结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3

6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
§5-5 图乘法
一、图乘法的适用条件
计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分： 计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：
MMP ∆ = ∑∫ ds EI
符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算， 符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较 简便。适用条件为： 简便。适用条件为： （1）杆轴为直线； ）杆轴为直线； 常数； （2）杆段 EI = 常数； ） （3）M和MP中至少有一个是直线图形。 ） 和 中至少有一个是直线图形。
• 图乘结果:
1 2 ( × h×l ×c) EI 3
1 1 1 3 ( × a×c ×e + × d × a× ×e) EI 2 3 4
思考题:判断下列图乘是否正确?
• 图乘结果:
1 2 ( × h×l ×c) EI 3
1 1 2 1 2 ( ×a×l × ×c + ×b×l × ×d) EI 2 3 2 3
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
M
d
其中: 其中 yC1=2c/3 - d/3 yC2=2d/3 - c/3
a
C1 C2
MP’ l (2ac+2bd-ab-bc) MP’’ ⊿= 6EI b
）、一般情况 （3）、一般情况 ）、
右图所示为某一段杆 (AB)的MP图。可将此图分解 的 为三个图形， 为三个图形，均为标准图形 然后与M图图乘 图图乘， ，然后与 图图乘，图乘后 叠加。 叠加。
•
四、示例
FP l/2 FP 5FP l/6 A
⊿CV
l/2
FP l MP
• 例1、求悬臂梁中点 的挠度 、求悬臂梁中点C的挠度 ⊿CV，EI=常数。 常数。 常数 • 解： • ）、设虚拟力状态如图 （1）、设虚拟力状态如图， ）、设虚拟力状态如图， 由于均为直线图形， 作M和MP。由于均为直线图形， 和 可任取。 故A可任取。 可任取 M: A=1/2×l/2×l/2=l2/8 MP: yC=5/6×FP l
252
C3 C4
C2 C1
45
y3 y4
1
y1
y2
M=1
90
MP图 (kN•m)
M
•2、作虚拟力状态下的图M。 •3、求θB。图乘时注意图形分块。
252 C1 C4 C5 90
45/4 C3 C2
45 3 81 y4 y5
y1 y3
y2
1
MP图 (kN•m)
M (m)
4、作虚拟力状态下的图M。 5、求⊿CV，图乘时注意图形分块。
O’
dx
B
yC
y x xC
α O
MMP 1 1 ∆=∫ ds = ∫ MMPdx = ∫ x ⋅ tanα ⋅ MPdx EI EI EI
1 = tanα ⋅ ∫ xdA EI
∫ xdA = A⋅ x
C
⊿= 1
EI
A xCபைடு நூலகம்tana
xC tana=yC ⊿=∫(M MP /EI)ds= 1 ·A·y C EI
作业： 作业：
P202 5-17、22 、 5-27(选作 选作) 选作 每周四课后随堂交作业，周一发回。（本 每周四课后随堂交作业，周一发回。（本 。（ 次作业中秋节后的周四交） 次作业中秋节后的周四交）
C a A C1 C2
D b M P B
• （1）、如两图形均为梯 ）、如两图形均为梯 ）、 不必求梯形形心， 形，不必求梯形形心，可将 其分解为两个标准三角形进 行计算。 行计算。 MP=MP’+MP’’
c
yC1 l
yC2
d
M
⊿=(1/EI)∫MMPds
=(1/EI) ∫M(MP’+MP’’)ds
MP’ D D b MP’’ B
C a A C1
⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2) yC2]
l (2ac+2bd+ab+bc) ⊿= 6EI
A
C2
C a A C1 C2 B MP b D
• (2)、左图也可分为两个 、 标准三角形， 标准三角形，进行图乘运 算。
c
yC1 yC2 l
1
l/2
例:
图示刚架， 图示刚架，用 图乘法求B端转角 图乘法求 端转角 θB ; CB杆中点 的 杆中点D的 杆中点 竖向线位移⊿DV。 各杆EI=常数。 常数。 各杆 常数
12kN 72kN
60kN
EI=常数
12kN
72kN
解: • 1、作荷载作用下结构的弯矩图。 、作荷载作用下结构的弯矩图。
二、图乘公式
图示为AB杆的两个弯矩 图示为 杆的两个弯矩 MP图 图。 • M为直线图形， MP 为任 为直线图形， 为直线图形 A 意图形。 意图形。 • • 该杆截面抗弯刚度EI=常数。 常数。 该杆截面抗弯刚度 常数 M图 图 图可知： 由M 图可知： M= y= x tanα C
dA=MPdx
三、应用图乘法计算位移时的几点注意
• 1、应用条件： 、应用条件： • 杆段必须是分段等截面； 不能是x的函 杆段必须是分段等截面；EI 不能是 的函 两图形中必有一个是直线图形， 数；两图形中必有一个是直线图形，yC取自直 线图形中。 线图形中。 • 2、正负号规定： 、正负号规定： • A与yC同侧，乘积 A yC取正； A与yC不同 取正； 与 与 同侧， 则乘积A 取负。 侧，则乘积 yC取负。 • 3、几种常用图形的面积和形心位置： 、几种常用图形的面积和形心位置： • 见书P.175图5-17。 见书 图 。 • 曲线图形要注意图形顶点位置。 曲线图形要注意图形顶点位置。
1
l/2 M
⊿CV=A·yC /EI =(l2/8×5/6×FP l)/EI
•
=5FP l3/48EI (↓)
FP l/2
⊿CV
l/2
FP
AP
FP l MP
1 l/6
l/2 M
• • • • • • • •
(2)、讨论 若： AP=1/2×FPl×l=Pl2/2 yC=1/3×l/2=l/6 ⊿CV=AP·yC /EI =(FPl2/2×l/6)/EI =FP l3/12EI (↓) 对否？ 错在哪里？
例：
求铰C左右截面相 求铰 左右截面相 对转角θ 对转角 C。 各杆 EI=5×104 kN·m2 。 × 解：
作荷载作用下的弯 矩图； 矩图；虚拟力作用下的 弯矩图。 弯矩图。 • （注意：①斜杆弯 注意： 矩图的做法； 矩图的做法；②各弯矩 图的单位。） 图的单位。）
q=16kN/m
16kN•m 16kN•m 64kN•m 64kN•m
• 4、如果两个图形均为直线图形，则标距 C 、如果两个图形均为直线图形，则标距y 可取自任何一个图形。 可取自任何一个图形。 A2 A1 A3 • 5、当yC所属图形是由 、 几段直线组成的折线图形， 几段直线组成的折线图形， 则图乘应分段进行。 则图乘应分段进行。在折 y1 y2 y3 点处分段图乘，然后叠加。 点处分段图乘，然后叠加。 • 当杆件为阶段变化杆 件时（各段EI=常数），应 常数）， 件时（各段 常数），应 在突变处分段图乘， 在突变处分段图乘，然后叠 加。