导学案001集合的概念及运算

集合的概念及运算

考纲要求

（1）集合的含义与表示

①了解集合的含义、元素与集合的属于关系.

②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体

问题.

（2）集合间的基本关系

①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

②在具体情境中，了解全集与空集的含义.

（3）集合的基本运算

①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

③能使用韦恩（V enn）图表达集合的关系及运算.

考情分析

1.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易

做，大多都是送分题；

2.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行

一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现；

3.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1、2题.

教学过程

基础梳理

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A

a∈；若b不是集合A的元素，记作A

b?；

（2）集合中的元素必须满足、、。

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则

或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只

有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相

同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，与顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或韦恩图法；

列举法：把集合中的元素出来，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的描述出来，写在大括号

{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作；

正整数集，记作或；

整数集，记作；

有理数集，记作；

实数集，记作。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的，则称A是B的子集，记作A?B；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若，则称A等于B，记作A=B；若A?B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；

（2）简单性质：1）A?A；2）Φ?A；3）若A?B，B?C，则A?C；4）若

集合A是n个元素的集合，则集合A有子集（其中2n－1个真子集）；3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；（2）若S是一个集合，A?S，则，

C= 称S中子集A的补集；

S

（3）简单性质：1）

C(S C A)=；2）S C S=Φ，ΦS C=S。

S

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A 与B的交集。交集}

B

A∈

∈

x

?且。

=

|

{B

x

x

A

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。}

∈

A∈

=

B

?或

并集。

x

|

{B

A

x

x

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”。

5．集合的简单性质：

（1）;

,

,A

B

B

A

A

A

A

A?

=

?

Φ

=

Φ

?

=

?

（2）;

,A

B

B

A

A

A?

=

?

=

Φ

?

（3）);

(

)

(B

A

B

A?

?

?

（4）B

B

A

B

A

A

B

A

B

A=

?

?

?

=

?

?

?;；

（5）

S

C（A∩B）=（S C A）∪（S C B），S C（A∪B）=（S C A）∩（S C B）。

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于( )．

A．{x|3≤x＜4} B．{x|x≥3}

C．{x|x＞2} D．{x|x≥2}

2、已知不等式组

210

360

x

x

->

?

?

-≤

?

的解集为,A U R

=,则e______

A=

3、(2011·浙江)若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )．

A．P?Q B．Q?P C．?R P?Q D．Q??R P

4、已知集合[1,4),(,)

A B a

==-∞，若A B A=

,则实数a的取值范围是________ 5、对于集合M、N定义{(,)|,},{1,2},{3,4,5}

M N a b a A b B M N

?=∈∈==

若，则{____________________________________}.

M N

?=

典例分析

考点一、元素与集合

[例1](2010·江苏高考)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．

[例2](2010·福建高考)对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质

“对任意x ，y ∈S ，必有

xy ∈S ”，则当???

a ＝1，

b 2

＝1，

c 2＝b ，

时，b ＋c ＋d 等于

( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．i

变式1。1．(2012·北京东城区模拟)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数为 ( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

：

解决元素与集合的关系问题，首先要正确理解集合的有关概念，元素属不属于集合，关键就看这个元素是否符合集合中代表元素的特性. 考点二、集合间的基本关系

[例3] (2011·浙江高考)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则 （ ）

A ．P ?Q

B ．Q ?P

C ．?R P ?Q

D ．Q ??R P

[例4]已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ?A ，求实数m 的取值范围．

变式2(2011·江苏)设集合A ＝?

??

x ，y ??? m

2

≤x －22

＋y 2≤m 2，

?

??

x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R}．若A ∩B ≠?，则实数

m 的取值范围是________．

：

1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，

从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2.已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．

考点三、集合的基本运算

[例5] (2011·江西高考)若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于 ( )

A．M∪N B．M∩N

C．(?UM)∪(?UN) D．(?UM)∩(?UN)

变式3.将例5中的条件“M＝{2,3}”改为“M∩N＝N”，试求满足条

件的集合M的个数．

[例6](2011·湖北高考)已知U＝{y|y＝log2x，x＞1}，P＝{y|y＝1

x

，x＞2}，

则?U P＝()

A．[1

2

，＋∞) B．(0，

1

2

)

C．(0，＋∞) D．(－∞，0]∪[1

2

，＋∞)

变式4.(2012·鞍山模拟)集合A＝{1,3，x}，集合B＝{x2,1}且A∪B＝{1,3，x}，则这样的x值的个数是 ( )

A．1 B．2

C．3 D．4

：

集合运算时首先是等价转换集合的表示方法或化简集合，然后用数轴图示法求解．

考题范例

(2011·广东高考)已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为( )

A．4 B．3

C．2 D．1

[巧妙运用]

圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝

2

2

<1，因此，直线x＋y＝1

与圆x2＋y2＝1相交，有两个交点，

因此，A∩B的元素个数为2.

一个性质

要注意应用A?B、A∩B＝A、A∪B＝B、?U A??U B、A∩(?U B)＝?这五个关系式的等价性．

两种方法

韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．

三个防范

(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．

(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．

(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因

为不满足“互异性”而导致结论错误．

本节检测

1、设A 、B 两个集合，下列四个命题：

①,A B x R x B ???∈?有；②A B A B ??=? ； ③;A B A B ??? ④,A B x A x B ?∈?存在使得?. 其中真命题的序号是

（把符合要求的命题序号都填上）.

2、满足{}{}1,31,3,5A ?=的集合A 有_________个

3、定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ ，设集合

{0,1},

{A B ==，集合A B 的所有元素之和为 .

4、若{}{}1,2,3,4,5,0,2,3P Q ==，且

定义{}|,A B x x A x B -=∈?且则()()__________P Q Q P -?-=

5. (2011·浙江)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )． A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P

6. (2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞)

C ．[－1,1]

D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

自我反思：