——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析

循本索源 变中出彩——高三数学复习课《平面向量的数量积》案例赏析江苏省苏州第十中学 吴锷在高三数学复习课中，如何真正做到精讲精练，提高复习效率，是高三数学老师所面对的一个重要课题．从典型的基础问题入手，通过一题多解、触类旁通，或一题多变、举一反三，进行有效的变式教学既是我国数学教学的优良传统，也是新课程背景下引发学生自主、合作、探究的重要途径．下面以本人的一节高三数学复习课《平面向量的数量积》为例．通过对高考试题的循本索源，引导学生进行自主探究、变中生成的教学实况，希望对高三数学复习有所启发．一、课堂教学简录与赏析1．一题多变，唤醒知识问题1 已知||2,||4==a b ，向量a 与b 的夹角60°，求()⋅-a b a 的值．教师：这是08年北京卷的一个改编题，请同学们快速给出答案．学生齐答：()⋅-a b a ＝2⋅-a b a ＝0．教师：很好！我们通过这个问题的解答，复习了向量数量积的公式：||||cos θ⋅=⋅a b a b ．请同学们继续解决下面的问题．变题1 已知||2,||4==a b ，且向量a 与b －a 垂直，求向量a 与b 夹角．学生A ：将公式变形，21cos ||||||||2θ⋅===⋅⋅a b a a b a b ，由0θπ≤≤，向量a 与b 夹角为60°． 教师：同学A 的解法实际上给出了求两个向量夹角的具体方法．那么下面的问题你能解吗？变题2 已知||2,||4==a b ，向量a 与b 的夹角60°，求向量a 与2a －b 的夹角．学生B ：用同学A 的方法，先求出|2a －b |＝4和a 与2a －b 的(2)4⋅-=a a b ，再用公式求出其夹角为60°． 学生C ：我根据题意画了一张图，发现向量2a ，b 和2a －b 恰好构成一个正三角形，很快就求出来了．同时我根据这个图还可以求出向量a 与2a ＋b 的夹角为30°．教师：C 同学做得非常棒！数学结合的方法开阔了我们的思路，借助于平面几何知识的确可以快速解题，也说明我们掌握了向量的本质．B 同学的解法恰好完成了08年江苏卷的问题“已知||1,||3==a b ，向量a 与b 夹角120°，则|5a －b |＝ ”． 教师：请同学们继续探究下面的问题． 变题3 已知||2,||4==a b ，向量a 与b 的夹角60°，若向量,2k +-a b a b 夹角为钝角，求实数k 的取值范围．学生D ：我认为只要()(2)<0k +⋅-a b a b ，解得7k >-．学生E ：D 同学的答案没有考虑到这两个向量是否同向共线，要加上12k ≠-． 教师：学生E 的补充很重要，事实上从向量数量积公式中我们可以知道，向量a ，b的夹角为锐角或钝角，都要CD B考虑a ，b 不共线．教师：前面我们围绕平面向量数量积的公式，从不同的角度创造了使用公式的条件．下面的问题同学们能解决吗？ 变题4 在直角△ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝4，求AD AB ⋅ ． 学生讨论，方法主要有：将向量分解成1()2AD AB AC =+ 或建立直角坐标系来求解． AD AB ⋅ ＝学生F ：我想到了一个好方法，如图，过D 作AB 的垂线DE ，则||(||cos )||||212AB AD DAB AB AE ⋅∠=⋅=⨯= ． 教师：同学F 的想法太妙了，对平面向量数量积的公式的本质理解了，事实上这种方法称为投影法，它可以把两个向量投影到一个向量上，用长度来计算，当然还需要观察两个向量的夹角是锐角还是钝角，以确定符号．赏析：从问题1这个最基本的问题出发，通过变式创造了利用平面向量数量积公式的各个不同的视点，帮助学生在解决问题中系统地理解和掌握了公式的本质．变式教学变换问题的条件和结论，变换问题的形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面．使学生学习时不只是停留于事物的表象，而能自觉地从本质看问题，同时学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容．用问题串构筑数学基础知识复习的方法是高三数学复习教学的非常有效的策略．2．解后反思，变中出彩问题2 在平面坐标系xOy 中，已知点()(12)2,3(21)A B C －，－，，－，－．（1）求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2）设实数t 满足()0AB tOC OC -⋅ ＝，求t 的值．教师：本题是10年江苏卷的题目，请同学们思考解决方案． 学生讨论，对于（1），焦点主要是要不要求出D 点的坐标，还是用向量,AB AC表示对角线所对应的向量．对于（2），焦点主要是坐标代人运算还是用运算法则．学生相互评点方法的优劣，教师适时点拨，达成共识．教师：请同学们进一步思考下面的问题． 变题1 在问题2的条件下，设λ∈R ，当||AB AC λ- 最小时，求λ的值． 学生讨论，共识为将||AB AC λ- 平方后转化为关于λ的二次函数22||2(1)3232AB AC λλ-=-+ ≥，当且仅当1λ=时，||AB AC λ-取得最小值 学生G ：受问题1研究的启发，可以从研究向量AB AC λ- 的几何意义入手解决，如图，要使||AB AC λ- 取得最小值，只有向量AB AC λ- 与AC 垂直就可以了，解题速度会快很多，即()0AB AC AC λ-⋅= ，1λ=．教师：这是一个创造性的解法，同学G 的方法可以推广到一般的情形，即λ∈R ，||λ-a b 取得最小值()0λ⇔-⋅=a b a ．其实问题2（2）的几何意义也与它一样．由此可E B见很多处理问题的方法是相通的．请看08年天津卷中的问题． 变题2 在平行四边形ABCD 中，(1,2),(3,2)AC BD ==- ，求AD AC ⋅ ．学生H ：问题2（1）的讨论，给我影响很深，求具体点的坐标比较麻烦，我 用向量,AB AD 表示,A C B D ，即,A C A B A D B D A D A B=+=- ，很快求得(1,2)AD =- ，从而A D A C ⋅ ＝(1,2)(1,2)3-⋅=．教师：很好，那到一个不熟悉的题目时，我们要多想想以前有没有类似的问题，可不可以化归为以前所研究过得问题，这是一种数学意识．我们再看11年辽宁卷的问题．变题3 若a ，b ，c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-⋅-≤a c b c ，求||+-a b c 的最大值．学生思考，讨论……． 学生I 通过实物投影展示解法：受前面的启发，由0⋅=a b ，我把问题置于直角坐标系中举行研究，不妨设(1,0),(0,1),(,)x y ===a b c ，由()()0-⋅-≤a c b c ，代入可化简得22111()()222x y -+-≤，且221x y +=，向量c 在如图所示的圆弧AB 上运动，又向量(1,1)OD =+= a b ，可以发现当点C 与A 或B 重合时，||+-a b c ＝||AD 的最大值为1． 教师：同学I 的解法非常美，通过建系，揭示了问题的几何背景，达到了数与形的完美结合，拓展了向量研究的空间，体现了同学们在向量研究中的创新精神．这种探究方法可以在解决平面向量综合问题中得到充分应用．赏析：运用变式教学能培养学生的创新精神．创新，即通过旧的知识，新的组合，得出新的结果的过程．“新”可以是与别人不一样的，也可以是自己新的提高，它突出与众不同．创新学习的关键是培养学生的“问题”意识，学生有疑问，才会去思考，才能有所创新．在课堂中运用变式教学可以引导学生多侧面，多角度，多渠道地思考问题，让学生多探讨，多争论，能有效地训练学生思维创造性，大大地激发了学生的兴趣，从而培养了学生的创新能力．教师：根据所给具体问题的条件，选择适当的方法解决问题，是我们数学解题研究的重要课题，让我们一起来讨论11年湖南卷中的一个向量问题．3．互动探究，拓展空间 问题3 在边长为3的正△ABC 中，2,3BC BD CA CE == ，求AD BE ⋅ ． 学生根据题意，经过小组讨论，主要产生了三种解法．一是选择向量,AB AC 为基底，将,AD BE 用,AB AC 表示进行计算；二是以D 为坐标原点，BC 和AD 分别为x 轴和y 轴，利用向量的坐标运算进行计算；三是用投影法，将向量BE 投影到向量AD ，利用几何意义进行计算．三种方法都能比较快地求得AD BE ⋅ ＝14-． 教师：刚才同学们的这些解法，从不同的角度解决了这个问题，希望学生通过三种解法的比较，学会根据题目的特点，选择最优的方法解题．下面请同学们思考一下，能否根据刚才的研究，在问题3的基础上，自己改编出一些新的问题呢？学生思考与讨论…… 学生J ：变式1 “在等腰△ABC 中，2BC BD = ，且||BC ＝3，M 是线段AD 上任一点，求BM BC ⋅ ．”用投影法，39||||cos ||||322BM BC BC BM MBD BC BD ⋅=⋅∠=⋅=⨯= ． E D C BA学生K ：变式 2 “在边长为3的正△ABC 中，3BC BD = ，求AD AB ⋅ ．”仿问题3建系的方法，3115(,)(,)222A B A D ⋅=-⋅-= ． 此时，同学们非常激动，为他们喝彩．教师：两位同学出了两个非常精彩的题目，其中K 同学所出的题目恰好与2011年上海卷理科第11题完全一样，由此可见高考题就是这样得来的．由同学J 的题目，我也编了一个较难的题目． 变式3 已知点O 为ABC ∆的外心，且4,2AC AB == ，求AO BC ⋅ 的值．同学M ：这个问题一点也不难，就是前面问题1的变题4，我把△ABC 特殊成直角三角形，外心O 就是斜边BC 的中点，易得1()62AO BC AO AC AB ⋅=⋅-= ． 教师：同学M 这种特殊化处理问题的方法非常好，在遇到一个比较复杂的问题时，我们往往先从简单的问题入手进行研究，而且这样的解法对处理填空题也非常有益．但如果我强调△ABC 不是直角三角形呢？这个问题留给同学们课后思考，相信同学们有智慧一定能解决这个问题．最后，由同学们自主总结本节课的收获．赏析：运用变式教学能促进学生学习的主动性．课堂教学效果很大程度上取决于学生的参与情况，这就首先要求学生有学习的主动性，有了学习主动性才能积极参与学习．增强学生在课堂中的主动学习意识，使学生真正成为课堂的主人，是现代数学教学的趋势．变式教学使一题多用，多题重组，给人一种新鲜、生动的感觉，能唤起学生的好奇心和求知欲，掌握问题的发展规律，使学生对数学基础知识认识从感性上升到了理性的层面，培养学生的数学意识和思维的深刻性、创造性．因而能够产生主动参与学习的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情．二、对高三数学复习课如何进行变式教学的几点思考教育心理学认为，学生的思维过程往往是从问题开始的．学习问题从本质上说就是一个一个问题解决的过程，当学生学习一个新内容时，如果原有的知识经验不足以同化新情景，那么他们就面临一个新问题．学生在问题解决过程中，不仅能应用和获取知识与技能，经历问题解决的过程，而且还能了解问题解决的科学方法，逐渐形成正确的态度和树立正确的观点．一个好的问题设计不仅仅是创设一个好的情景，更主要是为学生学习活动的开展找到一个好的载体，更有利于学生主动地进行解决问题的学习，培养解决问题的能力．问题变式就是以原题为中心，向它蕴涵的方方面面进行拓展和深化，揭示数学概念的本质属性和非本质属性．通过对具有示范性、辐射性的问题变式及训练，能更好的使学生加深对相关知识的理解和掌握相关解决问题的方法，培养学生的知识情境化意识和提高学生辨认情境中所含知识的能力等，从而使其思维能力得以发散、知识信息的迁移能力等得到锻炼和提高，收到举一反三的效果．对实践过程的反思，我个人认为在现行教材、现行班级和现阶段开展问题变式学习要注意以下几点：1．紧扣大纲，立足教材，选准具有示范性、发散性、重点突出的典型问题，体现知识的横向联系，具有延伸性，乃至可进行一题多变．这样的问题进行变式后，能有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探寻规律，完善学生的认知结构，从而提高学生发现问题、解决问题的能力．2．问题变式教学要充分体现学生的主体地位，富有启发性和科学性．教学中让学生在主动发现、主动探索中，完成“理解——变式——应用”的认知过程，发展思维和建立新旧知识之间的联系．3．问题变式是核心和关键．教学时要努力做到变中求“活”、变中求“新”、变中求“异”、变中求“广”、避免简单的重复；变式要由易到难、层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区．4．问题变式的选题不仅考虑知识功能，而且还要体现情感、态度、价值观的合理内核．变式教学可以让教师有目的、有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生使所学的知识点融会贯通，从而让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，体会学习数学的乐趣．总之，在新课标下的教师要不断更新观念，因材施教，继续完善好“变式”教学模式，最终达到提高教学质量的目的，并为学生学好数学、用好数学打下良好的基础．本文发表于《中学数学月刊》2012.4。