解三角形中的边角互换导学提纲讲解学习
解三角形知识点总结
解三角形中的一些常用的知识点——周文强2020年2月28日14:19:071、 正弦定理【边角转换定理】：2sin sin sin a b c R A B C ===（注：R 为ABC ∆的外接圆半径） 边转角：2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===、、 角转边：sin sin sin 222a b c A B C R R R ===、、 适用的的条件：①边的齐次式；②角的正弦齐次式2、 余弦定理【一角三边定理】：22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+−+−−== 22222()2cos 22a c b a c ac b B ac ac+−+−−== 22222()2cos 22a b c a b ab c C ab ab+−+−−== 3、 常用面积公式汇总：面积公式一【已知底和高】：111222ABC a b c S ah bh ch Λ=== 面积公式二【已知两边夹一角】：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B Λ=== （以角为主导） 面积公式三【已知三边】：2a b c p ++=，()()()ABC S p p a p b p c Λ=−−− 面积公式四【已知三点的坐标】： 112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 21213131(,),(,)AB x x y y AC x x y y =−−=−−，2131312111()()()()22ABC S AB AC x x y y x x y y Λ=⨯=−−−−− 4、 面积公式+余弦定理 222tan 4b c a S A +−=， 222tan 4a cb S B +−=，222tan 4a bc S C +−= 5、 中线长定理（D 为BC 的中点）2222()a b c a m +−=，2222()b a c b m +−=，2222()c a b c m +−= 推导：2222222222()22cos cos 00a a a AD c AD b b c a BDA CDA AD m AD a AD a ⎛⎫⎛⎫+−+− ⎪ ⎪+−⎝⎭⎝⎭∠+∠=⇒+=⇒==⋅⋅ 其他两个推导方法一致，这里说明下，a m 表示边a 的中线。
鲁教版初中数学九年级上册《解直角三角形(3)》导学提纲
“2.4 解直角三角形 （3）”导学提纲学习目标：1.能够应用解直角三角形的知识解决有关的问题；2.经历把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题的过程，发展分析和解决问题的能力. 学习过程： 一. 自主探究：1.如图1， Rt △ADC 中，∠ADC =90°，∠A =60°, AC =12,求AD 和CD 的长.①2.如图2， Rt △ADB 中，∠BDC =90°，∠B =45°, CD =36,求BD 的长. ①3.如图3，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12,CD ⊥AB 于D ，你能迅速说出AB 的长吗？①4. 如图4，△ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12, 如何求AB 的长？试写出解题步骤.②二. 合作交流，成果展示：1. 交流上面各题，说说是怎样把锐角△ABC 的问题转化为解直角三角形的？图1B 图2B图3B图42. 一中4题，作△ABC 的高AH （如图5），试一试根据原题条件求AB 如何？3.交流:含有特殊角的三角形，怎样添加辅助线把它转化为直角三角形来解决？三.应用规律，巩固新知：1. △ABC 中，∠A =105°，∠B =45°，AC =12,求AB 的长？2.P45 随堂练习 1、2、33. △ABC 中，∠A =120°，∠B =15°，AC =2, 求AB 的长？③四.自我测评，检测反馈：1.本节课你有哪些收获？你还有那些疑惑？2.当堂检测： ①P45 习题2.8 1②如图，△ABC 中，∠ABC =120°，tan C =21，BC =11, 求AB 的长？④B图5CC3.课外自评：P45 习题2.8 联系拓广五.教（学）后反思“4 解直角三角形（3）”导学提纲设计意图与教学建议①承接上一课时，将学生自然引入到本课时内容.②对①的三问题的概括集结，学生在该探究过程中，很自然体会辅助线分割在解决问题过程中的重要性.③引进方程思想，解题中三角函数关系式确定不同线段间的数量关系，布列简单的方程，解方程求得未知数的值，进而解决问题.④通过本题，让学生认识到特殊角的特殊在于其三角函数值是确定的，添加辅助线是为了形成含确定三角函数值的锐角的直角三角形.。
高中数学_解三角形中的边角互化和面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计本节课根据教材分析及学情分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要以引导启发——交流互动——合作探究的形式来进行教学。
数学教学不但要传授学生课本知识，更要培养学生的数学学习能力。
在教学活动中，力求发挥学生自我发现和观察的能力，突出学生的主体地位，以启发、引导为职责。
提出疑问，引导学生主动观察、主动思考、主动探究、讨论交流；在积极的双边活动中解决疑难，获得知识；整个过程贯穿“疑问”——“思索”——“发现”——“解惑”四个坏节，注重学生思维的持续性和发展性，促进学生数学思维的形成，提高学生的综合素质，实现教学的终极目标。
1、计算机辅助教学2、合作学习通过例题讲解演示的演示，让学生分组讨论、交流、总结，自主完成练习，并通过爬黑板、实物投影，分享合作学习成果。
3、实行课前案、课中案、课后案三案教学，三者有机结合，相互补充形成整体。
学情分析：学生已经学习了正弦定理余弦定理及其推导，了解三角形的边角关系。
对解三角形基本定理、基本题型、基本方法有了了解。
但本部分与必修四三角恒等变换联系较多，学生综合运用公式的能力不足，另外部分学生思维较慢且难有广度，运算能力较差，记忆能力较弱。
效果分析通过对本课题的学习过程，例题和习题的完成情况，在老师巡视和提问中及时发现了问题，纠正了学生出现的错误，促进了学生知识的正迁移，提高了学生的学习效率；根据对学生的学习情绪、学习效果及时进行评价，结合评价结果的反馈，及时调整学习过程、教学方法。
但需重新思考以下问题：(一)如何让学生更容易利用正余弦定理实现边角互化；（二）小组合作学习的协作性如何加强？本人认为应该通过评价体系的改变使学生间相互合作、协调；（三）内容问题化的过程中如何设置问题，使得问题正真具有可接受性、开放性和挑战性。
教学设计本节课根据教材分析及学情分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要以引导启发——交流互动——合作探究的形式来进行教学。
解直角三角形的边角关系
解直角三角形的边角关系解直角三角形的边角关系-解直角三角形常用公式-直角三角形的判定方法-手机版移动版一、直角三角形的判定方法判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²=c²，则以a、b、c为边的三角形是以c 为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。
那么判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
判定7：一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。
（与判定3不同，此定理用于已知斜边的三角形。
）二、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
三、解直角三角形——锐角三角形函数（1）互余角的三角函数值之间的关系：若∠ a+∠ b=90°，那么sina=cosb或sinb=cosa（2）同角的三角函数值之间的关系：①sin^2a+cos^2a=1②tana=sina/cosa③tana=1/tanb④a/sina=b/sinb=c/sinc（3）锐角三角函数随角度的变化规律：角a的tan值和sin值随着角度的增大而增大，cos值随着角度的增大而减小。
直角三角形的定义有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形（rt△）（英文：right triangle）。
四、解直角三角形概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
第63课--三角形的边角转换
第63课三角形的边角转换基本方法：通常可以利用正余弦定理进行边角转换，之后结合诱导公式（通常与三角形内角和有关），两角和差公式，二倍角公式等进行化简.一、典型例题1.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且cos cos cos 2b C c B B +=.求B .答案：6π.解析：因为cos cos 3cos 23b C c B a B +=，根据正弦定理可得sin cos sin cos cos B C C B A B +，因为在ABC ∆中，πA B C ++=，所以sin sin()cos A B C A B =+=，而sin 0A ≠，故cos 2B =，所以6B π=.2.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=，证明：2A B =.答案：见证明证明：根据正弦定理，2cos b c a B +=可化简为sin sin 2sin cos B C A B +=，即()sin sin 2sin cos B A B A B ++=，sin 2sin cos sin()B A B A B ∴=-+sin cos cos sin A B A B =-，()sin sin B A B ∴=-，又(),0,A B ∈π，()B A B ∴=π--或B A B =-，因此A =π（舍）或2A B =.二、课堂练习1.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小.答案：3π解析：由正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，即2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=，所以1cos 2B =，因为0B <<π，所以3B π=.2.已知ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-.求角C .答案：3C π=.解析：由正弦定理得()()()a c a c b a b -+=-，∴222a c ab b -=-，∴2221cos a b c C +-==，即1cos 2C =又因为0C <<π，所以3C π=.三、课后作业1.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1cos 2a C cb -=，求角A 的大小.答案：23π解析：由正弦定理可知，1sin cos sin sin sin()sin cos cos sin 2A C C B A C A C A C -==+=+，所以1cos 2A =-，而0A <<π，所以23A π=.2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos cos b C c B a A a A +=，求角A .答案：3π解析：由正弦定理可得cos cos cos cos sin cos sin cos 2cos cos cos sin cos b C c B b C c B B C C B a A a A a A A A +++===，所以sin cos sin cos sin()sin 2sin cos sin cos sin cos B C C B B C A A A A A A A ++===，则1cos 2A =，因为0A <<π，所以3A π=.3.在ABC ∆中，内角,,ABC 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin B C A B B C A =++=-m n ，且⊥m n .求角C 的大小.答案：23C π=.解析：∵⊥m n ，∴0=⋅m n ，∴()22sin sin sin sin sin 0B C A B A -++=，由正弦定理知，∴222c a b ab =++，又由余弦定理222cos 2b a c C ab +-=，∴1cos 2C =-，又()0,C ∈π，∴23C π=.。
1.4 解直角三角形 (2)导学提纲
九年级 班 姓名：“1.4 解直角三角形 （2）”导学提纲主备课人：实验中学 邢乃先 王明新 新元中学 于保波 刘海波 学习目标：1.能够应用解直角三角形的知识解决有关的问题；2.经历把非直角三角形问题转化为解直角三角形问题的过程，发展分析和解决问题的能力.教学过程：一. 自主探究：1.如图1， Rt ⊿ADC 中，∠ADC =90°，∠A =60°, AC =12,求AD 和CD 的长;①2.如图2， Rt ⊿ADB 中，∠BDC =90°，∠B =45°, CD =36,求BD 的长. ①3.如图3，⊿ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12,CD ⊥AB 于D ，你能迅速说出AB 的长吗？①4. 如图4，⊿ABC 中，∠A =60°，∠B =45°，AC =12, 如何求AB 的长？试写出解题步骤.②二. 合作交流，成果展示：1. 交流上面各题，说说是怎样把锐角⊿ABC 的问题转化为解直角三角形的？图1B 图2B图3 B 图42.一中4题，作⊿ABC 的高AH 试一试根据原题条件求AB.3.交流:含有特殊角的三角形，怎样添加辅助线把它转化为直角三角形来解决？三.应用规律，巩固新知：1. ⊿ABC 中，∠A =105°，∠B =45°，AC =12,求AB 的长？2.P19随堂训练 1、2、33. ⊿ABC 中，∠A =120°，∠B =15°，AC =2, 求AB 的长？③四.自我测评，检测反馈：1.本节课你有哪些收获？你还有那些疑惑？2.当堂检测： ①P19 习题1②如图，⊿ABC 中，∠ABC =120°，tan C =21，BC =11, 求AB 的长？④3.课外自评： P19 试一试五.教（学）后反思B图5CC“4 解直角三角形（1）”导学提纲设计意图与教学建议①承接上一课时，将学生自然引入到本课时内容.②对①的三问题的概括集结，学生在该探究过程中，很自然体会辅助线分割在解决问题过程中的重要性.③引进方程思想，解题中三角函数关系式确定不同线段间的数量关系，布列简单的方程，解方程求得未知数的值，进而解决问题.④通过本题，让学生认识到特殊角的特殊在于其三角函数值是确定的，添加辅助线是为了形成含确定三角函数值的锐角的直角三角形.。
高中数学解题方法系列：解三角形题中边与角的3种转化策略
高中数学解题方法系列：解三角形题中边与角的3种转化策略解答一些解三角形的题目，常常需要运用正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等知识，将已知条件中的边的关系转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式，下面谈谈解三角形题中的边与角转化的常见策略﹒一、将角的正（余）弦关系式转化为边的关系式例1在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知5sin sin sin 4A C B +=，1=b ，14ac =﹒求,a c 的值﹒分析：运用正弦定理将三个角的正弦关系“5sin sin sin 4A CB +=”转化为三条边的关系“b c a 45=+”，联立“45=+c a ”与“14ac =”，解方程组即可求出a 、c ﹒解：由题设并利用正弦定理，得⎪⎩⎪⎨⎧==+4145ac c a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==411c a ，或⎪⎩⎪⎨⎧==141c a ﹒点拨：运用正弦定理将角关系“5sin sin sin 4A C B +=”转化为边关系“b c a 45=+”是解本题的关键﹒例2在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++﹒求A 的大小﹒分析：本题已知条件“2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++”是一个边角混合等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为角；二是将角转化为边﹒本题若将边转化为角，即将已知等式转化为“C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22+++=”，再化简求A 比较困难﹒而将角化成边“c b c b c b a )2()2(22+++=”，化简得：22b a =bc c ++2，再利用余弦定理很容易求出A ﹒解：由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++=，即bc c b a ++=222．由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+=﹒故1cos 1202A A =-= ，﹒点拨：运用正弦定理，将已知的边角混合关系式转化为只含边的关系式是解决本题的切入点、突破口﹒二、将边的关系式转化为角的三角函数关系式解答有关解三角形的问题，有时需要运用正（余）弦定理，将已知条件中边的关系转化为角的三角函数关系式例3设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a B b A c -=．求tan tan A B 的值﹒分析：根据本题要求的结论tan tan A B ，本题应将已知条件的边角混合关系式“3cos cos 5a B b A c -=”中的边a 、b 、c 转化为A sin 、B sin 、C sin ，再根据)sin(sin B A C +=，进一步化简即可求出tan tan A B ﹒解：根据3cos cos 5a B b A c -=以及正弦定理，可得33sin cos sin cos sin()55A B B A c A B -==+，333sin cos sin cos sin sin cos cos sin 555A B B A c A B A B -==+﹒因此，有B A B A sin cos 58cos sin 52=，tan 4tan A B =﹒点拨：运用正弦定理将已知的边角混合关系式转化为只含角的关系式是解决本题的关键﹒例4设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且cos 3a B =，sin 4b A =．求边长a ﹒分析：本题是一道求边长的题目，先将两个已知等式“sin 4b A =”和“cos 3a B =”整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定理将a b 转化为AB sin sin ，化简求出B tan ，再进一步求出B cos 、a ﹒解：将cos 3a B =、sin 4b A =两式相除，有4sin sin sin tan 3cos sin cos b A B A B a B A B===，又通过cos 3a B =知：cos 0B >，则3cos 5B =，5a =．点拨：解本题有两个关键点：1.将两个已知条件等式整合，相除；2.运用正弦定理将a b 转化A B sin sin ．前面分别谈了将角转化为边与将边转化为角两种思路．事实上，一些题目用两种转化方法都可以求解，有时还要综合运用上面两种转化方法，下面举一例说明．例5在ABC △中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知cos 2cos 2cos A C c a B b --=，求sin sin C A 的值．思路1：将边转化为角．运用正弦定理将2c a b -转化为B A C sin sin sin 2-．解法1：在ABC △，由cos 2cos 2cos A C c a B b --=及正弦定理可得cos 2cos cos A C B -=B A C sin sin sin 2-，即B A B C B C B A cos sin cos sin 2sin cos 2sin cos -=-，则B C B C B A B A sin cos 2cos sin 2cos sin sin cos +=+，)sin(2)sin(B C B A +=+，而π=++C B A ，则A C sin 2sin =，即2sin sin =AC ．思路2：将角转化为边．直接运用余弦定理将A cos 、B cos 、C cos 转化为边，得到边的关系式a c 2=，再运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，即可求出sin sin C A 的值．解法2：在ABC △，由cos 2cos 2cos A C c a B b--=可得B a B c C b A b cos cos 2cos 2cos -=-．由余弦定理可得cb c a a b c a a c b a c a c b 22222222222222-+--+=-+--+．整理可得a c 2=，由正弦定理可得2sin sin ==ac A C ．三、三角形三个内角之间的转化根据三角形内角和定理及已知条件，用已知角来表示待求角，也是解三角形问题中常用的转化策略．例6在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知C b B c A a cos cos cos 3+=.（1）求A cos 的值；(2)若332cos cos =+C B ，求C sin 的值．分析：题目所给已知条件关系式是边、角混合式，（1）小题若运用余弦定理化角为边，求解较难．适宜运用正弦定理化边为角，得到关系式：)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=，再根据三角形内角和定理)sin(C B +将转化为A sin ，便可容易求出A cos ．（1）小题已求出A cos ，A 为已知角，C 为待求角，关键是要运用三角形内角和定理将B 转化为)(C A --π，化简332cos )cos(=+--C C A π得C C sin 2cos +=3，再根据平方关系1cos sin 22=+C C ，便可求出C sin ．解：（1）由C b B c A a cos cos cos 3+=及正弦定理得)sin(cos sin cos sin cos sin 3C B C B B C A A +=+=A A A sin cos sin 3=，所以31cos =A ．（2）322cos 1sin 2=-=A A ．由332cos cos =+C B 得332cos )cos(=+--C C A π，展开易得C C sin 2cos +=3．又1cos sin 22=+C C ，所以1sin )sin 23(22=+-C C ．化简整理得02sin 3(2=-C ，02sin 3=-C ，36sin =C ．点拨：注意角之间的转化，将)sin(C B +转化为A sin ，B cos 转化为)cos(C A --π是成功解答本题的关键．练习：1.ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若)cos cos c A a C -=，则cos A =．2.ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，6π=A ，b c 2)31(=+．求C ．3.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，asinAsinB+bcos 2a，求b a．答案：1.33；2.4π；3.2．。
解三角形中的边角互化，就是这么简单！
解三⾓形中的边⾓互化，就是这么简单！⼩数⽼师说先给⼤家通告⼀个好消息，⾼中数学终于具有原创功能了，以后⼤家可以随时在下⾯评论了哈！感谢平台上的各位家长，同学以及⽼师的帮助与⽀持，以后⼩数⽼师还是会⼀如既往的原创好内容，帮助⼤家⼀起成长！谢谢！⾼中阶段的解三⾓形⼀共有3个定理，正弦定理，余弦定理与三⾓形的⾯积公式，没有三⾓函数的公式多，但是考试时⼀般会考察这3个定理的变形，所以，同学们必须对这3个定理⾮常熟悉，才能解题。
变形中，最常⽤的就是“边⾓互化”，下⾯⼩数⽼师重点来介绍⼀下这个应⽤。
例1、（2016桂林⼀模）在△ABC中，⾓A、B、C的对边分别是a,b,c，，，若b∈[1,3]，则c的最⼩值为（）A、2B、3C、D、分析：从题⽬条件看，第⼀个式⼦很明显要进⾏转化，可以发现此式是关于“边”的齐次式，所以可以把边化成⾓，也就是a变为sinA，但是，变完之后就会发现，式⼦⿇烦，⽽且我们也没见过，，式⼦越来越复杂，所以放弃；继续观察，等号左边的分式分⼦分母都含有这⼏个⾓的正弦，但是并不是齐次式，分⼦是1次，分母是2次，能统⼀都变了吗？我们可以稍微试⼀下，先把分⼦上的正弦变为对应的边，分母只能变⼀个，会发现式⼦变为或者是，那到底选择哪个呢？我相信同学们已经有判断了，等号左边的分⼦与余弦定理很像，再联系⼀下余弦定理，我们知道，肯定选择前⾯的式⼦，往余弦定理去扣就可以了。
答案：选择B.注：齐次式，齐次”从字⾯上解释是“次数相等”的意思。
例2、（2016重庆校级模拟）在△ABC中，内A、B、C的对边长别是a,b,c，已知，且sin(A-C)=2cosAsinC，则b=( )A、6B、4C、2D、1分析：本题有2个式⼦，两个式⼦都不是齐次式，好像不能变形，所以，很多同学就没有了思路，但是，第2个式⼦是可以进⾏化简的，左边的式⼦进⾏展开即可，化简为：SinAcosC-cosAsinC=2cosAsinC，所以sinAcosC =3 cosAsinC，此时就可以进⾏边⾓互化了，把正弦值化为边，余弦值也化为边，可以得到边之间的关系，，化简可得：，与第⼀个式⼦联⽴，可以得出b值。
高三第一轮复习边角互化问题及三角形的形状判定
边角互化问题及三角形的形状判定【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1．正弦定理及其变式R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ∆的外接圆的半径）变式1：C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===变式2：C B A c b a sin :sin :sin ::=变式3：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin===2．余弦定理及其变式A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=. 变式：abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形中的一些重要结论 （1）内角和定理及其相关结论：π=++C B A ，)cos(cos ),sin(sin C B A C B A +-=+=，.2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A +=+= （2）大边对大角，大角对大边，即B A B A b a sin sin >⇔>⇔>.（3）A 为锐角00cos 1222>-+⇔>≠⇔a c b A ；A 为钝角00cos 1222<-+⇔<≠-⇔a cb A .方法规律总结1.解三角形问题边角互化：（1）若已知等式（或不等式）中左右均有齐次边，一般利用正弦定理将边化为角； （2）若已知等式（或不等式）中左右均有角的正弦，也可利用正弦定理将角化为边； （3）遇到222,,c b a等，一般用余弦定理求角（范围）.2判定三角形形状主要有下面两种途径：（1）“角化边”：把已知条件（一般是边的一次式、角的正弦或余弦）转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的关系，从而判断三角形形状；.（2）“边化角”：把已知条件（一般是边的二次式或两边之积、角的余弦）转化为内角的三角函数关系，通过三角恒等变换得到内角的关系，从而判断三角形形状.【指点迷津】【类型一】角化边【例1】在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 ( )A ．（0，6π] B ．[6π，π）C ．（0，3π] D ．[3π，π） 【解析】:由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤【答案】C【例2】【2015北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【例3】在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.求证:a,b,c 成等差数列.[解析]：由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ，因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB ，再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列.【类型二】边化角【例1】在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .则角A= . 【解析】：利用正弦定理将条件化为B B A sin 3sin sin 2=,且),2,0(π∈B所以,0sin ≠B 所以23sin =A ,且),2,0(π∈A 所以3π=A .答案：3π【例2】[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .【解析】：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.【例3】[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12.【类型三】三角形的形状判定【例1】（2012年上海理）在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定[解析]: 由条件结合正弦定理,“角化边”得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选C. 答案：C【例2】（2013年陕西理）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为（ ） (A) 锐角三角形(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【解析】：由条件结合正弦定理,“边化角”得A B C C B 2sin cos sin cos sin =+，再由三角恒等变换得A A C B 2sin sin )sin(==+，所以1sin =A ，所以 A 是直角,选B.【答案】B【例3】在ABC ∆中，若)sin()cos(21)sin(C A C B B A +++=-，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．不含060等腰三角形D ．钝角三角形【解析】：由条件可得0901sin )sin(sin cos 21)sin(=⇔==+⇔-=-C C B A B A B A,所以选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1. 在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =CB A ，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】：由5:4:3sin :sin :sin =C B A 及正弦定理得a:b:c=3:4:5，由余弦定理得0432543cos 222=⨯⨯-+=c ，所以角C 为直角.又易知两直角边不相等，选B. 答案：B.2.在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：从角考虑：⇔=+⇔=C B C B C B A cos sin 2)sin(cos sin 2sin0)sin(0sin cos cos sin =-⇔=-C B C B C B ,所以C B =,选A.角化边：c b c b abc b a b a C B A =⇔=-⇔-+⨯=⇔=022cos sin 2sin 22222. 答案：A3．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形【解析】：由正弦定理“边化角”和二倍角公式得：⇔==2cossin 2cos sin 2cos sin C CB B A A 2sin 2sin 2sinCB A ==，又)2,0(2,2,2π∈C B A ，所以2A =2B =2C,所以A=B=C. 答案：D 4. （2013年课标Ⅰ文）已知锐角ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（）A ．10B ．9C ．8D ．5[解析]：由223cos cos 20A A +=得251cos 252=A ，又A 为锐角，所以51cos =A ，由余弦定理有bb 127651222-+=0651252=--⇔b b ，解得5=b . 【答案】D5．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= （ ） A.6π B.3πC.23π D.56π【解析】：将条件用正弦定理“边化角”得B A B C C B A sin 21cos sin sin cos sin sin =+，进而有21sin =B，又a b >，所以=B 6π【答案】A二、填空题6．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．[解析]： ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c＝－14. 答案：－147．（2013年安徽理）设ABC ∆的内角,,A B C所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【解析】:由题意正弦定理有b a 53=，所以a b 53=，又2b c a +=，所以a c 57=，由余弦定理有 21)56()2515(2cos 22222-=÷-=-+=a a ab c a b C ，又),0(π∈C ，所以32π=C .【答案】32π=C8．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．【解析】：利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故ab＝2.答案：2三、解答题 9．在ABC∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a、b、c，已知222a c b-=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.【解析】法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 法二:由余弦定理得: 2222cos ac b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠.所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A CA C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bBC c=，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =. 答案：4b =10. （2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 【解析】：由cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得cos （A -C ）-cos （A+C ）=32，cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32,sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,B A C =故23sin4B =，所以3sin B =或3sin B=（舍去），于是 B=3π 或 B=23π，又由2b ac =知a b ≤或c b ≤，所以B =3π. 答案：B=3π【二级目标】能力提升题组一、选择题1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab( ) （A ）23 （B ）22（C 3（D 2[解析]：将条件用正弦定理“边化角”得A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，进而有A B sin 2sin =，所以2sin sin =A B ，再由正弦定理“角化边”得2sin sin ==ABa b .答案：D2．已知C a b sin =，B a c cos =，则ABC ∆一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】:“边化角”：B A B A B A C B a c cos sin )sin(cos sin sin cos =+⇔=⇔=0sin cos =B A ，又因为0sin ≠B ，所以0cos =A ，所以2π=A ；C A B C a b sin sin sin sin =⇔=，又2π=A ，所以B=C ，综上ABC ∆是等腰直角三角形.“角化边”：2222222cos a c b ac b c a a c B a c =+⇔-+⨯=⇔=，所以2π=A ，后略.【答案】D 二、填空题3．(2016年上海9)已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________[解析]：不妨设7,5,3===c b a ，则1433sin 1413752375cos 222=⇒=⨯⨯-+=A A ，由正弦定理有3373314sin 2=⇒==R A a R.【答案】337． 三、解答题4. (2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB ACAB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小.【解析】：设,,BC a AC b AB c ===,由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A =， 又(0,),A π∈因此6A π=，233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3C B A ⋅=，所以53sin sin()6C C π⋅-=，133sin (cos )2C C C ⋅=，因此22sin cos 233,sin 2320C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=，由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【答案】2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【高考链接】1. （2010上海文数18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 [解析]：由sin :sin :sin 5:11:13A B C=及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 答案：C2. （2016年四川理17）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265bc a bc +-=，求tan B .【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k (k >0)．则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．代入+=中，有+=，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ．（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=bc ，根据余弦定理，有cos A ==．所以sin A ==．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，所以sin B =cos B +sin B ，故tan B ==4．3. （2016全国I ，17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7=c ，ABC ∆33，求ABC ∆的周长． 【解析】：（1）“边化角”，由条件可得C A B B A C sin )cos sin cos (sin cos 2=+21cos sin )sin(cos 2=⇔=+⇔C C B A C ，所以3π=C .“角化边”可得⇔=-+⨯+-+⨯⨯-+⨯c bc a c b b ca b a c a ba c a b )22(22222222222 ba c a b c c ba c a b =-+⇔=⨯-+222222，所以212cos 222=-+=ab c a b C ，所以3π=C .(II)由已知，233sin 21=C ab ，又3π=C ，所以6=ab ，由已知及余弦定理得7cos 222=-+C ab b a ，故1322=+b a ，从而525)(2=+⇒=+b a b a ，所以ABC ∆的周长为75+.。
直角三角形的边角关系专题复习ppt课件
6 3 6 6,渔船不改变航向有触礁 危险。
分组讨论 ,合作交流
3、如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且 建筑物周围没有开阔平整地带．该建筑物顶端宽度AD和高度 DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H．可供使 用的测量工具有皮尺、测倾器．
请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶 端到地面高度HG的方案．具体要求如下：
4．（2010湖北省咸宁市）如图，已知直l1‖l2‖l3‖l4相邻 两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD
5
的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=____5_。
分析：分别作BE⊥l1，DF⊥l1，垂足分别为E、F
E
F
易证：△DFA≌△AEB
∴AF=BE=2
在Rt△DFA中由勾股定理得：
AD AF2 DF2 22 12 5
E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，
CD=3，则tanC等于（ B ）
A.
B.
C.
D.
解：连接BD，∵E、F分别为AB、AD中点，∴BD=2EF=2×2=4
BD 2 CD2 42 32 25 BC 2
BDC 90; tan C BD 4 CD 3
3、在△ABC中，∠C＝90°，则sinA+cosA的（ B ）
sin（__9_0_°__- A_）=cosA
cos（__9_0°__-_A_）=sinA
4、锐角三角函数的范围：_0__＜sinA＜_1__；
_0__＜cosA＜__1__； tanA＞__0__，
当堂训练,巩固提高
考法一：注重对锐角三角函数定义的考查
1、（2010年怀化市）在Rt△ABC中∠C=90°sinA=
北师大版九年级下册数学《解直角三角形》直角三角形的边角关系研讨说课复习课件
AC
6
3
2
A 60
B 90 A 90 60 30
AB 2 AC 2 2
A
2
C
6
B
学以致用
如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落
在离树根24米处.大树在折断之前高多少？
解：利用勾股定理可以求出折断倒下部分
的长度为:
设BD=x m,
∵∠A=30°,∠C=45°,
∴DC=BD=x m,AD= 3 BD= 3 x m,
课堂练习
∵A C = 2( 3 + 1)m ,
∴x+ 3 x= 2( 3 + 1),
∴x= 2,
即 B D = 2 m < 2.1 m ,
∴工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为 2.1 m 的圆形门.
）
(2)R t△A B C 中,
因为 A B =
6米
AC
= 4 3 米,
sin 60
所以 A D - A B = 12- 4 3 ≈5.1 米.
所以改善后的滑梯会加长 5.1 m .
D
300
600
B
C
拓展探究
如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形
为“好玩三角形”,在Rt△ABC中,∠C=90°,若Rt△ABC是“好玩三角
边角： sin A = ∠A的对边
斜边
a
=
c
cos A =
∠A的邻边
斜边
b
=
c
tan A =
∠A的对边
∠A的斜边
a
=
b
B
∠A
的
三角形中的边角关系知识点
三角形中的边角关系知识点三角形是几何学中最基本的图形之一，在三角形中，边角关系是非常重要的知识点。
边角关系指的是三角形中各边与各角之间的关系，包括角的和、角的差、角的内外切关系、角的内分线和外分线等。
下面将详细介绍三角形中的边角关系知识点。
一、角的和和差关系在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
也就是说，对于三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°。
当已知三个角中的两个角度时，可以通过角的和的关系求出第三个角的度数。
例如，已知∠A=45°，∠B=60°，通过角的和关系可以求得：∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-60°=75°除了角的和的关系，还有角的差的关系。
例如，对于任意三角形ABC，有∠A-∠B=∠C。
二、角的内外切关系一个角的内切关系是指这个角的内心位于这个角的顶点的射线上。
在三角形中，任意两个内切角的和为180度。
例如，对于三角形ABC，角A、角B和角C的内切角均为30°。
根据角的内切关系，可以得到：∠A+∠B+∠C=180°30°+30°+∠C=180°∠C=180°-30°-30°=120°角的外切关系与内切关系类似，不同之处在于内切角的内心位于角的内部，而外切角的外心位于角的外部。
同样地，任意两个外切角的和为180度。
三、角的内分线和外分线角的内分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的角的射线。
角的外分线是指从角的顶点出发，将角分成两个相等的补角的射线。
在三角形中，一个角的内分线和外分线有重要的性质：它们与对边相交于三角形的内心和外心。
内心是三角形内切圆的圆心，外心是三角形外接圆的圆心。
四、边与边的关系在三角形中，边与边之间也有一些重要的关系。
1.边的和大于第三边对于任意三角形ABC，边AC和边BC的和大于边AB。
高中数学边角互换定理教案
高中数学边角互换定理教案
一、教学目标：
1. 了解边角互换定理的概念和含义；
2. 熟练运用边角互换定理解题；
3. 培养学生的逻辑推理和解题能力。
二、教学重点：
1. 边角互换定理的理解；
2. 边角互换定理的应用。
三、教学难点：
1. 如何正确运用边角互换定理解题；
2. 如何理解边角互换定理在几何图形中的运用。
四、教学过程：
1. 概念导入（10分钟）
通过举例说明两个三角形的对边与对角相等的现象，并引出边角互换定理的概念。
2. 理论讲解（15分钟）
介绍边角互换定理的定义和原理，让学生明白边角互换定理的表达形式及其作用。
3. 练习演练（20分钟）
在黑板上出示一道边角互换定理的题目，让学生自行解题，并与同桌交流讨论，加深对边角互换定理的理解。
4. 拓展延伸（10分钟）
引导学生思考边角互换定理在其他图形中的应用，让学生自行发现并解答相关问题。
5. 归纳总结（5分钟）
总结本节课学习的内容，强化学生对边角互换定理的理解。
六、作业布置：
1. 完成课堂练习题。
2. 自主学习边角互换定理相关知识，做好笔记。
七、教学反思：
在教学过程中，注重引导学生发现边角互换定理在不同几何图形中的应用，激发学生的思维能力和解决问题的能力。
同时，通过练习演练和拓展延伸，巩固和拓展学生对边角互换定理的理解，提高学生的解题能力。
在教学中要善于引导学生提出问题，并及时纠正学生的错误，促进学生的理解和掌握。
28.2解直角三角形导学提纲
4．在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,斜边上的高h=1,则三边的长分别是______.
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，COSB=___________.
6． 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，AD=2，
2、Rt△ABC中，若sinA= ，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3、在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4、在△ABC中，∠C=90°，sinA=则cosA的值是
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，a= ，b=3，解这个三角形．
6、在△ABC中，∠C为直角，AC=6， 的平分线AD=4 ，解此直角三角形。
则sinA=____；tanB=____．
4、如图在△ABC中，∠C=900，∠A=300.D为AC上一点，AD=10,∠BDC=600,求AB的长
【范例精析】在△ABC中，∠C=900点D在C上，BD=4，AD=BC,cos∠ADC= ,求（1）DC的长；
（2）sinB的值；
【达标测评】
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
1.解直角三角形的定义是什么？
2.说一说P72的探究结果。
3.例1中知道什么，求什么？用到了哪些关系式解决的？运用到什么数学思想方法？
4.例2中除了3的问题外，你还有其他方法求c吗？
当堂训练
1.在△ABC中，∠C=90°，若b= ，c=2，则 tanB=__________
2．在Rt△ABC中，∠C=90°,sinA= ，AB=10，则BC=______．
高三总复习数学课件 边角互化——解三角形的金钥匙
∵sin A≠0，∴cos
C2＝sin C＝2sin
C 2 cos
C2 ，
∵cos C2≠0，∴sin C2＝12，∵C∈(0，π)，∴C＝π3．下同选①．
若选③，由正弦定理得(b－a)2＝c2－ba，
即a2＋b2－c2＝ba，∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝2aabb＝12，
∵C∈(0，π)，∴C＝π3．下同选①．
A＝12．由于0<A<π，故A＝π3．
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得sin
B－sin
C＝
3 3 sin
A．
由(1)知B＋C＝23π，所以sin B－sin23π－B
＝
3 3 sin
π3．
即12sin
B－
3 2 cos
B＝12，sinB－π3＝12．
由于0<B<23π，故B＝π2．从而△ABC是直角三角形．
＝sin
A· 23cos
A＋12sin
A＝
3 2 sin
A·cos
A＋12sin2A
＝
3 4 sin
2A＋14(1－cos
2A)＝12sin2A－π6＋14，
∵A∈0，23π，∴2A－π6∈－π6，76π，
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∴当A＝π3时，sin A·sin B取得最大值为34．
若选②，由正弦定理，得sin Asin π－2 C＝sin Csin A，
(2)设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角． 所以cos C＝a2＋2ba2b－c2＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2⇒(a＋1)(a－3)＜0， 因为a为正整数，所以a＝1,2． 当a＝1时，b＝2，c＝3，不能构成三角形，舍去． 当a＝2时，b＝3，c＝4，满足条件． 综上，当a＝2时，△ABC为钝角三角形．
专题三 第二讲 三角变换与解三角形
第二讲 三角变换与解三角形1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3． 三角恒等变换的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5． 余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .6． 面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7． 三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .1． (2018·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( )A.43B.34C ．－34D ．－43答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102，∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52. 用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2． (2018·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则B 的大小为 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.3． (2018·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． (2012·广东)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于 ( )A ．4 3B ．2 3 C. 3 D.32答案 B解析 利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，∴AC ＝BC ·sin Bsin A ＝32×2232＝2 3.5． (2018·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________.答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.题型一 三角恒等变换例1 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( ) A.22 B.33C. 2D. 3 (2)已知α，β ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 审题破题 (1)利用同角三角函数关系式先求sin α或cos α，再求tan α；(2)注意角之间的关系⎝⎛⎭⎫α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4. 答案 (1)D (2)－5665解析 (1)∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3.(2)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以α＋β＝⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以cos(α＋β)>0.易得cos(α＋β)＝45. 又π2<β－π4<3π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫β－π4<0，易得cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665. 反思归纳 (1)公式应用技巧：①直接应用公式，包括公式的正用、逆用和变形用；②常用切化弦、异名化同名、异角化同角等．(2)化简常用技巧：①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化；②注意利用角与角之间的隐含关系，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，θ＝(θ－φ)＋φ等；③注意利用“1”的恒等变形，如tan 45°＝1，sin 2α＋cos 2α＝1等．变式训练1 (1)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. (2)已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)．∵sin α＝12＋cos α，∴cos α－sin α＝－12，两边平方得1－2sin αcos α＝14，∴2sin αcos α＝34.∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＋sin α＝(cos α＋sin α)2＝ 1＋34＝72，∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－142.题型二 解三角形例2 △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .审题破题 (1)利用正弦定理，化去角B 的三角函数，再化简求值；(2)由条件结构特征，联想到余弦定理，求cos B 的值，进而求出角B . 解 (1)由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ， 又a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，又0°<B <180°，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12.又cos B >0，故cos B ＝22，又0°<B <180°，所以B ＝45°.反思归纳 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练2 (2018·山东)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值．解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－⎝⎛⎭⎫792＝429. 由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ， ∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.题型三 解三角形的实际应用例3 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低，请说明理由．审题破题 首先借助余弦定理列式，通过等量关系求出角C 的大小，进而求AB 的长度；然后借助正弦定理比较三角形的面积大小，并作出判断． 解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ．① 在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得，AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝142＋142－2×142cos C ．② 由①②得：142＋142－2×142cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，整理可得cos C ＝12，又∠C 为三角形的内角，所以∠C ＝60°.又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形， 即AB 的长度是14.(2)小李的设计符合要求．理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，∠C ＝∠D ，所以S △ABD >S △ABC .又已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC 建造环境标志费用较低． 即小李的设计使建造费用较低．反思归纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．变式训练3 (2018·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m /min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．典例 (12分)已知向量a ＝(cos ωx ，sin ωx )，b ＝(cos ωx ，3cos ωx )，其中0<ω<2.函数f (x )＝a ·b －12，其图象的一条对称轴为x ＝π6.(1)求函数f (x )的表达式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，S 为其面积，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝1，b ＝1，S △ABC＝3，求a 的值． 规范解答解 (1)f (x )＝a ·b －12＝cos 2ωx ＋3sin ωx cos ωx －12＝1＋cos 2ωx 2＋32sin 2ωx －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6.[3分] 当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫ωπ3＋π6＝±1，即ωπ3＋π6＝k π＋π2，k ∈Z . ∵0<ω<2，∴ω＝1.[5分]∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .[7分](2)f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 在△ABC 中，0<A <π，π6<A ＋π6<76π，∴A ＋π6＝π2，A ＝π3.由S △ABC ＝12bc sin A ＝3，b ＝1，得c ＝4.[9分]由余弦定理得a 2＝42＋12－2×4×1×cos π3＝13，故a ＝13.[12分]评分细则 (1)f (x )没有化成sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6的得1分；(2)k ∈Z 没写的扣1分；(3)得出A ＝π3的给1分．阅卷老师提醒 (1)三角形和三角函数的结合是高考命题的热点，灵活考查分析、解决问题的能力．(2)此类问题的一般解法是先将三角函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用三角函数求值确定三角形的一个角，然后和正、余弦定理相结合解题． (3)解题中要充分注意在三角形中这个条件，重视角的范围．1． 已知cos (π－2α)sin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α等于( )A ．－72 B.72 C.12D ．－12答案 D解析 cos (π－2α)sin (α－π4)＝－cos 2αsin (α－π4)＝sin (2α－π2)sin (α－π4)＝2cos(α－π4)＝2cos α＋2sin α＝－22，∴sin α＋cos α＝－12，故选D.2． (2012·江西)已知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，若a ＝f (lg 5)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15，则 ( )A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．a ＋b ＝1D ．a －b ＝1答案 C解析 将函数整理，利用奇函数性质求解．由题意知f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1＋sin 2x 2， 令g (x )＝12sin 2x ，则g (x )为奇函数，且f (x )＝g (x )＋12，a ＝f (lg 5)＝g (lg 5)＋12，b ＝f ⎝⎛⎭⎫lg 15＝g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋12， 则a ＋b ＝g (lg 5)＋g ⎝⎛⎭⎫lg 15＋1＝g (lg 5)＋g (－lg 5)＋1＝1，故a ＋b ＝1. 3． (2018·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC 等于( )A.1010B.105C.31010D.55答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5.∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABCAC ＝3×sin π45＝3×225＝31010.4． 设α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33答案 C解析 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，即cos α(cos β＋sin β)＝sin α(sin β＋cos β)，∵β为锐角，∴cos β＋sin β≠0，因此有cos α＝sin α， 从而tan α＝1.5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B的值为( )A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， 得a 2＋c 2－b 22ac ＝32·cos B sin B ，即cos B ＝32·cos B sin B，∴sin B ＝32.又∵0＜B ＜π，∴角B 为π3或2π3.故选D.6． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C ．当3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4取最大值时，A 的大小为 ( )A.π3B.π4C.π6D.2π3答案 A解析 由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4，所以B ＝3π4－A .于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. ∵0<A <3π4，∴π6<A ＋π6<11π12，从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2.故选A.专题限时规范训练一、选择题1． 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235C ．－45 D.45答案 C解析 cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 2． (2018·四川改编)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是( ) A. 3B ．2 3C.32D.12 答案 A解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 3． 已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°答案 B解析 由题意知，12×4×3×sin C ＝33，∴sin C ＝32.又0°<C <90°，∴C ＝60°.4． 在△ABC 中，若0<tan A ·tan B <1，那么△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．形状不确定答案 B解析 由0<tan A ·tan B <1，可知tan A >0，tan B >0，即A ，B 为锐角，tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B >0，即tan(π－C )＝－tan C >0，所以tan C <0，所以C 为钝角，所以△ABC为钝角三角形，选B.5． 已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4等于 ( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D ．255答案 A解析 由tan ⎝⎛⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α＝－255.6． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C ＝2A ，cos A ＝34，b ＝5，则△ABC 的面积为( )A.1574B.1572C.574D.572答案 A解析 cos A ＝34，cos C ＝2cos 2A －1＝18，sin C ＝378，tan C ＝37，如图，设AD ＝3x ，AB ＝4x ，CD ＝5－3x ，BD ＝7x .在Rt △DBC 中，tan C ＝BD CD ＝7x5－3x ＝37，解之得：BD ＝7x ＝327，S △ABC ＝12BD ·AC ＝1574.7． 函数f (x )＝sin 2x －4sin 3x cos x (x ∈R )的最小正周期为( )A.π8B.π4C.π2D ．π答案 C解析 f (x )＝sin 2x －2sin 2x sin 2x ＝sin 2x (1－2sin 2x )＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ，所以函数的周期为T ＝2πω＝2π4＝π2，选C.8． 在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 二、填空题9． 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3且sin 2A ＋sin(A－C )＝sin B ，则△ABC 的面积为________． 答案3解析 ∵sin 2A ＝sin B －sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝sin(A ＋C )－sin(A －C )， ∴2sin A cos A ＝2cos A sin C .∵△ABC 是锐角三角形，∴cos A ≠0， ∴sin A ＝sin C ，即A ＝C ＝B ＝π3，∴S △ABC ＝12×2×2×32＝ 3.10．设π3<α<3π4，sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，则sin α－cos 2α＋1tan α的值为________． 答案 14＋5250解析 方法一 由π3<α<3π4，得π12<α－π4<π2，又sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45.所以cos α＝cos[(α－π4)＋π4]＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4sin π4＝210， 所以sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.方法二 由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325，两边平方，得1－2sin αcos α＝1825， 即2sin αcos α＝725>0. 由于π3<α<3π4，故π3<α<π2.因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225， 故sin α＋cos α＝425，解得sin α＝7210，cos α＝210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝14＋5250.11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案 2π3解析 应用余弦定理求角．由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ， 则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.又因为角C 为△ABC 的内角，所以C ＝2π3.12．给出下列四个命题：①f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ； ②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数． 其中正确命题的个数是________． 答案 2解析 ①由2x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 得x ＝k π2＋3π8 (k ∈Z )，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，正确； ②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3知，函数的最大值为2，正确； ③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin 2x －1，函数的周期为π，故③错误；④函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故④错误．三、解答题13．(2018·安徽)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0.从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2， 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减． 14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝4ab cos C ，且c 2＝3ab .(1)求角C 的大小；(2)设函数f (x )＝sin(ωx －C )－cos ωx (ω>0)，且直线y ＝3与函数y ＝f (x )图象相邻两交点间的距离为π，求f (A )的取值范围．解 (1)由余弦定理知a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ， ∵a 2＋b 2＝4ab cos C ，c 2＝3ab ， ∴4ab cos C －3ab ＝2ab cos C ，cos C ＝32. 又∵0<C <π，∴C ＝π6.(2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3sin(ωx －π3)． 由已知2πω＝π⇒ω＝2，则f (A )＝3sin(2A －π3)，∵C ＝π6，∴0<A <5π6，－π3<2A －π3<4π3.∴根据正弦函数图象知－32<sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3≤1， ∴－32<f (A )≤ 3.。
解三角形中的边角互换导学提纲讲解学习
解三角形中的边角互换导学提纲解三角形中的边角互换导学提纲 班级: 姓名: 小组: 评价:学习目标：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。
重点：利用正（余弦）定理实现角边互换。
难点：正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。
导学流程：例1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=( )（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A ，根据正弦定理及sin 23sin C B =得：23c b =（角换边）2222222()33cos 2222b c a c a c c bc A bc bc bc +----====Q ，0000180,30A A <∴=Q 。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
例2在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
高中数学_解三角形中的边角互化和面积问题教学课件设计
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课堂小结：
题型一、利用正、余弦定理进行边角互化 题型二、利用正、余弦定理求三角形的面积
转化化归思想 方程的思想 整体思想
作业：课后案
题后感悟：ABC中,0 A ,sin A 0
转化化归思想
1．边
角
2．一般通过三角恒等变换得出内角的关系.
第一章 解三角形
人教版 《必修5》 高三专题复习
邹城市第一中学 仲维君
考情分析与展望：
利用正余弦定理进行边角互化是近几年 高考的热点之一,多以选择题、填空题或解 答题第一问形式考查，约占5分.
利用正余弦定理求三角形的面积也是近 几年高考的热点之一，多以选择题、填空题 或解答题第二问形式考查，约占5至7分.
A＋B＋C＝π
题后感悟：
涉及面积问题常考虑应用余弦定理.
体现方程思想 整体思想
题后感悟：ABC中,0 A ,sin A 0
转化化归思想
1．边
角
2．一般通过三角恒等变换得出内角的关系.
小试牛刀：
⑴设ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2， cosC＝－1，3sinA＝2sinB，则c＝________ .
4 ⑵在ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 且(2b－c)cosA＝acosC．则角A＝________ .
预计19年仍然以考查此两种题型为主.
学习目标：
1.能熟练利用正弦定理或余弦定理进行 边角互化，培养自己的逻辑推理能力；
2.能熟练利用正弦定理或余弦定理解决 三角形的面积问题，培养自己的计算能力.
题型一、利用正、余弦定理进行边角互化
合作学习：
解三角形题中的边与的转化策略,DOC
解三角形题中的边与角的转化策略舒云水解答一些解三角形的题目，常常需要运用正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等知识，将已知条件中的边的关系转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式，下面谈谈解三角形题中的边与角转化的常见策略﹒5sin 4B ，1=b ⎪⎩⎪⎨⎧=+ac c a ”是解，且2sin a A 分析：本题已知条件“2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++”是一个边角混合等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为角；二是将角转化为边﹒本题若将边转化为角，即将已知等式转化为“C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22+++=”，再化简求A 比较困难﹒而将角化成边“c b c b c b a )2()2(22+++=”，化简得：22b a =bc c ++2，再利用余弦定理很容易求出A﹒解：由已知，根据正弦定理得c b c b c b a )2()2(22+++=，即bc c b a ++=222．由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+=﹒故1cos 1202A A =-=﹒例35=．求t a n t a n AB“cos a C sin 因此，有B A B A sin cos 58cos sin 52=，tan 4tan AB=﹒ 点拨：运用正弦定理将已知的边角混合关系式转化为只含角的关系式是解决本题的关键﹒例4设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且c o s 3a B =，sin 4b A =．求边长a ﹒分析：本题是一道求边长的题目，先将两个已知等式“sin 4b A =”和“cos 3a B =”整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定理将ab 转化为ABsin sin ，化简求出B tan ，再进一步求出B cos 、a ﹒解：将cos 3a B =、sin 4b A =两式相除，有4sin sin sin b A B A2c ab-=，则B C B C B A B A sin cos 2cos sin 2cos sin sin cos +=+，)sin(2)sin(B C B A +=+，而π=++C B A ，则A C sin 2sin =，即2sin sin =AC． 思路2：将角转化为边．直接运用余弦定理将A cos 、B cos 、C cos 转化为边，得到边的关系式a c 2=，再运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，即可求出sin sin CA的值．解法2：在ABC △，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得 B a B c C b A b cos cos 2cos 2cos -=-．由余弦定理可得cb c a a b c a a c b a c a c b 22222222222222-+--+=-+--+．例C b cos +. （边，式：sin 3A )将转化为A sin 332=得C C sin 2cos +=3，再根据平方关系1cos sin 22=+C C ，便可求出C sin ．解：（1）由C b B c A a cos cos cos 3+=及正弦定理得A A A sin cos sin 3=，所以31cos =A ．（2）322cos 1sin 2=-=A A ． 由332cos cos =+C B 得332cos )cos(=+--C C A π，展开易得 C C sin 2cos +=3．又)是成功C，则1(+2，求ba． 答案：1.33；2.4π；3.2．。
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解三角形中的边角互换导学提纲
解三角形中的边角互换导学提纲 班级: 姓名: 小组: 评价:
学习目标：1．在三角形中考查三角函数式变换，是近几年高考的热点，它是在新的载体上进行的三角变换，因此要时刻注意它重要性：一是作为三角形问题，它必然要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解决问题的思路；其二，它毕竟是三角形变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，是使问题获得解决的突破口。
2．在解三角形时，要注意正弦定理和余弦定理的本质就是揭示了三角形角与边的
关系，利用正余弦定理可将将角换成边，边换成角。
重点：利用正（余弦）定理实现角边互换。
难点：正（余）弦定理的角边互换的灵活运用。
导学流程：
例1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=( )
（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150
【命题立意】考查三角形的有关性质、正弦定理、余弦定理以及分析问题、解决问题的能力。
【思路点拨】根据正、余弦定理将边角互化。
【规范解答】选A ，根据正弦定理及sin 23sin C B =得：23c b =（角换边）
2222222()33cos 2222
b c a c a c c bc A bc bc bc +----====Q ，0000180,30A A <∴=Q 。
【方法技巧】根据所给边角关系，选择使用正弦定理或余弦定理，将三角形的边转化为角。
例2在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且
2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++
（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理，考查了三角函数的恒等变换，三角函数的最值。
【思路点拨】（I ）根据正弦定理将已知条件中角的正弦化成边，得到边的关系，再由余弦定
理求角
（II ）由（I ）知角C ＝60°-B 代入sinB+sinC 中，看作关于角B 的函数，进而求出最值
【规范解答】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++
即 222a b c bc =++ 由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+- 故 1cos 2
A =-，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： sin sin sin sin(60)B C B B +=+︒-31cos sin 22
sin(60)
B B B =+=︒+ 故当B ＝30°时，sinB+sin
C 取得最大值1。
【方法技巧】
(1)利用正弦定理，实现角的正弦化为边时只能是用a 替换sinA ，用b 替换sinB,用c 替换sinC 。
sinA,sinB,sinC 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分。
(2)以三角形为背景的题目，要注意三角形的内角和定理的使用，象本例中B+C ＝60° 例3. 在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且
sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
【命题立意】考查了正弦定理，余弦定理的灵活运用。
【思路点拨】此题事实上比较简单,但学生不知从何入手.对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而做不出来.
【规范解答】法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理
有:222222
3,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=g g ⇒（实现角边互换,从而找到解题突破口） 化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 法二：由余弦定理得: 2222cos a c b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠.
所以2cos 2b c A =+ ① 又sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=
∴sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =
由正弦定理得sin sin b B C c
=，故4cos b c A = ② 由①，②解得4b =.
评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.
当堂练习：1.设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．
（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）若33a =5c =，求b ．
=A cos _________________。
3.在△ABC 中，角ABC 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为( ) A. 6π B. 3π C.6π或56π D. 3π或23π。