解三角形复习学案
解三角形(学案)
第一章 解三角形（学案）1.已知△ABC 中，30A =，105C =，8b =，则等于（ ）A 4 B2. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于（ ）A 36 B 26 C 21 D 23 3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )A 90°B 120°C 135°D 150°4.△ABCABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形5.△ABC 中，60B =，2b ac =，则△ABC 一定是 （ ）A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形6.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有 一个解B 有两个解C 无解D 不能确定 7. △ABC 中，8b =，16ABC S =，则A ∠等于 （ ） A o 30 B o 60 C o 30或o 150 D o 60或o 120 8.△ABC 中，若60A =，）A 2 B 21 C 3 D 23ABC ，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）D 010.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定11 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）C. 200米12 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( ) A.10 海里 B.5海里 海里 海里 13.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 。
14.在△ABC ，150c =，30B =，则边长a = 。
《一轮复习教学案第三章三角函数解三角形第六节解三角形》优秀教案
第六节解三角形☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆1．正弦定理错误!＝错误!＝错误!＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。
变式：a＝2R in A，b＝2R in B，c＝2R in C。
a∶b∶c＝in A∶in B∶in C。
2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bc co A；b2＝a2＋c2－2ac co B；c2＝a2＋b2－2ab co C。
变式：co A＝错误!；co B＝错误!；co C＝错误!。
in2A＝in2B＋in2C－2in B in C co A。
3．解三角形1已知三边a，b，c。
运用余弦定理可求三角A，B，C。
2已知两边a，b及夹角C。
运用余弦定理可求第三边c。
3已知两边a，b及一边对角A。
先用正弦定理，求in B，in B＝错误!。
①A为锐角时，若ab，一解。
4已知一边a及两角A，B或B，C用正弦定理，先求出一边，后求另一边。
4．三角形常用面积公式1S＝错误!a·h a h a表示a边上的高。
2S＝错误!ab in C＝错误!ac in B＝错误!bc in A＝错误!。
3S＝错误!ra＋b＋cr为内切圆半径。
微点提醒1．在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量其中至少有一边就可解三角形。
2．判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理余弦定理实施边、角转换。
3．当a2＋b2<c2时判断三角形的形状，由co C＝错误!<0，得∠C为钝角，则三角形为钝角三角形。
小|题|快|练一、走进教材1．必修510A2A2A2A20A32A2A2A a A A A A2a c a c2A2C2A2A22A2a3a2a2a2如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于________。
32021·湖北高考如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________ m。
八年级数学下册第9章解直角三角形 复习教学案
第九章解直角三角形复习学案陈光双学习目标：1.熟练掌握锐角三角比、解直角三角形的方法，提高自己的解题能力；2.构造直角三角形，综合应用勾股定理和锐角三角比解决简单的实际问题。
一、自主学习，补全网络：1、锐角三角比定义：在直角三角形ABC中，∠A的边与∠A的边的比叫∠A的正切，∠A的 __ __与_ ___的比叫∠A正弦.∠A的_______与_______的比叫∠A的余弦. 当∠A的度数越大时，∠A的正切值∠A正弦值∠A的余弦值互余角的三角比的关系：sinA=cos(90º-A）、cosA=sin(90º-A）、tanA·tan(90º-A）=1 同角三角比的关系：、2、特殊角三角函数值：3a，b，c。
(1)三边之间的关系:(2)锐角之间的关系:(3)边角之间的关系:4．利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤：1.在Rt△ABC中，∠C＝90º，a＝4，b＝6，sinA＝（）A．23B C2. 在Rt△ABC中，∠C＝90º，sinA＝23，则cosA（）A3．在△ABC中∠A=105°∠B=45°,sin C的值是（） A. B. C. 1 D.4.计算：(1)2cos 30°＋tan 60°(2) 1sin60452︒+︒5.如图，∠AOB 是放在正方形网格中的一个角，则sin ∠AOB= ．(第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6．如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是34，则y= ，cos α= ． 7．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC=6，BC=8，则tan ∠ACD= ．8．如图：一棵大树的一段BC 被风吹断，顶端着地与地面成300角，顶端着地处C 与大树底端相距4米，则原来大树高为_________米. 三、典型例题：例1:一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，周围4.8海里范围内是水产养殖场，渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东（BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的可能？训练：在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）AB O例2:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）训练：如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为31∶，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．四、反馈练习： 1.在△ABC 中，若cosA=22,tanB=3，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，53sin =A ，则=B tan （ ）． A.53 B.54 C.43 D.343.等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A.513B.1213C .1013D .5124．如图一艘船以每小时320海里的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东300方向，半小时后航行到B 处，再看灯塔S 在船的正东方向，此时船离灯塔_______海里. 5．若tan(α+10°)=3，则锐角α的度数是 ．6．如图，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB 的值是 ．AB C D B O A B第（4）题 第（6）题 第（8）题 第（9）题7．已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝ ，cos α＝ ．8.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于 ．9．如图,在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的射线，A 点坐标为(1，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA ⊥x 轴交OM 于C 点．设∠XOM ＝α ．则P 点坐标 ；C 点坐标 (用α 的三角比表示) 11.已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．12．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．13．在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角21CFE ∠=°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角37CGE ∠=°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度．（参考数据：3sin 375°≈，3tan 374°≈，9sin 2125°≈，3tan 218°≈）CGEDBAF•教学反思：多加强练习，让学生在练中加强，并学会解直角三角形的应用。
解直角三角形复习课学案
图25.3.3解直角三角形复习课学案【学习目标】1、探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．3、能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决实际问题，提高数学建模能力．【重点】合理构造直角三角形、解直角三角形实际应用； 【难点】如何读懂题意对实际应用题进行建立方程解题；一、生活问题：（09·滨州）某楼梯侧面视图如图，其中AB=4m,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动，要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长应 。
二、知识点梳理：3.解直角三角形的依据（1）由直角三角形中已知 个元素求出另外 个元素的过程叫解直角三角形三边关系：（2）直角三角形中的边角关系 两锐角关系：角与边的关系：sinA=cosA=tanA=4. 锐角三角函数的特殊关系（1） 锐角三角函数的恒正性：锐角三角函数值都是正实数，即 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．（2）余角关系：若A+B=90，则 sinB= ，cosB= ，tanB= ，cotB= ． （3）平方关系：22sincos 1A A +=（4）、商式关系：sin tan cos A A A =cos cot sin AA A=5、在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念（1）仰角和俯角 （2）方位角 （3）斜坡的坡度三、试题归类：第1类：侧重在网格背景下求三角函数值1、（08·襄樊）在正方形网格中，点A 、B 、C 、D 的位置如图所示，则cosB 的值为( )A 、B 、C 、D 、1题 2题1.锐角三角函数的意义2.特殊角的三角函数值正弦：sin A = 余弦：cos A = 正切：tan A =30° 45° 60° sin α cos α tan α233322212、有一个三角形在正方形网格纸中的位置如图， 则sin α=____。
九年级数学《解直角三角形-复习课》教案
第28章解直角三角形（单元复习课）教学任务分析问题1：在Rt △ABC 中，∠C=90°则（1）∠A 、∠B 的关系是_________， （2）_____,,的关系是c b a（3）边角关系是________________________________________________________________________________问题2：你能根据上述边角关系得到30°、45°、60°角的三角函数值吗？填写下表。
问题3：同角的三角函数之间有什么关系？互余的两角呢？问题4：锐角的正弦值是怎样随着角度数的变化而变化的？余弦、正切呢？其锐角三角函数值的范围分别是什么？ 2、组织交流，总结要点；3、板书教师总结知识结构图（多媒体展示）。
【学生活动】 1、学生反思回顾知识点，回答和完成导学案中的问题及三个表格；2、绘制出自己总结的知识结构图；3、交流展示自己总结的知识结构图及自主学习的成果；4、看听记教师的总结。
用数学的意识。
帮助学生学会用数学的思考方法解决实际问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。
【媒体应用】1、展示反思回顾的问题；2、展示导学案中提出的问题；3、展示师生共同总结的本章本章要点和本章知识结构图。
活动三 基础训练，查补缺漏： 【基础闯关】1、Rt △ABC 中，∠C=90°若SinA= 时，tanA= 。
2、Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=3BC ，则CosA= 。
3、菱形ABCD 中对角线AC 交BD 于点O ，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）A 、Sin ∠ADB=B 、Cos ∠DAB=C 、tan ∠DBA =D 、tan ∠ADB=4、计算： （1）（2）丨Sin45°- 1丨-【教师活动】 1、操作多媒体出示问题。
2、组织学生交流和点评，得出正确答案。
【学生活动】 1、尝试完成练习，有困难的同学可以合作完成； 2、参与交流展示及点评。
解三角形复习学案
一.正弦定理: 1. 正弦定理：2. 变形：① a:b:c sin A:sin B:sinC②角化边 a 2Rsi nA b 2Rs in B c 2Rsi nC4.判断三角形解的个数：△ ABC 中，已知锐角 A,边b ,则 ① a bsi nA 时，无解;② a bsi nA 或a b 时，有一个解； ③bsi nA a b 时，有两个解。
注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。
.三角形面积注：由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理 1.余弦定理：a 2 2考点一 利用正、余弦定理解三角形<33> (2014 •高考安徽卷)设厶ABC 的内角A, B, C 所对边的长分别是a , b , c ，且b = 3, c = 1, A = 2B.(1)求a 的值；n⑵求sin A +才的值.考点二 禾U 用正、余弦定理判定三角形的形状 ______在厶ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2asin A = (2b + c)sin(1)求A 的大小；解三角形③边化角 si nA 2R sin B 2R sin C c 2R练习：△ ABC 中，① acosA bcosB ，则△ ABC 是 三角形。
DC1 S ABC2SABC1absin C2bcsinAacsin B2 2-(a b c )r ,其中r 是三角形内切圆半径 2(其中R 是三角形外接圆的半径)b22c注：后面的变形常与韦达定理结合使用。
⑵若sin B+ sin C= 1,试判断△ ABC的形状. (b c) 2bc(1 cosA) (a c)22ac(1 cosB)(a b)22ab(1 cosC)1 _______2 ________ 2 __________2△ ABC 中，D 是 BC 的中点，贝V AD _ J AB AC 2BC24. 三角形的形状 ① 若a 2 b 2c 2时,角C 是 _____ 角 2 2 2② 若a bc 时,角C 是 ______ 角 ③ 若a 2 b 2c 2时,角C 是角5.应用用余弦定理求角时只有一个解 四.应用题1. 步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量;③将实际问题转化为数学问题；④作答2. 注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等［高频考点］考点三_与三角形面积有关的问题 __________________（2014 •高考浙江卷）在厶ABC 中，内角A , B, C 所对的边分别为a , b , c.已知a z b , c ={3, cos^A — cos B=：3sin Acos A — .'3sin Bcos B.⑴求角C 的大小；4（2）若 sin A =，求△ ABC 的面积.5基础达标n1. （2014 •高考江西卷）在厶ABC 中，内角A, B, C 所对的边分别是a , b , c.若c 2二（a — b ）2+ 6, C=p ，则△练习：锐角三角形的三边为1,2, x ,求x 的取值范围钝角三角形的三边为 1,2, x ,求x 的取值范围B + (2 c + b)s in C.如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。
人教版下册四年级数学《复习三角形知识》教案
人教版下册四年级数学《复习三角形知识》
教案
教学目标
- 复习三角形的定义和性质
- 认识不同类型的三角形
- 掌握判断和画出不同类型三角形的方法
教学准备
- 教材：人教版下册四年级数学教材
- 教具：直尺、量角器、彩色铅笔
教学过程
导入
1. 利用多媒体展示图片，让学生回顾三角形的定义和性质。
复习三角形的定义和性质
1. 提问学生对三角形的定义和性质进行回答，鼓励学生积极参
与讨论。
2. 引导学生总结三角形的性质，例如三条边的长度关系、角的
和等于180度等。
认识不同类型的三角形
1. 利用多媒体展示不同类型的三角形图片，如等边三角形、等
腰三角形、直角三角形等。
2. 引导学生观察并讨论不同类型的三角形的特点，例如等边三
角形三条边相等、直角三角形有一个角为直角等。
判断和画出不同类型三角形的方法
1. 引导学生通过观察三角形的边长和角度来判断三角形的类型。
2. 提示学生使用直尺和量角器来画出不同类型的三角形，帮助
他们理解三角形的构成。
拓展练习
1. 分发练习册，让学生自主完成相关练习题，巩固所学的知识。
2. 教师巡视并及时解答学生的疑惑。
总结
1. 总结本节课所学的内容，强调三角形的定义、性质以及不同类型的三角形。
2. 鼓励学生通过课后练习巩固所学知识。
课后作业
1. 完成练习册上的相关练习题。
2. 复习并总结本节课所学的知识。
28.2解直角三角形(1)学案
28．2解直角三角形（1）学案一．知识回顾。
1、把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A′B′C′，那么锐角A，A′的余弦值的关系为（）A．cosA=cosA′ B．cosA=3cosA′C．3cosA=cosA′ D．不能确定2、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正切值（） A．扩大4倍 B．扩大2倍C．保持不变 D．缩小4倍3、用科学计算器求sin24°的值，以下按键顺序正确的是（）A ． sin 2 4 = B． 2 4 sin =C． 2ndf sin 2 4 =D． sin 2 4 2ndf =4、sin30︒的值等于（）（A）12（B）22（C）32（D）15、已知在Rt ABC△中，390sin5C A∠==°，，则tan B的值为（）A．43B．45C．54D．346、特殊角的三角函数值：锐角三角函数300450600 sinAcosAtanA7、已知sin α=23，且α为锐角，则α=（ ）。
A 、 75°B 、60°C 、45°D 、30°8、在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，则∠A 、a 、c 关系式是c= 。
9、如图，3×3•网格中一个四边形ABCD ，•若小方格正方形的1，•则四边形ABCD 的周长_______．10、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚ A ．43 B ．34 C ．53 D ．54二．探究新知。
1、在三角形中共有几个元素？ 。
2、直角三角形中，边与角有下列关系： （1）三边的关系： 。
（2）两锐角的关系：∠A+∠B= 。
（3）边和角之间的关系： a= ；b= ； c= 。
3、根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．4、在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2，a=6，解这个三角形．5、如图,在Rt △ABC 中,a 、b 分别是∠A 、∠B 的对边,c 为斜边,如果已知两个元素a 、∠B,就可以求出其余三个未知元素b 、c、∠A.(1)求解的方法有多种,请你按照下列步骤,完成一种求解过程:c ba CBA第一步:由条件:用关系式求出第一步:由条件:用关系式求出求出用关系式由条件:、∠B第一步:(2)请你分别给出a、∠B的一个具体数值,然后按照(1)中的思路,求出b、c、∠A的值.三．应用练习。
高考数学：解三角形(复习学案)
专题09 解三角形（一） 三角形中的求值问题1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( )A ． 3B ．2C ．2 2D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△ABC 的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知bsinC +csinB =4asinBsinC ，b 2+c 2−a 2=8，则△ABC 的面积为________． 【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC中，已知c＝2，若sin2A＋sin2B－sin A sin B＝sin2C，则a＋b的取值范围为________．【例2】已知在锐角ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2cos cosb Cc B=，则111tan tan tanA B C++的最小值为（）A B C D．【例3】已知△ABC的外接圆半径为R，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin B cos C ＋32c sin C＝2R，则△ABC面积的最大值为( )A．25B．45C．255D．125【例4】在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos Ccos cos cos2ab Ac A B+=，ABC∆，则ABC∆周长的最小值为______.2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( ) A ．2＋3 B ．2＋2 C ．3D ．3＋2【练习3】已知ABC ∆1,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______.【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用必备知识：实际测量中的有关名称、术语南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角1.例题【例1】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(3－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【例3】某人在点C测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B 地晚217秒．在A 地测得该仪器弹至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B ＝( )A ．32B ．233C ．33D ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，c ＝23，b sin A ＝a cos ⎪⎭⎫⎝⎛+6πB 则b ＝( ) A ．1 B.2 C.3D.53．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝32，tan B ＝2tan A ，则△ABC 的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．32D ．423．如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( ) A ．223B ．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在ΔABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =2，B =45°，若三角形有两解，则b 的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb ，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅰ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。
人教版八年级数学上册1三角形全等的判定复习学案
12.2全等三角形的判定复习【学习目标】1、进一步熟练掌握三角形全等的判定方法，并能利用全等三角形的判定证明有关线段相等、角相等的问题；2、经历运用三角形全等的条件解决问题的过程，发展合情推理能力和演绎推理能力．【重点难点】重点：利用全等三角形的判定证明有关线段相等、角相等的问题；难点：根据已知条件选择合适的判定方法证明两个三角形全等【学习过程】一、知识回顾：1、判定两个三角形全等的方法有哪些？2、判定两个直角三角形全等的方法有哪些？二、合作探究：证明两个三角形全等常见思路有哪些？（1）当条件中有两条边对应相等时，如何选择判定方法？（2）当条件中有一条边对应相等，一个角对应相等时，如何选择判定方法？（3）当条件中有两个角对应相等时，如何选择判定方法？三、例题探究：例1、已知:如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ΔDEF(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件＿＿；(2) 若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿；(3) 若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿；(4)若要以“SSS”为依据，还缺条件＿＿；(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL”为依据还缺条件＿＿；例2、已知:如图,AD是△ABC 的中线,求证：ACABAD+<2四、尝试应用1、如图，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（）A、1对B、2对C、3对D、4对2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A、一锐角和斜边对应相等B、两条直角边对应相等C、斜边和一直角边对应相等D、两个锐角对应相等3、下列四组中一定是全等三角形的为（）A．三内角分别对应相等的两三角形B、斜边相等的两直角三角形C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形D、三边对应相等的两个三角形4、已知：如图∠ABC=∠DCB, AB=DC，求证: (1)AC=BD; (2)S△AOB = S△DOC5、如图,已知∠ABC=∠DCB,要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件是_____________。
解三角形 正弦定理和余弦定理复习学案教师版
第 1 页解三角形正弦定理和余弦定理复习学案一、正、余弦定理解三角形的基本问题例1 在△ABC 中，(1)已知a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 、c ；(2)已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．点拨 (1)已知两边及其中一边对角，先利用正弦定理求出角A ，再求其余的量． (2)先由sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ，求出a ∶b ∶c ，再由余弦定理求出最大角．解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3回顾归纳 已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．►变式训练1 (1)△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，∠C ＝30°，求△ABC 的面积；(2)已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积．若a ＝4，b ＝5，S ＝53，求c 的长度．解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32.当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61. 二、正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .第 2 页(1)求∠A 的大；(2)求b sin Bc 的值．点拨 (1)利用cos A ＝b 2＋c 2－a22bc 求解；(2)利用正弦定理对代数式b sin Bc进行转化．解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ，∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb.∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin A b ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得：12bc sin A ＝12ac sin B∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sinA ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A2等，进行三角变换的运算．►变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求∠A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ，∴B ＋C 2＝90°－A2.由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝120°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3.又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 三、正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．解如图所示，过C、B、P分别作CM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分别为M、N 、Q.设BN=x，则PQ=x，PA=2x.∵AB=BC，∴CM=2BN=2x，PC=2x.在△PAC中，由余弦定理得AC2=PA2+PC2-2PA·PC·cos 75°，即4=2x2+4x2-42x2·624-，解得x2=2(43)13+，过P作PD⊥AC，垂足为D，则线段PD的长为塔到直路的距离．在△PAC中，由于12AC·PD=12PA·PC·sin 75°，得PD020sin7522sin752P A P C xAC⋅⋅⋅==，=2(43)62753213413+++⋅⋅=(km)．答塔到直路的距离为75313+km.回顾归纳(1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．►变式训练3如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B处救援，求sin θ的值．解在△ABC中，AB=20，AC=10，∠BAC=120°，由余弦定理知：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=202+102-2×20×10×12⎛⎫-⎪⎝⎭=700.∴BC=107第3 页第 4 页由正弦定理得sin sin A B B C A C B B A C=∠∠，∴sin ∠ACB=A B B C·sin ∠BAC=·sin 120°=7.∴cos ∠ACB=7.∴sin θ=sin(∠ACB+30°)=sin ∠ACB ·cos 30°+cos ∠ACB ·sin 30°=7×2+7×12=14，.课堂小结：1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定． 2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．课后作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对答案 C 解析 sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 答案 C 解析 cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0，∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．3．(2008·福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D 解析 ∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49第 5 页答案 D 解析 S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.5．(2012·广东东莞模拟)△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A 解析 ①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．答案 6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.答案 2393.解析 由S ＝12sin A ＝121×c ×32＝3，∴c ＝4.∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．解析 如图所示，sin 45sin 30BCAC =，∴BC=sin 30A C ×sin 45°=20122⨯， (km)．9．(2012·广东广州一模)已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，第 6 页cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×3517，∴b ＝17.10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得：BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ，5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.11．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．解 (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，由4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，得4cos 2C 2－cos 2C ＝72， ∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，整理，得4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即7＝a 2＋b 2－ab ，∴7＝(a ＋b )2－3ab ， 由条件a ＋b ＝5，得7＝25－3ab ，ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.。
山东省德州一中：高三二轮复习学案3207三角变换与解三角形
【复习目标】的记录，首见于《礼记 ?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，此中1.掌握和角、倍角、半角公式及其应用；之“先生”意为“年长、资深之教授知识者”，与教师、老师之意基本一2.娴熟用正、余弦定理解三角形.【典型例题】致。
1.设函数f ( x) sin2x b sin x c，则f ( x)的最小正周期（）考点一：三角变换及求值A．与 b 相关，且与 c 相关B．与 b 相关，但与 c 没关例 1. 已知函数 f ( x) 3 sin x sin(x)cos2x 1 (0) ,其图象两相邻对22C．与 b 没关，且与 c 没关D．与 b 没关，但与 c 相关称轴间的距离为 .22．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)设 ABC 的内角A, B, C的对边分别为a,b, c，且c7， f (C ) 0 ,若向量n(1, sin A) 与向量 m(3,sin B) 共线，求a,b的值._________．考点二：正、余弦定理的应用4， cosC 5， a例 2.在ABC中,内角A, B, C的对边分别是a,b, c ,且3 sin2C8sin 2 A 11sin Asin C3．ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b,c，若cos A1，且 c2a .513(1)求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 ABC 的面积为8 15，且sin B15 ，4求 BC 边上的中线长.【稳固练习】“教书先生”唯恐是街市百姓最为熟习的一种称号，从最先的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人仰慕甚或敬畏的一种社会职业。
不过更早的“先生”观点并不是源于教书，最先出现的“先生”一词也并不是有教授知识那般的含义。
《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？” 等等，均指“先生” 为父兄或有学问、有品德的尊长。
九上 解直角三角形复习学案
水平线第二章 解直角三角形【知识网络】一、 锐角三角函数定义：在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则∠A 的正弦可表示为：sinA= ，∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们统称为∠A 的锐角三角函数 二、特殊角的三角函数值：三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：Rt ∠ABC 中，∠C=900 三边分别为a 、b 、c⑴三边关系： ⑵两锐角关系 ⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA sinB cosB tanB3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在图上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图：斜坡AB 的垂直度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i=tanα= 。
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA 表示 OB 表示 OC 表示 OD 表示 （也可称东南方向）考点一：锐角三角函数的概念例1 （2013•贵阳）如图，P 是∠α的边OA 上一点，点P 的坐标为（12，5），则tan α等于（ ）对应训练：1．（2013•宿迁）如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中，则tan ∠AOB 的值是（ ） 考点二：特殊角的三角函数值对应训练：1、（2013•重庆）计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ） 考点三：化斜三角形为直角三角形对应训练（2013•陕西）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）考点四：解直角三角形的应用例4、(10分)(2014·内江)“马航事件”的发生引起了我国政府的高度重视，迅速派出了舰船和飞机到相关海域进行搜寻．如图，在一次空中搜寻中，水平飞行的飞机观测得在点A俯角为30°方向的F点处有疑似飞机残骸的物体(该物体视为静止)．为了便于观察，飞机继续向前飞行了800米到达B点，此时测得点F在点B俯角为45°的方向上，请你计算当飞机飞临F点的正上方点C时(点A，B，C在同一直线上)，竖直高度CF约为多少米？(结果保留整数，参考数值：3≈1.7)对应训练：（2012山东泰安3分）如图，为测量某物体AB的高度，在在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为【】[聚焦山东中考]1．（2013•聊城）河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1AB的长为（）2、（2013泰安3分）如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为（取，结果精确到0.1海里）．3.（2013•济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A、B、C分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的用时2秒，这辆校车是否超速？说明理【达标检测】一、选择题：1．（2013•温州）在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA 的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．3 D ．4A ．B ．C ．D ．A ．B ．C ．D ．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．（2013•宁夏）如图是某水库大坝横断面示意图．其中AB 、CD 分别表示水库上下底面的水平线，∠ABC=120°，BC 的长是50m ，则水库大坝的高度h 是（ ）A ．mB ．25mC ．D m 6．（2013•山西）如图，某地修建高速公路，要从B 地向C 地修一座隧道（B 、C 在同一水平面上）．为了测量B 、C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升100m 到达A 处，在A 处观察B 地的俯角为30°，则B 、C 两地之间的距离为（ ）A ．mB ．mC ．D m 二、填空题：7．（2013•铜仁地区）如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13，则sinB 的值等于 ．9．（2013•齐齐哈尔）请运用你喜欢的方法求tan75°= ．10．（2013•荆门）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC=6，sinA=35，则DE= ． 三、解答题：26．（2013•钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60°．沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度i=1AB=10米，AE=15米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414 1.732）（1）求点B 距水平面AE 的高度BH ；（2）求广告牌CD的高度．。
高三一轮复习解三角形学案
§1.1 正弦定理高考导航CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B=，同理可得sin sin c b C B=， 从而sin sin a b A B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a b A B =sin c C=．试试：（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）．A ．sin sin a A bB = B .cos cos a A b B =C . sin sin a B b A =D .cos cos a B b A =（2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b=；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．※ 典型例题例1. 在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．变式：在ABC ∆中，已知45B =，60C =，12a =cm ，解三角形．例2. 在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．变式：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．三、总结提升※ 学习小结1. 正弦定理：sin sin a b A B =sin c C= 2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.3．应用正弦定理解三角形：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角．※ 知识拓展 a b =2c R ==，其中2R 为外接圆直径.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在ABC ∆中，若cos cos A b B a=，则ABC ∆是（ ）. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4，则a ∶b ∶c 等于（ ）.A ．1∶1∶4B ．1∶1∶2C ．1∶1D ．2∶23. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.A. A B >B. A B <C. A ≥BD. A 、B 的大小关系不能确定4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C++++= ．1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．§1.2 余弦定理高考导航和它所对角的 的 相等，即 = = ．复习2：在△ABC 中，已知10c =，A =45︒，C =30︒，解此三角形．思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？二、新课导学※ 探究新知问题：在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .∵AC = ，∴AC AC ∙=同理可得： 2222c o s a b c b c A =+-，2222cos c a b ab C =+-．新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2b c a A bc+-=， ， ．[理解定理]（1）若C =90︒，则cos C = ，这时222c a b =+由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．（2）余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角．试试：（1）△ABC 中，a =2c =，150B =，求b ．（2）△ABC 中，2a =，b ，1c ，求A ．※ 典型例题例1. 在△ABC 中，已知a b =，45B =，求,A C 和c ．变式：在△ABC 中，若AB ，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________．例2. 在△ABC中，已知三边长3b=，c=，求三角形的最大内角．a=，4变式：在∆ABC中，若222=++，求角A．a b c bc三、总结提升※学习小结1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2. 余弦定理的应用范围：①已知三边，求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边．※知识拓展在△ABC中，若222+=，则角C是直角；a b c若222+<，则角C是钝角；a b c若222+>，则角C是锐角．a b c※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 已知a c＝2，B＝150°，则边b的长为（）.A. B. C.2D.2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（）.A．60B．75C．120D．1503. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）.A x<B x＜5C．2＜x D．5＜x＜54. 在△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝2，AB与AC的夹角为60°，则|AB－AC|＝________．5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足222b ac ab+-=，则∠C等于．1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cos C＝1314，求最大角的余弦值．2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求AB BC⋅的值.§1.3 正弦定理和余弦定理（练习）高考导航已知三边求角，用定理；已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理．复习2：在△ABC中，已知 A ＝6π，a ＝，b ＝二、新课导学※ 学习探究探究：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形. ① A ＝6π，a ＝25，b ＝； ② A ＝6π，a ，b ＝ ③ A ＝6π，a ＝50，b ＝.思考：解的个数情况为何会发生变化？新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．已知边a,b和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<ba=CH=bsinAa<CH=bsinA试试：1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？※典型例题例1. 在∆ABC中，已知80a=，100b=，45A∠=︒，试判断此三角形的解的情况．变式：在∆ABC中，若1a=，12c=，40C∠=︒，则符合题意的b的值有_____个．例2. 在∆ABC 中，60A =︒，1b =，2c =，求sin sin sin a b c A B C++++的值．变式：在∆ABC 中，若55a =，16b =，且1sin 2ab C =C ．三、总结提升※ 学习小结1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．※ 知识拓展在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 ：①当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解；②当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，则有两解；（2）若sin a b A =，则只有一解；※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且sin 2sin 3A B =，则a b b +的值=（ ）. A. 13 B. 23 C. 43 D. 532. 已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.A ．135°B ．90°C ．120°D ．150°3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定4. 在△ABC 中，sin A :sin B :sin C ＝4:5:6，则cos B ＝ ．5. 已知△ABC 中，cos cos b C c B =，试判断△ABC 的形状 ．1. 在∆ABC 中，a xcm =，2b cm =，45B ∠=︒，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围．2. 在∆ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且满足2221sin 24a b c ab C +-=，求角C ．。
第08讲 正余弦定理解三角形(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
第08讲正余弦定理解三角形（10类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等，分值为13-15分【备考策略】1掌握正弦定理、余弦定理及其相关变形应用2会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给以大题来命题、考查正余弦定理和三角形面积公式在解三角形中的应用，同时也结合三角函数及三角恒等变换等知识点进行综合考查，需重点复习。
1.正弦定理（1）基本公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）（2）变形C B c b C A c a B A b a C B A c b a R C cB b A a sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2sin sin sin ++=++=++=++++====CB A c b a sin :sin :sin ::=2.三角形中三个内角的关系π=++C B A ，A ＋B 2＝π2－C2A CB sin )sin(=+∴，AC B cos )cos(-=+，AC B tan )tan(-=+2cot22πtan 2tan(,2sin 22πcos 2cos(,2cos 22πsin )2sin(C C B A C C B A C C B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴3.余弦定理（1）边的余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，Cab b a c cos 2222-+=（2）角的余弦定理bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，ab c b a C 2cos 222-+=4.三角形的面积公式ah S ABC 21=∆A bc B ac C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆1．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C p=，则B Ð=（ ）A ．10pB ．5pC ．310pD ．25p 2．（2024·湖南永州·三模）已知在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos a B b A c C +=-，π7sin 268A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos A B -=.3．（2024·四川凉山·二模）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c-+=+，则A = ．4．（2024·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC V 的周长．1．（2024·江西九江·三模）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=，则B =（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·河北沧州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos cos cos b B a C c A =+，且34b c =，则C =.3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）在ABC V 中，记角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin =+B c B ．(1)求角C ；(2)已知点D 在AC 边上，且2AD DC =，6BC =，BD =，求ABC V 的面积．1．（2023·浙江·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若π,43B a ==，且该三角形有两解，则b 的范围是（ ）A ．()+¥B ．()C ．()0,4D ．()42．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，则能使同时满足条件π,66A b ==的三角形不唯一的a 的取值范围是（ ）A ．()36,B ．()3,+¥C ．()0,6D ．()0,33．（2023·广东茂名·三模）（多选）ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .以下结论中正确的有（ ）A ．若40,20,25a b B ===o ，则ABC V 必有两解B ．若sin2sin2A B =，则ABC V 一定为等腰三角形C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC V 一定为直角三角形D ．若π,23B a ==，且该三角形有两解，则b 的范围是)+¥1．（23-24高二下·浙江·期中）在ABC V 中，π,4,3A AB BC a Ð===，且满足该条件的ABC V 有两个，则a 的取值范围是（ ）A ．()02,B ．(2,C ．()2,4D ．()42．（2023·安徽·模拟预测）（多选）在ABC V 中，60AB B ==o ，若满足条件的三角形有两个，则AC 边的取值可能是（ ）A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.83．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）（多选）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且已知2a =，则（ ）A ．若45A =o ，且ABC V 有两解，则b 的取值范围是(2,B ．若45A =o ，且4b =，则ABC V 恰有一解.C ．若3c =，且ABC V 为钝角三角形，则b 的取值范围是D ．若3c =，且ABC V 为锐角三角形，则b 的取值范围是1．（2023·北京·高考真题）在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C Ð=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2021·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（ ）A ．1B C D ．33．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，60,2,BAC AB BC Ð=︒==BAC Ð的角平分线交BC 于D ，则AD =．4．（2023·全国·高考真题）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c aA+-=．(1)求bc ；(2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+，求ABC V 面积．1．（2021·安徽安庆·二模）在ABC V 中，a b c ，，分别是A Ð，B Ð，C 的对边.若2b ac =，且22a c ac +=+，则A Ð的大小是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2024·安徽合肥·一模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2cos 2b C a c =-，且π3B =，则=a （ ）A ．1B C D ．23．（2023·广东广州·三模）在ABC V 中，点D 在边BC 上，AB =，3CD =，45B =︒，60ADB Ð=︒，则AC 的长为．4．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120BAC Ð=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC Ð；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD Ð=︒，求ADC △的面积.1．（22-23高三·吉林白城·阶段练习）已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形2．（22-23高三上·河北·阶段练习）在ABC V 中，角,,A B C 对边为,,a b c ，且22cos2Ac b c ×=+，则ABC V 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形3．（2024高三·全国·专题练习）设△ABC 的三边长为BC a =，=CA b ，AB c =，若tan2A a b c=+，tan2B ba c =+，则△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形1．（2024高三·全国·专题练习）在ABC V 中，若cos cos a A b B =，则ABC V 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形2．（22-23高三·河南商丘·阶段练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin22A c bc-=，则△ABC 是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．30A =︒的三角形3．（22-23高三·阶段练习）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b c a ca =+-，且sin 2sin A C =，则ABC V 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．（2023·四川凉山·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ．命题221tan cos()2:01tan2Ab A C p A a -++=+，命题:q ABC V 为等腰三角形．则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．（2023·全国·高考真题）在ABC V 中，已知120BAC Ð=︒，2AB =，1AC =.(1)求sin ABC Ð；(2)若D 为BC 上一点，且90BAD Ð=︒，求ADC △的面积.2．（2022·浙江·高考真题）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ==．(1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC V 的面积．3．（2024·全国·高考真题）记ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC V的面积为3c ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC V中，sin 2C C =．(1)求C Ð；(2)若6b =，且ABC V的面积为ABC V 的周长．1．（2024·北京大兴·三模）ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c，cos a B =，sin 1b A =.(1)求B Ð的大小；(2)若b =ABC V 的面积.2．（2024·福建莆田·三模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()cos 12cos b C c B +=-.(1)证明：2a b c +=.(2)若6a =，9cos 16C =，求ABC V 的面积.3．（2024·浙江·模拟预测）已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知23,sin ABC c S b C ==V .(1)求a 的取值范围；(2)求B Ð最大时，ABC V 的面积.4．（2024·安徽滁州·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos 2a b c b C c a -=．(1)求B 的大小；(2)若3a =，且AC ABC V 的面积．1．（2024·贵州六盘水·三模）在ABC V 中，2AB =，3AC =， π3A Ð=，则ABC V 外接圆的半径为（ ）A B C D 2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A ，B ，C ，D 构成的四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4=AD .(1)求ACD V 面积的取值范围；(2)若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.3．（2023·湖北·二模）已知在ABC V 中，其角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且满足cos sin b C C a c =+．(1)若b =ABC V 的外接圆半径；(2)若a c +=，且6BA BC ×=uuu r uuu r，求ABC V 的内切圆半径1．（2024·河南信阳·模拟预测）设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知9,8,5a b c ===，则ABC V 的外接圆的面积为（ ）A ．225π11B ．125π11C ．123π6D ．113π62．（2024·辽宁大连·一模）在ABC V 中,π,3,23A AB AC Ð=== (1)求点A 到边BC 的距离:(2)设P 为边AB 上一点，当22PB PC +取得最小值时，求PBC V 外接圆的面积.3．（2024·山西晋城·一模）在ABC V 中，AB =AC =，BC =．(1)求A 的大小；(2)求ABC V 外接圆的半径与内切圆的半径．4．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22sin 2sin 2sin sin 4A BA B ××=．(1)求C ；(2)若2c =，求ABC V 内切圆半径取值范围．1．（2024·福建泉州·一模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos c B b C a b -=-，点D 是BC 上靠近C 的三等分点(1)若ABC V 的面积为AD 的最小值；(2)若π6BAD Ð=，求sin 2B ．2．（2024·山东日照·二模）ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且123S S S --=．(1)求角A ；(2)若4BD CD =uuu r uuu r ，π6CAD Ð=，求sin ACB Ð．3．（2024·山东菏泽·模拟预测）在ABC V 中，D 为BC 边的中点．(1)若AC =π6ACD DAC Ð=Ð=，求AB 的长；(2)若π2BAD ACD ÐÐ+=，0AC AB ¹×u u r uu r uu，试判断ABC V 的形状．4．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，120AB AC ADC CAB ==Ð=Ð=︒，设DAC Ðq =.(1)若2AD =，求BD 的长；(2)若15ADB Ð=︒，求tan q .1．（2024·河北沧州·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2a c c b =+．(1)求证：3πB C +=；(2)若ABC Ð的角平分线交AC 于点D ，且12a =，7b =，求BD 的长．2．（2024·河南·三模）已知P 是ABC V 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ÐÐÐq ====.(1)若π,24BC q =，求AC ；(2)若π3q =，求tan BAP Ð.3．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角的对边，且sin cos A a C b c +=+．(1)求A ；(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点B ，C 顺时针方向旋转15o ，30o ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC Ð=o ，求AD ．1．（2024·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan A =πsin 2sin()3b C C =+．(1)求c ；(2)若点D 在边BC 上，且13BD a =，AD =ABC V 的面积．1．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形ABCD 中，2,4AB BC CD AD ====.(1)若,,,A B C D 四点共圆，求AC ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.2．（2024·河北·二模）已知ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c ABC V 的面积为,2S a b =.(1)若S ABC =V 为等腰三角形，求它的周长；(2)若3sin 5C =，求sin sin A,B .1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2cos b a b C =-．(1)求证：2C B =；(2)求2sin cos sin C B B +-的最大值．2．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D ，E 都是边BC 上且与B ，C 不重合的点，且点D 在B ，E 之间，AE AC BD AD AB CE ××=××．(1)求证：sin sin BAD CAE =∠∠．(2)若AB AC ^，求证：222221sin AD AE BD CE DAE+=-Ð．3．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1sin 1cos 2cos sin 2A BA B --=．(1)证明：22πA B +=．(2)求22a c的取值范围．1．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 是边BC 上一点，BAD Ð=a ，CAD b Ð=，AD d =，且2sin 2sin 3ac ab bc a b +=．(1)若5π6A =，证明：3a d =；(2)在（1）的条件下，且2CD BD =，求cos ADC Ð的值．2．（22-23高一下·山东枣庄·期中）ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin sin cos sin cos a A b C A c A B =+.(1)求sin sin AC的值；(2)若BD 是ABC Ð的角平分线.（i ）证明：2··BD BA BC DA DC =-；（ii ）若1a =，求BD AC ×的最大值.3．（23-24高三上·江苏·开学考试）如图，在△ABC 内任取一点P ，直线AP 、BP 、CP 分别与边BC 、CA 、AB 相交于点D 、E 、F ．(1)试证明：sin sin BD AB BADDC AC DACÐ=Ð(2)若P 为重心，5,4,3AD BE CF ===，求ABC V 的面积．1．（2021·全国·高考真题）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．´+表高表距表目距的差表高B ．´-表高表距表目距的差表高C ．´+表高表距表目距的差表距D ．´-表高表距表目距的差表距2．（2024·陕西西安·模拟预测）在100m 高的楼顶A 处，测得正西方向地面上B C 、两点(B C 、与楼底在同一水平面上）的俯角分别是75o 和15o ，则B C 、两点之间的距离为（ ）．A ．B ．C ．D ．3．（2024·江苏扬州·模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B ，测得AB =，在点A 处测得点C ，D 的仰角分别为30︒，60︒，在点B 处测得点D 的仰角为30︒，则塔高CD 为 m ．1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为1 1.00m a =，之后将小镜子前移 6.00m a =，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为20.60m a =，已知人的眼睛距离地面的高度为5m 1.7h =，则钟楼的高度大约是（ ）A ．27.75mB ．27.25mC ．26.75mD ．26.25m2．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C 点和一建筑物DE 的楼顶E 为测量观测点，已知点A 为塔底，,,A C D 在水平地面上，来雁塔AB 和建筑物DE 均垂直于地面（如图所示）.测得18m,15m CD AD ==，在C 点处测得E 点的仰角为30°，在E 点处测得B 点的仰角为60°，则来雁塔AB 的高度约为（ ） 1.732»，精确到0.1m ）A ．35.0mB ．36.4mC ．38.4mD ．39.6m3．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的,A B 两座炮台，A 在B 的正东方.某次演习时，A 向西偏北q 方向发射炮弹，B 则向东偏北q 方向发射炮弹，其中q 为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着A 改向向西偏北2q方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点M ，则B 炮台与弹着点M 的距离为（ ）A ．7公里B ．8公里C ．9公里D ．10公里一、单选题1．（2024·浙江·模拟预测）在ABC V 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若tan 3A =，π4B =，bc ==a （ ）A ．2B ．3C ．D ．2．（2024·重庆·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222π,6,33B b a c ac ==+=，则ABC V 的面积为（ ）A B ．94C D ．92二、多选题3．（2024·重庆·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边为,,,a b c 若2,6b c C p ===，则ABC V 的面积可以是（ ）A B ．3C ．D ．三、填空题4．（2024·山东威海·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a 4b c +=，cos C =．则sin A = ．5．（2024·北京西城·三模）在ABC V 中，若2c =，a =π6A Ð=，则sin C = ，b = .四、解答题6．（2024·陕西西安·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b c =.(1)若cos sin B C =，求tan B ；(2)若3cos ,4A a =，求ABC V 的面积.7．（2024·河北·一模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a b c +=．(1)求角C 的大小；(2)若1b =，2cos c b B =，求ABC V 的面积．8．（2024·贵州黔东南·二模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()sin sin 02A Cb A Bc ++-=.(1)求B ；(2)若5,8b a c =+=，求ABC V 的面积.9．（2024·江西新余·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积()2221sin 2S a c b B =+-.(1)求角B ；(2)若ABC Ð的平分线交AC 于点D ，3a =，4c =，求BD 的长.10．（2024·陕西西安·一模）在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，πsin sin 02c A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，6c =.(1)求角C ；(2)若=c ，求ABC V 的周长.一、单选题1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3sin()sin ,2B C A b -+=，则角C =（ ）A ．π6B ．π3C ．π4D ．π22．（2024·陕西·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()()sin sin sin sin c A C a b A B -=-+，若ABC V 3b ，则AC 边上的高为（ ）A B C D ．二、多选题3．（2024·江苏宿迁·三模）在ABC V 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若2cossin 2A Cb C +=，且边AC 上的中线BD ）A ．π3B =B ．b 的取值范围为[2,C ．ABC V 面积的最大值为D ．ABC V 周长的最大值为三、填空题4．（2024·湖北武汉·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，4cos a bC b a+=．且tan tan tan tan tan tan B A B C A C +=，则cos A = ．5．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2b =，22cos cos cos a cC B C=+，则2a c +的最大值为.四、解答题6．（2024·福建泉州·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知a b c <<且tan ,tan ,tan A B C 均为整数．(1)证明：2tan 1tan tan B A C -=；(2)设AC 的中点为D ，求CDB Ð的余弦值．7．（2024高三下·全国·专题练习）在①()()()sin sin sin sin b A B c a C A +=+-，②tan tan B C +=sinsin 2A Bc B +=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且______．(1)求角C 的大小；(2)已知7c =，D 是边AB 的中点，且CD CB ^，求CD 的长．8．（2024·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2222222b b c a c b a c b +-=-+-．(1)求A ；(2)若D 为AB 的中点，且6CD =，求cos ACB Ð．9．（2023·黑龙江佳木斯·三模）ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos sin cos cos c C B b C C A +=.(1)求∠A ；(2)若A ABC CB =Ð∠，满足3BD =，2CD =，四边形ABDC 是凸四边形，求四边形ABDC 面积的最大值．10．（2024·河北·二模）若ABC V 内一点P 满足PAB PBC PCA q Ð=Ð=Ð=，则称点P 为ABC V 的布洛卡点，q 为ABC V 的布洛卡角．如图，已知ABC V 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，q 为ABCV 的布洛卡角．(1)若b c =，且满足PBPA=ABC Ð的大小．(2)若ABC V 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBq =++ÐÐÐ．（ⅱ）若PB 平分ABC Ð，证明：2b ac =．1．（2024·上海·高考真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒ÐÐ，则BCA Ð= (精确到0.1度)2．（2024·北京·高考真题）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A Ð为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A Ð；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2024·天津·高考真题）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a B b c ===，，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．4．（2022·浙江·高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法S =a ，b ，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积．设某三角形的三边2a b c ===，则该三角形的面积S =．5．（2022·天津·高考真题）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值；(2)求sin B 的值；(3)求sin(2)A B -的值.6．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-．(1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+7．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC V 的周长．8．（2022·全国·高考真题）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C p=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．9．（2021·天津·高考真题）在ABC V ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．10．（2021·北京·高考真题）在ABC V 中，2cos c b B =，23C p=．（1）求B Ð；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC V 的周长为4+条件③：ABC V 11．（2021·全国·高考真题）记ABC V 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C Ð=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC Ð.1．1．12．（2020·全国·高考真题）如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∠CAE =30°，则cos ∠FCB =.13．（2020·天津·高考真题）在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知 5,a b c ===（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求sin 24A p ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．14．（2020·北京·高考真题）在ABC V 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC V 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-；条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．15．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 0b A =．（I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020·山东·高考真题）在①ac =②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC V ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，6C p=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．18．（2020·全国·高考真题）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC V 的面积；（2）若sin A C ，求C .19．（2020·全国·高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A p ++=．（1）求A ；（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．20．（2020·全国·高考真题）ABC V 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC V 周长的最大值.。
解直角三角形复习学案1
播种良好习惯 收获辉煌人生 2012.4.12解直角三角形复习教学设计命题人 ：陈光双教学目标：1复习巩固解直角三角形的方法，使学生形成解直角三角形的知识网络体系。
2灵活应用解直角三角形的知识解决现实中的实际问题。
课前复习学案：1画出单元知识网络图：2在Rt △ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 为锐角，它们所对的边分别为c 、a 、b ，其中除直角c 外，其余的5个元素之间有以下关系：⑴ 三边之间的关系：⑵ 锐角之间的关系： ⑶ 边角之间的关系：3如图: 在Rt △ABC 中，∠C=90°：⑴已知∠A 、 c, 则a=__________;b=_________。
⑵已知∠A 、 b, 则a=__________;c= 。
⑶已知∠A 、 a ，则b=__________;c= 。
⑷已知a 、b ，则c=__________。
⑸已知a 、c ，则b=__________ 。
课前练习： 1、在下列直角三角形中，不能解的是（ ）A 、 已知一直角边和所对的角B 、 已知两个锐角C 、 已知斜边和一个锐角D 、 已知两直角边 2、在△ABC 中，∠C=90°，解这个直角三角形。
⑴∠A=600，斜边上的高CD = ⑵∠A=600，a+b=3+A Bba c ┏ C A B ba c ┏C 360A B C D3播种良好习惯 收获辉煌人生 2012.4.12课中复习学案： 拓展提高：1 [1]如图，在△ABC 中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求△ABC 的面积。
综合应用：2、如果这辆坦克能够爬300 小山？3、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以 内的区域。
如图，设A 、B 是我们的观察站，A 和B 之间 的距离为160海里，海岸线是过A 、B 的一条直线。
一艘 外国船只航行到P 点，在A 点测得 ∠BAP=450，同时在B 点测得 ∠ABP=600。
第10讲 图形类解三角形综合(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
第10讲 图形类解三角形综合（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分【备考策略】1.熟练掌握正余弦定理及面积公式解三角形2.在几何图形中能熟练使用相关定理求解【命题预测】本节内容一般会在解答题中进行命题考查，考查学生的图形转化及计算能力，需重点备考复习1.正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2.余弦定理2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C=+-3.三角形的面积公式ah S ABC 21=∆，A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆1．（江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B ==°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC Ð=-，求tan DAC Ð的值．2．（全国·高考真题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ^,求ABD ∆的面积.3．（四川·高考真题）如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.（1）证明：（2）若求的值.4．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形ABCD 中，2,4AB BC CD AD ====.(1)若,,,A B C D 四点共圆，求AC ；(2)求四边形ABCD 面积的最大值.5．（23-24高三上·江西·期末）如图，在△ABC 中，AB =BC =2，D 为△ABC 外一点，AD =2CD =4，记∠BAD =α，∠BCD =β.(1)求2cos cos a b -的值；(2)若△ABD 的面积为1S ，△BCD 的面积为2S ，求2212S S +的最大值.1．（湖南·高考真题）如图，在平面四边形中，,(1)求的值；(2)求的长2．（湖南·高考真题）如图所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC .（1）求cos ∠CAD 的值；（2）若cos ∠BAD sin ∠CBA ，求BC 的长．3．（2024·青海海西·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，,cos AB AD B ACB BC ^=Ð==(1)求AC ；(2)若ACD V 的面积为32，求CD ．4．（2024·山东菏泽·二模）已知在ABC V 中，2,CA CB ABC ×=-uuu r uuu r △(1)求角C 的度数；(2)若2,,BC D E =是AB 上的动点，且DCE Ð始终等于30°，记CED a Ð=．当DE 取到最小值时，求a 的值．1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）如图，在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6AB =，AC =BC =D 在边BC 上，且60ADC Ð=°.(1)求sin B ；(2)求线段AD 的长.2．（23-24高三上·湖北·期末）如图，在ABC V 中，6AB AC ==，点D 是边BC 上一点，且,cos AD AB CAD Ð^=2AE EB =uuu r uuu r(1)求BCE V 的面积；(2)求线段AD 的长.3．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD 中，90ADC Ð=°，45A Ð=°，4AB =，10BD =．(1)求cos ADB Ð；(2)若BCD △的面积为BC ．4．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，,120,2,AB BC ADC AB CD AD ACD ^Ð==°=△的面(1)求sin CAB Ð；(2)证明：CAB CAD Ð=Ð．5．（2024·江西南昌·一模）如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边10AC =，ππ,34BAC DAC ÐÐ==，BD 交AC 于点E .(2)求AE .6．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）已知A ，B ，C ，D 四点逆时针排列于同一个圆O 上，其中24,BC AB ABC ==△的面积为π2ABC Ð>．(1)求边AC 的长；(2)当圆心O 在AD 上时，求tan CAD Ð．7．（23-24高三上·江西·阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，5BD =，60CBD Ð=°.(1)若1sin 4BCD Ð=，求CD 的长；(2)若2AD =，求cos ABD Ð.8．（23-24高三上·安徽·期末）如图,在ABC V 中,CAB Ð的平分线交BC 边于点E ,点D 在AB 边上,7AE =,AD =cos Ð=CAE(1)求ADE Ð的大小;(2)若2π3ACB Ð=,求CDE V 的面积.9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，//AB CD ，sin cos AD D ACD ×=×Ð，BAC Ð的角平分线与BC 相交于点E ，且1,AE AB ==(1)求ACD Ð的大小；10．（2024·山西晋中·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222b c bc a ++=.(1)求tan A ；(2)若)1b c =，在边BC 上（不含端点）存在点D ，使得1AD =，求a 的取值范围．1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在ABC V 中，已知3,6,AB AC A ==为锐角，,BC AC 边上的两条中线,AM BN相交于点,P ABC V(1)求BC 的长度；(2)求APB Ð的余弦值.2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角的对边，且sin cos A a C b c +=+．(1)求A ；(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点B ，C 顺时针方向旋转15o ，30o ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC Ð=o ，求AD ．3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点A ，B ，C ，D 构成的四边形ABCD 中，1AB =，2BC =，3CD =，4=AD .(1)求ACD V 面积的取值范围；(2)若四边形ABCD 存在外接圆，求外接圆面积.4．（2024·浙江绍兴·二模）在三角形ABC 中，内角,,A B C 对应边分别为,,a b c且cos sin 2b C B a c =+.(1)求B Ð的大小；(2)如图所示，D 为ABC V 外一点，DCB B Ð=Ð，CD =1BC =，30CAD Ð=o ，求sin BCA Ð及ABC V 的面积.5．（2024·广西来宾·模拟预测）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为BAC Ð平分线，tan (2)tan b A c b B=-(1)求A ；(2)若::2:c AD b =，AD 上存在点M ，使得12ABM p Ð=，求ABM ACD S S △△．6．（2024·湖南衡阳·三模）在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos 2cos cos 0c B a A b C ++=．(1)求A ；(2)如图所示，D 为平面上一点，与ABC V 构成一个四边形ABDC ，且π3BDC Ð=，若2c b ==，求AD 的最大值．7．（23-24高一下·河北保定·期末）阿波罗尼奥斯（Apollonius ）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和的两倍，即如果AD 是ABC V 中BC 边上的中线，则222222BC AB AC AD éùæö+=+êúç÷èøêúëû.(1)若在ABC V 中，5AB =，3AC =，π3BAC Ð=，求此三角形BC 边上的中线长；(2)请证明题干中的定理；(3)如图ABC V 中，若AB AC >，D 为BC 中点，3BD DC ==，()sin 3sin 3sin a A b B b A C +=-，ABC S △，求cos DAC Ð的值.8．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，120AB AC ADC CAB ==Ð=Ð=°，设DAC Ðq =.(1)若2AD =，求BD 的长；(2)若15ADB Ð=°，求tan q .9．（23-24高一下·广东茂名·期末）如图所示，在ABC V 中，3AB AC =，AD 平分BAC Ð，且AD kAC =.(1)若2DC =，求BC 的长度；(2)求k 的取值范围；(3)若1ABC S =△，求k 为何值时，BC 最短.10．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，在ABC V 中，已知2AB =，AC =，45BAC Ð=°，BC 边上的中点为M ，点N 是边AC 上的动点（不含端点），AM ，BN 相交于点P ．(1)求BAM Ð的正弦值；(2)当点N 为AC 中点时，求MPN Ð的余弦值．(3)当NA NB ×uuu r uuu r 取得最小值时，设BP BN l =uuu r uuu r ，求l 的值．1．（北京·高考真题）如图，在ABC ∆中， 3B pÐ=， 8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC Ð=.（1）求sin BAD Ð；（2）求,BD AC 的长.2．（安徽·高考真题）在V ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.3．（海南·高考真题）如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD 交AC 于E ，AB=2.（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE ．4．（全国·高考真题）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．5．（湖南·高考真题）如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AB AD =，记CAD a Ð=,ABC b Ð=.（1）证明sin cos 20a b +=；（2）若AC ，求b 的值.。
第十章三角形的有关证明复习课教案
第十章三角形的有关证明复习课教案教学目标: 1.知识目标: 复习全等三角形, 线段垂直平分线的性质定理与逆定理, 角平分线的性质定理与逆定理, 三角形三边垂直平分线的特点, 三角的角平分线的特点。
2.能力目标: 应用上述知识解决一些类型题, 掌握方法, 培养学生分析问题解决问题的能力, 通过学生小组合作学习, 培养学生团结协作的能力。
3.情感目标: 通过情境导入, 让学生充分体会数学来源于生活, 应用于生活。
通过小组合作学习, 培养学生的集体荣誉感。
教学重难点：知识点的应用解题, 方法的归纳总结, 小组的团结协作。
教学方法: 学生合作学习, 教师指导教学。
教学准备：学案, 多媒体课件教学过程:本环节课前学生认真填写, 组内订正答案, 发挥小组的作用生生检查, 教师巡视指导。
本环节大胆放给学生充当设计师, 鼓励学生利用自己所学知识解决实际问题, 充分体会数学来源于生活, 服务于生活。
此题有三组全等三角形, 找学生上黑板展示方法, 归纳思路, 教师指导。
此题介绍两种方法, 重点为了练习本章新学的“HL”判定此题大部分学生会选择证全等, 教师旨在让学生练习线段垂直平分线的性质定理和逆定理。
此题应用两种方法解决。
此题旨在复习全等和线段垂直平分线的性质定理, 学生有可能证两次全等, 尽量让学生指出麻烦的问题所在, 教师指导。
通过此题旨在找出与第4题的联系, 掌握辅助线的添加, 从而解决问题。
通过此题教师意在（1）让学生练习角平分线的性质定理, 线段垂直平分线的性质定理和全等（2）看到线段垂直平分线上的点马上连接点与线段两端点, 得到相等线段。
小结收获: 本节你有哪些收获？包括（1）知识收获（2）能力收获五、作业: 必作: 1.从学案中挑2——3道自己掌握得不太好的题, 整理在错题本上。
2.如图, 在四边形ABCD中, AD BC, AE平分BAD, BE平分ABC求证: AB=AD+BC选作: 用两种方法解决第2题。
解直角三角形复习课导学案3(配课件)
解直角三角形复习课导学案
一、学习目标：
1、 熟练掌握解直角三角形的方法。
2、 形成解直角三角形两种基本图形的解题思路。
二、学习内容：
㈠、复习直角三角形的边角关系。
1、 锐角之间的关系：
2、 三边之间的关系：
3、 角与边之间的关系：
㈡、填空题
1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90º， a=3,b=4，,则sinB=
2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90º，sinB=53 AC=6，求AB=
3、如图在Rt △ABC 中，∠C=90º，sinB=53 BC=8，求AB=
㈢、解答题
1、如图在△ABC 中，AD ⊥BC,BC=6 , ∠B=30º, ∠C=45º,求△ABC 的面积。
2、如图在△ABC 中，AD ⊥BC, AC=
10 , ∠B=30º, tanC=31 ,求BC 的长度
3、 附加题
如图在 △ABC 中，AD 是边BC 上的高，E 为边AC 的中点，BC=14，AD=12，sinB= 5
4 ,
求（1）线段DC 的长。
（2） tan ∠EDC 的值
4、如图在△ABC 中,CB=2, ∠B=45º, ∠C=120º,求BC 边上的高。
5、附加题
如图在△ABC 中，AC ⊥BC, ∠ABC=30º, 点D 是BC 延长线上一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为多少？
㈣当堂检测：
1、如图在△ABC 中，∠C=90º AC=8, AB 垂直平分线MN 交AC 于 D ，连接BD ，若cos ∠BDC=53 ,则求BC 的长？。
《解三角形》复习学案
期末复习 - ----《解三角形》一、 【知识梳理】1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a。
2．斜三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 。
3．三角形的面积公式：（1）S ＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；（4）S ＝2R 2sinAsinBsinC 。
（R 为外接圆半径）4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
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解三角形
一.正弦定理：
1.正弦定理： （其中R 是三角形外接圆的半径）
2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===
③边化角 R
c
C R b B R a A 2sin 2sin 2sin =
==
练习：△ABC 中，①B b A a cos cos =
②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：
如图△ABC 中，AD 是A ∠
4.判断三角形解的个数：
△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，无解；
②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <<sin 时，有两个解。
二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21
sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC
)(2
1
++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理
1.余弦定理：=2
a )cos 1(2)(2
A bc c b +-+=
=2
b )cos 1(2)(2
B ac c a +-+=
=2
c )cos 1(2)(2
C ab b a +-+=
注：后面的变形常与韦达定理结合使用。
2.变形： =A cos
=B cos
=C cos
注意整体代入，练习：=⇒=-+B ac b c a cos 2
2
2。
3.三角形中线：
△ABC 中， D 是BC 的中点，则22222
1
BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状
①若2
22c b a >+时,角C 是 角 ②若2
22c b a =+时,角C 是 角 ③若2
22c b a <+时,角C 是 角
练习:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围;
5.应用
用余弦定理求角时只有一个解 四.应用题
1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；
③将实际问题转化为数学问题； ④作答
2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等
如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。
[高频考点]
考点一__利用正、余弦定理解三角形____________
(2014·高考安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫A ＋π4的值．
考点二__利用正、余弦定理判定三角形的形状_____
在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
考点三__与三角形面积有关的问题______________
(2014·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B
方位角 北 俯角
仰角
张角
＝3sin A cos A －3sin B cos B .
(1)求角C 的大小；
(2)若sin A ＝4
5
，求△ABC 的面积．
1．(2014·高考江西卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2
＝(a －b )2
＋6，C ＝π
3
，则△ABC
的面积是( )
A ．3 B.932 C.33
2
D ．33
2．(2015·安庆模拟)在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，sin C ＝1，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2 D ．2∶3∶1
3．(2015·石家庄质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，且
c ＝2a ，则cos B 的值为( )
A.14
B.34
C.24
D.2
3
4．(2013·高考陕西卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
5．(2015·福建厦门检测)已知△ABC 中，设三个内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝3，A ＝30°，则c ＝________．
6．(2014·高考广东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则a b ＝________．
7．(2013·高考浙江卷)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c, 且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积．
8．(必修5P118练习(3)改编)在四边形ABCD中，∠DAB与∠DCB互补，AB＝1，CD＝DA＝2，对角线BD＝7.
(1)求BC；
(2)求四边形ABCD的面积．
9．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，则∠A＝________，△ABC的形状为________．
10．(选做题)(必修5P25B组T3改编)是否存在满足以下条件的三角形，
①三边长是三个连续偶数；
②最大角是最小角的2倍．
若存在，求出该三角形的内切圆半径；若不存在，说明理由．。