多元函数及隐函数求导

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§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

M
26
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定理2 若函数 F (x, y, z) 满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F (x0 , y0, z0) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x) 两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x0
ex y cos y x (0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
8
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例3 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解 dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cos t
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
x y
解 z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
7
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例2 u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y

讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导

9.3 .
多元复合函数与隐函数的偏导数 1. 一个方程所确定的隐函数可能是
13
F (x, y, z ) = 0 2. 方程组所确定的隐函数可能是
F (x, y, z ) = 0
G(x, y, z ) = 0
以下分别针对不同的隐函数方程形式讨论其中的求导问题：隐函数存在定理 I：若函数 F (x, y ) 满足： (1) F (x0 , y0 ) = 0
′ 2. 设 f (x, y ) 一阶偏导连续，f (1, 1) = 1, f ′ x (1, 1) = 2，f y (1, 1) = 3，又 ϕ(x) = 3 dϕ (x) f (x, f (x, x))，求。 dx x=1
NUDT-2017-S3
F (x, y, z ) = 0 G(x, y, z ) = 0 , ,
′ 例：设由 ln(xz ) + arctan(yz ) = 0 可确定隐函数 z = z (x, y )，求 zx 。
f (x, f (x, f (x, x)))，求 ϕ(1) 与 ϕ′ (1)。例：设 u = u(x) 由 u = f (x, y ), g (x, y, z ) = 0, h(x, z ) = 0
.
注：以上的求法法则可以形象地解释为： “嵌套”→ 乘积， “并列”→ 相加 ∂z ∂z 例：对下列函数分别求和 ∂x ∂y (1) z = eu cos v, u = 2x − y, v = xy (2) z = f (3x + 2y, x2 + y 2 )
∂z ∂z 和 ∂x ∂y ∂z ∂z 例：设 z = f (x/y )，其中 f 可微，证明：x +y =0 ∂x ∂y 例：设 z = xy + xf (x/y )，其中 f 可微，证明：例：设 z = f (x, x + y, x/y )，其中 f 可微，求 x ∂z ∂z +y = xy + z ∂x ∂y dz dt

5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则

dy ,求 dx
x
vuv 1 ( sinx) uv lnu(cos x)
(cos x)
1 sin x
[lncos x tan x]
2
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§5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则
例
u f ( x, y, z ) e
x2 y2 z2
u f 解 x x
z z , . 例设 z e sin v , u x y , v x y ,求 x y z z v 解 x v x e u sin v y e u cos v 1 z
u
u
z y z v v y
v yx y
x
e u sin v x e u cos v 1
链式法则如图示 (两个中间变量, 两个自变量的情形)
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
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§5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则
2 2
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§5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则
dz 例设 z uv sin t , u e t , v cos t , 求全导数 . dt P170 dz z du z 解 z dt u dt t
vet
cos t
u v t
e t (cos t sin t ) cos t
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y )的两个
偏导数存在，且可用下列公式计算

多元函数隐函数求导

多元函数隐函数求导
隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是指在多元函数中，存在一些变量是由其他变量隐式定义的，而求这些变量的导数就是隐函数求导。

在一元函数中，我们可以通过对函数直接求导来得到导数，但在多元函数中，由于存在多个自变量，直接求导不是那么容易。

因此，我们需要使用隐函数求导的方法来解决这个问题。

在多元函数中，如果存在一个变量是由其他变量隐式定义的，那么我们可以通过对这个多元函数进行求导，来得到这个变量的导数。

这个方法就是隐函数求导。

具体来说，我们可以通过偏导数的方法来求解隐函数的导数。

偏导数是指在多元函数中，将其他变量视为常数，对某一个变量进行求导。

因此，我们可以通过对多元函数进行偏导数求解，来得到隐函数的导数。

在实际应用中，隐函数求导可以用于求解各种物理问题，例如求解曲线的切线方程、求解曲面的法线方程等。

此外，在经济、工程、生物等领域中，隐函数求导也有着广泛的应用。

隐函数求导的方法并不难，但需要注意的是，我们需要对多元函数进行适当的变形，以便于使用偏导数的方法来求解隐函数的导数。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择适当的方法，以便于求解出我们所需要的隐函数导数。

隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它可以用于求解各种实际问题。

在学习隐函数求导时，我们需要掌握基本的方法和技巧，并灵活运用这些方法来解决具体的问题。

多元函数隐函数求导

多元函数隐函数求导一、前言多元函数隐函数求导是微积分中的重要内容，也是高等数学的难点之一。

本文将详细介绍多元函数隐函数求导的相关知识。

二、基本概念1. 多元函数多元函数是指有两个或两个以上自变量的函数，例如：$f(x,y)$。

2. 隐函数隐函数是指由方程确定的关系式中，其中一个变量可以表示为其他变量的表达式，例如：$x^2+y^2=1$ 中的 $y$ 可以表示为$y=\sqrt{1-x^2}$。

3. 隐函数定理隐函数定理是指在一定条件下，可以通过对方程进行求导来求解出隐含在方程中的某个变量关于另一个变量的导数。

三、求解方法1. 基本步骤对于一个由 $n$ 个自变量和 $m$ 个因变量组成的方程组：$$\begin{cases}F_1(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\F_2(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0 \\\cdots \\F_m(x_1,x_2,\cdots,x_n,y_1,y_2,\cdots,y_m)=0\end{cases}$$如果其中某个因变量 $y_i$ 可以表示为自变量$x_1,x_2,\cdots,x_n$ 的函数，即：$$y_i=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$$则称 $y_i$ 为隐函数。

求解隐函数的一般步骤如下：（1）对方程组中的每个方程都求偏导数；（2）将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中；（3）计算雅可比矩阵的行列式，如果不等于零，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。

2. 具体例子例如，对于方程组：$$\begin{cases}x^3+y^3+z^3=6xyz \\x+y+z=4\end{cases}$$我们可以将其中一个因变量 $z$ 表示为自变量 $x,y$ 的函数。

首先对方程组中的每个方程都求偏导数：$$\begin{cases}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x}=6yz+6xy\frac{\partial y}{\partial x} \\3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partialz}{\partial y}=6xz+6xy\frac{\partial x}{\partial y} \\1+\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=0\end{cases}$$将求得的偏导数代入到雅可比矩阵中：$$J=\begin{pmatrix}3x^2+3y^2\frac{\partial y}{\partial x}+3z^2\frac{\partialz}{\partial x} & 6xy & 6xz \\6xy & 3x^2\frac{\partial x}{\partial y}+3y^2+3z^2\frac{\partial z}{\partial y} & 6yz \\1+\frac{\partial z}{\partial x} & 1+\frac{\partial z}{\partial y} & 0 \end{pmatrix}$$计算雅可比矩阵的行列式：$$|J|=18xyz-27x^2y^2z-27xy^2z^2+4x^3z^3+4y^3z^3$$如果 $|J|\neq0$，则可以通过隐函数定理解出隐函数关于某个自变量的导数。

多元函数及隐函数求导

多元函数的极值定义与性质
极值性质
极值点不一定是函数取得最大值或最小值的点；
极值点是函数值改变方向的点；
极值点可能是连续函数的不连续点。
多元函数的最值定义与性质
• 最值定义：设函数$f(x,y)$在闭区域$\Omega$上有定义，如果存在点$(x_0,y_0) \in \Omega$，使得对于所有$(x,y) \in \Omega$都有$f(x,y) \leq f(x_0,y_0)$（或$f(x,y) \geq f(x_0,y_0)$），则称$f(x,y)$在区域$\Omega$上取得最大值（或最小值）。
生物问题
在工程学中，隐函数可以用来描述机械运动、流体动力学等物理现象。
在生物学中，隐函数可以用来描述种群增长、生态平衡等生物现象。
03
高阶导数与全微分
高阶导数的概念与性质
概念
高阶导数是指一个函数在某一点的导数，对其再次求导，得到的二阶导数、三阶导数等统称为高阶导数。
性质
高阶导数的计算涉及到多个求导法则，如链式法则、乘积法则、商的求导法则等。高阶导数的计算可以揭示函数的局部性质，如拐点、极值点等。
全微分的概念与性质
概念
全微分是指一个多元函数在某一点的微分，它表示函数在该点附近的小变化。全微分等于各个偏导数与相应变量的乘积之和。
VS
性质
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们微分的和或差。全微分还具有连续性，即如果函数在某点可微，则其全微分在该点连续。
全微分在实际问题中的应用
多元函数及隐函数求导
• 多元函数导数与偏导数 • 隐函数求导法则 • 高阶导数与全微分 • 多元函数极值与最值 • 多元函数及隐函数求导的应用实例

6.3 多元复合函数和隐函数的求导法则

6.3 多元复合函数和隐函数求导法则6．3．1 复合函数的求导法则思考：设),(v u f z =，而)(t u ϕ=，)(t v ψ=，如何求dtdz ？设),(v u f z =，而),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=，如何求x z ∂∂和y z ∂∂？ 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数)(t u ϕ=及)(t v ψ=都在点t 可导, 函数),(v u f z =在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数)](),([t t f z ψϕ=在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简证1：因为),(v u f z =具有连续的偏导数, 则它是可微的, 即有dv v z du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为)(t u ϕ=，)(t v ψ=都可导, 因而可微, 即有dt dt du du =, dt dt dv dv =, 代入上式得：dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dtdv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 简证2：当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z ，由),(v u f z =、)(t u ϕ=及)(t v ψ=的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂= )()()()(ρo t o vz u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, to t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=. 注：0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dtdv dt du t v u o t o t t ρρρ.推广：设),,(w v u f z =，)(t u ϕ=，)(t v ψ=，)(t w w =，则)](),(),([t w t t f z ψϕ=对t 的导数为：dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=. 上述dtdz 称为全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2：如果函数),(y x u ϕ=，),(y x v ψ=都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂。

方程组多元函数隐函数求导

方程组多元函数隐函数求导
看求导的函数是一元函数还是多元函数，一元用dy/dx，多元用ay/ax，例如
z=f(u(t),v(t))，这是复合函数，t通过u,v复合得到z=f(u,v)，本质上只有一个变量t，因此z对t求导用dz/dt，即dz/dt=az/au*du/dt+az/av*dv/dt
全导数的概念就是对只有一个自变量而言的.一个多元函数无论与其他函数多少次复合,只要最终只有一个自变量,我们对这个唯一的自变量求导,求得的就是全导数.
而多元函数,无论它是否是与多元函数还是一元函数无机,只要最终函数的自变量远不
止一个,那么就不存有全系列导数了,对各个自变量分别求出的就是略偏导数.
例如z=f(u),u=g(x,y),复合函数z=f(g(x,y))就不存在对自变量x或y的全导数,只
有对x或y的偏导数.
以一例表明
设：u(x,y) = ax^m + bxy + cy^n
若谋u(x,y)的微分：
= [amx^(m-1) + by]dx + [bx + cny^(n-1)]dy
其它高阶偏导相似方法展开.
或者：已知y=f(x，t)；其中t由方程f(x，y，t)=0确定；求dy/dx；
将②代入①式即为得：。

多元复合函数与隐函数的求导

2ulnv
x y2
u2 v
2
2x2 y3
ln 3x
2y
y2
2x2
3x
2y
当然，例1.1也可以用直接求导法，但是用链式法则求导具有思路清晰、计算简便、不易出错等优点。但是对于下例，就只能用链式法则来求导了。
例1.2 设 z f x 2y ，ysinx， f 具有一阶连续的偏导数，求
图8-5
注意
在复合函数求导的过程中，如果其中出现某一个中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数记号应改为一元函数的导数记号。
例1.3 设 z 2yຫໍສະໝຸດ x yx，y 求。zy
解
设 u x y ，v x y，则 z 2yuv ，其函数结构图为
所以 z z dy z u z v 。 y y dy u y v y
例如 z eu sinv ，而 u 2xy，v x2 y ，如何求 z ? x
1.1 复合函数的求导法则
1. 二元复合函数求导法则
分析
方法一（直接求导法）
z e2xy sin x2 y ，利用求导的乘法公式可得： z 2 ye2xysin x2 y 2xe2xycos x2 y
高等数学
多元复合函数与隐函数的求导
【本节导引】
在一元函数微分学中，我们学习过一元复合函数
的求导法则，对一元复合函数 y f g x，如果函数 y f u 对u可导、u g x对x可导，则 dy dy du f ' u g' x
dx du dx ，即函数 y 对自变量 x 的导数等于函数y 对中间变量 u 的导数与中间变量 u 对自变量 x 的导数的乘积。此一元复合函数的求导思想能不能应用到多元复合函数的求导上? 若能，如何推广?

多元复合函数与隐函数求导

第四节多元复合函数与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解：设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan

3多元复合函数与隐函数的求导法则

求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
解
m x
m u m v m v u x v x v x

f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v

f1 2x
f2 ye xy
z y

f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
于是
2w xz

f11

xyf12

yf2
yz(
f21

xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz

z x
dx

z y
dy中, 得
dz

z u

u x

z v

v x
dx

z y

z u

多元复合函数求导法和隐函数求导公式

通过练习和案例分析，提高解决多元复合函数和隐函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的求导法则，能够灵活运用链式法则、乘积法则等解决实际问题。
理解偏导数的概念及其性质，能够正确计算偏导数并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式，解决涉及方程组的导数问题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲线和曲面的导数，进而研究它们的几何性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地求出参数方程的导数，进而研究曲线的切线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。

(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则

z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5

6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

3uv , u e , v sin t , 求 . dt z du z dv dz 解 dt u dt v dt
2 4 t
(2uv 3v 4 ) e t ( u2 12uv 3 )cos t
(2e t sin t 3sin4 t )e t (e 2t 12e t sin3 t )cos t .
链导法则
特例1 若 z = f (u , v)，而 u ( x ), v ( x ) 都在点 x 处可导, 函数 z = f (u , v)在相应点(u , v)处可微，则复合函数 z f [ ( x ), ( x )] 在点 x 处可导， u 且 z x dz z du z dv 全导数 v
注意
情形(1) z f ( u, v , w ), u ( x , y ), v ( x , y ), w ( x , y ), 则 z u z v z w z x u
z
w
u
v
y
x y
z
z 是在 z f [ ( x , y ), x , y ] 中视 y 为常量，对 x 求偏导. x f 是在 z = f (u , x , y)中视 u , y 为常量，对 x 求偏导. x
类似一元函数具有微分形式不变性，二元函数具有全微分形式不变性. 设函数 z f ( u, v ), u ( x , y ), v ( x , y ) 均具有连续偏导数, 则复合函数 z f [ ( x , y ), ( x , y )] 的全微分为
z z dz dx dy x y z u z v z u z v dx dy u x v x u y v y z u u z v v dx dy dx dy u x y v x y

多元函数求导法则公式

多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。

1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。

求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。

根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。

2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。

求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。

同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。

根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。

同理，可以得到 dz/dy 的表达式。

3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。

求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。

求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。

多元复合函数和隐函数的求导法则

6.3 多元复合函数和隐函数求导法则6．3．1 复合函数的求导法则思考：设 z f (u, v) ，而 u (t) ， v (t) ，如何求 dz ？dt 设 z f (u, v) ，而 u (x, y) ， v (x, y) ，如何求 z 和 z ？x y1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u (t) 及 v (t) 都在点 t 可导函数 z f (u, v) 在对应点(u v)具有连续偏导数则复合函数 z f [(t), (t)]在点 t 可导且有 dz z du z dv dt u dt v dt简证 1：因为 z f (u, v) 具有连续的偏导数则它是可微的即有 dz z du z dv u v又因为 u (t) ， v (t) 都可导因而可微即有 du du dt dv dv dt dtdt代入上式得： dz z du dt z dv dt (z du z dv)dt u dt v dt u dt v dt从而 dz z du z dv dt u dt v dt简证 2：当 t 取得增量t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量u、v 及z ，由 z f (u, v) 、u (t) 及 v (t) 的可微性有z z u z vo() z [du t o(t)] z [dv t o(t)]o()u vu dtv dt(z du z dv)t (z z)o(t)o() u dt v dt u vz z du z dv ( z z ) o(t) o() t u dt v dt u v t t令t0 上式两边取极限即得dz z du z dv dt u dt v dt注： lim o() lim o() (u)2 (v)2 0( du )2 ( dv)2 0 t0 t t 0tdt dt1/9推广：设 z f (u, v, w)， u (t) ， v (t) ， w w(t) ，则 z f [(t), (t),w(t)]对 t2/9的导数为： dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt上述 dz 称为全导数 dt2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2：如果函数 u (x, y) ，v (x, y) 都在点(xy)具有对 x 及 y 的偏导数函数 zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数则复合函数 z f [(x, y), (x, y)] 在点(x y)的两个偏导数存在且有z z u z v ， z z u z v 。

多元函数及隐函数求导

§8.4 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

讲义-9.3-多元复合函数与隐函数求导

5.3 多元复合函数与隐函数的求导法则

多元函数 隐函数求导

多元函数隐函数求导

多元函数及隐函数求导

6.3 多元复合函数和隐函数的求导法则

方程组 多元函数隐函数求导

多元复合函数与隐函数的求导

多元复合函数与隐函数求导

3多元复合函数与隐函数的求导法则

多元复合函数求导法和隐函数求导公式

(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则

6.5 多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

多元函数求导法则公式

多元复合函数和隐函数的求导法则

多元函数隐函数求导

方程组多元函数隐函数求导