实数概念分类性质讲义(含答案)

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初中数学第六章实数(讲义及答案)及答案

A．①②③④B．①②④C．②④D．②
8．已知|x|＝2，y2＝9，且xy＜0，则x+y的值为（）
A．1或﹣1B．-5或5C．11或7D．-11或﹣7
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是( )
A．1+ B．2+ C．2 ﹣1D．2 +1
24．定义：若两个有理数a，b满足a＋b＝ab，则称a，b互为特征数．
（1）3与互为特征数；
（2）正整数n(n＞1)的特征数为；（用含n的式子表示）
（3）若m，n互为特征数，且m＋mn＝－2，n＋mn＝3，求m＋n的值．
25．在已有运算的基础上定义一种新运算：，的运算级别高于加减乘除运算，即的运算顺序要优先于运算，试根据条件回答下列问题．
10．若a、b为实数，且满足|a－2|＋＝0，则b－a的值为( )
A．2B．0C．－2D．以上都不对
二、填空题
11．[x)表示小于x的最大整数，如[2.3)=2，[ 4)= 5，则下列判断：①[ )= ；②[x) x有最大值是0；③[x) x有最小值是 1；④x [x) x，其中正确的是__________（填编号）．
12．a是的整数部分，b的立方根为-2，则a+b的值为________．
13．若，则mn的值为____.
14．若实数a、b满足，则 =_____．
15．对于有理数a，b，规定一种新运算：a※b=ab+b，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a※b=b※a，则a=b；③方程（x﹣4）※3=6的解为x=5；④（a※b）※c=a※（b※c）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）．

实数的有关概念(含答案)

⎧⎨⎩第1章数与式第1课实数的有关概念目的：复习实数有关概念，相反数、绝对值、倒数、数轴、非负数性质、•科学记数法、近似数与有效数字．中考基础知识1．实数的分类2．相反数：只有_______不同的两个数，叫做互为相反数，a 的相反数为______，a-b 的相反数是_______，x+y 的相反数是________，0的相反数为_______，若a ，b 互为相反数，则a+b=________．3．绝对值：几何意义：数a 的绝对值是数a 在数轴上表示的点到_______的距离．正数的绝对值等于它________．代数意义零的绝对值等于________．负数的绝对值等于它的________．│a │=(0)(0)a a a a ≥⎧⎨-<⎩ 4．数轴：3-3-1021________与数轴上的点是一一对应的，•数轴上的点表示的数左边的总比右边的_________，数轴是沟通几何与代数的桥梁．5．倒数：a （a ≠0）的倒数为________，0_______•倒数，•若a ，•b•互为倒数，•则ab=_____，若a ，b 互为负倒数，则ab=________．6．非负数：│a│≥0，a2≥0≥0．若│a+1│+（c+3）2=0，则a=_______，b=_______，c=________．7．科学记数法：把一个数记作a×10n形式（其中a是具有一位整数的小数，n为自然数）．8．近似数与有效数字：一个经过________而得到的近似数，最后一个数在哪一位，就说这个近似数是精确到哪一位的近似数，对于一个近似数，•从左边第一个______数字开始，到最末一位数字止，都是这个近似数的有效数字．备考例题指导例1．填空题（1的倒数为_______，绝对值为________，相反数为_______．（2）若│x-1│=1-x，则x的取值范围是_______，若3x+1有倒数，则x的取值范围是_________．（3）在实数18，π，3，0+1，0.303003……中，无理数有________个．（4）绝对值不大于3的非负整数有________．（5=0，则3x-2y=________．（6）用科学记数法表示-168000=_______，0.0002004=_________．（7）0.0304精确到千分位等于_______，有_______个有效数字，它们是_______．（8）2060000保留两个有效数字得到的近似数为________．答案：（1）．-2，，（2）x≤1，x≠-13．（3）5．（4）0，1，2，3．（5）7．（6）-1.68×105，2.004×10-4．（7）0.030；2；3，0 （8）2.1×106．例2．已知1<x<4，化简│x-4│解：∵1<x<4，∴x-4<0，1-x<0．原式=│x-4│-│1-x│=4-x+1-x=5-2x．例3．化简│x-2│+│x+3│．解：令x-2=0得x=2，令x+3=0得x=-3．（1）当x<-3时，原式=2-x-x-3=-2x-1；（2）当-3≤x<2时，原式=2-x+x+3=5；（3）当x≥2时，原式=x-2x+x+3=2x+1．分类讨论思想，零点分段法，一般等号取在大于符号中．备考巩固练习1．（2005，北京）一个数的相反数是3，则这个数是________．2．气温比a℃低3℃记作________．3-a）2与│b-1│互为相反数，则2a b-的值为_______．4．若a2│c-2003│=0，则a b+c=________．5．计算|47-25|+|35-79|-|29-37|=______________．（注意方法）6．计算│1-a│+│2a+1│+│a│，其中a<-2．7．如果表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图，那么化简│a+b│果是多少？b a8．按要求取下列各数的近似数：（1）6.286（精确到0.1）；（2）1764000（保留三个有效数字）；（3）278160（•精确到万位）．9．近似数7.60×105精确到_______位，有______个有效数字，近似数7.6×105精确到_______位，有________个有效数字．10．已知a、b、c为实数，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，求证a=b=c．答案:1．-3 2．（a-3）℃ 3+1 4．20045．原式=47-25+79-35+29-37=17-1+1=17（先去绝对值符号）6．∵a<-2，∴1-a>0，2a+1<0，a<0∴原式=1-a-2a-1-a=-4a7．-2a8．（1）6.286≈6.3 （2）1764000≈1.76×106（3）278160≈28万9．∵7.60×105=760000 ∴近似数7.60×105精确到千位，有三个有效数字7，6，•0；7.6×105精确到万位，有两个有效数字7，610．用配方法和非负数性质，将一个方程转化为三个方程，a2+b2+c2-ab-bc+ac=0 2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 （a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0∴a-b=0，b-c=0，a-c=0 ∴a=b=c沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。

七年级初一数学第六章实数(讲义及答案)及解析

七年级初一数学第六章实数(讲义及答案)及解析一、选择题1．下列说法中正确的是（）A ．若a a =，则0a >B ．若22a b =，则a b =C ．若a b >，则11a b> D ．若01a <<，则32a a a << 2．下列计算正确的是（）A ．42=±B ．1193±=C ．2(5)5-=D ．382=± 3．已知280x y -++=，则x y +的值为( ) A ．10B ．-10C ．-6D ．不能确定 4．下列说法正确的是（） A ．m -一定表示负数B ．平方根等于它本身的数为0和1C ．倒数是本身的数为1D ．互为相反数的绝对值相等 5．在下列结论中，正确的是（）.A ．255-44=±（） B ．x 2的算术平方根是xC ．平方根是它本身的数为0，±1D ．64 的立方根是2 6．让我们轻松一下，做一个数字游戏．第一步：取一个自然数n 1＝5，计算n 12+1得a 1；第二步：算出a 1的各位数字之和得n 2，计算n 22+1得a 2；第三步：算出a 2的各位数字之和得n 3，计算n 32+1得a 3；……依此类推，则a 2018的值为（）A ．26B ．65C ．122D ．1237．若320,a b -++=则+a b 的值是（）A ．2B 、1C 、0D 、1-8．如图，若实数m ＝﹣7+1，则数轴上表示m 的点应落在（）A ．线段AB 上B ．线段BC 上 C ．线段CD 上 D ．线段DE 上 9．下列各数中，介于6和7之间的数是( )A 43B 50C 58D 33910．下列判断正确的有几个（）①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；333的立方根；④无理数是带根号的数；⑤22．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题11．写出一个3到4之间的无理数____．12．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．13．观察下列算式： ①246816⨯⨯⨯+＝2(28)⨯＋16＝16＋4＝20；②4681016⨯⨯⨯+＝2(410)⨯＋16＝40＋4＝44；… 根据以上规律计算：3032343616⨯⨯⨯+＝__________14．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是__________．15．一个数的立方等于它本身，这个数是__．16．已知：103＜157464＜1003；43＝64；53＜157＜63，则 315746454=，请根据上面的材料可得359319=_________．17．49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____.18．下列说法： ① ()210-10-=；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________19．若2x -+|2﹣x|＝x+3，则x 的立方根为_____．20．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．三、解答题21．观察下列计算过程，猜想立方根．13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。

中考数学第1讲实数(含答案)

第1讲实数【回顾与思考】（1）实数的有关概念{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数①实数：和统称实数，和数轴上的点是一一对应．．．．的。

（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

） ②有理数: 和的统称.任何一个有绿树都可以写成分数pq的形式，其中p 和q 是整数且最大公约数是1。

③无理数：无限叫无理数，常见的有三类：① ；② ；③ ；④对实数进行分类，应先，后。

(2)数轴：规定了、和的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)。

和数轴上的点是一一对应．．．．的。

（即：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

）(3)相反数：实数的相反数是一对数(只有的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是 )．从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于对称．(4)绝对值①从数轴上看，一个数的绝对值就是的距离。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a②一个正数的绝对值是，一个负数的绝对值是，零的绝对值是。

(5)倒数：实数a(a ≠0)的倒数是 (乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零倒数．（6）平方根：如果 ,即，那么这个数x 叫做做a 的平方根（也叫二次方根）。

一个正数有平方根，且互为相反数；0的平方根是；负数平方根。

（7）算术平方根：如果，即，那么这个正数x 叫做a 的算．术．平方根，即x a =；特别规定0的算术平方根是。

即00=。

（8）立方根：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ，那么这个数x 叫做a 的立方根（也叫三次方根），一个正数的立方根是；0的立方根是；负数的立方根是。

七年级(下)数学同步讲义实数的概念及数的开方 (解析版)

知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；2-、π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，16，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【答案】2π、0.1313313331…．【解析】无限不循环小数都是无理数．【总结】考查无理数的概念．【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）不带根号的数一定不是无理数．（）【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；（3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【答案】一样．例题解析【解析】a 是非负无理数实质上就是说a 是正无理数，因为0不是无理数．【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．【例4】若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【答案】略．【解析】移项得：()()a c d b x -=-，因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而a c -是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0d b -=，从而0a c -=，于是有：a c b d ==，，当a c b d ==，时，等式a bx c dx +=+成立．【总结】考查有理数、无理数的运算性质．【例5】 3为什么是无理数?请说明理由．【解析】假设3是有理数，则3能写成两个整数之比的形式：3p q=，又因为p 、q 没有公因数可以约去，所以pq是最简分数．把3p q=两边平方，得223p q =，即223q p =．由于23q 是3的倍数，则p 必定是3的倍数．设3p m =，则2239q m =，同理q 必然也是3的倍数，设3q n =，既然p 、q 都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设pq是最简分数矛盾，故3是无理数．【总结】考查对无理数的理解及证明．模块二：数的开方知识精讲一、开平方：1、定义：求一个数a的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这个数a叫做被开方数．x=±，1的平方根是1±．如21x=，1说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根；2)平方和开平方互为逆运算．3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a的负平方根，读作“负根号a”．★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2=2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根号a a叫做被开方数，“3”叫做根指数．★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根；2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开n次方：1、求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方．a叫做被开方数，n叫做根指数．2、如果一个数的n次方（n是大于1的整数）等于a，那么这个数叫做a的n次方根．3、当n为奇数时，这个数为a的奇次方根；当n为偶数时，这个数为a的偶次方根．★注意：1）实数a a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a”表示，负n次方根用“0n=时，在中省略n）；a>，根指数n是正偶数（当23）负数的偶次方根不存在；4）零的n 次方根等于零，表示为00n =．【例6】写出下列各数的平方根：（1）9121；（2）2(9)-．【答案】（1）311±；（2）3±．【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根．【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．【例7】写出下列各数的正平方根：（1）225；（2）9．【答案】（1）15；（2）3．【解析】（1）15；（2）93=，3的正平方根是3．【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根；（3）π-是2π-的平方根；（4）81的平方根是9±．【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）错误：1的平方根是1±；（2）正确；（3）错误：2π-是负数，没有平方根；（4）2π-错：819=，9的平方根是3±．例题解析【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）1-；（4）3438-；（5）27．【解析】（1）6；（2）0；（3）1-；（4）72-；（5）3．【总结】本题主要考查立方根的概念．【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4）2±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根是1；（37=；（4）正确；（5）错误：还与n的奇偶性有关．【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1（2（3）9【解析】（1）因为89=，8，8；（2）因为78==77；（3）因为34=，所以596<<，所以95，小数部分为4-【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．【例12】求值：（1 （2）；（3）2；（4）2(．【解析】（1）12；（2）0.1- ；（3）4；（4）11．【总结】考查对平方根的理解及运用．【例13】求值：（1 （2 （3；（4【解析】（1）4；（2）35-；（3）原式54=-；（4）原式2-．【总结】考查实数的立方根的运用．【例14】求值：（1 （2 （3；（4【解析】（1）6 ；（2）3 ；（3）3- ；（4）2．【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．【例15】求值：（1（2）（3．【解析】（1）0.5 ；（2）原式=95；（3）原式60=．【总结】考查实数的立方根运算．【例16】小明的房间面积为17.62m ，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? 【答案】0.4m ．【解析】设每块地砖的边长是x 米，则有：211017.6x =，化简得20.16x =，解得：0.4x = 即每块地砖的边长是0.4m ．【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．【例17】已知2a -1的平方根是3±，3a +b -1的算术平方根是4 【答案】3．【解析】由题意知：219a -=，3116a b +-=，即210a =，173b a =-解得：5a =，2b =，所以2549a b +=+=3=．【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．【例18】若a 的平方根恰好是方程3x +2y =2的一组解，求x y a a +的值．【答案】125716()1616或．【解析】由题意，因为a 的两个平方根是相反数，那么y x =-，则有：32322x y x x +=-=，即2x =，2y =-．那么由题意可得：4a =，所以22125744161616x y a a -+=+=+=．【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．【例19】 3，3(43)8x y +=-，求2()n x y +的值．【答案】1．【解析】由题意可得：49432x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以222()(12)(1)1n n n x y +=-=-=．【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．【例20】用“>”把下列各式连接起来：=，-12-23【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．【例21】 1.732 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______；（2____________；（3≈_________；（4≈______________；（5___________；（6≈_____________．【答案】略．【解析】（1 1.7321017.32⨯=；（2 5.4771054.77≈⨯=；（3 1.732100173.2⨯=；（4 5.4770.10.5477≈⨯=；（5 1.7320.10.1732⨯=；（6 5.4770.010.05477≈⨯=．【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．【例22】填写下表，并回答问题：a…0.000001 0.001 1 1000 1000000 …….3a……（1）数a与它的立方根3a的小数点的移动有何规律?（2）根据这个规律，若已知33，，求a的值．==a0.005250.1738 1.738【解析】（1）由题可知，被开方数a的小数点每向右或向左移动三位，立方根3a的小数点相应地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知： 5.25a=．【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．【例23】阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>；⑥>；⑦>：（2）当n =1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）>．【解析】（1）①12 <21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；（2）当n=1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。

专题01 实数的概念与运算(讲)-备战2019年中考数学二轮复习讲练测(解析版)

备战2019年中考二轮讲练测第一篇专题整合篇专题01 实数的概念与运算（讲案）一讲考点——考点梳理（一）实数的基本概念（1）数轴的三要素为原点、正方向和单位长度. 数轴上的点与实数构成一一对应.（2）只有符号不同的两个数叫做互为相反数.实数a 的相反数为—a. 若a ，b 互为相反数，则b a +=0.（3）若两数乘积为1，则这两个数叫做互为倒数。

非零实数a 的倒数为a1. 若a ，b 互为倒数，则ab =1.（4）数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值。

实数a 的绝对值记作|a|，则⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a ．（二）有效数字与科学记数法（1）有效数字：是指从一个近似数的左边第一个不是0的数字开始，一直到这个数的最后一位的所有数字.（2）科学记数法：把一个数表示成a×10n 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数.当该数的绝对值大于或等于1时，n 为它的整数位数减1；当该数的绝对值小于1时，－n 为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）（三）实数的分类与大小比较（1）实数的分类：有理数和无理数统称实数.（2）实数的大小比较：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；正数>0，负数<0，正数>负数；两个负数比较大小，绝对值大的< 绝对值小的．常用方法：性质法、数轴法、倒数法、平方法、比差法、比商法.（四）实数的运算1.数的开方（1）任何正数a 都有两个平方根,它们互为相反数.其中正的平方根a 叫a 的算术平方根.负数没有平方根，0的算术平方根为0.（2）任何一个实数a 都有立方根，记为3a .（3）=2a ⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a .2.数的乘方：=n aa n a a a a 个⋅⋅，其中a 叫做底数，n 叫做指数. =0a 1（其中a ≠0 且a 是实数）=-p a pa 1（其中a ≠0）3. 实数运算：先算乘方与开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，同一级运算按照从左到右的顺序依次进行.同一级的运算是可以相互转化的.4. 运算律的应用：主要有加法的交换律、结合律，乘法的交换律、结合律，以及分配律.(五)探究数、式规律（1）一般按照“特殊——一般——特殊”的思维过程，使用“观察——猜想——验证”的思路，最终得出正确的结果；（2）列表法与举例法是在解答探索数式规律的问题时最常用的方法.二讲题型——题型解析（一）对实数基本概念的考查.例1、【2018年广东省中考】一个正数的平方根分别是x+1和x ﹣5，则x=_____．【答案】2【解析】【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x 的方程，解方程即可得．【详解】根据题意知x+1+x ﹣5=0，解得：x=2，故答案为：2．（二）对有效数字与科学记数法的考查.例2、【2018年广西壮族自治区贵港市中考】一条数学信息在一周内被转发了2180000次，将数据2180000用科学记数法表示为（）A ． 2.18×106B ． 2.18×105C ． 21.8×106D ． 21.8×105【答案】A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】2180000的小数点向左移动6位得到2.18，所以2180000用科学记数法表示为2.18×106，故选A.（三）对实数的分类与大小比较的考查例3、【2018年山东省菏泽市中考】下列各数：-2，0，，0.020020002…，，，其中无理数的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】分析：根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.详解：是有理数，0是有理数，是有理数，0.020020002…是无理数，是无理数，是有理数，所以无理数有2个，故选C.【点评】本题考查了无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数.常见的形式有：开方开不尽的数,如2等;;圆周率π及一些含有π的数都是无理数.要掌握实数、有理数、无理数的定义，以及非负数、非正数等一些相关的概念.（四）对实数的运算的考查例4、【广东省2018年中考数学试题】计算：|﹣2|﹣20180+（）﹣1【答案】3.【解析】【分析】按顺序先分别进行绝对值化简、0次幂的计算、负指数幂的计算，然后再按运算顺序进行计算即可得.【详解】|﹣2|﹣20180+（）﹣1=2﹣1+2=3．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，涉及到绝对值的化简、0指数幂的运算、负指数幂的运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键.（五）对实数中的非负数及性质的考查例5、已知实数x ，y 满足，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对【答案】B ．【解析】试题分析：根据题意得：，解得：．（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B ．考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质；3.三角形三边关系；4.分类讨论．学科网（六）对数、式规律的考查例6、【2018年湖北省荆门市中考】将数1个1，2个，3个，…，n 个（n 为正整数）顺次排成一列：1，，，，，，…，，，…，记a 1=1，a 2=，a 3=，…，S 1=a 1，S 2=a 1+a 2，S 3=a 1+a 2+a 3，…，S n =a 1+a 2+…+a n ，则S 2018=_____．【答案】630x -=4080x y -=⎧⎨-=⎩48x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，根据数列中数的排列规律找出“前2018个数里面包含：1个1，2个，3个，…，63个，2个”是解题的关键．三讲方法——方法点睛（一）解决有关实数的基本概念的问题要掌握相反数、倒数、绝对值等概念的内涵和区别．（二）（1）对于实数的分类要掌握实数、有理数、无理数的定义，以及非负数、非正数等一些相关的概念（2）实数大小的比较可以利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.除此之外常用的方法有“差值比较法”适用于比较任何两数的大小；“商值比较法”只适用于比较两个正数的大小；“平方法”、“倒数法”常用于比较二次根式的大小；“底数比较法”、“指数比较法”常用于比较幂的大小.（三）解决与非负数的性质相关的问题的关键是掌握：（1）常见的非负数有；任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0；任何一个实数a的平方是非负数,即a2≥0；若a为非负数，则a也为非负数，即a≥0；（2）非负数具有的性质是：非负数有最小值，最小值为0；有限个非负数的和仍是非负数；几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.（四）对于实数的运算（1）熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等的运算.（2）注意运算顺序，分清先算什么，再算什么.（五）科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时，写成a×10-n 的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.（六）解决探索数、式规律问题的方法常见的有列表法和举例法.四练实题——随堂小练1.下列各数中，绝对值最大的数是（）　A．﹣3B．﹣2C．0D．1【答案】A．【解析】|﹣3|＞|﹣2|＞1＞|0|，故选A．2．在﹣，0，﹣2，，1这五个数中，最小的数为（）A ．0B ．12-C ．﹣2D 13．【答案】C ．3.古生物学家发现350 000 000年前，地球上每年大约是400天，用科学记数法表示350 000 000=【答案】3.5×108．【解析】将350 000 000用科学记数法表示为：3.5×1084．已知x 、y 为实数，且y=92-x ﹣29x -+4，则x ﹣y=　【答案】﹣1或﹣7.【解析】由题意得x 2﹣9≥0，x 2﹣9≤0，∴x 2﹣9=0，解得x=±3，∴y=4，∴x ﹣y=﹣1或﹣7．5．观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，…由以上规律可以得出第n 个等式为．【答案】（2n+1）2﹣（2n ﹣1）2=8n 6与0.5．（填“＞”、“=”、“＜”）【答案】＞【解析】1-2，2＞0，0．考点：实数大小比较．7. 高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x的最大整数．例如：[2.3]=2，[﹣1.5]=﹣2．则下列结论：①[﹣2.1]+[1]=﹣2；②[x]+[﹣x]=0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3；④当﹣1≤x＜1时，[x+1]+[﹣x+1]的值为0、1、2．其中正确的结论有（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③．【分析】根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．【解析】①[﹣2.1]+[1]=﹣3+1=﹣2，正确；②[x]+[﹣x]=0，错误，例如：[2.5]=2，[﹣2.5]=﹣3，2+（﹣3）≠0；③若[x+1]=3，则x的取值范围是2≤x＜3，正确；④当﹣1≤x＜1时，0≤x+1＜2，﹣1＜﹣x+1≤1，[x+1]+[﹣x+1]的值为2，故错误．故答案为：①③．考点：有理数的混合运算；新定义．8.（2-2014）0-2cos30°-（12）-1．-1．【解析】原式．9.计算：4sin45°+|﹣2|（13）0．【答案】3.【解析】考点：1.实数的运算；2.特殊角三角函数值；3.零指数幂.10.计算：（12）﹣1﹣|（1﹣π）0．【答案】．【解析】试题分析：根据负整数指数幂，去绝对值，二次根式的化简以及零指数幂的计算法则计算．试题解析：原式=2+1=3+考点：实数的运算;零指数幂；负整数指数幂．五练原创——预测提升1．在我市2016年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据5400000用科学记数法表示为（）A ．0.54×107B ．54×105C ．5.4×106D ．5.4×107【答案】C ．【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，n 的值为这个数的整数位数减1，所以5400000=5.4×106，故选C ．2．若2（a+3）的值与4互为相反数，则a 的值为（）A ．﹣1B ．﹣72C ．﹣5D ．12【答案】C.【解析】已知2（a+3）的值与4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0可得2（a+3）+4=0，解得a=﹣5，故选C.3．数轴上点A 表示的实数可能是（）A ．7B ．10C ．17D ．26【答案】C.【解析】 ∵4＜17＜5，∴数轴上点A 表示的实数可能是17；故选C ．4.下列各数：227，π，cos60°，0　A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ．【解析】据无理数定义得有，π 是无理数．故选B ．学科网5．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x=256时，输出的y 等于（）A 、2B 、4C 、2D 、22【答案】C ．6.若21(3)0a b -++=，则a b =（） A ．1B ．－1 C ．3 D ．－3【答案】D.【解析】∵21(3)0a b -++=，∴a-1=0，b+3=0，∴a=1，b=-3，∴1(3)3a b =-=-.故选D.7.按照如图的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算或笔算）【答案】2【解析】【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．【详解】将x=2代入得：3×22﹣10=12﹣10=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8. 古希腊数学家把1、3、6、10、15、21、…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，…，依此类推，第100个三角形数是．【答案】5050．【分析】设第n 个三角形数为a n ，分析给定的三角形数，根据数的变化找出变化规律“a n =1+2+…+n =(1)2n n +”，依此规律即可得出结论．【解析】设第n 个三角形数为a n ，∵a 1=1，a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…∴a n =1+2+…+n =(1)2n n +，将n =100代入a n ，得：a 100=100(1001)2+=5050，故答案为：5050．9. 阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于-1，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如a bi +（,a b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减，乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．例如计算：()()()()253251372i i i i-++=++-+=+()()()21212221213i i i i i i i +´-=´-+´-=+-++=+；根据以上信息，完成下列问题：（1）填空：3i =_________，4i =___________；（2）计算：()()134i i +´-；（3）计算：232017i i i i ++++ ．【答案】（1）﹣i ，1；（2）7﹣i ；（3）i ．【分析】（1）把i 2=﹣1代入求出即可；（2）根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算，再把i 2=﹣1代入求出即可；（3）先根据复数的定义计算，再合并即可求解．10. 观察下列等式：第一个等式：122211132222121a ==-+´+´++；第二个等式：2222232111322(2)2121a ==-+´+´++；第三个等式：3332342111322(2)2121a ==-+´+´++；第四个等式：4442452111322(2)2121a ==-+´+´++；按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a 6= = ；（2）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n == ；（3）a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6= （得出最简结果）；。

2013年中考数学专题复习第1讲：实数(含答案)

2013年中考数学专题复习第一讲实数【基础知识回顾】一、实数的分类：1、按实数的定义分类：实数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。

如：2π是数，不是数，722是数，不是数。

2、0既不是数，也不是数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了、、的直线叫做数轴，和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有、、等。

2、相反数：只有不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是，0的相反数是，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是，没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开的距离叫做这个数的绝对值。

a =⎪ ⎪ ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪⎨ ⎧ 正无理数无理数负分数＿零正整数整数有理数无限不循环小数⎩⎨⎧⎩⎨⎧负有理数负零正无理数正实数实数（a ＞0）（a ＜0）0 （a =0）有限小数或无限循环数因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是数，我们学过的非负数有三个：、、。

【名师提醒：a +b 的相反数是，a －b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是，倒数等于本身的数是，绝对值等于本身的数是】三、科学记数法、近似数和有效数字。

1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成的形式叫做科学记数法。

其中a 的取值范围是。

2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。

【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。

专题4.2 实数及实数运算(解析版)

【教学目标】1【教学重难点】12【知识亮解】知识点一：实数（、、、、、．2【解析】、、．．．．﹣＝，则＝，表示的数为：﹣＝，即拼成的正方形的边长为，故答案为：；）由勾股定理得：＝，∴点表示的数为﹣，故答案为：﹣2×2×2×+2×2×＝为．现象二：为求…的值，设计了如图（）请你利用这个几何图形求…的值为）再设计一个能求…的值的几何图形．小图形的面积是，所以…表示的面积等于﹣．在划分图形时每次划分都是4××1×4，阴影部分正方形的边长＝；如图所示：）…＝﹣，如图所示．：﹣．轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

（2）绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；零的绝对值既可以看成是它本身，也可看成它的相反数。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

（3）倒数如果ab=1，则a 与b 互为倒数，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

2、数轴和实数大小比较规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

比较大小时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a 、b 是实数，,0b a b a >⇔>- ,0b a b a =⇔=- ba b a <⇔<-0（3）求商比较法：设a 、b 是两正实数;1;1;1b a bab a b a b a b a <⇔<=⇔=>⇔>（4）绝对值比较法：设a 、b 是两负实数，则b a b a <⇔>。

八上数学第二章实数知识点归纳+易错例题精选(含答案)

八年级数学上册第二章实数知识点+易错题精选一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数概念：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a= —b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|= -a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算逐步逼近法的正确使用三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a”，读作“正、负根号a ”。

4.3实数(十大题型)(解析版) 八年级数学上学期

八年级上册数学《第4章实数》4.3实数◆1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.◆2、实数的分类：（1）按定义分类．（2）按性质分类.◆1、实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.◆2、与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.◆3、实数的大小比较①正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；②两个正实数，绝对值大的数较大；③两个负实数，绝对值大的数反而小.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．◆1、数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.◆2、一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则|a|=o＞0)0(=0)−o＜0)◆1、当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.◆2、实数的混合运算顺序与有理数的混合运算的顺序一样，实数运算过程中的运算顺序为：先算乘方、开方、再算乘法、除法，最后算加法、减法，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号先算括号里的.◆3、实数的运算律.①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)③乘法交换律：ab＝ba；④乘法结合律：(ab)c＝a(bc)⑤分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.①被开方数一定是非负数，即a≥0.②一个非负数的算术平方根也是非负数，即a≥0.【例题1】（2022秋•丽水期中）把下列各数的序号填在相应的横线上：①﹣3.14，②2π，③−13，④0.618，⑤−16，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨227，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1）．整数集合：{……}；分数集合：{……}；无理数集合：{……}．【分析】利用整数、分数、无理数的定义分类填空．【解答】解：整数有：⑤−16=−4，⑥0，⑦﹣1，⑧+3；分数有：①﹣3.14，③−13，④0.618，⑨227；无理数有：②2π，⑩﹣0.030030003……（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），故答案为：⑤⑥⑦⑧；①③④⑨；②2⑩．【点评】本题考查了实数的定义，解题的关键是掌握整数、分数、无理数的定义．【变式1-1】（2022秋•社旗县期末）实数−13，−6，0，﹣1中，为负整数的是（）A．﹣1B．−6C．0D．−13【分析】根据实数的分类进行解答即可．【解答】解：这一组数中的负整数是﹣1．故选：A．【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．【变式1-2】（2022秋•宁波期中）下列实数：2，39，1，2，−73，0.3⋅，分数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据实数的分类及分数的定义进行解答即可．−73，0.3⋅共3个．故选：B．【点评】本题考查的是实数，熟知所有的分数都是有理数是解题的关键．【变式1-3】（2022春•宜秀区校级月考）下列说法正确的是（）A．实数包括有理数、无理数和零B．有理数包括正有理数和负有理数C．无限不循环小数和无限循环小数都是无理数D．无论是有理数还是无理数都是实数【分析】灵活掌握实数分类以及有理数和无理数概念，注意容易混淆的知识点．【解答】解：有理数和无理数统称为实数，0属于有理数，故A错误，有理数包括正有理数、负无理数和0，0既不是正数也不是负数，故B错误，无限不循环的小数是无理数，故C错误，实数分为有理数和无理数，故D正确．故选：D．【点评】考查了实数的概念，以及有理数和无理数概念及分类．【变式1-4】下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0和1；②实数包括无理数和有理数；③2的算术平方根是2；④无理数是带根号的数．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B；【分析】直接利用有关实数的性质分别分析得出答案．【解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，故原题说法错误；②实数包括无理数和有理数，故原题说法正确；③2的算术平方根是2，故原题说法正确；④无理数是无限不循环小数，故原题说法错误，例如4=2是有理数．故选：B．【变式1-5】（2022春•夏津县期末）下列说法中错误的是（）A．3−27是整数B．−1713是有理数C．33是分数D．9的立方根是无理数【分析】根据立方根，算术平方根，有理数，无理数的意义，即可解答．【解答】解：A、∵3−27=−3，∴3−27是整数，故A不符合题意；B、−1713是有理数，故B不符合题意；C、33是无理数，不是分数，故C符合题意；D、∵9=3，3的立方根是33，33是无理数，∴9的立方根是无理数，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数，无理数的意义是解题的关键．【变式1-6】（2022秋•黑山县期中）把下列各数分别填入相应的集合内：33，−4，−34，0，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1）【分析】根据无理数以及正实数的定义，在给定实数中分别挑出无理数以及正实数，此题得解．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．【变式2-7】（2023秋•滨湖区期中）将下列各数的序号填入相应的括号内：①﹣2.5；②313；③0；④2；⑤﹣8；⑥10%；⑦−27；⑧﹣1.12121112…；⑨2；⑩−0.345⋅⋅．整数集合：{…}；负分数集合：{…}；正有理数集合：{…}；无理数集合：{…}．【分析】根据实数的分类，即可解答．【解答】解：整数集合：{③⑤⑨…}；负分数集合：{①⑦⑩…}；正有理数集合：{②⑥⑨…}；无理数集合：{④⑧…}．故答案为：③⑤⑨；①⑦⑩；②⑥⑨；④⑧．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．【例题2】（2022•海淀区校级模拟）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键．【变式2-1】（2022春•南岸区期中）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足a＜b＜2，则b的值可以是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先判断b的范围，再确定符合条件的数即可．【解答】解：∵1＜a＜2，∴﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b只能是﹣1．故选：B．【点评】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，解决本题的关键是根据数轴上的点确定数的范围．【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小．【变式2-2】（2023秋•昌黎县期中）如图，在数轴上，点A表示实数a，则a可能是（）A．−12B．−10C．−8D．−3【分析】根据数轴可得−9＜＜−4，再逐一分析各选项的数据即可．【解答】解：∵﹣3＜a＜﹣2，∴−9＜＜−4，∵9＜12，9＜10，∴−12＜−9，−10＜−9，故A，B不符合题意；∵3＜4，∴−3＞−4，故D不符合题意；∵4＜8＜9，∴−9＜−8＜−4，即−3＜−8＜−2，故选：C．【点评】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．【变式2-3】（2023秋•新吴区校级期中）如图，正方形的边长为1，在正方形的4个顶点处标上字母A，B，C，D，先让正方形上的顶点A与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让正方形沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数2020将与正方形上的哪个字母重合（）A．字母A B．字母B C．字母C D．字母D【分析】正方形滚动一周的长度为4，从﹣2到2020共滚动2022，由2022÷4＝505......2，即可作出判断．【解答】解：∵正方形的边长为1，∴正方形的周长为4，∴正方形滚动一周的长度为4，∵正方形的起点在﹣2处，∴2020﹣（﹣2）＝2022，∵2022÷4＝505......2，∴数轴上的数2020将与正方形上的点C重合，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，根据正方形的特点找出滚动规律是解题的关键．【变式2-4】把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用“＜”号把这些数连接起来：3，﹣（﹣1），﹣1.5，0，﹣|﹣4|，2．【分析】先计算﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，再利用数轴表示数的方法表示所给的6个数，然后写出它们的大小关系．【解答】解：﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣4|＝﹣4，用数轴表示为：，它们的大小关系为﹣|﹣4|＜﹣1.5＜0＜﹣（﹣1）＜2＜3．【变式2-5】（2022春•海安市校级月考）7、如图：数轴上表示1、5的对应点分别为A、B，且点A为线段BC的中点，则点C表示的数是（）A．5−1B．1−5C．5−2D．2−5【分析】设C点表示的数为x，再根据中点坐标公式求出x的值即可．【解答】解：设C点表示的数为x，则r52=1，解得x＝2−5．故选：D．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．【变式2-6】（2023•市南区一模）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（）A．1＜|a|＜b B．1＜﹣a＜b C．|a|＜1＜|b|D．﹣b＜a＜﹣1【分析】根据相反数的意义，绝对值的性质，有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：由题意，得1＜|a|＜b，1＜﹣a＜b，﹣b＜a＜﹣1，故C符合题意；故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数的意义，绝对值的性质，数轴上的点右边的总比左边的大是解题关键．【变式2-7】（2023春•岳池县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为1+【分析】根据正方形的面积求出正方形的半径，即圆的半径为5，所以E点表示的数为OE的长度，即1+5．【解答】解：∵正方形的面积为5，∴AB为5；∵以A点为圆心，AB为半径，和数轴交于E点，∴AE＝AB=5；∵A点表示的数为1，∴OE＝OA+AE＝1+5故答案为：1+5【点评】本题主要考查了实数与数轴的位置关系，结合正方形面积以及圆的半径考查．解题关键是求出OE的长度．【变式2-8】（2022秋•西安月考）如图，已知实数−5，﹣1，5，3，其在数轴上所对应的点分别为点A，B，C，D．（1）求点C与点D之间的距离；（2）记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a﹣b的值．【分析】（1）根据数轴上两点间距离的计算方法进行计算即可得出答案；（2）先根据数轴上两点间距离的计算方法计算出a的值，再求a﹣b即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，点C与点D之间的距离为3−5；（2）根据题意可得，a＝|﹣1+5|=5−1，b＝3−5，a﹣b=5−1﹣（3−5）＝25−4．【点评】本题主要考查了实数与数轴及数轴上两点间距离，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及数轴上两点间距离的计算方法进行求解是解决本题的关键．【例题3】实数−3的绝对值是（）A．3B．C．−3D．33【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：实数−3的绝对值是：3．故选：A．【点评】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键．【变式3-1】−2的相反数是（）A．−2B．2CD．2【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，据此解答即可．【解答】解：根据相反数的含义，可得−2的相反数是：2．故选：B．【点评】此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．【变式3-2】（2023春•潮南区期中）5−2的相反数是（）A．﹣0.236B．5+2C．2−5D．﹣2+5【分析】根据相反数的定义即可得出结论．【解答】解：5−2的相反数是2−5．故选C．【点评】本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．【变式3-3】（2023春•京山市期中）下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与(−2)2B．﹣2与3−8C．﹣2与−12D．2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、(−2)2=2，﹣2与(−2)2是互为相反数，故本选项正确；B、3−8=−2，﹣2与3−8相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、﹣2与−12是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，对各项准确计算是解题的关键．【变式3-4】（2023秋•秦都区校级月考）下列说法正确的是（）A．2的绝对值是22B．2的倒数是22C．2的相反数是22D．4的平方根为±2【分析】根据绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识分别对四个选项进行分析．【解答】解：2的绝对值是2，所以A选项不正确；2的倒数是22，所以B选项正确；2的相反数是−2，所以C选项不正确；4的平方根是±2，所以D选项不正确．故选：B．【点评】本题主要考查了绝对值的知识、二次根式的知识、平方根的知识、相反数的知识．【变式3-5】填空：（1）5的相反数是，绝对值是；（2）3−1的相反数是，绝对值是；（3）若|x|=3，则x＝．【分析】根据相反数和绝对值的定义即可得出答案．【解答】解：（1）5的相反数是−5，绝对值是5；（2）3−1的相反数是1−3，绝对值是3−1；（3）∵|x|=3，∴x=±3．故答案为：（1）−5，5；（2）1−3，3−1；（3）±3．【点评】本题考查了实数的性质，算术平方根，掌握绝对值等于3的数有2个是解题的关键．【变式3-6】（2022秋•余姚市校级期中）a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数．（1）填空：a＝，b＝，c＝；（2）求o+p+2−的值．【分析】（1）直接利用算术平方根的概念以及立方根的概念、倒数的概念分别分析得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、算术的性质分析得出答案．【解答】解：（1）∵a是4的算术平方根，b是27的立方根，c是15的倒数，∴a＝2，b＝3，c＝5；故答案为：2，3，5；（2）原式=2(3+5)+22−2×5=6+25+4−25=10．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式3-7】（2022秋•芗城区校级月考）31−2与33−2互为相反数，求代数式6x﹣9y+5的值．【分析】由题意得方程1﹣2x+3y﹣2＝0，求得2x﹣3y＝﹣1，再将其代入求解即可．【解答】解：由题意得1﹣2x+3y﹣2＝0，整理，得2x﹣3y＝﹣1，∴6x﹣9y+5＝3（2x﹣3y）+5＝3×（﹣1）+5＝﹣3+5＝2．【点评】此题考查了运用立方根和相反数进行化简、求值的能力，关键是能准确理解并运用以上知识和整体思想．【变式3-8】（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=5，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|=5，∴x＝±5，∵y是11的平方根，∴y＝±11，∵x＞y，∴当x=5，则y=−11，故x+y=5−11，当x=−5，则y=−11，故x+y=−5−11，综上所述：x+y的值为5−11或−5−11．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．【例题4】（2023•潍坊）在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案．【解答】解：∵﹣1＜0＜1＜2，∴在实数1，﹣1，0，2中，最大的数是2，故选：D．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数比较大小的法则．【变式4-1】（2022•沂源县一模）在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是（）A．3B．−3C．0D．2【分析】根据实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小即可求解．【解答】解：在3，−3，0，2这四个数中，最小的一个数是−3．故选：B．【点评】此题考查了实数大小比较，可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小．【变式4-2】三个数﹣π，﹣3，−3的大小顺序是（）A．﹣3＜﹣π＜−3B．﹣π＜﹣3＜−3C．﹣π＜−3＜−3D．﹣3＜−3＜−π【分析】先对无理数进行估算，再比较大小即可．【解答】解：﹣π≈﹣3.14，−3≈−1.732，因为3.14＞3＞1.732．所以﹣π＜﹣3＜−3．故选：B．【点评】本题考查了同学们对无理数大小的估算能力及比较两个负数大小的方法，即两个负数相比较，绝对值大的反而小．【变式4-3】（2023秋•农安县期中）将数“22，5，−2，0，﹣1.6”按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接起来是：．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：∵22=8＞5，−2≈−1.57＞﹣1.6，∴﹣1.6＜−2＜0＜5＜22，故答案为：﹣1.6＜−2＜0＜5＜22．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数比较时绝对值大的反而小．【变式4-4】设a为实数且0＜a＜1，则在a2，a，，1这四个数中（）A．1＞＞＞2B．2＞＞＞1C．＞＞1＞2D．1＞＞＞2【分析】根据正数比较大小的法则进行解答即可．【解答】解：∵0＜a＜1，∴0＜a2＜a＜＜1，1＞1，∴1＞＞a＞a2．故选：D．【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．【变式4-5】比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．5＜37＜2D．37＜2＜5【分析】把2转化为4，38，即可比较大小．【解答】解：∵2=4，∴5＞2，∵2=38，∴2＞37，∴5＞2＞37，即37＜2＜5，故选：D．【点评】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是把2转化为4，38．【变式4-6】比较大小：− 1.5．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：(−3)2=3，（﹣1.5）2＝2.25，∵3＞2.25，∴−3＜−1.5．故答案为：＜．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小，两个负数平方大的反而小．【例题5】已知：x＜21＜y（x，y是两个连续整数），则x，y的值为（）A．x＝2，y＝3B．x＝3，y＝4C．x＝4，y＝5D．x＝5，y＝6【分析】根据16＜21＜25，即可得出x、y的值．【解答】解：∵16＜21＜25，∴x＝4，y＝5；故选：C．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，解题的关键是用有理数逼近算术平方根．【变式5-1】（2023秋•郁南县期中）估算57的值应在（）A．6～7之间B．7～8之间C．8～9之间D．不能确定【分析】利用无理数的估算即可求得答案．【解答】解：∵49＜57＜64，∴7＜57＜8，即57的值在7～8之间，故选：B．【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．【变式5-2】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，∴大正方形的面积为：9+9＝18，则大正方形的边长为：18，∵16＜18＜ 4.52，∴4＜18＜4.5，∴大正方形的边长最接近的整数是4．故选：A．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．【变式5-3】（2022春•江津区校级月考）若x、y为两个连续的整数，且x＜39＜y，则x+y＝．【分析】通过36＜39＜49求解．【解答】解：∵36＜39＜49，∴6＜39＜7，∴x＝6，y＝7，∴x+y＝13．故答案为：13．【点评】本题考查了估算算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-4】（2023秋•青龙县期中）估算2+14的值在（）A．4到5之间B．5到6之间C．6到7之间D．7到8之间【分析】先估算出14的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵9＜14＜16，∴3＜14＜4，∴5＜2+14＜6．故选：B．【点评】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．【变式5-5】（2023秋•秦都区期中）估计23−2的值在（）A．2到3之间B．1到2之间C．3到4之间D．4到5之间【分析】先估算出23的大小，进而估算23−2的范围．【解答】解：∵16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴2＜23−2＜3，∴23−2的值在2和3之间．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．【变式5-6】（2022•南关区校级开学）已知x，y为两个连续的整数，且x＜20＜y，则5x+y的值为．【分析】先求出20的范围，求出x、y的值，求出5x+y的值，根据平方根的定义求出即可．【解答】解：∵4＜20＜5，∴x＝4，y＝5，∴5x+y＝5×4+5＝25，∴5x+y的平方根是±5，故答案为：±5．【点评】本题考查了算术平方根的大小，平方根的定义的应用，解此题的关键是求出x、y的值．【变式5-7】（2023秋•二七区校级月考）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是，小数部分是；（2）如果7+1的小数部分为，9−17的整数部分为b，求+−7的平方根；（3）已知10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数23的大小即可；（2）根据算术平方根的定义估算无理数7+1，9−17的大小即可确定a、b的值，再代入计算即可；（3）根据算术平方根的定义估算无理数10+7的大小确定整数部分x，小数部分是y，再求出x﹣y的相反数即可．【解答】解：（1）42＝16，52＝25，而16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴23的整数部分是4，小数部分为23−4，故答案为：4，23−4；（2）∵22＝4，32＝9，而4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴3＜7+1＜4，∴7+1的整数部分是3，小数部分为7+1﹣3=7−2，即a=7−2；∵4＜17＜5，∴﹣5＜−17＜−4，∴4＜9−17＜5，∴9−17的整数部分是4，即b＝4，∴a+b−7=7−2+4−7=2，∴+−7的平方根是±2；（3）∵2＜7＜3，∴12＜10+7＜13，∴10+7的整数部分是12，小数部分是10+7−12=7−2，又∵10+7=+，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝12，y=7−2，∴x﹣y的相反数是y﹣x=7−14．【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提．【例题6】通过估算，比较下列各组数的大小：（1）6（2（3）5−121；（4）3+12112．【分析】（1）利用平方运算，比较大小即可解答；（2）根据算术平方根的意义，比较大小即可解答；（3）先估算出5的值的范围，再估算出5−1的值的范围，进行计算即可解答；（4）先估算出3的值的范围，再估算出3+1的值的范围，进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵62＝36，（35）2＝35，∴36＞35，∴6＞35，故答案为：＞；（2）∵8＜10，∴8＜10，故答案为：＜；（3）∵4＜5＜9，∴2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，故答案为：＜；（4）∵1＜3＜4，∴1＜3＜2，∴2＜3+1＜3，∴132，故答案为：＜．【点评】本题考查了数的大小比较，熟练掌握估算算术平方根的值的大小是解题的关键．【变式6-1】（2023春•西城区校级期中）比较大小：（1；（2）5−11．【分析】（1）先把4写成算术平方根的形式，然后根据算术平方根的被开方数越大，那个数就越大进行解答；（2）先估算5的大小，然后进行判断即可．【解答】解：（1）∵4=16，17＞16，∴17＞4；（2）∵2＜5＜3，∴5−1＞1，故答案为：（1）＞；（2）＞．【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是能够正确的估算无理数的大小．【变式6-2】（2022秋•新津县校级月考）比较大小：3−1212，23．【分析】（1）比较出两个数的差的正负，即可判断出它们的大小关系．（2）首先比较出两个数的平方的大小关系；然后根据：两个正实数，平方大的，这个数也大，判断出原来的两个数的大小关系即可．【解答】解：（1）∵3−12−12=32−1＜0，∴3−12＜12．（2）(32)2=18，(23)2=12，∵18＞12，∴32＞23．故答案为：＜、＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个正实数，平方大的，这个数也大．【变式6-3】（2023春•前进区月考）比较2，5，37的大小，正确的是（）A．2＜5＜37B．2＜37＜5C．37＜2＜5D．37＜5＜2【分析】先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小．【解答】解：∵26＝64，(5)6=[(5)2]3=125，(37)6=[(37)3]2=49，而49＜64＜125，∴(37)6＜(5)6＜26，∴37＜2＜5．故选：C．【点评】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键．【变式6-4】比较下列各组数的大小：（1）120与11．（2）5+12与2．【分析】（1）根据11=121，即可进行比较；（2）先通分，可得2=42，再比较分子5+1与4的大小即可求解．【解答】解：（1）∵11=121，120＜121，∴120＜11．（2）∵2=42，5+1＜4，∴5+12＜2．【点评】此题主要考查了算术平方根的估算能力，两个正数的算术平方根的比较大小可以通过平方的方法进行，两个式子平方的值大的，对应的式子的值就大．【变式6-5】比较下列各组数的大小（1）8与10；（2）65与8；（3）5−12与0.5；（4）5−12与1．【分析】（1）根据8＜10，即可解答；（2）根据8=64，即可进行比较；（3）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可；（4）求出2＜5＜3，不等式两边都减去1，再不等式两边都除以2即可．【解答】解：（1）∵8＜10，∴8＜10；（2）∵64=8，64＜65，∴65＞64，∴65＞8；（3）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＞12．（4）∵2＜5＜3，∴1＜5−1＜2，∴12＜5−12＜1，∴5−12＜1．【点评】本题考查了数的大小比较的应用，主要考查学生能否选择适当的方法比较两个数的大小．【例题7】（2022秋•大竹县校级期末）实数a、b在数轴上对应点的位置如图，则|a﹣b|−2的结果是（）A．2a﹣b B．b﹣2a C．b D．﹣b【分析】首先由数轴可得a＜b＜0，然后利用算术平方根与绝对值的性质，即可求得答案．【解答】解：根据题意得：a＜b＜0，∴a﹣b＜0，∴|a﹣b|−2=|a﹣b|﹣|a|＝（b﹣a）﹣（﹣a）＝b﹣a+a＝b．故选：C．【点评】此题考查了数轴、算术平方根与绝对值的性质．此题难度适中，注意2=|a|．【变式7-1】实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|3−b|+|a+3|+2的值．【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．【解答】解：由数轴可得：a＜−3，0＜b＜3，故|3−b|+|a+3|+2=3−b﹣（a+3）﹣a=3−b﹣a−3−a＝﹣2a﹣b．故答案为：﹣2a﹣b．【点评】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-2】实数a、b、c在数轴上的位置如图，化简(−p2−|a+c|+(−p2−|b|【分析】利用数轴首先得出各式的符号，进而化简得出答案．【解答】解：如图所示：a﹣b＜0，a+c＜0，c﹣b＜0，b＞0，则原式＝b﹣a+a+c+b﹣c﹣b＝b．【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确判断出各式的符号是解题关键．【变式7-3】（2021春•南通期末）如图，a，b，c是数轴上三个点A、B、C所对应的实数．试化简：2+|a+b|+3(+p3−|b﹣c|．【分析】直接利用数轴得出c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，再化简求解．【解答】解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，原式＝c﹣a﹣b+（a+b）+（b﹣c）＝b．【点评】此题主要考查了实数运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．【变式7-4】实数a，b，c表示在数轴上如图所示，完成下列问题，试化简：(−p2−|−U+3(−p3．【分析】根据题意可得：b＜0＜a＜c，从而可得a﹣c＜0，b﹣a＜0，然后利用二次根式的性质，绝对值，立方根的意义进行化简计算，即可解答．【解答】解：由题意得：b＜0＜a＜c，∴a﹣c＜0，b﹣a＜0，∴(−p2−|−U+3(−p3＝c﹣a﹣（a﹣b）+b﹣c＝c﹣a﹣a+b+b﹣c＝2b﹣2a．【点评】本题考查了整式的加减，实数与数轴，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式7-5】（2022秋•保定月考）如图，一只蚂蚁从点B沿数轴向左爬了2个单位长度到达点A，点B 表示3，设点A所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+2）2+|m+1|的值．【分析】（1）根据实数与数轴上的点是一一对应关系进行计算即可得出答案；（2）把（1）中m的值代入进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意可得，m=3−2；故答案为：3−2；（2）m+1=3−2+1=3−1，∵1＜3＜2，∴0＜3−1＜1，（m+2）2+|m+1|＝（3−2+2）2+|3−1|＝（3）2+3−1＝3+3−1＝2+3．故答案为：2+3．【点评】本题主要考查了实数与数轴及绝对值，熟练掌握实数与数轴上的点是一一对应关系及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．【变式7-6】（2022秋•青龙县月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A 表示−2，设点B所表示的数为m．（1）实数m的值是；（2）求（m+1）（1﹣m）的值；（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且|c+3|与−5互为相反数，求c+3d的平方根．【分析】（1）根据点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，即可得到m的值；（2）根据（1）的结果求值即可；（3）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案．【解答】解：（1）∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示−2，∴m=−2+2，故答案为：−2+2；（2）（m+1）（1﹣m）＝1﹣m2＝1﹣（−2+2）2＝1+42−6＝42−5；（3）∵|c+3|与−5互为相反数，∴|c+3|+−5=0，∵|c+3|≥0，−5≥0，∴c+3＝0，d﹣5＝0，∴c＝﹣3，d＝5，∴c+3d＝（﹣3）+3×5＝﹣3+15。

专题实数的概念及性质(含答案)

第六讲实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq 的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq 的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ．2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．例题求解【例1】若a 、b 满足ba 53+3=7，则S ＝ba 32-的取值范围是． (全国初中数学联赛试题)思路点拨运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．注：古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．【例2】设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数(武汉市选拔赛试题)思路点拨对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式．【例3】已知a 、b 是有理数，且032091412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值．思路点拔把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组．【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)(2)设x 为一实数，[x]表示不大于x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用[x]的性质，简化方程．注：设x 为一实数，则[x]表示不大于x 的最大整数，[x]]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质：(1)x －1<[x]≤x (2)若y< x ，则[y]≤[x] (3)若x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a ．【例5】已知在等式sdcx b ax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答：(1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考：设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③ r 的倒数r 1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．学力训练1．已知x 、y 是实数，96432=+-++y yx ，若yx axy=-3，则a= ．(2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是． 3．方程185=++-+y y x 的解是．4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898 ．(济南市中考题)5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C所表示的数是( )A ．12-B ．21-C ．22-D ．22-(江西省中考题) 6．已知x 是实数，则πππ1-+-+-x x x 的值是( )A ．π11-B ．π11+C ．11-πD ．无法确定的( “希望杯”邀请赛试题)7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题) 8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．(山西省中考题)9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，222=S ；41)3(2=+，233=S ；…(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足412212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ．11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)231()321(=--+++πππy x ，那么x －y 的值是．( “希望杯’邀请赛试题)12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)13．已知正数a 、b 有下列命题：①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则23≤ab ；③若a ＝2，b=3，则25≤ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ．根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a，那么代数式aa +1的值为( )A ．25 B ．25-C ．5-D ．5(重庆市竞赛题)15．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则[21⨯]+[32⨯]+[43⨯]+…+[101100⨯]的值为( )A ．5151B ．5150C ．5050D ．5049( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a<b<0，ab b a 422=+，则ba b a -+的值为( )A ．3B ．6C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数．18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．19．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算．现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算．定义：如果a b=N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ．例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81，所以log 281=－3．(1)根据定义计算:①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x=M ，a y＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)．用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a NM ，并说明理由．(泰州市中考题) 20．设dcx b ax y++=，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证：(1)当bc=ad 时，y 是有理数；(2)当bc ≠ad 时，y 是无理数．21.设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求AABC 的形状．。

历年中考中实数的有关概念和性质真题答案及解析

一、选择题1.（2019湖南怀化，1，4分）下列实数中，哪个数是负数（）D.-1 【答案】D.【解析】解：由于-1＜0，所以-1为负数．故选D. 【知识点】实数2.（2019湖南岳阳，1，3分）－2019的绝对值是（） A ．2019 B ．－2019 C ．12019 D ．12019-【答案】A【解析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数，得：|－2019|=2019，故选A ．【知识点】有理数，绝对值3.（2019江苏无锡，1，3分）5的相反数是（） A. -5 B . 5 C .15D .15【答案】A【解析】本题考查了相反数的定义，5相反数为-5 ，故选A. 【知识点】相反数4.（2019山东滨州，1，3分）下列各数中，负数是（） A ．－（－2） B ．2－－C ．（－2）2D ．（－2）0【答案】B【解析】∵－（－2）=2，2－－=－2，（－2）2=4，（－2）0=1，∴负数是2－－．故选B ．【知识点】相反数；绝对值；有理数的乘方；零次幂5.（2019山东济宁，1，3分）下列四个实数中，最小的是（） A ．－2 B ．－5 C ．1 D ．4 【答案】B【解析】：根据有理数的大小比较法则可知：－5＜－2＜1＜4．【知识点】实数的大小比较．6.(2019山东聊城,1,3分) ）A. C. 【答案】D(),故选D. 【知识点】相反数7. (2019山东泰安,1,4分) 在实数|－3.14|,－3,π中,最小的数是（）A.－3B.－3C.|－3.14|D.π【答案】B【解析】四个数中,有2个正数:|－3.14|＝3.14,π,两个负数:－3,－3,而|－3|＝3,|－3|＝3≈1.732,∵3>1.732,∴－3<－3,故选B. 【知识点】绝对值,实数比较大小8.（2019山东潍坊，1，3分） 2019的倒数的相反数是（） A ．－2019 B ．12019- C ．12019D ．2019【答案】B【解析】2019的倒数为12019，而12019的相反数为12019-，故选B ．【知识点】有理数，相反数，倒数9.（2019山东潍坊，5，3分）利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（） A ．2.5 B ．2.6 C ．2.8 D ．2.9 【答案】B【解析】由计算器按键可知本题是计算7的近似值，分别计算四个数的平方可得：2.52=6.25，2.62=6.76，2.82=7.84，2.92=8.41，根据计算结果可知最接近于7的数为6.76，所以7≈2.6，故选B ．【知识点】计算器的使用，估算10. (2019山东枣庄,11,3分)点O,A,B,C 在数轴上的位置如图所示,O 为原点,AC ＝1,OA ＝OB,若点C 所表示的数为a,则点B 所表示的数为（）A.－(a+1)B.－(a －1)C.a+1D.a －1【答案】B【解析】∵点C 所表示的数为a,AC ＝1,点A 在点C 的左边,∴点A 所表示的数为(a －1),∵OA＝OB,∴点A 和点B 所表示的数互为相反数,故点B 所表示的数为－(a －1),故选B 【知识点】数轴表示数,相反数11.（2019山东淄博，6，4分）与下面科学计数器的按键顺序：对应的任务是（）4y x 21+6ab /c5×6·A.460.6125⨯+ B.450.6126⨯+ C.120.6564⨯÷+ D.1250.646⨯+ 【答案】B【解析】由计算器中输入顺序，对应的任务是450.6126⨯+，故选B.【知识点】用科学计算器计算12.（2019山东淄博，1，4分）比－2小1的实数是（） A.－3 B.3C.－1D.1【答案】A.【解析】由题意可列出：－2－1＝－（2＋1）＝－3．即比－2小1的数为－3．故选A ．【知识点】实数的运算，有理数的减法13.（2019四川达州，1，3分） -2019的绝对值是（） A ．2019 B. -2019 C. 20191 D.20191-【答案】A【解析】负数的绝对值是它的相反数，所以-2019的绝对值是-（-2019）=2019 【知识点】绝对值14.（2019四川乐山，1，3分）3-的绝对值是（） A ．3 B ．-3C ．13D ．31-【答案】A【解析】本题考查了有理数的绝对值求法，()333-=--=，故选A. 【知识点】有理数的绝对值15.（2019四川乐山，4，3分）a -一定是（）A ．正数B ．负数C ．0D ．以上选项都不正确【答案】D【解析】本题考查了有理数相反数的求法，a -的符号由字母a 的符号确定：当a 为正数，则a -一定是负数；当a 为0，则a -一定是0；当a 为负数，则a -一定是正数. 【知识点】有理数的相反数16.（2019四川凉山，1，4分）1.-2的相反数是（） A.2 B.-2 C.21D.21- 【答案】A【解析】-2的相反数是2，故选A. 【知识点】相反数17.（2019四川眉山，1，3分）下列四个数中，是负数的是( )A ．|-3|B ．-(-3)C ．(-3)2D ．【答案】D【解析】解：A 、|-3|=3，是正数，故A 不合题意；B 、-（-3）=3，是正数，故B 不合题意；C 、（-3）2=9，是正-是负数，故D符合题意，故选D.数，故C不合题意；D、3【知识点】绝对值；相反数，有理数的乘方，18.（2019四川攀枝花，1，3分）（－1）2等于（）A．－1 B．1 C．－2 D．2【答案】B．【解析】负数的隅次方是正数，所以（－1）2＝1,故选B．【知识点】乘方的性质19.（2019四川攀枝花，2，3分）在0，－1，2，－3这四个数中，绝对值最小的数是（）A．0 B．－1 C．2 D．－3【答案】A．【解析】绝对值最小的数是0，故选A．【知识点】绝对值20.(2019四川省自贡市，1，4分)- 2019的倒数是（）A.-2019B.C.D.2019【答案】B.【解析】解：∵a的倒数是，∴-2009的倒数是.故选B.【知识点】倒数.21. （2019四川自贡，7，4分）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（）A.|m|＜1B.1-m＞1C.mn＞0D.m+1＞0【答案】B.【解析】解：由数轴可知，m＜-1＜0，n＞1＞0.∴|m|＞1，mn＜0，m+1＜0，-m＞0，∴1-m＞1.∴选项A,C,D错误，正确的是选项B.故选B.【知识点】数轴，有理数的加法法则，有理数的乘法法则，绝对值3-⨯的结果等于 ( )22. （2019天津，1，3分）计算()9(A) -27 (B)-6 (C) 27 (D)6【答案】A【解析】一正一负相乘，先确定积的符号为负，再把绝对值相乘，绝对值为27.所以答案为 A【知识点】有理数的乘法运算.23. （2019天津，6，3分）估计33的值在( )(A) 2和3之间 (B) 3和4之间 (C) 4和5之间 (D) 5和6之间【答案】D 【解析】6335363325<<∴<<所以选D【知识点】算术平方根的估算.24.（2019浙江湖州，1，3分）数2的倒数是（）A ．－2B ．2C ．－12D ．12 【答案】D ．【解析】利用“乘积为1的两个数互为倒数”的概念进行判断，∵2×12＝1，∴2的倒数是12，故选D ．【知识点】实数的概念；倒数25.（2019浙江省金华市，1，3分）实数4的相反数是（）A.14-B.－4C.14D.4【答案】B ．【解析】由a 的相反数是－a ，得实数4的相反数是－4，故选B ．【知识点】相反数26.（2019浙江金华，4，3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如下表,则这四天中温差最大的是（） A. 星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四【答案】C ．【解析】温差＝最高气温－最低气温．故选C ．【知识点】温差27. (2019浙江宁波,1,4分) －2的绝对值为( ) A.－12B.2C.12D.－2【答案】B【解析】负数的绝对值是它的相反数,|－2|＝2,故选B. 【知识点】绝对值28.（2019浙江衢州，1，3分）在12，0，1，一9四个数中，负数是（）A.12B.0C.1D.-9【答案】D【解析】本题考查负数的概念，不含多重符号的数，含有负号的数是负数，在这四个数中，只有-9带有负号，所以负数是-9，故选D 。

实数(第1课时)-七年级数学下册讲练课件(人教版)

∴最小的数是-1，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
感受中考
4.（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（
A．2和3之间
B．3和4之间
）
C．4和5之间
D．5和6之间
【解答】解：∵ 17 4.12 ，
∴ 17 的值在4和5之间．
故选：C．
）
典例分析
例1：将下列各数分别填入下列相应的括号内：
3
1
9 , ， 7 , π, 16, 5, 3 8,
4
4
25, 0.3232232223
, 0,
9
无理数： 9,
3
7, π, 5, 0.3232232223
1
4
，
3
, 0, 25
有理数： 4 16, 8,
9
1
4
为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，那么点 A 表示的数
是
．
（3）如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，
求新的正方形的面积和边长．
解：
（1）设拼成的正方形的边长为 a，
则 a2＝5，
a= 5，
即拼成的正方形的边长为 5，
故答案为： 5；
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
分数
含开方开不尽的数
无理数：
无限不循环小数
含有
π 的数
有规律但不循环的小数
（2）按性质分：
＝﹣3 5 +3；
（4）| 6 − 2|+| 2 −1|﹣|3− 6|

部编数学七年级下册专题03《实数》选择、填空重点题型分类(解析版)含答案

专题03 《实数》选择、填空重点题型分类专题简介：本份资料专攻《实数》中“实数的分类”、“求方根”、“平方根有意义题型”、“三姐妹型与易混型”、“估算数值、比较大小”选择、填空重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：实数的分类方法点拨：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.1、0.2、﹣π、2270.101001中有理数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】有理数是整数与分数的统称，或者说有限小数与无限循环小数都是有理数，据此求解．=3=，∴0.2、-π、227、0.101001中，有理数有0.2、2270.101001，共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查有理数的意义，掌握有理数的意义是正确判断的前提．2．下列各数中，3.1415127，0.321，π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），无理数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】3.1415，0.321是有限小数，属于有理数；127是分数，属于有理数；π，2.32232223…（相邻两个3之间的2的个数逐次增加1），共3个．故选：D ．【点睛】此题考查了无理数．解题的关键是掌握实数的分类．3．下列说法中正确的是（）A ．小数都是有理数B ．有理数是实数C ．无限小数都是无理数D ．实数是无理数【答案】B【详解】解：A 、有限小数和无限循环小数都是有理数，则此项错误；B 、有理数是实数，则此项正确；C 、无限不循环小数都是无理数，则此项错误；D 、实数包括有理数和无理数，则此项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了实数、有理数和无理数，熟记实数的定义（有理数和无理数统称为实数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都是有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫做无理数）是解题关键．4．将下列各数填入相应的横线上：251 3.030030003,311p -&L 整数：{ …}有理数： { …}无理数： { …}负实数： {…}．【答案】251311&-3.030030003…，π；-3.030030003…【分析】有理数与无理数统称实数，整数与分数统称有理数，按照无理数、有理数的定义及实数的分类标准进行分类即可.【详解】整数：{K }有理数：{251311&L }无理数：-3.030 030 003…，π…}；负实数：{-3.030 030 003……}；【点睛】本题考查的是实数的概念与分类，掌握“实数的分类与概念”是解本题的关键.5．把下列各数填入相应的大括号中：220.3,1,,27p -L ,-&&L 自然数集合{ …}；负数集合{ …}；整数集合{ …}；有理数集合{ …}；实数集合{ …}；无理数集合{ …}．--220.3,,7-&&L ；220.3,1,,27p -L ,-&&L ；,0.10100100012p L ，|1【分析】根据实数的分类先找出相对应数集的数再填入相应的集合．【详解】解：根据实数的分类，自然数集合…}；负数集合{-…}；整数集合{ -…}；有理数集合{220.3,,7-&&L …}；实数集合{220.3,1,,27p-L +,-&&L …}；无理数集合{,0.10100100012pL，|1…}．【点睛】本题考查实数的分类．主要考查学生对实数含义的深刻理解.考点2：求方根方法点拨：1.平方根：一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；2.立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；1．10的算术平方根是（）A．10B C．D．【答案】B【分析】直接利用算术平方根的求法即可求解．【详解】解：10故选：B．【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握求解的运算法则．2．3的算术平方根是（）A．±3B C．－3D．3【答案】B【分析】根据算术平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．【详解】解：3故选B【点睛】本题考查了算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键．3．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（）A．1B．0和1C．0D．非负数【答案】B【分析】根据立方根和算术平方根的性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1，算术平方根等于它本身的实数是0或1，由此即可解决问题．【详解】解：∵立方根等于它本身的实数0、1或−1，算术平方根等于它本身的数是0和1，∴一个数的算术平方根与它的立方根的值相同的是0和1，故选B．【点睛】主要考查了立方根，算术平方根的性质．牢牢掌握立方根和算术平方根等于它本身的实数是解答本题的关键点．4．下列说法：①-27的立方根是3；②36的算数平方根是6±；③18的立方根是12；的平方根是3±．其中正确说法的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】分别进行立方根运算、算术平方根运算、平方根运算逐个判断即可．【详解】解：①－27的立方根是－3，错误；②36的算数平方根是6，错误；③18的立方根是12，正确；∴正确的说法有1个，故选：A ．【点睛】本题考查立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的区别是解答的关键．5．已知x 2=36，那么x =___________；如果(-a )2=(7)2，那么a =_____________【答案】±6##6或-6±7【分析】根据平方根的定义求解即可．【详解】解：∵(±6)2=36，∴当x 2=36时，则x =±6；∵(-a )2=(7)2，∴a 2=49，∵(±7)2=49，∴a =±7；故答案为：±6；±7．【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根．0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．6．已知x ，y y －3）2＝0，则xy 的立方根是__________．【答案】【分析】根据二次根式和平方的非负性，可得4,33x y =-= ，即可求解．【详解】解：根据题意得：340,30x y +=-= ，解得：4,33x y =-= ，===．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式和平方的非负性，立方根的性质，熟练掌握二次根式和平方的非负性，立方根的性质是解题的关键．7_____；﹣64的立方根是_____．﹣4【分析】根据立方根、算术平方根的概念求解．5，5﹣64的立方根是﹣4．﹣4．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．8．如图，正方形ABCD是由四个长都为a，宽都为b（a＞b）的小长方形拼接围成的．已知每个小长方形的周长为18，面积为454，我们可以通过计算正方形ABCD面积的方法求出代数式a﹣b的值，则这个值为_____．【答案】6【分析】先求出小正方形面积=大正方形的面积减去4个长方形的面积，然后进行计算即可．【详解】解：由题意得：2（a+b）＝18，ab＝454，∴a+b＝9，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝81﹣45＝36，又∵a＞b，∴a﹣b＝6，故答案为：6．【点睛】本题考查乘法公式的变形计算，平方根计算，掌握公式变形的方法用面积法，利用数形结合思想将问题简单化是解题关键考点3：平方根有意义题型().1．下列说法中错误的是（）A．正实数都有两个平方根B．任何实数都有立方根C．负实数只有立方数根，没有平方根D．只有正实数才有算术平方根【答案】D【分析】A、根据平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据平方根、立方根的性质即可判定；D、根据非负数才有平方根即可判定．【详解】解：A、正实数都有两个平方根，故选项正确；B、任何实数都有立方根，故选项正确；C、负实数只有立方根，没有平方根，故选项正确；D、0也有算术平方根，不是只有正实数才有算术平方根，故选项错误；故选：D．【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题．平方根的被开数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同．要注意一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．2．如果m有算术平方根，那么m一定是（）A．正数B．0C．非负数D．非正数【答案】C【分析】根据负数没有平方根求解即可．【详解】解：∵负数没有平方根，∴如果m有算术平方根，那么m一定是0或正数，即非负数，故选：C．【点睛】本题考查平方根，掌握负数没有平方根是解题的关键．3a=-成立，那么a为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【答案】C³0a³【分析】根据算术平方根的非负性可得0a -³，以此判断即可．【详解】a =-成立∴a 为非正数故答案为：C ．【点睛】本题考查了算术平方根的运算问题，掌握算术平方根的非负性是解题的关键．4．如果代数式有算术平方根，那么x 应满足（）A ．x 为任意实数B ．C ．D ．【答案】D【分析】非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据有算术平方根，可得≥0，解不等式即得答案.【详解】解：由题意可得，∴. 故选D.【点睛】由算术平方根的定义可知非负数才有算术平方根，而负数则没有，所以根据有算术平方根，得到≥0，由此可见，掌握算术平方根的定义是解题的关键.5在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．【答案】3x ³【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，再求解即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴30x -³．∴3x ³．故答案为：3x ³．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是解题关键．6．若实数 x ，y 满足等式：2y =，则xy=_________【答案】-4【分析】根据二次根式有意义的条件即可得到2020x x -³ìí-³î则2x =，由此即可求出2y =-，然后代值计算即可．【详解】解：∵2y =有意义，∴2020x x -³ìí-³î，∴22x ££即2x =，∴22y ==-，∴()224xy =´-=-，故答案为：-4．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于等于0．7．若实数x ，y 满足|x ﹣3|0，则（x ＋y ）2的平方根为_______．【答案】±4【分析】利用绝对值和二次根式的性质求出x ，y 的值，再利用平方根的定义解答即可．【详解】解：根据题意得x ﹣3＝0，y ﹣1＝0，解得：x ＝3，y ＝1，则（x +y ）2＝（3+1）2＝16，所以（x +y ）2的平方根为±4．故填：±4．【点睛】本题主要考查了绝对值和二次根式的性质以及平方根的定义，根据绝对值和二次根式的性质求出x ，y 的值成为解答本题的关键．8（2﹣b ）2＝0＝___．【答案】1【分析】根据二次根式的性质和平方的非负性，可得1,2a b ==求解．【详解】解：（2﹣b ）2＝0，∴10,20a b -=-= ，解得：1,2a b == ，111==+．故答案为：1【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．考点4：三姐妹题型与易混题型方法点拨：（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；（3().a a a 2a 0³0a ³ 非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.1）A．4B．﹣4C．10D．﹣10【答案】B【分析】根据算术平方根、立方根的定义计算即可．=+-239=-．4故选：B．【点睛】本题考查了实数的运算，正确的计算算术平方根、立方根是解题的关键．2．已知x＝0，则x2＋x﹣3的算术平方根为（）A．3B．2C．3和﹣3D．2和﹣2【答案】A【分析】根据立方根的性质，可得x﹣3＝2x+1，解出x，再由算术平方根的性质，即可求解．【详解】解：＝0，=．∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣33=．故选：A．【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的性质，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键．34=的值为____________．【答案】3x+=【分析】根据算术平方根的定义可得316求解【详解】解：4=∴316x+=即13x=\3==故答案为：3【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得x的值是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作a称为被开方数), 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作a称为被开方数)．4．若a3＝8＝2，则a＋b＝___．【答案】6【分析】根据立方根的概念得a的值，根据算术平方根的概念得b的值，然后代入计算可得答案．【详解】解：∵a3＝82，∴a＝2，b＝4，∴a＋b＝2＋4＝6．故答案为：6．【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知立方根与算术平方根的概念5．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3，求a+b的算术平方根___．【分析】先根据2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3得出21931027aa b-=ìí++=î，解之求出a、b的值，再利用算术平方根定义得出答案．【详解】解：∵2a−1的平方根是±3，3a＋b＋10的立方根是3，∴21931027aa b-=ìí++=î，解得a＝5，b＝2，∴a＋b＝7，则a＋b．【点睛】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根、算术平方根的定义．6．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，1-是e的平方根，则e+=________．【答案】0【分析】直接利用倒数、相反数、平方根的定义分析得出答案．【详解】解：∵a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，1-是e 的平方根，∴ab ＝1，c ＋d ＝0，e ＝1，1+1=0e =-．故答案为：0．【点睛】此题主要考查了实数的性质，正确求解各数是解题关键．7．如果一个正数a 的两个平方根是22x -和63x -，则173a +的立方根为_______．【答案】5【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程，求解即可得出x 的值，再求得两个平方根中的一个，然后平方可得a 的值，将a 的值代入计算得出173a +的值，再求其立方根即可．【详解】解：Q 一个正数a 的两个平方根是22x -和63x -，22630x x \-+-=，4x \=．222426x \-=´-=，36a \=．173********a \+=+´=，125Q 的立方根为5，173a \+的立方根为5，故答案是：5．【点睛】本题考查了实数中的平方根和立方根等基础知识点，解题的关键是掌握相关的计算能力．8．若一个正数的两个不同的平方根分别是3x ﹣1和4﹣4x ，则这个数的立方根是___．【答案】4【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数求出x 的值，进而确定出这个数，求出这个数的立方根即可．【详解】解：Q 一个正数的两个平方根互为相反数，31440x x \-+-=，解得3x =，318x \-=，448x -=-，\这个数为64，\4=．故答案为：4．【点睛】此题考查了平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解本题的关键．9．己知甲数是719的算术平方根，乙数是338的立方根，则甲、乙两个数的积是__．【答案】2【分析】分别根据算术平方根、立方根的定义可以求出甲数、乙数，进而即可求得题目结果．【详解】解：∵甲数是719的算术平方根∴甲数等于43；∵乙数是338的立方根，∴乙数等于32．∴甲、乙两个数的积是43×32=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了算术立方根、平方根的定义，其中求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．10．已知：2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2_____．【答案】4【分析】利用算术平方根，立方根的定义求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．【详解】解：由题意，有219318aa b+=ìí--=î，解得43ab=ìí=î，4===．故答案为：4．【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握算术平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．考点5：估算数值、比较大小题型方法点拨：确定无理数的范围、比较无理数的大小，利用夹逼法解决问题是一种非常重要的解题方法。

第1课时实数的有关概念(含答案)

c a 第1课时《实数的有关概念》◆知识讲解 1．实数的分类实数⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数还可分为⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 2．数轴（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度．（2）数轴上的点与实数一一对应．3．相反数实数a 的相反数是－a ，零的相反数是零．（1）a 、b 互为相反数⇔a+b=0．（2）在数轴上表示相交数的两点关于原点对称．4．倒数乘积是1的两个数互为倒数，零没有倒数． a 、b 互为倒数⇔ab=1．5．绝对值 │a│=(1)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩6．非负数像│a│、a 2a≥0）形式的数都表示非负数．7．科学记数法把一个数写成a×10n的形式（其中1≤│a│<10，n 为整数），•这种记数法叫做科学记数法．（1）当原数大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1．（2）当原数小于1时，n 是负整数，•它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含小数点前的零）． 8．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字． ◆经典例题例1在实数－23，03.14，2π0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例2 （1）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e a+b ）+12cd －2e 0的值；（2）实数a，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b││b －c│．例3 （2007，枣庄）2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，•提速后的线路速度达200km/h ，共改造约6000km 的提速线路，总投资约296亿元人民币．那么，平均每千米提速线路的投资约为________亿元人民币（用科学记数法表示，保留两个有效数字）．例4 已知x 、y （y 2－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（） A ．14 B ．－14 C ．74 D ．－74◆强化训练一、选择题 1..0.31，3π，17，0.80108中，无理数的个数为（） A ．1个 B ．2个 D ．3个 D ．4个2．据2005年6月9日中央电视台东方时空栏目报道：•由于人类对自然资源的不合理开发与利用，严重破坏了大自然的生态平衡，目前地球上大约每45min •就有一个物种灭绝．照此速度，请你预测，再过10年（每年以365天计算）将有大约多少个物种灭绝（） A ．5.256×106 B ．1.168×105 C ．5.256×105 D ．1.168×1043．近似数0.03020的有效数字的个数和精确度分别是（）A ．四个，精确到万分位 B ．三个，精确到十万分位 C ．四个，精确到十万分位 D ．三个，精确到万分位4．（2006，哈尔滨）下列命题正确的是（）A ．4的平方根是2B ．a 的相反数是－aC ．任何数都有倒数D ．若│x│=2，则x=2 5．若│a│=－a ，则a 的取值范围是（）A ．a>0 B ．a<0 C ．a≥0 D ．a ≤06．（2007，乐山）如下左图所示，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单位长度到达点C ．若C 表示的数为1，则点A 表示的数为（） A ．7 B ．3 C ．－3 D ．－27．已知实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如上右图所示，且│a│>│b│，则│a│－│a+b│－│b －a│化简后得（） A ．2b+a B ．2b －a C ．a D ．b8．如图所示，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A ，则点A 表示的数是（）A ．112B ．1.4 CD二、填空题9．已知实数a ，b 在数轴上对应的点在原点两旁，且│a│=│b│，那么a a+b =_____． 10．已知│x│=3，│y│=2，且xy<0，则x+y 的值等于______．11．（2008，山东）在2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.581亿Pa 的钢材．4.581亿Pa 用科学记数法表示为______Pa （保留两位有效数字）12．（2007，烟台）如图所示，在数轴上点A 和点B 之间表示整数的点有_____个． 13．若│a －b+1│a －b ）2008=_______． 14．（2006，四川乐山）若2x －3与－13互为倒数，则x=______． 15．（2007，陕西）小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，…，•则这列数的第8个数是_______．16．如图是一个正方体纸盒的展开图，在其中的四个正方形内标有数字1，2，3和－3，要在其余正方形内分别填上－1，－2，按虚线折成正方形，相对而上的两数互为相反数，则A 处应填_________． 17．有若干个数，第一个数记为a 1，第2个数记为a 2，第3个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，若a 1=－12，从第2个数起，每个数都等于“1与前面的那个数的差的倒数”．（1）试计算：a 2=_______，a 3=________，a 4=______．（2）根据以上计算结果，请你写出：a 2008=_______，a 2010=________．三、解答题18．已知a ，b 互为相反数，c ，d互为倒数，求2222a b a b-+19和│8b －3│互为相反数，求（ab ）－2－27的值．20．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值等于2.试求：x 2－（a+b+cd ）x+（a+b ）2003+（－cd ）2003的值．c a第1课时《实数的有关概念》（答案）◆例题解析例1在实数－23，03.14，2π0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30°这8个实数中，无理数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D．4个【分析】 2π，－0.1010010001…这三个数是无理数，其他五个数都是有理数．【解答】C【点拨】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．一般来说，用根号表示的是有理数，关键在于这个形式上带根号的数的最终结果是不是无限不循环小数．同样，用三角符号表示的数也不一定就是无理数，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…尽管有规律，•但它是无限不循环小数，是无理数．2π是无理数，而不是分数．例2 （1）已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e a+b ）+12cd －2e 0的值；（2）实数a，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，化简a+│a+b││b －c│．【解答】（1）依题意，有a+b=0，cd=1，e≠0a+b ）+12cd －2e 0=0+12－2=－32．（2）由图知a>0，b<c<0，且│b│>│a│，∴a+b<0，b －c<0，∴a+│a+b││b －c│=a －a －b －│c│－（c －b ）=a －a －b+c －c+b=0．【点评】相反数、倒数、绝对值都是主要的概念，解答时应从概念蕴含着的数学关系式入手．含有绝对值的代数式的化简，首先要确定绝对值符号内的数或式的值是正、负还是零，然后再根据绝对值的意义把绝对值的符号去掉，第（2）•题是数形结合的题目，解题的关键在于通过观察数轴，弄清数轴上各点所表示的正负性及各实数之间的大小关系，从而才能正确地去掉绝对值符号，达到化简的目的．例3 （2007，枣庄）2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，•提速后的线路速度达200km/h ，共改造约6000km 的提速线路，总投资约296亿元人民币．那么，平均每千米提速线路的投资约为________亿元人民币（用科学记数法表示，保留两个有效数字）．【分析】本题既考查有理数的除法运算，又考查近似数和科学记数法以及分析问题的能力．【解答】 296÷6000≈4.9×10－2例4 已知x 、y （y 2－6y+9）=0，若axy －3x=y ，则实数a 的值是（） A ．14 B ．－14 C ．74 D ．－74【分析】 y －3）2均为非负数，它们的和为零，只有3x+4=0，且y －3=0，由此可求得x ，y 的值，将其代入axy －3x=y 中，即求得a 的值．【解答】（y －3）2=0∴3x+4=0，y －3=0 ∴x=－43，y=3． ∵axy －3x=y ， ∴－43×3a －3×（－43）=3 ∴a=14∴选A 【点拨】若几个非负数之和等于零，则每个非负数均等于零．这是非负数具有的一个重要性质． ◆◆强化训练答案:1．B 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．C 9．1 10．1或－1 11．4.6•×108 •12．4 13．1 14．0 15．21 16．－2 17．（1）23 3 －12 （2）－123 18．－1 19．•由已知得a=13，b=38，原式的值为37 20．1或5。

初中数学实数(含答案)

第八节实数内容讲解有理数和无理数统称实数．有理数可以用分数m n（m 、n 互质，且n ≠0），•它可写为有限小数或循环小数的形式；无理数不能用分数表示，它只能写成无限不循环小数．实数有无穷多个，没有最大的实数，也没有最小的实数；实数是有顺序的，即任意两个实数都可以比较大小；任意两个实数a 、b ，有且仅有下述三种关系之一成立：a>b ，a<0或a=b ．在数轴上的点与实数有一一对应关系，右边的点所表示的实数，大于左边的点所表示的实数．在实数范围内，加、减、乘（包括乘方）、除（除数不为0）运算，•都可以实施．就是说，两个实数经过以上运算，其结果仍是实数．但对开方运算则有限制，因为任何实数平方（偶次方）都不是负数，所以在实数范围内，负数不能开平方（开偶次方）．就是说，在实数范围内，开方运算不是永远可以实施的．在日常生活与生产实际中，有时并不要求某个量或某个结果的准确值，而只需要取出它的整数部分，由此定义了一种叫做“取整”的运算．•即取出不超过实数x 的最大整数，记为[x]．在数轴上就是取出实数x•对应点左边最近的整数点（包括x 本身），这里[x]=x-a ，[x]+a=x ，其中[x]是一个整数，a 是0或一个正的纯小数，•a 称为实数的小数部分，记为{x}，通常有x=[x]+{x}．关于取整运算常用的一些性质：（1）x-1<[x]≤x ，[x]≤x<[x]+1；（2）如果x ≤y ，那么[x]≤[y]；（3）[x]+[y]≤[x+y]，{x}+{y}≥{x+y}．例题剖析例1 下列各实数中，最大的一个是（）（A ）5（B ）3.141π （C （D 分析：观察发现，以上各数与1比较接近，通过各数与1比较，从中找出最大的一个．=0.2，∴5×0.2=1；∵3.14<π，∴3.141π<1；>1；）20.5<+．1，其余各数均小于1选（C ）．评注：比较两实数大小，常可根据参与比较的各实数的特点，•选择适当的整数作中介，让各数与中介数比较，由此确定大小．例2a 与小数部分b 的大小．0小于1•的部分，即得．===2+12．又∵=1，∴a=2，．评注：对小数部分b 的取值范围（0，1）要明确，即所取b 的值一定要大于0小于1，才能取得正确的a 、b 的值．例3 设149++[A]，{A}．分析：先将A 中各项分母有理化，然后由“正负相抵”化简得到实数A ，•再分出整数部分与小数部分．解：∵149++=-1）++…+）．∴[A]=6，由于，则．评注：求A 的小数部分，可由A-[A]得到，只需保证0<{A}<1即可．例4 设19++，求[A]．分析：，<<，-1．上式中各项均可按此，夹在大小不同的两个实数之间，然后求和，使A 夹在两整数之间，从而得[A]．-1<12<1-12，-1，，… …<<以上9个式子同向相加，得1212，>2，∴2<12A<52．则4<A<5，则[A]=4．评注：本例未直接采用分拆各项的方法，但通过放缩法，让各项夹在相应的大小两个实数之间，由求和正负相抵，得到实数A 夹在两连续正整数之间，•再取整即得解．巩固练习1．选择题：（1）下列各实数中，最小的一个是（）（A ）9(2()3.14B C π（2）设[n]表示不超过n 的最大整数，则下列各式中正确的是（）（A ）[n]=│n │ （B ）[n]>n-1 （C ）[n]=│n │-1 （D ）[n]=-n2．填空题：（1）[3·2]=_______，[-1·2]=________，[1710]______,[]23=-=______；（2的整数部分是______，小数部分是________；（3）实数的平方，得______，实数_______；（4）1- [][]ππ-=________． 3．求实数4．求在101到200之间有多少个13的倍数．5的整数部分是a ，小数部分是b ，求代数式b-2ab 的值．6．已知[a]=6，[b]=1，[c]=3，求[a+b+c]的取值．7．若，，求m 2+（）mn 的值．8．求满足[2x ]=2的x 正整数解．答案:1．（1）D ；（2）B2．（1）6，-2，8，-4；（2）1，15-；（3）；（4）65．3．1+-1）+-2）++），得整数部分为2．4．200101[][]1313-=15-7=8．5．a=5，-2，原式．6．∵6+1+3≤a+b+c<7+2+4，即10≤a+b+c<13，∴[a+b+c]的取值为10、11、12．7．m=2，，原式=10． 8．2≤2x <3，∴4≤x<6，得x=4或5．。

6.3 实数的概念、分类及实数与数轴含答案

七年级数学下实数的概念和分类及实数与数轴一、选择题1. 下列各数中,是无理数的是 (D ) A.3.1415B.√4C.227 D.√6分析：无理数的三种形式：开方开不尽的数，圆周率π及一些含π的数，特殊构造的数；注意:带根号的数不一定是无理数。

2.下列说法错误的是(D )A.π2是无理数 B.√4是有理数 C.√-273是有理数 D.√22是分数 3.下列说法正确的是(C )A.一个数不是有限小数就是无理数B.带根号的数都是无理数C.无理数一定是无限小数D.所有无限小数都是无理数 4.下列说法中,正确的是 (C )A.无理数包括正无理数、零和负无理数B.无限小数都是无理数C.正实数包括正有理数和正无理数D.实数可以分为正实数和负实数两类 5. -√5的相反数是 (D ) A.-√5 B.-√55 C.±√5 D.√56. -|-√2|的值为 (B ) A.√2B.-√2C.±√2D.27. 下列各数中,与-√3互为倒数的为 (D ) A.√3B.-√3C.√3 D.-√38.如果实数a=√14,那么a 在数轴上对应点的位置是图1中的 (D )图1二、填空题9.已知a,b 为两个连续的整数,且a<√13<b,则a+b= 7 .10.有一个数值转换器,原理如下:当输入的x=81时,输出的y= √3 .图111.若实数√x -32是一个有理数,则满足条件的x 的最小正整数是 4 . 若实数√x -13是一个有理数,则满足条件的x 的最大负整数是 -5 . 12.在数轴上表示-√67的点到原点的距离为√67 .13.如图2所示,某位老师在讲“实数”时,画了一个图,即“以数轴上的单位长度为边作一个正方形,然后以原点为圆心,正方形的对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于一点A”,作这样的图是用来说明: 实数与数轴上的点一一对应 .图214.已知a 的绝对值是√2020,b 的倒数是√2020,则ab= ±1 . 15.将下列实数填在相应的括号内:0,-√3,3.1415926,0.3·4·,√(-5)2,π,-√-203,-137,√13,0.7171171117…(两个7之间依次增加一个1).(1)有理数:{ 0,3.1415926,0.3·4·,√(-5)2,-137 ,… };(2)无理数:{ -√3,π,-√-203,√13,0.7171171117…(两个7之间依次增加一个1) ,… }; (3)正实数:{ 3.1415926,0.3·4·,√(-5)2,π,-√-203,√13,0.7171171117…(两个7之间依次增加一个1) }; (4)负实数:{ -√3,-137,… }. 三、解答题16.把下列各数写成分数的形式:(1) 0.5; (2) 0.53; (3) 0.43; (4) 0.3213解:(1) 0.5= 59.设x =0.5，∴10x =5+ 0.5，∴10x =5+x ，∴ 9x =5，∴ x =59；(2) 0.53=5399.设x = 0.53，∴100x =53+ 0.53，∴100x =53+x ，∴ 99x =53，∴ x =5399；(3) 0.43=43-490=1330.设x =0.43，∴100x =43+ 0.3，10x =4+ 0.3，∴ 90x =43+ 0.3−4− 0.3，∴90 x =43−4，∴ x =3990(4) 0.3213=3213-329900=31819900.设x =0.3213，∴10000x =3213+ 0.13，100x =32+ 0.13，∴ 9900x =3213+ 0.13−32− 0.13，∴9900 x =3213−32，∴ x =3181990017.如图2,正方形网格的单位长度为1. (1)求出格点正方形ABCD 的面积和边长;(2)线段AB 的长是一个 (填“有理数”或“无理数”). 分析：先利用割补法求面积，再利用平方根求出其边长.解:(1)格点正方形ABCD 的面积=4×4-12×1×3×4=10,所以其边长为√10. (2)√10是一个无理数,故答案为无理数.18.如图,一只蚂蚁从点A 出发沿数轴向右直爬3个单位长度到达点B,点A 表示-√2,设点B 所表示的数为m,求m 的值. 数轴上向右移动加，向做移动减. 解:由题意,得m=3-√2.19.写出下列各数的相反数和绝对值.(1)√3(2)√3-2; (3)0.314-π10; (4)√9-√93. 解:(1)因为√-0.1253=-0.5,所以√-0.1253的相反数是0.5, |√-0.1253|=|-0.5|=0.5. (2)√3-2的相反数是2-√3. 因为√3-2<0,所以|√3-2|=2-√3. (3)0.314-π10的相反数是π10-0.314. 因为0.314-π10<0, 所以|0.314-π10|=π10-0.314. (4)√9-√93的相反数是√93-3.因为√9-√93=3-√93>0,所以|√9-√93|=3-√93.20.若实数a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,求√2a +2b +√8cd 3的值. 解:由已知条件知,a+b=0,cd=1,则 √2a +2b +√8cd 3=√√8cd 3 =0+2=2.21.如图4所示,数轴的正半轴上有A,B,C 三点,表示1和√2的点分别为A,B,点B 到点A 的距离与点C 到点O 的距离相等,设点C 所表示的数为x.(1)请你写出数x 的值; (2)求(x-√2)2的立方根.图4解:(1)因为点A,B 分别表示1,√2,所以AB=√2-1,即x=√2-1.(2)因为x=√2-1,所以(x-√2)2=(√2-1-√2)2=1,所以1的立方根为1.22.先阅读材料,再回答问题.因为2+1=√2,且1<√2<2,所以√12+1的整数部分是1;小数部分是√2−1；因为√22+2=√6,且2<√6<3,所以√22+2的整数部分是2;小数部分是√6−2；因为√32+3=√12,且3<√12<4,所以√32+3的整数部分是3；小数部分是√12−3；以此类推,我们会发现2+n(n为正整数)的整数部分是, 小数部分是；并说明理由.[提示:n2+n=n(n+1)]解:n，√n2+n−n理由:因为n2+n=n(n+1),而n2<n(n+1)<(n+1)2,所以2<√n(n+1)<√(n+1)2,所以n<√n(n+1)<n+1,所以2+n的整数部分是n(n为正整数)；小数部分是√n2+n−n。

2019年中考数学专题复习第1讲《实数及有关概念》(含详细参考答案)

2019年中考数学精品专题复习第一章数与式第一讲实数及有关概念★★★核心知识回顾★★★知识点一、实数的分类 1．按实数的定义分类：⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎪⎩整数有限小数或无限循环小数有理数实数：无限不循环小数 2．按实数的正负分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正实数正无理数实数零负有理数负实数知识点二、实数的基本概念和性质1．数轴：规定了、、的直线叫做数轴，实数和数轴上的点是一一对应的。

2．相反数：（1）只有不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是，0的相反数是；（2）a+b=0⇔a 、b 互为；（3）在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离。

3．倒数：（1）乘积为的两个数互为倒数，用数学语言表述为：1ab =，则a ，b 互为；（2）1和的倒数还是它本身，没有倒数。

4．绝对值：（1）一般地，数轴上表示数a 的点与原点的叫做数a 的绝对值。

（2）(0)||0(0)(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩（3）因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是数，我们学过的非负数有三个：、和。

知识点三、平方根、算术平方根、立方根 1．平方根：（1）一般地，如果一个数的等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根，记作；（2）正数的平方根有两个，它们互为，0的平方根为，没有平方根。

2．算术平方根：（1）一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作；（2）正数的算术平方根为，0的算术平方根为。

3．立方根：（1）一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根或三次方根，记作；（2）正数的立方根为， 0的立方根为，负数立方根为；每个实数有且只有一个立方根。

知识点四、科学记数法科学记数法：把一个较大或较小的数写成写成10na ⨯的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是科学记数法。

初中数学数与式模块1-2 实数讲义(含答案解析)

实数题型练题型一平方根例1.16的平方根是（）．A .±8B .±4C .4D .－4【解析】因为（±4）2＝16，所以16的平方根是±4变式1.若a ＋1和－5是实数m 的平方根，则a 的值是（）．A.1B.2C.3D.4或－6【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得两个关于a 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意得：15a +=-或1(5)0a ++-=，解得6a =-或4a =，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．题型二算术平方根（2）非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身是非负数．（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．例2.2.81的算术平方根为（）．A.9B.－9C.－3D.27【答案】A【解析】【分析】根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2981=Q ，81\的算术平方根为9，故选：A ．【点睛】本题考查了算术平方根，熟记定义是解题关键．变式3.下列式子错误的是（）．A.2=±B.1=±C.3=- D.32=【答案】B【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义求解即可．【详解】A.2=±，故该选项正确，不符合题意；B.1=，故该选项错误，符合题意；C.3=-，故该选项正确，不符合题意；D.32==，故该选项正确，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查算术平方根和平方根的定义，熟练掌握相关定义是解答本题的关键．题型三非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．例3.4.下列说法正确的是（）A.﹣81平方根是﹣9B.9C.平方根等于它本身的数是1和0D.一定是正数【答案】D【解析】【分析】根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根进行分析即可．【详解】A 、﹣81没有平方根，故A 选项错误；B 9的平方根是±3，故B 选项错误；C 、平方根等于它本身的数是0，故C 选项错误；D 一定是正数，故D 选项正确，故选D ．【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的性质．变式5.0=，则x y +的值为（）A.10B.不能确定C.6-D.10-【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性得到x 和y 的值，再代入计算．0=，∴x-2=0且y+8=0，∴x=2，y=-8，∴x y +=-6，故选C ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是掌握被开方数是非负数．题型四立方根例4.－8的立方根等于．【解析】∵（－2）3＝－8，∴－8的立方根是－2变式6.若519x +的立方根是4，则27x +的平方根是________.【答案】5±【分析】首先利用立方根的定义可以得到关于x 的方程，解方程即可求出x ，然后利用平方根的定义即可求解．【详解】∵5x+19的立方根是4，∴5x+19=64，解得x=9则2x+7=2×9+7=25，∴25的平方根是±5故答案±5．【点睛】此题主要考查了利用立方根的概念解题．牢牢掌握灵活运用．如果一个数x 的立方等于a ，即x 的三次方等于a （x 3=a ），那么这个数x 就叫做a 的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号a”其中，a 叫做被开方数，3叫做根指数．题型五计算器—数的开方正数a 的算术平方根a 与被开方数a 的变化规律是：当被开方数a 的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a 每扩大（或缩小）100倍，a 相应扩大（或缩小）10倍．例5.7.用计算器计算：≈_____．（精确到0.01）【答案】15.63【解析】【分析】根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得．15.63≈，故答案为：15.63．【点睛】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键．变式8.利用计算器，得7.071≈≈≈≈，按此规【答案】22.36【解析】【分析】从题目已经给出的几个数的估值，寻找规律即可得到答案.7.071≈≈≈≈，不难发现估值的规律即：第一个数扩大10倍得到第三个数，第二个数扩大10倍得到第四个数，因此得到第三个数的估值扩大1022.36≈.故答案为22.36.【点睛】本题是规律题，主要考查找规律，即各数之间的规律变化，在做题时，学会观察，利用已知条件得到规律是解题的关键.题型六无理数（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．例6.9.在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，无理数有______个.【答案】2【解析】【分析】根据无理数的种类即可判断出上述题目中无理数的个数.【详解】无理数是无限不循环小数，在2π，3.14，0，0.1010010001…，23中，2π，0.1010010001…两个数是无理数.【点睛】此题重点考察学生对无理数的理解，掌握无理数的定义是解题的关键.变式10.下列说法正确的是（）A.9的算术平方根是﹣3B.带根号的数是无理数C.无理数是无限小数D.的算术平方根是2【答案】C【解析】【分析】根据算术平方根的概念、无理数的概念进行判断即可．【详解】解：A 、9的算术平方根是3，故此选项错误；B 、带根号的数不一定是无理数，如，故此选项错误；C 、无理数是无限小数，故此选项正确；D 故选：C ．【点睛】本题考查算术平方根、无理数，理解无理数的概念，会求一个数的算术平方根是解答的关键，注意D 选项是易错点．题型七实数（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：①可分为：有理数和无理数；②可分为：正实数、0和负实数．例7.11.在−，0，2270.1010010001…−2π中，负实数集合：{________________}．【答案】−2π【解析】【分析】先根据二次根式的性质，立方根的运算，负整指数幂的运算，将各数进行化简，再根据负实数的定义，进行判断即可．【详解】0-=-<，是负实数；0不是负实数；227>，不是负实数；50=-<，是负实数；0.1010010001…＞0，不是负实数；110==>，不是负实数；2π-<，是负实数，综上所述，负实数有：−2π，故填：−2π．【点睛】此题主要考查了负实数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的计算，解题关键是掌握负理数的定义，二次根式的性质，立方根的计算，负整指数幂的运算法则．变式12.我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法：①数轴上有无数多个表示无理数的点；②带根号的数不一定是无理数；③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数；⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数．其中说法错误的有_____（注：填写出所有错误说法的编号）【答案】⑤【解析】【详解】分析：根据每种说法所涉及的数学知识进行分析判断即可.详解：（1）“数轴上有无数多个表示无理数的点”的说法是正确的，故①正确；（2）“带根号的数不一定是无理数”是正确的，如带有根号，但它是有理数，故②正确；（3）“每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示”的说法是正确的，故③正确；（4）“数轴上的每一个点都表示唯一的实数”的说法是正确的，故④正确；（5）“没有最大的负实数，但有最小的正实数”的说法是错误的，因为没有最小的正实数，故⑤错误；（6）“没有最大的正整数，但有最小的正整数”的说法是正确的，故⑥正确.综上所述，上述说法中，只有⑤中说法是错误的.故答案为：⑤.点睛：熟悉“每种说法中所涉及的相关数学知识”，知道“实数和数轴上的点是一一对应的关系”是正确解答本题的关键.题型八实数的性质（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）－a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0.并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．例8.13.的绝对值是________，相反数是________，倒数是________．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值；根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．的绝对值是倒数是故答案为(1).(2).(3).【点睛】本题考查的是绝对值、相反数和倒数的知识，熟知绝对值的性质、相反数的定义及倒数的定义是解答此题的关键．变式14.23﹣π的绝对值是_____．【答案】①.﹣②.π﹣3【解析】【分析】根据相反数和绝对值的计算方法解答．【详解】解：2的相反数：﹣（2|3﹣π|＝π﹣3．故答案是：﹣π﹣3．【点睛】本题考查了相反数、绝对值,熟练掌握相反数、绝对值的定义是解题的关键．题型九实数与数轴（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a 的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例9.15.如果正实数a在数轴上对应的点到原点的距离是a=______．【解析】【分析】根据数轴的特点即可求解．【详解】∵实数a在数轴上对应的点到原点的距离是，∴a∵a为正∴a=．【点睛】此题主要考查实数与数轴，解题的关键是熟知数轴的特点．变式16.如图，在数轴上找到表示－3的点B，过点A作AB⊥OB，AB＝2，以O为圆心，OA为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C在数轴上表示的数是__．【答案】【解析】OB=，再利用勾股定理可得OA=从而可得【分析】先根据数轴的定义可得3OC==，【详解】解：设点C在数轴上表示的数是a，则OC aOB=--=，由题意得：0(3)3，⊥=AB OB AB,2∴===，OA由作图可知，OC OA==，即a=解得a=a<-<，由数轴的定义得：30∴=，a即点C在数轴上表示的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了实数与数轴、勾股定理，熟练掌握实数与数轴的关系是解题关键．题型十实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．例10.17.将实数，π-，0，1由大到小用“>”连起来，可表示为__________．【答案】10π>>>-解：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解析】【详解】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．-≈-．解：∵ 2.6≈-，π 3.14∴10π>>>-变式18.比较大小：（1）－100___0.3；（2___3；（3）－3.14___－π．【答案】①.<②.<③.>【解析】【分析】（1）根据负数小于正数即可得；（2）根据无理数的估算方法即可得；（3）根据负数绝对值大的反而小即可得．【详解】解：（1）由负数小于正数得：1000.3-<，故答案为：<；（2）79< ，<3<，故答案为：<；（3） 3.1415926 3.14π≈> ，3.14π∴->-，故答案为：>．【点睛】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题关键．题型十一估算无理数的大小估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．例11.＜a ，且a 是整数，则a ＝．＜2＜a ∴a ＝2变式19.3-最接近的整数是___．【答案】1【解析】【分析】先根据无理数的估算可得34<<，再比较3-与4的大小，由此即可得出答案．【详解】解：91416<< ，<<，即34<<，--=--+3(434=-，7=-，3.5)=>，->-，34最接近的整数是4，-=，3-最接近的整数是431故答案为：1．【点睛】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．题型十二实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．例12.（−5）2＝．解：（−5）2＝25−4＋2＝23变式20.计算+【答案】7．【解析】【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得．【详解】解：原式27=-++，52=+，7=．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．实战练21.若9x2－16＝0，则x＝_______．【答案】4 3±【解析】【分析】先将方程变形为216 9x=，然后方程两边同时开平方即可得到x的值．【详解】解：由题意可知：216 9x=，等式两边同时开平方，得到：43x=±，故答案为：43±．【点睛】本题考查了利用平方根的定义解方程，计算过程中细心，注意正数开平方后有两个平方根．22.的算术平方根是_______．【解析】=10，然后再根据算术平方根的定义可得答案．=10，10，，．【点睛】此题主要考查了实数和算术平方根，相反数，关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．23.0+=，则22012a b --=______．【答案】109-【解析】【详解】分析：先由非负性的性质得出3a +1=0，b ﹣1=0，求出a ，b 代入式子计算即可．=0，∴3a +1=0，b ﹣1=0，∴a =﹣13，b =1，∴﹣a 2﹣b 2012=﹣（13）2﹣12012=﹣19﹣1=﹣109．故答案为﹣109．点睛：本题是非负数的性质：算术平方根，主要考查了一元一次方程的解法，有理数的运算，解答本题的关键是求出a ，b ．24.若一个正数的平方根是3m +和215m -，n 的立方根是2-，则2n m -+的算术平方根是______．【答案】4【解析】【分析】首先根据平方根的定义，求出m 值，再根据立方根的定义求出n ，代入-n+2m ，求出这个值的算术平方根即可．【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，∴m+3+2m-15=0，解得：m=4，∵n 的立方根是-2，∴n=-8，把m=4，n=-8代入-n+2m=8+8=16，所以-n+2m 的算术平方根是4．故答案为：4．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m 、n 值，然后再求-n+2m 的算术平方根．25.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且另外两条边长均为无理数，满足这样条件的点C共__个．【答案】4【解析】【分析】本题需根据直角三角形的定义和图形即可找出所有满足条件的点．【详解】解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，且三边都为无理数，满足这样条件的点C共D,E,F,H4个点．故答案为8．26.若|a，则的相反数是____．【答案】2【解析】【分析】先化简绝对值可得a=26a=，再根据算术平方根的定义、相反数的定义即可得．，【详解】解：a=∴=，a26∴=，a===-，2则的相反数是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了化简绝对值、算术平方根、相反数，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．27.①点M在数轴上与原点相距M表示的实数为____，②数轴上到的点所表示的数是___．【答案】①.②.0或-【解析】【分析】①根据实数与数轴的关系建立等式，再化简绝对值即可得；②根据实数与数轴、数轴两点间的距离公式即可得．【详解】解：①设点M表示的实数为m，m-=，则0解得m=即点M表示的实数为故答案为：②设这个点所表示的数是a，-=，则aa=或a=-解得0即这个点所表示的数是0或-，故答案为：0或-．【点睛】本题考查了实数与数轴，正确建立含绝对值的等式是解题关键．28.比较大小：________（填“＞”或“＜”＝）．【答案】>【解析】【分析】先将两个数进行平方再比大小【详解】∵22==1812（，（又18>12∴>故答案为>【点睛】此题主要考查二次根式的大小比较29.已知a的整数部分，b则（－a）3＋（2＋b）2=________；【答案】0【解析】【分析】根据4＜8＜9的整数部分，表示出小数部分，确定出a与b 的值，代入所求式子计算即可求出值．【详解】∵4＜8＜9，∴23，的整数部分a=2，小数部分，则原式=-8+8=0．故答案为0.【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分与小数部分．30.+2＝________．【答案】5【解析】【分析】由立方根、算术平方根的性质化简．2=3+2=5故答案为：5．【点睛】本题考查实数的运算，涉及立方根、算术平方根等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．31.若一个正数的两个平方根分别为2－a与3a＋6，则这个正数为（）A.2B.－4C.6D.36【答案】D【解析】【分析】根据平方根的定义可得一个关于a的一元一次方程，解方程求出a的值，再计算有理数的乘方即可得．【详解】解：由题意得：2(36)0a a -++=，解得4a =-，则这个正数为222(2)(24)636a -=+==，故选：D ．【点睛】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．32.下列说法正确的是（）A.－4是（－4）2的算术平方根B.±4是（－4）2的算术平方根C.2D.－2【答案】D【解析】【分析】根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．【详解】A 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B 、2(4)16-=，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C 4=，4的平方根是2±，则此项错误，不符题意；D 4=，4的平方根是2±，则2-故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．33.0+=，则x －y 的值为（）A.3B.－3C.1D.－1【答案】D【解析】【分析】先根据算术平方根的非负性可得10,20x y -=-=，从而可得1,2x y ==，再代入计算即可得．【详解】解：由题意得：10,20x y -=-=，解得1,2x y ==，则121x y -=-=-，故选：D ．【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题关键．34.2=-，则的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据立方根的定义求出a 的值，再根据算术平方根的定义即可得．【详解】解：2=-，18a ∴-=-，解得9a =，3==，故选：C ．【点睛】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的定义是解题关键．35.下列说法正确的是（）A.实数可分为有理数和无理数B.无限小数都是无理数C.只有0的立方根是它本身D.1的任何次方根都是1【答案】A【解析】【分析】根据实数的概念，立方根的概念，无理数的概念逐个求解即可．【详解】解：选项A ：实数分为有理数和无理数，故选项A 正确；选项B ：无限不循环的小数是无理数，无限循环小数可以写成分数的形式，是有理数，故选项B 错误；选项C ：立方根等于它本身的数有-1，0，1，故选项C 错误；选项D ：1的平方根为±1，故选项D 错误；故选：A ．【点睛】本题考查实数的分类，无理数的定义，立方根，平方根的性质，解题的关键是熟记这些基本概念．36.若a，b ，c 的相反数、绝对值、倒数，则下列结论正确的是（）A.a b> B.b c < C.a c > D.2b c =【答案】D【解析】【分析】根据题意分别列出a ，b ，c 分别表示的数，然后比较即可得出结论．【详解】由题意，a =b =，2c ==，∴2b c =，故选：D ．的倒数求出是解题关键．37.如图，根据图中的标注和作图痕迹可知，在数轴上的点A 所表示的数为（）A.1-B.1-+C.D.1【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．【详解】解：∵在Rt △BCD 中，BD=2，CD=1，∴∵根据图中的标注和作图痕迹可知，∴∴点A 表示的实数是1--故选A ．【点睛】本题考查勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出BC 的长．38.1-的值（）A.在4和5之间B.在5和6之间C.在6和7之间D.在7和8之间【答案】B【解析】【分析】根据无理数的估算即可得．【详解】解：364149<< ，<<，即67<<，61171∴-<-<-，即516<-<，故选：B ．【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．39.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么a b -的结果是（）A.2aB.2bC.2a -D.2b-【答案】D【解析】【分析】由数轴可得到0b a <<a b =+和绝对值的性质，即可得到答案．【详解】解：根据题意，则0b a <<，∴0a b ->，0a b +<，∴a b -+=a b a b-++=a b a b---=2b -；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，解题的关键是掌握所学的知识，正确得到0b a <<．40.已知一个正数m 的两个不同的平方根是2a ＋3和1－3a ，求m 的值．【答案】121【解析】【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，根据它们的和为0，求出a 的值，然后求出这个数的平方根，最后根据平方根的平方即可求出m 的值．【详解】解：根据题意得：(2a +3)+(1-3a )=0，2a +3+1-3a =0，解得：a =4，∴这个数的其中一个平方根为2×4+3=11∴m =112=121．【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为0．41.互为相反数，求（x+y）2016的平方根.【答案】±1【解析】【详解】试题分析：根据相反数的性质列出算式，根据非负数的性质列出二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，根据平方根的概念解答即可．=0，则3020x yx y-+⎧⎨+⎩＝＝，解得，21xy-⎧⎨⎩＝＝，∴（x+y）2016=1，∴（x+y）2016的平方根是±1．42.正数x的两个平方根分别为3﹣a和2a+7．（1）求a的值；（2）求44﹣x这个数的立方根．【答案】(1)a＝﹣10;(2)4－x的立方根是﹣5【解析】【分析】（1）理解一个正数有几个平方根及其两个平方根间关系：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值；根据a的值得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数，计算出44-x的值，再根据立方根的定义即可解答.【详解】解：（1）由题意得：3﹣a＋2a＋7＝0，∴a＝﹣10,（2）由（1）可知x＝169，则44－x＝﹣125，∴44－x的立方根是-5.【点睛】此题考查了立方根，平方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．43.判断下面两句话是否正确.若正确请说明理由；若不正确，请举例说明.（1）两个实数的和一定大于每一个加数.（2）两个无理数的积一定是无理数.【答案】(1)、答案见解析；(2)、答案见解析【解析】【分析】(1)、当两个加数为负数时，则和小于任何一个加数；(2)、当两个数为同一个无理数时，则两数的积为有理数.【详解】(1)、错误.例子：（-1）+（-2）=-3,-3<-1,-3<-2;(2)、错误.是无理数，而2是有理数.44.实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，其中c 为8的立方根，求代数式2b a b +--的值．【答案】2．【解析】【分析】先根据数轴的定义可得0b a c <<<，从而可得0,0b a b c -<-<，再根据立方根的定义可得2c =，然后根据算术平方根的定义、化简绝对值即可得．【详解】解：由数轴的定义得：0b a c <<<，0,0b a b c ∴-<-<，c 为8的立方根，2c ∴=，()()()22b a b a a b c b b +--=-+-+---，2a a b c b b =-+-+-+，c =，2=．【点睛】本题考查了实数与数轴、立方根与算术平方根等知识点，熟练掌握数轴的定义是解题关键．45.（1）用“<”、“>”或“=”（2）由以上可知：①1-=________________=_____________；（3）计算：1-+ .（结果保留根号）【答案】(1)＜,＜；（21-；（31-【解析】【分析】（1）当被开方数越大时算数平方根越大，依此判断即可；（2）依据（1）知次数为负数，而负数的绝对值等于它的相反数即可化简；（3）依据（2）将化简的结果相加即可.【详解】解：(1)＜,＜（21-（3）原式1-+-+-+1【点睛】此题是考察算数平方根的大小比较，准确解得（1）是关键，为后两问做基础.46.已知：31a +的立方根是2-，21b -的算术平方根3，c（1）求,,a b c 的值；（2）求922a b c -+的平方根．【答案】（1）3,5,6a b c =-==；（2）其平方根为4±．【解析】【分析】（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出,,a b c 的值；（2）将（1）题求出的值代入922a b c -+，求出值之后再求出平方根．【详解】解：（1）由题得318,219a b +=--=．3,5a b ∴=-=．<<，67∴<<．6c ∴=．3,5,6a b c ∴=-==．（2）当3,5,6a b c =-==时，()99223561622a b c -+=⨯--+⨯=．∴其平方根为4=±．【点睛】本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键．47.计算下列各题：（1+（2）7π--，（3(21+--+．【答案】（1）118；（2）π-；（3）8．【解析】【分析】（1）先计算算术平方根、立方根，再计算有理数的加减即可得；（2）先化简绝对值、计算算术平方根，再计算实数的加减即可得；（3）先计算算术平方根、化简绝对值、立方根、实数的平方，再计算实数的加减即可得．【详解】解：（1）原式14(3)2+-+=-11143228=--++，118=；（2）原式(7π=--，77π=，π=-；（3）原式)125=+-+，613=+，8=．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减运算、化简绝对值，熟练掌握各运算法则是解题关键．培优练48.先阅读，然后解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a b=3﹣，求b a的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2=0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，是无理数，所以a﹣3=0，b+2=0，所以a=3，b=﹣2，所以b a=（﹣2）3=﹣8．问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y x+y的值．【答案】8或0．【解析】【分析】根据所给信息，先移项，然后将有理数和无理数分组，从而可得（x2-2y-8）y-4）=0，结合所给信息即可得出x、y的值，代入代数式即可得出答案．【详解】解：移项得（x2-2y-8）+（y-4，∴y-4=0，x2-2y-8=0∴y=4，x=±4，故x+y=8或0．【点睛】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是仔细审题，得到题目所给的解题思路，然后套用这个思路解题，正确理解题意、熟练掌握实数的性质是关键．。