第一类曲面积分 (2)
曲线积分与曲面积分的计算
第21章
曲线积分和曲面积分的计算
教学目的： 教学重点和难点：
§ 1第一类曲线积分的计算
设函数_/a ，y,z)在滑腻曲线/上有槪念且持续，/的方程为
z = z(t)
则“(3比)& = J:/［兀⑴，M)，乙(01F ⑴+严⑴+乙'"/)〃 »
特别地，若是曲线/为一条滑腻的平面曲线，它的方程为y = 0(x)，(a
例：设/是半圆周 x = a cost, y = asint, OS/S/r 。求 (x 2 + y 2 )ds »
例：设/是曲线b =4x±从点0(0,0)到点A(l,2)的一段，计算第一类曲线积分［yds . 例：计算积分［xv/5 ,英中/是球面，+),2+?2=“2被平而x+y + z = 0截得的圆周。
例：求/=J(x + y)c/s,此处/为连接三点O (0,0), A(l,0), B(l,l)的直线段。
§ 2第一类曲面积分的计算
一曲面的面积
(1) 设有一曲而块S,它的方程为z = /(x,y)。/(x,y)具有对x 和y 的持续偏导数，
即此曲而是滑腻的，且其在XY 平而上的投影为可求面积的。则该曲而块的面积为 S 叮阿 + 代 dxdy
。
x = x(u,v)
（2）若曲而的方程为< y = y(“，“)，令E = X； + K + Z：，F = x
x v + y u y v + gj ,
u
Z = Z(u.v)
G = Xy + y； + Zy 9
则该曲面块的面积为S = JJ J EG - F，di小。
V
例：求球而X2 + y2 + Z2= a2含在柱而X2 + y2 = or （a > 0）内部的而积。
曲线积分与曲面积分重点总结+例题
第十章曲线积分与曲面积分
【教学目标与要求】
1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
2.掌握计算两类曲线积分的方法.
3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.
4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。
【教学重点】
1。两类曲线积分的计算方法；
2。格林公式及其应用；
3。第一类曲面积分的计算方法；
【教学难点】
1。两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；
2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;
3。应用格林公式计算对坐标的曲线积分；
6.两类曲线积分的计算方法；
7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;
【参考书】
[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。
[2］同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.［3］同济大学数学系。《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社
§11.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
曲线形构件的质量:
设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x，y）处的线密度为μ(x，y)。求曲线形构件的质量.
把曲线分成n小段，∆s1，∆s2，⋅⋅⋅,∆s n(∆s i也表示弧长)；
任取(ξi,ηi)∈∆s i,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆s i;
整个物质曲线的质量近似为;
令λ=max｛∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆s n｝→0,则整个物质曲线的质量为
.
这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.2.2)--第二类曲线积分和第二类曲面积分
习题10.2
1. 把下列第二类曲线积分化为第一类曲线积分.
(1) 2d d C
x y x x y -⎰, 其中C 为曲线3y x =上从点(1,1)--到点(1,1)的弧段； (2) d d d L
P x Q y R z ++⎰
, 其中L 为曲线32===t z t y t x ,,上相应于参数t 从0变到1
的弧段.
2. 计算曲线积分
22()d d OA
x y x xy y -+⎰
，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,1)：
(1) OA 为直线段x y =； (2) OA 为抛物线段2=x y ； (3) OA 为0=y ,1=x 的折线段. 3. 计算下列第二类曲线积分：
(1)
d d ||||C x y
x y ++⎰，其中C 为1||y x =-上从点(1,0)经点(0,1)到点(1,0)-的折线段；
(2) d d C y x x y +⎰, 其中C 为⎩
⎨⎧==t a y t a x sin ,cos π:04t ⎛
⎫→ ⎪⎝⎭； (3) 222()d 2d d L
y z x yz y x z -+-⎰, 其中L 为⎪⎩
⎪⎨⎧===32
t z t y t x ,,(:01)t →.
(4) ()d ()d ()d L z y x x z y y x z -+-+-⎰, 其中L 为椭圆221,
2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩
且从z 轴正向
看去, L 取顺时针方向.
4. 计算下列变力F 在质点沿指定曲线移动过程中所作的功.
(1) ),(2xy y x -=F , 沿平面曲线34
微积分(二)_9 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分与第二类曲线积分_
第一类曲线积分的计算法
22(,)[(),()]()()d L
f x y d l f x t y t x t y t t
β
α
''=
+⎰
⎰二、第一类曲线积分的计算法
基本思路:计算定积分
转化
若L 为平面曲线，其参数方程为
则曲线的弧微分
求曲线积分
且有一阶连续偏导数,(),()x t y t dl =
22()()x t y t dt
''+由第一类曲线积分的定义，导出如下的计算公式
说明:上述定积分的积分下限必须
为保证的非负性,dl 如果方程为极坐标形式:()(),
L ρ
ρθαθβ=≤≤则
(,)d L
f x y l
⎰(()cos ,()sin )
f β
α
ρθθρθθ=⎰2
2
()()d ρθρθθ
'+22(,)[(),()]()()d L
f x y d l f x t y t x t y t t
β
α
''=
+⎰
⎰不小于积分上限.
如果曲线L 的方程为
则有
(,)d L
f x y l ⎰
2
1()d y x x
'+(,())
b a
f x y x =
⎰
若L 为空间曲线，其参数方程为
:(),(),()
L x x t y y t z z t ===此时，第一类曲线积分
(,,)d L
f x y z l
⎰22
2
()()()d x t y t z t t '''++
((),(),())
f x t y t z t βα
=⎰()
t αβ≤≤且有一阶连续偏导数,(),(),()x t y t z t dl =
2
2
2
()()()x t y t z t dt
'''++则曲线的弧微分
若L 由一般方程给出
12
(,,)0(,,)0x y z x y z ϕϕ=⎧⎨=⎩(,)(,)
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分
第二节 第一类型曲面积分
1、 第一类型曲面积分的定义
问题：设∑是3
R 中一张有面积
的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布
着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？
沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，
n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于
)
()(1
i i
n
i S p
σρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义
为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即
)
()(lim
1
i i
n
i S p
M σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3
R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。定义分割T 的宽度为
},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，
在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数
)
()(1
i i n
i S p f σ∑
=
当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点
i
p 在i
S
上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σ
d f ⎰
∑
，或dS
f ⎰⎰
∑
。
2、 第一类型曲面积分的计算公式
由曲面面积元素的表达式
dudv r r d v u ||||⨯=σ，
或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：
（1） 设正则曲面∑有参数向量
wjzh 二、三重积分、第一类曲线、曲面积分的应用
L x ds , L y ds L ds L ds
曲面块的质心：
x dS y dS z dS
dS
,
dS
,
dS
平面薄片：
Ix
空间立体：
Ix Iy
关于积分应用
1、平面图形的面积
2、空间立体的体积
A
d
D
V f ( x , y )d
D
V
dv
3、曲面的面积
曲面 z=f(x,y)在 xoy 面的投影区域为D
A 1 f x f y d
2 2 D
A
dS
4、质量
1
1
2
4
2
2
xdydz ydzdx zdxdy (x y z )
2 2 2 3
2
1
1
故由Gauss 公式
2
1 2
1 2
0
1 2
在 2 上 z 0
2
Pdydz 0
2
Qdzdx 0
第一类曲面积分的计算
§21.2 第一类曲面积分的计算
一、曲面的面积 例1 求球面
x2 + y2 + z 2 + a2
含在柱面 x 2 + y 2 = ax(a > 0) 内部的面积 S 。
例2 求以 R 为半径的球面面积 S ，此球的方程为
x = R cosθ cos π ≤ θ ≤ π ,0 ≤ < 2π y = R cosθ sin , 2 2 z = R sin θ
二、化第一类曲面积分的二重积分 例3 计算
∫∫ ( x, y, z )dS
S
S ， 是球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , z ≥ 0
例4 计算积分
∫∫ zdS ，其中 S 为螺旋面的一部分
S
例5 求一均匀球壳（密度 ρ 为常数）对不在该球壳 上的一质点 M（质量为1）Fra Baidu bibliotek引力。
x = u cos v y = u sin v , (0 ≤ u ≤ a,0 ≤ v ≤ 2π ) z=v
高数第十一章曲线积分与曲面积分 (2)
1
原式 0 1 1.
问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同而积分结果相同.
18
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例4 计算 x 3dx 3 y 2 zdy x 2 ydz, 其中为从点
A(3,2,1)到点O(0,0， 0)的直线段AO.
A(1, 1)
4 2 y dy . 1 5
1 4
13
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第十一章
曲线积分与曲面积分
例2 计算
L
y dx, 其中L为
2
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行 的上半圆周; ( 2) 从点 A(a ,0) 沿 x 轴到点 B( a ,0) 的直线段.
原式 ( 2 y 2 y 2 y y 4 )dy
0 1
A(1,0 )
5 y 4 dx 1. 0
1
( 3 ) 原式 OA 2 xydx x dy
2
B (1,1)
AB 2 xydx x 2 dy
A(1,0 )
17
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第十一章
曲线积分与曲面积分
2
( 2) L : y 0,
x 从 a 变到 a，
原式 0dx 0.
数学分析第二十一章课件曲线积分与曲面积分
k f(x ,y ,z )d s k f(x ,y ,z )d s
» A B
» A B
(4) f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s
» A B
» A C
C » B
2020/6/1
例1
设L 是椭圆
x2 a2
y b
2
在2 第1 一象限部分，
(1) » A Bf(x ,y ,z)d sB » Af(x ,y ,z)d s
(2)
[ f ( x , y , z ) g ( x , y , z ) ] d s f ( x , y , z ) d s g ( x , y , z ) d s
» A B
» A B
» A B
(3)
40 2
2
ab a2 abb2 3 ab
2020/6/1
例2 计算 I ，x2d其s 中L为球面 L
x2y2z2 a2
被平面 xy所z截0得的圆周.
解：
x2ds y2ds z2ds
L
L
L
x2ds1 (x2y2z2)ds
L
3L
a2
ds 2a3
3L 3
2020/6/1
定义 21.2
设 S是空间光滑曲面 zzx,y,(x,y) D xy,f (x,y,z)是定
大学高数第二册公式整理
且
lim n un
0
（2）求级数的收敛域：
将
级
数化为
an
xn
形式
n1
则收敛半径 R lim an1
n an
收敛点为 x=0
12.常用的幂函数的展开式
sin
x
n1
1 n1
x 2n1
2n 1!
1
1n xn
x 1 n0
e x xn
n0 n!
dy gxhx
13.（1）一阶微分方程： dx
（3）三重坐标的球坐标公式：
f x, y, zdxdydz r 2 sinf r sin cos,r sin sin,r cosdddr
6.二重积分和三重积分的对称性
（1）二重积分 I f x, ydxdy 如果 f x, y关于变量 x（或 y）是奇
D
函数，D 关于 y（或 x）轴对称，则 I =0
1. 方向导数与梯度
方向导数： f f cos f cos
l x
y
cos,cos 是l的方向余弦
梯
度
：
g r a d fx,
y
f x
,
f y
2.（1）曲线的切线与法平面
x xt
设曲
线方程：
y
yt
z zt
则切线方程：
x x0
高等数学第十一章习题课(二)曲面积分
(辅助面一般取平行坐标面的平面)
(3) 两类曲面积分的转化
例1
计算
I [ f ( x , y, z ) x ]dydz [ 2 f ( x , y, z ) y]dzdx [ f ( x , y, z ) z ]dxdy, 其中 f ( x , y, z ) 为连续函数, 为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧． z 解 利用两类曲面积分之间的关系 1
曲面积分的计算法
1. 基本方法
第一类( 对面积 ) 曲面积分 第二类( 对坐标 )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
第一类: 始终非负 (2) 积分元素投影 第二类: 有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算
提示: 方法1
z
B
利用对称性
o
A x
C y
3
AB AB
y d x z d y xdz x d z 3 (1 z )d z
0 1
3
方法2 利用斯托克斯公式（见第七节）
方法2 利用斯托克斯公式 设三角形区域为 , 方向向上, 则
1 3 x 1 3 y 1 3 z
2第一类曲面积分的计算 - 青岛科技大学.
二、化第一类曲面积分的二重积分 例3 计算
x, y, z dS
S
S 是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 , z 0 ，
例4 计算积分
zdS ，其中 S 为螺旋面的一部分
S
例5 求一均匀球壳（密度 为常数）对不在该球壳 上的一质点 M（质量为1）的引力。
Fra Baidu bibliotek
x u cos v y u sin v , 0 u a,0 v 2 zv
§21.2 第一类曲面积分的计算
一、曲面的面积
例1 求球面
x2 y 2 z 2 a2
含在柱面 x 2 y 2 axa 0 内部的面积 S 。
例2 求以 R 为半径的球面面积 S ，此球的方程为
x R cos cos y R cos sin , , 0 2 2 2 z R sin
数学分析 第二十一章 课件 曲线积分与曲面积分
1i n
f (i ,i , i ) xi .
i 1
i
i
i
i 1
i
若当 max si 0 时, 的极限存在,则称该极限为函数 f 沿有向曲线 L对x 的第二型曲线积分,记为
f ( x, y, z)dx,
L
或
如果在上述求和时,分别用 yi yi yi 1 或 zi xi , 便得到 f 沿L对 y 或对 z 的第二型曲线积分:
xx 参数方程： ,0 x a AB 2 y ax x
则
2 a 2x a3 x ax x 2 4 x ax x 2 dx 2 0 6 2 ax x
a
例2.求在力 F y, x,x y z 作用下，质点由A到B所做的功 (1) (2) 解: (1)
S
f ( x, y, z )ds f ( x(u, v), y u, v , z u, v ) EG F 2 dudv
D
5） 当S是Oxy平面上的平面块D时。第一类曲面积分就是二重积分
f ( x, y)ds f ( x, y)dxdy
S D
dS 例4 计算曲面积分 z ，其中S为球面 S
f ( , , ) s
i 1 i i i
第11讲-第一和第二型曲线积分
第五章
曲线、曲面积分
C
∫
f ( x, y )dl = ∫ f ( x, y ( x)) 1 + [ y ′( x)] 2 dx
b
a
如果曲线 L 的方程为参数方程 ⎨
β
⎧ x = x(t ) , t ∈ [α , β ], β ≥ α , 则 ⎩ y = y (t )
C
∫ f ( x, y)dl = ∫α f ( x(t ), y(t ) )
2 1 π ⎡ ⎤ r =r 2 ⎢ r ⋅ 2 ⋅ ⋅ + 2 ⎥ = (π r +4) 2 2 ⎣ ⎦ 2
由对称性可知， x =0，再由半圆圈 C 关于 x 轴的静力矩：
M x = ∫ y ρ ( x, y )dl = ∫ y ( x 2 + y )dl ∫ r 3 ( r cos2 θ sin θ + sin 2 θ )dθ
于是
dl =
(R sin θ )2 + ( R cos θ ) 2 dθ = Rdθ
π /2
− /2
C
∫ | y | dl = ∫ π
R sin θ Rdθ = ∫
0 −π / 2
0
−π / 2
R 2 (− sin θ )dθ + ∫
= 2R2
1 0 . 8 0 . 6 0 . 4 0 . 2
曲面积分的第一型和第二型
曲面积分的第一型和第二型
曲面积分是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于物理和
工程学中。曲面积分有两个主要类型：第一型和第二型曲面积分。本文将对这两种曲面积分进行详细的阐述和讲解。
一、第一型曲面积分
第一型曲面积分是指对于向量函数在曲面上的积分。换句话说，它是对曲面上的某个标量值函数的积分。其计算公式为：
∬S f(x,y,z) dS
其中，S表示曲面，f(x,y,z)为被积函数，dS为曲面面积元素。
在计算第一型曲面积分时，我们需要知道曲面的参数方程。通常，参数方程可以表示为：
x = g(u,v)
y = h(u,v)
z = k(u,v)
其中，u和v是曲面上的自变量，x、y和z是对应的函数值。
对曲面进行参数化之后，我们就可以将第一型曲面积分转化为
一个二重积分：
∬D f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) ||r_u × r_v|| du dv
其中，D表示曲面的投影区域，||r_u ×r_v||是曲面的面积元素，r_u과 r_v分别是曲面参数方程的偏导数。
值得注意的是，有些曲面的参数方程比较复杂，因此需要使用
微积分技巧对其进行简化。此外，在计算第一型曲面积分时，我
们还需要考虑曲面的方向。有时候，我们需要在某个指定方向上
计算曲面积分，这时我们需要用到曲面的法向量。如果曲面法向
量朝外，则为正方向；反之，则为负方向。
二、第二型曲面积分
第二型曲面积分是指对向量函数在曲面上的积分。也就是说，它是对曲面上的某个向量值函数的积分。其计算公式为：
∬S F · dS
其中，S表示曲面，F为被积函数，dS为曲面衡量元素。
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第四节 对面积的曲面积分
surface integral
概念的引入 对面积的曲面积分的定义 对面积的曲面积分的计算法
对面积的曲面积分
一、概念的引入
实例 若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 ( x, y, z),求它的质量.
解 第一步: 将Σ分为许多即极曲其面所微上谓小各曲的点面子处光域都滑,
积分曲面 被积函数 曲面元素
如曲面是 闭曲面,则积分号写成
2. 对面积的曲面积分的性质
若 可分为分片光滑的曲面1及 2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS
1
2
3. 对面积的曲面积分的几何意义
当f ( x, y, z) 1时，空间曲面Σ的面积:
dS
1 yx2 yz2dxdz 1 dxdz
1 x2 z z x2
xdS 0 0
1 O 1
x
对面积的曲面积分
计算 ( x3 x2 y z)dS, 其中Σ为球面
z a2 x2 y2 之位于平面 z h(0 h a)
上方的部分.
解 曲面Σ的方程
zΣ
z a2 x2 y2 Σ在xOy面上的投影域
O
x
y
有 4 成立 1为第一卦限部分曲面.
1
对面积的曲面积分
积分曲面 : z x2 y2 (0 z 1)
投影域：Dxy {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
| xyz | dS 4 xyz dS dS 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
1
4 xy ( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
1. 定义
设曲面Σ是光滑的, ①
O
函数 f(x,(y,
x
iz))xy在• Σ上Dxy(
i
,
i
,
wk.baidu.com
)
y
有界. 把Σ 任意分成n小块 Si(Si同时也表示
任第n 意i f小取(块定i ,曲的i ,面点i的),作面S乘i积,④积)如,②果f设(当i点,各(i小,i ,i块)i,曲Sii面③),为并的作直Si上和径
Dxy
4 2 d
1r2 cos sin r2
1 4r2 r dr
极 坐 标
0
0
2
2 sin 2d
1r5
1 4r2 dr
0
0
u
1 5 u(u 1)2du 125 5 1
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
O
故 ( x y z)dS
x
y
2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
的二 2 (5 x)dxdy
对重 称积
Dxy
性分 2 5dxdy 125 2
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f ( x, y, z)dS
0,
当f ( x, y, z)为 x的奇函数
曲面Σ选好投影面, 确定投影域并写出 曲面Σ的方程, 然后算出曲面面积元素;
最后将曲面方程代入被积函数, 化为二 重积分进行计算.
例 计算 ( x y z)dS,其中为平面y z 5 被柱面 x2 y2 25 所截得的部分. z
解 曲面 : z 5 y
投影域: Dxy {(x, y) | x2 y2 25}
以dS为代表,取 ( x, y, z)有切dS平,则面,且当点在
dS的质量为: M dM曲面上( x连, y续, z)移dS动时,
切平面也连续转动. 第二步: 求和取极限
M ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分
z : z z(x, y)
Si •
二、对面积的曲面积分的定义
(i ,i , i )
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z
x
2及z
0
所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3
z0 z x2
x2 y2 1
投影域 D : x2 y2 1
z
对 xdS xdxdy 0
称 1
D
性
xdS x 1 1dxdy 0
O
x
y
2
D
对面积的曲面积分
3 : x2 y2 1 将投影域选在 xOz面上 z
注 y 1 x2 分成左、右两片
(左右两片投影相同)
xdS xdS xdS
对
3
31
称 2 xdS 2 x
性
31
Dxz
32
1 dxdz 1 x2
2 1
x
dx
x2
dz
1 1 x2 0
O
x
y
i 1
的最大值 0时, 这和式的极限存在, 则
对面积的曲面积分
n
称 f (i ,i , i ) Si 极限为函数 f ( x, y, z)在
i 1
在曲面上对面积的曲面积分 或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即
n
f ( x, y, z)dS
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y(x, z) , z]
1
y
2 x
yz2 dxdz
Dxz
(3)若曲面 ：x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z) , y, z]
1
x
2 y
xz2dydz
D yz
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分时,首先应根据
Dxy : x2 y2 a2 h2
O
x
y
Dxy : x2 y2 a2 h2
对面积的曲面积分
z a2 x2 y2
因曲面Σ关于yOz面及xOz面对称;
A 1 dS
1
z
2 x
z
2 y
d
D
对面积的曲面积分
三、对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算.
按照曲面的不同情况分为以下三种：
(1) 若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y, z(x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
(2) 若曲面 : y y( x, z)
2
f
( x,
y,
z )dS .
当f ( x, y, z)为 x的偶函数
1
其中 1 : x x( y, z) 0.
对面积的曲面积分
例 计算| xyz | dS, 其中为抛物面z x2 y2(0 z 1).
解 依对称性知
抛物面 z x2 y2
z
关于xOz面、yOz面均对称；
被积函数 | xyz | 关于y、x为偶函数.