学案2 平面向量基本定理及坐标表示

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面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a = λ1e1+λ2e2
.
其中,不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 基底 . (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示
互相垂直 的向量,叫做把
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①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相
{
m=-1
n=-1.
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(3)∵CM=OM-OC=3c,
∴OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M(0,20).又∵CN=ON-OC=-2b, ∴ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N(9,2).∴MN=(9,-18).
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(2)向量坐标的求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=（x2-x1,y2-y1)，即一个 向量的坐标等于该向量的 终点 坐标减去 始点 的
坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线 ⇔ a= λb ⇔ x1y2-x2y1=0 .
法与数乘运算.
(4)理解用坐标表示的平面向量共线的 条件.
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考 向 预 测
引入向量的坐标后，使向量之间的运算代数化，
更加容易进行，高考常常考查向量之间各种坐标运算， 处理向量的平行，以及作为工具解决与之有关的几何、 三角等知Baidu Nhomakorabea.
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1.两个向量的夹角
(1)定义
已知两个 非零 向量a
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【解析】由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)
=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
∴
{
-6m+n= 5 -3m+8n=-5,
解得
考点3
平行(共线)向量的坐标运算
平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).回答下列 问题: (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;
(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.
【分析】 (1)由两向量平行及两向量平行的条件得 出关于k的方程,从而求出实数k的值. (2)由两向量平行及 |d-c|=1 得出关于x,y的两个方 程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d. 返回目录
和b，作 OA=a,OB=b， 则
∠AOB=θ 叫做向量a与b
的夹角(如图).
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(2)范围
θ=
向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时,夹角 180° ;a与b反向时,夹角θ= . 0°
(3)向量垂直
如果向量a与b的夹角是 作 a⊥b .
90° ,则a与b垂直,记
2.平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个 不平行 向量,那么对于平 返回目录
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学案2 平面向量的基本定
理及坐标表示
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考纲解读 考向预测
填填知学情
课内考点突破 规律探究

考点1 考点2 考点3
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考 纲 解 读
(1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标
平面向量的 表示. 基本定理及 (3)会用坐标表示平面向量的加法、减 坐标表示
2 1 1 b 2 2 2
2 2
∴|a|≠|b|, ①错;
1 1 1 ②项,∵a· b=1×2 +0×2 = 2 , ②错;
③项,(a-b)· b=a· b-|b|2=0, ∴ 故③项正确, ④不正确. 正确的只有③.
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利用平面向量的坐标运算分别判断四个选项的正误.
的运算问题.通过坐标公式建立参数的方程,通过解方程或
方程组求得参数,充分体现了方程思想在向量中的应用.
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已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,求实 数x的值.
因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b, 所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3). 又因为u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0, 即10x=5,解得x=
1 . 2
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1.要区分点的坐标与向量的坐标,尽管在形式上它
们完全一样,但意义完全不同,向量的坐标中同样有方向 与大小的信息. 2.在处理分点问题比如碰到条件“若P是线段AB 的分点，且|PA|=2|PB|”时，P可能是AB的内分点，也
可能是AB的外分点，即可能的结论有：AP=2PB或
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考点1
平面向量基本定理的应用
如右图，在△ABC中，点M是
边BC的中点，点N在边AC上，
且AN=2NC.AM与BN相交于 点P，求AP:PM的值. 【分析】本题可先利用平面向量基本定理设出， 然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参 数的值. 返回目录
【解析】设BM=e1,CN=e2, 则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分别共线, ∴存在实数λ,μ使AP=λAM=-λe1-3λe2, BP=μBN=2μe1+μe2, 故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 而BA=BC+CA=2e1+3e2, 由基本定理，得
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已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且 CM=3c,CN=-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量MN的坐标. 【分析】利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起 点、终点坐标的关系求解. 返回目录
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设OA,OB不共线，P点在AB上,求证:OP=λOA+μOB且
λ+μ=1(λ,μ∈R).
证明:∵P点在AB上，∴AP与AB共线.
∴AP=tAB(t∈R).
∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB.
令λ=1-t，μ=t，则有OP=λOA+μOB,λ+μ=1
AP= -2PB. 3.数学上的向量是自由向量,向量x=(a,b)经过平移 后得到的向量的坐标仍是(a,b). 返回目录
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同的两个单位向量i，j作为基底.对于平面内的一个向量a，
有且只有一对实数 x,y，使得 a=xi+yj . 把有序数对 (x,y) 叫做向量a的坐标,记作a= (x,y) ,其中 x 叫 y 做a在x 轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则 向量OA的坐标(x,y) 就是终点A的 坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 (x,y) ,反之亦成立(O 是坐标原点). 3.平面向量的坐标运算 (1) 加法、减法、数乘运算 返回目录
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4 故AP= 5AM,即AP:PM=4:1.
{
λ+2μ=2
3λ+μ=3,
λ= 解得 μ=
{
4 5 3 . 5
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（1）充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使 用三点共线.注意方程思想的应用.
（2）用基底表示向量也是用向量解决问题的基础.
应根据条件灵活应用，熟练掌握.
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【解析】 (1)∵(a+kc)∥(2b-a),
又∵a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=- 16 .
13
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(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, ∴
5 5 x=4+ x=45 5 解得 或 y=1+ 2 5 y=1- 2 5 . 5 5 ∴d=（ 20 + 5 , 5 + 2 5 ）或（ 20 5 , 5 2 5 ） . 5 5 5 5
{ {
4(x-4)-2(y-1)=0 (x-4)2+(y-1)2=1,
{
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向量平行的坐标公式实质是把向量问题转化为实数
(λ,μ∈R).
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考点2
平面向量的坐标运算
1 1 ［2010年高考安徽卷］设向量a=(1,0),b=( , ),则下 2 2 列结论中正确的是 .(填序号)
①|a|=|b|
③a-b与b垂直
②a· b=
④a∥b
2 2
【分析】利用向量的坐标运算解题.
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【解析】①中,∵|a|=1,