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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(九)文科数学试题

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2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(九)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷(九)文科数学

2021届全国金太阳联考新高考原创预测试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数25i34i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()4,3 B ．()4,3- C ．()4,3-D ．()4,3--2．{}1,2,3=A ，{}3,0x B y y x ==>，则AB =（ ）A ．{}2,3B ．{}1,2,3C ．{}1x x >D ．{}0x x >3．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若425S S =，则62S S =（ ）A ．15B ．17C ．19D ．214．已知某内部挖空的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．()36416cm -πB ．36464cm 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31664cm 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3464cm 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭5．若变量x ，y 满足约束条件6,32,1,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．函数()()22log 23f x x x =++有（ ）A ．最大值2B ．最大值1C ．最小值1D ．最小值27．()A ϕ表示正数A 的整数部分的位数，若对正实数1x ，2x ，()11x n ϕ=，()22x n ϕ=，则（ ）A ．()12121x x n n ϕ+-≤B ．()1212121n n x x n n ϕ+-+≤≤C ．()1212121n n x x n n ϕ+++≤≤D ．()12121x x n n ϕ++≥8．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点为(),0F c ，直线2a x c =与一条渐近线交于点A ，OAF △的面积为22a （O 为原点），则抛物线24ay x b=的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．810．在ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a c >．若ABC △的面积为1cos 3B =，3b =，则()cos BC -的值为（ ） A ．2327 BC．3D11．设函数()32f x ax bx cx d =+++是奇函数，且x =为()f x 的极值点，()20f <，则()f x 的极大值点为（ ）A． BC ．1-D ．112．在面积为2的ABC △中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC ⋅+的最小值是（ ）A ．0B ．1 CD．二、填空题：本大题共4小题，把答案填在题中的横线上．13．已知函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，有()24f x x x =-，则()1f -=________． 14．已知函数()sin cos 6f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭则函数()f x 的最大值为________．15．底面边长为6，体积为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:32C x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．课后提升1．设变量x ，y 满足约束条件0,2,22,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．122．已知各项为正的等比数列{}n a 中，1a 与2017a 的等比中项为22，则420142a a +的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．22D ．43．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>相交于A ，B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．12+C ．22D ．22+4．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（ ）A ．14t ≥B ．18t ≥C ．14t ≤D ．18t ≤5．设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[]13x x =+，则（ ）A ．[][]441x x =+B ．[][]441x x <+C ．[][]44x x =D ．[][]44x x <6．已知向量()6,4a =-，()0,2b =，c a b λ=+，若C 点（即c 的坐标）在函数sin 12y x π=的图象上，则实数λ等于（ ） A ．52B ．32C ．52-D ．32-7．已知曲线()1ln 1f x x x =+-，1,e 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与直线y k =有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．01ln2k <<-B ．01ln2k <-≤C ．1ln2k >-D ．1ln 2k -≥8．在ABC △中，已知4A π=，cos B =，若BC =D 为AB 的中点，则CD 的长为（ ）A ．1BC ．2D文科数学参考答案1．B-4，3）． 2．A {}1,2,3=A ，{}3,0x B y y x ==>，则{}2,3AB =．3．D 由题意和等比数列的性质可得：2S ，42S S -，64S S -成等比数列，故6221S S =． 4．C 由三视图知该几何体是一个正方体的内部挖去一个圆锥后的剩余部分，根据三视图给出的有关的数据可得所以44464V =⨯⨯=正．116ππ4433V =⨯⨯⨯=圆锥， 所以剩余部分的体积16π643V =-，所以选C ． 5．D 作出可行域，当目标函数过点()1,1A 时取最小值，故21315min z =⨯+⨯=． 6．C 2232x x ++≥，∴()2log 21f x =≥． 7．B ∵12121121010n n n n x x +-+≤≤，∴()1212121n n x x n n ϕ+-+≤≤．8．C 由程序框图知：算法的功能是求1350lg lg lg lg 3572iS i =++++⋅⋅⋅++的值，∵1371lg lg lg lg 13599S =++⋅⋅⋅+=>-，而1391lg lg lg lg 1351111S =++⋅⋅⋅+=<-，∴跳出循环的i 值为9，∴输出9i =．9．A 依题意知，双曲线渐近线方程为：by x a=±，根据对称性可知，A 点在x 轴上方和下方的解是一样的，故令A 在x 轴上方，联立方程，2,,b y x aa x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 求得aby c=．∴2122OAF ab a S c c =⋅⋅=△， ∴a b =，∴抛物线的方程为24y x =， 即24p =，2p =．10．A 在ABC △中，sin 3B ==．又1sin 2ac B =6ac =． 由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+， 又3b =，所以2292213a c +=+⨯=．联立226,13,ac a c =⎧⎨+=⎩解得2a =，3c =或3a =，2c =． 因为a c >，所以3a =，2c =．在ABC △中，由正弦定理，得2sin sin 3c C B b ===因为a b c =>，所以C 为锐角，所以7cos 9C ===． 所以()cos cos cos sin sin B C B C B C -=+17233927=⨯=． 11．B ()f x 为奇函数()()f x f x ⇒-=-，即3232ax bx cx d ax bx cx d -+-+=----， 对于x ∈R 恒成立，∴0b d ==．又∵0f ⎛'= ⎝⎭，∴0a c +=， ∴()260f a =<，故易得x =为()f x 的极大值点． 12．D 取BC 中点为D ，2PC PB BC ⋅+222234344BC PD BC BC =++≥≥．13．3- 由题意知，()()113f f -==-．14 ()πsin cos 6f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2x x x ++3cos 2x x + π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．()f x15．49π 底面边长为6，设棱锥的高为x ，则1166sin6032x ⨯⨯⨯⨯⨯︒=3x =， 设外接球体的半径为R ，则()(2223R R -+=，得72R =， 所以外接球的表面积为274π49π2⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．16 设PCA θ∠=，所以PQ θ=．又cos ACθ=，[)3,AC ∈+∞，所以cos θ⎛∈ ⎝⎦，所以22cos 0,9θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 227sin 1cos ,19θθ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，所以sin θ⎫∈⎪⎪⎣⎭，所以3PQ ⎡∈⎢⎣． 课后提升1．C 作出可行域，如图阴影部分（包括边界）所示，平移直线50x y +=，可得当它过点()2,0M 时， z 取得最大值，max 52010z =⨯+=．2．B 因为(212017228a a ==，即420148a a ⋅=，则42014420142228a a a a +⋅=≥．选B ．3．B ∵422b pc a=，2p c =，21e =．4．B 第一次循环，2n =，2x t =，211a =-=；第二次循环，4n =，4x t =，413a =-=； 第三次循环，6n =，8x t =，633a =-=，此时满足条件输出83x t a =，由题意知833x t a =≥，解得81t ≥，即18t ≥，选B ．5．A 由[]4443x x =+得[][]441x x =+． 6．A ()6,42c a b λλ=+=-+，代入πsin 12y x =得421λ-+=， ∴52λ=． 7．B ()1ln 1f x x x=+-， 此时()f x 在区间[12，1]上单调递减， 在区间[]1,e 上单调递增， 又112ln 11ln 222f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，()11ln1101f =+-=，()11e lne 1e ef =+-=，且因为1ln210.6930.307-≈-=， 110.368e 2.718≈≈，所以11ln 2e-<． 所以01ln2k <-≤时，在1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使曲线()y f x =与直线y k =有两个交点．8．D∵cos B =且()0,πB ∈，∴sin B ==， ()3πcos cos πcos 4C A B B ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭3π3πcos cos sin sin 44B B =+==， 由正弦定理得sin sin BC ABA C=，=6AB =．在BCD中，(2223235CD =+-⨯⨯=，所以CD ．。

2021届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷（九）文

2021届普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷（九）文

2021年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（九）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试历时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：一、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

二、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

五、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}A x y ==，{}B x x a =≥，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．(],0-∞D ．[)3,+∞2．已知1i +是关于x 的方程220ax bx ++=（a ，b ∈R ）的一个根，则a b +=（ ） A ．1-B ．1C ．3-D ．33．已知核心在x 轴上的双曲线的焦距为23，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（ ）A ．2212x y -= B ．2212y x -= C ．2212x y -= D ．2212y x -= 4．函数sin 21cos xy x=+的部份图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．33cmB ．35cmC ．34cmD ．36cm6．依照程序框图（如图所示）执行，第3个输出的数是（ ）开始输出A结束是否1A =1S =5?S ≤2A A =+1S S =+A ．6B ．5C ．4D ．37．两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，则2+=a b（ ） A ．2B ．3CD 8．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x ∈R ），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 2x =，则()a b ，所在的直线为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=9．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方式的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1n． ①第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则12231n n a a a a a a -+++等于（ ）A ．()1n n -B ．()21n -C ．2nD ．()1n n +10．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150千米处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，25．小时后抵达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若3cos cos 4αβ=，则v =（ ） A ．60B ．80C ．100D ．12511．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与抛物线()220y px p =>有相同的核心F ，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点()3M t -，，MF =，则双曲线的离心率为（ ） A．2B．3C．2D12．已知函数()f x 是概念在R 上的奇函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数x ，都有()()20xf x f x '+>恒成立，且1f =，则使22x f x <（）成立的实数x 的集合为（ ） A．(()2-∞+∞，，B．(C ．(-∞D ．)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部份。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(六)数学(文)试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（六）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|02A xx⎧⎫=>⎨-⎩⎭∈⎬N，则集合UA的子集的个数为（）A. 3B. 4C. 7D. 8 【答案】D【解析】分析】通过解不等式12x>-，得到集合A，进而得出{0,1,2}UA=.因为集合中有3个元素，故其子集个数为32个.【详解】由102x >-得2x >，则{}|2A x x =∈>N {}{}20,1,2U A x x ∴=∈≤=N ，则UA 的子集个数为328=个.故选：D.【点睛】本题考查了补集的运算，集合子集个数的结论，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，若412a ii+-∈R ，则实数a 的值是（ ） A. 2- B. –1C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数.因为该复数是实数，所以令其虚部为零，求出a 的值. 【详解】4(4)(12)82412(12)(12)55a i a i i a a i i i i +++-+==+--+，且412a ii+-∈R ， 240a ∴+=，即2a =-.故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的分类知识，属于基础题.3.用计算机生成随机数表模拟预测未来三天降雨情况，规定1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨，根据随机生成的10组三位数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337，则预计未来三天仅有一天降雨的概率为（ ） A.12B.13C.49D.25【答案】D 【解析】 【分析】从所给的随机三位数中找出有且仅有一个13之间的数字的三位数，即表示未来三天仅有一天降雨.据古典概型的计算公式，即可得出结果.【详解】题中规定：1，2，3表示降雨，4，5，6，7，8，9表示不降雨， 在10组三位随机数：654 439 565 918 288 674 374 968 224 337中， 439 918 288 374这4组随机数仅含有一个13的数，即表示未来三天仅有一天降雨，根据古典概型的概率计算公式可知，其概率42105p ==. 故选：D.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题.4.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若342332,32S a S a =-=-，则首项1a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将已知两式相减，可得出434a a =，则该等比数列的公比为4q =，再将用1a 和q 来表示2332S a =-，即可解得1a 的值.【详解】由34233232S a S a =-⎧⎨=-⎩得3433a a a =-，即434a a =，则该等比数列的公比为4q =，2332S a =-21113()2a a q a q ∴+=-，即1115162a a =-，12a ∴=.故选：B.【点睛】本题考查了利用等比数列的通项公式求基本量，其中两式相减求得公比，是本题的关键.属于基础题.5.已知0,,cos22sin 212πααα⎛⎫∈=- ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.12B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式将已知三角函数式化简，结合(0,)2πα∈可得cos 2sin αα=，再利用平方关系，即可求出sin α.【详解】cos22sin 21αα=-，即cos212sin 2αα+=，∴由二倍角公式可得22cos 4sin cos ααα=，(0,)2πα∈，cos 0α∴>，则cos 2sin αα=又22sin cos 1αα+=，且sin 0α>5sin α∴=. 故选：C.【点睛】本题考查了利用二倍角公式进行三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，属于基础题.6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到：任画…条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了由4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每一条小线段重复上述步骤，得到由16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”；…；如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，则至少需要构造的次数是（ ）（取lg30.4771≈，lg 20.3010≈）A. 16B. 17C. 24D. 25【答案】B 【解析】 【分析】由题知，每一次构造即可将折线长度变成上一次长度的43倍，故折线长度构成一个以43为公比的等比数列，写出其通项公式4()3nn a a =⋅，则要在构造过程中使得到的折线的长度大于初始线段的100倍，只需求解不等式4()1003n n a a =>，即可得解. 【详解】设初始长度为a ，各次构造后的折线长度构成一个数列{}n a ，由题知143a a =，143n n a a +=，则{}n a 为等比数列，4()3n n a a ∴=⋅，假设构造n 次后，折线的长度大于初始线段的100倍，即4()1003n n a a => ， 43lg100log 100lg 4lg 3n ∴>=-，lg100216lg 4lg 320.30100.4771=≈-⨯-17n ∴≥【点睛】本题考查了图形的归纳推理，等比数列的实际应用，指数不等式的求解，考查了数形结合的思想.其中对图形进行归纳推理，构造等比数列是关键.属于中档题.7.已知α，β为两个不同平面，m ，n 为两条不同直线，则下列说法不正确的是（ ） A. 若m α⊥，n α⊥，则//m n B. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αC. 若m α⊥，m β⊥，则//αβD. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥【答案】B 【解析】 【分析】利用线线，线面以及面面的位置关系的判定定理和性质定理，对每个选项进行逐一判断，即可得解. 【详解】对于A ，m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质可知，垂直于 同一平面的两直线平行，选项A 正确；对于B ， m α⊥，m n ⊥，根据线面垂直的定义以及线面平行 的判定定理可知n ⊂α或//n α，故选项B 错误；对于C ， m α⊥，m β⊥，根据线面垂直的性质定理以及面面平行 的判定定理可得//αβ，故选项C 正确；对于D ，由m α⊥和αβ⊥可知//m β或m β⊂，又n β⊥，则由线面 平行的性质定理和线面垂直的性质定理可知，m n ⊥，故选项D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理，属于基础题.8.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且点(),n n a S 在直线3210x y --=上，则43S S =（ ） A.157B.4013C.112D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由题得3210n n a S --=，利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，11a =，从而判断出数列{}n a 是等比数列.再利用等比数列的求和公式，即可求出比值. 【详解】点(),n n a S 在直线3210x y --=上，3210n n a S ∴--=，当2n ≥时，113210n n a S ----=， 两式相减，得：13(2n n a a n -=≥且)n N *∈，又当1n =时，113210a S --=，则11a =，{}n a ∴是首项为1，公比为3的等比数列，1(13)31132n n n S ⨯--==-， 443331403113S S -∴==-. 故选：B.【点睛】本题考查了数列中由n S 与n a 的关系求数列的通项问题，等比数列的判定，等比数列的前n 项和公式，属于中档题.9.蒙日圆涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆()22:102x y C a a a+=>+的蒙日圆为226x y +=，则a =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】分两条切线的斜率是否同时存在进行分类讨论，在两条切线的斜率同时存在时，可在圆上任取一点()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，与椭圆方程联立，利用0∆=可得出关于k 的二次方程，利用韦达定理可求得实数a 的值.【详解】当椭圆两切线与坐标垂直时，则两切线的交点坐标为(，该点在圆226x y +=上，所以，226a +=，解得2a =；当椭圆两切线的斜率同时存在时，不妨设两切线的斜率分别为1k 、2k ， 设两切线的交点坐标为()00,x y ，并设过该点的直线方程为()00y y k x x -=-，联立()002212y kx y kx x y a a⎧=+-⎪⎨+=⎪+⎩， 消去y 得()()()()()()2220000222220a k a x k a y kx x a y kx a a ⎡⎤++++-++--+=⎣⎦，()()()()()()2222200004242220k a y kx a k a a y kx a a ⎡⎤⎡⎤∆=+--++⋅+--+=⎣⎦⎣⎦， 化简得()2220000220k a x kx y a y ⎡⎤+-++-=⎣⎦，由韦达定理得()2122012a y k k a x -==-+-，整理得()220022240a x y a +-+=-=，解得2a =. 综上所述，2a =. 故选：B.【点睛】本题考查利用椭圆两切线垂直求参数，考查分类讨论思想以及方程思想的应用，属于中等题. 10.已知正数a 、b 满足1410a b a b+++=，则+a b 的最大值是（ ） A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】 【分析】将+a b 当作整体，在原式的两边同时乘以+a b ，使14a b+这一部分配凑基本不等式的条件，从而得到一个关于+a b 的二次不等式，求解即可.【详解】由1410a b a b +++=， 得14()()10()a b a b a b a b++++=+，24()()a b a b a b a b ++∴+++24()5b aa b a b=++++ 10()a b =+，210()()5a b a b ∴+-+-4b a a b =+4≥= 当且仅当4b a a b=，即2b a =时，等号成立， 2()10()90a b a b ∴+-++≤，则19a b ≤+≤.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，解一元二次不等式.其中构造基本不等式的结构形式，将+a b 看成一个整体，是本题的关键，属于中档题.11.双曲线221313y x -=的上、下焦点为1F 、2F ，P 是双曲线上位于第一象限的点，4OP =，直线1PF 交x轴于点Q ，则2PQF 的内切圆半径为（ ）A.B. 2C. 3D.【答案】A 【解析】 【分析】分析出122F PF π∠=，并设1F P m =，可得出2F P m =+PQ t =，利用切线长定理可求得2PF Q △的内切圆半径.【详解】易知，双曲线221313y x -=的上焦点为()10,4F 、()20,4F -，又124OP OF OF ===，122F PF π∴∠=，设1F P m =，则223F P m =+PQ t =，则211F Q FQ F P PQ m t ==+=+， 设2PF Q △的内切圆与边PQ 、2PF 、2F Q 切于点M 、N 、Q ， 由切线长定理得PM PN =，22F N F D =，MQ DQ =，2MPN π∠=，2EN PF ⊥，EM PQ ⊥，且EM EN =，则四边形PMEN 为正方形，所以，(()2223232PF PQ F Q m t m t PM +-=++-+==，则3PM =， 因此，2PF Q △3故选：A.【点睛】本题考查双曲线中三角形内切圆半径的计算，涉及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.12.已知函数()f x 满足()()2f x f x =，当[1,2)x ∈时，()ln f x x =，则函数()()0y f x ax a =->在)4[1x ∈,上的零点个数()g a 的值域为（ ）A. {}0,1B. {}0,1,2C. {}0,1,2,3D. {0,1,2,3,4}【答案】B 【解析】 【分析】先由求出[2,4)x ∈时，()ln2xf x =.再将函数()()0y f x ax a =->的零点问题，转化为函数()y f x =的图象与直线(0)y ax a =>的公共点的问题，利用数形结合思想，即可判断出公共点个数，求出函数()g a ，从而求出()g a 的值域.【详解】由()()2f x f x =知()()2x f x f =，设[2,4)x ∈，则[1,2)2x∈， 则()()ln 22x xf x f ==，ln ,[1,2)()ln ,[2,4)2x x f x x x ∈⎧⎪∴=⎨∈⎪⎩，令()()0y f x ax a =->=0，即()f x ax =，∴函数()()0y f x ax a =->的零点个数，即为函数()f x 与直线(0)y ax a =>的交点个数，若(0)y ax a =>与函数()ln ,[1,2)f x x x =∈的图象相切， 设切点为11(,ln )M x x ，则切线斜率1111ln 1x k x x ==， 1[1,2)x e ∴=∉，故不能相切，若(0)y ax a => 与函数()ln,[2,4)2xf x x =∈的图象相切， 设切点为22(,ln )2x N x ，则切线斜率2222ln 2122x k x x =⋅=，22[2,4)x e ∴=∉，故也不能相切，又(2,ln 2)A ，(4,ln 2)B ，则ln 22OA k =，ln 24OB k =， ln 20,2ln 2ln 2()1,42ln 22,04a g a a a ⎧≥⎪⎪⎪∴=≤<⎨⎪⎪<<⎪⎩，则()g a 的值域为{0,1,2}.故选：B.【点睛】本题考查了代入法求函数的解析式，函数的零点个数，考查了转化思想和数形结合思想，属于较难题.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答，第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC ，则x =__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求解, 【详解】()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -(1,5),(1,10)AB AC x =-=--， //,5(1)100,3AB AC x x ∴--+==.故答案为:3【点睛】本题考查向量的坐标表示、平行向量的坐标形式的充要条件，属于基础题.14.已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为__________.【答案】34 【解析】 【分析】对*21(1,)nn n a a n N --=+-∈分奇偶进行讨论，得出数列21{}n a -是常数列，数列2{}n a 是公差为2的等差数列，然后用分组求和法，即可求解. 【详解】*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，∴当n 为奇数时，21210n n a a +--=，则数列21{}n a -是常数列，2112n a a -==；当n 为偶数时，2222n n a a +-=，则数列2{}n a 是以23a =为首项，2的等差数列，129139248()()a a a a a a a a a ∴+++=+++++++4325(342)2⨯=⨯+⨯+⨯ 34=.故答案为：34.【点睛】本题考查了数列递推求通项，等差数列的判定，分组求和法，等差数列的求和公式.考查了分类讨论的思想，属于中档题.15.三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形， SA ⊥面ABC ， 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .【答案】283π【解析】【详解】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC ∆为底面以SA 为高的正三棱柱的外接球∵ABC ∆是边长为2的正三角形 ∴ABC ∆的外接圆半径r =， 设球的半径为R ，因为SA ⊥面ABC ， 2SA =, 所以222284243R r =+=， ∴外接球的表面积为22843R ππ=， 故答案为283π点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16.设函数31,1()2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()31f f a f a -⎡⎤⎣⎦=的实数a 的取值集合为__________. 【答案】2{|3a a 或2log 3}a = 【解析】 【分析】由31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩知，当1a <时，()2f a <，当1a ≥时，()2f a ≥.令()t f a =，对t 进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出t 的值，再进一步求出a . 【详解】当1a <时，()312f a a =-<， 当1a ≥时，()2f a ≥ 令()t f a =，若1t <，()31f t t =-，与已知解析式相符，311a ∴-<，即23<a ； 若1t ≥，则()2tf t = 由231t t =-，得1t =或3， 当1t =时，()311t f a a ==-=，23a =； 当3t =时，()23at f a ===，2log 3a =. 故答案为：2{|3a a或2log 3}a =. 【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答.17.若ABC 的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且224()si sin n sin sin sin 3A B C B C -=-. （1）求cos A ；（2）若ABC A 的角平分线AD 长的最大值.【答案】（1）13；（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理将已知式化角为边，再由余弦定理求出cos A ； （2）由（1）的结论1cos 3A =及ABC sin A =和4bc =.再由二倍角公式求出cos23A =.将ABC 拆分成两个三角形ABD △和ACD ，利用面积相等，求出AD ，再利用基本不等式求出其最大值.【详解】解：（1）由正弦定理sin sin sin A B Ca b c ==， 及224()si sinn sin sin sin 3A B C B C -=-，可得224()3b c a bc -=-，即22223b c a bc +-=，∴由余弦定理得：2221cos 23b c a A bc +-==；（2）由1cos 3A =，得sin A =， cos23A ==， 1sin 23S ABC bc A ==，则4bc =， 由ABCABDACDS SS=+得111sin sin sin 22222A A AB AC A AB AD AC AD ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， 2cos2cos 22A Abc bc A AD b c ∴=≤==+， 当且仅当2b c ==时，等号成立， 即max AD =. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，基本不等式的应用，属于中档题.18.如图，正方体ABCD A B C D '''-'的棱长为4，点E 、F 为棱CD 、B C ''的中点.（1）求证：//CF 平面B ED ''； （2）求点D '到平面ACF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）4. 【解析】 【分析】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，证明出平面//CFM 平面B ED ''，利用面面平行的性质可证明出//CF 平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，证明出F 、N 、A 、C 四点共面，利用等体积法计算出点D 到平面ANF 的距离，即为所求. 【详解】（1）取C D ''的中点M ，连接CM 、FM ，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//CD C D ''且CD C D ''=，E 、M 分别为CD 、C D ''的中点，//CE D M '∴且CE D M '=，∴四边形CED M '为平行四边形，//CM D E '∴，CM ⊄平面B ED ''，D E '⊂平面B ED ''，//CM ∴平面B ED ''，F 、M 分别为B C ''、C D ''的中点，//FM B D ''∴，FM ⊄平面B ED ''，B D ''⊂平面B ED ''，//FM ∴平面B ED ''， CMFM M =，∴平面//CFM 平面B ED ''，CF ⊂平面CFM ，//CF ∴平面B ED ''；（2）取A B ''的中点N ，连接FN 、A C ''、A F '、D M '、D N '，N 、F 分别为A B ''、B C ''的中点，//FN A C ''∴，在正方体ABCD A B C D ''''-中，//AA CC ''且AA CC ''=，所以，四边形AA C C ''是平行四边形，//A C AC ''∴，//FN AC ∴，F ∴、N 、A 、C 四点共面，FND '的面积为221142422622FND A B C D A D N C D F B NFS SSS S''''''''''=---=-⨯⨯⨯-⨯=， AA '⊥平面A B C D ''''，∴三棱锥A D NF '-的体积为1164833A D NF D NF V S AA ''-'=⋅=⨯⨯=.由勾股定理得22224225AN AA A N ''=+=+=1222FN A C ''==226A F AA A F '''=+=.在ANF 中，22210cos 210AN NF AF ANF AN NF +-∠==-⋅， 2310sin 1cos 10ANF ANF ∴∠=-∠=， ANF ∴的面积为11310sin 2522622ANFSAN NF ANF =⋅∠=⨯=， 设点D 到平面ACF 的距离为h ，由D ANF A D NF V V ''--=， 即116833ANFS h h ⋅=⨯⨯=，解得4h =. 因此，点D 到平面ACF 的距离为4.【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平行，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查计算能力与推理能力，属于中等题.19.某连锁餐厅新店开业，打算举办一次食品交易会，招待新老顾客试吃.项目经理通过查阅最近5次食品交易会参会人数x （万人）与餐厅所用原材料数量y （袋），得到如下统计表：（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t （袋）的关系为40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有13万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）.参考公式：()()()112221ˆn niii ii i nniii x x y y x y nx ybxnxx x ===---==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511343i ii x y==∑，521558i i x ==∑，5213237i i y ==∑.【答案】（1） 2.51y x =-；（2）餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元. 【解析】 【分析】（1）计算出x 、y 的值，利用题中的数据结合最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出y 关于x 的线性回归方程ˆy bxa =+； （2）由（1）中求出的线性回归方程计算13x =时y 的值，再根据题意计算对应的利润值，比较大小即可． 【详解】（1）由表格中的数据可得1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，515222151343510.4252.5558510.45i ii i i x yx yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-， 因此，y 关于x 的线性回归方程为 2.51y x =-；（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当13x =时， 2.513131.5y =⨯-=，即预计需要原材料31.5袋.40020,031380,31t t C t t -<<⎧=⎨≥⎩，当31t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+.当30t =时，30030209020L =⨯+=； 当31t =时，70031380319920L =⨯-⨯=； 当32t =时，70031.5380329890L =⨯-⨯=.综上所述，餐厅应该购买31袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为9920元.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了利润计算问题，是中档题．20.已知过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的中点E 的横坐标为32，5AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）已知点()1,2D ，过点()4,0作直线l 交抛物线于M 、N 两点，求DM DN ⋅的最大值，并求DM DN ⋅取得最大值时直线l 的方程.【答案】（1）24y x =；（2）当直线l 的方程为40x y +-=时，DM DN ⋅取最大值1.【解析】 分析】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得出12322x x +=，利用焦点弦长公式可求得p 的值，进而可得出抛物线C 的方程；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积公式将DM DN ⋅表示为以m 为自变量的函数，利用二次函数的基本性质可求得DM DN ⋅的最大值及其对应的直线l 的方程.【详解】（1）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由于线段AB 的中点E 的横坐标为32，则12322x x +=， 由抛物线的焦点弦长公式得1235AB x x p p =++=+=，解得2p =. 因此，抛物线C 的方程为24y x =；（2）设点()33,M x y 、()44,N x y ，设直线l 的方程为4x my =+，联立244y xx my ⎧=⎨=+⎩，消去x 并整理得24160y my --=.由韦达定理得344y y m +=，3416y y =-.()()()()333333,1,21,23,2DM x y x y my y =-=--=+-，同理可得()443,2DN my y =+-，()()()()()()()234343434332213213DM DN my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22216143213483411m m m m m m =-++-+=---=-++.当1m =-时，DM DN ⋅取最大值1，此时，直线l 的方程为40x y +-=.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中平面向量数量积的最值的求解，考查计算能力，属于中等题.21.已知函数()xf x ae x =-有两个零点1x 、2x .（1）求实数a 的取值范围;（2）若213x x ≥，求实数a 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）⎛ ⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）由()0f x =得xx a e =，构造函数()x xg x e=，利用导数分析函数()y g x =的单调性与极值，作出函数()y g x =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围； （2）由题意推导出1201x x <<<，分1103x <≤和1113x ≤<两种情况讨论，结合213x x ≥以及函数()y g x =的单调性得出1x 的取值范围，再由()1a g x =以及函数()y g x =的单调性可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()x f x ae x =-，令()0f x =，可得xxa e =， 构造函数()x xg x e=，则直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点. ()1xxg x e -'=，令()0g x '=，得1x =，列表如下： x(),1-∞1()1,+∞()g x ' +-()g x极大值所以，函数()y g x =的单调递增区间为(),1-∞，单调递减区间为()1,+∞，且在1x =处取得极大值()11g e=.当0x <时，()0x x g x e =<；当0x >时，()0x g x x e=>，如下图所示：如上图可知，当10a e<<时，直线y a =与函数()y g x =的图象有两个交点， 因此，实数a 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）由（1）可知1>0x ，20x >，且()()12g x g x =，2113x x x ≥>，1201x x ∴<<<.①若1103x <≤，则21130x x >≥>，合乎题意； ②若1113x <<，则131x >，2131x x ≥>且函数()x x g x e=的单调递减区间为()1,+∞， ()()213g x g x ∴≤，即()()113g x g x ≤，即111133x x x x e e ≤，解得1ln 32x ≤，此时11ln 332x <≤. 综上所述，1x 的取值范围是ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.函数()x x g x e =在区间ln 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()()1ln 302g g x g ⎛⎫∴<≤ ⎪⎝⎭，即306a <≤.因此，实数a 的取值范围是30,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数以及函数不等式求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.（二）选考题.共10分请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 设()22Q ,ρθ，则由2sin 333{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭； 所以Q 2P =【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.23.如图，AB 是半圆的直径，O 为AB 的中点，⊥DO AB 、C 在AB 上，且AC x =，BC y =.（1）用x 、y 表示线段OD ，CD 的长度：（2）若0a >，0b >，2a b +=，求44a b +的最小值.【答案】（1）2x y OD +=，222x y CD +=（2）2 【解析】【分析】 （1）AB 为直径，AB x y =+，OD 为半径，则2x y OD +=.Rt OCD △中，利用勾股定理，可求出222x y CD +=（2）Rt OCD △中CD OD ≥2222++x y x y ，即可得222()122a b a b ++≥=.再令22,x a y b ==，2212a b +≥≥，由此解得442a b +≥. 【详解】解：（1）直径AB x y =+，则半径2x y OD +=， 在Rt OCD △中，CD ===即CD = （2）由（1）知，CD OD ≥，2+x y ，当且仅当x y =时，等号成立， 222()122a b a b ++∴≥=， 令22,x a y b ==2212a b +≥≥ 442a b ∴+≥（当且仅当1a b ==时，等号成立）， 44a b ∴+的最小值为2.【点睛】本题考查了勾股定理，基本不等式的变形应用，考查了转化的思想，属于中档题.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)文科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)文科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设函数y =定义域为A ，函数ln(3)y x =-的定义域为B ，则A B =（ ）A. (,3)-∞B. (8,3)--C. {3}D. [3,3)-【答案】D 【解析】 【分析】分别求出两个函数的定义域,A B ，进而求出AB 即可.详解】由题意，对于函数y =290x -≥，解得33x -≤≤，即[]3,3A =-； 对于函数ln(3)y x =-，30x ->，解得3x <，即(),3B =-∞， 所以AB =[3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查函数的定义域，考查集合的交集，属于基础题. 2.已知复数i()z a a =-∈R ，若8z z +=，则复数z =（ ） A. 4i + B. 4i -C.4i -+D.4i --【答案】B 【解析】 【分析】求出z 的表达式，再结合8z z +=，可求出a 的值，即可求出答案.【详解】由题意，i()z a a =-∈R ，i z a =+，所以i i 8a a -++=，解得4a =，故z =4i -. 故选：B.【点睛】本题考查共轭复数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.3.已知命题p ：0x ∀>，则31x >；命题q ：若a b <，则22a b <，下列命题为真命题的是( ) A. p q ∧ B. p q ∧⌝C. p q ⌝∧D. p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的性质可知命题p 为真命题，则￢p 为假命题，命题q 是假命题， 则￢q 是真命题．因此p ∧￢q 为真命题．【详解】命题p ：0x ∀>，则31x >，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=-1，b=-2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了全称命题的否定，训练了函数零点存在性定理的应用方法，考查复合命题的真假判断，是基础题．4.设,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列命题，正确的是（ ）． A. 若,m βαβ⊂⊥，则m α⊥ B. ,αβαγ⊥⊥，则βγ⊥C. 若m ∥α，m β⊥，则αβ⊥D. ,,m n m αγβγ⋂=⋂=∥n ，则α∥β 【答案】C 【解析】试题分析：A ．错，因为没说明垂直于两平面的交线，B ．错，垂直于同一平面的两个平面相交或平行，C ．正确，因为平面存在垂直于的线，D ．错，因为与有可能相交．故选C ．考点：线线，线面，面面位置关系5.郑州市2019年各月的平均气温()℃数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）A. 20B. 21C. 20.5D. 23【答案】C 【解析】 【分析】根据茎叶图结合中位数的定义读出即可．【详解】解：由题意得，这组数据是：01，02，15，16，18，20，21，23，23， 28，32，34， 故中位数是：202120.52+=， 故选：C ．【点睛】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数的定义，属于基础题． 6.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 的取值范围是（ ）A. (2,)+∞B. (4,10]C. (2,4]D. (4,)+∞【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】解：设输入x a =，第一次执行循环体后，32x a =-，1i =，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，98x a =-，2i =，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，2726x a =-，3i =，满足退出循环的条件； 故9882a -，且272682a ->， 解得：(4,10]a ∈， 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于中档题．7.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ）A. 58- B.18C.14D.118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线的离心率为（ ）A.B. 10C. 3D.3【答案】D 【解析】 【分析】由题可知直线350x y -+=与渐近线b y x a =-垂直，可求出b a 的值，进而由c e a ==心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 又因为直线350x y -+=的斜率为30>，所以与该直线垂直的渐近线方程为by x a=-，则31b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即13b a =，故双曲线的离心率c e a ====故选：D.【点睛】本题考查双曲线的渐近线与离心率，考查垂直直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.9.函数2||()24x x f x =-的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数()f x 的奇偶性，可排除A 、B 选项，再根据()0,2x ∈时，()0f x <，()2,x ∈+∞时，()0f x >，可选出答案.【详解】由题意，函数2||()24x x f x =-的定义域为}{,2x x x ∈≠±R ，又()22||||()2424x x x x f x ---==--，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，可排除A 、B 选项； 当()0,2x ∈时，2()024x x f x =<-；当()2,x ∈+∞时，2()024x x f x =>-，显然只有选项D 符合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，常常利用函数的定义域、奇偶性、单调性及特殊值等方法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于基础题.10.为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等，劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积．将aGini S=，称为基尼系数．对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为1[0,1])y x =∈，则π12Gini =-； 其中正确的是：（ ） A. ①② B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B 【解析】 【分析】结合基尼系数曲线的特点，可判断出①正确；由劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可知②错误；再结合1[0,1])y x =∈对应的图形特征，可求出对应的,a S ，进而可求出Gini ，即可判断③是否正确.【详解】对于①，根据基尼系数公式aGini S=，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确；对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知(0,1)x ∀∈，均有()f x x ≤，可得()1f x x≤，所以②错误；对于③，易知1[0,1])y x =∈表示圆心为()0,1，半径为1的14圆弧，则21111π111π4242a =⋅-⨯⨯=-，12S =，故11ππ421122a Gini S -===-，所以③正确. 故选：B.【点睛】本题考查新定义，考查不等式证明，考查几何图形面积的计算，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.11.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，三棱锥A 1-BC 1D 内切球表面积为4π，则正方体外接球的体积为( )A. B. 36πC. 3D. 6【答案】B 【解析】 【分析】利用体积相等求出正四棱锥的高，从而可得正四棱锥的棱长，可求得正方体的棱长，利用正方体外接球直接就是正方体对角线长，可求外接球的半径，进而可得结果. 【详解】设正方体的棱长为a ，则BD =，因为三棱锥11A BC D -内切球的表面积为4π， 所以三棱锥11A BC D -内切球的半径为1， 设11A BC D -内切球的球心为O ，1A 到面1BC D 的距离为h ，则1114A BC D O BC D V V --=，11114133BC D BC D S h S ∆∆⨯=⨯⨯⨯，4h ∴=， 又(23h ==，4,3a ∴== 又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，∴3=，其体积为343363ππ⨯=，故选B. 【点睛】解答多面体内切球的表面积与体积问题，求出内切球半径是解题的关键，求内切球半径的常见方法有两种：一是对特殊几何体（例如正方体，正四面体等等）往往直接找出球心，求出半径即可；二是对不规则多面体，往往将多面体分成若干个以多面体的面为底面以内切球的球心为高的棱锥，利用棱锥的体积和等于多面体的体积列方程求出内切球半径. 12.已知函数π()2f x x=-，()cos sin g x x x x =-，当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】分别判断两个函数的奇偶性及单调性，进而做出二者的图象，根据图象交点个数可得出答案. 【详解】由题意，函数π()2f x x=-，在[)(]4π,00,4π-上是奇函数，且是反比例函数，又()()()()cos sin cos sin g x x x x x x x g x -=----=-+=-，所以()g x 在[)(]4π,00,4π-上是奇函数.又()sin g x x x '=-，所以()0,πx ∈时，()0g x '<；()π,2πx ∈时，()0g x '>；()2π,3πx ∈时，()0g x '<；()3π,4πx ∈时，()0g x '>.所以()g x 在()0,π上单调递减；在()π,2π上单调递增；在()2π,3π单调递减；在()3π,4π上单调递增. 作出(),()f x g x 的图象，如下图所示，()00g =，()ππg =-，()1π2f =-，()()ππf g >，则()f x 与()g x 的图象在()0,πx ∈上有1个交点；()2π2πg =，()12π4f =-，()()2π2πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()π,2πx ∈上有1个交点；()3π3πg =-，()13π6f =-，()()3π3πf g >，则()f x 与()g x 的图象在()2π,3πx ∈上有1个交点；()4π4πg =，()14π8f =-，()()4π4πg f >，则()f x 与()g x 的图象在()3π,4πx ∈上有1个交点.故()f x 与()g x 的图象在(]0,4π上有4个交点，根据对称性可知，二者图象在[)4π,0-上4个交点，故当[4π,4π]x ∈-，且0x ≠时，方程()()f x g x =根的个数是8.故选：D.【点睛】本题考查函数图象交点问题，考查函数图象的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.幂函数()2()33mf x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义得到m 的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值. 【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，2331,m m ∴-+= 解得：1m =或2m =，当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数2y x 的图象关于y 轴对称，∴实数2m =．【点睛】幂函数y x α=，若α为偶数，则图象关于y 轴对称.14.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则直线0ax by +=与圆22(2)2x y -+=有公共点的概率为________. 【答案】712【解析】将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b 可得6636n =⨯=种结果，由直线与圆()2222x y -+=有公共点a b ≤≤，故满足a b ≤的结果有65432121m =+++++=种，由古典概型的计算公式可得：直线0ax by +=与圆()2222x y -+=有公共点的概率为2173612m P n ===，应填答案712．15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且b =(sin )A A b =，则ABC的面积的最大值为_______．【解析】 【分析】由正弦定理边角转化，并结合()sin sin C A B =+，可得到cos sin sin A B A B =，从而可得tan 3B =，即可求出角B ，再结合余弦定理，可得到223a c ac =+-，利用基本不等式可求得3ac ≤，进而由1sin 2ABC S ac B =△，可求出答案. 【详解】由正弦定理可得，3sin (sin 3cos )sin C A A B =+， 又()sin sin sin cos sin cos C A B A B B A =+=+，所以()3sin cos sin cos (sin 3cos )sin A B B A A A B +=+，则3sin cos sin sin A B A B =， 因为sin 0A ≠，所以3cos sin B B =，即tan 3B =，故π3B =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得223a c ac =+-， 又222232a c ac a c ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立， 所以3ac ≤，且11333sin 32224ABCSac B =≤⨯⨯=. 故答案为：33. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.16.据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数），同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点．下图是2019年11月CPI 一篮子商品权重，根据该图，下列四个结论正确的有______．①CPI 一篮子商品中权重最大的是居住 ②CPI 一篮子商品中吃穿住所占权重超过50% ③猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%④猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为0.18% 【答案】①②③【解析】 【分析】结合两个图，对四个结论逐个分析可得出答案.【详解】对于①，CPI 一篮子商品中居住占23%，所占权重最大，故①正确；对于②，CPI 一篮子商品中吃穿住所占19.9%8%23%50.9%++=，权重超过50%，故②正确； 对于③，由第二个图可知，猪肉在CPI 一篮子商品中权重为2.5%，故③正确；对于④，由第二个图可知，猪肉与其他禽肉在CPI 一篮子商品中权重约为2.5% 2.1% 4.6%+=，故④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题考查统计图的识别和应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()*11n n n b n a a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2,1,21, 2.n n a n n =⎧=⎨+≥⎩；（2）412030n n T n +=+【解析】 【分析】（1）由1n =时，11a S =，2n ≥时，1n n n a S S -=-，可求出{}n a 的通项公式； （2）由1n =时，1121b a a =，2n ≥时，11122123n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，进而结合裂项相消求和法可求出n T . 【详解】（1）当1n =时，112a S ==．当2n ≥时，()22121(1)2(1)121n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+---+--=+⎣⎦． 而12211a =≠⨯+，所以数列{}n a 的通项公式为2,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩.（2）当1n =时，1121112510b a a ===⨯， 当2n ≥时，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以1,110111.,222123n n b n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪++⎝⎭⎩，当1n =时，11110T b ==， 当2n ≥时，1231111111110257792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111411025232030n n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭． 又114111020130T ⨯+==⨯+，符合412030n n T n +=+， 所以412030n n T n +=+()*N n ∈． 【点睛】本题考查数列通项公式的求法，考查利用裂项相消法求数列的前n 项和n T ，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.在改革开放40年成就展上某地区某农产品近几年的产量统计表：（1）根据表中数据，建立y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （2）根据线性回归方程预测2020年该地区该农产品的年产量．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．（参考数据：()()612.8iii x x y y =--=∑，计算结果保留到小数点后两位）【答案】（1）0.16 6.44y x =+；（2）7.56万吨 【解析】 【分析】（1）先求出x 和y 的值，然后求出()621ii x x =-∑，进而由()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，a y bx =-，可求出ˆ,ba ，从而可求出y 关于x 的线性回归方程；（2）当年份为2020年时，年份代码为7x =，由（1）求得的回归方程，求出ˆy的值即可． 【详解】（1）由题意可知：1234563.56x +++++==，6.6 6.777.17.27.476y +++++==，()622222221( 2.5)( 1.5)(0.5)0.5 1.5 2.517.5i i x x=-=-+-+-+++=∑，所以()()()1212.8ˆ0.1617.5niii nii x x y y bx x ==--===-∑∑， 又70.16 3.5 6.44a y bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为0.16 6.44y x =+．（2）由（1）可得，当年份为2020年时，年份代码为7x =，此时0.167 6.447.56y =⨯+=． 所以可预测2020年该地区该农产品的年产量约为7.56万吨．【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA B B ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求证：1//B C 平面1A BD ；（2）若160A AB ACB ∠=∠=︒，1AB BB =，2AC =，1BC =，求三棱锥1C AA B -的体积． 【答案】（1）详见解析；（2）34【解析】 【分析】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点，可知1//OD B C ，进而由线面平行的判定定理可证明1//B C 平面1A BD ；（2）在ABC 中，利用余弦定理可求得3AB =222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，再结合平面11AA B B ⊥平面ABC ，可知BC ⊥平面11AA B B ，进而求出1A AB S △，从而由1113C A AB AA BV S BC -=⋅可求出答案.【详解】（1）连结1AB 交1A B 于点O ，则O 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点，所以1//OD B C ， 又OD ⊂平面1A BD ，1B C ⊂/平面1A BD ， 所以1//B C 平面1A BD ． （2）2AC =，1BC ∴=，60ACB ∠=︒，22212cos 4122132AB AC BC AC BC ACB ∴=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，3AB ∴=，222AC AB BC ∴=+，AB BC ∴⊥．又平面11AA B B ⊥平面ABC ，平面11AA B B平面ABC AB =，BC ⊂平面11AA B B ，BC ∴⊥平面11AA B B ．160A AB =︒∠，1AB BB =，∴四边形11AA B B 为菱形，1ABA △为正三角形，13AA AB ∴==.11111333sin 332224A AB S AB AA A AB ∴=⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△． 1111333133C A AB AA BV SBC -∴=⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为32．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线l 平行于直线by x a=，且与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若AOB ∠为钝角，求直线l 在x 轴上的截距m 的取值范围．【答案】（1）22182x y +=；（2）(2,0)(0,22)-⋃ 【解析】 【分析】（1）由短轴长为23,a b 的值，进而可求出椭圆的标准方程； （2）由直线l 平行于直线b y x a=，可设直线l 的方程为1(0)2y x n n =+≠，与椭圆方程联立，可得到关于x 的一元二次方程，由>0∆，可求得22n -<<，再结合AOB ∠为钝角，可得0OA OB ⋅<，且0n ≠，将该式展开，并结合韦达定理，可求出22n <，进而可求出n 的取值范围，再结合直线l 在x 轴上的截距2m n =-，可求出m 的取值范围．【详解】（1）由题意可得2b =b =c e a ===a = 所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=．（2）由于直线l 平行于直线by x a =，即12y x =，设直线l 在y 轴上的截距为n ， 所以l 的方程为1(0)2y x n n =+≠． 联立221,2182y x n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222240x nx n ++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于,A B 两个不同的点， 所以()22(2)4240n n ∆=-->，解得22n -<<．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122x x n +=-，21224x x n =-．因为AOB ∠为钝角等价于0OA OB ⋅<，且0n ≠， 所以121212121122OA OB x x y y x x x n x n ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+++⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212125524(2)04242n nx x x x n n n n =+++=-+-+<，即22n <，且0n ≠， 所以直线l 在y 轴上的截距n的取值范围：(⋃． 因为直线l 在x 轴上的截距2m n =-，所以m的取值范围是：(-⋃．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.21.已知函数ln ()()xf x a x a =∈+R ，曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =． （1）求实数a 的值，并求()f x 的单调区间 （2）求证：当0x >时，()1f x x ≤-．【答案】（1）单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞；（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）对()f x 求导，由(e)0f '=，可求出a 的值，进而可得()f x 解析式，求出单调性即可；（2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤，进而构造函数2()ln (0)g x x x x x =-+>，求导并判断单调性可知()(1)0g x g ≤=，从而可证明结论.【详解】（1）ln ()xf x x a =+，2ln ()()x axxf x x a +-'∴=+， 2e (e)(e )af a '∴=+， 又曲线()y f x =在点(e,(e))f 处的切线方程为1ey =，则(e)0f '=，即0a =， 21ln ()xf x x -'∴=， 令()0f x '>，得1ln 0x ->，即0e x <<； 令()0f x '<，得1ln 0x -<，即e x >，所以()f x 的单调增区间是(0,e)，单调减区间是(e,)+∞． （2）当0x >时，要证()1f x x ≤-即证2ln 0x x x -+≤， 令2()ln (0)g x x x x x =-+>，则2112(1)(21)()21x x x x g x x x x x+--+'=-+==-， 当01x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，即当0x >时，()1f x x ≤-．【点睛】本题考查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在极坐标系中，圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>．以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程， （Ⅱ）若直线l 与圆C 交于,A B两点，且||AB ≥．求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）222:()C x y a a +-=，:4350l x y -+=；（Ⅱ）101011a ≤≤. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程进行转化即可求圆C 的标准方程，消去参数即可求直线l 的普通方程； （Ⅱ）利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可．【详解】解：（Ⅰ）因为圆C 的方程为2sin (0)a a ρθ=>，所以圆C 的直角坐标方程为222()x y a a +-=，直线l 的参数方程为31,43x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去t 得到4350x y -+=（Ⅱ）由圆的方程可得圆心(0,)C a ，半径R a =，则圆心到直线的距离|53|5a d -==，||3AB a ．3a ∴，即22234a da -， 则224a d ，即2a d ，则|53|52a a -， 则35252a a a --， 由35253552a a a a -⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩解得101110a a ⎧⎪⎨⎪⎩，解得101011a ．即实数a 的取值范围是101011a ． 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程与普通方程的关系，以及直线和圆相交的弦长公式的应用，考查学生的转化能力，属于中档题． 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（ ）A. {|0}x x <B. {|01}x xC. {|10}x x -<D. {|1}x x -【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()RAB【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<，所以 (){|1}RA B x x =-.故选：D【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题.2.若复数z 与其共轭复数z 满足213z z i -=+，则||z =（ ） A .B.C. 2D.【答案】A 【解析】 【分析】设z a bi =+，则2313z z a bi i -=-+=+，得到答案.【详解】设z a bi =+，则222313z z a bi a bi a bi i -=+-+=-+=+，故1a =-，1b =，1z i =-+，z =.故选：A .【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.3.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为53，则其渐近线为( )A. 2x+y=0B. 20x y ±=C. 340x y ±=D. 430x y ±=【答案】D 【解析】 本题由双曲线的标准方程，离心率出发来求解其渐近线，主要考察学生对双曲线概念，基本关系的理解与应用，属于简单题型． 请在此填写本题解析! 解 因为5e 3c a ==, 23c 5a,9c =即=252a ,因为22c a =+2b ,所以，29a +29b =252a 即化简得b a =43,所以答案为D. 4.在区间(]0,4内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立’为真命题”的概率为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】 【分析】由该命题为真命题得出20a b ->，画出不等式组040420a b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩表示的平面区域，根据几何概型的计算公式求解即可.【详解】x R ∃∈，不等式220x ax b ++<成立，即()22min0x ax b++<则2202022a a a b a b ⎛⎫⎛⎫-+⨯-+<⇒-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭作出040420a b a b <≤⎧⎪<≤⎨⎪->⎩的可行域，如下图所示则使得该命题为真命题的概率14212444P ⨯⨯==⨯ 故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划的简单应用，面积型几何概型求概率问题，属于中档题. 5.若向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则|2+|=a b （ ）2 32 C. 322 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行得到3x =-，故()|2+|=3,3a b -，计算得到答案.【详解】向量(1,2)a x =+与(1,1)b =-平行，则()12x -+=，故3x =-，()()()|2+|=4,41,13,3a b -+-=-=故选：C .【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.6.F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 4 B.92C. 3D.72【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程,利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,列出方程求出A,B 的中点横坐标的和,求出线段AB 的中点到y 轴的距离 【详解】F 是抛物线22y x =的焦点,1,02F ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,准线方程12x =-,设()()1122,,A x y B x y ,1211||||822AF BF x x ∴+=+++=, 127x x ∴+=,∴线段AB 的中点横坐标为72, ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为72所以D 选项是正确的【点睛】抛物线的弦长问题一般根据第一定义可简化运算．7.已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若,m n m α⊥⊥，则//n α B. 若//,//,m n m n αα⊄，则//n α C. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ D. 若//,//m ααβ，则//m β或m β⊂【答案】A【解析】 【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】对于A ：若,m n m α⊥⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；BCD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力. 8.已知函数()y f x =的部分图像如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()tan f x x x =+B. ()2sin f x x x =+C. ()sin f x x x =-D. 1()cos 2f x x x =-【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域排除A ，根据奇偶性排除D ，根据单调性排除B ，即可得出答案. 【详解】由图象可知，函数()f x 在R 上单调递增，且为奇函数 对A 项，由于定义域不是R ，则A 错误； 对B 项，当(0,)x π∈时，()12cos f x θ'=+2()003f x x π'>⇒<<；2()03f x x ππ'<⇒<< 则函数()f x 在(0,)π不是单调递增，则B 错误；对C 项，()1cos 0f x x '=-≥，则函数()f x 在R 上单调递增又()2sin()2sin ()f x x x x x f x =-+-=--=-，则函数()f x 为奇函数，则C 正确； 对D 项，11()cos()cos ()22f x x x x x f x -=---=--≠-，则函数()f x 不是奇函数，则D 错误； 故选：C【点睛】本题主要考查了根据图象判断解析式，属于中档题.9.已知函数41()2x xf x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c b a << B. b a c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】解：因为41()222x x xxf x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2xy =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x xf x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20< 所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >>即a b c >> 故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.10.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus ，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(..M R Pogson )又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()1221 2.5lg lg m m E E -=-.其中星等为i m 的星的亮度为()1,2i E i =.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r 倍，则与r 最接近的是(当x 较小时， 2101 2.3 2.7x x x ≈++) A. 1.24 B. 1.25C. 1.26D. 1.27【答案】C 【解析】【分析】根据题意，代值计算，即可得r ，再结合参考公式，即可估算出结果. 【详解】根据题意可得：()211 1.25 2.5lgE lgE -=-可得12110E lgE =，解得1110210E r E ==， 根据参考公式可得111 2.3 2.7 1.25710100r ≈+⨯+⨯=， 故与r 最接近的是1.26. 故选：C.【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题. 11.已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()0||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭， 的部分图像如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S 的值为（ ）A. 1-B. 0C.12D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像得到()sin(2)3f x x π=+，sin 33n n a ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，6n n a a +=，计算每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++，计算得到答案.【详解】741234T πππ=-=，故T π=，故2ω=，()sin(2)f x x ϕ=+，2sin()033f ππϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故2,3k k Z ϕππ+=∈，故2,3k k Z πϕπ=-∈，当1k =时满足条件，故3πϕ=，()sin(2)3f x x π=+，sin 633n n n a f πππ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()66sin 33n n a n a ππ++⎛⎫= ⎪⎝⎭=+，1a =，20a =，32a =-，42a =-，50a =，62a =，每个周期和为0，故20201234S a a a a =+++=. 故选：D .【点睛】本题考查了数列和三角函数的综合应用，意在考查学生计算能力和综合应用能力.12.已知函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，若函数()()F x f x mx =-有4个零点，则实数m 的取值范围是( )A. 5126⎛⎫⎪⎝⎭B. 52⎛-⎝C. 1,320⎛-⎝ D. 11,206⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数零点定义可知()f x mx =有四个不同交点，画出函数图像可先求得斜率的大致范围.根据函数在24x ≤<和46x ≤<的解析式，可求得y mx =与两段函数相切时的斜率，即可求得m 的取值范围. 【详解】函数2(1)1,2()1(2),22x x f x f x x ⎧--+<⎪=⎨-≥⎪⎩，函数()()F x f x mx =-有4个零点，即()f x mx =有四个不同交点. 画出函数()f x 图像如下图所示：由图可知，当24x ≤<时，设对应二次函数顶点为A ，则13,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，11236OAk ==， 当46x ≤<时，设对应二次函数的顶点为B ，则15,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，114520OB k ==.所以11206m <<. 当直线y mx =与24x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有三个交点，此时()211322y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()22680x m x +-+=.()226480m ∆=--⨯=，解得322,m =- 322m =+； 当直线y mx =与46x ≤<时的函数图像相切时与函数()f x 图像有五个交点，此时()211544y mxy x =⎧⎪⎨=--+⎪⎩，化简可得()2410240x m x +-+=.()24104240m ∆=--⨯=，解得56,2m =562m =；故当()f x mx =有四个不同交点时56,3222m ⎛∈- ⎝. 故选：B.【点睛】本题考查了分段函数解析式的求法，函数零点与函数交点的关系，直线与二次函数相切时的切线斜率求法，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本.若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为_____. 【答案】700 【解析】 【分析】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x 的值，可得高三年级的学生人数.【详解】设从高三年级抽取的学生人数为2x 人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x ﹣2，2x ﹣4. 由题意可得()()2222436x x x +-+-=，∴7x =. 设我校高三年级的学生人数为N ，再根据36271800N⨯=，求得N ＝700 故答案为：700.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题.14.已知实数,x y 满足24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =-的最大值为_______.【答案】22 【解析】 【分析】3y x z =-，作出可行域，利用直线的截距与b 的关系即可解决.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，由3z x y =-可得3y x z =-，观察可知，当直线3y x z =-过点B 时，z 取得最大值，由2402x y y --=⎧⎨=⎩，解得82x y =⎧⎨=⎩，即(8,2)B ，所以max 38222z =⨯-=.故答案为：22.【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34310a S ==，，则11nk kS ==∑_____. 【答案】21nn + 【解析】 【分析】 计算得到()12n n n S +=，再利用裂项相消法计算得到答案. 【详解】3123a a d =+=，414610S a d =+=，故11a d ==，故()12n n n S +=， ()1111211122211111nn nk k k k n S k k k k n n ===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，裂项相消法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16.在三棱锥P ABC -中，2,1,90PA PC BA BC ABC ︒====∠=，点P 到底面ABC 的距离是3；则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________. 【答案】5π 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理以及勾股定理得出3PB =，PB ⊥平面ABC ，将三棱锥P ABC -放入长方体中，得出长方体的外接球的半径，即为三棱锥P ABC -的外接球的半径，再由球的表面积公式得出答案. 【详解】取AC 中点为D ，连接,PD BD ，过点P 作BD 的垂线，垂足为E2,1PA PC BA BC ====,AC BD AC PD ⊥⊥,PD BD ⊂平面PBD ，PD BD D ⋂=AC ∴⊥平面PBDPE ⊂平面PBD ，PE AC ∴⊥PE BD ∴⊥，,BD AC ⊂平面ABC ，BD AC D ⋂= PE ∴⊥平面ABC ，即3PE =在Rt PED ∆中，2227222PD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭ ()22222732ED PD PE ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝∴=⎭=- 2BD =，E ∴与B 重合，即3PB =，PB ⊥平面ABC 将三棱锥P ABC -放入如下图所示的长方体中则该三棱锥的外接球的半径22211(3)52R ++==所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积2545S ππ=⨯=⎝⎭故答案为：5π【点睛】本题主要考查了多面体的外接球的问题，涉及了线面垂直的证明，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分）17.某年级教师年龄数据如下表：(1)求这20名教师年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名教师年龄的茎叶图；(3)现在要在年龄为29岁和31岁的教师中选2位教师参加学校有关会议，求所选的2位教师年龄不全相同的概率．【答案】（1）30,18；（2）见解析；（3）47 【解析】 试题分析：(1)由所给的年龄数据可得这20名教师年龄的众数为30，极差为18. (2)结合所给的数据绘制茎叶图即可；(3)由题意可知，其中任选2名教师共有21种选法，所选的2位教师年龄不全相同的选法共有12种，结合古典概型计算公式可得所求概率值为47. 试题解析：(1)年龄为30岁的教师人数为5，频率最高，故这20名教师年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40－22＝18. (2)(3)设事件“所选的2位教师年龄不全相同”为事件A .年龄为29，31岁的教师共有7名，从其中任选2名教师共有＝21种选法，3名年龄为29岁的教师中任选2名有3种选法，4名年龄为31岁的教师中任选2名有6种选法，所以所选的2位教师年龄不全相同的选法共有21－9＝12种，所以P (A )＝＝. 18.在锐角△ABC 中，3a =________， （1）求角A ；（2）求△ABC 的周长l 的范围．注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(),()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．【答案】（1）若选①，3π（2）(623,63+ 【解析】 【分析】（1）若选①，12m n ⋅=-，得到1cos 2A =，解得答案. （2）根据正弦定理得到4sin sin sin a b c ABC ===，故43236ABC l B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△到答案.【详解】（1）若选①，∵(cos,sin ),(cos ,sin )2222A A A Am n =-=，且12m n ⋅=-221cos sin 222A A ∴-+=-，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）4sin sin sin a b cA B C===， 故24sin 4sin 234sin 4sin 233ABC l B C B B π⎛⎫=++=-++⎪⎝⎭△ 43236ABClB π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，锐角△ABC ，故62B ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，.2,633B πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,(623,63ABC l ⎤∴∈+⎦△. （1）若选②，()cos 2cos A b c a C =-，则2cos cos cos b A a C c A =+，2sin cos sin B A B =，1cos 2A ∴=，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭，（2）问同上；（1）若选③131()cos (cos sin )224f x x x x =+-＝21cos 2x ＋3cos sin 2x x －14＝12×1+cos 22x ＋3×sin 22x －141131=(cos 2sin 2)=sin(2)22226x x x π++， ()11sin 2462f A A π⎛⎫=∴+= ⎪⎝⎭，0,23A A ππ⎛⎫∈∴∠= ⎪⎝⎭.（2）问同上；【点睛】本题考查了向量的数量积，正弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 19.如图所示的多面体中，四边形ABCD 是正方形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF DC ，112ED EF CD ===，30EAD =∠°.（1）求证：AE FC ⊥；（2）求点D 到平面BCF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理以及性质，即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）四边形ABCD 是正方形，CD AD ∴⊥又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCDCD 平面ADE又AE ⊂平面ADECD AE ∴⊥在ADE 中，2,1,30AD DE EAD ==∠=︒ 由余弦定理得，3AE =，∴222AE DE AD +=，∴AE ED ⊥.又CDED D =，,CD ED ⊂平面EFCD∴AE ⊥平面EFCD . 又FC ⊂平面EFCD ∴AE FC ⊥.（2）连结DF ，由（1）可知，AE ⊥平面CDEF 四边形ABCD 是正方形，∴//AB DC 又DC ⊂面CDEF ，AB ⊄面CDEF ∴//AB 面CDEF∴A 到CDEF 的距离等于B 到CDEF 的距离.即B 到面DFC 的距离为AE .在直角梯形EFCD 中，1,1,2EF DE DC === ∴2FC =∴112CDF S DC DE =⨯⨯=△，1333B CDF CDF V S AE -=⋅=△ 在直角梯形EFBA 中，1,3,2EF AE AB ===可得2BF =在等腰BFC △中，2BC BF ==，2FC =∴1147222BFC S ==△ 设点D 到平面BFC 的距离为d ，D BCF B CDF V V --=，即133D BCF BFC V S d -=⋅=△，3221=7BFCd S ∆∴=∴点D 到平面BCF 的距离为2217.【点睛】本题主要考查了证明线线垂直以及求点到平面的距离，属于中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，且过点(01)B ，. （1）求椭圆的标准方程；（2）直线:(2)l y k x =+交椭圆于,P Q 两点，若点B 始终在以PQ 为直径的圆内，求实数k 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）31,102⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）题设条件为1,2b a b ==易得椭圆方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由韦达定理可得12x x +，注意到直线(2)y k x =+恒过定点(2,0)-，此为椭圆的左顶点，因此有12x =-，10y =，这样可得出Q 点坐标，点B 始终在以PQ 为直径的圆内，则0BP BQ ⋅<，由此可得k 的范围．【详解】（1）由题意知，213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩， 椭圆的标准方程为：2214x y +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y 联立22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222(14)16(164)0(*)k x k x k +++-=， 依题意：直线:(2)l y k x =+恒过点(2,0)-，此点为椭圆的左顶点，所以112,0x y =-=① ，由（*）式，21221614k x x k +=-+②，得1212()4y y k x x k +=++ ③ ，由①②③，22222284,1414k kx y k k -==++， 由点B 在以PQ 为直径圆内，得PBQ ∠为钝角或平角，即0BP BQ ⋅<.22(2,1),(,1)BP BQ x y =--=-22210BP BQ x y ⋅=--+<.即2224164101414k kk k -+->++ 整理得220430k k --<，解得31,102k ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交中的范围问题．由于直线过定点(2,0)-是椭圆左顶点，即其中一个交点已知了，因此可求出另一交点坐标，利用0BP BQ ⋅<求得结论．本题属于中档题．考查学生的运算求解能力．21.已知函数()ln f x x ax =-()a R ∈.（1）若曲线()y f x =与直线1ln 20x y ---=相切，求实数a 的值； （2）若不等式()()1ln xx f x x e+≤-在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1；（2）1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再求导，通过导数的符号变化确定函数的单调性，进而求出极值和最值. 详解：（1）()1'f x a x=-， 设切点的横坐标为0x ，由题意得00001112a x x ln lnx ax⎧-=⎪⎨⎪--=-⎩， 解得012x =，1a =， 所以实数a 的值为1.（2）由题意，()()1ln ln xx x ax x e+-≤-在定义域内恒成立， 得()ln 111x a x e x ≥+++在定义域内恒成立， 令()()()ln 1011x g x x x e x =+>++， 则()()2111ln '1x e x g x x -+-=+，再令()111ln h x x e x =-+-，则()211'0h x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，即()y h x =在()0,+∞上单调递减，又()0h e =，所以当()0,e x ∈时，()0h x >，从而()'0g x >，()y g x =在()0,e 上单调递增； 当()e,x ∈+∞时，()0h x <，从而()'0g x <，()y g x =在(),e +∞上单调递减； 所以()g x 在x e =处取得最大值()1g e e=， 所以实数a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：1.在处理曲线的切线时，要注意区分“在某点的切线”和“过某点的切线”，前者的点一定为切点，但后者的点不一定在曲线上，且也不一定为切点；2.在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用“()f x M ≥恒成立min ()f x M ⇔≥”进行处理.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4－4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为6cos 0ρθ-=. （1）写出直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,0)A ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，,P Q 中点为M ，求||||||AP AQ AM 的值.【答案】（1）10x y --=.22(3)9x y -+=.（2）2【解析】 【分析】（1）直接利用极坐标和参数方程公式计算得到答案.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入方程得到125t t =-，12t t +=.【详解】（1）直线:cos 4l πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故cos sin 10ρθρθ--=，即直线l 的直角坐标方程为10x y --=.因为曲线:6cos 0C ρθ-=，则曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=， 即22(3)9x y -+=.（2）设直线l的参数方程为1,22x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C的直角坐标系方程得250t --=.设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则125t t =-，12t t += 所以M对应的参数1202t t t +==120|t ||t |||||=||||2AP AQ AM t ==. 【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|2|f x x =+.（1）求不等式()(2)4f x f x x +-<+的解集；（2）若x ∀∈R ，使得()()(2)f x a f x f a ++恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1) {}22x x -<<.(2) 22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）先由题意得24x x x ++<+，再分别讨论2x -≤，20x -<≤，0x >三种情况，即可得出结果； （2）先由含绝对值不等式的性质，得到()()22f x a f x x a x a ++=++++≥，再由题意，可得22a a ≥+，求解，即可得出结果.【详解】（1）不等式()()24f x f x x +-<+ 可化为24x x x ++<+， 当2x -≤时，224x x --<+ ，2x >-，所以无解； 当20x -<≤时，24x <+ 所以20x -<≤；当0x >时，224x x +<+，2x < ，所以02x <<，综上，不等式()()24f x f x x +-<+的解集是{}|22x x -<<.（2）因为()()22f x a f x x a x a ++=++++≥又x R ∀∈，使得()()()2f x a f x f a ++≥ 恒成立，则22a a ≥+，()2222a a ≥+，解得223a -≤≤-. 所以a 的取值范围为22,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的思想，以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。

2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)

2021届金太阳高三新高考(广东卷)联考数学试题(解析版)

2021届金太阳高三新高考（广东卷）联考数学试题一、单选题 1．若13z i =-，则zz的虚部为（ ）A B ．10C ．10-D ．10-【答案】A【解析】由已知先求出zz的值，可得虚部的值. 【详解】解：由,1010z z ==+，故选：A. 【点睛】本题主要考查虚数的概念与四则运算，考查基础的知识与运算，属于基础题. 2．设集合2{|}A x x x =<，2}6{|0B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．（0，1）B ．()()3,01,2-⋃C ．（－3，1）D ．()()2,01,3-⋃【答案】B【解析】化简集合A ，B ，根据交集运算即可求值. 【详解】因为2{|}A x x x =<(,0)(1,)=-∞⋃+∞，26{|}(32)0,B x x x =+-<=-所以()()3,01,2A B ⋂=-⋃. 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的运算，属于中档题.3．2020年7月，我国湖北､江西等地连降暴雨，造成严重的地质灾害.某地连续7天降雨量的平均值为26.5厘米，标准差为6.1厘米.现欲将此项统计资料的单位由厘米换为毫米，则标准差变为（ ） A ．6.1毫米 B ．32.6毫米C ．61毫米D ．610毫米【答案】C【解析】利用标准差公式即可求解. 【详解】设这7天降雨量分别为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x6.1= 因为1厘米=10毫米，这7天降雨量分别为101x ，102x ，103x ，104x ，105x ，106x ，107x ， 平均值为10x =265，10 6.161==⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查统计知识，考查标准差的求解，考查数据处理能力，属于基础题. 4．若01b <<，则“3a b >”是“a b >”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】因为01b <<，所以32(1)0b b b b -=->，即3b b >， 故a b >可推出3a b >， 而3a b >推不出a b >，（例如11,42ab ） 故“3a b >”是“a b >”的必要不充分条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件，不等式的性质，属于中档题.5．函数()2sin cos f x x x x x =-在[,]-ππ上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果. 【详解】因为()2sin (cos )f x x x x x f x =-+=--，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除A 与C.又因为2sin cos 3066666126f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛=⋅-⋅=< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以排除B.故选：D. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，属于基础题型.6．某班级8位同学分成A ，B ，C 三组参加暑假研学，且这三组分别由3人､3人､2人组成.若甲､乙两位同学一定要分在同一组，则不同的分组种数为（ ） A ．140 B ．160 C ．80 D ．100【答案】A【解析】分两种情况讨论即甲､乙两位同学在A 组或B 组和甲､乙两位同学在C 组； 【详解】甲､乙两位同学在A 组或B 组的情况有13652120C C ⨯=种，甲､乙两位同学在C 组的情况有336320C C =种，共计140种.故选：A.【点睛】本题考查计数原理的应用，考查数据处理能力.7．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间t （单位：时）的变化近似满足函数关系11()sin 5(0,916)36f t A t A t ππ⎛⎫=-+>≤≤⎪⎝⎭，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ） A ．1万 B ．9千C ．8千D ．7千【答案】B【解析】利用当14t =时，()7f t =，求出4A =，由916t ≤≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】下午两点整即14t =，当14t =时，()7f t =. 即17sin576A π+=，∴4A =， ∵当916t ≤≤时，1136t ππ-∈77,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴当115362t πππ-=时，()f t 取得最大值，且最大值为459+=. 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数的性质求解析式、三角函数的应用，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克.地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克.下列各数中与mM最接近的是（ ） （参考数据：lg30.4771≈，lg60.7782≈） A ． 5.51910- B ． 5.52110-C ． 5.52510-D ． 5.52310-【答案】D【解析】根据题意，得到6310mM-=⨯，两边同时取以10为底的对数，根据题中条件，进行估算，即可得出结果. 【详解】因为6310m M -=⨯，所以6lg lg3lg100.47716 5.5229 5.523m M-=+≈-=-≈-. 故5.52310mM-≈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.二、多选题9．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【答案】AC【解析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D. 【详解】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A 正确，B 错误.双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误. 故选：AC 【点睛】本题考查根据双曲线方程求渐近线以及基本量，考查基本求解能力，属基础题. 10．若tan 2tan 54x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则tan x 的值可能为（ ）A ．B ．2-C D ．2【答案】BD【解析】先设tan x t =，再化简原式进行代换，解得t 值，即得tan x 的值. 【详解】设tan x t =，22222tan tan 1212(1)tan 2tan 41tan 1tan 111x x t t t t x x x x t t t π++-+⎛⎫-+=-=-= ⎪-----⎝⎭222(1)1t t t -+=-22151t t +==-，232t ∴=，故6tan 2x t ==±. 故选：BD. 【点睛】本题考查了换元法和三角恒等变换，属于基础题.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为22，则（ ） A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为155B ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 的距离的2倍C ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C ABE --的大小 D ．在棱AB 上一定存在一点F ，使得1//C F 平面BDE 【答案】BCD【解析】根据已知和线线关系、线面关系等逐项验证排除即可. 【详解】如图，设2BC =，易知二面角C AB E --的平面角为CBE ∠， 则2tan 2CE CBE BC ∠==，即2CE =//AD BC ，所以异面直线AE 与BC 所成角为DAE ∠，因为AD DE ⊥，所以10cos 10AD DAE AE ∠===A 错误；设1B C BE M ⋂=，则11B M B B CM CE ===1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍，故B 正确；因为//CE 平面1BDD B ，所以E 到平面11BDD B 的距离等于C 到平面11BDD B 的距离，而C 到平面11BDD B 的距离为CO =所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的正弦值为3CO BE ==，所以直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小，故C 正确；在AC 上找一点G ，使得1//C G EO ，过G 再作BD 的平行线交AB 于F ，且1C G GF G =，//DO EO O =，所以平面1//C GF 平面BDE ，从而可知1//C F 平面BDE ，故D 正确.故选：BCD 【点睛】本题主要考查了空间几何体的线线关系、线面关系、面面关系，考查空间想象力及求解能力.12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【答案】BD 【解析】先设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，对函数求导，根据题中条件，分别判断设()g x 和()h x 的单调性，进而可得出结果. 【详解】 设2()()f x x g x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞， 则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x'-'=. 因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <， 即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查导数的方法判定函数单调性，并根据单调性比较大小，属于常考题型.三、填空题13．设向量a ，b 满足3a =，1b =，且1cos ,6a b =，则2a b -=__________.【解析】由已知条件与平面向量的线性运算与平面向量的数量积的知识，代入()22224||a b a ba -=-=.【详解】 解：()22222443712,372||a b a b a a b b cos a b -=-=-⋅+=-=-=所以|2|35a b -=本题主要考查平面向量的线性运算与平面向量的数量积，考查学生的基础知识与基本运算能力，属于基础题.14．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________. 【答案】2n n +【解析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】因为22221(1)2n a n n n =+-+=， 所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =， 所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+. 故答案为：2n n + 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题. 15．不等式1345x x +<+的解集为__________. 【答案】（－1，1） 【解析】作出函数13x y +=，45y x =+的图象，求出两个图象的交点坐标，观察图象可得结果. 【详解】在同一直角坐标系中，作出函数13x y +=，45y x =+的图象，这两个图象的交点为（－1，1），（1，9），故由图可知不等式1345x x +<+的解集为（-1，1）. 故答案为：（－1，1）【点睛】本题考查利于数形结合解决不等式的解集问题，考查指数函数的图象，属于基础题.16．一个圆锥的表面积为48π，其侧面展开图为半圆，当此圆锥的内接圆柱（圆柱的下底面与圆锥的底面在同一个平面内）的侧面积达到最大值时，该内接圆柱的底面半径为__________. 【答案】2【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由圆锥的侧面展开图为半圆可得2l r =，根据圆锥的表面积可得半径,母线和高,设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，由相似可得3(4)a R =-，代入圆柱的侧面积公式分析可得结果.【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图为半圆， 所以2l r ππ=，解得2l r =. 因为圆锥的表面积为48π，所以221482l r πππ+=，解得4r =，8l =，43h =. 如图，设内接圆柱的底面半径为R ，高为a ，则4443a R-=，所以3(4)a R =-， 内接圆柱的侧面积2223(2)4S Ra R ππ⎡⎤==--+⎣⎦， 当2R =时，S 取最大值. 故答案为：2.【点睛】本题考查圆锥的表面积和圆柱的侧面积公式，考查圆锥侧面展开图的应用，考查推理能力和计算能力，属于基础题.四、解答题 17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可； 若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可；若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【详解】 解：选①因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n nS ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n⎛⎫+⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4. 选②因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭.由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-， 所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >， 故n S 不存在最大值. 【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．2020年3月，受新冠肺炎疫情的影响，我市全体学生只能网上在线学习.为了了解学生在线学习的情况，市教研院数学教研室随机从市区各高中学校抽取60名学生对线上教学情况进行调查（其中男生与女生的人数之比为2∶1），结果发现男生中有10名对线上教学满意，女生中有12名对线上教学不满意.（1）请完成如下2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）以这60名学生对线上教学的态度的频率作为1名学生对线上教学的态度的概率，若从全市学生中随机抽取3人，设这3人中对线上教学满意的人数为X，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：参考公式22(),()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；没有；（2）分布列见解析，期望为9 10.【解析】（1）根据题中数据，直接完善列联表即可；再由公式求出2K，结合临界值表，即可得出结论；（2）由题意，得到X的可能取值为0，1，2，3，且3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，求出对应的概率，进而可得分布列，由二项分布的期望计算公式，即可求出期望.【详解】（1）由题意可知抽取的60名学生中男生有40人，女生有20人，则列联表如下：因为2260(1012308)101.4292.706184240207K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”（2）X的可能取值为0，1，2，3，由题意可知，3~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，则37(0)103431000P X⎛⎫=⎪⎝⎭==，3214411037(100)110P X C⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭==，3221891037(2100)100P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==，33(3)10271000P X ⎛⎫=⎪⎝⎭== 所以随机变量X 的分布列为因此期望为：()3931010E X =⨯=. 【点睛】本题主要考查完善列联表，考查独立性检验的思想，考查求二项分布的分布列和期望，属于常考题型.19．在ABC 中，cos 4cos A C =，sin C =. （1）求B ；（2）若ABC 的周长为5求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）由同角间的三角函数关系求出cos ,cos ,sin C A A ，从而结合诱导公式可求得cos B 可得B 角；（2）由正弦定理可得三边长之比，结合周长可得三边长，再由三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）因为sin 14C =，所以cos C ==.若cos 0C =<，则40cosA cosC =<，从而A ，C 均为钝角.这不可能，故cos C =，cos =A ，sin A =. 所以()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+7272132111477142=-⨯+⨯=， 因为0B π<<.所以3B π=.（2）由（1）知213321sin :sin :sin ::2:7:37214A B C ==， 由正弦定理得::2:7:3BC AC AB =. 设3AB k =，则7AC =，2BC k =，则ABC 的周长为()5757k +=+，解得1k =，从而2BC =，3AB =， 故ABC 的面积133sin 22S AB BC B =⋅⋅⋅=. 【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角和的正弦公式及诱导公式，考查正弦定理及三角形面积公式，旨在考查学生的运算求解能力，属于中档题．20．如图，已知AC BC ⊥，DB ⊥平面ABC ，EA ⊥平面ABC ，过点D 且垂直于DB 的平面α与平面BCD 的交线为l ，1AC BD ==，3BC =，2AE =.（1）证明：l ⊥平面AEC ；（2）设点P 是l 上任意一点，求平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）60︒.【解析】（1）由题意可知BD ⊥平面α，则有BD l ⊥，又BD ⊥平面ABC ，则可得出BD AC ⊥，从而得出l //BC ，再证明BC ⊥平面AEC 即可证明l ⊥平面AEC ； （2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，然后计算平面PAE 和平面ACD 的法向量，通过法向量夹角的余弦值来计算. 【详解】解：（1）证明：因为BD α⊥，BD ⊥平面ABC ，所以α//平面ABC ， 又α平面BCD l =，平面ABC平面BCD BC =，所以BC //l .因为EA ⊥平面ABC ， 所以BC AE ⊥. 又BC AC ⊥，AEEA A =，所以BC ⊥平面AEC ， 从而l ⊥平面AEC .（2）作CF //AE ，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -， 则()0,1,0A ，()0,0,0C ，()3,0,1D，()0,1,2E ，设(),0,1P a ，平面PAE ､平面ACD 的法向量分别为()111,,m x y z =，()222,,n x y z =， 则(),1,1AP a =-，()0,0,2AE =，()0,1,0AC =-，()3,0,1CD =.因为m ⊥平面PAE ， 所以111120ax y z z -+=⎧⎨=⎩，令11x =，得1y a =，10z =，即()1,,0m a =.同理222030y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令21x =，得20y =，23z =-，即()1,0,3n =-.因为211cos ,221m n a =≤+，当且仅当0a =时取等号， 所以平面PAE 与平面ACD 所成锐二面角的最小值为60︒.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查考利用空间向量求解面面夹角，考查学生的基本运算能力与逻辑推理能力，难度一般.21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 经过点()4,6A . （1）求A 到C 的焦点的距离；（2）若C 的对称轴为x 轴，过（9，0）的直线l 与C 交于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点. 【答案】（1）203；（2）证明见解析. 【解析】（1）分抛物线C 的对称轴为x 轴与y 轴进行讨论，可得抛物线C 的方程，再根据抛物线的几何意义可得A 到C 的焦点的距离；（2）设直线l 的方程为9x my =+，设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y ，联立抛物线和直线，可得12y y +，12y y 的值，可得以线段MN 为直径的圆的方程，可得证明. 【详解】（1）解：当C 的对称轴为x 轴时，设C 的方程为()220y px p =>，将点A 的坐标代入方程得2624p =⋅，即92p =， 此时A 到C 的焦点的距离为25424p +=. 当C 的对称轴为y 轴时，设C 的方程为()220x py p =>，将点A 的坐标代入方程得2426p =⋅.即43p =. 此时A 到C 的焦点的距离为20623p +=. （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为x 轴时，C 的方程为29y x =.直线l 斜率显然不为0，可设直线l 的方程为9x my =+， 设()()1122,,,M x y N x y ，线段MN 的中点为()00,G x y .由299y x x my ⎧=⎨=+⎩得29810y my --=， 则129y y m +=，1281y y =-，所以120922y y m y +==，212091822x x m x ++==，且MN ==以线段MN 为直径的圆的方程为22200||()()2MN x x y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即()2229290x m x y my -++-=，即()221890x x y m mx y -+-+=，令0mx y +=，则2180x x y +=2-，因为m R ∈.所以圆()221890x x y m mx y -+-+=过定点（0，0），从而以线段MN 为直径的圆过定点. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题22．已知函211()()().22xf x x e a x =-++ （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）()0,∞+.【解析】（1）求函数的导数，讨论0a ≥和0a <，分别解导数不等式即可得到函数的单调性.（2）由（1）的单调性，可求得函数的极值，由极值的正负和函数的单调性可得函数的零点个数，从而得到a 的取值范围. 【详解】 （1）()1()22xf x x e a ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 当0a ≥时，令()0f x '<，得1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，得1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. 故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.当0a <时，令()0f x '=，得112x =-，2ln(2)x a =-.①当1ln(2)2a -=-即a =时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增.②当1ln(2)2a -<-即0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.③当1ln(2)2a ->-即a <时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增. （2）当0a >时，由（1）可知()f x 只有一个极小值点12x =-.且102f e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，102f a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭， 当x →-∞时，102x x e ⎛⎫-→ ⎪⎝⎭，212a x ⎛⎫+→+∞ ⎪⎝⎭， 从而()f x →+∞，因此()f x 有两个零点. 当0a =时，1()2xf x x e ⎛⎫=-⎪⎝⎭此时()f x 只有一个零点，不符合题意.当2a e=-时，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点.当0a <<时，()f x 在1ln(2),2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 在()(),ln 2a -∞-，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()()()()2ln 211ln ln 222ln 22a a a a f e a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦- ()()211ln ln 22222a a a a ⎡⎤⎡⎤=-++⎢⎥⎢⎣⎦⎣--⎥⎦-，其中()22n 01l 2a a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-<，()n 0221l a -<-，()1ln 0222a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦--， 则()2ln 0f a ⎡⎤<⎣⎦-，即函数的极大值小于0， 则()f x 在R 上不可能有两个零点；当2a e<-时，()f x 在1,ln(2)2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()ln(2)a -∞,+上单调递增，102f ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即函数的极大值小于0，则()f x 在R 上不可能有两个零点；综上，若()f x 有两个零点，a 的取值范围是()0,∞+. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的零点个数问题，考查分析问题的能力和计算能力，属于中档题.。

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(九)理科数学

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷(九)理科数学

2021届全国金太阳联考新高三原创预测试卷（九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1A x x =>-，{}0B x|ln x =<，则A B =（ ）A. {}|0x x >B. {}|1x x >C. {}|11x x -<<D.{}1|0x x <<【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式求出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：由ln 0x <得01x <<，∴{}|01B x x =<<， 又{}|1A x x =>-， ∴AB ={}1|0x x <<，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题．2.若12z i =+，则41izz =- A. 1 B. -1C. iD. -i【答案】C 【解析】 试题分析：441(12)(12)1i ii zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.4.设等比数列{}n a 满足12131,3a a a a +=--=-，则6S =（ ） A. 63-B. 21-C. 21D. 63【答案】B 【解析】 【分析】设数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的通项公式及求和公式求解即可． 【详解】解：设数列{}n a 的公比为q ， ∵12131,3a a a a +=--=-，∴1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩，解得112a q =⎧⎨=-⎩， ∴()61611a q S q-=-164213-==-，故选：B ．【点睛】本题主要考查等比数列的前n 项和，属于基础题．5.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin ,3α=则()cos αβ-=（ ）A. 1-B. 79-C.9D.79【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角函数的定义以及两角差的余弦公式的应用即可求解. 【详解】角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 由于1sin 3α=故sin 13β=，cos α与cos β互为相反，不妨cos α=cos β=， ()817cos cos cos sin sin 999αβαβαβ-=+=-+=-.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角差的余弦公式，需掌握三角函数的定义以及两角差的公式，属于基础题.6.己知单位向量a b ，满足1a b +>，则a 与b 夹角的取值范围是（ ） A. 0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 20,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. ,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦D.2,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得()21a b+>，利用数量积的定义化简即可求出答案．【详解】解：∵单位向量a b ，满足1a b +>， ∴()21a b+>，即112cos ,1a b ++>，∴1cos ,2a b >-， ∴2,3a b π<， 故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用，属于基础题．7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为A .B. C.D.【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意画出几何体的直观图，然后判断以zOx 平面为投影面，则得到正视图即可．解：因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O ﹣xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx 平面为投影面，则得到正视图为：故选A ．8.关于渐近线方程为0x y ±=的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率2,③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线2.其中所有正确结论的编号（ ） A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③④【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线的定义可判断①；由离心率的求法可判断②；设出双曲线的方程，将x c =代入求出弦长可判断③；比较顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离即可判断④； 【详解】①因为渐近线的斜率为1b a ±=或1ab±=，所以a b =，①正确； ②离心率2212b e a=+=，所以②正确； ③设双曲线的方程为222x y a -=，将x c =代入双曲线方程可得2222y c a b =-=，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为22b a =与实轴长相等， 同理，当焦点在y 轴上时此结论也成立，所以③正确；④因为顶点到渐近线的距离小于焦点到渐近线的距离，所以④不正确. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，掌握双曲线的几何性质是解题的关键，属于基础题.9.函数cos ln y x x =+的图象大致为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的定义域、奇偶性以及单调性，即可得出结论． 【详解】解：令()cos ln y f x x x ==+， ∴函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()cos ln f x x x -=-+-()cos ln x x f x =+=， ∴函数为偶函数，故排除B ； 又当2x ππ≤≤时，sin 0x ≤，1sin 0y'x x=->， 则函数在[],2ππ上为增函数，故排除C 、D ； 故选：A ．【点睛】本题主要考查函数的图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题． 10.为应对新冠疫情，许多企业在非常时期转产抗疫急需物资.某工厂为了监控转产产品的质量，测得某批n 件产品的正品率为98%,现从中任意有放回地抽取3件产品进行检验，则至多抽到1件次品的概率为（ ） A. 0.998816B. 0.9996C. 0.057624D.0.001184【答案】A 【解析】 【分析】“至多抽到1件次品”包含没有次品和抽到1件次品，由此可得答案． 【详解】解：∵某批n 件产品的正品率为98%，∴所求概率为31230.980.980.02P C =+⨯⨯0.998816=，故选：A ．【点睛】本题主要考查概率的求法，属于基础题．11.在ABC中，,3,42A AB ACπ===，动点P在ABC的内切圆上，若AP AB ACλμ=+，则λμ+的最大值为（）A.16B.12C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意，以A为原点，以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设(),P x y，求出内切圆方程，再根据直线与圆的位置关系即可求出最值．【详解】解：由题意，以A为原点，以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则()0,0A，()3,0B，()0,4C，∵,3,42A AB ACπ===，∴5BC=，∵ABC的面积为13462S=⨯⨯=，∴ABC的内切圆半径()6113452r==++，∴内切圆圆心()1,1M，∵点P在ABC的内切圆上，设(),P x y，∴()()22111x y-+-=，由AP AB AC λμ=+得()(),3,4x y λμ=，即34x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴令34x y z λμ=+=+，即443y x z =-+，即43120x y z +-= 由几何知识，当直线443y x z =-+与圆M 相切时34x yz =+有最值，此时431215z +-=，解得1z =，或16z =，∴λμ+的最大值为1， 故选：C ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查分析能力与计算能力，属于中档题．12.设,a b ∈R ，数列{}n a 满足2*11,, n n a a a a b n N +==+∈则（ ）A. 当106,10b a =->B. 当102,10b a =->C. 当101,104b a => D. 当101,102b a => 【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，取13a =，则23a =，……，310n a =<，可知A 错；同理可排除B ，C ；对于D ，可得当4n ≥时，2112n n nna a a a ++=1131222n n a a =+>+=，再用累乘法可得答案． 【详解】解：对于A ，令260x x --=，则3x =，或2x =-， 取13a =，则23a =，……，310n a =<，故A 错； 对于B ，令220x x --=，则2x =，或，1x =-， 取12a =，则22a =，……，210n a =<，故B 错； 对于C ，令2104x x -+=，则12x =，取112a =，则212a =……，1102n a =<，故C 错；对于D ，当12b =时，221122a a =+≥，23211132424a a =+≥+=，243191171216216a a =+≥+=>，10n n a a +->，数列{}n a 为递增数列，当4n ≥时，2112n n nna a a a ++=1131222nn a a =+>+=， ∴567104456a a a a a a a a =⋅⋅⋅6891078932a a a a a a ⎛⎫⋅⋅⋅> ⎪⎝⎭7291064=>，故D 对； 故选：D ．【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用，考查累乘法的应用，属于难题． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是______．【答案】120- 【解析】 【分析】由题意得二项式展开式的通项公式()2101101rr r r T C x -+=-⋅，令2104r -=即可得出答案．【详解】解：由题意，101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式()101101rrr r T C x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()210101rrr C x -=-⋅， 令2104r -=得7r =， ∴744810120T C x x =-⋅=-， 故答案为：120-．【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数，属于基础题． 14.曲线()()11xy ax ea =+≠-在点()0,1处的切线与x 轴交于点___．【答案】1,01a ⎛⎫-⎪+⎝⎭【解析】 【分析】求导后可求出切线的斜率，由此可求得切线方程，从而得出答案． 【详解】解：∵()1xy ax e =+，∴()1xy'ax a e =++，∴当0x =时，1y'a =+，故切线方程为()11y a x -=+， 令0y =得11x a =-+， 故曲线在点()0,1处的切线与x 轴交于点1,01a ⎛⎫-⎪+⎝⎭，故答案为：1,01a ⎛⎫-⎪+⎝⎭．【点睛】本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．15.已知12,F F 是椭圆222:13x y E a +=的左，右焦点，点M 在E 上，且1223F MF π∠=，则12F MF △的面积为______．【答案】【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，则2m n a +=，由余弦定理可得12mn =，从而可得出结论． 【详解】解：由题意，设1MF m =，2MF n =，则2m n a +=， 由余弦定理可得，222242cos 3c m n mn π=+-()224m n mn a mn =+-=-， 又223c a =-，∴12mn =，∴12F MF △的面积12sin 23S mn π==故答案为：【点睛】本题主要考查椭圆中焦点三角形的面积，考查余弦定理的应用，属于中档题．16.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()20,f x f x +-=且当()0,1x ∈时，2().f x x =则()1f =_____.()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点共有_____个.【答案】 (1). 0 (2). 5 【解析】 【分析】令1x =，可求()1f ；根据题意可知()f x 是以2为周期的函数，()g x 的零点个数转化为()lg 0f x x -=的根据个数，进一步转化为()y f x =与lg y x =的交点个数，作出图像，利用数形结合即可得出答案. 【详解】由()()20,f x f x +-=令1x =，则()()110,f f +=解得()10f =； 由()()20,f x f x +-=则()()2f x f x -=-，又因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()2f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的函数，()g x 的零点个数，即函数()y f x =与lg y x =的交点个数，在同一坐标系中作出两函数图像：由图可知两函数有5个交点， 即函数()g x 的零点共有5.故答案为：5【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性的应用，赋值法求抽象函数的函数值，考查了数形结合的思想、转化与化归的思想，属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知1cos ,2B =-ABC 的面积是否存在最大值？若存在，求对应三角形的三边；若不存在，说明理由.从①2a c +=，②b =这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】若选①：存，1a c ==，b =【解析】 【分析】若选①,2sinB =，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得面积最大值，再利用余弦定理可求边长；若选②,2,sin 3B B π==，利用正弦定理可得a c =，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】解:若选①,sinB =，21sin 22a c S ac B +⎫==≤=⎪⎝⎭ 当且仅当1a c ==22223,b a c accosB b =+-==若选②,2,sin 32B B π==sinB bsinA a==所以1,,266sinA A C ππ===，所以a c =， 213,2S acsinB a a ==可以取任意正数，所以ABC 的面积不存在最大值， 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记定理以及三角形的面积公式，属于基础题.18.如图，点O 为长方形ABCD 的中心，EC ⊥平面,22,23ABCD BC CD EC ===，M 是线段ED 上不同于E 的动点，N 是线段AC 上的动点（1）求证：平面ABE ⊥平面CBE ; （2）求二面角M BE N --的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先根据线面垂直的性质与判定证得AB ⊥平面,CBE 从而可得结论；（2）解：以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CD 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，利用平面的法向量求解．【详解】（1）证：EC ⊥平面,ABCD AB ⊂平面ABCD ，所以,EC AB ⊥ 长方形, ABCD CB AB ⊥，,EC CB C AB ⋂=⊥平面,CBEAB 平面ABE,所以平面ABE ⊥平面CBE ；（2）解：以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CD 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -连接BD 交AC 于点,O M 是线段ED 上不同于E 的动点， 易知，半平面BEM 即为半平面BED()()()10,0,01,0,0,O ,1,0,0,2,00,0,32,,(C D B E ⎛⎫⎪⎝⎭，CD ⊥平面BEC ，所以平面BEC 的一个法向量为()1,0,0CD =， 设平面BEO 的法向量为()(1,,,,1,00,2,232m x y z OB BE ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭,， 00BE m OB m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即2230,10,2y z x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，所以()23,3,1m = 又有()1可知，二面角C BE A --的大小为2π，所以二面角O BE C --的大小为3π，当N 位于点O 时，二面角M BE N --大小为0, 二面角M BE N --的取值范围是0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查空间中垂直关系的证明，考查二面角的平面角的求法，属于中档题． 19.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较． 附：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法 【解析】【详解】试题分析：(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为0.62.据此，事件A 的概率估计值为0.62.(2)由题意完成列联表，计算K 2的观测值k ＝()22006266343810010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈15.705＞6.635，则有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．试题解析：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K2的观测值k＝()2 20062663438 10010096104⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3) 由频率分布直方图可得：旧养殖法100个网箱产量的平均数x1＝（27.5×0.012+32.5×0.014+37.5×0.024+42.5×0.034+47.5×0.040+52.5×0.032+57.5×0.032+62.5×0.012+67.5×0.012）×5＝5×9.42＝47.1；新养殖法100个网箱产量的平均数x2＝（37.5×0.004+42.5×0.020+47.5×0.044+52.5×0.054+57.5×0.046+62.5×0.010+67.5×0.008）×5＝5×10.47＝52.35；比较可得：x1x＜2，故新养殖法更加优于旧养殖法．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．20.已知抛物线2,x y =1139(,),(,)2424A B -抛物线上的点13(,)().22P x y x -<< （1）求直线AP 斜率的取值范围；（2）延长AP 与以AB 为直径的圆交于点,Q 求·AP PQ 的最大值. 【答案】（1）()1,1-；（2）2716【解析】 【分析】（1）利用两点求斜率，结合x 的取值范围即可求解.（2）由题设可知，,BQ AQ ⊥联立直线AP 与BQ 的方程,求出点Q 的横坐标，利用弦长公式求出AP 、PQ ，利用导数即可求出最值.【详解】解:()1设直线AP 的斜率为k ，2114122x k x x -==-+ 因为1322x -<<；所以直线AP 斜率的取值范围是()1,1-.()2由题设可知，,BQ AQ ⊥联立直线AP 与BQ 的方程1102493042kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是()2024321k k x k -++=+因为)112AP x k ⎫⎪=⎭=++，)211Q k k PQ x x -+=-=所以()()311AP PQ k k =--+⋅ 令()()()311f k k k =--+，因为()()()2421f k k k '=--+， 所以()f k 在区间11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，112⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减， 因此12k =当时， PA PQ ⋅取得最大值2716【点睛】本题主要考查了两点求斜率、弦长公式，利用导数求最值，考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数() 1.xf x e x =-- （1）证明：()0f x ≥；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m +++<，求m 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3 【解析】 【分析】（1）首先求出()'1x f x e =-，利用导数求出函数的最小值，若()min 0f x ≥即可证出.（2）由()1知当(0,)x ∈+∞时，10x e x -->，可得1x e x >+，从而()1x ln x >+，令12nx =得11122nn ln ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，不等式累加，根据对数的运算性质以及放缩法即可证出. 【详解】解:()1()'1xf x e =-，当0x >时，()'0f x >，当0x <时，()'0f x <， 所以()f x (),0-∞单调递减，在()0,∞+单调递增，()f x 的最小值为()00f =，所以()0f x ≥()2由()1知当(0,)x ∈+∞时，10x e x -->，即1x e x >+，即()1x ln x >+，令12n x =得11122nn ln ⎛⎫+< ⎪⎝⎭从而221111111111112222222n n n ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=-< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故2111111222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅++< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而231111112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以m 的最小值为3.【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、放缩法证明不等式、对数运算的性质，属于难题. (二)选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，P 是1C 上的动点，M 是OP 的中点，M 点的轨迹为曲线2C .以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求12,C C 的极坐标方程； （2）射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为,B 求AB .【答案】（1）1C ：8sin ρθ=，2C ：4sin ρθ=；（2）【解析】 【分析】（1）消参可得()22416x y +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，即可得出1C 的极坐标方程；利用相关点法求出点P 的轨迹方程，再利用普通方程与极坐标的互化即可求解. （2）将3πθ=代入12,C C 的极坐标方程，求出点A 与点B 的极径，作差即可求解.【详解】解:（1）消参可得()22416x y +-=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入， 可得1C 的极坐标方程为8sin ρθ=，设(),M x y ，由条件知()2,2P x y ，点P 在1C 上，所以24244x cosa y sina=⎧⎨=+⎩(a 为参数) ，所以2C 的参数方程为2,22x cosay sina=⎧⎨=+⎩(a 为参数)，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=()2射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为183sin πρ= 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为243sin πρ=，所以，12AB ρρ=-=【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程互化、普通方程与极坐标方程的互化、极坐标法求两点间的距离，属于基础题.23.已知函数1()||,2f x x =-M 为不等式()()12f x f x ++<的解集. （1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b ab +<+.【答案】（1）{}|11x x -<<；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令()()()11122g x f x f x x x =++=-++，讨论x 的取值范围去绝对值解不等式即可.（2）由（1）确定,a b 的范围，将不等式两边平方作差即可.【详解】解:()1令()()()11122g x f x f x x x =++=-++， ()12,2111,2212,2x x g x x x x ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤时，由()2g x <解得112x -<≤当1122x -<<时，()2g x <； 当12x ≥时，由()2g x <解得112x ≤<. 所以，()()12f x f x ++<的解集{}|11M x x =-<<.()2由()1知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，所以，当()()()()2222222211110a b ab a b a b a b +-+=+--=--<时， 所以，1a b ab +<+【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、作差法比较大小，考查了分类讨论的思想，属于基础题.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二十)数学(文)试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(二十)数学(文)试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（二十）数学试题（文史类）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第一卷（选择题，共60分）一、单项选择题1.设集合{}1,0,1M =-，{}2|N x x x =≤，则MN =（ ）A. {}0B. {}0,1C. {}1,1-D. {}1,0,1-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N ，根据交集定义，即可求得答案. 【详解】{}2|{|01}N x x x x x =≤=≤≤,{1,0,1}M∴{0,1}M N ⋂=故选：B ．【点睛】本题主要考查了交集运算，解题关键是掌握交集定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2.已知复数32a iz i-=+（a R ∈，i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值等于（ ） A.23B. 32C. 23-D. 32-【答案】A 【解析】()()()()3232321313a i i a a i z ---+--==，因为是纯虚数，所以320-=a ，23a =．故选A ．3.已知0,,sin 25πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，则cos 2tan θθ=（ ） A. 310-B.310C. 65-D.65【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得cos ,tan θθ，由此求得cos2θ，进而求得表达式的值.【详解】0,,sin 2πθθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，所以cos θ==sin 1tan cos 2θθθ==. 因为231cos 212sin ,tan 52θθθ=-==，所以cos 26tan 5θθ=. 故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换的知识，考查运算求解能力. 4.下列叙述中正确的是( )A. 若,,a b c ∈R ，则“20ax bx c ++≥”的充分条件是“240b ac -≤”B. 若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C. 命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x ≥”D. l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】D 【解析】试题分析：当0a <时，2"40"b ac -≤推不出2"0"ax bx c ++≥，A 错，当0b =时，""a c >推不出22""ab cb >，B 错，命题“对任意x ∈R ，有20x ≥”的否定是“存在x ∈R ，有20x <”，C 错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D 正确. 考点：充要关系5.已知3log 0.5a =，0.5log 0.6b =，0.23c =，则（） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值0和1可得到,,a b c 所处的大致范围，从而得到结果. 【详解】00.2330.50.50.5log 0.5log 10log 1log 0.6log 0.5133<==<<==< a b c ∴<<本题正确选项：A【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.若同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，且113a b c ＝，＝，＝，则||a b c ＋＋等于( )A. 2B. 5C. 2或5D.【答案】C 【解析】【详解】因为同一平面内向量a b c ，，两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120°时，2222||2221191334a b c a b c a b a c b c ++=+++⋅+⋅+⋅=++---=，即||2a b c =＋＋；当三个向量所成的角都是0°时，||5a b c =＋＋.故||2a b c =＋＋或5.选C. 【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式||||cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 7.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A. 11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B. 11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D. 11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-【答案】B 【解析】 【分析】执行给定的程序框图，输入10n =，逐次循环，找到计算的规律，即可求解. 【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入10n =，可得： 第1次循环：1,2S i ==；第2次循环：11,33S i =-=；第3次循环：111,435S i =-+=；第10次循环：11111,1135719S i =-+-+-=， 此时满足判定条件，输出结果111144(1)35719P S ==-+-+⋅⋅⋅-，故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ， 故选D9.在区间[0,2]中随机取两个数，则两个数中较大的数大于23的概率为（ ） A. 89 B. 79C. 49D. 19【答案】A 【解析】 【分析】两个数构成有序数对，对应平面区域，两个数中较大的数大于23，其对立事件是两个数都小于等于23，求出概率即可.【详解】在区间[0,2]中随机取两个数，两个数构成有序数对(),x y ，0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩构成的区域如图中大正方形， 又“这两个数中较大的数大于23”为“这两个数都小于或等于23”的对立事件， 且在区间[0,2]中随机取两个数，这两个数都小于或等于23，203203x y ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩所构成的平面区域的面积为224=339⨯，故两个数中较大的数大于23的概率489149P =-=. 故选：A【点睛】此题考查几何概型，将题目所给条件准确转化成平面直角坐标系内的区域，利用面积求解. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为（ ） A.35B.25C.45D.155【答案】B 【解析】 【分析】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，得到()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-，计算夹角得到答案.【详解】如图所示：分别以1,,BA BC BB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.故()0,2,0A ，()2,0,0C ，()0,0,1E ，()1,0,2F ，故()0,2,1AE =-，()1,0,2CF =-.2cos ,5AE CF AE CF AE CF⋅==⋅，即AE 与CF 夹角的余弦值为25. 故选：B .【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为33，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A. (2,0) B. (3,0)C. (0,2)D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为33，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x轴在内的区域．∴2234x y PA PB -==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 6032PABS PA PB x y ∆==-=即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A.【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12.函数()23f x x x a =-+-，()22xg x x =-，若()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对]1[0x ∈，恒成立，则实数a 的范围是（） A. (,2]-∞ B. (,]e -∞ C. (,ln 2]-∞D. 1[0,)2【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可得()g x 在[]0,1x ∈上的取值范围为()01,g x ⎡⎤⎣⎦，其中()02g x <，令()t g x =换元，把()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立转化为230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，分离参数a 后利用函数单调性求出函数23t t -+的最小值得答案.【详解】解：()22xg x x =-，()'222xg x ln x =-，()'020g ln =>，()'12220g ln =-<， ()'g x ∴在()0,1上有零点，又()2''2220xg x ln ⎡⎤=⋅-<⎣⎦在[]0,1上成立，()'g x ∴在()0,1上有唯一零点，设为0x ，则当()00,x x ∈时，()'0g x >，当()0,1x x ∈时，()'0g x <，()g x ∴在[]0,1x ∈上有最大值()02g x <，又()()011g g ==，()()01,g x g x ⎡⎤∴∈⎣⎦，令()()01,t g x g x ⎡⎤=∈⎣⎦，要使()0f g x ⎡⎤≥⎣⎦对[]0,1x ∈恒成立，则()0f t ≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，即230t t a -+-≥对()01,t g x ⎡⎤∈⎣⎦恒成立， 分离a ，得23a t t ≤-+， 函数23t t -+的对称轴为32t =，又()02g x <， ()232mint t∴-+=，则2a ≤.则实数a 的范围是(],2-∞. 故选A【点睛】本题考查函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考查了利用分离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图，根据图形推断，该时段时速超过50/km h 的汽车辆数为 ．【答案】77 【解析】 【分析】根据频率分布直方图，求出时速超过50/km h 的汽车的频率，即可求出对应的汽车辆数．【详解】根据频率分布直方图，得时速超过50/km h 的汽车的频率为(0.0390.0280.01)100.77++⨯=； 所以时速超过50/km h 的汽车辆数为1000.7777⨯=． 故答案为：77．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图，会计算样本数据，频率与频数的大小，是基础题．14.函数2cos 2y x x =-的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的值为___________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据函数()g x 为偶函数求解.【详解】函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， 向右平移(0)2πϕϕ<<个长度单位后，得到函数()2sin 22sin )2266(x g x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()g x 为偶函数， 所以2,62k k Z ππϕπ--=+∈，即23k ππϕ=--， 因为02πϕ<<，所以6π=ϕ. 故答案为：6π 【点睛】本题主要考查三角函数的图象平移变换和性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 15.已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC|＋|BD|的最小值为________.【答案】3 【解析】不妨设()()111,0A x y y >，()()222,0B x y y <，则222114y AC BD x y y +=+=+，又2124y y p =-=-，所以()2222404y AC BD y y +=-<，利用导数易知22244y y y =-在(),2-∞-上递减，在()2,0-上递增，所以当22y =-时，AC BD ＋的最小值为3，故答案为3.16.已知正三棱锥P ABC 一的侧面是直角三角形，P ABC 一的顶点都在球O 的球面上，正三棱锥P ABC 一的体积为36，则球O 的表面积为__________． 【答案】108π 【解析】 【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将问题转化为正方体的外接球问题．【详解】∵正三棱锥P ﹣ABC ，PA ，PB ，PC 两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ， 设球O 的半径为R ， 23R， ∵正三棱锥P ABC 一的体积为36， ∴V=11123232336332333PACR R RS PB ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ∴R=33∴球O 的表面积为S=4πR 2=108π 故答案为108π．【点睛】本题考查球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，三棱锥体积的表示方法，有一定难度，属中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在直角梯形ABCD 中，90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，将ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ABC -，如图所示.（1）求证：BC ⊥平面ACD ； （2）求点A 到平面BCD 的距离h . 【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）根据90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====，得到2,AC BC ==再根据勾股定理得到AC BC ⊥，然后根据平面ADC ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理证明.（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，22BC =分别求得ADC S △，BDC S △，再根据B ADC A BDC V V --=求解.【详解】（1）因为90,//,4,2ADC CD AB AB AD CD ︒∠====， 所以22222,,AC BC AC BC AB AC BC ==∴+=∴⊥， 因为平面ADC ⊥平面ABC ，平面ADC平面,ABC AC BC =⊂平面,ABCBC ∴⊥平面ACD ;（2）由（1）知：BC 为三棱锥B ACD -的高，BC =122ADCSAD DC =⨯⨯=，12BDCS DC BC =⨯⨯= 因为B ADC A BDC V V --=， 即1133ADCBDCSBC S h ⨯⨯=⨯⨯，解得2h =.【点睛】本题主要考查面面垂直，线面垂直的转化和等体积法求点到面的距离，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.18.某商店为了更好地规划某种产品的进货量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如表（x 吨）为该商品的进货量，y （天）为销售天数：（1）根据上述提供的数据，求出y 关于x 的回归方程；（2）在该商品进货量x 不超过6吨的前提下任取2个值，求该商品进货量x 恰好有1个值不超过3吨的概率.参考数据和公式：121,ni ii ni i x y nx yb a y bx x nx==-==--∑∑，88211356,241i i i i i x x y ====∑∑【答案】（1）49116834y x =-；（2）35. 【解析】 【分析】（1）根据提供的数据，分别求得,,,x y b a ，然后写出回归直线方程；（2）根据古典概型的概率求法，先列举出从进货量不超过6吨的前提下任取2个值的基本事件的个数，然后找出恰好有1次不超过3吨的基本事件的个数，再代入公式求解. 【详解】（1）由题意得：49116,4,,6834x y b a ===∴=-， 所以回归直线方程为49116834y x =-；（2）进货量不超过6吨有2，3，4，5，6共5个，任取2个有()2,3,(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)有10个结果， 恰好有1次不超过3吨的有：(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)共6种所以所求的概率为63105p == 【点睛】本题主要考查线性回归分析和古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 19.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2423n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11(N ),n n n n b n T a a *+=∈是{}n b 的前n 项和，求使215n T <成立的最大正整数n . 【答案】（1）21n a n =+；（2）5. 【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，根据2423n n n S a a =+-，得到2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12n n a a --=，再利用等差数列的定义求解. （2）根据（1）得到1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，用裂项相消法求n T ，然后再代入215nT <求解.【详解】（1）当2n ≥时，由2423n n n S a a =+-，得2111423n n n S a a ---=+-，两式相减得12,n n a a --=， 当1n =时，13a =，且212,a a -= 所以数列{}n a 是等差数列，21n a n ∴=+；（2）1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，11111112355721233(23)n n T n n n ⎛⎫∴=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪+++⎝⎭， 2,3(23)15n n ∴<+解得6n <，所以最大的正整数为5.【点睛】本题主要考查数列通项公式和前n 项和间的关系以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左右焦点分别是12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点.（1）若以线段1AF 为直径的动圆内切于圆229x y +=，求椭圆的长轴长；（2）当1b =时，问在x 轴上是否存在定点T ，使得TA TB ⋅为定值？如果存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6；（2）存在，(,0)9T -， 781-. 【解析】 【分析】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，根据中位线得到211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-求解.（2）直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，与椭圆方程2219x y +=联立整理得到2222(91)7290k x x k +++-=，设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++=，若为定值，则需220009719(9)x x ++=-成立求解.【详解】（1）设1AF 的中点为M ，连接2,OM AF ，在12AF F ∆中，所以211111(2)3222OM AF a AF AF ==-=-， 所以3a =，故椭圆的长轴长为6；（2）因为椭圆方程为2219x y +=，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为1122((,),(,)y k x A x y B x y =+，则222222(,(91)729099y k x k x x k x y ⎧=+⎪+++-=⎨+=⎪⎩，222121212222729+=,,919191k k x x x x y y k k k ---==+++， 设2012120012(,0),()T x TA TB x x x x x x y y ⋅=-+++，2220002(971)991x k x k +++-=+,当220009719(9)x x ++=-时，即09x =-， TA TB ⋅为定值，定值为781-，当直线AB 的斜率不存在时，11(),()33A B ---，当(,0)9T -时，TA TB ⋅781=-，综上，在x 轴上存在定点(9T -，使得TA TB ⋅为定值781-.【点睛】本题主要考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数2()(12)ln f x ax a x x =+--，a R ∈. （1）当0a <时，求函数()f x 在区间1[,1]2上的最小值； （2）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ，试问：曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.【答案】（1）min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）不平行，理由见解析.【解析】 【分析】（1）求导(21)(1)()ax x f x x +-'=，分0a <，112a ->，11122a ≤-≤，1122a -<四种情况讨论求解. （2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x +=，表示直线AB 的斜率1k =211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-，再表示曲线在点N 处的切线的斜率2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+，然后假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =，论证211212ln ln 2x x x x x x -=--+是否成立即可.【详解】（1）(21)(1)()ax x f x x +-'=，当0a <时，由(=0,f x '）得121,12x x a=-=， 当111,022a a ->-<<时，()f x 在()0,1单调递减， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为(1)1f a =-，当1111,1222a a ≤-≤-≤≤-时，()f x 11[,]22a -上单调递减，在1[,1]2a-上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()1ln(2)24f a a a-=-+-， 当11,122a a -<<-时，()f x 在1[,1]2上单调递增， 所以()f x 在1[,1]2上最小值为11()223ln 24f a -+=，综上，函数()f x 在1[,1]2上最小值为min13ln 2,12411()1ln(2),14211,02a a f x a a aa a ⎧-+<-⎪⎪⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪--<<⎪⎩；（2）设00(,)M x y ，则点N 的横坐标为1202x x x += 直线AB 的斜率为2212112122112121[()(12)()ln ln ]y y k a x x a x x x x x x x x -==-+--+-=--211212ln ln ()(12)x x a x x a x x -++-+-曲线在点N 处的切线的斜率为2001201212()2(12)()(12)k f x ax a a x x a x x x '==+--=++--+ 假设曲线在点N 处的切线平行于直线AB ，则12k k =即211212ln ln 2x x x x x x -=--+所以22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++，设212(1)1,ln 1x t t t x t-=>=+ 令222(1)(1)()ln ,()01(1)t t g t t g t t t t --'=-=>++ 所以()g t 在()1,+∞是增函数，又(1)0,=g 所以2(1)()ln 01t g t t t-=->+， 即2(1)ln 1t t t ->+， 所以2(1)ln 1t t t-=+不成立，所以曲线C 在点N 处的切线不平行于直线AB .【点睛】本题主要考查导数与函数的最值以及导数与切线问题，还考查了分类讨论，转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.选修4-4参数方程极坐标22.在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为53x ty t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），在以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）求椭圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与,x y 轴分别交于两点,A B ，点P 是圆上任意一点，求APB ∆面积的最大值. 【答案】（1）22(5)(3)2x y ++-=，20x y -+=；（2）8. 【解析】 【分析】（1）根据参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，消去t 即可.由cos()4πρθ+=得cos sin 2ρθρθ-=-，再利用cos ,sin x y ρθρθ==求解.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -，根据参数方程，设点P的坐标为(5,3)αα-+，可得点P到直线的距离为d =，利用三角函数的性质求得最值，再由12S d AB =⨯⨯求解. 【详解】（1）由参数方程53x t y t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩，消去t 得，22(5)(3)2x y ++-=，所以圆的普通方程为22(5)(3)2x y ++-=.由cos()4πρθ+=cos sin 2,20x y ρθρθ-=-∴-+=，所以直线的直角坐标方程为：20x y -+=.（2）直线与两坐标轴的交点分别是(2,0),(0,2)A B -， 设点P的坐标为(5,3)αα-++，点P 到直线的距离为d =，当cos()14πα+=-，24k παππ+=+时点到直线的距离最大，所以max d AB ==所以PAB ∆的面积的最大值为182S =⨯=. 【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.【答案】（1）[]0,3（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简123x x -+-≤，继而算出结果（2）利用不等式求解101x x x a x a x x --+-≤⇔-≤--，再根据条件计算出实数a 的取值范围解析：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--，123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩ 解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤， 所以03x ≤≤，故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3. （2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+-- 101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以122a≤≤，故实数a的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学(文)试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(十三)数学(文)试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（十三）数学(文科)试卷★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已如集合2|1,A x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭{3,2,1,1,2,3}B =---，则AB =（ ）A. {2,1,1,2,3}--B. {2,1}--C. {1,1,2,3}-D. {3,2}--【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式21x≤-，从而可得{}|20A x x =-≤<，进而可求出A B . 详解】解：()2022100x x xx x x ⎧+≤+≤-⇒≤⇒⎨≠⎩ ，解得20x -≤<，则{}2|1|20A x x x x ⎧⎫=≤-=-≤<⎨⎬⎩⎭，所以{}2,1AB =--.故选:B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了分式不等式的求解.本题的易错点是，在解分式不等式时，忽略了分母不为零这一条件. 2.已知i 为虚数单位，复数12,2()iz z a i a R i-==+∈.若12z z >，则a 的取值范围是（ ） A. (2,2)- B. (0,2)C. (2,)+∞D. (,2)-∞【答案】A 【解析】 【分析】对1z 进行整理得112z i =--，进而可求出12,z z ，结合12z z >>，进而可求出a 的取值范围.【详解】解：()122212i i i z i i i--===--，则1z ==，2z =，因为12z z >>22a -<<. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了复数的模，考查了一元二次不等式.将1z 进行整理是本题的关键. 3.函数()2x af x +=在区间()1,+∞内单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A. 2a ≥-B. 2a >-C. 1a ≥-D. 1a >-【答案】D 【解析】 【分析】首先求满足条件的充要条件，再求其真子集，就是满足条件的一个充分不必要条件. 【详解】函数()2x af x +=的单调递增区间是[),a -+∞，若函数()2x af x +=在区间()1,+∞单调递增，1a ∴-≤，即1a ≥-那么满足条件的一个充分不必要条件需是[)1,-+∞的真子集， 只有1a >-满足条件，故选D.【点睛】本题考查复合函数给定区间的单调性，求参数取值范围，以及充分必要条件，复合函数单调性的判断方法，将函数分解为内层函数和外层函数，内层函数与外层函数的单调性一致，函数是单调递增，若相反，函数是单调递减.4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13134S π=，则222579cos cos cos a a a ++=（ ） A. 1 B.32C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】 由13134S π=可得722a π=，根据余弦的二倍角公式，可得原式579cos2cos2cos2322a a a ++=+， 由5972222a a a +=⨯，根据余弦函数的性质，可知579cos2cos2cos202a a a ++=，从而可求出222579cos cos cos a a a ++的值.【详解】解：()11313713131324a a S a π+===，则722a π=.设()cos f x x = 2225795795791cos21cos21cos2cos2cos2cos23cos cos cos 22222a a a a a a a a a +++++++=++=+ 因为()cos f x x =对称中心为,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且722a π=，5972222a a a +=⨯所以579cos2cos2cos202a a a ++=，即原式32=.故选:B.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等差数列的求和公式，考查了余弦函数的性质，考查了二倍角公式.本题的难点是将所求式子进行变形.5.函数1()(3sin 2||cos2||)2f x x x =-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数的奇偶性排除C ，当0x > 时，()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由122f π⎛⎫=⎪⎝⎭，可排除A,B ，从而可选出正确答案.【详解】解：由()1()(3sin2||cos2||)2f x x x f x -=---=，可得()f x 图像关于y 轴对称，排除C ，当0x > 时，()1()3sin 2cos2sin 226f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，排除A ，由122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 排除B ，故选:D.【点睛】本题考查了函数的图像，考查了三角恒等变换.选择函数图像时，一般根据函数的奇偶性、单调性、周期性等对选项进行排除，然后可代入特殊值进行排除.6.已知某组合体的正视图和侧视图如图①所示，其俯视图的直观图如图②（粗线部分）所示，其中四边形A B C D ''''为平行四边形，B C x '''轴，O '为边A B ''的中点，则平行四边形A B C D ''''的面积为（ ）A. 8B. 16C. 2D. 82【答案】C 【解析】 分析】由几何体的三视图可得4B C ''=， 2A B ''=，再由斜二测画法求面积即可得解.【详解】解：由正视图与题意知4B C ''=，由侧视图与题意知2A B ''=，所以平行四边形A B C D ''''的面积为2sin 454222B C A B ''''⨯︒=⨯⨯=故选C.【点睛】本题考查了三视图及斜二测画法，属基础题.7.已知函数())lnf x x =，若19log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.21.8c f =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得()()f x f x =-，即函数()f x 为偶函数，设())lng x x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[)0,+∞上为减函数，又由()0g 的值，可得在区间[)0,+∞上，()0g x ≤，由此可得()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数())ln f x x =，其定义域为R ，则())lnlnf x x -==)()lnlnx x f x =-=+=，即函数()f x 为偶函数，设())ln g x x ==，有()0ln10g ==，设t =，则ln y t =，当0x ≥时，t 为减函数且0t >，而ln y t =在()0,∞+增函数，则())lng x x ==在[)0,+∞上为减函数，又由()00g =，则在区间[)0,+∞上，()0g x ≤， 又由()()f x g x =，则()f x 在区间[)0,+∞上为增函数，()199log 4log 4a f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()525log 2log 4b f f ==，又由0.2259log 4log 41 1.8<<<，则有b a c <<； 故选：D ．【点睛】本题考查复合函数的单调性的判定，涉及分段函数的性质以及应用，属于基础题．8.如图，抛物线21:2(0)C y px p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，圆2C 与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依此交1C ，2C 于,,,A B C D ，且||||AB BD =，O 为坐标原点，则DA 在OF 方向上的投影为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A 【解析】 【分析】由相切可求出2p =，设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，将直线与抛物线联立后由韦达定理可求出21242x x m +=+，121=x x ，124y y m +=，124y y =-，结合||||AB BD =，可得到中点B 的坐标，代入圆的方程中去，可求出2212m =，从而可求出投影12DA OF x x OF ⋅=-的大小. 【详解】解：由圆2C 与y 轴相切可知，12p = ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+=， 由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --=，由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-， 则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==.因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得212m -=， 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以DA 在OF 方向上的投影为122DA OF x x OF⋅=-===，故选:A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量的投影问题.本题的关键是由中点求出直线的方程.注意运用韦达定理简化运算.9.已知实数,x y 满足约束条件20y x mx y m ⎧≥-⎨-+≥⎩，其中01m <<，若222x y y ++的最大值为40，则m =（ ）A.2B.2C.12D.13【答案】C 【解析】 【分析】画出满足约束条件的可行域，由图分析可知，可行域内A 到()0,1-距离最大，即23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解，从而可得关于m 的方程.【详解】解：可行域如图，设()2222211z x y y x y =++=++-， 由图可知，A 到()0,1-最远，则23,11m m A m m +⎛⎫⎪--⎝⎭为最优解， 即22233240111m m m m m m +⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭且01m <<，解得12m =或2（舍去） .故选:C.【点睛】本题考查了线性规划问题.本题的关键是对目标式子进行分析，找出最优解.目标函数常见的形式有z ax by =+型、y b z x a-=-型、()()22z x a y b =-+-型，借助直线的截距、直线的斜率、两点间的距离等可分析出最优解.10.毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，其是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到.图1所示是第1代“勾股树”，重复图1的作法，得到第2代“勾股树”(如图2)，如此继续.若“勾股树”上共得到8191个正方形，设初始正方形的边长为1，则最小正方形的边长为（ ）A.116B.164C.2 D.2 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，设第n 个图中正方形的个数为n a ，则112,n n n a a n N +*+=+∈，结合累加法可求出121,n n a n N +*=-∈，令1218191n n a +=-=，可确定第12个图形中得到8191个正方形；结合边长规律，即第n 个图中最小正方形边长为cos 45n ︒，从而可求出答案.【详解】解：设第n 个图中正方形的个数为n a ，则由图可知112,n n n a a n N +*+=+∈则221332122 (2)n n n a a a a a a -⎧-=⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ ，将n 个式子相加可得23122...2,2,n n a a n n N *-=+++≥∈ ， 所以()11412321,2,12n n na n n N -+*-=+=-≥∈-，当1n =时，2213-=，所以121,n n a n N +*=-∈.令1218191n n a +=-=，解得12n =.由题意知，第一个图中最小正方形边长为cos45︒ ，第二个图中最小正方形边长为2cos 45︒，则第n 个图中最小正方形边长为cos 45n︒，则1261211cos 452264⎛⎛⎫︒=== ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B.【点睛】本题考查了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，考查了指数值的运算，考查了推理.本题的关键是找出正方形个数及边长的规律.求数列的通项公式时，常见的思路有累加法、累乘法、构造新数列法、公式法.本题的易错点是，在进行累加法时，未能正确求出等号右侧等比数列的和.11.“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. 120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B. 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据()f x 是“互倒函数”，得到()f x 解析式，从而画出()f x 的图像，将问题等价于等价于()()21f f x a =+有两个不等的实根，分为23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，217116a +=，21731162a <+<，2312a +=，2312a +>几种情况讨论，设()t f x =，先研究()21f t a =+的解，再研究()t f x =的解，从而得到a 的范围.【详解】函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(]11,2x∈， 因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+， 所以()2112f x f x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 所以()2211,12211,122x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，函数()()21y f f x a=--都恰有两个不同的零点，等价于()()21ff x a=+有两个不等的实根，作出()f x 的大致图像，如图所示， 可得()max 32f x =，()min 34f x =，317218f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，317416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()t f x =，则 ①当23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中11324t ≤<，2312t ≤<， ()1f x t =无解，()2f x t =有两个解，符合题意；②当217116a +=时，由()21f t a =+得134t =，243t =， 由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；③当21731162a <+<时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ， 其中1314t <<，2413t <<，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意； ④当2312a +=时，由()32f t =，得121t t ==， 由图可知()1f x =有两个解，符合题意；⑤当2312a +>时，由()21f t a =+，得t 无解，不符合题意. 综上所述，2312a +=或23171416a ≤+<符合题意，而0a >，所以解得22a =或10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 即实数a 的取值范围为120,42a ⎧⎫⎪⎪⎡⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭. 故选：A.【点睛】本题考查符合函数的值域，函数与方程，根据函数的零点求参数的范围，考查了逻辑思维能力和运算能力，分类讨论的思想，属于难题.12.数列{}n a 满足1cos 2n n n a n a π+=⋅+，则数列{}n a 的前40项和为（ ）A. 40213-B. 4122-C.()404213- D.()402213-【答案】D 【解析】【分析】由题意知2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩，将式子相加，结合等比数列的求和公式，即可求出数列{}n a 的前40项和.【详解】解：当n 取奇数时，cos 1n π=-，则2134339403922...2a a a a a a +=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ ，将式子相加得 ()()2040353912340214221...222 (214)3a a a a ⨯--++++=++++==- .故选:D.【点睛】本题考查了数列求和，考查了等比数列的前n 项和公式.本题的难点是对已知递推公式的变形.易错点是求等比数列的和时，没能正确确定项数.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某班,,,,A B C D E 五人中随机选取两人参加学校的问卷调查，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为________. 【答案】710【解析】 【分析】求出总的组合数和,A B 两人中无一人被选中的组合数，结合对立事件的概率和为1，可求出,A B 两人中至少有一人被选中的概率.【详解】解：五人中随机选两人组合数有2510C =种，,A B 两人中无一人被选中的组合数有233C =种，则,A B 两人中至少有一人被选中的概率为3711010-=. 故答案为:710. 【点睛】本题考查了组合的应用，考查了古典概型概率的求解.本题的关键是结合对立事件概率的关系简化运算.14.甲、乙、丙、丁四人进行一项益智游戏，方法如下：第一步：先由四人看着平面直角坐标系中方格内的16个棋子（如图所示），甲从中记下某个棋子的坐标；第二步：甲分别告诉其他三人：告诉乙棋子的横坐标.告诉丙棋子的纵坐标，告诉丁棋子的横坐标与纵坐标相等；第三步：由乙、丙、丁依次回答.对话如下：“乙先说我无法确定.丙接着说我也无法确定.最后丁说我知道”.则甲记下的棋子的坐标为_____.【答案】(5,5) 【解析】 【分析】根据题意，得出乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，再根据横纵坐标相等，即可求解，得到答案．【详解】由题意，乙只知道棋子的横坐标，又无法确定，所以棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，接下来丙知道棋子的纵坐标，又无法确定，所以棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上，这些横纵坐标相等的点只有(5,5)，所以丁说棋子的坐标为(5,5).【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理确定乙棋子必落在横坐标为2，5，6，7上，丙棋子必落在纵坐标为0，1，3，4，5，7上是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作一条渐近线的垂线，垂足为M ，M 在第一象限，线段MF 交双曲线于点N ，如果12MN NF =，则双曲线的离心率等于________.5【解析】 【分析】由MF 与渐近线b y x a = 垂直，可得直线MF 方程为()ay x c b =--，从而可求出2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合12MN NF =可求出222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由N 在双曲线上，代入方程即可得到关于,,a b c 的方程，进而可求出离心率.【详解】解：由题意知，MF 与渐近线b y x a =垂直，则MF 斜率为ab-，因为(),0F c ， 则直线MF 方程为()a y x c b =--，与b y x a =联立得()a y x c bb y xa ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，解得2a x c ab y c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即2,a ab M c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由12MN NF =，可得222,333c a ab N c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为N 在双曲线上，则 22222223331a c a ab c c b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+，整理得，225c a =，即c e a==. 故答案为:【点睛】本题考查了两直线垂直的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了向量的运算，考查了双曲线离心率的求解.本题的关键是由已知求出N 的坐标.本题由于计算量略大，应注意计算的准确性.求圆锥曲线的离心率时，关键是列出关于,,a b c 的方程.16.已知H 为ABC 的垂心，且CH xCB yCA =+，AH mAB nAC =+，31x y +=，41m n +=，则B =________.【答案】45︒ 【解析】 【分析】由已知可得CA xCB yCA mAB n AC =+--,从而()()1y n m CA x m CB ---=-,进而可知100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩,结合已知条件,可求出,,,x y m n 的值;由00AH BC CH AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得cos cos cos cos mc B nb Cxa B yb A =⎧⎨=⎩,结合余弦定理及,,,x y m n 的值,可推出22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,由余弦定理可求B 的大小.【详解】解：()CA xCB yCA mAB nAC xCB yCA m CB CA nAC =+--=+---， 整理得，()()1y n m CA x m CB ---=-，因为,CA CB 不共线，因此100y n m x m ---=⎧⎨-=⎩ ，又因为31x y +=，41m n +=，解得16121613x y m n ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 因为H 为ABC 的垂心，所以()()0AH BC mAB nAC BC CH AB xCB yCA AB ⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，整理得，cos cos cos cos mc B nb C xa B yb A =⎧⎨=⎩ ，结合222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪⎪+-=⎪⎩可得222222330220a b c a b c ⎧--+=⎨--=⎩ ， 解得22229585a b c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则222222298255cos 2298255b b b a c b B ac b+-+-===⨯，即45B =︒.故答案:45︒.【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了向量的数量积，考查了余弦定理.本题的难点是垂心这一条件的应用.本题关键是求出参数的值.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.为建设美丽新农村，某村对本村布局重新进行了规划，其平面规划图如图所示，其中平行四边形ABCD 区域为生活区，AC 为横穿村庄的一条道路，ADE 区域为休闲公园，200BC m =，60ACB AED ∠=∠=︒，ABC 的外接圆直径为20057m .（1）求道路AC 的长；（2）该村准备沿休闲公园的边界修建栅栏，以防村中的家畜破坏公园中的绿化，试求栅栏总长的最大值. 【答案】（1）500m ；（2）600m . 【解析】【分析】（1）由正弦定理可求出AB =，由余弦定理可知2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，从而可求AC .（2）结合正弦定理可求三角形的周长为l EA ED AD =++)sin sin 200EAD EDA =∠+∠+，结合辅助角公式可化简为()400sin 60200l EAD =∠+︒+，进而可求周长的最大值. 【详解】（1）解：设三角形的外接圆半径为R ，由正弦定理可知，2sin ABR ACB=∠，即sin 60AB ︒==，由余弦定理知，2222cos AB CA CB CA CB ACB =+-⋅⋅∠，则22001500000AC AC --=，解得，500AC m =.（2）解：由题意知，200AD BC m ==，在AED 中，设周长为l ，其外接圆半径为R '，则2002sin sin 603AD R E '===︒，则2sin 3ED R EAD EAD '=∠=∠ ,2sin 3EA R EDA EDA '=∠=∠，则l EA ED AD =++)()sin sin 200sin sin 120200EAD EDA EAD EAD =∠+∠+=∠+︒-∠+⎤⎦()3sin 200400sin 302002EAD EAD EAD ⎫=∠+∠+=∠+︒+⎪⎝⎭，则当30EAD =∠°时，周长最大，为600m .【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了余弦定理的应用.本题的关键是用一个变量来表示三角形的周长.本题的难点为周长最值的求解.一般地，当已知三角形的两角及一角的对边时，常用正弦定理解三角形，若已知两边及其夹角或三边时，常用余弦定理解三角形.但是若已知两边及一边的对角时，也可用余弦定理解三角形.18.已知鲜切花A 的质量等级按照花枝长度L 进行划分，划分标准如下表所示.某鲜切花加工企业分别从甲､乙两个种植基地购进鲜切花A，现从两个种植基地购进的鲜切花A中分别随机抽取30个样品，测量花枝长度并进行等级评定，所抽取样品数据如图所示.（1）根据茎叶图比较两个种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值及分散程度(不要求计算具体值，给出结论即可)；（2）若从等级为三级的样品中随机选取2个进行新产品试加工，求选取的2个全部来自乙种植基地的概率；（3）根据该加工企业的加工和销售记录，了解到来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件利润为4元；来自乙种植基地的鲜切花A的加工产品的单件成本为10元，销售率(某等级产品的销量与产量的比值)及单价如下表所示.三级花加工产品二级花加工产品一级花加工产品销售率252389单价/(元/件) 12 16 20由于鲜切花A加工产品的保鲜特点，未售出的产品均可按原售价的50%处理完毕.用样本估计总体，如果仅从单件产品的利润的角度考虑，该鲜切花加工企业应该从哪个种植基地购进鲜切花A？【答案】（1）乙种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A的花枝长度相对于乙种植基地更为集中.（2）310.（3）该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A.【解析】【分析】（1）结合茎叶图即可看出平均值的大小关系以及数据集中程度；（2）从茎叶图中求出三级的样品共5个，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则可求出基本事件总个数以及2个都来自乙基地基本事件个数，即可求出概率；（3）分别求出三种花的销售额，减去总的成本，结果除以个数即可得乙种植基地单件平均利润，与4进行比较，即可得出结论.【详解】（1）由茎叶图可以看出，乙种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值大于甲种植基地鲜切花A 的花枝长度的平均值，甲种植基地鲜切花A 的花枝长度相对于乙种植基地来说更为集中.（2）由题意知，三级的样品共5个，其中，来自甲基地有2个，来自乙基地的有3个，则从5个样品中随机取2个共有2510C = 种可能，2个都来自乙基地共233C =种可能，则选取的2个全部来自乙种植基地的概率为310. （3）根据茎叶图可知，乙基地中，三级花共3个，二级花共16个，一级花共11个，则三级花的销售额为231263123120.5555⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)； 二级花的销售额为21640161616160.5333⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；一级花的销售额为811870112011200.5999⨯⨯+⨯⨯⨯= (元)；则乙种植基地单件平均利润为126640187030030 4.88539⎛⎫++-÷≈⎪⎝⎭(元).因为4.884>，所以该鲜切花加工企业应该从乙种植基地购进鲜切花A .【点睛】本题考查了茎叶图，考查了古典概型概率，考查了数据分析.本题的计算稍麻烦，应多加注意.求古典概型概率时，可用列举法写出所有的基本事件，再进行求解；但这样速度较慢，有时合理地结合排列组合的思想会使得做题速度加快，准确度提高. 19.如图1，在长方形ABCD 中，122AB BC ==，E ，F 分别为AD ､BC 的中点，G 为ED 的中点，点H 在线段AF 上，且满足AH AF λ=.将正方形ABFE 沿EF 折起，使得直线EF 与平面ABCD 间的距离为1，得到如图2所示的三棱柱AED BFC -.（1）求证：AF ⊥平面BED ： （2）若三棱锥G HFC -的体积为26，求λ的值.【答案】（1）证明见解析（2）12λ=.【解析】 【分析】（1）过点E 作EM AD ⊥于点M ，由勾股定理可知AE ED ⊥，从而可证ED ⊥ 平面AEFB ，推出ED AF ⊥，结合AF EB ⊥，可推出线面垂直.（2）过点H 作HI EF ⊥于点I ，则()21HI λ=-，由1236G HFC H GFC GFC V V S HI --==⨯=可求出λ 的值.【详解】（1）证明：在AED 中，过点E 作EM AD ⊥于点M ，如图所示， 因为//CD EF ,CD ⊂面ABCD ,则EM 为EF 与平面ABCD 间的距离，由题意知， 则1,2EM AE ED ===，易知1AM MD ==，则2AD =，所以AE ED ⊥，又ED EF ⊥，EFAE E =，所以ED ⊥ 平面AEFB ，又AF ⊂平面AEFB ，所以ED AF ⊥，由题意知，AF EB ⊥，ED EB E ⋂=，则AF ⊥平面BED .（2）解：由AE ED ⊥，AE EF ⊥，EF ED E ⋂=，可知AE ⊥面EFD ，即AE ⊥面GFC ， 过点H 作HI EF ⊥于点I ，则//HI AE ，所以HI ⊥平面GFC . 因为1HI FHAE AFλ==-，所以()()121HI AE λλ=-=-， 则()11122221332G HFC H GFC GFCV V S HI λ--==⨯=⨯⨯⨯⨯-=，解得12λ=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了椎体体积的求解.将三棱锥G HFC -的体积转化为三棱锥H GFC -的体积，是本题第二问的关键.证明线线垂直时，常用的思路有：等腰三角形三线合一、勾股定理、菱形的对角线、线面垂直的性质等.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，点(0,1)M 在椭圆E 上，过点(2,0)N 2的直线恰好与椭圆E 有且仅有一个公共点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点P 为椭圆E 的长轴上的一个动点，过点P 作斜率为(0)k k ≠的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，是否存在常数k ，使2221||,,||2a PA PB +成等差数列？若存在，求出k 的值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2）存在满足条件的常数k，2k =±.【解析】 【分析】（1）由点(0,1)M 在椭圆E 上，可求出21b =，联立直线与椭圆方程，根据直线与椭圆只有一个交点可得()4224216828160a a a a a ∆=-+=-=，从而可求出2a 的值，进而可求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，写出过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程联立，可得2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ，当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，223PA PB +=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()24222442210m k m k m ++-+=，从而可求出k 的值.【详解】（1）解：因为点(0,1)M 在椭圆E 上，所以211b =，解得21b =，椭圆方程为2221x y a+=，过点(2,0)N)2y x =-，与椭圆方程进行联立，即)222221y x x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，整理得，()22222420a x a x a +-+=，因为直线和椭圆有一个交点， 此时()4224216828160a aa a a ∆=-+=-= ，解得22a =，所以E 的方程为2212x y +=.（2）设直线与椭圆的交点()()1122,,,A x y B x y ，(),0,P m m ⎡∈⎣，则过点P 斜率为(0)k k ≠的直线方程为()y k x m =-，与椭圆方程进行联立得()2212y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得，()22222214220k x k mx k m +-+-=，由韦达定理知，2122421k m x x k +=+，221222221k m x x k -=+，122212km y y k +=-+，222122221m k k y y k -=+ ， 当2221||,,||2a PA PB +成等差数列时，22213PA PB a +=+=，即()()222211223x m y x m y -++-+=，整理得()()()222121212121222223x x m x x x x m y y y y +-+-+++-=，则222222222222222442222222232121211221k m k m k m km m k k m m k k k k k ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫--⨯++--⨯= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得，()()24222442210m k m k m ++-+=，解得212k =或222122m m +-+（舍去）所以当2k =±时，2221||,,||2a PA PB +成等差数列.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了两点间的距离，考查了等差中项，考查了圆锥曲线中的定值问题.本题的难点在于第二问的计算. 21.己知函数2()22(1)x x f x ae a e =++. （1）当12a =-时，求()f x 的极值； （2）当(0,)a ∈+∞时，函数()f x 的图象与函数4x y e x =+的图象有唯一的交点，求a 的取值集合. 【答案】（1）函数()f x 的极大值是14，无极小值；（2）12⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 【解析】 【分析】 （1）当12a =-时，2()x xf x e e =-+，由导数为零，解得ln2x =-，从而可知()(),f x f x ' 随x 的变化，进而可求极值；（2）设设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，即22ln 2t ta t t+=+只有一个根，设()22ln t tg t t t+=+，结合导数可知，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，画出()g t 草图，可求出a 的取值集合.【详解】（1）解：当12a =-时，2()x x f x e e =-+，则2()02x x f x e e '-+==，解得ln2x =-， 则()(),f x f x ' 随x 的变化如表所示所以函数()f x 的极大值是2(ln 2)ln 2111(ln 2)424f ee ---=-+=-+=，无极小值； （2）解：设x t e =，则()()2221f t at a t =++与4ln y t t =+ 只有一个交点，其中0t >，则()22214ln at a t t t ++=+只有一个根，即22ln 2t ta t t+=+ 只有一个根，设()22ln t tg t t t +=+ ，则()()22222ln 1ln t t t t t g t t t -+-+-'=+，()10g '= 令()222ln 1ln h t t t t t t =-+-+-，则()142ln 1h t t t t '=----，设12ln y t t=+， 则令2212210t y t t t -'=-+==，解得12t =，则,y y ' 随t 的变化如下表则当12t =时，12ln y t t =+取最小值为()22ln221ln20-=⨯->，所以12ln 0t t--<，即()142ln 10h t t t t'=----<.所以()h t 在()0,t ∈+∞ 上单调递减，因此()0g t '=只有一个根，即1t = ，当()0,1t ∈ 时，()0g t '>，()g t 递增；当()1,t ∈+∞ 时，()0g t '<，()g t 递减， 所以，当1t =时，()g t 有最大值为()11g =，则()22ln t tg t t t+=+简图如图所示， 由题意知，2y a = 与()g t 图像只有一个交点，而(0,)a ∈+∞，所以21a =，即12a =， 所以a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了函数的极值，考查了函数的零点与方程的根，考查了数形结合.本题的第二问的关键在于通过换元、参变分离，得到2y a = 与()22ln t tg t t t+=+图像只有一个交点.本题的难点是通过二次求导探究()22ln t tg t t t+=+图像的变化趋势. 22.在极坐标系中，圆1C 的极坐标方程为()24cos sin ρρθθ=+，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy . （1）求圆1C 的直角坐标方程；（2）已知曲线2C 的参数方程为22x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线2C 与圆1C 交于,A B 两点，求圆1C 夹在,A B 两点间的劣弧AB 的长.【答案】（1）22(2)(2)8x y -+-=.（22π. 【解析】 【分析】（1）24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，代入222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，即可得到圆1C 的直角坐标方程；（2）通过消参可得曲线2C 的普通方程为22y x =-，则联立12,C C 方程，可求出()0,4A ，()4,4B ，由110C A C B ⋅=，可求出劣弧AB 的圆心角为12AC B π∠=，进而可求弧长.【详解】（1）解：因为24(cos sin )4cos 4sin ρρθθρθρθ=+=+，则2244x y x y +=+， 整理得，22(2)(2)8x y -+-=，所以圆1C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -+-=. （2）解：曲线2C 的普通方程为22y x =-，由题意知，当2x ≤时，12,C C 的交点为A ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩ ，解得，04x y =⎧⎨=⎩，即()0,4A ，当2x >时，12,C C 的交点为B ，即()()()2222822x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩，解得，44x y =⎧⎨=⎩，即()4,4B ，由（1）知，圆心()12,2C ，半径22r =.()()112,2,2,2C A C B =-=，则110C A C B ⋅=， 则12AC B π∠=，所以劣弧AB 的长为2222ππ⨯=.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程转化为普通方程，考查了弧长的求解，考查了直线与圆的位置关系.本题的关键是求出劣弧的圆心角. 23.已知函数()|21||5|f x x x =-++. （1）求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为32m，求证：,(0,)p q ∀∈+∞，11m p q p q +≥+恒成立.【答案】（1）{|1x x <-或1}x >：（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)对x 的取值范围进行分情况讨论,再求解不等式即可;(2)根据解析式求出()f x 的最小值,从而得到m ,再利用分析法证明不等式即可.【详解】(1)()|21||5|f x x x =-++=34,516,52134,2x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，若()7f x >,则有5347x x <-⎧⎨-->⎩或15267x x ⎧-≤<⎪⎨⎪-+>⎩或12347x x ⎧≥⎪⎨⎪+>⎩,解得5x <-或51x -≤<-或1x >,因此不等式()7f x >的解集为{|1x x <-或1}x >;(2)由函数()f x 的解析式可知,()f x 在1(,)2-∞上单调递减,在1(,)2+∞上单调递增, 因此min 1113()()4222f x f m m ===+⇒=, 因此要求证:,(0,)p q ∀∈+∞,114p q p q+≥+恒成立, 即证4p q pq p q+≥+恒成立, 即证()24p q pq +≥恒成立, 即证2220p q pq +-≥恒成立,而对,(0,)p q ∀∈+∞,222p q pq +-=2()0p q -≥恒成立,因此,原不等式得证.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式,考查不等式的证明,难度不大.。

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(九)数学(文科)

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）数学试题（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}24410U x x x =-+≥，{}20B x x =-≥，则UB =（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,222⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合U 和B ，进而可求出UB .【详解】由()22441210x x x -+=-≥恒成立，所以U =R . 又因为{}{}202B x x x x =-≥=≥，所以{}2UB x x =<.故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的补集，属于基础题. 2.已知32a ib i i-=+（,a b ∈R ），其中i 为虚数单位，则复数z a bi =-在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算，结合复数相等，求得参数,a b ，写出复数在复平面内对应点的坐标即可判断. 【详解】因为32a ib i i-=+，故可得32a i bi -=-+， 故可得2,3a b =-=-，则复数23a bi i -=-+在复平面内对应的点为()2,3-， 其位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算，涉及复数相等求参数，以及复数在复平面内对应点的考查，属综合基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若2124a a =，则72a （ ） A. 2- B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的性质可得，27212a a a =，即可求出7a ，从而可求出()72a-. 【详解】在正项等比数列{}n a 中，由题意得272124a a a ==，72a ∴=，()()72224a -=-=∴.故选：C.【点睛】本题考查等比中项的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.4.假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（ ） A. 250 B. 350C. 450D. 550【答案】B【解析】 【分析】根据池塘中带有标记的草鱼数量与草鱼总数的比值等于样本中带有标记的草鱼数量与样本容量的比值. 【详解】设池塘中草鱼的数量大约为x ，可得50750x =， 所以357x ≈，所以池塘中草鱼大约有350条.故选：B.【点睛】本题考查用样本估计总体，难度较易.总体中某一类个体所占的比例等于样本中该类个体所占的比例.5.若3cos()23πα+=-，则cos2=α（ ）A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可. 【详解】3cos sin 3ααπ⎛⎫+=-=- ⎪2⎝⎭,得到3sin 3α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.6.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为135，180，则输出的a =（ ）A. 0B. 5C. 15D. 45【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，列出算法循环的每一步，结合判断条件，可得输出的a 值. 【详解】运行该程序，输入135a =，180b =， 则a b ，且a b <，可得135a =，18013545b =-=； 则a b ，且a b >，可得1354590a =-=，45b =； 则ab ，且a b >，可得904545a =-=，45b =；则a b =，退出循环，输出45a =. 故选：D.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考查学生的计算求解能力，属于基础题.7.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，直线9x =与双曲线C 的两条渐近线的交点分别为P ，Q ，O为坐标原点.若OPQ △为正三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 2B.3C.43D.【答案】B 【解析】 【分析】由OPQ △为正三角形，可得π6QOx ∠=，从而可知双曲线C 的渐近线为y x =，即可求出b a 的值，再结合离心率c e a ==.【详解】依题意得OPQ △为正三角形，所以π3POQ ∠=，结合对称性可知，π6QOx ∠=，所以双曲线C 的渐近线为y x =，即b a =所以离心率c e a ====. 故选：B.【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 8.已知直三棱柱111ABC A B C -玉石，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，14cm AA =，若将此玉石加工成一个球，则此球的最大表面积为（ ）2cm .A.8π3B.32π3C. 16πD.64π3【答案】C 【解析】 【分析】由222AB AC BC =+，可知ABC 为直角三角形，可求得Rt ABC △的内切圆的半径r ，可知12AA r =，从而将此玉石加工成一个球，此球是该三棱锥的内切球时，球的表面积最大，且内切球半径R r =，求出该球的表面积即可.【详解】在ABC 中，10cm AB =，6cm AC =，8cm BC =，则222AB AC BC =+，所以ABC 为直角三角形，在Rt ABC △中，设内切圆的半径为r ，则()1168681022r ⨯⨯=++，即2cm r =， 因为12AA r =，所以将此玉石加工成一个球，要求此球的最大表面积，此球应是直三棱的内切球，球的半径R 等于底面直角三角形内切圆的半径，即2cm R =， 所以该球的最大表面积为24π16πS R ==. 故选：C.【点睛】本题考查几何体的结构特征、内切球的表面积，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.9.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间为（ ）A. 335π11π2π,2πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B. 335π11π4π,4πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C. 33π5π2π,2πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈ZD. 33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z【答案】D 【解析】 【分析】由图象可知函数()f x 的周期7ππ233T ⎛⎫=⨯-⎪⎝⎭，结合2πT ω=，可求出ω，再结合函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，π,03⎛⎫⎪⎝⎭，可求出,A ϕ，即可得到函数()f x 的表达式，进而利用平移变换，可得到()g x 的表达式，然后求出单调递增区间即可.【详解】由图象可知，函数()f x 的周期7ππ2π24π33T ω⎛⎫=⨯-==⎪⎝⎭，12ω∴=.又函数()f x 的图象经过点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，ππsin 036f A ϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2π6n ϕ+=∴()n ∈Z ，π2π6n ϕ=-∴，π2ϕ<，π6ϕ∴=-，又()π30sin sin 62f A A ϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，3A ∴=，()1π3sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭.∴()π1π3sin 323g x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π1ππ2π2π2232k x k -+≤-≤+()k ∈Z ，得π5π4π4π33k x k -+≤≤+， 故()g x 的单调递增区间为33π5π4π,4πk k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .选择：D.【点睛】本题考查三角函数的解析式、图象的平移变换及单调递增区间，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.定义在R 上的奇函数()f x 在,0上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. c a b <<D. a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】易知()f x 在(0,)+∞上是增函数，且()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而可判断出0.822log 5log 4.122>>>，结合函数的单调性可得()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】由()f x 是定义域为R 的奇函数，且在(),0-∞上是增函数， 则()f x 在(0,)+∞上是增函数， 所以()22211log log log 555a f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()2log 4.1b f =，()0.82c f =，易知222log5log 4.1log 42>>=，而10.822<，所以0.822log 5log 4.12>>.所以()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即c b a <<.故选：A.【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，下列说法中：①PQ 可能与平面11CDD C 平行； ②PQ 与BC 所成的角的最大值为3π； ③1CD 与PQ 一定垂直； ④2PQ ≥.其中正确个数（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理判断.②中，当Q 为11B C 的中点时，由垂直平行线中的一条则垂直另一条判断.③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，由线面垂直的判定定理判断.④中，当Q 为11B C 的中点时，由勾股定理判断.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点， 知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1PQ C D ∥，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时， 1PQ C D ∥，111B C C D ⊥，11BCB C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111CD B C ⊥，可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确； 在④中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 2，故④正确. 所以正确的个数为3. 故选：C.【点睛】本题主要考查线线，线面关系，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题. 12.已知P 是曲线1C ：e x y =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ） A. ln 212-B. ln 212+C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+，且e 1x x ≥+恒成立，2C 在点()1,0B 处的切线方程为1y x =-，且()ln 10xx x x-≥>恒成立，由AB 等于平行线1y x =+与1y x =-间的距离，从知min PQ AB =. 【详解】曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立.构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立. 又2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B ，故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-. 下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立.令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=， 则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立.因为AB ==1y x =+与1y x =-=，所以PQ的最小值为.故选：D.【点睛】本题考查曲线的切线的应用，考查平行线间距离的计算，考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,3a =，()3,b m =，且0a b ⋅=，则向量a 在向量()a b -上的投影为__________.【答案】2【解析】 【分析】由0a b ⋅=，可求出m ，进而由向量a 在()a b -上的投影为()a a b a b⋅--，求解即可.【详解】因为630a b m ⋅=+=，解得2m =-，所以()3,2b =-，()1,5a b -=-， 所以向量a 在()a b -上的投影为()1a a b a b⋅-==+-. . 【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的投影，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14.某省级示范校新校区计划今年九月招生，学校决定面向全国招聘优秀老师，其中数学科今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名.若a ，b 满足不等式组2527a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，若设该校今年计划招聘数学科教师最多z 名，则z =__________.【答案】13 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的平面区域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可求出+a b 的最大值. 【详解】如图所示，画出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线0b a +=，并平移，结合a ，b ∈N ，可知当6a =，7b =时，+a b 取得最大值. 故()max 6713a b +=+=，即13z =. 故答案为：13.【点睛】本题考查利用线性规划解决实际问题，考查数形结合的思想在解题中的应用，属于基础题. 15.过已知抛物线216y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为__________.【答案】1282+【解析】 【分析】设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，，根据124,4AF x BF x =+=+，得到1114AF BF +=，再利用“1”的代换，利用基本不等式求解. 【详解】抛物线216y x =的焦点()4,0F ，设直线方程为4x my =+，与抛物线联立得216640y my --=，由韦达定理得：21212121216,64,168,16y y m y y x x m x x +=⋅=-+=+⋅=，因为124,4AF x BF x =+=+，1114AF BF ∴+=， ()211242431282BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2AF =时，等号成立.故答案为：1282+【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及基本不等式求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16.已知数列{}n a 满足14a =，144n na a +=-，且()()()()()12232222f n a a a a =--+--+()()()()3412222n n a a a a +--++--，若对()3n n *∀≥∈N ，都有()22f n m m ≥-恒成立，则实数m 的最小值为__________.【答案】1- 【解析】 【分析】 易知124422n n n n a a a a +--=-=，可得111122422n n n n a a a a +==+---，从而可得数列22n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，进而可求出22n a -及2n a -的表达式，从而可求出()f n 的表达式，然后求出()f n 的最小值，令()2min 2f n m m ≥-，即可求出实数m 的范围，从而可求出实数m 最小值.【详解】14a =，144n na a +=-， ∴124422n n n na a a a +--=-=， 若存在()2,n n n *≥∈N，使得12n a+=，则2n a =，即112n n a a a -====，显然与14a =矛盾，12n a +∴≠，2n a ≠. 111122422n n n n a a a a +∴==+---，122122n n a a +∴-=--，1221242a ==--，22n a ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列；2112n n n a ∴=+-=-，22n a n-=， ()()1221122411n n a a n n n n +⎛⎫∴--=⋅=- ⎪++⎝⎭， ()()()()()()()()()122334122222222n n f n a a a a a a a a +∴=--+--+--++--1111144122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭.对()*3n n ∀≥∈N，都有()22f n mm ≥-恒成立，所以()2min 2f n m m ≥-，因为()*3n n ∀≥∈N时，()44141n f n n n ==-++，易知()f n 在[)3,+∞上是增函数，所以()()min 33f n f ==，即2230m m -≤-，解得13m -≤≤，所以实数m 的最小值为1-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的证明及通项公式的求法，考查裂项相消求和法的应用，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，7a =，8c =..（1）若sin C =A ；（2）若ABC 的面积为，求ABC 周长.【答案】（1）π3A =；（2）周长为20或15+【解析】 【分析】 （1）由正弦定理sin sin a c A C =，可求出sin A ，易知π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而可求出角A ； （2）由1sin 2ABC S ac B =△，可求出sin B ，进而可求出cos B ，结合余弦定理，可求出b ，即可求出ABC 的周长.【详解】（1）由已知条件可知，7a =，8c =，sin C =根据正弦定理可得sin sin a cA C=，si 7sin n 8a A c C =∴==，a c <，A C ∴<，π0,2A ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，π3A ∴=.（2）因为ABC 的面积为103，且7a =，8c =.1sin 28sin 1032ABC S ac B B ∴===△，53sin 14B ∴=. 2111si s 14co n B B ±=±∴=-. ①若11cos 14B =，由余弦定理得，22222112cos 782782514b ac ac B ⨯=+-⨯⨯-=+=， 5b ∴=，ABC ∴的周长为78520a b c ++=++=；②若1os 14c 1B =-，由余弦定理得，22222112cos 7827820114b a c ac B ⎛⎫=+-=+-⨯-= ⎪⎝⎭⨯⨯，201b ∴=，ABC ∴的周长为2011527081a b c ++=+++=.综上，ABC 周长为20或15201+.【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.18.随着时代的发展和社会的进步，“农村淘宝”发展十分迅速，促进“农产品进城”和“消费品下乡”，“农产品进城”很好地解决了农产品与市场的对接问题，使农民收入逐步提高，生活水平得到改善，农村从事网店经营的人收入逐步提高.西凤脐橙是四川省南充市的特产，因果实呈椭圆形、色泽橙红、果面光滑、无核、果肉脆嫩化渣、汁多味浓，深受人们的喜爱.为此小王开网店销售西凤脐橙，每月月初购进西凤脐橙，每售出1吨西凤脐橙获利润800元，未售出的西凤脐橙，每1吨亏损500元.经市场调研，根据以往的销售统计，得到一个月内西凤脐橙市场的需求量的频率分布直方图如图所示.小王为下一个月购进了100吨西凤脐橙，以x （单位：吨）表示下一个月内市场的需求量，y （单位：元）表示下一个月内经销西凤脐橙的销售利润.（1）将y 表示为x 的函数；（2）根据频率分布直方图估计小王的网店下一个月销售利润y 不少于67000元的概率；【答案】（1）130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）0.7【解析】 【分析】（1）根据小王购进了100吨和频率分布直方图，分需求量大于等于70小于100和需求量大于等于100小于等于120，两种情况讨论求解.（2）根据销售利润y 不少于67000元由（1）的模型，求得需求量的范围，再根据频率分布直方图求解概率. 【详解】（1）依题意得，x 表示一个月内的市场需求量，y 表示一个月内经销西凤脐橙的利润， 当[)70,100x ∈时，()800500100130050000y x x x =--=-. 当[]100,120x ∈时，80010080000y =⨯=. 所以130050000,7010080000,100120x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩.（2）由（1）知下一个月网店利润y 不少于67000元，所以67000y ≥， 当[)70,100x ∈时，由13005000067000x -≥，得90x ≥，所以90100x ≤<. 由直方图知西凤脐橙需求量[]90,120x ∈的频率为()0.030.0250.015100.7++⨯=， 所以下一个月内的利润y 不少于67000元的概率的估计值为0.7.【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用以及频率直方图样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且60BAD ∠=，11124CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥； （2）求三棱锥111B A C E -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）233. 【解析】 【分析】(1) 推导出CC 1⊥BD ．BD ⊥AC ．从而BD ⊥平面ACC 1，由此能证明BD ⊥AA 1； (2)利用等积法即可得到三棱锥111B A C E -的体积. 【详解】（1）证明：因为底面，所以.因为底面是菱形，所以. 又，所以平面.又由四棱台知，四点共面. 所以.（2）由已知，得，又因为，所以.【点睛】等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．20.已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点，且椭圆经过点22,2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆M方程；（2）设直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）1625 【解析】【分析】（1）设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，可得2b a =，进而将2⎭代入椭圆方程，可求出,a b 的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线l 的方程为x ky m =+，与椭圆方程联立，并消去x 得到关于y 的一元二次方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，由以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，可得0CA CB ⋅=，将其展开并结合韦达定理，可求得65m =，即直线l 恒过点6,05D ⎛⎫⎪⎝⎭，进而1212ABCS DC y y =-，结合韦达定理，求出最大值即可.【详解】（1）根据题意，设椭圆的上下顶点为()10,B b ，()20,B b -，左焦点为()1,0F c -，则121B B F △是正三角形，所以2b a ==，则椭圆方程为222214x y b b+=.将2⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，可得2221142b b +=，解得2a =，1b =. 故椭圆的方程为2214x y +=.（2）由题意，设直线l 的方程为x ky m =+，联立2214x y x ky m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得()2224240k y kmy m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12224km y y k -+=+，212244m y y k -=+，因为以线段AB 为直径的圆过椭圆的右顶点()2,0C ，所以0CA CB ⋅=， 由()112,CA x y =-，()222,CB x y =-，则()()1212220x x y y --+=，将11x ky m =+，22x ky m =+代入上式并整理得()()()()2212121220k y y k m y y m ++-++-=，则()()()()22222214222044k m k m m m k k +---++-=++，化简得()()5620m m --=， 解得65m =或2m =，因为直线x ky m =+不过点()2,0C ，所以2m ≠，故65m =. 所以直线l 恒过点6,05D ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故121162225ABCSDC y y ⎛=-=⨯- ⎝==， 设211044t t k ⎛⎫=<≤ ⎪+⎝⎭，则ABCS =在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，当14t=时，1625ABCS ==， 所以ABC 面积的最大值为1625. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查三角形的面积的计算，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题. 21.已知函数1()ln af x a x x x-=-++. （1）当2a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()23xg x e mx =+-，当21a e =+时，对任意1[1,)x ∈+∞，存在2[1,)x ∈+∞，使212()2()f x e g x +≥，证明：2m e e ≤-.【答案】(1)见解析；(2)见证明 【解析】 【分析】（1）求导221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x'----=-++=，讨论1x =与1x a =-的大小关系得单调区间；(2)当21a e =+时，由（1）得()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--，由题 212()2()f x e g x +≥转化为21min2g xf x e ，得22xmx e e +≤，分离m 得22x e e m x -≤，构造函数22()x e e h x x -=求其最大值即可证明【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 又221(1)[(1)]()1a a x x a f x x x x '----=-++=， 由()0f x '=，得1x =或1x a =-.当2a >即11a ->时，由()0f x '<得11x a <<-，由()0f x '>得01x <<或1x a >-； 当2a =即11a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当2a >时，单调减区间是()1,1a -，单调增区间是0,1，()1,a -+∞；当2a =时，单调增区间是0,，没有单调减区间；（2）当21a e =+时，由（1）知()f x 在()21,e 单调递减，在()2,e +∞单调递增. 从而()f x 在[)1,+∞上的最小值为22()3f e e =--.对任意[)11,x ∈+∞，存在[)21,x ∈+∞，使()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21,x ∈+∞，使的值不超过()22f x e +在区间[)1,+∞上的最小值23e -.由222e 32e e 3xmx --+≥+-得22xmx e e +≤，22xe e m x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()()22223222()x x x x e x e e xxe e e h x x x ---+-'==-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22e 20xxxx xe exee +->-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-,从而实数2m e e ≤-得证【点睛】本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.已知在平面直角坐标系xoy中，曲线11:12x C y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知()1,1M ，曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点,试求点M 到弦AB 的中点N 的距离. 【答案】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2224x y -+=；（2【解析】 【分析】（1）消去参数得到20x y +-=，再利用极坐标公式化简得到答案. （2）根据直线过圆心得到()2,0，计算得到答案.【详解】（1）曲线1:C 1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得20x y +-=， 其极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 4cos ρθ=，24cos ρρθ=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）由题意及（1）知直线1C 过圆2C 的圆心()2,0，则点N 的坐标为()2,0， 又()1,1M，所以MN ==.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程的转化，线段长度，意在考查学生的计算能力.【选修4—5：不等式选讲】23.[选修4-5：不等式选讲] 设函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()5(3)f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式2()||4f x x a x ++≤+在[1,1]-上有解，求实数a 的取值范围.【答案】(1) {}23x x -≤≤ (2) 24a -≤≤【解析】【分析】（1）零点分段去绝对值解不等式即可（2）由题x a 2x +≤-在[]1,1-上有解，去绝对值分离变量a 即可.【详解】（1）不等式()()f x 5f x 3≤--，即x 1x 25++-≤ 等价于1,125,x x x <-⎧⎨---+≤⎩ 或12,125,x x x -≤≤⎧⎨+-+≤⎩或2,125,x x x >⎧⎨++-≤⎩解得 2x 3-≤≤， 所以原不等式的解集为{}x 2x 3-≤≤；（2）当[]x 1,1∈-时，不等式()2f x x a x 4++≤+，即x a 2x +≤-， 所以x a 2x +≤-在[]1,1-上有解即2a 22x -≤≤-在[]1,1-上有解，所以，2a 4-≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式解法，不等式有解求参数，熟记零点分段，熟练处理不等式有解问题是关键，是中档题.。

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(九)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷(九)文科数学

2021届全国名校大联考新高考原创预测试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“22≠x ”是“x 2≠1”的（ ） A.充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2. 等差数列{}n a 满足10345113=-+a a a ，则=4a （ ）A.5-B.0C.5D.103已知函数f （x ）=x 2+2cos x ，f’（x ）是f （x ）的导函数，则函数y =f’（x ）的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） A.60 B.30 C.20 D.105. 定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1－x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）=x （3－2x ），则f （229）=（ ） A ．－1 B ．－21C ．21 D ．16. 已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0-7. (错题再现)已知四边形ABCD 中，BC AD //，,3AD BC =90=∠BDC ，AC 与BD 相交于点E ，且6=DE 则DE DA •=（ ）A.18-B.12-C.12D.488．古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数,则该点轨迹是一个圆”.现在,某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G 信号塔来构建一个三角形信号覆盖区域,以实现5G 商用，已知甲、乙两地相距4公里,丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的倍,则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：平方公里)是( ) A.23B.43C.36D.469.已知三棱柱111C B A ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若球O 的表面积为π20，则三棱柱的体积为（ ） A.36 B.12 C.312 D.1810.设椭圆C ：12222=+by a x （)0(>>b a 的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A,B 两点，直线l 的倾斜角60 ，FB AF 2=则椭圆C 的离心率为( ) A.32 B.36. C. 21 D.3111.已知函数()f x 的导函数()2f x sinx '=+，且(0)1f =-，数列{}n a 是以4π为公差的等差数列，若234(3f a f a f a π++=)()()，则20162a a =（ ）A ．2016B ．2015C ．2014D ．201312.已知函数有两个零点，则下列说法错误的是( ).A.B.C.D.有极小值点，且二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.已知)1,3(-=，把它向右平移3个单位，再按。

2021年高三9月联考数学(文)试题 Word版含答案

2021年高三9月联考数学(文)试题 Word版含答案

2021年高三9月联考数学（文）试题 Word 版含答案一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合则（ ）A.B.C.D.2.设向量a ，b 均为单位向量，且(a ＋b )，则a 与b 夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x 等于( )A.13 B.36 C.24D.334．“p 且q 是真命题”是“非p 为假命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k 的取值范围 （ ）A ．B ．C ．D ．6．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.457．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α=( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或28.下列命题中真命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 4>x 2；②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”． A ．0B ．1C ．2D ．39．对于函数，使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做函数的上确界．则函数的上确界是 （ ） A ．0B ．C ．1D ．210．定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1.f ′(x )为f (x )的导函数，已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示．若两正数a ，b 满足f (2a ＋b )＜1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )A ．(13，12)B ．(－∞，12)∪(3，＋∞)C ．(12，3)D ．(－∞，－3) 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.若是奇函数，则 ．12．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝－12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.13.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示．则：函数y ＝f (x )的解析式为________；14．如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →＝3e 1＋2e 2，则|OP →|＝________；15．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则的取值范围为________；三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程. 16.（本小题满分12分）.对于函数，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为，求实数a 的值；18.（本小题满分12分） 已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值.20．（本小题满分13分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R).（1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.21.（本小题满分13分）已知函数（）.（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）．娄底市高中名校xx届高三9月联考试题文科数学答案7．【答案】B【解析】当α≤0时，f(α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0，f(α)＝α2＝4，α＝2.8．解析：①x＝0时，x4>x2不成立，①为假命题；②若p∧q是假命题，则p，q至少有一个是假命题，②不成立，为假命题；③正确．答案：B9．【答案】C【解析】在是单调递增的，在是单调递减的，所以在R上的最大值是，故选C．10，答案：C解析：由y＝f′(x)的图象知，当x＜0时，f′(x)＜0，函数f(x)是减函数；当x＞0时，f′(x)＞0，函数f(x)是增函数；两正数a，b满足f(2a＋b)＜1，f(4)＝1，点(a ，b )的区域为图中的阴影部分(不包括边界)，b ＋2a ＋2的意义为阴影部分的点与点A (－2，－2)连线的斜率，直线AB 、AC 的斜率分别为12、3，则b ＋2a ＋2的取值范围是(12，3)，故选C. 二．14．解析 由题意可得e 1·e 2＝cos 120°＝－12.|OP →|＝(3e 1＋2e 2)2＝ 9＋4－6＝7；15．三．16．[解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==， （1）恒成立，， 的取值范围是；（2）.∵的值域是，∴命题等价于；即a 的值为±1；17．解：(1)由a cos C ＋12c ＝b 和正弦定理得，sin A cos C ＋12sin C ＝sin B ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝a sin C sin A ＝23sin C ，则l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2(32sin B ＋12cos B )＝1＋2sin(B ＋π6)． ∵A ＝π3，∴B ∈(0，2π3)，∴B ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(B ＋π6)∈(12，1]，∴△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．19．解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：， 当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为元． （2）设该单位每月获利为,则2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+-，因为，所以当时，有最大值．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴元，才能不亏损．21．解：（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即. ······································································2分（Ⅱ），则，∵，故时，.当时，；当时，.故在处取得极大值. ························································································4分又，，，则，26792 68A8 梨39571 9A93 骓T35637 8B35 謵)h27685 6C25 氥V37508 9284 銄精品文档' 35191 8977 襷O5实用文档。

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(九)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(九)数学(文)试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（九）文科数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()R A B = A. {}01x x <≤ B. {}01x x <<C. {}12x x ≤<D. {}02x x <<【答案】B 【解析】分析：由题意首先求得R C B ，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：{}|1R C B x x =<， 结合交集的定义可得：(){}01R A C B x ⋂=<<. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.设复数z 满足11z ii i+=+-，则z =（ ）A. 2i -B.i +C.D. 2i +【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】由题意，复数11z ii i+=+-，即()()112z i i i +=+-=，所以2z i =-. 故选：A.【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，其中解答中熟记复数的乘法运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力. 3.已知()5tan 12απ-=，且3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.513 B. 513-C.1213D. 1213-【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式由()5tan 12απ-=得到5tan 12α=，由3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭易得cos α，再由sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解.【详解】因为()5tan tan 12απα-==， 所以12sin cos 213παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭. 故选：D .【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及诱导公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.将函数sin 2y x =的图像向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位长度得到()f x 的图像，若函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ϕ的取值范围是（ ） A. ,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C. ,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，求得()()sin 2f x x ϕ=-，在结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数sin 2y x =的图像向右平移ϕ个单位长度得到()()sin 2f x x ϕ=-，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2222,23x ϕϕπϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭， 又因为函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则222232πϕππϕ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得124ππϕ≤≤.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图形与性质的性质的综合应用，着重考查了推理与运算能力.5.已知在等比数列{}n a 中，0n a >，2224159002a a a a +=-，539a a =，则2020a =（ ）A. 10103B. 10093C. 20193D. 20203【答案】C 【解析】 【分析】设公比为q ，根据2224152900a a a a ++=，利用等比数列的性质得到2224242900a a a a ++=，则2430a a +=，再与539a a =，联立求得2q ，2a ，再利用等比数列的通项公式求解.【详解】设公比为q ，因为2224152900a a a a ++=所以2224242900a a a a ++=，则2430a a +=，所以()22130a q+=，又539aa =，所以2339a q a =，得29q =，则23a =，所以()10092018210092019202022393a a q a q ===⨯=，故选：C .【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算及其性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 6.下列四个命题中，正确命题的个数有（ ） ①0x R ∃∈，003sin cos 2x x +=②命题“x R ∀∈，220x x --<”的否定是“x R ∃∈，220x x --≥” ③“若4a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题 ④复数123,,z z z C ∈，则()()2212230z z z z -+-=的充分不必要条件是13z z = A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】对于①中，根据三角函数的性质，即可判定；对于②中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定；对于③中，根据四种命题的关系，即可判定；对于④中，根据复数的运算和充分条件、必要条件，即可判定.【详解】由题意，对于①中，由于sin cos 4x x x π⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭对于②中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220x x --<”的否定是“x R ∃∈，220x x --≥”是正确的；对于③中，原命题的逆命题为：若a ，b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而4a =，4b =-满足a ，b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，所以是假命题；对于④中，例如131,0,z z z i ===时，可得()()22122311,z z z z -=-=-， 满足()()2212230z z z z -+-=，所以必要性不成立，又如：1321,z z i z i ==+=时，()()22122322(1)1,1(1)z z z z i i i i =+-==----=， 此时()()2212232z z z z -+-=，所以充分性不成立，所以13z z =是()()2212230z z z z -+-=既不充分也不必要条件，所以错误. 故选A.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到全称命题与存在性命题的关系，四种命题的关系及判定，复数的运算等基础知识的综合考查，着重考查了推理与运算能力.7.明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”下图所示的程序框图反映了此题的一个算法．执行下图的程序框图，则输出的n = ( )A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图，解方程1003(100)3nn =+-得75n =，即可得到答案. 【详解】根据程序框图，当1003(100)3nn =+-时，解得75n =，此时，100S =终止循环. 故选：D.【点睛】本题考查程序框图语言和数学文化的交会，考查阅读理解能力，求解时注意将问题转化为解方程问题.8.2020年，一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常开学，不得不在家“停课不停学”.为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如下图所示），已知学习时长在[)9,11的学生人数为25，则n 的值为（ ）A. 40B. 50C. 80D. 100【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质，求得0.25x =，再结合频率分布直方图的频率的计算方法，即可求解. 【详解】由频率分布直方图的性质，可得()20.050.150.051x +++=，解得0.25x =， 所以学习时长在[)9,11的频率2520.5x n==，解得50n =. 故选：B .【点睛】本题主要考查了频率分布直方图性质及其应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了数据分析能力，以及计算能力.9.设x ，y 满足约束条件20,11,30,x y x y y -≥⎧⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎩若z ax y =-+取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A. 2或3-B. 3或2-C. 13-或12D. 13-或2【答案】A 【解析】如图，当0a >时，2a =；当0a <时，3a =-；当0a >时，不合题意. 故选A10.已知两个夹角为3π的单位向量a ，b ，若向量m 满足1m a b --=，则m 的最大值是（ ） A.31- B.31+C. 2D.621++【答案】B 【解析】 【分析】设31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，31,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为符合题意的两个向量，得到a b +，再根据1m a b --=表示以a b +的坐标为圆心，1为半径的圆求解. 【详解】如图所示：设31,2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，31,22b ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为符合题意的两个向量， 则()3,0a b +=，即)3,0C，而1m a b --=，则m 的终点在以C 为圆心，1为半径的圆上， 从而当m 的终点在点)31,0D处时，m 最大，且max31m=，故选：B .【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的几何意义的应用，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于中档题.11.设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则C 的标准方程为（ ） A. 2y x =或29y x = B. 24y x =或218y x = C. 22y x =或218y x = D. 24y x =或29y x =【答案】C 【解析】 【分析】设以MF 为直径的圆的圆心为5,22M y ⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆的方程，又因为圆过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求得3M y =，结合抛物线的定义，求得p 的值，即求解.【详解】由题意，C ：()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，根据抛物线的定义，可得52M px =-， 设以MF 为直径的圆的圆心为5,22M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以圆的方程为22525224M y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为圆过点30,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以3M y =， 又因为点M 在C 上，所以9252p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，解得1p =或9p =， 抛物线C 的标准方程为22y x =或218y x =. 故选：C.【点睛】本题主要考查了抛物线标准方程及其几何性质的应用，其中解答中根据抛物线的定义和几何性质求得圆的方程，得到3M y =是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.12.已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,)e +∞B. 2(,2)e eC. 2(2,)e +∞D. 22(,2)(2,)e e e +∞【答案】C 【解析】 【分析】求得函数的导数()(2)()x xe af x x x-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()xg x xe =，利用奥数求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.【详解】由题意，函数()(3)(2ln 1)xf x x e a x x =-+-+，可得2()(3)(1)(2)()(2)()x xxxa xe a f x e x e a x e x x x x-'=+-+-=--=-⋅，又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，则()0f x '=，即(2)()0x xe ax x--⋅=在(1,)+∞上有两解，即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解， 令()xg x xe =，则()(1)0,(1)xg x x e x '=+>>，所以函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以()1a g e >=且()222a g e ≠=，又由()f x (1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即(2)()0x xe ax x--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，又由函数()xg x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2(2,)a e ∈+∞，故选C.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分（共90分）.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23为选考题，考生根据要求作答.二､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13.直线y x =被圆()2224x y +-=截得的弦长为___________【答案】2 【解析】试题分析：由弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形，应用勾股定理得，直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为22222()222--=考点：直线与圆的位置关系点评：简单题，研究直线与圆的位置关系问题，要注意利用数形结合思想，充分借助于“特征直角三角形”，应用勾股定理．14.如图，已知正方形ABCD 的边长为l ，点E 是AB 边上的动点．则DE DC ⋅的最大值为______．【答案】1 【解析】试题分析：根据平面向量数量积的几何意义得：当点E 在点B 时，DE DC ⋅值的最大，此时DE DC 1DC =1在方向上的投影为，又，所以DE DC ⋅的最大值为1.考点：平面向量数量积的几何意义；向量的投影．点评：a b 在方向上的投影就是,a cos a b 〈〉．属于基础题型．15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，点()0,B b ，双曲线的渐近线上存在一点P ，使得A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，则双曲线C 的离心率e =______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据A ，B ，F ，P 顺次连接构成平行四边形，求得点(),0A a -与点(),0F c 的中点，从而求得点P 的坐标，代入双曲线方程求解.【详解】由题知点(),0A a -与点(),0F c 的中点,02c a -⎛⎫⎪⎝⎭也是点()0,B b 与点P 的中点， 所以点P 的坐标为(),c a b --， 又点P 在渐近线by x a=-上， 所以()bb c a a-=--， ∴2c a =， ∴2e =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.如图，矩形ABCD 中，23AB =2AD =，Q 为BC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，CD 上运动（其中M 不与A ，B 重合，N 不与C ，D 重合），且//MN AD ，沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，则三棱锥D MNQ -体积的最大值为______.【答案】1 【解析】 【分析】沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，得到当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，利用三棱锥的体积公式，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，沿MN 将DMN 折起，得到三棱锥D MNQ -，可得当平面DMN ⊥平面MNQ 时，三棱锥D MNQ -体积最大，此时DN ⊥平面MNQ ， 设AM x =，则DN x =，且023x << 则三棱锥D MNQ -的体积为1112(23)332D NQ M Q M N V S DN x x -⎡⎤=⋅=⋅⎢⎥⎣⎦△， 当3x =D MNQ -体积最大，且max 1V =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积计算，其中解答中根据几何体的结构特征，得到当平面DMN ⊥平面ABCD 时，三棱锥D MNQ -体积最大，再利用体积公式和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.如图，CM ，CN 为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN =120°，现拟在两条木栈道的A ，B 处设置观景台，记BC =a ，AC =b ，AB =c （单位：百米）（1）若a ，b ，c 成等差数列，且公差为4，求b 的值；（2）已知AB =12，记∠ABC =θ，试用θ表示观景路线A -C -B 的长，并求观景路线A -C -B 长的最大值． 【答案】（1）10；（2）3【解析】 【分析】（1）利用a 、b 、c 成等差数列,且公差为4,可得44a b c b =-⎧⎨=+⎩,利用余弦定理即可求b 的值；（2）利用正弦定理,求出AC 、BC ,可得到观景路线A -C -B 为AC BC +是关于θ的函数,求出最大值即可【详解】解：（1）∵a 、b 、c 成等差数列,且公差为4,∴44a b c b =-⎧⎨=+⎩,∵∠MCN =120°，∴2222cos c a b ab MCN =+-⋅∠,即()()()2224424cos120b b b b b +=-+--°, ∴b =10（2）由题意,在ABC ∆中,sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠,则()AC BC 12==sin sin120sin 60θθ︒︒-,∴83AC θ=,()8360BC θ=-．,∴观景路线A -C -B 的长()()8383608360y AC BC θθθ=+=+-=+．．,且060θ<<．．, ∴θ=30°时,观景路线A -C -B 长的最大值为3【点睛】本题考查利用余弦定理求三角形的边,考查正弦定理的应用,考查三角函数的最值问题,考查运算能力18.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率 （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.当数据a,b,c,的方差2s 最大时，写出a,b,c 的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （注：2222121=[(x -)+(-)++(-)]n s x x x x x n，其中x 为数据12x n x x 、、的平均数）【答案】（Ⅰ）23;（Ⅱ）0.3;（Ⅲ）600,0,0,a b c ===时，方差取得最大值8000. 【解析】【详解】（Ⅰ）厨余垃圾一共有400100100600++=吨，其中投放正确有400吨，所以概率为4002=400+100+1003（Ⅱ）生活垃圾一共有1000吨，其中投放错误有30201002010030300+++++=吨，所以概率为3000.31000= （Ⅲ）由题意得：2222222211200,[(200)(200)(200)][400()3200]33x S a b c a b c a b c ==-+-+-=++-+++⨯221[()2223200]3a b c ab bc ca =++----⨯ 222211[6002223200][6003200]800033ab bc ca =----⨯≤-⨯= 当且仅当时600,0a b c ===取等号19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）求1BA 与平面11A B E 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）24【解析】 【分析】（1）由勾股定理，得到1BC BC ⊥，再由AB ⊥侧面11BB C C ，所以1AB BC ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得直线1C B ⊥平面ABC ；（2）根据直线与平面所成角的定义，得到1BA E ∠为所求1BA 与平面11A B E 所成角，在直角1A BE ∆中，即可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，由余弦定理可得13BC =因为22211BC BC CC +=，所以1BC BC ⊥，又因为AB ⊥侧面11BB C C ，所以1AB BC ⊥， 又由AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ， 所以直线1C B ⊥平面ABC .（2）在11BB C C 中，1BC CE ==且13BCC π∠=，可得1BE =，又由1111B C C E ==且123BC E π∠=，所以13B E =.又因为112BB C C ==，则22211BE B E B B +=，即1BE B E ⊥，因为AB ⊥平面11BB C C ，所以11A B ⊥平面11BB C C ，则11A B BE ⊥，又由11A B ⊆平面11A B E ，1B E ⊆平面11A B E 且1111A B B E B ⋂=，则11BE A B E ⊥， 则1BA E ∠为所求1BA 与平面11A B E 所成角，在直角1A BE ∆中，所以11sin 4BE BA E BA ===∠. 【点睛】本题主要考查了线面直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成角的求解，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及熟记应用直线与平面所成角的定义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.20.已知直线:2l x =-与x 轴的交点为A .点P 满足线段AP 的垂直平分线过点(2,0)B .（1）若||AP =，求点P 的坐标；（2）设点P 在直线l 上的投影点为C ，PC 的中点为D ，是否存在两个定点,E F ，使得当P 运动时，||||DE DF +为定值？请说明理由.【答案】（1）(4,或(4,-（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用几何关系得出30GAB ∠=︒，再由斜率公式以及两点间距离公式，列出方程组，即可求解； （2）设(,)D x y ，则(2,)C y -，根据中点坐标公式得出(22,)P x y +，再由垂直平分线的性质得出点P 的轨迹为椭圆，由椭圆的定义即可作出判断.【详解】（1）若||AP =，BG 垂直平分AP ，则AG =又AB 4=，cos 42GAB ∴∠==，即30GAB ∠=︒设 (,)P x y ，则23AP y k x ==+，且22(2)48AP x y =++=解得(4,P 或(4,-（2）设(,)D x y ，则(2,)C y -，由PC 的中点为D ，可得(22,)P x y + 因为AP 的垂直平分线过点B ，则||||PB AB =22(222)16x y ∴+-+=221(2)416x y x ∴+=≠-，即点D 的轨迹是椭圆（不含点A ） 22216,4,12a b c ∴==∴=故由椭圆的定义可知，存在(0,23),(0,23)E F -满足||||28DE DF a +==为定值【点睛】本题主要考查了两点间距离公式以及斜率公式，涉及了椭圆的轨迹问题，属于中档题. 21.已知函数()()1ln f x a x a R x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值；（2）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由.【答案】（1）0a =（2）存在；λ的最大值为-1 【解析】 【分析】 （1）求得()2n '111l x a x xf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据题设条件，得到()'11f =-，即可求解； （2）假设存在整数λ，使得不等式()f x λ≥恒成立，当2a =时，函数()12ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求得函数的导数，令()21ln g x x x =-+，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，结合零点的存在定理和函数的最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()()1ln f x a x a R x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()2n '111l x a x x f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=， 所以()'111f a =-=-，解得0a =.（2）假设存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立， 当2a =时，函数()12ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得()2211121ln l 'n 2f x x x x x x x x -+⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， 设()21ln g x x x =-+，则()1'20g x x=+>， 所以()g x 单调递增，且11ln 022g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()110g =>， 所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得()00g x =， 因为当()00,x x ∈时，()0g x <，即()'0f x <，所以()f x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，即()'0f x >，所以()f x 单调递增， 所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，此时()()00000001112ln 21244f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()01,0f x ∈-，因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ≤-，即λ的最大值为-1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．请考生在22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是cos x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 【答案】（1）2221cos ρθ=+（2）43【解析】 【分析】（1）先将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入化简即可.（2）根据题意得到射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-，利用极径的几何意义得到OA ，OB ，建立模型，利用基本不等式求解.【详解】（1）将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程：2212y x +=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得22(sin )(cos )12ρθρθ+=，化简得C ：2221cos ρθ=+.（2）由题意知，射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-，∴1OA ρ==2OB ρ==∴OA OB ==⋅22241cos 1sin 32αα=+++≥，当且仅当221cos 1sin αα+=+，即4πα=时，OA OB ⋅取最小值43. 【点睛】本题主要考查参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的转化，以及椭圆方程的求法以及垂直弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()121f x x x =--+，若()f x 的最大值为k . （1）求k 的值；（2）设函数()g x x k =-，若2b <，且()b g ab a g a ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭，求证：1a >. 【答案】（1）2k =（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）将函数转化为()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，再利用分段函数的性质求解.（2）根据（1）得到()2g x x =-，将()b g ab a g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭化为22ab b a -<-，两边平方利用一元二次不等式解法求解.详解】（1）∵()3,131,113,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--≥⎩，∴当1x =-时，()max 2f x =， ∴2k =.（2）()2g x x =-，∴()b g ab a g a ⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为22b ab a a -<-，即22ab b a -<-， 两边平方后得，2222440a b b a -+-<，即()()22140a b --<， 由2b <得24b <，∴21a >， ∴1a >.【点睛】本题主要考查绝对值函数求最值以及一元二次不等式解法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(八)文科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷(八)文科数学试题

2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（八）数学试卷（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z =(i 为虚单位)的共轭复数为（ ）A.i B.i C. i + D. i -【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算化简z ，再求得其共轭复数z .【详解】依题意,z i z i ===故选：A【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题. 2.已知集合{}|2,nA x x n ==∈N ，{}|28B x x x =<-.则AB =（ ）A. {1,2,4}B. {}1,2,4,6,8C. {2,4,8}D. {}1,2,4,8【答案】D 【解析】 【分析】解一元一次不等式求得集合B ，由此求得A B .【详解】由{|14}B x x =<，可知{}1,2,4,8A B ⋂=. 故选：D【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础题.3.若变量x y ，满足约束条件2101010x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩，则=2z x y -的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y -=到可行域边界位置，由此求得z 的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y -=到可行域边界()2,1B -时，目标函数z 取得最大值为()2214-⨯-=. 故选：B[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082707456/EXPL ANA TION/982d80f2f2de400eb995bb75a5dce055.png]【点睛】本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.4.如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为（ ） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082715648/STEM /739a4f8d0bff4af5a7ec8dffa30bcf36.png]A. 20πB. 21πC. 22πD. 23π【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图判断出原图的结构，由此求得原图的体积.【详解】由三视图知，该几何体是由38个半径为2的球和1个底面半径为2、高为4的圆柱组合而成.其体积为23342422083πππ⨯⨯+⨯⨯=. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图求体积，属于基础题.5.如图所示是某年第一季度五省GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（ ） [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454345216/STEM /65cc0b9e0b754895abe2ba74b410e80c.png]A. 该年第一季度GDP 增速由高到低排位第3的是山东省B. 与去年同期相比，该年第一季度的GDP 总量实现了增长C. 该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D. 去年同期浙江省的GDP 总量超过了4500亿元 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A 、B 项均正确，该年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500÷+≈<. 故D 项不正确. 故选：D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.6.已知α22sin αα=，则cos2α等于（ ） A.23B.29C. 13-D. 49-【分析】22sin αα=可得cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可.【详解】因为cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以cos α=， 所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题.7.已知ABC ∆中内角,,A B C 所对应的边依次为,,a b c ，若2=1,3a b c C π+==，则ABC ∆的面积为（ ）A.2B.C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理可得227a b ab +-=，结合2=1a b +可得a ，b ，再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理，得2272cos a b ab C =+-=22a b ab +-，由22721a b ab a b ⎧=+-⎨=+⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩，所以，11sin 2322ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.8.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，23()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A. (,1)-∞-B. (1,)-+∞C. (,2)-∞-D. (2,)-+∞【分析】由定义在R 上的奇函数的性质，可得(0)0f =，求出1a =，于是可得()f x 在0x ≥时的解析式23()log (1)(0)x f x x x =+≥+，由解析式结合增函数+增函数=增函数，可得函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，再由()f x 为定义在R 上的奇函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，利用函数单调性即可解决．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，解得1a =，所以，当0x ≥时，32()log (1)f x x x =++．当[0,)x ∈+∞时，函数3log (1)y x =+和2yx 在[0,)x ∈+∞上都是增函数，所以()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，由奇函数的性质可知，()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故()(34)5(34)2f x f x f +>-⇔+>-，即有342x +>-，解得2x >-．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数性质的应用，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，意在考查学生的转化能力，属于中档题．9.已知双曲线2213y C x -=：的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A. 41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. (0,2]C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】 设P 在右支，21PF ，利用双曲线的定义化简1211PF PF +，根据2PF 的取值范围，求得1211PF PF +的取值范围.【详解】不妨设点P 在右支上.所以21PF ，所以12221111141233PF PF PF PF +=++=+，故1211PF PF +的取值范围为40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 10.已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A. 6π B.4π C.3π D.12π【答案】C 【解析】 【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭.22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π.故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.11.已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ） A. 1y x =+或1y x =-- B. 1122y x =+或1122y x =-- C. 22y x =+或22y x =--D. 22y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可.【详解】过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切，易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x .[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003111653376/2445331454517248/EXPL ANA TION/e914bc848b324cd5ba782914783ac2be.png] 故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.12.已知函数()f x 满足当0x 时，(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）A. (5,)+∞B. (2,4)C. (3,5)D. (3,4)【答案】C 【解析】 【分析】根据周期性和对称性，作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，根据题意得到函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】先作出函数()f x 在(,0]-∞上的图象关于原点对称的图象，如图所示.若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对.则函数()log a f x x =的图象与所作的图象有3个交点，所以1log 31log 51a aa >⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得35a <<.[Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082871296/EXPL ANA TION/d21c78063fde4ea08aedc9f50a97e136.png] 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的周期性、图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小題5分，共20分.13.已知(1,1),2,a b a b =-=⊥，则b =___________.【答案】(1,1)或(1,1)-- 【解析】 【分析】设出b 的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得b .【详解】设(,)b x y =，有202x x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩ 或11x y =-⎧⎨=-⎩. 故(1,1)或(1,1)--故答案：(1,1)或(1,1)--【点睛】本小题主要考查向量模的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.14.春节即将来临之际，3位同学各写一张贺卡，混合后每个同学从中抽取一张，且抽取其中任意一张都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为___________. 【答案】16【解析】 【分析】先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率. 【详解】设三张贺卡编号为1,2,3，则每个同学从中抽取一张， 基本事件为123,132,213,231,312,321， 故共有6个基本事件，每个同学抽到的都是自己写的贺卡的事件有1种， 故每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为16. 故答案为：16【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.15.半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为___________.【答案】【解析】 【分析】画出图像，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径2O A ，利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式，求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值.【详解】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为12O O ，.底面边长与高分别为,x h ，则2O A x =， [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082920448/EXPL ANA TION/7a94ecddaa4e4eafb3f3c11f331a94d3.png]在2R t OAO ∆中，22443h x +=，化为224163h x =-，.3S xh =，()222222221291212124322xx S x h x x ⎛⎫+-∴==-= ⎪⎝⎭，当且仅当x =此时正三棱柱的侧面积的最大值为S =故答案为：【点睛】本小题主要考查球的内接几何体侧面积的有关计算，考查最值的求法，属于中档题.16.已知函数()2()(ln 1)1f x ax x ax x =----，若()0f x <恒成立，则实数a 的取值范围为___________.【答案】(12)， 【解析】 【分析】首先利用导数判断出21ln 1x x +>+，由此化简不等式()0f x <，分离常数a 得到2ln 11x x a x x++<<，由此分别利用基本不等式和导数求得21x x+的最小值与ln 1x x +的最大值，由此求得a 的取值范围.【详解】()f x 定义域为()0,∞+， 构造函数()()2ln 0g x x x x =->，())2'111212x g x x x xx+--=-==，由于0x >，令()'0g x =解得x =， 所以0,2x⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 递减， 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()gx 递增， 所以()g x 在()0,∞+上的极小值也即是最小值为111ln ln 2022222g ⎛⎫=-=+> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2ln 0g x x x =->，也即当0x >时，22ln 1ln 1x x x x >⇒+>+. 所以由()2()(ln 1)10f x ax x ax x =----<，得2ln 11x ax x +<<+，可得2ln 11x x a x x++<<， 其中221222x x xxx+==. 令ln 1()x h x x +=，'221(ln 1)ln ()x x h x x x -+==-.可得函数()h x 的增区间为(0,1).减区间为(1,)+∞，可得()(1)1h x h =.即ln 11x x+≤. 故实数a 的取值范围为(1,2)故答案为：(12)， 【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答17.如图，在直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，2AB BD ==，12BB =，BD 与AC 相交于点E ，1A D 与1AD 相交于点O . [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702082961408/STEM /683e78a8bec542899c7f2675f6f504f4.png] （1）求证：AC ⊥平面11BB D D ； （2）求点A 到平面OBD 的距离.【答案】（1）见解析；（2 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到AC BD ⊥，根据直棱柱的性质得到1AC DD ⊥，由此证得AC ⊥平面11BB D D .（2）利用等体积法，由O ABD A OBD V V --=列方程，解方程求得点A 到平面OBD 的距离. 【详解】(1)证明：60AB AD BD BAD ︒==∴∠=，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，∵直棱柱11111ABCD A B C D DD -∴⊥，平面ABCD . ∵AC ⊂平面ABCD .1AC DD ∴⊥11,,AC BD AC DD BD DD D ⊥⊥⋂=.∴AC ⊥平面11BB D D(2)设点A 到平面OBD 的距离为h ，1112323O ABD V -=⨯⨯⨯=22OD OB BD ====，12OBD S ∆==132A OBD V h -=⨯有13=，解得7h =.故点A 到平面OBD 的距离为7. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下： [Failed to download image :/QBM/2020/4/19/2445003511422976/2445702083026944/STEM /cbc746b152cb41dfa4e0b82ca081e919.png]（1）求a b ，的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?（2）求甲公司一年内导游旅游总收入的中位数，乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)【答案】（1）0.01a =，5b =，乙公司的影响度高；（2）36.75 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1求得a ，根据频数之和为40求得b .分别求得甲、乙公司导游的优秀率，由此判断出乙公司的影响度高.（2）结合频率分布直方图，求得甲公司一年内导游旅游总收入的中位数.利用平均数的计算方法，计算出乙公司一年内导游旅游总收入的平均数.【详解】(1)由直方图知(0.020.0250.0352)101a +++⨯=,可得0.01a =， 由频数分布表知22010340b ++++=，可得5b =， 甲公司的导游优秀率为(0.020.01)10100%30%+⨯⨯=， 乙公司的导游优秀率为13100%32.5%40⨯=， 由于30%32.5%<，所以乙公司的影响度高.(2)甲一年内导游旅游总收人的中位数为：0.50.10.253034.290.035--+≈；乙一年内导游旅游总收入的平均数为2520103152535455536.754040404040⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图、频数分布表的阅读与分析，考查中位数、平均数的计算，属于基础题.19.已知数列{}n a ，{}n b 满足1111113,1,22,1n n n n n n n n a b a a b b a a b b ++++==-=--=-+. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和n S ，n T .【答案】（1）11222222nn n n n n a b =++=--；（2）2132244n n n S n +=-++；2132244n n n T n +=---【解析】 【分析】（1）11)2(n n n n a b b a +++=+，114a b +=，可得{}n n a b +为公比为2的等比数列，111n n n n a a b b ++=--+可得{}n n a b -为公差为1的等差数列，再算出{}n n a b +，{}n n a b -的通项公式，解方程组即可； （2）利用分组求和法解决. 【详解】（1）依题意有()111121n n n n n n n n a b a b a b a b ++++⎧+=+⎨-=-+⎩又111142a b a b +=-=；.可得数列{}n n a b +为公比为2的等比数列，{}n n a b -为公差为1的等差数列，由()()111112(1)n n n n n a b a b a b a b n -⎧+=+⨯⎪⎨-=-+-⎪⎩，得121n n n n n a b a b n +⎧+=⎨-=+⎩解得12221222nn n n n a n a ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩故数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为11222222nn n n n n a b =++=--；. （2）()21212(1)322124244n n nn n n n S n+-+=++=-++-， ()21212(1)322124244n n n n n n n T n+-+=--=----.【点睛】本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前n 项和，考查学生的计算能力，是一道中档题.20.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F .直线2l x =：被称作为椭圆C 的一条准线.点P 在椭圆C 上(异于椭圆左、右顶点)，过点P 作直线:m y kx t =+与椭圆C 相切，且与直线l 相交于点Q . （1）求证：PF QF ⊥.（2）若点P 在x 轴的上方，0k ，求PQF △面积的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）1 【解析】 【分析】（1）联立直线m 的方程和椭圆C 的方程，利用判别式列方程，求得P 点的坐标，求得Q 点的坐标，通过计算得到0FP FQ ⋅=，由此证得PF QF ⊥.（2）求得||,||FP FQ ，由此求得三角形PQF 面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形PQF 面积的最小值.【详解】(1)点F 的坐标为(1,0).联立方程2212x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 后整理为()222214220k x ktx t +++-= 有()()222216421220k t k t ∆=-+-=,可得2221t k =+，2222221kt kt kx k t t=-=-=-+，222212121k t t y t k k t=-+==++.可得点P 的坐标为21,k t t ⎛⎫-⎪⎝⎭. 当2x =时，可求得点Q 的坐标为(2,2)k t +，21211,,kk t FP tt t t +⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1,2)FQ k t =+.有220k t k tFP FQ t t++⋅=-+=. 故有PF QF ⊥.(2)若点P 在x 轴上方，必有1t由(1)知2222222(2)1(2)1(2)1||||(2)k t k t k t FP FQ k t +++++=+===+；2222221(21)1441(22)41)2222PQFk k kt t t kt t S FP FQ t t t+++++-+++=⋅⋅===2341312222t kt t k t t+-==+-因为0k ≥时.由(1)知k =3122PQF t S t ∆=-由函数31()1)22t f t t t=-单调递增，可得此时(1)1PQFS f =.故当1t =时，PQF ∆的面积取得最小值为1.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的最值有关的计算，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数2()()x f x e ax a =-∈R .（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，分别为12x x ，，求证：124x x +>. 【答案】（1）1y x =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（2）利用()()120,0f x f x ==列方程，利用换元法，求得12x x +的表达式为2(1)ln 1t tt +-，将所要证明的不等式2(1)ln 41t t t +>-转化为2(1)ln 01t t t -->+，构造函数2(1)()ln (1)1x g x x x x -=-+，利用导数证得()(1)0g x g =，由此证得124x x +>成立.【详解】(1)由()2xf x e ax '=-，有(0)1,(0)1f f '==.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+(2)不妨设210x x >>.令21(1)x t t x =>. 由122122x x e ax e ax ⎧=⎨=⎩.有212221x x x e t x -⎛⎫== ⎪⎝⎭两边取对数，有212ln x x t -= 又由()()()212121212112(1)ln 11x x x x t t tx x x x x x t t +-+++==-=---若证124x x +>，只需证2(1)ln 41t t t +>-.可化为2(1)ln 01t t t -->+.令2222(1)14(1)()ln (1),()01(1)(1)x x g x x x g x x x x x x --=-=-=>+++'， 可得函数()g x 单调递增.所以()(1)0g x g =. 故当1t >时，2(1)ln 01t t t -->+ 故若函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点，必有：124x x +>【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数证明不等式，属于中档题.22.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数.02απ≤<).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3πθρ=∈R ，曲线C 与直线l 其中的一个交点为A ，且点A 极径00ρ≠.极角002πθ≤<（1）求曲线C 的极坐标方程与点A 的极坐标；（2）已知直线m 的直角坐标方程为0x -=，直线m 与曲线C 相交于点B (异于原点O )，求AOB ∆的面积.【答案】（1）极坐标方程为2cos ρθ=，点A 的极坐标为1 3π⎛⎫⎪⎝⎭，（2【解析】 【分析】（1）利用极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化公式即可； （2）只需算出A 、B 两点的极坐标，利用1|sin()|2A B A B S ρρθθ=-计算即可. 【详解】（1）曲线C ：1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数，02απ≤<)22222(1)122cos 2cos x y x y x ρρθρθ⇔-+=⇔+=⇔=⇔=，将3πθ=代入，解得01ρ=，即曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭. （2)由（1），得点A 的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭，由直线m 过原点且倾斜角为6π，知点B 的极坐标为6π⎫⎪⎭，11sin 2364ABO S ππ∆⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查极坐标方程、普通方程、参数方程间的互化以及利用极径求三角形面积，考查学生的运算能力，是一道基础题.23.已知函数()|2||4|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()4f x ≤；（2）若函数()f x 的图象恒在直线|1|y m =-的上方，求实数m 的取值范围 【答案】（1）[1,5]（2）(1,3)- 【解析】 【分析】（1）零点分段法分2x ≤，24x <<，4x ≥三种情况讨论即可； （2）只需找到()f x 的最小值即可.【详解】（1）由26,2()2,2426,4x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩.若2x ≤时，()264f x x =-+≤，解得12x ≤≤； 若24x <<时，()24f x =≤，解得24x <<； 若4x ≥时，()264f x x =-≤，解得45x ≤≤； 故不等式()4f x ≤的解集为[1,5].（2）由()|(2)(4)|2f x x x ≥---=，有|1|2m -<，得13m -<<， 故实数m的取值范围为(1,3)-.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题，考查学生的运算能力，是一道基础题.。

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2021届全国金太阳联考新高考模拟试卷（九）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数21iz i i=+-，则z z ⋅=（ ）A.B. 3C. 1D. 5【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和共轭复数的概念先求出,z z ，即可得解.． 【详解】22(1)221121(1)(1)2i i i i z i i i i i i i i i +-=+=+=+=-+=-+--+， 则12z i =--，则(12)(12)145z z i i ⋅=-+--=+=. 故选：D ．【点睛】本题主要考查复数的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，属于基础题． 2.设集合{}2|2A x x x =+-<0，{}2|log 1B x x =<，则AB =（ ）A. (2,1)-B. (0,1)C. (1,2)D. ∅【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再利用交集的运算求解．【详解】由题得集合2{|20}(2,1)A x x x =+-<=-，2{|log 1}(0,2)B x x =<=， 则(0,1)AB =，故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式的解法和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．3.已知数列{}n a 是等比数列，函数256y x x =-+的零点分别是2a ，8a ，则5a =（ ）A. 2B. 2-C.D.【答案】D 【解析】 【分析】由韦达定理可知286a a ⋅=，285a a +=，由此利用等比数列的性质求解即可. 【详解】函数256y x x =-+的零点分别是2a ，8a ，∴286a a ⋅=，285a a +=， ∴20a >，80a >，又数列{}n a 是等比数列，∴25286a a a =⋅=，∴5a =.故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了计算能力，属于基础题.4.已知sin 2a =，23log 5b =，0.53c =，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦函数、对数函数、指数函数的单调性，比较大小即可. 【详解】22ππ<<，∴0sin 21<<，即01a <<，51>，2013<<， ∴23log 50<，即0b <，31>，0.50>，∴0.531>，即1c >， ∴b a c <<.故选：C.【点睛】本题考查了利用函数单调性比较大小，属于基础题.5.已知圆C ：2240x y x a +++=上存在两点关于直线:=2l y kx +对称，k =（ ） A. 1 B. 1-C. 0D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，()C l ∴∈-2,0，220k ∴-+=，得1k =.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.6.三国时期，诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾，并在大雾的掩护下，演出了一场“草船借箭”的好戏，令世人惊叹.诸葛亮应用的是（ ） A. 动力学方程的知识 B. 概率与统计的知识 C. 气象预报模型的知识D. 迷信求助于神灵【答案】B 【解析】 【分析】应用丰富的气象观测经验，预报天气，属于经验预报法，可知诸葛亮应用的是概率与统计的知识. 【详解】诸葛亮曾经利用自身丰富的气象观测经验，提前三天准确地预报出一场大雾， 属于气象业务实践中的经验预报法，利用的是概率与统计的知识. 并未应用到动力学方程的知识和气象预报模型的知识. 故选：B.【点睛】本题考查了天气预报中的概率解释，属于基础题. 7.函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞.1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.8.给出下列四个结论：①若()f x 在R 上是奇函数，则()2f x 在R 上也是奇函数 ②若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数③“若3πθ=，则sin θ=的否命题是“若3πθ≠，则sin θ≠.”④若p ：20x -=；q ：2x -=p 是q 的充分不必要条件其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】对于①，利用函数奇偶性的定义可判断；对于②，举反例，例如()tan f x x =不是正弦函数，但是周期函数；对于③，由否命题的定义判断即可；对于④，根据充分条件和必要条件的定义加以判定即可. 【详解】对于①，若()f x 在R 上是奇函数，则x R ∀∈，()()f x f x -=-， 则()()()222f x f x f x -=-=-⎡⎤⎣⎦， 故()2f x 在R 上也是奇函数， 故①正确；对于②，例如()tan f x x =不是正弦函数，但是周期函数， 故②错误；对于③，由否命题的定义可知，对于两个命题，若其中一个命题的条件和结论分别为另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题，如果把其中一个称为原命题，则另一个就叫做它的否命题，而3πθ=的否定为3πθ≠，sin θ=sin θ≠， 故③正确；对于④，022x x ⇒-==-，即p q ⇒，即p 是q 的充分条件，而220x x -=⇒-=或21x -=，因此q 推不出p ，即p 是q 的不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件， 故④正确. 故选：C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性、否命题的定义以及充分条件与必要条件，考查了推理能力，属于基础题.9.自新型冠状病毒疫情爆发以来，人们时刻关注疫情，特别是治愈率，治愈率=累计治愈人数／累计确诊人数，治愈率的高低是“战役”的重要数据，由于确诊和治愈人数在不断变化，那么人们就非常关心第n 天的治愈率，以此与之前的治愈率比较，来推断在这次“战役”中是否有了更加有效的手段，下面是一段计算治愈率的程序框图，请同学们选出正确的选项，分别填入①②两处，完成程序框图.（ ）i g ：第i 天新增确诊人数；i y ：第i 天新增治愈人数；i l ：第i 天治愈率A. ii ig l y =，1i i =+ B. ii iy l g =，1i i =+C. i Sl Z=，1i i =+ D. i Zl S=，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】由治愈率的公式，结合程序框图可知Z 和S 的意义，可得①处正确选项，即可得解. 【详解】∵治愈率=累计治愈人数／累计确诊人数，由程序框图可知，Z 表示累计治愈人数，S 表示累计确诊人数， ∴i Z l S =，即①处填i Z l S=. 故选：D.【点睛】本题考查了补全程序框图，属于基础题.10.P 为椭圆22110091x y +=上的一个动点，,M N 分别为圆22:(3)1C x y -+=与圆222:(3)(05)D x y r r ++=<<上的动点，若||||PM PN +的最小值为17，则r =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据||||PM PN +的最小值，得到关于r 的方程，进而求得答案.【详解】因为(3,0)C ，(3,0)D -恰好为椭圆的两个焦点， 因为||||1,||||PM PC PN PD r ≥-≥-，所以||||||||121PM PN PC PD r a r +≥+--=--. 因为2100a =，得10a =， 所以20117r --=，则2r .故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（ ）A. 11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得a ；再根据()f x 在[0,]π上的值域确定3x πω+取值范围，解得结果.【详解】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=1sin cos 22a x x ωω++max()f x ==02a a >∴=，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤>，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题. 12.已知函数321()1(1)3f x x ax ax a =-++≤在1212,()t t t t ≠处的导数相等，则不等式12(+)0f t t m +≥恒成立时，实数m 的取值范围是（ ）A. [)1-+∞，B. (]1-∞-，C. (]1-∞， D. (43⎤-∞⎥⎦，【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，根据条件解得12+=2t t a ，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得2'()2(1)f x x ax a a =-+≤，由已知得12,t t 为220x ax a -+=两个不等实根，所以12+=2t t a ，12(+)0f t t m +≥恒成立，(2),(1)m f a a ∴-≤≤恒成立.令324()(2)21,(1)3g a f a a a a ==-++≤， 则2'()444(1)g a a a a a =-+=--，当(,0),'()0a g a ∈-∞<，当(0,1),'()0;a g a ∈>()(,0)g a ∴-∞在上单调递减，在(0,1)上单调递增.min ()(0)1,1, 1.g a g m m ∴==∴-≤∴≥-故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知,a b 均为单位向量，若23a b -=，则a 与b 的夹角为________. 【答案】3π 【解析】 【分析】由已知模平方后可求得两向量的数量积，然后根据数量积的定义可求得夹角． 【详解】由题意22222(2)441443a ba b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅+=，12a b ⋅=，∴1cos ,2a b a b a b ⋅=<>=，1cos ,2a b <>=，,3a b π<>=．故答案为：3π． 【点睛】本题考查平面向量的数量积与模的关系，考查求向量夹角，掌握数量积的定义是解题基础． 14.数列{}n a 中，11a =，且131n n a a n +=++，则通项公式n a =__________. 【答案】()2132n n - 【解析】 【分析】把题干中的递推关系式进行转换，构造出新数列2322n n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭，即可求解. 【详解】131n n a a n +=++，整理得，()22131312222n n n n a n a n ++-++=-+， ∴数列2322n n a n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭为常数列，又11a =，则131022a -+=， ∴2322n n a n =-. 故答案为：()2132n n -.【点睛】本题考查了由递推关系求通项公式，考查了构造法求数列通项，属于基础题. 15.设曲线ln y x x =在点(,)e e 处的切线与直线10ax y ++=垂直，则————．【答案】12【解析】试题解析：()ln ln 1y x x x '='=+，曲线在点（e ，e ）处的切线斜率为()2f e '=，∴2×（－a ）＝－1，解得12a =． 考点：考查了利用导数求曲线的切线的斜率．点评：解本题的关键是正确求导，切点横坐标的导数值等于切线的斜率，两条互相垂直的直线的斜率乘积等于－1．16.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，P 是该正方体侧面11DCC D 上的点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是__________. 【答案】123 【解析】 【分析】由题意易知Rt ADPRt MCP ∆∆，由此可得2PD PC =，在平面11DCC D 上，作PO CD ⊥，垂足为O ，设DO x =，PO h =，求出PO 的最大值，说明PO ⊥底面BCD ，即可得三棱锥P BCD -的体积最大值. 【详解】如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，，则AD ⊥平面11DCC D ，BC ⊥平面11DCC D ，又DP ，PC 在平面11DCC D 上，所以AD DP ⊥，BC CP ⊥，又APD MPC ∠=∠，所以Rt ADPRt MCP ∆∆， 所以2PD AD PC MC==， 即2PD PC =，作PO CD ⊥，垂足为O ，设DO x =，PO h =，()222226x h x h +=-+化简整理得()22816h x =--+，06x ≤≤，则6x =时，2max 12h =，max 23h =在正方形11DCC D 中，因为PO CD ⊥，所以1//PO CC ，又正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以三棱锥P BCD -的体积最大值为11662312332⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：123【点睛】本题考查了空间几何体的最值问题，考查了线面垂直的性质定理，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，ccos sin C c A +=.（1）求角A ；（2）若a =，且ABC面积为sin sin B C +的值. 【答案】（1）3A π=（2）26【解析】【分析】 （1）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和的正弦定理及诱导公式进行化简，再根据sin 0C >，求出tan A 的值，即可确定角A 的大小；（2）利用余弦定理及三角形的面积公式，求出b 和c ，结合正弦定理即可得sin sin B C +的值.【详解】（1cos sin C c A +=， cossin sin A C C A B +=， 又A B C π++=，∴()B A C π=-+，则()()sin sin sin B A C A C π=-+=+⎡⎤⎣⎦， ()cos sin sin A C C A A C +=+， 即sin sin sin A C A C =，∵0C π<<，则sin 0C >，∴tan A =又∵0A π<<，∴3A π=.（2）∵a =，∴由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，即2213b c bc =+-，∵ABC 面积为∴12bc .3332=，即12bc =， ∴221312b c bc bc ⎧=+-⎨=⎩，解得43b c =⎧⎨=⎩或34b c =⎧⎨=⎩， 由正弦定理得，()sin 3739sin sin sin sin 7213b c A B C A A b c a a a +=+=+=⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了三角形的面积计算公式，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.18.某校在高一部分学生中调查男女同学对某项体育运动的喜好情况，其二维条形图如图（黑色代表喜好，白色代表不喜好）.（1）写出22⨯列联表；（2）能否有99%的把握认为喜好这项体育运动与性别有关；（3）在这次调查中从喜好这项体育活动的一名男生和两名女生中任选两人进行专业培训，求恰是一男一女的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k > 0.250.010 0.005 0.001 0k5.0246.6357.879 10.83【答案】（1）见解析（2）没有99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关（3）23【解析】【分析】（1）观察二维条形图得到所需数据，由此写出22⨯列联表即可；（2）根据列联表中的数据计算2K ，对照数表即可得出结论； （3）通过列举法分别写出任选两人的情况和选一名男生和一名女生的情况，再由古典概型的概率公式计算即可.【详解】（1）观察二维条形图可得，男生总共45人，其中喜好这项运动的有15人，不喜好的有30人；女生总共45人，其中喜好这项运动的有5人，不喜好的有40人.由此写出列联表如下：列联表：单位；人（2）()22901540305 6.429 6.63545452070K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. 所以没有99%把握认为喜好这项体育运动与性别有关.（3）设喜好这项体育活动的一名男生和两名女生记为A ，B ，C .任选两人的情况为：(),A B ，(),A C ，(),B C ，选一名男生和一名女生的情况为：(),A B ，(),A C ，所以23P =， 即恰是一男一女的概率为23.【点睛】本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，考查了古典概型的概率计算公式，属于基础题. 19.如图，四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，33AB CD ==，2PA PD BC ===，90ABC ∠=︒，且PB PC =.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PME ，由线面垂直的性质定理可得PM BC ⊥，由线面垂直的判定定理得PM ⊥平面ABCD ，再由面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD 即可. （2）由P BCD D BCP V V --=，利用等体积法，即可求出点D 到平面PBC 的距离.【详解】（1）解：取AD 、BC 的中点分别为M 、E ，连结PM ，PE ，ME ，因为//AB CD ，33AB CD ==，所以四边形ABCD 为梯形，又M 、E 为AD 、BC 的中点，所以ME 为梯形的中位线，所以//ME AB ，又90ABC ∠=︒，所以ME BC ⊥，因为PB PC =，E 为BC 的中点所以PE BC ⊥，又PE ME E =，PE ⊂平面PME ，ME ⊂平面PME ，所以BC ⊥平面PME ，又PM ⊂平面PME ，故PM BC ⊥，因为PA PD =，M 为AD 中点，所以PM AD ⊥，又AD ，BC 不平行，必相交于某一点，且AD ，BC 都在平面ABCD 上，所以PM ⊥平面ABCD ，又PM ⊂平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）及题意知，PM 为三棱锥P BCD -的高，AD =2ME =，PM =故PE =11222PBC S BC PE =⨯=⨯=△， 而1121122BCD S BC CD =⨯=⨯⨯=△， 设点D 到平面PBC 的距离为h ，由等体积法知：111113333P BCD D BCP BCD PBC V V S PM S h h --==⨯=⨯=⨯=△△，解得h ，所以点D 到平面PBC 的距离为3. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直的判定定理，考查了三棱锥的体积公式以及利用等体积法求点到面的距离，考查了转化能力与推理能力，属于中档题.20.己知函数()()()ln f x x a x a R =-∈，它的导函数为()f x '.（1）当1a =时，求()f x '的零点；（2）若函数()f x 存在极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）1x =是()f x '的零点；（2）()2,e --+∞ 【解析】【分析】（1）求得1a =时的()f x '，由单调性及()10f '=求得结果.（2）当0a =时，()1ln f x x ='+，易得()f x 存在极小值点，再分当0a >时和当0a <时，令()()g x f x ='，通过研究()g x '的单调性及零点情况，得到()g x 的零点及分布的范围，进而得到()f x 的极值情况，综合可得结果.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()()1ln f x x x =-，()1ln 1f x x x +'=-. 易知()1ln 1f x x x+'=-为()0,+∞上的增函数， 又()1ln1110f '=+-=，所以1x =是()f x '的零点.（2）()ln 1ln x a a f x x x x x+-'-==+， ① 当0a =时，()1ln f x x ='+，令()0f x '>，得1x e >；令()0f x '<，得10x e <<， 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意. 令()1ln a g x x x =-+，则()221a x a g x x x x+=='+. ② 当0a >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上单调递增. 又10g ae e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()11110a a a a g e a a e e ⎛⎫=-+=+-> ⎪⎝⎭， 所以()g x 在()0,+∞上恰有一个零点0x ，且当()00,x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()0,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以0x 是()f x 的极小值点，符合题意.③ 当0a <时，令()0g x '=，得x a =-.当()0,x a ∈-）时，()0g x '<；当(),x a ∈-+∞时，()0g x '>，所以()()()min 2ln g x g a a =-=+-.若()()2ln 0g a a -=+-≥，即当2a e -≤-时，()()()0f x g x g a =≥-≥'恒成立，即()f x 在()0,+∞上单调递增，无极值点，不符合题意.若()()2ln 0g a a -=+-<，即当20e a --<<时，()()11ln 101a g a a a -=-+->-， 所以()()10g a g a -⋅-<，即()g x (),a -+∞上恰有一个零点1x ，且当()1,x a x ∈-时，()()0f x g x '=<；当()1x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，所以1x 是()f x 的极小值点，符合题意.综上，可知2a e ->-，即a 的取值范围为()2,e --+∞.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21.设抛物线C :22(0)y px p =>与直线:02p l x my --=交于A 、B 两点. （1）当AB 取得最小值为163时，求p 的值. （2）在（1）的条件下，过点(3,4)P 作两条直线PM 、PN 分别交抛物线C 于M 、N （M 、N 不同于点P ）两点，且MPN ∠的平分线与x 轴平行，求证：直线MN 的斜率为定值.【答案】（1）83p =（2）证明见解析，定值23-. 【解析】【分析】（1）先确定直线l 过抛物线焦点，再根据抛物线定义求AB ，最后根据AB 最小值求p 的值；（2）先确定PM 、PN 的斜率互为相反数，再设直线PM 方程，与抛物线联立解得M 坐标，类似可得N 点坐标，最后利用斜率公式求结果.【详解】（1）由题意知：直线:02p l x my --=过定点(,0)2p ，该点为抛物线焦点. 联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得：2220y pmy p --=设1122(,),(,)A x y B x y ，有122y y pm +=，212y y p ⋅=-2121212()22(1)22p p AB x x x x p m y y p p m ∴=+++=++=++=+… 20,0p m >≥，当0m =时，min 2AB p =1623p ∴=，解得83p = （2）证明：由已知可知直线PM 、PN 的斜率存在，且互为相反数设3344(,),(,)M x y N x y ，直线PM 的方程为(3)4y k x =-+.联立2163(3)4y x y k x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去x 整理得：231664480ky y k -+-=. 又4为方程的一个根，所以3644843k y k -=，得3161216433k y k k -==- 同理可得41643y k=-- 3434223434341611612333(8)3()16MN y y y y k x x y y y y --∴===⋅=⨯=--+-- 所以直线MN 的斜率为定值23-.【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程是1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是()sin 363ρθθ=，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为O 、P 两点，OM 与直线l 的交点为Q .（1）求圆C 的极坐标方程；（2）求线段PQ 的长.【答案】（1）2cos ρα=（2）5【解析】【分析】（1）圆C 的参数方程消去参数，求出圆C 的普通方程，由222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可求出圆C 的极坐标方程；（2）设点P 的极坐标为()11,ρθ，将圆C 的极坐标方程与射线OM 联立，求出P 的极坐标，设Q 点的极坐标为()22,ρθ，联立直线l 的极坐标方程与射线OM 的极坐标方程，求出Q 的极坐标，即可求得线段PQ 的长.【详解】解：（1）由题可得，圆C 的普通方程是()2211x y -+=，即2220x y x +-=，又222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=.（2）设点P 的极坐标为()11,ρθ， 则有1112cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得111π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴1,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设Q 点的极坐标为()22,ρθ，则有()2222sin π3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得226π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴6,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由于12θθ=， 所以125PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为5.【点睛】本题考查了圆的参数方程和普通方程的互化以及直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查了极坐标系中线段长的求法，考查了转化能力和计算能力，属于中档题.23.已知函数()|21|f x x =-.（1）解不等式：()(1)4f x f x ++≥；（2）设()(1)()22f x f x g x +=+，求()g x 的最小值.【答案】（1）(x ∈-∞，1][1-⋃，)+∞；（2）4.【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解不等式即可;（2）()(1)()()22222f x f x f x g x +=+⋅其最小值．【详解】（1）原不等式等价于|21||21|4x x -++，①12x时，原不等式化为：44x ，得，1x ， ②1122x -<<时，原不等式化为：24，得，x ∈∅， ③12x -时，原不等式化为：44x -，得，1x -， 综上：(x ∈-∞，1][1-⋃，)+∞；（2）()(1)()()2222f x f x f x g x +=+⋅==|(21)22x --4=，当且仅当()(1)f x f x =+，且(21)(21)0x x -+，即0x =时，等号成立，g x的最小值为4.故()【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．。

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