2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷ⅡⅢ)理科数学(十四)

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2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(三)理

18 年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷
理科数学（三）
本试题卷共 2 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
★祝考试顺利★
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。
A．x | 1 x 1
B．x | 1 x 2
C．x | 0 x 2
D．x | 0 x 1
2．设复数 z 1 2i （是虚数单位），则在复平面内，复数 z2 对应的点的坐标为（）
A． 3, 4
B． 5, 4
C． 3, 2
D． 3, 4
3． 2 x2x 16 的展开式中 x4 的系数为（）
的体积的最大值为 4 ，则球 O 的表面积为__________． 3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列an 是等差数列， a1 t 2 t ， a2 4 ， a3 t2 t ．（1）求数列an 的通项公式；
（2）若数列an 为递增数列，数列bn 满足 log2bn an ，求数列 an 1 bn 的前项和 Sn ．
A．-160
B．320
C．480
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（
D．640 ）
A． 5 2
B． 4 2
C． 4 4
D． 5 4
5．过双曲线
x2 9
y2 16
1的右支上一点
P
，分别向圆 C1 ： x
52
y2
4 和圆C2 ： x
52
y2
r2
（ r 0 ）作切线，切点分别为 M ， N ，若 PM 2 PN 2 的最小值为 58 ，则 r （）欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学(理科)含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题二数学（理科）本试卷共5页，23小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则{}R 12,1,0,1,2,{|0}2x A B x x -=--=≥+ðA B ⋂=A. B. C . D. {}1,0,1-{}1,0-{}2,1,0--{}0,1,22.已知,αβ是相异两平面，,m n 是相异两直线，则下列命题中错误的是A.若//,m n m α⊥，则n α⊥ B ．若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,//m m αβ⊥，则αβ⊥ D ．若//,m n ααβ= ，则//m n 3.变量服从正态分布，，则直线X ()()210,,12X N P X a σ>= ()810P X b ≤≤=过定点1ax by +=A ． B ． C ． D ．(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)4.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“”aMODb 表示除以的余数），若输入的分别为675,125，a b ,a b 则输出的（）a =A. 0 B . 25 C. 50 D. 755.记不等式组表示的平面区域为，点的坐标为．222 20x y x y y +≤⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩ΩM (),x y 已知命题：，的最小值为6；p M ∀∈Ωx y -命题：，；则下列命题中的真命题是q M ∀∈Ω224205x y ≤+≤A. B ． C. D ．都是假命p q ∨p q ∧q ⌝p q p q q ∨∧⌝、、题6.设为椭圆的两个焦点，若点在圆上，21,F F 22:1C x my +=1F 2221:(2F x y n m++=则椭圆的方程为C A ． B ．C. D ．2212y x +=2221x y +=2212x y +=2221x y +=7.若，则的展开式中含项的系数为20cos a xdx π=⎰6(2)ax x+-5x A ． B ． C ． D ．24-12-12248.已知定义在上的奇函数满足，当时，R ()f x ()()2f x f x +=-[]0,1x ∈，则()21x f x =-A. B. ()()11672f f f ⎛⎫<-<⎪⎝⎭()()11762f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭C. D . ()()11762f f f ⎛⎫-<<⎪⎝⎭()()11672f f f ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭9.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以，，，，为A B C D E顶点的多边形为正五边形，且.下列关系中正确的是512PT AT -=A ． B ．512BP TS RS +-= 512CQ TP ++= C ．D ． 512ES AP BQ --= 512AT BQ -+= 10.已知函数在上的最大值为，最小值为，则()2sin(26f x x π=+[,]()4a a a R π-∈1y 2y 的取值范围是1y 2y -A ．B ．C ．D ．[22][2,2][211.对于任一实数序列，定义为序列，它的{} ,,,321a a a A =A ∆{} ,,,342312a a a a a a ---第项是，假定序列的所有项都是，且，则n n n a a -+1)(A ∆∆10201718==a a =2018a A ． B ．1000C. 1009 D ．2018012.已知，，若存在，，使得}0)(|{==ααf M {|()0}N g ββ==M ∈αN ∈β，则称函数与互为“和谐函数”.若与1||<-βα)(x f )(x g 2()23x f x x -=+-互为“和谐函数”则实数的取值范围为3)(2+--=a ax x x g a A.B.C .D.),2(+∞),2[+∞)3,2(),3(+∞二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分.把答案填在题中的横线上.13.设复数（其中为虚数单位），则复数的实部为_____，虚部为_____．23z i=-i z 14.点为双曲线的右焦点，点为双曲线上位于第二象限的F 2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>P 点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心P Q 2PF FQ =5OP a =E 率为_____．15.在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的正整数均成立，那么就{}n a T n T n a a +=n 称数列为周期数列，其中叫数列的周期．已知数列满足:{}n a T {}n a {}n b ，21(*)n n n b b b n N ++=-∈若，当数列的周期最小时，该数列的前2018项的和是11b =，2(,0)b a a R a =∈≠{}n b _____．16.一个正八面体的外接球的体积与其内切球的体积之比的比值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. (本小题满分12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，M 为AC 的中点，且.44cos 3sin a b C c B =+(Ⅰ)求的大小；cos B (Ⅱ)若求的面积．45,52ABM a ∠==ABC ∆18. (本小题满分12分）为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（）AQI （指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：AQIB 1（1）将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统AQI 抽样方法从中抽取6个数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随AQI 机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；（2）根据《环境空气质量指数（）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为AQI （含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的0~50数据，空气质量级别为一级的天数为，求的分布列及数学期望；ξξ（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？19.(本小题满分12分）如图，底面为直角三角形的三棱柱中，111ABC A B C -AB AC =，点在棱上，且平面01160A AB A AC ∠=∠=D BC 1//A C 1ADB （Ⅰ）求二面角的余弦值；11--A B C D（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.1AB ABC 20.(本小题满分12分）已知点为轴上的动点，以为边作菱形，使其对角线的交点恰好落01,AB （，）y AB ABCD 在轴上.x （Ⅰ）求动点的轨迹的方程；D E （Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，分别过点作轨迹的切线，A l E M N 、M N 、E 12l l 、且与交于点.1l 2l P （ⅰ）证明：点在定直线上，并写出定直线的方程；P （ⅱ）求的面积的最小值.OMN ∆21.(本小题满分12分）已知函数.()()ln 1axf x x a R x =-∈+（Ⅰ）讨论函数的单调性；()f x （Ⅱ）若有两个极值点，证明: .()f x 12,x x ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线，曲线21cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），以xOy 1:4C x y +=坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．O x （I ）求曲线的极坐标方程；12,C C （II ）若射线与曲线的公共点分别为，求OBOA的最大值．)0(≥=ραθ12,C C ,A B 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知，，，函数．0a >0b >0c >()f x c a x x b =+-++（I ）当时，求不等式的解集；1a b c ===()3f x >（II ）当的最小值为时，求的值，并求的最小值．()f x 3a b c ++111a b c++2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（二）参考答案一、选择题：二、填空题：15.16. 1,21346三、解答题17. (Ⅰ) 由题设知：4sin()4sin 4sin cos 3sin sin B C A B C C B+==+题号123456789101112答案CDDBAABDADBC4cos 3sin 0B B ∴=>即.………………4分29cos ,25B ∴=3cos 5B =（II ）取的中点，连，则且AB N MN //MN BC MN =，……………7分4sin sin 5BNM B ∴∠==由知： sin sin sin BM MN MN BNM NBM ABM ==∠∠∠0452145sin 45BM =⨯⨯=……………9分 (120243)2sin(45)4524255ABC MBC S S BM BC B ∆∆∴==-=⨯-= 分18.解：（1）系统抽样，分段间隔，抽出的样本的编号依次是4号、9号、143056k ==号、19号、24号、29号，对应的样本数据依次是、2856、94、48、40、221．……………3分（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2,3，且ξ33336()(0,1,2,3)k kC C P k k C ξ-===，，，，1(0)20P ξ∴==9(1)20P ξ==9(2)20P ξ==1(3)20P ξ==随机变量的分布列为：ξξ0123P120920920120所以．……………9分　1991()0123 1.520202020E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（3）2016年11月指数为一级的概率，2017年11月指数为一级的概率AQI 1730P =AQI ，21730P =，说明这些措施是有效的．……………12分21P P >19.(Ⅰ)解：连，得连；1A B 11,A B AB O = OD 则平面平面,且为的中点OD =1ADB 1A CB O 1A B ∵平面1//A C 1ADB ∴，且为的中点……………2分1//A C OD D BC ，1AB AC AA == 01160A AB A AC ∠=∠=∴111,A B AC A A ==1,A D BC AD BC ⊥⊥设，又底面为直角三角形得2BC a =11,2A D AD a AB AC AA a=====∴，即，得平面……………4分0190A DA ∠=1A D AD ⊥1A D ⊥ABC 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，D 1,,DA DB DA ,,x y z 则，1(,0,0),(0,,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a A a -由知：，得，111////AA BB CC 111(,0,)AA BB CC a a ===-1(,,)B a a a -；1(,,)C a a a --∴，……11111(0,2,0),(2,,),(,,),(0,0,)B C a AB a a a DB a a a DA a =-=-=-=…6分设且平面，则1(,,)n x y z =1n ⊥11AB C 1112020n B C ay n AB ax ay az ⎧=-=⎪⎨=-+-=⎪⎩取得；设平面，同理：1x =1(1,0,2)n =2n ⊥11DB C 且……………8分2(1,0,1)n =∴，故二面角；12cos ,n n ==11--A B C D …10分又为平面的法向量，且，1DA ABC 11cos ,DA AB ==∴与平面分1AB ABC 20.解：(Ⅰ)设，则由题设知：，由知(,)D x y (0,)B y -AB AD =，222(1)(1)x y y +-=+得为动点的轨迹的方程；……………4分24(0)x y y =≠D E (Ⅱ) （ⅰ）由(Ⅰ)知：，设，则'2x y =1122()()M x y N x y ,、,221212,;44x x y y == 由题设知：，得221212(1)(1)44x x AM x AN x =-=- ,、,222112(1)(1)44x x x x -=-；124x x =-切线的方程为切线的方程为∴1111:()2x l y y x x -=-211;24x x y x =-2l 222;24x x y x =-两者联立得：；即点在定直线上；1212124x x x x x y ===-+,P 1y =-……………9分（ⅱ）由(Ⅰ)及（ⅰ）知：2212121212111()4()162;222OMN S OA x x x x x x x x ∆=-=+-=++≥即点时，.……………12分 (0,1)P -min ()2OMN S ∆=21.解：（Ⅰ），2221(1)(2)1'()(0)(1)(1)a x ax x a x f x x x x x x +-+-+=-=>++；2(2)4(4)a a a ∆=--=-当时，，在上单调递增；4a ≤'()0f x >()f x (0,)+∞当时，在上单调递增，在4a >()f x上单调递减，在上)+∞单调递增；……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，且，4a >12122,1x x a x x +=-=，1221121212(1)(1)()()ln (1)(1)ax x ax x f x f x x x a x x +++∴+=-=-++而，12122222()()ln ln (2)2222212a a x x a a a f f a a -+---==-=---+ 1212()()2()ln 2()2222x x f x f x a a f h a ++-∴-=-+=，得在上为减函数，又，214'()(1)0222(2)a h a a a -∴=-=<--()h a (4,)+∞(4)0h =即；则.……………12分()0h a <1212()()(22x x f x f x f ++<22．解：（I ）曲线的极坐标方程为，1C 4)sin (cos =+θθρ曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为. 2C 1)1(22=+-y x 2C θρcos 2=…………4分（II ）设，，因为是射线与曲线的公共点，所以不妨),(1αρA ),(2αρB ,A B αθ=12,C C 设，则，，24παπ≤<-ααρsin cos 41+=αρcos 22=21||12cos (cos sin )||4OB OA ραααρ∴==⨯+， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=1)42cos(241)12sin 2(cos 41πααα所以当时，取得最大值. ……………10分 8πα=||||OA OB 412+23．解：（I ）()111f x x x =-+++B1A1C C1A或或，解得1{ 123x x ≤-∴->11{ 33x -<<>1{ 213x x ≥+>或．……………5分{|1x x <-1}x >（II ）()3f x c a x x b a x x b c a b c a b c =+-++≥-+++=++=++=，()11111111333b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当且仅当时取得最小值．……………10分()1322233≥+++=1a b c ===319．如图，在三棱柱体，平面平面,．111ABC A B C -11A B C ⊥11AA C C 090BAC ∠=（I ）证明：；1AC CA ⊥（II ）若是正三角形，，求二面角的大小．11A B C 22AB AC ==1A AB C --3π。

2018届高考仿真模拟试题(新课标全国卷ⅡⅢ)理科数学(二)

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(二)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．已知集合A ={x |3<x <8}，B ={x |2x −7x +10>0}，则A ∪(RB )=A ．[2，3)B ．[2，8)C ．[3，5]D ．(5，8) 2．已知复数z 满足(i −1)(z −3i )=2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．i −1B ．1+2iC ．1−iD ．1−2i 3．已知等差数列{n a }的前7项和7S =14，11a =9，则2018a =A ．2018B ．2017C ．2016D ．20154．已知双曲线22221x y a b-= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32，则该双曲线的方程为 A ．22145x y -= B ．22154x y -= C ．22145y x -= D ．22154y x -= 5．小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口．已知十字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，红灯45秒．如果小明每天到路口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是 A ．34 B ．23 C ．12 D ．136．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为A ．4πB ．8πC ．10πD ．43π7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为170，则判断框内的条件可以为A ．i >5B ．i 7C ．i >9D ．i 98．已知a =132-，b =21log 32(2)-，c =14sin x π⎰dx ，则实数a ，b ，c 的大小关系是A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a 9．已知函数()f x =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的部分图象如图所示，把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，则()g x 在[−23π，3π]上的单调递增区间为A ．[−23π，−712π]，[−12π，3π] B ．[−23π，−712π]∪[−12π，3π] C ．[−12π，3π] D ．[−23π，−712π] 10．已知P 是△ABC 所在平面外的一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若MN =BC =4，P A，则异面直线P A 与MN 所成角的大小是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11．已知数列{n a }的首项1a =a ，其前n 项和为n S ，且满足n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，若对任意的n ∈N *，n a <1n a +恒成立，则正整数a 的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 12．已知函数()f x 满足(1)f x +=1()1f x +，当x ∈[0，1]时，()f x =1()2x ，若在区间(−1，1]上，方程()f x =2x +m 只有一个解，则实数m 的取值范围为A ．[−1，−12)∪{1} B ．(−1，−12)∪{1} C ．(−1，−12] D ．(−1，1) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分． 13．二项式(m 3x)8的展开式中4x 的系数为，则m = ． 14．在平面四边形ABCD 中，已知AC =(1，3)，BD =(m ，−3)，则四边形ABCD 的面积的最大值为．15．若实数x ，y 满足约束条件42y x y x y k ⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≤≥，且u =2x +y +2的最小值为−4，则k = ．16．已知直线l 与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)相切于第一象限的点P (0x ，0y )，且直线l 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，当∆AOB (O 为坐标原点)的面积最小时，∠12F PF =60°(1F 、2F是椭圆的两个焦点)，若此时在∆12PF F 中，∠12F PF 的平分线的长度为3a m，则实数m 的值是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，2AB +2AC +AB ×AC =2BC ，且△ABC 的面积为3． (1)求∠BAC 的大小及AB AC ⋅的值； (2)若AB =4，求AD 的长． 18．(本小题满分12分)为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立． (1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和数学期望． 19．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∠BAC =90°，1AA ⊥BC ，1AA =AC =2AB =4，且1BC ⊥1AC ．(1)求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；(2)设D 是11AC 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得DE ∥平面1ABC ．若存在，求二面角E−1AC −B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知曲线C 上任意一点到点A (1，−2)的距离与到点B (2，−4)． (1)求曲线C 的方程；(2)设点P (1，−3)，过点P 作两条相异直线分别与曲线C 相交于E 、F 两点，且直线PE 和直线FE 的倾斜角互补，求线段EF 的最大值． 21．(本小题满分12分)已知函数()f x =ln()x xλ+ (λ∈R)，曲线y =()f x 在x =1处的切线与直线 (1−2ln 2)x −2y =0平行．(1)求曲线y =()f x 在x =1处的切线方程； (2)若x >0，证明：(xe −1)ln(x +1)>2x ．选考部分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4─4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l ：cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，0 α<2π)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：2ρ=2312sin θ+(0≤θ<2π)，若直线l 与y 轴正半轴交于点M ，与曲线C 交于A 、B 两点，其中点A 在第一象限． (1)写出曲线C 的直角坐标方程及点M 对应的参数M t (用α表示)； (2)设曲线C 的左焦点为1F ，若|1F B |=|AM |，求直线l 的倾斜角α的值． 23．(本小题满分10分)选修4─5：不等式选讲已知函数()f x =|x −a |，若不等式()f x ≤2的解集为{x |1≤x ≤5}． (1)求实数a 的值；(2)若不等式(2)f x +(2)f x +≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(二)答案1．B 【解析】由已知得B ={x |x <2或x >5}，则RB ={x |2 x 5}，所以A ∪(R B )=[2，8)，故选B ．2．B 【解析】解法一依题意可得z =2i1i-+3i =2i(1i)(1i)(1i)-+-+−i=−(i −1)−i=1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．解法二依题意，由(i −1)(z −3i )=2i 得(−1−i)(−1+i)(z +i)=2i(−1−i)，即z+i=i(−1−i)，z =1−2i ，其共轭复数为1+2i ，故选B ．3．C 【解析】通解设等差数列{n a }的公差为d ，则11767142109a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得111a d =-⎧⎨=⎩，所以2018a =−1+2 017=2 016．故选C ．优解设等差数列{n a }的公差为d ，则14=177()2a a +，即17a a +=4，所以24a =4，即4a =2，又11a =4a +7d =2+7d =9，所以d =1，2018a =4a +2 014=2+2 014=2 016．故选C ． 4．A 【解析】易知抛物线2y =8x 的焦点为(2，0)，所以双曲线的右顶点是(2，0)，所以a =2．又双曲线的离心率e =32，所以c =3，2b =2c −2a =5，所以双曲线的方程为22145x y -=，选A ．5．D 【解析】解法一设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，则P (A )=455201405453+-=++，选D ．解法二设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件A ，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒”，则P (A )=1−40201405453+=++，选D ．6．D 【解析】作出该三视图所对应的几何体的直观图，并将其放到正方体中，如图，易知该几何体是正方体中的四棱锥S −ABC D ．由三视图知，SA =AB =AD =2，所以SC，即该几何体的外接球的直径为2，所以该几何体的外接球的体积为43，选D ．7．D 【解析】根据输出结果为170判断何时退出循环体，从而得到判断框内可以补充的条件．S =0+2=2，i =1+2=3，不满足条件，执行循环体； S =2+8=10，i =3+2=5，不满足条件，执行循环体； S =10+32=42，i =5+2=7，不满足条件，执行循环体； S =42+128=170，i =7+2=9，满足条件，退出循环体．故判断框内的条件可以为i 9，故选D ．8．C 【解析】因为a =132-=131()2=161()4，b =21log 32(2)- =123-=121()3=161()27，所以a >b ，排除B ，D ；c =14sin x π⎰dx =−14cos x 0π=−14(cos π−cos 0)=12=121()4，所以b >c ，所以a >b >c ，选C ．9．A 【解析】解法一由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x =2sin(2x −3π)的图象，令−2π+2kπ 2x −3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−12π+kπ x 512π+kπ(k ∈Z )，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+k π](k ∈Z )．又x ∈[−23π，3π]，所以()g x 在[−23π， 3π]上的单调递增区间为[−23π， −712π]，[−12π，3π]，选A ．解法二由题图可知A =2，T =4(3π−12π)=π，所以ω=2，所以2×12π+φ=2π+2kπ(k ∈Z )．因为|φ|<2π，所以φ=3π，因此()f x =2sin(2x +3π)．令−2π+2kπ 2x +3π 2π+2kπ(k ∈Z )，解得−512π+kπ x 12π+kπ(k ∈Z )，所以()f x 的单调递增区间为[−512π+kπ，12π+kπ](k ∈Z )．由于把()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到()g x 的图象，所以()g x 的单调递增区间为[−12π+kπ，512π+kπ](k ∈Z )．又x ∈[−23π，3π]，所以()g x 在[−23π，3π]上的单调递增区间为[−23π， −712π]，[−12π， 3π]，选A ． 10．A 【解析】取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角，由此能求出异面直线P A 与MN 所成角的大小．取AC 的中点O ，连接OM 、ON ，则OM ∥12BC ，ON ∥12P A ，∴∠ONM 就是异面直线P A 与MN 所成的角．由MN =BC =4，P A =43，得OM =2，ON =23，∴cos ∠ONM =2222ON MN OM ON MN +-⋅=12164322234+-=⨯⨯， ∴∠ONM =30°，即异面直线P A 与MN 所成角的大小为30°．故选A ．11．B 【解析】由n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，可以得到1n S ++n S =32(1)n ++2(n +1)+4，两式相减得1n a ++n a =6n +5，故2n a ++1n a +=6n +11，两式再相减得2n a +−n a =6．对于n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，由n =2得1a +2a +1a =20，即2a =20−2a ，故偶数项为以20−2a 为首项，6为公差的等差数列，从而2n a =6n +14−2a ．对于n S +1n S -=32n +2n +4(n 2)，由n =3得1a +2a +3a +1a +2a =37，即3a =2a −3，从而21n a +=6n −9+2a ．由题意得20261426926926(1)142a an a n a n a n a <-⎧⎪+-<-+⎨⎪-+<++-⎩，解得234<a <203，故正整数a 的值为6．12．B 【解析】当−1 x <0，即0 x +1<1时，由(1)f x +=1()1f x +可得()f x =1(1)f x +−1，即()f x =111()2x +−1=12x +−1，如图，作出函数y=()f x 在区间(−1，1]上的图象及函数()g x =2x +m 的图象．当函数()g x 的图象过点A (1，12)时，有21+m =12，解得m =−12，当函数()g x 的图象过点B (−1，0)时，有2(1)-+m =0，解得m =−1，当函数()g x 的图象过点C (0，1)时，有20+m =1，解得m =1．故当方程()f x =2x +m 在(−1，1]上只有一个解，即函数()f x 与()g x 的图象只有一个交点时，由图象知，m ∈(−1，−12)∪{1}． 13．−1【解析】依题意知1r T +=(−1)r×8Cr×(m 3x )8r-×(2x)r =(−1)r ×22r×8C r ×m 8r -×x 244r -，令24−4r =4，得r =5，因为二项式(m 3x −2x)8的展开式中4x 的系数为2，所以(−1)5×522×58C ×m 32，m =−1．14．15【解析】设AC 与BD 相交于点O ，设B ，D 到AC 的距离分别为B d ，D d ，则S 四边形ABCD =12×|AC |×B d +12×|AC |×D d =12×|AC |×(B d +D d )≤12×|AC |×|BD | =122109m ⨯+ABCD 的面积最大时， AC ·BD =1×m +3×(−3)=0，得m =9，S 四边形ABCD =15．15．−1【解析】因为u =2x +y +2，设z =2x +y ，则u =z +2，因为u =2x +y +2的最小值为−4，所以z =2x +y 的最小值为−6，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知，目标函数z=2x +y 过点A (2k ，2k )时，取得最小值z min =4k +2k =−6，解得k =−1．16．52【解析】由题意，在P (0x ，0y )处的切线方程为0022yy xx a b+=1， ∵直线l 与x 、y 轴分别交于点A 、B ，∴A (20b x ，0)、B (0， 2a y )，∴AOB S ∆=12·2200ab x y ．∵202y a +202x b =1 002x y ab ，∴001x y 2ab，∴AOB S ∆ ab ，当且仅当0022y x a b ==时，∆AOB 的面积最小．设|1PF |=x ，|2PF |=y ，由余弦定理可得42c =2x +2y −xy ，∴xy =432b ， ∴12PF F S ∆=12xy sin 60°=332b ，∴12×2c ×0x =332b ，∴0x =23232b c =b ， ∴c 6，∴a 15．∵在12PF F ∆中，∠12F PF 3， ∴12×x ×3a×12+12×y ×3×1232b ， ∴1232a m⨯ (x +y )=332b ， ∴1232a m ⨯×2a =332b ，∴m =52． 17．【解析】(1)在△ABC 中，由2AB +2AC +AB ×AC =2BC 可得2222AB AC BC AB AC +-⨯⨯=−12=cos ∠BAC ，故∠BAC =120°．（1分）因为ABC S ∆=12AB ×AC ×sin ∠BAC =12×AB ×AC ×sin 120°3所以12×AB ×AC×2，解得AB ×AC =4．（3分）所以AB AC ⋅=|AB |×|AC |×cos 120°=|AB |×|AC |×(−12)=4×(−12)=−2．（4分） (2)解法一由AB =4，AB ×AC =4得AC =1．在△ABC 中，由余弦定理得2BC =2AB +2AC −2AB ×AC cos ∠BAC =16+1−2×4×1×(−12)=21，得BC，（6分）由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，得sin ∠ABC=1sin AC BACBC∠==∵0°<∠ABC <60°，故cos ∠ABC=14．（8分）在△ABD 中，2AD =2AB +2BD −2AB ×BD cos ∠ABD=16+214−2×4×132144=，得AD=2．（12分）解法二由AB =4，AB ×AC =4得AC =1．在△ABC 中，由余弦定理得2BC =2AB +2AC −2AB ×AC cos ∠BAC =16+1−2×4×1×(−12)=21，得BC，（8分）cos ∠ABC=222214AB BC AC AB BC +-==⨯⨯，在△ABD 中，2AD =2AB +2BD −2AB ×BD cos ∠ABD=16+214−2×4×132144=，得AD =2．（12分）【备注】三角解答题主要有以下几种题型：一是考查三角形中的三角函数问题，正、余弦定理，三角形的面积公式和三角恒等变换是解决问题的主要工具；二是解三角形的实际应用，正、余弦定理是解决问题的主要工具；三是三角函数的图象和性质，三角恒等变换是主要工具．18．【解析】(1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率P =(23)4+14C (23)4×13=112243．（2分） (2)由题意知，X 的所有可能取值为4，5，6，7，且P (X =4)= (23)4+(13)4=1781， P (X =5)= 14C (23)4×13+14C ×23×(13)4=72243=827，P (X =6)=25C ( 23)4×(13)2+25C (23)2×(13)4=200729， P (X =7)=36C (23)4×(13)3+36C (23)3×(13)4=160729．（8分）所以X 的分布列为E (X )=4×1781+5×827+6×729+7×729=729．（12分）19．【解析】(1)在三棱柱ABC −111A B C 中，侧面11ABB A 是矩形，∴1AA ⊥AB ，（1分）又1AA ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴1A A ⊥平面ABC ，∴1A A ⊥AC ．（2分）又1A A =AC ，∴1A C ⊥1AC ．又1BC ⊥1A C ，1BC ∩1AC =1C ， ∴1A C ⊥平面1ABC ，又1A C 平面11A ACC ，∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．（4分）图1(2)解法一当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图1，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ，∵EF ∥AB ，DF ∥1AC ，又EF ∩DF =F ，AB ∩1AC =A ， ∴平面EFD ∥平面1ABC ，则有DE ∥平面1ABC ．（6分）以 A 为坐标原点，AB ，AC ，1AA 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AA =AC =2AB =4，∴A (0，0，0)，B (2，0，0)，1C (0，4，4)，C (0，4，0)，E (2，0，2)，1A (0，0，4)，由(1)知，1AC =(0，4，−4)是平面1ABC 的一个法向量．（7分）设n =(x ，y ，z)为平面1AC E 的法向量， ∵1AC =(0，4，4)，AE =(2，0，2)，∴100AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即440220y z x z +=⎧⎨+=⎩，令z=1，则x =−1，y =−1，∴n =(−1，−1，1)为平面1AC E 的一个法向量．（10分）设1AC 与n 的夹角为θ，则cos θ342⨯=−63，由图知二面角E −1AC −B 为锐角，∴二面角E −1AC −B 的余弦值为63．（12分）图2解法二当E 为1BB 的中点时，连接DE ，如图2，设1A C 交1AC 于点G ，连接BG ，DG ，∵BE ∥DG ，∴四边形DEBG 为平行四边形，则DE ∥BG ，又DE ⊄平面1ABC ，BG ⊂平面1ABC ，则DE ∥平面1ABC ．求二面角E −1AC −B 的余弦值同解法一．【备注】(1)证明面面垂直的常用方法：①利用面面垂直的定义；②利用面面垂直的判定定理，转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．两个平面垂直的证明，通常是通过线线垂直→线面垂直→面面垂直的过程来实现的．(2)二面角的计算一般转化为空间向量夹角的计算，需要注意判断空间二面角与向量夹角的关系是相等还是互补． 20．【解析】(1)设曲线C 上的任意一点为Q (x ，y )2222(1)(2)(2)(4)x y x y -++-++22，整理得22x y +=10，即曲线C 的方程为22x y +=10．（3分） (2)由题意知，直线PE 和直线PF 的斜率存在，且互为相反数，因为P (1，−3)，故可设直线PE 的方程为y+3=k (x −1)．由223(1)10y k x x y +=-⎧⎨+=⎩，消去y 得(1+2k )2x −2k (k +3)x +2k +6k −1=0，（6分）因为点P (1，−3)在圆上，所以点P 的横坐标x =1一定是该方程的解，故可得E x =22611k k k +-+，同理，F x =22611k k k--+，所以EF k =(1)3(1)32()E F E F E F E F E F E F y y k x k x k k x x x x x x x x ---+-+-++==---=−13，故直线EF 的斜率为定值−13．（10分）设直线EF 的方程为y=−13x +b ，则圆C 的圆心到直线EF 的距离d，所以|EF(−103<b <103)，所以当b =0时，|EF |max（12分）【备注】(1)求圆的方程的代数法：从圆的标准方程来讲，关键在于求出圆心坐标和半径长；从圆的一般方程来讲，若知道圆上的三个点即可求出圆的方程．因此待定系数法是求圆的方程的常用方法．(2)用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任意一条弦的垂直平分线上”等．21．【解析】(1) 因为()f x =ln()x x λ+，()f x '=2ln()xx x xλλ-++，因为直线(1−2ln2)x −2y =0的斜率为12−ln2，且曲线y =()f x 在x =1处的切线与直线(1−2ln 2)x −2y =0平行，所以(1)f '=11λ+−ln(1+λ)=12−ln 2，解得λ=1，（3分）所以()f x =ln(1)x x+，(1)f =ln 2，所以所求的切线方程为y −ln2=(12−ln 2)(x −1)，即y =(12−ln 2)x −12+2ln 2．（5分）(2)由(1)知，()f x =ln(1)x x+，当x >0时，欲证(x e −1)ln(x +1)>2x ，只需证ln(1)x x +>1x x e -，因为1x x e -=ln 1x x e e -=ln(11)1x x e e -+-，故只需证ln(1)x x+>ln(11)1x x e e -+-，即证()f x >f (xe −1)，（7分）因为()f x '=2ln(1)1xx x x-++，令()g x =1xx +−ln(x +1)．则当x >0时，()g x '=21(1)x +−11x +=−2(1)x x +<0，故()g x 是(0，+∞)上的减函数，所以当x >0时，()g x <g (0)=−ln 1=0，所以()f x '<0，故函数()f x =ln(1)x x+在(0，+∞)上单调递减．（9分）故要证原不等式成立，只需证明：当x >0时，x <xe −1．令()h x =x e −x −1，则当x >0时，()h x '=xe −1>0，（10分）所以()h x 是(0，+∞)上的增函数，所以当x >0时，()h x >h (0)=0，即x >0时，x <xe −1．综上所述，当x >0时，(x e −1)ln(x +1)>2x ．（12分）【备注】求解此类题需掌握以下三点：一是明晰导数的几何意义，并利用直线方程的点斜式求出切线方程；二是转化，即把证明不等式问题转化为求函数的单调性及最值问题；三是会构造函数，对所构造的函数求导，利用导数法判断其单调性，从而证得结果． 22．【答案】(1)由2ρ=2312sin θ+得2ρ+22ρsin 2θ=3， ∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴23x +2y =1，即曲线C 的直角坐标方程为23x +2y =1．又由题意可知点M 的横坐标为0，代入x =t cos α，得t cos α，∴M t （5分）(2)由(1)知，直线l 恒过1F (0)，将cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩代入23x +2y =1，化简可得(1+2sin 2α)2t −cos αt −1=0，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，∴|1t +2t |=|M t |，即212sin cos ααα=+，得sin α=±12，又0 α<2π，∴α=6π．（10分）【备注】(1)参数方程化为普通方程的关键是消去参数，消去参数的常用方法有：①先由一个方程求出参数的表达式，再代入另一个方程，即代入法；②利用三角函数中的恒等式消去参数，运用最多的是sin 2α+cos 2α=1，即三角公式法；③整体观察，对两式进行四则运算，或先分离参数再运算．(2)参数方程、极坐标方程是解析几何中曲线方程的另外两种表示形式，有时解决一些问题要借助参数的几何意义，如本题的第(2)问． 23．【解析】(1)由()f x ≤2得|x −a |≤2，解得a −2≤x ≤a +2．又不等式()f x ≤2的解集为{x |1≤x ≤5}，所以2125a a -=⎧⎨+=⎩，解得a =3．（4分）(2)由(1)知()f x =|x −3|．设函数()g x =(2)f x +(2)f x +，则()g x =|2x −3|+|x −1|=334,232,1234,1x x x x x x ⎧-⎪⎪⎪-<<⎨⎪-+⎪⎪⎩≥≤，所以函数()g x 的最小值为3()2g =12．由不等式(2)f x +(2)f x +≥m 对一切实数x 恒成立，得m ≤12．故实数m 的取值范围为(−∞，12]．（10分）。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试仿真卷(三)数学(理)试题含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（） A ．{}|11x x -<< B ．{}|12x x -<< C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（） A ．()3,4- B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．()()6221x x -+的展开式中4x 的系数为（） A ．-160B ．320C ．480D ．6404．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆1C ：()2254x y ++=和圆2C ：()2225x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（） A ．BCD ．6()f x 的最小正周期大于，则ω的取值范围为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2 C ．()1,2 D ．[)1,27．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（） ABCD 8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）ABC ．19D11．已知()cos23,cos67AB =︒︒，()2cos68,2cos22BC =︒︒，则ABC △的面积为（） A ．2BC ．1D．212．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，对任意实数均有()()()10x f x xf x '-+>成立，且()1e y f x =+-是奇函数，则不等式()e 0x xf x ->的解集是（） A ．(),e -∞B ．()e,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

普通高等学校2018届高三招生全国统一考试模拟(二)数学(理)试题 Word版含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(二)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

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3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

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4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

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5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数()12ai a R i +∈-为纯虚数，则a 的值为 A ．2- B ．12- C ．2 D ．122．已知集合{}{}()22log 3,450,R A x x B x x x A C B =<=-->⋂=则 A ．[－1，8)B.(]05， C ．[－1，5) D ．(0，8)3．已知n S 是各项均为正数的等比数列{}n a 前n 项和，7153564,20a a a a S =+==，则A ．31B ．63C ．16D ．1274．设向量)()(,,3,1,//a b x c b c a b b ==-=-，若，则与的夹角为 A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆．若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，测得Γ的离心率为2，则椭圆Γ的方程为 A ．221164x y += B ．2214x y +=C ．2216416x y += D ．22154x y += 6．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量()q x (单位：百件)关于每件衣服的利润x (单位：元)的函数解析式为()1260,020,190180,x x q x x ⎧<≤⎪+=⎨⎪-<≤⎩则当该服装厂所获效益最大时A ．20B ．60C ．80D ．407.已知,x y 满足不等式组240,20,130,x y x y z x y y +-≥⎧⎪--≤=+-⎨⎪-≤⎩则的最小值为A.2B.C. D.1 8．已知函数()2110sin 10sin ,,22f x x x x m π⎡⎤=---∈-⎢⎥⎣⎦的值域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取A ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 9．已知()2112n x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为42-，则n = A.10 B.8 C.12 D.1110.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A ．30π+B ．803π+ C. 923π+ D ．763π+ 11．已知双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线Γ右支上一点，且212PF F F ⊥，过点P 作1F P 的垂线交x 轴于点A ，且22PM MF = ，若PA的中点E 在1F M 的延长线上，则双曲线Γ的离心率是A ．3B ．2+C ．1D ．4+12．已知函数()()()222f x x x x mx n =+++，且对任意实数x ，均有()()33f x f x -+=--，若方程()f x a =有且只有4个实根，则实数a 的取值范围为A ．()16,9-B ．(]16,9-C ．(]16,0-D ．(]16,5--第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年高考数学理科(课标版)仿真模拟卷(二)含答案

2018高考仿真卷·理科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合M={x|x2-x≤0},N={x|-1<x<1},则M∩N=()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤0}C.{x|0≤x<1}D.{x|0≤x≤1}2.设复数z满足(1+i)z=i,则z的共轭复数z=()A.12+12i B.12−12i C.-12+12i D.-12−12i3.已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|=()A.√2B.2C.√10D.104.已知等差数列{a n}的公差为2,且a4是a2与a8的等比中项,则a n=()A.-2nB.2nC.2n-1D.2n+15.下图是1951~2016年中国年平均气温变化图.根据上图,下列结论正确的是()A.1951年以来,我国年平均气温逐年增高B.1951年以来,我国年平均气温在2016年再创新高C.2000年以来,我国年平均气温都高于1981~2010年的平均值D.2000年以来,我国年平均气温的平均值高于1981~2010年的平均值6.古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳,获得可供食用的大米,用于舂米的“石臼”由一块正方体石料凿去一部分做成(凿去的部分看成一个简单组合体).一个“石臼”的三视图如图所示,则凿去部分的体积为()A.63πB.72πC.79πD.99π7.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限交于点P.若∠PF1F2=30°,则C的离心率为()A.√3+1B.√3C.√3+12D.√3-18.定义[x]表示不超过x的最大整数,例如[2]=2,[3.6]=3.右面的程序框图取材于中国古代数学著作《孙子算经》.执行该程序框图,则输出a=()A.9B.16C.23D.309.已知函数f(x)=sin ωx的图象关于点(2π3,0)对称,且f(x)在[0,π4]上为增函数,则ω=()A.32B.3 C.92D.610.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点且倾斜角为锐角的直线l与C交于A,B两点,过线段AB的中点N且垂直于l 的直线与C的准线交于点M,若|MN|=|AB|,则l的倾斜角为()A.15°B.30°C.45°D.60°11.若函数f(x)=2x+1-x2-2x-2,对于任意x∈Z且x∈(-∞,a),f(x)≤0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.(-∞,0]C.(-∞,3]D.(-∞,4]12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=4,AA1=2.过点A1作平面α与AB,AD分别交于M,N两点,若AA1与平面α所成角为45°,则截面A1MN面积的最小值是()A.2√3B.4√2C.4√6D.8√2二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若变量x,y满足{x+y≥3,x-2y≥0,y≥0,则z=3x+y的最小值为.14.已知(1+ax)(1+x)3的展开式中x3的系数为7,则a=.15.已知函数f(x)={log2(x-1),x>1,x3-3x+1,x≤1,则函数f(x)的零点个数为.16.将数列{a n}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵:a1,a2,a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10……记数阵中的第1列数a1,a2,a4,…,构成的数列为{b n},S n为数列{b n}的前n项和.若S n=2b n-1,则a56=.三、解答题(共70分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答)(一)必考题:共60分17.(12分)已知△ABC的面积为3√3,AC=2√3,BC=6,延长BC至D,使∠ADC=45°.(1)求AB的长;(2)求△ACD的面积.18.(12分)某商家为了解“双十一”这一天网购者在其网店一次性购物的情况,从这一天交易成功的所有订单中随机抽取了100份,按购物金额(单位:元)进行统计,得到的频率分布直方图如图所示.(1)该商家决定对这100份订单中购物金额不低于1 000元的订单按区间[1 000,1 200),[1 200,1 400]采用分层抽样的方法抽取6份,对买家进行售后回访,再从这6位买家中随机抽取3位赠送小礼品.求获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1 200,1 400]的概率.(2)若该商家制定了两种不同的促销方案:方案一:全场商品打八折;方案二:全场购物每满200元减40元,每满600元减150元,每满1 000元减300元,以上减免只享受最高优惠.例如:购物金额为500元时,可享受最高优惠80元;购物金额为900元时,只享受最高优惠190元.利用直方图中的数据,计算说明哪种方案的优惠力度更大.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AB=2CD.平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,点E在PC上,DE⊥平面PAC.(1)证明:PA⊥平面PCD;(2)设AD=2,若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45°,求DE的长.20.(12分)已知直线l1:ax-y+1=0,直线l2:x+5ay+5a=0.(1)直线l1与l2的交点为M,当a变化时,求点M的轨迹C的方程;(2)已知点D(2,0),过点E(-2,0)的直线l与C交于A,B两点,求△ABD面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)=e x-ln(2x+a)-b.(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+1=0,求a,b的值;(2)当0<a<2时,存在实数x0,使f(x0)<0,求实数b的最小整数值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4—4:坐标系与参数方程(10分)在直角坐标系xOy中,已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l与曲线C分别交于P,Q两点.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l的斜率k.23.选修4—5:不等式选讲(10分)设函数f(x)=|x-a|+|x+2|(a≠0,a∈R).a(1)当a=1时,解不等式f(x)≤5;(2)记f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.2018高考仿真卷·理科数学(二)1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.C9.A 10.B 11.D 12.B 13.7 14.2 15.3 16.1 02417.解 (1)由S △ABC =3√3,得S △ABC =12×6×2√3·sin ∠ACB=3√3,所以sin ∠ACB=12,∠ACB=30°或150°.又∠ADC=45°,所以∠ACB=150°.由余弦定理得AB 2=12+36-2×2√3×6cos 150°=84, 所以AB=√84=2√21.(2)在△ACD 中,因为∠ACB=150°,∠ADC=45°,所以∠CAD=105°. 由正弦定理得CD sin ∠CAD=AC sin ∠ADC,所以CD=3+√3.所以S △ACD =12AC ·CD ·sin ∠ACD=12×(3+√3)×2√3×12=32(√3+1).18.解 (1)在这100份订单中,购物金额位于区间[1 000,1 200)的有10份,位于区间[1 200,1 400]的有5份,则购物金额位于区间[1 000,1 400]的订单共有15份,利用分层抽样抽取6份,则位于区间[1 000,1 200)的有4份,位于区间[1 200,1 400]的有2份,设事件A 表示“获赠小礼品的3位买家中,至少1位买家购物金额位于区间[1 200,1 400]”,则P (A )=1-C 43C 63=45.(2)由直方图知,各组的频率依次为0.1,0.2,0.25,0.3,0.1,0.05,方案一:商家最高优惠的平均值为(300×0.1+500×0.2+700×0.25+900×0.3+1 100×0.1+1 300×0.05)×0.2=150(元);方案二:商家最高优惠的平均值为40×0.1+80×0.2+150×0.25+190×0.3+300×0.1+340×0.05=161.5(元),由于150<161.5,所以方案二的优惠力度更大. 19.解 (1)由DE ⊥平面PAC ,得DE ⊥PA ,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD ∩平面ABCD=AD ,CD ⊥AD , 所以CD ⊥平面PAD ,所以CD ⊥PA. 又因为CD ∩DE=D ,所以PA ⊥平面PCD.(2)取AD 的中点为O ,连接PO , 因为PA=PD ,所以PO ⊥AD , 则PO ⊥平面ABCD ,以O 为原点建立空间直角坐标系O-xyz ,如图, 由AD=2得PA=PD=√2,OP=1,设CD=a ,则P (0,0,1),D (0,1,0),C (a ,1,0),B (2a ,-1,0), 则BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-a ,2,0),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,1,-1), 设m =(x ,y ,z )为平面PBC 的一个法向量, 由{m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{-ax +2y =0,ax +y -z =0,取m =(2,a ,3a ),由(1)知n =DC⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,0,0)为平面PAD 的一个法向量, 由|cos <m ,n >|=|m ·n|m||n||=|a√10a 2+4|=√22, 解得a=√105,即CD=√105, 所以在Rt △PCD 中,PC=2√155, 由等面积法可得,DE=CD ·PD PC=√33. 20.解 (1)设M (x ,y ),由{ax -y +1=0,x +5ay +5a =0消去a 得曲线C 的方程为x 25+y 2=1.(y ≠-1,即点(0,-1)不在曲线C 上,此对考生不作要求)(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l :x=my-2, 由{x =my -2,x 25+y 2=1,得(m 2+5)y 2-4my-1=0,则y 1+y 2=4mm 2+5,y 1y 2=-1m 2+5,△ABD 的面积S=2|y 2-y 1|=2√(y 2+y 1)2-4y 2y 1=2√16m 2(m 2+5)2+4m 2+5=4√5·√m 2+1m 2+5,设t=√m 2+1,t ∈[1,+∞),则S=4√5t t 2+4=4√5t+4t ≤√5,当t=2,即m=±√3时,△ABD 面积取得最大值√5.21.解 (1)f (x )的定义域为(-a 2,+∞), 因为点(0,f (0))在切线x+y+1=0上,所以f (0)=-1,所以1-ln a-b=-1.又因为f'(x )=e x -22x+a ,所以f'(0)=1-2a =-1,所以a=1,b=2.(2)∀a ∈(0,2),∃x 0∈R ,使f (x 0)<0,即e x -ln(2x+a )-b<0,即b>e x -ln(2x+a ).而对x>0,0<a<2,e x -ln(2x )>e x -ln(2x+a ),只需∃x 0∈R +,使b ≥e x -ln x-ln 2成立.令g (x )=e x -ln x-ln 2,所以g'(x )=e x -1x ,而g'(x )在(0,+∞)上单调递增,g'(12)=√e -2<0,g'(1)=e -1>0, 则存在唯一的m ∈(12,1),使g'(m )=0,即e m -1m =0. 所以g (x )在(0,m )上单调递减,在(m ,+∞)上单调递增, 所以g (x )min =g (m )=e m -ln m-ln 2=1m -ln e -m -ln 2=m+1m -ln 2.所以b ≥m+1m -ln 2. 而m ∈(12,1),则1<2-ln 2<m+1m -ln 2<52-ln 2<2, 所以b 的最小整数值为2.22.解 (1)直线l 的参数方程为{x =2+tcosα,y =1+tsinα,(t 为参数). 曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y.(2)将直线l 的参数表达式代入曲线C 得t 2+(4cos α)t+3=0,由Δ=(4cos α)2-4×3>0⇒cos 2α>34,t 1+t 2=-4cos α,t 1·t 2=3, 又|AP|=|t 1|,|AQ|=|t 2|,|PQ|=|t 1-t 2|,由题意知,(t 1-t 2)2=t 1·t 2⇒(t 1+t 2)2=5t 1·t 2,得(-4cos α)2=5×3, 解得cos 2α=1516,满足cos 2α>34, 所以sin 2α=116,tan 2α=115,所以k=tan α=±√1515.23.解 (1)当a=1时,f (x )=|x-1|+|x+2|,故f (x )={2x +1,x >1,3,−2≤x ≤1,-2x -1,x <−2, ①当x>1时,由2x+1≤5得x ≤2,故1<x ≤2;②当-2≤x ≤1时,由3≤5得x ∈R ,故-2≤x ≤1;③当x<-2时,由-2x-1≤5得x ≥-3,故-3≤x<-2.综上,不等式的解集为[-3,2].(2)f (x )=|x-a|+|x +2a |≥|(x -a)-(x +2a )|=|a +2a |,当且仅当(x-a )(x +2a )≤0,即-2a ≤x ≤a (a>0)或a ≤x ≤-2a (a<0),取“=”,此步对考生不作要求所以,g (a )=|a +2a |, 因为|a +2a |=|a|+|2a |≥2√|a|·|2a |=2√2, 当且仅当|a|=|2a |,即a=±√2时,取“=”,所以,g (a )min =g (±√2)=2√2.。

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷ⅡⅢ)理科数学

2018年高考仿真模拟试题(新课标全国卷Ⅱ/Ⅲ)理科数学(一)本试卷分必考和选考两部分．必考部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设全集U =R ，A ={x |2x −2x >0}，B ={x |y}，则A ∪U B ð=A ．(2，+∞)B ．(−∞，0)∪(2，+∞)C ．(−∞，1)∪(2，+∞)D ．(−∞，0) 2．若(1+i)z =2，则|z |=A ．2 BCD ．13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(4)f x +=()f x ，当x ∈[−2，0]时，()f x =−2x，则(1)f +(4)f 等于 A ．32 B ．−32C ．−1D ．1 4．执行如图所示的程序框图，则输出y 的值是A ．6B ．8C ．10D ．125．已知点x ，y 满足约束条件2024020x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤错误！未找到引用源。

，则z =3x +y 的最大值与最小值之差为A ．5B ．6C ．7D ．86．已知命题p ：存在n ∈R ，使得()f x =22nnnx +是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增；命题q ：“∃x ∈R ，2x +2>3x ”的否定是“∀x ∈R ，2x +2<3x ”．则下列命题为真命题的是 A ．p ∧q B ．¬p ∧q C ．p ∧¬q D ．¬p ∧¬q7．早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 8．如图，已知P ，Q 是函数()f x =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0，|φ|<2π)的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且RP RQ ⋅=3，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线x =1对称，则函数()g x 的解析式是A ．()g x =sin(错误！未找到引用源。

2018年理科数学模拟试卷全国新课标2全仿真模拟

2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标II 理科数学仿真模拟试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷第Ⅰ卷 (选择题共60分)本卷为客观选择题，请按照指定要求将答案填涂到答题卡上。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1.（理）已知集合{34}M x x =-<，集合2{0,}1x N xx Z x +=≤∈-，那么M N = （） A.{11}x x -<≤ B.{1,0}- C ．{0} D ．{0,1}2.已知→a ＝(cos40︒，sin40︒)，→b ＝(cos80︒，sin80︒)，则→a ·→b = （） A. 1 B.32 C ．12 D ．223.（理）复数2lg(3)(441)()xxz x i x R -=+-+-∈，z 是z 的共轭复数，复数z 在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4.已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则( )A ．()f x 在1x =处取得极小值B ．()f x 在1x =处取得极大值C ．()f x 是R 上的增函数D ．()f x 是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 5.下列结论错误．．的个数是（）①命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题；②命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真； ③ “若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题；④若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．A. 0B. 1 C ．2 D ．3 6.（理）由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（）A.329B.2ln 3- C ．4ln 3+ D ．4ln 3- 7.（理）同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是( ) A ．20B ．25C ．30D ．408.（理）函数f (x )＝lgsin(π4－2x )的一个增区间为( )A ．(3π8，7π8)B ．(7π8，9π8)C ．(5π8，7π8)D ．(－7π8，－3π8)9.（理）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的体积是（） A ．163πB ．8πC ．16πD ．323π 10. 已知双曲线的两个焦点分别为1F (－5，0)，2F (5，0)，P 是双曲线上的一点，1212PF PF PF PF 2⊥⋅且＝，则双曲线方程是( )A.22123x y -= B. 2214x y -= C.22132x y -= D ．2214y x -= 11.在如图所示的程序框图中，当()*N 1n n ∈>时，函数()n f x 表示函数()n 1f x －的导函数，若输入函数()1f x sinx cosx ＝＋，则输出的函数()n f x 可化为( )A.2sin(x ＋π4)B ．－2sin(x －π2)C.x －π4)D ．2sin(x ＋π4)12. 已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.(－∞，1)B.(0,1)C.(－∞，1]D.[0，＋∞)第Ⅱ卷 (非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13. 如图所示两个立体图形都是由相同的小正方体拼成的．图(1)的正(主)视图与图(2)的________视图相同． 14.（理）若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是.15.已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是.16. （理）在中，分别是的对边长，已知.且有,则实数=．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．a x x f +=)(a ABC ∆cb a ,,C B A ∠∠∠,,A A cos 3sin 2=mbc b c a -=-222m >2014nA CPDOEF B17. (本小题满分12分)（理）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n n S n ∈N 均在函数()y f x =的图像上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数.m18. (本小题满分12分)（理）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=a ， PA ⊥平面ABCD ，且PA=1．（Ⅰ）在BC 边上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ，说明理由；（Ⅱ）若BC 边上有且仅有一个点Q ，使PQ ⊥QD ，求AD 与平面PDQ 所成角的正弦大小；19. (本小题满分12分)（理）某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。

2018年高考数学二模试卷(理科)带答案精讲

2018年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．103．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.24．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．17．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．83208．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若集合，则m的取范围值为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．﹣1或2 D．2或【分析】根据集合，解得A={2}，在根据B=（1，m），A⊆B，即2必须要在（1，m）中，得到m≥2即可求解【解答】解：∵解得：x=2，x=﹣1（舍）∴A={2}∵B=（1，m），A⊆B∴m＞2故选A【点评】本题以集合为依托，考查了解物理方程以及集合关系中的参数取值问题，属于基础题．2．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．3．（5分）在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（）A．80 B．0.8 C．20 D．0.2【分析】由已知中在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，我们出该组的频率，进而根据样本容量为100，求出这一组的频数．【解答】解：∵样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，又∵中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，则该长方形对应的频率为0.2又∵样本容量为100，∴该组的频数为100×0.2=20故选C【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，其中根据各组中频率之比等于面积之比，求出该组数据的频率是解答本题的关键．4．（5分）若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（）A．（1，）B．（） C．D．（1，2）【分析】由已知条件C的度数，AB及BC的值，根据正弦定理用a表示出sinA，由C的度数及正弦函数的图象可知满足题意△ABC有两个A的范围，然后根据A 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出sinA的范围，进而求出a的取值范围．【解答】解：由正弦定理得：=，即=，变形得：sinA=，由题意得：当A∈（60°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以＜＜1，解得：＜a＜2，则a的取值范围是（，2）．故选C【点评】此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值．要求学生掌握正弦函数的图象与性质，牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件．5．（5分）复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（）A．B．C．D．【分析】利用复数的几何意义：复数与复平面内的点一一对应，写出A，B的坐标；利用正切坐标公式求出角∠XOA，∠XOB，写最后利用和角公式求出∠AOB．【解答】解：∵点A、B对应的复数分别是2+i与复数，则=∴A（2，1），B（，﹣），∴tan∠XOA=，tan∠XOB=，∴tan∠AOB=tan（∠XOA+∠XOB）==1，则∠AOB等于故选B．【点评】本题考查复数的几何意义，复数与复平面内的点一一对应．解答的关键是利用正切的和角公式．6．（5分）已知x，y满足约束条件的最小值是（）A．B．C．D．1【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的线段的长度问题，注意最后要平方．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，z=x2+y2，表示可行域内点到原点距离OP的平方，点P到直线3x+4y﹣4=0的距离是点P到区域内的最小值，d=，∴z=x2+y2的最小值为故选B．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．7．（5分）2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320【分析】由题意知凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，每一位有8种选法，根据分步计数原理得到结果，用总数减去不合题意的即可．【解答】解：∵凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，∴凡卡号的后四位不带数字“6”或“8”的一律不能作为“金兔卡”，后四位没有6和8，∴后四位中的每一个组成数字只能从另外8个中选，根据分步计数原理知共有8×8×8×8=4096，∴符合条件的有10000﹣4096=5904，故选C．【点评】本题考查分步计数原理的应用，考查带有约束条件的数字问题，这种题目若是从正面来做包括的情况比较多，可以选择从反面来解决．8．（5分）有三个命题①函数f（x）=lnx+x﹣2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x﹣1）2（x≥﹣1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（）A．①③B．②C．③D．②③【分析】对于①，考查f（x）的单调性即可；对于②，欲求原函数y=﹣1（x ≥0）的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．对于③，考查函数f（x）的奇偶性即可．【解答】解：对于①，考察f（x）的单调性，lnx和x﹣2在（0，+∞）上是增函数，故f（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，图象与x轴最多有1个交点，故错．对于②，∵y=﹣1（x≥0），∴x=（y+1）2（y≥﹣1），∴x，y互换，得y=（x+1）2（x≥﹣1）．故错．对于③，考察函数f（x）的奇偶性，化简得y=是偶函数，图象关于y轴对称，故对．故选C．【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．9．（5分）若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（）A．点B．线段C．圆弧D．抛物线的一部分【分析】本题是个选择题，利用排除法解决．首先由△OAB的重心，排除C；再利用△OAB的内心，排除B；最后利用△OAB的垂心，排除A；即可得出正确选项．【解答】解：设重心为G，AB中点为C，连接OC．则OG=OC （这是一个重心的基本结论）．而OC=AB=定值，所以G轨迹圆弧．排除C；内心一定是平分90度的那条角平分线上，轨迹是线段．排除B；外心是三角形外接圆圆心，对于这个直角三角形，AB中点C就是三角形外接圆圆心，OC是定值，所以轨迹圆弧，排除C；垂心是原点O，定点，排除A故选D．【点评】本题考查三角形的重心、内心、外心、垂心、以及轨迹的求法．解选择题时可利用排除法．10．（5分）已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（）A． B． C． D．（1，2）【分析】由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；当P和G重合时，λ+μ最小，此时，=，λ=μ=，λ+μ=．【解答】解：∵点P是△GBC内一点，则λ+μ＜1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1，当P和G重合时，λ+μ最小，此时，==×（）=，∴λ=μ=，λ+μ=．故＜λ+μ＜1，故选：B．【点评】本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）二项式（﹣2x2）9展开式中，除常数项外，各项系数的和为671．【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项令x的指数为0得到常数项；令二项式中x为1求出各项系数和，从而解决问题．【解答】解：二项式展开式的通项令3r﹣9=0得r=3故展开式的常数项为﹣C93×23=﹣672．令二项式中的x=1得到系数之和为：（1﹣2）9=﹣1除常数项外，各项系数的和为：671．故答案为671．【点评】本题涉及的考点：（1）二项式定理及通项公式；（2）二项式系数与系数，解答时注意二项式系数与系数的区别．12．（5分）边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为．【分析】由已知中，边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，我们易求出△ABC的外接圆半径及球的半径，进而求出球心距，由于球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，代入即可得到答案．【解答】解：边长是的正三角形ABC的外接圆半径r=．球O的半径R=．∴球心O到平面ABC的距离d==．∴球面上的点到平面ABC的最大距离为R+d=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是点、面之间的距离，其中根据球的几何特征分析出球面上的点到平面ABC的最大距离为球半径加球心距，是解答本题的关键．13．（5分）函数，在区间（﹣π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为．【分析】求出函数的单调增区间，通过子集关系，确定实数φ的取值范围．【解答】解：函数，由2kπ﹣πφ≤2kπ，可得6kπ﹣3π﹣3φ≤x≤6kπ﹣3φ，由题意在区间（﹣π，π）上单调递增，所以6kπ﹣3π﹣3φ≤﹣π 且π≤6kπ﹣3φ，因为0＜φ＜2π，所以k=1，实数φ的取值范围为；故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的单调性的应用，子集关系的理解，考查计算能力．14．（5分）已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是．【分析】设出A、B两点的坐标，A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得m+2n=3c ①，再根据椭圆的第二定义，=2=，可得2n﹣m=②，由①②解得m 和n的值，再代入椭圆的第二定义，e===，解方程求得e的值．【解答】解：右焦点F（c，0），直线的方程为y﹣0=x﹣c．设A（m，m﹣c），B（n，n﹣c），由得（c﹣m，c﹣m）=2 （n﹣c，n﹣c），∴c﹣m=2（n﹣c），m+2n=3c ①．再根据椭圆的第二定义，=2=，∴2n﹣m=②，由①②解得m=，n=．据椭圆的第二定义，e=====，∴3e3﹣3e﹣e2+=0，（e2﹣1）•（3e﹣）=0．∵0＜e＜1，∴e=，故椭圆的离心率是，故答案为．【点评】本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用．15．（5分）在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设．①若∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，则实数m的取值范围为（，+∞）；②若∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为不存在．【分析】①先对函数配方，求出其对称轴，判断出其在给定区间上的单调性进而求出函数值的范围，即可求出实数m的取值范围；②先利用单调性分别求出两个函数的值域，再比较即可求出实数a的取值范围．【解答】解：因为f（x）==，（2，+∞），f（x）＞f（2）=；g（x）=a x，（a＞1，x＞2）．g（x）＞g（2）=a2．①∵∃x0∈（2，+∞），使f（x0）=m成立，∴m；②∵∀x1∈（2，+∞），∃x2∈（2，+∞）使得f（x1）=g（x2），∴⇒a不存在．故答案为：（，+∞）：不存在．【点评】本题主要考查函数恒成立问题以及借助于单调性研究函数的值域，是对基础知识的综合考查，属于中档题目．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx﹣sinx，2cosx）．（I）求证：向量与向量不可能平行；（II）若•=1，且x∈[﹣π，0]，求x的值．【分析】（I）先假设两个向量平行，利用平行向量的坐标表示，列出方程并用倍角和两角和正弦公式进行化简，求出一个角的正弦值，根据正弦值的范围推出矛盾，即证出假设不成立；（II）利用向量数量积的坐标表示列出式子，并用倍角和两角和正弦公式进行化简，由条件和已知角的范围进行求值．【解答】解：（I）假设∥，则2cosx（cosx+sinx）﹣sinx（cosx﹣sinx）=0，1+cosxsinx+cos2x=0，即1+sin2x+=0，∴sin（2x+）=﹣3，解得sin（2x+）=﹣＜﹣1，故不存在这种角满足条件，故假设不成立，即与不可能平行．（II）由题意得，•=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2cosxsinx=cos2x+sin2x=sin （2x+）=1，∵x∈[﹣π，0]，∴﹣2π≤2x≤0，即≤，∴=﹣或，解得x=或0，故x的值为：或0．【点评】本题考查了向量共线和数量积的坐标运算，主要利用了三角恒等变换的公式进行化简，对于存在性的题目一般是先假设成立，根据题意列出式子，再通过运算后推出矛盾，是向量和三角函数相结合的题目．17．（12分）已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．【分析】（I）根据分层抽样的定义知：在自己班上的学生中抽取5人中有3男2女，“至少选取1个男生”的对立面是“全为女生”则所求的概率为：1﹣“全为女生”的概率（II）P（ξ=1）表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数为男生1人和女生1人ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数可表示为：用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5）根据Eξ=Eξ1+Eξ2即可运算【解答】解：（I）男生被抽取人数为3人，女生被抽取人数为2人选取的两名学生都是女生的概率P=∴所求的概率为：1﹣P=（II）P（ξ=1）=C31×0.6×0.42×0.52+C21×0.43×0.52=0.104用ξ1表示3个男生中考前心理状态好的人数，ξ2表示2个女生考前心理状态好的人数，则ξ1～B（3，0.6），ξ2～B（2，0.5），∴Eξ1=3×0.6=1.8，Eξ2=2×0.5=1，∴Eξ=Eξ1+Eξ2=2.8【点评】本题考查了等可能事件的概率，离散型随机变量的期望，特别是二项分布的期望与方差也是高考中常考的内容之一．18．（12分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=a，E为棱A1D1中点．（I）求二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）求直线A1C1到平面EAC的距离．【分析】（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC与F，连接EF，我们可得∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，解三角形EFH后，即可求出二面角E﹣AC﹣B的正切值；（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离，利用等体积法，我们根据=，即可求出直线A 1C1到平面EAC的距离．【解答】解：（I）取AD的中点H，连接EH，则EH⊥平面ABCD，过H作HF⊥AC 与F，连接EF，则EF在平面ABCD内的射影为HF，由三垂线定理得EF⊥AC，，∴∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角∵EH=a，HF=BD=∴∠tan∠EFH===2∴二面角E﹣AC﹣B的正切值为﹣2…6分（II）直线A1C1到平面EAC的距离，即A1点到平面EAC的距离d，…8分∵=•d=∴S△EAC∵EF====•AC•EF=•a•=∴S△EAC而=••a=∴•d=•a∴d=∴直线A1C1到平面EAC的距离【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离，其中（I）的关键是得到∠EFH即为二面角E﹣AC﹣B的补角，（II）中求点到面的距离时，等体积法是最常用的方法．19．（12分）已知{a n}是正数组成的数列，其前n项和2S n=a n2+a n（n∈N*），数列{b n}满足，．（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（II）若c n=a n b n（n∈N*），数列{c n}的前n项和．【分析】（I）由题设知a1=1，a n=S n﹣S n﹣1=，a n2﹣a n﹣12﹣a n﹣a n﹣1=0，故（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，由此能导出a n=n．于是b n+1=b n+3n，b n+1﹣b n=3n，由此能求出b n．（II），，由错位相减法能求出，由此能得到==．【解答】解：（I），∴a1=1，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=，∴a n2﹣a n﹣12﹣an﹣a n﹣1=0，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=n．于是b n+1=b n+3n，∴b n+1﹣b n=3n，b n=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（b n﹣b n﹣1）=．（II），∴，，∴==，，∴==．【点评】第（I）题考查数列通项公式的求法，解题时要注意迭代法的合理运用；第（II）题考查前n项和的计算和极限在数列中的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列性质的合理运用．20．（13分）若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=﹣1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；（Ⅲ）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l 上，求证：t与均为定值．【分析】（I）由点C到定点M的距离等于到定直线l的距离与抛物线的定义可得点C的轨迹为抛物线所以曲线E的方程为x2=4y．（II）由题得直线AB的方程是x﹣2y+12=0联立抛物线的方程解得A（6，9）和B（﹣4，4），进而直线NA的方程为，由A，B两点的坐标得到线段AB中垂线方程为，可求N点的坐标，进而求出圆N的方程．（III）设A，B两点的坐标，由题意得过点A的切线方程为又Q（a，﹣1），可得x12﹣2ax1﹣4=0同理得x22﹣2ax2﹣4=0所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．所以直线AB的方程为所以t=﹣1．根据向量的运算得=0．【解答】【解】（Ⅰ）依题意，点C到定点M的距离等于到定直线l的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为x2=4y．（Ⅱ）直线AB的方程是，即x﹣2y+12=0．由及知，得A（6，9）和B（﹣4，4）由x2=4y得，．所以抛物线x2=4y在点A处切线的斜率为y'|x=6=3．直线NA的方程为，即．①线段AB的中点坐标为，线段AB中垂线方程为，即．②由①、②解得．于是，圆C的方程为，即．（Ⅲ）设，，Q（a，1）．过点A的切线方程为，即x12﹣2ax1﹣4=0．同理可得x22﹣2ax2﹣4=0，所以x1+x2=2a，x1x2=﹣4．又=，所以直线AB的方程为，即，亦即，所以t=1．而，，所以==．【点评】本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点．21．（14分）已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（I）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；（III）当时，设正项数列{a n}满足：a n=f'（a n）（n∈N*），若数列{a2n}是递+1减数列，求a1的取值范围．【分析】（I）求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数，所以f（1）为最小值，f（e）为最大值，求出即可；（II）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，．对于x∈（0，1），有f'（x）＞0，∴f（x）在区间（0，1]上为增函数，对于x∈（1，+∞），有f'（x）＜0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为减函数，．∴f max（x）=f（1）=﹣1；（II）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行；（III）f（x）=，f′（x）=，∴a n+1=+，a3=，a4==＜a2⇒2a22﹣3a2﹣2＞0，⇒（2a2+1）（a2﹣1）＞0⇒a2＞2⇒⇒0＜a1＜2，下面我们证明：当0＜a1＜2时，a2n+2＜a2n，且a2n＞2（n∈N+）事实上，当n=1时，0＜a1＜2⇒a2=，a4﹣a2=⇒a4＜a2，结论成立．若当n=k时结论成立，即a2k+2＜a2k，且a2k＞2，则a2k+2=⇒a2k+4=，a2k+4﹣a2k+2=⇒a2k+4＜a2k+2，由上述证明可知，a1的取值范围是（0，2）．【点评】本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，以及利用数学归纳法证明数列不等式，考查运算能力和分析解决问题能力，属难题．。

黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学(理科)试题(解析版)

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：因,故,应选B.考点：集合的交集运算.2. 复数，，是虚数单位.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】z=（a+i）（1﹣i）=a+1+（1﹣a）i，∴|z|=2=，化为a2=1．解得a=±1．故选：D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用与销售利润的统计数据如下表：广告费用（万元）销售利润（万元）由表中数据，得线性回归方程：，，则下列结论错误的是（）A. B. C. 直线过点 D. 直线过点【答案】D【解析】【分析】求出回归直线方程，根据回归方程进行判断．【详解】=，．∴直线l经过点（4，8）．=（﹣2）×（﹣3）+（﹣1）×（﹣1）+1×1+2×3=14．=（﹣2）2+（﹣1）2+12+22=10．∴=，=8﹣1.4×4=2.4．∴回归方程为y=1.4x+2.4．当x=2时，y=1.4×2+2.4=5.2．∴直线l过点（2，5.2）故选：D．【点睛】本题主要考查线性回归方程，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.4. 已知数列为等差数列，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵a2+a3=1，a10+a11=9，∴2a1+3d=1，2a1+19d=9，解得a1=﹣，d=．∴a5+a6=2a1+9d=﹣2×+9×=4．故选：A．【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5. 已知函数则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分段函数的表达式从内向外依次代入求值即可．【详解】f（）=log5=﹣2，=f（﹣2）=，故选：B．【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三视图判断几何体为三棱柱，求其面积即可．【详解】三棱柱的表面积为5个面的面积之和，又因为底面是正三角形，边长为2，棱柱的高为：3．所以S=2×+3×2×3=18+2．故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.7. 已知直线与圆相交于，，且为等腰直角三角形，则实数的值为（）A. 或B.C. 或D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，可得圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°，再利用点到直线的距离公式求得a的值．【详解】由题意可得△ABC是等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1=0的距离等于r•sin45°=，再利用点到直线的距离公式可得=，∴a=±1，故选：C．【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值。

2018学年度高三第三次模拟考试理科数学试题及答案精品

x2
5．已知实数 x、y 满足约束条件 y 2 ，则 z 2 x 4y 的最大值为（
）．
xy6
A．24
B
．20
C
．16
D
． 12
6．已知向量 | a | 10,| b | 12 , 且 a b 60 ，则向量 a 与 b 的夹角为（
）
A． 600
B
． 1200
C
．1350
D
．150 0
7．下列命题错误的是（
17. （本小题满分 14 分）
18. （本小题满分 14 分） 1
P
E
D C
O
A
B
19. （本小题满分 14 分）
20. （本小题满分 14 分）
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试 ( 理科 ) 数学试题参考答案
一、选择题 : （本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．） 1．D本题主要考察互为共轭复数的概念及复数的乘法运算．
20．（本小题满分 14 分）设 { an} 是等差数列， {bn} 是各项都为正数的等比数列，且 a1 b1 1 ，a3 b5 21 ，
a5 b3 13
（Ⅰ）求 { an} ， { bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an bn
的前 n 项和 Sn ．
2018-2018 学年度高三第三次模拟考试
）
A．命题“若 m 0 ，则方程 x2 x m 0 有实根”的逆否命题为： “若方程
x2 x m 0 无实根，则 m 0 ”。
B．“ x 1 ”是“ x2 3x 2 0 ”的充分不必要条件。
C．命题“若 xy 0 ，则 x, y 中至少有一个为零”的否定是： “若 xy 0，则 x, y 都不为零”。 D．对于命题 p : x R ，使得 x2 x 1 0 ；则 p 是 : x R ，均有 x2 x 1≥ 0 。

2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学(理科)试题

2018年黑龙江省普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(二)数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2S =，{}243T x x x =<-，则ST =（）A ．{}1B ．{}2C ．1D ．22.（2017·桂林市模拟）复数()()1z a i i =+-，a R ∈，i 是虚数单位.若2z =，则a =（） A ．1 B ．1- C ．0 D ．1±3.（2017·福建质检）某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表：广告费用x （万元） 2 3 5 6 销售利润y （万元）57911由表中数据，得线性回归方程l ：y bx a =+，()()()121,ni i i n i i x x y y b a y bx x x ==⎛⎫-- ⎪ ⎪==- ⎪- ⎪⎝⎭∑∑，则下列结论错误的是（） A ．0b > B ．0a > C ．直线l 过点()4,8 D ．直线l 过点()2,5 4.已知数列{}n a 为等差数列，231a a +=，10119a a +=，则56a a +=（） A ．4 B ．5 C.6 D ．7 5.（2017·沈阳市质检）已知函数()5log ,0,2,0,xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则125f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．4B ．14 C.4- D ．14- 6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．93+B ．1823+ C.933+ D ．1832+7.（2017·兰州市实战考试）已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为（）A ．17或1- B ．1- C.1或1- D ．1 8.按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框应补充的条件为（）A ．7i >B ．7i ≥ C.9i > D ．9i ≥9.已知三棱锥P ABC -，在底面ABC △中，60A ∠=，90B ∠=，3BC =，PA ⊥平面ABC ，2PA =，则此三棱锥的外接球的体积为（）A ．823π B ．43π C.423πD ．8π 10.（2017·昆明市统测）过点()1,2A 的直线l 与x 轴的正半轴交于点B ，与直线22l y x '=:交于点C ，且点C 在第一象限，O 为坐标原点，设OB x =，若()f x OB OC =+，则函数()y f x =的图象大致为（）A ．B ． C. D ．11.（2017·广州市模拟）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A ．20x y ±=B ．20x y ±= C.430x y ±= D ．340x y ±=12.（2017·沈阳市一监）已知偶函数()()0f x x ≠的导函数为()f x '，且满足()10f =，当0x >时，()()2xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．()(),10,1-∞-B ．()(),11,-∞-+∞C.()()1,01,-+∞ D ．()()1,00,1-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（2017·贵阳市监测）已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，若()()//m n m n +-，则λ= ． 14.如果实数x ，y 满足条件20,20,10,x y x y --≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值为．15.（2017·德州市模拟）()()4211x x x ++-展开式中2x 的系数为．16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()12n n a S n N *+=∈，则n a = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos cos 2B A Ca b c-=-.（1）求ab的值；（2）)若角A 是钝角，且3c =，求b 的取值范围.18. 某人经营一个抽奖游戏，顾客花费2元钱可购买一次游戏机会，每次游戏中，顾客从装有1个黑球，3个红球，6个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出3个球(除颜色外其他都相同)，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金a 元，10元、5元、1元．若经营者将顾客摸出的3个球的颜色情况分成以下类别:A ：1个黑球，2个红球；B ：3个红球；C ：恰有1个白球；D ：恰有2个白球；E ：3个白球，且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次. （1）请写出一至四等奖分别对应的类别（写出字母即可）；（2）若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本，求a 的最大值；（3）若50a =，当顾客摸出的第一个球是红球时，求他领取的奖金的平均值.19. （2017·长春市二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20. （2017·海口市调研）设直线()():10l y k x k =+≠与椭圆()22240x y m m +=>相交于A ，B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，O 为坐标原点.（1）证明：222414k m k>+；（2）若3AC CB =，求OAB △的面积取得最大值时椭圆的方程. 21. （2017·广西质检）设函数()()21ln ,,02f x c x x bx b c R c =++∈≠，且1x =为()f x 的极值点. （1）若1x =为()f x 的极大值点，求()f x 的单调区间（用c 表示）；（2）若()0f x =恰有两解，求实数c 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 和直线l 在该直角坐标系下的普通方程；（2）动点A 在曲线C 上，动点B 在直线l 上，定点P 的坐标为()2,2-，求PB AB +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲设,,a b c R +∈且1a b c ++=.（1）求证：21222c ab bc ca +++≤；（2）求证：2222222a c b a c b b c a+++++≥. 试卷答案一、选择题1-5:BDDAB 6-10:BCBAB 11、12：CD二、填空题13.0 14.2- 15.3 16.21,1,23, 2.n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩三、解答题17.解析：（1）∵cos 2cos cos 2B A Ca b c-=-，∴()()cos 2cos cos 2c B A C a b -=-，在ABC △中，由正弦定理有，sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos C B C A A C B C -=-，即()()sin 2sin B C A C +=+， ∵A B C π++=， ∴sin 2sin A B =，∴2ab=. （2）由余弦定理2222299493cos 02366b a b b b A b b b+-+--===<⋅∴3b >，① ∵b c a +>， ∴32b b +>， ∴3b <，② 由①②得b 的范围是()3,3.18.解析：（1）()12133310103C C P A C C ⋅==， ()333310101C P B C C ==，()()1112613333101036C C C C P C C C +==， ()()21161333101060C C C P D C C +==， ()3633101020C P E C C ==，∵()()()()()P B P A P E P C P D <<<<. ∴中一至四等奖分别对应的类别是B ，A ，E ，C . （2）设顾客进行一次游戏经营者可盈利χ元，则χ()2a ---8 -3 1 2P3101C 3103C 31020C 31036C 31060C ∴()310122460361200a C -+--++≥，∴74a ≤，即a 的最大值为74元.（3）此时中一等奖的概率22122991C P C C ==；中二等奖的概率1121222992C C P C C ⋅==；中三等奖的概率30P =，中四等奖的概率()1126224229918C C C PC C +==， ∴()2915038225011020118==369C +⨯+⨯++⨯元，即此时顾客领取的奖金的平均值为229元. 19.解析：（1）证明：作//FM CD 交PC 于M . ∵点F 为PD 中点， ∴12FM CD =. ∵点E 为AB 中点， ∴12AE AB FM ==，又//AE FM ，∴四边形AEMF 为平行四边形， ∴//AF EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ， ∴直线//AF 平面PEC.（2）已知60DAB ∠=，∴DE DC ⊥，如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，()0,1,0C ，3,0,02E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，31,,022A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 所以，31,,122AP ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AB =.设平面PAB 的一个法向量为：(),,n x y z =，∵0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 则：310,220,x y z y ⎧-++=⎪⎨⎪=⎩解得：31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以平面PAB 的法向量为：31,0,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. ∵()0,1,1PC =-，∴设向量n 和PC 的夹角为θ， ∴42cos 14n PC n PCθ⋅==-，∴PC 与平面PAB 所成角的正弦值为4214.20.解析：（1）依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故()1y k x =+可化为11x y k=-. 将11x y k=-代入2224x y m +=，消去x ，得()()222214210k y ky k m +-+-=，①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，()()2222441140k k m k ∆=--+>，整理得222414k m k >+.（2）设()11,A x y ，()22,B x y .由①，得122214ky y k+=+，因为3AC CB =，得123y y =-，代入上式，得2214ky k -=+.于是，OAB △的面积12222211221442k k S OC y y y k k =⋅-==≤=+，其中，上式取等号的条件是241k =，即12k =±. 由2214k y k -=+，可得214y =±. 将12k =，214y =-及12k =-，214y =这两组值分别代入①，均可解出252m =.所以，OAB △的面积取得最大值时椭圆的方程是2228155x y +=. 21.解析：()2c x bx c f x x b x x++'=++=，又()10f '=，则10b c ++=，所以()()()1x x c f x x--'=且1c ≠.（1）因为1x =为()f x )的极大值点，所以1c >，当01x <<时，()0f x '>；当1x c <<时，()0f x '<；当x c >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为()0,1，(),c +∞；单调递减区间为()1,c . （2）①若0c <，则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()0f x =恰有两解，则()10f <，则102b +<，所以102c -<<；②若01c <<，则()()21ln 2f x f c c c c bc ==++极大值，()()112f x f b ==+极小值，因为1b c =--，则()()22ln 1ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极大值，()12f x c =--极小值，从而()0f x =只有一解；③若1c >，则()()22ln 1ln 022c c f x c c c c c c c =++--=--<极小值，()12f x c =--极大值，则()0f x =只有一解.综上，使()0f x =恰有两解的c 的取值范围为102c -<<. 22.解析：（1）由曲线C 的参数方程1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩可得，()22221cos sin 1x y αα-+=+=，所以曲线C 的普通方程为()2211x y -+=.由直线l 的极坐标方程sin 224πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得()sin cos 4ρθθ+=，即4x y +=. （2）设点P 关于直线l 的对称点为(),Q a b ，则()()224,22211,2a bb a -++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅-=---⎪⎩解得2,6,a b =⎧⎨=⎩由（1）知，曲线C 为圆，圆心坐标为()1,0C ，故1371PB AB QB AB QC +=+≥-=-.当Q ，B ，A ，C 四点共线，且A 在B ，C 之间时，等号成立，所以PB AB +的最小值为371-.23.证明：（1）因为()222221222422a b c a b c ab bc ca ab bc ca c =++=+++++≥+++，所以()22112422222c ab bc ca ab bc ca c +++=+++≤. （2）因为222a c ac b b +≥，222b a ab c c +≥，222c b bc a a+≥，所以222222a c b a c b ac ab ab bc ac bc b c a bc c a b a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222c b a c a b a b c a b c b c c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++≥++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。

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