解三角形学案

解三角形知识点

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

2、三角形三边关系：a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C +++=== 4．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === 5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 6、三角形面积公式：

111sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---

7．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 或 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=

⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩

. 8．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.

2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

9、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式

设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若222a b c +=，则90C =

；

②若222a b c +>，则90C < ；

③若222a b c +<，则90C > ．

10、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

已知条件定理应

用

一般解法

一边和两角

（如a、B、C）正弦定

理

由A+B+C=180˙，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。

两边和夹角

(如a、b、c)余弦定

理

由余弦定理求第三边c，由正弦定理求出小边所对的角，再由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。

三边

(如a、b、c)余弦定

理

由余弦定理求出角A、B，再利用A+B+C=180˙，求出角C 在有解时只有一解。