结构力学课件第五章 桁架讲解

FN1=0 FN2=0
图a L形结点
FN1
FN2= FN1
FN3=0
图b T形结点
FN1
FN3
FN4= FN3
图c X形结点
FN2=
（3） X形结点：四杆结 点无外荷载作用时，如其 中两杆在一条直线上，另 外两杆在另一条直线上， FN1 则同一直线上的两杆内力 大小相等且符号相同。
FN1
F =-F N3 N4
注意
对两未知力交点取矩(称为力矩法) 或沿与两个平行未知力垂直的方向 投影（称为投影法）列平衡方程， 可使一个方程中只含一个未知力。
（1）力矩法 设支座反力已求出。
Ⅰ
FA
Ⅰ
FB
求EF、ED、CD三杆 的内力。 取左部分 作截面Ⅰ-Ⅰ， 为隔离体。
FNCD
0 ME （拉） h
FNEF
FYEF FXEF
解： （1）求a杆的内力
由比例关系得 FNa=－
F +2Fya=0 2
F 3F － －F－F+ Fya － Fyc=0 两个之间的关系。 2
F 5 5 F 4 3 12
（压）
FNa求得后， 再由∑MC=0 即可求得FNb(略）。
Ⅰ Ⅱ a c
作截面Ⅱ-Ⅱ
b Fya
由左半部分∑Md=0， 得
+12
+ 6 12 -6
FCH
FCV
12
拆开C铰和截断DE 杆，取右部为隔离体。
3. 分析受弯杆件
考虑其平衡可求得： 取AC杆为隔离体，
A
12kN
F
8kN C
6kN
FCH=12kN
FCH=12kN←
5kN 8kN
FCV=3kN
C
6kN 12
FCV=3kN↑
并可作出弯矩图。
B
3kN
A
1kN 6kN
4
L
Ly
FN
Lx
结点法计算举例
（1）首先由桁架 的整体平衡条件求 出支座反力。 （2）截取各结点 解算杆件内力。 取结点G隔离体 FNGE FYGE
FB=120kN
B
+60
D
+60 30 40
E G
15kN
20
FAH=120kN 60 A -120 C -20 FAV=45kN 15kN
截面单杆 截面法取出的隔离体，不 管其上有几个轴力，如果某杆的轴 力可以通过列一个平衡方程求得， 则此杆称为截面单杆。 可能的截面单杆通常有相交型和平 行型两种形式。
相 交 情 况
FP FP FP FP FP FP
截 面 单 杆
所作截面截断三根以 上的杆件，如除了杆 a外，其余各杆均交 于一点O，则对O点 列矩方程可求出杆a 轴力。
45
F
-20
15kN 4m
4m
4m
4 由比例关系求得 FNFE=+15kN FXGE= 15 =20kN(拉) 分析桁架的几何组成：此桁架为简单桁 3 FXGE E 5 FNED=+60kN 架，由基本三角形 ABC 按二元体规则依 G 及 FNFC=-20kN FNGE=15× 3 =25kN(拉 ) +20kN FNGF F =-40kN
a 为 截 面 单 杆
截 面 单 杆
FP
FP
平行情况
b为截面单杆
所作截面截断三根以上的杆件，如除了杆b外， 其余各杆均互相平行，则由投影方程可求出杆b 轴力。
联合桁架举例一
K
K
用结点法计算出1、2、3结点后，无论向结点 4或结点5均无法继续运算。 作K-K截面：M8=0，求FN5-13；进而可求其它杆内力。
FNEF
FYEF FXEF
可以证明：简支桁架在竖向荷载作用下， 下弦杆受拉力，上弦杆受压力。 由∑MO=0 有 －FAa+F1a+F2(a+d)+FYED(a+2d)=0
FyED FAa F1a F2 (a d ) a 2d
FNED FNCD
FXED
a
FA
d
d
FYED
FYEF FNEF FXEF
第五章
静定平面桁架
§5-1
平面桁架的计算简图
桁架是由梁演变而来的：
将梁中性轴附近未被充分利用的材料掏空， 就得到图所示的梁。
桁架结构
钢桁架桥
横梁
纵梁
主桁架
■实际工程中的桁架常ຫໍສະໝຸດ Baidu入以下几点假定：
•桁架的结点都是光滑的铰结点。
•各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。
•荷载和支座反力都作用在结点上。
桁架----直杆铰接体系.荷载只在结点作用， 所有杆均为只有轴力的二力杆 . 特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。 截面上的应力均匀分布，可以充分发挥 材料的性能，具有重量轻，承受荷载大， 是大跨度结构常用的一种结构形式。
FNED FNCD
FXED
由∑ME=0 有 FAd－F1d－F2×0－FNCDh=0
得 得 F FAd F1d F2 0 NCD
FNCD
0 ME
h
a
FA
d
d
FYED
h
（拉）
由∑MD=0 有 FA×2d－F1×2d－F2d+FXEFH=0
FXEF
0 FA 2d F1 2d F2 d MD H H 0 MD （压） FxEF H
例 5－3 分析此组合结构的内力。 解：
FAH=0
6+ 12
Ⅰ
51
+12 2
1. 由整体平衡条 件求出支反力。 2. 求各链杆的内 力：作Ⅰ－Ⅰ截面
FAV=5kN
Ⅰ
FBV=3kN
由∑MC=0 有 FNDE 3×8－ FNDE ×2=0 FNDE=12kN(拉） 再考虑结点D、E的平 衡可求出各链杆的内力。
结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。 计算简单桁架时 ，两种方法均很简单；而 计算联合桁架时，需要联合应用。
例5—1 桁架中a杆和b杆的内力。
Ⅰ b Fya
a c
3P 即 Ⅰ
Fyc
3P
F Fya=－ 4
求FNb 还有其他 取 K点为隔离体 作ⅠF －Ⅰ截面， 并取 更简捷的方法 Na 有 FNa=－FNc 吗？ 左部为隔离体，有四 Fya=－Fyc 或 K 个未知力尚不能求解。 再由Ⅰ－Ⅰ截面 为此，可取其它隔离 FNc 据∑Fy=0 有 体，求出其一或其中
联合桁架举例二
K
求出支座反力后作封闭截面K，以其内部或外部为研 究对象，可求出FNAD、FNBE、FNCF，进而可求出其它各 杆之内力。
联合桁架举例三
K
K
求出支座反力后作截面K-K，以其左半部或右半部 为研究对象，利用C=0，可求出FNAB，进而可求出其 它各杆之内力。
§5-4
截面法和结点法的联 合应用
1. 组合结构的概念：
由链杆（受轴向力）和梁式杆（受弯杆件）混合
组成的结构。链杆是只承受轴力的二力杆，梁式
杆同时承受弯矩、剪力、轴力。组合结构可以认
为是桁架和梁的组合体。
2. 组合结构的计算步骤：
（1）求支座反力；
（2）计算各链杆的轴力； （3）将链杆（二力杆）的内力作用于梁 式杆上，再求梁式杆的内力。
四、按受力特点分类：
1.梁式桁架
2.拱式桁架
竖向荷载下将 产生水平反力
§5-2
结点法
以只有一个结点的隔离体为研究对象，用汇 交力系的平衡方程求解各杆内力的方法 取隔离体时,每个隔离体只包含一个结点。 隔离体上的力是平面汇交力系,只有两个独立的 平衡方程可以利用, 一般应先截取只包含两个未 知轴力杆件的结点。 对于简单桁架用结点法求解时，按照撤除二元体 的次序截取结点，可求出全部内力，而不需求解 联立方程。
平行弦桁架
2. 抛物线形桁架：
■内力分布均匀，在材料使用上经济。但构造 上复杂。大跨度桥梁(100—150m)及大跨度屋 架(18-30m)中常采用。
抛物线形桁架
3. 三角形桁架：
■内力分布不均匀，弦杆内力两端大，两端 结点夹角甚小，构造复杂。因两斜面符合屋顶 要求，在屋架中常采用。
三角形桁架
§5－6 组合结构计算
XEC 次装入新结点构成。由最后装入的结点 F 20kN F =-30kN +15kN YEC 再由 ∑ F =0 可得 X G开始计算。（或由A结点开始） FNGF=-FxGE =-20kN(压） 15kN +15kN
F （拉） 由∑ FY=0 可得 yGE 然后依次取结点 F 、 E=15kN 、D、C 计算。
0 6
0
0 M图 （kN· m)
2. 空间（三维）桁架 ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
二、按外型分类 1.平行弦桁架
2.三角形桁架
3.抛物线桁架
4.梯形桁架
三、按几何组成分类 简单桁架
由一个基本铰结三角形开始依次增加二元体而组成的桁架。
联合桁架
由几个简单桁架按几何不变体系的组成规律联合组成的桁架。
复杂桁架
不按上述两种方式组成的其它形式的桁架。
将斜杆轴力 FN 分解为 水平分力 Fx 和竖向分力 Fy ， 如图示斜杆的长度l 及其投影 lx和 ly构成的三角形与轴力 及其分力构成的三角形相似，因而有比例关系
FN
Fy
FX
FN Fx Fy l lx ly
利用这些比例关系，可 以方便地进行轴力及其 分力的推算，而无须使 用三角函数和角度，对 建立方程很方便。
FN2≠ FN1

FN4=- FN3
（4） K形结点：四杆结 点，其中两杆在一条直线 上，另外两杆在此直线同 侧且交角相等，无外荷载 作用时，则非共线两杆内 力大小相等而符号相反。
图d K形结点
判断结构中的零杆
FP FP FP/ 2 FP/2
FP
判断结构中的零杆
0
0 0
0 0
0 0
0
0 0 0 0 0
FyDG FxDG
FA
几点结论
(1) 用截面法求内力时，一般截断的 杆件一次不能多于三个(特殊情况例外)。 (2) 对于简单桁架，求全部杆件内力 时， 应用结点法；若只求个别杆件内力， 用截面法。 (3) 对于联合桁架，先用截面法将联 合杆件的内力求出，然后再对各简单桁架 进行分析。
截面法中的特殊情况：
15kN
FB=120kN
B
+60
D
+60
E G
15kN
FAH=120kN 60 A -120 C -20 FAV=45kN 15kN
4m 4m
30
45
40 F
20
-20
15kN 4m
到结点B时，只有一个未知力FNBA， 最后到结点A时，轴力均已求出， 故以此二结点的平衡条件进行校核。
计算中的技巧 当遇到一个结点上未知力均为斜向时，为简化计算：
(1)改变投影轴的方向
B
由∑FX=0 可首先求出FN1
FY1 FX1 B FN1 r
F
A
A
C
FN2
x
d
C
(2)改用力矩式平衡方程
将力FN1在B点分解为FX1、FY1
由∑MC=0
一次求出
Fd Fx1 h
结点平衡特殊情况的简化计算
（1）L形结点：无载二杆结点，两杆内力均为零。 （2）T形结点：三杆结点无外荷载作用时，如其中两 杆在一条直线上，则共线的两杆内力性质相同，而第 三杆内力为零。
FNED FNCD a FA
FXED FYED
d
d
（2）投影法
求DG杆内力
Ⅱ
作Ⅱ—Ⅱ截面， 取左部分为隔 离体。 Ⅱ 由∑Fy=0 有 FA－F1－F2－F3+ FyDG=0 FyDG=FNDGsin=－(FA－F1－F2－F3)
上式括号内之值恰等于相应 简支梁上DG段的剪力，故此法 又称为剪力法。
3P
Ⅱ Ⅰ
Fyc
3P
F 3F 8 8 F 4 8 2 FNb F 6 3
更简捷
§5－5 各式桁架比较
不同形式的桁架，其内力分布情况及适用场合亦 各不同，设计时应根据具体要求选用。为此，下 面就常用的三种桁架加以比较。 1.平行弦桁架： ■内力分布不均匀，弦杆内力向跨中递增。构造 上各类杆长度相同，结点处各杆交角相同，便于 标准化。因制作施工较为方便，铁路桥常采用。

桁架的计算简图及其名称
弦杆
下弦杆
上弦杆
斜杆 竖杆
腹杆
桁高
d 节间
跨度
简图与实际的偏差：
•并非理想铰接； •并非理想直杆； •并非只有结点荷载； •结构的空间作用。
主应力:按理想的桁架计算简图计算出的 应力 次应力:实际应力与主应力的差值，一般 情况下可以忽略不计。
桁架结构的分类：
一、根据维数分类 1. 平面（二维）桁架 ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线 都在同一平面内
判断桁架中的零杆
0
9根 0
0 0 0 0 0 0 0
8根 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7根
0
小结：
（1）结点法适用于简单桁架，从最后装 上的结点开始计算。 （2）每次所取结点的未知力不能多于两个。 （3）计算前先判断零杆。
§5-3
截
面
法
截取桁架的某一局部（包含两个或两 个以上的结点）作为隔离体，由平面任意 力系的平衡方程即可求得未知的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件 数一般不宜超过3