高等数学练习题 ()

＜高等数学＞练习题一．判断正误1．x y 3cos =是基本初等函数。

2．有限个无穷小的代数和为无穷小。

3．函数在某点可导，则在该点连续。

4．函数的微分大于函数的增量。

5．极大值总比极小值大。

6．若()()x g x f '='，则()()x g x f =。

7．如果函数()x f y =处处可导，则曲线()x f y =处处有切线。

8．若()x f y =在0x 处无定义，则()x f x x lim 0−→−不存在。

9.两个有极限函数的积的极限等于这两个函数极限的积。

10．)(x f 的极值点一定是驻点或不可导点，反之则不成立。

11．设函数)(x f y =在区间),(b a 内的二阶导数存在，且0,0<''>'y y ，则曲线)(x f y =在区间),(b a 内单调递增且凸。

12．某物体沿直线做变速运动，其运动规律为()t s s =，则在时刻t 的速度()tt s v =。

13．一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。

14．()0='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x f 。

15．若()x f x x lim 0−→−A =，则()()A x f xf o o=+=-00。

16．C x arc dx x +-=+⎰cot 112。

17．()[]()C x F dx x F o o +='⎰。

18．x x x x d cos 1sin cos 1sin -=-⎰ ； 19。

()()05cos 133347=-+⎰-x x dxx ； 20．24321111xdx x dx d +=+⎰ ； 21。

若(),0=⎰dx x f b a 则()0=x f 。

22．1sin lim=∞→x x x 。

23．C x xdx ++=⎰211arctan 24．曲线211+-=x y 有垂直渐进线1=x 。

25．若()x f 有一个原函数，则它就有无数多个原函数。

26．在()b a ,区间上连续的函数()x f 一定有最大值和最小值。

27．0,1,1==-=y x e y x所围成的图形面积为()d xe x ⎰-101。

28．函数()x f 在点0x 处可微，则()x f 在点0x 处连续。

29．若()x f 在[]b a ,上可导，且()()a f b f =，则至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf 。

30．若(),0=''o x f 则()()o o x f x ,为函数()x f 的拐点。

31．定积分的值只与被积函数和积分区间有关，与积分变量的符号无关。

32．函数的每条积分曲线上横坐标相同点处的切线互相平行。

33. 无穷等比级数时发散。

当时收敛，其和为当1;11,0≥-<∑=q qaq aq ni n 34.函数的微分是可导函数在一点处改变量的线形主部。

35．函数商的导数等于函数导数的商。

36．().2sin sin 2sin 24nx nx n nx ='37．任何二次函数必有唯一的极值点。

38．函数xy 1=在定义域内既无最大值又无最小值。

39. 有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。

40．若可导函数)(x f 在),(b a 内只有一个极值点0x ，则的最值。

就是)()(0x f x f二．单项选择题1．()=+∞→x xx x sin lim A ．1； B 。

0； C 。

不存在； D 。

∞。

2．下列各式正确的是（ ）A ．()e x xx =+∞→11lim ； B 。

()e xxx =+→1lim 0； C 。

()e xxx =+∞→11lim ；D 。

()e xxx =+∞→111lim 。

3．下列说法正确的是（ ）A ．两个无穷大的差值仍是无穷大；B 。

两个无穷小的积仍是无穷小；C ．一个无穷小与一个无穷大的积仍为无穷小；D 。

两个无穷小的商仍为无穷小。

4. 设()o x f '存在，则()()=--+→hh x f h x f o o h 3lim（ ）A ．一定存在；B 。

不一定存在；C 。

等于()o x f '4；D 。

等于()h x f o -'4。

5.已知()()2sin axx f =，则()='a f （ ）。

A ．2cos ax ； B 。

32cos 2a a ； C 。

22cos ax a ； D 。

32cos a a 。

6．=+∞→x x ex 2lim （ ）A ． 1 ；B 。

0 ；C 。

∞；D 。

不存在。

7．曲线13+=x y 在区间()+∞,0内（ ）A ． 下降凸；B 。

下降凹；C 。

上升凸；D 。

上升凹。

8．设(){(){,,0,0,11,1,≤>+<≥==x b x x x x x a x g x f 若()()x g x f +在()+∞∞-,内连续，则（ ）A ． 2,1==b a ；B 。

1,2==b a ；C 。

1==b a ；D 。

2==b a 。

9．设函数()()kx ex f tan =，且()e f ='4π，则=k （ ）A ． 1；B 。

-1；C 。

21； D 。

2。

10．函数()2-=x x f 在2=x 处的导数为（ ） A ． 1 ； B 。

0 ； C 。

-1 ； D 。

不存在。

11．曲线2211x x ee y ---+=，该曲线（ ）A ．没有渐近线；B 。

仅有水平渐近线；C 。

仅有垂直渐近线；D 。

既有水平又有垂直渐近线。

12．若()x f 的导数是x sin ，则()x f 的一个原函数()x F 为（ ） A ．x sin 1+； B 。

x sin 1-； C 。

1+x cos ； D 。

x cos 1-。

13．()x f 在闭区间[]b a ,上连续是()x f 在[]b a ,上可积的（ ）A ．充分且必要条件；B 。

充分非必要条件；C 。

必要非充分条件；D 。

既非必要又非充分条件。

14．设()x f 在[]b a ,上连续，则[]b a ,上至少有一点ξ，使()=ξf （ ） A ．()dx x f ba⎰； B 。

()dx x f a b a b ⎰-1； C 。

()dx x f a b ba⎰-1； D 。

()dx x f a b ⎰。

15．下列广义积分收敛的是（ ） Ａ。

dx x xe⎰∞+ln ； Ｂ。

⎰∞+e x x dx ln ； Ｃ。

()⎰∞+e x x dx 2ln ； Ｄ。

⎰∞+e x x dx ln 。

16.设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x 是在()+∞∞-,内的连续函数，则=a （ ）A ．1；B 。

-1；C 。

0 ；D 。

2 。

三．填空题１．函数x y 3sin =是由（ ）复合而成的。

２．由32,sin ,lg +===x v v u u y 复合而成的函数为（ ）。

3．=+--+∞→231222lim n n n n n 。

4。

d （ ）dx x 2=。

5．函数x x y 53-=的二阶导数是（ ）。

6。

设()xe x xf 33ln +=，则()='1f （ ）。

7．曲线2x y =上（ ）处的切线平行于直线2-=x y 。

8．函数x x y -=331在区间（ ）单调递减。

9。

()=+-∞→x xx 11lim （ ）。

10．曲线x x y 123-=的凹区间是（ ）。

11．()=-⎰dx x e x2cos （ ）。

12．=--⎰-dx xx xx 2222cos 2sin （ ）。

13．曲线3x y =在点（1，1）的法线方程为（ ）。

14．设函数()()a ax ax ax x f ---=23在1=x 处取得极大值-2，则=a （ ）。

15．曲线433x x y ⋅=在点1=x 处的切线斜率为（ ）。

16．=-→xx x x 21sinlim （ ）。

17．设()()x f x f x x x x a ,2,242,⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=在2=x 处连续，则=a （ ）。

18．曲线,231⎩⎨⎧+==t x t y 在2=t 处的切线方程为（ ）。

19．()=-⎰dx x x 10011（ ）。

20．=⎰⎰+→xxx dtt dt t sin 0tan 00tan sin lim （ ）。

21.=∞→x x x sin lim，=→x xx sin lim 0，=→x xx sin lim 2π 。

22.=+--+∞→231222lim n n n n n 。

23。

d （ ）dx x 2=。

24.当可导函数的自变量x 有改变量x ∆时，y ∆、x y∆∆、x y x ∆∆→∆lim 0分别表示 、、 。

25．方程0102=+-y x e y所确定的隐函数的导数dxdy为 。

26．（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ，=b 。

27．函数xxy ln =在区间 单调递增，在区间 单调递减，在区间 是凹的，在区间 是凸的。

28. 设x x x f --=24)(2，则=→)(lim 0x f x ，=→)(lim 2x f x ，=∞→)(lim x f x 。

29．曲线xx y 1-=与横轴交点处的切线方程为 。

30.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(有极大值点3,121==x x ，曲线)(x f y =在点 （2，4）的斜率等于-3，则=a ,=b ,=c ,=d .31.函数xxy ln =的极值点是 ，拐点为 ，渐近线为 。

32．函数)1ln(2x x y +-=在区间 单调递 。

四．求极限1．xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11lim ； 2．⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x 。

3．x x x x ⎪⎭⎫⎝⎛--∞→32lim ； 4．为常数）n m a a x a x nn m m a x ,,0(lim ≠--→； 5．145lim1---→x x x x . 6．()xx x tan 2cos 1lim -→π。

五．证明题1．利用函数单调性证明不等式：当ex e x x>>时1。

2．证明方程135=-x x 至少有一个实根介于1和2之间。

3．证明方程12=xx 至少有一个小于1的正根。

4．试证：对函数()r qx px x f ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间正中间。

六．求下列函数的导数1．2tanln xy = ，求y '； 2．设x y 2sin =，求()n y 。

3．设2sincos 4)(3π-+=x x x f ，求)2(πf '。