2020苏教版九年级数学下册《锐角三角函数》提高性测试卷(含答案)

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苏科版九年级下《第七章锐角三角函数》单元检测试题(含答案)

2017-2018学年度第二学期苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.已知锐角满足，则锐角的值为（）A. B. C. D.2.直升飞机在离地面米的上空测得上海东方明珠底部的俯角为，此时直升飞机与上海东方明珠底部之间的距离是（）A.米B.米C.米D.米3.已知，下列各式：、、由小到大排列为（）A. B.C. D.4.在中，∠，，，且，则∠的度数为（）A. B. C.′ D.′5.如图，小明为了测量其所在位置点到河对岸点之间的距离，沿着与垂直的方向走了米，到达点，测得∠，那么等于（）A.米B.米C.米D.米6.数学活动课上，小敏、小颖分别画了和，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作，小颖画的三角形面积记作，那么你认为（）A. B.C. D.不能确定7.如图，在中，∠，∠，，则的值为（）A. B. C. D.8.一根竹竿长米，先像靠墙放置，与水平夹角为，为了减少占地空间，现将竹竿像′′放置，与水平夹角为，则竹竿让出多少水平空间（）A. B.C. D.9.在中，∠，把∠的邻边与对边的比叫做∠的余切，记作．则下列关系式中不成立的是（）A. B.C. D.10.如图，已知一商场自动扶梯的长为米，高度ℎ为米，自动扶梯与地面所成的夹角为，则的值等于（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.如图，从点测得树的顶端的仰角为，米，则树高________米（结果精确到米）．计算：________（结果保留根号）．12.如图，在四边形中，∠，∠，∠，∠，．则的长________．13.如图，在中，是斜边上的中线，已知，，则的值是________．14.如图，小明要测量河内小岛到河边公路的距离，在点测得∠，在点测得∠，又测得米，则小岛到公路的距离为________米．15.新平县城在“旧城改造”中，计划在城内一块如图所示空地上，种植草皮美化环境，已知这种草皮每平米要元，买这种草皮至少需________元．16.如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕，点是小刚的眼睛，测得屏幕下端处的仰角为，然后他正对屏幕方向前进了到达处，又测得该屏幕上端处的仰角为，延长与楼房垂直相交于点，测得，则该屏幕上端与下端之间的距离为________．17.一棵树因雪灾于处折断，测得树梢触地点到树根处的距离为米，∠约，树干垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为________米．（答案保留根号）18.如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离为米，此时梯子的倾斜角为．若梯子底端距离地面的垂直距离为米，梯子的倾斜角为．则这间房子的宽是________米．19.如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为________．20.如图所示，为了测量山的高度，在水平面处测得山顶的仰角为，自沿着方向向前走，到达处，又测得山顶的仰角为，则山高为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.计算：如图，在中，∠，，，于点，求的长．22.如图，要测量点到河岸的距离，在点测得点在点的北偏东方向上，在点测得点在点的北偏西方向上，又测得．求点到河岸的距离．（结果保留整数）（参考数据：，）23.近年来，亚丁湾索马里海域海盗猖獗，严重威胁过往船只的安全，经联合国授权，中国派舰队前往护航．某日，在处的“武汉”号驱逐舰发现正北方向海里的处有一艘海盗船沿直线靠近一艘货船，测得在的南偏西的方向上，为在最短时间内堵截住海盗船，驱逐舰应沿什么方向航行？最少须行驶多少海里（精确到海里）？24.如图，拦水坝的横断面为梯形，坝高米．坝面宽米．根据条件求：斜坡的坡角；坝底宽和斜坡的长（精确列米）．25.如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时，箱底端点与墙角的距离为，∠．如图，一种侧面形状为矩形的行李箱，箱盖打开后，盖子的一端靠在墙上，此时，箱底端点与墙角的距离为，∠．箱盖绕点转过的角度为________，点到墙面的距离为________；求箱子的宽（结果保留整数，可用科学计算器）．（参考数据：，）26.如图，在直角梯形中，，，，，∠，等边（为固定点）的边长为，边在直线上，．将直角梯形绕点按逆时针方向旋转到①的位置，再绕点按逆时针方向旋转到②的位置，如此旋转下去．将直角梯形按此方法旋转四次，如果等边的边长为，求梯形与等边三角形的重叠部分的面积；将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形的重叠部分的面积是，求等边的边长的范围．将直角梯形按此方法旋转三次，如果梯形与等边三角形的重叠部分的面积是梯形面积的一半，求等边的边长．答案1.D2.C3.C4.B5.B6.C7.D8.A9.D10.A11.，．12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.解：；∵在中，∠，，，∴，∴，∵，∴，∴．22.解：过点作于点，设．在中，∵∠，∠，∴．在中，∵∠，∠，∴．∵，∴，∴．即点到河岸的距离约为．23.解：过作，∵∠，∴∠，∴驱逐舰应沿北偏西方向航行．∵海里，∴（海里）．∴最少须行驶海里．24.解：作于点，于点，∵∠，∴∠；∵坝高为米，∴，∵，′，∴，，∴米，，∴米，米．25.26.解：过点作，垂足为，∵，∠，∴∠，∴，，∴，又∵梯形为直角梯形，∴∠∠而∠，∴四边形为矩形，∴，∴，又∵，∴点与重合，∵，又∵，∴直角梯形与等边三角形的重叠部分即为整个直角梯形，．∴重叠部分过点作交于点，交于占，则为等边三角形，过点作，垂足为，在中∠，∠，∴∠∠，∴，∴，，∴，而，梯形重叠部分面积，∴梯形在中，∠，，∴，，，∴，∴等边的边长的范围为：，如图：，中，，∠，∴的面积为：，∴的面积的面积（梯形面积的一半），等边三角形的一边应落在与之间，如图所示，等边的边长为，面积为，∵，∴，∴，设，则，而四边形的面积为梯形的面积的一半，即，在中，，∠，∴，∴，∴，∴，∴（负值舍去），，即此时等边三角形的边长为：．。

苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数单元检测题及答案

10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是________．
11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．
14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为________．
三、解答题
15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
A. B. C. D.
6．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是()
A. B. C. D.
7．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于()
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．
参考答案与解析

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷时间：100分钟满分：120分一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( )A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题) (第16题) (第18题)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m ，那么该建筑物的高度BC 约为________m(精确到1 m ，参考数据：3≈1.73)． 16．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．17．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m. 三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin 2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin 2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a ＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B 8. B 9. C10．B 点拨：如图，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x＝36.(第10题)二、11. 80° 12. 60° 13. 12 14. 23 15. 20816．22 点拨：如图，连接BC ，易知∠D ＝∠A .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC 2＝62－22＝32, ∴BC ＝4 2.∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.(第16题)17．123 点拨：如图，过A 点作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠ABD ＝180°－120°＝60°.在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝6×32＝33，∴S △ABC ＝12AD ·BC ＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ，解得DE ＝163.∴AD＝AE－DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。

2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第7章锐角三角函数》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年苏科新版九年级下册数学《第7章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．如果∠A为锐角，sin A＝，那么（）A．0°＜∠A＜30°B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子正确的是（）A．sin A+cos A＜1B．sin A+cos A＝1C．sin A+cos A＞1D．sin A+cos A≥13．当锐角A的cos A＞时，∠A的值为（）A．小于45°B．小于30°C．大于45°D．大于30°4．计算2cos30°的结果等于（）A．B．C．D．5．已知sinα＝，求α．若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按键（）A．AC B．2ndF C．MODE D．DMS6．如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝36°，则斜坡AB的铅垂高度AC为（）A．10tan36°B．10cos36°C．10sin36°D．7．在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sin A的值（）A．扩大100倍B．缩小C．不变D．不能确定8．如图，直线OA过点（2，1），直线OA与x轴的夹角为α，则tanα的值为（）A．B．C．2D．9．某长江大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索BD与水平桥面的夹角是60°，两拉索底端距离AD＝20米，则立柱BC的高为（）A．20米B．10米C．10米D．20米10．如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E，经过坡度为1的坡面DE，坡面的水平距离是1米，到达点D，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．6.29B．4.71C．4D．5.33二．填空题11．请从以下两个小题中任选一题作答，若多选，则按第一题计分．A．运用科学计算器计算：3＝．（精确到0.01）B．一个正多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是．12．计算：sin30°﹣cos260°＝．13．直角三角形ABC中，若tan A＝，则sin A＝．14．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，则sin A＝．15．如图，码头A在码头B的正东方向，两个码头之间的距离为10海里，今有一货船由码头A出发，沿北偏西60°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏东45°方向，则码头A与小岛C的距离为海里（结果保留根号）．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cos A＝，则BC的长为．17．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）18．如图，在平面直角坐标系中有一点P（6，8），那么OP与x轴的正半轴的夹角α的余弦值为．19．比较sin53°tan37°的大小．20．如图2，有一块四边形的铁板余料ABCD，经测量AB＝50cm，BC＝108cm，CD＝60cm，且tan B＝tan C＝，若要从这块余料中裁出顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，则该矩形的面积为cm2．三．解答题21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tan B＝．求sin A的值．23．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ＝；②cos2θ+sin2θ＝1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ＝，求值：（1）tanθ+；（2）||．24．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求cos B．25．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．26．如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．27．某中学依山而建，校门A处有一坡度i＝5：12的斜坡AB，长度为26米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角∠CEF＝60°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，求DC的长（结果保留根号）．参考答案与试题解析一．选择题1．解：∵sin30°＝，0＜＜，∴0°＜∠A＜30°．故选：A．2．解：∵sin A＝，cos A＝，∴sin A+cos A＝，∵a+b＞c，∴sin A+cos A＞1．故选：C．3．解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．故选：A．4．解：2cos30°＝2×＝．故选：D．5．解：若以科学计算器计算且结果以“度，分，秒”为单位，最后应该按DMS，故选：D．6．解：在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin B＝10sin36°，故选：C．7．解：锐角A的三角函数值随着∠A角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，因此sin A的值不会随着边长的扩大而变化，故选：C．8．解：过点C（2，1）作CD⊥x轴于D，如图所示：则OD＝2，CD＝1，在Rt△OCD中，tanα＝＝．故选：B．9．解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∠A＝30°，∠BDC＝60°，∴∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴BD＝AD＝20米，∴BC＝BD•sin60°＝10（米），故选：C．10．解：过点D作DM⊥BC，垂足为M，由题意得，∠B＝37°，∠ADF＝53°，BE＝4，EM＝1，∵坡面DE的坡度为1，∴＝1，∴DM＝EM＝1＝FC，在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣53°＝37°，∵tan∠DAF＝≈0.75，设AF＝x，则DF＝0.75x＝MC，在Rt△ABC中，∵tan∠B＝，∴tan37°＝≈0.75，解得x＝≈6.29（米），故选：A．二．填空题11．解：（1）原式≈3×2.64×0.9607≈7.61；（2）由于正多边形的一个外角为45°，∴正多边形的边数为：＝8；故答案为：（1）7.61；（2）8；12．解：sin30°﹣cos260°＝﹣（）2＝﹣＝．故答案为：．13．解：如图所示：∵tan A＝＝，∴设BC＝3x，则AC＝4x，∴AB＝5x，则sin A＝＝＝．故答案为：．14．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，∴AB＝＝＝2，则sin A＝＝＝，故答案为：．15．解：作CD⊥AB交AB延长线于点D，由题意，得∠DCB＝45°，∠CAD＝90°﹣60°＝30°，AB＝10海里，设CD＝x海里，在Rt△DCB中，tan∠DCB＝，tan45°＝＝1，∴BD＝x，则AD＝AB+BD＝10+x，由tan30°＝，解得x＝5+5，∵∠CAD＝30°，∠CDA＝90°，∴AC＝2CD＝（10+10）海里．故答案为：（10+10）．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，cos A＝，∴cos A＝＝＝，∴AB＝10，∴BC＝＝＝＝8．故答案为：8．17．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝30°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan30°＝，即＝，∴AE＝30，∵AB＝57，∴BE＝AB﹣AE＝57﹣30，∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝57﹣30．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝57﹣30，∴BC＝EF＝30﹣57+30＝（30﹣27）米．答：教学楼BC高约（30﹣27）米．故答案为：（30﹣27）米．18．解：如图作PH⊥x轴于H．∵P（6，8），∴OH＝6，PH＝8，∴OP＝＝10，∴cosα＝＝＝．故答案为：．19．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB ＝5，∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，∴sin53°＞tan37°．故答案为＞20．解：如图，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，交PQ于点G，如图，设矩形PQMN，∵tan B＝tan C＝，∴∠B＝∠C，∴EB＝EC，∵BC＝108cm，且EH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝54cm，∵tan B＝＝，∴EH＝BH＝×54＝72cm，∴EG＝EH﹣GH＝72﹣QM，∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴＝，即＝，∴PQ＝（72﹣QM），设QM＝x，＝PQ•QM＝x（72﹣x）＝﹣（x﹣36）2+1944，则S矩形PQMN最大值为1944，∴当x＝36时，S矩形PQMN所以当QM＝36时，矩形PQMN的最大面积为1944cm2，答：该矩形的面积为1944cm2．故答案为：1944．三．解答题21．解：∵sin∠A＝，∴＝，∵AB＝15，∴BC＝9；∴AC＝＝12，∴tan∠B＝＝＝．22．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝4，∴tan B＝＝，∴AC＝3，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB＝5，∴sin A＝＝．23．解（1）∵cosθ+sinθ＝，∴（cosθ+sinθ）2＝（）2，cos2θ+2cosθ•sinθ+sin2θ＝，cosθ•sinθ＝，∴tanθ+＝+＝＝＝4；（2）∵（cosθ﹣sinθ）2＝cos2θ﹣2cosθ•sinθ+sin2θ＝1﹣2×＝，∴cosθ﹣sinθ＝±，∴|cosθ﹣sinθ|＝．24．解：∵tan A＝，∴∠A＝60°．∵∠A+∠B＝90°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°．∴cos B＝．25．解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．26．解：（1）过F作FH⊥DE于H．∴∠FHC＝∠FHD＝90°．∵∠FDC＝30°，DF＝30，∴，，∵∠FCH＝45°，∴CH＝FH＝15，∴，∵CE：CD＝1：3，∴，∵AB＝BC＝DE，∴；（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，∵∠ACG＝45°，∴＝20×1.41+20×2.45＝77.2≈77（cm）答：拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为77cm．27．解：过点B作BM⊥AD于M，如图所示：∵i＝5：12，∴＝，∵AB＝26米，∴BM＝10米，AM＝24米，∴DF＝BM＝10米，设EF为x米，则BF＝（4+x）米，∵∠CBF＝45°，∴BF＝CF＝（4+x）米，∵∠CEF＝60°，∴tan60°＝，即＝，解得：x＝2+2，∴CF＝（6+2）米，∴CD＝CF+DF＝6+2+10＝16+2（米），答：DC的长度为（16+2）米．。

苏科版九年级下第7章《锐角三角函数》提优测试卷含答案

(2) 通过计算判断此车是否超速 .(参考数据 : 2 1.41, 3 1.73, 5 2.24 )
22.(8 分 )如图，在一斜坡坡顶 A 处的同一水平线上有一古塔，为测量塔高
BC ，数学老师
带领同学在坡脚 P 处测得斜坡的坡角为
，且 tan
7 ，塔顶 C 处的仰角为 30°，
24
他们沿着斜坡攀行了 50 米 BC ，到达坡顶 A 处，在 A 处测得塔顶 C 的仰角为 60° .
.
13.(2015·杭州校级一模 ) 如图，在四边形 ABCD 中， A 30 , C 90 , ADB 105 ,
3
si n BD C
, A D ,则4 DC 的长 =
.
2
14.如图，在 ABC 中，已知 AB AC , A 45 , BD AC 于点 D .根据该图可以求出
tan 22.5° =
21. (8 分 )根据道路管理规定，在贺州某段笔直公路上行驶的车辆，限速
40 千米 /时，已知交
警测速点 M 到该公路 A 点的距离为 10 2 米， MAB 45 , MBA 30 (如图所示 )，
现有一辆汽车由 A 往 B 方向匀速行驶，测得此车从 (1) 求测速点 M 到该公路的距离 ;
A 点行驶到 B 点所用的时间为 3 秒.
2.正方形网格中，
AOB 如图放置，则 cos
B. csin A a b
D. tan B c
AOB 的值为 ( )
1
2
3
3
A.
B.
C.
D.
2
2
2
3
3.如图， 1 的正切值为 ( )
1
A.
3
1

2020-2021九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案

2020-2021九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题(含答案)含答案一、锐角三角函数1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为»AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值；（3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1，在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH 的长，从而可求tan∠ADP试题解析：(1)∵AE平分∠BAD BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB ∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB ∠AFB=∠ABF∴AB=BE AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而已（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=考点：1、平行四边形；2、菱形；3、直角三角形；4、三角函数3．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.特殊发现：如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)记ACBC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ，PC PE =成立 ()3当k 为33时，CPE V 总是等边三角形【解析】【分析】（1）过点P 作PM ⊥CE 于点M ，由EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，得到EF ∥MP ∥CB ，从而有EM FPMC PB=，再根据点P 是BF 的中点，可得EM=MC ，据此得到PC=PE ．（2）过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，先证△DAF ≌△EAF ，即可得出AD=AE ；再证△DAP ≌△EAP ，即可得出PD=PE ；最后根据FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ，可得FD ∥BC ∥PM ，再根据点P 是BF 的中点，推得PC=PD ，再根据PD=PE ，即可得到结论．（3）因为△CPE 总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据AC k BC =，ACBC=tan30°，求出当△CPE 总是等边三角形时，k 的值是多少即可．【详解】解：（1）PC=PE 成立，理由如下：如图2，过点P 作PM ⊥CE 于点M ，∵EF ⊥AE ，BC ⊥AC ，∴EF ∥MP ∥CB ，∴EM FPMC PB=，∵点P 是BF 的中点，∴EM=MC ，又∵PM ⊥CE ，∴PC=PE ；（2）PC=PE 成立，理由如下：如图3，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，过点P 作PM ⊥AC 于点M ，连接PD ，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF 和△EAF 中，∵∠DAF=∠EAF ，∠FDA=∠FEA ，AF=AF ， ∴△DAF ≌△EAF （AAS ）， ∴AD=AE ，在△DAP 和△EAP 中， ∵AD=AE ，∠DAP=∠EAP ，AP=AP ， ∴△DAP ≌△EAP （SAS ）， ∴PD=PE ，∵FD ⊥AC ，BC ⊥AC ，PM ⊥AC ， ∴FD ∥BC ∥PM ， ∴DM FPMC PB=， ∵点P 是BF 的中点， ∴DM=MC ，又∵PM ⊥AC ， ∴PC=PD ，又∵PD=PE ， ∴PC=PE ；（3）如图4，∵△CPE 总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵AC k BC =，ACBC=tan30°， ∴k=tan30°=3∴当k 为33时，△CPE 总是等边三角形．【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP 是AB 的垂直平分线，∴PA=PB ，在△PAO 和△PBO 中，∵，∴△PAO ≌△PBO （SSS ）∴∠PBO=∠PAO ，PB=PA ，∵PB 为⊙O 的切线，B 为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA ⊥OA ， ∴PA 是⊙O 的切线；（2）连接BE ，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt △ACO 中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt △APO 中，∵AC ⊥OP ，∴AC 2=OC PC ，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt △APO 中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，已知，在O e 中，弦AB 与弦CD 相交于点E ，且»»AC BD=. （1）求证：AB CD =；（2）如图，若直径FG 经过点E ，求证：EO 平分AED ∠；（3）如图，在（2）的条件下，点P 在»CG上，连接FP 交AB 于点M ，连接MG ，若AB CD ⊥，MG 平分PMB ∠，2MG =，FMG ∆的面积为2，求O e 的半径的长.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）O e 10. 【解析】【分析】(1) 利用相等的弧所对的弦相等进行证明；（2）连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，证明AOJ DOQ ∆≅∆得出OJ OQ =，根据角平分线的判定定理可得结论；（3）如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，求出2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ，求出22FL =HM n =，则有22LK KG ==，2222FK FL LK n =+=，再证明KFG EMG HMF ∠=∠=∠，从而得到tan tan KFG HMF ∠=∠，KG HFFK HM=，再代入LK 和FK 的值可得n=4,再求得FG 10．【详解】解：（1）证明：∵»»AC BD =，∴»»»»AC CBBD CB +=+， ∴»»AB CD =， ∴AB CD =.（2）证明：如图，连接AO 、DO ，过点O 作OJ AB ⊥于点J ，OQ CD ⊥于点Q ，∴90AJO DQO ∠=∠=︒，1122AJ AB CD DQ ===，又∵AO DO =， ∴AOJ DOQ ∆≅∆， ∴OJ OQ =，又∵OJ AB ⊥，OQ CD ⊥， ∴EO 平分AED ∠.（3）解：∵CD AB ⊥，∴90AED ∠=︒，由（2）知，1452AEF AED ∠=∠=︒，如图，延长GM 交O e 于点H ，连接HF ，∵FG 为直径，∴90H ∠=︒，122MFG S MG FH ∆=⨯⋅=， ∵2MG =，∴2FH =，在HG 上取点L ，使HL FH =，延长FL 交O e 于点K ，连接KG ， ∴45HFL HLF ∠=∠=︒，45KLG HLF ∠=∠=︒， ∵FG 为直径，∴90K ∠=︒，∴9045KGL KLG KLG ∠=︒-∠=︒=∠，∴LK KG =，在Rt FHL ∆中，222FL FH HL =+，22FL = 设HM n =，2HL MG ==，∴GL LM MG HL LM HM n =+=+==，在Rt LGK ∆中，222LG LK KG =+，22LK KG n ==，2222FK FL LK n =+=+， ∵GMP GMB ∠=∠，∵PMG HMF ∠=∠，∴HMF GMB ∠=∠， ∵1452AEF AED ∠=∠=︒， ∴45MGF EMG MEF ∠+∠=∠=︒，45MGF KFG HLF ∠+∠=∠=︒， ∴KFG EMG HMF ∠=∠=∠， ∴tan tan KFG HMF ∠=∠，∴KG HFFK HM=，∴2222222n nn =+，4n =， ∴6HG HM MG =+=，在Rt HFG ∆中，222FG FH HG =+，210FG =，10FO =. 即O e 的半径的长为10. 【点睛】考查了圆的综合题，本题是垂径定理、圆周角定理以及三角函数等的综合应用，适当的添加辅助线是解题的关键．6．如图，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O 上一点，C 在AB 的延长线上，AD ⊥CE 交CE 的延长线于点D ，且AE 平分∠DAC ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝6，∠ABE ＝60°，求AD 的长．【答案】（1）详见解析；（2）92【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质得到∠OAE ＝∠DAE ，再利用半径相等得∠AEO ＝∠OAE ，等量代换即可推出OE ∥AD ，即可解题，（2）根据30°的三角函数值分别在Rt △ABE 中，AE ＝AB·cos30°，在Rt△ADE中，AD=cos30°×AE即可解题.【详解】证明：如图，连接OE，∵AE平分∠DAC，∴∠OAE＝∠DAE．∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE．∴∠AEO＝∠DAE．∴OE∥AD．∵DC⊥AC，∴OE⊥DC．∴CD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∠ABE＝60°．∴∠EAB＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB·cos30°333在Rt△ADE中，∠DAE＝∠BAE＝30°，∴AD=cos30°3339 2 .【点睛】本题考查了特殊的三角函数值的应用，切线的证明，中等难度，利用特殊的三角函数表示出所求线段是解题关键.7．如图，直线y＝12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣12x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象，直接写出满足12x+2≥﹣12x2+bx+c的x的取值范围；（3）设点D为该抛物线上的一点、连结AD，若∠DAC＝∠CBO，求点D的坐标．【答案】（1）213222y x x =--+；（2）当x ≥0或x ≤﹣4；（3）D 点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【解析】【分析】（1）由直线y ＝12x +2求得A 、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）观察图象，找出直线在抛物线上方的x 的取值范围；（3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，先求出CO ＝1，AO ＝4，再由∠DAC ＝∠CBO ，得出tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，从而有，DE CO AE BO =,最后分类讨论确定点D 的坐标．【详解】解：（1）由y ＝12x +2可得：当x ＝0时，y ＝2；当y ＝0时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，0），B （0，2），把A 、B 的坐标代入y ＝﹣12x 2+bx +c 得： 322b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =--+ （2）当x ≥0或x ≤﹣4时，12x +2≥﹣12x 2+bx +c （3）如图，过D 点作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，由213222y x x =-+令y ＝0，解得：x 1＝1，x 2＝﹣4，∴CO ＝1，AO ＝4，设点D 的坐标为（m ，213222m m --+）， ∵∠DAC ＝∠CBO ，∴tan ∠DAC ＝tan ∠CBO ，∴在Rt△ADE和Rt△BOC中有DE COAE BO=，当D在x轴上方时，213212242--+=+m mm解得：m1＝0，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（0，2）．当D在x轴下方时，213(2)12242 ---+=+m mm解得：m1＝2，m2＝﹣4（不合题意，舍去），∴点D的坐标为（2，﹣3），故满足条件的D点坐标为（0，2）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式．解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题，分类讨论是第（3）题的难点．8．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF AE=，连接DE，DF，EF. FH平分EFB∠交BD于点H.（1）求证：DE DF⊥；（2）求证：DH DF=：（3）过点H作HM EF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题(附答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学下册《第7章锐角三角函数》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．在Rt△ABC中，如果各边的长度同时扩大2倍，那么锐角A的正弦值和余弦值（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍C．都不变D．不能确定2．若∠A为锐角，且sin A＝，则cos A等于（）A．1B．C．D．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则tan A的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD⊥BC交BC于点D，若AB＝4，tan∠CAD＝，则BC＝（）A．6B．6C．7D．75．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（）A．B．+1C．D．+16．如图，AB表示一条跳台滑雪赛道，在点A处测得起点B的仰角为40°，底端点C与顶端点B的距离为50米，BC⊥AC于点C，则赛道AB的长度为（）A．米B．米C．50sin40°米D．50cos40°米7．如图，河堤横断面迎水坡AB坡比是1：2，堤高BC＝4m，则坡面AB的长度是（）mA．8B．16C．4D．48．如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sin∠BAC的值是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分32分）9．比较大小：tan50°tan60°．10．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．11．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线交点，则tan∠P AB+tan∠PBA ＝．12．如图所示，某河提的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且AB边的坡度为，则河堤的高BE为米．13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），以点A 为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为．14．如图，∠EFG＝90°，EF＝10，OG＝17，cos∠FGO＝，则点F的坐标是．15．如图，在△ABC中，AH⊥BC于点H，在AH上取一点K，连接CK，使得∠HKC+∠HAC＝90°，在CK上取一点N，使得CN＝AC，连接BN，交AH于点M，若tan∠ABC ＝2，BN＝15，则CH的长为．16．如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为．三．解答题（共7小题，满分56分）17．计算：﹣2（1+sin60°）18．（1）在△ABC中，∠C＝90°．已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AC上一点，∠BDC＝45°，CD ＝6．求AD的长．19．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，tan A＝．求：（1）S△ABC；（2）∠B的余弦值．20．如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为i＝1：2，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离CE＝8米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为45°．（1）求点E到水平地面的距离；（2）求楼房AB的高．21．某海港南北方向上有两个海岸观测站A，B，距离为10海里．从港口出发的一艘轮船正沿北偏东30°方向匀速航行，某一时刻在观测站A，B两处分别测得此轮船正好航行到南偏东30°和北偏东75°方向上的C处．经过0.5时轮船航行到D处，此时在观测站A 处测得轮船在北偏东75°方向上，求轮船航行的速度（结果精确到0.1海里/时，参考数据：≈1.414，＝1.732）22．如图，为测量某建筑物BC的高度，采用了如下方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD（坡度i＝1：2.4）行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，底端B 的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内．根据测量数据，计算出建筑物BC 的高度．（参考数据：）23．阅读以下材料，并解决相应问题：在学习了直角三角形的边角关系后，我们可以继续探究任意锐角三角形的边角关系，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．如图1，过点A作AD⊥BC于点D，则根据定义得sin B＝，sin C＝，于是AD＝c sin B，AD＝b sin C，也就是c sin B ＝b sin C，即．同理有，，即最终得到．即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论就可以求出其余三个未知元素．（1）在锐角△ABC中，若∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB．（2）仿照证明过程，借助图2或图3，证明和中的其中一个．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵锐角A的正弦值是对边和斜边的比，余弦值是邻边和斜边的比，∴边长同时扩大2倍对于锐角A的正弦值和余弦值没有影响，∴锐角A的正弦值和余弦值没有改变．故选：C．2．解：∵∠A为锐角，且sin A＝，∴∠A＝60°，∴cos A＝cos60°＝，故选：D．3．解：∵AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，∴tan A＝＝，故选：D．4．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB＝4，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝4×＝4，BD＝AB cos45°＝4×＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴CD＝AD tan∠CAD＝4×＝3，∴BC＝BD+DC＝4+3＝7，故选：C．5．解：过A点作AD⊥BC于点D，∵∠B＝45°，∴∠BAD＝45°＝∠B，∴AD＝BD，设BD＝x，则AD＝x，∵∠C＝30°，∴tan C＝，∴，∵BC＝+1，∴x+x＝+1，∴x＝1，即AD＝1，∴．故选：A．6．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故选：A．7．解：Rt△ABC中，BC＝4m，tan A＝1：2；∴AC＝＝8m，∴AB＝＝＝4（m）．故选：C．8．解：延长AC到D，连接BD，如图：∵AD2＝20，BD2＝5，AB2＝25，∴AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴sin∠BAC＝．故选：A．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：∵50°＜60°，∴tan50°＜tan60°，故答案为：＜．10．解：∵（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，∴3tan A﹣＝0，2sin B﹣＝0，则tan A＝，sin B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．11．解：设小正方形的边长是a，∵tan∠P AB＝＝＝，tan∠PBA＝＝＝，∴tan∠P AB+tan∠PBA＝+＝．12．解：由已知斜坡AB的坡度，得：BE：AE＝12：5，设AE＝5x米，则BE＝12x米，在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：132＝5x2+（12x）2，即169x2＝169，解得：x＝1或x＝﹣1（舍去），5x＝5，12x＝12即河堤高BE等于12米．故答案为：12．13．解：∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），∴BO＝3，AO＝4，∴AB＝＝5，∵以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，∴CO＝5﹣4＝1，BC＝＝，∴sin∠C＝＝＝，故答案为：．14．解：过点F作直线F A∥OG，交y轴于点A，过点G作GH⊥F A于点H，则∠F AE＝90°，∵F A∥OG，∴∠FGO＝∠HFG．∵∠EFG＝90°，∴∠FEA+∠AFE＝90°，∠HFG+∠AFE＝90°，∴∠FEA＝∠HFG＝∠FGO，∵cos∠FGO＝，∴cos∠FEA＝，在Rt△AEF中，EF＝10，∴AE＝EF cos∠FEA＝10×＝6，∴根据勾股定理得，AF＝8，∵∠F AE＝90°，∠AOG＝90°，∠GHA＝90°，∴四边形OGHA为矩形，∴AH＝OG，∵OG＝17，∴AH＝17，∴FH＝17﹣8＝9，∵在Rt△FGH中，＝cos∠HFG＝cos∠FGO＝，∴FG＝9÷＝15，∴由勾股定理得：HG＝＝12，∴F（8，12）．故答案为：（8，12）．15．解：如图，过点N作NJ⊥BC于J．设HJ＝x．∵AH⊥BC，∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∵tan∠ABH＝＝2，∴可以假设BH＝k，2k，∵∠HKC+∠HAC＝90°，∠HKC+∠KCH＝90°，∴∠HAC＝∠KCH，∵NJ⊥BC，∴∠AHC＝∠CJN＝90°，∴△AHC∽△CJN，∴＝＝＝2，∴CJ＝k，∴CH＝x+k，JN＝（x+k），∴tan∠NBJ＝＝，设NJ＝y，BJ＝2y，∵BN＝15，∴5y2＝152，∴y＝3，∴NJ＝3，∴CH＝2NJ＝6．16．解：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由题意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD＝＝＝3，∴∠APD的正切值为：3，故答案为：3．三．解答题（共7小题，满分56分）17．解：原式＝﹣2（1+）＝+﹣2﹣＝﹣2．18．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∵tan A＝，∴a＝b tan A，∴a＝4×＝12；（2）∵∠C＝90，∠BDC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BC＝CD＝6，∵sin A＝，∴AB＝＝10，∵AC2＝AB2﹣BC2，∴AC2＝102﹣62，∴AC＝8，∴AD＝AC﹣DC＝2．19．解：（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，tan A＝＝，∴设CD＝4k，则AD＝3k，∴AC＝＝＝5k，∵AC＝15，∴5k＝15，∴k＝3，∴AD＝9，CD＝12，∴S△ABC＝AB•CD＝×15×12＝90，∴S△ABC＝90；（2）在Rt△BCD中，BD＝AB﹣AD＝15﹣9＝6，CD＝12，∴BC＝＝＝6，∴cos B＝＝＝，∴∠B的余弦值为．20．解：（1）过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于F，∵CD的坡度i＝EF：CF＝1：2，∴设EF＝a米，则CF＝2a米，在Rt△CEF中，根据勾股定理得：CE＝＝＝a（米），∵CE＝8米，∴a＝8，∴a＝8，∴EF＝8米，CF＝2a＝16（米），∴点E到水平地面的距离为8米；（2）如图：延长FE交AG于点H，由题意得：∠HAE＝45°，AH＝BF＝BC+CF＝24+16＝40（米），AB＝FH，在Rt△AHE中，HE＝AH•tan45°＝40×1＝40（米），∴AB＝HF＝HE+EF＝40+8＝48（米），∴楼房AB的高为48米．21．解：作AE⊥CD于E，∵∠ACB＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AC＝AB＝10海里，∵向北的方向线是平行的，∴∠ACF＝∠CAB＝30°，∴∠ACD＝60°，∴∠CAE＝30°，∴CE＝AC＝5海里，AE＝AC＝5海里，∵∠DAC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴∠DAE＝75°﹣30°＝45°，∴DE＝AE＝5海里，∴CD＝5+5≈13.66（海里），轮船航行的速度为：13.66÷＝27.3（海里/时），答：轮船航行的速度是27.3海里/时，22．解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH，在RtADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∴BF＝DH＝50米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴△EFB是等腰直角三角形，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°＝＝，∴CF＝EF＝50＝86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．答：建筑物BC的高度约为136.6米．23．解：（1）根据阅读材料可知，，∵∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，∴＝，∴AB＝＝2；（2）证明．理由如下：如图，连接CO并延长交⊙O于D，连接AD、BD，则∠DAC＝∠DBC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠ABC＝∠ADC．在Rt△ADC中，sin∠ADC＝，∴CD＝．在Rt△BDC中，sin∠BDC＝，∴CD＝，∴＝，∴＝，即在△ABC中，．。

九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案.docx

九年级下《锐角三角函数》专项训练含答案专训 1求锐角三角函数值的常用方法名师点金：锐角三角函数刻画了直角三角形中边和角之间的关系，对于斜三角形，要把它转化为直角三角形求解．在求锐角的三角函数值时，首先要明确是求锐角的正弦值，余弦值还是正切值，其次要弄清是哪两条边的比．直接用锐角三角函数的定义1．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝5，AC＝6，(第 1 题)则 tan B 的值是 ()43A.5B.534C.4D.32．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠3BAD ＝4，求 sin C 的值．(第 2 题)133．如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点A，与直线y＝2x交于点B.(1)求点 B 的坐标；(2)求 sin∠BAO 的值．(第 3 题)利用同角或互余两角三角函数间的关系．若∠A 为锐角，且sin A＝3，则 cos A＝ ()42321 A．1 B. 2 C. 2 D.2125．若α为锐角，且cosα＝13，则sin(90°－α)＝()512512A.13B.13C.12D. 56．若α为锐角，且sin2α＋cos230°＝1，则α＝______．巧设参数47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝5，则tan B的值为()4334A.3B.4C.5D.58．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，且a，b，c 满足 b2＝ (c＋a)(c－a)．若 5b－ 4c＝0，求 sin A＋sin B 的值．利用等角来替换9．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB的中线，过点A 作AE ⊥CD，AE 分别与 CD， CB 相交于点 H，E 且 AH ＝2CH，求 sin B 的值．(第 9 题)专训 2同角或互余两角的三角函数关系的应用名师点金：2α＝1，tan α＝sinα．同角三角函数关系：21sinα＋cos.cos α2．互余两角的三角函数关系： sin α＝cos(90 °－α)，cos α＝sin(90 °－α)，tan α·tan(90 °－α)＝1.同角间的三角函数的应用sin A＝4，求sin A －3cos A1．已知cos A4sin A ＋cos A的值．22．若α为锐角，sinα－cosα＝2，求sinα＋cosα的值．余角的三角函数的用3．若45°－α和45°＋α均角，下列关系式正确的是()A．sin(45 °－α)＝sin(45 °＋α)22B．sin (45 °－α)＋cos (45 °＋α)＝122C．sin (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝122D．cos (45 °－α)＋sin (45 °＋α)＝14．算tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°的．同角的三角函数的关系在一元二次方程中的用125．已知sinα·cosα＝25(α 角)，求一个一元二次方程，使其两根分sin α和 cos α.26 ．已知α角且sinα 是方程2x － 7x ＋ 3 ＝ 0 的一个根，求3用三角函数解与有关名点金：用三角函数解与有关的，是近几年中考命内容，型多化；一般以中档、形式出，高度重．一、1．如，已知△ABC的外接⊙O的半径3，AC＝4，sin B＝() 1342A.3B.4C.5D.3(第 1 )(第 2 )2．如是以△ABC的AB直径的半O，点C恰好在半上，C作CD ⊥AB 交 AB于D，已知∠ACD＝3，BC＝4， AC 的 ()cos52016A．1 B. 3C．3 D. 343．在△ABC中， AB ＝ AC ＝5，sin B＝ 5.⊙O 过B，C 两点，且⊙O 半径r ＝10，则OA的长为 ()A．3 或5B． 5C．4 或 5D． 44．如图，在半径为 6 cm 的⊙ O 中，点 A 是劣弧 BC 的中点，点 D 是优弧BC 上一点，且∠ D＝30°.下列四个结论：(第 4 题)①OA⊥BC；②BC＝6 3 cm；3③sin∠AOB ＝2；④四边形 ABOC 是菱形．其中正确结论的序号是 ()A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________.(第 5 题)(第 6 题)6．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.7．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，点C是优弧AB上的一点(不与A， B 重合 )，则 cos C 的值为 ________．(第 7 题)(第 8 题)8．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与 OA ，OC， BC 相切于点 E，D， B，与 AB 交于点 F，已知 A(2 ，0)， B(1，2)，则 tan∠FDE＝________.三、解答题19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，tan B＝2，半径为 2 的⊙ C 分别交 AC ，BC 于点 D， E，得到 .(1)求证： AB 为⊙ C 的切线；(2)求图中阴影部分的面积．(第 9 题)10．如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.(1)求证： AT 是⊙ O 的切线；(2)连接 OT 交⊙ O 于点 C，连接 AC ，求 tan∠TAC 的值．(第 10 题 )11.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD 且与 AC 的延长线交于点 E.(1)求证： DC＝DE；1(2)若 tan∠CAB ＝2，AB ＝3，求 BD 的长．(第 11 题 )12．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为 D， E，且＝ .(1)试判断△ ABC 的形状，并说明理由；(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求 sin∠ABD 的值．(第 12 题 )13．如图，在四边形 ABCD 中，AB ＝AD ，对角线 AC ，BD 交于点 E ，点 O3在线段 AE 上，⊙ O 过 B ， D 两点，若 OC ＝ 5， OB ＝ 3，且 cos ∠BOE ＝5.求证： CB 是⊙ O 的切线．(第 13 题 )答案专训 1 1．CBD2．解： ∵AD ⊥BC ，∴ tan ∠BAD ＝AD .∵ t an ∠BAD ＝34，AD ＝12，∴34＝BD12 ，∴ BD ＝ 9. ∴CD ＝BC －BD ＝ 14－ 9＝5，∴在 Rt △ADC 中， AC ＝ AD 2＋CD 2＝ 122＋ 52＝13，AD 12∴sin C ＝AC ＝13.13y ＝ x ＋，x ＝1，3．解： (1)解方程组2 2得y ＝2x ，∴点 B 的坐标为 (1， 2)．(第 3 题)13(2)如图，过点 B 作 BC ⊥x 轴于点 C ，由 2x ＋ 2＝ 0，解得 x ＝－ 3，则 A( －3，0)，∴ OA ＝3， ∴AB ＝ AC 2＋BC 2＝2 5，∴ sin ∠ BAC ＝BC＝ 2 ＝ 5， AB2 5 55即 sin ∠BAO ＝ 5 .4．D 5.B 6.30° 7.B8．解： ∵b 2＝(c ＋ a)(c －a)，∴ b 2 ＝c 2－a 2，即 c 2＝a 2＋b 2，∴△ ABC 是直角三角形．∵5b －4c ＝0，∴ 5b ＝4c ，则bc ＝45，设 b ＝ 4k ，c ＝5k ，那么 a ＝ 3k.3k 4k 7∴sin A ＋sin B ＝ 5k ＋5k ＝ 5.9．解： ∵CD 是斜边 AB 的中线， ∴CD ＝AD ＝ BD. ∴∠ DCB ＝∠ B.∵∠ ACD ＋∠ DCB ＝90°，∠ ACD ＋∠ CAH ＝90°， ∴∠ DCB ＝∠ CAH ＝∠ B.在 Rt △ACH 中， AH ＝ 2CH ，CH5∴AC ＝ 5CH.∴sin B ＝sin ∠CAH ＝5CH ＝ 5 .专训 2sin Acos A ， 1．分析：本题可利用 cos A 求解，在原式的分子、分母上同时除以sin Asin A＝ 4，把原式化为关于 cos A 的代数式，再整体代入求解即可．也可直接由cos A 得到 sin A 与 cos A 之间的数量关系，代入式子中求值．sin A －3解： (方法 1)原式＝（sin A －3cos A ）÷cos A ＝ cos A （4sin A ＋cos A ）÷cos A 4sin A .＋1cos A sin A4－ 3 1∵cos A ＝ 4，∴原式＝ × ＋＝ 17.441方法 sin A＝4，∴ sin A ＝4cos A.(2)∵ cos A4cos A － 3cos A cos A1＝17cos A＝17.∴原式＝4×4cos A＋cos A2．分析：要求 sin α＋cos α的，必利用角三角函数之的关系找出它与已知条件的关系再求解．解： ∵sin α－ cos α＝ 2 2 12 ，∴ (sin α－cos α)＝2，即 sin 2α＋ cos 2α－ 2sin αcos α＝12.11∴1－2sin αcos α＝2，即 2sin αcos α＝2.2221 3α＋ 2sin αcos α＝1＋2＝ 2.∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos 又∵ α 角，∴ sin α＋cos α＞0.∴ s in α＋cos α＝ 26.3．C 点： ∵(45 °－α)＋(45 °＋α)＝90°，∴ sin (45 °－ α)＝cos (45 °＋α)， sin 2(45 °－α)＋sin 2(45 °＋ α)＝cos 2(45 °＋α)＋sin 2(45 °＋α)＝1.4．解： tan 1°·tan 2°·tan 3°·⋯·tan 88°·tan 89°＝ (tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan88°)·⋯·(tan 44 °·tan 46 °)·tan 45 °＝1.点：互余的两角的正切的 1，即若 α＋β＝ 90°， tan α·tan β＝ 1.5．解： ∵sin 2α＋ cos 2α＝1，sin α·cos α＝1225，2 2 21249∴(sin α＋cos α)＝sin α＋cos α＋ 2sin αcos α＝1＋2× 25＝25.7∵α 角，∴ sin α＋ cos α＞ 0.∴sin α＋cos α＝5.又∵ sin α·cos α＝1225，2 712∴以 sin α， cos α 根的一元二次方程x － 5x ＋25＝0.点：此用到两方面的知： (1)公式 sin 2α＋cos 2α＝1 与完全平方公式的合运用； (2)若 x 1＋x 2 ＝p ，x 1x 2＝ q ，以 x 1 ，x 2 两根的一元二次方程 x 2 － px ＋q ＝026．解： ∵sin α是方程 2x －7x ＋ 3＝ 0 的一个根，－（－ 7） ± （－ 7）2－ 4× 2× 37±5 sin α＝2× 2＝ 4.∴sin α＝1或 sin α＝3(不符合意，舍去 )．22221 2 3∵sin α＋cos α＝ 1，∴ cos α＝1－ 2 ＝4.3又∵ cos α＞ 0，∴ cos α＝ 2 .∴ 1－2sin αcos α＝ sin 2α＋cos 2α－ 2sin αcos α＝21 33－ 1（sin α－cos α）＝|sin α－cos α|＝ 2－2 ＝2 .专训 3 一、 1.D2．D 点拨：∵AB 为直径， ∴∠ ACB ＝ 90°.又∵ CD ⊥ AB ，∴∠ B ＝∠ ACD.BC 3 20 2 2 16∴ cos B ＝AB ＝5，∴ AB ＝3 .∴AC ＝ AB －BC ＝ 3 .3．A 4.B3 141二、 5.4 6.2 7.5 8.2三、(第 9 题)AC9．(1)证明：如图，过点 C 作 CF ⊥AB 于点 F ，在 Rt △ABC 中， tan B ＝BC＝12，∴ BC ＝2AC ＝ 2 5.∴ AB ＝ AC 2＋BC 2＝（ 5）2＋（ 2 5）2＝ 5，∴ CF· 5×2 5＝ AC BC＝＝2.∴ AB 为⊙ C 的切线．AB 51 n πr2 1 90π× 22(2)解： S 阴影＝S △ABC －S 扇形 CDE ＝2AC ·BC － 360 ＝2× 5× 2 5－ 360 ＝5－ π.10． (1)证明： ∵ AB ＝AT ，∴∠ ABT ＝∠ ATB ＝ 45°，∴∠ BAT ＝90°，即 AT 为⊙ O 的切线．AT(2)解：如图，过点 C 作 CD ⊥AB 于 D ，则∠ TAC ＝∠ ACD ，tan ∠ TOA ＝ AO＝ CD OD ＝ 2，设 OD ＝x ，则 CD ＝ 2x ，OC ＝ 5x ＝ OA. ∵AD ＝AO － OD ＝( 5－1)x ，∴ tan ∠TAC ＝tan ∠ACD ＝AD（ 5－1）x＝5－1＝2x2 .CD(第 10 题 )(第 11 题 )11． (1)证明：连接 OC ，如图，∵ CD 是⊙ O 的切线，∴∠ OCD ＝ 90°，∴∠ ACO ＋∠ DCE ＝ 90°.又∵ ED ⊥ AD ，∴∠ EDA ＝90°，∴∠ EAD ＋∠ E ＝90°.∵OC ＝OA ，∴∠ ACO ＝∠ EAD ，故∠ DCE ＝∠ E ，∴ DC ＝DE.(2)解：设 BD ＝x ，则 AD ＝AB ＋BD ＝3＋x ，OD ＝OB ＋ BD ＝ 1.5＋ x.在 Rt1 1 1 1△ EAD 中，∵tan ∠CAB ＝2，∴ED ＝2AD ＝ 2(3＋ x) ．由(1)知，DC ＝2(3＋x)．在Rt △ OCD 中，OC 2＋CD 2＝DO 2，则 1.52＋ 1（ 3＋ x ） 2 ＝(1.5＋x)2，解得 x 1＝－23(舍去 )， x 2＝1，故 BD ＝1.12．解： (1)△ABC 为等腰三角形，理由如下：连接 AE ，如图， ∵＝，∴∠ DAE ＝∠ BAE ，即 AE 平分∠ BAC. ∵AB 为直径，∴∠ AEB ＝90°，∴ AE ⊥ BC ， ∴△ ABC 为等腰三角形．(2)∵△ ABC 为等腰三角形， AE ⊥BC ，1 1∴BE ＝CE ＝ 2BC ＝2×12＝ 6.在 Rt △ABE 中，∵ AB ＝10， BE ＝ 6，∴ AE ＝ 102－62＝8.∵AB 为直径，∴∠ ADB ＝90°，∴S △ABC＝ 1 · ＝1· ，∴BD ＝ 8×12＝ 482AE BC 2BD AC10 5 .在 Rt △ABD 中，∵ AB ＝10，BD ＝485，142 2 14AD 5 7 ∴AD ＝AB －BD ＝ 5 ，∴ sin ∠ABD ＝AB＝10＝25.(第 12 题 )(第 13 题 )13．证明：如图，连接 OD ，可得 OB ＝ OD. ∵AB ＝AD ，∴ AE 垂直平分 BD.3 9在 Rt △BOE 中， OB ＝ 3， cos ∠BOE ＝ 5，∴ OE ＝ 5.16 ∴CE ＝OC －OE ＝ 5 .2212根据勾股定理得 BE ＝ BO －OE ＝ 5.在 Rt △CEB 中， BC ＝ CE 2＋BE 2＝4.∵OB ＝3， BC ＝ 4，OC ＝ 5，∴ OB 2＋BC 2 ＝OC 2， ∴∠ OBC ＝ 90°，即 BC ⊥OB ，∴ CB 为⊙ O 的切线．。

苏科版九年级数学下第七章锐角三角函数单元检测题含答案解析初三数学

第七章锐角三角函数检测题（本检测题满分：100分，时间:90分钟）一、选择题（每小题3分，共30分） 1． cos 60°的值等于（）133A B C D 32．．．．2．在Rt △ABC 中，∠C =，BC =4，sin A =，则AC =（） A.3 B.4 C.5 D.6 3．若∠A 是锐角，且sin A =，则（）A.<∠A <B.<∠A <C.<∠A <D.<∠A <4．(·杭州中考)在直角三角形ABC 中，已知90C ∠=︒，40A ∠=︒，3BC =，则AC =( )A.3sin 40︒B.3sin 50︒C.3tan 40︒D.3tan 50︒ 5.在△ABC 中，∠A :∠B :∠C =1:1:2，则::=（）A.1:1:2B. 1:1:C. 1:1:D. 1:1: 6.在Rt △ABC 中，∠C =，则下列式子成立的是（）A.sin A =sin BB.sin A =cos BC.tan A =tan BD.cos A =tan B7．如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m ，此时小球距离地面的高度为( )A. B.25 m C.45 m D.310m第8题图8．(·武汉中考)如图，P A ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交P A ，PB 于C ，D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（） A.13125B.512 C.1353D.13329．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的第7题图目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60°方向走100 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地（） A.350 m B.100 mC.150 mD.3100 m二、填空题（每小题3分，共24分）11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =3，则sin B =_____． 12．在△ABC 中，若BC =2，AB =7，AC =3，则cos A =________． 13．如图所示，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP =2，那么PP ＇的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin 15°=624-，cos 15°=624+) 14．如图所示，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．15．如图所示，机器人从A 点，沿着西南方向，行走了42个单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为___________(结果保留根号)． 16．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则_ ． 17．在直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =13，AB =12，那么tan B =___________．18．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为__m （结果精确到0.01 m ）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin ≈0.682 0，sin 40°≈0.642 8， cos 43°≈0.731 4，cos 40°≈0.766 0，tan 43° ≈0.932 5，tan 40°≈0.839 1）第13题图北甲北乙第14题图 xOAyB第15题图A40°52 m CDB43°第18题图三、解答题（共46分）19.（6分）计算：︒⋅︒-︒-︒+︒30tan 60tan 45cot 60cos 30sin .20.（6分）如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，DAC B ∠=cos tan . （1）求证：AC ＝BD ; （2）若121312sin ==BC C ，，求AD 的长.21.（6分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡?(参考数据)第20题图22．（7分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC =20 m ，求树的高度AB .（参考数据：sin 370.60≈ ，cos 370.80≈ ，tan 370.75≈ ）23.（7分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成30°角，长为20 km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10 km ；CD 段长为30 km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.第23题图24. （7分）如图，在小山的东侧处有一热气球，以每分钟的速度沿着仰角为60°的方向上升，20分钟后升到处，这时气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的处有一着火点，求气球的升空点与着火点的距离.（结果保留根号）°°第24题图25.（7分）小刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形．已知吊车吊臂的支点O距离地面的高OO′=2米．当吊臂顶端由A点抬升至A′点（吊臂长度不变）时，地面B处的重物（大小忽略不计）被吊至B′处，紧绷着的吊缆A′B′=AB．AB 垂直地面O′B于点B，A′B′垂直地面O′B于点C，吊臂长度OA′=OA=10米，且．⑴求此重物在水平方向移动的距离BC；⑵求此重物在竖直方向移动的距离B′C．（结果保留根号）参考答案一、选择题1．A 解析：应熟记特殊角的三角函数值：2.A 解析：在R t △ABC 中，∠C =90°．∵ BC =4，sin A ＝，∴ AB =BC ÷sin A =5，AC==3. 3.A 解析：∵ sin 30°=，，∴ 0°＜∠A ＜30°．故选A ．4.D 解析：在Rt △ABC 中，∵90C ∠=︒，40A ∠=︒，∴ 50∠B =︒，∴ tan tan 50ACB BC=︒=，∴ tan 503tan 50AC BC =︒=︒. 5.B 解析：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为、、2，则 =180°，解得=45°.∴ 2=90°.∴ ∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为45°、45°、90°．∴ △ABC 是等腰直角三角形，∴ =1:1:.6.B 解析：A.sin A =，sin B =，sin A ≠sin B ，故错误； B. sin A =，cos B =，sin A ＝cos B ，故正确； C.tan A ＝，tan B ＝，tan A ≠tan B ，故错误； D.，tan B ＝，则≠tan B ，故错误．7. B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B 解析：如图，因为∠APB 所在的三角形不是直角三角形，所以考虑添加辅助线构造直角三角形.因此，连接OA ，连接BO 并延长交PA 的延长线于点F ，由切线长定理得P A =PB ，CA =CE ，DE =DB ，所以△PCD 的周长=PC +CD +PD =PC +CE +ED+PD = PC +CA +（DB +PD ）=P A +PB =2P A =3r .在△BFP 与△AFO 中，因为∠F =∠F ，∠PBF =∠OAF =90°，所以△BFP ∽△AFO ，所以3322rFB PB AF OA r ===，所以AF =23FB .在Rt △BPF 中，由勾股定理，得PF 2=PB 2+FB 2，第8题答图即32⎛⎝r +223FB ⎫⎪⎭=232r ⎛⎫ ⎪⎝⎭+FB 2，解得FB =185r ，所以 18125tan 352rFB APB PB r ∠===.9.B 解析：由于某同学站在离国旗旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，则目高以上旗杆的高度h 1=12×tan 30°=4（米），旗杆的高度h =h 1+1.6=1.6+4≈８.５（米）．故选B ．10. D 解析：如图，作AE ⊥BC 于点E ．∵ ∠EAB =30°，AB =100，∴ BE =50，AE =50．∵ BC =200，∴ CE =150．在Rt △ACE 中，根据勾股定理得：AC =100．即此时王英同学离A 地的距离是100m ．二、填空题11. 解析：sin B ＝＝．12. 解析：在△ABC 中，∵ AC =３，BC =，AB =，∴＝，即，∴ △ABC 是直角三角形，且∠B =90°．∴ cos A ==．13．62- 解析：连接PP ＇，过点B 作BD ⊥PP ＇，因为∠PBP ＇=30°，所以∠PBD =15°，利用sin 15°=62-，先求出PD ，乘2即得PP ＇. 14．48 解析：根据两直线平行，内错角相等判断. 15．(0，4433+) 解析：过点B 作BC ⊥AO 于点C ，利用勾股定理或三角函数可分别求得AC 与OC 的长. 16．55 解析：利用网格,从C 点向AB 所在直线作垂线,利用勾股定理得,所以55. 17．125 解析：先根据勾股定理求得AC =5，再根据tan AC B AB=求出结果. 18．4.86 解析：利用正切函数分别求出BD ,BC 的长，再利用CD =BD －BC 求解.第10题答图三、解答题 19.解：－1.20.解：（1）在中，有BDADB =tan ，中，有AC AD DAC =∠cos ..cos tan BD AC ACADBD AD DAC B ==∴∠=，故，（2）由1312sin ==AC AD C ，可设x BD AC x AD 1312===，，由勾股定理求得x DC 5=，,1218,12==+∴=x DC BD BC 即32=x ，.83212=⨯=∴AD21.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡. 22. 解：因为tan 37°＝ABBC≈0.75，BC =20 m ，所以AB ≈0.75×20＝15（m ）. 23. 解：如图，过点A 作AB 的垂线交DC 延长线于点E ，过点E 作1l 的垂线与1l ，2l 分别交于点H ，F ，则HF ⊥2l .由题意知AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，又AE ⊥AB ， ∴ 四边形ABCE 为矩形，∴ AE =BC ，AB =EC ． ∴ DE =DC +CE =DC +AB =30+20=50(km)．又AB 与1l 成30°角，∴ ∠EDF =30°，∠EAH =60°．在Rt △DEF 中，EF =DE sin 30°=50×12=25(km)，在Rt △AEH 中，EH =AE，所以HF =EF +HE=25+，即两高速公路间的距离为（25+km.24.解：过作于点，则. 因为∠，3003 m ，所以300(3－1)即气球的升空点与着火点的距离为300(3－1)第23题答图25. 解：⑴过点O作OD⊥AB于点D，交A′C于点E.根据题意可知EC=DB=OO′=2，ED=BC，∴∠A′ED=∠ADO=90°．在Rt△AOD中，∵ cos A=，OA=10，∴AD=6，∴OD==8．在Rt△A′OE中，∵ sin A′=，OA′=10.∴OE=5．∴BC=ED=OD－OE=8－5=3．⑵在Rt△A′OE中，A′E==5．∴B′C=A′C－A′B′=A′E＋CE－AB=A′E＋CE－（AD＋BD）=5＋2－（6＋2）=5－6．答：此重物在水平方向移动的距离BC是3米，此重物在竖直方向移动的距离B′C是（5－6）米．。

苏科版九年级下册第七章锐角三角函数单元提高卷(含答案)

第七章锐角三角函数单元提高卷一、选择题(每小题3分,共24分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝Rt ∠，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是 ( )A . sin A =B . tanA ＝12C . cos B =D . tanB =2．已知∠A 是锐角，且sin A =，那么∠A 等于 ( )A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°3．已知a 为锐角，则sin cos m a a =+的值 ( ) A . m ＞l B . m ＝1 C . m ＜1 D . m ≥14= ( )A . 1B . 1C .1- D . 1 5．如图2，先锋村准备在坡角为a 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为 ( )A . 5cos aB .5cos a C . 5sin a D ．5sin a6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝43，BC ＝8，则AC 等于 ( ) A . 6 B .323C . 10D . 12 7．如图3，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点．BP ＝2cm ，则tan ∠OP A 等于 ( )A .32 B . 23C . 2D . 128．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图4那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是 ( )A . 247 B . C . 724D .13二、填空题(每小题3分，共24分)9. 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，5sin 13B =，则cos B = ．10. 在△ABC 中，若2sin (cos )02A B -=，则∠C ＝度． 11．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tanB ＝512，6a =，则b = ．12．在△ABC 中，若∠A =30°，∠B =45°，AC =BC ＝．13. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5米，则这个坡面的坡度为．14. 如图5，在坡形屋顶的设计图中，AB ＝AC ，屋顶的宽度BC 为10米，坡角a 为30°，则坡形屋顶的高度h 为米． 1.732，结果保留三位有效数字)15. 如图6所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为米(精确到0.1米)．(sin 35°≈0．57,cos 35°≈0.82，tan 35°≈0.70；sin 52°≈0.79，cos 52°≈0.62，tan 52°≈1.28) 16·如图7，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4cm ，AB ＝5cm ，点D 是AB 的中点，则cos ∠ACD ＝．三、解答题(本大题共52分)17．(4分)，计算：22sin 30cos 4560tan 45︒+︒︒⋅︒18．(每小题4分，共8分)由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C＝90°：(1)已知c＝20，∠A=45°；＝12，∠B＝60°．(2)已知a c19．(8分)如图8，△ABC内接于圆O，若圆的半径是2，AB＝3，求sinC．20．(8分)如图9，河流两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔50 m的两根电线杆．某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100 m到达B处，测得∠CBF＝60°，求河流的宽度CF的值．(结果精确到个位)21．(8分)如图10，在某广场上空飘着一只气球P，A，B是地面上相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰角∠P AB＝45°，仰角∠PBA＝30°，求气球P的高度．(精确到0.1 1.732)22．(8分)如图11，斜坡AC的坡度(坡比)为1AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆BC的高度．23．(8分)在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图12所示的办公楼靠街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°．问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量的?(精确到整数米)(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58)参考答案1．1～8．DCABBADC9．1213 10．90° 11．5212．2 13．1 14．2.8915．3.5 16．45 17．3 ；18．(1) ∠B ＝45°，a ＝b ＝(2) ∠A ＝30°, a ＝4，b ＝c ＝8； 19．3420．43 m 21．32.9米； 22．6米； 23．48米。

2020年九年级数学下册锐角三角形单元检测卷新版苏科版

1 第七章单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 9 小题，每小题 3 分，共 27 分）1.已知∠A =30∘，下列判断正确的是（）A.sin A =12B.cos A =12C.tan A =12D.cot A =12 2.一艘轮船从港口A 出发，以15海里/时的速度沿北偏东60∘的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛A ．若以港口A 为坐标原点，正东方向为A 轴的正方向，正北方向为A 轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛A 所在位置的坐标是（）A.(30√3−50, 30)B.(30, 30√3−50)C.(30√3, 30)D.(30, 30√3)3.如图，一水库大坝的横断面为梯形AAAA ，坝顶AA 宽6米，坝高20米，斜坡AA 的坡度A =1:2.5，斜坡AA 的坡角为30度，则坝底AA 的长度为（）A.56米B.66米C.(56+20√3)米D.(50√2+20√3)米4.在AA △AAA 中，∠A =90∘，AA =A ，AA =A ，且3A =4A ，则∠A 的度数为（）A.53.48∘B.53.13∘C.53.13′D.53.48′5.AA △AAA 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的各个三角函数值（）A.不变化B.扩大2倍C.缩小12D.不能确定6.已知△AAA 的三边长分别为A 、A 、A ，面积为A ；△AAA 的三边长分别为A 、A 、A ，面积为A ，且A >A ，A >A ，A >A ，则A 和A 的关系为（）。

2020苏教版九年级数学下册《锐角三角函数》同步练习题

【文库独家】第七章锐角函数测试1 锐角三角函数定义学习要求理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值．课堂学习检测一、填空题1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而ACB A BC C B )()(='=''，又可得 ①='''BA CB ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个______值； ②=''B AC A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③='''CA CB ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个______．第1题图2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．第2题图①斜边)(sin =A ＝______，斜边)(sin =B ＝______； ②斜边)(cos =A ＝______，斜边)(cos =B ＝______；③的邻边A A ∠=)(tan ＝______，)(tan 的对边B B ∠=＝______．3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．6．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，若a ＝16，c ＝30，则b ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin C ＝______，cos C ＝______，tan C ＝______．7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______， sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______．二、解答题8．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3．求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．9．已知Rt △ABC 中，,12,43tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．综合、运用、诊断10．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．DE ∶AE ＝1∶2．求：sin B 、cos B 、tan B ．11．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠43sin AOC 求：AB 及OC 的长．12．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠53sin AOC(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 13．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=31sin A(1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．14．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ．拓展、探究、思考15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，按要求填空：(1),sin ca A =∴=⋅=c A c a ,sin ______； (2),cos cb A =∴b ＝______，c ＝______；(3),tan ba A =∴a ＝______，b ＝______；(4),23sin =B ∴=B cos ______，=B tan ______； (5),53cos =B ∴=B sin ______，=A tan ______；(6)∵=B tan 3，∴=B sin ______，=A sin ______．16．已知：如图，在直角坐标系xOy 中，射线OM 为第一象限中的一条射线，A 点的坐标为(1，0)，以原点O 为圆心，OA 长为半径画弧，交y 轴于B 点，交OM 于P 点，作CA ⊥x 轴交OM 于C 点．设∠XOM ＝α ．求：P 点和C 点的坐标．(用α 的三角函数表示)17．已知：如图，△ABC 中，∠B ＝30°，P 为AB 边上一点，PD ⊥BC 于D ．(1)当BP ∶PA ＝2∶1时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1； (2)当BP ∶PA ＝1∶2时，求sin ∠1、cos ∠1、tan ∠1．测试2 锐角三角函数学习要求1．掌握特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦、正切三角函数值，会利用计算器求一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角．2．初步了解锐角三角函数的一些性质．课堂学习检测一、填空题二、解答题2．求下列各式的值．(1)o 45cos 230sin 2-︒(2)tan30°－sin60°·sin30°(3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45°(4)︒+︒+︒+︒-︒45sin 30cos 30tan 130sin 145cos 2223．求适合下列条件的锐角α ． (1)21cos =α (2)33tan =α(3)222sin =α(4)33)16cos(6=- α4．用计算器求三角函数值(精确到0.001)． (1)sin23°＝______； (2)tan54°53′40″＝______．5．用计算器求锐角α (精确到1″)． (1)若cos α ＝0.6536，则α ＝______；(2)若tan(2α ＋10°31′7″)＝1.7515，则α ＝______．综合、运用、诊断6．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=1312sin A 求此菱形的周长．7．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．求：sin ∠ACB 的值．8．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：(1)∠D 及∠DBC ； (2)tan D 及tan ∠DBC ；(3)请用类似的方法，求tan22.5°．9．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交CB 于D 点，求：(1)∠BAD ；(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．10．已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，31tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．拓展、探究、思考11．已知：如图，∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，C 、D 是上的两点，∠AOD ＞∠AOC ，求证：(1)0＜sin ∠AOC ＜sin ∠AOD ＜1； (2)1＞cos ∠AOC ＞cos ∠AOD ＞0；(3)锐角的正弦函数值随角度的增大而______； (4)锐角的余弦函数值随角度的增大而______．12．已知：如图，CA ⊥AO ，E 、F 是AC 上的两点，∠AOF ＞∠AOE ．(1)求证：tan ∠AOF ＞tan ∠AOE ；(2)锐角的正切函数值随角度的增大而______．13．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，求证：(1)sin 2A ＋cos 2A ＝1； (2)⋅=AAA cos sin tan14．化简：ααcos sin 21⋅-(其中0°＜α ＜90°)15．(1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°______2sin15°cos15°； ②sin36°______2sin18°cos18°； ③sin45°______2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°______2sin30°cos30°； ⑤sin80°______2sin40°cos40°； ⑥sin90°______2sin45°cos45°．猜想：若0°＜α ≤45°，则sin2α ______2sin α cos α ．(2)已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2α ．请根据图中的提示，利用面积方法验证你的结论．16．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD 于H 点．在底边BC 保持不变的情况下，当高AD 变长或变短时，△ABC 和△HBC 的面积的积S △ABC ·S △HBC 的值是否随着变化?请说明你的理由．测试3 解直角三角形(一)学习要求理解解直角三角形的意义，掌握解直角三角形的四种基本类型．课堂学习检测一、填空题1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，第1题图①三边之间的等量关系：__________________________________． ②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：==B A cos sin ______； ==B A sin cos _______；==B A tan 1tan _____； ==B Atan tan 1______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．第④小题图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ． CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________． ⑤直角三角形的主要线段(如图所示)．第⑤小题图直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________，斜边的中点是_________．若r 是Rt △ABC (∠C ＝90°)的内切圆半径，则r ＝_________＝_________．⑥直角三角形的面积公式．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， S △ABC ＝_________．(答案不唯一)2．关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外，只要再知道_________(其中至少_________)，这个三角形的形状、大小就可以确定下来．解直角三角形的基本类型可分为已知两条边(两条_________或斜边和_________)及已知一边和一个锐角(_________和一个锐角或_________和一个锐角) 3二、解答题4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ；(3)已知：32sin =A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,23tan ==b B 求a 、c ；(5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．综合、运用、诊断5．已知：如图，在半径为R 的⊙O 中，∠AOB ＝2α ，OC ⊥AB 于C 点．(1)求弦AB的长及弦心距；(2)求⊙O的内接正n边形的边长a n及边心距r n．6．如图所示，图①中，一栋旧楼房由于防火设施较差，想要在侧面墙外修建一外部楼梯，由地面到二楼，再从二楼到三楼，共两段(图②中AB、BC两段)，其中CC′＝BB′＝3.2m．结合图中所给的信息，求两段楼梯AB与BC的长度之和(结果保留到0.1m)．(参考数据：sin30°＝0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82)7．如图所示，某公司入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，台阶面的宽为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为坡角为12°的斜坡，设原台阶的起点为A，斜坡的起点为C，求AC的长度(精确到1cm)．拓展、探究、思考8．如图所示，甲楼在乙楼的西面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3m，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．(1)若要求甲楼和乙楼的设计高度均为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米?(保留根号)(2)由于受空间的限制，甲楼和乙楼的距离BD＝21m，若仍要求冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，那么设计甲楼时，最高应建几层?9．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地多少距离?10．已知：如图，在高2m，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米?(保留整数)测试4 解直角三角形(二)学习要求能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形．课堂学习检测1．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．3．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．4．已知：如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，∠BDC ＝60°，BC ＝6cm ．求AD 的长．综合、运用、诊断5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．6．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13 )7．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23 DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ．8．已知：如图，小明准备测量学校旗杆AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，测得水平地面上的影长BC ＝20m ，斜坡坡面上的影长CD ＝8m ，太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐角为30°，求旗杆AB 的高度(精确到1m)．9．已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚A 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ，如果在山顶C 处观测到景点B 的俯角为60°．求山高CD (精确到0.01米)．10．已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为1m ，他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m ．问路灯高度为多少米?3到达B点，11．已知：如图，在一次越野比赛中，运动员从营地A出发，沿北偏东60°方向走了500m 然后再沿北偏西30°方向走了500m，到达目的地C点．求(1)A、C两地之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向?12．已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m的河堤．大堤高5m，坝顶宽4m，迎水坡和背水坡都是坡度为1∶1的等腰梯形．现要将大堤加高1m，背水坡坡度改为1∶1.5．已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石?拓展、探究、思考13．已知：如图，在△ABC中，AB＝c，AC＝b，锐角∠A＝α ．(1)BC的长；(2)△ABC的面积．14．已知：如图，在△ABC中，AC＝b，BC＝a，锐角∠A＝α ，∠B＝β ．(1)求AB 的长；(2)求证：.sin sin βαb a =15．已知：如图，在Rt △ADC 中，∠D ＝90°，∠A ＝α ，∠CBD ＝β ，AB ＝a ．用含a 及α 、β 的三角函数的式子表示CD 的长．16．已知：△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝10，25=BC ，求AB 的长．17．已知：四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于E 点，AC ＝a ，BD ＝b ，∠BEC ＝α (0°＜α ＜90°)，求此四边形的面积．测试5 综合测试1．计算． (1)45tan 260tan 60cos 2- (2)60cos 30cos 60tan 30tan 45sin 30sin 2222+⋅++2．已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AB ＝32，BC ＝12．求：sin ∠ACD 及AD 的长．3．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D 点，AB ＝2m ，BD ＝m －1，⋅=54cos A (1)用含m 的代数式表示BC ；(2)求m 的值；4．已知：如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，BE ＝2EC ，DM ⊥AE 于M 点．求DM 的长．5．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ABD ＝75°，∠DBC ＝30°，AB ＝2a ．求BC 的长．6．已知：如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠D ＝60°，35=AD ．AB ＝3，求BC 的长．7．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，BC ＝m ，锐角∠A ＝α ，(1)求⊙O 的半径R ；(2)求△ABC 的面积的最大值．8．已知：如图，矩形纸片ABCD 中，BC ＝m ，将矩形的一角沿过点B 的直线折叠，使A 点落在DC 边上，落点记为A ′，折痕交AD 于E ，若∠A ′BE ＝α ．求证：⋅⋅=αα2sin cos m EB第七章锐角函数全章测试一、选择题1．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，,32sin =A 则AC 的长为( ) A ．6B ．52C ．53D ．132 2．⊙O 的半径为R ，若∠AOB ＝α ，则弦AB 的长为( )A ．2sin 2αRB ．2R sin αC ．2cos 2αR D ．R sin α 3．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．312B ．12C ．324D ．3484．若某人沿倾斜角为α 的斜坡前进100m ，则他上升的最大高度是( )A ．m sin 100αB ．100sin α mC ．m cos 100βD ．100cos β m5．铁路路基的横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度为2∶3，顶宽为3m ，路基高为4m ，则路基的下底宽应为( )A ．15mB ．12mC ．9mD ．7m6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 点，若∠APB ＝2α ，⊙O 的半径为R ，则AB 的长为( )A ．ααtan sin R B ．ααsin tan R C ．ααtan sin 2R D ．ααsin tan 2R 7．在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，若CB ＝a ，∠B ＝β ，则AD 等于( )A ．a sin 2βB ．a cos 2βC ．a sin β cos βD ．a sin β tan β 8．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦AD 、BC 相交于P 点，那么ABDC 的值为( )A ．sin ∠APCB ．cos ∠APC C ．tan ∠APCD ．APC∠tan 1 9．如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB ．已知观测点C 到旗杆的距离(CE 的长度)为8m ，测得旗杆的仰角∠ECA 为30°，旗杆底部的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )第9题图A ．m )3828(+B ．m )388(+C ．m )33828(+D ．m )3388(+ 10．如图所示，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l 1＝5.2m 、l 2＝6.2m 、l 3＝7.8m 、l 4＝10m ，四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用( )第10题图 A ．l 1 B ．l 2 C ．l 3 D ．l 4二、填空题11．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝60°，若D 是AC 边中点，则tan ∠DBC 的值为______．12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝10，若△ABC 的面积为3350，则∠A ＝______度． 13．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若,31sin =∠ACB 则cos ∠ADC ＝______．第13题图14．如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度m 330=AB ，拱形的半径R ＝30m ，则拱形的弧长为______．第14题图15．如图所示，半径为r 的圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 的移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．第15题图三、解答题16．已知：如图，AB ＝52m ，∠DAB ＝43°，∠CAB ＝40°，求大楼上的避雷针CD 的长．(精确到0.01m)17．已知：如图，在距旗杆25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1.5m ，求旗杆CD 的高(精确到0.1m)．18．已知：如图，△ABC 中，AC ＝10，,31sin ,54sin ==B C 求AB ．19．已知：如图，在⊙O 中，∠A ＝∠C ，求证：AB ＝CD (利用三角函数证明)．20．已知：如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，AC ＝15，BC ＝8，求PE＋PF ．21．已知：如图，一艘渔船正在港口A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向．问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港(精确到1小时)(该船在C 岛停留半个小时)?)45.26,73.13,41.12(≈≈≈22．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A 点恰好落在OB的中点C 处，折痕为DE ．(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值； (2)求△CDE 的面积．23．已知：如图，斜坡PQ 的坡度i ＝1∶3，在坡面上点O 处有一根1m 高且垂直于水平面的水管OA ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的抛物线落下，水流最高点M 比点A 高出1m ，且在点A 测得点M 的仰角为30°，以O 点为原点，OA 所在直线为y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为x 轴建立直角坐标系．设水喷到斜坡上的最低点为B ，最高点为C ．(1)写出A点的坐标及直线PQ的解析式；(2)求此抛物线AMC的解析式；(3)求｜x C－x B｜；(4)求B点与C点间的距离．答案与提示第七章锐角函数测试11．△BAC ，AB ，AC ′．①ABBC，对边，斜边，固定； ②ABAC，邻边，斜边，固定值； ③ACBC，对边，邻边，固定值． 2．①∠A 的对边，,c a∠B 的对边，;c b ②∠A 的邻边，,cb ∠B 的邻边，;c a③∠A 的对边，,b a ∠B 的邻边，⋅ab3．唯一确定的值，对应，α 的函数，锐角三角函数． 4．⋅34,53,54,43,54,53,15 5．.3,1010,10103,31,10103,1010,10 6．⋅815,178,1715,158,1715,178,34 7．.3,21,23,33,23,21,60o8．⋅==∠=∠=∠==∠37tan tan ,43cos cos ,47sin sin N TMR N TMR N TMR 9．⋅===53cos ,20,16B AB AC 10．.2tan ,55cos ,552sin ===B B B 11．AB ＝2AC ＝2AO ·sin ∠AOC ＝24cm ，cm 7422=-=AC OA OC12．⋅=∠=∠==43tan ,54cos )2(;cm 332,cm 340)1(AOC AOC OC OA 13．(1)CD ＝AC ·sin A ＝4cm ；(2);cm 32212=⨯=CD AB S(3)⋅+=422tan B14．⋅=31sin B15．(1);sin Aa (2);cos ,cos AbA c ⋅ (3);tan ,tan Aa Ab ⋅ (4);3,21(5);43,54 (6)⋅1010,10103 16．P (cos α ，sin α )，C (1，tan α )．提示：作PD ⊥x 轴于D 点． 17．(1).31tan ,211cos ,231sin =∠=∠=∠ (2),231tan ,7721cos ,7211sin =∠=∠=∠ 提示：作AE ⊥BC 于E ，设AP ＝2．测试21．2．(1)0； (2);123(3);222325-+ (4)⋅-413 3．(1)α ＝60°；(2)α ＝30°；(3)22.5°；(4)46°．4．(1)0.391；(2)1.423．5．(1)49°11＇11″；(2)24°52＇44″．6．104cm ．提示：设DE ＝12x cm ，则得AD ＝13x cm ，AE ＝5x cm ．利用BE ＝16cm ．列方程8x ＝16．解得x ＝2． 7．,721提示：作BD ⊥CA 延长线于D 点． 8．(1)∠D ＝15°，∠DBC ＝75°；(2);32tan ,32tan +=∠-=DBC D (3).125.22tan -= 9．(1)15°； (2).32tan ,426cos ,426sin -=∠+=∠-=∠BAD BAD BAD10．⋅23,13132,13133提示：作DE ∥BA ，交AC 于E 点，或延长AD 至F ，使DF ＝ AD ，连结CF ．11．提示：作CE ⊥OA 于E ，作DF ⊥OA 于F ． (3)增大， (4)减小． 12．(2)增大．13．提示：利用锐角三角函数定义证． 14．原式ααααcos sin 2cos sin 22-+=2)cos (sin αα-=|cos sin |αα-=⎩⎨⎧<<-<≤-=).450(sin cos ),9045(cos sinαααααα 15．(1)①～⑥略．sin2α ＝2sin α cos α ．(2),2sin 212sin 12121αα=⨯⨯=⋅=∆BE AC S ABC ,cos sin 21αα⋅=⨯=⋅=∆AD BD AD BC S ABC ∴sin2α ＝2sin α cos α ．16．不发生改变，设∠BAC ＝2α ，BC ＝2m ，则.)tan (tan 422m m m S S HBCABC =⋅=⋅∆∆αα测试31．①a 2＋b 2＝c 2； ②∠A ＋∠B ＝90°； ③;,,,abb ac b c a④AD ·BD ，AD ·AB ，BD ·BA ，AB ·CD ： ⑤一半，它的外心，2c b a -+(或⋅++cb a ab) ⑥ab 21或ch 21(h 为斜边上的高)或A bc sin 21或B ac sin 21或).(21c b a r ++ (r 为内切圆半径)2．两个元素，有一个是边，直角边，一条直角边，斜边，一条直角边． 3．90°－∠A ，sin A ，cos A ；;sin ,tan ,90o Aa A a A ∠- ;90,tan ,22Ab a A b ac ∠-=+=.90,sin ,22B caA a c b ∠-=-=4．(1)∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝35； (2)∠A ＝60°，∠B ＝30°，c ＝4；(3);52,4==b a (4);133,6==c a(5).30,64,62,26 =∠===B c b a 5．(1)AB ＝2R ·sin α ，OC ＝R ·cos α ；(2)⋅⋅=⋅=n R r n R a n n180cos ,180sin 26．AB ≈6.40米，BC ≈5.61米，AB ＋BC ≈12.0米． 7．约为222cm ． 8．(1)318米．(2)4层，提示：设甲楼应建x 层则.2130tan 3≤x9．m 3100 10．6米．1．cm 3310,cm 3320==BC AB 2．)3515(+cm ．3．cm 25;cm )535(=-=BC AB 提示：作CD ⊥AB 延长线于D 点． 4．34cm ．5．山高m )31(50,m )31(25+=+AC 6．约为27.3海里． 7．m 33．8．约为17m ，提示：分别延长AD 、BC ，设交点为E ，作DF ⊥CE 于F 点．9．约477.13m ． 10．10m ．11．(1)AC ＝1 000m ； (2)C 点在A 点的北偏东30°方向上． 12．面积增加24m 2，需用240 000m 2土石．13．(1).cos 222α⋅-+=bc c b BC 提示：作CD ⊥AB 于D 点，则CD ＝b ·sin α ，AD ＝b ·cos α ．再利用BC 2＝CD 2＋DB 2的关系，求出BC ． (2)a bc sin 21⋅ 14．(1)AB ＝b ·cos α ＋a ·cos β . 提示：作CD ⊥AB 于D 点．(2)提示：由b sin α ＝CD ＝a sin β 可得b sin α ＝a sin β ，从而βαsin sin ba =． 15．提示：AB ＝AD －BD ＝CD tan(90°－α )－CD tan(90°－β )＝CD 〔tan(90°－α )－tan(90°－β )〕，)90tan()90tan(βα---=∴ a CD 或⋅-=αββαtan tan tan tan a CD 16．535+或.535-提示：AB 边上的高CD 的垂足D 点可能在AB 边上(这时AB ＝)535+，也可能在AB 边的延长线上(这时535-=AB )．17．.sin 21αab1．(1);23+ (2)⋅252．⋅==∠255,855sin AD ACD 3．(1))1(2-=m m BC 或⋅=56m BC (2)⋅=725m4．⋅5185．a BC 2=．提示：作BE ⊥AD 于E 点．6．BC ＝6．提示：分别延长AB 、DC ，设它们交于E 点． 7．(1)⋅=αsin 2mR 提示：作⊙O 的直径BA ＇，连结A ＇C ． (2)⋅2tan42αm 提示：当A 点在优弧BC 上且AO ⊥BC 时，△ABC 有面积的最大值．8．提示：⋅⋅=∠⋅='=αααα2sin cos 'sin cos cos mB CA BC B A EB 答案与提示第七章锐角函数全章测试1．B ． 2．A ． 3．A ． 4．B ． 5．A ． 6．C ． 7．C ． 8．B ． 9．D ． 10．B ． 11．⋅23 12．60． 13．⋅54 14．20πm ． 15．.332r 16．约4.86 m ． 17．约15.9m ．18．AB ＝24．提示：作AD ⊥BC 于D 点．19．提示：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ．设⊙O 半径为R ，∠A ＝∠C ＝α ．则AB ＝2R cos α ，CD ＝2R cos α ，∴AB ＝CD ． 20．⋅151618提示：设∠BDC ＝∠DCA ＝α ．PE ＋PF ＝PC sin α ＋PD sin α ＝CD sin α ． ,158sin =α ⋅=⨯=+∴151618158161PF PE21．约3小时，提示：作CD ⊥AB 于D 点．设CD ＝x 海里． 22．(1)⋅=∠=53sin .25BEC AE 提示：作CF ⊥BE 于F 点，设AE ＝CE ＝x ，则EF .29x -= 由CE 2＝CF 2＋EF 2得.25=x (2)⋅475提示：.4245sin 21o AE AD AE AD S S AED CDE ⋅=⋅==∆∆ 设AD ＝y ，则CD ＝y ，OD ＝12－y ，由OC 2＋OD 2＝CD 2可得⋅=215y 23．(1)A (0，1)，;33x y =(2).1332312)3(3122++-=+--=x x x y(3)m 15． (4).m 5230cos ||=-=B C x x BC。

苏科版九年级下册数学第7章锐角函数含答案(能力提高)

苏科版九年级下册数学第7章锐角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、sin60°的值等于（）A. B. C. D.2、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（）A. B. C. D.3、如图：在等腰△ABC中，∠C=90º，AC=6，D 是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. B.2 C.1 D.4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）A. B. C. D.5、如图，Rt△ABC中，AB=3，∠B=40°，则AC=（）A.3cos50°B.3tan40°C.3sin50°D.6、在Rt ABC中，∠C=90°，，AC= ，则AB的长可以表示为（）A. B. C. D.7、下列运算正确的是（）A.sin60°=B.a 6÷a 2=a 3C.（﹣2）0=2D.（2a 2b）3=8a 6b 38、如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A.20米B.10 米C.15 米D.5 米9、如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（）A. B. C. D.10、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°11、已知：△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，AB=3，那么的值是（）A. B. C. D.12、如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，且点E是AB的中点，则tan∠BFE的值是( ）A. B. C.2 D.13、下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（）A. B. C.D.14、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（）A. B. C. D.15、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________17、①sin2A+cos2A=________，②tanA•cotA=________．18、如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________.19、BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为________20、如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，已知BE＝3，BC＝3 ，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）.21、如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于________米（保留根号）22、如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．23、如图，已知点A，B分别是反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO，则k的值为________．24、在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝ ________ .25、如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为________米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（）﹣2+| ﹣1|﹣2sin60°．27、校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．28、如图,在△ABC中,AC=1,AB=2,∠BAC=60°,求BC的长.29、如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）30、先化简，再求值：，其中．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、B5、A6、A7、D9、A10、A11、D12、D13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

苏州新草桥中学九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》测试题(提高培优)

一、选择题1．由世界知名建筑大师摩西·萨夫迪设计的重庆新地标“来福士广场”，广场上八幢塔楼临水北向，错落有致，宛若巨轮扬帆起航，成为我市新的地标性建筑—“朝天扬帆”．来福士广场T3N塔楼核芯简于2017年12月11日完成结构封顶，高度刷新了重庆的天际线．小李为了测量T3N塔楼的高度，他从塔楼底部B出发，沿广场前进185米至点C．继而沿坡度为1:2.4i=的斜坡向下走65米到达码头D，然后在浮桥上继续前行110米至趸船E，在E处小李操作一架无人勘测机，当无人勘测机飞行至点E的正上方点F时，测得码头D的俯角为58°，楼项A的仰角为30°，点A、B、C、D、E、F、O在同一平面内．则T3N塔楼AB的高度约为（）（结果精确到1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈，3 1.73≈）A．319米B．335米C．342米D．356米2．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，延长PO交⊙O于点C，若60APB∠=︒，6PC=，则AC的长为（）A．4 B．22C．23D．333．如图，点A（-1，0），点B（-4，0），平行四边形ABCD的顶点D在第二象限，反比例函数y=kx（k<0）图像过点D和BC边的中点E，若∠C=α，则k的值（用含α的式子表示为）（）A ．-4tanαB ．-3tanαC ．925-tanαD ．289-tanα 4．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD 的平台BC 上（如图），测得52.5,5AED BC ︒∠＝＝米，35CD =米，19DE =米，则铁塔AB的高度约为（）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.5 1.30sin cos tan ︒︒︒≈≈≈）A ．7.6 米B ．27.5 米C ．30.5 米D ．58.5 米 5．如图，小明在一条东西走向公路的O 处，测得图书馆A 在他的北偏东60︒方向，且与他相距200m ，则图书馆A 到公路的距离AB 为（）A ．100mB ．1002mC ．1003mD ．2003m 36．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 的中点，DE BC ⊥，//CE AD ，若2AC =，30ADC ∠=︒，①四边形ACED 是平行四边形；②BCE ∆是等腰三角形；③四边形ACEB 的周长是10213+；则以上结论正确的是（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③7．如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A ．2B ．52C ．5D ．28．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，22AC BC ==，CD AB ⊥于点D ．点P 从点A 出发，沿A D C →→的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE AC ⊥于点E ，作PF BC ⊥于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，点A ，B ，C 在正方形网格的格点上，则sin ∠BAC=（）A ．26B ．2626C ．2613D ．131310．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（）A ．35B ．59C ．512D ．4511．点E 在射线OA 上，点F 在射线OB 上，AO ⊥BO ，EM 平分∠AEF ，FM 平分∠BFE ，则tan ∠EMF 的值为( )A ．12B ．33C ．1D ．312．如图，为测量瀑布AB 的高度，测量人员在瀑布对面山上的D 点处测得瀑布顶端A 点的仰角是30，测得瀑布底端B 点的俯角是10︒，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得27.0CG m =，17.6GF m =（注：C 、G 、F 三点在同一直线上，CF AB ⊥于点F ），斜坡20.0CD m =，坡角40ECD ∠=︒，那么瀑布AB 的高度约为（）．（精确到0.1m ，参考数据：3 1.73≈，sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin100.17︒≈，cos100.98︒≈，tan100.18︒≈）A ．44.8mB ．45.4mC ．47.4mD ．114.6m 13．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若3CD =AOB 的面积为（）A ．12πB ．2πC ．4πD ．24π 14．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度． A ．75 B ．15或30 C ．75或15 D ．15或45 15．如图所示，矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝23，△ADE 为正三角形．若半径为R 的圆能够覆盖五边形ABCDE （即五边形ABCDE 的每个顶点都在圆内或圆上），则R 的最小值是（）A ．23B ．4C ．2.8D ．2.5二、填空题16．如图所示，ABO 中，AB OB ⊥，OA=2，AB=1，把ABO 绕点O 旋转150°后得到11A B O ，则点1A 的坐标为_______17．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 3，则AH=__．18．如图，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中1:3i =是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=，6AB =，4=AD ，拦水坝的横断面ABCD 的面积是________（结果保留三位有效数字，参考数据：3 1.732=，2 1.414=）19．如图，在菱形ABCD 中，过点C 作CE BC ⊥交对角线BD 于点E ，且DE CE =，若AB 6=，则DE =_________．20．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．21．如图，ABCD 是一张边长为4cm 的正方形纸片，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，沿过点D 的折痕将A 角翻折，使得点A 落在EF 上的点A′处折痕交AE 于点G ，则∠ADG=____°EG=___cm ．22．如图，矩形ABCD 中，AD=1，3，连接AC ，将线段AC 、AB 分别绕点A 顺时针旋转90°至AE 、AF ，线段AE 与弧BF 交于点G ，连接CG ，则图中阴影部分面积为__.23．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2AC ，则∠A ＝__°，∠B ＝___°．24．如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=12cm ，BC=5cm ，AB=13cm ，则点C 到AB 边的距离是______cm ．25．如图：在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于点E ．求OE 的长是．26．如图，ABCD 中，∠DAB =30°，AB =8，BC =3，P 为边CD 上的一动点，则PB +12PD 的最小值等于__________.三、解答题27．已知：如图所示，ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别()0,3A ，()3,4B ，()2,2C ，(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)． ()1画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，点1C 的坐标是____；tan _____.BAC ∠=()2以点B 为位似中心，在网格内画出222A B C△，使222A B C △与ABC 位似，且位似比为2:1，点2C 的坐标是_____； ()2223A B C 的周长为_______ ．28．计算（1）cos 451-sin60︒︒（2）（12）-2-（π-3.14）0-│tan60°-2│ 29．如图，在△CFE 中，CF ＝6，CE ＝12，∠FCE ＝45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB //CD ．（1）求证：四边形ACDB 为菱形；（2）求四边形ACDB 的面积．30．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD E '的位置（如图2所示），已知90AD =厘米，30DE =厘米，40EC =厘米．（1）求点D 到BC 的距离；（2）求E 、E '两点的距离．。

苏州景城学校九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，则C ∠的度数是（） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 2．在Rt ABC 中，90,C a b c ∠=︒、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，如果3,4a b ==，那么下列等式中正确的是( )A ．4sin 3A =B ．4cos 3A =C ．4tan 3A =D ．4cot 3A = 3．如图，△ABC 的三个顶点均在格点上，则cos A 的值为（）A ．12B ．55C ．2D ．2554．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A ．2B ．25C ．5D ．125．如图，四边形 ABCD 中，BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，CD=4，∠ADC=60°，则△BCD 的面积为（）A ．3B ．8C ．3D ．366．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝2，点E 是边BC 上一动点，B 关于AE 的对称点为B ′，过B ′作B ′F ⊥DC 于F ，连接DB ′，若△DB ′F 为等腰直角三角形，则BE 的长是（）A ．6B ．3C ．32D ．62﹣6 7．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB 的高度，他作了如下操作：（1）在点C 处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE α∠=；（2）量得测角仪的高度CD a =；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB b =．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）A ．tan a b α+B ．sin a b α+C ．tan b a α+D ．sin b a α+ 8．如图，为一幅重叠放置的三角板，其中∠ABC=∠EDF=90°，BC 与DF 共线，将△DEF 沿CB 方向平移，当EF 经过AC 的中点O 时，直线EF 交AB 于点G ，若BC=3，则此时OG 的长度为（）A 322B 332C ．32D 333229．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点，且△PCE 的周长最小，则△PCE 的周长的最小值为（）A ．3+1B ．7+1C ．23+1D ．27+1 10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为10m ，DE 的长为5m ，则树AB 的高度是（）m ．A ．10B ．15C ．153D ．153﹣5 11．如图，在矩形ABCD 中，33AB =，AD ＝9，点P 是AD 边上的一个动点，连接BP ，将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ，连接A 1C ，取A 1C 的三等分点Q （CQ ＜A 1Q ），当点P 从点A 出发，沿边AD 运动到点D 时停止运动，点Q 的运动路径长为（）A ．πB ．23πC ．433πD ．233π 12．在平面直角坐标系中，正方形1111D C B A 、1122D E E B 、2222A B C D 、2343D E E B 、3333A B C D …按如图所示的方式放置，其中点1B 在y 轴上，点1C 、1E 、2C 、3E 、4E 、3C …在x 轴上，已知正方形1111D C B A 的边长为1，1160B C O ∠=︒，112233B C B C B C …则正方形2019201920192019A B C D 的边长是（）A ．201812⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．201912⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201933⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．201833⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题13．计算：02cos 45|13|(3)π︒+---＝_____．14．已知32＜cosA ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是_________ 15．在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8．将矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，则折痕的长是______．16．已知在矩形ABCD 中，AC ＝12，∠ACB ＝15°，那么顶点D 到AC 的距离为_____． 17．计算：112tan 6032()2-+---____． 18．如图，已知Rt △AC 1C 中，∠AC 1C ＝90°，∠A ＝30°，CC 1＝1，作C 1C 2⊥AC 于点C 2，C 2C 3⊥AC 1于点C 3，C 3C 4⊥AC 于点C 4……C n ﹣1C n ⊥…于点C n ，分别记线段CC 1，C 1C 2，C 2C 3…C n ﹣1C n 的长为a 1，a 2，a 3…a n ，计算并观察其中的规律得a n ＝________________.19．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．20．如图，边长为6的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30后得到正方形EFCG ，EF 交AD 于点H ，则DH =____________．三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1．对于图形M ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为O 上任意一点，如果,P Q 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M 的“圆距”，记作()d M ．如图，已知点()2,0A ．（1）直接写出d （点A ）的值；（2）设T 是直线24y x =-+上一点，以为T 圆心，1长为半径作T ．若()d T 满足()612d O ≤≤，求圆心T 的横坐标x 的取值范围；（3）过点A 画直线2y kx k =-与y 轴交于点B ，当d (线段AB ）取最小值时，直接写出k 的取值范围．22．如图，ABC 是O 的内接三角形，60BAC ∠=︒，设O 的半径为2．（1）求BC 的长；（2）求弧BC 与弦BC 围成的图形面积（结果保留)π．23．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC =5，求tan ∠ABD 的值．参考答案24．计算：（1）()2222cos30sin 45cos 601tan 60tan 45-+︒+-︒︒︒︒（2）23260x x --=（3）2(1)5(1)140x x -+--= 25．（1）sin 6045260cos30tan tan ︒-︒+︒︒．（2）tan 45cos6030sin 60tan ︒-︒⨯︒︒． 26．解答下列各题：（1）计算：(1012sin 6032202032-⎛⎫︒+-+ ⎪⎝⎭．（2）解方程：21133x x x-=--．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C【分析】根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02A -=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．【详解】解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭， 1cos 02A ∴-=，1tan 0B -=，则1cos 2A =，tan 1B =，解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．D解析：D【分析】分别算出∠A 的各个三角函数值即可得到正确选项．【详解】解：由题意可得：2222345c a b =+=+=，∴3434sin ,cos ,tan ,,5543a b a b A A A cotA c c b a ======== ∴正确答案应该是D ，故选D ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，正确理解锐角三角函数的定义是解题关键． 3．D解析：D【分析】过B 点作BD ⊥AC ，得AB 的长，AD 的长，利用锐角三角函数得结果．【详解】解：过B 点作BD ⊥AC ，如图，由勾股定理得，221310+=222222+=cosA=222510AD AB == 故选D ．【点睛】本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．4．D解析：D【分析】连接AC ，根据网格图不难得出=90CAB ∠︒，求出AC 、BC 的长度即可求出ABC ∠的正切值．【详解】连接AC ，由网格图可得：=90CAB ∠︒，由勾股定理可得：AC 2AB =2∴tan ABC ∠=21222AC AB ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查网格图中锐角三角函数值的求解，根据网格图构造直角三角形是解题关键． 5．A解析：A【分析】先证明△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，可得△CDM是等边三角形，进而得到∆BCM ≅∆ACD ，可得到60BMC ∠=︒，得到BM ∥CD ，过点M 作MH CD ⊥，根据△BCD 的面积等于△CDM 的面积求解即可；【详解】∵BD 是对角线，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，以C 为圆心，CD 为半径作圆，交AD 边与点M ，延长BC ，交C 于点N ，如图所示，∵∠ADC=60°，CM=CD ，∴△CDM 是等边三角形，∴60MCD ∠=︒，∴∠ACB+∠ACM=∠MCD+∠ACM ，即：∠BCM=∠ACD ，∴∆BCM ≅∆ACD ，∴∠BMC=∠ADC=60°，∴∠BMC=∠MCD ，∴BM ∥CD ，根据平行线间的距离相等得到△BCD 的面积等于△CDM 的面积，过点M 作MH CD ⊥，∵CD=4，∴2==CH HD ， ∴tan 602MH MH DH ︒==， ∴23MH =， ∴△△1423432BDC CDM S S ==⨯⨯= 故答案选A ．【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合等边三角形性质，构造等边△CDM 是解题的关键． 6．D解析：D【分析】根据 B 关于 AE 的对称点为 B′，可得2AB AD '=1AB D ∴等腰直角三角形，可得D B E '、、三点共线，可求出BE 的长．【详解】解：26,62,2AB AB AB AD AD ==='∴=', 又△DB′F 为等腰直角三角形，045FDB ∴∠=, 又在矩形 ABCD ，090ADF ∠=,045ADB ∴='∠,又22AB AD '=， AB D ∴'等腰直角三角形, 090AB D ∴='∠,090AB E ∠=',D BE ∴'、、三点共线，在等腰直角△RCE ，CE=CD=6,∴BE=BC-CE=626-,故选D..【点睛】本题考查三角形的性质及解直角三角形，找出D B E '、、三点共线是解题关键． 7．A解析：A【分析】延长CE 交AB 于F ，得四边形CDBF 为矩形，故CF=DB=b ，FB=CD=a ，在直角三角形ACF 中，利用CF 的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF 的长，从而可求出旗杆AB 的长．【详解】延长CE 交AB 于F ，如图，根据题意得，四边形CDBF 为矩形，∴CF=DB=b ，FB=CD=a ，在Rt △ACF 中，∠ACF=α，CF=b ，tan ∠ACF=AF CF∴AF=tan tan CF ACF b α∠=,AB=AF+BF=tan a b α+，故选：A ．【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．8．A解析：A【分析】分别过O作OH⊥BC，过G作GI⊥OH，由O是中点，根据平行线等分线段定理，可得H为BC的中点，则可得BH=32，再由三个角都是直角的四边形是矩形，可得GI=BH=32，在等腰直角三角形OGI中，即可求解．【详解】解：过O作OH⊥BC于H，过G作GI⊥OH于I ∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴OH∥AB，又O为中点，∴H为BC的中点，∴BH=12BC=32∵GI⊥OH，∴四边形BHIG为矩形，∴GI∥BH，GI=BH=32,又∠F=45°，∴∠OGI=45°，∴在Rt△OGI中，32cos2GIOGOGI==∠．故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形及平行线等分线段定理，构造合适的辅助线是解题关键．9．B解析：B【分析】由菱形ABCD中，∠ABC＝120°，易得△BCD是等边三角形，继而求得∠ADE的度数；连接AE，交BD于点P；首先由勾股定理求得AE的长，即可得△PCE周长的最小值＝AE+EC．【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝1∠ADC＝60°，2∴△BCD是等边三角形，∵点E是BC的中点，∴∠BDE＝1∠BDC＝30°，2∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴PA＝PC，++，∵△PCE的周长=PC PE CE若△PCE的周长最小，即PC+PE最小，也就是PA+PE最小，即A，P，E三点共线时，∵DE＝CD•sin60°＝3，CE＝1BC＝1，2∴在Rt△ADE中，227=+=，AE AD DE∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝71+，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短路线问题、等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．10．B解析：B【分析】先根据CD＝10m，DE＝5m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【详解】解：在Rt △CDE 中，∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，∴sin ∠DCE ＝51102DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，∴∠BGF ＝60°∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．∵∠BDF ＝30°，∴∠DBF ＝60°，∴∠DBC ＝30°，∴BC＝tan30CD ==︒m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝2＝15（m ）．故选：B ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．11．D解析：D【分析】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，根据平行线分线段成比例得出113QE A B =为定值，可得出点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径的圆弧，通过对点A 1运动轨迹的分析求出圆心角，最后根据弧长公式进行求解．【详解】连接AC ，BD ，相交于点O ，过点Q 作1//QE A B ，交BC 于点E ，即点E 为BC 的三等分点，∵在矩形ABCD中，AB =AD ＝9，∴tan AB ADB AD ∠==30ADB ︒∠=， ∴60ABD ︒∠=，∵将矩形ABCD 沿BP 折叠，得到△A 1PB ， ∴133A B AB==， ∴1133QE A B ==，当点P 运动到点A 时，点A 1与点A 重合，当点P 运动到点D 时，点A 1与A 2重合，此时2120ABA ︒∠=，∴点Q 的运动轨迹是以点E 为圆心，QE 为半径，圆心角为120︒的圆弧，∴点Q 的运动路径长120323ππ⨯==, 故选D ．【点睛】本题考查矩形与轴对称图形的性质，平行线分线段成比例，由三角函数值求锐角，弧长公式，构造平行线得出QE 的长为定值是解题的关键．12．D解析：D【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．【详解】解：∵∠B 1C 1O=60°，B 1C 1//B 2C 2//B 3C 3，∴∠D 1C 1E 1=∠C 2B 2E 2=∠C 3B 3E 4=30°，∴D 1E 1=C 1D 1sin30°= 12，则B 2C 2= 2230B E cos = 123= 13(3，同理可得：B 3C 3= 13= 2(3，故正方形A n B n C n D n 的边长是：1n -．则正方形2019201920192019A B C D 的边长是：2018．故选D ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键.二、填空题13．﹣1【分析】原式利用特殊角的三角函数值绝对值的代数意义以及零指数幂法则计算即可得到结果【详解】解：原式＝＝故答案为：﹣1【点睛】此题考查了实数的运算特殊角的三角函数值以及零指数幂熟练掌握运算法则是解1【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】112+-11【点睛】此题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值,以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14．20°＜∠A ＜30°【详解】∵＜cosA ＜sin70°sin70°=cos20°∴cos30°＜cosA ＜cos20°∴20°＜∠A ＜30°解析：20°＜∠A ＜30°．【详解】∵cosA ＜sin70°，sin70°=cos20°， ∴cos30°＜cosA ＜cos20°，∴20°＜∠A ＜30°．15．【分析】先利用勾股定理得出AC 根据翻折变换的性质可得AC ⊥EFOC=AC 然后利用∠ACB 的正切列式求出OF 再求出△AOE 和△COF 全等根据全等三角形对应边相等可得OE=OF 从而求出折痕的长【详解】解解析：152【分析】先利用勾股定理得出AC ，根据翻折变换的性质可得AC ⊥EF ，OC=12AC ，然后利用∠ACB 的正切列式求出OF ，再求出△AOE 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OF ，从而求出折痕的长．【详解】解：如图∵AB=6，BC=8，∴AC==10，∵折叠后点C 与点A 重合，∴AC ⊥EF ，OC=12AC=12×10=5， ∵tan ∠ACB=OF CO ＝AB CB ， ∴OF 5＝68，解得OF=154， ∵矩形对边AD ∥BC ，∴∠OAE=∠OCF ，在△AOE 和△COF 中 OAE OCF OA OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴OE=OF=154， ∴EF=152故答案为152 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．3【分析】先利用三角函数的值分别求出AB 及BC 然后利用三角形ADC 面积的两种表示形式可求出DE 的长【详解】如图过点D 作DE ⊥AC 于点E 在这里先推导出sin15°的值：如图设中D 是AC 上一点则设则由题解析：3【分析】先利用三角函数的值分别求出AB 及BC ，然后利用三角形ADC 面积的两种表示形式可求出DE 的长．【详解】如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，在这里先推导出sin15°的值：如图，设Rt ABC 中，A 15,C 90∠=︒∠=︒，D 是AC 上一点，BDC 30∠=︒，则ABD 15∠=︒，AD BD =，设BC x =，则AD BD 2x ==，DC 3x =，AC (32)x =+2222[(32)](62)AB AB BC x x ∴=+=+⨯+=+，BC 62sin15sin A AB (62)x -∴︒====+由题意得：AB ＝AC sin ∠ACB ＝6﹣2，BC ＝62，S △ADC ＝12AD •DC ＝12AC •DE ＝9， ∴DE ＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查的是矩形的性质，解答本题的关键是根据∠ACB 的度数求出AB 及AC 的长，这要求我们熟练掌握三角函数值的求解方法．17．【分析】先利用特殊的三角函数值计算再利用绝对值和负指数得出结论【详解】解:原式=故答案为：【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值绝对值负整数指数幂3个考点在计算时需要针对每个考点分别进行计算然后根据实数解析：4【分析】先利用特殊的三角函数值计算，再利用绝对值和负指数得出结论．【详解】解:原式=22224=+=+故答案为：4．【点睛】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂3个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果．18．【分析】探究规律利用规律解决问题即可【详解】解：在中∵∠C=60°∴同理可得：故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用规律型问题解题的关键是学会探究规律的方法解析：n-12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：在12Rt CC C △中，∵∠C=60°，1CC =1，∴121a 1,a CC sin 602==⨯︒=，同理可得：234n 1345n a a a ...a -====⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，故答案为：n-1⎝⎭．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法． 19．1【分析】过点E 作EM ⊥AF 于M 交BD 于N 根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN 的长再依据△EMF ≌△DNE （AAS ）得出MF=EN 据此可得当AF ∥BD 时线段AF 的解析：1+．【分析】过点E 作EM ⊥AF 于M ，交BD 于N ，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN3=，据此可得，当AF∥BD时，线段AF的长为13 +.【详解】如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE23=AC，∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM12=AE=1．∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC•sin60°3=∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．∵ED=EF，∴△EMF≌△DNE（AAS），∴MF=EN3=∴AF=AM+MF=132+．故答案为：13．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 20．【分析】过点F作FI⊥BC于点I延长线IF交AD于J根据含30°直角三角形的性质可求出FIFJ和JH的长度从而求出HD的长度【详解】解：过点F作FI⊥BC于点BC延长线AD交AD于J由题意可知：CF解析：23【分析】过点F作FI⊥BC于点I，延长线IF交AD于J，根据含30°直角三角形的性质可求出FI、FJ 和JH的长度，从而求出HD的长度．【详解】解：过点F作FI⊥BC于点BC，延长线AD交AD于J，由题意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，∴FI=3，CI=33∵JI=CD=6，∴JF=JI-FI=6-3=3，∵∠HFC=90°，∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，∴∠JFH=∠FCB=30°，设JH=x，则HF=2x，∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，∴3∴DH=DJ-JH=33323=故答案为：3【点睛】本题考查正方形的性质，涉及正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，本题属于中等题型．三、解答题21．（1）3；（2）圆心T的横坐标x的取值范围145x-≤≤或1665x≤≤；（3）3322-≤≤k ．【分析】（1）根据“圆距”的定义求解即可；（2）先确定OT 的取值范围，求出T 坐标，根据勾股定理列方程求出x ，进一步确定x 的取值；（3）先求出d (线段AB ）的最小值，再求出点B 坐标，代入2y kx k =-求出k 的值，从而确定k 的取值．【详解】解：（1）∵A （2，0），O 的半径为1，∴d （点A ）=1+2=3； ()2如图1，由题意可知，410OT ≤≤．过T 作TH y ⊥轴于H ，∵24y x =-+，O 的半径为1∴(),24T x x -+，由222TH OH OT +=得，①当4OT =时，()222244x x +-+=，解得12160,5x x == ②当10OT =时，()2222410x x +-+=，解得12146,5x x ==- ∴圆心T 的横坐标x 的取值范围1405x -≤≤或1665x ≤≤（3）当AB 与⊙O 相切时，d(线段AB ）取最小值=2设切点为M ，连接OM ，则OM=1，∠OMA=90°，∵A （2，0），∴OA=2∴sin ∠BOA=12OM OA = ∴∠BOA=30°，在Rt AOB 中∴OB=OAtan30°3∴B 点坐标为：（03把B 点坐标代入解得k=32-；当B 点在x 轴下方时，3 ∴当d(线段AB ）取最小值时33≤≤k 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，图形M 的“圆距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题22．（1）23BC =；（2）433π833π【分析】（1）连接OB ，OC ，作OD BC 于点D ，通过圆周角定理及解直角三角形解题即可；（2）分优弧BC 与劣弧BC 两种情况分别进行讨论即可．【详解】（1）如图，连接OB ，OC ，作OD BC 于点D ，则12BD DC BC ==，由圆周角定理得，2120BOC BAC ∠=∠=︒，则sin 3BD OB BOD =⋅∠=223BC BD ∴==；（2）劣弧BC 与弦BC 围成的图形面积2120214231336023ππ⨯=-⨯= 优弧BC 与弦BC 围成的图形面积2240218231336023ππ⨯=+⨯=+ 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，掌握圆周角定理，扇形的面积公式是解题的关键． 23．（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE 的度数；（2）连接DO ，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF 是⊙O 的切线；（3）根据已知条件易证△CDE ∽△ADC ，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD 的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO ，∵∠EDC=90°，F 是EC 的中点，∴DF=FC ，∴∠FDC=∠FCD ，∵OD=OC ，∴∠OCD=∠ODC ，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF 是⊙O 的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD ，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E ，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE ∽△ADC ， ∴DC DE AD DC =， ∴DC 2=AD•DE ∵AC=25DE ，∴设DE=x ，则AC=25x ，则AC 2﹣AD 2=AD•DE ，期（25x ）2﹣AD 2=AD•x ，整理得：AD 2+AD•x ﹣20x 2=0，解得：AD=4x 或﹣4.5x （负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x -=，故tan ∠ABD=tan ∠ACD=422AD x DC x==．24．（1）15342--；（2）11193x =，21193x =；（3）13x =，26x =-；【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果；（2）利用求根公式计算即可；（3）将（x -1）看作整体，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：()2222cos30sin 45cos 601tan 60tan 45-+︒+-︒︒︒︒ =223214()(13)122-+⨯-=14++1)124---=154-- （2）解：23260x x --=，∵3,2,6a b c ==-=-，∴2(2)43(6)472760,∆=--⨯⨯-=+=>∴方程有两个不相等的实根，∴x ==∴1x =2x =；（3）解：2(1)5(1)140x x -+--=，[][](1)7(1)20,x x -+--=∴60x +=或30x -=，∴126,3x x =-=．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算以及一元二次方程的解法，常用的解一元二次方程的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．（1）2）13．【分析】（1）首先求出特殊角的三角函数值，然后根据实数加减混合运算法则计算即可；（2）首先求出特殊角的三角函数值，然后化简，然后根据实数加减混合运算法则计算即可．【详解】（1）sin 6045260cos30tan tan ︒-︒+︒︒=12-+（2）tan 45cos6030sin 60tan ︒-︒⨯︒︒=11-3==13．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的混合运算，关键是记忆30 º、45 º和60º的三角函数值．26．（1）1；（2）4x=-【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数、绝对值的代数意义、负指数幂法则以及0指数幂的运算法则分别化简，即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验后即可得到分式方程的解的结果．【详解】解：（1）原式＝2221++＝1；（221133xx x-=--去分母得：()231x x--=-，去括号得：231x x-+=-，解得：4x=-，经检验4x=-是分式方程的解．【点睛】此题考查了实数的运算和解分式方程，实数运算的关键是掌握各运算类型的法则，解分式方程时把分式方程转化为整式方程求解，且一定注意要验根．。