2016_2017学年高中数学第三章指数函数和对数函数3.2指数扩充及其运算性质课件

－n －1
1 2
1 2
1 2
1 2
n
1n ＝a (a
是使 a
－n
有意义的值)， 此法在底数 a 是分数时使用比较方
2－2 32 便，如3 ＝2 .
1．b4＝3(b>0)，则 b 等于( A． 3
4
) B．3
1 4
C．43
D．35
解析：
因为 b ＝3(b>0)，∴b＝ 3＝3 .
解析：
1 41 1 1 2－ 2 (1)原式＝1＋ × 4 9 100
[边听边记]
(1)原式＝ x－32＋ x＋32
＝|x－3|＋|x＋3|. ∵－3<x<3， ∴原式＝3－x＋x＋3＝6. (2)由题意知 a－1有意义，则 a≥1， 原式＝(a－1)＋|1－a|＋1－a ＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
答案：
(1)6
(2)a－1
[规律方法]
(1)解决根式的化简问题，首先要先分清根式为奇次根式还是偶
－ －
解析：
(1)当 a<0 时，a 的偶次方根无意义．
(2)负数的 n 次方根是一个负数，故 3 －27＝－3，故①错误；16 的 4 次方根 2，故②正确； 4 81＝3，故③错误； 有两个，为±
2 2 x＋y 是正数，故 2 x＋y ＝|x＋y|，故④正确．
(3)原式＝
1 2 π － π ＋
5＋2)＋1
4 167 ＝ ＋10 5－10 5－20＋1＝－ . 9 9
[规律方法]
(1)幂的运算的常规方法
①化负指数幂为正指数幂； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数进行运算． (2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的 形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同 时含有分母和负指数．
解析： 6 y
2
(1)－ x＝－x (x>0)；
1 1
1 2
＝[(y)2]6＝－y3(y<0)；
4 1 1 3 －3 3(x>0)； x－ ＝(x )4＝ 4 x 3 1 1 11 x－ ＝x3＝ x(x≠0)． 3
(2)①原式＝ ②原式＝ 3
3 1
a· a＝
1 2
4
4
1 4
答案：
B
2．若 a (a－2)0 有意义，则 a 的取值范围是( A．a≥0 C．a≠2
解析：
1 4
)
B．a＝2 D．a≥0 且 a≠2
a≥0 要使原式有意义，只须 a－2≠0
，
∴a≥0 且 a≠2.
答案：
D
81 －1 3.625 4的值是________．
13 3 1 7 13 ＝(a － )÷ (a－ ＋ )＝a 9 . 2 2 6 18
合作探究· 课堂互动
根式的性质 (1)设－3<x<3，则 x2－6x＋9＋ x2＋6x＋9＝________. (2)化简( a－1)2＋ 1－a2＋ 3 1－a3＝________. [思路探究] 1. n an的值是什么？ 2．化简 a的关键点是什么？
(4)
解析：
5 1 (1)m · m＝m · m ＝m2＋ ＝m2. 2
2
2
1 2
(2) m m＝ m· m ＝ m ＝(m ) ＝m . (3)原式＝[ab
3 11 1 2 2 2
1 2
3 2
3 1 2 2
3 4
3
(ab5)2]2＝[a· a2b3· (b5)2]2
1 1
1
1 1
＝(a b ) ＝a b .
根式与分数指数幂互化的规律 分数指数的分母， 分数指数的分子．
被开方数(式)的指数
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数 指数幂的运算性质解题．
2．将下列根式化为分数指数幂的形式： (1)m2· m(m>0)； (2) m· m(m>0)； (3) ab3 ab5(a>0，b>0)； y2 x x3 3 y6 y x3(x>0，y>0)．
(2) a
9 2
3 a ÷
－3
a
－7
解析：
3 3×1 52×1 3－2 1 (1)原式＝10 3－2 2＋22 3－ ＋1 3
3 5 1 1 31 ＝ － ＋ － ＋1＝－ . 10 2 2 3 30 9 1 1 1 1 1 1 1 (2)原式＝(a × a－3× × )÷ (a－7× × · a13× × ) 2 3 2 3 3 2 3 6
3 11 4 4
(4)方法一：从外向里化为分数指数幂． y2 x
2 3 y x ＝ x y
x3 3 y6 y2 ＝ y x3 x
1 1 3 y6 2 2 3 x
x3 3 y6 1 2 3 y x
y2x3y6 1 11 ＝ x y x3322 y21 x31 y6 1 4· 312 ＝ x 2· y x
5 y x y x· y ＝ 1·1 ·1＝ 3 1＝y4. x2 y4 x4 x4· y4 3 4 1 2 3 4 3 2
方法二：从里向外化为分数指数幂． y2 x ＝ y2 x x3 3 y6 ＝ y x3 x3 y2 y· x＝ y2 x x3y6 1 33 y x
1 y2 2 2 （ x · y ） x
1 1 y2 5 xy22＝y4. ＝ x ·
利用分数指数幂的运算性质化简求值 计算下列各式：
16－3 1 －3 4； (1)8 × 100－ × (0.25) × 2 81
2 3
(2)(2a b )(－6a b )÷ (－3a · b )；
1 1 7 0 4 －0.75 3 (3)(0.064)－ －－8 ＋[(－2) ]－ ＋16 ＋|－0.01|2； 3 3
§2
指数扩充及其运算性质
自主学习· 新知突破
(1) 2 ＝ （2 ） ＝2 ＝2 ； (2) 5 ＝ （5 ） ＝5 ＝5 . 能否仿照上述结果，将 2 和 5 写成 2 和 5 呢？ 3
10
3 6
12
3 6
4
3
4
12 3183ຫໍສະໝຸດ 6318 6
6
17
10 3
17 6
1．正确运用根式的运算性质进行根式运算．(重点、难点) 2．理解分数指数幂的含义．(难点) 3．掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、易错点) 4．掌握有理数指数幂的运算性质．(重点)
n m m a (a>0)． a n ＝______
1 1
m an n m a (2)负分数指数幂的定义：a－ n ＝_____________ (a>0，m，n∈N＋，且 n>1)．
m＝
无意义 ． 0 (3)0 的正分数指数幂等于___,0 的负分数指数幂_________
无理数指数幂 一般来说，无理数指数幂 ap(a>0，p 是一无理数)是一个确定的实数．自然地， 1 对于任意的实数 α，有 1α＝1，a ＝aα(a>0)．
3．计算下列各式的值：
30 1－1 －2 2 2－(0.01)0.5； (1)25 ＋2 · 4
(2) a
－
3
9 2
a ÷
－
－3
3
3 13 a · a (a>0)；
－7
1 m 2－n 2 1 1 1 (3) －1 －1－(m2＋n－ )(m2－n－ )(m，n≠0)． 2 2 m ＋n
(3)对于指数运算 ①有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来的，整数指 数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用． ②在运算性质中，特别要注意幂的底数是正数的规定，如果改变等式成立的 条件，则有可能不成立，
如 a＝－2，b＝－4 时，(ab) ＝[(－2)× (－4)] ＝(－2) × (－4) 则无意义． ③关于负数指数幂的另一种处理方法 a ＝(a )
2 1 3 2
1 1 2 3
1 6
5 6
3－2 1 3 (4)－38 ＋(0.002)－ －10( 2
5－2)－1＋( 2－ 3)0.
[思路探究] 1．对于指数幂中指数、底数是负数，或是小数的应如何化简？ 2．对于根式中含有多重根号的题目应如何处理？
解析： ＝2 × 10
8 2
解析：
81 －1 6251 4＝ 4 625 81
4 625 4 54 ＝ ＝ 81 34 4 5 5 ＝ 34＝ . 3
答案： 5 3
4．计算下列各式． (1)(0.027) 3
1 3
11 －642＋(2
2 － 2)－ －3 1＋π0； 3 3 a13.
分数指数幂概念
正实数 a，对于任意给定的______ 整数 m、n(m、n 互素)，存在唯一的正实 给定________
m m 数 b，使得_______，把 b 叫做 a 的 n 次幂，记作 b＝a n ，它就是分数指数幂．
bn＝am
正分数指数幂、负分数指数幂与零的分数指数幂 (1)正分数指数幂的根式形式：
1 2
)
B. y ＝y (y<0) 1 3 D．x－ ＝－ x(x≠0) 3
6
2
1 3
(2)用分数指数幂的形式表示下列各式． ① ② 3 a a(a>0)； 1 3 4 x（ x2）2 ③( b－3)－3(b>0)．
2 2
；
5
[思路探究] 1．分数指数幂的底数 a≤0 时成立吗？如何处理？ 2．根式中的根指数和被开方数(式)的指数与分数指数幂有怎样的对应关系？