【创新设计】2016-2017学年高中数学-第一章-导数及其应用习题-苏教版选修2-2
高中数学第1章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修2-2(2021学年)
２0１7-2０18版高中数学第1章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修2－2编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017-2018版高中数学第1章导数及其应用习题课导数的应用学案苏教版选修2－2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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习题课导数的应用学习目标会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值（多项式次数不超过三次）．知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a,b)内的函数y=ｆ（ｘ)f′(x）的正负ｆ（x)的单调性f′(x)〉０单调递____f′(x）<0单调递＿＿_＿知识点二求函数y=f(ｘ)的极值的方法解方程f′(x)=0,当f′(ｘ0)＝0时,（1)如果在x0附近的左侧____＿___,右侧＿____＿＿_,那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧___＿＿__＿，右侧_＿＿_＿__＿，那么ｆ(x0)是极小值.知识点三函数ｙ=f(x）在[a，b]上最大值与最小值的求法1．求函数ｙ=f(x)在（a，ｂ)上的极值.2.将第（1）步中求得的极值与ｆ(ａ),f（b）比较，得到f(x)在区间［a，b]上的最大值与最小值．类型一函数的单调性与导数例1 （1)f(x)是定义在(０，+∞)上的非负可导函数,且满足ｘf′(x）－f(ｘ）≤0,对任意正数a,b，若ａ〈b,则必有_＿＿_____(填序号）．①ａf(b）＜bｆ(a);②bｆ(a）＜af(b）；③af（ａ）＜ｂf(b);④bf(b）<af(a）．（2)已知函数ｆ（x）=x-错误!+a（2－ln x)，a>0。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.2.3 Word版含解析
1.2.3 简单复合函数的导数明目标、知重点 1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间的关系为y x′＝y u′·u x′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．探究点一 复合函数的定义思考1 观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？答 y＝2x cos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数，所以y＝ln(x＋2)称为复合函数．思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？答 A⊆B.小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．例1 指出下列函数是怎样复合而成的：(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；(3)y＝cos 3x.解 (1)y ＝(3＋5x )2是由函数y ＝u 2，u ＝3＋5x 复合而成的；(2)y ＝log 3(x 2－2x ＋5)是由函数y ＝log 3u ，u ＝x 2－2x ＋5复合而成的；(3)y ＝cos 3x 是由函数y ＝cos u ，u ＝3x 复合而成的．反思与感悟 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u ，分别找出y 和u 的函数关系，u 和x 的函数关系．跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：(1)y ＝ln ；(2)y ＝e sin x ；(3)y ＝cos (x ＋1)．x 3解 (1)y ＝ln u ，u ＝；x (2)y ＝e u ，u ＝sin x ；(3)y ＝cos u ，u ＝x ＋1.3探究点二 复合函数的导数思考 如何求复合函数的导数？答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．例 2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －1)4；(2)y ＝；11－2x (3)y ＝sin(－2x ＋)；(4)y ＝102x ＋3.π3解 (1)原函数可看作y ＝u 4，u ＝2x －1的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 4)′·(2x －1)′＝4u 3·2＝8(2x －1)3；(2)y ＝＝(1－2x )－可看作y ＝u －，u ＝1－2x 的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(－11－2x 1212)u －·(－2)＝(1－2x )－＝；1232321(1－2x )1－2x (3)原函数可看作y ＝sin u ，u ＝－2x ＋的复合函数，π3则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·(－2)＝－2cos(－2x ＋)π3＝－2cos(2x －)；π3(4)原函数可看作y ＝10u ，u ＝2x ＋3的复合函数，则y x ′＝y u ′·u x ′＝10u ·ln 10·2＝(ln 100)102x ＋3.反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．跟踪训练2 求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)．解 (1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看成函数y ＝u 2，u ＝2x ＋3的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(2x ＋3)′＝2u ·2＝4(2x ＋3)＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看成函数y ＝e u ，u ＝－0.05x ＋1的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′·(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05 e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看成函数y ＝sin u ，u ＝πx ＋φ的复合函数．∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(πx ＋φ)′＝cos u ·π＝πcos(πx ＋φ)．探究点三 复合函数导数的应用例 3 求曲线y ＝e 2x ＋1在点(－，1)处的切线方程．12解 ∵y ′＝e 2x ＋1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋1，∴y ′|x ＝－＝2，12∴曲线y ＝e 2x ＋1在点(－，1)处的切线方程为12y －1＝2(x ＋)，12即2x －y ＋2＝0.反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．跟踪训练3 曲线y ＝e sin x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为，求直线l 的2方程．解 设u ＝sin x ，则y ′＝(e sin x )′＝(e u )′(sin x )′.＝cos x e sin x .y ′|x ＝0＝1.则切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0.若直线l 与切线平行可设直线l 的方程为x －y ＋c ＝0.两平行线间的距离d ＝＝⇒c ＝3或c ＝－1.|c －1|22故直线l 的方程为x －y ＋3＝0或x －y －1＝0.1．函数y ＝(3x －2)2的导数y ′＝________.答案 18x －12解析 y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝6(3x －2)．2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′＝________.答案 sin 2x解析 y ′＝2sin x ·(sin x )′＝2sin x ·cos x ＝sin 2x .3．若f (x )＝sin(3x ＋)，则f ′()＝________.π4π4答案 －3解析 f ′(x )＝3cos(3x ＋)，π4∴f ′()＝－3.π44．(1)设函数f (x )＝e x －e －x ，证明：f (x )的导数f ′(x )≥2；(2)设函数f (x )＝x ＋ln(x －5)，g (x )＝ln(x －1)，解不等式f ′(x )>g ′(x )．(1)证明 f ′(x )＝(e x －e －x )′＝e x ＋e －x ，因为e x >0，e －x >0，所以e x ＋e －x ≥2＝2，e x ·e －x 当且仅当e x ＝e －x ，即e 2x ＝1，x ＝0时，等号成立，所以f ′(x )≥2.(2)解 因为f ′(x )＝1＋，g ′(x )＝，1x －51x －1所以由f ′(x )>g ′(x )，得1＋>，1x －51x －1即>0，所以x >5或x <1.(x －3)2(x －5)(x －1)又两个函数的定义域为Error!，即x >5，所以不等式f ′(x )>g ′(x )的解集为(5，＋∞)．[呈重点、现规律]求简单复合函数f (ax ＋b )的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u＝ax ＋b 的形式是关键.一、基础过关1．函数y ＝的导数y ′＝________.1(3x －1)2答案 －6(3x －1)3解析 y ′＝[]′＝·(3x －1)′＝.1(3x －1)2－2(3x －1)3－6(3x －1)32．函数y ＝x 2cos 2x 的导数y ′＝________.答案 2x cos 2x －2x 2sin 2x解析 y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2·(－2sin 2x )＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .3．若f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)＝________.答案 1ln 3解析 ∵f ′(x )＝[log 3(x －1)]′＝，1(x －1)ln 3∴f ′(2)＝.1ln 34．函数y ＝(2 015－8x )3的导数y ′＝________.答案 －24(2 015－8x )2解析 y ′＝3(2 015－8x )2×(2 015－8x )′＝3(2 015－8x )2×(－8)＝－24(2 015－8x )2.5．曲线y ＝cos(2x ＋)在x ＝处切线的斜率为______．π6π6答案 －2解析 ∵y ′＝－2sin(2x ＋)，π6∴切线的斜率k ＝－2sin(2×＋)＝－2.π6π66．函数y ＝x (1－ax )2(a >0)，且y ′|x ＝2＝5，则实数a 的值为________．答案 1解析 y ′＝(1－ax )2＋x [(1－ax )2]′＝(1－ax )2＋x [2(1－ax )(－a )]＝(1－ax )2－2ax (1－ax )．由y ′|x ＝2＝(1－2a )2－4a (1－2a )＝12a 2－8a ＋1＝5(a >0)，解得a ＝1.7．求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋2x 2)8；(2)y ＝；11－x 2(3)y ＝sin 2x －cos 2x ；(4)y ＝cos x 2.解 (1)设y ＝u 8，u ＝1＋2x 2，∴y ′＝(u 8)′(1＋2x 2)′＝8u 7·4x ＝8(1＋2x 2)7·4x ＝32x (1＋2x 2)7.(2)设y ＝u －，u ＝1－x 2，12则y ′＝(u －)′(1－x 2)′＝(－u －)·(－2x )121232＝x (1－x 2)－.32(3)y ′＝(sin 2x －cos 2x )′＝(sin 2x )′－(cos 2x )′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝2sin(2x ＋)．2π4(4)设y ＝cos u ，u ＝x 2，则y ′＝(cos u )′·(x 2)′＝(－sin u )·2x ＝(－sin x 2)·2x ＝－2x sin x 2.二、能力提升8．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________答案 2解析 设直线y ＝x ＋1切曲线y ＝ln(x ＋a )于点(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝，∴y ′|x ＝x 0＝＝1，1x ＋a 1x 0＋a 即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2.9．曲线y ＝e x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．12答案 e 2解析 ∵y ′＝e x ·，∴y ′|x ＝4＝e 2.121212∴曲线在点(4，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －4)，12切线与坐标轴的交点分别是(0，－e 2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积S ＝|－e 2||2|＝e 2.1210．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.答案 1解析 f ′(x )＝2(2x ＋a )·2＝4(2x ＋a )，f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.11．已知a >0，f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，l 是曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线．求切线l 的方程．解 f (x )＝ax 2－2x ＋1＋ln(x ＋1)，f (0)＝1.∴f ′(x )＝2ax －2＋＝，1x ＋12ax 2＋(2a －2)x －1x ＋1f ′(0)＝－1，∴切点P 的坐标为(0,1)，l 的斜率为－1，∴切线l 的方程为x ＋y －1＝0.12.有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离S (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数为S ＝S (t )＝5－.求函数在t ＝ s 时的导数，并解释它的实际意义．25－9t 2715解 函数S ＝5－可以看作函数S ＝5－和x ＝25－9t 2的复合函数，其中x 是中间25－9t 2x 变量．由导数公式表可得S x ′＝－x －，x t ′＝－18t .1212故由复合函数求导法则得S t ′＝S x ′·x t ′＝(－x －)·(－18t )＝，12129t25－9t 2将t ＝代入S ′(t )，得S ′()＝0.875 (m/s)．715715它表示当t ＝ s 时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.715三、探究与拓展13.曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为，求直线l 的方程．5解 y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x ·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2.∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设直线的方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得＝，5|b －1|5∴b ＝6或－4.∴直线l 的方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.5.1-1.5.2 定积分学案 苏教版选修2-2(2021年整
2016-2017学年高中数学第1章导数及其应用1.5.1-1.5.2 定积分学案苏教版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1章导数及其应用1.5.1-1.5.2 定积分学案苏教版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第1章导数及其应用1.5.1-1.5.2 定积分学案苏教版选修2-2的全部内容。
1。
5.1 曲边梯形的面积1.5。
2 定积分1．了解定积分的概念及“以直代曲”、“以不变代变"的思想方法，求定积分．2．理解定积分的几何意义,会求曲边梯形的面积．［基础·初探］教材整理1 曲边梯形的面积阅读教材P41～P45“例2”以上部分,完成下列问题．1．曲边梯形的面积将已知区间［a,b]等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点x i对应的函数值f(x i)作为小矩形一边的长．于是，可用f（x i)Δx来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f（x1)Δx ＋f（x2)Δx＋…＋f（x n）Δx表示了曲边梯形面积的近似值．图1。
5.12．求曲边梯形的面积的步骤求曲边梯形面积的过程可以用流程图表示为：分割→以直代曲→作和→逼近由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形,将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值（取每个区间的右端点）是________．【解析】将区间［0，1］四等分，得到4个小区间：错误!，错误!,错误!,错误!，以每个小区间右端点的函数值为高,4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S＝错误!3×错误!＋错误!3×错误!＋错误!3×错误!＋13×错误!＝错误!.【答案】错误!教材整理2 定积分阅读教材P47“例1”以上部分，完成下列问题．一般地,设函数f(x）在区间[a，b]上有定义,将区间［a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为Δx错误!，在每个小区间上取一点，依次为x1，x2,…，x i，…，x n.作和S n＝f（x1)Δx ＋f(x2）Δx＋…＋f（x i)Δx＋…＋f(x n）Δx.如果当Δx→0(亦即n→＋∞）时，S n→S(常数)，那么称常数S为函数f（x）在区间[a，b]上的定积分．记为S＝_错误!f(x)d x。
高中数学 第一章《导数及其应用》单元检测 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题
江苏省苏州市第五中学高中数学第一章《导数及其应用》单元检测苏教版选修2-2一、知识点梳理二、学法指导1．本章内容共分为四节，第一节是导数的概念．教材通过实例给出了平均变化率，进而给出了函数平均变化率的概念．接着教材给出了曲线上一点处的切线、瞬时速度和瞬时加速度的概念，进而给出了导数的概念．第二节是导数的运算，教材介绍了常见函数的导数，导数的四则运算以及简单复合函数的导数．第三节是导数在函数研究中的应用，主要是利用导数研究函数的单调性、求函数的极大值、极小值以及求函数在闭区间上的最大值和最小值．第四节是导数在实际生活中的应用，主要是利用导数的方法求实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等最优化的问题．2．本章的重点：一是利用导数的定义求简单函数的导数，能利用导数公式表、运算法则求导数．二是利用导数判断函数的单调性，求函数的极大值、极小值、最大值、最小值．三是利用导数的方法解决实际应用问题．本章的难点是对导数概念的理解，导数方法的应用，特别是求一些实际问题的最值．3．建议：(1)借助于实例，从平均速度、瞬时速度到函数的瞬时变化率的过程，认识和理解导数的概念．通过例题，体会利用导数的定义求导数的方法．(2)借助于图形去认识和理解导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的作用．(3)利用基本初等函数的求导法则和四则运算求导数，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此，观察表达式的特点，对表达式进行适当的变形时优化解题过程的关键．对于复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．(4)利用导数的方法解决实际问题时，数学建模是关键．特别是对有关物理问题，能够将其物理意义与求导数联系起来．三、单元自测(一) 填空题(每小题5分，共70分)1．半径为R 的圆受热均匀膨胀，若半径增加了r ，则圆面积的平均膨胀率是__________． 2．已知函数()2x f x -=，则(2)f '=__________________． 3．已知函数y ＝log 2(3x ＋1)，则它的导数为_______________． 4．如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是8+-=x y ， 则(3)(3)f f '+= ． 5．若()2f a '=，则当h 无限趋近于0时，()()2f a h f a h--→____．6．已知函数32()32,[0,]f x x x x m =-+∈在x =0处取得最大值，在x =2处取得最小值，则m 的取值范围是 ．7．要做一个母线长为20厘米的圆锥形的漏斗，当高为 厘米时，该漏斗的体积最大? 8．设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 9．若函数f(x)=31(1)34xa x --在其定义域内没有极值，则a 的取值范围为_________． 10．若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是__________． 11．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =___________． 12．设函数()()()cos30f x x ϕϕπ=+<<，若()()f x f x '+ 是奇函数，则ϕ=__________．13．函数f (x )=x 3－3x ，1,2x a ⎡⎤∈+⎣⎦的最小值为a －2，则实数a 的值为__________．14．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-． 若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． (二) 解答题(15、16每小题13分，17~20每小题16分，共90分)15．如果曲线31y x x =++的某一条切线与直线133y x =+平行，求切点坐标和切线方程． 16．已知a 是实数，函数()()f x x x a =-，求函数()f x 的单调区间．17．如图，在矩形地块ABCD 中有两条道路AF ，EC ，其中AF 是以A 为顶点的抛物线段，EC 是线段．AB=2km ，BC=6km ，AE=BF=4km ．在两条道路之间计划修建一个公园，公园的形状为直角梯形QPRE(线段EQ 和RP 为两个底边，如图所示)．求该公园的最大面积． 18．设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 (1)求函数()f x 的单调区间；(2)已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围．19．已知2()(2,)f x x ax a a x R =++≤∈，()x g x e -=，()()()x f x g x Φ=．(1)当a =1时，求()x Φ的单调区间；(2)是否存在实数a ，使()x Φ的极大值为3?若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数2*()2cos πln (f x x a k x k =-⋅∈N ，a ∈R ，且0a >）． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若2010k =，关于x 的方程()2f x ax =有唯一解，求a 的值． 高二数学《导数及其应用》单元测试试卷答案 一、填空题：(每小题5分，共70分)1．2R r ππ+ 2．ln 24- 3．3(31)ln 2x + 4．4 5．1- 6．[]2,3 7．2038．(]0,3 9．(],1-∞ 10．(,1]-∞- 11．2- 12．6π 13．0 14．1(0,)e二、解答题：15．当切点为(2,11)时，切线方程为1315y x =-；………………………………6分 当切点为(2,9)--时，切线方程为1317y x =+．………………………………13分16．解：函数的定义域为[0)+∞，， ………………………………………………1分 ()22f x x x x'==（0x >）．………………………………………………3分 若0a ≤，则()0f x >，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．…………………………7分 若0a >，令()0f x '=，得3a x =，当03a x <<时，()0f x '<，当3ax >时，()0f x '>．()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，．…13分17．解：建立如图所示的直角坐标系…………………2分 则有抛物线段的方程为x 2=y （0<x<2）………7分 E （0，4），C （2，6），EC 的方程为y=x+4．设P(x,x 2)（x∈(0,2)），则PQ=x ，QE=4－x 2，PR=4+x －x 2．面积 ……………9分，即得（舍负） (11)分+ 0 － S单调增 极大值单调减S 在时取极大值，即为最大值，最大值为……………………………15分答：该公园的最大面积为……………………………………………16分18．解 (1) '22ln 1(),ln x f x x x+=- ………………………………………………2分 若 '()0,f x = 则 1x e=………………………………………………3分 x 1(0,)e1e1(,1)e(1,)+∞'()f x+0 --()f x单调增极大值1()f e单调减 单调减 ()f x 有单调递增区间0,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间,1e ⎛⎫⎪⎝⎭和()1+∞，．………………9分(2) 在 12ax x > 两边取对数， 得 1ln 2ln a x x >，由于01,x <<所以1ln 2ln a x x>（1）由(1)的结果可知，当(0,1)x ∈时， 1()()f x f e e≤=-， 为使(1)式对所有(0,1)x ∈成立，当且仅当ln 2ae >-，即ln 2a e >-……………16分 19．解：（1）当221,()(1),'()()x x a x x x e x e x x --=Φ=++Φ=-+时． ……2分'()0,01;'()0,10.x x x x x Φ><<Φ<><当时当时或 ∴()x Φ的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为(,0)-∞，(1,)+∞． ……7分（2）22'()(2)()[(2)]x x x x x a e e x ax a e x a x ---Φ=+-++=-+-， …………9分令'()0,02x x x a Φ===-得或． ………………10分a=2时，()x Φ无极值；由表可知，()(2)(4)x a a e Φ=Φ-=-极大． ………………13分 设22()(4),'()(3)0a a a a e a a eμμ--=-=->，∴()(,2)a μ-∞在上是增函数， ∴ ()(2)23a μμ≤=<，即2(4)3a a e --≠，∴不存在实数a ，使()x Φ极大值为3． …………………………16分 20．（1）由已知得x ＞0且2()2(1)k a f x xx'=--⋅．当k 是奇数时，()0f x '>，则f (x )在(0,+∞)上是增函数; …………………3分 当k 是偶数时，则2()2a f x x x'=-． …………………5分所以当x ∈(时，()0f x '<，当x ∈(),a +∞时，()0f x '>．故当k 是偶数时，f (x )在(上是减函数，在(),a +∞上是增函数．……………7分 （2）若2010k =，则2*()2ln ()f x x a x k =-∈N ．记g (x) = f (x ) – 2ax = x 2– 2 a x ln x – 2ax , 222()22()a g x x a x ax a x x'=--=--,若方程f (x )=2ax 有唯一解，即g (x )=0有唯一解； ……………………………9分 令()0g x '=,得20x ax a --=．因为0,0a x >>，所以10 x =<（舍去），2 x ． ………………………11分 当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 是单调递减函数； 当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上是单调递增函数．当x =x 2时, 2()0g x '=，min 2()()g x g x =． ………………………………12分 因为()0g x =有唯一解，所以2()0g x =．则22()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，， 即22222222ln 200x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，，…………………………………13分两式相减得22ln 0 a x ax a +-=，因为a >0，所以222ln 10 (*)x x +-=． …………14分设函数()2ln 1h x x x =+-，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x ) = 0至多有一解．因为h (1) = 0，所以方程(*)的解为x 2 = 1，从而解得12a =． (16)分。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.3.3 Word版含解析
1.3.3最大值与最小值明目标、知重点 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．1．函数在闭区间[a，b]上的最值函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在闭区间[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．2．在闭区间求函数最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值，(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．3．函数在开区间(a，b)内的最值在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．4．极值与最值的意义(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．[情境导学]极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？函数的极值与最值有怎样的关系？这就是本节我们要研究的问题．探究点一求函数的最值思考1如图，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？答f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y＝f(x)的极小值；f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y＝f(x)的极大值．思考2观察思考1的函数y＝f(x)，你能找出函数f(x)在区间[a，b]上的最大值、最小值吗？若将区间改为(a，b)，f(x)在(a，b)上还有最值吗？由此你得到什么结论？答函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是f(a)，最小值是f(x3)．若区间改为(a，b)，则f(x)有最小值f(x3)，无最大值．小结一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得．思考3函数的极值和最值有什么区别和联系？答函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较取得极值附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．小结求一个函数在闭区间上的最值步骤：1．求导，确定函数在闭区间上的极值点．2．求出函数的各个极值和端点处的函数值．3．比较大小，确定结论．例1求下列函数的最值：(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；(2)f(x)＝12x＋sin x，x∈[0,2π]．解(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝ 2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增，－2)(2－2，2)因为f(－2)＝8，f(3)＝18，f(2)＝－82，f(－2)＝82；所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，又x ∈[0,2π]，解得x ＝23π或x ＝43π.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f (23π)＝π3＋32，f (43π)＝23π－32. ∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.反思与感悟 (1)求函数的最值，显然求极值是关键的一环．但仅仅是求最值，可用下面简化的方法求得． ①求出导数为零的点．②比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值． (2)若函数在闭区间[a ，b ]上连续且单调，则最大、最小值在端点处取得． 跟踪训练1 求下列函数的最值： (1)f (x )＝13x 3－4x ＋4，x ∈[0,3]；(2)f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2,5]． 解 (1)∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4.令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.∵f (2)＝－43，f (0)＝4，f (3)＝1，－2D ∈/[0,3]，∴函数f (x )在[0,3]上的最大值为4，最小值为－43.(2)∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x (x ＋3)(x －1)，∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0， 即函数f (x )在区间[2,5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 探究点二 含参数的函数的最值问题 例 2 已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．(1)若f ′(1)＝3，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax . 因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.又当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 3x －y －2＝0.(2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a3.当2a3≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而f (x )max ＝f (2)＝8－4a .当2a3≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而f (x )max ＝f (0)＝0. 当0<2a3<2，即0<a <3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a3，2上单调递增， 从而f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， 0<a ≤2，0， 2<a <3，综上所述，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧8－4a ， a ≤2，0， a >2.反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． 跟踪训练2 在例2中，区间[0,2]改为[－1,0]结果如何？ 解 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝23a ，①当23a ≥0，即a ≥0时，f (x )在[－1,0]上单调递增，从而f (x )max ＝f (0)＝0；②当23a ≤－1，即a ≤－32时，f (x )在[－1,0]上单调递减，从而f (x )max ＝f (－1)＝－1－a ； ③当－1<23a <0，即－32<a <0时，f (x )在⎣⎡⎦⎤－1，23a 上单调递增； 在⎣⎡⎦⎤23a ，0上单调递减， 则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫23a ＝－427a 3. 综上所述：f (x )max＝⎩⎨⎧－1－a ，a ≤－32，－427a 3，－32<a <0，0，a ≥0.探究点三 函数最值的应用思考 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？答 解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题． 如f (x )>0恒成立，只要f (x )的最小值大于0即可． 如f (x )<0恒成立，只要f (x )的最大值小于0即可．以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数．例 3 设函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，(1)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． (2)若对任意的x ∈(0,3)，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解 (1)∵f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝5＋8c.又f(3)＝9＋8c>f(1)，∴x∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c.∵对任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，∴9＋8c<c2，即c<－1或c>9.∴c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．(2)由(1)知f(x)<f(3)＝9＋8c，∴9＋8c≤c2即c≤－1或c≥9，∴c的取值范围为(－∞，－1]∪[9，＋∞)．反思与感悟(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”．跟踪训练3设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t＞0)．(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)＜－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．解(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t＞0)，∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，即h(t)＝－t3＋t－1.(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合题意，舍去)．当t变化时g′(t)、g(t)的变化情况如下表：∴对t∈(0,2)，当t＝1时，g(t)max∵h(t)<－2t－m对t∈(0,2)恒成立，也就是g (t )<0，对t ∈(0,2)恒成立， ∴只需g (t )max ＝1－m <0，∴m >1. ∴实数m 的取值范围是(1，＋∞)1．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的最大值是________． 答案 π解析 因为y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，y ′>0，则函数y 在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sin π＝π.2．若函数f (x )、g (x )在区间[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，f (a )＝g (a )，则在区间[a ，b ]上f (x )与g (x )的大小关系为________． 答案 f (x )≥g (x ) 解析 ∵f ′(x )>g ′(x )， ∴f (x )－g (x )单调递增．∵x ≥a ，∴f (x )－g (x )≥f (a )－g (a )， 即f (x )－g (x )≥0，即f (x )≥g (x )．3．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________． 答案 －71解析 f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3或x ＝－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27， f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20. 由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.4．函数f (x )＝e x sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 答案 [0，e π2]解析 f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )． ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ′(x )>0. ∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调增函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝0，f (x )max ＝f (π2)＝e π2.[呈重点、现规律]1．求函数的最值时，应注意以下几点：(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念．(2)闭区间[a ，b ]上的连续函数一定有最值．开区间(a ，b )内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值，并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值)． 2．求含参数的函数最值，可分类讨论求解． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题.一、基础过关1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是________，________. 答案 10 2解析 ∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)， f (3)＝10，f (5)＝2.2．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值是________．答案 1e解析 y ′＝e －x －x ·e －x ＝e －x (1－x )， 令y ′＝0，∴x ＝1，∴f (0)＝0，f (4)＝4e 4，f (1)＝e －1＝1e ，∴f (1)＝1e为最大值．3．函数y ＝ln xx 的最大值是________．答案 1e解析 令y ′＝(ln x )′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx 2＝0.解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当x <e 时，y ′>0. y 极大值＝f (e)＝1e ，在定义域内只有一个极大值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝4xx 2＋1的值域为________．答案 [－2,2]解析 令y ′＝4(x 2＋1)－4x ·2x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2＝0，得x ＝±1.∵x >0时y >0，x <0时，y <0.结合表可知，x ＝－1时，y 取极小值也是最小值－2；x ＝1时，y 取极大值也是最大值2. 5．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 答案 [－4，－2]解析 f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．6．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是______． 答案 π6＋ 3解析 令y ′＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝y 6π|=x ＝π6＋ 3.7．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f (x )在[－2,2]上的最大值．解 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f (x )min 当x ＝0时，f (x )最大值为3. 二、能力提升8．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当MN 达到最小时t 的值为________． 答案22解析 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出MN ＝y ＝t 2－ln t (t >0)．y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2(t ＋22)(t －22)t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在此区间内单调递减； 当t >22时，y ′>0，可知y 在此区间内单调递增． 故当t ＝22时，MN 有最小值． 9．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．10．如果函数f (x )＝x 3－32x 2＋a 在[－1,1]上的最大值是2，那么f (x )在[－1,1]上的最小值是________． 答案 －12解析 f ′(x )＝3x 2－3x ，令f ′(x )＝0得x ＝0，或x ＝1. ∵f (0)＝a ，f (－1)＝－52＋a ，f (1)＝－12＋a ，∴f (x )max ＝a ＝2. ∴f (x )min ＝－52＋a ＝－12.11．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根．∴由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9. (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝3，x＝－1.当x变化时，f′(x)和f(x)随x的变化情况如下表：单调递增单调递减单调递增∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54；当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18.∴参数c的取值范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)．12．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1,3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又∵f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)的最小值为－7.三、探究与拓展13.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．解(1)因为曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，所以b＝d＝2；因为f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4；g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)＝k e x(2x＋2)－x2－4x－2，则F′(x)＝(k e x－1)(2x＋4)，由题设可得F(0)≥0，故k≥1，令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2，①若1≤k<e2，则－2<x1≤0，从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)<0，当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0，即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，此时f(x)≤kg(x)恒成立；②若k＝e2，F′(x)＝(e x＋2－1)(2x＋4)≥0在[－2，＋∞)上恒成立，故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增，因为F(x)min＝F(－2)＝0，所以F(x)≥F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；③若k>e2，则F(x)min＝F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0，此时kg(x)<f(x)，从而当x∈[－2，＋∞)时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上所述，k的取值范围为[1，e2]．。
2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用章末综合检测 苏教版选修2-2
章末综合测评(一)(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中的横线上) 1．函数f (x )＝ln x －2xx在点(1，－2)处的切线方程为________．【解析】 f ′(x )＝1－ln x x2，则f ′(1)＝1，故函数f (x )在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.【答案】 x －y －3＝02．若函数f (x )＝13x 3－f ′(1)·x 2－x ，则f ′(1)的值为________．【解析】 f ′(x )＝x 2－2f ′(1)·x －1，则f ′(1)＝12－2f ′(1)·1－1， 解得f ′(1)＝0. 【答案】 03．函数f (x )＝cos xx的导数为________．【解析】 f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －x ′cos xx 2＝－x sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2. 【答案】 －x sin x ＋cos xx 24．f (x )＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a ＝________. 【解析】 f ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)， 令f ′(x )＝0， 则x ＝0或x ＝1.∴f (x )在(－∞，0)上递增，在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增， ∴f (x )极大值＝f (0)＝a ，∴a ＝6. 【答案】 65．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)恰好有________个零点．【解析】 f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2a >4，∴x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．∵f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，∴f (0)f (2)<0，∴f (x )在(0,2)内有且只有一个零点．【答案】 16．(2016·长沙雅礼质检)函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间是_______．【解析】 令f ′(x )＝1－1x ＝x －1x≤0，得x ∈(0,1]，∴函数f (x )的单调递减区间是(0,1]．【答案】 (0,1]7．(2016·汕头检测)曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．【解析】 ∵y ′＝x 2＋1，∴曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线斜率为k ＝12＋1＝2，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43处的切线方程为y －43＝2(x －1)， ∴该切线与两坐标轴的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－23.故所求三角形的面积是12×13×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23＝19.【答案】 198．(2016·唐山检测)已知a >0，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在区间－2,2]上单调递减，则4a ＋b 的最大值为______.【导学号：01580029】【解析】 ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∵函数f (x )在区间－2,2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ≥12，4a ＋b ≤－12，即4a ＋b ≤－12，∴4a ＋b 的最大值为－12.【答案】 －129．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，则a ＝________，切线方程为________．【解析】 f ′(x )＝12x，g ′(x )＝ax(x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ln x ，12x ＝ax，解得a ＝e 2，x ＝e 2，∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e)， 切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线方程为y －e ＝12e (x －e 2)，即x －2e y ＋e 2＝0.【答案】 e 2x －2e y ＋e 2＝010．(2016·郑州联考)已知f (x )＝12x 2＋2xf ′(2 015)＋2 015ln x ，则f ′(2 015)＝________.【解析】 由题意得f ′(x )＝x ＋2f ′(2 015)＋2 015x，所以f ′(2 015)＝2 015＋2f ′(2015)＋2 0152 015，即f ′(2 015)＝－(2 015＋1)＝－2 016. 【答案】 －2 01611．(2015·河北石家庄模拟)若对于曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)的任意切线l 1，总存在曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为________．【解析】 易知函数f (x )＝－e x－x 的导数为f ′(x )＝－e x－1，设l 1与曲线f (x )＝－e x－x 的切点为(x 1，f (x 1))，则l 1的斜率k 1＝－e x 1－1.易知函数g (x )＝ax ＋2cos x 的导数为g ′(x )＝a －2sin x ，设l 2与曲线g (x )＝ax ＋2cos x 的切点为(x 2，g (x 2))，则l 2的斜率k 2＝a －2sin x 2.由题设可知k 1·k 2＝－1，从而有(－e x 1－1)(a －2sin x 2)＝－1，∴a －2sin x 2＝1e x＋1，故由题意知对任意实数x 1，总存在x 2使得上述等式成立，则函数y ＝1e x ＋1的值域是y ＝a －2sin x 值域的子集，则(0,1)⊆a －2，a ＋2]，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤0，a ＋2≥1，∴－1≤a ≤2.【答案】 －1,2]12．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，且f (x )在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行．∴⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝2，3m －2n ＝－3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.因此f ′(x )＝3x 2＋6x . 令f ′(x )≤0，得－2≤x ≤0.∴f (x )的单调减区间为－2,0]．依题意t ≥－2且t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1. 【答案】 －2，－1]13．(2016·浙江六校联考)函数y ＝ln x ＋x 2的图象与函数y ＝3x －b 的图象有3个不同的交点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 函数y ＝ln x ＋x 2的图象与函数y ＝3x －b 的图象有3个不同的交点，等价于ln x ＋x 2＝3x －b 有3个不同的解，等价于b ＝3x －ln x －x 2有3个不同的解，对f (x )＝3x －ln x －x 2求导，得f ′(x )＝3－1x －2x ，易知函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)上递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递增，所以只要满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<b <f (1)，所以54＋ln 2<b <2.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋ln 2，214．当x ∈－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当x ＝0时，3≥0恒成立，a ∈R .当0<x ≤1时，a ≥x 2－4x －3x 3.设h (x )＝x 2－4x －3x 3，则h ′(x )＝－x 2－8x －x 4＝－x －x ＋x4，∵x ∈(0,1]，∴h ′(x )>0，h (x )递增， ∴h (x )最大值＝h (1)＝－6， ∴a ≥－6.当－2≤x ＜0时，a ≤x 2－4x －3x 3.易知h (x )＝x 2－4x －3x 3在－2，－1)上递减，在(－1,0)上递增． ∴h (x )最小值＝h (－1)＝－2， ∴a ≤－2.综上，－6≤a ≤－2. 【答案】 －6≤a ≤－2二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ax 2－43ax ＋b ，f (1)＝2，f ′(1)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程． 【解】 (1)f ′(x )＝2ax －43a ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f＝2a －43a ＝1，f ＝a －43a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52，∴f (x )＝32x 2－2x ＋52.(2)∵f ′(1)＝1，∴f (x )在(1,2)处切线的斜率为1， 故所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.16．(本小题满分14分)(2016·北京高考)设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 【解】 (1)因为f (x )＝x e a －x＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，⎩⎪⎨⎪⎧f＝2e ＋2，f ＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋ex －1)及e2－x＞0知，f ′(x )与1－x ＋ex －1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 17．(本小题满分14分)设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)求实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈1，e]恒成立． 【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x－2x ＋a＝－x －ax ＋ax，由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间(a ，＋∞)． (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e－1，即a ≥e， 由(1)知f (x )在1，e]上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a －1≥e－1，f ＝a 2－e 2＋a e≤e 2，解得a ＝e.18．(本小题满分16分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π， 所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因r >0，又由h >0可得0<r <53， 故函数V (r )的定义域为(0,53)． (2)因V (r )＝π5(300r －4r 3)，(0<r <53)故V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数； 当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数．由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在－3,3]上的最小值． 【解】 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ， 故f ′(x )＝3ax 2＋b ，由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ；f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x 2＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.20．(本小题满分16分)(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点．(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.【导学号：01580030】【解】 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋a －b x 1＋x 2x 1x 2＝k a ＋ba. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意．。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 导数实际生活中的应用习题 苏教版选修2-2
【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用 1.4 导数实际生活中的应用习题苏教版选修2-2明目标、知重点1．了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路优化问题→用函数表示的数学问题优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.[情境导学]生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？答(1)函数建模，细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域，一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值，此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论，回扣题目，给出圆满的答案．例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解 设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128 ＝2x ＋512x＋8，x >0.求导数，得 S ′(x )＝2－512x2.令S ′(x )＝2－512x2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0； 当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16使函数S (x )取得极小值，也是最小值．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使海报四周空白面积最小． 答 当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，海报四周空白面积最小．反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域．跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．答案 32米，16米解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为512x米，∴新墙壁总长度L ＝2x ＋512x (x >0)，则L ′＝2－512x2.令L ′＝0，得x ＝±16. ∵x >0，∴x ＝16.当x ＝16时，L min ＝64，此时堆料场的长为51216＝32(米)．探究点二 利润最大问题例 2 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr 2分，其中r (单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解 由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是 y ＝f (r )＝0.2×43πr 3－0.8πr 2＝0.8π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 33－r 2，0<r ≤6.令f ′(r )＝0.8π(r 2－2r )＝0. 当r ＝2时，f ′(r )＝0. 当r ∈(0,2)时，f ′(r )<0； 当r ∈(2,6)时，f ′(r )>0.因此，当半径r >2时，f ′(r )>0，它表示f (r )单调递增，即半径越大，利润越高；半径r <2时，f ′(r )<0，它表示f (r )单调递减，即半径越大，利润越低． 所以，半径为6 cm 时，利润最大．半径为2 cm 时，利润最小，这时f (2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况如下表：单调递增单调递减由上表可得，x 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值为42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 探究点三 费用(用材)最省问题例 3 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝kv 2，当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)； 当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省， 为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 20v 0－8元．反思与感悟 本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v ＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域范围内．跟踪训练3 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 (1)依题意得y ＝500x(960＋0.6x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x2＋300，令y ′＝0， 解得x ＝40或x ＝－40(舍去)． 因为函数的定义域为(0,35]， 所以函数在定义域内没有极值点． 又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，∴当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________． 答案 4解析 设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2， ∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x， ∴S ′(x )＝2x －4×256x2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8， ∴h ＝25682＝4.2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为________． 答案 0.032 4解析 依题意，存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2. 令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)． 当0<x <0.032 4时，y ′>0； 当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0. 所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益．3．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为________．答案 34V解析 设底面边长为x ， 则表面积S ＝32x 2＋43xV (x >0)．∴S ′＝3x2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数，x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)． 因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． [呈重点、现规律]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.一、基础过关1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是________．答案 －1解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)， 所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．从边长为10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为________ cm 3. 答案 144解析 设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm. 则y ＝(10－2x )(16－2x )x (0<x <5) ＝4x 3－52x 2＋160x ， ∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或x ＝203(舍去)，∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．3．如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为V ， 则4r ＋2h ＝l ， ∴h ＝l －4r2，V ＝πr 2h ＝l2πr 2－2πr 3⎝⎛⎭⎪⎫0<r <l 4.则V ′＝l πr －6πr 2，令V ′＝0，得r ＝0或r ＝l6，而r >0， ∴r ＝l6可以使V 取得极大值，也是最大值．∴当r ＝l6时，V 取得最大值，最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.4．用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱最大容积为________ cm 3. 答案 128 000解析 设水箱底边长为x cm(0<x <120)，则水箱高h ＝60－x2(cm)．水箱容积V ＝V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(cm 3)，V ′(x )＝120x －32x 2.令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝80.可判断得x ＝80 (cm)时，V 取最大值为128 000 cm 3.5．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是________． 答案 300解析 由题意得，总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，70 090－100x ，x >390，令P ′(x )＝0，得x ＝300.6．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则其高为________ cm. 答案2033解析 设高为h cm ，体积为V cm 3，底面半径为r cm ， 则r 2＝202－h 2＝400－h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)，V ′＝π3(400－3h 2)，令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍)．7.如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？解 设广告的高和宽分别为x cm ，y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告的面积S ＝xy ＝x (18 000x －20＋25)＝18 000xx －20＋25x .∴S ′＝18 000[x －20－x ]x －202＋25＝－360 000x －202＋25.令S ′>0得x >140， 令S ′<0得20<x <140.∴函数在(140，＋∞)上单调递增， 在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值为24 500，故当广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小．二、能力提升8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处． 答案 5解析 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x(k 1>0)，每月库存货物的运费y 2＝k 2x (k 2>0)，其中x 是仓库到车站的距离，于是由2＝k 110，得k 1＝20；由8＝10k 2，得k 2＝45.因此两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5，y ′＝－20x 2＋45.令y ′＝0，得x ＝5(x ＝－5舍去)，可使y 取得最小值． 故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．9．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2，要使用料最省，只须使圆柱表面积最小，由题意，得S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′(R )＝2πR －54πR2＝0，∴R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小．10.为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长为a 米，高为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方米，问当a ＝________，b ＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)．答案 6 3解析 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab，其中k (k >0)为比例系数．依题意，即所求的a ，b 值使y 值最小，根据题设，4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)得b ＝30－a2＋a (0<a <30)． 于是y ＝kab ＝k30a －a 22＋a＝k 2＋a30a －a 2.令y ′＝a 2k ＋4ak －60k30a －a 22＝0，得a ＝6或a ＝－10(舍去)．∵本题只有一个极值，∴此极值即为最值．当a ＝6时，b ＝3，即当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．11．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋mx(2＋x )x＝256m x＋mx ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数，所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝mx －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．12.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？ 解 设速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km. 则总费用f (x )＝(kx 3＋200)·a x＝a (kx 2＋200x)．由已知条件，得40＝k ·203，∴k ＝1200，∴f (x )＝a (1200x 2＋200x)．令f ′(x )＝a x 3－20 000100x 2＝0，得x ＝10320. 当0<x <10320时，f ′(x )<0；当10320<x <100时，f ′(x )>0. ∴当x ＝10320时，f (x )有最小值， 即速度为10320 km/h 时，总费用最少．答 火车以10320 km/h 的速度行驶，才能使从甲城开往乙城的总费用最少．三、探究与拓展13.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r . 解 (1)设容器的容积为V ， 由题意知V ＝πr 2l ＋43πr 3，又V ＝80π3， 故l ＝V －43πr 3πr 2＝803r 2－43r ＝43(20r 2－r )．由于l ≥2r ，因此0<r ≤2. 所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43(20r 2－r )×3＋4πr 2c ，因此y ＝4π(c －2)r 2＋160πr，0<r ≤2.(2)由(1)得y ′＝8π(c －2)r －160πr2＝8πc －2r 2(r 3－20c －2)，0<r ≤2.由于c >3，所以c －2>0.精选教案可编辑 当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2. 令 320c －2＝m ，则m >0，所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)． ①当0<m <2，即c >92时， 令y ′＝0，得r ＝m .当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2]时，y ′>0，所以r ＝m 使函数y 取得极小值，也是最小值．②当m ≥2，即3<c ≤92时， 当r ∈(0,2]时，y ′≤0，函数单调递减，所以r ＝2使函数y 取得最小值．综上所述，当3<c ≤92时， 建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费用最小时r ＝ 320c －2.。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.1 单调性学案 苏教版选修2-2(2021年整理)
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1。
3.1 单调性1．利用导数研究函数的单调性．（重点)2．含有字母参数的函数单调性的讨论，单调区间的求解．(难点)3．由单调性求参数的取值范围．（易错点）[基础·初探]教材整理函数的单调性与其导数的关系阅读教材P28“例1”以上部分，完成下列问题．1．函数的单调性与其导数的关系（1)一般地，在某区间上函数y＝f(x)的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0f（x)为该区间上的增函数f′(x）〈0f（x)为该区间上的减函数(22．导数与函数图象间的关系(1）导函数图象在x轴上方的区间为原函数的单调增区间，导函数图象在x轴下方的区间为原函数的单调减区间．（2)一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”；反之，函数的图象就“平缓"一些．1．判断正误：(1）若函数f(x)在（a，b）上是增函数，则对任意x∈(a，b），都有f′(x）>0.（)(2)函数f（x）＝错误!在其定义域上是单调减函数．( ）（3)函数f(x）＝x3－2x在（1，＋∞)上单调递增．( )(4)若存在x∈(a,b)有f′(x）＝0成立,则函数f（x)为常数函数．（)【答案】(1）×(2)×(3)√（4）×2．函数f(x）＝（x－3)e x的单调递增区间是________．【解析】f′（x)＝(x－3）′e x＋（x－3)（e x)′＝(x－2)e x，令f′（x)〉0,解得x>2。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.5.2 Word版含解析
1.5.2 定积分明目标、知重点 1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义．1．定积分的概念一般地，设函数f (x )在区间[a ，b ]上有定义，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δx (Δx ＝)，在每个小区间上取一点，依次为x 1，x 2，…，x i ，…，x n .作和b －an S n ＝f (x 1)Δx ＋f (x 2)Δx ＋…＋f (x i )Δx ＋…＋f (x n )Δx ，如果当Δx →0(亦即n →＋∞)时，S n →S (常数)，那么称常数S 为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记为：S ＝ʃf (x )d x ，ba 其中，f (x )称为被积函数，[a ，b ]称为积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限．2．定积分的几何意义一般地，定积分ʃf (x )d x 的几何意义是，在区间[a ，b ]上曲线与x 轴所围图形面积的代数ba 和．(即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)探究点一 定积分的概念思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答 两个问题均可以通过“分割、以直代曲、作和、逼近”解决，都可以归结为一个特定形式和的逼近．思考2 怎样正确认识定积分ʃf (x )d x?ba 答 (1)定积分ʃf (x )d x 是一个数值．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃf (x )ba b a d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了定积分的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1 利用定积分的定义，计算ʃx 3d x 的值．10解 令f (x )＝x 3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[，]i －1n in(i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝－＝.i n i －1n 1n (2)以直代曲、作和取ξi ＝(i ＝1,2，…，n )，则in ʃx 3d x ≈S n ＝f ()·Δx 10∑n i ＝1i n ＝ ()3·∑ni ＝1i n 1n ＝i 3＝·n 2(n ＋1)2＝(1＋)2.1n 4∑n i ＝11n 414141n (3)逼近n →＋∞时，2→.14(1＋1n )14∴ʃx 3d x ＝.1014反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、以直代曲、作和、逼近”这一过程，需要注意的是在本题中将以直代曲、作和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1 用定义计算ʃ(1＋x )d x .21解 (1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间(i ＝1,2，…，n )，每个小区间的[1＋i －1n，1＋in ]长度为Δx ＝.1n (2)以直代曲、作和：在上取点ξi ＝1＋(i ＝1,2，…，n )，于是f (ξi )[1＋i －1n，1＋in ]i －1n ＝1＋1＋＝2＋，从而得(ξi )Δx ＝(2＋)·＝i －1n i －1n n∑i ＝1f n∑i ＝1i －1n 1n n∑i ＝1(2n ＋i －1n 2)＝·n ＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]2n 1n 2＝2＋·＝2＋.1n 2n (n －1)2n －12n (3)逼近：n →＋∞时，S n ＝(ξi )Δx →2＋＝.n∑i ＝1f1252因此ʃ(1＋x )d x ＝.2152探究点二 定积分的几何意义思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃf (x )d x 表示什b a 么？答 当函数f (x )≥0时，定积分ʃf (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线b a y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2 当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃf (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有b a正有负呢？答 如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于>0，f (ξi )≤0，故b －an f (ξi )≤0.从而定积分ʃf (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即b －an b a ʃf (x )d x ＝－S .ba 当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃf (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线ba x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3.ba 例2 利用几何意义计算下列定积分：(1)ʃd x ；(2)ʃ(3x ＋1)d x .3－39－x 23－1解 (1)在平面上y ＝表示的几何图形为以原点为圆心，以3为半径的上半圆，9－x 2其面积为S ＝·π·32.12由定积分的几何意义知ʃd x ＝π.3－39－x 292(2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面3－1积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ(3x ＋1)d x ＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.3－11213121350323反思与感悟 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．跟踪训练2 根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)ʃx d x ；(2)ʃcos x d x ；(3)ʃ|x |d x .1－12π01－1解 (1)如图(1)，ʃx d x ＝－A 1＋A 1＝0.1－1(2)如图(2)，ʃcos x d x ＝A 1－A 2＋A 3＝0.2π0(3)如图(3)，∵A 1＝A 2，∴ʃ|x |d x ＝2A 1＝2×＝1.1－112(其中A 1，A 2，A 3分别表示图中相应各处面积)1．定积分ʃ(－3)d x ＝________.31答案 －62．定积分ʃf (x )d x 的大小，以下说法正确的是________．ba ①与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关②与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关③与f (x )和ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关④与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关答案 ①3．根据定积分的几何意义，用不等号连结下列式子：①ʃx d x ________ʃx 2d x ；1010②ʃd x ________ʃ2d x .204－x 220答案 ①> ②<解析 ①当x ∈[0,1]时，x >x 2，由定积分的几何意义知ʃx d x >ʃx 2d x ；1010②当ʃd x 对应的面积为半圆，204－x 2小于ʃ2d x 对应的矩形的面积，20所以ʃd x <ʃ2d x .204－x 2204．用定积分的几何意义求定积分ʃ2(x －2)d x .50解 因ʃ2(x －2)d x ＝2ʃ(x －2)d x ，所以作出直线y ＝x －2在区间[0,5]的图象，在区间[0,2]上5050图象在x 轴下方，在区间[2,5]上图象在x 轴上方，设线段在x 轴下方和在x 轴上方与坐标轴组成的面积分别为S 1，S 2，由定积分的几何意义，得ʃ(x －2)50d x ＝S 2－S 1＝×32－×22＝，所以ʃ2(x －2)d x ＝5.12125250[呈重点、现规律]1．定积分ʃf (x )d x 是一个和式f (ξi )当n →＋∞时逼近的一个值，是一个常数．ba n∑i ＝1b －an 2．可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分.一、基础过关1．将曲边y ＝e x ，x ＝0，x ＝2，y ＝0所围成的图形面积写成定积分的形式__________．答案 ʃe x d x 202．定积分ʃ3t d x (t 为大于0的常数)的几何意义是32____________________________________．答案 由直线y ＝3t ，x ＝2，x ＝3，y ＝0所围成的矩形的面积3.由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是________．答案 ʃ|x 2－4|d x 404．设a ＝ʃx d x ，b ＝ʃx 2d x ，c ＝ʃx 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是________．10131010答案 a >b >c解析 根据定积分的几何意义，易知ʃx 3d x <ʃx 2d x <ʃx d x ，a >b >c .101010135．计算定积分ʃd x ＝________.1－14－4x 2答案 π解析 由于ʃd x ＝2ʃd x 表示单位圆的面积π，所以ʃd x ＝π.1－14－4x 21－11－x 21－14－4x 26．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S 1＝________(如图1)；图1(2)S 2＝________(如图2)；图2答案 (1)ʃπsin x d x (2)ʃd x π32－4x 227．若ʃ|56x |d x ≤2 016，求正数a 的最大值．a －a 解 由ʃ|56x |d x ＝56ʃ|x |d x ≤2 016，得ʃ|x |d x ≤36，∴ʃ|x |d x ＝2ʃx d x ＝a 2≤36，即a －a a －a a －a a －a a 00<a ≤6.故正数a 的最大值为6.二、能力提升8.ʃ(2x －4)d x ＝________.60答案 12解析 如图A (0，－4)，B (6,8)S △AOM ＝×2×4＝4，12S △MBC ＝×4×8＝16，12∴ʃ(2x －4)d x ＝16－4＝12.609．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________.答案 －ʃsin x d x 0－π解析 由定积分的意义知，由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0围成图形的面积为S ＝－ʃsin x d x .0－π10．计算ʃd x ＝________.4016－x 2答案 4π解析 ʃd x 表示以原点为圆心，4016－x 24为半径的圆的面积，14∴ʃd x ＝π·42＝4π.4016－x 21411．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ(2x ＋1)d x ；(2) d x .301－x 2解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝330与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝(1＋7)×3＝12.根据定积12分的几何意义知ʃ(2x ＋1)d x ＝12.3(2)由y ＝可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知1－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．1－x 2S 弓形＝×π×12－×1×1×sin π＝－，12231223π334S 矩形＝|AB |·|BC |＝2××＝，321232∴d x ＝－＋＝＋.1－x 2π33432π33412．利用定积分的定义计算ʃ(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．21解 令f (x )＝－x 2＋2x .(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间[1＋，1＋]i －1n in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝－＝.in i －1n 1n (2)以直代曲、作和取ξi ＝1＋(i ＝1,2，…，n )，则inS n ＝f (1＋)·Δx ＝[－(1＋)2＋2(1＋)]·∑n i ＝1i n ∑ni ＝1i n i n 1n ＝－[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ]1n 32n 2＝－[－]＋·1n 32n (2n ＋1)(4n ＋1)6n (n ＋1)(2n ＋1)62n 2n (n ＋1＋2n )2＝－(2＋)(4＋)＋(1＋)(2＋)＋3＋.131n 1n 161n 1n 1n (3)逼近当n →＋∞时，S ＝ʃ(－x 2＋2x )d x 21＝－＋＋3＋→，13(2＋1n )(4＋1n )16(1＋1n )(2＋1n )1n 23ʃ(－x 2＋2x )d x ＝的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲2123边梯形的面积．三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝Error!，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．解 由定积分的几何意义，知ʃx 3d x ＝0，ʃ2x d x ＝＝π2－4，2－2π2(π－2)(2π＋4)2ʃcos x d x ＝0，2ππ由定积分的性质得ʃf (x )d x ＝ʃx 3d x ＋ʃ2x d x ＋ʃcos x d x 2π－22－2π22ππ＝π2－4.。
高中数学 第一章 导数及其应用章末复习课 苏教版选修2-2
【创新设计】2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用章末复习课苏教版选修2-2题型一 用导数求曲线的切线方程利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．例1 已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x.(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x＝x －a x，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a . 又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0， 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．跟踪训练 1 已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值． 解 依题意有：f (1)＝a ，f ′(x )＝2ax ＋2x －2(x <2)，∴l 的方程为2(a －1)x －y ＋2－a ＝0， ∵l 与圆相切，∴|2－a |4a －12＋1＝12⇒a ＝118， ∴a 的值为118.题型二 用导数求函数的单调区间 求解函数y ＝f (x )单调区间的步骤： (1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为减区间．特别要注意定义域，写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连结．例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，又x ∈(0，＋∞)，∴函数的单调增区间为(2，＋∞)，函数的单调减区间为(0,2)． (2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a3)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(a3，a )．②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )和(a3，＋∞)，单调递减区间为(a ，a3)．③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是单调递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a 3)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(a3，a )；a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )和(a 3，＋∞)，单调递减区间为(a ，a3)；a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，＋∞)．跟踪训练 2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝x ln x .解 (1)函数的定义域是[0,2π]，f ′(x )＝cos x ，令cos x >0，解得2k π－π2<x <2k π＋π2(k ∈Z )，当x ∈[0,2π]时，0<x <π2，或3π2<x <2π，令cos x <0，解得π2<x <3π2，因此，f (x )的单调递增区间是(0，π2)和(3π2，2π)，单调递减区间是(π2，3π2)．(2)函数的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令ln x ＋1>0得x >e －1，因此，f (x )的单调递增区间是(e －1，＋∞)，单调递减区间是(0，e －1)． 题型三 数形结合思想在导数中的应用 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极植与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一个点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)． 例 3 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0， 得x 1＝0，x 2＝a .f (0)＝b ，f (a )＝－a 32＋b ，f (－1)＝－1－32a ＋b ，f (1)＝1－32a ＋b .因为23<a <1，所以1－32a <0，故最大值为f (0)＝b ＝1，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故a ＝63，b ＝1.跟踪训练 3 已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋x (a 、b ∈R 且ab ≠0)的图象如图所示，若|x 1|>|x 2|，则有a ________0，b ________0.答案< <解析由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1、x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx ＋1的图象如图所示，∴a<0.又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－2b3a<0，∴b<0.题型四定积分及其应用定积分的几何意义表示曲边梯形的面积，它的物理意义表示做变速直线运动物体的位移或变力所做的功，所以利用定积分可求平面图形的面积以及变速运动的路程和变力做功等问题．利用定积分解决问题时要注意确定被积函数和积分上下限．例4 如图，是由直线y ＝x －2，曲线y 2＝x 所围成的图形，试求其面积S .解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝x ，y ＝x －2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，故A (1，－1)，B (4,2)，如图所示，S ＝2ʃ10x d x ＋ʃ41(x －x ＋2)d x＝2×23x 32|10＋(23x 32－12x 2＋2x )|41＝2×23＋[(23×432－12×42＋2×4)－(23－12＋2)]＝92.跟踪训练 4 在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，如图所示，试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形的面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 围成的面积， 即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3.面积S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2，(1－t )， 即S 2＝ʃ1tx 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积S 为S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)， 由S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t (t －12)＝0， 得t ＝0，或t ＝12.由于当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t <1时，S ′(t )>0， 所以S (t )在0<t <12上单调递减，在12<t <1上单调递增． 所以当t ＝12时，S 最小，即图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．[呈重点、现规律]1．求函数中参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零；(3)与函数最值有关的问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.3.1 Word版含解析
1.3.1单调性明目标、知重点1．结合实例，探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．导数与函数单调性的关系(1)在区间(a，b)内，由导数的正、负判断函数的单调性(2)在区间(a，b)[情境导学]以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1<x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小．但在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单．本节我们就来研究这个问题．探究点一函数的单调性与导函数正负的关系思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．答(1)从起跳到最高点，h随t的增加而增加，即h(t)是增函数，h′(t)>0；(2)从最高点到入水，h随t的增加而减小，即h(t)是减函数，h′(t)<0.思考2观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？答(1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；(4)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)内，y′＝－1x2<0，y是减函数．小结一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．思考3若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？答不一定．由思考2中(3)知f′(x)≥0恒成立．思考4(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出思考2中(4)的单调区间．(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答(1)不能用“∪”连结，只能用“，”或“和”字隔开．思考2中(4)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集．例1已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4，或x<1时，f′(x)<0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．解当1<x<4时，f′(x)>0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x>4，或x<1时，f′(x)<0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示．反思与感悟本题具有一定的开放性，图象不唯一，只要能抓住问题的本质，即在相应区间上的单调性符合题意就可以了．跟踪训练1函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状．解f′(x)图象的大致形状如下图：注：图象形状不唯一．例2求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；(2)f(x)＝sin x－x(0<x<π)；(3)f(x)＝3x2－2ln x；(4)f (x )＝3tx －x 3.解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6x －36. 由f ′(x )>0解得x <－3，或x >2， 由f ′(x )<0解得－3<x <2，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(－3,2)． (2)f ′(x )＝cos x －1≤0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)，无单调递增区间． (3)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33. 又∵x >0，∴x >33. 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33. 又∵x >0，∴0<x <33. ∴函数f (x )的单调递增区间为(33，＋∞)， 单调递减区间为(0，33)． (4)f ′(x )＝3t －3x 2.令f ′(x )≥0时，得3t －3x 2≥0，即t ≥x 2， ∴当t ≤0时，无解；当t >0时，函数f (x )的单调递增区间是[－t ，t ]．令f ′(x )≤0时，得3t －3x 2≤0，即t ≤x 2， 当t ≤0时，f ′(x )≤0恒成立，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，＋∞)；当t >0时，函数f (x )的单调递减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)．综上所述，当t ≤0时，函数f (x )的单调减区间是(－∞，＋∞)，无单调增区间；当t >0时，函数f (x )的单调增区间是[－t ，t ]，单调减区间是(－∞，－t ]，[t ，＋∞)． 反思与感悟 求函数的单调区间的具体步骤：(1)优先确定f (x )的定义域；(2)计算导数f ′(x )；(3)解f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)定义域内满足f ′(x )>0的区间为增区间，定义域内满足f ′(x )<0的区间为减区间． 跟踪训练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2－ln x ；(2)f (x )＝x 3－x 2－x . 解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝2x －1x ＝(2x －1)(2x ＋1)x .由f ′(x )>0得－22<x <0或x >22， 又∵x >0，∴x >22， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫22，＋∞； 由f ′(x )<0得x <－22或0<x <22， 又∵x >0，∴0<x <22， ∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，22. (2)f ′(x )＝3x 2－2x －1 ＝(3x ＋1)(x －1)．由f ′(x )>0得x <－13或x >1；由f ′(x )<0得－13<x <1，故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－13)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－13，1)．探究点二 函数的变化快慢与导数的关系思考 我们知道导数的符号反映函数y ＝f (x )的增减情况，怎样反映函数y ＝f (x )增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．如图所示，函数y ＝f (x )在(0，b )或(a,0)内的图象“陡峭”，在(b ，＋∞)或(－∞，a )内的图象“平缓”．例3 如图，水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象．解 (1)→B ，(2)→A ，(3)→D ，(4)→C.反思与感悟 通过函数图象，不仅可以看出函数的增减，还可以看出函数增减的快慢．从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后，我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象，反之亦可行．跟踪训练3 已知f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象只可能是________．(填图象对应的序号)答案 ④解析 从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内，导数递增；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内越来越平缓．所以④比较符合．1．f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是________．(填图象对应的序号)答案 ④解析 由导函数的图象可知，当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )为减函数；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )为增函数．观察选项易知④正确． 2．函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，1a 解析 f (x )的定义域为{x |x >0}， 由f ′(x )＝1x －a >0，得0<x <1a.3．函数f (x )＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为________． 答案 (－∞，－1)解析 f ′(x )＝2x －1x 2－x －2，令f ′(x )<0得x <－1或12<x <2，注意到函数定义域为(－∞，－1)∪(2，＋∞)，故单调递减区间为(－∞，－1)．4．函数y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为________，单调递减区间为________． 答案 (2，＋∞) (－∞，2)解析 y ′＝2x －4，令y ′>0，得x >2； 令y ′<0，得x <2，所以y ＝x 2－4x ＋a 的单调递增区间为(2，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，2)． [呈重点、现规律]1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； (4)根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间.一、基础过关1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的________条件． 答案 充分不必要解析 f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间是________．答案 (0,1)解析 ∵y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，∴y ′＝x －1x ，令y ′<0，即x －1x <0，解得0<x <1或x <－1. 又∵x >0，∴0<x <1.3．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则f (2)、f (e)、f (3)的大小关系为________________． 答案 f (2)<f (e)<f (3)解析 因为在定义域(0，＋∞)上f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以有f (2)<f (e)<f (3)．4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是________． ①y ＝sin x ；②y ＝x e 2； ③y ＝x 3－x ；④y ＝ln x －x . 答案 ②解析 显然y ＝sin x 在(0，＋∞)上既有增又有减；对于函数y ＝x e 2，因e 2为大于零的常数，不用求导就知y ＝x e 2在(0，＋∞)内为增函数； 对于③，y ′＝3x 2－1＝3(x ＋33)(x －33)， 故函数在(－∞，－33)，(33，＋∞)上为增函数， 在(－33，33)上为减函数； 对于④，y ′＝1x －1 (x >0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数， 在(0,1)上为增函数． 故只有②符合．5．函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．答案 ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 6．若三次函数f (x )＝ax 3＋x 在区间(－∞，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 f ′(x )＝3ax 2＋1，∵f (x )在R 上为增函数，∴3ax2＋1≥0在R上恒成立．又a≠0，∴a>0.7.已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，试画出函数y＝f(x)的大致图象．解由y＝f′(x)的图象可以得到以下信息：当x<－2或x>2时，f′(x)<0，函数f(x)为减函数；当－2<x<2时，f′(x)>0，函数f(x)为增函数；f′(－2)＝0，f′(2)＝0.故原函数y＝f(x)的图象大致如图：二、能力提升8．如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是________．(填序号)答案 ①解析 由f (x )与f ′(x )关系可知①符合．9．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1，2]，则b ＝________，c ＝________.答案 －32－6 解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，∵函数f (x )的单调减区间为[－1,2]∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0，x ∈[－1,2]．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．∴由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ －2b 3＝(－1)＋2，c 3＝(－1)×2.∴b ＝－32，c ＝－6. 10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)内是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [3，＋∞)解析 由题意知f ′(x )≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 又f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，所以2x ＋a －1x 2≥0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞恒成立， 分离参数得a ≥1x 2－2x ， 若满足题意，需a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max . 令h (x )＝1x 2－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 因为h ′(x )＝－2x 3－2， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，恒有h ′(x )＜0，即h (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，所以h (x )＜h ⎝⎛⎭⎫12＝3，故a ≥3.11．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为(－32，＋∞)． ∵y ＝ln(2x ＋3)＋x 2，∴y ′＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3＝2(2x ＋1)(x ＋1)2x ＋3. 当y ′>0，即－32<x <－1或x >－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递增；当y ′<0，即－1<x <－12时， 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2单调递减．故函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的单调递增区间为(－32，－1)和(－12，＋∞)，单调递减区间为(－1，－12)． 12.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象经过点P (0,2)，且在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3，b －c ＝0.解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．三、探究与拓展13.已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2 (m 、n ∈R ，m ≠0)，函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线与x 轴平行．(1)用关于m 的代数式表示n ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m .(2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2，∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．。
【创新设计】-高中数学 第1章导数及其应用章末测试 苏教版选修2-2
章末质量评估(一)(时间：100分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中的横线上) 1．物体自由落体运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若当Δt 无限趋近于0时，s (1＋Δt )－s (1)Δt 无限趋近于9.8 m/s ，那么下面说法正确的是________．(填序号) ①9.8 m/s 是0～1 s 这段时间内的平均速度； ②9.8 m/s 是从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度； ③9.8 m/s 是物体在t ＝1这一时刻的速度；④9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度． 答案 ③2．曲线y ＝x ＋ln x 在点(e 2，e 2＋2)处的切线在y 轴上的截距为________．解析 因为y ′＝1＋1x ，所以曲线在点(e 2，e 2＋2)处的切线的斜率为k ＝1＋1e 2，切线方程为y －e 2－2＝⎝⎛⎭⎫1＋1e 2(x －e 2)． 即y ＝⎝⎛⎭⎫1＋1e 2x ＋1，令x ＝0，得y ＝1. 答案 13．下面说法正确的是________(填序号)．①函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 ②函数在闭区间上的最大值一定是极大值③对于f (x )＝x 3＋px 2＋2x ＋1，若|P |＜6，则f (x )无极值 ④函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值解析 极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值，因而极大值不一定比极小值大，而函数的最值是函数在整个定义区间上的情况，是对整个区间上的函数值的比较，因而函数在闭区间上的最大值不一定是极大值，在开区间上也不一定存在最值．所以①②④均错；对于③，f ′(x )＝3x 2＋2px ＋2，若|P |＜6时，Δ＝4p 2－4×3×2＝4p 2－24＜0成立，所以f (x )无极值． 答案 ③4．下列有关导数的说法正确的是________(填序号)．①f ′(x 0)就是曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率； ②f ′(x 0)与(f (x 0))′意义是一样的；③设s ＝s (t )是位移函数，则s ′(t 0)表示物体在t ＝t 0时刻的瞬时速度；④设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的加速度．解析因f′(x0)表示在x＝x0处的导数，而[f(x0)]′表示对函数值f(x0)求导．因f(x0)为常数，所以[f(x0)]′＝0.答案①③④5.如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是________．(填序号)①f(x)在(－3,1)内是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)内是减函数，在(－1,2)内是增函数；④x＝1是f(x)的极大值点．解析①错，因在(－3，－1)上f′(x)＜0，在(－1,1)上f′(x)＞0，故f(x)在(－3，－1)内是减函数，在(－1,1)内是增函数；②正确，因f′(x)在(－3，－1)上为负，f′(－1)＝0，f′(x)在(－1,2)上为正；③正确，因在(2,4)内f′(x)＜0，故f(x)在(2,4)内是减函数；在(－1,2)内f′(x)＞0，故f(x)在(－1,2)内为增函数，④错，f′(1)≠0，故x＝1不是极值点．答案②③6．某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2＋2，则t＝2时，汽车的加速度是________．解析v(t)＝s′(t)＝6t2－10t，a(t)＝v′(t)＝12t－10.∴当t＝2时，a(2)＝24－10＝14.答案147．函数f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值、最小值分别为________．解析f′(x)＝4－4x3，由f′(x)＝0得x＝1，易知x＝1为极值点，又f(1)＝3，f(－1)＝－5，f(2)＝－8.所以f(x)在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－8.答案3－88.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下图中的________．(填序号)解析 由已知图象可知，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，0)上递增；当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(0,2)上递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(2，＋∞)上递增．注意观察导函数f ′(x )的图象的特点，根据图象划分好区间． 答案 ③9．函数y ＝x ＋cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是________． 解析 y ′＝1－sin x ，令y ′＝0，得sin x ＝1，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 ∴x ＝π2，又因f (0)＝0＋cos 0＝1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2＋cos π2＝π2， 所以y ＝x ＋cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π2. 答案 π210．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3. 答案 a ≥311．若直线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为_____．解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x 5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x 5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． 答案 (－∞，0)12．设f (x )为偶函数，若直线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1，则该曲线在点(－1，f (－1))处的切线的斜率为________． 解析 ∵f (x )为偶函数，∴f ′(x )为奇函数． 又∵f ′(1)＝1，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－1. 答案 －113．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q ，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.，则最大毛利润为________．(毛利润＝销售收入－进货支出)． 解析 设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000， 所以，L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 此时，L (30)＝23 000.因此在p ＝30附近的左侧L ′(p )>0， 右侧L ′(p )<0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 答案 23 000元14．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x (x ＋2)＋b x ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2又f (x )在(－1，＋∞)上是减函数，即f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，又x ＋2＞0， 故－x 2－2x ＋b ≤0在(－1，＋∞)上恒成立， 即x 2＋2x －b ≥0在(－1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝x 2＋2x －b 的对称轴x ＝－1， 故要满足条件只需(－1)2＋2×(－1)－b ≥0， 即b ≤－1. 答案 (－∞，－1]二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知直线l 1为曲线y ＝f (x )＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另外一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2及x 轴所围成的三角形的面积． 解 (1)因为f ′(x )＝2x ＋1，所以f ′(1)＝3， 所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)， 即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线上点B (b ，b 2＋b －2)， 因为f ′(b )＝2b ＋1，所以直线l 2的方程为y －(b 2＋b －2)＝(2b ＋1)(x －b )， 即y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.又l 1⊥l 2，所以3(2b ＋1)＝－1，所以b ＝－23，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.即3x ＋9y ＋22＝0. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，可得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.因为直线l 1、l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)、⎝⎛⎭⎫－223，0， 所以所求三角形的面积为 S ＝12×⎪⎪⎪⎪－52×⎪⎪⎪⎪1＋223＝12512. 16．(本小题满分14分)求下列函数的导数：(1)y ＝(1＋sin x )2；(2)y ＝11＋x2； (3)y ＝lnx 2＋1；(4)y ＝x e 1－cos x.解 (1)y ′＝[(1＋sin x )2]′＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′＝2(1＋sin x )·cos x ＝2cos x ＋sin 2x .(2)y ′＝⎣⎡⎦⎤()1＋x 2－12′＝⎝⎛⎭⎫－12()1＋x 2－32·(1＋x 2)′＝－x ()1＋x 2－32＝－x(1＋x 2) 1＋x 2.(3)y ′＝(ln x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝1x 2＋1·12()x 2＋1－12·(x 2＋1)′＝x x 2＋1. (4)y ′＝(x e 1－cos x)′＝e 1－cos x＋x (e 1－cos x)′＝e 1－cos x＋x [e 1－cos x·(1－cos x )′]＝e 1－cos x＋x e 1－cos x·sin x＝(1＋x sin x )e 1－cos x.17．(本小题满分14分)若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围． 解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0. ∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)， ∴a ≥x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ①由f ′(x )≥0得：x 2－ax ＋a －1≥0. ∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1＞0， ∴a ≤x 2－1x －1＝x ＋1.又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7. 经检验a ＝5或a ＝7都符合题意． ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7.18．(本小题满分16分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)设每星期多卖的商品件数与商品单价的降低值x 的平方成正比的比例系数为k . ∵商品单价降低2元时，一星期多卖出24件，∴k ＝2422＝6.当降低值为x 时，销售量为(432＋6x 2)件，每件的销售利润是(30－9－x )＝(21－x )元． ∴每星期的销售利润w (x )＝(21－x )·(432＋6x 2)， ∴w (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072(0≤x ≤30)． (2)w ′(x )＝－18x 2＋252x －432， 令w ′(x )＝0，得x 1＝2，x 2＝12. w (x )的单调性如下表：↘↗↘∴当定价为30－12＝18元时，商品销售利润最大．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a ＞0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若在区间⎣⎡⎦⎤－12，12上，f (x )＞0恒成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －3＝6(x －2)， 即6x －y －9＝0.(2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)． 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a .以下分两种情况讨论： ①若0＜a ≤2，则1a ≥12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘当x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时， f (x )＞0等价于⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫12＞0，即⎩⎨⎧5－a8＞0，5＋a 8＞0.解不等式组得－5＜a ＜5.因此0＜a ≤2. ②若a ＞2时，则0＜1a ＜12.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： ↗↘↗当x ∈⎣⎦⎤－12，12时， f (x )＞0等价于⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫－12＞0，f ⎝⎛⎭⎫1a ＞0，即⎩⎨⎧5－a8＞0，1－12a 2＞0.解不等式组得22＜a ＜5或a ＜－22. 因此2＜a ＜5.综合①②，可知a 的取值范围为0＜a ＜5.20．(本小题满分16分)若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f (x )＝k 有3个不同的根，求实数k 的取值范围． 解 f ′(x )＝3ax 2－b .(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)＝12a －b ＝0，f (2)＝8a －2b ＋4＝－43， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.故所求函数的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43，所以函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象大致如右图所示．若f (x )＝k 有3个不同的根，则直线y ＝k 与函数f (x )的图象有3个交点，所以－43＜k ＜283.。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.1.2(一) Word版含解析
1.1.2 瞬时变化率——导数(一)明目标、知重点 1.理解曲线的切线的概念，会用逼近的思想求切线斜率.2.会求物体运动的瞬时速度与瞬时加速度．1．逼近法求曲线上一点处的切线斜率如图，设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝＝.f (x ＋Δx )－f (x )(x ＋Δx )－x f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，无限趋近于点P (x ，f (x ))处f (x ＋Δx )－f (x )Δx的切线的斜率．2．瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度(1)一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率无S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．(2)一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率无v (t 0＋Δt )－v (t 0)Δt限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．[情境导学]平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？平均速度反映了物体在某段时间内运动的快慢程度，那么，如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢？本节内容将解决这一问题．探究点一 曲线上一点处的切线斜率思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n的变化趋势是什么？答 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．这个确定的位置的直线PT 称为过点P 的切线．思考2 怎样求切线的斜率？答 可以用逼近的方法来计算切线的斜率，设P (x ，f (x ))，Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则k PQ ＝，f (x ＋Δx )－f (x )Δx当Δx 无限趋近于0时，无限趋近于曲线f (x )在点P (x ，f (x ))处切线的斜率．f (x ＋Δx )－f (x )Δx例1 已知曲线y ＝x 3上一点P ，求：13(2，83)(1)点P 处的切线斜率；(2)点P 处的切线方程．(提示：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)解 (1)∵y ＝x 3，13∴＝ΔyΔx 13(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝×133x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]，13当Δx 无限趋近于0时，无限趋近于x 2，ΔyΔx ∴点P 处的切线的斜率等于4.(2)在点P 处的切线方程是y －＝4(x －2)．83即12x －3y －16＝0.反思与感悟 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想．即求曲线上一点处切线的斜率时，先表示出曲线在该点处的割线的斜率，则当Δx 无限趋近于0时，可得到割线的斜率逼近切线的斜率．跟踪训练1 已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解 ＝＝＝4＋2Δx .Δy Δx 2(1＋Δx )2－2Δx4Δx ＋2(Δx )2Δx当Δx 无限趋近于0时，无限趋近于4，ΔyΔx ∴曲线y ＝2x 2在点(1,2)处切线的斜率为4.∴所求直线的斜率为k ＝－.14∴y －2＝－(x －1)，即x ＋4y －9＝0.14探究点二 瞬时速度与瞬时加速度思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h ()＝h (0)，＝＝0，6549v h (6549)－h (0)6549－0而运动员依然是运动状态．思考2 如何描述物体在某一时刻的运动状态？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．思考3 瞬时速度与瞬时加速度和函数的变化率有什么关系？答 瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率．例2 一质点按规律S ＝2t 2＋2t (位移单位：m ，时间单位：s)做直线运动．求：(1)该质点在前3 s 内的平均速度；(2)该质点在2 s 到3 s 内的平均速度；(3)该质点在3 s 时的瞬时速度．解 (1)＝＝＝8 (m/s)．v S (3)－S (0)3－02×32＋2×3－03∴该质点在前3 s 内的平均速度为8 m/s.(2)＝＝2×32＋2×3－2×22－2×2＝12 (m/s)．v S (3)－S (2)3－2∴该质点在2 s 到3s 内的平均速度为12 m/s.(3)∵s (3＋Δt )－s (3)Δt＝2(3＋Δt )2＋2(3＋Δt )－(2×32＋2×3)Δt＝2Δt ＋14.当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋14无限趋近于14.∴该质点在3 s 时的瞬时速度为14 m/s.反思与感悟 平均速度可反映物体在某一段时间内的平均变化状态，而瞬时速度反映物体在某一时刻的运动变化状态，瞬时速度是平均速度当Δt 趋于0时的极限值．跟踪训练2 一辆汽车按规律S ＝3t 2＋1作直线运动，求这辆车在t ＝3 s 时的瞬时速度．(时间单位：s ，位移单位：m)解 设这辆车从3s 到(3＋Δt )s 这段时间内位移的增量为ΔS ，则ΔS ＝3(3＋Δt )2＋1－28＝3(Δt )2＋18Δt ，又＝3Δt ＋18，ΔSΔt ∴当Δt 无限趋近于0时，3Δt ＋18无限趋近于18，∴这辆车在t ＝3 s 时的瞬时速度为18 m/s.1．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2,8)，则点A 处的切线斜率为________．答案 8解析 ∵＝＝8＋2Δx ，f (2＋Δx )－f (2)Δx2(2＋Δx )2－8Δx当Δx 无限趋近于0时，8＋2Δx 无限趋近于8，∴曲线f (x )在点A 处的切线斜率为8.2．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________．答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x ＋4x 0)，20当Δx 无限趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝2(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx＝4x 0＋4＋2Δx ，无限趋近于4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．3．任一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．答案 3解析 ＝＝＝3－Δt ，ΔS Δt S (Δt )－S (0)Δt3Δt －(Δt )2Δt当Δt 无限趋近于0时，无限趋近于3.ΔSΔt 4．一质点做加速直线运动，其速度与时间的关系是v ＝t 2＋t ＋2 (速度单位：m/s ，时间单位：s)，求质点在t ＝2 s 时的瞬时加速度．解 ∵v (2＋Δt )－v (2)Δt＝＝Δt ＋5，(2＋Δt )2＋(2＋Δt )＋2－(22＋2＋2)Δt∴当Δt 无限趋近于0时，Δt ＋5无限趋近于5，即质点在t ＝2 s 时的瞬时加速度为5 m/s 2.[呈重点、现规律]1．曲线的切线斜率是割线斜率的极限值，是函数在一点处的瞬时变化率．2．瞬时速度是运动物体的位移对于时间的瞬时变化率，可以精确刻画物体在某一时刻运动的快慢.一、基础过关1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1，1＋Δt ](Δt >0)内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是________．答案 －62．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率的值为________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)答案 6解析 ＝＝6＋6Δx ＋2(Δx )2，Δy Δx 2(1＋Δx )3－2Δx∴Δx 无限趋近于0时，无限趋近于6，ΔyΔx ∴所求切线斜率为6.3．已知曲线y ＝x 2－2上一点P ，则过点P 的切线的倾斜角为________．12(1，－32)答案 45°解析 ＝Δy Δx 12(x ＋Δx )2－2－(12x 2－2)Δx＝x ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，无限趋近于x ，12ΔyΔx ∴曲线在点P处切线斜率为1，倾斜角为45°.(1，－32)4．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程为______________．(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3)答案 x －y －2＝0解析 ＝Δy Δx 4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，无限趋近于4－3x 2，ΔyΔx x ＝－1时，无限趋近于1，ΔyΔx 所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k ＝1，所以切线方程是x －y －2＝0.5．一物体的运动方程为S ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1.答案 114解析 ＝ΔS Δt 7(t ＋Δt )2＋8－(7t 2＋8)Δt＝7Δt ＋14t ，∴Δt 无限趋近于0时，无限趋近于14t .ΔSΔt ∵14t ＝1，∴t ＝.1146．一物体的运动方程是S ＝at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度为________．12答案 at 0解析 ＝＝a Δt ＋at 0，ΔS Δt S (t 0＋Δt )－S (t 0)Δt12当Δt 无限趋近于0时，无限趋近于at 0.ΔSΔt 7．求曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率．解 ∵＝Δy Δx f (1＋Δx )－f (1)Δx＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)Δx＝＝3Δx ＋4.3(Δx )2＋4Δx Δx∵当Δx 无限趋近于0时，3Δx ＋4无限趋近于4，∴曲线f (x )＝3x 2－2x 在点(1,1)处切线的斜率为4.二、能力提升8．已知物体运动的速度与时间之间的关系：v (t )＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt ]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________．答案 4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为＝＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt v (1＋Δt )－v (1)Δt无限趋近于4.ΔvΔt 9．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________.答案 14解析 ＝＝2ax ＋a Δx ，Δy Δx a (x ＋Δx )2－ax 2Δx当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，且y 0＝x 0－1＝ax ，解得x 0＝2，a ＝.201410．有一作直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度是________．答案 －1解析 物体在t ＝2到t ＝2＋Δt 时间内，位移的改变量ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2.∴该时间段内的平均速度＝＝－1－Δt ，v ΔSΔt ∴Δt 无限趋近于0时，无限趋近于－1，ΔSΔt ∴此物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.11．以初速度v 0 (v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时间的高度为S (t )＝v 0t －gt 2，求物体在时刻12t 0处的瞬时速度．解 ∵ΔS ＝v 0(t 0＋Δt )－g (t 0＋Δt )2－12(v 0t 0－12gt 20)＝(v 0－gt 0)Δt －g (Δt )2，12∴＝v 0－gt 0－g Δt ，ΔSΔt 12当Δt 无限趋近于0时，无限趋近于v 0－gt 0.ΔSΔt 故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.12．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝ s 时的瞬时速度，并解释此时的运6598动状况．解 令t 0＝，Δt 为增量．6598则＝h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt－4.9×(6598＋Δt )2＋6.5×(6598＋Δt )＋10＋4.9×(6598)2－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt (6549＋Δt )＋6.5ΔtΔt＝－4.9＋6.5，(6549＋Δt )∴Δt 无限趋近于0时，无限趋近于0.h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt即运动员在t 0＝ s 时的瞬时速度为0 m/s.6598说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高点处．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)S ＝Error!求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为ΔS ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为＝＝24 (m/s)．ΔS Δt 482(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0附近的平均变化率为＝ΔS Δt f (0＋Δt )－f (0)Δt＝＝3Δt －18，29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt∵当Δt 无限趋近于0时，＝3Δt －18无限趋近于－18，ΔSΔt ∴物体的初速度v 0为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度，即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为＝ΔS Δt S (1＋Δt )－S (1)Δt＝＝3Δt －12.29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt当Δt 无限趋近于0时，＝3Δt －12无限趋近于－12，ΔSΔt ∴物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
2016_2017高中数学第1章导数及其应用章末分层突破学案苏教版选修2_
第1章导数及其应用章末分层突破[自我校对]①导数的运算②函数的和、差、积、商的导数③单调性④极大值与极小值⑤最大值与最小值____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________种，一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)，①又y 1＝f (x 1)，② 由①②求出x 1，y 1的值，即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．(1)曲线y ＝xex －1在点(1,1)处切线的斜率等于________．(2)已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图11所示，则该函数的图象是________．(填序号)图11【精彩点拨】 (1)曲线在点(1,1)处的切线斜率即为该点处的导数． (2)由导数值的大小变化，确定原函数的变化情况，从而得出结论． 【规范解答】 (1)y ′＝ex －1＋xex －1＝(x ＋1)ex －1，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y ′| x ＝1＝2.(2)从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x ＝0时最大，所以函数f (x )的图象的变化率也先增大后减小，在x ＝0时变化率最大．①中，在x ＝0时变化率最小，故错误；③中，变化率是越来越大的，故错误；④中，变化率是越来越小的，故错误；②正确．【答案】 (1)2 (2)② [再练一题]1．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．【解】 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0.∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0， ∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝x 20＝4，∴x 0＝±2. ∴切点为(2,4)或⎝⎛⎭⎪⎫－2，－43.∴斜率为4的曲线的切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合思想．这部分内容要注意的是f (x )为增函数⇔f ′(x )≥0且f ′(x )＝0的根有有限个，f (x )为减函数⇔f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－1,1)内单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【精彩点拨】 研究函数的单调性可通过判断导数的符号来解决．因为涉及参数a ，所以要分类讨论．【规范解答】 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a . 因为f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上单调递增，所以a ≤0. 故实数a 的取值范围是a ≤0.(2)由f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)内恒成立， 得a ≥3x 2在x ∈(－1,1)内恒成立． 因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3. 因为当a ＝3时，f ′(x )＝3(x 2－1)，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )<0，即f (x )在(－1,1)上单调递减，所以a ≥3. 故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)内单调递减． [再练一题]2．设函数f (x )＝aln x ＋x －1x ＋1(a ≠0)，讨论函数f (x )的单调性． 【解】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a x ＋2 x ＋1 2＝ax 2＋ 2a ＋2 x ＋ax x ＋1 2.当a ≥0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， 由于Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)，①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12 x －1 2x x ＋1 2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．②当a ＜－12时，Δ＜0，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－12＜a ＜0时，Δ＞0.设x 1，x 2(x 1＜x 2)是函数g (x )的两个零点，则x 1＝－ a ＋1 ＋2a ＋1a ，x 2＝－ a ＋1 －2a ＋1a.因为x 1＝a ＋1－2a ＋1－a ＝a 2＋2a ＋1－2a ＋1－a＞0，所以，x ∈(0，x 1)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，x ∈(x 1，x 2)时，g (x )＞0，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增， x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )＜0，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．综上可得，当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－ a ＋1 ＋2a ＋1a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－ a ＋1 －2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－ a ＋1 ＋2a ＋1a ，－ a ＋1 －2a ＋1a 上单调递增．值或取值范围．另外，这部分内容可能会和恒成立问题、有解等问题联系到一起考查．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．【精彩点拨】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝0，f ′ 1 ＝－3，求出a ，b 即可．(2)对t 分0<t ≤2与2<t <3两种情况求最值．(3)构造函数g (x )＝f (x )－c 转化为g (x )在[1,3]上有实根求解．【规范解答】 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2. 所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2，得f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )最大值＝f (0)＝2，f (x )最小值＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3时，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：f (x )最小值最大值f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0.所以f (x )最大值＝f (0)＝2.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.要使g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1 ≥0，g 2 <0，g 3 ≥0.解得－2<c ≤0.[再练一题]3．已知函数f (x )＝－x 3＋12x ＋m .(1)若x ∈R ，求函数f (x )的极大值与极小值之差； (2)若函数y ＝f (x )有三个零点，求m 的取值范围；(3)当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为－2，求f (x )的最大值． 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋12. 当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2. 当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2. 当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，在(－2,2)上单调递增． ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－16＋m .f (x )极大值＝f (2)＝16＋m .∴f (x )极大值－f (x )极小值＝32. (2)由(1)知要使函数y＝f (x )有三个零点，必须⎩⎪⎨⎪⎧f x 极小值＜0，f x 极大值＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－16＋m ＜0，16＋m ＞0，∴－16＜m ＜16.∴m 的取值范围为(－16,16)．(3)当x ∈[－1,3]时，由(1)知f (x )在[－1,2)上单调递增，f (x )在[2,3]上单调递减，f (x )的最大值为f (2)．又f (－1)＝－11＋m ，f (3)＝m ＋9， ∴f (－1)＜f (3)，∴在[－1,3]上f (x )的最小值为f (－1)＝－11＋m ， ∴－11＋m ＝－2，∴m ＝9.∴当x ∈[－1,3]时，f (x )的最大值为f (2)＝(－2)3＋12×2＋9＝25.尽可能选择求导和判断导数符号都比较容易的函数，如果证明f (x )＞g (x )，x ∈(a ，b )，可转化为证明F (x )＝f (x )－g (x )与0的关系，若F ′(x )＞0，则函数F (x )在(a ，b )上是增函数．若F (a )≥0，则由增函数的定义，知当x ∈(a ，b )时，有F (x )＞F (a )≥0，即f (x )＞g (x )成立，同理可证明f (x )＜g (x )，x ∈(a ，b )．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 【精彩点拨】 (1)利用f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，列方程组求解． (2)转化为求函数f (x )的最大值问题． 【规范解答】 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b . 因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.(2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， 则f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈[0,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈[1,2]时，f ′(x )<0； 当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0.所以当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，当x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c .所以当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9. 故c 的取值范围为c <－1或c >9.[再练一题]4．(2016·郑州高二检测)已知函数f (x )＝axx ＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象相切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解】 (1)对函数f (x )求导，得f ′(x )＝a x 2＋b －ax ·2x x 2＋b 2＝ab －ax 2 x 2＋b2.因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切．所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 1 ＝0，f 1 ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ab －a ＝0，1＋b ≠0，a 1＋b ＝2，所以a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4xx 2＋1. (2)因为f ′(x )＝4－4x2x 2＋12，所以直线l 的斜率k ＝f ′(x 0)＝4－4 x 20 x 20＋1 2＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 x 20＋1 2－1x 20＋1，令t ＝1x 20＋1，t ∈(0,1]，则k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，所以k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，4.1．(2015·全国卷Ⅱ改编)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________.【导学号：01580027】【解析】 设y ＝g (x )＝f x x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′ x －f xx 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0. ∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数， ∴g (x )的图象的示意图如图所示．当x >0，g (x )>0时，f (x )>0,0<x <1， 当x <0，g (x )<0时，f (x )>0，x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【答案】 (－∞，－1)∪(0,1)．2．(2015·福建高考改编)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是________．(填序号)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k <1k ；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1； ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1；④f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1.【解析】 令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1.∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数． 又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.【答案】 ③3．(2016·全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.【解析】 求得(ln x ＋2)′＝1x ，[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.设曲线y ＝ln x ＋2上的切点为(x 1，y 1)，曲线y ＝ln(x ＋1)上的切点为(x 2，y 2)， 则k ＝1x 1＝1x 2＋1，所以x 2＋1＝x 1.又y 1＝ln x 1＋2，y 2＝ln(x 2＋1)＝ln x 1，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以x 1＝1k ＝12，y 1＝ln 12＋2＝2－ln 2，所以b ＝y 1－kx 1＝2－ln 2－1＝1－ln 2. 【答案】 1－ln 24．(2016·全国Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．【解析】 先利用函数奇偶性求出x >0时f (x )的解析式，再求切线方程．因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以f ′(x )＝1x－3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.【答案】 y ＝－2x －15．(2015·湖南高考)⎠⎛02(x －1)d x ＝__________.【解析】 ⎠⎛02(x －1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x | 20＝12×22－2＝0.【答案】 06．(2015·陕西高考)设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为__________．【解析】 y ′＝e x，曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1，设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x (x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m(m >0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．【答案】 (1,1)7．(2016·江苏高考)已知函数f (x )＝a x＋b x(a >0，b >0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0<a <1，b >1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值.【导学号：01580028】【解】 (1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.11 ①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x ＝2，亦即(2x )2－2×2x ＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x ＝1，解得x ＝0.②由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. 因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0，所以m ≤ f x 2＋4f x对于x ∈R 恒成立． 而 f x 2＋4f x ＝f (x )＋4f x ≥2f x ·4f x ＝4，且 f 0 2＋4f 0 ＝4， 所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0， 所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a x ln a ＋b x ln b ，又由0<a <1，b >1知ln a <0，ln b >0， 所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b . 令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )>0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数． 于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )<g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数． 下证x 0＝0.若x 0<0则x 0<x 02<0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02<g (0)＝0. 又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2>a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0<a <1， 所以log a 2<0.又x 02<0，所以x 1<0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 若x 0>0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾． 因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.1.2(二) Word版含解析
1.1.2 瞬时变化率——导数(二)明目标、知重点 1.理解导数的定义，并掌握导数的几何意义.2.理解导函数的概念，了解导数的物理意义和实际意义．1．导数设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 2．导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )．f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．[情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容． 探究点一 函数的导数思考1 函数的导数和函数的平均变化率有什么关系？答 函数f (x )在点x 0附近的平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →A ，A 就是f (x )在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)． 思考2 导数f ′(x 0)有什么几何意义？答 f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率. 例1 利用定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数．解 ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－2＝－(Δx )2－Δx . ∴ΔyΔx＝－Δx －1，当Δx →0时，ΔyΔx →－1，∴f ′(2)＝－1.反思与感悟 求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数步骤如下：①求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③求导数，当Δx →0时，Δy Δx →A ，则f ′(x 0)＝A .跟踪训练1 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ，∴Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， 当Δx →0时，ΔyΔx →4，∴f ′(1)＝4.探究点二 导数概念的应用思考1 导函数f ′(x )和f (x )在一点处的导数f ′(x 0)有何关系？答 函数f (x )在一点处的导数f ′(x 0)是f (x )的导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值． 思考2 f ′(x 0)与f ′(x )的区别是什么？答 f ′(x )是函数f (x )的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x 0，Δx 无关；f ′(x 0)表示的是函数f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关． 思考3 导数有哪些主要应用？答 在物理上，导数可以解决一些瞬时速度、瞬时加速度问题；在函数图象上，利用导数可求曲线在某点处切线的斜率；在实际问题中，导数可以表示事物变化的快慢，解决膨胀率，降雨强度，边际函数等问题．例2 已知曲线y ＝4x 在点(1,4)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离等于17，求直线l 的方程．解 ∵Δy ＝41＋Δx －41＝－4Δx1＋Δx ，∴Δy Δx ＝－41＋Δx . 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－4. ∴曲线在点(1,4)处的切线的斜率为－4.故切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0. 设直线l 的方程为4x ＋y ＋c ＝0， 由题意有|c ＋8|17＝17.∴c 1＝9，c 2＝－25，所以直线l 的方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.反思与感悟 利用导数的几何意义来求曲线切线的斜率，注意给出的点必须是切点才能直接根据导数求切线斜率，否则要先求切点．跟踪训练2 已知函数y ＝f (x )在点(2，3)处的切线方程为y ＝kx －1，则f ′(2)＝________. 答案 2 2解析 由点(2，3)在直线y ＝kx －1上得3＝k ×2－1， ∴k ＝2 2.根据导数的几何意义f ′(2)＝2 2.思考4 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 答 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．思考5 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与曲线过某点(x 0，y 0)的切线有何不同？答 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x )过某点(x 0，y 0)的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．例3 试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程．解 Δy Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝2x ＋Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于2x ，所以f ′(x )＝2x .设所求切线的切点为A (x 0，y 0)， 因为A 在曲线y ＝x 2上，所以y 0＝x 20，又因为A 是切点，所以过点A 的切线的斜率k ＝2x 0. 因为所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点， 所以斜率可以表示为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.故x 20－5x 0－3＝2x 0，解得x 0＝1或5. 从而切点的坐标为A (1,1)或A (5,25)． 当切点的坐标为A (1,1)时， 切线的斜率为k ＝2x 0＝2； 当切点的坐标为A (5,25)时， 切线的斜率为k ＝2x 0＝10. 所以所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0和10x －y －25＝0.反思与感悟 (1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练3 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 Δy Δx ＝[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx＝4x ＋2Δx .∴Δx →0时，ΔyΔx →4x .(1)设切点为(x 0，y 0)， 则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5， ∴切点坐标为(1，－5)． (2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0， 故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)． 将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)． 从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.1．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率为________．答案 －3 解析 ∵ΔyΔx＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于－3.2．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数为________．答案 0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于0.3．质点按S (t )＝3t －t 2作直线运动，当其瞬时速度为0时，t ＝______. 答案 32解析 根据导数的定义可求得S ′(t )＝3－2t . 令S ′(t )＝3－2t ＝0，得t ＝32.4．求函数f (x )＝x －1x 的导函数．解 ∵Δy ＝(x ＋Δx )－1x ＋Δx －(x －1x )＝Δx ＋Δxx (x ＋Δx )，∴Δy Δx ＝1＋1x (x ＋Δx )， ∴当Δx →0时，1＋1x (x ＋Δx )→1＋1x 2，∴函数f (x )的导函数为1＋1x 2.[呈重点、现规律]1．导数就是瞬时变化率，是平均变化率ΔyΔx 当Δx →0时的无限趋近值．2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值． 3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).一、基础过关1．下列说法正确的是________(填序号)．①若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线； ②若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在；③若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在； ④若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在． 答案 ③解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0.2.已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是________．答案 f ′(x A )<f ′(x B )解析 由导数的几何意义，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率，由图象可知f ′(x A )<f ′(x B )．3．已知f (x )＝1x ，则当Δx →0时，f (2＋Δx )－f (2)Δx 无限趋近于________．答案 －14解析 ∵f (2＋Δx )－f (2)＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，∴f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx →0时，f (2＋Δx )－f (2)Δx →－14.4．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则此切线方程为____________． 答案 4x －y －4＝0或4x －y ＝0解析 设P (x 0，y 0)，由导数定义可得y ＝x 3＋x －2在点x ＝x 0处的导数为3x 20＋1，令3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴切点P 的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故切线方程为4x －y －4＝0或4x －y ＝0.5．设函数f (x )＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________.(已知(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3) 答案 1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝[a (Δx )2－3a Δx ＋3a ]．∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3a ，即3a ＝3，∴a ＝1.6．设一汽车在公路上做加速直线运动，且t s 时速度为v (t )＝8t 2＋1，若在t ＝t 0时的加速度为6 m/s 2，则t 0＝________ s. 答案 387．用导数的定义，求函数y ＝f (x )＝1x 在x ＝1处的导数． 解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (x )＝11＋Δx－11＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx 1＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴Δy Δx＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )，∴当Δx 无限趋近于0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12.二、能力提升8．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 答案 3解析 由在M 点的切线方程y ＝12x ＋2得f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12.∴f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3.9．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是________．(填序号)答案 ①解析 依题意，y ＝f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个图象，只有①满足．10．若曲线y ＝2x 2－4x ＋P 与直线y ＝1相切，则P ＝________. 答案 3解析 设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0， ∴x 0＝1，即切点坐标为(1,1)． ∴2－4＋P ＝1，即P ＝3.11．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10.求： (1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)． (2)∵y ＝x 2＋4，Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋4－(x 2＋4)Δx＝(Δx )2＋2x ·Δx Δx ＝Δx ＋2x ，∴Δx →0时，ΔyΔx→2x .∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x ＋y ＝0； 在点(3,13)处的切线方程为6x －y －5＝0.12．航天飞机升空后一段时间内，第t s 时的高度h (t )＝5t 3＋30t 2＋45t ＋4，其中h 的单位为m ，t 的单位为s.(1)h (0)，h (1)，h (2)分别表示什么？ (2)求第2 s 内的平均速度； (3)求第2 s 末的瞬时速度；(4)经过多长时间，航天飞机的速度达到75 m/s?解 (1)h (0)表示航天飞机发射前的高度；h (1)表示航天飞机发射后1 s 的高度；h (2)表示航天飞机发射后2 s 的高度；(2)第2 s 内的平均速度v ＝h (2)－h (1)2－1＝170 (m/s)；(3)v ＝h (2＋Δt )－h (2)Δt ＝5Δt 2＋60Δt ＋225，当Δt 趋向于0时，v 趋向于225， 因此，第2 s 末的瞬时速度为225 m/s ； (4)设经过时间t ，飞机的速度达到75 m/s. Δh Δt ＝h (t ＋Δt )－h (t )Δt＝15t 2＋60t ＋45＋(15t ＋30)Δt ＋5(Δt )2， ∴当Δt →0时，ΔhΔt→15t 2＋60t ＋45，故经过时间t ，飞机的瞬时速度为15t 2＋60t ＋45. 令15t 2＋60t ＋45＝75，∴t ≈0.449 s. 即经过0.449 s ，航天飞机的速度达到75 m/s. 三、探究与拓展13.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)．根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx＝Δx －3， 当Δx →0时，Δx －3→－3，即f ′(2)＝－3.同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升．。
高中数学第1章导数及其应用单元测试苏教版选修22
高中数学 第1章 导数及其应用单元测试 苏教版选修2-2(时间90分钟，满分100分)一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．已知f (x )＝x3x ，则f ′(x )＝__________.2．已知y ＝3sin(2x －π3)，则y ′|x ＝π3的值为__________．3．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是__________．4．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调增区间是__________．5．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛6－6f (x )d x 等于__________．6．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是__________．7．奇函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac 的值为__________．8．∫ln20e x (1＋e x )2d x ＝__________.9．若关于x 的方程x 3－6x ＋5＝a 有三个不同实根，则a 的取值范围是__________． 10．若偶函数f (x )，当x ∈R ＋时，满足f ′(x )＞f x x ，且f (1)＝0，则不等式f xx≥0的解集是__________．二、解答题(本大题共5小题，满分60分) 11．(12分)(1)求定积分⎠⎛1－1f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1，x ≤0，x 2，x ＞0.(2)求由曲线y ＝x 3及直线y ＝2x 所围成的图形面积．12．(12分)已知函数f(x)＝x3－ax2＋bx＋c的图象为曲线E.(1)若函数f(x)在x＝－1和x＝3时取得极值，求a、b的值；(2)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a、b满足的关系式；(3)在(1)的条件下，当x∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c的取值范围．13．(12分)如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，点D、E分别为AB、AC边上的动点，且DE∥BC，沿DE将直角三角形ADE折起，使二面角ADEB成直二面角，设AD＝x，四棱锥A—BCDE的体积为V.(1)求V关于x的解析式；(2)求V的最大值．14．(12分)已知函数f(x)自变量取值区间A，若其值域区间也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．(1)求函数f(x)＝x2形如[n，＋∞)(n∈R)的保值区间；(2)g(x)＝x－ln(x＋m)的保值区间是[2，＋∞)，求m的取值范围．15．(12分)已知f(x)＝x ln x，g(x)＝－x2＋ax－3.(1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；(2)对x∈(0，＋∞)，不等式2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x 成立．参考答案解析：f ′(x )＝3x －x ·3xln33x 2＝1－x ln33x. 2．3 解析：∵y ′＝3cos(2x －π3)·2＝6cos(2x －π3)，∴y ′|x ＝π3＝6cos(2×π3－π3)＝3.3．14 解析：∵v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，a (t )＝v ′(t )＝12t －10，∴a (2)＝14. 4．(0，43) 解析：f (x )＝2x 2－x 3，f ′(x )＝4x －3x 2＞0,0＜x ＜43.5．16 解析：⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.6．[－1,2] 解析：y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0在x ∈R 上恒成立，故Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0⇒－1≤b ≤2.7．－3 解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∴f ′(1a)＝0.∴3a ·1a 2＋2b ·1a＋c ＝0.∴3＋2b ＋ac ＝0.∴ac ＋2b ＝－3. 又∵f (x )是奇函数，∴b ＝0，∴ac ＝－3. 解析：∫ln20e x(1＋e x )2d x ＝∫ln20(e x ＋2e 2x ＋e 3x)d x ＝(e x ＋e 2x＋13e 3x )|ln20＝(2＋4＋83)－(1＋1＋13)＝193. 9．(5－42，5＋42) 解析：设f (x )＝x 3－6x ＋5，f ′(x )＝3x 2－6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2. 列表如下：x (－∞，－2)－2 (－2，2)2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值5＋42 ↘极小值5－42↗画出f (x )的草图，由图可知a 的取值范围是(5－42，5＋42)． 10．[－1,0)∪[1，＋∞) 解析：设g (x )＝f x x (x ＞0)，则g ′(x )＝f ′x ·x －f xx 2＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数． 当x ＞0时，f x x ≥0＝f 11，∴x ≥1； 当x ＜0时，f x x ≥0⇔f x －x ≤0⇔f －x－x≤0⇔－x ≤1，∴－1≤x ＜0. 11．解：(1)⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛0－1(sin x －1)d x ＋⎠⎛01x 2d x＝(－cos x －x )|0－1＋13x 3|10＝cos1－2＋13＝cos1－53.(2)先求交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝2x ，解得x 3＝2x ，x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－ 2. 交点为(－2，－22)，(0,0)，(2，22)． 所求面积S 为S ＝⎠⎛0－2(x 3－2x )d x ＋∫20(2x －x 3)d x＝2∫20(2x －x 3)d x ＝2(x 2－x 44)20＝2.12．解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ， ∵f (x )在x ＝－1,3时存在极值，∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两实数根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝2a3，－1×3＝b3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)∵曲线E 上存在与x 轴平行的切线，∴f ′(x )＝0有实数解，即3x 2－2ax ＋b ＝0有实数解． ∴Δ＝(－2a )2－12b ≥0. ∴a 、b 的关系式为a 2≥3b . (3)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ，当x 变化时，f ′(x )、f (x )变化情况如下表x －2(－2，－1) －1 (－1,3) 3 (3,6) 6 f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )c －2↗极大值c ＋5 ↘极小值c －27↗c ＋54x ∈[－2,6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只需c ＋54<2|c |，c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54； c <0时，c ＋54<－2c .∴c <－18.∴c 的范围是(－∞，－18)∪(54，＋∞)． 13．解：(1)因DE ∥BC ，故△ADE ∽△ABC ， 所以AD AB ＝DE BC.设AD ＝x ，由已知，AB ＝2，BC ＝1，于是DE ＝x2.因∠ABC ＝90°，DE ∥BC ，故DE ⊥AD . 又二面角ADEB 成直二面角，所以AD ⊥面BCD ，AD 为四棱锥A —BCED 的高．V ＝x 3·12·(x2＋1)(2－x )＝112(4x －x 3)(0＜x ＜2)． (2)由V ′＝112(4－3x 2)＝112(2＋3x )(2－3x )＝0，解得x ＝233，故当0＜x ＜233时，V ′＞0；当233＜x ＜2时，V ′＜0. 因此，x ＝233时V 取得极大值，且是最大值，V 的最大值为427 3.14．解：(1)若n ＜0，则n ＝f (0)＝0，矛盾． 若n ≥0，则n ＝f (n )＝n 2，解得n ＝0或1， 所以f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)． (2)因为g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)， 所以2＋m ＞0，即m ＞－2.g ′(x )＝1－1x ＋m＞0，得x ＞1－m ， 所以g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数，同理可得g (x )在(－m,1－m )上为减函数． 若2≤1－m 即m ≤－1时，g (1－m )＝2得m ＝－1满足题意； 若m ＞－1时，g (2)＝2，得m ＝－1，矛盾． 所以满足条件的m 的值为－1. 15．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1.当x ∈(0，1e )，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．因为t ＞0，所以t ＋2＞1e.①当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，[f (x )]min ＝f (1e )＝－1e ；②当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e 时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，[f (x )]min ＝f (t )＝t ln t ；所以[f (x )]min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e ，t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2，当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递减，所以[h (x )]min ＝h (1)＝4，因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤[h (x )]min ＝4.(3)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m (x )＝x e x －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易得[m (x )]max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.1.1 Word版含解析
11.1.1 平均变化率明目标、知重点 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 12．曲线陡峭程度平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹，这是什么原因呢？显然，原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化的快与慢呢？探究点一 函数的平均变化率思考1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？答 如图，表示A 、B 之间的曲线和B 、C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化．如用比值近似量化B 、C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是yC －yBxC －xB 曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率．思考2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答 如果问题中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么问题中的变化率可用式子表示，f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解 从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化率为＝1(千克/月)，6.5－3.53－0从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化率为＝＝0.4(千克/月)．11－8.612－6 2.46反思与感悟 求函数f (x )的平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1；(3)得平均变化率＝.ΔyΔx f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1跟踪训练1 如图是函数y ＝f (x )的图象，则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________；(2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 (1) (2)1234解析 (1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为＝＝.f (1)－f (－1)1－(－1)2－1212(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝Error!.所以函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为＝＝.f (2)－f (0)2－03－32234探究点二 求函数的平均变化率例2 已知函数f (x )＝x 2，分别计算函数f (x )在下列区间上的平均变化率；(1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(4)[1,1.001]．解 (1)函数f (x )在[1,3]上的平均变化率为＝＝4；f (3)－f (1)3－132－122(2)函数f (x )在[1,2]上的平均变化率为＝＝3；f (2)－f (1)2－122－121(3)函数f (x )在[1,1.1]上的平均变化率为＝＝2.1；f (1.1)－f (1)1.1－1 1.12－120.1(4)函数f (x )在[1,1.001]上的平均变化率为＝＝2.001.f (1.001)－f (1)1.001－1 1.0012－120.001反思与感悟 函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．跟踪训练2 分别求函数f (x )＝1－3x 在自变量x 从0变到1和从m 变到n (m ≠n )时的平均变化率．解 自变量x 从0变到1时，函数f (x )的平均变化率为＝－3；1－3×1－(1－0)1－0自变量x 从m 变到n (m ≠n )时，函数f (x )的平均变化率为＝－3.1－3n －(1－3m )n －m思考 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？答 根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值k ，即一次函数的平均变化率是定值．探究点三 平均变化率的应用例3 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？解 由图象可知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，则<，s 1(t 0)－s 1(0)t 0s 2(t 0)－s 2(0)t 0所以在从0到t 0这段时间内乙的平均速度大．反思与感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上变化越慢．跟踪训练3 甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？解 甲赚钱的平均速度为＝＝(万元/月)，乙赚钱的平均速度为(万元/月)．105×1210601625因为乙平均每月赚的钱数大于甲平均每月赚的钱数，所以乙的经营成果比甲的好．1．函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为__________．答案 －9解析 函数f (x )＝5－3x 2在区间[1,2]上的平均变化率为＝＝－9.f (2)－f (1)2－1(5－3×22)－(5－3)12．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度为________．答案 23.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是________．答案 乙解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即<，|W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt||W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt|所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．4．已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10.(1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ，∴＝－4.9Δx －3.3.ΔyΔx ①当Δx ＝2时，＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；ΔyΔx ②当Δx ＝1时，＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；ΔyΔx ③当Δx ＝0.1时，＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；ΔyΔx ④当Δx ＝0.01时，＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.ΔyΔx (2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.[呈重点、现规律]1．函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜率，在实际问题中表示事物变化的快慢．2．求函数f (x )的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(2)计算平均变化率＝.ΔyΔx f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1一、基础过关1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率为________．答案 －1解析 ＝＝＝－1.ΔyΔx f (3)－f (1)3－11－322．过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的直线的斜率为________．答案 13．函数y ＝1在[2,5]上的平均变化率是________．答案 0解析 ＝＝0.ΔyΔx 1－134．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为________．答案 4.1解析 ＝＝＝4.1.v 3＋(2.1)2－3－42.1－24.41－40.15．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为1.1时，函数的平均变化率为________．答案 2.1解析 ＝＝＝2.1.ΔyΔx f (1.1)－f (1)1.1－10.210.16．过曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作直线，当Δx ＝0.1时，直线的斜率k ＝________.答案 2.1解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴＝2＋Δx ，ΔyΔx ∴直线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，直线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.7．求函数y ＝sin x 在0到之间和到之间的平均变化率，并比较它们的大小．π6π3π2解 函数在0到之间的平均变化率为π6＝；sin π6－sin 0π6－03π函数在到之间的平均变化率为π3π2＝.sin π2－sin π3π2－π33(2－3)π∵2－<1，∴>.33π3(2－3)π∴函数y ＝sin x 在0到之间的平均变化率为，在到之间的平均变化率为，且在π63ππ3π23(2－3)π0到之间的平均变化率较大．π6二、能力提升8．甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，________跑得快．答案 乙解析 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．9．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为，则m 的值为28π3________．答案 2解析 ΔV ＝m 3－×13＝(m 3－1)，4π34π34π3∴＝＝.∴m 2＋m ＋1＝7.ΔV ΔR 4π3(m 3－1)m －128π3∴m ＝2或m ＝－3(舍)．∴m ＝2.10．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝中，平均变1x 化率最大的是________．答案 ③解析 ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率约为－0.77.故③的平均变化率最大．11．一正方形铁板在0℃时，边长为10cm ，加热后膨胀．当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at ) cm ，a 为常数，试求铁板面积在温度[t ，t ＋Δt ]上的膨胀率．解 铁板面积S 的增量为ΔS ＝102[1＋a (t ＋Δt )]2－102(1＋at )2＝200(a ＋a 2t )Δt ＋100a 2(Δt )2，因此＝200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt .ΔSΔt 所以铁板面积对温度的膨胀率为200(a ＋a 2t )＋100a 2Δt .12．已知气球的体积为V (单位：L)与半径r (单位：dm)之间的函数关系是V (r )＝πr 3.43(1)求半径r 关于体积V 的函数r (V )；(2)比较体积V 从0 L 增加到1 L 和从1 L 增加到2 L 半径r 的平均变化率；哪段半径变化较快(精确到0.01)？此结论可说明什么意义？解 (1)∵V ＝πr 3，∴r 3＝，r ＝ ，433V4π33V4π∴r (V )＝ .33V4π(2)函数r (V )在区间[0,1]上的平均变化率约为＝≈0.62(dm/L)，r (1)－r (0)1－033×14π－01函数r (V )在区间[1,2]上的平均变化率约为＝－≈0.16(dm/L)．r (2)－r (1)2－133×24π33×14π显然体积V 从0 L 增加到1 L 时，半径变化快，这说明随着气球体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．三、探究与拓展13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 这段曲线的陡峭程度吗？解 山路从A 到B 高度的平均变化率为h AB ＝＝＝，ΔyΔx 10－050－015山路从B 到C 高度的平均变化率为h BC ＝＝＝，ΔyΔx 15－1070－5014∴h BC >h AB ，∴山路从B 到C 比从A 到B 陡峭.。
2016-2017学年高三数学(苏教版选修2-2)配套习题：第一章 导数及其应用1.2.2 Word版含解析
1.2.2 函数的和、差、积、商的导数明目标、知重点 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．导数的运算法则：设两个函数分别为f (x )和g (x )(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )，(2)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，(3)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)，(4)[]′＝(g (x )≠0)．f (x )g (x )f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x)[情境导学]前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．对于由四则运算符号连结的两个或两个以上基本初等函数的导数的求解，也是本节要研究的问题．探究点一 导数的运算法则思考1 我们已经会求f (x )＝5和g (x )＝1.05x 等基本初等函数的导数，那么怎样求f (x )与g (x )的和、差、积、商的导数呢？答 利用导数的运算法则．思考2 应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？答 (1)要准确判断函数式的结构特点，选择合适的公式和法则；(2)求导前可以先对解析式适当化简变形，以利于求导；(3)在两个函数积与商的导数运算中，不要出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及′＝的错误；(4)注意区分两个函数积与商的求导公式中符号[f (x )g (x )]f ′(x )g ′(x )的异同，积的导数公式中是“＋”，而商的导数公式中分子上是“－”；(5)要注意区分参数与变量，例如[a ·g (x )]′＝a ·g ′(x )，运用公式时要注意a ′＝0.例1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3－2x ＋3；(2)y ＝(x 2＋1)(x －1)；(3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln 3，g ′(x )＝，1x ln 10利用函数差的求导法则可得(3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－.1x ln 10反思与感悟 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形，转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝；x 5＋x 7＋x 9x (2)f (x )＝2－2sin 2.x2解 (1)∵y ＝＝x 2＋x 3＋x 4，x 5＋x 7＋x 9x∴y ′＝(x 2)′＋(x 3)′＋(x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3.(2)∵f (x )＝2－2sin 2＝1＋cos x ，x2∴f ′(x )＝1′＋(cos x )′＝－sin x .例 2 求下列函数的导数：(1)f (x )＝x ·tan x ；(2)f (x )＝.x －1x ＋1解 (1)f ′(x )＝(x ·tan x )′＝()′x sin xcos x ＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′cos2x＝＝.(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin2xcos2x sin x cos x ＋xcos2x(2)∵f (x )＝＝＝1－，x －1x ＋1x ＋1－2x ＋12x ＋1∴f ′(x )＝(1－)′＝(－)′2x ＋12x ＋1＝－＝.2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)22(x ＋1)2跟踪训练2 求f (x )＝的导数．sin x1＋sin x 解 ∵f (x )＝，sin x1＋sin x ∴f ′(x )＝cos x (1＋sin x )－sin x ·cos x(1＋sin x )2＝.cos x (1＋sin x )2探究点二 导数的应用例3 (1)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0.(2)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．答案 (－2,15)解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知，y ′|x ＝x 0＝3x －10＝2，20∴x ＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.20∴P 点的坐标为(－2,15)．(3)已知某运动着的物体的运动方程为S (t )＝＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t －1t 2t ＝3 s 时物体的瞬时速度．解 ∵S (t )＝＋2t 2＝－＋2t 2＝－＋2t 2，t －1t 2tt 21t 21t 1t 2∴S ′(t )＝－＋2·＋4t ，1t 21t 3∴S ′(3)＝－＋＋12＝，1922732327即物体在t ＝3 s 时的瞬时速度为 m/s.32327反思与感悟 本题应用导数的运算法则进一步强化导数的物理意义及几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，即k ＝y ′|x ＝x 0＝f ′(x 0)；瞬时速度是位移函数S (t )对于时间t 的导数，即v ＝S ′|t ＝t 0.跟踪训练3 (1)曲线y ＝－在点M 处的切线的斜率为________．sin xsin x ＋cos x 12(π4，0)答案 12解析 ∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝，1(sin x ＋cos x )2故y ′|x ＝＝，π412∴曲线在点M 处的切线的斜率为.(π4，0)12(2)设函数f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为13a2y ＝1，确定b 、c 的值．解 由题意得，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0.由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上知Error!13a2即c ＝1.综上所述，b ＝0，c ＝1.1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′＝________________.答案 －2e x (sin x ＋cos x )解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．2．函数y ＝的导数是________________．cos x1－x 答案 cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2解析 y ′＝′＝(cos x1－x )(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )23．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是________．答案 103解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝.1034．已知f (x )＝x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.13答案 1解析 由于f ′(0)是一个常数，所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．解 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.因为y ′＝2ax ＋b ，所以曲线在点(2，－1)处的切线的斜率为4a ＋b ＝1.又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由Error!解得Error!所以a 、b 、c 的值分别为3、－11、9.[呈重点、现规律]求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、基础过关1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.答案 3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝的错误．132．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________.答案 －2解析 由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，由f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2.3．设曲线y ＝在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________.x ＋1x －1答案 －2解析 ∵y ＝＝1＋，x ＋1x －12x －1∴y ′＝－.2(x －1)2∴曲线在点(3,2)处的切线斜率k ＝－.12∴－a ＝2，即a ＝－2.4．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.答案 12解析 ∵f (x )＝(x 2－4)(x －a )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －4.又∵f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，∴a ＝.125．设f (x )＝(2x －1)(3－x )，则f ′(0)＝________.答案 7解析 因为f ′(x )＝(2x －1)′(3－x )＋(2x －1)(3－x )′＝2(3－x )＋(2x －1)(－1)＝7－4x ，所以f ′(0)＝7.6．若某物体做S ＝(1－t )2的直线运动(位移单位：m)，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________．答案 0.4 m/s解析 ∵S ＝t 2－2t ＋1，∴S ′＝2t －2，∴v ＝S ′(1.2)＝2×1.2－2＝0.4(m/s)．7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)；(2)y ＝(－2)2；x (3)y ＝x －sin cos .x2x2解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1)＝6x 3－2x 2＋9x －3，∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(－2)2＝x －4＋4，x x ∴y ′＝x ′－(4)′＋4′＝1－4·＝1－2.x 12x -12x -12(3)∵y ＝x －sin cos ＝x －sin x ，x 2x 212∴y ′＝x ′－(sin x )′＝1－cos x .1212二、能力提升8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________．答案 4解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4.9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．答案 y ＝720x解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，所以在原点处的切线斜率k ＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .10．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝＋1，1t ∴f ′(1)＝2.11．求过点(2,0)且与曲线y ＝x 3相切的直线方程．解 点(2,0)不在曲线y ＝x 3上，可令切点坐标为(x 0，x )．由题意，所求直线方程的斜率3k ＝＝y ′|x ＝x 0＝3x ，即＝3x ，解得x 0＝0或x 0＝3.x 30－0x 0－220x 30x 0－220当x 0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k ＝0，则所求直线方程是y ＝0；当x 0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k ＝27，则所求直线方程是y －27＝27(x －3)，即27x －y －54＝0.综上，所求的直线方程为y ＝0或27x －y －54＝0.12.已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．解 设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x －3，20∴切线方程为y ＝(3x －3)x ＋16，20又切点(x 0，y 0)在切线上，也在曲线f (x )上，∴y 0＝3(x －1)x 0＋16，20即x －3x 0＝3(x －1)x 0＋16，3020解得x 0＝－2，∴曲线的切线方程为9x －y ＋16＝0.三、探究与拓展13.设函数f (x )＝ax －，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.bx (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解 (1)由7x －4y －12＝0得y ＝x －3.74当x ＝2时，y ＝，∴f (2)＝，①1212又f ′(x )＝a ＋，∴f ′(2)＝，②bx 274由①②得Error!解之得Error!故f (x )＝x －.3x (2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程3x 2为y －y 0＝(1＋)(x －x 0)，3x 20即y －(x 0－)＝(1＋)(x －x 0)．3x 03x 20令x ＝0，得y ＝－，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－)．6x 06x 0令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为|－||2x 0|＝6.126x 0故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。
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【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用习题苏教版选修2-21 变化率与导数1．变化率函数の平均变化率为Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢の量．式中Δx ，Δy の值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy の值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点の瞬时变化率．2．导数の概念及其几何意义函数y ＝f (x )在x 0点の导数即为函数y ＝f (x )在x 0点の瞬时变化率，即当Δx 趋于0时，函数值y 关于x の平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δxの极限值；Δx 趋于0，是指函数自变量之间の间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数y ＝f (x )在x 0点处の导数の几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处の切线の斜率，即f ′(x 0)＝k ＝tan α，因此在切线の斜率、切点の横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例1 如图所示，函数f (x )の图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C の坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (0)]＝________；f ′(1)＝________.(用数字作答)解析 由A (0,4)，B (2,0)可得线段AB の方程为f (x )＝－2x ＋4(0≤x ≤2)． 同理线段BC の方程为f (x )＝x －2(2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6，所以f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2，f ′(1)＝－2.答案 2 －2例2函数f (x )の图象如图所示，则下列不等关系中正确の是________． ①0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) ②0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3) ③0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) ④0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 解析根据导数の几何意义，考查函数在点B (2，f (2))及A (3，f (3))处の切线の斜率． 由图可见，过点B の切线の斜率大于过点A の切线の斜率，则有0<f ′(3)<f ′(2)． 另一方面，这两点の平均变化率为f－f3－2＝f (3)－f (2)，其几何意义为割线AB の斜率．由图，可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案 ③点评 本题通过导数の定义反过来对变化率进行了考查．通过上述事例可以看出，变化率是一个十分重要の概念，它是连结初等数学与导数の一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫.2 导数计算中の策略1．活用定义例1 已知函数f (x )＝3x 4－2x 3＋5，则当Δx 无限趋近于0时，f＋2Δx －fΔx无限趋近于________．分析 在导数定义中，增量Δx の形式是多种多样の，但不论Δx 选择哪种增量形式，相应のΔy 也应选择对应の形式，本题中Δy 中x の增量为2Δx ，则分母也应为2Δx . 解析 因为f ′(x )＝12x 3－6x 2， 所以原式＝f＋2Δx －f2Δx·2，则当Δx →0时，即求2f ′(1)＝12. 答案 12 2．整体构造例2 若函数f (x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 013)，求f ′(2 013)の值． 分析 本题の待求值让人有点“无所适从”，造成这种情况の主要原因是没有找到解决问题の入手点．若仔细观察分析，把前面の(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 012)看成一个整体，然后利用积の求导法则，则问题便可迎刃而解．解 令φ(x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 012)，则f (x )＝(x －2 013)φ(x )， 故f ′(x )＝φ(x )＋(x －2 013)φ′(x )，于是有f ′(2 013)＝φ(2 013)＝1×2×3×…×2 012.3．化繁为简例3 求f (x )＝(1－x )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x の导函数．分析 对此题，若直接求导，则需要按照乘积の求导运算法则来求导，计算量显然较大．如果求解此题时将求导の多项式展开，再利用公式求导，那么此题の求解就会非常简单． 解 因为f (x )＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x ′＝－12x －12－12x －32. 点评 在导数の运算中，要仔细观察函数式の结构特点，适当地对函数式中の项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有の放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换の等价性，避免运算失误.3 函数单调性の应用1．根据函数の单调性求解参数问题例1 已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，求a ，b ，c の值．解 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由于f (x )在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f ′(0)＝f ′(1)＝0.又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，34a ＋b ＋c ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，c ＝0.点评 由于此题给出了函数定义域范围内の所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数の极值点，通常情况下单调区间の端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题の方法进行解答．例2 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在[2，＋∞)上是单调递增の，求a の取值范围．解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增の， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增の， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0， ∴a の取值范围是a ≤16.点评 已知函数单调性求参数の取值范围，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(递减)等价于不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数の取值范围，并验证f ′(x )＝0是否有有限个解． 2．利用函数の单调性证明不等式欲证明不等式f (x )>g (x )(或f (x )≥g (x ))成立，可以构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，利用导数进行证明．例3 已知x >0，求证：e x>1＋x . 证明 设函数f (x )＝e x－(1＋x )， 则f ′(x )＝e x－1.当x >0时，e x>e 0＝1，所以f ′(x )＝e x－1>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 所以当x >0时，f (x )>f (0)． 又f (0)＝e 0－(1＋0)＝0， 所以f (x )>0，即e x－(1＋x )>0. 故e x>1＋x .点评 若要证の不等式两边是两类不同の基本函数，则往往需要构造函数，借助函数の单调性来证明．3．利用函数の单调性判断方程根の个数若f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]上有唯一实数根；若f (a )f (b )与零の大小无法确定，则f (x )＝0在[a ，b ]上至多有一个实数根．例4 试判断函数f (x )＝13x －ln x (x >0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和区间(1，e)内有无零点．分析 可通过导数确定函数极值点与极值の正负，再结合确定零点の方法确定零点の个数． 解 因为f ′(x )＝13－1x.所以当x ∈(3，＋∞)时，y ＝f (x )是增函数； 当x ∈(0,3)时，y ＝f (x )是减函数． 而0<1e<1<e<3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点. 4 导数问题易错点剖析一、剖析导数运算中の常见错误 1．对f ′(x 0)与f ′(x )理解有误例1 已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)の值为________． 错解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)得f (0)＝0. 所以f ′(0)＝0.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处の导数の关系，求函数在某点处の导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f是常数.正解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)得，f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)． 所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)．所以f ′(1)＝－2. 从而f ′(x )＝2x －4.所以f ′(0)＝－4.2．切点位置の确定有误例2 求过点P (1,0)且与曲线f (x )＝x 3－x 相切の直线の方程． 错解 由题意知点P (1,0)在曲线上． 因为f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 错因分析 点P，虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P，当作切点显然是错误の.求曲线の切线方程时，应注意两种“说法”：曲线在点P 处の切线方程一定是以点P 为切点；曲线过点P の切线方程无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)，则过该点の切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 由切线过点P (1,0)得：0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)，整理得2x 30－3x 20＋1＝0. 即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0. 3．对切线定义の理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2,4)处の切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点の坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2,4)外没有其他の公共点． 错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立の，但对一般曲线不一定成立．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4y ＝13x 3＋43消去y 整理得：x 3－12x ＋16＝0，即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0.所以(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝－4. 所以交点の坐标为(2,4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线の公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)． 二、剖析导数应用中の常见错误1．将函数单调性の充分条件误认为是充要条件例4 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求实数a の取值范围． 错解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.因为f (x )在R 上是减函数， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，36＋12a <0.解得a <－3.故实数a の取值范围为(－∞，－3)． 错因分析 “fx x a ，b是“f x 在a ，b 内单调递减”の充分条件而不是充要条件，如f x ＝－x 3在R 上单调递减，但f x ＝－3x 2≤0.正解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. (1)当f ′(x )<0时，f (x )是减函数， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，36＋12a <0.解得a <－3.(2)当a ＝－3时，f ′(x )＝－9x 2＋6x －1 ＝－(3x －1)2≤0，当且仅当x ＝13时，f ′(x )＝0.易知此时函数f (x )在R 上也是减函数． 综上，知实数a の取值范围为(－∞，－3]．点评 解决此类问题既要注意其充分性，又要注意其必要性． 2．将函数取极值の必要条件误认为是充要条件 例5 求函数f (x )＝x 6－3x 4＋3x 2の极值．错解 f ′(x )＝6x 5－12x 3＋6x ＝6x (x 4－2x 2＋1)＝6x (x 2－1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1.当x ＝±1时，函数f (x )取极大值1；当x ＝0时，函数f (x )取极小值0. 错因分析 “fx 0＝0”是“可导函数y ＝f x 在x 0处有极值”の必要条件而不是充要条件，即导数为零の点不一定是极值点.防止出现这类错误の方法是验证可导函数f x 在x 0左右两侧の导数值の符号，若x 0两侧の导数值异号，则x 0是函数f x の极值点. 正解 f ′(x )＝6x (x 2－1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1.f ′(x )在方程f ′(x )＝0の根の左右两侧の符号如下表所示：点评 函数y ＝f (x )在x 0处可导，则“f ′(x 0)＝0”是“f (x )在x 0处取得极值”の必要条件，但不是充要条件．一般地，函数f (x )在x 0の附近可导且f ′(x 0)＝0，如果f ′(x )在x 0两侧の符号相反，则f (x )在x 0处取极值；如果f ′(x )在x 0两侧の符号相同，则f (x )在x 0处无极值.5 导数应用中の数学思想1．方程思想例 1 已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＝________，n ＝________.分析 根据题意利用f ′(－1)＝0与f (－1)＝0建立方程组求解． 解析 f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－＝3－6m ＋n ＝0，f －＝－1＋3m －n ＋m 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9.但当m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立，即x ＝－1不是f (x )の极值点，应舍去．故分别填2,9. 答案 2 9点评 本题の解答充分体现了方程思想の应用，通过已知の极值求得函数解析式中の参数，但要注意对所求值の验证． 2．函数思想例2 设函数f (x )＝1－e －x，证明：当x >－1时，f (x )≥xx ＋1.分析 由于f (x )＝1－e －x ＝1－1e x ，x x ＋1＝1－1x ＋1，因此要证f (x )≥x x ＋1，只需证明e x≥1＋x .所以我们构造新函数，利用函数の极值进行证明． 证明 令g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1. 解方程e x－1＝0，得x ＝0.当x 变化时，g ′(x )，g (x )变化情况如下表：从表上看出，当x 因而当x ∈R 时，有g (x )≥g (0)＝0，即e x≥1＋x .所以当x >－1时，有f (x )＝1－e －x＝1－1e x ≥1－1x ＋1＝x x ＋1，即f (x )≥x x ＋1.点评 本题通过构造函数，使问题の解决变得简捷． 3．数形结合思想例3 已知曲线f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 与x 轴只有一个交点，求实数a の取值范围． 分析 先用导数求出函数の单调区间和极值，再根据单调性画出大致图象，利用数形结合思想求解．解 f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 列表：画出大致图象，要使f (x )の图象与x 轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a ＋27<0或a －5>0.解得a <－27或a >5. 故实数a の取值范围为a <－27或a >5.点评 数形结合思想是中学数学の一种重要思想．画出图象可以加强直观性，便于对问题の理解．4．分类讨论思想例4 求函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3aの单调区间．分析 利用导数求函数の单调区间，一般先确定函数の定义域，再求导函数，最后根据导数大于0或小于0得单调增区间或单调减区间．如果函数中含有参数，则应分类讨论． 解 f ′(x )＝3ax 2－6x .由题意，得a ≠0. 当a >0时，由3ax 2－6x >0，解得x <0或x >2a；由3ax 2－6x <0，解得0<x <2a.所以f (x )の单调增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a .当a <0时，由3ax 2－6x >0，解得2a<x <0；由3ax 2－6x <0，解得x <2a或x >0.所以f (x )の单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)．点评 注意本题中隐含了a ≠0の条件．a 在导函数の二次项系数中，a の正负决定了不等式の解集，因此要对a 分大于0和小于0两种情况进行讨论.6 研析三次函数の单调性与极值我们知道，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)の根の情况可以用判别式Δ＝b 2－4ac 来判断，那么一元三次方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0(a ≠0)の根の情况又是怎样の呢？要解决这个问题，只要能够画出函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d の大致图象，通过图象与x 轴の交点の情况便可得到方程の根の情况．而要画出函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d の大致图象，就要研究该函数の单调性和极值情况，因此可以利用导数来研究．三次函数求导后变为二次函数，所以三次函数の许多性质可以借助二次函数来解决． 对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，有以下结论：(1)①当a >0时，若x →＋∞，则f (x )→＋∞； 若x →－∞，则f (x )→－∞；②当a <0时，若x →＋∞，则f (x )→－∞； 若x →－∞，则f (x )→＋∞.(2)若x 1，x 2是f (x )の两个极值点，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0の两根，从而x 1＋x 2＝－2b 3a，x 1x 2＝c 3a.(3)方程f ′(x )＝0の判别式Δ＝4b 2－12ac ，则有①当Δ≤0时，若a >0，则f (x )在R 上是增函数；若a <0，则f (x )在R 上是减函数． ②当Δ>0时，设f ′(x )＝0の两根x 1<x 2，则当a >0时，f (x )の递增区间有两个，为(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)，递减区间有一个，为(x 1，x 2)，x ＝x 1是极大值点，x ＝x 2是极小值点；当a <0时，f (x )の递减区间有两个，为(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)，递增区间有一个，为(x 1，x 2)，x ＝x 1是极小值点，x ＝x 2是极大值点．(4)函数f (x )の大致图象如下：7 帮你识记“原函数”微积分基本定理告诉我们要求积分值，找到被积函数の一个原函数是关键，为方便大家使用，下面探求了一些常见函数の原函数． (1)常数函数c の一个原函数为cx ；(2)x nの一个原函数为x n ＋1n ＋1(n ≠－1，n ∈Q *)；(3)cos x の一个原函数为sin x ； (4)sin x の一个原函数为－cos x ； (5)a xの一个原函数为a xln a (a >0且a ≠1)；(6)e xの一个原函数为e x； (7)1xの一个原函数为ln x (x >0)．温馨提示 一个被积函数の原函数不是唯一の，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )求值，只需找一个最简单の原函数即可．8 怎样求解定积分？用微积分基本定理求定积分ʃba f (x )d x 时，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )のF (x )，但在求解函数F (x )时经常会遇到计算上の复杂，或者找不到函数F (x )等情况，本文介绍几种简化求解定积分の方法． 1．几何法例1 求定积分ʃ10(1－x －2－x )d x の值．分析 本题用定积分の定义或微积分基本定理求解都比较麻烦．由ʃ10(1－x －2－x )d x联想到圆(x －1)2＋y 2＝1の一部分与直线y ＝x ，用定积分の几何意义进行求解则比较简捷．解 ʃ10(1－x －2－x )d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1の一部分与直线y ＝x 所围成の图形(如图所示の阴影部分)の面积，因此ʃ1(1－x －2－x )d x ＝π×124－12×1×1＝π4－12.点评 数形结合思想在这里得到了充分の体现．运用定积分の几何意义计算定积分，需要具备较强の观察能力、分析能力和逻辑推理能力． 2．函数性质法 例2 求⎰-2121 lg 1＋x 1－xd x の值． 解 记f (x )＝lg 1＋x1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因此有⎰-2121lg 1＋x 1－xd x ＝0. 点评 从定积分の定义(或几何意义)可知：偶函数f (x )有ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x ；奇函数f (x )有ʃa－a f (x )d x ＝0. 3．转化法 例3 计算定积分⎰2π0sin 2x2d x の值．解⎰2π0sin 2x2d x ＝⎰2π01－cos x2d x ＝⎰2π012d x －12⎰2πcos x d x ＝12x 2π0|－12sin x 2π0| ＝π4－12·0－12sin π2＋12sin 0＝π4－12. 点评 较复杂函数の积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数の四则运算后，再求定积分． 4．分段法例4 求定积分⎠⎛2－1x |x |d x の值．解 因为f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以⎠⎛2－1x |x |d x ＝⎠⎛0－1(－x 2)d x ＋⎠⎛02x 2d x＝－x 33| 0－1＋x 33| 20＝－13＋83＝73. 点评 这类积分不能直接求解，需要变换被积函数从而去掉绝对值． 5．换元法例5 求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成の平面图形の面积．解 方法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分の面积应该是两部分之和．解⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4.所以交点为A (2，－2)，B (8,4)． 选取x 为积分变量， 则0≤x ≤8.因此S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝2023|324x ＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋223x 32－x 2282＝18.方法二 选取纵坐标y 为积分变量，则－2≤y ≤4，所求图中阴影部分の面积为S ＝⎠⎛4－2⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＋4y －y 364－2＝18.点评 从上述两种解法中可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷．因此，应用定积分求解平面图形の面积时，积分变量の选取至关重要．但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是x ＝φ(y )，本题需将条件中の曲线方程、直线方程化为x ＝y 22，x ＝y ＋4の形式，然后求面积．9 利用定积分求面积1．巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便． 例1 求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成の图形の面积．分析 解此类题の一般步骤是：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分の上、下限；④计算．解 画出图象如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，得A (－1,1)，B (3,9)． 故所求图形の面积为 ⎠⎛3－1(2x ＋3－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3x －13x 33－1＝323. 点评 本题若选纵坐标y 为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便．另外还要注意の是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变の，即定积分の值不会改变． 2．妙用对称在求平面图形の面积时，注意利用函数の奇偶性等所对应曲线の对称性解题，这也是简化计算过程の常用手段．例2 求由两条曲线y ＝x 2,4y ＝x 2和直线y ＝1所围成の图形の面积． 分析 先画图象，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解．解 如图，因为y ＝x 2,4y ＝x 2是偶函数，根据对称性，只需算出y 轴右边の图形の面积再乘以2即可．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝x 2，y ＝1.得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．所以S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 24d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 310＋x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫112x 321＝43. 点评 巧用对称性能简化解题．3．恰到好处の分割例3 求两曲线y ＝sin x 与y ＝sin 2x 在[0，π]上围成の图形の面积．分析 先画图象，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积．解 如图，令sin x ＝sin 2x ，得交点の横坐标为x ＝0，x ＝π3，x ＝π.由图形分割，得S ＝∫π30(sin 2x －sin x )d x ＋ ⎠⎛ππ3(sin x －sin 2x )d x ＝52. 点评 类似本题图形の面积の求法，适当の分割是关键，应注意掌握这种分割の处理方法． 4．进行适当转换例4 求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[0，3π2]和直线x ＝3π2及x 轴围成の平面图形の面积．解由图可知，当x ∈[0，π]时，曲线y ＝sin x 位于x 轴の上方，当x ∈[π，3π2]时，曲线y＝sin x 位于x 轴の下方．因此所求面积应为两部分面积の和，即S ＝∫3π20|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －∫3π2πsin x d x ＝－cos x | π0＋ |cos x 3π2π＝2＋1＝3.点评 对于y ＝f (x )和x ＝a ，x ＝b (a <b )及y ＝0围成の平面图形の面积の计算： (1)若f (x )>0，则⎠⎛a b f (x )d x >0，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)若f (x )<0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛abf x x <0，S ＝⎠⎛abf xx ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)若a <c <b ，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，当c ≤x ≤b 时，f (x )>0，则⎠⎛a c f (x )d x <0，⎠⎛cbf (x )d x >0，所以S ＝－⎠⎛ac f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .。