解三角形复习学案

解三角形

一.正弦定理：

1.正弦定理： （其中R 是三角形外接圆的半径）

2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===

③边化角 R

c

C R b B R a A 2sin 2sin 2sin =

==

练习：△ABC 中，①B b A a cos cos =

②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：

如图△ABC 中，AD 是A ∠

4.判断三角形解的个数：

△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 】

①A b a sin <时，无解；

②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <

二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21

sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC

)(2

1

++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理 [

1.余弦定理：=2

a )cos 1(2)(2

A bc c b +-+= =2

b )cos 1(2)(2B a

c c a +-+= =2

c )cos 1(2)(2C ab b a +-+=

注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形： =A cos

=B cos

=C cos

&

注意整体代入，练习：=⇒=-+B ac b c a cos 2

2

2

。 3.三角形中线：

△ABC 中， D 是BC 的中点，则22222

1

BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状

①若2

2

2

c b a >+时,角C 是 角 ②若2

2

2

c b a =+时,角C 是 角

】

③若2

2

2

c b a <+时,角C 是 角

练习:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围;

5.应用

用余弦定理求角时只有一个解 四.应用题

1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；

③将实际问题转化为数学问题； ④作答

2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等 ;

如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

^

[高频考点]

考点一__利用正、余弦定理解三角形____________

(2014·高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；

(2)求sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫A ＋π4的值．

[

考点二__利用正、余弦定理判定三角形的形状_____

在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

-

考点三__与三角形面积有关的问题______________

;

方位角 北 俯角 仰角

张角

(2014·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3

sin A cos A －3sin B cos B .

(1)求角C 的大小；

(2)若sin A ＝4

5，求△ABC 的面积．

~

1．(2014·高考江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π

3，则△ABC 的面积是( )

A ．3 D ．33

2．(2015·安庆模拟)在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2 D ．2∶3∶1

3．(2015·石家庄质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )

4．(2013·高考陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定

5．(2015·福建厦门检测)已知△ABC 中，设三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c ＝________． "

6．(2014·高考广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a

b ＝________． 7．(2013·高考浙江卷)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c, 且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．

；

8．(必修5P 118练习(3)改编)在四边形ABCD 中，∠DAB 与∠DCB 互补，AB ＝1，CD ＝DA ＝2，对角线BD ＝7. (1)求BC ；

(2)求四边形ABCD 的面积．

{