届松江区中考数学一模及答案
2019-2020学年上海市松江区初三数学第一学期中考一模试卷及解析
2019-2020学年上海市松江区初三数学第一学期中考一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么下列判断正确的( )A ．0a >，0b >，0c >B ．0a <，0b <，0c <C ．0a <，0b >，0c >D ．0a <，0b <，0c >2．（4分）如果点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，那么m 的值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．（4分）在以O 为坐标原点的直角坐标平面内，有一点(3,4)A ，射线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么cos α的值为( ) A ．35B ．43C ．45D ．344．（4分）下列两个三角形不一定相似的是( ) A ．两条直角边的比都是2:3的两个直角三角形 B ．腰与底的比都是2:3的两个等腰三角形 C ．有一个内角为50︒的两个直角三角形D ．有一个内角是50︒的两个等腰三角形5．（4分）如果a b c +=，3a b c -=，且0c ≠，下列结论正确的是( ) A ．||||a b =B ．20a b +=C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反 6．（4分）如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角为锐角α，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是1.5．那么sin α的值为( )A ．34B ．12C ．23D ．32二、填空题：（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7．（4分）已知：23x y =，那么2x yx y-=+ ． 8．（4分）已知线段a 是线段b 、c 的比例中项，如果2a =，3b =，那么c = ． 9．（4分）若两个相似三角形的面积比为3:4，则它们的相似比为 ．10．（4分）已知点P 是线段AB 的黄金分割点()AP BP >，若2AP =，则BP = ． 11．（4分）已知Rt ABC ∆中，若90C ∠=︒，3AC =，2BC =，则A ∠的余切值为 ． 12．（4分）已知二次函数21()2f x x bx c =++图象的对称轴为直线4x =，则f （1） f （3）．（填“>”或“<”)13．（4分）在直角坐标平面中，将抛物线22(1)y x =+先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．14．（4分）如图，已知D 是ABC ∆的边AC 上一点，且2AD DC =，如果AB a =，AC b =，那么向量BD 关于a 、b 的分解式是 ．15．（4分）如图，在正方形网格中，点A ，B ，C 是小正方形的顶点，那么tan BAC ∠的值为 ．16．（4分）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为 ．17．（4分）以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”为 ．18．（4分）如图，矩形ABCD 中，1AD =，AB k =，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，联结AD '，分别交边CD ，A B '于E 、F ，如果2AE D F ='，那么k = ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：223(2cos45)3tan30260cos60cot 30sin -︒+︒︒-︒-︒20．（10分）已知二次函数241y x x =--．（1）将函数241y x x =--的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象顶点B 坐标； （2）在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线241y x x =--与y 轴交点为C ，抛物线的对称轴与x 轴交点为A ，求四边形OABC 的面积．21．（10分）如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90C ∠=︒，13AD AB ==，24BD =，求边DC 的长．22．（10分）如图，小岛A 在港口P 的南偏西45︒方向上，一艘船从港口P ，沿着正南方向，以每小时12海里的速度航行，1小时30分钟后到达B 处，在B 处测得小岛A 在它的南偏西60︒的方向上，小岛A 离港口P 有多少海里？23．（12分）已知：如图，点D ，F 在ABC ∆边AC 上，点E 在边BC 上，且//DE AB ，2CD CF CA =． （1）求证：//EF BD ；（2）如果AC CF BC CE =，求证：2BD DE BA =．24．（12分）如图，已知抛物线2y x bx c =-++经过点(3,0)A ，点(0,3)B ．点(,0)M m 在线段OA 上（与点A ，O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ． （1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当BOP PBQ ∠=∠时，求PQ 的长度； （3）当PBQ ∆为等腰三角形时，求m 的值．25．（14分）已知tan 2MON ∠=，矩形ABCD 的边AB 在射线OM 上，2AD =，AB m =，CF ON ⊥，垂足为点F ．（1）如图（1），作AE ON ⊥，垂足为点E ，当2m =时，求线段EF 的长度． （2）如图（2），联结OC ，当2m =，且CD 平分FCO ∠时，求COF ∠的正弦值；（3）如图（3），当AFD∆与CDF∆相似时，求m的值．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位R 上】1．【解答】解：抛物线开口向下，因此0a <，对称轴在y 轴的右侧，a 、b 异号，所以0b >，抛物线与y 轴交在正半轴，因此0c >， 故选：C ．2．【解答】解：由点(1,3)A 、(,3)B m 是抛物线2(2)y a x h =-+上两个不同的点，得 (1,3)A 与(,3)B m 关于对称轴2x =对称， 221m -=-，解得3m =， 故选：B ．3．【解答】解：过点A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，在Rt OAB ∆中，由题意得： AOB α∠=，(3,4)A ，3OB ∴=，4AB =， 2233cos 534OB OA α∴===+， 故选：A ．4．【解答】解：A 、两条直角边之比为2:3的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；B 、两个等腰三角形的腰与底边对应成比例，则这两个等腰三角形必相似，故此选项不合题意；C 、有一个内角为50︒的两个直角三角形，一定相似，故此选项不合题意；D 、有一个内角是50︒的两个等腰三角形，因为50︒是等腰三角形的顶角与底角不能确定，则两个三角形不一定相似，故此选项符合题意． 故选：D ．5．【解答】解：a b c +=，3a b c -=，∴2a c =，b c =-， ∴2a b =-， ∴a 与b 方向相反，故选：D ．6．【解答】解：如图，过点A 作AE BC ⊥，AF CD ⊥，//AD BC ，//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，四边形ABCD 的面积是1.5，BC AE CD AF ∴⨯=⨯，且1AE AF ==， BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形，AD CD ∴=， 1.5CD AF =⨯，32CD ∴=， 32AD CD ∴== 2sin 3AF AD α∴==， 故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每題4分，满分48分） 7．【解答】解：23x y =， ∴设2x a =，3y a =， ∴2431235x y a a x y a a --==++． 故答案为：15．8．【解答】解：线段a 是线段b 、c 的比例中项，2a bc ∴=， 2a =，3b =，243a cb ∴==故答案为：43．9．【解答】解：两个相似三角形的面积比为3:4，∴它们的相似比为3:2，故答案为：3:2．10．【解答】解：根据黄金分割定义，得2AP AB BP =4(2)BP BP =+ 2240BP BP +-=解得15(15BP =-±--舍去） 51BP ∴=-故答案为51-．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，2BC =， 3cot 2AC A BC ∴==， 故答案为32．12．【解答】解：二次函数()y f x =的图象开口向上，对称轴为直线4x =，∴在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，134<<，f ∴（1）f >（3）， 故答案为：>．13．【解答】解：抛物线22(1)y x =+向上平移1个单位后的解析式为：22(1)1y x =++． 再向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：221y x =+． 故答案为：221y x =+． 14．【解答】解：2AD CD =，∴2233AD AC b ==， BD BA AD =+，BA a =-，∴23BD b a =-， 故答案为23b a -．15．【解答】解：连接BC ，由正方形的性质可知，45ABD ∠=︒，45CBE ∠=︒， 180ABD ABC CBE ∠+∠+∠=︒， 90ABC ∴∠=︒， AB BC ∴⊥，在Rt ABC ∆中，22112AB =+=，222222BC =+=， 22tan 22BC BAC AB ∴∠===， 故答案为：2．16．【解答】解：斜面AB 的坡度为20:301:1.5=， 故答案为：1:1.5．17．【解答】解：如图，ABC ∆中，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，ABD ∆，ACE ∆都是等边三角形，P ，Q 是ABD ∆，ACE ∆的重心．取BC 的中点H ，连接AH ．AB AC =，BH CH =，90BAC ∠=︒， HA HB HC ∴==，DA DB =，EA EC =，DH ∴垂直平分线段AB ，EH 垂直平分线段AC ， P ∴，Q 分别在DH ，EH 上，PQH ∆是等腰直角三角形， 2AB =，sin 603DF BD ∴=⋅︒=，P 是重心，3PF ∴ 112FH AB ==， 31PH QH ∴==+， 622PQ PH ∴== 62． 18．【解答】解：将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90︒得到矩形A BC D '''，1AD A D ''∴==，AB A B k '==，90A DAB DCB ABC '∠=∠=︒=∠=∠，////A D BA CD ''∴A D F FEC DEA ''∴∠=∠=∠，且90D A '∠=∠=︒，ADE ∴∆∽△FA D ''， ∴AD DE AE A F A D D F ==''''，且2AE D F ='， 22DE A D ''∴==，1222A F AD '==， 90A DCF '∠=∠=︒，A FD EFC ''∠=∠，∴△A D F CEF ''∆∽，∴EC FC A D A F='''， ∴2122122k k ---= 21k ∴=+，故答案为：21+．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：原式22233(2)323312()322-⨯+⨯=⨯-- 1313+=-23=--．20．【解答】解：（1）2241(2)5y x x x =--=--， 该函数图象顶点B 坐标为(2,5)-；（2）如图，令0y =，1x =-，(0,1)C ∴-，(2,5)B -，(2,0)A ∴，∴四边形OABC 的面积11()62622AB OC OA =⨯+⨯=⨯⨯=． 21．【解答】解：如图，//AD BC ，ADB DBC ∴∠=∠，AB AD =，ADB ABD ∴∠=∠，ABD DBC ∴∠=∠，AE BD ⊥，AB AD =，90AEB C ∴∠=∠=︒，12BE DE ==，221691445AE AB BE ∴=-=-，ABD DBC ∠=∠，90AEB C ∠=∠=︒， ABE DCB ∴∆∆∽，∴ABAEBD CD =，∴13524CD =，12013CD ∴=．22．【解答】解：作AE PB ⊥于E ，由题意得，12 1.518PB =⨯=海里， 设AE x =海里，45APE ∠=︒，PE AE x ∴==，60ABE ∠=︒，由题意得，3183x x-=，解得，2793x=+，则27296AP=+，答：小岛A离港口P有(27296)+海里．23．【解答】证明：（1）//DE AB，∴CD CEAC CB=，2CD CF CA=．∴CD CF AC CD=，∴CF CE CD CB=，//EF BD∴；（2）//EF BD，CEF CBD∴∠=∠，AC CF BC CE=，∴AC CEBC CF=，且C C∠=∠，CEF CAB∴∆∆∽，CEF A∴∠=∠，DBE A∴∠=∠，//DE AB，EDB DBA∴∠=∠，且DBE A∠=∠，BAD DBE∴∆∆∽，2BD BA DE ∴=24．【解答】解：（1）将(3,0)A ，(0,3)B 分别代入抛物线解析式，得 9303b c c -++=⎧⎨=⎩． 解得23b c =⎧⎨=⎩． 故该抛物线解析式是：223y x x =-++；（2）设直线AB 的解析式是：(0)y kx t k =+≠，把(3,0)A ，(0,3)B 分别代入，得303k t t +=⎧⎨=⎩． 解得1k =-，3t =．则该直线方程为：3y x =-+．故设(,3)P m m -+，2(,23)Q m m m -++．则BP =，23PQ m m =-+．3OB OA ==，45BAO ∴∠=︒．QM OA ⊥，90PMA ∴∠=︒．45AMP ∴∠=︒．45BPQ APM BAO ∴∠=∠=∠=︒．又BOP QBP ∠=∠，POB QBP ∴∆∆∽．于是BP OBPQ BP ==． 解得195m =，20m =（舍去）． 254325PQ m m ∴=-+=；（3）由两点间的距离公式知，222BP m =，222(3)PQ m m =-+，2222(2)BQ m m m =+-+． ①若BP BQ =，22222(2)m m m m =+-+，解得11m =，23m =（舍去）．即1m =符合题意．②若BP PQ =，2222(3)m m m =-+， 解得132m =-，232m =+（舍去）． 即32m =-符合题意． ③若PQ BQ =，22222(3)(2)m m m m m -+=+-+， 解得2m =．综上所述，m 的值为1或32-或2．25．【解答】解：（1）如图1，延长FC 交OM 于点G ，90BCG CGB ∠+∠=︒，90MON CGB ∠+∠=︒，BCG MON ∴∠=∠，则tan tan 2BCG MON ∠=∠=，24BG BC ∴==，525CG BC =在Rt AOE ∆中，设OE a =，由tan 2MON ∠=， 可得5OA a =，则56OG a =+，16555OF OG a ==+， 655EF OF OE ∴=-=； （2）如图2，延长FC 交OM 于点G ，由（1）得25CG =，CD 平分FCO ∠，FCD DCO ∴∠=∠，//CD OM ，FCD CGO ∴∠=∠，DCO COG ∠=∠，CGO COG ∴∠=∠，25CO CG ∴==，在Rt COB ∆中，由222BC BO OC +=，得2222(52)(25)a ++=，解得165a =（舍去），225a = 6585OF a ∴= 4cos 5OF COF OC ∠==， 3sin 5COF ∴∠=； （3）当D 在MON ∠内部时，①如图31-，FDA FDC ∆∆∽时，此时2CD AD ==，2m∴=；②当FDA CDF∆∆∽时，如图32-，延长CD交ON于点Q，过F作FP CQ⊥于P，则135FDC FDA∠=∠=︒，45FDP∴∠=︒，tan tan22PC FP PFC FP MON FP DP CD DP =⋅∠=⋅∠===+，FP PD CD m∴===，2FD m∴=，FDA CDF∆∆∽，∴FD CDDA FD=，2 FD AD CD m∴⋅=∴22m m，1m∴=；当D在MON∠外部时，90ADF∠>︒，90DFC∠>︒，ADF DFC∴∠=∠，DFI FDI∴∠=∠，ID IF=，①如图33-，FDA DFC∆∆∽时，此时FDA DFC∆≅∆，2CF AD ∴==，DAF FCD FHD ∠=∠=∠， A ∴、O 重合，延长BC 交ON 于R ，24FR CF ∴==，25CR =，225BR =+， 1152m CD AB BR ∴====+； ②如图34-，FDA CFD ∆∆∽时，设25(0)CF t t =>，延长BC 交ON 于R ，过F 作FS CD ⊥于S ， DFC FDH ∆≅∆，DH FC ∴=，12ID IF CF ∴===，IS t ∴=，2FS t =，4CS t =，1)DS t =，DH FC ==， FDA CFD ∆∆∽， ∴ADDFDF FC =，22DF AD FC DH ∴=⋅==， 222DF DS FS =+，22241)t t ∴=++，解得1t =，20t =（舍去），52DH AD ∴==>=，矛盾，综上所述：1m =或2m =，或1m =。
上海市松江区初中毕业生学业模拟考试数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
上海市松江区初中毕业生学业模拟考试数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】-8的绝对值等于( )A. 8B. -8C. -D.【答案】B【解析】根据负数的绝对值等于其相反数可得-8的绝对值是8，故选B.【题文】下列运算中，计算结果正确的是（）A. ；B. ；C. ；D. ．【答案】D【解析】选项A，原式=3a-3；选项B，原式=；选项C，原式=；选项D，原式=9，故选D.【题文】一组数据2，4，5，2，3的众数和中位数分别是（）A. 2，5；B. 2，2；C. 2，3；D. 3，2．【答案】C【解析】在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是2；将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的数是3，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是3．故选C．【题文】对于二次函数,下列说法正确的是（）A. 图像开口方向向下；B. 图像与y轴的交点坐标是（0，-3）；C. 图像的顶点坐标为（1，-3）；D. 抛物线在x＞-1的部分是上升的．【答案】D【解析】二次函数y=2（x+1）2-3的图象开口向上，顶点坐标为（-1，-3），对称轴为直线x=-1；当x=0时，y=-2，所以图像与y轴的交点坐标是（0，-2）；当x＞-1时，y随x的增大而增大，即抛物线在x＞-1的部分是上升的，故选D.【题文】一个正多边形内角和等于540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A. 72°；B. 60°；C. 108°；D. 90°.【答案】A【解析】已知正多边形的内角和是540°，所以多边形的边数为540°÷180°+2=5，再由多边形的外角和都是360°，即可得多边形的每个外角=360÷5=72°．故选A．【题文】下列说法中正确的是（）A. 有一组邻边相等的梯形是等腰梯形；B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；C. 有一组对角互补的梯形是等腰梯形；D. 有两组对角分别相等的四边形是等腰梯形．【答案】C【解析】选项A，有一组邻边相等的梯形是等腰梯形不一定是等腰梯形；选项B，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是等腰梯形，可能是平行四边形；选项C正确；选项D、有两组对角分别相等的四边形平行四边形，不是等腰梯形．故选C．点睛：本题主要考查学生对等腰梯形的判定的掌握情况，熟记等腰三角形的判定方法是解题的关键．【题文】计算：=________．【答案】【解析】根据负整数指数幂的性质可得 .【题文】函数的定义域是________________．【答案】【解析】使函数表达式有意义，则x-3≠0解得x≠3．【题文】方程的根是．【答案】x=．【解析】试题分析：∵，∴3x﹣1=4，∴x=，经检验x=是原方程组的解，故答案为：x=．考点：无理方程．【题文】关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为_________．【答案】【解析】根据题意得△=（-2）2+4k=0，解得k=-1．【题文】在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是_________．【答案】【解析】在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球、3个白球和4个黑球，所以从中随机摸出一个球，摸到的球是红球的概率是 = .【题文】已知双曲线，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为_________．【答案】【解析】已知双曲线y，当x＞0时，y随x的增大而减小，即可得1-m＞0，解得m<1.【题文】不等式组的解集是．【答案】－1≤x＜3【解析】试题分析：先分别求出两个不等式各自的解，即可得到结果.由得，由得，则不等式组的解集是.考点：本题考查的是解一元一次不等式组点评：解答本题的关键是熟练掌握求一元一次不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不到（无解）.【题文】为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中35名学生，测试1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在40～45的频率是_______．【答案】【解析】观察可得仰卧起坐的次数在40～45的频数为35-2-4-9=20，所以仰卧起坐的次数在40～45的频率是 .【题文】某山路坡面坡度i=1︰3，沿此山路向上前进了100米，升高了_________米．【答案】【解析】已知山路坡面坡度i=1︰3，设山路坡面的垂直距离为xm，则水平距离为3xm，根据勾股定理可得，解得x= m.即升高了米．【题文】如图，在□ABCD中，E是AD上一点，且，设，，=______________．（结果用、表示）【答案】【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，又因，，，所以，即可得 .【题文】已知一个三角形各边的比为2︰3︰4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为_______cm．【答案】8【解析】根据三角形的中位线定理可得原三角形的周长为36cm，又因三角形各边的比为2︰3︰4，所以三角形最短的边的长为36× =8cm.【题文】如图，已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，将△ABC沿对角线AC翻折，点B落在点E处，联结DE ，则DE的长为______________．【答案】【解析】如图，由折叠的性质可得AB=AE=4，BC=CE=8，根据已知条件易证△AMC是等腰三角形，可得AM=MC ，设AM=MC=x，则EM=8-x，在Rt△AEM中，由勾股定理可得，解得x=5，即AM=MC=5，EM=3，过点E作EN⊥AD于点N，由可求得EN=，在Rt△NEM中，由勾股定理求得MN={{56l 试题解析：原式==当时，原式＝【题文】解方程组：【答案】，【解析】试题分析：把第二个方程化为=0，根据ab=0，可得a=0或b=0，把这个方程组转化为几个二元一次方程组，解这些方程组即可求得原方程组的解.试题解析：由②得，，原方程组化为，得∴原方程组的解是【题文】如图，直线与双曲线相交于点A(2，m)，与x轴交于点C.（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果PA=PC，求点P的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据题意求出点坐标，再代入双曲线解析式中即可求解；（2）设点P的坐标为(x，0)，由C（-4，0），PA=PC列方程，解得x的值，即可求得点P的坐标.试题解析：（1）把代入直线解得∴点A的坐标为（2，3）设双曲线的函数关系式为把代入解得∴双曲线的解析式为（2）设点P的坐标为∵C（-4，0），PA=PC∴，解得经检验：是原方程的根，∴点P的坐标为【题文】如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝110厘米，∠BAC＝37°，垂直支架CD=57厘米，DE是另一根辅助支架，且∠CED＝60°.（1）求辅助支架DE长度；(结果保留根号)（2）求水箱半径OD的长度．(结果精确到1厘米，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【答案】（1）辅助支架DE长度厘米，（2）水箱半径OD的长度为23厘米．【解析】试题分析：（1）在△CDE中利用三角函数sin60°=，求出DE的长．（2）首先设出水箱半径OD的长度为x厘米，在Rt△AOC中，根据sin∠A=，求得OD的长即可.试题解析：（1）在Rt△DCE中，sin∠E=∴DE==（厘米）答：辅助支架DE长度厘米（2）设圆O的半径为x厘米，在Rt△AOC中sin∠A=，即sin37=∴，解得x=22.5≈23（厘米）答：水箱半径OD的长度为23厘米．点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，做题的关键是表示出线段的长后，理清线段之间的关系．【题文】如图，点D、E分别是△ABC边BC、AB上的点，AD、CE相交于点G，过点E作EF∥AD交BC于点F ，且，联结FG.（1）求证：GF∥AB；（2）如果∠CAG=∠CFG，求证：四边形AEFG是菱形.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由，可得，再由EF∥AD，根据平行线分线段成比例定理可得，所以，即可得GF∥AB ；（2）联结AF ，证明ΔCAD∽ΔCBA，根据相似三角形的性质可得，即，再因，即可得，可得∠CAF=∠CFA，因∠CAG=∠CFG，可得∠GAF=∠GFA，即可得GA=GF，再由四边形AEFG是平行四边形，即可判断四边形AEFG是菱形.试题解析：（1）证明：∵，∴∵EF∥AD，∴∴∴GF∥AB（2）联结AF ，∵GF∥AB ∴∵，∴∵，∴∽∴，即∵，∴∴∵，∴，∴∵GF∥AB，EF∥AD，∴四边形是平行四边形∴四边形是菱形【题文】已知抛物线与轴交于点A和点B（3，0），与轴交于点C（0，3），P是线段BC 上一点，过点P作PN∥轴交轴于点N，交抛物线于点M．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且△QMC和△PMC的面积相等，求点Q的坐标；（3）如果，求tan∠CMN的值．【答案】（1）抛物线的表达式为；（2）点Q的坐标为（；（3）2.【解析】试题分析：（1）将B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，求得b、c的值，即可得该抛物线的表达式；（2）设直线BC的解析式为，把点C(0，3)，B(3，0)代入，求得直线BC的解析式为，即可得P（2，1），M（2，3）所以，设△QCM的边CM上的高为h，则，可得，即可得Q点的纵坐标为1，所以解得，即可得点Q的坐标为（；（3）过点C作，垂足为H，设M，则P，因为，可得，由此可得，解得，即可得点P 的坐标为（，所以M，求得，所以.试题解析：（1）将，代入，得解得∴抛物线的表达式为（2）设直线BC的解析式为，把点C(0，3)，B(3，0)代入得，解得∴直线BC的解析式为∴P（2，1），M（2，3）∴，设△QCM的边CM上的高为h，则∴∴Q点的纵坐标为1，∴解得∴点Q的坐标为（（3）过点C作，垂足为H设M，则P∵，∴，∴解得，∴点P 的坐标为（∴M∴，∴点睛：本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线、直线的解析式，三角形面积计算，方程思想，以及分类思想，综合性较强，有一定的难度．【题文】如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．（1）当PA=1时，求CE的长；（2）如果点P在边AB的上，当⊙P与以点C为圆心，CE为半径的⊙C内切时，求⊙P的半径；（3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE∥CF时，求AP的长．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】试题分析：(1)作PH⊥AC，垂足为H，由垂径定理可得AH=DH，由cosB= BC=3，可得AB=5，AC=4，再由PH∥BC，可得，代入数据求得PH= ，即可求得，由，代入数据求得CE的长即可；（2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，可得点D在AC的延长线上，过点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=，则，，，，根据，代入数据可得，解得，因⊙P与⊙C内切,即可得，所以，即，解得，（舍去），即当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为；（3）先证明四边形PDCF是平行四边形，可得PF=CD，再分当点P在边AB的上和当点P在边AB的延长线上两种情况求AP的长.试题解析：（1）作PH⊥AC，垂足为H，∵PH过圆心，∴AH=DH∵∠ACB=90°，∴PH∥BC，∵cosB=，BC=3，∴AB=5，AC=4∵PH∥BC，∴，∴，∴∴∴DC=，又∵，∴，∴（2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，∴点D在AC的延长线上过点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=，则，，，∵，，…（1分）∵⊙P与⊙C内切,∴∴∴,∴，（舍去）∴当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为．（3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，∠A=∠PDA，∴∠ABC=∠PEC∵∠ABC=∠EBP，∴∠PEC=∠EBP，∴PB=PE∵点Q为线段BE的中点，∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，∴PF=CD当点P在边AB的上时，，当点P在边AB的延长线上时，，综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．点睛：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理等知识，难度适中．。
2022松江数学初三一模答案解析
2022年上海市松江区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列代数式中，归类于分式的是（）A．B．C．D．【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、不是分式，故本选项错误；B、是分式，故本选项正确；C、不是分式，故本选项错误；D、分母不是整式，所以不是分式，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了分式的定义，属于基础题，注意掌握分式的定义是关键，这些需要我们理解记忆．2．（4分）下列方程中，有实数根的是（）A．B．C．x3+3＝0D．x4+4＝0【分析】根据任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数即可作出判断．【解答】解：A、≥0，因而方程一定无解；B、x﹣1≥0，解得：x≥1，则﹣x＜0，故原式一定不成立，方程无解；C、x3+3＝0，则x＝﹣，故选项正确；D、x4+4≥4，故原式一定不成立，故方程无解．故选：C．【点评】本题考查了任何数的算术平方根以及偶次方一定是非负数．3．（4分）函数y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据k的取值范围确定﹣k﹣1的符号，从而确定一次函数不经过的象限．【解答】解：∵k＞0∴﹣k＜0，∴﹣k﹣1＜0∴y＝kx﹣k﹣1（常数k＞0）的图象经过一、三、四象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是牢记比例系数对函数图象的影响．4．（4分）某餐饮公司为一所学校提供午餐，有10元、12元、15元三种价格的盒饭供师生选择，每人选一份，该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数依次占50%、30%、20%，那么这一天该校师生购买盒饭费用的平均数和中位数分别是（）A．12元、12元B．12元、11元C．11.6元、12元D．11.6元、11元【分析】根据平均数的计算公式和该校师生某一天购买的这三种价格盒饭数所占的百分比，列式计算即可；根据中位数的定义先按从小到大的顺序排列起来，再找出最中间两个数的平均数即可．【解答】解：这一天该校师生购买盒饭费用的平均数是：10×50%+12×30%+15×20%＝11.6（元）；中位数是10和12的平均数，则（10+12）÷2＝11（元）；故选：D．【点评】此题考查了加权平均数和中位数，注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．5．（4分）如果▱ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断▱ABCD为菱形的是（）A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBC C．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OAD【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠OAB＝∠ACD，∵∠OAB＝∠OAD，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）故选：D．【点评】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．6．（4分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是（）A．0≤r≤B．≤r≤3C．≤r≤4D．3≤r≤4【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有交点，∴≤r≤4．故选：C．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案，此题比较容易漏解．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）分解因式：x2﹣xy﹣12y2＝（x﹣4y）（x+3y）．【分析】因为﹣4y×3y＝﹣12y2，﹣4y+3y＝﹣y，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣xy﹣12y2＝（x﹣4y）（x+3y）．故答案是：（x﹣4y）（x+3y）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．8．（4分）方程的解是x＝1．【分析】先把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可求出答案．【解答】解：，两边平方得：x2﹣1＝x﹣1，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0，x2＝1，检验：当x1＝0时，左边＝，方程无意义，当x2＝1时，左边＝右边＝0，则原方程的解是x＝1；故答案为：x＝1．【点评】此题考查了无理方程，关键是通过把方程两边平方，把无理方程转化成有理方程，要注意检验．9．（4分）函数的定义域是x≥0且x≠2．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：x≥0且x≠2．故答案是：x≥0且x≠2．【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．10．（4分）如果反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么y1＞y2.（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】根据题意可得点A，B在第一象限，根据反比例函数增减性即可进行判断．【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），可知点A，B在第一象限，根据k＞0时，反比例函数在每个象限内，y随着x增大而减小，可得y1＞y2，故答案为：＞．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．11．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的2个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色不同的概率是．【分析】列表是找出所有等可能的结果数，进而得出两次颜色不同的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表如下：红红白白红﹣﹣﹣（红，红）（白，红）（白，红）红（红，红）﹣﹣﹣（白，红）（白，红）白（红，白）（红，白）﹣﹣﹣（白，白）白（红，白）（红，白）（白，白）﹣﹣﹣所有等可能结果数为12种，其中两个球颜色不同的情况数有8种，则概率P＝＝．故答案为：【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．12．（4分）某工厂对一个小组生产的零件进行调查．在10天中，这个小组出次品的情况如表所示：每天出次品的个数0234天数3241那么在这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是．【分析】根据所给出的数据线求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出这组数据的方差，最后根据标准差的定义解答即可．【解答】解：这组数据的平均数是：（2×2+3×4+4×1）÷10＝2，这组数据的方差是：[3（0﹣2）2+2（2﹣2）2+4（3﹣2）2+（4﹣2）2]＝2，则这10天中这个小组每天所出次品数的标准差是；故答案为：．【点评】此题考查了标准差，计算标准差需要先算出方差，计算方差的步骤是：（1）计算数据的平均数；（2）计算偏差，即每个数据与平均数的差；（3）计算偏差的平方和；（4）偏差的平方和除以数据个数．标准差即方差的算术平方根．13．（4分）李明早上骑自行车上学，中途因道路施工推车步行了一段路，到学校共用时15分钟．如果他骑自行车的平均速度是每分钟250米，推车步行的平均速度是每分钟80米，他家离学校的路程是2900米，设他推车步行的时间为x分钟，那么可列出的方程是250（15﹣x）+80x＝2900．【分析】根据关键语句“到学校共用时15分钟，骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米”可得方程．【解答】解：设他推车步行的时间为x分钟，则骑自行车的时间为：（15﹣x）分钟，根据题意得出：250（15﹣x）+80x＝2900．故答案为：250（15﹣x）+80x＝2900．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是弄清题意，根据“他家离学校的路程是2900米”列出方程．14．（4分）如图，已知点O是正六边形ABCDEF的中心，记，，那么＝（用向量、表示）．【分析】由正六边形的性质可得＝，求出，再由是的相反向量，可得出答案．【解答】解：连接OE，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴FE＝OD，∴＝，∴＝+＝+，∴＝﹣＝﹣﹣．故答案为：﹣﹣．【点评】本题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是掌握正六边形的性质，及向量的加减运算法则．15．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC边AB、AC上，DE∥BC，BD＝2AD，那么S△DEB：S△EBC＝．【分析】根据BD＝2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解．【解答】解：∵BD＝2AD，∴AD：AB＝1：3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴DE：BC＝1：3．∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h，∴S△DBE：S△EBC＝＝＝，故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键．16．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA＝30°，OF⊥CD，垂足为点F，DE ＝5，OF＝1，那么CD＝．【分析】根据AB是⊙O的直径，OF⊥CD，和垂径定理可得CF＝DF，再根据30度角所对直角边等于斜边一半，和勾股定理即可求出EF的长，进而可得CD的长．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，OF⊥CD，根据垂径定理可知：CF＝DF，∵∠CEA＝30°，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2，EF＝，∴DF＝DE﹣EF＝5﹣，∴CD＝2DF＝10﹣2．故答案为：10﹣2．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是掌握垂径定理．17．（4分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条面积等分线．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D在边BC上，且BD＝4，过点D的面积等分线交△ABC的边于点E，那么线段AE的长等于．【分析】过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，根据三角形的面积列出方程可得BC•AG＝2×DC•EF，就可以求出EF的值，证明△CEF∽△CAG，由相似三角形的性质得出，求出CE 的值从而得出结论．【解答】解：过点A作AG⊥BC于G，过点E作EF⊥BC于F，∴∠AGB＝∠AGC＝∠EFC＝90°，∴EF∥AG．∵AB＝AC＝10，∴BG＝CG＝BC＝6．在Rt△ABG中，由勾股定理，得AG＝＝8．∵DC＝BC﹣BD，∴DC＝12﹣4＝8．∵S△ABC＝2S△EDC，∴BC•AG＝2×DC•EF，∴×12×8＝2××8•EF，即EF＝6．∵EF∥AG，∴△CEF∽△CAG，∴，∴，即EC＝，∴AE＝10﹣＝．故答案为：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时正确作出辅助线是解答本题的关键，证明△CEF∽△CAG是解题的关键．18．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE 交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为．【分析】过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，设AF＝x，在Rt△ABF 中，tan∠B＝，可求得BF＝CF＝2x，再利用勾股定理求出AB＝AC＝x，在Rt △CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，即可求得DE＝，结合勾股定理可得CD＝＝，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，进而可得出答案．【解答】解：过点A作AF⊥BC于点F，连接AD．由翻折可知，AE＝CE，DE⊥AC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，BF＝CF．设AF＝x，在Rt△ABF中，tan∠B＝，∴BF＝CF＝2x，∴AB＝AC＝x，在Rt△CDE中，tan∠C＝tan∠B＝，∵CE＝，∴DE＝，∴，则BD＝BC﹣CD＝2BF﹣CD＝，∴．故答案为：．【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】根据负整数指数幂与分母有理化得到原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2，然后去括号和进行乘法运算后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣（+2）﹣3×+1﹣2+2＝2﹣﹣2﹣+3﹣2＝﹣2+1．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．20．（10分）解不等式组：．将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解．【分析】分别解每个不等式，再根据不等式组的解集求出整数解即可．【解答】解：由第一个不等式，得5x≥5，解得x≥1，由第二个不等式，得2（x﹣1）﹣（x+2）＞3x﹣12，整理，得2x＜8，解得x＜4，∴不等式的解集为1≤x＜4，数轴图表示解集：所以整数解为1，2，3．【点评】本题考查一元一次不等式组解法，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．21．（10分）如图，已知反比例函数的图象经过A（1，6）、B两点，直线AB与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若，求点C点坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求得；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，根据平行线分线段成比例定理得出B点的坐标，进一步利用线段成比例得出CD，即可确定C点的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（1，6）；∴，∴k＝6，∴反比例函数的解析式为：；（2）作AD⊥x轴，垂足为点D，作BE⊥AD，垂足为点E，∴BE∥CD，∴＝＝，又∵AD＝6，∴AE＝4，ED＝2，将y＝2代入，得B点坐标为（3，2），∴BE＝2，又∵BE∥CD，∴，∴CD＝3∴C点坐标为（4，0）．【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，求得线段的长度是解题的关键．22．（10分）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1：，且AB＝26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．【分析】（1）根据坡度的概念得到BE：EA＝12：5，根据勾股定理计算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．【解答】解：（1）∵斜坡AB的坡比为i＝1：，∴BE：EA＝12：5，设BE＝12x，则EA＝5x，由勾股定理得，BE2+EA2＝AB2，即（12x）2+（5x）2＝262，解得，x＝2，则BE＝12x＝24，AE＝5x＝10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FH⊥AD于H，则tan∠F AH＝，∴AH＝≈18，∴BF＝18﹣10＝8，答：BF至少是8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，以AD、AE为腰做等腰△ADE，且∠ADE＝∠ABC，连接CE，过E作EF∥BC交CA延长线于F，连接BF．（1）求证：∠ECA＝∠ABC；（2）如果AF＝AB，求证：四边形FBDE是矩形．【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），即可得出结论；（2）先证四边形FBDE是平行四边形，再证∠CBF＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC，同理∠DAE＝180°﹣2∠ADE，∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ECA＝∠ABC；（2）∵∠ECA＝∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ECF＝∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EFC＝∠ACB，∴∠EFC＝∠ECF，∴EF＝EC，∵△ABD≌△ACE，∴BD＝EC，∴BD＝EF，∴四边形FBDE是平行四边形，∵AF＝AB＝AC，∴∠AFB＝∠ABF，∠ABC＝∠ACB，∵∠AFB+∠ABF+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABF+∠ABC＝90°，即∠CBF＝90°，∴平行四边形FBDE是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，tan∠OAB＝3，抛物线y＝x2+mx+3经过A、B两点，顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，求四边形ABCD的面积；（3）将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足∠ACP＝∠ABO，求点P的坐标．【分析】（1）根据tan∠OAB＝3，求得点A的坐标，代入y＝x2+mx+3即可求得抛物线解析式；（2）由旋转可得出C（4，1），再求出抛物线顶点D（2，﹣1），利用勾股定理及其逆定理可得∠ADC＝90°，根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求得答案；（3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣4x+1，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+mx+3经过点B，∴B（0，3），∴OB＝3，∵＝tan∠OAB＝3，∴OA＝1，∴A（1，0），将A（1，0）代入抛物线y＝x2+mx+3，得1+m+3＝0，解得：m＝﹣4，′∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3．（2）∵将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，得到△O′AC，∴∠AO′C＝∠AOB＝∠OAO′＝∠BOC＝90°，O′A＝OA＝1，O′C＝OB＝3，∴C（4，1），∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴D（2，﹣1），∴AD＝＝，CD＝＝2，，∵AD2+CD2＝10，AC2＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，又∵AB＝AC＝，且∠BAC＝90°，∴，即四边形ABCD的面积为7．（3）当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝42﹣4×4+3＝3，可知抛物线y＝x2﹣4x+3经过点（4，3），∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点C（4，1），∴平移后得抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+1；①若点P在x轴上方时，作CP∥x轴，交抛物线于P点，易证∠ACP＝∠ABO，∴点P与点C关于抛物线y＝x2﹣4x+1的对称轴直线x＝2对称，∴P（0，1）；②若点P在x轴下方时，如图2，作AC的中垂线，与x轴交与E点，联结CE并延长，交抛物线y＝x2﹣4x+1于P点，根据线段的垂直平分线的性质可得AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACP，∵O′C∥x轴，∴∠CAE＝∠ACO′＝∠ABO，∴∠ACP＝∠ABO，作CH⊥x轴，垂足为H，则CH＝1，AH＝OH﹣OA＝3，设AE＝x，则CE＝x，EH＝3﹣x，在Rt△CEH中，CH2+EH2＝CE2，∴1+（3﹣x）2＝x2，解得，∴AE＝，∴OE＝OA+AE＝1+＝，∴E（，0），设直线CE的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CE的解析式为y＝x﹣2，∴x2﹣4x+1＝x﹣2，解得：x1＝4（舍去），x2＝，当x＝时，y＝x2﹣4x+1＝（）2﹣4×+1＝，∴P（，﹣），综上所述，满足条件得P点坐标为（0，1）或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键．25．（14分）如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC于点E，连接AD交BC于点F．（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长．【分析】（1）连接OC，利用圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理解得即可；（2）连接AC，利用垂径定理和勾股定理解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法，分①当DF＝OF时，②当DF＝OD＝2时两种情况解答：利用平行线分线段成比例定理，勾股定理解答即可．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）连接AC，如图，∵OD⊥BC，∴E是BC中点，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．设AC＝3x，则DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①当DF＝OF时，如图，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②当DF＝OD＝2时，如图，设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．综上所述，AD长或2．【点评】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，添加适当的辅助线是解题的关键．。
2024届上海市松江区初三一模数学试题及答案
上海市松江区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，属于二次函数的是（）.A 2y x ；.B 2y x ；.C 221y x x ；.D 22y x．2.在Rt ABC 中，已知90C ，A ，BC a ，那么AB 的长为（）.A sin a；a；；．3..A 1,0 ．4..A //a5.矩形.A 4；.C 16256.1A 、点B 的和之比等于k ．对于结论①和②，下列说法正确的是（）.A ①正确，②错误；.B ①错误，②正确；.C ①和②都错误；.D ①和②都正确．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.若12y x ，则yx y．8.A 、B 两地的实际距离250AB 米，画在地图上的距离''5A B 厘米，那么地图上的距离与实际距离的比是．9.某印刷厂一月份印书50万册，如果第一季度从2月份起，每月印书量的增长率都为x，三月份的印书量为y万册，那么y关于x的函数解析式是．10.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP BP，如果5AB ，那么AP ．11.在直角坐标平面中，将抛物线 212y x，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是．12.如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式：．13.如图，一辆小车沿着坡度为1:2.4的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为米．14.如图，15.如图，DF16.如图，2:317.在ABC中，AB AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交于点O，如果OBC是等边三角形，那么tan ABC．18.如图，在矩形ABCD中，2AB ，3BC ，将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在'B处，联结'BB、'CB，若'90BB C，则'BB ．第18题图第20题图三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）二次函数2y ax bx c （0a ）的图像上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表．（1）由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D 的坐标；（2）如果该二次函数图像与y 轴交于点A ，点 5,P t 是图像上一点，20.如图，//EF AB ，3AD ，（1）（2）已知：如图，在ABC 中，15AB ，14BC ，4sin 5B ，AD BC 于D ．（1）求AC 的长；（2）如果点E 是边AC 的中点，求cot EBC 的大小．22.如图，处，这时在A 求A 、第22题图第23题图第24题图已知：如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，BDC DEC ．（1）求证：ADE ACD ∽；（2）求证：22CD AEBC AC．24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c （0a ）的图像经过原点 0,0O 、点 1,3A a ，此抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，顶点为B ．（1）求抛物线的对称轴；（2）如果该抛物线与x 轴负半轴的交点为D ，且ADC 的正切值为2，求a 的值；（3）将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A 、B 分别对应新抛物线上的点E 、P ．联结PA ，如果点P 在y 轴上，//PA x 轴，且EPA CBO ，求新抛物线的表达式．第25题图第25题备用图25.（本题满分14分，第（1）①小题4分，第（1）②小题5分，第（2）小题5分）在ABC 中，AC BC ．点D 是射线AC 上一点（不与A 、C 重合），点F 在线段BC 上，直线DF 交直线AB 于点E ，2CD CF CB ．（1）如图，如果点D 在AC 的延长线上．①求证：DE BD ；②联结CE ，如果//CE BD ，2CE ，求EF 的长．（2）如果:1:2DF DE ，求:AE EB 的值．数学第1页共4页2023学年度第一学期九年级期末数学练习卷参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B 2.A3.C4.D5.B6.D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.13；8.1:5000；9.250(1)y x ；10.52；11.2(2)y x ；12.2y x （答案不唯一）；13.2501314.34 m n ；15.2；16.12；17.；18.125.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．解：（1）∵图像过（0,3）、（4,3）∴该二次函数图像的对称轴为直线x =2,∴顶点坐标为D （2，-1），设该二次函数的解析式为2(2)1y a x ，∵当x =1时，y =0，∴0=a -1，得a =1.∴二次函数的解析式为2(2)1y x ，顶点D 的坐标为（2，-1）.(2)当x =5时，y =8,∴点P （5,8）,当当x =0时，y =3，∴A （0,3）分别过点P ,D 作y 轴的垂线，垂足分别为点B 、点C ，则16325922PBCD S梯形（）12442ACD S△;1255522ABP S △∴6325415.22APDS △20．解：（1）∵DE ∥BC ,∴AD AEBD EC∵AD =3,BD =9,∴31.93 AE EC ∵EF ∥AB ,∴1.3AE BF EC FC （2）∵DE ∥BC ，∴ADE ABC △∽△∴2(ADE ABC S AD S AB△△，∵△ABC S =16，∴21(.164ADE S △ 1.ADE S △同理可得23(.164EF C S △∴9.EFC S △(第19题图)(第20题图)数学第2页共4页∴1619 6.BFED S 21．解：(1)∵AD ⊥BC,AB =15，4sin 5B，∴AD =15sin B=12.∴BD =9，∵BC =14，∴CD =5∴AC =13(2)联结BE ,过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ∵E 为AC 的中点EH ∥AD ，∴.EH EC CH ADACCD∴EH =6,CH =DH =2.5，∴BH =11.5∴cot ∠EBC =11.523.612BH EH 22（本题满分10分）解：过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H .∵∠C =30°，AC =200，∴AH =12AC =100∵AM ⊥AC ，∠BAM =15°∴∠BAC =105°,∠ABC =45°∴AB=°141sin 45AH 米答：A 、B 之间的距离约为141米.23.证明：（1）∵∠BDC =∠DEC∴∠ADC =∠AED∵∠A =∠A ∴△ADE ∽△ACD(2)∵DE ∥BC ∴∠EDC =∠DCB∵∠BDC =∠DEC ∴△BDC ∽△CED ∴22 △△CDE BDC S CD S BC ∵DE ∥BC ∴△△CDE BDC S DES BC, DE AEBC AC∴22CD AE BC AC24.解（1）∵抛物线2(0)y ax bx+c a 的图像经过原点O （0,0）、点A （1，3a ），∴3c =0a b c a∴2b ac =0(第22题图)（第23题图）AD BCE数学第3页共4页∴抛物线的表达式22 y ax ax ∵2122b a a a∴抛物线的对称轴是：直线x =-1（2）∵O （0,0）对称轴是直线x =-1∴D （-2,0）过点A 作AH ⊥x 轴，垂足为H ，则AH =3a ，DH =3∴t a n∠ADC =323AH aDH ∴a =2（3）过点E 作EF ⊥P A ，垂足为F 当x =-1时，y =-a ，∴B （-1，-a ）∵P A ∥x 轴∴P （0,3a ）点B 到P 向右平移1个单位向上平移4a 个单位，∴PF =2,EF =4a ∵tan ∠CBO =1 OC BC a tan ∠EPA =422EF aaPF ∵∠EPA =∠CBO∴12, aa2a ∴新抛物线的表达式是222y x 25．（1）①∵2CD CF CB ∴CF CDCD CB又∵∠DCB =∠FCD ∴△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC ∵AC =BC ，∴∠A =∠CBA ∠DEB =∠A +∠EDA∠DBA =∠CBA +∠DBCB（第25题图）数学第4页共4页∴∠DEB =∠DBA ∴DE =BD （1）②∵CE ∥DB∴∠BDF =∠DEC又∵DB =DE ,∠DBF =∠EDC ∴△DBF ≌△EDC ∴CE =DF =2DE =DB =2+EF∵CE EF BD DF ∴222EFEF EF1（EF=1 舍去）（2）1º当点D 在AC 延长线上时过点D 作DH ∥AB 交BC 的延长线于点H∵DH ∥AB DF :DE =1:2∴DH =EB ∠H =∠HBA =∠A 又∵∠DBH =∠EDA BD =DE∴△BHD ≌△DAE∴DH =AE =EBAE :EB =12º当点D 在边AC 上时过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G同理△DCB ∽△FCD ∴∠DBC =∠FDC =∠EDA ∵∠CBA =∠CAB =∠E +∠EDA ∴∠E =∠DBA =∠GDB ∴DE =DB△BGD ≌△DAE∴DG =AE又∵DF :DE =1:2，13DG DF BE EF ∴AE :EB=13B（第25（2）题图）（第25题备用图）BE。
上海松江区中考一模数学考试卷(解析版)(初三)中考模拟.doc
上海松江区中考一模数学考试卷（解析版）（初三）中考模拟姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinα B．2cosα C．2tanα D．2cotα【答案】D【解析】试题分析：根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．考点：锐角三角函数的定义．【题文】下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2 C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【答案】C．【解析】试题分析：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米 B．40米 C．90米 D．80米【答案】A．【解析】试题分析：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．考点：相似三角形的应用．【题文】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥∥ B． C． =－2 D． =2，=【答案】B．【解析】试题分析：A、∥∥则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、 =－2，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、 =2，=则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．考点：平面向量．【题文】如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A． B． C．D．【答案】C．【解析】试题分析：∵AD∥BC∴，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴，故D正确．∴C错误．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【题文】如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【答案】B．【解析】试题分析：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．考点：相似三角形的判定与性质．【题文】已知，则的值为．【答案】．【解析】试题分析：用a表示出b，然后代入比例式进行计算．∵，∴b=a，∴==．故答案为：．考点：比例的性质．【题文】计算：（﹣3）﹣（+2）=．【答案】．【解析】试题分析：根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．考点：平面向量．【题文】已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．【答案】k＜1．【解析】试题分析：由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．考点：二次函数的性质．【题文】把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．【答案】y=（x﹣4）2．【解析】试题分析：直接根据“左加右减”的原则进行解答即可，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．考点：二次函数图象与几何变换．【题文】已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．【答案】8．【解析】试题分析：利用锐角三角函数定义求出所求即可，∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8．考点：解直角三角形．【题文】如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF=．【答案】．【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，考点：平行线分线段成比例．【题文】已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】试题分析：分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可，当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．【题文】已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．【答案】x=2．【解析】试题分析：根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案，∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，考点：二次函数的性质．【题文】在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．【答案】2．【解析】试题分析：先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长，∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2．考点：三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【题文】在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）【答案】5+5．【解析】试题分析：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【题文】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【答案】．【解析】试题分析：设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．考点：线段垂直平分线的性质．【题文】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．【答案】4．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．考点：旋转的性质；解直角三角形．【题文】计算：．【答案】．【解析】试题分析：直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．试题解析：原式====．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【题文】如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【答案】略【解析】试题分析：（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．试题解析：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【考点】*平面向量．【题文】如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【答案】（1）；（2）25．【解析】试题分析：（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．试题解析：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB 所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE 段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】（1）6.3；（2）6.2【解析】试题分析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．试题解析：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【题文】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【答案】略【解析】试题分析：（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．试题解析：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【题文】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（1，4）；（2）；（3）（1，）或（1，﹣2）．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【考点】二次函数综合题．【题文】如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【答案】（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【考点】四边形综合题．。
2021届松江区中考数学一模
第一学期九数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知13a b =，那么aa b +的值为（ ）（A ）13； （B ）23； （C ）14； （D ）34．2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）（A ）3y x =-； （B ）22(1)y x x =-+； （C ）(1)1y x x =--； （D ）21y x=． 3．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机与目标A 的距离为（ ） （A ）5sin α； （B ）5sin α； （C ）5cos α； （D ）5cos α． 4．已知非零向量、、a b c ，在下列条件中，不能判定∥a b 的是（ ）（A ）,∥∥a c b c ； （B ）2,3a c b c ==； （C ）5a b =-； （D ）2a b =．5．在△ABC 中，边BC =6，高AD =4，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（A ）3； （B ）2.5； （C ）2.4； （D ）2．6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：BD =2:1，点F 在AC 上，AF ：FC =1:2，联结BF ，交DE 于点G ，那么DG ：GE 等于．（A ）1:2； （B ）1:3； （C ）2:3； （D ）2:5．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知线段a ＝4，b =1，如果线段c 是线段a 、b 的比例中项，那么c = ．8．在比例尺是1:15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离 是 千米．9．如果抛物线2y a x x=++-的开口向下，那么a的取值范围是．(2)110．如果一个斜坡的坡度1:3i=，那么该斜坡的坡角为度．11．已知线段AB=10，P是AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP= ．12．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG= ．13．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC=4，CE=6，BD=3，那么BF= ．14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5,12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．已知抛物线y=f(x)开口向下，对称轴是直线x=1，那么f(2) f(4)．（填“>”或“<”）16．把抛物线2=向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2,3），那么平移后的抛物线的表达式y x是．17．我们定义：关于x的函数22=+=+（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y ax bx y bx ax与22=+=+是互为交换函数．如果函数2y x bx=+与它的交换函数图像顶点关于x轴对称，23443与y x x y x x那么b= ．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD:AE的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，每题各5分）如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （3,0）、点B （0,3），顶点为M ．（1）求该二次函数的解析式； （2）求∠OBM 的正切值.20．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF ∥AB ，2CF ADFA DB==． （1）设，AB a AC b ==．试用、a b 表示AE ；（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积． 21．（本题满分10分，每小题5分）如图，已知△ABC 中，AB =AC =25，BC =4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F ．（1）求线段BF 的长； （2）求AE ：EC 的值． 22．（本题满分10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3 1.72 1.4≈≈）．，23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2BD AD BC=⋅．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2CD BE BC=⋅．24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ．（1）求线段CD 的长；（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．参考答案：1、C ；2、C ；3、A ；4、D ；5、C ；6、B ；7、2；8、300；9、a <-2；10、30；11、5-；12、83；13、152；14、513；15、>；16、21y x =-；17、-2；18。
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=2，以点A 为圆心，AD 的长为半径的圆交BC 边于点E ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2213π--B ．2212π--C ．2222π--D ．2214π--2．函数y ＝ax 2与y ＝﹣ax+b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置大致如图所示，O 为原点，则下列关系式正确的是( )A ．a ﹣c ＜b ﹣cB ．|a ﹣b|＝a ﹣bC ．ac ＞bcD ．﹣b ＜﹣c4．某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min ）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y （℃）和时间x （min ）的关系如图所示，水温从100℃降到35℃所用的时间是（ ）A ．27分钟B ．20分钟C ．13分钟D ．7分钟5．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是 A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-6．已知一次函数y ＝﹣12x+2的图象，绕x 轴上一点P （m ，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），则m 的值为（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．27．如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．8．下列四个几何体，正视图与其它三个不同的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜1；②a ﹣b+c ＜1；③b+2a ＜1；④abc ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③10．（2016福建省莆田市）如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC ≌△POD 的选项是（ ）A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC=ODC ．∠OPC=∠OPD D ．PC=PD11．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（ ） A ．16B ．13C ．12D ．2312．下列计算中，正确的是（ ） A ．a•3a=4a 2 B ．2a+3a=5a 2 C ．（ab ）3=a 3b 3D ．7a 3÷14a 2=2a二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，将△ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到△DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是______．14．数据：2，5，4，2，2的中位数是_____，众数是_____，方差是_____． 15．25位同学10秒钟跳绳的成绩汇总如下表： 人数 1 2 3 4 5 10 次数15825101720那么跳绳次数的中位数是_____________.16．江苏省的面积约为101 600km 1，这个数据用科学记数法可表示为_______km 1． 17．如图，在菱形ABCD 中，AE DC ⊥于E ，AE 8cm =，2sinD 3=，则菱形ABCD 的面积是______．18．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D=30°，CD=4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格： 组别 成绩（分）频数（人数） 频率 一2 0.04 二10 0.2 三14 b 四a 0.32 五80.16请根据表格提供的信息，解答以下问题：本次决赛共有 名学生参加；直接写出表中a= ,b= ;请补全下面相应的频数分布直方图；若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为 ．20．（6分）菱形ABCD 的边长为5，两条对角线AC 、BD 相交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根，求m 的值．21．（6分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．第一批饮料进货单价多少元？若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？22．（8分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？23．（8分）某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表：x(万元) 1 2 2.5 3 5y A(万元) 0.4 0.8 1 1.2 2信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系：y B＝ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元．(1)求出y B与x的函数关系式；(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？24．（10分）某单位为了扩大经营，分四次向社会进行招工测试，测试后对成绩合格人数与不合格人数进行统计，并绘制成如图所示的不完整的统计图．（1）测试不合格人数的中位数是．（2）第二次测试合格人数为50人，到第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，若这两次测试的平均增长率相同，求平均增长率；（3）在（2）的条件下补全条形统计图和扇形统计图．25．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a 、b 、c （如图），求作线段x ，使::a b c x =他的作法如下：（1）以点O 为端点画射线OM ，ON ． （2）在OM 上依次截取OA a =，AB b =． （3）在ON 上截取OC c =．（4）联结AC ，过点B 作//BD AC ，交ON 于点D ． 所以：线段________就是所求的线段x ． ①试将结论补完整②这位同学作图的依据是________③如果4OA =，5AB =，AC π=u u u r u r ，试用向量πu r 表示向量DB uuu r．26．（12分）如图，某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D 是AB 的中点，中柱CD ＝1米，∠A ＝27°，求跨度AB 的长(精确到0.01米).27．（12分）解分式方程：21133x x x-+=--． 参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B 【解析】 【分析】先利用三角函数求出∠BAE=45°，则，∠DAE=45°，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EAD 进行计算即可． 【详解】解：∵AE=AD=2，而，∴cos ∠BAE=AB AE =2，∴∠BAE=45°，∴，∠BEA=45°．∵AD ∥BC ，∴∠DAE=∠BEA=45°，∴图中阴影部分的面积=S 矩形ABCD ﹣S △ABE ﹣S 扇形EAD 12﹣2452360π⋅⋅1﹣2π． 故选B ． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 2．B 【解析】A 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a ->，∴0a <，所以A 错误； B 选项中，由图可知：在2y ax =，0a >；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以B 正确；C 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以C 错误；D 选项中，由图可知：在2y ax =，0a <；在y ax b =-+，0a -<，∴0a >，所以D 错误．故选B ．点睛：在函数2y ax =与y ax b =-+中，相同的系数是“a ”，因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势确定出两个解析式中“a ”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值无关. 3．A 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置确定出a ，b ，c 的范围，判断即可． 【详解】由数轴上点的位置得：a ＜b ＜0＜c ，∴ac＜bc，|a﹣b|＝b﹣a，﹣b＞﹣c，a﹣c＜b﹣c.故选A．【点睛】考查了实数与数轴，弄清数轴上点表示的数是解本题的关键．4．C【解析】【分析】先利用待定系数法求函数解析式，然后将y=35代入，从而求解．【详解】解：设反比例函数关系式为：kyx=，将（7，100）代入，得k=700，∴700yx =，将y=35代入700yx =，解得20x=；∴水温从100℃降到35℃所用的时间是：20－7=13，故选C．【点睛】本题考查反比例函数的应用，利用数形结合思想解题是关键．5．A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A正确；y=2x2–2的对称轴为x=0，B错误；y=–2x2–2的对称轴为x=0，C错误；y=2（x–2）2的对称轴为x=2，D错误．故选A．1．6．C【解析】【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为y=-12x-1，然后根据解析式求得与x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．【详解】∵一次函数y＝﹣12x+2的图象，绕x轴上一点P（m，1）旋转181°，所得的图象经过（1．﹣1），∴设旋转后的函数解析式为y＝﹣12x﹣1，在一次函数y＝﹣12x+2中，令y＝1，则有﹣12x+2＝1，解得：x＝4，即一次函数y＝﹣12x+2与x轴交点为（4，1）．一次函数y＝﹣12x﹣1中，令y＝1，则有﹣12x﹣1＝1，解得：x＝﹣2，即一次函数y＝﹣12x﹣1与x轴交点为（﹣2，1）．∴m＝242-+＝1，故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式．本题属于基础题，难度不大．7．D【解析】根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面的，左面看得到的图形:几何体的左视图是：．故选D.8．C【解析】【分析】根据几何体的三视图画法先画出物体的正视图再解答.【详解】解：A、B、D三个几何体的主视图是由左上一个正方形、下方两个正方形构成的，而C选项的几何体是由上方2个正方形、下方2个正方形构成的，故选：C．【点睛】此题重点考查学生对几何体三视图的理解，掌握几何体的主视图是解题的关键.9．C【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①当x=1时，y=a+b+c=1，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a﹣b+c＜1，故本选项正确；③由抛物线的开口向下知a＜1，∵对称轴为1＞x=﹣＞1，∴2a+b＜1，故本选项正确；④对称轴为x=﹣＞1，∴a、b异号，即b＞1，∴abc＜1，故本选项错误；∴正确结论的序号为②③．故选B．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞1；否则a＜1；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞1；否则c＜1；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．10．D【解析】试题分析：对于A，由PC⊥OA，PD⊥OB得出∠PCO=∠PDO=90°，根据AAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于B OC=OD，根据SAS判定定理可以判定△POC≌△POD；对于C，∠OPC=∠OPD，根据ASA判定定理可以判定△POC≌△POD；，对于D，PC=PD，无法判定△POC≌△POD，故选D．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定．11．B【解析】考点：概率公式．专题：计算题．分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，故概率为2/ 6 ="1/" 3 ．故选B．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）="m" /n ．12．C【解析】【分析】根据同底数幂的运算法则进行判断即可.【详解】解：A 、a•3a=3a 2，故原选项计算错误；B 、2a+3a=5a ，故原选项计算错误；C 、（ab ）3=a 3b 3，故原选项计算正确；D 、7a 3÷14a 2=12a ，故原选项计算错误； 故选C ．【点睛】本题考点：同底数幂的混合运算.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．258或5或1． 【解析】【分析】根据以点A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形分类讨论即可．【详解】解：如图（1）当在△ADE 中，DE=5，当AD=DE=5时为等腰三角形，此时m=5.(2)又AC=5，当平移m 个单位使得E 、C 点重合，此时AE=ED=5,平移的长度m=BC=1,(3)可以AE 、AD 为腰使ADE 为等腰三角形，设平移了m 个单位：则223(m-4)+，AD=m ，得：2223(m-4)=m +，得m=258, 综上所述：m 为258或5或1， 所以答案：258或5或1． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，注意分类讨论的完整性.14．2 2 1.1．【解析】【分析】先将这组数据从小到大排列，再找出最中间的数，即可得出中位数；找出这组数据中最多的数则是众数；先求出这组数据的平均数，再根据方差公式S2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（x n-x）2]进行计算即可．【详解】解：把这组数据从小到大排列为：2，2，2，4，5，最中间的数是2，则中位数是2；众数为2；∵这组数据的平均数是(2+2+2+4+5)÷5=3，∴方差是：15[(2−3)2+(2−3)2+(2−3)2+(4−3)2+(5−3)2]=1.1.故答案为2，2，1.1.【点睛】本题考查了中位数、众数与方差的定义，解题的关键是熟练的掌握中位数、众数与方差的定义.15．20【解析】分析：根据中位数的定义进行计算即可得到这组数据的中位数.详解：由中位数的定义可知，这次跳绳次数的中位数是将这25位同学的跳绳次数按从小到大排列后的第12个和13个数据的平均数，∵由表格中的数据分析可知，这组数据按从小到大排列后的第12个和第13个数据都是20，∴这组跳绳次数的中位数是20.故答案为：20.点睛：本题考查的是怎样确定一组数据的中位数，解题的关键是弄清“中位数”的定义：“把一组数据按从小到大的顺序排列后，若数据组中共有奇数个数据，则最中间一个数据是该组数据的中位数；若数据组中数据的个数为偶数个，则最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数”.16．1.016×105【解析】【分析】科学记数法就是将一个数字表示成（a×10的n次幂的形式），其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂,【详解】解：101 600=1.016×105 故答案为：1.016×105 【点睛】本题考查科学计数法，掌握概念正确表示是本题的解题关键.17．296cm【解析】【分析】根据题意可求AD 的长度，即可得CD 的长度，根据菱形ABCD 的面积=CD×AE ，可求菱形ABCD 的面积．【详解】∵sinD=23AE AD ＝ ∴823AD ＝ ∴AD=11∵四边形ABCD 是菱形∴AD=CD=11∴菱形ABCD 的面积=11×8=96cm 1．故答案为：96cm 1．【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练运用菱形性质解决问题是本题的关键．18．43π【解析】【分析】连接半径和弦AE ，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得AE 和BE 的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE 的面积与△OBE 面积的差，因为OA=OB ，所以△OBE 的面积是△ABE 面积的一半，可得结论．【详解】如图，连接OE 、AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，∴AE=12AB=2， ∵OA=OB=OE ，∴∠B=∠OEB=30°，∴∠BOE=120°，∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE=2120211·36022AE BE π⨯-⨯=4142233 343ππ-⨯⨯=-，故答案为43 3π-．【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等，求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解本题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）50；（2）a=16，b=0.28；（3）答案见解析；（4）48%.【解析】试题分析：（1）根据第一组别的人数和百分比得出样本容量；（2）根据样本容量以及频数、频率之间的关系得出a和b的值，（3）根据a的值将图形补全；（4）根据图示可得：优秀的人为第四和第五组的人，将两组的频数相加乘以100%得出答案.试题解析：（1）2÷0.04=50（2）50×0.32=16 14÷50=0.28（3）（4）（0.32+0.16）×100%=48%考点：频数分布直方图20．3m=-．【解析】【分析】由题意可知：菱形ABCD 的边长是5，则AO 2+BO 2=25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO=−(2m−1)，AO∙BO=m 2+3；代入AO 2+BO 2中，得到关于m 的方程后，即可求得m 的值．【详解】解：∵AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的两根， 设方程的两根为1x 和2x ，可令1OA x =，2OB x =，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，在Rt AOB V 中：由勾股定理得：222OA OB AB +=，∴222125+=x x ，则()21212225x x x x +-=， 由根与系数的关系得：12(21)x x m +=--，2123x x m ⋅=+，∴[]()22(21)2325m m ---+=， 整理得：22150m m --=，解得：15m =，23m =-又∵>0∆，∴()22(21)430--+>m m ，解得114m <-， ∴3m =-．【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、以及根与系数的关系，将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21． (1)4元/瓶．(2) 销售单价至少为1元/瓶．【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y 元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶， 依题意，得：81002x +＝3×1800x，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价是4元/瓶；（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．设销售单价为y元/瓶，依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2100，解得：y≥1．答：销售单价至少为1元/瓶．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22．原计划每天种树40棵．【解析】【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1+25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．【详解】设原计划每天种树x棵,实际每天植树(1+25%)x棵，由题意，得1000 x −1000+%x （125）=5，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解.答：原计划每天种树40棵.23．(1)y B=－0.2x2+1.6x（2）一次函数,y A=0.4x（3）该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润7.8万元【解析】【分析】（1）用待定系数法将坐标（2，2.4）（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx求解即可；（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值【详解】解：(1)y B=－0.2x2+1.6x,（2）一次函数,y A=0.4x,（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15－x）万元，投资两种产品共获利W万元，则W=（－0.2x2+1.6x）+0.4（15－x）=－0.2x2+1.2x+6=－0.2(x－3)2+7.8,∴当x=3时,W最大值=7.8,答:该企业投资A产品12万元,投资B产品3万元,可获得最大利润7.8万元.24．（1）1；（2）这两次测试的平均增长率为20%；（3）55%．【解析】【分析】（1）将四次测试结果排序，结合中位数的定义即可求出结论；（2）由第四次测试合格人数为每次测试不合格人数平均数的2倍少18人，可求出第四次测试合格人数，设这两次测试的平均增长率为x，由第二次、第四次测试合格人数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中的正值即可得出结论；（3）由第二次测试合格人数结合平均增长率，可求出第三次测试合格人数，根据不合格总人数÷参加测试的总人数×100%即可求出不合格率，进而可求出合格率，再将条形统计图和扇形统计图补充完整，此题得解．【详解】解：（1）将四次测试结果排序，得：30，40，50，60，∴测试不合格人数的中位数是（40+50）÷2＝1．故答案为1；（2）∵每次测试不合格人数的平均数为（60+40+30+50）÷4＝1（人），∴第四次测试合格人数为1×2﹣18＝72（人）．设这两次测试的平均增长率为x，根据题意得：50（1+x）2＝72，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去），∴这两次测试的平均增长率为20%；（3）50×（1+20%）＝60（人），（60+40+30+50）÷（38+60+50+40+60+30+72+50）×100%＝1%，1﹣1%＝55%．补全条形统计图与扇形统计图如解图所示．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、扇形统计图、条形统计图、中位数以及算术平均数，解题的关键是：（1）牢记中位数的定义；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）根据数量关系，列式计算求出统计图中缺失数据．25．①CD ；②平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③94DB π=-u u u r u r . 【解析】【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证OAC OBD ∆∆∽得OA AC OB BD =，即94BD AC =，从而知999DB CA AC 444π==-=-u u u r u u u r u u u r u r ． 【详解】①∵//BD AC ，∴OA ：AB=OC ：CD ，∵OA a =，AB b =，OC c =，::a b c x =，∴线段CD 就是所求的线段x ，故答案为：CD ②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例； ③∵4OA =、5AB =，且//BD AC ，∴OAC OBD ∆∆∽， ∴OA AC OB BD =，即49AC BD=， ∴94BD AC =， ∴999444DB CA AC π==-=-u u u r u u r u u u r u r ． 【点睛】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定及向量的计算．26．AB≈3.93m ．【解析】【分析】想求得AB 长，由等腰三角形的三线合一定理可知AB ＝2AD ，求得AD 即可，而AD 可以利用∠A 的三角函数可以求出．【详解】∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ，又∵CD ＝1米，∠A ＝27°，∴AD ＝CD÷tan27°≈1.96，∴AB ＝2AD ，∴AB≈3.93m ．【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形，等腰三角形等知识，关键利用了正切函数的定义求出AD ，然后就可以求出AB ．27．2x =．【解析】试题分析：方程最简公分母为(3)x -，方程两边同乘(3)x -将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验．试题解析：方程两边同乘(3)x -，得：213x x --=-，整理解得：2x =，经检验：2x =是原方程的解．考点：解分式方程．。
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
上海市松江区2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．若2＜2a -＜3，则a 的值可以是（ ） A ．﹣7B ．163C ．132D ．123．2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，2015年比2014年增长9.5%，若2013年和2015年我省财政收入分别为a 亿元和b 亿元，则a 、b 之间满足的关系式为（ ） A ． B ．C ．D ．4．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A ．a+b ＜0B ．a ＞|﹣2|C ．b ＞πD ．0ab< 6．一次函数y=kx+k （k≠0）和反比例函数()0ky k x=≠在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知3x+y ＝6，则xy 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．68．如图，//AB CD ，CE 交AB 于点E ，EF 平分BEC ∠，交CD 于F . 若50ECF ∠=，则CFE ∠ 的度数为（ ）A ．35oB ．45oC ．55oD ．65o9．一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）A ．30厘米、45厘米；B ．40厘米、80厘米；C ．80厘米、120厘米；D ．90厘米、120厘米 10．不等式的最小整数解是（ ） A ．－3B ．－2C ．－1D ．211．某商场试销一种新款衬衫，一周内售出型号记录情况如表所示： 型号（厘米） 38 39 40 41 42 43 数量（件）25303650288商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差12．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（ ）A ．52°B ．38°C ．42°D ．60°二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．若关于x 的方程111m xx x ----=0有增根，则m 的值是______． 14．如图，AB ，AC 分别为⊙O 的内接正六边形，内接正方形的一边，BC 是圆内接n 边形的一边，则n 等于_____．15．函数y=13x -1x -x 的取值范围是_____．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，3）为⊙O 上一点，B 为⊙O 内一点，请写出一个符合条件要求的点B 的坐标______．17．已知a 2+1=3a ，则代数式a+1a的值为 ． 18．如图，在正方形ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD 、DP ，BD 与CF 相交于点H ，给出下列结论：①△DFP ～△BPH ；②33FP DF PH CD ==；③PD 2=PH•CD ；④ABCD31=3BPD S S ∆-正方形，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）解分式方程：2322xx x+--=1 20．（6分）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：进价(元/只) 售价(元/只) 甲种节能灯 30 40 乙种节能灯3550()1求甲、乙两种节能灯各进多少只？()2全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？21．（6分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知抽取的样本中男生、女生的人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：组别身高A x＜160B 160≤x＜165C 165≤x＜170D 170≤x＜175E x≥175根据图表提供的信息，回答下列问题：（1）样本中，男生的身高众数在组，中位数在组；（2）样本中，女生身高在E组的有人，E组所在扇形的圆心角度数为；（3）已知该校共有男生600人，女生480人，请估让身高在165≤x＜175之间的学生约有多少人？22．（8分）在同一副扑克牌中取出6张扑克牌，分别是黑桃2、4、6，红心6、7、8.将扑克牌背面朝上分别放在甲、乙两张桌面上，先从甲桌面上任意摸出一张黑桃，再从乙桌面上任意摸出一张红心.表示出所有可能出现的结果；小黄和小石做游戏，制定了两个游戏规则：规则1：若两次摸出的扑克牌中，至少有一张是“6”，小黄赢；否则，小石赢.规则2：若摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时，小黄赢；否则，小石赢.小黄想要在游戏中获胜，会选择哪一条规则，并说明理由.23．（8分）如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．24．（10分）为了了解某校学生对以下四个电视节目：A《最强大脑》，B《中国诗词大会》，C《朗读者》，D《出彩中国人》的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：本次调查的学生人数为________；在扇形统计图中，A部分所占圆心角的度数为________；请将条形统计图补充完整：若该校共有3000名学生，估计该校最喜爱《中国诗词大会》的学生有多少名？25．（10分）如图，平面直角坐标系中，直线y2x2=+与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数ky(x0)x=>的图象交于点()M a,4．()1求反比例函数ky(x0)x=>的表达式；()2若点C在反比例函数ky(x0)x=>的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标．26．（12分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：2 1.41,?3 1.73≈≈）27．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于点A（1，0）和点D（﹣4，5），并与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于另一点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点E是直线下方抛物线上的一个动点，求出△ACE面积的最大值；（3）如图2，若点M是直线x=﹣1的一点，点N在抛物线上，以点A，D，M，N为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，请直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．故选D．【点睛】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形2．C【解析】【分析】根据已知条件得到4＜a-2＜9，由此求得a的取值范围，易得符合条件的选项．【详解】a ＜3，解：∵22∴4＜a-2＜9，∴6＜a＜1．又a-2≥0，即a≥2．∴a的取值范围是6＜a＜1．观察选项，只有选项C符合题意．故选C．【点睛】考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用夹逼法．3．C【解析】【分析】根据2013年我省财政收入和2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，求出2014年我省财政收入，再根据出2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，即可得出a、b之间的关系式．【详解】∵2013年我省财政收入为a亿元，2014年我省财政收入比2013年增长8.9%，∴2014年我省财政收入为a（1+8.9%）亿元，∵2015年比2014年增长9.5%，2015年我省财政收为b亿元，∴2015年我省财政收为b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；故选C．【点睛】此题考查了列代数式，关键是根据题意求出2014年我省财政的收入，是一道基础题．4．A【解析】分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，故选A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．D【解析】【分析】根据数轴上点的位置，可得a，b，根据有理数的运算，可得答案．【详解】a＝﹣2，2＜b＜1．A.a+b＜0，故A不符合题意；B.a＜|﹣2|，故B不符合题意；C.b＜1＜π，故C不符合题意；D.ab＜0，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了实数与数轴，利用有理数的运算是解题关键．6．C【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误；B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y 轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，故选C．7．B【解析】【分析】根据已知方程得到y=-1x+6，将其代入所求的代数式后得到：xy=-1x2+6x，利用配方法求该式的最值．【详解】解：∵1x+y=6，∴y=-1x+6，∴xy=-1x2+6x=-1（x-1）2+1．∵（x-1）2≥0，∴-1（x-1）2+1≤1，即xy的最大值为1．故选B．【点睛】考查了二次函数的最值，解题时，利用配方法和非负数的性质求得xy的最大值．8．D【解析】分析：根据平行线的性质求得∠BEC的度数，再由角平分线的性质即可求得∠CFE 的度数.详解：50,//180130ECF AB CD ECF BEC BEC ∠=∴∠+∠=∴∠= 又∵EF 平分∠BEC ，1652CEF BEF BEC ∴∠=∠=∠=. 故选D.点睛：本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟知平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键. 9．C【解析】当60cm 的木条与20cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为90cm 与120cm ； 当60cm 的木条与30cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为40cm 与80cm ； 当60cm 的木条与40cm 是对应边时，那么另两条边的木条长度分别为30cm 与45cm ； 所以A 、B 、D 选项不符合题意，C 选项符合题意， 故选C. 10．B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后从解集中找出最小整数即可. 【详解】 ∵， ∴，∴，∴不等式的最小整数解是x=-2.故选B. 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.最后一步系数化为1时，如果未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变，如果系数是正数，则不等号的方不变. 11．B 【解析】分析：商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．详解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．故选：C．点睛：此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．12．A【解析】试题分析：如图：∵∠3=∠2=38°°（两直线平行同位角相等），∴∠1=90°﹣∠3=52°，故选A．考点：平行线的性质．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】去分母得，m-1-x=0.∵方程有增根，∴x=1, ∴m-1-1=0, ∴m=2.14．12【解析】连接AO，BO，CO,如图所示：∵AB、AC分别为⊙O的内接正六边形、内接正方形的一边，∴∠AOB=36060o=60°，∠AOC=3604o=90°，∴∠BOC=30°，∴n=36030oo=12，故答案为12.15．x≥1且x≠3【解析】【分析】根据二次根式的有意义和分式有意义的条件，列出不等式求解即可．【详解】根据二次根式和分式有意义的条件可得：1030,x x -≥⎧⎨-≠⎩解得：1x ≥且 3.x ≠故答案为：1x ≥且 3.x ≠【点睛】考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.16．（2，2）．【解析】【分析】连结OA ，根据勾股定理可求OA ，再根据点与圆的位置关系可得一个符合要求的点B 的坐标．【详解】如图，连结OA ，OA ＝2234+＝5，∵B 为⊙O 内一点，∴符合要求的点B 的坐标（2，2）答案不唯一．故答案为：（2，2）．【点睛】考查了点与圆的位置关系，坐标与图形性质，关键是根据勾股定理得到OA 的长． 17．1【解析】【分析】根据题意a 2+1=1a ，整体代入所求的式子即可求解.【详解】∵a 2+1=1a ，∴a+1a =2a a +1a =2a 1a+=3a a =1． 故答案为1．18．①②③【解析】【分析】依据∠FDP=∠PBD ，∠DFP=∠BPC=60°，即可得到△DFP ∽△BPH ；依据△DFP ∽△BPH，可得FP DF PH BP ==BP=CP=CD，即可得到FP DF PH CD ==；判定△DPH ∽△CPD ，可得PH PD PD PC=，即PD 2=PH•CP ，再根据CP=CD ，即可得出PD 2=PH•CD ；根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD 的面积=△BCP 的面积+△CDP 面积﹣△BCD的面积，即可得出BPD ABCD S S =正方形． 【详解】∵PC=CD ，∠PCD=30°，∴∠PDC=75°，∴∠FDP=15°，∵∠DBA=45°，∴∠PBD=15°，∴∠FDP=∠PBD ，∵∠DFP=∠BPC=60°，∴△DFP ∽△BPH ，故①正确；∵∠DCF=90°﹣60°=30°，∴tan ∠DCF=DF CD = ∵△DFP ∽△BPH ，∴FP DF PH BP ==， ∵BP=CP=CD ，∴3FP DF PH CD ==，故②正确； ∵PC=DC ，∠DCP=30°，∴∠CDP=75°，又∵∠DHP=∠DCH+∠CDH=75°，∴∠DHP=∠CDP ，而∠DPH=∠CPD ，∴△DPH ∽△CPD ，∴PH PD PD PC=，即PD 2=PH•CP ， 又∵CP=CD ，∴PD 2=PH•CD ，故③正确；如图，过P作PM⊥CD，PN⊥BC，设正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，则正方形ABCD的面积为16，∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，∴∠PCD=30°∴PN=PB•sin60°=4×32=23，PM=PC•sin30°=2，∵S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD=12×4×23+12×2×4﹣12×4×4=43+4﹣8 =43﹣4，∴314BPDABCDSS-=正方形，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活运用相关的性质定理与判定定理是解题的关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．x=1【解析】【分析】分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】化为整式方程得：2﹣3x=x﹣2，解得：x=1，经检验x=1是原方程的解，所以原方程的解是x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．()1甲、乙两种节能灯分别购进40、60只；()2商场获利1300元．【解析】【分析】（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可；（2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可．【详解】（1）设商场购进甲种节能灯x 只，购进乙种节能灯y 只，根据题意，得30353300x 100x y y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组，得 4060x y =⎧⎨=⎩， 答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只．（2）商场获利()()4040306050351300(=⨯-+⨯-=元)，答：商场获利1300元．【点睛】此题是二元一次方程组的应用，主要考查了列方程组解应用题的步骤和方法，利润问题，解本题的关键是求出两种节能灯的数量．21．（1）B ，C ；（2）2；（3）该校身高在165≤x ＜175之间的学生约有462人．【解析】【分析】根据直方图即可求得男生的众数和中位数，求得男生的总人数，就是女生的总人数，然后乘以对应的百分比即可求解．【详解】解：（1）∵直方图中，B 组的人数为12，最多，∴男生的身高的众数在B 组，男生总人数为：4+12+10+8+6=40，按照从低到高的顺序，第20、21两人都在C 组，∴男生的身高的中位数在C 组，故答案为B ，C ；（2）女生身高在E 组的百分比为：1﹣17.5%﹣37.5%﹣25%﹣15%=5%，∵抽取的样本中，男生、女生的人数相同，∴样本中，女生身高在E 组的人数有：40×5%=2（人），故答案为2；（3）600×10840++480×（25%+15%）=270+192=462（人）． 答：该校身高在165≤x ＜175之间的学生约有462人．【点睛】考查频数（率）分布直方图, 频数（率）分布表, 扇形统计图, 中位数, 众数，比较基础，掌握计算方法是解题的关键.22．（1）：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（2）小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1，理由见解析【解析】【分析】（1）利用列举法，列举所有的可能情况即可；（2）分别求出至少有一张是“6”和摸出的红心牌点数是黑桃牌点数的整数倍时的概率，进行选择即可.【详解】（1）所有可能出现的结果如下：()2,6，()2,7，()2,8，()4,6，()4,7，()4,8，()6,6，()6,7，()6,8共9种；（1）摸牌的所有可能结果总数为9，至少有一张是6的有5种可能，∴在规划1中，P （小黄赢）59=； 红心牌点数是黑桃牌点数的整倍数有4种可能， ∴在规划2中，P （小黄赢）49=. ∵5499>，∴小黄要在游戏中获胜，小黄会选择规则1. 【点睛】考查列举法以及概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比. 23．解：（1）AF 与圆O 的相切．理由为：如图，连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ．∴∠OCP=90°．∵OF ∥BC ，∴∠AOF=∠B ，∠COF=∠OCB ．∵OC=OB ，∴∠OCB=∠B ．∴∠AOF=∠COF ．∵在△AOF 和△COF 中，OA=OC ，∠AOF=∠COF ，OF=OF ，∴△AOF ≌△COF （SAS ）．∴∠OAF=∠OCF=90°．∴AF 为圆O 的切线，即AF 与⊙O 的位置关系是相切．（2）∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF=∠COF ．∵OA=OC ，∴E 为AC 中点，即AE=CE=12AC ，OE ⊥AC ． ∵OA ⊥AF ，∴在Rt △AOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=1．∵S △AOF =12•OA•AF=12•OF•AE ，∴AE=245． ∴AC=2AE=． 【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证出∠3=∠2，由SAS 证明△OAF ≌△OCF ，得对应角相等∠OAF=∠OCF ，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF ，再由三角形的面积求出AE ，根据垂径定理得出AC=2AE ．试题解析：（1）连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA=90°，∵OF ∥BC ，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF ⊥AC ，∵OC=OA ，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF 和△OCF 中，{32OA OCOF OF=∠=∠=，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF=∠OCF ，∵PC是⊙O的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴=∵FA⊥OA，OF⊥AC，∴AC=2AE，△OAF的面积=12AF•OA=12OF•AE，∴3×4=1×AE，解得：AE=125，∴AC=2AE=245．考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．24．（1）120；（2）54；（3）答案见解析；（4）1650.【解析】【分析】(1)依据节目B的数据，即可得到调查的学生人数；(2)依据A部分的百分比，即可得到A部分所占圆心角的度数；(3)求得C部分的人数，即可将条形统计图补充完整；(4)依据喜爱《中国诗词大会》的学生所占的百分比，即可得到该校最喜爱《中国诗词大会》的学生数量．【详解】()16655%120÷=，故答案为120；()18236054120⨯=，故答案为54；()3C：12025%30⨯=，如图所示：()4300055%1650⨯=，答：该校最喜爱《中国诗词大会》的学生有1650名．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合思想解答．25．（1）y=4x（1）（1，0）【解析】【分析】（1）将点M的坐标代入一次函数解析式求得a的值；然后将点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k 的值即可；（1）根据平行四边形的性质得到BC∥AD且BD＝AD，结合图形与坐标的性质求得点D的坐标．【详解】解：（1）∵点M（a，4）在直线y=1x+1上，∴4=1a+1，解得a=1，∴M（1，4），将其代入y=kx得到：k=xy=1×4=4，∴反比例函数y=kx（x＞0）的表达式为y=4x；（1）∵平面直角坐标系中，直线y=1x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴当x=0时，y=1．当y=0时，x=﹣1，∴B（0，1），A（﹣1，0）．∵BC∥AD，∴点C的纵坐标也等于1，且点C在反比例函数图象上，将y=1代入y=4x，得1=4x，解得x=1，∴C（1，1）．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD 且BD=AD ，由B （0，1），C （1，1）两点的坐标知，BC ∥AD ．又BC=1，∴AD=1，∵A （﹣1，0），点D 在点A 的右侧，∴点D 的坐标是（1，0）．【点睛】考查了反比例函数与一次函数交点问题．熟练掌握平行四边形的性质和函数图象上点的坐标特征是解决问题的关键，难度适中．26．5.5米【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中表示出AD ，在Rt △BCD 中表示出BD ，再由AB=4米，即可得出关于x 的方程，解出即可.【详解】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中，∠CAD=30°，则33在Rt △BCD 中，∠CBD=45°，则BD=CD=x. 3x ﹣x=4， 解得：)x 231 5.531==≈-. 答：生命所在点C 的深度为5.5米.27．（1）y=x2+2x ﹣3；（2）258；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先利用抛物线的对称性确定出点B 的坐标，然后设抛物线的解析式为y=a （x+3）（x-1），将点D 的坐标代入求得a 的值即可；（2）过点E 作EF ∥y 轴，交AD 与点F ，过点C 作CH ⊥EF ，垂足为H ．设点E （m ，m 2+2m-3），则F （m ，-m+1），则EF=-m 2-3m+4，然后依据△ACE 的面积=△EFA 的面积-△EFC 的面积列出三角形的面积与m 的函数关系式，然后利用二次函数的性质求得△ACE 的最大值即可；（3）当AD 为平行四边形的对角线时．设点M 的坐标为（-1，a ），点N 的坐标为（x ，y ），利用平行四边形对角线互相平分的性质可求得x 的值，然后将x=-2代入求得对应的y 值，然后依据2y a +＝052+，可求得a 的值；当AD 为平行四边形的边时．设点M 的坐标为（-1，a ）．则点N 的坐标为（-6，a+5）或（4，a-5），将点N 的坐标代入抛物线的解析式可求得a 的值．试题解析：(1)∴A(1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴B(－3，0)，设抛物线的表达式为y ＝a(x ＋3)(x －1)，将点D(－4，5)代入，得5a ＝5，解得a ＝1，∴抛物线的表达式为y ＝x 2＋2x －3；(2)过点E 作EF ∥y 轴，交AD 与点F ，交x 轴于点G ，过点C 作CH ⊥EF ，垂足为H.设点E(m ，m 2＋2m －3)，则F(m ，－m ＋1)． ∴EF ＝－m ＋1－m 2－2m ＋3＝－m 2－3m ＋4.∴S △ACE ＝S △EFA －S △EFC ＝12EF·AG －12EF·HC ＝12EF·OA ＝－12 (m ＋32)2＋258. ∴△ACE 的面积的最大值为258； (3)当AD 为平行四边形的对角线时：设点M 的坐标为(－1，a)，点N 的坐标为(x ，y)．∴平行四边形的对角线互相平分，∴12x -+＝()142+-，2y a +＝052+， 解得x ＝－2，y ＝5－a ，将点N 的坐标代入抛物线的表达式，得5－a ＝－3，解得a ＝8，∴点M 的坐标为(－1，8)，当AD为平行四边形的边时：设点M的坐标为(－1，a)，则点N的坐标为(－6，a＋5)或(4，a－5)，∴将x＝－6，y＝a＋5代入抛物线的表达式，得a＋5＝36－12－3，解得a＝16，∴M(－1，16)，将x＝4，y＝a－5代入抛物线的表达式，得a－5＝16＋8－3，解得a＝26，∴M(－1，26)，综上所述，当点M的坐标为(－1，26)或(－1，16)或(－1，8)时，以点A，D，M，N为顶点的四边形能成为平行四边形．。
2022年上海松江区一模数学卷及答案
C.frO h r0 门b<>,e f] /J2:52022年上海松江区一模数学卷及答案2X2届松江区中考数学一模一、选择题1.己知ixiu疗二半.那懐揑用金的麼麒罷->£A.3(ffl,45°'r.fitr/J.75fl2.fl/A.iflC中.ZC AU r・汀广札那亶下引佶论一雄诫工的足<>J.由rtonJfl.b_r«jL<(\bminAD.b r ccosA5.已知二抉谕数$=仮’十山十厲卫*。
）的團憧如图所示*那虫下列判断正礴的楚（<已595«=2^.那2F列判断错课的是'>A.a—=05.inffl-已知点。
层亠疝「的朮心朋么圧欧°：£.咏辞于（）6下列轉卜命題屮，点命融的代星（）d底边和搜材应成比倒的阿牛竽技三角哆相漑②底迪和底边上的髙对应咸比例的两个零腰三角形相就③経边和…腿匕的高对瓯咸比殉的两个彎腿二帚刑福亂④黙和朧上的商对应成比恻的两t等腰三雄册捋1UA.1H.2C.50.4二、填空题.4.1:21.己翩兰=2・那么土上二y x+2r第1加&靶拗物线）u・£+1向右平移】个单位.所得新枪拐线的表达式是9.己知芮个相似三血形面枳的比是4:9.那么这两个三角形周长的比是10.己知线段・JA&P是.4〃釣黄金分割点.且K>PB・那么丹的长是1L在平面亶角型标系中•己知点4的坐标为（23〉.那么■拔04与”報夹角的正切■暑12.如果一个二次函数图像的对称轴是直线x=2.R沿右x轴正方向看•图像在对称轴左側部分是上升的.请写岀一个符合条件的函数解析式：5 13.一位运动员推铅球.铅球运行过程中离地面的玄度V（米）关于水平距离工（米）的函教解析式为v=-±^+2Y+那么沿球运行过程中最矗点离地面的高厦是123314如関.码头/存码头〃的正东方向.它们之间的跖离为10海甲.■货峪由码头/出发•沿北僅东45。
中考数学第一次模试卷含答案解析
上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A． B． C．D．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜06．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=__________．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为__________cm．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为__________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=__________．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为__________米．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是__________．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=__________．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是__________（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是__________．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于__________cm．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线__________．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=__________．三.解答题19．已知抛物线y=的面积．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．上海市松江区中考数学一模试卷一.选择题1．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是( )A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：3，故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．2．下列函数中，属于二次函数的是( )A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=2x2﹣7 D．【考点】二次函数的定义．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y=2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2s是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．3．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是( ) A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解，即可作出判断．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．则sinA==，故A错误；cosA==，故B正确；tanA===，故C错误；cotA===，故D错误．故选B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4．若四边形ABCD的对角线交于点O，且有，则以下结论正确的是( ) A． B． C．D．【考点】*平面向量．【分析】首先根据题意画出图形，然后由，可得AB∥CD，AB=2DC即可证得△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，继而求得答案．【解答】解：A、∵，∴AB∥CD，AB=2DC，∴△OAB∽△OCD，∴OA：OC=AB：DC=2：1，∴OA=2OC，∴=2；故正确；B、||不一定等于||；故错误；C、≠，故错误；D、=；故错误．故选A．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握证得△AOB∽△COD是解此题的关键．5．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么( )A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0 C．a＞0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】数形结合．【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x=﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab ＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．6．P是△ABC一边上的一点（P不与A、B、C重合），过点P的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC相似，我们称这条直线为过点P的△ABC的“相似线”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，当点P为AC的中点时，过点P的△ABC的“相似线”最多有几条？( ) A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】相似三角形的判定．【专题】新定义．【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出．【解答】解：如图所示：当PD∥BC时，△APD∽△ACB；当PE∥AC时，△BPE∽△BAC；当PF⊥AB时，△APD∽△ABC故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线是解题关键．二.填空题7．若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，则a+b﹣c=8．【考点】比例的性质．【分析】设a=k，则b=3k，c=2k，根据a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代数式的值．【解答】解：∵a：b：c=1：3：2，∴设a=k，则b=3k，c=2k，又∵a+b+c=24，∴k+3k+2k=24，∴k=4，∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【点评】本题考查了比例的性质，根据a：b：c=1：3：2正确设出未知数是解决本题的关键．8．已知线段a=2cm，b=8cm，那么线段a和b的比例中项为4cm．【考点】比例线段．【分析】比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．设它们的比例中项是x，则x2=2×8，x=±4（线段是正数，负值舍去）．故答案为4．【点评】考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．9．二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函数y=﹣2x2﹣x+3的图象与y轴的交点坐标为（0，3），故答案为（0，3）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0是解题的关键．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据正弦函数的定义即可直接求解．【解答】解：∵sinB=，∴AB===6．故答案是：6．【点评】本题考查了正弦函数的定义，是所对的直角边与斜边的比，理解定义是关键．11．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【考点】二次函数的应用．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．12．如图，直线AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是4．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，即可得出结果．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，则该斜坡坡度i=1：2．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】推理填空题．【分析】根据在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，可以计算出此时的水平距离，水平高度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题．【解答】解：设在一个斜坡上前进5米，水平高度升高了1米，此时水平距离为x米，根据勾股定理，得x2+12=52，解得，（舍去），故该斜坡坡度i=1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确什么是坡度．14．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为﹣2、3时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣3时，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；当x=0时，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；∵﹣29＜1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．15．将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x﹣2）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向右平移2个单位，所得函数解析式为：y=（x﹣2）2．故答案为：y=（x﹣2）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．16．如图，已知DE∥BC，且DE经过△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于4cm．【考点】三角形的重心．【分析】利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，进而求出答案．【解答】解：连接AG并延长到BC上一点N，∵△ABC的重心G，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN=CN，DG=GE，∴==，∴=，解得：DG=2，∴DE=4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了重心的定义以及相似三角形的判定与性质，得出DG的长是解题关键．17．已知二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，则该二次函数的图象对称轴为直线x=2．【考点】二次函数的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据二次函数图象具有对称性，由二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，可以得到该二次函数的图象对称轴，从而可以解答本题．【解答】解：∵二次函数的图象经过（0，3）、（4，3）两点，∴该二次函数的图象对称轴为直线：x=，故答案为：x=2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，二次函数的图象关于对称轴对称．18．已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D是AB边上一点，将△ABC沿着直线CD翻折，点A落在直线AB上的点A′处，则sin∠A′CD=．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】点A落在直线AB上的点A′处，则CD⊥AB，D就是垂足，根据三角形的面积公式求得CD的长，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根据sin∠A′CD=sin∠ACD 求解．【解答】解：作CD⊥AB于点D．在直角△ABC中，AB===5，∵S△ABC=AB•CD=BC•AC，∴CD===，在直角△ACD中，AD==，∴sin∠A′CD=sin∠ACD===．故答案是：．【点评】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，正确理解∠ACD=∠A′CD是关键．三.解答题19．已知抛物线y=的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b 的值即可；（2）由（1）中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+3经过点A（﹣1，8），∴8=（﹣1）2﹣b+3，解得b=﹣4，∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣4于点H，∵由抛物线y==1，∵对称轴为直线的面积=．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点．解题的关键是正确求出抛物线的解析式．20．（16分）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在图中求作向量在、方向上的分向量；（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．【解答】解：（1）方法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∵，，∴，，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴，，∴．方法二：∵，，∴，∵点M、N分别为DC、BC的中点，∴；（2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量．【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．21．如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5米，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B处测得M的仰角为31°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1米，求旗杆MN的高度；（结果保留两位小数）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】过点M的水平线交直线AB于点H，设MH=x，则AH=x，结合等腰直角三角形的性质和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，设MH=x，则AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得N=N的高度度约为9.75米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．如图，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB 的值．【考点】解直角三角形．【专题】探究型．【分析】作辅助线DH⊥BC，根据，∠C=90°，tanA=，点D在边AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH∽△BAC，从而可以得到各边之间的关系，从而可以得到cot∠DCB的值．【解答】解：过D点作DH⊥BC于点H，如下图所示：∵∠ACB=90°，∴DH∥AC，∴△BDH∽△BAC，∴∠BDH=∠A，∵AD：DB=3：1，∴BH：BC=BD：BA=1：4，设BH=x，则BC=4x，CH=3x，∵∠C=90°，，∠BDH=∠A，∴DH=2x，∵DH⊥BC，∴cot∠DCB=，即cot∠DCB=．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各边之间的关系，然后求出所求角的三角函数值．23．已知如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在AB上，且BD2=BE•BC；（1）求证：∠BDE=∠C；（2）求证：AD2=AE•AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，由BD2=BE•BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代换得到∠ABD=∠ADE，证得△ADE∽△ABD，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD2=BE•BC，∴，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE=∠C；（2）∵∠BDE=∠C，∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，∴∠DBC=∠ADE，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴，即AD2=AE•AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的性质即可得到结论．24．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且∠PAB=∠CAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与△ABC相似，求出符合条件的点D的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据正切函数，可得A点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据正切函数，可得P点坐标，根据图象上的点满足函数解析式，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于y的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣3与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC=3，∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为（﹣1，0），又点B（3，0），∴，解得，∴抛物线的函数表达式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵∠PAB=∠CAB，∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，∵点P在x轴上方，设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为3（x+1），∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，当x=6时，y=21，∴点P的坐标为（6，21）；（3）如图，设点D的坐标为（0，y），易得△ABC为∠ABC=45°的锐角三角形，所以△DCB也是锐角三角形，∴点D在点C的上方，∴∠DCB=45°，∴∠ABC=∠DCB，∵AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，则=，∴y=1，即点D（0，1），②如果=则=，∴y=，即点D1（0，）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数求函数解析式；利用正切函数得出P点坐标是解题关键，又利用图象上的点满足函数解析式得出P点坐标；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出关于y的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．25．（18分）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，点P 是对角线AC上的一个动点，且∠APE=∠B，PE分别交射线AD和射线CD于点E和点G；（1）如图1，当点E、D重合时，求AP的长；（1）如图2，当点E在AD的延长线上时，设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG=时，求AE的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）作AH垂直于BC，垂足为H，如图1所示，由∠B=∠BCD=45°，得到三角形ABH为等腰直角三角形，由等腰梯形的两底之差的一半求出BH的长，即为AH的长，由BC﹣BH求出HC的长，利用勾股定理求出AC的长，由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例求出AP的长即可；（2）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由已知角相等，利用两角相等的三角形相似得到三角形ADP与三角形CAB相似，由相似得比例列出y与x的函数解析式，并求出定义域即可；（3）分两种情况考虑：当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，同理求出AM的长，进而求出MC的长，由CD﹣DG求出GC的长，根据GP与MD平行，由平行得比例求出PM的长，由DM与EP平行，根据平行得比例，求出DE的长，根据AD+DE 求出AE的长；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同理求出DE的长，由AD﹣DE求出AE的长即可．【解答】解：（1）作AH⊥BC于点H，如图1所示：∵∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，等腰梯形ABCD，AD=3，BC=9，∴BH=AH=（BC﹣AD）=×（9﹣3）=3，∴BH=AH=3，根据勾股定理得：AB==3，CH=BC﹣BH=9﹣3=6，∴AC==3，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，又∠APE=∠B，∴△ADP∽△CAB，∴=，即=，∴AP=；（2）如图2所示，∵AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∵∠APE=∠B，∴△APE∽△CBA，∴=，即=，∴y=x﹣3（＜x≤3）；（3）分两种情况考虑：①当点G在线段CD上时，作DM∥EP交AC于点M，如图2所示，由（1），同理可得AM=，∴CM=，∵DG=，CD=AB=3，∴CG=2，∵GP∥DM，∴=，即=，∴MP=，∵DM∥EP，∴=，即=，解得：DE=，∴AE=AD+DE=3+=；②当点G在CD的延长线上时，如图3所示，同①可得DE=，∴AE=AD﹣DE=3﹣=．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：平行线等分线段成比例，等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．。
学松江区初三数学一模试卷
松江区 2021 学年度第一学期初三质量调研数学试卷〔时间： 100 分钟，总分值： 150 分〕一、选择题〔本大题共 6 题，每题 4 分，总分值 24 分〕1．在 Rt △ABC 中，C 90 ，如果 BC=2，∠ A=，那么 AC 的长为〔〕〔 A 〕 2sin ;〔 B 〕 2cos ;〔 C 〕 2tan ; 〔D 〕2cot .2.以下抛物线中，过原点的抛物线是〔〕〔 A 〕2〕 yx 1 222y x 1 ; B ；〔 C 〕 y x x；〔 D 〕 y x x 1.； 〔3.小明身高 米，在某一时刻的影长为2 米，同时测得教学大楼的影长为60米，那么教学大楼的高度应 为〔 〕〔 A 〕 45 米；〔 B 〕 40 米；〔 C 〕90 米； 〔D 〕80 米 . 4. 非零向量a ，b ，c 以下条件中不能判定 a ∥ b 的是〔 〕,〔 A 〕 a ∥ c ， b ∥ c ； 〔 B 〕 a2 b ；〔C 〕 a = 2b ； 〔 D 〕 a = 2 c ， b = c .5.如图，在 ABCD 中，点 E 是边 BA 延长线上的一点， CE 交 AD 于点 F ，以下各式中错误的选项是〔 〕〔 A 〕AEFE ； 〔 B 〕AEAF ；ABFCAB DF〔 C 〕AEAF ； 〔 D 〕AEAF ；ABBCBE BC6.如图，在 △ABC 中， cosA= 1， BE 、 CF 分别是 AC 、 AB 边上的高，联结EF ，那么 △AEF 和 △ABC3的周长比为〔 〕〔 A 〕 1 : 2；〔B 〕 1 : 3；〔 C 〕1 : 4；〔 D 〕 1 : 9.第 5 题图第 6 题图二、填空题〔本大题共 12 题，每题 4 分，总分值48 分〕7.a3 ，那么 2a b 4a b的值为 ____________.8.计算： m -3 n 1 m+ n =〔 〕 -〔 2 〕 ____________.29.抛物线 y(k 1)x 2 +3x 的开口向下，那么 k 的取值范围是 ____________.10. 把抛物线 y=x2向右平移 4 个单位，所得抛物线的解析式为____________.11.在△ABC 中， C 90 ，sinA= 3， BC=6，那么 AB 的长为 ____________. 412. 如图， AB∥ CD∥ EF，它们依次交直线l1、l2 于点 A、C、 E 和点 B、 D、 F，如果 AC : CE = 3:5 ，BF=9，那么 DF =____________.13. 点 A〔 2，y1〕、B 〔 5 ， y2〕在抛物线y x2 1上，那么y1_____ y2.14. 抛物线 y = ax 2 + bx + c 经过1,1 和 5,1 两点，那么该抛物线的对称轴是直线____________.15. 在△ ABC 中， AB=AC =5， BC=8 ， AD ⊥ BC，垂足为 D， BE 是△ ABC 的中线， AD 与 BE 相交于点 G，那么 AG 的长为 ___________.16. 在一个距离地面 5 米高的平台上测得一旗杆底部的俯角30°，旗杆顶部的仰角为45°，那么该旗杆的高度为 ___________米〔结果保存根号〕 .17. 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， BC=3 ，AC=4， AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E，那么CE 的长为 ___________.18. 如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， AB=9，cosB= 2，把△ ABC 绕着点 C 旋转，使点 B 与 AB 边上的点3D 重合，点 A 落在点 E，那么点 A、E 之间的距离为 __________.第 12 题图第17题图第18题图三、简答题〔本大题共7 题，总分值78 分〕19．〔此题总分值10 分〕计算： sin 60 3tan30 cos602cos45 1cot 3020．〔此题总分值10 分，每题 5 分〕1 CD ，设AB a，BC b.如图，点 D 是△ ABC 的边 BC 上一点，且BD2（1〕求向量AD〔用向量a、b表示〕；（2〕求作向量AC在a、b方向上的分向量 .〔不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量〕ABD C 21．〔此题总分值10 分，每题 5 分〕如图，AB / / BD ，AB和 CD 相交于点E， AC =6 ，BD =4，F是 BC 上一点，S BEF : S EFC 2 : 3 .（1〕求EF的长；（2〕如果BEF的面积为 4，求ABC的面积 .A CE FD B22 ．〔此题总分值 10 分，每题 5 分〕AC ，截面如下图，一楼和二楼地面平行〔即 AB 某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯所在的直线与 CD 平行〕，层高 AD 为8米，ACD =20o，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、 B 之间必须到达一定的距离．〔1〕要使身高 2. 26 米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B 之间的距离至少要多少米？〔精确到0.1 米〕〔 2〕如果自动扶梯改为由AE 、EF、 FC 三组组成〔如图虚线所示〕．中间段为平台〔即 EF ∥DC〕，AE 段和FC段的坡度 i ＝1∶2，求平台 EF 的长度．〔精确到0.1 米〕(参考数据：sin20°取0. 34，cos20°取0. 94，tan20°取0. 36〕AB 小心碰头〔二楼地面〕8 FED C23 ．〔此题总分值 12 分，每题 6 分〕， Rt ABC ，ACB 90o，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点 F ，且 AC2 CE CB ．〔1〕求证：AE CD ；〔2〕连结BF ,如果点E是BC中点，求证：EBFEAB ．ADFC E B24 ．〔此题总分值 12 分，每题 4 分〕如图，抛物线 yx2 bx c 过点 B(3，0) ， C(0,3) ， D 为抛物线的顶点．〔1〕求抛物线的解析式及顶点坐标；〔2〕点C关于抛物线y x2 bx c 对称轴的对称点为 E 点，联结BC、 BE ，求CBE 的正切值；〔 3〕点M是抛物线对称轴上一点，且DMB 与BCE 相似，求点 M 的坐标．yDCA BO x25．〔此题总分值14 分，第〔 1〕小题 4 分，第〔 2〕〔3〕小题各 5 分〕如图，四边形 ABCD 是矩形，cot ADB 316 ，点E在射线 BC 上，点 F 在线段， ABDEF ADB . 4BD 上，且〔 1〕求线段BD的长；〔 2〕设BE x ，DEF 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域；〔 3〕当DEF为等腰三角形时，求线段BE 的长.A DFB C E参考答案：1-6： D 、 C 、A 、B 、 C 、 B7 、 6 、 1m 4 n 、 k1 10 、 7 8 9215、 2 16、 〔 5 5 3 〕17、19、2 120、〔 1〕 a 1 b〔 2〕略3y (x 4)211、812、4513、>14、 x 287 18、 4 5612 21、〔 1〕5（ 2〕 2522、〔 1〕 6.3 米〔 2〕 6.2 米 23、略24 、〔 1〕yx 2、〔 1， 4〕2x 3〔 2〕12〔 3〕〔1， 2〕、〔 1， -2〕325 、〔 1〕 20〔2〕 y x 324x 2 400 x(0 x 24)50（ 3〕50或 24 或 203。
【打印版】2021年上海市松江区中考一模数学试卷及解析
【打印版】2021年上海市松江区中考一模数学试卷及解析一、选择题（共6小题；共24分）1. 如果两个相似三角形对应边的比为1:4，那么它们的周长比是( )A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:162. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=α，BC=2，那么AC的长为( )A. 2sinαB. 2cosαC. 2tanαD. 2cotα3. 抛物线y=2x2向右平移3个单位后得到的抛物线是( )A. y=2x2+3；B. y=2x2−3；C. y=2(x+3)2；D. y=2(x−3)2．4. 已知a⃗=2b⃗⃗，下列说法中不正确的是( )A. a⃗−2b⃗⃗=0B. a⃗与b⃗⃗方向相同C. a⃗∥b⃗⃗D. ∣a⃗∣=2∣b⃗⃗∣5. 如图，一艘船从A处向北偏东30∘的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这时这艘船与A的距离( )A. 15千米B. 10千米C. 10√3千米D. 5√3千米6. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，如果CB=8，则线段GE的长为( )A. 53B. 73C. 83D. 103二、填空题（共12小题；共48分）7. 已知xy =53，那么x−yy=．8. 已知线段MN的长是4cm，点P是线段MN的黄金分割点，则较长线段MP的长是_________cm．9. 计算：sin30∘⋅cot60∘=．10. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘,AC=6,cosA=34，那么AB的长为．11. 一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x(x>0)厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为．12. 已知点A(2,y1)，B(3,y2)在抛物线y=x2−2x+c（c为常数）上，则y1y2．（填“>”、“=”或“<”）13. 如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=10，则DE=．14. 如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，△ABC的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC的正弦值为．15. 如图，已知点D，E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，DEBC =34，四边形DBCE的面积等于7，则△ADE的面积为．16. 如图，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，设向量 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗，用向量 a ⃗，b⃗⃗ 表示 AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为 ．17. 如图，正方形 DEFG 的边 EF 在 △ABC 的边 BC 上，顶点 D ，G 分别在边 AB ，AC 上．已知 △ABC 的边 BC =16 cm ，高 AH 为 10 cm ，则正方形 DEFG 的边长为 cm ．18. 如图，已知矩形纸片 ABCD ，点 E 在边 AB 上，且 BE =1，将 △CBE 沿直线 CE 翻折，使点 B落在对角线 AC 上的点 F 处，联结 DF ．如果点 D ，F ，E 在同一直线上，则线段 AE 的长为 ．三、解答题（共7小题；共88分）19. 用配方法把二次函数y=3x2−6x+5化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．20. 如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，AB=6，BE=4，BC=9，联结AC．（1）求线段CD的长；（2）如果AE=3，求线段AC的长．21. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90∘，sin∠ABC=3，点D在边BC上，BD=4，联结AD，5tan∠DAC=2．3（1）求边AC的长；（2）求cot∠BAD的值．22. 如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处（点A，B，C在同一直线上）．某测量员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行65米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37∘，悬崖BC的高为92米，斜坡DE的坡度i=1:2.4．（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75．）（1）求斜坡DE的高EH的长．（2）求信号塔AB的高度．23. 如图，已知在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，联结BE，CE，延长BA，CE相交于点F，CE2=DE⋅BC．（1）求证：∠EBC=∠DCE；（2）求证：BE⋅EF=BF⋅AE．24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−2经过点A(2,0)和B(−1,−1)，与y轴交于点C．（1）求这个抛物线的表达式；（2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，PDDC =23．①求P点坐标；②点Q在x轴上，如果∠QCA=∠PCB，求点Q的坐标．25. 如图，已知在等腰△ABC中，AB=AC=5√5，tan∠ABC=2，BF⊥AC，垂足为F，点D是边AB上一点（不与A，B重合）.（1）求边BC的长；（2）如图2，延长DF交BC的延长线于点G，如果CG=4，求线段AD的长；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为E，DE交BF于点Q，连接DF，如果△DQF和△ABC相似，求线段BD的长．答案第一部分1. B2. D3. D4. A5. C6. C第二部分7. 238. 2√5−2；9. √3610. 811. y=x2+4x；12. <13. 20314. √5515. 916. a⃗+2b⃗⃗17. 801318. 1+√52第三部分19. y=3(x2−2x)+5，y=3(x2−2x+1)−3+5，y=3(x−1)2+2．开口方向：向上．顶点坐标：(1,2)．对称轴：直线x=1．20. （1）因为AB∥CD，所以ABCD =BEEC．因为BE=4，BC=9，所以EC=5．因为AB=6，所以6CD =45．所以CD=152．（2） 因为 AB =6，BE =4，BC =9， 所以 AB 2=BE ⋅BC ，即 BE AB=AB BC．因为 ∠ABE =∠CBA ， 所以 △ABE ∽△CBA ． 所以AE AC=BE AB．因为 AE =3，BE =4，AB =6， 所以3AC=46．所以 AC =92．21. （1） 在 Rt △ACD 中，∠C =90∘，tan∠DAC =DCAC =23， 设 DC =2x ，则 AC =3x ，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，sin∠ABC =AC AB=35，所以 AB =5x ， 所以 BC =4x ，因为 BC =CD +DB ，BD =4， 所以 2x +4=4x ，x =2， 所以 AC =6．（2） 过点 D 作 DE ⊥AB ，垂足为 E ，因为 sin∠ABC =DEBD =35，BD =4， 所以 DE =125，BE =165，因为 AB =10， 所以 AE =345，在 Rt △AED 中，cot∠BAD =AEDE ， 所以 cot∠BAD =176．22. （1） 在 Rt △EHD 中，i =EH HD，∵i =1:2.4， ∴EH HD =512，∴EHDE =513． ∵DE =65， ∴EH =25（米）．答：斜坡 DE 的高 EH 的长 25 米． （2） 过点 E 作 EF ⊥AC ，垂足为 F ，在 Rt △EHD 中，EH HD =512，EH =25， ∴HD =60． ∵DC =60， ∴HC =120，在 Rt △EFA 中，tan∠AEF =AF EF，∵EF =HC =120，∠AEF =37∘，∴AF =EF ⋅tan∠AEF =120⋅tan37∘=90． ∵FC =EH =25， ∴AC =AF +FC =115， ∵BC =92， ∴AB =23（米）．答：信号塔 AB 的高度为 23 米．23. （1） 因为四边形 ABCD 是平行四边形， 所以 AD ∥BC ， 所以 ∠BCE =∠CED ， 因为 CE 2=DE ⋅BC ， 所以 CEDE =BCCE ， 所以 △BCE ∽△CED ， 所以 ∠EBC =∠DCE ． （2） 因为 AB ∥DC ，所以 ∠AEB =∠EBC ，∠F =∠DCE ， 因为 ∠EBC =∠DCE ， 所以 ∠AEB =∠F ， 因为 ∠ABE =∠EBF ， 所以 △BEA ∽△BFE ， 所以 BEBF =AEEF ，所以 BE ⋅EF =BF ⋅AE ．24. （1） 因为抛物线经过点 A (2,0)，点 B (−1,−1) 所以 {4a +2b −2=0a −b −2=−1，解得 {a =23b =−13所以抛物线解析式为 y =23x 2−13x −2 （2） ①过点 P 作 PE ⊥y 轴，垂足为 E因为 OD ∥PE ， 所以 PDDC =EOOC 因为 C (0,−2)， 所以 OC =2 因为 PDDC =23 所以 OE =43当 y =43 时，23x 2−13x −2=43， 解得 x 1=−2，x 2=52（舍去） 所以 P (−2,43)②（i ）当点 Q 在线段 OA 上时， 因为 B (−1,−1)， 所以 ∠BCO =45∘ 因为 OC =OA ， 所以 ∠OCA =45∘， 所以 ∠BCO =∠OCA ， 因为 ∠QCA =∠PCB ， 所以 ∠DCO =∠QCO ， 所以 OD =OQ 因为OD PE=CO CE ，所以 OD =65， 所以 OQ =65， 所以 Q (65,0)（ii ）当点 Q 在 OA 的延长线上时因为 ∠OCD =45∘−∠PCB ，∠DQC =90∘−∠OCQ =90∘−(45∘+∠QCA )=45∘−∠QCA又因为∠QCA=∠PCB，所以∠OCD=∠DQC所以tan∠OCD=tan∠DQC，所以DOOC =OCOQ所以OQ=103，所以Q(103,0)所以Q(65,0)或Q(103,0)．25. （1）过点A作AH⊥BC，垂足为H．∵AB=AC，∴BH=HC．在Rt△ABH中，tan∠ABC=AHBH=2．∴cos∠ABC=BHAB =√55，∵AB=5√5，∴BH=5．∴BC=10．（2）过点A作AM∥BG交GD的延长线于点M．∴AMCG =AFFC，AMBG=ADBD．在Rt△BFC中，cos∠ACB=cos∠ACB=√55，BC=10．∴FC=2√5．∴AF=3√5．∵CG=4，∴AM=6．∴614=5√5−AD，∴AD=3√52．（3）∵BF⊥AC，DE⊥BC，∴∠BFC=∠DEB=90∘．∴∠BQE=∠ACB．∵∠BQE=∠DQF，∴∠DQF=∠ACB．∵△DQF和△ABC相似，∴DQAC =QFBC或DQBC=FQAC．∵tan∠BQE=tan∠ACB=tan∠ABC=2，∴BEQE =2，DEBE=2．设BE=x，QE=2x，则DE=4x．∴BQ=√5x，BD=2√5x，DQ=3x．∵BF=2CF=4√5，∴QF=4√5−√5x．（ⅰ）当DQAC =QFBC时，则5√5=4√5−√5x10，解得x=85，∴BD=2√5x=16√55；（ⅱ）当DQBC =FQAC时，则3x10=√5−√5x5√5，解得x=2011．∴BD=2√5x=40√511．综上所述，BD=16√55或BD=40√511．。
中考数学一模试卷含答案试卷分析解
上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2C．y=x（x﹣1）﹣1 D．3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC．D．5cosα4．（4分）已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（）A．B．C．D．5．（4分）在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC 上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．26．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE 等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=．8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是千米．9．（4分）如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是度．11．（4分）线段AB=10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=（用根式表示）．12．（4分）已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=．13．（4分）已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．（4分）已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）f （4）．（填“＞”或“＜”）16．（4分）把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是．17．（4分）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=．18．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分80分）19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+ c的图象经过点A（3，0）、点B（0，3），顶点为M．（1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM的正切值．20．（10分）如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB，=2．（1）设=．试用表示；（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=，BC=4．线段AB的垂直平分线DF分别交边AB、AC、BC所在的直线于点D、E、F．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．22．（10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．23．（12分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，B D2=AD•BC．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP 的长．上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）已知，那么的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，∴设a=k，b=3k（k≠0），则==．故选：C．2．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=x﹣3 B．y=x2﹣（x+1）2C．y=x（x﹣1）﹣1 D．【解答】解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、整理后是二次函数，故本选项正确；D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．3．（4分）已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A的俯角为α，那么这时飞机与目标A的距离为（）A．B．5sinαC．D．5cosα【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，则AB==，故选：A．4．（4分）已知非零向量，在下列条件中，不能判定的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、∵∥，∥，∴，故本选项，不符合题意；B、∵=2，=3，∴，故本选项，不符合题意；C、∵=﹣5，∴，故本选项，不符合题意；D、∵||=2||，不能判断，故本选项，符合题意；故选：D．5．（4分）在△ABC中，边BC=6，高AD=4，正方形EFGH的顶点E、F在边BC 上，顶点H、G分别在边AB和AC上，那么这个正方形的边长等于（）A．3 B．2.5 C．2.4 D．2【解答】解：∵四边形EFMN是正方形，∴EH∥BC，EH=EF，∴△AEH∽△ABC，又∵AD⊥BC，∴AD⊥BC，EH=EF=MD，∴=，设EH=x，则AM=3﹣x，∴=，解得：x=2.4，∴EH=2.4．答：这个正方形的边长为2.4．故选：C．6．（4分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD：BD=2：1，点F在AC上，AF：FC=1：2，联结BF，交DE于点G，那么DG：GE 等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5．【解答】解：∵DE∥BC，∴==2，∴CE：CA=1：3，==，∵AF：FC=1：2，∴AF：AC=1：3，∴AF=EF=EC，∴EG：BC=1：2，设EG=m，则BC=2m，∴DE=m，DG=m﹣m=m，∴DG：GE=m：m=1：3，故选：B．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）已知线段a=4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c=2．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．则c2=4×1，c=±2，（线段是正数，负值舍去），故c=2；故答案为2．8．（4分）在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是300千米．【解答】解：设这两地的实际距离是xcm，根据题意得：=，解得：=300km，∴这两地的实际距离是300km．故答案为：300．9．（4分）如果抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是a ＜﹣2．【解答】解：∵抛物线y=（a+2）x2+x﹣1的开口向下，∴a+2＜0，得a＜﹣2，故答案为：a＜﹣2．10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角的度数是30度．【解答】解：∵tanα=1：=，∴坡角=30°．11．（4分）线段AB=10，点P是AB的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=（）（用根式表示）．【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP=AB×，∵线段AB=10，∴AP=10×=5﹣5；故答案为：5﹣5．12．（4分）已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=．【解答】解：如图延长AG交BC于H．∵G是重心，∴BH=CH=3，∵AB=AC=5，∴AH⊥BC，∴AH==4，∴AG=AH=故答案为13．（4分）已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=7.5．【解答】解：∵a∥b∥c，∴=，即=，解得DF=4.5，∴BF=BD+DF=3+4.5=7.5，故答案为：7.5．14．（4分）已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．【解答】解：如图作PA⊥x轴，垂足为A，OP=cos∠POA=，故答案为15．（4分）已知抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，那么f（2）＞f（4）．（填“＞”或“＜”）【解答】解：∵抛物线y=f（x）开口向下，对称轴是直线x=1，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∴f（2）＞f（4）．故答案为：＞．16．（4分）把抛物线y=x2向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，3），那么平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣1．【解答】解：设所求的函数解析式为y=x2+k，∵点A（2，3）在抛物线上，∴3=22+k解得：k=﹣1，∴平移后的抛物线的表达式是y=x2﹣1．故答案为：y=x2﹣1．17．（4分）我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=﹣2．【解答】解：∵由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x，∵函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，∴﹣=﹣，解得b=﹣2故答案为：﹣2．18．（4分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD：AE的值为．【解答】解：连接AA′交DE于点M，过点A′作A′N⊥AB于点N，如图所示．∵AC=BC=4，∠C=90°，A′为线段BC的中点，∴A′C=A′B=2，AA′==2，AB=4，∴AM=AA′=，A′N=BN=，∴AN=AB﹣BN=3．∵∠EAM=∠A′AC，∠AME=∠C，∴△AEM∽△AA′C，∴=，∴AE=．同理：△ADM∽△AA′N，∴=，∴AD=，∴=．故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分80分）19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，二次函数y=的正切值．【解答】解：（1）把A（3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c得，解得，所以y===，即∠OBM的正切值为．20．（10分）如图，已知△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、CA上的点，且EF∥AB，=2．（1）设=．试用表示；（2）如果△ABC的面积是9，求四边形ADEF的面积．【解答】解：（1）∵EF∥AB，∴=，又∵=2，∴==2，∴==，∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BAC，∴∠BDE=∠A，∴DE∥AC，则四边形ADEF是平行四边形，∵=，∴==，==，则=+=+；（2）由（1）知=、=，∵EF∥AB，DE∥AC，∴△CFE∽△CAB，△BDE∽△BAC，∴=（）2=，=（）2=，∵S△ABC=9，∴S△CFE=4、S△BDE=1，则四边形ADEF的面积=S△ABC ﹣S△CFE﹣S△BDE=4．（1）求线段BF的长；（2）求AE：EC的值．【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，如图，∵AB=AC=，∴BH=CH=BC=2，在Rt△ABH中，AH==4，∵DF垂直平分AB，∴BD=，∠BDF=90°∵∠ABH=∠FBD，∴Rt△FBD∽Rt△ABH，∴==，即==，∴BF=5，DF=2；（2）作CG∥AB交DF于G，如图，∵BF=5，BC=4，∴CF=1，∵CG∥BD，∴==，∵CG∥AD，∴===5．22．（10分）某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：≈1.7，≈1.4）．【解答】解：如图，由题意知∠CAB=75°、∠CAP=45°、∠PBD=60°，∴∠PAH=∠CAB﹣∠CAP=30°，∵∠PHA=∠PHB=90°，PH=50，∴AH===50，∵AC∥BD，∴∠ABD=180°﹣∠CAB=105°，∴∠PBH=∠ABD﹣∠PBD=45°，则PH=BH=50，∴AB=AH+BH=50+50，∵60千米/时=米/秒，∴时间t==3+3≈8.1（秒），即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速．23．（12分）已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC．（1）求证：AD∥BC；（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：CD2=BE•BC．【解答】（1）证明：∵∠BAD=∠BDC=90°，BD2=AD•BC，∴，∴△ADB∽△DBC，∴∠ADB=∠DBC，∴AD∥BC；（2）如右图所示，∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形ADEC是平行四边形，∠AEB=∠BCD，∴AE=DC，又∵∠BAD=∠BDC=90°，AD∥BC，∴∠BAD+∠ABE=180°，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠BDC，∴△ABE∽△BDC，∴，∴AE•DC=BE•BC，∵AE=DC，∴CD2=BE•BC．24．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；（2）当AE：EP=1：2时，求点E的坐标；（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．【解答】解：（1）∵AB=4，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴点A到对称轴的距离为2，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴y=（x+1）（x﹣3）整理得：y=x2﹣2x﹣3；（2）如下图所示：过点P作PF⊥x轴，垂足为F．∵EG∥PF，AE：EP=1：2，∴==．又∵AG=2，∴AF=6，∴F（5，0）．当，∴∠ADO=∠AEM．又∵四边形CDEM是等腰梯形，∴∠ADO=∠CME．∴∠ADO=∠CME．∵y=E=1．∴OA=OD=1．∴直线AP的解析式为y=x+1．把y=x+1代入y=x2﹣2x﹣3得：x+1=x2﹣2x﹣3，解得：x=4或x=﹣1（舍去）∴点P的横坐标为4，即t=4．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D，P是射线CD上一点，联结AP．（1）求线段CD的长；（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP 的长．【解答】解：（1）如图1，过D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，∵DF平分∠ACB，∠ACB=90°，∴DE=DF，∵∠DEC=∠ACB=∠CFD=90°，∴四边形ECFD是正方形，设DF=x，则CF=x，BF=2﹣x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴，∴，∴x=，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=；（2）如图2，∵∠PAB=∠PCB=45°，∴C、B、P、A四点共圆，∴∠ACB+∠APB=180°，∵∠ACB=90°，∴∠APB=90°，∴△APB是等腰直角三角形，∴AP=BP，过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，连接PB，∵PM=PN，∴Rt△PMA≌Rt△PNB（HL），∴AM=BN，由（1）知：四边形MCNP是正方形，∴CM=CN，设AM==x+1，CN=2﹣x，∴x+1=2﹣x，x=，∴CM=，∴CP=；（3）若△CMP是等腰三角形，存在三种情况：①当PM=CM时，如图3，同理作出辅助线，∵∠PCN=45°，∴△PCM是等腰直角三角形，∴CN=PN，同（2）得：CP=；②Rt△ACB中，AC=1，BC=2，∴AB=，∵M是AB的中点，∴CM=CP=AB=；③作CM的中垂线交CD于P，则CP=PM，过M作MH⊥CD于H，由①知：CG（就是CP=）=，CH=，∵△CPN∽△CMH，∴，∴=，CP=，综上所述，CP的长是或或．。
2022松江区初三数学一模
2022松江区初三数学一模
今年松江区选择题第六题倒是有些难度，搞得很多学生一头雾水啊。
填空题十七题新定义，但其实都知道，没啥难度。
填空压轴第十八题没有一模填空压轴题的难度啊，有点简单了。
19-23题都很正常，中规中矩。
函数综合第二十四题，第一问送分，第二问第一小问也很简单，四条线段长度都可以用T表示出来，列方程求解就可以了。
第二小问是个角相等问题，直接用正切值相等就可以建立等量关系，解方程即可。
几何综合第二十五题，第一问送分，第二问相似三角形的存在性问题，直角是相等的角，然后讨论另外一组角相等即可，其中有一种情况就是第一问。
第三问说难也不难，说简单也不简单，就看你能不能想到辅助线的做法了，最终还是寻找相似，用相似三角形的对应成比例建立方程求解。
逸飞数学，感谢您的关注。
松江中考一模数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列各数中，属于有理数的是（）A. $\sqrt{2}$B. $\pi$C. $0.1010010001...$D. $\frac{1}{3}$2. 已知一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$（$a\neq 0$）的判别式 $\Delta=b^2-4ac$，若 $\Delta>0$，则方程有两个（）实数根。
A. 相等B. 相异C. 无D. 无法确定3. 在等腰三角形ABC中，若AB=AC，且$\angle BAC=60^\circ$，则$\angleABC$的度数为（）A. $60^\circ$B. $30^\circ$C. $90^\circ$D. $120^\circ$4. 若函数 $f(x)=x^2-2x+1$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，则函数 $g(x)=f(2x-1)$ 的图像关于直线（）对称。
A. $x=1$B. $x=2$C. $x=3$D. $x=4$5. 下列图形中，属于轴对称图形的是（）A. 矩形B. 正方形C. 等边三角形D. 圆6. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前$n$项和为 $S_n$，若 $S_n=2^n-1$，则数列$\{a_n\}$ 的通项公式为（）A. $a_n=2^n$B. $a_n=2^n-1$C. $a_n=2^{n-1}$D. $a_n=2^{n-1}-1$7. 若点 $P(1,2)$ 在直线 $y=kx+b$ 上，则关于 $k$ 和 $b$ 的方程组（）一定成立。
A. $\begin{cases} k+b=2 \\ k-b=1 \end{cases}$B. $\begin{cases} k+b=1 \\ k-b=2 \end{cases}$C. $\begin{cases} k+b=3 \\ k-b=1 \end{cases}$D. $\begin{cases} k+b=4 \\ k-b=2 \end{cases}$8. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）A. $f(x)=x^2$B. $f(x)=2^x$C. $f(x)=\log_2x$D. $f(x)=\sqrt{x}$9. 若等差数列 $\{a_n\}$ 的前$n$项和为 $S_n$，且 $S_5=15$，$S_8=40$，则数列 $\{a_n\}$ 的公差为（）A. 2B. 3C. 4D. 510. 下列命题中，正确的是（）A. 等腰三角形的底角相等B. 等边三角形的底角相等C. 等腰三角形的底边相等D. 等边三角形的底边相等二、填空题（每小题3分，共30分）11. 若 $a+b=5$，$ab=6$，则 $a^2+b^2=$ _______。
上海市松江区2022中考数学一模
2022届松江区中考数学一模一、选择题1. 已知sin 2α=,那么锐角α的度数是（ ） A . 30°B . 45°C . 60°D . 75°【答案】C2. 已知在Rt ABC 中,∠C =90°,AB =c ,AC =b ,那么下列结论一定成立的是（ ） A. ctan b A = B. cot b c A = C. sin b c A = D. cos b c A = 【答案】D3. 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示,那么下列判断正确的是（ ）A. 0,0b c >>B.0,0b c ><C. 0,0b c <>D. 0,0b c <<【答案】D4. 已知2a b =,那么下列判断错误的是（ ）A . 20a b -=B . 12b a =C . 2a b =D . a //b【答案】A5. 如图,已知点G 是ABC 的重心,那么:BCGABCSS等于（ ）A . 1:2B . 1:3C . 2:3D . 2:5【答案】B6. 下列四个命题中,真命题的个数是（ ） ①底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ③底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ④腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4【答案】C 二、填空题7. 已知2x y =,那么22x y x y -=+____________ 【答案】348. 把抛物线21y x =+向右平移1个单位,所得新抛物线的表达式是____________ 【答案】()211y x =-+9. 已知两个相似三角形面积的比是4:9,那么这两个三角形周长的比是____________ 【答案】2:310. 已知线段AB =8,P 是AB 的黄金分割点,且PA >PB ,那么PA 的长是____________【答案】411. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点A 的坐标为（2,3）,那么直线OA 与x 轴夹角的正切值是____________ 【答案】3212. 如果一个二次函数图像的对称轴是直线2x =,且沿着x 轴正方向看,图像在对称轴左侧部分是上升的,请写出一个符合条件的函数解析式：____________ 【答案】()22y x =--13. 一位运动员推铅球,铅球运行过程中离地面的高度y （米）关于水平距离x （米）的函数解析式为21251233y x x =-++,那么铅球运行过程中最高点离地面的高度是____________ 【答案】314. 如图,码头A 在码头B 的正东方向,它们之间的距离为10海里,一货船由码头A 出发,沿北偏东45°方向航行到达小岛C 处,此时测得码头B 在南偏西60°方向,那么码头A 与小岛C 的距离是____________海里（结果保留根号）【答案】15. 如图,已知在梯形ABCD 中,AB //CD ,AB =2CD ,设,AB a AD b ==,那么AE 可以用,a b 表示为____________【答案】1233a b +【解析】1122DC AB a ==,12AC AD DC a b ∴=+=+,212333AE AC a b ==+ 16. 如图,某时刻阳光通过窗口AB 照射到室内,在地面上留下4米宽的“亮区”DE ,光线与地面所成的角 （如∠BEC ）的正切值是12,那么窗口的高AB 等于____________米【答案】217. 我们知道：四个角对应相等,四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形,如图,已知梯形ABCD 中,AD //BC ,AD =1,BC =2,E 、F 分别是边AB 、CD 上的点,且EF //BC ,如果四边形AEFD 与四边形EBCF 相似,那么AEEB的值是____________【答案】2【解析】因为梯形AEFD 梯形EBCF ,AD EF AE BF BC EB ∴==,212AE AD EF EB EP BC ⎛⎫∴=⋅= ⎪⎝⎭,AE EB ∴= 18. 如图,已知矩形ABCD 中,AD =3,AB =5,E 是边DC 上一点,将ADE 绕点A 顺时针旋转得到''AD E ,使得点D 的对应点'D 落在AE 上,如果''D E 的延长线恰好经过点B ,那么DE 的长度等于____________【答案】94【解析】如图 2,在Rt ABD '中,3,5AD AB '==,所以3sin 15∠=,所以3tan 14∠=, 根据同角的余角相等,可得21∠=∠,在Rt ADE 中,3AD =,所以39tan 1344DE AD =⋅∠=⨯=.三、解答题19. 已知一个二次函数图像的顶点为（1,0）,与y 轴的交点为（0,1）. （1）求这个二次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中,画出这个二次函数的图像.【解析】（1）2(1)y a x =-代入(0,1)-,得221y x x =-+（2）图略20. 如图,已知平行四边形ABCD 中,G 是AB 延长线上一点,联结DG ,分别交AC 、BC 于点E 、F ,且AE :EC =3:2. （1）如果AB =10,求BG 的长； （2）求EFFG的值.【解析】(1)因为10AB CD ==,所以23CD CE AG AE ==,15.5AG BG ∴==. (2)作EHAG ,由（1）可知,,2BG a AB a ==,所以24..55EH CE EH a DB CA ==∴= 445.5aEF EH FG BG a ∴===21. 如图,已知ABC 中,AB =AC =12,3cos 4B =,AP AB ⊥,交BC 于点P . （1）求CP 的长；（2）求∠PAC 的正弦值.【解析】（1）31294BG CG ==⋅=,418,16.3BC BP AB ==⋅= 2CP BC BP ∴=-=（2）解PAC ,作PH AC ⊥,342AP AB PH PC =⋅==⋅=, 1sin .8PH PAC PP ∴∠== 22. 某货站沿斜坡AB 将货物传送到平台BC ,一个正方体木箱沿着斜坡移动,当木箱的底部到达点B 时的平面示意图如图所示,已知斜坡AB 的坡度为1:2.4,点B 到地面的距离BE =1.5米,正方体木箱的棱长BF =0.65米,求点F 到地面的距离【解析】作FG CB ⊥,所以15tan 2.412BAE ∠==. 所以12.635,01.6BF a BG BF ==⋅=,0.6 1.5 2.1GE ∴=+=米 23. 已知：如图,梯形ABCD 中,DC //AB ,AC AB =,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E . （1）如果∠DEC =∠BEC ,求证：2CE ED CB =⋅；G（2）如果2AD AE AC =⋅,求证：AD BC =.【解析】（1）因为,DE BC DC AB ,所以,DEC BCE DCE BAC ∠=∠∠=∠ 因为AC AB =,所以ABC BCE ∠=∠因为180ABC BCE BAC ∠+∠+∠=,180DEC DCE EDC ∠+∠+∠=, 所以ACB CDE ∠=∠又因为DEC BEC ∠=∠,所以DECCEB ,所以DE CECE EB= 即2CE ED BE =⋅,因为BE BE =,所以2CE ED CB =⋅； （2）顺证：因为2AD AE AC =⋅,所以DAECAD ,所以.AD DEAC CD= 又因为ACB CDE ,CB AC CB EDED CD AC CD⇒∴== 所以AD BC =.24. 已知直线223y x =-+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,抛物线223y x bx c =-++经过A 、B 两点. （1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x t =与该抛物线交于点C ,与线段AB 交于点D （点D 与点A 、B 不重合）,与x 轴交于点E ,联结AC 、BC . ①当DE AECD OE=时,求t 的值； ②当CD 平分∠ACB 时,求ABC 的面积.【解析】(1) 由223y x =-+,得(0,2),(3,0)B A .设抛物线的交点式为()22(3)3y x x x =---,代入点(0,2)B ,得()222(3)3x =-⨯--. 解得21x =-,所以2224(3)(1)2333y x x x x =--+=-++.(2) ①如图2,已知22(t,0),,(3)(1),,(3)33E C t t t D t t ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当DE AE CD OE =时,DE AE CE AO =,所以2(3)3323(3)(1)3t t t t ---=--+. 解得2t =,或0t =(舍去).②已知2(t,0),,(3),(,)3E D t t C t y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,其中2224(3)(1)2333y x x x =--+=-++. 如图3,作CH y ⊥轴于H ,那么BCD CBH ∠=∠.当CD 平分ACB ∠时,BCD ACD ∠=∠,所以ACD CBH ∠=∠. 在Rt ACE 和Rt CBH 中,由tan tan ACD CBH ∠=∠,得AE CHCE BH=. 所以23224(3)(1)333t t t t x -=--+-+,化简,得1112t t -=+-,解得12t =. 此时1515,,,2322D C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以56CD =.所以115532264ABC ACD BCDSSSCD AO =+=⋅=⨯⨯=.25. 如图,已知ABC 中,∠ACB =90°,AB =6,BC =4,D 是边AB 上一点（与点A 、B 不重合）,DE 平分 ∠CDB ,交边BC 于点E ,EF CD ⊥,垂足为点F . （1）当DE BC ⊥时,求DE 的长；（2）当CEF 与ABC 相似时,求∠CDE 的正切值；（3）如果BDE 的面积是DEF 面积的2倍,求这时AD 的长.【解析】(1) 如图2,在Rt ABC 中,6,4AB BC ==,所以2cos ,3B AC ==当DE BC ⊥时,由12,DE DE ∠=∠=,得DCE DBE ≅,所以E 是BC 的中点.又因为//DE AC ,所以D 是AB 的中点,所以DE 是BAC 的中位线,所以12DE AC ==. (2) 如图3,以FCE ∠为分类标准,分两种情况讨论CEF 与ABC 相似. ①当FCE B ∠=∠时,DC DB =.已知DE 平分CDB ∠,根据“三线合一”,可知DE 垂直平分BC . 所以DE 是BAC 的中位线,所以CDE BDE A ∠=∠=∠.所以tan tanBC CDE A AC ∠=∠===.②如图4,当FCE A ∠=∠时,90FCE B A B ︒∠+∠=∠+∠=,所以90CDB ∠=.因为DE 平分CDB ∠,所以45CDE BDE ︒∠=∠=,所以tan 1CDE ∠=. (3) 如图5,作EH DB ⊥于H .因为DE 平分CDB ∠,所以EF EH =,所以EFD 和BDF 是等高三角形. 如果BDE 的面积是DEF 面积的2倍,那么2BD DF =. 由DEF DEH ≅,得DF DH =.所以22BD DF DH ==,所以EH 垂直平分BD ,所以EB ED =. 于是可得12B ∠=∠=∠. 在Rt BEH 中,2cos 3B =,设2,3BH m BE m ==. 所以 3,24,43ED m BD BH m CE CB BE m ====-=-. 如图6,因为,1DCE BCD B ∠=∠∠=∠,所以~DCE BCD .所以CE CD DE CD CB BD ==,所以4333444m CD m CD m -===. 解得73,12CD m ==,所以71164123AD AB BD =-=-⨯=.。
上海市松江区2021-2022学年九年级中考一模数学试题
上海市松江区2022届初三一模数学试卷2022.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1.已知sin 2，那么锐角 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°2. 已知在Rt △ABC 中，90C ，AB c ，AC b ，那么下列结论一定成立的是（ ） A. tan b c A B. cot b c A C. b c A sin D. b c A cos3. 已知二次函数y ax bx c 2（a 0）的图像如图所示，那么下列判断正确的是（）A. b 0，c 0 B. b 0，c 0 C. b 0，c 0 D. b 0，c4. 已知a b 2，那么下列判断错误的是（）A. 20a b B. 12b a C. ||2||a bD. a ∥b5. 如图，已知点G 是△ABC 的重心，那么S S :BCG ABC △△等于（ ）A. 1:2B. 1:3C. 2:3D. 2:56. 下列四个命题中，真命题的个数是（）①底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰二角形相似③底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；④腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似.A. 1B. 2C. 3D. 4 二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 已知2x y ，那么22x y x y8. 把抛物线21y x 向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 9. 已知两个相似三角形面积的比是4:9，那么这两个三角形周长的比是 10. 已知线段AB 8，P 是AB 的黄金分割点，且PA PB ，那么PM 的长是 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(2,3)，那么直线OA 与x 轴夹角的正切 值是12. 如果一个二次函数图像的对称轴是直线2x ，且沿着x 轴正方向看，图像在对称轴左 侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式13. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y (米)关于水平距离x (米)的函数解析 式为21251233y x x，那么铅球运行过程中最高点离地面的高度是 14. 如图，码头A 在码头B 的正东方向，它们之间的距离为10海里，一货船由码头A 出发， 沿北偏东45°方向航行到达小岛C 处，此时测得码头B 在南偏西60°方向，那么码头A 与 小岛C 的距离是 海里 (结果保留根号)15. 如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB 2CD ，设AB a ，AD b ，那么AE可以用a 、b 表示为16. 如图，某时刻阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE ，光线与地面所成的角(如∠BEC )的正切值是12，那么窗口的高AB 等于 米17. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形，如图，已 知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD 1，BC 2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF ∥BC ，如果四边形AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是 18. 如图，已知矩形ABCD 中，AD 3，AB 5，E 是边DC 上一点，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△AD E ，使得点D 的对应点D 落在AE 上，如果D E 的延长线恰好经过点B ，那么DE 的长度等于三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 已知一个二次函数图像的顶点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,1). （1）求这个二次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图像.20. 如图，己知平行四边形ABCD 中，G 是AB 延长线上一点，联结DG ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，且:3:2AE EC .（1）如果10AB ，求BG 的长；（2）求EFFG的值.21. 如图，已知△ABC 中，AB AC 12，3cos 4B ，AP ⊥AB ，交BC 于点P . （1）求CP 的长；（2）求∠PAC 的正弦值.22. 某货站沿斜坡AB 将货物传送到平台BC . 一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B 时的平面示意图如图所示. 已知斜坡AB 的坡度为1:2.4，点B 到地面的距离1.5米，正方体木箱的棱长BF 0.65米，求点F 到地面的距离BE23. 已知如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AC AB ，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E . （1）如果∠DEC ∠BEC ，求证：2CE ED CB ；（2）如果2AD AE AC ，求证：AD BC .24. 已知直线223y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c 经过A 、B 两点.（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x t 与该抛物线交于点C ，与线段AB 交于点D (点D 与点A 、B 不重合)， 与x 轴交于点E ，联结AC 、BC . ① 当DE AECD OE时，求t 的值；② 当CD 平分∠ACB 时，求△ABC 的面积.25. 如图，已知△ABC中，∠ACB 90°，AB 6，BC 4，D是边AB上一点(与点A、B不重合)，DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F.（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长.参考答案一. 选择题1. C2. D3. D4. A5. B6. C二. 填空题7. 348. 2(1)1y x 9. 2:3 10. 411.3212. 2(2)y x 13. 3 14.15. 1233a b 16. 2 17. 2 18. 94三. 解答题19.（1）221y x x ；（2）略. 20.（1）5；（2）45. 21.（1）2；（2）1822. 2.1米.23.（1）证明略；（2）证明略. 24.（1）224233y x x；（2）① 2；② 54；25.（1；（2）5或1；（3）113.。
松江初中一模数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列数中，是负数的是（）A. -3.5B. 0.1C. 5/3D. -√42. 如果a < b，那么下列不等式中正确的是（）A. a - 2 < b - 2B. a + 2 > b + 2C. a - 2 > b - 2D. a + 2 <b + 23. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = 2x + 3B. y = 3/xC. y = x^2 + 1D. y =x - 34. 在直角坐标系中，点A（2，-1）关于x轴的对称点是（）A.（2，1）B.（-2，-1）C.（2，-1）D.（-2，1）5. 下列方程中，无解的是（）A. 2x + 5 = 0B. 3x - 7 = 2x + 5C. 5x - 3 = 0D. 4x + 2 = 06. 一个等腰三角形的底边长为10cm，腰长为8cm，那么这个三角形的周长是（）A. 16cmB. 24cmC. 26cmD. 30cm7. 下列数中，不是整数的是（）A. -2/3B. 1/4C. 0D. -58. 下列图形中，是圆的是（）A. 正方形B. 等腰三角形C. 矩形D. 圆形9. 下列事件中，属于必然事件的是（）A. 抛掷一枚硬币，得到正面B. 抛掷一枚骰子，得到6C.从一副扑克牌中随机抽取一张，得到红桃 D. 从1到10中随机抽取一个数，得到偶数10. 下列运算中，正确的是（）A. (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 + 2abB. (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 - 2abC. (a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2D. (a - b)^2 = a^2 + 2ab + b^2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2023年上海市松江区中考数学一模试卷及答案解析
2023年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知tan A＝，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列结论正确的是（）A．tan A＝B．cot A＝C．sin A＝D．cos A＝3．关于抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，下列说法正确的是（）A．开口向上B．与y轴的交点是（0，﹣3）C．顶点是（1，﹣3）D．对称轴是直线x＝﹣14．已知、为非零向量，下列判断错误的是（）A．如果＝2，那么∥B．如果＝，那么＝﹣C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．如果为单位向量，且＝2，那么||＝2 5．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标志物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（）A．米B．米C．米D．米6．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝2，BC＝4．P是BA 延长线上一点，使得△PAD与△PBC相似，这样的点P的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．如果＝，那么＝．8．已知线段AB＝6，P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，那么PA的长是．9．如图，已知直线AD∥BE∥CF，如果＝，DE＝3，那么线段EF的长是．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，E是边AC的中点，延长BC到点D，使BC ＝2CD，那么DE的长是．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝5，那么cos ∠BCD的值是．12．如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比i＝1：0.75，堤高BC＝4.8米，那么坡面AB的长度是米．13．把抛物线y＝x2+1向左平移2个单位，所得新抛物线的表达式是．14．如果一条抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），那么该抛物线的对称轴是直线．15．已知一个二次函数的图象经过点（0，2），且在y轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是（只要写出一个符合要求的解析式）．16．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y（米）关于水珠与喷头的水平距离x（米）的函数解折武是y＝x2+x（0≤x≤4）．那么水珠的最大离地高度是米．17．已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．18．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，将△ABC绕点C旋转至△A'B′C，如果直线A′B'⊥AB，垂足记为点D，那么的值为．三、解答题（本大题共7题）19．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD＝2DB．（1）如果BC＝4，求DE的长；（2）设＝，＝，用、表示．20．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1．⫋（1）用配方法求这个二次函数的顶点坐标；（2）在所给的平面直角坐标系xOy中（如图），画出这个二次函数的图象；（3）请描述这个二次函数图象的变化趋势．21．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是AC的中点，DE⊥BC于点E，ED、BA的延长线交于点F．（1）求∠ABC的正切值；（2）求的值．22．小明想利用测角仪测量操场上旗杆AB的高度．如图，他先在点C处放置一个高为1.6米的测角仪（图中CE），测得旗杆顶部A的仰角为45°，再沿BC的方向后退3.5米到点D处，用同一个测角仪（图中DF），又测得旗杆顶部A的仰角为37°．试求旗杆AB 的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）23．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F，且BE2＝EF•EC．求证：（1）△ABD∽△FCB；（2）BD•BE＝AD•CE．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）平移这条抛物线，所得新抛物线的顶点为P（m，n）．①如果PO＝PA，且新抛物线的顶点在△AOB的内部，求m+n的取值范围；②如果新抛物线经过原点，且∠POA＝∠OBA，求点P的坐标．25．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝6，E是线段CD上一点，联结BE．（1）如图1，如果AD＝1，且CE＝3DE，求∠ABE的正切值；（2）如图2，如果BE⊥CD，且CE＝2DE，求AD的长；（3）如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．2023年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接根据tan60°＝进行解答即可．【解答】解：∵tan A＝，A为锐角，tan60°＝，∴∠A＝60°．故选：C．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．2．【分析】先利用勾股定理求出AB的长，然后再利用锐角三角函数的定义，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝＝，∴tan A＝＝，cot A＝＝，sin A＝＝＝，cos A＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3．【分析】由二次函数的顶点式可得抛物线开口方向，对称轴及顶点坐标，进而求解．【解答】解：∵y＝﹣2（x+1）2﹣3，∴抛物线开口向下，顶点为（﹣1，﹣3），∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，将x＝0代入y＝﹣2（x+1）2﹣3得y＝﹣5，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣5），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．4．【分析】根据平面向量的性质解答．【解答】解：A、如果＝2，那么两向量是共线向量，则，故本选项不符合题意．B、如果＝，那么两向量为共线向量，则＝﹣，故本选项不符合题意．C、||＝||，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项符合题意．D、根据向量模的定义知，||＝2||＝2，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向．5．【分析】根据锐角三角函数，可以得到AC＝，BC＝，然后根据AC+BC＝AB，即可得到PC．【解答】解：作PC⊥AB，交AB于点C，∵PC⊥AB，∠PAB＝α、∠PBA＝β，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴AC＝，BC＝，∵AB＝a，AB＝AC+BC，∴a＝+，解得PC＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】延长CD交射线BA于点E，由AD∥BC，得△EAD∽△EBC，再分三种情况讨论，一是点P与点E重合，此时△PAD∽△PBC；二是点P在点E与点A之间，因为∠PAD＝∠CBP，所以当＝时，△PAD∽△CBP，可由＝，求得AP＝，这样就验证了此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；三是点P在AE的延长线上，可通过计算证明此时△PAD与△PBC不相似．【解答】解：延长CD交射线BA于点E，∵AD∥BC，∴△EAD∽△EBC，如图1，点P与点E重合，则△PAD与△EAD完全重合，∴△PAD∽△PBC；∵∠PAD＝∠CBP，∴当＝时，△PAD∽△CBP，∵AB＝3，AD＝2，BC＝4，∴＝，解得AP＝或AP＝（不符合题意，舍去），∴此时存在点P，使△PAD与△CBP相似；如图3，点P在AE的延长线上，∴PA＝PB，∴A为BP的中点，∴AP＝AB＝3＝AE，显然与点P在AE的延长线上不符，∴此时△PAD与△PBC不相似，综上所述，这样的点P有2个，故选：B．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确理解与应用相似三角形的判定定理是解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】直接利用已知得出x，y的关系，进而代入原式化简即可．【解答】解：∵＝，则x＝y，故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确用y表示出x的值是解题关键．8．【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．【解答】解：∵P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，AB＝6，∴AP＝AB＝×6＝3﹣3，故答案为：3﹣3．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．9．【分析】根据平行线分线段成比例解答即可．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵DE＝3，∴＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10．【分析】取BC的中点F，连接EF，根据三角形中位线定理可得EF＝2，再利用线段垂直平分线的性质可得答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，∵点E为AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB＝2，∵BC＝2CD，∴FC＝CD，∵AC⊥BC，∴AC垂直平分DF，∴DE＝EF＝2，故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识，构造三角形中位线是解题的关键．11．【分析】由余角的性质得到∠BCD＝∠A，求∠A的余弦值即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴∠BCD+∠ACD＝∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴cos∠BCD＝cos A＝＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义．12．【分析】由i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，令BC＝4x（米），AC＝3x（米），得到AB＝5x （米），由BC＝4x＝4.8米，求出x的值，即可求出AB的长．【解答】解：∵i＝BC：AC＝1：0.75＝4：3，∴令BC＝4x（米），AC＝3x（米），∴AB＝＝＝5x（米），∵BC＝4x＝4.8（米），∴x＝1.2，∴AB＝5x＝6（米）．故答案为：6．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度，关键是掌握坡度的定义．13．【分析】已知抛物线解析式为顶点式，顶点坐标为（0，1），则平移后顶点坐标为（﹣2，1），由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式．【解答】解：∵y＝x2+1顶点坐标为（0，1），∴向左平移2个单位后顶点坐标为（﹣2，1），∴所得新抛物线的表达式为y＝（x+2）2+1．故答案为：y＝（x+2）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移，根据顶点式求抛物线解析式．14．【分析】由抛物线的对称性求解．【解答】解：∵抛物线经过点A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．15．【分析】由抛物线经过（0，2）可得c＝2，由y轴左侧部分是上升的，可得抛物线开口向下，对称轴为y轴或对称轴在y轴右侧，进而求解．【解答】解：由题意得抛物线开口向下，抛物线对称轴为y轴或在y轴右侧，∴y＝﹣x2+2符合题意．故答案为：y＝﹣x2+2，（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．16．【分析】根据二次函数的顶点式即可求解．【解答】解：∵y＝x2+x＝﹣（x﹣2）2+，∴当x＝2时，y有最大值，最大值为，∴水珠的最大离地高度是，故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握把二次函数的解析式化为顶点式．17．【分析】由重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，得到△AG1G2∽△ADE，推出△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，而△ADE的面积＝×△ABC的面积，即可解决问题．【解答】解：延长AG1交PB于D，延长AG2交PC于E，∵△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，∴AG1：AD＝AG2：AE＝2：3，D是PB中点，E是PC中点，∵∠G1AG2＝∠DAE，∴△AG1G2∽△ADE，∴△AG1G2的面积：△ADE的面积＝4：9，∵D是PB中点，E是PC中点，∴△ADE的面积＝×△ABC的面积，∴的值为．故答案为：．【点评】本题考查三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，关键是掌握三角形重心的性质．18．【分析】设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，再根据勾股定理求解．【解答】解：设AC＝3x，则AB＝5x，BC＝4x，当旋转90°时，A′B＝x，∵sin A＝，∴B′D＝x，∴AD＝x，∴BD＝AB﹣AD＝x，∴＝，同理：当旋转270°时，＝，故答案为：或．【点评】本题考查了旋转的性质，掌握解直角三角形的方法是解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19．【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，由AD＝2DB，可得DE＝BC，即可得DE＝；（2）由DE＝BC，DE∥BC，＝，知＝，故＝+＝+．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝2DB，∴＝，∴＝，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝；（2）由（1）知DE＝BC，∴BC＝DE，∵DE∥BC，＝，∴＝，∴＝+＝+．【点评】本题考查相似三角形及平面向量，解题的关键是掌握三角形相似的判定与性质，能进行向量的简单运算．20．【分析】（1）配成顶点式即可得到顶点坐标；（2）根据抛物线顶点和与y轴交点可画出函数图象；（3）观察函数图象可得答案．【解答】解：（1）∵y＝2x2﹣4x﹣1＝2（x﹣1）2﹣3，∴二次函数y＝2x2﹣4x﹣1图象的顶点坐标为（1，﹣3）；（2）由（1）知抛物线顶点为（1，3），由y＝2x2﹣4x﹣1可得抛物线过（0，﹣1），（2，﹣1），（3，5），（﹣1，5），如图：（3）当x≤1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及配方法，解题的关键是画出函数图象．21．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，则BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝8，即得tan B＝＝；（2）由（1）知tan B＝，可得tan C＝，即得＝，而CD＝5，故DE＝4，CE＝3，BE＝BC﹣CE＝9，由＝，有EF＝12，故DF＝EF﹣DE＝8，从而＝＝2．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，如图：∵AB＝AC＝10，BC＝12，∴BH＝CH＝BC＝6，在Rt△ABH中，AH＝＝＝8，∴tan B＝＝＝；（2）由（1）知tan B＝，∴tan C＝，∴＝，∵D是AC的中点，AC＝10，∴CD＝5，∴DE＝4，CE＝3，∴BE＝BC﹣CE＝12﹣3＝9，∵tan B＝，∴＝，∴EF＝12，∴DF＝EF﹣DE＝12﹣4＝8，∴＝＝2．【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理及应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形求出tan B＝．22．【分析】设直线EF交AB于G，可得∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，设AG＝GE＝x米，在Rt△AGF中，tan37°＝，即0.75＝，解出x的值，即可求得答案．【解答】解：设直线EF交AB于G，如图：根据题意，∠AEG＝45°，∠AFG＝37°，EF＝3.5米，∴△AEG的等腰直角三角形，∴AG＝GE，设AG＝GE＝x米，则旗杆AB高度为（x+1.6）米，∴GF＝GE+EF＝（x+3.5）米，在Rt△AGF中，tan∠AFG＝，∴tan37°＝，即0.75＝，解得：x＝10.5，∴x+1.6＝10.5+1.6＝12.1，答：旗杆AB的高度是12.1米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．23．【分析】（1）由BE2＝EF•EC，∠BEF＝∠CEB，可得△BEF∽△CEB，有∠EBF＝∠ECB，又AD∥BC，有∠ADB＝∠FBC，故△ABD∽△FCB；（2）由△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB，可得＝，＝，即得＝，从而BE•BD＝AD•CE．【解答】证明：（1）∵BE2＝EF•EC，∴＝，∵∠BEF＝∠CEB，∴△BEF∽△CEB，∴∠EBF＝∠ECB，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠FBC，∴△ABD∽△FCB；（2）由（1）知△BEF∽△CEB，△ABD∽△FCB∴＝，＝，∴＝，∴BE•BD＝AD•CE．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．24．【分析】（1）利用待定系数法即可得抛物线的表达式；（2）①由PO＝PA得点P在OA的垂直平分线上，则点P的横坐标m＝1，求出直线AB 为y＝﹣x+2，可得OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），由新抛物线的顶点在△AOB的内部可得n的取值范围，即可求解；②设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），证明△AOQ∽△ABO，根据相似三角形的性质可得OQ＝，利用勾股定理得出x＝或，则Q（，）或（，）（舍去），直线OQ为y＝x，可得n＝m，则新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m经过原点，求出m的值，即可得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4；（2）①∵PO＝PA，∴点P在OA的垂直平分线上，∵点A（2，0），∴点P的横坐标m＝1，设直线AB为y＝kx+b，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴，解得，∴直线AB为y＝﹣x+2，当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，∴OA的垂直平分线与AB的交点坐标为（1，1），∵新抛物线的顶点P（m，n）在△AOB的内部，∴n的取值范围为0＜n＜1，∴1＜m+n＜2；②如图，设OP与AB交于Q，Q（x，﹣x+2），∵∠POA＝∠OBA，∠OAQ＝∠BAO，∴△AOQ∽△ABO，∴，∵点A（2，0）和点B（﹣1，3），∴OA＝2，BO＝＝，BA＝3，∴，∴OQ＝，∴＝，解得x＝或，∴Q（，）或（，）（舍去），∴直线OQ为y＝x，∵P（m，n），∴n＝m，∴新抛物线为y＝﹣（x﹣m）2+m，∵新抛物线经过原点，∴﹣（﹣m）2+m＝0，解得m＝0或m＝，∴点P的坐标为（，）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握待定系数法以及相似三角形的判定和性质．25．【分析】（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，由AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，得四边形ABKD是矩形，知BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，证明△DKC∽△ETC，有＝＝，即可求出tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，由CE＝2DE，可得＝＝，ES＝，CR＝CS，证明△BSE∽△ESC，有＝，即得CR＝，从而AD 的长为；＝AB•BW＝×（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，可得BW＝，S△ABE4×＝；当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，可得BP＝3+＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6或BP＝3﹣，S△ABE﹣2；当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，设QE＝x＝BI，＝AB•EQ＝×4×＝．可得＝，故S△ABE【解答】解：（1）过D作DK⊥BC于K，过E作ET⊥BC于T，如图：∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DK⊥BC，∴四边形ABKD是矩形，∴BK＝AD＝1，DK＝AB＝4，∴CK＝BC﹣BK＝6﹣1＝5，∵CE＝3DE，∴＝，∵∠DKC＝90°＝∠ETC，∠C＝∠C，∴△DKC∽△ETC，∴＝＝＝，即＝＝，∴ET＝3，KT＝，∴BT＝BK+KT＝，∵AB∥ET，∴∠ABE＝∠BET，∴tan∠ABE＝tan∠BET＝＝＝，∴∠ABE的正切值为；（2）过D作DR⊥BC于R，过E作ES⊥BC于S，如图：∵CE＝2DE，∴＝，同（1）可得＝＝，DR＝4，∴＝＝，∴ES＝，CR＝CS，∵BE⊥CD，∴∠BES＝90°﹣∠CES＝∠C，∵∠BSE＝90°＝∠ESC，∴△BSE∽△ESC，∴＝，即＝，∴CS＝或CS＝，∴CR＝（大于6舍去）或CR＝，∴BR＝BC﹣CR＝，∴AD＝；∴AD的长为；（3）当AB＝BE＝4时，过E作EW⊥BC于W，如图：∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°＝∠BWE，∵∠EBW＝∠CBE，∴△EBW∽△CBE，∴＝，即＝，∴BW＝，＝AB•BW＝×4×＝；∴S△ABE当AE＝BE时，过E作EP⊥BC于P，过E作EM⊥AB于M，如图：∴BM＝AB＝2＝EP，同（2）可得＝，∴＝，解得BP＝3+或BP＝3﹣，＝AB•BP＝×4×（3+）＝6+2或S△ABE＝AB•BP＝6﹣2；∴S△ABE当AB＝AE＝4时，过E作EQ⊥AB于Q，过E作EI⊥BC于I，如图：设QE＝x＝BI，则AQ＝＝，CI＝6﹣x，∴BQ＝EI＝4﹣，∵∠CEI＝90°﹣∠BEI＝∠QEB，∠EQB＝90°＝∠EIC，∴△EQB∽△EIC，∴＝，即＝，解得x＝0（舍去）或x＝，＝AB•EQ＝×4×＝，∴S△ABE综上所述，△ABE的面积为或6+2或6﹣2或．【点评】本题考查直角梯形的应用，涉及锐角三角函数，三角形面积，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．。
上海市松江区2021-2022学年九年级中考一模数学试题
上海市松江区2022届初三一模数学试卷2022.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1.已知sin 2，那么锐角 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°2. 已知在Rt △ABC 中，90C ，AB c ，AC b ，那么下列结论一定成立的是（ ） A. tan b c A B. cot b c A C. b c A sin D. b c A cos3. 已知二次函数y ax bx c 2（a 0）的图像如图所示，那么下列判断正确的是（）A. b 0，c 0 B. b 0，c 0 C. b 0，c 0 D. b 0，c4. 已知a b 2，那么下列判断错误的是（）A. 20a b B. 12b a C. ||2||a bD. a ∥b5. 如图，已知点G 是△ABC 的重心，那么S S :BCG ABC △△等于（ ）A. 1:2B. 1:3C. 2:3D. 2:56. 下列四个命题中，真命题的个数是（）①底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰二角形相似③底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；④腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似.A. 1B. 2C. 3D. 4 二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分） 7. 已知2x y ，那么22x y x y8. 把抛物线21y x 向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是 9. 已知两个相似三角形面积的比是4:9，那么这两个三角形周长的比是 10. 已知线段AB 8，P 是AB 的黄金分割点，且PA PB ，那么PM 的长是 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(2,3)，那么直线OA 与x 轴夹角的正切 值是12. 如果一个二次函数图像的对称轴是直线2x ，且沿着x 轴正方向看，图像在对称轴左 侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式13. 一位运动员推铅球，铅球运行过程中离地面的高度y (米)关于水平距离x (米)的函数解析 式为21251233y x x，那么铅球运行过程中最高点离地面的高度是 14. 如图，码头A 在码头B 的正东方向，它们之间的距离为10海里，一货船由码头A 出发， 沿北偏东45°方向航行到达小岛C 处，此时测得码头B 在南偏西60°方向，那么码头A 与 小岛C 的距离是 海里 (结果保留根号)15. 如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB 2CD ，设AB a ，AD b ，那么AE可以用a 、b 表示为16. 如图，某时刻阳光通过窗口AB 照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE ，光线与地面所成的角(如∠BEC )的正切值是12，那么窗口的高AB 等于 米17. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形，如图，已 知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD 1，BC 2，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，且EF ∥BC ，如果四边形AEFD 与四边形EBCF 相似，那么AEEB的值是 18. 如图，已知矩形ABCD 中，AD 3，AB 5，E 是边DC 上一点，将△ADE 绕点A 顺时针旋转得到△AD E ，使得点D 的对应点D 落在AE 上，如果D E 的延长线恰好经过点B ，那么DE 的长度等于三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分） 19. 已知一个二次函数图像的顶点为(1,0)，与y 轴的交点为(0,1). （1）求这个二次函数的解析式；（2）在所给的平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图像.20. 如图，己知平行四边形ABCD 中，G 是AB 延长线上一点，联结DG ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，且:3:2AE EC .（1）如果10AB ，求BG 的长；（2）求EFFG的值.21. 如图，已知△ABC 中，AB AC 12，3cos 4B ，AP ⊥AB ，交BC 于点P . （1）求CP 的长；（2）求∠PAC 的正弦值.22. 某货站沿斜坡AB 将货物传送到平台BC . 一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B 时的平面示意图如图所示. 已知斜坡AB 的坡度为1:2.4，点B 到地面的距离1.5米，正方体木箱的棱长BF 0.65米，求点F 到地面的距离BE23. 已知如图，梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AC AB ，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E . （1）如果∠DEC ∠BEC ，求证：2CE ED CB ；（2）如果2AD AE AC ，求证：AD BC .24. 已知直线223y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c 经过A 、B 两点.（1）求这条抛物线的表达式；（2）直线x t 与该抛物线交于点C ，与线段AB 交于点D (点D 与点A 、B 不重合)， 与x 轴交于点E ，联结AC 、BC . ① 当DE AECD OE时，求t 的值；② 当CD 平分∠ACB 时，求△ABC 的面积.25. 如图，已知△ABC中，∠ACB 90°，AB 6，BC 4，D是边AB上一点(与点A、B不重合)，DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F.（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长.参考答案一. 选择题1. C2. D3. D4. A5. B6. C二. 填空题7. 348. 2(1)1y x 9. 2:3 10. 411.3212. 2(2)y x 13. 3 14.15. 1233a b 16. 2 17. 2 18. 94三. 解答题19.（1）221y x x ；（2）略. 20.（1）5；（2）45. 21.（1）2；（2）1822. 2.1米.23.（1）证明略；（2）证明略. 24.（1）224233y x x；（2）① 2；② 54；25.（1；（2）5或1；（3）113.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
届松江区中考数学一模及
答案
Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am
松江区2017学年第一学期九年级质量调研考试
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．已知13
a
b =，那么
a
a b
+的值为（ ） （A ）13
； （B ）23； （C ）14； （D ）3
4．
2．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
（A ）3y x =-； （B ）22(1)y x x =-+； （C ）(1)1y x x =--； （D ）2
1
y x =． 3．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角
为α，那么这时飞机与目标A 的距离为（ ） （A ）
5sin α； （B ）5sin α； （C ）5cos α
； （D ）5cos α． 4．已知非零向量、、a b c ，在下列条件中，不能判定∥a b 的是（ ）
（A ）,∥∥a c b c ； （B ）2,3a c b c ==； （C ）5a b =-； （D ）2a b =．
5．在△ABC 中，边BC =6，高AD =4，正方形EFGH 的顶点E 、F 在边BC 上，顶点H 、G 分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于 （A ）3； （B ）； （C ）； （D ）2．
6．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：BD =2:1，点F 在AC 上，AF ：FC =1:2，联结BF ，交DE 于点G ，那么DG ：GE 等于．
（A ）1:2； （B ）1:3； （C ）2:3； （D ）2:5．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．已知线段a＝4，b=1，如果线段c是线段a、b的比例中项，那么c= ．
8．在比例尺是1:的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离
是千米．
9．如果抛物线2
=++-的开口向下，那么a的取值范围是．
y a x x
(2)1
10．如果一个斜坡的坡度1:3
i=，那么该斜坡的坡角为度．
11．已知线段AB=10，P是AB的黄金分割点，且AP>BP，那么AP= ．
12．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG= ．
13．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC=4，CE=6，BD=3，那么BF= ．
14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5,12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．
15．已知抛物线y=f(x)开口向下，对称轴是直线x=1，那么f(2) f(4)．（填“>”或“<”）
16．把抛物线2
=向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2,3），那么平移后的抛物线
y x
的表达式是．
17．我们定义：关于x的函数22
y ax bx y bx ax
=+=+（其中a≠b）叫做互为交换函数．如
与
22
2
=+与它的交换函数图像顶点关于x
y x bx
=+=+是互为交换函数．如果函数2
3443
与
y x x y x x
轴对称，那么b= ．
18．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，将△ABC翻折，使得点A落在BC的中点A'处，折痕分别交边AB、AC于点D、点E，那么AD:AE的值为．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分，每题各5分）
如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，
二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （3,0）、点B
（0,3），顶点
为M ．
（1）求该二次函数的解析式； （2）求∠OBM 的正切值.
20．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC 中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、CA 上的点，且EF ∥AB ，
2CF AD
FA DB
==． （1）设，AB a AC b ==．试用、a b 表示AE ；
（2）如果△ABC 的面积是9，求四边形ADEF 的面积．
21．（本题满分10分，每小题5分）
如图，已知△ABC 中，AB =AC =25，BC =4．线段AB 的垂直平分线DF 分别交边AB 、AC 、BC 所在的直线于点D 、E 、F ． （1）求线段BF 的长； （2）求AE ：EC 的值．
22．（本题满分10分）
某条道路上通行车辆的限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH 为50米（如图）．已知点P在点A的北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：3 1.72 1.4
≈≈）．
，
23．（本题满分12分，每小题6分）
已知四边形ABCD中，∠BAD=∠BDC=90°，2
=⋅．
BD AD BC
（1）求证：AD∥BC；
（2）过点A作AE∥CD交BC于点E．请完善图形并求证：2
=⋅．
CD BE BC
24．（本题满分12分，每小题4分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线2
=++的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴交
y x bx c
于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB=4，又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与对称轴交于点E，设点P的横坐标为t．
（1）求点A的坐标和抛物线的表达式；
（2）当AE:EP=1:2时，求点E的坐标；
（3）记抛物线的顶点为M，与y轴的交点为C，当四边形CDEM是等腰梯形时，求t的值．
25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交边AB与点D,P是射线CD上一点，联结AP．
（1）求线段CD的长；
（2）当点P在CD的延长线上，且∠PAB=45°时，求CP的长；
（3）记点M为边AB的中点，联结CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的长．
参考答案：
1、C；
2、C；
3、A；
4、D；
5、C；
6、B；
7、2；
8、300；
9、a<-2；10、30；11、
555
-；12、8
3
；13、
15
2
；14、
5
13
；15、>；16、21
y x
=-；17、-2；18、22
3。
19、（1）243
y x x
=-+；（2）1
2
；20、（1）
21
33
AE a b
=+；（2）4；21、（1）5；（2）
5;22、秒超速；23、略；24、（1）223
y x x
=--；（2）E（1,4）；（3）t=4；25、（1）
22
CD=；（2）
32
CP=；（3）
32552
或或
CP=。