02、等腰三角形与勾股定理
等腰三角形的性质和判定的综合题目
-鼓励学生在课后继续思考、探索联系观点的内涵，为下一节课的学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固本章节的学习内容，培养学生的理论联系实际能力，特布置以下作业：
1.请同学们结合本节课所学的联系观点，选取一个生活中的实例，分析其中包含的联系特征及其影养学生合作、探究的学习能力，提高学生在案例分析中运用联系观点分析问题的能力。
-引导学生运用比较法、分析法等学习方法，深入挖掘联系现象背后的本质规律。
3.情感态度与价值观方面的重难点：
-培养学生对联系观点的认同，使学生认识到联系是事物发展的内在规律，树立正确的价值观。
-增强学生的社会责任感，培养学生关注社会、关注生活的态度。
3.强化实践环节，引导学生关注现实生活中的联系现象，提高学生理论联系实际的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.知识与技能方面的重难点：
-理解联系的普遍性、多样性、条件性等特征，并能运用联系的观点分析实际问题。
-掌握联系的方法论，学会从联系的角度认识问题、分析问题，提高解决问题的能力。
2.过程与方法方面的重难点：
5.观察日记：要求学生观察身边的事物和现象，运用联系观点进行分析，记录在日记中。持续一周，每天至少记录一个实例，并写出自己的思考。
6.课后实践：鼓励学生参加社会实践活动，将所学联系观点运用到实际中，如参与环保活动、社区服务等。要求学生撰写实践报告，不少于1000字，内容需包括实践过程、联系观点的应用及收获。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学内容：以现实生活中的实例导入新课，如“互联网的发展与人们生活的联系”、“环境保护与经济发展的联系”等，引发学生对联系概念的思考。
等腰三角形直角三角形勾股定理
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
三、基本练习 ㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是 如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等 等边对等角 的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分 线，底边上的中线，底边上的高互 相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形-知识点归纳及典型题解析
新人教版初中数学——等腰三角形与直角三角形知识点归纳与典型题解析一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、直角三角形与勾股定理1．直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．性质：（1）直角三角形两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方，即：a 2+b 2=c 2． （2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a 、b 、c 有关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．考向一 等腰三角形的性质1．等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴． 2．等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 4．等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b<a ． 5．等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°-2∠B ，∠B =∠C =2180A∠-︒．典例1 等腰三角形的一个内角为40°，则其余两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，100° B ．70°，70°C ．60°，80°D ．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的顶角为40°时，另外两个内角=（180°–40°）÷2=70°； ②若等腰三角形的底角为40°时，它的另外一个底角为40°，顶角为180°–40°–40°=100°． 所以另外两个内角的度数分别为：40°、100°或70°、70°．故选D ．【名师点睛】考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为180o ，解题关键是分情况进行讨论①已知角为顶角时；②已知角为底角时．典例2 如图，在ABC ∆中，AB =AC ，D 是BC 的中点，下列结论不正确的是（ ）A．AD BC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因为△ABC中，AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形的三线合一性质可得，A．AD⊥BC，故A选项正确；B．∠B=∠C，故B选项正确；C．无法得到AB=2BD，故C选项错误；D．AD平分∠BAC，故D选项正确．故选C．【名师点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质.1．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为__________cm.考向二等腰三角形的判定1．等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据．2．底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形．典例3 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．【解析】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EF，∴∠F=∠CAD，∠FEA=∠BAD，∴∠FEA=∠F，∴△AEF是等腰三角形．2．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状．考向三等边三角形的性质1．等边三角形具有等腰三角形的一切性质．2．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．3．等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合．典例4 如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE=1，则AC 的长为__________．【答案】4【解析】∵DE ⊥BC ，∠B =∠C =60°， ∴∠BDE =30°，∴BD =2BE =2，∵点D 为AB 边的中点，∴AB =2BD =4， ∵∠B =∠C =60°，∴△ABC 为等边三角形， ∴AC =AB =4，故答案为：4．【名师点睛】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得AB =2BD 是解题的关键.3．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在AC 上，以BD 为一边作等边BDE ∆，连接CE ． （1）说明ABD CBE ∆≅∆的理由； （2）若080BEC ∠=，求DBC ∠的度数．考向四 等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60°，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形．典例5 下列推理中，错误的是A ．∵∠A =∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB =AC ，且∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A =60°，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形D ．∵AB =AC ，∠B =60°，∴△ABC 是等边三角形 【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B，条件重复且条件不足，故不正确；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确．故选B．4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．考向五直角三角形在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形的边长，也是证明一边（30°角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据．当题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题．典例6 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若∠B=30°，BD=6，则CD 的长为__________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=12AD=3，故答案为：3．5．已知直角三角形的两条边分别是5和12，则斜边上的中线的长度为__________．考向六 勾股定理1．应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a 2+b 2=c 2时，斜边只能是c ．若b 为斜边，则关系式是a 2+c 2=b 2；若a 为斜边，则关系式是b 2+c 2=a 2．2．如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．典例7 cm cm ，则这个直角三角形的周长为__________.【答案】【解析】∵直角边长为cm cm ，∴斜边（cm ），∴周长cm ）.故答案为:【名师点睛】本题考查了二次根式与三角形边长，面积的综合运用.熟练掌握勾股定理的计算解出斜边是关键6．如图所示，在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =，D 为BC 边上的中点.（1）求BD 、AD 的长度；（2）将ABC ∆折叠，使A 与D 重合，得折痕EF ；求AE 、BE 的长度.1．直角三角形两直角边长分别为6和8，则此直角三角形斜边上的中线长是 A ．3B ．4C ．7D ．52．如图，ABC △是等边三角形，0,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°3．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB =AC ，顶角∠BAC =120°，跨度BC =10m ，AD 为支柱（即底边BC 的中线），两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE +DF 等于A ．10mB ．5mC ．2.5mD ．9.5m4．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，BDC ∆为顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，点M 、N 分别在AB 、AC 上，且60MDN ∠=︒，则AMN ∆的周长为A．2 B．3 C．1.5 D．2.55．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，AB=AC，CD=DE．若∠A=40°，∠ABD：∠DBC=3：4，则∠BDE=A．24°B．25°C．30°D．35°6．已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为A．22 B．17C．17或22 D．267．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为A．6 B．5C．4 D．38．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有A ．8个B ．9个C ．10个D ．11个9．如图，Rt △ABC 中，∠B =90〬，AB =9，BC =6，，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长等于A ．5B ．6C ．4D ．310．将一个有45°角的三角尺的直角顶点C 放在一张宽为3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点A 在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC 与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角尺的最长边的长为A ．6B ．C ．D ．11．三角形的三边a ，b ，c （b ﹣c ）2=0；则三角形是_____三角形. 12．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13cm ，BC =10cm ，△ABC 的面积=________．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35°，则这个等腰三角形顶角的度数为__________. 14．若一个等腰三角形的周长为26，一边长为6，则它的腰长为__________．15．如图，在ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上一点，且AD AE =，12EDC ∠=︒，则BAD ∠=__________．16．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠EFD=__________°．17．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上的一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为__________．18．如图，在Rt△ABC中，点E在AB上，把△ABC沿CE折叠后，点B恰好与斜边AC的中点D 重合.（1）求证：△ACE为等腰三角形；（2）若AB=6，求AE的长.19．如图，一架2.5 m 长的梯子斜立在竖直的墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7 m ．（1）求OA 的长度；（2）如果梯子顶端下滑0.4米，则梯子将滑出多少米？20．ABC ∆与DCE ∆有公共顶点C （顶点均按逆时针排列），AB AC =，DC DE =，180BAC CDE ∠+∠=︒，//DE BC ，点G 是BE 的中点，连接DG 并延长交直线BC 于点F ，连接,AF AD .（1）如图，当90BAC ∠=︒时， 求证：①BF CD =； ②AFD ∆是等腰直角三角形.（2）当60BAC ∠=︒时，画出相应的图形（画一个即可），并直接指出AFD ∆是何种特殊三角形.21．已知：如图，有人在岸上点C 的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB =10米，CA ⊥AB ，且CA =6米，拉动绳子将船从点B 沿BA 方向行驶到点D 后，绳长CD （1）试判定△ACD 的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD 的长度．1．如图，在OAB △和OCD △中，,,,40OA OB OC OD OA OC AOB COD ==>∠=∠=︒，连接,AC BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠．其中正确的个数为A ．4B ．3C ．2D ．12．在△ABC 中，AB =AC ，∠A =40°，则∠B =__________．3．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D ，E 都在边BC 上，∠BAD =∠CAE ，若BD =9，则CE 的长为__________．4．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，连接AC ，BD ．若90ACB ∠=︒，AC BC =，AB BD =，则ADC ∠=__________︒．5．腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．6．若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．7．如图，△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE =CF ，若∠BAE =25°，则∠ACF =__________度．8．如图，ABC △中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G ．（1）求证：EF BC =；（2）若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数．9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）若∠C =42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F ．求证：AE =FE ．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，BD =CE ，BE 、CD 相交于点O ．求证：（1）DBC ECB △≌△； （2）OB OC =．11．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ． （1）若∠C =36°，求∠BAD 的度数．（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 叫AD 的延长线于点F ．求证：FB =FE ．12．在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN =︒∠，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=．1．【答案】4cm 或5cm【解析】当长是4cm 的边是底边时，腰长是12（13–4）=4.5， 三边长为4cm ，4.5cm ，4.5cm ，等腰三角形成立；当长是4cm 的边是腰时，底边长是：13–4–4=5cm ，等腰三角形成立． 故底边长是：4cm 或5cm ．故答案是：4cm 或5cm【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．【解析】（1）由题意得：5−2<AB <5+2，即：3<AB <7，∵AB 为奇数，∴AB =5， ∴△ABC 的周长为5+5+2=12． （2）∵AB =AC =5， ∴△ABC 是等腰三角形． 3．【答案】（1）见解析；（2）20°.【解析】（1）由060ABC DBE ∠=∠=，得ABD CBE ∠=∠，由,AB BC BD BE ==， 得ABD CBE ∆≅∆（SAS ）；（2）由ABD CBE ∆≅∆，得060BCE A ∠=∠=，所以00000180180806040CBE BEC BCE ∠=-∠-∠=--=， 所以000060604020DBC CBE ∠=-∠=-=.【名师点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，先证明三角形全等是解决本题的突破口． 4．【答案】5【解析】已知∠AON =60°，当OP =OA =5时，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，可得△AOP 为等边三角形．故答案为：5． 5．【答案】6或6.5【解析】分两种情况：①5和12是两条直角边，根据勾股定理求得斜边为13，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6.5；②5是直角边，12为斜边，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得斜边上的中线的长度为6，故答案为：6或6.5．6．【答案】（1）BD =2，AD =2）136AE =，56BE = 【解析】（1）∵在ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， ∴在Rt ABC ∆中，222225316BC AC AB =-=-=， ∴4BC =，又∵D 为BC 边上的中点， ∴122BD DC BC ===， ∴在Rt ABD ∆中，222222133AD AB BD =+=+=，∴AD =（2）ABC ∆折叠后如图所示，EF 为折痕，连接DE ，设AE x =，则DE x =，3BE x =-，在Rt BDE ∆中，222BE BD DE +=，即()22232x x -+=，解得：136x =， ∴136AE =， ∴135366BE =-=． 【名师点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，也考查了折叠的性质.是常见中考题型.1．【答案】D【解析】∵两直角边分别为6和8，∴斜边10=， ∴斜边上的中线=12×10=5，故选D ． 【名师点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质以及勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键． 2．【答案】A 【解析】ABC △是等边三角形，AC AB BC ∴==，又BC BD =，AB BD ∴=，∴20BAD BDA ∠=∠=︒0180CBD BAD BDA ABC ∴∠=-∠-∠-∠0000018020206080=---=，BC BD =，∴11(180)(18080)5022BCD CBD ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒，故选A ．【名师点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质、等边对等角以及三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是正确解答本题的关键. 3．【答案】B【解析】∵AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠B =∠C =30°， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足为E ，F ，∴DE =12BD ，DF =12DC ， ∴DE +DF =12BD +12DC =12（BD +DC ）=12B C ．∴DE +DF =12BC =12×10=5m ．故选B ． 【名师点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键. 4．【答案】A【解析】如图所示，延长AC 到E ，使CE =BM ，连接DE ，∵BD =DC ，∠BDC =120°，∴∠CBD =∠BCD =30°， ∵∠ABC =∠ACB =60°，∴∠ABD =∠ACD =∠DCE =90°，在△BMD 和△CED 中，90BD CDDBM DCE BM CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BMD ≌△CED （SAS ），∴∠BDM =∠CDE ，DM =DE ， 又∵∠MDN =60°，∴∠BDM +∠NDC =60°， ∴∠EDC +∠NDC =∠NDE =60°=∠NDM ， 在△MDN 和△EDN 中，DM DEMDN NDE DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDN ≌△EDN （SAS ）， ∴MN =NE =NC +CE =NC +BM ，所以△AMN 周长=AM +AN +MN =AM +AN +NC +BM =AB +AC =2. 故选A.【名师点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键.5．【答案】C【解析】∵AB=AC，CD=DE，∴∠C=∠DEC=∠ABC，∴AB∥DE，∵∠A=40°，∴∠C=∠DEC=∠ABC=18040702，∵∠ABD：∠DBC=3：4，∴设∠ABD为3x，∠DBC为4x，∴3x+4x=70°，∴x=10°，∴∠ABD=30°，∵AB∥DE，∴∠BDE=∠ABD=30°，故答案为C．【名师点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理求解，难度适中．6．【答案】A【解析】分两种情况：①当腰为4时，4+4<9，所以不能构成三角形；②当腰为9时，9+9>4，9-9<4，所以能构成三角形，周长是：9+9+4=22．故选A．7．【答案】C【解析】∵AB=AC=5，AD平分∠BAC，BC=6，∴BD=CD=3，∠ADB=90°，∴AD=4．故选C．8．【答案】B【解析】如图，①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选B．9．【答案】A【解析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9-x．∵D是BC的中点，∴BD=1632⨯=．在Rt△BDN中，由勾股定理得:ND2=NB2+BD2，即x2=（9-x）2+32，解得x=5，AN=5，故选A．10．【答案】D【解析】如图，作AH⊥CH，在Rt △ACH 中，∵AH =3，∠AHC =90°，∠ACH =30°，∴AC =2AH =6，在Rt △ABC 中，AB ==D ．11．【答案】等边【解析】三角形的三边a ，b ，c 2()0b c -=，20,()0b c =-=，0,0a b b c ∴-=-=，解得：,a b b c ==，即a b c ==，则该三角形是等边三角形.故答案为：等边.【名师点睛】本题是一道比较好的综合题，考查了算术平方根的非负性、平方数的非负性、等边三角形的定义. 12．【答案】60cm 2．【解析】过点A 作AD ⊥BC 交BC 于点D ， ∵AB =AC =13cm ，BC =10cm ， ∴BD =CD =5cm ，AD ⊥BC ，由勾股定理得：AD （cm ）， ∴△ABC 的面积=12×BC ×AD =12×10×12=60（cm 2）．【名师点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理，能根据等腰三角形的“三线合一”正确的添加辅助线是关键. 13．【答案】55°或125°【解析】如图，分两种情况进行讨论：如图1，当高在三角形内部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； 如图2，当高在三角形外部时，则∠ABD =35°，∴∠BAD =90°–35°=55°； ∴∠CAB =180°–55°=125°， 故答案为55°或125°．【名师点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键. 14．【答案】10【解析】①当6为腰长时，则腰长为6，底边=26-6-6=14，因为14>6+6，所以不能构成三角形； ②当6为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10，因为6-6<10<6+6，所以能构成三角形，故腰长为10．故答案为：10． 15．【答案】24︒【解析】∵ADC ∠是三角形ABD 的外角，AED ∠是三角形DEC 的一个外角，CDE x ∠=︒， ∴ADC BAD B ADE EDC ∠=∠+∠=∠+∠，AED EDC C ∠=∠+∠，B BAD ADE x ∠+∠=∠+︒，AEDC x ∠=∠+︒，∵AB AC =，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD AE =，CDE x ∠=︒，∴B C ∠=∠，20ADE AED C ∠=∠=∠+︒，∴C BAD C x x ∠+∠=∠︒++︒，∵12EDC ∠=︒，∴24BAD ∠=︒，故答案为：24︒．16．【答案】15【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∠ACD =120°， ∵CG =CD ，∴∠CDG =30°，∠FDE =150°， ∵DF =DE ，∴∠E =15°．故答案为：15．17．【答案】【解析】如图，过点A 1作A 1M ⊥BC 于点M ．∵点A 的对应点A 1恰落在∠BCD 的平分线上，∠BCD =90°，∴∠A 1CM =45°，即△AMC 是等腰直角三角形，∴设CM =A 1M =x ，则BM =7-x ．又由折叠的性质知AB =A 1B =5，∴在直角△A 1MB 中，由勾股定理得A 1M 2=A 1B 2-BM 2=25-（7-x ）2，∴25-（7-x ）2=x 2，解得x 1=3，x 2=4，∵在等腰Rt △A 1CM 中，CA 1A 1M ，∴CA 1．故答案为：18．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）∵把△ABC 沿CE 折叠后，点B 恰好与斜边AC 的中点D 重合， ∴CD =CB ，∠CDE =∠B =90°，AD =CD ，在△ADE 和△CDE 中，90AD CDADE CDE ED ED =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△CDE （SAS ）， ∴EA=EC ，∴△ACE 为等腰三角形； （2）由折叠的性质知：∠BEC =∠DEC ， ∵△ADE ≌△CDE ，∴∠AED =∠DEC ， ∴∠AED =∠DEC =∠BEC =60°，∴∠BCE =30°，∴12BE CE =， 又∵EA=EC ，∴11223BE AE AB ===，∴AE=4.【名师点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和30°角的直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握上述图形的性质是解题关键. 19．【解析】在直角△ABO 中，已知AB =2.5 m ，BO =0.7 m ，则AO ， ∵AO =AA ′+OA ′，∴OA ′=2 m ，∵在直角△A ′B ′O 中，AB =A ′B ′，且A ′B ′为斜边， ∴OB ′=1.5 m ，∴BB ′=OB ′-OB =1.5 m -0.7 m=0.8 m ． 答：梯足向外移动了0.8 m ．20．【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）详见解析；【解析】（1）证明：①∵//DE BC ，∴GBF GED ∠=∠. 又,BG EG FGB DGE =∠=∠， ∴(ASA)GBF GED ∆∆≌，∴BF ED =. 又CD ED =，∴BF CD =；②当90BAC ∠=︒时，45ABC ACB ∠=∠=︒， ∵180BAC CDE ︒∠+∠=，∴90CDE ︒∠=.∵//DE BC ，∴90,45BCD CDE ACD ︒︒∠=∠=∠=，∴ABF ACD ∠=∠；又,AB AC BF CD ==，∴()ABF ACD SAS ∆∆≌， ∴,AF AD BAF CAD =∠=∠， ∴BAF FAC CAD FAC ∠+∠=∠+∠ 即90BAC FAD ∠=∠=︒，∴AFD ∆是等腰直角三角形.（2）所画图形如图1或图②，此时AFD ∆是等边三角形.图1 图2 与（1）同理，可证ABF ACD ∆∆≌， ∴AF =AD ，60BAC FAD ∠=∠=︒， ∴△AFD 是等边三角形.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是正确找到证明三角形全等的条件，利用全等三角形的性质得到边的关系，角的关系.21．【解析】（1）由题意可得：AC =6 m ，DCm ，∠CAD =90°，可得AD（m ）， 故△ACD 是等腰直角三角形．（2）∵AC =6 m ，BC =10 m ，∠CAD =90°， ∴AB（m ）， 则BD =AB -AD =8-6=2（m ）． 答：船体移动距离BD 的长度为2 m ．1．【答案】B【解析】∵40AOB COD ∠=∠=︒，∴AOB AOD COD AOD ∠+∠=∠+∠，即AOC BOD ∠=∠，在AOC △和BOD △中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AOC BOD △≌△，∴OCA ODB AC BD ∠=∠=，，①正确；∴OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OAC AOB OBD ∠+∠=∠+∠， ∴40AMB AOB ∠=∠=°，②正确；作OG MC ⊥于G ，OH MB ⊥于H ，如图所示：则90OGC OHD ∠=∠=°，在OCG △和ODH △中，OCA ODBOGC OHD OC OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴OCG ODH △≌△，∴OG OH =，∴MO平分BMC ∠，④正确，正确的个数有3个，故选B ． 2．【答案】70°【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠B =12（180°-40°）=70°．故答案为：70°． 3．【答案】9【解析】∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，在△BAD 和△CAE 中，BAD CAE AB ACB C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BAD ≌△CAE ， ∴BD =CE =9，故答案为：9． 4．【答案】105【解析】作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，如图所示，则DE CF =，∵CF AB ⊥，90ACB ∠=︒，AC BC =，∴12CF AF BF AB ===， ∵AB BD =，∴1122DE CF AB BD ===，BAD BDA ∠=∠， ∴30ABD ∠=︒，∴75BAD BDA ∠=∠=︒，∵AB CD ∥，∴180ADC BAD ∠+∠=︒，∴105ADC ∠=︒，故答案为：105．5．【答案】6或【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6； ②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴BC == ③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD ==，∴8BD =，∴BC =∴此时底边长为6或【名师点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况分类讨论． 6．【答案】36°【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒， 故答案为：36︒．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 7．【答案】70【解析】∵∠ABC =90°，AB =AC ，∴∠CBF =180°–∠ABC =90°，∠ACB =45°， 在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CBAE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF =∠BAE =25°，∴∠ACF =∠ACB +∠BCF =45°+25°=70°，故答案为：70．【名师点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 8．【解析】（1）∵CAF BAE ∠=∠，∴BAC EAF ∠=∠，∵AE AB AC AF ==，， ∴BAC EAF △≌△， ∴EF BC =．（2）∵65AB AE ABC =∠=︒，， ∴18065250BAE ∠=︒-︒⨯=︒， ∴50FAG ∠=︒， ∵BAC EAF △≌△， ∴28F C ∠=∠=︒， ∴502878FGC ∠=︒+︒=︒．【名师点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键． 9．【解析】（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，∴∠BAD =∠CAD ，∠ADC =90°，又∠C =42°，∴∠BAD =∠CAD =90°-42°=48°． （2）∵AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD =∠CAD ， ∵EF ∥AC ， ∴∠F =∠CAD ， ∴∠BAD =∠F ，∴AE =FE ．10．【解析】（1）∵AB =AC ，∴∠ECB =∠DBC ，在DBC △与ECB △中，BD CE DBC ECB BC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴DBC △≌ECB △．（2）由（1）DBC △≌ECB △， ∴∠DCB =∠EBC ， ∴OB =OC ．11．【解析】（1）∵AB AC =，∴C ABC ∠=∠，∵36C ∠=︒， ∴36ABC ∠=︒，∵D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，∴90903654BAD ABC ∠=-∠=-︒=︒︒︒． （2）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE EBC ∠=∠， 又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠， ∴EBF FEB ∠=∠， ∴BF EF =．【名师点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．【解析】（1）∵90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，∴AD BD DC ==，45ABC ACB ∠=∠=︒，45BAD CAD ∠=∠=︒， ∵2AB =，∴AD BD DC ===，∵30AMN ∠=︒，∴180903060BMD ∠=︒-︒-︒=︒， ∴30BMD ∠=︒，∴2BM DM =，由勾股定理得，222BM DM BD -=，即222(2)DM DM -=，解得DM =∴AM AD DM =-=（2）∵AD BC ⊥，90EDF ∠=︒，∴BDE ADF ∠=∠，在BDE △和ADF △中，B DAF DB DA BDE ADF ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BDE ADF △≌△， ∴BE AF =．（3）如图，过点M 作//ME BC 交AB 的延长线于E ，∴90AME ∠=︒，则AE =，45E ∠=︒，∴ME MA =，∵90AME ∠=︒，90BMN ∠=︒， ∴BME AMN ∠=∠，在BME △和AMN △中，E MAN ME MA BME AMN ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴BME AMN △≌△，∴BE AN =，∴AB AN AB BE AE +=+==．【名师点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
勾股定理重点知识点
勾股定理重点知识点2017精选关于勾股定理重点知识点一、勾股定理与逆定理A.勾股定理在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
1、勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中。
2、勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有：a2= c2—b2，b2=c2-a2及c2=a2+b2。
3、由于a2+b2=c2>a2 ，所以c>a，同理c>b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边。
B.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形。
说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等。
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形。
必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断。
(2)运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角。
然后进一步结合其他已知条件来解决问题。
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形;否则不是。
面积分割法、构造直角三角形二、实数与数轴1、实数与数轴上的点是一一对应关系。
任意一个实数都可以用数轴上的点表示;反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数。
数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数。
2、在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离。
3、利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小。
三、矩形的性质1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有;②角：矩形的四个角都是直角;③边：邻边垂直;④对角线：矩形的对角线相等;⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形。
等腰三角形图片
03
等腰三角形的面积计算
等腰三角形的面积公式
等腰三角形的面积公式
• 面积 = (底边 * 高) / 2
公式推导
• 根据三角形的面积公式，可知面积等于底边乘以高除以2。对于等腰三角形，底边
和高都可以通过已知条件求得，所以可以计算出面积。
等腰三角形面积计算实例
已知等腰三角形的底边和高，求面积
• 根据面积公式，可知面积等于底边乘以高除以2。将已知条件代入
在标志设计中的应用
• 可以利用等腰三角形的特点，设计出具有独特风格的标志。
在海报设计中的应用
• 可以将等腰三角形与其他图形进行组合，设计出具有创意的海报。
在包装设计中的应用
• 可以利用等腰三角形的构图技巧，设计出具有美感的包装。
05
等腰三角形与其他图形的组合与变换
等腰三角形与正方形的组合与变换
组合方式
特风格的图案。
等腰三角形与圆形的组合与变换
组合方式
变换方法
• 可以将等腰三角形与圆形进行组合，形成各种不同的图
• 可以通过对等腰三角形和圆形进行变换，如平移、旋
案。
转、缩放等，创造出具有独特风格的图案。
CREATE TOGETHER
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DOCS
02
等腰三角形的解法与应用
等腰三角形的求解方法(一)
已知等腰三角形的周长和底边，求腰长
• 根据周长公式，可知腰长等于周长除以2减去底边。
已知等腰三角形的底边和高，求腰长
• 根据勾股定理，可知腰长等于底边的一半乘以根号下(1+高^2)。
已知等腰三角形的底角和顶角，求腰长
• 根据三角函数，可知腰长等于底边乘以(sin顶角/sin底角)。
初中数学课件等腰三角形的性质(几何)ppt课件
利用三角函数
通过已知角度和边长，利用三角函 数求出高或底，再代入公式计算面 积。
利用向量
在平面直角坐标系中，可以利用向 量表示三角形的顶点，通过向量的 运算求出三角形的面积。
案例分析：不同类型题目解法
01
02
03
04
已知等腰三角形的底和高，直 接代入公式求解。
已知等腰三角形三边长度，利 用海伦公式求解。
勾股定理在等腰三角形中的推广
对于非直角的等腰三角形，可以通过作高将其分为两个直角三角形，再利用勾股定理求解 相关问题。
相似三角形与等腰三角形关系探讨
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相 似。
等腰三角形的相似性质
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三 角形相似。此外，如果两个等腰三角形的底边和腰成比例 ，则这两个三角形也相似。
实际应用：测量、作图等问题
01
测量
在实际生活中，等腰三角形的性质可以应用于测量问题。例如，在无法
直接测量某一边长时，可以通过测量等腰三角形的底角和腰长来间接计
算。
02
作图
在几何作图中，等腰三角形的性质也有广泛应用。例如，可以通过作等
腰三角形的高来平分底边，或者通过作等腰三角形的角平分线来得到对
称的图形。
初中数学课件等腰三角形的性质(几 何)ppt课件
目录
• 等腰三角形基本概念与性质 • 等腰三角形判定方法 • 等腰三角形面积计算 • 等腰三角形在生活中的应用 • 等腰三角形相关定理和推论 • 练习题与课堂互动环节
01
等腰三角形基本概念与性质
等腰三角形定义及特点
定义
有两边相等的三角形叫做等腰三 角形。
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
三角形、勾股定理知识点整理
⑶角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ ”）
⑷边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“ ”）；
(5)直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“ ”）注意：对应相等意思是：例如三角形ABC和三角形DEF，AB和DE是对应边，AB=DE；
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；
（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
（定理中 ， ， 及 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 ， ， 满足 ，那么以 ， ， 为三边的三角形是直角三角形，但是 为斜边）
规律方法指导
1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．
⑵三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半;
等腰三角形ppt课件
02
等腰三角形的判定
定义与判定方法
定义：有两边长度相等的三角形称为等 腰三角形。
3. 角平分线法：若一个三角形一个角的 平分线等于其对应边的高线，则该三角 形为等腰三角形。
2. 中线法：若一个三角形中线等于其一 半长度，则该三角形为等腰三角形。
判定方法
1. 定义法：根据等腰三角形的定义，只 需判断一个三角形有两边长度相等即可 。
等腰三角形性质定理的推广与拓展主要涉及以下几个方面：一是推广到更复杂的几何图形中，如平行四边形、菱 形等；二是拓展到三角函数中，用于研究三角函数的对称性和周期性等问题；三是拓展到物理学中，用于研究力 矩平衡等问题。
04
等腰三角形的实际应用
建筑中的等腰三角形
总结词
建筑美学与等腰三角形的完美结合
详细描述
性质定理的应用举例
总结词
等腰三角形性质定理的应用场景及实例
详细描述
等腰三角形性质定理的应用场景广泛，例如在几何、三角函数、建筑等领域都有 应用。以几何为例，通过等腰三角形的性质定理可以证明一些重要的几何定理， 如勾股定理、余弦定理等。
性质定理的推广与拓展
总结词
等腰三角形性质定理的推广及拓展方向
详细描述
等腰三角形在实际VS
详细描述
等腰三角形在实际问题中有着广泛的应用 ，它是解决问题的重要工具。例如，在物 理学中，等腰三角形可以用来解决力臂平 衡的问题；在生物学中，可以用来解释 DNA分子的结构；在经济学中，可以用 来分析股票市场的波动等。
05
等腰三角形的相关练习题及 解析
边角关系在判定中的应用
等边对等角
在等腰三角形中，相等的两边所对的角也相等。
三角形内角和定理
年中考数学试题分类汇编17 等腰三角形与勾股定理含答案资料
EFA17．等腰三角形与勾股定理一、选择题1．（2009年山西省）如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°BC ＝3,AC ＝4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ B ） A ．32 B ．76 C ．256D ．2【答案】B2．(2009年达州)图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是CA ．13B ．26C ．47D ．94【答案】C 3．（2009年湖北十堰市）如图，已知Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝ 4，BC ＝3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，则所得几何体的表面积是（ C ）．A ．π5168 B ．π24 C ．π584D ．π12π+12/5*3*π=84/5π年湖州)如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE ⊥AC,EF ⊥AB,FD ⊥BC ，则ΔDEF 的面积与ΔABC 的面积之比等于（ 1 ） A ．1∶3B ．2∶3C2D 3【答案】AA D BE C5．（2009年广西钦州）如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ A ）A ．AB 垂直平分CDB ．CD 垂直平分ABC ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACBABCD【答案】A 6．（2009年衡阳市）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB ＝1000米，BC ＝600米，AC ＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（A ）A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．AC 中点D ．∠C 的平分线与AB 的交点 【答案】A 7．（湖北省恩施市）如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，上只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是( B )A ．B ．25 C． D ．358．（浙江省丽江市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ A ）A ．172B ．52C ．24D ．79．（2009白银市）如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4， 则⊙O 的半径为（A ）A ．5B ．4C ．3D ．2l 1l 2 l 3ACB【答案】A10．（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是CA ．12 B ． 14 C ． 15 D ． 110【答案】C11．（2009白银市）如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝（ C ）A ．2B ．3C．D．【答案】C 13．（2009年烟台市）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（ B ） A ．32B ．23C ．12D ．34【答案】B 13．（2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，A ＝36°，ABC 的平分线交AC 于D ，BCD 的平分线交BD 于E ，设215-=k ，则DE ＝（ ） A ．a k 2B ．a k 3C ．2k a D ．3k aAD CPB60°【答案】A 14．（2009泰安）如图，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是B （A ）2 （B ）3 （C ）25（D ）4 【答案】B15．（2009恩施市）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ B ）A． B ．25 C．5 D ．35 【答案】B16．（2009恩施市）16．如图6，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是（ D ）A． B． C． D． 【答案】D17．（2009丽水市）如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平AD E B行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是（ A ）A ．172B ．52C ．24D ．7【答案】A 18．．（2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ B ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】B 19．（2009年滨州）如图3，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8， 则边BC 的长为（ 21和9 ） A ．21 B ．15 C ．6 D ．以上答案都不对 【答案】A20．(2009武汉)9．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠ADO+∠DCO 的大小是（ ） A ．70° B ．110° C ．140° D ．150°【答案】D提示：∠BAO+∠BCO ＝∠ABO+∠CBO ＝∠ABC ＝70°，所以∠BOA+∠BOC ＝360°－140°＝220°，所以∠AOC ＝140°。
人教版八年级三角形综合(等腰三角形直角三角形勾股定理)教案
举例：通过具体例子，如6、8、10的三角形是否为直角三角形，引导学生理解并掌握勾股定理的逆定理。
（3）实际问题中勾股定理的应用：在解决实际问题中，学生可能不知道如何将问题转化为勾股定理的应用。
举例：在解决实际问题如测量距离时，指导学生如何将实际问题抽象为直角三角形，进而运用勾股定理求解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形、直角三角形和勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
反思这节课，我认为在以下几个方面需要改进：
1.加强课堂互动，让更多学生参与到教学过程中，提高他们的学习积极性；
2.注重知识点的巩固，通过练习和复习，帮助学生更好地掌握等腰三角形、直角三角形和勾股定理；
3.关注每一个学生的需求，及时解答他们的疑问，提高教学效果；
4.运用更多生动的教学手段，如实物演示、动画等，让学生更直观地理解几何知识。
人教版八年级三角形综合（等腰三角形直角三角形勾股定理）教案
一、教学内容
人教版八年级数学《三角形综合（等腰三角形、直角三角形、勾股定理）》章节，主要包括以下内容：
1.等腰三角形的性质与判定；
2.等腰三角形的底角、顶角平分线、底边中线及高线的性质；
3.直角三角形的判定及性质；
4.勾股定理及其逆定理；
5.利用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的数据分析与实际问题解决能力，使学生能够运用勾股定理解决生活中的实际问题，感受数学在现实世界中的应用价值；
17.等腰三角形与勾股定理2
三、解答题 1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD//BC ，AB ＝DC,AD ＝2,BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ． （1）证明：ΔBAD ≌ΔDCE ；（2）如果AC ⊥BD ，求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．【关键词】在等腰梯形性质进行转化。
【答案】（1）证明：AD BC CDA DCE ∴∠=∠ ∥，．又 四边形ABCD 是等腰梯形，BAD CDA ∴∠=∠， BAD DCE ∴∠=∠．AB DC AD CE == ，，BAD DCE ∴△≌△．（2）AD CE AD BC =∴ ，∥，四边形ACED 是平行四边形， AC DE ∴∥． AC BD DE BD ⊥∴⊥ ，．由（1）可知，BAD DCE △≌△，DE BD ∴=． 所以，BDE △是等腰直角三角形，即45E ∠=°， DF FE FC CE ∴==+．四边形ABCD 是等腰梯形，而24AD BC ==，， 1FC ∴=． 2CE AD == 3DF ∴=． ．（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．【关键词】等腰三角形的性质 【答案】（1）ΔABD 是等腰直角三角形，90∠=°BAD ，所以∠ABD ＝45°,AB ＝AC,所以D ABE（第24题）∠ABC ＝70°,所以∠CBD ＝70°+45°＝115°．(2)AB ＝AC,90BAD CAE ∠=∠=°,AD ＝AE,所以ΔBAD ≌ΔCAE,所以BD ＝CE ． 2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ． （1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，BPBQ的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求BPBQ的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【关键词】勾股定理【答案】解：（1）矩形（长方形）；47BP BQ =． （2）① POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°， COP A OB ''∴△∽△．CP OC A B OA ∴='''，即668CP =，92CP ∴=，72BP BC CP =-=．同理B CQ B C O '''△∽△，CQ B C C Q B C '∴='''，即10668CQ -=， 3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．） （图3）（图2）x（备用图）722BP BQ ∴=． ②在OCP △和B A P ''△中，90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠⎧⎪'∠=∠=⎨⎪''=⎩，°，， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△．OP B P '∴=． 设B P x '=，在Rt OCP △中， 222(8)6x x -+=，解得254x =． 125756244OPB S '∴=⨯⨯=△． （3）存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =． 点P的坐标是19P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，12POQ S PQ OC =△，12POQ S OP QH = △， PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =， 2BQ x ∴=，① 如图1，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO △中，222(8)6(3)x x ++=，解得11x =，21x =． 9PC BC BP ∴=+=+19P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．②如图2，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO △中，222(8)6x x -+=，解得254x =． PC BC BP ∴=-257844=-=， 2764P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，．综上可知，存在点19P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2764P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使12BP BQ =． 3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，以AD 为一边向右作正三角形ADE 。
勾股定理与三角形面积的关系
勾股定理与三角形面积的关系勾股定理是三角学中的基础定理之一，它描述了直角三角形的边与斜边之间的关系。
三角形的面积是另一个重要的概念，表示了平面图形的大小。
本文将探讨勾股定理与三角形面积之间的关系，并且通过具体的例子来进一步说明这一关系。
一、勾股定理的定义和应用勾股定理是指在任意直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²这一定理在解决各类几何问题中有着广泛的应用。
例如，我们可以利用勾股定理求解三角形的边长、判断一个三角形是否为直角三角形以及计算三角形的周长等。
二、三角形的面积公式三角形的面积是根据其底边和高来计算的。
对于一个三角形，设其底边为b，高为h，则三角形的面积S可以表示为：S = 1/2 * b * h这一公式可以用于计算各种类型的三角形的面积，包括直角三角形、等腰三角形和一般三角形等。
三、三角形面积与勾股定理的关系接下来，我们将探讨三角形面积与勾股定理的关系。
首先，我们回顾一下直角三角形的特点，其中的一个角为直角（即90度），而另外两个角分别为锐角和钝角。
对于直角三角形，斜边的长度即为直角边界线的最大长度。
考虑一个直角三角形，直角边的长度分别设为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理可知：a² + b² = c²假设我们将直角边a和直角边b所在的线段绘制成一个矩形，其边长分别为a和b。
那么这个矩形的面积就是a*b。
另一方面，直角三角形的面积可以表示为S。
我们可以将直角三角形分成两个等腰直角三角形，每个等腰直角三角形的面积为S/2。
由此可得：a *b = 2 * (S/2)a *b = S由此可见，在一个直角三角形中，直角边的乘积恰好等于这个三角形的面积。
这是因为直角边的乘积实际上就是以直角边作为底边和高的矩形的面积。
这个关系可以进一步扩展到一般三角形。
苏教版八年级数学全册知识点总结
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 轴对称图形第二章 勾股定理与平方根一．勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等轴对称轴对称的性质轴对称图形线段 角 等腰三角形 轴对称的应用等腰梯形设计轴对称图案三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ±”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
0≥a注意a 的双重非负性：a ≥03、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。
表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
勾股定理数学知识提纲
勾股定理数学知识提纲数学是中考重要科目，想要学好数学，首先要找到学习的窍门，这样可以让我们事半功倍。
下面小编给大家分享一些勾股定理数学知识提纲，希望能够帮助大家，欢迎阅读!勾股定理数学知识提纲勾股定理直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2+b2=c2.勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.早在3000年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法.关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的.下面的证法1是欧几里得证法.证法1 如图2-16所示.在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c2，a2，b2.下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和.过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE.因为AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，所以△ACE≌△AGB(SAS).而所以SAEML=b2. ①同理可证SBLMD=a2. ②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即 c2=a2+b2.证法2 如图2-17所示.将Rt△ABC的两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b.完成正方形CDEF(它的边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB.由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因此，AGHB为边长是c的正方形.显然，正方形CDEF的面积等于正方形AGHB的面积与四个全等的直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)的面积和，即化简得 a2+b2=c2.证法3 如图2-18.在直角三角形ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF， DH分别垂直EG于F，H.由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.设五边形ACKDE的面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC. ②由①，②所以 c2=a2+b2.关于勾股定理，在我国古代还有很多类似上述拼图求积的证明方法，我们将在习题中展示其中一小部分，它们都以中国古代数学家的名字命名.利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一个更一般的结论.定理在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍.证 (1)设角C为锐角，如图2-19所示.作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD=AC2+BC2-2BC?CD，即c2=a2+b2-2a?CD. ④(2)设角C为钝角，如图2-20所示.过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上的射影.在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦将⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD=AC2+BC2+2BC?CD，即c2=a2+b2+2a?cd. ⑧综合④，⑧就是我们所需要的结论特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理的表述：c2=a2+b2.因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广).由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响.在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°;(2)若c2(3)若c2>a2+b2，则∠C>90°.勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形(及多边形)的问题中有着广泛的应用.例1 如图2-21所示.已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G.求证：AB2=2FG2.分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发我们去证明△ABE≌△AFE.证因为AE是∠FAB的平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE 的公共边，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，所以AF=AB. ①在Rt△AGF中，因为∠FAG=45°，所以AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2. ②由①，②得AB2=2FG2.说明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使我们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处于同一个直角三角形中，可以利用勾股定理进行证明了.例2 如图2-22所示.AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2).证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内).由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM?MD. ①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC?MD. ②①+②，并注意到MB=MC，所以AB2+AC2=2(AM2+BM2). ③如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们对应边上的中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长的公式.推论△ABC的中线长公式：说明三角形的中线将三角形分为两个三角形，其中一个是锐角三角形，另一个是钝角三角形(除等腰三角形外).利用广勾股定理恰好消去相反项，获得中线公式.①′，②′，③′中的ma，mb，mc分别表示a，b，c边上的中线长.例3 如图2-23所示.求证：任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍.分析如图2-23所示.对角线中点连线PQ，可看作△BDQ的中线，利用例2的结论，不难证明本题.证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P.由例2，在△BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2. ①在△ABC中，BQ是AC边上的中线，所以在△ACD中，QD是AC边上的中线，所以将②，③代入①得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2.说明本题是例2的应用.善于将要解决的问题转化为已解决的问题，是人们解决问题的一种基本方法，即化未知为已知的方法.下面，我们再看两个例题，说明这种转化方法的应用.例4 如图2-24所示.已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上的任意一点.求证：AD2+BE2=AB2+DE2.分析求证中所述的4条线段分别是4个直角三角形的斜边，因此考虑从勾股定理入手.证 AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5 求证：在直角三角形中两条直角边上的中线的平方和的4倍等于斜边平方的5倍.如图2-25所示.设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上的中线.求证：4(AM2+BN2)=5AB2.分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形的斜边，因此，仿例4的方法可从勾股定理入手，但如果我们能将本题看成例4的特殊情况――即M，N分别是所在边的中点，那么可直接利用例4的结论，使证明过程十分简洁.证连接MN，利用例4的结论，我们有AM2+BN2=AB2+MN2，所以4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2. ①由于M，N是BC，AC的中点，所以所以4MN2=AB2. ②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2.说明在证明中，线段MN称为△ABC的中位线，以后会知道中位线的基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示.MN是△ABC的一条中位线，设△ABC的面积为S.由于M，N分别是所在边的中点，所以S△ACM=S△BCN，两边减去公共部分△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行.又S△ABM=高相同，而S△ABM=2S△BMN，所以AB=2MN.初中数学要怎么学1、课前预习预习是学习的第一步，通过预习可以更好地听老师讲课，提高学习效率。
等腰三角形和勾股定理
等腰三角形和勾股定理1、等腰三角形（1）定义:有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
①相等的两条边叫做腰，第三条边叫做底。
②两腰的夹角叫做顶角。
③腰与底的夹角叫做底角。
说明：顶角=180°- 2底角 底角=顶角顶角21-902180︒=-︒可见，底角只能是锐角。
（2）性质①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。
②等边对等角。
③三线合一（顶角）。
（3）判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2、等边三角形（1）定义:三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
（2）性质①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定①三条边都相等的三角形是等边三角形。
②三个内角都相等的三角形是等边三角形。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。
（4）重要结论:在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
➢ 典例精析题型一：等腰三角形的判定【例1】已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．AFBCDE练习1、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．题型二：等腰三角形性质的应用【例1】等腰三角形的周长是25 cm ,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为__ ___.举一反三：练习1、如图所示，在△ABC 中，CD 是AB 上的中线，且DA =DB =DC ． （1）已知∠A =︒30，求∠ACB 的度数； （2）已知∠A =︒40，求∠ACB 的度数； （3）已知∠A =︒x ，求∠ACB 的度数； （4）请你根据解题结果归纳出一个结论．练习2、等腰△ABC 中，若∠A =30°，则∠B =________．练习3、等腰△ABC 中，AB =AC =10，∠A =30°，则腰AB 上的高等于___________．题型三：等边三角形性质的应用【例3】如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．B ABO EFCBDAB F 练习1、如图1，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ， 则△DEF•的形状是（ ）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
等腰三角形,直角三角形和勾股定理
【励智教育】VIP 专属一对一个性化专业辅导（教案）学员姓名 年 级 授课科目 授课教师授课日期授课时段教学课题 等腰三角形、直角三角形、勾股定理教学目标 1、等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理 2、直角三角形，勾股定理及逆定理教学重点 等腰三角形的性质和判定、直角三角形的性质教学难点线段垂直平分线、角平分线的性质和逆定理；勾股定理及逆定理教学过程及内容：§3.3 等腰三角形一、知识要点等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线、角平分线的性质定理和逆定理.二、课前演练1．等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是 .2．如图1，在△ABC 中，AB=AC=32cm ，DE 是AB 的垂直平分线， 分别交AB 、AC 于点D 、E.(1)若∠C=700，则∠CBE= °，∠BEC= °. (2)若BC=21cm ，则△BCE 的周长是 cm.3. 如右图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC 、AB 的中点，连接BD ．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是( )A ．BC=2BEB ．∠A =∠EDAC ．BC=2AD D ．BD⊥AC 4．如右图，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 的两边的距离相等，且PA=PB ．下列确定P 点的方法正确的是( ) A ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点B ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点C ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点D ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点 三、例题分析例1 如图，△ABC 中，AB=AC ，角平分线BD 、CE 相交于点O. （1）OB 与OC 相等吗？请说明你的理由；（2）若连接AO ，并延长AO 交BC 于点F.你有哪些发现？请写出两条，并就其中的一条发现写出你的发现过程.AB C DE(第2题图) C AD BE (第3题图) A B C P (第4题图) OAB CDE例2 (2011日照)如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点， ∠CAD=∠CBD=15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC ；（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．四、巩固练习1. 在△ABC 中，∠C=90，AC 的垂直平分线交AB 于点D ，AD=2，则BD= . 2．如图1,∠A=90°,BD 是△ABC 的角平分线,AC=10,DC=6.则D 到BC 的距离为___ .3．如图2，△ABP 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且PA ⊥PD.有下列四个结论： (1)∠PBC=15°；(2)AD ∥BC ；(3)直线PC 与AB 垂直；(4)四边形ABCD 是轴对称图形. 其中正确结论个数是（ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 44．如图，在下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）A.(1)(2)(3)B. (1)(2)(4)C. (2)(3) (4)D. (1)(3)(4) 5．(2011乐山)如图，在直角△ABC 中，∠C=90°,∠CAB 的平分线AD 交BC 于点D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．900B •A C1080 B •AC B •B •AC360A C45(1) (2)(3)(4)M EDBAC图1 图2PDAB CE DBAC6. 如图，AD 是△ABC 的中线，且∠ADC=60°，BC=4. 把△ADC 沿直线AD 折叠后，点C 落在C ′的位置上，求BC ′的长.§3.4 直角三角形和勾股定理一、 知识要点直角三角形的性质；勾股定理和勾股定理的逆定理及其应用。
三角形、勾股定理知识点 整理
2、如图 1，AD⊥BC，D 为 BC 的中点，则△ABD≌＿＿＿，△ABC 是＿＿＿三角形。
A
AD
B
D
C
1
BE
FC
2
3、如图 2，若 AB＝DE，BE＝CF，要证△ABF≌△DEC，需补充条件＿＿＿＿或＿＿＿＿。
4、如图 3，已知 AB∥CD，AD∥BC，E、F 是 BD 上两点，且 BF＝DE，则图中共有＿＿＿对全等三 角形，它们分别是＿＿＿＿＿。
三、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余； 2、在直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边的一半； 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
4、直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2 b2 c2 5、常用关系式：由三角形面积公式可得： AC BC CD AB
整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ；6,8,10 ；5,12,13 ；7,24,25 等
同步训练： 1、一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
2、三角形的三边长分别为 7、24、25，请问这个三角形是直角 三角形吗？
5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算， 通过学习加深对“数形结合”的理解．
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另 一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
5：勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系 a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释：
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暑期提高专题（2）——等腰三角形与勾股定理
【学习目标】
1、掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定方法；
2、利用轴对称的知识解决有关等腰三角形的问题，培养利用对称思想解决问题的意识和能力． 【基础探究】
1、已知等腰三角形的两边长分别为6，3，则它的周长为 .
2、 等腰三角形△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程的x 2－10x ＋m ＝0的两根，则m ＝ .
3、已知等腰三角形的周长为12，腰长为x ，则x 的取值范围是 .
4、(1)等腰三角形的一个角为100°，那么另外两个角分别为 ； (2)等腰三角形的一个角为50°，则底角是 .
5、(1)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数为 ；
(2)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则底边上的高为 . 6、如图1，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD ＝80°，AB ＝AD ＝DC ，则∠C ＝ 度. 7、如图2，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．
8、如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ，则∠CDE ＝ . 9、如图4，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是 .
10、已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，若△ACD 和△ABD 都是等腰三角形，则∠C 的度数是 .
[来源:学,科,网] 11、已知a 、b
、c 为三个正整数，如果a +b +c =12，那么以a 、b 、c 为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是 ．（只填序号）
12、如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 和AB 上的一点，BD 与CE 交于点O ，给出下列四个条件：①∠EBO ＝∠DCO ；②∠BEO ＝∠CDO ；③BE ＝CD ；④OB ＝OC .
(1)上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形(
用序号写出所有的情形)； (2)选择(1)小题中的一种情形，说明△ABC 是等腰三角形.
13、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片(如图
2)，量得他们的斜边长
为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合(在图3至图6中统一用F 表示)
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，你帮助解决.
(1)将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离； (2)将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；
(3)将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请说明：AH ﹦DH
14、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．
（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B
到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
图3 图4 A
C
B
D 图1 800
图35°
A B
C
D E O
(图4)
(图6)
(图5)
(图1)
(图2)
(图3)
B
A P
X 图（1）
Y
X
B
A
Q
P
O
图（3）
B
A
P
X A '
图（2）
【综合探究】
15、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
16、操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ． （1）探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．
说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．①AN NC (如图②)；②//DM AC (如图③)．
（2）若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，再探线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．
17、如图，在直角梯形OABC 中， OA ∥CB ，A 、B 两点的坐标分别为A （15，0），B （10，12），动点P 、Q 分别从O 、B 两点出发，点P 以每秒2个单位的速度沿OA 向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位的速度沿BC 向C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动．线段OB 、PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P 、Q 运动时间为t （单位：秒）．
（1）当t 为何值时，四边形PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程； （2）当t ＝2秒时，求梯形OFBC 的面积；
（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？请写出推理过程．
18、如图1，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证CD=BE ，△AMN 是等边三角形．
（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图2位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当△ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．
图1 图2 图3。