实数概念分类性质讲义(含答案)

实数

知识点一：无理数

1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：

（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．

（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：

设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；

3、判断方法：①定义是判断一个数是不是无理数的重要依据；②有理数都可以写成分数的形式，而无理数则不能写成分数的形式（两个整数的商）．

4等；②含有π一类数，如5π，3+π等；③以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.2020020002…（相邻两个2之间0的个数逐渐加1）．

二、知识点+例题+练习

一、无理数的判断

1．判断一个数是不是无理数，必须看它是否同时满足两个条件：无限小数和不循环小数这两者缺一不可．

2．带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数． 【例1】

0；3

22

7

；1.1010010001…，无理数的个数是 A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

【答案】C

【解析】因为0

22

7

3π；1.1010010001…是无限不循环小数，所以无理数有3个，故选C ．

【变式训练1-1】在，–2018

，π这四个数中，无理数是

A ．

B ．–2018

C

D ．Π

【答案】D

1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数．

2、实数的分类： （1）实数按定义分类：

0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪

⎪⎪⎪

⎧⎨⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩

正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数

( 2 )按正负分类：

22

7227

例题精讲

二、实数的概念和分类

1．实数的分类有不同的方法，但要按同一标准，做到不重不漏．

2．对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据最后结果进行分类．

【例1】在5π

131401232

，，，.，，-

---中，其中__________是整数，__________是无理数，__________是有理数.

【答案】01-；

π5

131401322，，；，，.，---

- 【例2】将这些数按要求填入下列集合中：

0.01001001…，4，122-，3.2，0，-1，-（-5），-|-5|

负数集合｛ …｝；分数集合｛

…｝；非负整数集合｛

…｝；

无理数集合｛

…｝．

【解析】负数集合｛122-，-1，-|-5| 分数集合｛1

2

2

-，3.2…｝； 非负整数集合｛4，0，-（-5）…｝；

无理数集合｛0.01001001…，

【变式训练2-1】判断正误．

（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）

（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）

（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ）

（5）若x =x =（ ）

【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．

【变式训练2-2】下列说法错误的是（ ）

A ．实数都可以表示在数轴上

B ．数轴上的点不全是有理数

C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D

【答案】D

【变式训练2-3】下列说法正确的是（ ）

A ．无理数都是无限不循环小数

B ．无限小数都是无理数

C ．有理数都是有限小数

D ．带根号的数都是无理数

【答案】A

【变式训练2-4】 把下列各数填入相应的集合：

－1、π、 3.14-、

12

、7.0

、0

（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝．

【答案】（1）－1 3.14-、

12

、7.0

、0

（2-、

（3）－10；

（4、π、12

7.0 ；

（5）－1、 3.14-、

（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．

（2）任何非0实数a ，都有倒数1

a

．

（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．

一、相反数与绝对值

求一个有理数的相反数和绝对值与求一个实数的相反数和绝对值的意义是一样的，实数a 的相反数是-a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．

【例1的相反数是

A ．

B

C ．

D 【答案】A

【解析】根据相反数的定义可知：2的相反数是2

-，故选A ． 【例2】3-π的绝对值是 A ．3-π B ．π-3 C ．3 D ．π

【答案】B

【解析】∵3−π<0，∴|3−π|=π−3，故选B ．

【例3】 A ．相反数 B ．倒数 C ．绝对值 D ．算术平方根

【答案】A

【解析】A ．

【变式训练3-1的相反数是________；

的倒数是________；35-的绝对值是________．

【答案】