不等式总结

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不等式总结

不等式总结一、不等式的性质1．（不等式建立的基础）两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)a b 1a b (5)a b =1a =b (6)a b 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性⇔(2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒(4) (乘法单调性)a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒(6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒ ---不等式相加(7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ ---不等式相减(8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒---不等式相乘(9)a b 00c d b d ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c --不等式相除(10)a b 0n N a b ()n n ＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ 乘方法则(11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n 开方(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b ----倒数法则3．绝对值不等式的性质 (1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥；≥，－＜．⎧⎨⎩(2)如果a ＞0，那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔|x|a x a x a x a 22＞＞＞或＜－．⇔⇔(3)|a ·b|＝|a|·|b|．(4)|a b | (b 0)＝≠．||||a b(5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．4. 基本不等式（1）如果a ，b 是正数，那么ab ≤2b a +，当且仅当a=b 时，等号成立。

几类常见不等式-简单完美总结

2
)
（答：（（4）若不等式 (−1) n a < 2 + _____
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 −1 3 +1 , ））； 2 2
(−1) n +1 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 n
（答： a = 0 时，{x | x < 0} ； a > 0 时，{x | x >
1 1 或 x < 0} ； a < 0 时，{x | < x < 0} 或 a a
x < 0} ）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于 x 的不 x−2 等式 ax − b > 0 的解集为 (−∞,1) ，则不等式（－1,2）） > 0 的解集为__________（答： ax + b 十一．含绝对值不等式的性质： a、b 同号或有 0 ⇔ | a + b |= | a | + | b | ≥ || a | − | b ||= | a −b |； a、b 异号或有 0 ⇔ | a − b |= | a | + | b | ≥ || a | − | b ||= | a + b |. 如设 f ( x) = x 2 − x + 13 ，实数 a 满足 | x − a |< 1 ，求证： | f ( x) − f (a ) |< 2(| a | +1) 十二．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） 1).恒成立问题若不等式 f ( x ) > A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x )min > A 若不等式 f (x ) < B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ( x )max < B 如（1）设实数 x, y 满足 x 2 + ( y − 1) 2 = 1 ，当 x + y + c ≥ 0 时， c 的取值范围是______ ；（答： 2 − 1, +∞ ）（2）不等式 x − 4 + x − 3 > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围_____ （答： a < 1 ）；（3）若不等式 2 x − 1 > m( x − 1) 对满足 m ≤ 2 的所有 m 都成立，则 x 的取值范围_____

高考不等式知识点总结

高考不等式知识点总结高考数学中不等式是一个非常重要的知识点，占据着较大的比重。

下面是对高考数学中不等式知识点的完整总结：一、基本概念和性质1.不等关系：对于实数a和b，如果a=b，则称a等于b；如果a≠b，则称a不等于b。

当a不等于b时，可以断定a大于b（记作a>b），或者a小于b（记作a<b）。

2.不等式：不等式是由不等关系得到的等式，包括大于等于不等式（a≥b）和小于等于不等式（a≤b）。

3.基本性质：(1)若a>b且b>c，则a>c；(2) 若a>b且c>0，则ac>bc；(3) 若a>b且c<0，则ac<bc；(4)若a>b且c≥0，则a+c>b+c；(5)若a>b且c≤0，则a+c>b+c。

4.解不等式：与解方程类似，解不等式是指寻找满足不等式的解的过程。

5.不等式的性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个同号的数，不等号方向不变；对于不等式两边同时乘除一个异号的数，不等号方向改变。

二、一元一次不等式1.解一元一次不等式：求解一元一次不等式的关键是确定x的取值范围。

在解过程中，可以通过加减法、乘除法保持不等式不变。

2.不等式组：由多个不等式组成的方程组，称为不等式组。

求解不等式组的关键是确定每个不等式的集合和并集。

三、一元二次不等式1.解一元二次不等式：求解一元二次不等式的关键是确定不等式的根及开口方向。

可以根据系数的正负、零点的位置和变号法等来确定解的范围。

2.二次函数与一元二次不等式：通过对一元二次不等式的解法，可以进一步理解和应用二次函数的性质。

四、绝对值不等式1.绝对值不等式的性质：对于绝对值不等式，可以利用绝对值的性质将其拆分为多个实数的不等式。

2.解绝对值不等式的关键是分情况讨论。

将绝对值不等式中的绝对值拆分出来，分别讨论绝对值内外的情况，从而得到解的范围。

不等式总结

不等式总结不等式在数学中占据着重要的地位，是解决许多实际问题的有力工具。

不等式可以帮助我们描述数值之间的关系，刻画数学问题的特点，以及分析解决问题的方法。

接下来，我将对不等式进行总结，深入探讨其性质、解法和应用。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：对于任意实数a、b、c，如果a<b且b<c，那么a<c。

2. 不等式的加法性质：对于任意实数a、b、c，如果a<b，那么a+c<b+c。

3. 不等式的乘法性质：对于任意实数a、b、c，如果a<b且c>0（或c<0），那么ac<bc（或ac>bc）；如果a<b且c<0（或c>0），那么ac>bc（或ac<bc）。

二、不等式的解法1. 图解法：将不等式转化为区间的表示形式，然后用图形表示出来，通过观察和推理找到解的范围。

2. 试值法：将不等式中的未知数取一些特殊的值，代入不等式中，判断不等式是否成立，从而确定解的范围。

3. 分类讨论法：将不等式中的未知数分类讨论，找出每一类的解的范围，最后合并得到总的解的范围。

4. 推导法：通过变换不等式的形式，重写成更简单的形式，最终得到解的范围。

三、基本不等式1. 三角不等式：对于任意实数a、b，有|a+b|≤|a|+|b|。

2. 平凡不等式：对于任意实数a，有a≤a。

3. 同侧不等式：对于任意实数a、b、c，如果a<b且c<0（或c>0），那么ac>bc（或ac<bc）。

4. 反侧不等式：对于任意实数a、b、c，如果a<b且c>0（或c<0），那么ac<bc（或ac>bc）。

四、常见不等式1. 一元一次不等式：ax+b>0，ax+b≤0，ax+b≥0，ax+b<0。

2. 二次不等式：ax^2+bx+c>0，ax^2+bx+c≤0，ax^2+bx+c≥0，ax^2+bx+c<0。

完整版)高中数学不等式知识点总结

完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。

②传递性：a>b。

b>c则a>c。

③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。

同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。

异向可减性：a>b，cb-d。

④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。

⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。

异向正数可除性：a>b>0，0bc。

a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。

⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。

2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。

a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。

a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。

a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。

a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。

a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。

3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。

a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。

各种常用不等式汇总

各种常用不等式汇总常用不等式汇总在高等数学中，不等式是一种重要的数学工具，用于描述数值之间的关系。

各种不等式在不同的数学领域和问题中都有广泛应用，无论是数学推理还是实际问题求解，都离不开不等式的运用。

本文将介绍一些常用的不等式，包括基本不等式、均值不等式、柯西不等式和特殊不等式等。

一、基本不等式基本不等式是不等式理论的基石，是其他不等式的基础。

最为著名的基本不等式是柯西-施瓦茨不等式，它表达了两个向量内积的上界。

柯西-施瓦茨不等式的数学表达式如下：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)二、均值不等式均值不等式是描述平均值之间大小关系的不等式。

其中最常用的是算术平均值和几何平均值之间的不等式，即算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）。

对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)三、柯西不等式柯西不等式拓展了基本不等式中的柯西-施瓦茨不等式，用于描述向量内积的上界。

柯西不等式的数学表达式如下：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)四、特殊不等式除了基本不等式和均值不等式，还有一些特殊的不等式在数学推理和问题求解中也有应用。

以下是几个常见的特殊不等式：1. 三角不等式：对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。

2. 平方差不等式：对于任意实数a和b，有(a + b)^2 ≥ 4ab。

不等式知识点总结全面版

3. 整式形式
基

本

不

等

式根式形式
定

理
分式形式

倒数形式

a 2 b 2 2 ab

a2 b2
1 (a b ) 2 2

ab

a

b
2
2

ab a 2 b 2 2
（9）数学归纳法：
不等式知识点
7.绝对值的定义
8.绝对值的性质
a,(a 0)
a

0,(a
0)
a, (a 0)
a 0

a

b

a
b
a

b

a b

a
n

an
a b ab a b

a1

a2

an

a1

a2

an
不等式知识点
别式
法法法
数学
构造
换
归函元
纳法
数法
法
解不等式不等式的应用
整式不等式可化为整式不等式的不等式
不等式知识点
二.知识要点
1.两实数大小的比较 2.不等式的性质
a b a b 0 a b a b 0 a b a b 0
对称性a b b a
g(x)

a1 a2 an a1 a2 an

高二不等式知识点总结

高二不等式知识点总结不等式是数学中一种重要的关系式，它描述了两个数或两个式子之间的大小关系。

在高二阶段学习数学时，不等式是必不可少的知识点之一。

本文将对高二阶段学习的不等式知识点进行总结和概述。

一、一元一次不等式1. 不等式的定义：不等式是含有不等号（<、>、≤、≥）的数学式子。

2. 不等式的解：解不等式可以通过移项和绘制数轴的方法。

解集通常用区间表示。

3. 不等式的性质：不等式在两边同时加上一个相等的数或者在两边同时乘以一个正数时，不等关系不变；在两边同时乘以一个负数时，不等关系会颠倒。

4. 一元一次不等式的解法：考虑到正负数以及系数的情况，可以分为以下几种情况进行讨论。

二、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是含有平方项的不等式。

2. 一元二次不等式的解法：可通过化为标准形式，配方法或绘制图像等方式进行求解，解集常用区间来表示。

3. 一元二次不等式的性质：与一元一次不等式类似，需要注意平方项对不等式性质的影响。

三、绝对值不等式1. 绝对值不等式的定义：绝对值不等式是含有绝对值的不等式。

2. 绝对值不等式的解法：可通过绝对值的定义以及正负号的讨论来解决。

四、分式不等式1. 分式不等式的定义：分式不等式是含有分式的不等式。

2. 分式不等式的通解：利用分式不等式的定义，可通过化简、拆分分式等方式求得通解。

五、不等式组1. 不等式组的定义：含有多个不等式的组合形式。

2. 不等式组的解法：可通过图示法、代入法、消元法等不同的方法求解。

六、不等式的应用1. 不等式在数学问题中的应用：不等式常常被应用于解决实际问题，如优化问题、约束条件等。

2. 不等式在证明中的应用：不等式在数学证明中具有重要的作用，可通过不等式进行推导、化简等。

综上所述，高二阶段的不等式知识点主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、不等式组等内容。

掌握这些知识点对高中数学的学习以及今后的学习和工作都具有重要的意义。

不等式知识点总结

(一) 不等关系与不等式1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；(1)做差法: 0>-⇔>b a b a ；0<-⇔<b a b a ；0=-⇔=b a b a ． (2)做商法:2．不等式的性质：（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔< （2）传递性:,a b b c >>⇒，a c > （3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc < 推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *∈≥(5) 可开方(正):0a b >>⇒ n n a b > (,2)n N n *∈≥(二) 一元二次不等式及其解法一.解不等式的有关理论（1）若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式；（2）一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形；（3）解不等式时应进行同解变形；（4）解不等式的结果，原则上要用集合表示。

二.一元二次不等式的解集0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2cbx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅三.解一元二次不等式的基本步骤：（1）整理系数，使最高次项的系数为正数；尝试用“十字相乘法”分解因式；（2）计算ac b 42-=∆ :结合二次函数的图象特征写出解集。

不等式知识点总结

不等式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。

不等式的基本性质有： 1对称性：a>b ⇔b<a ；2传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； 3可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；4可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

5同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； 6异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. 7正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

8乘方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n nb a >；9开方法则：若a>b>0，n ∈N+，则n n b a >；10倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

2、绝对值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。

（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤-3、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。

4、一元二次不等式ax 2+box>0(a>0)解法.：一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,因而可以总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).一元二次方程的解的讨论0>∆0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根abx x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅5、整式不等式的解法根轴法（零点分段法）①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”；(为了统一方便) ②求根，并在数轴上表示出来；③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）；④若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”在x 轴下方的区间.+-+-x 1x 2x 3x m-3x m-2xm-1x mx（自右向左正负相间） 6、分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f7、含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法.（2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. （1）ax a a a x <<-⇔><)0(；（2）ax a x a a x >-<⇔>>或)0(；（3）ax f a a a x f <<-⇔><)()0()(；（4）a x f a x f a a x f >-<⇔>>)()()0()(或；（5）)()()()()(x g x f x g x g x f <<-⇔<；（6）)()()()()()(x g x f x g x f x g x f >-<⇔>或；（7）ax b b x a a b b x a -≤≤-≤≤⇔>>≤≤或)0(；（8）⎪⎩⎪⎨⎧≠<⇔⎩⎨⎧≠<⇔><0)(])([)(0)()()()0()()(22x g x g a x f x g x g a x f a a x g x f 。

高考常用不等式全面总结

高考常用不等式（1）基本不等式：,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）均值不等式：,a b R +∈⇒2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）分式不等式：a b mn >>>>000，，，则 b a b m a m a n b n a b <++<<++<1 （4）证明不等式常用方法：比较法、综合法、分析法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法（5）放缩法常用不等式：n x x x x x e x x xx x x x x x x n x 11)1(,211),0(1,)1ln(1,tan sin ,3tan 13+<++<+>+><+<+<<->（6）调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数()a b ab a b a b ab abR 22222+≥+≥≥+∈+，当且仅当时等号成立。

a b = （7）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>()a b c a b b c c a a b R 222++≥++∈，当且仅当时取等号。

a b c == （8）理解绝对值不等式的几何意义①b a b a b a +≤+≤-②∣a －b ∣≤∣a －c ∣＋∣c －b ∣；③∣ax ＋b ∣≤c ；∣ax ＋b ∣≥c ；∣x －a ∣＋∣x －b ∣≥c.（9）柯西不等式的几种不同形式①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.②22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈③平面三角不等式.＋ ≥（10）贝努利不等式：（数学归纳法证明）nx x n +>+1)1(，n x x ,0,1≠->为大于1的正整数。

不等式公式总结

不等式公式总结不等式是数学中常见的一种关系描述方式，它指出两个数或两个算式之间的大小关系。

在数学中，我们经常会遇到各种形式的不等式，比如线性不等式、二次不等式、绝对值不等式等等。

下面我将对这些不等式的一些常见形式和性质进行总结。

1. 线性不等式线性不等式是形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b是已知常数，x是未知数。

求解线性不等式最常用的方法是将不等式看作等式，找出等式的解集，然后将解集分成不同的区间，并判断区间的符号。

2. 二次不等式二次不等式是形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

求解二次不等式的一种方法是通过图像法，将二次不等式表示为对应的二次函数的图像，然后通过观察图像来确定解集。

另一种常用的方法是使用配方法，将二次不等式转化为二次方程，然后通过求解二次方程的根来确定解集。

3. 绝对值不等式绝对值不等式是形如|ax+b|>c或|ax+b|<c的不等式，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。

求解绝对值不等式的一种方法是分情况讨论，根据绝对值的定义将不等式分成两个部分来求解。

另一种方法是通过绝对值函数的图像来确定解集。

4. 分式不等式分式不等式是形如f(x)>0或f(x)<0的不等式，其中f(x)是一个分式函数，x是未知数。

求解分式不等式的方法通常是通过求解分式的分子和分母分别大于零或小于零的不等式，然后将满足条件的解集求交集。

5. 指数不等式指数不等式是形如a^x>b或a^x<b的不等式，其中a和b是已知常数，x是未知数。

求解指数不等式的一种常用方法是取对数，将不等式转化为对应的对数不等式，然后通过求解对数不等式来确定解集。

以上列举的只是不等式的一些常见形式，实际上不等式的形式非常多样化，我们在学习过程中还会遇到其他形式的不等式。

无论是哪种形式的不等式，我们都需要掌握一些基本的解不等式的方法，比如化简、取绝对值、配方法、图像法等等。

不等式知识点总结

不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它描述了数的大小关系。

在不等式中，通过使用不等号（<, ≤, >, ≥）来表示不同数的大小关系。

1. 基本不等式：- 加减法不等式：如果a > b，则有a + c > b + c，a - c > b - c； - 乘法不等式：如果a > b 且 c > 0，则有ac > bc；如果a > b且 c < 0，则有ac < bc；- 除法不等式：如果a > b 且 c > 0，则有a/c > b/c；如果a >b 且c < 0，则有a/c < b/c；- 幂不等式：如果a > b 且 n > 1，则有a^n > b^n；如果0 < a < b 且 0 < n < 1，则有a^n > b^n。

2. 不等式的性质：- 传递性：如果a > b 且 b > c，则有a > c；- 对称性：如果a > b，则有b < a；- 反身性：对于任意的a，有a = a；- 加减性：如果a > b，则有a + c > b + c；- 乘除性：如果a > b 且 c > 0，则有ac > bc，a/c > b/c。

3. 不等式的求解：- 确定不等式的解集：通过比较不等式中的数的大小关系，可以确定不等式的解集。

例如，对于不等式2x + 1 > 5，可以通过移项得到2x > 4，再除以2得到x > 2，解集为{x | x > 2}。

- 不等式的逆运算：对于不等式a > b，可以通过取倒数、开平方、开n次方等逆运算来改变不等式的大小关系。

- 不等式的绝对值：当不等式中存在绝对值时，需要对绝对值进行分类讨论，分别讨论绝对值的正负情况，然后求解不等式。

不等式知识点总结

不等式知识点总结在数学中，不等式是一种重要的概念，它与等于不同，代表的是一种数值之间的大小关系。

不等式在代数、几何、最优化等学科中都有广泛的应用。

本文将围绕不等式的定义、性质、解法以及应用展开讨论。

一、不等式的定义与性质不等式是一种数学陈述，表明两个数或量的大小关系。

通常表示为a<b或a>b，其中a、b是实数或一次式。

不等式分为严格不等式和非严格不等式。

严格不等式表示的是不相等的关系，用符号<或>表示；非严格不等式表示的是相等或不相等的关系，用符号≤或≥表示。

不等式的性质主要表现在传递性、乘法和加法性质等方面。

首先是传递性，即如果a<b，b<c，那么a<c。

其次是乘法和加法性质，即如果a<b，c>0，则ac<bc；如果a<b，c<0，则ac>bc；如果a<b，c≠0，则a+c<b+c。

此外，不等式的性质还包括对称性和倒置性，即如果a<b，那么b>a或-b<-a。

二、不等式的解法解不等式的关键在于确定数轴上的区间，即确定不等式的解集。

不等式的解集可以用区间表示，常见的区间包括开区间、闭区间、半开半闭区间等。

解不等式的方法主要有两种：代入法和图像法。

代入法是通过代入不等式中的数值，判断不等式是否成立。

图像法是通过将不等式表示为函数的图像，确定函数在数轴上的取值范围，得到解集。

以一元一次不等式为例，如2x-3>5，我们可以通过代入法解决。

首先将等式转化为2x-3=5，求得x=4。

然后代入x=4，判断2x-3与5的大小关系，发现2x-3=5>5，所以不等式成立。

解集为x>4。

三、不等式的应用不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用。

在代数中，不等式常用于求解方程的范围。

例如解实数不等式|x-2|<3，我们可以通过分情况讨论得到解集为-1<x<5。

在几何中，不等式可用于证明定理、计算面积与体积等。

不等式知识点总结

不等式知识点总结不等式知识点总结上学的时候，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。

你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？以下是小编收集整理的不等式知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

不等式知识点总结篇1不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0)在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

不等式知识点总结篇21.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a>bb>a②传递性:a>b，b>ca>c③可加性:a>ba+c>b+c④可积性:a>b，c>0ac>bc⑤加法法则:a>b，c>da+c>b+d⑥乘法法则：a>b>0，c>d>0ac>bd⑦乘方法则：a>b>0，an>bn(n∈N)⑧开方法则：a>b>02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+，那么(当且仅当a=b时等号)如果为实数，则重要结论(1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

不等式性质总结

不等式性质总结不等式是数学中常见的一种关系表达式，用来表示两个数之间的大小关系。

在解决问题和证明定理过程中，不等式常常扮演着重要的角色。

不等式性质的总结能够帮助我们更好地理解和应用不等式。

一、不等式性质的分类不等式性质可以分为以下几类：基本性质、加减性质、乘除性质、取反性质以及压缩性质。

1. 基本性质：不等式有传递性、对称性和有效性。

传递性指若 a ＞b，b ＞ c，则 a ＞ c；对称性指若 a ＞ b，则 b ＜ a；有效性指 a ＞ b或 a ＜ b 中，只有一个不等式成立。

2. 加减性质：若 a ＞ b，则 a±c ＞ b±c。

也就是说，不等式两边同时加上或减去相同的数，不等号的方向不变。

3. 乘除性质：若 a ＞ b，且 c＞0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b，且 c＜0，则 ac ＜ bc。

也就是说，不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等号的方向可能改变。

4. 取反性质：若 a＞b，则 -a＜-b。

也就是说，不等式两边取相反数，不等号的方向改变。

5. 压缩性质：若 a ＞ b 且 c ＞ d，则 a+c ＞ b+d。

也就是说，不等式两边同时相加，不等号的方向不变。

二、不等式性质的应用不等式性质是解决不等式问题的重要工具，能够帮助我们在求解不等式时做出合理的推断和变换。

1. 不等式求解：当遇到一个复杂的不等式时，可以利用不等式性质进行化简和变形，以便更好地求解。

比如可以应用加减性质将不等式化简为更简单的形式，或者利用乘除性质将不等式两边的系数化简成最简形式。

2. 不等式证明：在证明数学定理或不等式时，可以利用不等式性质进行推理和变换。

通过合理地运用不等式性质，可以将问题转化为更简单的形式，从而简化证明过程。

3. 不等式优化：在优化问题中，常常涉及到不等式关系。

通过分析问题的特点和利用不等式性质，可以确定变量的取值范围，从而找到问题的最优解。

4. 不等式证明：通过运用不等式性质，可以证明一些重要的数学不等式，如柯西不等式、均值不等式等。

高中数学不等式知识点总结

弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2baab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b an b n a m a mb a b<++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。