浙江省绍兴市高二数学期中试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共10题；共20分)1. （2分）已知两个等差数到和的前n项和分别为和，且，则=（）A . 3B . 4C . 5D . 62. （2分）若且，则是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角3. （2分） (2020高二上·林芝期末) 等差数列{an}中，a5＝33，a45＝153，则201是该列的第（）项A . 60B . 61C . 62D . 634. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 若直线ax+by+1=0（a、b＞0）过圆x2+y2+8x+2y+1=0的圆心，则 +的最小值为（）A . 8B . 12C . 16D . 205. （2分） (2016高一下·老河口期中) 已知x1、x2是方程4x2-4mx+m+2=0的两个实根,当x12+x22取最小值时,实数m的值是（）A . 2B .C . －D . －16. （2分）在△ABC中，已知，∠A＝120°，则a等于（）A .B . 6C . 或6D .7. （2分）在各项都为正数的等比数列中，首项，则为（）A . 21B . 4C . 84D . 88. （2分）若△ABC的三个内角满足tanAtanBtanC＞0，则△ABC是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 任意三角形9. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知为等差数列中的前项和，，，则数列的公差（）A .B .C .D .10. （2分）在中,内角A,B,C的对边分别是，若，，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2016高二上·西湖期中) 在△ABC中，B=135°，C=15°，a=5，则此三角形的最大边长为________．12. （1分）(2018·上海) 记等差数列的前n项和为Sn ，若，则S7=________。
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷
浙江省绍兴市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）抛物线的准线方程是，则a的值为（）A . 4B . -4C .D .2. （2分）命题“a=0，则ab=0”的逆否命题是（）A . 若ab=0，则a=0B . 若a≠0，则ab≠0C . 若ab=0，则a≠0D . 若ab≠0，则a≠03. （2分） (2018高二上·扶余月考) 若 , ，满足则等于（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二上·益阳期中) 设p：或；q：或则是的条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分又不必要5. （2分）直线与椭圆相交于A,B两点，该椭圆上点P使的面积等于6，这样的点P共有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）(2017·太原模拟) 已知双曲线Γ：﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx﹣kc．若k= ，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k= ，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（）A . （1，2）B . （1，4）C . （2，4）D . （4，16）7. （2分）设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A .B . 5C .D .8. （2分）正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·湖州期中) 如图，已知双曲线 =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ，F2 ， |F1F2|=4，P是双曲线右支上的一点，F2P与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（）A . 3B . 2C .D .10. （2分）若椭圆+=1（a＞b＞0）与双曲线﹣=1共焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±2x11. （2分）(2019·景德镇模拟) 已知点在双曲线上，，分别为双曲线的左右焦点，若外接圆面积与其内切圆面积之比为 .则双曲线的离心率为（）A .B . 2C . 或D . 2或312. （2分）椭圆的焦距为（）A . 10B . 5C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019·鞍山模拟) 已知抛物线C：的焦点F为椭圆的右顶点，直线l是抛物线C的准线，点A在抛物线C上，过A作，垂足为B ，若直线BF的斜率，则的面积为________．14. （1分） (2016高二上·河北期中) 若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的范围________．15. （1分） (2016高二上·德州期中) 在空间直角坐标系中，设A（m，1，3），B（1，﹣1，1），且|AB|=2 ，则m=________．16. （1分）(2020·南通模拟) 在平面直角坐标系中，若抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为________.三、解答题 (共6题；共47分)17. （2分） (2018高二上·江苏期中) 已知命题表示双曲线，命题。
浙江省绍兴市高二下学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·顺德期中) （）A .B .C .D .2. （2分）若loga =﹣2，则a=（）A . 2B . 4C .D .3. （2分）已知直线，则“a=-1”是“的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2020高二下·应城期中) 将4个人从左至右排成一行，最左端只能排成甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．A . 6种B . 42种C . 10种D . 12种5. （2分） (2020高二下·应城期中) 胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方．如图，若，则由勾股定理，，即，因此可求得为黄金数，已知四棱锥底面是边长约为856英尺的正方形，顶点的投影在底面中心，为中点，根据以上信息，的长度（单位：英尺）约为（）．A . 611.6B . 481.4C . 692.5D . 512.46. （2分） (2020高二下·应城期中) 已知，且，则（）．A . 1B .C . 0D .7. （2分） (2020高二下·应城期中) 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为（）A .B .C . 8D .8. （2分） (2020高二下·应城期中) 的展开式的各项系数和为243，则该展开式中的系数是（）．A . 5B .C .D . 1009. （2分） (2020高二下·应城期中) 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象．若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（）．A .B .C .10. （2分） (2020高二下·应城期中) 已知为偶函数，为奇函数，且满足．若存在使得不等式有解，则实数的最大值为（）．A .B .C . 1D .11. （2分） (2020高二下·应城期中) 如图，以棱长为2的正方体的顶点A为球心，以为半径做一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为（）．A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·应城期中) 函数在区间上是单调函数，且的图像关于点对称，则（）A . 或B . 或D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一下·宜宾月考) 设函数，则________．14. （1分） (2020高二下·应城期中) 若函数的图象在点处的切线过点，则a=________．15. （1分） (2020高二下·应城期中) 记为等差数列的前n项和，若，，则 ________．16. （1分） (2020高二下·应城期中) 已知函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共47分)17. （10分） (2016高二上·宁远期中) 解答题（1）求不等式的解集：﹣x2+4x+5＜0（2）求函数的定义域：．18. （2分） (2019高一下·衢州期中) 已知函数 .求：（1）将化成的形式，并说明其最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）若，求函数的值域.19. （10分） (2020高二下·应城期中) 某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“ ”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%， 13% ，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、、、、五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分.具体转换分数区间如下表：等级比例赋分区间而等比例转换法是通过公式计算：其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，、分别表示等级分区间的最低分和最高分，表示原始分，表示转换分，当原始分为，时，等级分分别为、假设小南的化学考试成绩信息如下表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分等级设小南转换后的等级成绩为，根据公式得：，所以（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分.已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得等级的学生原始成绩统计如下表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为，求的分布列和期望.20. （10分） (2020高二下·应城期中) 如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，顶点在底面ABCD内的射影恰为点C．（1）求证：BC⊥平面ACD1；（2）若直线DD1与底面ABCD所成的角为，求平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.21. （10分） (2020高二下·应城期中) 已知点，在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与抛物线交于P，Q两点，F为椭圆的焦点，直线，与M分别交于点D（异于点），E（异于点），证明：直线DE的斜率为定值．22. （5分） (2020高二下·应城期中) 已知函数，f(x)= -mx2-m+ln(1-m)，(m<1)．（Ⅰ）当m= 时，求f(x)的极值；（Ⅱ）证明：函数f(x)有且只有一个零点．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共47分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
绍兴2023学年第一学期期中考试高二（数学）试卷（答案在最后）一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选､多选､错选均不得分）1.已知向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，若a b ⊥ ，则y =（）A.﹣2B.﹣1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量垂直转化为数量积为0计算即可.【详解】因为向量()1,2,6a = ，()2,,1b y =- ，a b ⊥，所以()122610a b y ⋅=⨯++⨯-=，解得2y =，故选：D.2.已知过()3,1A 、()1,3B -的直线与过()3,C m -、(),2D n 的直线互相垂直，则点(),m n 有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】D 【解析】【分析】根据直线的两个已知点，求得斜率，结合垂直直线的斜率关系，建立方程，可得答案.【详解】由()3,1A 与()1,3B -，则直线AB 的斜率13231AB k +==-，由AB CD ⊥，则直线CD 的斜率存在，即3n ≠-，且112CD AB k k -==-，由()3,C m -与(),2D n ，则2132m n -=-+，整理化简可得27n m =-，显然该方程有无数个解.故选：D.3.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A.1.2mB.1.3mC.1.4mD.1.5m【答案】B 【解析】【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.4.已知抛物线()220y px p =>的焦点在圆224x y +=上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】根据焦点坐标即可求解4p =，由p 的几何意义即可求解.【详解】由于抛物线()220y px p =>的焦点为x 正半轴上，224x y +=与x 正半轴的交点为()2,0，故抛物线的焦点为()2,0，所以242pp =⇒=，因此抛物线的焦点到准线的距离为4p =，故选：C5.已知()2,2A --，()2,6B -，()4,2C -三点，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，则222PA PB PC ++的最大值（）A.72B.80C.88D.100【答案】C 【解析】【分析】分析两直线特征，恒过定点，联立两直线方程，消去k ，得到交点P 的轨迹方程，然后借助于P 的坐标范围，求出222PA PB PC ++的最大值.【详解】直线l 1：20kx y k --=变形为()20k x y --=直线恒过定点()2,0，直线l 2：20x ky ++=直线恒过定点()2,0-，直线l 1：20kx y k --=与直线l 2：20x ky ++=相交于点P ，联立2020kx y k x ky --=⎧⎨++=⎩，消去k ，得224x y +=所以P 是以()0,0为圆心，半径为2的圆上一点，设(),P x y 且22y -≤≤，()()()()()()22222222222264+2P x y C x y x B P y A P =++++++-++-++[]22334681246880472,88x y y y y =+-+=-+=-∈，所以222PA PB PC ++的最大值为88，故选：C .6.已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若190MF N ∠=︒，且11F N M ，则C 的渐近线方程为（）A.3y x =± B.y = C.6y x =±D.y =【答案】B 【解析】【分析】根据直角三角形的性质即可求解160,MOF ∠=︒即可求解.【详解】如图所示，根据对称性，不妨设M 在左支,由于190MF N ∠=︒，且11F N M ，所以1160,2M F N MN MF ∠=︒=，由于,M N 关于原点对称，所以=OM ON ,结合190MF N ∠=︒可得1||||F OM ON O ==，所以160,MOF ∠=︒故渐近线MN 的倾斜角为60 ，∴双曲线C 的渐近线方程为y =．故选：B7.如图，由点P (3,0)-射出的部分光线被椭圆22:14x C y +=挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（）A.3085853055t +-≤≤ B.3085853055t ≤≤C.30585555t +-≤≤ D.30585555t -≤≤【答案】B 【解析】【分析】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，进而可得切线方程，利用新定义可求t 的最值，进而可求实数t 的取值范围．【详解】设过点P 的切线方程为(3)y k x =+，联立方程组22(3)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222214243640k x k x k +++-=，则()()()2222244143640k k k ∆=-+-=，即251k =，解得55k =±，所以切线PM 的方程为：(3)5y x =+50y -+=，切线PN 的方程为：(3)5y x =-+50y ++=，若()()2251O x y t -+-= ：位于椭圆C 的“外背面”，则与PN 相切时t 1=，解得5t =-或5t =，结合图形可得t 的最小值为30855-，则与PM 相切时t 1=，解得85305t =或85305t =，结合图形可得t 的最大值为5-，55t -≤≤．故选：B.8.教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量()(),,0u a b c abc =≠，点()0000,,P x y z ，点(),,P x y z ．（1）若直线l 经过点0P ，且以u为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：000x x y y z z a b c---==；（2）若平面α经过点0P ，且以u 为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为70x y z -+-=，直线l 是平面230x y +-=与10x z ++=的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（）A.9B.5C.15D.55【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出平面的法向量，再求出平面的交线方向向量，最后用线面角公式即可.【详解】 平面α的方程为70x y z -+-=，∴平面α的一个法向量()1,1,1m =-，同理，可得平面230x y +-=的一个法向量()1,2,0n =，平面10x z ++=的一个法向量()1,0,1p = ，设平面230x y +-=与平面10x z ++=的交线的方向向量为(),,q x y z =，则200q n x y q p x z ⋅=+=⎧⎨⋅=+=⎩，取1y =，则()2,1,2q =- 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin cos ,9m q m q m qθ⋅===故选：A【点睛】本题属于创新题目，是数学探索创新情境，具体是以平面方程为背景考查直线与平面所成的角，利用的法向量和方向向量的关系.二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.10y ++=的倾斜角为120︒B.经过点()2,1P ，且在,x y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C.直线:20l mx y m ++-=恒过定点()1,2-D.直线1:210l x ay ++=，()2:140l a x y ---=，若12l l ⊥，则1a =-【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，根据直线方程，求得其斜率，利用斜率的定义，结合正切函数的定义，可得答案；对于B ，由题意，设出直线的点斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；对于C ，整理函数的一般方程，建立方程组，可得答案；对于D ，利用分类讨论思想，结合垂直直线的关系，建立方程，可得答案.【详解】对于A10y ++=，可得其斜率1k =，设其倾斜角为θ，则tan θ=，由[)0,πθ∈，则解得120θ= ，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为()220k k ≠，由过()2,1P ，则()212y k x -=-，令0y =，则212x k =-，令0x =，则212y k =-，由题意可得()221212k k -=--，整理可得2222310k k -+=，解得212k =或1，所以直线方程为20x y -=或10x y --=，故B 错误；对于C ，由直线方程20mx y m ++-=，整理可得()120x m y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，所以直线过定点()1,2-，故C 正确；对于D ，当1a =时，直线1:210l x y ++=，则111,2A B ==，直线2:40l y +=，则220,1A B ==，由1212102120A A B B +=⨯+⨯=≠，则此时不符合题意；当1a ≠时，直线1:210l x ay ++=，则111,2A B a ==，直线()2:140l a x y ---=，则221,1A a B =-=-，由12l l ⊥，则()()121211210A A B B a a +=⨯-+⨯-=，解得1a =-，则此时符合题意，故D 正确.故选：ACD.10.已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（）A.线段AP 长度的最大值是5B.满足15PBO ∠= 的点P 有且仅有2个C.过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D.2|PA |+|PB |的最小值为【答案】AD 【解析】【分析】圆上点到圆外点距离最大值为圆心与圆外点的距离加上半径，判断A ；利用15PBO ∠= 找到PB 直线，求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系判断B ；作图通过图象分析判断C ；设设(),P x y ，设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，进而求出点P 的轨迹方程，结合点P 在⊙O 上个求得答案，判断D.【详解】对于A ，x 2+y 2＝4圆心()0,0O ，半径2r =，3OA ==，所以max 5AP OA r =+=，故A 正确；对于B ，由题意知，当15PBO ∠= 时，()0,0O 到PB 直线距离等于4sin152=< ，此时符合要求PB 一共两条，且直线与⊙O 相交，故满足15PBO ∠= 的点P 有4个，故B 错误；对于C ，如图，显然过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 不过定点（12，1），故C 错误；对于D ，2PA PB +的最小值，即为122PA PB ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值，假设存在定点()0,C t ，使得点P 在⊙O 任意移动时均有12PC PB =，设(),P x y ，=，化简得()2223381164x y t y t ++-=-，因为224x y +=，则有()2211t y t -=-，即()()1210t y t ---=，所以1t =，()0,1C ，所以()222PA PB PA PC AC +=+=≥，所以D 正确，故选：AD.11.如图，已知抛物线24y x =，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线与圆()2211x y -+=于,,,A C D B 四点，则（）A.3OA OB ⋅=-B.1AC BD ⋅=C.当直线l643AB AF ⋅= D.418AF BF +≥【答案】ABC 【解析】【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A ，根据焦半径即可求解BC ，结合基本不等式即可求解D.【详解】由题意可得()1,0F 设直线l 方程为1x ty =+，()()1122,,,A x y B x y 241y xx ty ⎧=⎨=+⎩,则2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，对于A ，()21212121231416y y x x y y OA y y OB +=+=-=⋅=- ，故A 正确，对于B ，()()()()()1212212111111116AC BD AF BD x x x y x y ⋅=-⋅-=+-⋅+===-，B 正确，对于C ，当直线l 直线l 方程为)1y x =-，联立直线与抛物线方程可得231030x x -+=，解得1213,3x x ==，所以()12123102,33x x y y +=++=所以()()121166421433AB AF x x x ⋅=+++=⨯=，故C 正确，对于D ，()()()()()1212121212421111111122t y y x x AF BF x x x x ty ty +++++=+==++++++，将12124,4y y t y y +==-代入可得()()()()21221212124114412224t y y t AF BF ty ty t y y t y y ++++===+++++，所以()445549411F AF BF AF BF BF AF AF BF AF B ⎛⎫+=+=+≥+= ⎪+⎪⎝⎭+ ，故D 错误，故选：ABC12.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方体内及表面上一点，且1AP mAB nAD =+ ，其中[]0,1m ∈，[]0,1n ∈，则下列说法正确的是（）A.当12n =时，1B P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B.当1m n +=时，11A C BP ⊥恒成立C.存在[]0,1n ∈，对任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立D.当1m n +=时，22PA PC +的最小值为74【答案】BC 【解析】【分析】根据题意画出正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行逐项求解判断.【详解】由题意得：以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x ，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如下图：则：()1,0,0A ，()11,0,1A ，()1,1,0B ，()11,1,1B ，()0,1,0C ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，()0,1,0AB = ，()11,0,1AD =- ，(),,AP n m n =-，得：()1,,P n m n -对于A 项：当12n =时，11,,22P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22B P m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的一个法向量为：()0,0,1m =，设1B P 与平面ABCD 所成的角为θ，所以：1111·2sin cos ,B P mB P m B P mθ===因为：[]0,1m ∈，所以：()21131222m ≤+-≤，所以：当1m =时，sin θ有最大值2，此时：π4θ=，故A 项错误；对于B 项：()111,1,0A C =- ，(),1,BP n m n =--则：11·10AC BP n m =+-= ，所以：11AC BP ⊥，所以：11A C BP ⊥，故B 项正确；对于C 项：由题意知平面11ABB A 的一个法向量为：()1,0,0n =，()1,1,CP n m n =-- ·1CP n n =- ，所以：当1n =时，·10CP n n =-= ，即：CP n ⊥，且CP 不在平面11ABB A 内，此时：对于任意[]0,1m ∈，CP 与平面11ABB A 平行恒成立，故C 项正确；对于D 项：当1m n +=时，得：(),,1P m m m -，()()()()22222222224111168433PA PC m m m m m m m m +=-++-++-+-=-+=-+⎭，当23m =时，有最小值43，故D 项错误.故选：BC.三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13.两条平行直线3210x y --=与3210x y -+=间的距离______________．【答案】21313【解析】【分析】根据两平行线间距离公式计算．【详解】由题意13d==．故答案为：13．14.已知()2,4,a x=，()2,1,2b=r，()2,2,1c=-r，且,,a b c共面，则x的值为_____．【答案】5【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，建立方程组，可得答案.【详解】设,Rλμ∈，则a b cλμ=+，可得222422xλμλμλμ=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得215xλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故答案为：5.15.已知点()()0020A B，,，，圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则r的取值范围是__________．【答案】37r<<【解析】【分析】根据数量积的坐标运算可得点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，即可根据两圆有两个交点求解.【详解】设(),P x y，则()()22,2,23PA PB x y x y x x y⋅=--⋅--=-+=，由2223x x y-+=得()2214x y-+=，故点P的轨迹为以点()1,0为圆心，半径为2的圆，要使圆()()222440M x y r r-+->=：（）上恰有两点()1,2iP i=满足3i iP A PB⋅=，则()2214x y-+=与()()222440M x y r r-+->=：（）两圆有两个交点，故22r r-<+，解得37r<<，故答案为：37r<<16.已知椭圆2221(1)x y mm+=>和双曲线2221(0)x y nn-=>有共同的焦点12,F F，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则221211e e +的值为____________．【答案】2【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义得到,m n 关于c 的表达式，结合离心率的定义求解即可.【详解】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，则22211m n c -=+=，则22221222,c c e e m n==，22221,1m c n c =+=-，所以22222222122211211m n e e c cc c c c ++-=+=+=.故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.三棱柱111ABC A B C -中，12BM MA =uuu r uuu r ，11C N NB =uuu r uuu r ．设AB a =，AC b =，1AA c =．（1）试用,,a b c 表示向量MN；（2）若1160BAC BAA CAA ∠=∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长．【答案】（1）111623MN a b c=++（2）56【解析】【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案；（2）根据向量的数量积运算，可得答案.【小问1详解】由12BM MA =uuu r uuu r ，则1113MA BA =uuu r uuu r ，由11C N NB =uuu r uuu r，则11112B N BC =uuu r uuu u r ，由图形知()()111111*********MN MA A B B N BA AB B C c a a b a =++=++=-++-111623a b c =++ ．【小问2详解】由题设条件：1cos cos602a b a b BAC ⋅=∠==or r r r ，同理可得12a b b c ⋅=⋅= ，则()222221111||94612462336MN a b c a b c a b b c a c⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()1251943623636=+++++=，∴11156236MN a b c =++= .18.如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是()()3013D ，,，,为线段AB 上的动点．（1）当D 运动到AB 中点时，求直线CD 的一般式方程；（2）求线段CD 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）35180x y +-=（2）5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据斜率公式计算35CD k =-，即可由点斜式求解方程，（2）根据中点坐标公式，代入AB 方程中即可求解.【小问1详解】∵()()1,3,4,3C B ∴,故7322D ⎛⎫⎪⎝⎭，，35CD k =-．所以直线CD 方程为()3315y x -=--，即35180x y +-=∴CD 所在直线方程一般式是35180x y +-=．【小问2详解】设点M 的坐标是(),M x y ，点D 的坐标是()00,D x y ，由平行四边形的性质得()43B ，,∵M 是线段CD 的中点，∴0031,22y x y x ++==，于是有0021,23x x y y -==-，直线AB 的方程为()33y x =-，∵点D 在线段AB 上运动，∴()00039034x y x =≤--≤，，∴()()3212390x y -=---，即5629022x y x ⎛⎫--=≤≤ ⎪⎝⎭．19.已知圆C 过点()8,1A ，且圆C 与两坐标轴均相切．（1）求圆C 的标准方程；（2）若半径小于6的圆C 与直线:0l x y m -+=交于A 、B 两点，____，求m 的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：120ACB ∠= ；条件②：AB =．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】（1）()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=（2）条件选择见解析，2m =±【解析】【分析】（1）设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，根据已知条件得出()()22281a b r -+-=，r a b ==，分a b =、=-b a 两种情况讨论，求出a 的值，即可得出圆C 的方程；（2）求出圆C 的方程，选①或选②，过点C 作CD AB ⊥于点D ，求出CD ，即为圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式可求出m 的值.【小问1详解】解：设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=>，因为圆C 过点()8,1A ，所以()()22281a b r -+-=，又因为圆C 两坐标轴均相切，所以r a b ==，若a b =，则()()22281a a a -+-=，整理可得218650a a -+=，解得5a =或13，此时，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=；若=-b a ，则()()22281a a a -++=，整理可得214650a a -+=，2144650∆=-⨯<，方程214650a a -+=无解.综上所述，圆C 的方程为()()225525x y -+-=或()()221313169x y -+-=.【小问2详解】解：因为圆C 的半径小于6，所以，圆C 的方程为()()225525x y -+-=，如果选择条件①：由120ACB ∠= ，5AC BC ==，得30ACB ABC ∠=∠= ，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则D 为AB 的中点，则1522CD AC ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±；如果选择条件②：AB =，在ABC 中，5AC BC ==，过点C 作CD AB ⊥于点D ，则52CD ==，所以圆心C 到直线l 的距离52d =，则52d ===，解得2m =±.20.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞，点(A 在双曲线上．（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上是否存在点B ，使得对双曲线C 上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22144x y -=（2）存在，定值为1【解析】【分析】（1）由离心率，双曲线所过点的坐标，及222+=a b c 列方程组求解可得；（2）设(,)P P P x y是双曲线上任一点，取点(3,B -，计算PA PB k k ⋅得定值．【小问1详解】由题意得22222951 ca abc a b⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2 2 a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故双曲线C 的方程为22144x y-=；【小问2详解】法一：存在点B (3,-，使得对双曲线上任意一点P （其中3P x ≠±），都有PA PB k k ⋅为定值1，证明如下：设(,)P P P x y 是双曲线22144x y -=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4∴22225513395p p p p PB PAp p p p y y y y k k x x x y ---⋅====+---．法二：设定点为00(,)B x y ，设(,)P P P x y 是双曲线22144x y-=上任意一点P （其中3P x ≠±），则22144p p x y -=，即22p p x y -=4，22001x y -=，22000002200000))3(3)3(3)34P P P P P P PA PBP P P P P P y y y y y y y y y k k x x x x x x x y x x x ---++-++=⋅==---++-+++，由于224P P x y =+，而P y 是任意的实数，要使得它为常数，这个常数只有为1，由00030y x +=+=⎪⎩得003x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩0034x =+，所以存在定点(3,B -，使得PA PB k k 为定值且定值为1.21.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）问a 为何值时，MN 的长最小？（2）当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．【答案】（1）2a =（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式、配方法进行求解即可；（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，,BC AB BE AB ⊥⊥，根据面面垂直的性质定理易知，CB ⊥平面ABEF ，于是BC BE ⊥，从而,,BC AB BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a ==，M ∴，N ⎫⎪⎭．MN=MN==当2a=时，MN 最小，最小值为22；【小问2详解】由（1）可知，当M，N为中点时，MN最短，则1111,0,,,,02222M N⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取MN的中点G，连接AG，BG，则111,,244G⎛⎫⎪⎝⎭，2AM AN==，2BM BN==，AG MN∴⊥，BG MN⊥，AGB∴∠是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．111,,244GA⎛⎫=--⎪⎝⎭，111(,)244GB=---，1·18cos,3·GA GBGA GBGA GB-∴==-．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是13．22.已知椭圆22122:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12e=，且过点31,2P⎛⎫- ⎪⎝⎭.点P到抛物线22:2(0)C y px p=->的准线的距离为32.（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）如图过抛物线2C 的焦点F 作斜率为(0)k k >的直线交抛物线2C 于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆1C 于另一点Q .记FBQ ，APQ △的面积分别记为12S S 、，当PF 恰好平分APB ∠时，求12S S 的值.【答案】（1）221:143x y C +=，22:2=-C y x（2）15(35)56【解析】【分析】（1）由椭圆离心率和经过点P 可得答案；（2）设1:2⎛⎫=+⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，从而()222121212+=++t t t t ，12k k +，12k k ，可求出直线PF 的斜率为0k .当PF 平分APB ∠时，利用0120010211--=++k k k k k k k k ，求出12t t +，从而AB k k =的值，由此直线3:32=--PQ y x ，由于11212211||,,24||+=-=-=-AF tt t t t BF t ，联立直线PQ 和椭圆方程可得||||=-P Q y PF QF y ，再利用||||= APF AFQ S PF S FQ ，||||=AFQ QFBS AF S BF 可得答案.【小问1详解】由于椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12e =，则2222214c a b a a -==，所以2234a b =，故设221:(0)43λλ+=>x y C ，由于椭圆1C 经过点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而13144λ=+=，故椭圆1C 的方程为221:143x y C +=.由于点P 到抛物线22:2(0)C y px p =->的准线2p x =的距离为32，则3122p +=，故1p =，从而抛物线22:2=-C y x .【小问2详解】由于1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1:2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭AB y k x ，()2112,2-A t t ，()2222,2-B t t ，设直线,PA PB 的斜率为12,k k ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1112211324322142--==-+-+t t k t t ，22224342-=-+t k t ，由于()1222121222122-==-+-+AB t t k t t t t ，1212122=-+AF t k t ，且A ，F ，B 共线得AB AF k k =，故1212112122=---+t t t t ，从而1214t t =-，()()222212*********+=+-=++t t t t t t t t ，从而()()()()22121212121212222222121212432343434242421-+++++---+=+==-+-+-++t t t t t t t t t t k k t t t t t t ()()()212122121212681+++-=-++t t t t t t ，()()()()12121212122222222121212121612912543434242168481-++-++--=⋅==-+-+-++-++t t t t t t t t k k t t t t t t t t ，由于31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线PF 的斜率为0323112==--+k ，当PF 平分APB ∠时，则0120010211--=++k k k k k k k k ，即()()()212012012220++--+=k k k k k k k k ，即()()()()()21212122212121212612593228181⎡⎤+++--++⨯-⨯-⨯-⎢⎥-++-++⎢⎥⎣⎦t t t t t t t t t t ()()()2121221212126081+++-=-++t t t t t t 即()()21212610+++-=t t t t ，从而1212t t +=-或1213+=t t ，从而()1212===-+AB k k t t 或3-，由于0k >，故2k =，由此直线3:21,:32=+=--AB y x PQ y x .由于11212211||,,24||+=-=-=-AF t t t t t BF t ，考虑到()2121212************++-+===--t t t t t t t t t t ，从而12352+=-t t ，从而||35||2=AF BF ，联立2213:32:143PQ y x x y C ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2131210+-=x x ，从而113=Q x ，则3453226=--=-Q Q y x ，从而3||13245||1526===-P Q PF y QF y ，由此||1326||1530=== APF AFQ S PF S FQ，||3||2+==== AFQ QFB S AF S BF。
浙江省绍兴市高二下学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）一批工具共100个,其中有95个合格品,5个次品,每次任取1个,用后放回.若第1次取到合格品的概率是m,第2次取到合格品的概率是n,则（）A . m>nB . m=nC . m<nD . 不能确定2. （2分） (2017高二下·洛阳期末) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A={两次的点数均为奇数}，B={两次的点数之和小于7}，则P（B|A）=（）A .B .C .D .3. （2分）从含有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，在其中1张是假钞的条件下，2张都是假钞的概率是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·佛山月考) 若且，则实数（）A . 1或-3B . 1或3C . -3D . 15. （2分）将6个名额全部分配给3所学校，每校至少一个名额且各校名额各不相同，则分配方法的种数为（）A . 21B . 36C . 6D . 2166. （2分） (2019高二下·兴宁期中) 从1，2，3，4，5中选3个数，用ξ表示这3个数中最大的一个，则E(ξ)＝（）A . 3B . 4.5C . 5D . 67. （2分）若对任意的x有f'(x)=4x3且f(1)=-1，则此函数的解析式是（）A . f(x)=x4B . f(x)=x4+2C . f(x)=x4-2D . f(x)=x4-18. （2分） (2018高二上·定远期中) 已知，则（）A .B .C .D . 以上都不正确9. （2分） (2017高二下·长春期中) 的值为（）A . 0B .C . 2D . 410. （2分）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f'(x)>x-1则不等式的解集为（）A . ｛x|-2<x<2}B . {x|x>2}C . {x|x<2}D . {x|x<-2或x>2}11. （2分）一点沿直线运动，如果由起点起经过t秒后的距离，那么速度为零的时刻是（）A . 1秒末B . 2秒末C . 3秒末D . 4秒末12. （2分） (2016高二下·清流期中) 已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能够成锐角三角形的个数为（）A . 8B . 24C . 36D . 12二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·吉林月考) 若，则 ________．14. （1分） (2019高二下·诸暨期中) 将编号为1，2，3，4，5，6，7的七个小球放入编号为1，2，3，4，5，6，7的七个盒中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为________.15. （1分）(2017·虎林模拟) 若直线x+ay﹣1=0与2x﹣4y+3=0垂直，则二项式（ax2﹣）5的展开式中x的系数为________．16. （1分）(2020·浙江模拟) 已知随机变量的分布列如下表，若，则a=________，________.012P a b三、解答题 (共4题；共40分)17. （5分） (2019高一上·吴忠期中) 已知，（1）求的值;（2）解不等式 .18. （10分）(2016·商洛模拟) 《城市规划管理意见》中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪．各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从[25，55]岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：认同人数占组数分组认同人数本组人数比第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3（1）完成所给频率分布直方图，并求n，a，p．（2）若从[40，45），[45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在[40，45）内的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．19. （10分）已知函数f（x）= +x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过点（0，1），求实数a的值．（Ⅱ）求证：当a＜0时，函数f（x）至多有一个极值点．（Ⅲ）是否存在实数a，使得函数f（x）在定义域上的极小值大于极大值？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．20. （15分）(2017·平谷模拟) 为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（Ⅰ）已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；（Ⅱ）若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选到的男生人数为X，求随机变量X的分布列；（Ⅲ）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小．（只需写出结论）参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。
浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷
浙江省绍兴市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）对抛物线y2=4x，下列描述正确的是（）A . 开口向上，焦点为(0,1)B . 开口向上，焦点为C . 开口向右，焦点为(1,0)D . 开口向右，焦点为2. （2分） (2017高一上·济南月考) 已知是异面直线，平面，平面，直线满足，且，则（）A . ，且B . ，且C . 与相交，且交线垂直于D . 与相交，且交线平行于3. （2分）(2017·芜湖模拟) 设P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角面BDD1B1（含边界）内的点，若点P到平面ABC、平面ABA1、平面ADA1的距离相等，则符合条件的点P（）A . 仅有一个B . 有有限多个C . 有无限多个D . 不存在4. （2分）在平面直角坐标系xOy中，己知圆C在x轴上截得线段长为，在y轴上截得线段长为.圆心C的轨迹方程是（）B .C .D .5. （2分） (2019高三上·西湖期中) 如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①，②CF与EN所成的角为,③ //MN ，④二面角的大小为 ,其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）设圆和圆是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是（）①②③④⑤A . ①③⑤B . ②④⑤C . ①②④7. （2分） (2017高二下·黄山期末) 过双曲线﹣ =1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足是恰在线段OF（O为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（）A . 2B .C .D .8. （2分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到平面A1C1的距离是直线BC的距离的2倍，点M是棱BB1的中点，则动点P所在曲线的大致形状为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共8分)9. （1分）已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2 ．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为________ ．10. （1分）(2016·天津模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是________．11. （2分） (2018高二上·浙江月考) 平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是________，其方程是________.12. （1分） (2016高二上·如东期中) 过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M 为线段AB的中点，则直线l的方程为________13. （1分）(2018·荆州模拟) 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．14. （1分）如图，某流动海洋观测船开始位于灯塔B的北偏东θ（0＜θ＜）方向，且满足2sin2（+θ）﹣cos2θ=1，AB=AD，在接到上级命令后，该观测船从A点位置沿AD方向在D点补充物资后沿BD方向在C 点投浮标，使得C点于A点的距离为4 km，则该观测船行驶的最远航程为________ km．15. （1分） (2019高二上·丽水期中) 已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线方程为2x±3y=0，焦距为2 ，则双曲线C的标准方程为________．三、解答题 (共5题；共35分)16. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：平面PDC⊥平面PAD．17. （5分）(2017·石家庄模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（x﹣1）2+y2=1（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点F（1，0）．18. （10分） (2018高二上·阜城月考) 已知中心在坐标原点的椭圆的长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆的离心率是 .（1）求椭圆的方程；（2）过点的动直线与椭圆相交于两点.若线段的中点的横坐标是，求直线的方程.19. （5分）(2012·福建) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°，求AB的长．20. （10分） (2017高二下·普宁开学考) 已知F1、F2分别为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，且离心率为，点A（﹣，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，使直线F2M与F2N的倾斜角互补，且直线l 是否恒过定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共8分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共35分) 16-1、18-1、18-2、19-1、第11 页共12 页20-1、20-2、第12 页共12 页。
浙江省绍兴市高二下学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知复数z的实部是，虚部是2，其中为虚数单位，则在复平面对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）夏季高山上气温从山脚起每升高100m降低0.7℃，已知山顶的气温是14.1℃，山脚的气温是26℃．那么，此山相对于山脚的高度是（）A . 1500 mB . 1600 mC . 1700 mD . 1800 m3. （2分） (2019高一上·林芝期中) 函数的奇偶性是（）A . 奇函数非偶函数B . 偶函数非奇函数C . 奇函数且偶函数D . 非奇非偶函数4. （2分）(2019·永州模拟) 已知集合，，则（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一下·汕头期末) 函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一上·安吉期中) 已知f（x）= ，则f[f（-3）]的值为（）A . 3B . 2C .D .7. （2分） (2018高二下·惠东月考) 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象.若在上单调递减，则φ 的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分）已知扇形的圆心角为π，半径为4，则扇形的面积S为（）A . 3πB . 4πC . 6πD . 2π9. （2分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数f（x+）是偶函数，下列判断正确的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为2πB . 函数f（x）的图象关于点（， 0）d对称C . 函数f（x）的图象关于直线x=﹣对称D . 函数f（x）在[，π]上单调递增10. （2分）下列条件能形成集合的是（）A . 充分小的负数全体B . 爱好飞机的一些人C . 某班本学期视力较差的同学D . 某校某班某一天所有课程二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2018高一下·宁夏期末) 已知，，则 =________.12. （1分）(2020·晋城模拟) 已知向量，，若，则 ________．13. （1分） (2019高二下·临海月考) y＝lgx－ex ,y'=________14. （1分） (2019高二下·上海月考) 已知向量，，若，且，，则 ________.三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分） (2019高一上·嘉兴期中) 若函数f（x）=（2a-1）x-3-2，则y=f（x）的图象恒过定点________，又f（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知是定义在上的奇函数,且当时, ,则的值为________．17. （1分）(2018·江苏) 如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2016高二下·广州期中) 已知二次函数f（x）=ax2+bx﹣3在x=1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．19. （10分）已知函数f（x）=2sin（3x﹣），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期，单调减区间；（2）若x∈[0， ]，求f（x）的值域．20. （10分）已知| |=2，| |=1，（﹣）•（2 + ）=8．（1）求与的夹角θ；（2）求|2 ﹣ |．21. （10分）(2020·沈阳模拟) 已知函数 .（1）求的单调区间与极值；（2）当函数有两个极值点时，求实数a的取值范围. 22. （10分） (2017高二下·太原期中) 已知函数f（x）=x3+ ，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：f（x）≤ ．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、填空题 (共3题；共3分)15-1、16-1、17-1、四、解答题 (共5题；共50分) 18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省绍兴市2023-2024学年高二上学期期中数学试卷含解析
春晖2023-2024学年第一学期高二数学期中试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线:1l y x =+，则该直线的倾斜角是（）A.π4B.π3 C.2π3D.3π4【答案】A 【解析】【分析】利用斜率与倾斜角的关系计算即可.【详解】设该直线倾斜角为[)()0,παα∈，由题意可知πtan 1tan 4α==，故π4α=.故选：A2.圆221:(2)(1)9C x y -++=与圆222:(2)(2)8C x y ++-=的位置关系为（）A.内切 B.相交C.外切D.外离【答案】B 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可.【详解】圆221:(2)(1)9C x y -++=的圆心1(2,1)C -，半径13r =，圆222:(2)(2)8C x y ++-=的圆心2(2,2)C -，半径2r =所以125C C ==，121233r r r r +=+-=-1233C C -<<+，故两圆相交.故选：B.3.过(1,1),(2,1)-两点的直线方程为（）A.210x y --=B.230x y -+=C.230x y +-=D.230x y +-=【答案】C 【解析】【分析】根据两点式方程直接求解即可.【详解】解：∵直线过两点(1,1)和(2,1)-，∴直线的两点式方程为(1)1(1)y ----＝212x --，整理得230x y +-=.故选：C.4.平面α的一个法向量()2,0,1n =，点()1,2,1A -在α内，则点()1,2,3P 到平面α的距离为（）A.B.2C.5D.10【答案】C 【解析】【分析】由点到平面距离的向量法计算．【详解】(2,0,2)PA =--，cos ,10n PA n PA n PA⋅<>==-所以点()1,2,3P 到平面α的距离为31065cos ,105d PA n PA =<>==．故选：C ．5.“221a b +>”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案.【详解】直线20ax by ++=与圆221x y +=相交2214d a b ⇔=⇔+><，显然，221a b +>推不出224a b +>，而224a b +>可推出221a b +>，故是必要不充分条件.故选：B.6.已知双曲线C 的焦点与椭圆E ：221167y x +=的上、下顶点相同，且经过E 的焦点，则C 的方程为（）A.22197x y -= B.221916y x -=C.22197y x -= D.221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】设双曲线方程为22221y x a b-=，由题意算出22,a b 即可.【详解】椭圆E ：221167y x +=，上、下顶点分别为()0,4，()0,4-，上、下焦点分别为()0,3，()0,3-.因为双曲线C 的焦点与E 的上、下顶点相同，且经过E 的焦点，设双曲线方程为22221y x a b -=，则有3a =，4c =，2227b c a =-=，所以双曲线C 的方程为22197y x -=.故选：C7.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为3，P 为双曲线右支上一点，且满足2212PF PF -=12PF F △的周长为（）A. B.2+ C.4+ D.4【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线的离心率列方程，由此求得,a c ，结合双曲线的定义求得12PF PF +，由此求得12PF F △的周长.【详解】由题意可得1b =，c =，即有1233e a ==，可得a =2c =，P 为双曲线右支上一点，可得122PF PF a -==，又()()22121212PF PF PF PF PF PF -=-+=⋅可得12PF PF +=则12PF F △的周长为24c +=+故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率和定义，属于基础题.8.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若1ABF 为正三角形，则该椭圆的离心率为（）A.63B.66 C.2D.33【答案】D 【解析】【分析】根据1ABF 是正三角形，此时AB x ⊥轴，结合椭圆定义，求得三边长，再由22b AF a=，求得a ，b 间的关系，从而求得离心率.【详解】因为1ABF 是正三角形，所以11BF AF AB ==，AB x ⊥轴.设2AF x =，则112BF AF a x ==-，222AB AF x ==，故22a x x -=，解得23ax =，从而2223a BF AF ==.将x c =代入椭圆方程可得22bAF a =，因此223a b a =，得2223b a =，故椭圆的离心率3c e a ===，故选：D.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线()1110l x a y +-+=：，直线2220l ax y ++=：，则下列结论正确的是（）A.1l 在x 轴上的截距为1-B.2l 过定点()0,1-C.若12l l //，则1a =-或2a =D.若12l l ⊥，则23a =【答案】ABD【解析】【分析】根据直线截距的定义可判定A ，由直线方程可求定点判定B ，利用两直线的位置关系可判定C 、D .【详解】由()1110l x a y +-+=：易知01y x =⇒=-，故A 正确；由22200,1l ax y x y ++=⇒==-：，故B 正确；若两直线平行，则有()121a a ⨯=-且121a ⨯≠⨯，解得1a =-，故C 错误；若两直线垂直，则有()212103a a a ⨯+⨯-=⇒=，故D 正确.故选：ABD10.关于曲线C ：222220x y mx y m +-++=，下列说法正确的是（）A.若曲线C 表示圆，则1m ≠B.若1m =，曲线C 表示两条直线C.若2m =，过点()1,1与曲线C 相切的直线有两条D.若3m =，则直线0x y +=被曲线C截得弦长等于【答案】ACD 【解析】【分析】根据圆的一般方程的特点，结合圆的性质和圆的弦长公式逐一判断即可.【详解】A ：222222220()(1)(1)x y mx y m x m y m +-++=⇒-++=-，所以当曲线C 表示圆时，有101m m -≠⇒≠，所以本选项说法正确；B ：当1m =时，由A 可知：22(1)(1)01x y x -++=⇒=且1y =-，所以当1m =时，曲线C 表示点(1,1)-，因此本选项说法不正确；C ：当2m =时，由A 可知：22(2)(1)1x y -++=，因为22(12)(11)1-++>，所以点()1,1在圆22(2)(1)1x y -++=外面，所以过点()1,1与曲线C 相切的直线有两条，因此本选项说法正确；D ：当3m =时，由A 可知：22(3)(1)4x y -++=，圆心(3,1)-到直线0x y +=距离为：=所以弦长为：=，因此本选项说法正确，故选：ACD11.设椭圆C :2212x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（）A.离心率2e =B.12PF PF +=C.12PF F △面积的最大值为1D.直线0x y +=与以线段12F F 为直径的圆相切【答案】BCD 【解析】【分析】根据椭圆的定义、性质及直线与圆的位置关系一一判定选项即可.【详解】由椭圆方程可知椭圆离心率为2e ==，故A 错误；由椭圆定义可知12PF PF +=，故B 正确；当P 在上下顶点时12PF F △1=，故C 正确；以12F F 为直径的圆的圆心为原点，半径为1r ==，而圆心到直线0x y +=的距离1d r ===，即与直线相切，故D 正确.故选：BCD12.矩形ABCD 中，=2AB ，AD =AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，若1cos 3θ=，则下列结论正确的有（）A.四面体ABCD 的体积为3B.点B 与D 之间的距离为C.异面直线AC 与BD 所成角为45°D.直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为3【答案】ACD【解析】【分析】分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，利用向量法求出BD =，可判断B ，由题可得CD ⊥平面ABD ，然后利用棱锥的体积公式可得3V =可判断A ，利用向量法求出,AC BD判断C ，根据等积法结合条件可得直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值判断D.【详解】分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ=，由已知可得，1,2EB FD AE CF EF =====，因为BD BE EF FD =++ ，所以222||()BD BD BE EF FD ==++2222BE EF FD BE FD=+++⋅343)8θ=+++-=，所以BD =，故B 错误；因为2AB CD ==，AD BC ==所以22212CD BD BC +==，即CD BD ⊥，同理AB BD ⊥，又CD AD ⊥，,,AD BD D AD BD =⊂ 平面ABD ，则CD ⊥平面ABD ，所以四面体ABCD 的体积为111223323ABD V S CD =⨯=⨯⨯⨯= ，故A 正确；由题可得，30CAD ∠=︒，60CAB ∠=︒，则()AC BD AC AC AD AB AD A AC B⋅=⋅-=⋅-⋅442cos 608=⨯-⨯︒=︒，则cos2,AC BDAC BDAC BD⋅==⋅，得,45AC BD=︒，所以异面直线AC与BD所成的角为45︒，故C正确；设点D到平面ABC为d，则D ABC C ABDV V--=，所以11123323ABCS d d⋅=⨯⨯⨯=，所以3d=，设直线AD与平面ABC所成角为α，则263sin3dADα===，故D正确.故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1F，2F是椭圆C：22194x y+=的两个焦点，点M在C上，则12MF MF⋅的最大值为________．【答案】9【解析】【分析】根据椭圆的定义可得126MF MF+=，结合基本不等式即可求得12MF MF⋅的最大值.【详解】∵M在椭圆C上∴12236MF MF+=⨯=∴根据基本不等式可得126MF MF+=≥129MF MF⋅≤，当且仅当123MF MF==时取等号.故答案为：9.14.在平面直角坐标系内，点()1,1A-关于直线:10l x y-+=对称的点B的坐标为___________.【答案】()2,2-【解析】【分析】设对称点B为(),m n，根据直线AB l⊥，又AB中点在直线l上，列方程求解,m n，即可得点B的坐标.【详解】解：设对称点B 为(),m n ，则可得AB l ⊥，又直线:10l x y -+=的斜率为1所以1111AB l m k k n +⋅=⨯=--，即0m n +=①又AB 中点11,22m n +-⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上，所以111022m n +--+=，即40m n -+=②联立①②解得：2,2m n =-=，所以点B 的坐标为()2,2-.故答案为：()2,2-.15.已知()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ=______．【答案】5【解析】【分析】根据P ，A ，B ，C 四点共面，由PA xPB yPC =+求解.【详解】解：因为()1,2,3PA = ，()1,1,2PB = ，()2,3,PC λ=，且P ，A ，B ，C 四点共面，所以PA xPB yPC =+ ，则122332x y x y x y λ=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得115x y λ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故答案为：516.若对于一个实常数t ，恰有三组实数对(),a b满足关系式1a b t ++==，则t =______.【答案】1【解析】【分析】根据点到直线的距离和代数式的几何意义求解即可.【详解】由10a b t ++==≥，若0=t ，则需0a b ==与1a b t ++=矛盾，所以0t >，由1a b t ++=，得点(),a b 到直线10x y ++=的距离为=t =，得点(),a b 在圆222x y t +=上，根据题意恰有三组实数对(),a b满足关系式1a b t ++=，等价于圆222x y t +=上恰有三个点满足到直线10x y ++=，圆心()0,0到直线10x y ++=的距离为22=，则需圆的半径2t >，过()0,0作OH ⊥直线10x y ++=于H ，交圆于P ，则,22OH PA t ==-，则要使圆222x y t +=上恰有三个点满足到直线10x y ++=，有)1112PA t t t =-=⇒=⇒=+故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线1l 的方程为240x y +-=，若直线2l 在x 轴上的截距为32，且12l l ⊥.（1）求直线1l 和直线2l 的交点坐标；（2）已知不过原点的直线3l 经过直线1l 与直线2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线3l 的方程.【答案】（1）()2,1（2）250x y +-=【解析】【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式先求得2l ，联立方程计算交点即可；（2）利用截距式计算即可.【小问1详解】设直线1l 和直线2l 的斜率分别为12,k k ，由题意知112k =-，∵12l l ⊥，∴22k =．又因为直线2l 在x 轴上的截距为32，所以直线2l 过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以直线2l 的方程为322y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即2l :230x y --=.联立240230x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得21x y =⎧⎨=⎩，即交点为()2,1.【小问2详解】因直线3l 不过原点，设其在x 轴上的截距为a ，方程为12x y a a+=，因为过()2,1，所以2112a a +=，解得52a =，所以直线3l 的方程250x y +-=.18.已知空间向量()1,1,0a =r ，()1,0,2b =-r .（1）若a kb +r r 与2a b + 共线，求实数k 的值；（2）若a kb +r r 与2a b + 所成角是锐角，求实数k 的范围．【答案】（1）12k =（2）{1k k >-且12k ≠}．【解析】【分析】（1）利用空间向量共线的坐标表示计算即可；（2）利用空间向量夹角的坐标表示计算即可.【小问1详解】由已知可得(1,1,2)a kb k k +=- ，2(1,2,2)a b += ．因为a kb +r r 与2a b + 共线，所以112122k k -==，解得12k =．【小问2详解】由(1)知(1,1,2)a kb k k +=- ，2(1,2,2)a b += ．所以()(2)(1,1,2)(1,2,2)1240a kb a b k k k k +⋅+=-⋅=-++> ，∴1k >-．又当12k =时，a kb +r r 与2a b + 共线，所以实数k 的范围为{1k k >-且12k ≠}．19.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.【答案】（1）222220x y x y +++-=；（2）1x =或512190x y -+=.【解析】【分析】（1）设(),P x y ，根据动点P 满足PA =，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l 的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【小问1详解】设(),P x y ，由||||PA PO ==，化简得222220x y x y +++-=，所以P 点的轨迹C 的方程为222220x y x y +++-=.【小问2详解】由（1）知，轨迹C ：22(1)(1)4x y +++=表示圆心为(1,1)C --，半径为2的圆，当直线l 的斜率不存在时，方程为1x =，圆心(1,1)C --到直线l 的距离为2，l 与C 相切；当直线l 的斜率存在时，设():21l y k x -=-，即20kx y k -+-=，2=，解得512k =，因此直线l 的方程为51901212x y -+=，即512190x y -+=，所以直线l 的方程为1x =或512190x y -+=.20.如下图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAB ⊥平面ABCD ，又2PA =.（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）设22AD AB ==，AB AD ⊥，//AD BC ，平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值为255，求BC 的长．【答案】（1）2（2）14【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质判定线面垂直即证PA ⊥平面ABCD 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.【小问1详解】如图，在平面ABCD 中取一点E ，并过点E 分别作直线a AD ⊥，b AB ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，a ⊂平面ABCD ，所以a ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以PA a ⊥．同理因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，b ⊂平面ABCD ，所以b ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，所以PA b ⊥，又a b E = ，,a b ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ，即点P 到平面ABCD 的距离为2PA =.【小问2详解】如图所示，以A 点为原点，分别以,,AD AB AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设()0BC t t =>，则()()()()0,1,0,2,0,0,0,0,2,,1,0B D P C t ，∴()0,1,2PB =- ，()2,0,2PD =- ，()2,1,0DC t =- ，(),0,0BC t = ．设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则200m PB y z m BC tx ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令10,2z x y =⇒==，得()0,2,1m = ．同理，设平面PCD 的法向量为(),,n p q r = ，有()22020n PD p r n DC t p q ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12,1p q t r =⇒=-=，即()1,2,1n t =- ．由题意知5m n m n ⋅==⋅ ，解得14t =，所以BC 的长为14．21.已知双曲线：C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)与22142-=y x 有相同的渐近线，且经过点M .（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ､B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值.【答案】（1）2212y x -=；（2）2m =±.【解析】【分析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点M 计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出AB 的中点坐标，代入圆的方程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为22(0)42λλ-=≠y x，又因为双曲线过点M ，221422λ=-=-，所以双曲线的方程为：2212y x -=（2）由2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22220x mx m ---=设()11,A x y ()22,B x y ，则122x x m +=，2122x x m ⋅=--，所以124y y m +=则AB 中点坐标为(),2m m ，代入圆2220x y +=得2520=m ，所以2m =±.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，112A F =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ，2A P ，2A Q ，1AQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ．（i ）求12k k 的值；（ii ）若()142353k k k k +=+，求2F PQ △面积的取值范围．【答案】22.2211612x y +=23.（i ）34-；（ii）0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）结合离心率与焦点到顶点的距离计算即可得；（2）（i ）设出直线，联立后消去x 得与y 有关的韦达定理后求解即可得；（ii ）借助（i ）中的结论，将2F PQ △面积用未知数表达后结合换元法借助函数性质求最最值即可得.【小问1详解】由于椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，故12c a =，又112A F a c =-=，所以4a =，2c =，22212b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.【小问2详解】（i ）设l 与x 轴交点为D ，由于直线l 交椭圆Ｃ于P 、Q 两点（P 、Q 在x 轴的两侧），故直线l 的的斜率不为0，直线l 的方程为x my t =+，联立2211612x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则222(34)63480t y mty m +++-=，则2248(1216)0t m ∆=-+>，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，又1(4,0)A -，2(4,0)A ，故122211111222111134444163PA PA y y y y k k k k x x x y ==⋅===-+---，同理123434QA QA k k k k ==-．（ii ）因为()142353k k k k +=+，则2323335()443k k k k --=+，23232335()43k k k k k k +-⋅=+．又直线l 交与x 轴不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k =-．所以121294420y y x x ⋅=---，1212209(4)(4)0y y ty m ty m ++-+-=，于是221212(920)9(4))(9(4)0t y y t m y y m +++-+-=，222226(920)9(4)9(4)03483434m t t m mt t t m -+⋅+-+--+⋅=+，整理得2340m m --=，解得1m =-或4m =，因为P 、Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同交点，因此1m =-，直线l 恒过点(1,0)D -，此时122634t y y t +=+，1224534y y t -=+，21222222122122133451845()4()42223434346F PQ t t y y y y y F D t t t y -+=⋅-=--++++△S ，245t λ+=，由直线l 交与x 轴不垂直可得5λ>，故222218457272134313F PQ t t λλλλ+===+++△S ，因为7213y λλ=+在5,)+∞上为减函数，所以2F PQ △面积的取值范围为5(0,)2.【点睛】本题关键在面积的表示及运算，结合换元法解决最后分式不等式的范围问题.。
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷
浙江省绍兴市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知是等差数列的前项和，若，，则（）A . 5B . 10C . 15D . 202. （2分）若，则下列说法正确的是（）A . 若a>b,则a-c>b-cB . 若a>b，则C . 若ac<bc，则a<bD . 若a>b，则3. （2分）在等差数列中，以表示数列的前n项和，则使达到最大值的n是（）A . 18B . 19C . 20D . 214. （2分）在平面直角坐标系中，已知若目标函数的最大值是10，则实数t的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分）已知数列满足，，则等于（）A .B .C . 0D .6. （2分） (2019高三上·凤城月考) 在中三条边，，成等差数列,且，，则的面积为（）A .B .C .D .7. （2分）设等差数列的前n项和为，若，则（）A . 54B . 45C . 36D . 278. （2分） (2016高一下·辽源期中) 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3 ，则AC=（）A . 4B . 2C .D .9. （2分） (2018高一下·重庆期末) 已知各项均为正的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二上·洛阳期中) 已知锐角三角形的三边分别为，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一下·辽源期中) 在正项数列{an}中，a1=2，点（，）（n≥2）在直线x ﹣ y=0上，则数列{an}的前n项和Sn等于（）A . 2n﹣1﹡B . 2n+1﹣2C . 2 ﹣D . 2 ﹣12. （2分）在，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A . b = 10，A = 45°，B = 70°B . a = 60，c = 48，B = 100°C . a = 7，b = 5，A = 80°D . a = 14，b = 16，A = 45°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·怀仁期末) 已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为________．14. （1分）已知x＞0，y＞0且x+y=5，则lgx+lgy的最大值是________．15. （1分） (2016高一上·如皋期末) 已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为________．16. （1分）(2018·凉山模拟) 设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二上·阳朔月考) 已知，不等式的解集是，（1）求的解析式；（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．18. （10分） (2016高二上·辽宁期中) 设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．19. （10分） (2017高二上·平顶山期末) 已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+ px ﹣p+1=0（p∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC= ，求p的值．20. （10分） (2017高一下·承德期末) 等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若a3，a5分别是等差数列{bn}的第4项和第16项，求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．21. （5分）(2018高二上·阜阳月考) 在中，角A,B,C 的对边分别是，已知（1）求角B的大小（2）求三角形ABC的面积。
2023-2024学年浙江省绍兴市上虞中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省绍兴市上虞中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题只有一项是符合要求） 1．若直线l 经过坐标原点和（3，﹣3），则它的倾斜角是（ ） A ．135°B ．45°C ．45°或135°D ．﹣45°2．直线x ﹣2y ﹣1＝0与直线x ﹣2y ﹣c ＝0的距离为2√5，则c 的值为（ ） A ．9B ．11或﹣9C ．﹣11D ．9或﹣113．方程x 2+y 2﹣ax +2y +1＝0不能表示圆，则实数a 的值为（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．24．若圆C 1：x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣6x ﹣10y ﹣2＝0，则C 1，C 2的公切线条数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知m ∈R ，则“2＜m ＜6”是“曲线x 2m−2+y 26−m=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．直线x +y +3＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆（x ﹣3）2+y 2＝2上，则△ABP 面积的最小值为（ ） A ．6B ．6√2C ．12D ．12√27．三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，N 是BC 的中点，点P 在A 1B 1上，且满足A 1P →=λA 1B 1→，当直线PN 与平面ABC 所成的角最大时的正弦值为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．2√558．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于AB 两点，P 为AB 的中点，4|F 1P|=√13|AB|，tan∠APF 1=32，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√5−12二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
浙江省绍兴市会稽联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题一、单选题1．若2A 20n =，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．设函数()1f x x =，则()1f '=（ ）A ．-1B ．12- C ．12 D ．13．已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．已知随机变量,X Y 的分布列分别为则（ ）A ．()()()(),E X E Y D X D Y ==B ．()()()(),E X E Y D X D Y =>C ．()()()(),E X E YD X D Y >> D ．()()()(),E X E Y D X D Y =<5．甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ）A ．27种B ．36种C ．54种D ．72种6．将3个1和2个0随机排成一排，则2个0不相邻的概率是（ ）A ．13B ．23 C ．25 D ．357．甲盒中装有2个红球，2个白球，乙盒中装有2个红球，3个白球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒中，再从乙盒中随机取出一个球是红球的概率为（ ）A ．12 B ．512 C ．712 D ．348．已知函数()21e 2=-x a x x f 在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值是（ ） A ．22e B ．e C ．22e - D ．1e -二、多选题9．下列有关排列数､组合数的等式中成立的是（ ）A ．3588C C =B ．234889C C C +=C ．333883A C A =D ．5487A 8A =10．已知函数()3f x x ax b =++，则（ ）A ．()00R,0x f x ∃∈=B ．()()00R,R,x x f x f x ∃∈∀∈≥C ．函数()y f x =的图象是中心对称图形D ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在()0,x -∞单调递减11．已知0a >，且e 2b a +=，则（ ）A ．1a b +≤B ．ln e 1b a +≤C ．ln 0a b -≤D ．e 2a b +≥三、填空题12．乘积()()()121231234a a b b b c c c c ++++++展开后的项数是.13．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点(3,0)（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种．（用数字作答）14．对一个物理量做n 次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差10,n N n ε⎛⎫~ ⎪⎝⎭，为使误差()0.5,0.5n ε∈-的概率不小于0.9545，则至少需要测量的次数是（若()2,X N μσ:，则(2)0.9545P X μσ-<=）.四、解答题15．在二项式5x⎛ ⎝的展开式中 (1)求各二项式系数的和；(2)求含2x 的项的系数.16．盒子中装有4个红球，2个白球.(1)若依次随机取出2个球，求在第一次取到红球的条件下，第二次取到白球的概率；(2)若随机取出3个球，记取出的球中白球个数为X ，求X 的分布列及均值.17．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1，则译码为1）.(1)若采用单次传输方案，依次发送1,0,1，求依次收到1,0,1的概率；(2)证明：当00.5α<<时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率.18．已知函数()()211ln 2f x x a x a x =+--. (1)当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)证明：当0a >时，()321322f x a a a >--+. 19．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ; （ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？。
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浙江省绍兴市高二数学期中试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共60分)
1. （5分） (2016高二下·黑龙江开学考) 记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（）种．
A . 240
B . 360
C . 480
D . 720
2. （5分）(2017·资阳模拟) 将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是（）
A . 40
B . 60
C . 80
D . 100
3. （5分）“中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕，文艺表演结束后，在7所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果M、N为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M后N 的次序（M、N两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有（）
A . 120种
B . 240种
C . 480种
D . 600种
4. （5分）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（）
A . 60种
B . 96种
C . 120种
D . 48种
5. （5分）如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有（）
A . 11种
B . 20种
C . 21种
D . 12种
6. （5分） (2017高二下·深圳月考) 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）
A . 540
B . 300
C . 180
D . 150
7. （5分）将4个红球与2个蓝球（这些球只有颜色不同，其他完全相同）放入一个3×3的格子状木柜里（如图所示），每个格至多放一个球，则“所有红球均不位于相邻格子”的放法共有（）种．
A . 30
B . 36
C . 60
D . 72
8. （5分） (2016高三上·宝清期中) 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（）
A . 234
B . 346
C . 350
D . 363
9. （5分）要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则符合按性别比例分层抽样的概率为（）
A .
B .
C .
D .
10. （5分）(2012·新课标卷理) 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）
A . 12种
B . 10种
C . 9种
D . 8种
11. （5分） 6名同学排成一排，其中甲乙两人必须排在一起的不同排法有（）
A . 240种
B . 360种
C . 720种
D . 120种
12. （5分） (2018高二下·舒城期末) 已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共20分)
13. （5分） (2016高二下·泰州期中) 2010年上海世博会某接待站有10名学生志愿者，其中4名女生，现派3名志愿者分别带领3个不同的参观团，3名带领志愿者中同时有男生和女生，共有________种带领方法．
14. （5分） (2016高二下·南安期中) 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社
会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有________种．
15. （5分） (2017高二下·宁波期末) 小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为________．
16. （5分）(2019·湖州模拟) 现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有________种.（结果用数字表示）
三、解答题 (共6题；共70分)
17. （10分）用这六个数字，完成下面两个小题．
（1）若数字不允许重复，可以组成多少个能被整除的且百位数字不是的不同的五位数；
（2）若直线方程中的可以从已知的六个数字中任取个不同的数字，则直线方程表示的不同直线共有多少条？
18. （12分） (2016高二下·民勤期中) 用0，1，2，3，4，5共6个数字，可以组成多少个没有重复数字的6位奇数？
19. （12分） (2016高二下·南阳期末) 3个人坐在一排6个座位上，问：
（1） 3个人都相邻的坐法有多少种？
（2）空位都不相邻的坐法有多少种？
（3）空位至少有2个相邻的坐法有多少种？
20. （12分） (2017高一下·池州期末) 将A，B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率为多少？
21. （12分） (2018高二下·泰州月考) 设，，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加，和记为 ,较小元素之和记为 .
（1）当时,求 ,的值；
（2）求证:为任意的 ,，为定值.
22. （12分）(2017·苏州模拟) 综合题。
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）证明：．
参考答案一、单选题 (共12题；共60分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7、答案：略
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共20分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共70分)
17-1、
17-2、
18-1、
19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、
20-3、21-1、
21-2、22-1、
22-2、22-3、。