1.3.1 二项式定理
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1.3.1 二项式定理
• 1．3 二项式定理
• 1．3.1 二项式定理
• 1 ．理解用组合知识推导二项式定理，弄 清其运用范围． • 2．理解通项的意义并会灵活应用． • 3．区分项的系数与二项式系数． • 4 ．会正用、逆用定理来解决一些简单的 问题．
• 本节重点：二项式定理的推导及通项公 式． • 本节难点：如何利用计数原理推导出二项 展开式．
(3
x )
解法 2：(化简后再展开)
3
4 1 (3 x ＋ 1) 4 x＋ ＝ x2 x
1 ＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ ＋ 2. x x
2
• [点评] 解法2形式较为简单，在展开二项 式之前应根据二项式的结构特征进行必要 变形，这是使运算求得简化的途径．如求 (1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn ＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方 便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件，对较复杂的二项式，有时先化简再展 开会更简便．
[ 解析 ]
0 n 0 n －1 1 k k n－k 原式＝ C n · 2· 1 －C1 2 · 1 ＋ „ ＋ ( － 1) · Cn2 n
＋„＋(－1)n· Cn 20＝(2－1)n＝1. n·
• [点评] 解决这类问题要注意分析其结构 特点，a的指数是从高到低，b的指数是从 低到高，且a、b的指数和等于二项式的次 数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中， 二项式中的每一项只有两项的乘积，故需 添加“1”凑成二项展开式的形式．
1 求(x ＋x2－2)4 的展开式． 1 2 [解析] (x ＋ 2－2)4 x
• 1．3.1 二项式定理
• 1 ．理解用组合知识推导二项式定理，弄 清其运用范围． • 2．理解通项的意义并会灵活应用． • 3．区分项的系数与二项式系数． • 4 ．会正用、逆用定理来解决一些简单的 问题．
• 本节重点：二项式定理的推导及通项公 式． • 本节难点：如何利用计数原理推导出二项 展开式．
(3
x )
解法 2：(化简后再展开)
3
4 1 (3 x ＋ 1) 4 x＋ ＝ x2 x
1 ＝x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) 12 1 ＝81x ＋108x＋54＋ ＋ 2. x x
2
• [点评] 解法2形式较为简单，在展开二项 式之前应根据二项式的结构特征进行必要 变形，这是使运算求得简化的途径．如求 (1－x)5·(1＋x＋x2)5的展开式，可根据anbn ＝(ab)n将原式变为(1－x3)5再展开较为方 便．记准、记熟二项式(a＋b)n的展开式， 是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件，对较复杂的二项式，有时先化简再展 开会更简便．
[ 解析 ]
0 n 0 n －1 1 k k n－k 原式＝ C n · 2· 1 －C1 2 · 1 ＋ „ ＋ ( － 1) · Cn2 n
＋„＋(－1)n· Cn 20＝(2－1)n＝1. n·
• [点评] 解决这类问题要注意分析其结构 特点，a的指数是从高到低，b的指数是从 低到高，且a、b的指数和等于二项式的次 数n，正负相间是(a－b)n的形式，本例中， 二项式中的每一项只有两项的乘积，故需 添加“1”凑成二项展开式的形式．
1 求(x ＋x2－2)4 的展开式． 1 2 [解析] (x ＋ 2－2)4 x
高二数学 第一章1.3.1 二项式定理
本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝
课件5：1.3.1 二项式定理
1.3.1 二项式定理
1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘 法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋ 4ab3＋b4.
二项式定理的展开式
求
x－21 x4 的展开式．
[思路点拨]
解答本题先将 x看成 a，－21 x看成 b，利用二
项式定理展开，也可以先将
x－21 x4 化简后再展开．
解：方法一：
x－21 x4＝C04(
x)4－C14(
x)3·21 x＋C24(
x)2·21 x2
－C34
x·2
1
x3＋C442
1
x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
3.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”
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(2)方法一：3
x＋ 1x4
＝(3
x)4＋C14(3
x)3·1x＋C24(3
x)2
1x2＋C34(3
x)·
1x3＋C44
1x4
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
方法二：3
x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4
＝x12[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C43(3x)3＋C44(3x)4]
二项式定理及相关的概念
二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Crn·an－rbr ＋…＋Cnn·bn
二项式系数
1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理和二项展开式的通项公式． 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．
[问题1] 我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘 法推导(a＋b)3、(a＋b)4的展开式．
[提示1] (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋ 4ab3＋b4.
二项式定理的展开式
求
x－21 x4 的展开式．
[思路点拨]
解答本题先将 x看成 a，－21 x看成 b，利用二
项式定理展开，也可以先将
x－21 x4 化简后再展开．
解：方法一：
x－21 x4＝C04(
x)4－C14(
x)3·21 x＋C24(
x)2·21 x2
－C34
x·2
1
x3＋C442
1
x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
3.方法收获：正确区分“项的系数”和“二项式系数”
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(2)方法一：3
x＋ 1x4
＝(3
x)4＋C14(3
x)3·1x＋C24(3
x)2
1x2＋C34(3
x)·
1x3＋C44
1x4
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
方法二：3
x＋ 1x4＝3x＋x 14＝x12(1＋3x)4
＝x12[1＋C14·3x＋C24·(3x)2＋C43(3x)3＋C44(3x)4]
二项式定理及相关的概念
二项式定理
(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋…＋Crn·an－rbr ＋…＋Cnn·bn
二项式系数
课件9：1.3.1 二项式定理
人教版数学 ·选修2-探3 究三 整除或余数问题 典例 3 求证：5151－1 能被 7 整除．
证明：∵5151－1＝(49＋2)51－1 ＝4951＋C151·4950·2＋C251·4949·22＋…＋C5501·49·250＋251－1. 可以看出：展开式中除 251－1 外，其余各项都能被 7 整除． 而 251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1 ＝717＋C117·716＋C217·715＋…＋C1176·7＋1－1 ＝717＋C117·716＋C217·715＋…＋C1176·7.
人教版数学 ·选修2-3
解法二 9192＝(90＋1)92＝C092·9092＋C192·9091＋…＋C9920·902＋ C9912·90＋C9922. 前 91 项均能被 100 整除，剩下两项和为 92×90＋1＝8 281，显 然 8 281 除以 100 所得余数为 81.
人教版数学 ·选修2-3
4．(2x＋ x)5 的展开式中，x3 的系数是________．(用数字填写 答案) 【解析】设展开式的第 k＋1 项为 Tk＋1，k∈{0,1,2,3,4,5} ∴Tk＋1＝Ck5(2x)5－k( x)k＝Ck525－kx5－2k. 当 5－2k＝3 时，k＝4，即 T5＝C4525－4x5－42＝10x3.
人4.教x版2－数2学1x·9选的修展2-开3 式中，第 4 项的二项式系数是________， 第 4 项的系数是________． 【解析】Tk＋1＝Ck9·(x2)9－k·－21xk＝－12k·Ck9·x18－3k，当 k＝3 时， T4＝－123·C39·x9＝－221x9，所以第 4 项的二项式系数为 C39＝84， 项的系数为－221.
人学教版以数致学用·选修2-3 1．化简：1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn. 解：原式＝C0n＋C1n(－2)1＋C2n(－2)2＋C3n(－2)3＋…＋Cnn(－2)n ＝(1－2)n＝(－1)n.
1.3.1二项式定理
该项是指展开式的第 r+1 项.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N)
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
即T C r 1
ranrbr
n
r Z,且0 r n
定理应用， 初步体验
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4
二项式定理：
(a b)n Cn0anb0 Cn1an1b Cnranrbr Cnna0bn
(n N)
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其2)中CCnrrn（a nr=r0b,r1,叫2,做…二…项,展n）开叫式做的通二项项，式用系Tr数+1表示；，
一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等 代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此， 二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。 那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2x)7的展开式中
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
四、理论迁移（一）
例1
（1）求
x
1
7
的展开式.
x
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
（2）求 x 1 7的展开式的第4项的系数.
课件6：1.3.1 二项式定理
2
T2＝－2C19x3＝－18x3.
1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
解：因为 Tr＋1＝(－2)
r
9－3r
Cr9x 2
，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r
＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．
4 6 4 1
＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x xபைடு நூலகம்x x
1
14 14
4
方法二：1＋x ＝x (x＋1) ＝x 4·(x4＋C14x3＋C42x2＋C34x
4 6 4 1
＋1)＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x x x x
＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________．
－
解析：原式＝C0n·2n·(－1)0＋C1n2n 1·(－1)1＋…＋(－1)k·
Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
2．求(a＋2b)4 的展开式．
解：(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a·(2b)3＋C44(2b)4
项式系数为________．
答案：40 10
探究点 1
二项式定理的正用与逆用
14
(1)用二项式定理展开1＋x ；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
【解】
T2＝－2C19x3＝－18x3.
1．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的常数项．
解：因为 Tr＋1＝(－2)
r
9－3r
Cr9x 2
，若 Tr＋1 为常数项，则 9－3r
＝0，所以 r＝3，因此常数项为第 4 项(－2)3C39＝－672.
2．[变问法]在本例条件下，求二项展开式的所有有理项．
4 6 4 1
＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x xபைடு நூலகம்x x
1
14 14
4
方法二：1＋x ＝x (x＋1) ＝x 4·(x4＋C14x3＋C42x2＋C34x
4 6 4 1
＋1)＝1＋ ＋ 2＋ 3＋ 4.
x x x x
＋(－1)k·Ckn·2n－k＋…＋(－1)n·Cnn＝________．
－
解析：原式＝C0n·2n·(－1)0＋C1n2n 1·(－1)1＋…＋(－1)k·
Ckn2n－k＋…＋(－1)n·Cnn·20＝(2－1)n＝1.
答案：1
2．求(a＋2b)4 的展开式．
解：(a＋2b)4＝C04a4＋C14a3(2b)＋C24a2(2b)2＋C34a·(2b)3＋C44(2b)4
项式系数为________．
答案：40 10
探究点 1
二项式定理的正用与逆用
14
(1)用二项式定理展开1＋x ；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
【解】
1.3.1二项式定理
变式: 求(x2+3x+2)5展开式中 x 的系数. ∵ (x2+3x+2)5=(1+x)5(2+x)5
∴ x 的系数是C50C51 24 C51C50 25=240
熟能生巧
求（1-x3)(1+x)10展开式中x5的系数. 207
小结
1. 二项式定理:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnnbn 2. 二项展开式的通项: Tr+1= Cnran-rbr
下面分析一下形如a2-kbk的项的个数
a2项，没有b，相当于从２个(a+b)中取 0
个b(即都取a),有C20种取法，即有 C20个a2，即
a2项的系数为：C
0 2
ab项，相当于从２个(a+b)中取 1个b,有
C
1 2
种取法，即有 C21个ab，即ab项的系数为：C21
b2项的系数呢？
问题:以(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4, …,(a+b)n的展开 式中有多少项?每一项有何特点?
④各项次数都等于二项式的次数n,a按降幂 排列,次数由n递减到0，b按升幂排列,次数 由0增到n。
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnn bn
【练习一】 求 展 开 式
1.(1+x)n的展开式是
_1___C__n1_x___C_n2_x_2_______C_n_r x_r_______x_n_.
2. (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1
∴ x 的系数是C50C51 24 C51C50 25=240
熟能生巧
求（1-x3)(1+x)10展开式中x5的系数. 207
小结
1. 二项式定理:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnnbn 2. 二项展开式的通项: Tr+1= Cnran-rbr
下面分析一下形如a2-kbk的项的个数
a2项，没有b，相当于从２个(a+b)中取 0
个b(即都取a),有C20种取法，即有 C20个a2，即
a2项的系数为：C
0 2
ab项，相当于从２个(a+b)中取 1个b,有
C
1 2
种取法，即有 C21个ab，即ab项的系数为：C21
b2项的系数呢？
问题:以(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4, …,(a+b)n的展开 式中有多少项?每一项有何特点?
④各项次数都等于二项式的次数n,a按降幂 排列,次数由n递减到0，b按升幂排列,次数 由0增到n。
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ …+Cnran-rbr+…+Cnn bn
【练习一】 求 展 开 式
1.(1+x)n的展开式是
_1___C__n1_x___C_n2_x_2_______C_n_r x_r_______x_n_.
2. (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1
课件7：1.3.1 二项式定理
解：由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1 ＝C6r(2 x)6－r·(－1x)r
∴第 6 项的二项式系数为 C65＝6， 第 6 项的系数为 C56·(－1)·2＝－12.
(2)设展开式中的第 r＋1 项为含 x3 的项，则 Tr＋1＝C9r x9－r·(－1x)r＝(－1)r·Cr9·x9－2r， ∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含 x3， 其系数为(－1)3·C39＝－84.
类型 3 求展开式中的特定项
例3
已知
x＋ 2 3
n
的展开式的前三项系数的和为
x
129，试问这个展开式中是否存在常数项？有理项？如
没有，说明理由；由有，求出这些项．
解：通项公式为： 又∵24－6 5r＝4－56r，
∴当 r＝0 或 r＝6 时，24－6 5r∈Z， 即展开式中存在有理项，
它们是 T1＝x4，T7＝C68·26·x－1＝1 7x92； 显然 4－56r＝0 无整数解，所以这个展开式中无常数项．
1.3.1 二项式定理
1.会证明二项式定理．(难点) 课标
2．掌握二项式定理及其展开 解读
式的通项公式．(重点)
知识点 二项式定理 问题导思
我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项 式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4 的展开式？上述两个等式 的右侧有何特点？你能用组合的观点说明(a＋b)4 是如 何展开的吗？
3．已知(ax－ 2x)9 的展开式中 x3 的系数为94，则 a＝___. 【解析】 令 Tr＋1＝Cr9(ax)9－r(－ 2x)r＝94x3，
∴C98a(－ 12)8＝94，∴a＝4. 【答案】 4
4．(1)求(x＋a)12 的展开式中的倒数第 4 项； (2)求(2a＋3b)6 的展开式中的第 3 项； (3)求(3b＋2a)6 的展开式中的第 3 项；
1.3.1二项式定理
2x
式的常数项是________.
2.(2019·上饶高二检测)已知 (x 2 x )n 的展开式的各项 系数和比二项式系数和大211. 世纪金榜导学号
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38
(1)求n的值. (2)求展开式中所有有理项.
林老师网络编辑整理
39
【思维·引】1.先根据二项式展开式的通项公式写出
第r+1项,再根据项的次数为零解得r,代入即得结果.
角度1 二项式系数与项的系数
【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ) (x2 2)5 的展开式中x4的
x
系数为 ( )
A.10
B.20
C.40
D.80
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31
2.已知二项式 (3 x 2 )10 . 世纪金榜导学号
3x
(1)求展开式第4项的二项式系数.
(2)求展开式第4项的系数.
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46
(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中 同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一 致.
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47
3.正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二 项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式, 二项式的指数及项数均有关.
C×17 36-
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24
2.(x+2y)4= C04 x4+ C14 x3(2y)+ C24 x2(2y)2+ C34 x(2y)3 + C44 (2y)4=x4+8x3y+24x2y2+32xy3+16y4.
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式的常数项是________.
2.(2019·上饶高二检测)已知 (x 2 x )n 的展开式的各项 系数和比二项式系数和大211. 世纪金榜导学号
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38
(1)求n的值. (2)求展开式中所有有理项.
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39
【思维·引】1.先根据二项式展开式的通项公式写出
第r+1项,再根据项的次数为零解得r,代入即得结果.
角度1 二项式系数与项的系数
【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ) (x2 2)5 的展开式中x4的
x
系数为 ( )
A.10
B.20
C.40
D.80
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2.已知二项式 (3 x 2 )10 . 世纪金榜导学号
3x
(1)求展开式第4项的二项式系数.
(2)求展开式第4项的系数.
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(4)求整式项,求二项展开式中的整式项,其通项公式中 同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一 致.
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47
3.正确区分二项式系数与该项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二 项式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式, 二项式的指数及项数均有关.
C×17 36-
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24
2.(x+2y)4= C04 x4+ C14 x3(2y)+ C24 x2(2y)2+ C34 x(2y)3 + C44 (2y)4=x4+8x3y+24x2y2+32xy3+16y4.
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1.3.1二项式定理
(1) (1 2X )4 的展开式中的第3项是 (2) (1 2X )4 的展开式中的第3项的二项式系数是 (3) (1 2X )4 的展开式中的第3项的系数是
巩固练习
1.求 x2 1 5 的展开式
2.求 (3a b)6的展开式中的第6项
例题2
求 (x 1 )9 的展开式中x3的系数。 x
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
(a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
那么(a+b)n =?
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
对二项式定理的理解
（1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0; 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
2 二项式系数
我们看到的二项展开式共有n+1项，其中
各项的系数 Ckn ( k 0,1, 2, ..., n )
叫做二项式系数（binomial coefficient）.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
巩固练习
1.求 x2 1 5 的展开式
2.求 (3a b)6的展开式中的第6项
例题2
求 (x 1 )9 的展开式中x3的系数。 x
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
(a b)3 C30a3 C31a2b C32ab2 C33b3
那么(a+b)n =?
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
对二项式定理的理解
（1）它有n+1项; （2）各项的次数都等于二项式的次数n; （3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0; 字母b按升幂排列，次数由0递增到n.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
2 二项式系数
我们看到的二项展开式共有n+1项，其中
各项的系数 Ckn ( k 0,1, 2, ..., n )
叫做二项式系数（binomial coefficient）.
二项式定理：
(a + b)n = Cn0an + C1nan-1b + ... + Cknan-kbk + ... + Cnnbn .
1.3.1二项式定理
(n∈N+)
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (a+b)4=
C
0 4 4a +
C
1 3 4a b
+C a b +C
2 2 2 4
3 4
4 4 3 ab +C b 4
=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
一般地，对于任意 正整数n，有 1 n-1 r n-r r n n (a+b)n= C n0 an+ Cn a b+…+ Cn a b +…+ C n b (n∈N+)
例5 已知二项式
( a3
3
3 a
)
12
（1） 求展开式中的第3项和倒数第3项； （2） 求展开式中含a2项的二项式系数和 这一项的系数； （3） 求展开式中的常数项。
例6 在的展开式 ( 2 3 5)100 中，有理 项的个数是多少？
小结
（1）掌握二项式定理 1 n-1 r n-r r n n 0 n n C C C C (a+b) = n a + n a b+…+ n a b +…+ n b (n∈N+) 及定理的推导方法和运用 （2）二项式定理的特点:1.项数 2.系数 3.指数 r 1 2 2 n C 4.通项 5. (1+x) =1+Cnx+ C n x +…+ n xr+…+xn （3）对具体二项式的展开 （4）通项公式的应用
1.3 二项式定理（1）
复习回顾
(a+b)2=a2+2ab+b2
1.3.1二项式定理ppt课件
变 形 求 1 + 2 x - 3 x 2 5 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 x y 2 z 7 的 展 开 式 中 x 2y3z2项 的 系 数
变 形 求 1 x 3 1 x 10 的 展 开 式 中 x 5的 系 数
变 形 求 2 x 2 1 x 5 的 展 开 式 中 x 3的 系 数
( x 3x ) 项的二项式系数比为14：3，求展2 开式中不含x 的项。
2 (2)已知
的展开式n中，第5项的系数与
( x x ) 第3 项的系数比为56：3，2求展开式中的常数项。
变形2x-1xn的展开式中含x12的系数与含x14的系数比
为5，求n？
变形 f x12xm13xn的展开式中x
的系数为13，求x2的系数？
n 36C71 34C73 32C75，求m n
2、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则 (1)a1+a2+a3+…+a7=_______ (2)a1+a3+a5+a7 =_________ (3)a0+a2+a4+a6 =_________
赋值法
变形:若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
8
( x + 1 ) 6、若
展开式中前n 三项系数成等差
24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x 的有理项；
7、求： ( x 3 ) 9 3x
①展开式中间项 ②展开式中的常数项 ③展开式中的有理项
课件6：1.3.1 二项式定理
一点通 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的 幂指数规律是：①各项的次数等于n；②字母a按降幂排 列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂 排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思 想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式 靠拢．
方法小结
1．要熟记 Tr＋1＝Crnan－rbr 是第 r＋1 项，而不是第 r 项． 2．通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 主要用于求二项展开式 的指定项或项的系数． 3．要注意区分某项的系数与二项式系数．
4．(1＋3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中，若 x5 与
x6 的系数相等，则 n＝
()
A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】二项式(1＋3x)n 的展开式的通项是 Tr＋1＝Cnr 1n－r·(3x)r＝Crn·3r·xr.依题意得 C5n·35＝Cn6·36，即nn－1n－52！n－3n－4 ＝3×nn－1n－2n6－！3n－4n－5(n≥6)， 解得 n＝7.
2．相关概念 (1)公式右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式． (2)各项的系数 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项 式系数． (3)展开式中的 Crnan－rbr 叫做二项展开式的通项，记作： Tr＋1 ，它表示展开式的第 r＋1 项．
(4)在二项式定理中，如果设 a＝1，b＝x，则得到公 式(1＋x)n＝ C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Crnxr＋…＋Cnnxn .
考点二 求二项展开式中的特定项或其系数
例 2 (1)( x＋2 1 x)8 的展开式中常数项为 (
)
35 A.16
1.3.1二项式定理
例1：判断
(1)( x 2)3 x3 C31 x2 2 C32 x 22 C33 23 (2)( x 2)3 C30 x3 C31 x2 2 C32 x 22 C33 23 C30 x3 C31 x2 (2) C32 x (2)2 C33 (2)3
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式. (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (3) 类比、等价转换的思想.
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn (n N * )
(a
b)n
C?n0a n
Cn1an1(b)
C
k n
a
nk
(b)k
C
n n
(b)n
(1
x)n
C?n0
C
1 n
x
C
k n
280x3
（2）求(x 1)9的展开式中x3的系数 x
对应的是第几项呢？ 利用通向公式
Tr1 Cnr a nrbr
解：通项为C9r
x9r
(
1 x
)r
C9r x9r (1)r (x1)r
(1)r C9r x9r xr
令9-2r=3，得r=3 (1)r C9r x92r
(a b)n ?
探究3：请分析 (a b)n的展开过程，证明猜想.
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
①项： a n a n1b L ankbk L bn
②系数：C
0 n
C
1 n
课件3:1.3.1 二项式定理
【解析】本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质． (1＋2x)5 展开式中的第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，令 r＝2 得 T3＝40x2，∴x2 的系数为 40，故选 B. 【答案】B
4.在(1＋x＋mx2)10 的展开式中，求使 x4 的系数取最小值时 m 的 值． 解:∵(1＋x＋mx2)10＝[1＋(x＋mx2)]10，
解:Tr＋1＝Crn·(3xn－r·－231r x
＝Crn(x13)n－r·－12·x－13r＝－12r·Crn·xn－32r.
(1)∵第 6 项为常数项，∴r＝5 时有n－32r＝0，∴n＝10.
(2)令n－32r＝2，得 r＝12(n－6)＝2，
∴所求的系数为 C210－122＝445.
(3)根据通项公式，由题意得：100≤－r3≤210r∈Z
(3)二项式定理中，a，b 一般是不能交换的，即(a＋b)n 与(b ＋a)n 是有区别的．
二、正确理解二项式系数与特定项的系数 二项展开式中，系数 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，它
是一组仅与二项式的幂指数 n 有关的 n＋1 个组合数，而与 a，b 无关．即展开式的第 r＋1 项的二项式系数与第 r＋1 项的系数是不 同的概念．如在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3·(2x)3. 其二项式系数是 C37，而第 4 项的系数是 C37·23，它们既有区别， 又有联系．二项式系数的和是 2n，求二项展开式各项的系数和一 般用赋值法解决．
三、二项展开式的通项公式 展开式中的 Crnan－rbr 项叫做二项展开式的通项，它是展开
式的第 r＋1 项，即 Tr＋1＝Crnan－rbr(其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)， 我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式．
4.在(1＋x＋mx2)10 的展开式中，求使 x4 的系数取最小值时 m 的 值． 解:∵(1＋x＋mx2)10＝[1＋(x＋mx2)]10，
解:Tr＋1＝Crn·(3xn－r·－231r x
＝Crn(x13)n－r·－12·x－13r＝－12r·Crn·xn－32r.
(1)∵第 6 项为常数项，∴r＝5 时有n－32r＝0，∴n＝10.
(2)令n－32r＝2，得 r＝12(n－6)＝2，
∴所求的系数为 C210－122＝445.
(3)根据通项公式，由题意得：100≤－r3≤210r∈Z
(3)二项式定理中，a，b 一般是不能交换的，即(a＋b)n 与(b ＋a)n 是有区别的．
二、正确理解二项式系数与特定项的系数 二项展开式中，系数 Crn(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，它
是一组仅与二项式的幂指数 n 有关的 n＋1 个组合数，而与 a，b 无关．即展开式的第 r＋1 项的二项式系数与第 r＋1 项的系数是不 同的概念．如在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3·(2x)3. 其二项式系数是 C37，而第 4 项的系数是 C37·23，它们既有区别， 又有联系．二项式系数的和是 2n，求二项展开式各项的系数和一 般用赋值法解决．
三、二项展开式的通项公式 展开式中的 Crnan－rbr 项叫做二项展开式的通项，它是展开
式的第 r＋1 项，即 Tr＋1＝Crnan－rbr(其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)， 我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式．
1.3.1二项式定理
x
A.3 项
B.4 项
C.5 项
D.2项
§1.3.1 二项式定理
课 堂 小 结
(a b)n 的展开式 0 n 1 n 1 2 n2 2 (a b)n Cn a Cn a b Cn a b
k nk k Cn a b n n Cn b (n N * )
(1 x) 的展开式
根据题意，得 9-2k=3， 3 所以k=3, 因此， x 3 的系数是 (1)3 C9 84.
§1.3.1 二项式定理
课 堂 练 习
10 ( x 1) 1. 的展开式的第6项的系数是 (D) 6 5 6 5 A. C10 B. C10 C. C10 D. C10
a 6 ) 的展开式中，第五项是……（ D ） 2. ( 2 a x 2 20 15 6 x A. B. 3 C. D. 15 x x a x 1 8 3 3. ( a a ) 的展开式中，不含a的项是第（ A ）
n
(1 x) C C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n
C x
k n k
C x
n n n
(a b)n 的通项
Tk 1 C a
k n
nk
b (k 0,1, 2,
k
, n)
§1.3.1 二项式定理
课 堂 作 业
习题1.3
2（2），4（2） 做在作业本上
§1.3.1 二项式定理
2006年3月17日
退出
1 4 ) x
(2)
解: (1)(1
Hale Waihona Puke C4 6 4 1 1 2 3 4 x x x x 1 6 2x 1 6 1 (2) (2 x ) ( ) 3 (2 x 1)6 x x x 1 1 3 5 6 3 [(2 x)6 C6 (2 x)5 C62 (2 x) 4 C6 (2 x)3 C64 (2 x) 2 C6 (2 x) C6 ] x 1 3 (64 x 6 6 32 x 5 15 16 x 4 20 8 x 3 15 4 x 2 6 2 x 1) x 60 12 1 64 x 3 192 x 2 240 x 160 2 3 x x x
1.3.1二项式定理
奎奎
5. （1） (a 3 b )5 a5 5a4 3 b 10a3 3 b2 10a2b 5ab 3 b b 3 b2 ；
（2） (
x 2 )5 1 x2
x5x
x 5 x 20
x 40
x 32
x
.
2 x 32
8
x
x2
x3
6. （1） (1 x )5 (1 x )5 2 20x 10x2 ；
16 3r ②若 Tr1 是有理项，当且仅当 4 为整数，
∴ 0 r 8, r Z ，∴ r 0, 4,8 ，
即
展开式中有三项有理项，分别是： T1
x 4 ， T5
35 8 x ，T9
1 256
x 2
奎奎 奎奎奎
奎奎
例 10．求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001 ．
解： 0.9986 (1 0.002)6 C60 C61(0.002)1 C66 (0.002)6 ，
奎奎
解： (x a)12 的展开式中共13 项，它的倒数第 4 项是第10 项，
T91 C192 x129a9 C132 x3a9 220x3a9 ． 例 4．求（1） (2a 3b)6 ，（2） (3b 2a)6 的展开式中的第 3 项．
解：（1） T21 C62 (2a)4 (3b)2 2160a4b2 ，
解： (2
x
1 x
)6
1 x3
(2x
1)6
1 x3
[(2x)6
C61(2x)5
C62 (2x)4
C63 (2x)3
C62 (2x)2
C61(2x) 1]
64x3 192x2 240x 160 60 12 1 ． x x2 x3
5. （1） (a 3 b )5 a5 5a4 3 b 10a3 3 b2 10a2b 5ab 3 b b 3 b2 ；
（2） (
x 2 )5 1 x2
x5x
x 5 x 20
x 40
x 32
x
.
2 x 32
8
x
x2
x3
6. （1） (1 x )5 (1 x )5 2 20x 10x2 ；
16 3r ②若 Tr1 是有理项，当且仅当 4 为整数，
∴ 0 r 8, r Z ，∴ r 0, 4,8 ，
即
展开式中有三项有理项，分别是： T1
x 4 ， T5
35 8 x ，T9
1 256
x 2
奎奎 奎奎奎
奎奎
例 10．求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001 ．
解： 0.9986 (1 0.002)6 C60 C61(0.002)1 C66 (0.002)6 ，
奎奎
解： (x a)12 的展开式中共13 项，它的倒数第 4 项是第10 项，
T91 C192 x129a9 C132 x3a9 220x3a9 ． 例 4．求（1） (2a 3b)6 ，（2） (3b 2a)6 的展开式中的第 3 项．
解：（1） T21 C62 (2a)4 (3b)2 2160a4b2 ，
解： (2
x
1 x
)6
1 x3
(2x
1)6
1 x3
[(2x)6
C61(2x)5
C62 (2x)4
C63 (2x)3
C62 (2x)2
C61(2x) 1]
64x3 192x2 240x 160 60 12 1 ． x x2 x3
1.3.1二项式定理
1.3.1二项式定理
10
3.你能否判断 (3 x
2
1 x
) 的展开式中是否包含常数项?
1 x
20 5r 2
解：根据二项式定理，取a＝3x2，b＝－
∴
(3 x
2
r 10 2
1
1 r r 10 r Tr 1 C 3 x 1 C10 3 x x 5r 由题意可知， 20 2 0 r 8 常数项即 x 0项. 故存在常数项且为第9项，
常数项即 x 0项.
故存在常数项且为第7项，
1 常数项T 1 C 7 2
6 6 8
8 6
x 7
0
0 1 分析： 9192 (90 1)92 C92 9092 C92 9091 91 92 C92 90 C92
由此可见，除后两项外均能被100整除 91 92 C92 90 C92 8281 82 100 81
所以 9192除以100的余数是81 5.若( x + 1 )n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1 （n∈N*）， 且 a : b=3 : 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
课后作业：素能综合检测(9）
9 [普通高中课程数学选修2-3]
1.3.1二项式定理
巩固练习: 1.若（2 x 3)4 a0 a1 x a2 x2 a3 x 3 a4 x 4
则 （a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 的值是____. 2.求(1 + x + x2)(1－x)10展开式中含 x 项的系数 3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
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2
2 2
(a b) ？
4 n
(a b) ？
第一章 计数原理
1.3.1 二项式定理
对(a+b)3展开式进行分析:(每一项怎么来的)
因为(a+b)3＝ (a+b) (a+b) (a+b)
展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个 来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3 ,a2b,ab2, b3 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下: 因为每个都不取b的情况有1种,即C30 ,所以a3的系数为C30; 因为恰有1个取b的情况有C31种，所以a2b的系数为C31;
对定理的再认识
特别地:
1、把b用-b代替
(a-b)n=
0 n 1an-1b+ Cna -Cn
…
r n-r r r +(-1) Cna b
+…2、令a=1源自b=xn 1 nn n n +(-1) Cnb
2 2 n r r n n n n
(1 x) 1 C x C x C x C x
因为恰有3个取b的情况有C43 种，所以 ab3的系数为C43;
因为恰有4个取b的情况有C44种，所以b4的系数为C44 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)
因为(a+b)n＝ ？ 展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,所以an的系数为Cn0; 因为恰有1个取b的情况有Cn1 种，所以an-1b的系数为Cn1; 因为恰有2个取b的情况有Cn2 种，所以 an-2b2的系数为Cn2; … … … … … 因为恰有n个取b的情况有Cnn种，所以bn的系数为Cnn
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b 这个公式就是二项式定理 r n r r Cn a b n n Cn b
因为恰有2个取b的情况有C32 种，所以ab2的系数为C32;
因为恰有3个取b的情况有C33 种，所以 b3的系数为C33;
故(a+b)3 ＝ C30 a3 ＋C31 a2b ＋ C32ab2 ＋ C33b3
对(a+b)4展开式进行分析:(每一项怎么来的)
因为(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？ 展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有:a4 ,a3b,a2b2, ab3,b4 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下: 因为每个都不取b的情况有1种,即C40 ,所以a4的系数为C40; 因为恰有1个取b的情况有C41 种，所以a3b的系数为C41; 因为恰有2个取b的情况有C42 种，所以 a2b2的系数为C42;
尝试二项式定理的应用：
例 1 ： 展开（1 2x)
5 0 5 0
5
（1 2x) C (2x) C (2x) C (2x)
1 5 1 2 5 2
C (2x) C (2x) C (2x)
3 5 3 4 5 4 5 5 5
1 10x 40x 80x 80x 32x
问题:
(1)今天是星期一，那么7天后的这 （星期一） 一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢？
（星期二）
(3)如果是 8
100
天后的这一天呢？
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 3 2 2 3 a 3a b 3ab b
二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
(n N )
1.项数规律：
展开式共有n+1个项
2.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
n n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n；即为n次齐次式 （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
例2.
用二项式定理展开下列各式：
(1)
1 4 1 1 2 1 3 1 4 解:（1）(1 x ) 1 4( x ) 6( x ) 4( x ) ( x ) 4 6 4 1 1 2 3 4 . x x x x 1 6 2x 1 6 1 (2) (2 x ) ( ) 3 (2 x 1) 6 x x x
二项式定理
0 n n 1 r n r r n n (a b)n Cn a C1 a b C a b C n n nb
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r nr r Cn a b 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项. _____
2
3
4
5
尝试二项式定理的应用：
练习：
（ 1） （ .1 2x） 展开式第3项是
5
T21 C（ 2x) 40x
2 5 2
2
（2） .第3项的二项式系数 是 10 1 9 ( x ) 的展开式中 x3 的系数. (3). 求 x
(a b) C a C a b C a b C b
1 4 (1 ) x
(2)
2 2
(a b) ？
4 n
(a b) ？
第一章 计数原理
1.3.1 二项式定理
对(a+b)3展开式进行分析:(每一项怎么来的)
因为(a+b)3＝ (a+b) (a+b) (a+b)
展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个 来相乘得项，所以展开后其项的形式有：a3 ,a2b,ab2, b3 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下: 因为每个都不取b的情况有1种,即C30 ,所以a3的系数为C30; 因为恰有1个取b的情况有C31种，所以a2b的系数为C31;
对定理的再认识
特别地:
1、把b用-b代替
(a-b)n=
0 n 1an-1b+ Cna -Cn
…
r n-r r r +(-1) Cna b
+…2、令a=1源自b=xn 1 nn n n +(-1) Cnb
2 2 n r r n n n n
(1 x) 1 C x C x C x C x
因为恰有3个取b的情况有C43 种，所以 ab3的系数为C43;
因为恰有4个取b的情况有C44种，所以b4的系数为C44 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋ C42 a2b2 ＋ C43 ab3 ＋ C44 b4
分析(a+b)n的展开式:(每一项怎么来的)
因为(a+b)n＝ ？ 展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 ,所以an的系数为Cn0; 因为恰有1个取b的情况有Cn1 种，所以an-1b的系数为Cn1; 因为恰有2个取b的情况有Cn2 种，所以 an-2b2的系数为Cn2; … … … … … 因为恰有n个取b的情况有Cnn种，所以bn的系数为Cnn
0 n 1 n 1 2 n 2 2 ( a b )n C n a Cn a b Cn a b 这个公式就是二项式定理 r n r r Cn a b n n Cn b
因为恰有2个取b的情况有C32 种，所以ab2的系数为C32;
因为恰有3个取b的情况有C33 种，所以 b3的系数为C33;
故(a+b)3 ＝ C30 a3 ＋C31 a2b ＋ C32ab2 ＋ C33b3
对(a+b)4展开式进行分析:(每一项怎么来的)
因为(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？ 展开时，每个括号中要么取a,要么取b,而且只能取一个来 相乘得项,所以展开后其项的形式有:a4 ,a3b,a2b2, ab3,b4 最后结果要合并同类项.所以项的系数为就是该项在展 开式中出现的次数.可计算如下: 因为每个都不取b的情况有1种,即C40 ,所以a4的系数为C40; 因为恰有1个取b的情况有C41 种，所以a3b的系数为C41; 因为恰有2个取b的情况有C42 种，所以 a2b2的系数为C42;
尝试二项式定理的应用：
例 1 ： 展开（1 2x)
5 0 5 0
5
（1 2x) C (2x) C (2x) C (2x)
1 5 1 2 5 2
C (2x) C (2x) C (2x)
3 5 3 4 5 4 5 5 5
1 10x 40x 80x 80x 32x
问题:
(1)今天是星期一，那么7天后的这 （星期一） 一天是星期几呢? (2)如果是15天后的这一天呢？
（星期二）
(3)如果是 8
100
天后的这一天呢？
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 3 2 2 3 a 3a b 3ab b
二项式定理
(a b) C a C a b C a b C b
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
(n N )
1.项数规律：
展开式共有n+1个项
2.系数规律：
C 、C 、C 、 、C
0 n 1 n 2 n
n n
2.指数规律： （1）各项的次数均为n；即为n次齐次式 （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
n 0 n n
1 n 1 n
r n r r n
n n n
例2.
用二项式定理展开下列各式：
(1)
1 4 1 1 2 1 3 1 4 解:（1）(1 x ) 1 4( x ) 6( x ) 4( x ) ( x ) 4 6 4 1 1 2 3 4 . x x x x 1 6 2x 1 6 1 (2) (2 x ) ( ) 3 (2 x 1) 6 x x x
二项式定理
0 n n 1 r n r r n n (a b)n Cn a C1 a b C a b C n n nb
(n N )
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 展开式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， r 其中 Cn（r=0,1,2,……,n）叫做 二项式系数 ， r nr r Cn a b 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有 n+1 个项. _____
2
3
4
5
尝试二项式定理的应用：
练习：
（ 1） （ .1 2x） 展开式第3项是
5
T21 C（ 2x) 40x
2 5 2
2
（2） .第3项的二项式系数 是 10 1 9 ( x ) 的展开式中 x3 的系数. (3). 求 x
(a b) C a C a b C a b C b
1 4 (1 ) x
(2)