2013-2014年湖北省孝感高中高三上学期数学期末试卷(文科)与解析

2013-2014学年湖北省孝感高中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．（5分）在复平面内，复数﹣i3对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设U={1，2，3，4}，且M={x∈U|x2﹣5x+P=0}，若∁U M={2，3}，则实数P的值为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．63．（5分）为了得到函数f（x）=3sin（2x+）的图象，只要把f（x）=3sin（x+）所有的点（）A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是（）A．﹣1B．1C．2D．5．（5分）下列四种说法中，正确的是（）A．A={﹣1，0}的子集有3个B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件D．命题“∀x∈R，x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R使得x2﹣3x﹣2≤0 6．（5分）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1 7．（5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6）B．[4，6）C．（4，6]D．[4，6]8．（5分）在数列{a n}中，已知a1=2，a2=7，a n+2等于a n a n+1（n∈N*）的个位数，则a2014的值是（）A．2B．4C．6D．89．（5分）曲线=1与曲线=1（16＜k＜25）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等10．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2013∈[3]；②﹣2∈[2]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论为（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）已知两条直线l1：（2+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5﹣m）y=8互相垂直，则m=．12．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是．13．（5分）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积V 表示为x的函数为V（x）=14．（5分）已知tanα=4，则的值为．15．（5分）设矩形ABCD的周长为24，把它关于AC折起来，连结BD，得到一个空间四边形，则它围成的四面体ABCD的体积的最大值为．16．（5分）已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，则a=；若点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为．17．（5分）如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n＞1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则+++…+=．三、解答题：本题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）已知函数=（cosx，），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=•﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求f（x）的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1+2（n为正整数）．（1）记c n=，证明数列{c n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n=log2a1+log2+…+log2，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD 是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）设Q为侧棱PC的中点，求三棱锥Q﹣PBD的体积；（3）若N是棱BC的中点，则棱PC上是否存在点M，使MN平行于平面PDA？若存在，求PM的长；若不存在请说明理由．21．（14分）从椭圆C：=1（a＞b＞0）上一点P向X轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，且OP∥AB，|F1A|=+．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=2的切线l与椭圆C相交于A，B两点，问以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；否则，说明理由．22．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（1）若a＞0，讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，求f（x）的最小值；（3）证++…++＜n﹣（﹣）（n∈N*，且n≥2）．2013-2014学年湖北省孝感高中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1．（5分）在复平面内，复数﹣i3对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：﹣i3=，∴复数﹣i3对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．2．（5分）设U={1，2，3，4}，且M={x∈U|x2﹣5x+P=0}，若∁U M={2，3}，则实数P的值为（）A．﹣4B．4C．﹣6D．6【解答】解：由全集U={1，2，3，4}，C U M={2，3}，得到集合M={1，4}，即1和4是方程x2﹣5x+P=0的两个解，则实数P=1×4=4．故选：B．3．（5分）为了得到函数f（x）=3sin（2x+）的图象，只要把f（x）=3sin（x+）所有的点（）A．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变【解答】解：∵函数f（x）=3sin（x+）只是把x的系数扩大到原来的2倍得f （x）=3sin（2x+），∴为了得到函数f（x）=3sin（2x+）的图象，只要把f（x）=3sin（x+）所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变即可．故选：B．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是（）A．﹣1B．1C．2D．【解答】解：输入x的值为﹣5，判断|﹣5|＞3成立，执行x=|﹣5﹣3|=8；判断|8|＞3成立，执行x=|8﹣3|=5；判断|5|＞3成立，执行x=|5﹣3|=2；判断|2|＞3不成立，执行y=．所以输出的y值是﹣1．故选：A．5．（5分）下列四种说法中，正确的是（）A．A={﹣1，0}的子集有3个B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真C．“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件D．命题“∀x∈R，x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R使得x2﹣3x﹣2≤0【解答】解：A．集合A={﹣1，0}的子集为∅，{﹣1}，{0}，{﹣1，0}，即4个，故A错；B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b，则am2＜bm2”，若m=0，则am2=bm2，故逆命题为假，故B错；C．若命题p∨q为真，则p，q中至少有一个为真，若命题p∧q为真，则p，q 均为真，故“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，即C正确；D．由含有一个量词的命题的否定得，命题“∀x∈R，x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R使得x2﹣3x﹣2＜0”，故D错．故选：C．6．（5分）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示，盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是（）A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1【解答】解：观察图形可知体积减少一半后剩余酒的高度最高为h2，最低为h4，故选：A．7．（5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6）B．[4，6）C．（4，6]D．[4，6]【解答】解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1得4＜r＜6，故选：A．8．（5分）在数列{a n}中，已知a1=2，a2=7，a n+2等于a n a n+1（n∈N*）的个位数，则a2014的值是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：∵a1=2，a2=7，∴2×7=14的个位数4，即a3=4，4×7=28的个位数8，即a4=8，4×8=32的个位数2，即a5=2，2×8=16的个位数6，即a6=6，2×6=12的个位数2，即a7=2，2×6=12的个位数2，即a8=2，2×2=4的个位数4，即a9=4，2×4=8的个位数8，即a10=8，∴当n≥3时，a n的取值具备周期性，周期6，则a2014=a335×6+4=a4=8，故选：D．9．（5分）曲线=1与曲线=1（16＜k＜25）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：曲线=1的长轴2a=10，短轴2b=4，离心率e=，焦距2c=6．曲线=1（16＜k＜25）的长轴2a′=2，短轴2b′=2，离心率e′=，焦距2c′=6．∴曲线=1与曲线=1（16＜k＜25）的焦距相等．故选：D．10．（5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2013∈[3]；②﹣2∈[2]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论为（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【解答】解：①∵2013÷5=402…3，∴2013∈[3]，故①正确；②∵﹣2=5×（﹣1）+3，∴﹣2∈[3]，故②错误；③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确．正确的结论为①③④．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）已知两条直线l1：（2+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5﹣m）y=8互相垂直，则m=12．【解答】解：∵l1：（2+m）x+4y=5﹣3m，l2：2x+（5﹣m）y=8互相垂直，∴2（2+m）+4（5﹣m）=0解得m=12故答案为：12．12．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是﹣4．【解答】解：设θ是向量的夹角，则，根据投影的定义，向量在向量方向的投影是：．故答案为：﹣4．13．（5分）一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则容器的容积V表示为x的函数为V（x）=（x∈（0，10）【解答】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=xcm，∴EO=，∴V=．依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}故答案为：（x∈（0，10）．14．（5分）已知tanα=4，则的值为．【解答】解：由于已知tanα=4，则====，故答案为．15．（5分）设矩形ABCD的周长为24，把它关于AC折起来，连结BD，得到一个空间四边形，则它围成的四面体ABCD的体积的最大值为18．【解答】解：当矩形的边长相等，即矩形是边长为6的正方形，把它关于AC折成直二面角B﹣AC﹣D，连结BD，此时得到的四面体ABCD的体积最大，如图，BO==3，且BO⊥底面ADC，S△ADC==18，∴四面体ABCD的体积的最大值：V==18．故答案为：18．16．（5分）已知不等式组表示的平面区域S的面积为4，则a=2；若点P（x，y）∈S，则z=2x+y的最大值为6．【解答】解：根据题意，可得a是一个正数，由此作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABO及其内部，其中A（a，a），B（a，﹣a），O（0，0）∴平面区域的面积S=×2a×a=4，解之得a=2（舍负）．设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值=F（2，2）=6∴z最大值故答案为：2，617．（5分）如图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n＞1，n∈N）个点，相应的图案中总的点数记为a n，则+++…+=．【解答】解：根据分析，可得a2=3=3×（2﹣1），a3=6=3×（3﹣1），a4=9=3×（4﹣1），a5=12=3×（5﹣1）…a n=3（n﹣1），数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a n=3（n﹣1）（n≥2）；所以==（﹣）则+++…+=9××（1﹣+﹣+…+﹣）=1﹣=故答案为：．三、解答题：本题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（12分）已知函数=（cosx，），=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=•﹣（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当x∈（0，）时，求f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin （2x+）﹣．显然，函数的最小正周期为=π，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（Ⅱ）当x∈（0，）时，2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣1，1]，∴f（x）∈（﹣，]．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣2n+1+2（n为正整数）．（1）记c n=，证明数列{c n}为等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）令b n=log2a1+log2+…+log2，求数列{}的前n项和T n．【解答】（本小题满分12分）．（1）证明：由S n=2a n﹣2n+1+2，得S n+1=2a n+1﹣2n+2+2，作差，得：，即，，…（2分）n=1时，a1=2，c1=1，∴c n=c n+1，+1∴数列{c n}是首项为1，公差为1的等差数列．…（4分）（2）解：由（1）知，，∴．…（8分）（3）解：，=2（1﹣）=．…（12分）20．（13分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD 是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（1）求证：BC⊥平面PBD；（2）设Q为侧棱PC的中点，求三棱锥Q﹣PBD的体积；（3）若N是棱BC的中点，则棱PC上是否存在点M，使MN平行于平面PDA？若存在，求PM的长；若不存在请说明理由．【解答】（本小题满分12分）（1）证明：∵面PCD⊥底面ABCD，面PCD∩底面ABCD=CD，PD⊂面PCD，且PD⊥CD，∴PD⊥面ABCD，又BC⊂面ABCD，∴BC⊥PD，①取CD中点E，连结BE，则BE⊥CD，且BE=1，在Rt△ABD中，BD=，在Rt△BCE中，BC=，∵BD2+BC2=（）2+（）2=22=CD2，∴BC⊥BD，②∵PD∩BD=D∴BC⊥面PBD．…（4分）（2）解：∵Q为侧棱PC的中点，取BC中点N，连结QN，则QN∥PB，BC⊥面PBD，∴三棱锥Q﹣PBD的高BN=，∵PD⊥CD，AB=AD=PD=1，CD=2，∴=，∴三棱锥Q﹣PBD的体积V===．…（8分）（3）解：存在，M是PC的四等分点，靠近C点，理由如下：取PC的中点Q，由题意知BQ平行于平面PDA，又BQ平行MN，所以MN平行与平面PDA．…（13分）21．（14分）从椭圆C：=1（a＞b＞0）上一点P向X轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，且OP∥AB，|F1A|=+．（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆O：x2+y2=2的切线l与椭圆C相交于A，B两点，问以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；否则，说明理由．【解答】解：（1）由已知，|F1A|=+，∴a+c=+，把x=c代入椭圆方程求得y=±，∴|PF|=，∵OP∥AB，PF∥OB∴△PFO∽△ABO∴，求得b=c∴a=，b=∴椭圆C的方程为；…（5分）（2）当切线与x轴垂直时，，椭圆中，令，得，∴以AB为直径的圆的方程为（x±）2+y2=2，两圆唯一的公共点为（0，0）；…（8分）当切线与x轴不垂直时，可设切线的方程为；y=kx+m联立方程x2+2y2=6，得（1+2k2）x2+4kmx+2（m2﹣3）=0由直线与圆相切得，，即m2=2（1+k2）…（10分）设，∵m2=2（1+k2），∴m2﹣2k2﹣2=0，∴即以AB为直径的圆过（0，0）．综上得，以AB直径的圆经过定点（0，0）．…（14分）22．（14分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（1）若a＞0，讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，求f（x）的最小值；（3）证++…++＜n﹣（﹣）（n∈N*，且n≥2）．【解答】解：若a≥1，当x≥a时，f（x）=x﹣a﹣lna，f′（x）=≥0，∴f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；当0＜x＜a时，f（x）=a﹣x﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x﹣a﹣lna，f′（x）=，x＞1，f′（x）＞0，a ＜x＜1，f′（x）＜0∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，（a，1）上单调递减；当0＜x＜a时，f（x）=a﹣x﹣lnx，f′（x）=﹣1﹣＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，（0，1）上单调递减综上，当a≥1时，f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；当0＜a＜1时，f（x）的递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；…（6分）（2）a=1时，f（x）=|x﹣1|﹣lnx （x＞0）当0＜x ≤1，f （x ）=1﹣（x +lnx ），f′（x ）=﹣1﹣＜0，所以f （x ）在（0，1]上单调递减；当x ＞1，f （x ）=x ﹣（1+lnx ），f′（x ）=＞0，所以f （x ）在（1，+∞）上单调递增，∴x=1时，f （x ）的最小值为f （1）=0…（9分）（3）由（2）可知，当a=1，x ＞1时，有f （x ）＞f （1）=0，，∴， n ≥2时，＞=﹣…（12分）∴，…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =函数值的变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<<1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义 函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。