第一类曲面积分 (2)
第一类面积分和方向
第一类面积分和方向
第一类曲面积分和第二类积分区别是：1、积分对象不同：前者对曲面积分，后者对坐标积分；2、积分顺序不同：前者有顺序，后者没有；3、积分意义不同：前者有几何意义和物理意义，后者只有物理意义；4、积分方向不同：前者积分有方向，而后者没有。
1、积分对象不同
第一类曲面分数物理意义源于对取值密度函数的空间曲面，排序该曲面的质量；
第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。
2、分数顺序相同
第一类曲面积分——有积分顺序，积分下限永远小于上限；
第二类曲线分数——没分数顺序，分数上上限可以倒转。
3、积分意义不同
第一类曲面分数——存有几何意义和物理意义；
第二类曲线积分——只有物理意义。
4、分数方向不同
第一类曲面积分——积分没有方向；
第二类曲线分数——存有分数方向。
第一型曲面积分的计算方法
第一型曲面积分的计算方法嘿，咱今儿就来聊聊这第一型曲面积分的计算方法哈！你说这玩意儿，就像是个调皮的小精灵，得好好捉摸才能搞定它呢！咱先来说说这第一型曲面积分到底是啥呀？其实啊，它就是在曲面上计算某种量的积分。
就好像你要在一个弯弯曲曲的表面上算算有多少东西在那呢。
那怎么算呢？这可有不少门道呢！首先呢，你得把那曲面给表示出来，这就跟给小精灵画个画像似的，得画得清楚明白。
然后呢，根据具体的情况，选择合适的方法。
比如说，要是那曲面比较规则，咱就可以用投影的方法呀。
就好比把那曲面的影子投到一个平面上，在平面上算积分，这多巧妙呀！你想想，这不就像你把一个立体的东西压扁了在平面上看一样嘛。
还有啊，有时候可以利用对称性来简化计算呢。
这就好比你有一堆东西，两边对称，那你只算一边不就完事儿了嘛，多省事儿呀！再比如说，遇到那种特别复杂的曲面，咱就得动点小脑筋，把它分成几块来算，一块一块地啃下来，这就跟吃一个大蛋糕，一口一口地吃是一个道理嘛。
哎呀，这计算第一型曲面积分啊，真的是既有趣又有挑战性。
你得像个探险家似的，在那一堆公式和概念里找线索，找方法。
有时候可能会遇到难题，就像在森林里迷路了一样，但别着急呀，慢慢摸索，总会找到出路的。
而且呀，这第一型曲面积分在好多领域都有用呢！比如物理学呀，工程学呀，那可都少不了它呢！你想想，要是没有它，那些复杂的物理现象和工程问题咋解决呀？总之呢，这第一型曲面积分的计算方法就像是一把钥匙，能打开好多知识的大门。
咱可得好好掌握它，让它为咱服务呀！可别小瞧了它，它的用处大着呢！你要是学会了，那可就牛啦！就像掌握了一门绝世武功一样，能在知识的江湖里闯荡一番呢！怎么样，是不是觉得很有意思呀？赶紧去试试吧！。
微积分(二)_9 曲线积分和曲面积分：第一类曲线积分与第二类曲线积分_
第一类曲线积分的计算法22(,)[(),()]()()d Lf x y d l f x t y t x t y t tβα''=+⎰⎰二、第一类曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化若L 为平面曲线，其参数方程为则曲线的弧微分求曲线积分且有一阶连续偏导数,(),()x t y t dl =22()()x t y t dt''+由第一类曲线积分的定义，导出如下的计算公式说明:上述定积分的积分下限必须为保证的非负性,dl 如果方程为极坐标形式:()(),L ρρθαθβ=≤≤则(,)d Lf x y l⎰(()cos ,()sin )f βαρθθρθθ=⎰22()()d ρθρθθ'+22(,)[(),()]()()d Lf x y d l f x t y t x t y t tβα''=+⎰⎰不小于积分上限.如果曲线L 的方程为则有(,)d Lf x y l ⎰21()d y x x'+(,())b af x y x =⎰若L 为空间曲线，其参数方程为:(),(),()L x x t y y t z z t ===此时，第一类曲线积分(,,)d Lf x y z l⎰222()()()d x t y t z t t '''++((),(),())f x t y t z t βα=⎰()t αβ≤≤且有一阶连续偏导数,(),(),()x t y t z t dl =222()()()x t y t z t dt'''++则曲线的弧微分若L 由一般方程给出12(,,)0(,,)0x y z x y z ϕϕ=⎧⎨=⎩(,)(,)z g x y z h x y =⎧⎨=⎩或计算曲线积分时，一般先把方程化为参数方程.参数可选为变量中的任意一个.,,x y z例1.计算其中L 是抛物线与点B (1,1) 之间的一段弧.解:)10(:2≤≤=x x y L ⎰=1xxx xd 41102⎰+=1232)41(121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x )155(121-=上点O (0,0)1Lxy2xy =o )1,1(B例2. 计算曲线积分其中Γ为螺旋的一段弧.解:222()d x y z lΓ++⎰tt k a ka d ][2022222⎰++=π)43(3222222k a k a ππ++=线例3. 计算其中L 为双纽线)0()()(222222>-=+a y x a y x 解:在极坐标系下它在第一象限部分为1:cos 2(0)4L a πρθθ=≤≤利用对称性, 得42204cos ()()d πρθρθρθθ'=+⎰⎰=402d cos 4πθθa yoxθd d =s 例4. 计算其中Γ为球面22y x +解: , 11)(:24122121⎩⎨⎧=+=+-Γz x y x :Γ()πθ20≤≤2)sin 2(θ-2)sin 2(θ+2092d 2I πθ∴=⋅⎰θd 2=θcos 221-=z .1的交线与平面=+z x 292=+z 化为参数方程21cos 2+=θx sin 2θ=y 则18π=。
第一型曲面积分计算公式推导[001]
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第一型曲面积分计算公式推导在计算曲面积分之前，我们需要先了解曲面积分的基本概念和计算方法。
曲面积分是数学中的一个重要概念，用于求解曲面上的某个物理量的总量或平均值。
它与曲线积分有一定相似之处，但由于曲面具有二维特性，因此其计算方法相对复杂一些。
首先，我们来考虑一个简单的曲面S，它可以用一对参数u和v的函数表示，即S：(x(u,v), y(u,v), z(u,v))。
这样的曲面可以是平面、球面、圆柱面等等。
为了方便计算，我们通常会将曲面S分割成无限小的面元，每个面元的面积可以表示为dS。
现在，我们需要计算曲面上的某个物理量F的总量或平均值。
物理量F可以是一个标量函数，也可以是一个矢量函数。
我们记物理量F 在曲面S上的取值为F(x,y,z)或F(xi,yi,zi)，其中(xi,yi,zi)是曲面上任意一点的坐标。
那么曲面S上物理量F的总量就可以表示为曲面积分：∬S F(x,y,z) dS 或∬S F(xi,yi,zi) dS接下来，我们需要推导出曲面积分的计算公式。
根据曲面积分的定义，我们可以将曲面上的物理量F表示为F在参数域上的函数：F(x(u,v), y(u,v), z(u,v))现在，我们来计算dS。
根据多元微积分的知识，我们可以得知，如果曲面S是光滑的且方向一致，那么dS可以表示为参数域上两个参数u和v之间的偏导数的叉乘的模：dS = |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv其中|∂(x,y)/∂(u,v)|表示偏导数的叉乘的模。
将dS带入曲面积分的公式中，可以得到：∬S F(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) |∂(x,y)/∂(u,v)| du dv这就是曲面积分的计算公式。
需要注意的是，在实际计算中，我们通常会将曲面S分割成一系列小面元，然后对每个小面元进行计算，再将计算结果进行累加。
这样的方法被称为面积分的分区法。
在进行具体的计算时，我们需要确定参数u和v的范围，以及函数F在参数域上的表示形式。
第二章第二节第一型曲面积分doc
第18 章 曲面积分第二节 第一类型曲面积分1、 第一类型曲面积分的定义问题：设∑是3R 中一张有面积的曲面，∑上按面密度)(p ρρ=分布着某种物质，问如何求出分布在∑上物质的总质量？沿用以前用过的作法，将∑分成若干小块n S S S ,,,21 ，并在每一小块i S 上任意取定一点i p ，这时小块i S 上的质量)()(i i i S p m σρ≈，n i ,,2,1 =。
于是曲面片∑上的质量就近似地等于)()(1i ini S pσρ∑= 。
当我们把曲面片∑无限细分时，上面的和式的极限就可以定义为展布在曲面片∑上物质的质量M ，即)()(lim1i ini S pM σρ∑==。
以上的实例引导出下面的第一类型曲面积分的定义。
定义18.2 设∑是3R 中一张可求面积的曲面片，f 是定义在∑上的函数,分割T 把∑分成若干更小的曲面片n S S S ,,,21 。
定义分割T 的宽度为},,2,1,max{||||n i diamS T i ==，在每一小片i S 上任意取定一点i p ，如果和数)()(1i i ni S p f σ∑=当0||||→T 时有有限的极限，并且其极限值不依赖于分割及点ip 在iS上的选择，那么称这个极限值为函数f 沿曲面∑的第一型曲面积分，记作σd f ⎰∑，或dSf ⎰⎰∑。
2、 第一类型曲面积分的计算公式由曲面面积元素的表达式dudv r r d v u ||||⨯=σ，或从定义出发，求出右端的极限，便可得出第一型曲面积分的计算公式：（1） 设正则曲面∑有参数向量方程)),(),,(),,((),(v u z v u y v u x v u r r ==，∆∈),(v u ，f 是定义在∑上的连续函数，则σd f ⎰∑dudvr r v u z v u y v u x f v u ||||)),(),,(),,((⨯=⎰⎰∆dudvF EG v u z v u y v u x f ⎰⎰∆-=2)),(),,(),,((；（2） 当曲面∑是由显式D y x y x z ∈=),(),,(ϕ表达时，其中D 是有面积的平面区域，)(1D C ∈ϕ，f 是定义在∑上的连续函数，则有σd f ⎰∑dxdyzx y x y x f D⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1)),(,,(ϕϕϕ。
第一类曲面积分
z
1
xyz dxdy xyz dxdy xyz dxdy
S
S1上 侧
S2下 侧
S1 o
1
1y
xy 1 x2 y2 dxdy
x S2
Dxy
xy ( 1 x2 y2 )dxdy
Dxy
2 xy( 1 x2 y2 ) dxdy 2 r 2 sin cos 1 r 2 r drd
Dxy
:
0
2
,
0 r 1.
Dxy
2 xy( 1 x2 y2 ) dxdy 2 r 2 sin cos 1 r 2 r drd
Dxy
Dxy
1
2
sin 2 d
1
r
1 r2 dr
2.
20
0
15
18
第18页，本讲稿共29页
例3 计 算x2 d yd zy2 d x d zz2 d x d y， 其 中 S是 长 方 体
19
第19页，本讲稿共29页
S1 : x 0 后侧 , S2 : y 0 左侧 , S3 : z 0 下侧, S4 : x a 前侧 ,
z
c
S1
S6
S5 : y b 右侧, S6 : z c 上侧 , S2
x2dydz y2dxdz z2dxdy
o S4
S
x2dydz
y2dxdz z2dxdy ,
S5
by
20
第20页，本讲稿共29页
x2dydz x2dydz x2dydz
S
S1后 侧
S4前 侧
z
c
S1
S6
02dydz a2dydz a2bc ;
Dyz
一类曲面积分
一类曲面积分曲面积分是对曲面上的某个量进行求和的一种数学运算。
一类曲面积分指的是对于某个向量场在曲面上的积分。
一类曲面积分的计算可以通过参数化曲面来进行。
设曲面为S，其参数化表示为r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))，其中u和v是曲面上的参数。
向量场F=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z))定义在曲面S上，则曲面积分的计算公式为：∬S F·n dS = ∬D F(r(u,v))·(ru×rv) dudv其中，D是参数域，ru=(∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u)和rv=(∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)分别是曲面上两个方向的偏导向量，n=ru×rv是曲面上的法向量，dS=||ru×rv|| dudv是曲面元素的面积。
计算一类曲面积分的步骤如下：1. 确定曲面的参数化表示：找到合适的参数u和v，将曲面表示为r(u,v)=(x(u,v), y(u,v), z(u,v))。
2. 计算偏导向量：分别计算ru=(∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u)和rv=(∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)。
3. 计算法向量：计算曲面上的法向量n=ru×rv。
4. 确定参数域：确定参数域D，并确定对应的积分范围。
5. 计算曲面积分：根据公式∬S F·n dS = ∬DF(r(u,v))·(ru×rv) dudv，将F(r(u,v))·(ru×rv)带入并进行积分运算。
需要注意的是，一类曲面积分的计算比较繁琐，需要对参数域进行适当选择，同时也需要具备一定的积分计算技巧。
因此，在具体计算时可能需要借助数值计算方法或符号计算软件进行辅助。
大学高数第二册公式整理
dy
hx
g
xdx
最后得 Hx Gx c
dy Pxy 0
（2）一阶线性齐次微分方程： dx y ce Pxdx
dy Pxy Qx
（3）一阶线性非齐次微分方程： dx
y
ce
P
x
d
x
Qxe Pxdxdx c
（4）齐次微分方程：代换法：如果 dy y ，则令 y u
dx x
x
求
z
的一阶偏导
f x x0 , f y x0 ,
y0 y0
0 0
f xx x0 , y0 A
令
z
的二阶偏导
f xy x0 ,
y0
B
f
yy
x0
,
y0
C
①当 AC B2 0 时，且 A 0 时，有极大值； A 0 时，极小值
②当 AC B2 0时，无极值
③当 AC B2 0时，无法判定
1. 方向导数与梯度
方向导数： f f cos f cos
l x
y
cos,cos 是l的方向余弦
梯
度
：
g r a d fx,
y
f x
,
f y
2.（1）曲线的切线与法平面
x xt
设曲
线方程：
y
yt
z zt
则切线方程：
x x0
x`t0
y y0
y`t0
z z0
z`t0
法平面方程： x`t0 x x0 y`t0 y y0 z`t0 z z0 0
（2）曲面的切平面与法线
设曲线方程为： Fx, y, z 0
则切线方程：
x x0
第一类曲面积分
f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
o
y
f ( x, y, z)dS 存在, 且有
x Dxy
f ( x, y, z)dS
( k )x y (k ,k , k )
f ( x, y, z( x, y))
Dx y
1 zx2( x, y) zy2( x, y)dxd y
解：
1
2
3
其 中 1： z0, 2：z x 2,
投影域 Dxy： x2 y2 1
3： x2y21.
1
由对称性，易知
z
z x2
2
3 y
1 o 1 x
Dxy
xdS 0, xdS x 11dxdy0
1
R
sin
sin
z R Rcos
0 0 2
(( y,,z)) 2 (( z,, x)) 2 (( x,,y)) 2 R2sin
I2 R 2(1co )R s2sin dd8R4
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1、如果 曲面 Σ 有轮换对称性，那么被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积分值 不会改变。即
f(x ,y ,z )d S f(z ,x ,y )dS
f(y,z,x)d S f(x ,z,y)dS
例3： 设 : x2 y2 z2 a2 x2 y2, 当z
f (x, y,z) 0， 当z
计算 I f ( x, y, z)d S .
x2 y2 x2 y2
z 1 x o Dx y y
(完整版)(整理)第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分． 一 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量． 求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1． 设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22． 这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解： 曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS． 所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节 对坐标的曲面积分一 对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积） 于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法 下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号． 简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算． 例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节 两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。
第九章第02节--第一类曲面积分
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2.奇偶函数在对称曲面上的积分性质
1)若曲面 关于xoy面对称， 1为 在xoy面上方 的部分，则有
f
( x,
y, z)dS
2 1
f (x,
y, z)dS
f (x, y, z) f (x, y, z)
0
f ( x, y, z) －f ( x, y, z)
3)若曲面 关于yoz面对称 2)若曲面 关于xoz面对称
自己总结
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
z
h
o
Dxy
ay
x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
y
x
全表面. 说明: 此题也可用二重积分求 A
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三、小结
1、 对面积的曲面积分的概念;
n
f ( x, y, z)dS
lim
0 i1
f (i ,i , i )Si
2、对面积的曲面积分的解法是将其化为投影 域上的二重积分计算.
（按照曲面的不同情况分为三种）
• 注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式 简化计算的技巧.
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Байду номын сангаас
例7. 计算
其中 是介于平面
之间的圆柱面
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
z
第一类曲面积分定义
第一类曲面积分定义
曲面积分是一种用于描述曲面上某个物理量的数学工具。
它广泛应用于数学、物理学、工程学等领域中，特别是在描述电磁场、流体力学和曲面上的散度等方面起着重要作用。
曲面积分可以理解为将曲面分割成无数小区域，并在每个小区域上对要研究的物理量进行积分。
这样的计算过程可以通过数学公式进行精确描述。
曲面积分的定义可以分为两类：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
在这篇文章中，我们主要讨论第一类曲面积分的定义。
第一类曲面积分也被称为曲面上的标量场的积分。
它描述了曲面上某个标量函数的分布情况。
具体而言，对于给定的曲面S和函数f(x, y, z)，第一类曲面积分可以表示为：
∬_S f(x, y, z) dS
其中，dS表示曲面上的面积元素，它可以看作是一个无限小的面积。
整个曲面积分是对曲面上所有面积元素的累积求和。
在实际计算中，可以使用参数化曲面的方法，将曲面上的积分转化为某个参数域上的二重积分来计算。
第一类曲面积分可以用来计算曲面上的质量、电荷、温度等物理量的总量。
它在电磁场学中的应用尤为广泛，可以用来计算电流通过闭合曲面的总电荷量。
总之，第一类曲面积分是描述曲面上标量场分布的数学工具，具有广泛的应用领域。
通过对曲面上无数小面积元素的求和，可以得到曲面上某个物理量的总量。
这种积分计算可以通过参数化曲面和二重积分的方法进行。
第二十一章曲线积分和曲面积分的计算
第二十一章 曲线积分和曲面积分的计算§1. 第一类曲线积分的计算1． 计算下列第一型曲线积分：(1)22()L x y ds +⎰，其中L 是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形；(2)⎰，其中L 是圆周22x y ax +=； (3)L xyzds ⎰，其中L 为螺线cos ,sin x a t y a t ==,(0),02z bt a b t π=<<≤≤； (4)222()L x y z ds ++⎰，其中L 与(3)相同； (5)4433()L x y ds +⎰，其中L 为内摆线222333x y a +=； (6)2L y ds ⎰，其中L 为摆线的一拱(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤； (7)L xyds ⎰，其中L 为球面2222x y z a ++=与平面0x y z ++=的交线； (8)()L xy yz zx ds ++⎰，其中L 同(7)；(9) L xyzds ⎰，其中L 是曲线21,(01)2x t y z t t ===≤≤；(10) ⎰，其中L 是2222x y z a ++=与x y =相交的圆周．2． 设曲线L 的方程为cos ,sin ,t t t x e t y e t z e === 0(0)t t ≤≤，它在每一点的密度与该点的矢径平方成反比，且在点(1,0,1)处为1，求它的质量．3． 若曲线以极坐标给出：()ρρθ=12()θθθ≤≤，试给出计算(,)L f x y ds ⎰的公式，并用此公式计算下列曲线积分：(1)L ⎰，其中L 是曲线(0)4a πρθ=≤≤； (2) L xds ⎰，其中L 是对数螺线(0)k ae k θρ=>在圆r a =内的部分．4． 求螺线的一支L ：cos ,sin ,(02)2h x a t y a t z t t ππ===≤≤对x 轴的转动惯量22()LI y z ds =+⎰．设此螺线的线密度是均匀的．5． 求抛物面壳221()2z x y =+，01z ≤≤的质量．设此壳的密度z ρ=． §2. 第一类曲面积分的计算1． 计算下列第一型曲面积分：(1) 22()Sx y dS +⎰⎰，其中S1z ≤≤的边界曲面； (2)22S dS x y +⎰⎰，其中S 为柱面222x y R +=被平面0z =和z H =所截取的部分； (3)32||S x y z dS ⎰⎰，其中S 为曲面22z x y =+被1z =割下的部分； (4) 2Sz dS ⎰⎰，其中S 为螺旋面的一部分：cos ,sin ,x u v y u v z v === (0,02)u a v π≤≤≤≤； (5)22()Sx y dS +⎰⎰，S 是球面2222x y z R ++=． 2． 计算()(,,)SF t f x y z dS =⎰⎰，其中S 是一平面x y z t ++=，而2222222221, 1,(,,) 0, 1.x y z x y z f x y z x y z ⎧---++≤⎪=⎨++>⎪⎩当当.§3. 第二类曲线积分1． 计算下列第二型曲线积分：(1) (2)La y dx dy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos ),(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤沿t 增加的方向； (2) 22L xdx ydy ds x y-++⎰，其中L 为圆周222x y a +=依逆时针方向； (3)L xdx ydy zdz ++⎰，其中L 为从（1,1,1）到（2,3,4）的直线段； (4)22(2)(2)L x xy dx y xy dy -+-⎰，L 为2y x =从(1,1)到(-1,1)； (5) 22()Lydx xdy x y dz -++⎰，L 为曲线,,t t x e y e z at -===从(1,1,0)到1(,,)e e a -；(6) 2222()()L x y dx x y dy ++-⎰，L 为以(1,0),(2,0),(2,1),(1,1)A B C D 为顶点的正方形沿逆时针方向．2． 计算曲线积分222222()()()Ly z dx z x dy x y dz -+-+-⎰． (1) L 为球面三角形2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥的边界线，从球的外测看去，L 的方向为逆时针方向；(2) L 是球面2222x y z a ++=和柱面22x y ax +=(0)a >的交线位于Oxy 平面上方的部分，从x 轴上(,0,0)b ()b a >点看去，L 是顺时针方向．3． 求闭曲线L 上的第二型曲线积分 22L ydx xdy x y -+⎰， (1) L 为圆222x y a +=，逆时针方向；(2) L 为椭圆22221x y a b+=，顺时针方向； (3) L 为以(0,0)为中心，边长为a ，对边平行于坐标轴的正方形，顺时针方向；(4) L 是以(-1,-1)，(1,-1)，(0,1)为顶点的三角形，顺时针方向．4． 求力场F 对运动的单位质点所作的功，此质点沿曲线L 从A 点运动到B 点：(1) 22(2,2)F x xy y x y =--，L 为平面曲线2y x =，(0,0),(1,1)A B ；(2) (,)F x y xy =+，L 为平面曲线1|1|y x =--，(0,0),(2,0)A B ；(3) (,,)F x y y z z x =---，L 的矢量形式为23()r t ti t j t k =++，(0,0,0),(1,1,1)A B ；(4) 222(,,)F y z x =，L 的参数式为cos ,sin ,x t y t z t αβγ===（,,αβγ为正数），(,0,0),(,0,2)A B ααπγ．5． 设,,P Q R 在L 上连续，L 为光滑弧段，弧长为l ，证明：||LPdx Qdy Rdz Ml ++≤⎰．其中(,,)max x y z L M ∈=． 6． 设光滑闭曲线L 在光滑曲面S 上，S 的方程为(,)z f x y =，曲线L 在Oxy 平面上的投影曲线为l ，函数(,,)P x y z 在L 上连续，证明：(,,)(,,(,))L lP x y z dx P x y f x y dx =⎰⎰ ． 7． 计算L I xyzdz =⎰，其中L ：2221x y z ++=与y z =相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8卦限．§4. 第二类曲面积分1． 计算下列第二型曲面积分：(1) 22()()Sy x z dydz x dzdx y xz dxdy -+++⎰⎰，其中S 为0x y z ===，x y z a === 六个平面所围的正立方体的外测；(2) ()()()Sx y dydz y z dzdx z x dxdy +++++⎰⎰，其中S 是以原点为中心，边长为2的正立方体表面的外测；(3) Syzdzdx ⎰⎰，S 为2222221x y z a b c ++=的上半部分的上测； (4) Szdxdy xdydz ydzdx ++⎰⎰，S 为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外测；(5) Sxydydz yzdzdx xzdxdy ++⎰⎰，S 是由平面0x y z ===和1x y z ++=所围的四面体表面的外测；(6)333S x dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 为球面2222x y z a ++=的外测； (7) 222Sx dydz y dzdx z dxdy ++⎰⎰，S 是球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=的外测． 2． 设某流体的流速为(,,0)v k y =，求单位时间内从球面2224x y z ++=的内部流过球面的流量．3． 设流体的流速为55(,0,)x v xy z x =，求穿过柱面222()x y a h z h +=-≤≤外测的流量．。
曲面积分的第一型和第二型
曲面积分的第一型和第二型曲面积分是数学中一个非常重要的概念，它广泛应用于物理和工程学中。
曲面积分有两个主要类型：第一型和第二型曲面积分。
本文将对这两种曲面积分进行详细的阐述和讲解。
一、第一型曲面积分第一型曲面积分是指对于向量函数在曲面上的积分。
换句话说，它是对曲面上的某个标量值函数的积分。
其计算公式为：∬S f(x,y,z) dS其中，S表示曲面，f(x,y,z)为被积函数，dS为曲面面积元素。
在计算第一型曲面积分时，我们需要知道曲面的参数方程。
通常，参数方程可以表示为：x = g(u,v)y = h(u,v)z = k(u,v)其中，u和v是曲面上的自变量，x、y和z是对应的函数值。
对曲面进行参数化之后，我们就可以将第一型曲面积分转化为一个二重积分：∬D f(g(u,v),h(u,v),k(u,v)) ||r_u × r_v|| du dv其中，D表示曲面的投影区域，||r_u ×r_v||是曲面的面积元素，r_u과 r_v分别是曲面参数方程的偏导数。
值得注意的是，有些曲面的参数方程比较复杂，因此需要使用微积分技巧对其进行简化。
此外，在计算第一型曲面积分时，我们还需要考虑曲面的方向。
有时候，我们需要在某个指定方向上计算曲面积分，这时我们需要用到曲面的法向量。
如果曲面法向量朝外，则为正方向；反之，则为负方向。
二、第二型曲面积分第二型曲面积分是指对向量函数在曲面上的积分。
也就是说，它是对曲面上的某个向量值函数的积分。
其计算公式为：∬S F · dS其中，S表示曲面，F为被积函数，dS为曲面衡量元素。
与第一型曲面积分相比，第二型曲面积分更加复杂一些。
在计算第二型曲面积分时，我们需要对被积函数进行向量积分。
我们需要将向量函数投影到曲面切平面上，然后再计算切平面上的积分。
这样才能得到正确的曲面积分结果。
与第一型曲面积分类似，对于第二型曲面积分我们也需要考虑曲面的法向量。
如果曲面法向量朝上，则为正方向；反之，则为负方向。
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i 1
的最大值 0时, 这和式的极限存在, 则
对面积的曲面积分
n
称 f (i ,i , i ) Si 极限为函数 f ( x, y, z)在
i 1
在曲面上对面积的曲面积分 或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即
n
f ( x, y, z)dS
lim
0
i 1
f (i ,i , i )Si
1. 定义
设曲面Σ是光滑的, ①
O
函数 f(x,(y,
x
iz))xy在• Σ上Dxy(
i
,
i
,
)
y
有界. 把Σ 任意分成n小块 Si(Si同时也表示
任第n 意i f小取(块定i ,曲的i ,面点i的),作面S乘i积,④积)如,②果f设(当i点,各(i小,i ,i块)i,曲Sii面③),为并的作直Si上和径
O
故 ( x y z)dS
x
y
2 ( x y 5 y)dxdy
Dxy
的二 2 (5 x)dxdy
对重 称积
Dxy
性分 2 5dxdy 125 2
Dxy
对面积的曲面积分
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称,则
f ( x, y, z)dS
0,
当f ( x, y, z)为 x的奇函数
A 1 dS
1
z
2 x
z
2 y
d
D
对面积的曲面积分
三、对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算.
按照曲面的不同情况分为以下三种：
(1) 若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y, z(x, y)]
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
(2) 若曲面 : y y( x, z)
O
x
y
2
D
对面积的曲面积分
3 : x2 y2 1 将投影域选在 xOz面上 z
注 y 1 x2 分成左、右两片
(左右两片投影相同)
xdS xdS xdS
对
3
31
称 2 xdS 2 x
性
31
Dxz
32
1 dxdz 1 x2
2 1
x
dx
x2
dz
1 1 x2 0
O
x
y
dS
1 yx2 yz2dxdz 1 dxdz
1 x2 z z x2
xdS 0 0
1 O 1
x
对面积的曲面积分
计算 ( x3 x2 y z)dS, 其中Σ为球面
z a2 x2 y2 之位于平面 z h(0 h a)
上方的部分.
解 曲面Σ的方程
zΣ
z a2 x2 y2 Σ在xOy面上的投影域
Dxy : x2 y2 a2 h2
O
x
y
Dxy : x2 y2 a2 h2
对面积的曲面积分
z a2 x2 y2
因曲面Σ关于yOz面及xOz面对称;
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y(x, z) , z]
1
y
2 x
yz2 dxdz
Dxz
(3)若曲面 ：x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z) , y, z]
1
x
2 y
xz2dydz
D yz
对面积的曲面积分
对面积的曲面积分时,首先应根据
曲面Σ选好投影面, 确定投影域并写出 曲面Σ的方程, 然后算出曲面面积元素;
最后将曲面方程代入被积函数, 化为二 重积分进行计算.
例 计算 ( x y z)dS,其中为平面y z 5 被柱面 x2 y2 25 所截得的部分. z
解 曲面 : z 5 y
投影域: Dxy {(x, y) | x2 y2 25}
z
z
z
O
x
y
O
x
y
O
x
y
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z
x
2及z
0
所围成的空间立体的表面.
解
1
2
3Leabharlann z0 z x2x2 y2 1
投影域 D : x2 y2 1
z
对 xdS xdxdy 0
称 1
D
性
xdS x 1 1dxdy 0
O
x
y
有 4 成立 1为第一卦限部分曲面.
1
对面积的曲面积分
积分曲面 : z x2 y2 (0 z 1)
投影域：Dxy {(x, y) | x2 y2 1, x 0, y 0}
| xyz | dS 4 xyz dS dS 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
1
4 xy ( x2 y2 ) 1 (2x)2 (2 y)2dxdy
Dxy
4 2 d
1r2 cos sin r2
1 4r2 r dr
极 坐 标
0
0
2
2 sin 2d
1r5
1 4r2 dr
0
0
u
1 5 u(u 1)2du 125 5 1
41
4
420
对面积的曲面积分
例 计算 xdS, 其中是圆柱面x2 y2 1,
平面 z x 2及z 0 所围成的空间立体的表面.
2
f
( x,
y,
z )dS .
当f ( x, y, z)为 x的偶函数
1
其中 1 : x x( y, z) 0.
对面积的曲面积分
例 计算| xyz | dS, 其中为抛物面z x2 y2(0 z 1).
解 依对称性知
抛物面 z x2 y2
z
关于xOz面、yOz面均对称；
被积函数 | xyz | 关于y、x为偶函数.
以dS为代表,取 ( x, y, z)有切dS平,则面,且当点在
dS的质量为: M dM曲面上( x连, y续, z)移dS动时,
切平面也连续转动. 第二步: 求和取极限
M ( x, y, z)dS
对面积的曲面积分
z : z z(x, y)
Si •
二、对面积的曲面积分的定义
(i ,i , i )
第一类曲面积分
第四节 对面积的曲面积分
surface integral
概念的引入 对面积的曲面积分的定义 对面积的曲面积分的计算法
对面积的曲面积分
一、概念的引入
实例 若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 ( x, y, z),求它的质量.
解 第一步: 将Σ分为许多即极曲其面所微上谓小各曲的点面子处光域都滑,
积分曲面 被积函数 曲面元素
如曲面是 闭曲面,则积分号写成
2. 对面积的曲面积分的性质
若 可分为分片光滑的曲面1及 2 , 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS
1
2
3. 对面积的曲面积分的几何意义
当f ( x, y, z) 1时，空间曲面Σ的面积: