最新高一数学暑假预科讲义 第7讲 函数的单调性基础班学生版

第七讲 函数的单调性
考点1：单调性的概念
1.一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：
⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；
⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；
2.单调性：如果函数()y f x =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．
题型一：函数单调性的判别
例1.函数2()23f x x x =-+在(1]-∞，上单调________，在[1)+∞，上单调_______．
例2.(1)（2015秋•承德校级月考）如图是定义在区间[5-，5]上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
(2)（2017秋•香洲区校级月考）画出函数|1|y x =-的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数．
考点2：单调性的严格证明
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．
②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
题型二：定义法证明函数单调性
例3.(1)()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增;
(2)证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；
(3)证明：函数1
()f x x
=在(0)+∞，上单调递减;
(4)证明:函数()f x =在[0)+∞，上单调递增;
（5）（2016秋•泰州校级期中）试用函数单调性的定义判断函数2()1
x
f x x =-在区间(0,1)上的单调性．
（6）（2012秋•青铜峡市校级期中）已知36
()x f x x
-=
（1）用单调性定义证明：()f x 在区间(0,)+∞上是增函数．
（7）（2016•咸阳模拟）已知函数()a
f x x x
=+，(0,)x ∈+∞．当1a =时，试用函数单调性的定义，判断函数()f x 的单调性；
考点3：利用单调性解简单的函数不等式
遇到函数不等式相关的问题都要往函数的单调性上思考，这样的问题还需要注意函数的定义域．
题型三：利用单调性解函数不等式
例3.(1)已知函数()
->+，则m的取值范围是
f x为R上的增函数，且(21)(2)
f m f m
_______．
f x是定义在R上的减函数，且
(2)（2017秋•翠屏区校级期中）已知函数()
+-->，则m的取值范围是．
(1)(21)0
f m f m
f的大小关系是________．(3)函数()
，上为减函数，那么2
+∞
f x在(0)
-+与(1)
(23)
f a a
考点4：常见函数的单调性
常见函数的单调性：
1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，
()()()1212f x f x k x x -=-，
当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．
2．二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠，
当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
，上单调递增；
当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
，上单调递减．
3．反比例函数()k
f x x
=
，0k ≠． 当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减； 当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增．
4．()3f x x =单调递增、()f x =单调递增. 题型四：已知单调性反求参
例4.(1)（2017秋•晋江市校级月考）已知函数y ax =和b
y x =-在(0,)+∞上都是增函数，
则函数()f x bx a =+在R 上是( ) A ．减函数且(0)0f < B ．增函数且(0)0f <
C ．减函数且(0)0f >
D ．增函数且(0)0f >
(2)（2017秋•高要市校级月考）若函数y ax =与b
y x =-在(0,)+∞上都是减函数，则函数
2y ax bx =+在(0,)+∞上的单调性是( )
A ．先增后减
B ．先减后增
C ．单调递增
D ．单调递减
(3)已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．
(4)（2018秋•东莞市期末）已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1，)+∞上单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(2,)+∞ B ．[2，)+∞
C ．(,2)-∞
D ．(-∞，2]
(5)若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是 ．
考点5：复合函数单调性
对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性， 函数[()]y f g x =的单调性如下表：
小结：同增异减．
题型四：复合函数单调性判断 例5.判断下列函数的的单调性：
(1)y =；
（2）y =；
（3）15y x
=- （4）2
1
45
y x x =++；
（5）y =
课后综合巩固
1．函数的单调性的定义：
如果对于区间I 上的________12x x ，
，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；
如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数； 2．常见函数的单调性：
⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；
0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；
⑶反比例函数k
y x
=
：0k >时，在_________________上单调______； 0k <时，在_________________上单调______；
3．复合函数的单调性
当()f x 与()g x 的单调性______时，[()]f g x 单调递增； 当()f x 与()g x 的单调性______时，[()]f g x 单调递减．
4.证明:函数()f x 在[0)+∞，上单调递增;
5.（2017秋•翠屏区校级期中）已知函数()f x 是定义在R 上的减函数，且(1)(21)0f m f m +-->，则m 的取值范围是 ．
6.（2018秋•东莞市期末）已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1，)+∞上单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(2,)+∞ B ．[2，)+∞
C ．(,2)-∞
D ．(-∞，2]。