的度数.

例题讲解
1
所以∠1 = ∠2 = ∠ ，
2
或者∠ = 2∠1 = 2∠2 .
角的平分线的定义

2

1
图形语言

理解新知
定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的
文字语言
射线，叫做这个角的平分线.
符号语言
1
因为∠1 = ∠2 = ∠ ，

第30讲-角(学生版)【帮课堂】2022-2023学年七年级数学上册同步精品讲义(北师大版)

第30讲角知识点01 角的概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．定义2：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．知识点03 钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．ACB 的两边分别是（）A ．射线AC 、BCB ．射线CA ，CBC ．线段AC ，BCD ．直线CA ，CB下列说法正确的是（）A ．两条直线相交所组成的图形叫做角B ．两条有公共端点的线段所组成的图形叫做角C ．由两条射线组成的图形叫做角D ．从同一点引出的两条射线所组成的图形叫做角有下列结论：①由两条射线组成的图形叫做角；②连接两点的线段叫两点之间的距离；③射线AB 与射线BA 是同一条射线；④∠AOB 与∠BOA 是同一个角；⑤两点之间线段最短．其中正确的是（）A ．④⑤B ．③④C ．①②⑤D ．③④⑤下列说法中，正确的个数是（）（1）两条射线所组成的图形叫做角；（2）角是有公共端点的两条射线；（3）角的大小与边的长短无关；（4）两条射线，它们的端点重合时可以形成角；（5）有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角．A ．1B ．2C ．3D ．4下列说法：①角的边越长，角越大；②射线有一个端点，它能够度量长度；③两点之间，线段最短；④相等的角是对顶角；⑤直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑥经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．正确的有_______．（填序号）图中可以只用一个字母表示的角的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点精析考点一角的定义考点二角的表示下列四个图形中，能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一个角的是（）A ．B ．C ．D ．如图，下列说法错误的是（）A ．∠B 与∠CBA 表示同一个角B ．∠α可以用∠O 表示C ．∠ACO 是∠ACB 与∠OCB 的差D ．∠1可以用∠ACO 表示下列图形中，能用AOB ∠，1∠，O ∠三种方法表示同一个角的是（）A ．B ．C ．D ．如图，下列说法中不正确的是（）A ．1∠与AOB ∠是同一个角B ．AOC ∠也可用O ∠来表示C ．图中共有三个角：AOB ∠，AOC ∠，D ．α∠与BOC ∠是同一个角BOC ∠如图，下列说法不正确的是（）A ．∠BAC 和∠DAE 是同一个角B ．∠ABC 和∠ACB 不是同一个角C ．∠ABC 可以用∠B 表示D ．∠AED 可以用∠E 表示下列说法正确的是（）A ．大于0°且小于90°的角是锐角B ．大于90°的角是钝角C ．大于0°且小于180°的角是锐角或钝角D ．直角既是锐角也是钝角下列各角中，是钝角的是（）A ．14周角B ．32平角C ．平角D ．14平角下列四个角中，钝角是（）A ．B ．C ．D ．下列语句中，正确的是（）A ．小于90°的角是锐角B ．大于90°的角是钝角C ．钝角与锐角的和为平角D．角的大小与角的边的长短有关，边越长角越大考点三角的表示如图所示，在此图中小于平角的角的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6（1）观察图形并填写下表：图形射线的条数锐角的个数（2）进一步思考：在一个锐角的内部画出n 条射线时，图中共有______条射线，共有______个锐角．如图，锐角的个数共有_____个.如图所示，90AOB ∠=°，则图中锐角有（）A ．12个B ．14个C ．15个D ．16个计算：．201312¢°¢¢=°考点四角的四则运算与转化下列换算中，错误的是（）A ．B ．C ．D ．若，，，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．．计算：．计算：（1）4510213520°¢-°¢¢¢（2）483967312117°¢+°¢-°¢（3）421618232°¢+°¢´计算：①471734293853¢¢°¢¢-°¢¢②23353107436¢¢°´-°¸计算：（1）4839673121175°¢+°¢-°¢´（2）90513711°-°¢¢¢计算：（1）9845355°¢-°¢（2）180(6525)°-°+°47.28471648°=°¢¢¢83.58350°=°¢1652416.09°¢¢¢=°0.25900°=¢¢12512∠=°¢225.12∠=°325.2∠=°12∠=∠23∠=∠13∠=∠123∠=∠=∠54.36°=°¢¢¢1084236¢°¢¢=°计算：180182364°-°¢¸．计算下列各题：（1）131283215¢¢¢¢°-（2）583827474240¢¢¢¢¢¢°+°（3）2538453¢¢¢°´ （4）10915244¢¢¢°¸计算：（1）40263030306°¢+°¢¢¢¸（2）1353332531°¢´-°¢¢¢时钟7：30的分针与时针夹角度数是（）A ．55度B ．45度C ．35度D ．60度每天中午12点30分是“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹的的角为（）A ．180°B ．165°C ．155°D ．150°小明晚上放学到家时，钟表的时间显示为6点15分（如图），此时时钟的分针与时针所成角的度数是（）考点五钟面角A ．90°B ．92.5°C ．97.5°D ．102.5°钟表在9：10时，时针与分针所成的钝角为（）A ．125°B ．135°C ．145°D ．155°万杰朝阳学校上午第二节课的下课时间是9：40，此时时针与分针的夹角是______°．北京时间2021年12月9日15点40分，“天宫课堂”第一课正式开讲．在时刻为15：40时，时钟上的时针与分针夹角的度数为______．如图，某海域中有A ，B 两个小岛，其中B 在A 的北偏东40°方向，那么小岛A 相对于小岛B 的方向是（）A ．南偏东40°B ．北偏东50°C ．南偏西40°D ．北偏西50°芳芳家位于琪琪家东偏北35°方向，则琪琪家位于芳芳家（）方向．A ．北偏东35°B ．南偏西35°C ．西偏南35°D ．西偏南25°如图，甲沿北偏东50°方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角∠BAC 为100°，则此时乙位于A 地的（）考点六方位角A ．南偏东30°B ．南偏东50°C ．北偏西30°D ．北偏西50°如图，下列说法中错误的是（）A ．OA 方向是北偏东60°B ．OB 方向是北偏西15°C ．OC 方向是南偏西65°D ．OD 方向是东南方向海面上货轮A 在客轮B 的北偏东68°方向上，则客轮B 在货轮A 的（）方向上．A ．北偏东68°B ．南偏西68°C ．北偏东22°D ．南偏西22°如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东40°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A ．南偏西40°方向B ．南偏西50°方向C ．南偏东40°方向D ．南偏东50°方向点A 的位置如图所示，则从点O 观察点A 的位置是（）A ．距O 点4km 处B ．北偏东50°方向4km 处C ．东偏北40°方向4km 处D ．北偏东40°方向4km 处1.下列说法中，正确的是（）A ．两条射线组成的图形叫做角B ．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C ．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D ．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形2.如图，∠ACB 可以表示为（）课后强化A ．∠1B ．∠2C ．∠3D ．∠43.下列四个图形中，能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一个角的图形是（）A ．B ．C ．D ．4.如图，下列说法不正确的是（）A ．∠1与∠AOB 是同一个角B ．∠α与∠COB 是同一个角C ．图中共有3个角：∠AOB ，∠BOC ，∠AOCD ．∠AOC 可以用∠O 来表示5.下列说法中，不正确的有（）A ．大于0°小于90°的角是锐角B ．等于90°的角是直角C ．大于90°的角是钝角D ．平角等于180°6.如图所示，图中小于平角的角有_____个.7.如图所示，∠BOD=45°，那么不大于90°的角有___个，它们的度数之和是____．8.把用度、分、秒表示，正确的是（）A ．B ．C ．D ．9.下列换算中，错误的是（）A ．B．2.36°22136°¢¢¢21836°¢¢¢23060°¢¢¢236°¢¢¢47.28471648¢¢¢°=°83.58350¢°=°C ．D ．10.把用度、分、秒可表示为．11.计算：（1）（2）（3）12.计算：（1）（2）（3）13.钟表上的时针和分针都绕其轴心旋转，从8点到8点40分，时针转了_____度，分针转了_____度，8点40分时针与分针所成的角是_____度．14.时钟在3时30分时，时针与分针的夹角等于______．15.央视“新闻联播”节目的结束时间一般是19：30，这一时刻钟面上时针与分针的夹角是______度．16.已知在某个时刻，时钟的时针与分针成一直角，则这时可能是（）A ．3：30B ．6：15C ．9：00D ．12：4517.学校位于小亮家北偏西60°方向，距离为500米，那么小亮家相对于学校的位置可以描述为______．18.一架飞机从大兴国际机场向南偏东30°方向飞行，原路返回时飞机应向（）A ．北偏西30°方向飞行B ．北偏西60°方向飞行C ．东偏南30°方向飞行D ．东偏南60°方向飞行1652416.09¢¢¢°=°0.25900¢¢°=18.36°°¢¢¢131********°¢-°¢¢¢583827474240°¢¢¢+°¢¢¢342533542°¢´+°¢108185623°¢-°¢180(34542133)°-°¢+°¢182********°¢¸+°¢´。

角(同步课件)七年级数学上册(苏科版)

D．∠BOE=2∠COD
【分析】∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，

∴∠AOD=∠COD= ∠AOC，∠BOE=∠COE= ∠BOC，

∴∠AOD+∠BOE=∠DOE= (∠BOC+∠AOC)= ∠AOB=60°。

03
知识精讲
典例精析
例3、OC、OD是∠AOB内部任意两条射线，OM平分∠AOC，ON

角的平分线
01
情境引入
Q1-1：如何画出30°、45°、60°、90°的角？
借助一副三角尺
直接画出
Q1-2：如何画出15°、75°的角？
借助一副三角尺
拼接画出
30°+45°=75°
45°-30°=15°
01
情境引入
Q1-3：一副三角尺还可以拼出哪些度数的角？
30°+90°=120°，45°+60°=105°，
02
知识精讲
：0.75°等于多少分？78°54’等于多少度？
0.75°=(0.75×60)’=45’

78°54’=(78+54× )°=78.9°

【总结】①度化成分，数值上×60；②分化成度，数值上× 。

02
知识精讲
：角的计量单位除了“度”，还有什么？它们怎么进行
换算？
分和秒；
度、分、秒的换算类似于时、分、秒的换算，
交OA′于点M′；
3.以点M′为圆心，MN的长为半径画弧，交前弧于
点N′；
4.过点N′画射线O′B′，A′O′B′就是与AOB相等的角。
图形
02

七年级上角同步提高教学讲义

角【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．图1 图23.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示例1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．举一反三：【变式】（2015春•泰山区期中）下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A． B．C ．D ．例2. 写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B 为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).类型二、角度制的换算例3. (1)把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式； (2)把33°24′36″转化成度表示的形式．类型三、角的比较与运算例4.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)例5.（2016春•阳谷县期中）如图，已知OD 平分∠AOB ，射线OC 在∠AOD 内，∠BOC=2∠AOC ，∠AOB=114°．求∠COD 的度数．类型四、方位角例6.（2016•邯山区一模）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向举一反三：【变式】小王从家出发向南偏东30°的方向走了1000米到达小军家，此时小王家在小军家的________方向．类型五、钟表上有关夹角问题例7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下面四个图形中，能用∠1，∠AOB ，∠O 三种方法表示同一个角的图形是( ) ．2．（2014秋•上杭县校级月考）下列说法中，错误的是 ( ) ． A ．借助三角尺，我们可以画135°的角．B ．把一个角的两边都延长后，所得到的角比原来的角要大．C ．有公共顶点的两条边组成的图形叫做角．D ．两个锐角之和是锐角、直角或钝角．3．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ) ．4．如图，点A 位于点O 的（）方向上．A ．南偏东35°B . 北偏西65°C ．南偏东65° D. 南偏西65°5．钟表上2时25分时，时针与分针所成的角是 ( ) .A ． 77.5 °B ． 77 °5′C ． 75°D ．以上答案都不对6．如图，∠AOB 是直角，∠COD 也是直角，若∠AOC ＝α，则∠BOD 等于（）． A ．90°＋α B ．90°－α C ．180°＋α D ．180°－αDABCO7. 如图，点A 、O 、E 在同一直线上，∠AOB=40°，∠EOD=28°46′，OD 平分 ∠COE ，则∠COB 的度数为（）．A. 68°46′B.82°32′C. 82°28′D.82°46′二、填空题8．如图3，∠AOD=80°,∠AOB=30°,OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOC 的度数为_________，∠COD 的度数为___________．9．钟表8时30分时，时针与分针所成的角为度．10．南偏东80°的射线与西南方向的射线组成的角(小于平角)的度数是． 11．（2015春•万州区期末）如图，∠AOC=∠BOD=110°，若∠AOB=150°，∠COD=m°，则m= ．12．（2016春•潍坊校级月考）（1）131°28′﹣51°32′15″= ；（2）58°38′27″+47°42′40″= ．13．如图所示，将一平行四边形纸片ABCD 沿AE ，EF 折叠，使点E ，B 1，C 1在同一条直线上，则∠AEF ＝________．三、解答题14.（2015春•黄冈校级期中）如图，A 点在B 处的北偏东40°方向，C 点在B 处的北偏东85°方向，A 点在C 处的西北方向，求∠ABC 及∠BCA 的度数．O A D B E C15. 如图所示，直线AB、CD相交于点O，且∠BOC＝80°，OE平分∠BOC．OF为OE的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF是否为∠AOD的平分线．16．如图所示，五条射线OA、OB、OC、OD、OE组成的图形中共有几个角?如果从O点引出n 条射线，能有多少个角?你能找出规律吗?17.（2016春•启东市月考）如图，∠AOB=90°，∠AOC是锐角，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．求∠DOE的度数．。

初中数学同步 7年级上册第14讲角(学生版)

第14讲 4.3 角1.掌握角的定义、表示及度量；2.理解并掌握角的性质及角的平分线的定义；3.互余和互补的性质.知识点01 角的定义、角的表示及角的度量角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。

或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

角的表示：①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

角的度量角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”；度、分、秒是常用的角的度量单位。

把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1°；把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1′”；把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1″”；1．下列四个角中，钝角是()A．B．C．D．2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是()A．B．C．D．3．∠1还可以用表示，若∠1＝62.16°，那么62.16°＝°′″．4．计算77°53′26″+43°22′16″＝．5．图中共有个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有个．6．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3．知识点02 角的性质及角的平分线的定义角的性质(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

(2)角的大小可以度量，可以比较(3)角可以参与运算。

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角的概念与计算
【知识要点】
1．角的概念与分类：
2．角的四种表示法：
3．角的度量单位与换算：
4．方位角
5．时钟问题
【典型例题】
例1. 试用适当的方式分别表示图中的每一个角.
例2.①已知,αβ都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算
1
()6
αβ+的结果依次为28°， 48°，88°，60°.其中只有一个结果正确，那么算得正确结果的是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁
②有四人在同一地点观察同一建筑物时所报出的方位角分别如下,其中表述正确的是( )
A.西偏南︒20 B ．北偏西︒110 C ．南偏西︒70 D ．东偏南︒160
例3.（1）3.62°= ' " （2）= )25.25( '
（3）34.8 = ' (4) 25 12'=
例4.计算（1） 48 59'+57 38' （2）78 -47 34'56″
（3） 12 34'
×5 （4） 25.5 ÷4
例5．时钟在8点半时,它的时针和分针所成的锐角是______ 度
例6.（1）如图，已知OM BOC AOB ,30,90︒=∠︒=∠平分ON AOC ,∠平分BOC ∠．
求MON ∠的度数．
（2）如果（1）中α=∠AOB ，其它条件不变，求MON ∠的度数．
（3）如果（1）中β=∠BOC （β为锐角），其它条件不变，求MON ∠的度数．（4）以（1）、（2）、（3）的结果中能得出什么结论？
A
O
C
N B M
例7.如图，∠AOC=∠COD=∠DOE=∠EOB=α，若以OA ，OC ，OD ，OE 为始边的各角之和等于
380°，求∠AOB.
* 例8.以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使4:5:=∠∠BOC AOC .
（1）若=∠AOB 15°，求AOC ∠与BOC ∠的度数；（2）若AOB ∠=m °，求AOC ∠与BOC ∠的度数.
* 例9.如图，111OA A ∠是一个平角，
=∠-∠=∠-∠=∠-∠344523341223OA A OA A OA A OA A OA A OA A =∠-∠=9101011OA A OA A 2°．求1011OA A ∠的度数．
A 2 A 1
A 11
A 3 A 4
A 5
A 10 …
A
O
B
D E
C
* 例10.求证：过点O 任意作7条直线，那以O 为顶点的角中必有一个小于260
.
* 思考.
如图，是一个3×3方格，试求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＋∠8＋∠9的度数.
【初试锋芒】
1、判断题：
（1）由两条射线组成的图形叫角. （）（2）角的大小与边的长短有关. （）（3）一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角. （）（4）一个钝角减去一个锐角，其差必为一个直角. （）2.下列4个图形中,能用∠1,∠AOB,∠O 三种方法表示同一角的图形是( )
1 4 7
2 5 8
3
6
9
A
B C
D
O
A
A
1
B
O B
A
1
B O
D
A 1
B
O
D
C
A
B O
C
1
3．如图，以O 为顶点且小于180º的角有（） A ．7个 B ．8个 C ．9个 D ．10个
4.如右图,在A 、B 两处观测到的C 处的方位角分别是( ) A.北偏东60°,北偏西40° B.北偏东60°,北偏西50° C.北偏东30°,北偏西40° D.北偏东30°,北偏西50°
5.（2004湖北省）如右图,将一幅三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于O,则
DOB AOC ∠+∠的度数为_____________度.
6．如右图所示，∠AOB=21°12′，∠B0C=31°42′，求∠C0D 是多少度？
A
B C
O
D
A
B
C
O
D
40︒
60︒
南
北
(4)北
西
南
东
C
A B
7.飞机在飞行时,飞行方向是用飞机路线与实际的南或北方向线之间的夹角大小来表示的,如图,用AN(南北线), 与飞机路线之间顺时针方向的夹角作为飞行方向角,从A 到B 的飞行方向角为35°,从A 到C 的飞行方向角为60°,从A 到D 的飞行方向角为145°,试求AB 与AC 之间的夹角为多少度?AD 与AC 之间的夹角为多少度?并画出从A 飞出且方向角为105°的飞行路线.
* 8. 如图，图中共有多少个角
【大展身手】
1. 0.25°= ′= ″； 2700″= ′= °
2. ∠α+∠β=90°,且∠α=2∠β,则∠α=___，∠β=____.
C
A
D
B
N
1A
2A
3A
4
A 5
A O (1)
1A
2A
2000
A O
(2)
3.下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大; ③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，下列说法错误的是（）
A ．∠
B 也可以表示为∠AB
C B ．∠BAC 也可以表示为∠A C ．∠1也可以表示为∠C
D ．以C 为顶点且小于180º的角有3个
5.(2001宁夏)学校、电影院、公园在平面图上的标点分别是A 、B 、C, 电影院在学校的正东方向,公园在学校的南偏西25°方向,那么平面图上的∠CAB 等于( ) A.115° B.155° C.25° D.65°
6.(2001哈尔滨市)如图,∠AOB=∠COD=90°,∠AOD=146°,则∠BOC=___.
7. 如图,AB 、CD 相交于点O,OB 平分∠DOE,若∠DOE=60°, 则∠AOC 的度数是_ _. 8．计算下列各题.
（1）把83.43°化成度、分、秒. （2）56°32′－30°55′55″’
（3）45°27′7″+ 25°55′55″ （4）把53°12′40″化成度.
O C
A
D
B
第6题
O
C
A E D
B 第7题
9．如图所示，指出OA 是表示什么方向的一条线，并画出表示下列方向的射线：（1）南偏东60°；（2）北偏西70°；
（3）西南方向（即南偏西45°）.
10.怎样利用三角板画15°,135°的角,请与同伴交流,利用三角板你还能画出哪些角?
11.如图,已知O 是直线AD 上的点,∠AOB,∠BOC,∠COD, 三个角从小到大依次相差25度,求这三个角的度数.
60°
东
南
西
北
A
O
O
C
A
D
B
12.两个相等的钝角有一公共顶点和一条公共边, 并且两个角的另一边所成的角为90°,画出该图形,并求出钝角的大小.
13.过直线MN上一点引射线OA和OB，使OA、OB在MN同侧，已知
12，求这三个角的度数.
∠小
AOB
MOA∠
∠比AOB
∠2，BON
=
14．时钟在3点半时,它的时针和分针所成的锐角是多少度?再过多少分钟，分针和时针第一次重合？
* 15.已知
=
∠AOB，向O点引射线OC，若AOC
40
∠=2:3，求:OC与
∠:COB ∠的平分线所成角的度数．
AOB。