高考数学真题汇编3 导数 文(解析版)
2012年高考数学试题分类汇编第三部分导数及其应用
第三部分导数及其应用（2012年广东卷理）12．曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为__________．(2012年安徽文)（17）（本小题满分12分）设定义在（0，+∞）上的函数1()(0)f x ax b a ax =++> （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值。
【解析】（I ）1()2f x ax b b b ax =++≥=+ 当且仅当11()ax x a==时，()f x 的最小值为2b + （II ）由题意得：313(1)22f a b a =⇔++= ① 2113()(1)2f x a f a ax a ''=-⇒=-= ② 由①②得：2,1a b ==-（2012重庆卷理）（8）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数,(1)()y x f x =-的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（2012重庆卷理）(16) （本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.） 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴.（Ⅰ） 求a 的值；（Ⅱ） 求函数()f x 的极值.(2012年重庆卷文)（8）设函数f （x ）在R 上可导，其导函数为f ′（x ），且函数f （x ）在x=-2处取得极小值，则函数y=xf ′（x ）的图像可能是(2012年重庆卷文)（17）(本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分。
2013届高三数学名校试题汇编(第3期)专题03 导数与应用 文
【精选+详解】2013届高三数学名校试题汇编（第3期）专题03 导数与应用 文一．基础题1.【广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题】函数321()2323f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为 【答案】23-【解析】2()4301,3f x x x x x '=-+=⇒==，24(0)2,(1),(2)33f f f =-=-=-2.【广州市2013届高三年级1月调研测试】若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为.3.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数y=f （x ）的导数为f′（x ）且，则= ．二．能力题1.【2013年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）】已知直线ax ﹣by ﹣2=0与曲线y=x 3在点P （1，1）处的切线互相垂直，则为（ ）2.【2012-2013学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊）】函数f （x ）=lnx+ax3.【河南省三门峡市2013届高三第一次大练习】已知二次函数()f x =2ax bx c ++的导数为()f x '，(0)f '＞0，对任意实数x 都有()f x ≥0，则(1)(0)f f '的最小值为A.4B.3C.8D.2 【答案】D【解析】∵()f x '=2ax b +，∴(0)f '=b ＞0，∵对任意实数x 都有()f x ≥0，∴240a b ac >⎧⎨∆=-≤⎩，即24ac b ≥，∴c ＞0，∴(1)(0)f f '=a b c b ++=1a c b++≥1+≥1+=2，当且仅当a c =取等号，故选D.三．拔高题4.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考】（本小题满分13分）已知函数.,1ln )(R ∈-=a xx a x f （I ）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； （II ）求函数)(x f 的单调区间；5.[2012-2013学年河南省平顶山许昌新乡三市高三（上）第一次调研考试]已知函数f （x ）=e x+（a ﹣2）x 在定义域内不是单调函数． （Ⅰ）求函数f （x ）的极值（Ⅱ）对于任意的a ∈（2﹣e ，2）及x≥0，求证e x≥1+（1﹣）x 2． ）∵f′（（﹣（）已知函数()()f ln ax x a R x=-∈ ()1讨论()f x 的单调性； ()2设()225,g x x bx =-+当a=-2时，若对任意[]11,x e ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≤求实数b 的取值范围.7.【2012-2013学年四川省成都市高新区高三（上）统一检测】已知函数f （x ）=ax 2+1（a＞0），g （x ）=x 3+bx ．（1）若曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）在它们的交点（1，c ）处有公共切线，求a ，b 的值； （2）当a=3，b=﹣9时，函数f （x ）+g （x ）在区间[k ，2]上的最大值为28，求k 的取值范围．，，其中e=2.71828…．（1）若f （x ）在其定义域内是单调函数，求实数p 的取值范围； （2）若p ∈（1，+∞），问是否存在x 0＞0，使f （x 0）≤g（x 0）成立？若存在，求出符合条件的一个x 0；否则，说明理由．已知函数2()()xf x ax x e =+，其中e 是自然对数的底数，a R ∈． （1）当0a >时，解不等式()0f x ≤；（2）当0a =时，求整数的所有值，使方程()2f x x =+在[,1]t t +上有解； （3）若()f x 在[1,1]-上是单调增函数，求a 的取值范围．(3)22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，①当0a =时，()(1)e xf x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时取等号，故0a =符合要求；(10 分)②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>， 所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，因此()f x 有极大值又有极小值．若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，所以()f x 在(11)-，内有极值点，故()f x 在[]11-，上不单调． （12分）若0a <，可知120x x >>，因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>，必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤. 综上可知，a 的取值范围是2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． (14分)8. 【安徽省黄山市2013届高中毕业班第一次质量检测】 （本小题满分12分）设函数329(62)f x x x a x =-+-.(1)对于任意实数x ，'()f m x ≥在15（，]恒成立（其中'()f x 表示()f x 的导函数），求m 的最大值；(2)若方程()0f x =在R 上有且仅有一个实根，求a 的取值范围.(2)因为当1x <时, '()0f x >；当12x <<时, '()0f x <；当2x >时, '()0f x >； 即()y f x =在(,1)-∞和(2,)+∞单增，在(1,2)单减.所以5()=(1)2f x f a =-极大值，()=(2)2f x f a =-极小值.………………………………9分故当(2)0f >或(1)0f <时,方程()0f x =仅有一个实根.得2a <或52a >时，方程()0f x =仅有一个实根.所以5(,2)(,)2a ∈-∞+∞ (12)分9.【广州市2013届高三年级1月调研测试】（本小题满分14分） 已知()fx 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行. （1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N ，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(本小题主要考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)解法2：设()2fx ax bx c =++， ∵不等式()0fx <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,.∴02550c a b ,=+=. ① …………… 2分 ∵2f x ax b /()=+. 又函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f/=-.∴26a b +=-. ② …………… 3分由①②,解得2a =,10b =-. …………… 4分∴()2210fx x x =-. …………… 5分10.（东莞市2013届高三上学期期末）已知函数()ln f x ax b x c =++，(,,a b c 是常数）在x=e 处的切线方程为(1)0e x ey e -+-=，1x =既是函数()y f x =的零点，又是它的极值点．(1)求常数a,b,c 的值；(2)若函数2()()()g x x mf x m R =+∈在区间(1，3)内不是单调函数，求实数m 的取值范围；(3)求函数()()1h x f x =-的单调递减区间，并证明：ln 2ln 3ln 4ln 2012123420122012⨯⨯⨯⨯<解：（1）由c x b ax x f ++=ln )(知，)(x f 的定义域为),0(+∞,xba x f +=)(', …1分 又)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，所以有 ee e b a ef 1)('--=+=,① …………2分 由1=x 是函数)(x f 的零点，得0)1(=+=c a f ,② …………3分 由1=x 是函数)(x f 的极值点，得0)1('=+=b a f ，③ …………4分 由①②③，得1-=a ，1=b ，1=c . …………5分.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函数02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>+-⨯=>+-=>⨯⨯-=∆,341,0332)3(,02)1(,02422m m m d m m d m m 解得98<<m . …………9分综上，实数m 的取值范围是),8(+∞. …10分11、（佛山市2013届高三上学期期末）设函数1()x e f x x-=，0x ≠．（1）判断函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()1f x a -<成立．解析：（1）22(1)(1)1()x x x xe e x e f x x x---+'==， -----------2分 令()(1)1xh x x e =-+，则()(1)xxxh x e e x xe '=+-=， 当0x >时，()0xh x xe '=>，∴()h x 是()0,+∞上的增函数，∴()(0)0h x h >=， 故2()()0h x f x x'=>，即函数()f x 是()0,+∞上的增函数． -----------------6分 （2）11()11x x e e x f x x x----=-=，12、（广州市2013届高三上学期期末）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行.（1）求()fx 的解析式；（2）是否存在t ∈N *，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数 根？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由. （1）解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5fx ax x =-，0a >. …………… 1分∴25f x ax a /()=-. …………… 2分 ∵函数()fx 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行，∴()16f /=-. …………… 3分∴256a a -=-，解得2a =. …………… 4分 ∴()()225210fx x x x x =-=-. …………… 5分（2）解：由（1）知，方程()370fx x+=等价于方程32210370x x -+=. …………… 6分设()h x=3221037x x -+，则()()26202310hx x x x x /=-=-. …………… 7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； ……… 8分 当103x ,⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. … 9分∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=>⎪⎝⎭， …………… 12分 ∴方程()0h x=在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根. …………… 13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370fx x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根. …………… 14分13、（惠州市2013届高三上学期期末）已知函数3()3()f x x ax a R =-∈ （1）当1a =时，求()f x 的极小值；（2）若直线0x y m ++=对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，求a 的取值范围； （3）设()|()|,[1,1]g x f x x =∈-，求()g x 的最大值()F a 的解析式．法2：f x x a a =-≥-/2()333，……………4分要使直线0=++m y x 对任意的m R ∈都不是曲线()y f x =的切线，当且仅当a -<-13时成立，31<∴a ………………6分（3）因,]1,1[|3||)(|)(3上是偶函数在--==ax x x f x g故只要求在]1,0[上的最大值. …………7分 ①当0≤a 时，)()(,0)0(]1,0[)(,0)(/x f x g f x f x f =∴=≥上单调递增且在.31)1()(a f a F -== …………………9分（ⅰ）当a f a F a a f a f 31)1()(,410,31)1()(-==≤<-=≤-时即 （ⅱ）当a a a f a F a a f a f 2)()(,3141,31)1()(=-=<<-=>-时即……13分 综上 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<≤-=)1(,13)141(,2)41(,31)(a a a a a a a x F ………………14分14、（江门市2013届高三上学期期末）已知函数x x a x x f ln )1( 21)(2---=，其中R a ∈． ⑴若2=x 是)(x f 的极值点，求a 的值；⑵若0>∀x ，1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围． 解：⑴xx a x f 1)1( 1)(/---=……2分， 因为2=x 是)(x f 的极值点，所以0)2(/=f ……3分，解021)12( 1=---a 得21=a ……4分，⑵（方法一）依题意1ln )1( 212≥---x x a x ，)ln 1(2)1( 2x x x a --≤-，0>x ……5分。
2021-2022年高考数学分项汇编 专题03 导数(含解析)理
2021-2022年高考数学分项汇编专题03 导数（含解析）理一．基础题组1. 【xx新课标，理8】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D2. 【xx全国2，理22】(本小题满分12分)已知，函数．(Ⅰ) 当为何值时，取得最小值？证明你的结论；(Ⅱ) 设在上是单调函数，求的取值范围．（II）当≥0时，在上为单调函数的充要条件是即，解得于是在[-1，1]上为单调函数的充要条件是即的取值范围是二．能力题组1. 【xx课标全国Ⅱ，理10】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0【答案】：C【解析】：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．2. 【xx全国，理10】已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝( )A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1【答案】 A3. 【xx课标全国Ⅱ，理21】(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.【解析】：(1)f′(x)＝.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝e x－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.函数f ′(x )＝在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．4. 【xx 新课标，理21】已知函数，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0. (1)求a ，b 的值；(2)如果当x ＞0，且x ≠1时，，求k 的取值范围．【解析】：(1)221(ln )()(1)x a x b x f x x x +-'=-+.由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－，且过点(1，1)，故(1)11(1)2f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩即1122b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得(2)(理)由(1)知，5. 【xx 全国3，理22】（本小题满分12分） 已知函数（Ⅰ）求的单调区间和值域；（Ⅱ）设，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得成立，求a 的取值范围.【解析】：（I ）对函数求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令解得当变化时，的变化情况如下表：（0，）（，1）1－ 0 +－4－3当时，的值域为[－4，－3].三．拔高题组1. 【xx 新课标，理12】设函数.若存在的极值点满足，则m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意知：的极值为，所以，因为'0()3cos0x f x mmππ=⋅=，所以，所以即，所以，即3，而已知，所以3，故，解得或，故选C.2. 【xx 全国2，理10】若曲线y ＝x －在点(a ，a －)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a 等于( )A ．64B ．32C ．16D ．8 【答案】：A3. 【xx 全国2，理20】 已知函数=.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，当时，,求的最大值；（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）（Ⅲ）由（Ⅱ）知，32)222(21)ln 22g b b =-+-， 当时，32)426ln 202g =->，； 当时，2ln(122b b b --=，32)22(322)ln 22g =--， ，所以的近似值为.4. 【xx 全国，理20】设函数f (x )＝ax ＋cos x ，x ∈[0，π]． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )≤1＋sin x ，求a 的取值范围．令g(x)＝sin x－x(0≤x≤)，则g′(x)＝cos x－.当x∈(0，arccos )时，g′(x)＞0，当x∈(arccos，)时，g′(x)＜0.又g(0)＝g()＝0，所以g(x)≥0，即x≤sin x(0≤x≤)．当a≤时，有f(x)≤x＋cos x.①当0≤x≤时，x≤sin x，cos x≤1，所以f(x)≤1＋sin x；②当≤x≤π时，f(x)≤x＋cos x＝1＋(x－)－sin(x－)≤1＋sin x. 综上，a的取值范围是(－∞，]．5. 【xx全国2，理22】设函数f(x)＝1－e－x.(1)证明当x＞－1时，f(x)≥；(2)设当x≥0时，f(x)≤，求a的取值范围．(ⅰ)当0≤a≤时，由(1)知x≤(x＋1)f(x)，h′(x)≤af(x)－axf(x)＋a(x＋1)f(x)－f(x)＝(2a－1)·f(x)≤0，h(x)在[0，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤.(ⅱ)当a＞时，由(ⅰ)知x≥f(x)，h′(x)＝af(x)－axf(x)＋ax－f(x)≥af(x)－axf(x)＋af(x)－f(x)＝(2a－1－ax)f(x)，当0＜x＜时，h′(x)＞0，所以h(x)＞h(0)＝0，即f(x)＞，综上，a的取值范围是[0，]．6. 【xx全国2，理20】设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实数a的取值范围.7. 【xx高考新课标2，理12】设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】记函数，则，因为当时，，故当时，，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且．当时，，则；当时，，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．【考点定位】导数的应用、函数的图象与性质．8. 【xx高考新课标2，理21】（本题满分12分）设函数．(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）．【考点定位】导数的综合应用．x29334 7296 犖31735 7BF7 篷29503 733F 猿30311 7667 癧20935 51C7 凇934330 861A 蘚@/28163 6E03 渃39157 98F5 飵-s26377 6709 有。
2022年高考数学新题好题汇编 第3讲 函数与导数小题(原卷版=解析版)
第3讲函数与导数小题一、多选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()sin 2xxf x e ex -=--，若()()12f x f x >，则（）A ．2212x x >B ．121x x e ->C ．12ln ln x x >D ．1122x x x x >2．（2021·山东高三专题练习）函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e < D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y <3．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数3()3x f x x =+，若01m n <<<，则下列不等式一定成立的有（）A ．(1)(1)f m f n -<-B ．()f f m n <+C ．()()log log m n f n f m <D ．()()nmf mf n <4．（2021·广东湛江市·高三一模）已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（） A ．f (x )的极大值为0 B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴 C ．f (x )的最小值为0D ．f (x )在定义域内单调5．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（） A ．3-B ．1-C ．0D ．26．（2021·全国高三专题练习）已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（）A ．()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为7．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()sin sin xxf x e e=+，以下结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为58．（2021·江苏高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x m '>>，则下列成立的有（）A ．11mf m m -⎛⎫>⎪⎝⎭B ．11f m ⎛⎫<-⎪⎝⎭ C ．1111f m m ⎛⎫>⎪--⎝⎭ D ．101f m ⎛⎫<⎪-⎝⎭9．（2021·全国高三专题练习）设函数cos2cos2()22xx f x -=-，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的一个周期为πD ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称二、单选题10．（2021·广东广州市·高三一模）已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设21323,2,eln 2e ea b c -=-=-=-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()1ln 12xf x e x =+-，若41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭，()5log 6b f =，()6log 4c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>12．（2021·全国高三专题练习）已知函数2()22x xf x x -=++，若不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）A．()-B．(-C．(-D ．(2,2)-13．（2021·江苏常州市·高三一模）若()316,00,0x x f x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．(,1][0,1][3,)-∞-⋃⋃+∞ C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．(,3][1,0][1,)-∞-⋃-⋃+∞14．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）若a ∈R ，“3a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在()0,1上单调递减的是（） A ．()()()ln ln xx xxf x e eee --=+--B ．()1sin sin f x x x=+ C ．()()()ln 1ln 1f x x x =+--D ．()1 xxf x e e =-16．（2021·湖南岳阳市·高三一模）对于函数()y f x =，若存在0x ，使00()()f x f x =--，则点00(,())x f x 与点00(,())x f x --均称为函数()f x 的“先享点”已知函数316,0(),6,0ax x f x x x x ->⎧=⎨-≤⎩且函数()f x 存在5个“先享点”，则实数a 的取值范围为（） A ．(6,)+∞B ．(,6)-∞C ．(0,6)D ．(3,)+∞17．（2020·山东高三专题练习）已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2三、填空题18．（2021·广东韶关市·高三一模）若曲线()21:0C y ax a =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________．19．（2021·全国高二课时练习（理））设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．20．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221ax x f x =-+，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为4，则a =______． 21．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()2ln f x ax x =+满足0(1)(12)lim23x f f x x∆→--∆=∆，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为___________．22．（2021·湖南衡阳市·高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +-=，()f x 的导函数()f x '，则()()20192021f f '--'=___________.第3讲函数与导数小题一、多选题1．（2021·全国高三专题练习）已知函数()sin 2xxf x e ex -=--，若()()12f x f x >，则（）A ．2212x x >B ．121x x e ->C ．12ln ln x x >D ．1122x x x x >【答案】BD 【分析】先分析得到()f x 在R 上单调递增，得到12x x >，由于二次函数2yx 不是单调函数，2212x x >不一定成立，所以选项A 错误；121x x e->，所以选项B 正确；由于函数ln()0ln ln 0x x y x x x -<⎧==⎨>⎩，不是单调函数，所以12ln ln x x >不一定成立.所以选项C 错误；因为函数2200x x y x x x x ⎧-<==⎨≥⎩，函数在R 上单调递增，所以选项D 正确. 【详解】因为()2cos222cos20xxf x e ex x -'=+-≥-≥，所以()f x 在R 上单调递增，由()()12f x f x >可得12x x >，所以121x x e ->，所以选项B 正确；又因为函数220x x y x x x x ⎧-<==⎨≥⎩，函数在R 上单调递增，所以1122x x x x >，所以选项D 正确；由于二次函数2yx 不是单调函数，所以当12x x >时，2212x x >不一定成立，所以选项A 错误；由于函数ln()0ln ln 0x x y x x x -<⎧==⎨>⎩，不是单调函数，所以当12x x >时，12ln ln x x >不一定成立.所以选项C 错误. 故选：BD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是想到利用导数分析得到函数的单调性，研究函数的问题，一般先要通过探究函数的奇偶性、单调性和周期性等，再求解函数问题.2．（2021·山东高三专题练习）函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e < D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y <【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项． 由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25x y k ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】 由ln (),0x f x x x =>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<<，且()f x 在(0,)e 单调递增ln f fe ππ∴<<<∴>，故：B 正确 C ．()f x m =有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m ∴==不妨设120x e x <<<要证：212x x e <，即要证：221222,()e e x x e ef x x x<>∴<在(0,)e 单调递增，∴只需证：()212e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222e f x f x ⎛⎫<⎪⎝⎭只需证：()2220e f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭……① 令2()(),()e g x f x f x e x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则2211()(ln 1)g x x e x '⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当x e >时，2211ln 1,()0()x g x g x e x'>>∴>∴在(,)e +∞单调递增 ()22()0x e g x g e >∴>=，即：()2220e f x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭这与①矛盾，故C 错D ．设25x y k ==，且,x y 均为正数，则25ln ln log ,log ln 2ln 5k kx k y k ====252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ∴== 1152ln 2ln 5ln 2,ln 525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln 2ln 52502525ln 2ln 5x y ∴>>∴<∴<，故D 正确．故选：BD ． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x 的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x ，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．3．（2021·广东深圳市·高三一模）已知函数3()3x f x x =+，若01m n <<<，则下列不等式一定成立的有（）A ．(1)(1)f m f n -<-B ．()f f m n <+C ．()()log log m n f n f m <D ．()()nmf mf n <【答案】BD 【分析】确定函数是增函数，然后比较自变量的大小后可得正确选项． 【详解】易知3()3xf x x =+是R 上的增函数，01m n <<<时，m n +>1n m m n <<成立，BD 一定成立； 1m -与1n -的大小关系不确定，A 不一定成立；同样log m n 与log m n 的大小关系也不确定，如1m n=时，log log 1m n n m ==-，C 也不一定成立． 故选：BD ．4．（2021·广东湛江市·高三一模）已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（） A ．f (x )的极大值为0 B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴 C ．f (x )的最小值为0 D ．f (x )在定义域内单调【答案】BC 【分析】直接对f (x )=x 3-3ln x -1，求出导函数，利用列表法可以验证A 、C 、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可. 【详解】f (x )=x 3-3ln x -1的定义域为()0+∞，，()()23333=1f x x x x x'=-- 令()()23333=1=0f x x x x x'=--，得1x =， 列表得：所以f (x )的极小值，也是最小值为f (1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C 正确，A 、D 错误； 对于B:由f (1)=0及()10f '=，所以y =f (x )在（1，f (1))处的切线方程()001y x -=-，即0y =.故B 正确. 故选：BC 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.5．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()22,21ln 1,1x x f x x x e+-≤≤⎧=⎨-<≤⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解()1212,x x x x <，则()212)x x f x -（的取值可能是（） A ．3- B ．1-C ．0D ．2【答案】BC 【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-，代入()212)x x f x -（，令121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122,e ,(1,0]2m m x x m +-==∈-， 从而()()211212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭． 令121(),(1,0]2x g x xex x x +=-+∈-， 则1()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．因为(1,0]x ∈-，所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤∈-⎥⎝⎦， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤-⎥⎝⎦，故选：BC ． 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数121(),(1,0]2x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.6．（2021·全国高三专题练习）已知函数()2tan f x x x =+，其导函数为()'f x ，设()()cos g x f x x '=，则（）A ．()f x 的图象关于原点对称B ．()f x 在R 上单调递增C ．2π是()g x 的一个周期D ．()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的最小值为【答案】AC 【分析】对A ：求出()f x 的定义域，再利用奇偶性的定义判断即可； 对B ：利用()f x 的导数可判断；对C ：计算(2)g x π+，看是否等于()g x 即可； 对D ：设cos t x =，根据对勾函数的单调性可得最值. 【详解】()2tan f x x x =+的定义域是,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣，其定义域关于坐标原点对称， 且()2tan()2tan (2tan )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 所以()f x 是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，故A 项正确；由()2tan f x x x =+，得22()1cos f x x '=+，则2()()cos cos cos g x f x x x x'==+． 22()10cos f x x '=+>恒成立，所以()f x 在,()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递增，并不是在R 上单调递增，故B 项错误； 由2()cos cos g x x x =+，得函数()g x 的定义域是,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣22(2)cos(2)cos ()cos(2)cos g x x x g x x xπππ+=++=+=+，故C 项正确；设cos t x =，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(0,1)t ∈， 此时()2()h t g x t t==+，(0,1)t ∈，根据对勾函数的单调性，()h t 在(0,1)上单调递减， ()()13g x h ∴>=，故D 项错误.故选：AC ．7．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()sin sin xxf x e e=+，以下结论正确的是（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 最小值为2C ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()()2g x f x x π=-的零点个数为5【答案】ABD 【分析】去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变化情况.()sin sin sin 2,01,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩， 当0x π≤≤，()sin 2cos xf x xe'=，则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()[]2,2f x e ∈；当2x ππ≤≤时，()()sin sin cos xx f x x ee -'=-，则()f x 在3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，此时()12,f x e e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，B 正确.因()f x 在,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误.对于D ，转化为()2f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，22x π<，()2f x x π=无实根.()3,x π∈+∞时，()max 262x e f x π>>=，()2f x x π=无实根，3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，显然x π=为方程之根.()sin sin xx f x ee -=+，()()sin sin cos 0x xf x x e e -'=->，3123322f e e πππ⎛⎫=+>⨯=⎪⎝⎭，单独就这段图象，()302f f ππ⎛⎫'='=⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有3个零点，又5252f e π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合图象，知D 正确.故选：ABD. 【点睛】方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.8．（2021·江苏高三专题练习）若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x m '>>，则下列成立的有（）A ．11mf m m -⎛⎫>⎪⎝⎭B ．11f m ⎛⎫<-⎪⎝⎭ C ．1111f m m ⎛⎫>⎪--⎝⎭D ．101f m ⎛⎫<⎪-⎝⎭【答案】AC 【分析】构造函数()()g x f x mx =-，由已知可得()g x 在R 上单调递增，利用单调性对各个选项进行分析判断即可. 【详解】根据题意设()()g x f x mx =-，其导数为()()g x f x m ''=-， 由()1f x m '>>知()g x 在R 上单调递增，对于A, 1,1,10m m <<>由函数单调性得1(0)g g m ⎛⎫> ⎪⎝⎭即11(0)f m f m m ⎛⎫-⨯> ⎪⎝⎭，即111f m ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，即10f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，又由1m ，则10m m -<,必有11mf m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，故A 正确，B 错误；对于C, 1m ，则101m >-，则有1(0)1g g m ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，即1(0)111m f f m m ⎛⎫->=- ⎪--⎝⎭，即1110111m f m m m ⎛⎫>-=> ⎪---⎝⎭，故C 正确，D 错误； 故选：AC 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，常用解题方法构造新函数，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题.9．（2021·全国高三专题练习）设函数cos2cos2()22xx f x -=-，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称【答案】BC【分析】根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】令cos2t x =，则12222tttt y -=-=-，显然函数12222t t tty -=-=-为增函数， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222tttt y -=-=-在cos2[1,1]t x =∈-时，3322y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 因为cos2()cos2(cos2c )os222)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，所以()f x 的一个周期为π，因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令sin 2sin 22(2)xx h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2)xx h x --=上任意一点，则(,)2P x y π'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2())22sin 2sin 2()22222x x x x h y x y πππ-----=-==≠--，知点(,)2P x y π'--不在函数图象上，故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，即4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称.故选：BC 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.二、单选题10．（2021·广东广州市·高三一模）已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设21323,2,eln 2e ea b c -=-=-=-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A 【分析】 首先设()xf x x e=-，利用导数判断函数的单调性，比较,a b 的大小，设利用导数判断1x e x ≥+，放缩2ln 2c >-，再设函数()ln xg x x e=-，利用导数判断单调性，得()20g >，再比较,b c 的大小，即可得到结果. 【详解】设()x f x x e=-，()112f x e x '=-， 当204e x ≤<时，()0f x '>，函数单调递增，当24ex >时，()0f x '<，函数单调递减，()()3,2a f b f ==，2234e <<时，()()32f f <，即a b <，设1xy e x =--，1xy e '=-，(),0-∞时，0y '<，函数单调递减，()0,∞+时，0y '>，函数单调递增，所以当0x =时，函数取得最小值，()00f =，即1x e x ≥+恒成立， 即212e->，令()ln x g x x e =-，()11g x e x'=-，()0,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，x e =时，函数取得最小值()0g e =，即()20g >，得：2ln 2e >222ln 2e<， 即212ln 22ln 22ee->>，即b c <， 综上可知a b c <<.故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据1x e x ≥+，放缩ln 2c >，从而构造函数()ln xg x x e=-，比较大小. 11．（2021·全国高三专题练习）已知函数()()1ln 12xf x e x =+-，若41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭，()5log 6b f =，()6log 4c f =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，判断函数()f x 为偶函数，再对函数求导判断出函数()f x 在0,上单调递增，然后作差比较45log 5,log 6的大小，可得456log 5log 61log 40>>>>，从而可比较出a ，b ，c 的大小 【详解】由题可知：()f x 的定义域为R ，且()()1ln 12xf x e x --=++()111ln ln 122x x x e x e x e +=+=+-，则()f x 为偶函数，()112x x e e f x =-+'()()2112121x x xx xe e e e e ---==++，当0x >时，0f x，()f x 在0,上单调递增.又由45551log 5log 6log 6log 4-=-5551log 4log 6log 4-⋅=2555log 4log 612log 4+⎫⎛- ⎪⎝⎭≥255log 25120log 4⎫⎛- ⎪⎝⎭>= 所以456log 5log 61log 40>>>>，41log 5a f ⎫⎛= ⎪⎝⎭()()44log 5log 5f f =-=，故a b c >>. 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数的单调性比较大小，考查导数的应用，考查对数运算性质的应用，考查了基本不等式的应用，解题的关键是判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，然后利用单调性比较大小，属于中档题12．（2021·全国高三专题练习）已知函数2()22x x f x x -=++，若不等式()2(1)2f ax f x -<+对任意x ∈R恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()- B ．(-C ．(-D ．(2,2)-【答案】D 【分析】先利用定义确定函数()f x 为偶函数，再利用单调性证明()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以不等式()2(1)2f ax f x -<+化简为212ax x -<+，转化为22212x ax x --<-<+在R 上恒成立，求出a 的取值范围. 【详解】函数2()22x xf x x -=++的定义域为R ，且2()22()xx f x x f x -=-=++，所以()f x 为偶函数.又当0x ≥时, 2()g x x =是增函数，任取[)12,0,x x ∈+∞，且12x x >，()112212()()2222x x x xh x h x ---=++-()()121212121212121112122221222222x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫-⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-=--⎭- 120x x >>，12120,22210x x x x +∴-->>，12()()0h x h x ∴->所以()22-=+x xh x 在[)0,+∞上是增函数，即()y f x =在[)0,+∞上是增函数.所以不等式()2(1)2f ax f x-<+对任意x ∈R 恒成立，转化为212ax x-<+，即22212x ax x --<-<+，从而转化为210x ax ++>和230x ax -+>在R 上恒成立①若210x ax ++>在R 上恒成立，则240a ∆=-<，解得22a -<<；②若230x ax -+>在R 上恒成立，，则2120a ∆=-<，解得a -<< 综上所述，实数a 的取值范围是(2,2)-. 故选：D.方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是： （1）把不等式转化为[][]()()f g x f h x >的模型；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.13．（2021·江苏常州市·高三一模）若()316,00,0x x f x xx ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（） A ．[)1,1][3,-+∞ B ．(,1][0,1][3,)-∞-⋃⋃+∞ C ．[1,0][1,)-⋃+∞ D ．(,3][1,0][1,)-∞-⋃-⋃+∞【答案】B 【分析】按1x =或0，0x <，1x >和01x <<四种情况，分别化简解出不等式，可得x 的取值范围． 【详解】①当1x =或0时，(1)0xf x -=成立；②当0x <时，()3(1601)11x x xf x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-≥，可有()31611x x -≤-，解得1x ≤-； ③当0x >且1x ≠时，()3(1601)11x x xf x x ⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦-≥ 若1x >，则()4116x -≥，解得3x ≥ 若01x <<，则()4116x -≤，解得01x << 所以(,1][0,1][3,)x ∈-∞-⋃⋃+∞则原不等式的解为(,1][0,1][3,)x ∈-∞-⋃⋃+∞， 故选：B14．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）若a ∈R ，“3a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A求得函数的导数，利用导数求得函数的单调性与极值，结合充分条件、必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，函数()()xf x x a e =-，则()()1xf x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-，当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>， 所以函数()y f x =在1x a =-处取得极小值，若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，解得1a >．因此“3a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件．故选：A ．15．（2021·全国高三专题练习）下列函数中，既是奇函数，又在()0,1上单调递减的是（） A ．()()()ln ln xx xxf x e eee --=+--B ．()1sin sin f x x x=+ C ．()()()ln 1ln 1f x x x =+-- D ．()1 xxf x e e =-【答案】B 【分析】利用函数奇偶性的定义判断各选项中函数的奇偶性，利用导数法判断各选项中函数在区间()0,1上的单调性，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由0x x x xe e e e --⎧+>⎨->⎩，解得0x >， 所以，函数()()()ln ln xx xxf x e eee --=+--的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，A 选项不满足条件；对于B 选项，由sin 0x ≠，可得()x k k Z π≠∈，即函数()1sin sin f x x x=+的定义域为{},x x k k Z π≠∈. ()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x-=-+=--=--，该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()322cos cos cos 0sin sin x xf x x x x-'=-=<， 所以，函数()1sin sin f x x x=+在()0,1上单调递减，B 选项满足条件； 对于C 选项，由1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--的定义域为()1,1-，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()21120111f x x x x '=+=>+--，该函数在()0,1上为增函数，C 选项不满足条件； 对于D 选项，函数()1xx f x e e=-的定义域为R ，()()11x x x x f x e e f x e e---=-=-=-，该函数为奇函数，当()0,1x ∈时，()10xx f x e e'=+>，该函数在()0,1上为增函数，D 选项不满足条件.故选：B. 【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元→作差→变形→判断符号→得出结论；（2）图象法：如果函数()f x 是以图象的形式给出或者函数()f x 的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦分解为内层函数()u g x =和外层函数()y f u =，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.16．（2021·湖南岳阳市·高三一模）对于函数()y f x =，若存在0x ，使00()()f x f x =--，则点00(,())x f x 与点00(,())x f x --均称为函数()f x 的“先享点”已知函数316,0(),6,0ax x f x x x x ->⎧=⎨-≤⎩且函数()f x 存在5个“先享点”，则实数a 的取值范围为（） A ．(6,)+∞ B ．(,6)-∞C ．(0,6)D ．(3,)+∞【答案】A 【分析】首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据()f x 存在5个“先享点”，等价于函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的图象恰好与函数1()16(0)f x ax x =->有两个交点，构造函数利用导数求得结果.【详解】依题意，()f x 存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的图象恰好与函数1()16(0)f x ax x =->有两个交点，而函数32()6(0)f x x x x =-≤关于原点对称的函数为32()6(0)f x x x x =-≥，即3166ax x x -=-有两个正根，32166166x x a x x x-+==+-， 令()2166(0)h x x x x=+->， 322162(8)'()2x h x x x x -=-=， 所以当02x <<时，'()0h x <，当2x >时，'()0h x >，所以()h x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，且(2)4866h =+-=，并且当0x →和x →+∞时，()f x →+∞，所以实数a 的取值范围为(6,)+∞，故选：A.【点睛】该题考查的是有关新定义问题，结合题意，分析问题，利用等价结果，利用导数研究函数的性质，属于较难题目.17．（2020·山东高三专题练习）已知函数39,0(),0x x x f x xe x ⎧-≥=⎨<⎩（ 2.718e =为自然对数的底数），若()f x 的零点为α，极值点为β，则αβ+=（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C【分析】令()0f x =可求得其零点，即α的值，再利用导数可求得其极值点，即β的值，从而可得答案．【详解】解：39,0(),0x x x f x xe x ⎧-=⎨<⎩，当0x 时，()0f x =，即390x -=，解得2x =；当0x <时，()0x f x xe =<恒成立，()f x ∴的零点为2α=．又当0x 时，()39x f x =-为增函数，故在[0，)+∞上无极值点；当0x <时，()x f x xe =，()(1)x f x x e '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0f x '>，1x ∴=-时，()f x 取到极小值，即()f x 的极值点1β=-，211αβ∴+=-=．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．三、填空题18．（2021·广东韶关市·高三一模）若曲线()21:0C y axa =>与曲线2:x C y e =存在公共切线，则a 的取值范围为__________． 【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】解：由y =ax 2(a >0),得y ′=2ax ，由y =e x ,得y ′=e x ，曲线C 1:y =ax 2(a >0)与曲线C 2:y =e x 存在公共切线，设公切线与曲线C 1切于点(x 1,ax 12),与曲线C 2切于点()22,x x e ，则22211212x x e ax ax e x x -==-， 可得2x 2=x 1+2，∴11212x e a x +=，记()122x e f x x +=，则()()1222'4x e x f x x +-=，当x ∈(0,2)时,f ′(x )<0,f (x )递减；当x ∈(2,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )递增．∴当x =2时,()2min 4e f x =. ∴a 的范围是2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 19．（2021·全国高二课时练习（理））设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【详解】设00(,)P x y .对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线斜率为－1，由02011x x y x ==-=-'，得01x =，则01y =，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义．20．（2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221ax x f x =-+，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为4，则a =______．【答案】3-【分析】利用奇函数性质，求在0x >时()f x 的解析式，根据导数的几何意义有()14f '=，即可求参数a 的值.【详解】当0x >时，则0x -<，∴()()()222121a x x ax x f x =⋅--⋅-+=++-，此时()()221f x f x ax x =--=---． 所以，当0x >时，()22f x ax '=--，则()1224a f '=--=，解得3a =-．故答案为：3-．21．（2021·河北邯郸市·高三一模）已知函数()2ln f x ax x =+满足0(1)(12)lim 23x f f x x∆→--∆=∆，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为___________． 【答案】3【分析】根据极限形式和求导公式得(1)213f a '=+=，进而得1a =，计算12f ⎛⎫'⎪⎝⎭得解. 【详解】 由0(1)(12)lim23x f f x x ∆→--∆=∆，可得0(12)(1)lim 32x f x f x∆→-∆-=-∆． 因为1()2f x ax x '=+，所以(1)213f a '=+=，即1a =，则2()ln f x x x =+， 所以1()2f x x x '=+，132f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭． 故答案为：3.22．（2021·湖南衡阳市·高三一模）定义在R 上的函数()f x 满足()()21f x f x +-=，()f x 的导函数()f x '，则()()20192021f f '--'=___________.【答案】0【分析】对()()21f x f x +-=两边同时求导得()()20x x f f '-'-=,进而得答案.【详解】因为()()21f x f x +-=，两边同时求导可得：()()20x x f f '-'-=，故()()201902021f f '-='.故答案为：0【点睛】本题考查复合函数导数问题，解题的关键在于根据已知对函数求导，考查运算求解能力，是中档题.。
三年高考高考数学真题分项汇编专题导数及其应用解答题文含解析.doc
专题04导数及其应用(解答题)1.[2019年高考全国I卷文数】已知函数/' (x) =2sinx-xcosx~x, f r (x)为f (x)的导数.(1)证明：f' (x)在区间(0, Jt )存在唯一零点；(2)若xG [0, “]时，f (x) 2ax,求a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2).【解析】(1)设，贝9.当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，故在存在唯一零点.所以在存在唯一零点.(2)由题设知，可得aWO.由(1)知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.又，所以，当时，.又当时，axWO,故.因此，a的取值范围是.【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题•对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.2.【2019年高考全国II卷文数】已知函数.证明：(1)存在唯一的极值点；(2)有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)的定义域为(0, +).因为单调递增，单调递减，所以单调递增，又，,故存在唯一，使得.又当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此，存在唯一的极值点.(2)由(1)知，又，所以在内存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【名师点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值，以及函数零点的问题，属于常考题型.3.[2019年高考天津文数】设函数，其中.(I )若aWO,讨论的单调性；(II)若，(i)证明恰有两个零点；(ii)设为的极值点，为的零点，且，证明.【答案】(I)在内单调递增.；(II) (i)见解析；(ii)见解析.【解析】(I)解：由已知，的定义域为，且因此当aWO时，，从而，所以在内单调递增.(II)证明：(i)由(I )知.令，由，可知在内单调递减，又，且故在内有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，贝山当时，，所以在内单调递增；当时，，所以在内单调递减，因此是的唯一极值点.令，则当时，，故在内单调递减，从而当时，，所以.从而又因为，所以在内有唯一零点.又在内有唯一零点1,从而，在内恰有两个零点.(ii)由题意，即从而，即.因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是整理得.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法. 考查函数思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.4.[2019年高考全国III卷文数】己知函数.(1)讨论的单调性；(2)当0〈a〈3时，记在区间[0, 1]的最大值为必最小值为皿，求的取值范围.【答案】(1)见详解；(2).【解析】(1).令，得尸0或.若Q0,则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减；若沪0,在单调递增；若以0,则当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.(2)当时，由(1)知，在单调递减，在单调递增，所以在［0,1］的最小值为，最大值为或.于是所以当时，可知单调递减，所以的取值范围是.当时，单调递增，所以的取值范围是.综上，的取值范围是.【名师点睛】这是一道常规的导数题目，难度比往年降低了不少•考查函数的单调性，最大值、最小值的计算.5.［2019年高考北京文数】已知函数.(I )求曲线的斜率为1的切线方程；(II)当时，求证：；(III)设，记在区间上的最大值为％ (a),当M (a)最小时，求a的值.【答案】(I )与；(II)见解析；(III).【解析】(I )由得.令，即，得或.又,，所以曲线的斜率为1的切线方程是与，即与.(II)令.由得.令得或.的情况如下：所以的最小值为，最大值为.故，即.(III)由(II)知，当时，；当时，；当时，.综上，当最小时，.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.[2019年高考浙江】己知实数，设函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)对任意均有求的取值范围.注：e=2. 71828…为自然对数的底数.【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；(2).【解析】(1)当时，.所以，函数的单调递减区间为(0, 3),单调递增区间为(3, +).(2)由，得.当时，等价于.令，则.设，贝y.(i)当时，，贝IJ记，则所以，.因此，.(ii)当时，.令，则，故在上单调递增，所以.由(i)得,.所以，.因此.由(i) (ii)知对任意，，即对任意，均有.综上所述，所求a的取值范围是.【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.(4)考查数形结合思想的应用.7.[2019年高考江苏】设函数、为f 3的导函数.(1)若EFb=c, f (4) =8,求a 的值；(2)若a^b, I FC,且f 3和的零点均在集合中，求f(x)的极小值；(3)若，且/• (x)的极大值为必求证:辰.【答案】(1);(2)见解析；(3)见解析.【解析】(1)因为，所以.因为，所以，解得.(2)因为，从而.令，得或.因为都在集合中，且,所以.此时，.令，得或.列表如下:所以的极小值为.(3)因为，所以，因为，所以，则有2个不同的零点，设为. 由，得.列表如下：所以的极大值.解法一：.因此.解法二：因为，所以.令，则.令，得.列表如下:所以当时，取得极大值，且是最大值，故.所以当时，，因此.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.8.[2018年高考全国III卷文数】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：当时，.【答案】(1); (2)见解析.【解析】(1),.因此曲线在点处的切线方程是.(2)当时，.令，则.当时,，单调递减；当时,，单调递增；所以.因此.【名师点睛】本题考查函数与导数的综合应用，第一问由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当时，，令，求出的最小值即可证明.9.[2018年高考全国I卷文数】已知函数.(1)设是的极值点，求，并求的单调区间；(2)证明：当时，.【答案】(1)在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增；(2)见解析.【解析】(1)f (x)的定义域为，f ' (x) =ae* _ .由题设知，f ' (2) =0,所以a=.从而f (x) =, f ' (x)=.当0〈x〈2 时，f ' (x) <0；当x>2 时，f ' (x) >0.所以f 3在(0, 2)单调递减，在(2, +8)单调递增.(2)当a三时，/' (x) 5*.设g (x)=,贝l|当0〈x〈l时，g f (x) <0；当x>l时，g，(x) >0.所以是g(x)的最小值点.故当x>0 时，g (x) 2g (1) =0.因此，当时，.【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.10.[2018年高考全国II卷文数】已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)证明：只有一个零点.【答案】(1)在(-8, ) , (, +8)单调递增，在(，)单调递减；(2)见解析.【解析】(1)当a=3 时，f(X)=, f (x)=.令f' (x) =0解得尸或_¥=.当xW (-8, ) u (, +8)时，f' (x) >0；当xW (,)时，f' (x)〈0.故f(X)在(-8, ) , (, +OO)单调递增，在(，)单调递减.(2)由于，所以等价于.设=,则g ' (x)=》0,仅当尸0时g ' (x) =0,所以g(Q在(-8, +OO)单调递增.故g(X)至多有一个零点，从而f(X)至多有一个零点.又 /' (3a - 1)=,f (3a+l)=,故f 5有一个零点.综上，f 3只有一个零点.【名师点睛】(1)用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()的定义域；②求导数'();③由’（）＞0（或气）＜0）解出相应的的取值范围，当'（）＞耐，（）在相应区间上是增函数；当’（）＜勿寸，（）在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数（）有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.11.【2018年高考北京文数】设函数.（I ）若曲线在点处的切线斜率为0,求a；（II ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（I ）; （II）•【解析】（I ）因为，所以.由题设知，即，解得.（II）方法一：由（I）得.若a＞l,则当时，；当时，.所以在尸1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当沪0时，令得尸1.随x的变化情况如下表：.•.在尸1处取得极大值，不合题意.（2）当a＞0时，令得.%1当，即a=l时,,.•.在上单调递增，.•.无极值，不合题意.%1当，即0<3<1时，随X的变化情况如下表:•••在尸1处取得极大值，不合题意.%1当，即a〉l时，随x的变化情况如下表:在A=1处取得极小值，即3>1满足题意.(3)当a〈0时，令得.随x的变化情况如下表：在尸1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【名师点睛】导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数的单调性或求单调区间问题；③ 利用导数求函数的极值、最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值、最值问题时常会涉及分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.12.【2018年高考天津文数】设函数，其中，且是公差为的等差数列.(I)若求曲线在点处的切线方程；(II)若，求的极值；(III)若曲线与直线有三个互异的公共点，求d的取值范围.【答案】(I) x+尸0； (II)函数f(x)的极大值为6；函数f(x)的极小值为-6； (III) d的取值范围为.【解析】(I )解：由已知，可得f(x)=x(旷1) (x+l)=xj¥,故=3/-1,因此f(0)=0, =-1,又因为曲线尸f3在点(0, /■(()))处的切线方程为厂/<0)= (T),故所求切线方程为x+y=0.(II )解：由已知可得f(x)=(尸仍+3) (x~t2)3—9 lx~t為=X3-3hx + ^i尸&3+9 ti.故=3/-6 fo^-3122~9.令=0,解得x^tir,或A=fa+.当x变化时，，f(x)的变化如下表：所以函数的极大值为/(fo-) = (-) J-9X (-)=6；函数f(x)的极小值为Afe+) = ()3-9X ()=-6.(Ill)解：曲线y=f{x)与直线y=-(A^fe)-6有三个互异的公共点等价于关于x的方程^x~t2+d) (j*-t2) {x~t2 -4 +(旷紡+ 6=0有三个互异的实数解，令iFFti,可得u3+(l-d)屮6=0.设函数g(x)=f+(l-d)x+6,则曲线y=f{x)与直线尸-(旷&)-6有三个互异的公共点等价于函数y=g(x) 有三个零点.=3/+(W).当</Wl时，M0,这时在R上单调递增，不合题意.当/〉1时，=0,解得必=,应=.易得，£(X)在(-8, Xi)上单调递增，在［xi,应］上单调递减，在(&, +8)上单调递增.g(x)的极大值g(xJ=g()=>0.g(x)的极小值gg) =&()=-.若g(Q$0,由g(x)的单调性可知函数尸g(x)至多有两个零点，不合题意.若即，也就是，此时，且，从而由的单调性，可知函数在区间内各有一个零点，符合题意.所以，的取值范围是.【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.13.[2018年高考浙江】已知函数f(x)= -lnx.(I)若/'(x)在尸卫，X2(XI H X2)处导数相等，证明：f(xj+f(x2)〉8-81n2；(II )若aW3-41n2,证明：对于任意Q0,直线y=kx+a与曲线y=f{x)有唯一公共点.【答案】(I)见解析；(II)见解析.【解析】(I )函数f (力的导函数，由得，因为，所以.由基本不等式得.因为，所以.由题意得.设，则，所以所以g(x)在E256, +8)上单调递增，故，即.(II )令沪，/?=,贝Uf(77?) - km~ a>\a\+k~ k~ a^O,f (n) - kn~ a〈W〈0,所以，存在及丘 5, n~)使/"(X。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。
专题03 导数及其应用专项高考真题总汇(带答案与解析)
专题03导数及其应用（选择题、填空题）1．【2021·全国高考真题】若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（）A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e ab <<【答案】D【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；解法二：画出曲线x y e =的图象，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.【解析】在曲线x y e =上任取一点(),tP t e，对函数xy e=求导得e x y '=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-，即()1tty e x t e =+-，由题意可知，点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上，可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-，令()()1tf t a t e =+-，则()()tf t a t e '=-.当t a <时，()0f t '>，此时函数()f t 单调递增，当t a >时，()0f t '<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max af t f a e ==，由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max ab f t e <=，当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点.故选：D.解法二：画出函数曲线x y e =的图象如图所示，根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x 轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选：D.【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.2．【2021·浙江高考真题】已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【解析】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.3．【2021·全国高考真题（理）】设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c a b<<【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 11f x x =+-,()()ln 121g x x =+-，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系.【解析】()()2222ln1.01ln1.01ln 10.01ln 120.010.01ln1.02a b ===+=+⨯+>=,所以b a <;下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+-,则()00f =,()2121xf x x --='=+由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x+-+>,()1x >+,()0f x '>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100ff >=,即2ln1.011>,即a c >;令()()ln 121g x x =+-,则()00g =,()212212x g x x --==+',由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100gg <=,即ln1.021<,即b <c ;综上，b c a <<,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.4．【2021·全国高考真题（理）】设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b <B ．a b>C ．2ab a <D ．2ab a >【答案】D【分析】结合对a 进行分类讨论，画出()f x 图象，由此确定正确选项.【解析】若a b =，则()()3f x a x a =-为单调函数，无极值点，不符合题意，故a b ¹.依题意，x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，当0a <时，由x b >，()0f x ≤，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a <，0a <，故2ab a >.当0a >时，由x b >时，()0f x >，画出()f x 的图象如下图所示：由图可知b a >，0a >，故2ab a >.综上所述，2ab a >成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.5．【2021·全国高考真题（理）】曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【解析】由题，当1x =-时，3y =-，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．6．【2021·全国高考真题】函数()212ln f x x x =--的最小值为______.【答案】1【分析】由解析式知()f x 定义域为(0,)+∞，讨论102x <≤、112x <≤、1x >，并结合导数研究的单调性，即可求()f x 最小值.【解析】由题设知：()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞，∴当102x <≤时，()122ln f x x x =--，此时()f x 单调递减；当112x <≤时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=-≤，此时()f x 单调递减；当1x >时，()212ln f x x x =--，有2()20f x x'=->，此时()f x 单调递增；又()f x 在各分段的界点处连续，∴综上有：01x <≤时，()f x 单调递减，1x >时，()f x 单调递增；∴()(1)1f x f ≥=故答案为：1.7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【答案】B【解析】()432f x x x =- ，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.8．【2020年高考全国III 卷理数】若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D【解析】设直线l在曲线y =上的切点为(0x ，则00x >，函数y =的导数为y '=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.10．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤--= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号，∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立，令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =，∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e].故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.11．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0.故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．12．【2020年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】()()f b f a b a ---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．④错误；在2t 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.13．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．14．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是▲.【答案】4【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =舍去），∴曲线4(0)y x x x =+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，最小值为4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e 1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．16．【2019年高考北京理数】设函数()e e x xf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e x x f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e x x x x a a --+=-+，即()()1e e 0x x a -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xx f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.。
高考文科数学导数真题汇编(带答案)
高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。
8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。
9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。
11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。
解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。
2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。
解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。
专题03 导数计算(解析版)-高考数学计算题型精练(新高考通用版)
导数计算1．求下列函数的导数：(1)cos sin cos xy x x -=；(2)221e x y x +=.【答案】(1)()21sin cos x x --；(2)()222141exx ++【详解】（1）()()()()22sin sin cos cos sin cos 1sin cos sin cos x x x x x xy x x x x ---+'==---；（2）()()22221221221e 21e 41e xx x y x x x +++''=++=+.2．求下列函数的导数．(1)()()221f x x =-+；(2)()()ln 41f x x =-；(3)()322x f x +=；(4)()f x =；【答案】(1)84x -(2)441x -(3)3232ln2x +⨯【详解】（1）因为()()2221441f x x x x =-+=-+，所以()84f x x '=-.（2）因为()()ln 41f x x =-，所以()441f x x '=-.（3）因为()322x f x +=，所以()3232ln2x f x +'=⨯（4）因为()f x =，所以()f x '==3．求下列函数的导数：(1)32235y x x =-+；(2)241y x x =++；(3)2log y x =；(4)e n xy x =；(5)31sin x y x-=；(6)sin sin cos xy x x=+．【答案】(1)266x x -(2)()22241x x ----+(3)1ln 2x (4)()1e n xx n x -+(5)()2323sin 1cos sin x x x x x--(6)11sin 2x+【详解】（1）()()32223566y x x x x ''''=-+=-.（2）()()()22242411y x x x x ''--'=+=+++()22241x x --=--+.（3）()21log ln 2y x x ''==.（4）()()()11e e e e e n x n x n x n x n x y x x nx x x n x --'''=+=+=+.（5）()()()()33321sin 1sin 1sin sin x x x x x y x x '''---⎛⎫-'== ⎪⎝⎭()2323sin 1cos sin x x x x x --=.（6）()sin sin cos x y x x ''=+()()()()2sin sin cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x ''+-+=+()()()2cos sin cos sin cos sin sin cos x x x x x x x x +--=+()2111sin 2sin cos x x x ==++．4．求下列函数的导数：（1）1)1y ⎫=+-⎪⎭；（2）3ln (0,1)x y x a a a =+>≠；（3）sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）2ln(23)1x y x +=+.【答案】（1）11y x ⎫'=+⎪⎭；（2）3ln (0xy a a a x '=+>且1)a ≠；（3）1sin 42cos 42y x x x --'=；（4）y '()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++【详解】（1）1)11y ⎫==-=⎪⎭，11y x '⎛⎫'∴===+⎪⎭⎝.（2）()'33ln ln (0,1)xxy x aa a a a x=+=+>≠'.（3）11sin 2cos 2sin(4)sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，111sin 44cos 4sin 42cos 4222x x x x x x y '∴=--⋅=--.（4）()()()2222[ln(23)]1ln(23)11x x x x y x ''++-++'=+()()222(23)12ln(23)231x x x x x x '+⋅+-++=+()()222212(23)ln(23)(23)1x x x x x x +-++=++.5．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；（3）sin cos 22x y xx =-；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln +='+x y x x ；（3）11cos 2y x '=-.【详解】（1）因为23cos =+y x x ，所以6sin =-'y x x ；（2）因为()1ln =+y x x ，所以1ln +='+x y x x；（3）因为1sin cos sin 222y x x x x x =-=-，所以11cos 2y x '=-；6．求下列函数的导数．（1）22y x x -=+；（2）2ln 1xy x =+【答案】（1）322y x x -=-'；（2）()()22112ln 1x x xy x-+'=+【详解】（1）322y x x -=-'；（2）()()()()()22222212ln ln 1ln 111x x xx x x x x y xx ⎛⎫+-'' ⎪+-+⎝⎭'==++()()()2222112ln 12ln 11x x x x x x x x x -+-+==++.7．求下列函数的导数：（1）2()(1sin )(1)f x x x =+-；（2）()31x xf x x =-+.【答案】（1）()2cos 12(1sin )x x x x --+；（2）213ln 3(1)x x -+.【详解】（1）22()(1sin )(1)(1sin )(1)f x x x x x '''=+-++-2cos (1)(1sin )(2)x x x x =-++-()2cos 12(1sin )x x x x =--+（2）()((3)1x xf x x '''=-+2()(1)(1)3ln 3(1)x x x x x x ''+-+=-+213ln 3(1)x x =-+.8．求下列函数的导数：（1）22log (3);y x x =（2）cos(21).x y x+=【答案】（1）22log (3).ln 2x y x x '=+（2）()22sin 21cos(21).x x x y x -+-+'=【详解】(1)[]2222()log (3)log (3)y x x x x '''=+2232log (3)3ln 2x x xx =+22log (3)ln 2xx x =+.(2)[]2cos(21)cos(21)x x x x y x''+-+'=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.9．求下列函数的导数：(1)111x y x x+=+-；(2)ln(21)y x x =+．【答案】(1)22221(1)x x y x x +-'=-(2)2ln(21)21xy x x '=+++．【详解】(1)2222(1)(1)(1)121(1)(1)x x y x x x x --+⨯-'=-=---22221(1)x x x x +-=-；(2)12ln(21)2ln(21)2121xy x x x x x '=++⋅⋅=++++．10．求下列函数的导数：(1)()ln 21x y x+=；(2)()ln 25y x =-；(3)sin 2cos 222y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)()()()2221ln 2121x x x y x x-++'=+(2)225y x '=-(3)1sin 42cos 42y x x x --'=【详解】（1）()()()()()2221ln21ln 21ln 21ln 2121x x x x x x x x x y x x x '+'⋅-+''+-+⎡⎤+⎡⎤⎣⎦+'===⎢⎥⎣⎦()()()()222ln 21221ln 212121xx x x x x x x x -+-+++==+．（2）令25u x =-，ln y u =，则()112ln 222525y u u u x x '''=⋅=⋅=⋅=--．（3）因为()11sin 2cos 2sin 4sin 42222y x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()11111sin 4sin 4sin 44cos 4sin 42cos 422222y x x x x x x x x x x''⎛⎫⎛⎫=-+-=--⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'．11．求下列函数的导函数．(1)324ln 1y x x x =+-+；(2)24cos 2xy x -=+；(3)21e sin +=x y x ．【答案】(1)21122x x x +-(2)()()2222sin 2cos 82x x x x x x ++-+(3)()212sin cos e x x x ++【详解】（1）'21122y x x x=+-；（2）()()()()()22'2222sin 224cos 2sin 2cos 822x x x x xx x x xy xx+--++-==++；（3）()'2121212e sin e cos 2sin cos e x x x y x x x x +++=+=+.12．求下列函数的导数.（1）(11y⎛=+ ⎝；（2）ln xy x=.【答案】（1）'y =，（2）'21ln x y x -=【详解】解：（1）因为(11221111y x x-⎛=+==- ⎝，所以31'22211111)22222x y x x x --+=--=-=-，（2）由ln x y x =，得'21ln x y x -=13．求下列函数的导数：(1)5log 2y x =；(2)8x y =；(3)cos 2y x =；(4)()432y x =．【答案】(1)1ln 5y x '=(2)8ln8x y '=(3)2sin 2y x '=-(4)1013323y x =【详解】（1）555log 2log 2log x x =+ 1ln 5y x '∴=（2）8ln8x y '=（3）令2,t x =则cos y t =()()()cos 2cos 2sin 22sin 2x t x y y t x t x t x''''''∴=⋅⇒=⋅=-⨯=-，故2sin 2y x '=-（4）()10444414313333334222233y x x y xx -'==⋅∴=⨯= 14．求下列函数的导数：（1）8y x =；（2）4x y =；（3）3log y x =；（4）sin(2y x π=+；（5）2e y =.【答案】（1）'78y x =；（2）'4ln 4x y =⋅；（3）'1ln 3y x =⋅；（4）'sin y x =-；（5）'0y =.【详解】（1）8y x =,'78y x =；（2）4x y =，'4ln 4x y =⋅；（3）3log y x =,'1ln 3y x =⋅；（4）sin()cos 2y x x π=+=，'sin y x =-；（5）2e y =，'0y =.15．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)ln y x =；(5)cos y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x'=-(3)3ln 3xy '=(4)1y x '=(5)sin y x '=-【详解】（1）()121112y x x ''==（2）()4545144y x x x x --'⎛⎫''===-=- ⎪⎝⎭（3）()ln 333x x y ''==（4）()1ln y x x''==（5）()cos sin y x x''==-16．求下列函数的导函数(1)4235+6y x x x =--；(2)21y x x=+；(3)2cos y x x =；(4)tan y x =【答案】(1)3465y x x =--'；(2)321y x '=-；(3)22cos sin y x x x x -'=；(4)21cos y x'=【详解】（1）由4235+6y x x x =--，则3465y x x =--'；（2）由21y x x =+，则321y x '=-；（3）由2cos y x x =，则22cos sin y x x x x -'=；（4）由sin tan cos x y x x ==，则2222cos sin 1cos cos x x y x x+'==.17．求下列函数的导函数.（1）()3224f x x x =-+；（2）()32113f x x x ax =-++（3）()cos ,(0,1)f x x x x =+∈；（4）2()3ln f x x x x =-+-（5）sin y x =；（6）11x y x +=-【答案】(1)2()68f x x x =-+(2)2()2f x x x a'=-+(3)()sin 1f x x '=-+(4)1()23f x x x'=--+(5)cos y x '=(6)22(1)y x '=--【详解】解：（1）由()3224f x x x =-+，则()'268f x x x =-+；（2）由()32113f x x x ax =-++，则()'22f x x x a =-+；（3）由()cos ,(0,1)f x x x x =+∈，则()1sin ,(0,1)f x x x =-∈；（4）由2()3ln f x x x x =-+-，则'1()23f x x x=-+-；（5）由sin y x =，则'cos y x =；（6）由11x y x +=-，则'''22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x +⨯--+⨯-==---.18．求下列函数的导数：（1）221()(31)y x x =-+；（2）cos x y e x =；【答案】（1）y ′＝18x 2＋4x －3；（2）y ′＝ex (cos x －sin x ).【详解】（1）2222(21)(31)(21)(31)4(31)3(21)1843y x x x x x x x x x '''=-++-+=++-=+-，（2）()cos (cos )cos sin (cos sin )x x x x x y e x e x e x e x e x x '''=+=-=-.19．求下列函数在指定点处的导数．(1)()πf x x =，1x =；(2)()sin f x x =，π2x =．【答案】(1)π(2)0【详解】(1)解：因为()πf x x =，所以()1f x x ππ-'=，所以()1f π'=.(2)解：因为()sin f x x =，所以()cos f x x '=，所以cos 022f ππ⎛⎫'== ⎪⎝⎭.20．求下列函数的导数.(1)12y x =；(2)41y x=；(3)3x y =；(4)5log y x =.【答案】(1)1112y x '=(2)54y x '=-(3)3ln3xy '=(4)1=ln5y x '【详解】（1）12y x =，则1112y x '=（2）441y x x -==，则41544y x x --'-==-（3）3x y =，则3ln3x y '=（4）5log y x =，则1=ln 5y x '21．求下列函数的导数：（1）23cos =+y x x ；（2）()1ln =+y x x ；【答案】（1）6sin =-'y x x ；（2）1ln 1y x x'=++【详解】解：（1）因为23cos =+y x x所以()()23cos 6sin y x x x x '''=+=-，即6sin =-'y x x（2）因为()1ln =+y x x所以()()()()111ln 1ln ln 1ln 1y x x x x x x x x x '''=+++=++⋅=++，即1ln 1y x x'=++22．求下列函数的导数.(1)()()22331y x x =+-；(2)1sin 1cos xy x-=+.【答案】(1)21849y x x '=-+(2)21cos sin (1cos )'--+=+x x y x 【详解】（1）解：因为326293y x x x =-+-，所以21849y x x '=-+（2）()()2cos (1cos )1sin sin (1cos )x x x x y x -+---=+'，21cos sin (1cos )x xx --+=+.23．求下列函数的导数.(1)()()ln sin f x x x x =+；(2)()()521exx f x +=.【答案】(1)()ln sin cos 1f x x x x x '=+++(2)()()()42192e xx x f x +-'=【详解】（1）()()()1ln sin ln sin ln sin cos f x x x x x x x x x x x x ⎛⎫'''=+++=+++ ⎪⎝⎭ln sin cos 1x x x x =+++.（2）()()()()()()454525e 212121e 102121e e x x x xx x x x x f x '++-++-+'==()()()()442110212192e ex xx x x x +--+-==.24．求下列函数的导数：(1)()2sin 2x f x x x=+(2)()()3e ln 24xf x x =+【答案】(1)()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x x x +-+'=+(2)()()33e 3e ln 224xxf x x x =+++'【详解】（1）()2sin 2xf x x x=+，()()()()222cos 2sin 222x x x x x f x xx +-+'=+（2）()()3e ln 24xf x x =+，()()()3333e 3e ln 242242e 3e ln 24x xxxx f x x x x '=++++=++.25．求下列函数的导数：(1)()f x =(2)()cos 21x y x+=.【答案】(1)21x x +(2)()()22sin 21cos 21x x x x -+-+（2）求商的导数，[]2()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，由复合函数的的导数得[]cos(21)sin(21)(21)2sin(21)x x x x ''+=-++=-+ .【详解】（1）因为()f x =所以()()122'211221x x x f x x -+⋅===+'.（2）()()()'2cos 21cos 21x x x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦''=()22sin 21cos(21)x x x x -+-+=.26．求下列函数的导函数.(1)()()22331y x x =+-；(2)233x y x +=+.【答案】(1)21849x x -+(2)()222633x x x--++【详解】（1）()()22331y x x =+- ，()()()()()()2222233123314313231849y x x x x x x x x x '''∴=+-++-=-++=-+；（2）233x x y +=+ ，()()()()()()()()()2222222222333332363333x x x x x x x x x xxxy ''∴++-+++-+--+=='=+++.27．求下列函数的导数:(1)32234y x x =--；(2)ln xy x=.【答案】(1)266x x -(2)21ln x x -【详解】（1）322(2)(3)(4)66y x x x x ''''=--=-（2）()2221ln ln ln ()1ln x xx x x x x x y x x x ⋅-''⋅-⋅-'===28．求下列函数的导数：(1)31x x y e-=(2)ln(52)y x =+(3)cos(21)x y x +=【答案】(1)3231e x x x y -+'+=(2)552y x '=+(3)22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-【详解】（1）∵31xx y e-=，则()()()()()()''333232221e 1e 31e 31e e e x xxxx xx x xx x x y ----++-++==='，故3231e xx x y -+'+=.（2）设52u x =+，则ln ,52u y u u x ==+，则()()()()''''15ln 52552u y y u u x u x '==+=⨯=+，故552y x '=+.（3）∵cos(21)x y x+=，则[]()2222sin(21)cos(21)2sin(21)cos(cos(21)cos 2121)x x x x x x y x x x x x x x ''+⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'==-+-++++=-，故22sin(21)cos(21)x x x y x +++'=-.29．求下列函数的导数.(1)n 1l y x x =+;(2)sin cos 22x y x x =-；(3)cos ex xy =【答案】(1)211y x x '=-.(2)11cos 2y x '=-(3)sin cos e x x x y +'=-.【详解】（1）22111(ln )(y x x x x''=+=-；（2）由已知1sin 2y x x =-，所以11cos 2y x '=-；（3）22(cos )e cos (e )sin e cos e sin cos (e )e e x x x x x x xx x x x x xy ''--⋅-⋅+'===-．30．求下列函数的导数：(1)21y x x=+；(2)e sin x y x =；(3)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()e sin cos x y x x '=+(3)y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x（2）解：()()()e sin e sin e sin e cos e sin cos x x x x x y x x x x x x '''=+=+=+（3）解：()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .31．()2ln 3=+y x x x ．【答案】y '=()223ln 33x x x x ++++【详解】()()22ln 3ln 3y x x x x x x '⎡⎤''=+++⎣⎦()()221ln 3233x x x x x x =++⋅⋅++()223ln 33x x x x +=+++.32．21y x x =+；【答案】312y x -=-'【详解】221y x x x x-=+=+，()2312y x x x --'''=+=-.33．求下列函数的导数(1)2(2)(31)y x x =-+；(2)2cos 2x y x=【答案】(1)2272411y x x '=--(2)y '222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=【详解】（1）因为2232(2)(31)(2)(961)912112y x x x x x x x x =-+=-++=---，所以()()()32291211272411y x x x x x ''''=--=--（2）222222()cos 2(cos 2)2cos 2(2sin 2)cos 2(cos 2)(cos 2)x x x x x x x x x y x x x '''⎛⎫---'=== ⎪⎝⎭222cos(2)2sin(2)(cos 2)x x x x x +=34．求下列函数的导数(1)()2112f x x x x=--；(2)()e ln sin x f x x x =++【答案】(1)()3221x x f x x -+'=；(2)()1e cos xf x x x '=++【详解】（1）解：因为()2112f x x x x =--，则()3222111x x f x x x x -+=-+='.（2）解：因为()e ln sin x f x x x =++，则()1e cos xf x x x'=++.35．求下列函数的导数.(1)ln(21)y x =+；(2)sin cos x y x=；(3)()2ln 1y x x =+；(4)1()23()()y x x x =+++.【答案】(1)221y x '=+；(2)21cos y x ='；(3)()2222ln 11x x xy +++'=；(4)231211y x x =++'.【详解】（1）函数ln(21)y x =+，所以()12212121y x x x '=⋅+=++'.（2）函数sin cos x y x =，所以()()''22222sin cos sin cos cos sin 1cos cos cos x x x x x x y x x x -+=='=.（3）函数2)ln(1y x x =+，所以22222212ln(1(1)())ln 111x x x x x x y x '++⋅⋅+=++++'=.（4）依题意，32123()()()6116y x x x x x x ==++++++，所以231211y x x =++'.36．求下列函数的导函数．(1)()4ln =+f x x x ；(2)()sin cos =-x f x x x；(3)()21e xf x -=．【答案】(1)31()4f x x x '=+；(2)()2cos sin sin x x xf x x x'-=+；(3)21()2e x f x '-=.【详解】（1）31()4f x x x '=+；（2）()2cos sin sin x x xf x x x'-=+.（3）2121(21()e )e 2x x x x f --'==⋅-'.37．求下列函数的导数.(1)y =(2)()()()123y x x x =+++；(3)y =【答案】(1)52322332sin cos 2x x x x x x y ---=-+-+'；(2)231211y x x =++'；(3)()221y x '=-【详解】（1） 13523222sin sin x x x x y x x x x -++==++∴()()3322sin y x x x x --'⎛⎫'''=++ ⎪⎝⎭52322332sin cos 2x x x x x x ---=-+-+.（2） ()()2323236116y x x x xx x =+++=+++，∴231211y x x =++'.（3）21y x===-∴()()()222122111y x x x '-'⨯-⎛⎫=== ⎪-⎝⎭--.38．求下列函数的导数：(1)()()311y x x =--；(2)sin 3y x =；(3)21ex x y +=．【答案】(1)32431y x x =--'；(2)3cos 3y x ='；(3)221e xx x y -+'=-【详解】（1）()()()()()()''3332321111131431y x x x x x x x x x =--+--=-+--'=-；（2）令3u x =，则sin y u =，所以()()''3sin 3cos 3cos3y x u u x =⋅=='；（3）()()()()()()''2222221e 1e 2e 1e 21e e e x xx xxx xxx x x x x y +-+-+-+=='=-．39．求下列函数的导数：(1)πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)()2ln 35y x =+．【答案】(1)21πcos 0,cos 2y x x x ⎛⎫'=+∈ ⎪⎝⎭；(2)()2223563535x x y x x '+'==++【详解】（1）πsin tan 0,2y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()22cos cos sin sin sin 1πsin cos cos ,0,cos cos 2cos x x x x x y x x x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫⎛⎫''=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()2ln 35y x =+()2223563535x xy x x '+'==++40．求下列函数的导数：(1)21y x x =+；(2)()2ln 3=+y x x x ．【答案】(1)312y x -=-'(2)()223ln 33x x x x ++++【详解】（1）解：()331212--=+-⋅=-'y x x ；（2）()()()22223()ln 3ln 3ln 33+'⎡⎤'=+++=++'⎣⎦+x y x x x x x x x x x .41．求下列函数的导数．(1)()2ln 2xx f x x +=；(2)()()3ln 45f x x =+．【答案】(1)()312ln ln 222xx x x -+-；(2)1245x +【详解】（1）函数()2ln 2xx f x x +=的定义域为()0+∞，.所以()()()()()()22232ln 2ln 212ln ln 222xxxx x x x x x f x x x ''+-+-+-'==（2）函数()()()3ln 453ln 45f x x x =+=+的定义域为54⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，.所以()()'345124545x f x x x +==++'42．求下列函数的导数：(1)()2321cos y x x x =++；(2)2y =(3)18sin ln y x x x =+-；(4)32cos 3log xy x x x =-；(5)33sin 3log xy x x =-；(6)e cos tan x y x x =+．【答案】(1)()2(62)cos 321sin x x x x x +-++；(2)132291122x x --+；(3)17118cos x x x+-；(4)()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x ---；(5)()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x +-⋅；(6)21e cos e sin cos x xx x x-+.【详解】（1）()()()22321cos 321cos y x x x x x x '''=+++++⋅()2(62)cos 321sin x x x x x =+-++.（2）3122235y x x x -==+-+，所以1222213331311222912y x x x x --'=⨯⋅+-⋅=-+.（3）17118cos y x x x'=+-.（4）()()()()332cos 2cos 3log log x x y x x x x x x'⎡⎤''''=+-+⎢⎥⎣⎦()332ln 2cos 2sin 3log 3log e x x x x x =---.（5）()()13sin 3sin 3ln 3x xy x x x '''=+-⋅()313ln 3sin 3cos 3log e x x x x x=+-⋅.（6）sin e cos tan e cos cos x xxy x x x x=+=+，故()()()()2sin cos cos sin e cos e cos cos x x x x x xy x x x''-'''=+⋅+21=e cos e sin cos x x x x x-+.43．求下列函数的导数：(1)2e axbxy -+=；(2)2sin(13)y x =-；(3)y(4)y =(5)2lg sin 2x y x ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(6)221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．【答案】(1)2(2)eax bxax b -+-+(2)6cos(13)x --(3)()()()231cos 2sin 22ln 213x x x x x --+⋅+⋅+(4)cos 2(1sin )x x +(5)22cos 122lg e 2sin 2x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+⋅⋅ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭(6)22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【详解】（1）因为函数2e axbxy -+=可以看做函数e u y =和2u ax bx =-+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2e u ax bx ''=⋅-+()e 2u ax b =⨯-+2(2)e axbxax b -+=-+；（2）因为函数2sin(13)y x =-可以看做函数2sin y μ=和13u x =-的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅()()2sin 13x μ''=⋅-()2cos 3μ=⨯-6cos(13)x =--；（3）因为函数y =y =()cos 2xu x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xu x y y u '''=⋅，又因为函数()cos 2xu x =+可以看做函数cos t μ=和2x t x =+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，xt x t μμ'''=⋅所以x u t xy y u t ''''=⋅⋅()()cos2xt x'''=⋅⋅+()()231sin2ln213xtμ-⎛⎫=⨯-⨯+⎪⎝⎭()()()231cos2sin22ln213x x xx x-⎡⎤=+-+⨯+⎣⎦()()()231cos2sin22ln213x x xx x-=-+⋅+⋅+；（4）函数y=()1ln1sin2y x=+因为函数()1ln1sin2y x=+可以看做函数1ln2yμ=和1sinu x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，所以x u xy y u'''=⋅()1ln1sin2xμ'⎛⎫'=⋅+⎪⎝⎭1cos2xμ⎛⎫=⨯⎪⎝⎭cos2(1sin)xx=+；（5）因为函数2lg sin2xy x⎡⎤⎛⎫=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可以看做函数lgy u=和2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u xy y u'''=⋅，又因为函数2sin2xu x⎛⎫=+⎪⎝⎭可以看做函数sin tμ=和22xt x=+的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x t xtμμ'''=⋅所以x u t xy y u t''''=⋅⋅()()2lg sin2xt xμ'⎛⎫''=⋅⋅+⎪⎝⎭()11cos2ln102t xμ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⎪⎪⎝⎭⎝⎭22cos122lg e2sin2x xxx x⎛⎫+⎪⎛⎫⎝⎭=+⋅⋅⎪⎛⎫⎝⎭+⎪⎝⎭；（6）函数221cos e x x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可化为211cos 2e 2x x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，因为函数2221cos e 2xx y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=可以看做函数1cos 2y μ+=和222e xx u +=的复合函数，根据复合函数求导公式可得，x u x y y u '''=⋅，所以xu x y y u '''=⋅21cos 222e xx μ''⎛⎫++⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()224e e 221sin 2e x x x x x μ⎡⎤-+⎢⎥=-⋅⎢⎥⎣⎦21242sin 2e x x x μ⎛⎫-+-=-⋅ ⎪⎝⎭22(1)1sin 2e e x x x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.44．求下列函数的导数.(1)()()1ln 2y x x =+；(2)21e x y x+=.【答案】(1)y '()1ln 21x x =++(2)212122e ex x x y x ++-='【详解】（1）()()()()()()()111ln 21ln 2ln 21ln 21y x x x x x x x x x'=+++=++⋅=++⎡⎤⎣'⎦'（2）()2121212122e e 2e e x x x x x x x y x x ++++'⋅-⋅-==''45．求下列函数的导数．(1)y =(2)()621e 1x y x -+=-【答案】(1)()241y x -'=-；(2)()()521e 182x y x x -+'=--【详解】（1）2211221x y x ++===-()()()()()22212212211x x x x x y x x '''+--+-+⎛⎫'== ⎪-⎝⎭-()()()()222122411x x x x --+-==--（2）()()()()666212121e 1e 1e 1x x x y x x x -+-+-+'''⎡⎤⎡⎤'=-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()()6552121212e 1e 61e 182x x x x x x x -+-+-+=--+⋅-=--46．求下列函数的导数.(1)52234y x x =--；(2)e sin xy x=.【答案】(1)4106y x x '=-；(2)2e sin e cos sin x x x xy x-'=【详解】（1）()()()5252423423106y x x x x x x ''''-==--=-（2）()()2e sin sin e e sin sin x x xx x y x x '''-⎛⎫'== ⎪⎝⎭2e sin e cos sin x x x x x -47．求下列函数的导数：(1)2sin y x x =；(2)n 1l y x x=+；(3)tan y x x =⋅；(4)()()()123y x x x =+++；(5)()()22332y x x =+-；(6)cos e xxy =．【答案】(1)22sin cos y x x x x '=+(2)211y x x'=-(3)2tan cos x y x x '=+(4)231211y x x =++'(5)21889y x x '=-+(6)sin cos e xx xy +'=-【详解】（1）()()()2222sin sin sin 2sin cos y x x x x x x x x x x ''''==+=+；（2）()21111ln ln y x x x x x x''⎛⎫⎛⎫''=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()222sin cos sin tan tan tan tan tan cos cos x x x y x x x x x x x x x x x x '+⎛⎫'''=⋅=+=+⋅=+⋅ ⎪⎝⎭2tan cos x x x =+；（4）()()()()()()123123y x x x x x x '''=+++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()()123123123x x x x x x x x x '''=+++++++++++()()()()()()231312x x x x x x =++++++++231211x x =++.（5）()()()()()()2222233223324323231889y x x x x x x x x x '''=+-+++=-++=-+；（6）()2cos 1111sin cos cos cos sin cos e e e e e e e x x x x x x xx x x y x x x x ''+⎛⎫⎛⎫⎛⎫''==+=-⋅+⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.。
高考数学试卷导数答案解析
一、选择题1. 【答案】B【解析】本题考查函数的单调性。
首先，我们需要判断函数f(x)的单调性。
由于f(x)是二次函数，其开口向上，对称轴为x=1，因此f(x)在x=1处取得最小值。
当x<1时，f(x)单调递减；当x>1时，f(x)单调递增。
又因为f(0)=2，f(2)=4，所以f(1)为f(x)的最小值。
因此，当0<x<1时，f(x)<f(1)；当1<x<2时，f(x)<f(1)。
所以，f(x)在区间(0,2)上单调递减。
2. 【答案】C【解析】本题考查数列的通项公式。
由题意可得，数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列。
因此，数列的通项公式为an=2^(n-1)。
当n=4时，an=2^(4-1)=8。
所以，本题答案为C。
3. 【答案】A【解析】本题考查三角函数的性质。
首先，我们需要求出sinA的值。
由题意可得，A是锐角，所以cosA>0。
由余弦定理可得cosA=√(1-sin^2A)，即sinA=√(1-cos^2A)。
将cosA=√3/2代入上式，得sinA=1/2。
所以，本题答案为A。
4. 【答案】D【解析】本题考查数列的求和。
由题意可得，数列{an}是以1为首项，公差为2的等差数列。
因此，数列的通项公式为an=2n-1。
所以，数列的前n项和为S_n=n^2。
当n=2023时，S_n=2023^2。
所以，本题答案为D。
5. 【答案】B【解析】本题考查函数的图像。
由题意可得，函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,2)上单调递减。
又因为f(0)=1，f(2)=0，所以函数f(x)的图像在x=1处取得最大值。
所以，本题答案为B。
二、填空题6. 【答案】1/2【解析】本题考查数列的通项公式。
由题意可得，数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列。
因此，数列的通项公式为an=2^(n-1)。
当n=5时，an=2^(5-1)=16。
专题03 导数及其应用 (解析版)
专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln , 1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b x3（a+1）x2+ax﹣ax﹣b x3（a+1）x2﹣b，2(1)-'，=+y x a x当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】由4(0)y x x x=+>，得241y x '=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +， 由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，最小值4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题. 6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-， 即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e x xf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围. 若函数()e e x x f x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()e e e e x x x x a a --+=-+，即()()1e e 0x x a -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e x x f x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点， 设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <.所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.（iii ）当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点.综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）U （1，+∞）． 因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----．曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ，所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力.10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩.【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =，与0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =或a =-或a =0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-.由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-. 令()0g'x =得0x =或83x =.(),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<．所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x +>（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）对任意21[,)ex ∈+∞均有(),2f x a ≤ 求a 的取值范围． 注：e=2.71828…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦.【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =->．3()4f 'x x =-=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a≤，得0a <≤当04a <≤时，()2f x a ≤等价于22ln 0x a a--≥．令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x=-．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭ ≤()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x ===.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g =…令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦ ，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫ ⎪⎝⎭…．由（i ）得，11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此()0g t g =>…．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞…，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()f x …．综上所述，所求a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得121133b b x x +-++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-．令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0g'x =，得13x =．列表如下：x 1(0,)3 13 1(,1)3()g'x+0 –()g xZ极大值]所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当(0,1)x ∈时，4()()27f xg x ≤≤，因此427M ≤．【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数的单调减区间是A ．C ．【答案】A【解析】令 D_Dd____故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知^^()A ．B ．C ．0D ．【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 A ．5250x y +-= B ．10450x y +-= C ．540x y += D ．204150x y --=【答案】B【解析】()()3321f x f x x x +-=++Q ……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--，()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e-B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12e x -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值. 19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数D_Dd__________ˁA ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立， 即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立．令g（x）ln xx=-，则g′（x）21ln xx-=-，∴g（x）ln xx=-在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴g（x）ln xx=-的最小值为g（e）=1e-，∴a＞1e -．故选B．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在^ _A．(^C．D．【答案】A【解析】令=故，即，故 D_Dd_则所求的解集为故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题.21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知，，，则D_D A ． D_Dd_____C ．D ．【答案】D【解析】依题意，得3ln3ln 33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令，所以.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，即所以故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题. 22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知，若关于( D_Dd ()DA ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1e xx a +>恒成立，设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，在上单调递减，又， ； 当，在上单调递增，在上单调递减，，.故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为A ．-2B ．3C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-， 当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-， 当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'， 所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去.故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =， 因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-， 即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥， 故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增， 所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--，即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题. 25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=，又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-.故答案为12-.【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______． 【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得(),1f x a a =>， 即1a >， 不妨设12x x < ，则2212e x x a == (1)a t t =>，则12,ln 2tx x t ==， 12ln 2tx x t ∴+=-令()ln 2tg t t =42()t g t -'= ∴当18t <<时，()0g t '>，()g t 在()1,8上单调递增；当8t >时，()0g t '<，()g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，()g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e 4g a =+，极小值为2e (4g a =-++. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥.当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值； 当0a >时，令()0g x '=，可得x a =±．当x a <-或x a >时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增， 当a x a -<<时，()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x a =-时，()g x 取得极大值2e()(22)e 4ag a a a --=++； 当x a =时，()g x 取得极小值2e ()(22)e 4ag a a a =-++. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,)a -∞-和(,)a +∞上单调递增，在(,)a a -上单调递减，函数既有极大值，又有极小值， 极大值为2e()(22)e 4ag a a a --=++， 极小值为2e ()(22)e4ag a a a =-++. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题． 28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数，，.（1）求函数D_（2）若 /_D_Dd____【答案】（1）极大值点为，无极小值点.（2）【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为，，当 ，所以在上单调递增，无极值点；当 得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数有极大值点，为，无极小值点.（2）由条件可得 _则当(令，令，则当在上为减函数.又(上，；在上，所以在上为增函数，在上为减函数，所以【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数.（1）若函数（2）若【答案】（1）〖【解析】（1）由题意知，所以在^/令，则所以所以（2）当则，令，则，所以由于.当所以__D_〖〗_所以，因为，所以，所以，所以【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)<<，且各篇学位论文是否被评议为“不p p合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p，求()f p；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算？并说明理由.【答案】（1）；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为. （2）设每篇学位论文的评审费为，，所以.令,.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减,所以的最大值为.所以实施此方案，最高费用为""综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数，其中．（1）当______（2）若函数ԷϨ?______【答案】（1）极小值"；（2）或.【解析】（1）由函数"" ^即D_Dd_____所以^ ^ ^ ^ _D_Dd__________΄ĝϨϨ________此时，则.由，解得^ _D_Dd__________˽ԷϨϨ_____当x 变化时，与__________0 0↘极小值↗极大值↘所以所以"（2）由，得.所以“与曲线，D_Dd__________ȍĝϨϨ________________ ^ (^)对函数^.由^ D_Dd__________ɉĻϨ当x 变化时，ϨϨ_0 0↘极小值↗极大值↘所以又因为，所以当或时，直线，素材来源于网络，林老师编辑整理素材来源于网络，林老师编辑整理 ""/"" ^ D_Dd__________ਣԷϨϨ________________ /"" 即当或时，函数D41Dd41414141414141414141༞༞Ϩ 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.【扫描二维码关注更多精彩★玩转高中数学研讨】。
高考三卷导数真题答案解析
高考三卷导数真题答案解析近年来，高考对数学的要求越来越高，而导数作为数学的重要概念之一，一直是高考试卷中不可或缺的一部分。
而高考三卷中涉及导数的题目更是令考生们头疼不已。
接下来，我们将对高考三卷中的导数题目进行解析，帮助考生们更好地理解和应对这一部分的考点。
1. 题目一：已知函数f(x) = (x-1)e^x，求f'(x)。
解析：根据导数的定义，f'(x)即为函数f(x)的导函数。
而对于含有指数运算和乘法运算的函数，我们应该先运用乘法的求导法则，再运用指数的求导法则进行计算。
按照这个思路，我们进行计算：f'(x) = [(x-1) * e^x]' = (x-1)' * e^x + (x-1) * (e^x)' = 1 * e^x + (x-1) * e^x = x*e^x。
因此，f'(x) = x*e^x。
2. 题目二：已知函数f(x) = ∫[0,x] sin(t^2) dt，求f'(x)。
解析：这是一个求导数的积分题目。
根据牛顿莱布尼兹公式，我们知道∫[0,x] f'(t) dt = f(x)。
所以，我们只需找到f'(x)即可。
考虑到f(x)是一个定积分形式，我们将其化为原函数的形式，并利用定积分与导函数的关系进行求解。
具体计算如下：f'(x) = d/dx[∫[0,x] sin(t^2) dt] = sin(x^2)。
因此，f'(x) = sin(x^2)。
3. 题目三：已知函数y = ln(x^2 + 1) + e^x，求dy/dx。
解析：对于这个题目，我们可以采用链式法则来进行求导。
首先，我们需要找到每个函数的导函数。
对于ln(x^2 + 1)来说，它的导函数为1/(x^2 + 1) * (2x)。
对于e^x来说，它的导函数为e^x。
然后，我们将两个函数的导函数相乘，并进行求和，得到最终结果。
高考数学山东卷导数的应用历年真题解析
高考数学山东卷导数的应用历年真题解析一、选择题解析1. 题目描述：设函数f(x) = (x + a) ln(x + b)，其中a, b是常数，则f'(x)的导函数是（）解析：根据链式法则，对函数f(x) = (x + a) ln(x + b)求导，f'(x) =ln(x + b) + (x + a) * (1 / (x + b)) = ln(x + b) + (x + a) / (x + b)因此，选项中的导函数为ln(x + b) + (x + a) / (x + b)，故选项A为正确答案。
2. 题目描述：已知函数f(x) = (2x^2 + a)cosx的一个极大值点的横坐标为x = π/2，求实数a的值。
解析：极值点的横坐标为x = π/2，代入函数f(x) = (2x^2 + a)cosx得f(π/2) = (2(π/2)^2 + a)cos(π/2) = (π^2 + a) * 0 = 0因此，(π^2 + a) = 0，解得a = -π^2。
故实数a的值为-π^2。
3. 题目描述：已知曲线y = x^3 - 3x^2 + ax的点P(x, y)在y轴上的截距为4，则a的值为（）解析：当点P(x, y)在y轴上的截距为4时，即考虑x = 0时的函数值。
代入曲线y = x^3 - 3x^2 + ax得y = a。
因此，a的值为4。
故选项D为正确答案。
二、填空题解析4. 题目描述：若f(x) = (3x - 1)lnx，g(x) = 3xln2，则f(x) + g'(x) =__________。
解析：由已知，求g'(x)。
对g(x) = 3xln2求导，g'(x) = 3ln2。
因此，f(x) + g'(x) = (3x - 1)lnx + 3ln2。
故答案为(3x - 1)lnx + 3ln2。
5. 题目描述：若曲线y = (3 + x)e^x的斜率为k，则k的值为__________。
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2012高考试题分类汇编：3:导数一、选择题1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是【答案】C【解析】由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>,选C.2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b+3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b+3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b-3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b-3b ，则a ＜b 【答案】A【解析】若23a b e a e b +=+，必有22a b e a e b +>+．构造函数：()2x f x e x =+，则()20x f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除．3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点C ．x=2为 f(x)的极大值点D ．x=2为 f(x)的极小值点 9.【答案】D. 【解析】xx x f x x x f 12)(',ln 2)(2+-=∴+=Θ，令0)('=x f ，则2=x ，当20<<x 时0)('<x f ，当2>x 时0)('>x f ，所以2=x 为)(x f 极小值点，故选D.4.【2012高考辽宁文8】函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【答案】B 【解析】211ln ,,00,02y x x y x y x x x x''=-∴=->∴<Q 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故选B【点评】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。
5.【2102高考福建文12】已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④ 12.【答案】C ．【解析】9123)(',96)(223+-=∴-+-=x x x f abc x x x x f Θ，令0)('=x f 则1=x 或3=x ，当1<x 时0)('>x f ；当31<<x 时0)('<x f ；当3>x 时0)('>x f ，所以1=x 时)(x f 有极大值，当3=x 时)(x f 有极小值，Θ函数)(x f 有三个零点，0)3(,0)1(<>∴f f ，且c b a <<<<31，又Θabc f -+-=275427)3(，0>∴abc ，即0>a ，因此0)()0(=<a f f ，0)3()0(,0)1()0(><∴f f f f .故选C.6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C【解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2.由2212,,,2x y y x y x '==∴=则所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。
曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。
二、填空题7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y【解析】函数的导数为4ln 331ln 3)('+=⨯++=x xx x x f ，所以在)1,1(的切线斜率为 4=k ，所以切线方程为)1(41-=-x y ，即34-=x y .8..【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1(,1)2B 、(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为【答案】41。
【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,2)(x x x f ,121,210≤<≤≤x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧+-=,22,222x x x y ,121,210≤<≤≤x x∴围成的面积⎰⎰+-+=12122102)22(2dx x x dx x S =213310x +12123)5310(x x +-=41。
三、解答题9.【2102高考北京文18】（本小题共13分） 已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。
【答案】10.【2012高考江苏18】（16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。
已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。
∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。
（2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ，∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。
∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'， ∴=2x -是()g x 的极值点。
∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点。
∴()g x 的极值点是－2。
（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。
先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。
当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ，∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。
由（1）知()()()=311f'x x x +-。
① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。
此时()=f x d 在()2+∞，无实根。
② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。
又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当()11x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。
又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。
因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d < 时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，。
现考虑函数()y h x =的零点：( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，。
而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点。
( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，。
而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。
综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。
（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。
（3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。