01实数及其性质

数学分析讲义第1章 章 第2章 章 实数及其性质§1 实数的定义数学分析研究的对象是函数， 而函数是定义在实数轴上的。

大家在中学里都有了实数的 概念。

但若要问什么是实数？它有何性质？我想大家可能有下面的概念： 有理数与无理数的总和 数轴上的任意一点对应了一个实数 这些都是直观的说法， 可以帮助我们理解什么是实数。

但在数学分析中我们要严格来定 义，因为只有这样才能比较完整地讨论实数的性质。

1数的溯源、 数的溯源、自然数数起源与“数（shǔ ）”。

用自然数“数”东西，这是日常生活中最常见到的现象，但这里面包含了数学中的基本 原则，如： 一一对应的概念 先后次序的概念 这是人类首次用抽象的符号来描述具体的事物 用任何实物作为标准（如手指、算盘等）来计量数目都有穷尽的可能，而自然数可以用 来说明一切可以“数”得清的东西的个数。

2有理数自然数不能满足需要时，出现了负数（要“减”）及有理数（要“分”）。

古希腊毕达 哥拉斯（Pythagoras）学派认为，一切线段都是由原子组成的，而原子则是不能分割的；因 而当被度量的线段有 p 个原子时，设单位线段上有 q 个原子，则线段的长度为p 。

q这样就有了正有理数。

类似于负数的引进，可以定义负有理数。

在有理数的范围之内， 加减乘除（当然不能被零除）的结果仍为有理数。

（这个性质称为有理数对于四则运算的封 闭性）1实数及其性质一般地，记有理数为 ±p （ p 与 q 为互质的自然数， p 可以为零）。

q性质：任意两个有理数之间存在无穷多个有理数。

证明：设有两个有理数，满足： 0 <p1 p2 < ； q1 q2则有：p1 p1 + p2 p2 < < ，因而结论成立。

q1 q1 + q2 q2证毕附注：这就是所谓“构造性证明方法”。

3无理数的存在性按照毕达哥拉斯学派的观点， 有理数足以描述这个世界了。

但是在古希腊时期就有人对 此提出了质疑。

毕达哥拉斯的弟子希伯斯（Hippasus）发现边长为 1 的正五边形的对角线长 度是不能用有理数表示的， 这在当时引起了很大的混乱。

相传当时毕达哥拉斯学派的人正在 海上，就因为这一发现而把希伯斯投到了海里。

事实上，正方形的对角线长度与边长之比就不是有理数；即 2 不是有理数。

这说明极 其简单的几何图形的长度无法用有理数来度量。

这就是：命题： 2 不是有理数。

证明：采用反证法。

假设 2 是有理数，即： 2 =p 。

（p 与 q 互质） q则有： p 2 = 2q 2 。

由于右端是偶数，因而左端也是偶数，由此推出 p 是偶数。

（为什么？这里又一次采用反证法） 记 p = 2r （r 是自然数），代入上式，得到 q 2 = 2r 2 。

同理可知 q 也是偶数。

综上所述，p 与 q 均为是偶数，这同 p 与 q 互质矛盾。

由此知反证法假设不成立，即 2 不是有理数。

证毕附注：数学分析中经常采用这种“反证法”。

4实数的描述、 实数的描述、记数法既然存在非有理数，就有一个新的问题：如何来描述这些数字了？方法有很多，这里我 们介绍一种较为直观的方式，即借助于有理数的小数表示法来描述“实数”。

2数学分析讲义对于正有理数p p ，总存在小数表示： = α 0 .α1α 2 Lα n L q q其中 α 0 是非负整数， α1 , α 2 ,L , α n ,L 是 0－9 之间的某一整数（如果采用十进制的话）。

由算术知识可知，上述表达式的结果必然是下列两种情形之一：p = α 0 .α1α 2 Lα n 0L 0L ， α n > 0 ） （ ，即可以除尽； q p 循 环 小 数 ： = α 0 .α1α 2 Lα n ( β1 L β m ) = α 0 .α1α 2 Lα n ( β1 L β m )( β1 L β m )L ， q有限小数： （ βi 不全为零） ，即不可以除尽。

为了叙述方便起见，我们将有限小数表示为循环小数的形式：记：α 0 .α1α 2 Lα n 0L 0L = α 0 .α1α 2 L (α n − 1)9由此我们可以给出下列实数的形式定义：（十进制）定义 1：任何无限小数： a = ±α 0 .α1α 2 Lα n L 及 0 = ±0.0L 0L ：任何无限小数： 称为实数。

是非负整数， 称为实数。

其中 α 0 是非负整数， α1 , α 2 ,L , α n ,L 是 0－9 之间的某一整 － 数。

循环小数，则称为有理数；否则称为无理数。

若 a 是循环小数，则称为有理数；否则称为无理数。

附注： 全体实数的集合记作 R； 全体整数的集合记作 Z； 全体有理数的集合记作 Q； 全体自然数的集合记作 N。

5实数比较大小的定义有了实数的定义，我们下面来规定两个实数如何比较大小。

：（实数比较大小 定义 2：（实数比较大小） ：（实数比较大小） 对于同号实数 a = α 0 .α1α 2 Lα n L 与 b = β 0 .β1β 2 L β n L ， 存在） 若（存在） ∃α k ≠ β k ，则称 a ≠ b ； 若 α k = β k ， k = 0,1, 2,L ，则称 a = b ； 若 α k = β k ， k = 0,1, 2,L m ， α m+1 > β m+1 ，则称 a > b 。

对于异号实数的比较，只需规定：正数大于零，零大于负数。

附注：在定义中，我们引进了记号“ ∃ ”，表示“存在”。

3实数及其性质§2 实数的性质 1有序性由上节实数大小的定义， 我们知道任意两个实数是可以比较大小的。

将这条性质写成抽 象的形式就是：∀a, b ∈R ，则 a > b, a < b, a = b 三者必居其一； ∀a, b, c ∈ R , a > b, b > c 则有 a > c 。

（传递性）附注：这里我们引进了记号“ ∀ ”，表示“对于任意给定的”（for every）。

2加法运算法则按照通常的理解，我们可以定义两个实数的加法。

一般地，加法运算满足下列性质：a+b = b+a ( a + b ) + c = a + (b + c ) ∃ 0 ，使得 a + 0 = a（交换律） （结合律） （存在零元素） （存在负元素） （平移不变性）∀a ∈R ， ∃( − a ) ∈R ，使得 a + ( − a ) = 0 ∀a, b, c ∈ R , a > b ，总有 a + c > b + c3乘法运算法则同理，对于 ∀a, b ∈R ，可以按照通常意义定义两个数的乘法 a ⋅ b ∈R ，它满足：a ⋅b = b ⋅ a ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c ) ∃1 ，使得 a ⋅1 = a（交换律） （结合律） （存在单位元素）1 1 ∀a ∈R ， a ≠ 0 ， ∃ ∈R ，使得 a ⋅ = 1 （存在逆元素） a a ∀a, b, c ∈R ， a > b, c > 0 ，总有 a ⋅ c > b ⋅ c （仿射不变性）另外，还有下列乘法对加法的分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c4阿基米得性质性质：（阿基米得） ∀c ∈ R , c > 0 ，存在自然数 n > c 。

证明：记 c = α 0 .α1α 2 Lα m L ，4数学分析讲义令 n = α 0 + 2 即满足条件。

证毕附注：这种证明方法称为“构造性证明”。

推论 1： ∀ε ∈ R , ε > 0 ，存在自然数 n ，使得1证明：对于1 <ε 。

n 1ε> 0 ，由阿基米得性质，存在自然数 n ，使得 n >ε，因而1 <ε 。

n证毕推论 2： ∀c ∈R ， ∃1m ∈Z ，使得 m − 1 ≤ c < m 。

证明：无妨假设 c > 0 。

由阿基米得性质，存在自然数 n ，使得 0 ≤ c < n 。

由于 {0 ≤ c < n} = U {k − 1 ≤ c < k } ，并且在上式右端的 n 段区间中， c 不可k =1 n能同时存在于两个区间，因而存在唯一的 m ，使得 m − 1 ≤ c < m 。

证毕附注： 1. 记号“ ∃1 ”表示“存在唯一的”。

2. 对于 c≤ 0 的情形如何证明？5有理数在实数中的稠密性定理 1：有理数在实数中是稠密的，即： ∀x, y ∈ R , x < y ， ∃p ∈Q ，使得 x < p < y 。

证明： 对于 d = y − x > 0 , 由推论 1， ∃n ∈N ，使得1 < d = y − x ，即 ny > nx + 1 ； n另一方面，对于 nx ∈ R ，由推论 2， ∃m ∈Z ，使得 m − 1 ≤ nx < m ； 由于 ny > nx + 1 ≥ ( m − 1) + 1 = m ，因而有： nx < m < ny 。

令： p =m ，所以 ∃p ∈ Q ，使得 x < p < y 。

n证毕6可数集合及实数之不可数性定义： 一个集合称为是可数的，是指： 定义： 一个集合称为是可数的，是指： 该集合元素个数是有限的，或存在一个该集合与自然数集的一一对应。

该集合元素个数是有限的，或存在一个该集合与自然数集的一一对应。

5实数及其性质可数性是集合的一种分类方式， 我们今后将看到， 对于一个元素个数无穷多的集合来说， 是否可数与集合的许多性质都有密切关系。

下面我们先来看： 例 1：自然数集是可数的。

例 2：有理数集是可数的。

证明：可以由下列方法对有理数集进行排序使之与自然数集一一对应：1 2 1 3  2 1 n n −1 1 0; ± ; ± , ± ; ± ,  ±  , ± ; L; ± , ± ,L , ± ; L 1 1 2 1  2 3 1 2 n（括号内数字不排） 因而有理数集是可数的。

证毕定理 2：实数集是不可数的。

证明：采用反证法，只要证明区间 [ 0,1] 上的实数是不可数的。

假设 [ 0,1] 上的实数是可数的，由可数集的定义，存在其与有理数的一一对应：1 1 1 x1 = 0.α1α 2 Lα n L 2 2 x2 = 0.α12α 2 Lα n LLLm m xm = 0.α1mα 2 Lα n L（其中 α j 取 0 到 9 之间的自然数）iLL现在令： a = 0.α1α 2 Lα n L ，其中 α n ≠ 0,9, α n 。