动点生成函数图像问题例析

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动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)

动点的函数图象问题(压轴题专项讲练)解析版—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(浙教版)

动点的函数图象问题数形结合思想:所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

【典例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BD=2,CD⊥AB于点D,点E、F、G分别是边CD、CA、AD的中点,连接EF、FG,动点M从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向点A方向运动(点M运动到AB的中点时停止);过点M作直线MP∥BC与线段AC交于点P,以PM为斜边作Rt△PMN,点N在AB 上,设运动的时间为t(s),Rt△PMN与矩形DEFG重叠部分的面积为S,则S与t之间的函数关系图象大致为()A.B.C.D.本题考查几何动点问题的函数图象,正确分段并分析是解题的关键.根据题意先分段,分为0≤t≤0.5,0.5<t≤1,1<t≤2三段,分别列出三段的函数解析式便可解决,本题也可只列出0≤t≤0.5,1<t≤2两段,用排除法解决.解:分析平移过程,①从开始出发至PM与点E重合,由题意可知0≤t≤0.5,如图,则BM=2t,过点M作MT⊥BC于点T,∵∠B=60°,CD⊥AB,∴BC=2BD=4,CD==BT=12BM=t,∵∠ACB=90°,MP∥BC,∴∠ACB=∠MPA=90°,∴四边形CTMP为矩形,∴PM=CT=BC―BT=4―t,∵∠PMN=∠B=60°,PN⊥AB,∴MN=PM2=4―t2,∴DN=MN―MD=MN―BD+BM=3t2,∵E为CD中点,∴DE=CD2=∴S=DE⋅DN=∴S与t的函数关系是正比例函数;②当0.5<t≤1,即从PM与E重合至点M与点D重合,如图,由①可得QN=ED=DM=2―2t,DN=32t,S矩形EDNQ=∵∠PMN=∠B=60°,CD⊥AB,∴SD==,∴ES=ED―SD=∴ER ==2t ―1,∴S =S 矩形EDNQ ―S △ERS =12(2―2t ―1)=―2+此函数图象是开口向下的二次函数;③当1<t ≤2,即从点M 与点D 重合至点M 到达终点,如图,由①可得DN =32t ,MN =4―t 2,∵AD ==6, DG =12AD =3,∴NG =DG ―DN =3―32t ,∴QF =NG =3―32t ,∴PQ==,∴HQ ==1―12t ,∴S =(HQ+MN )×QN 2==―∴S 与t 的函数关系是一次函数,综上,只有选项A 的图象符合,故选:A .1.(2024·四川广元·二模)如图,在矩形ABCD 中,AB =4cm ,AD =2cm ,动点M 自点A 出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度向点 B 运动,同时动点N 自点A 出发沿折线AD -DC -CB 以每秒2cm 的速度运动,到达点B 时运动同时停止.设△AMN的面积为y (cm2),运动时间为x (秒),则下列图象中能大致反映y 与x 之间的函数关系的是( )A.B.C.D.【思路点拨】本题考查动点问题的函数图象问题;根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键.根据题意,分三段(0<x<1,1≤x<3,3≤x<4)分别求解y与x的解析式,从而求解.【解题过程】解:当0<x<1时,M、N分别在线段AB、AD上,此时AM=x cm,AN=2x cm,y=S△AMN=12×AM×AN=x2,为二次函数,图象为开口向上的抛物线;当1≤x<3时,M、N分别在线段、CD上,此时AM=x cm,△AMN底边AM上的高为AD=2cm,y=S△AMN=12×AM×AD=x,为一次函数,图象为直线;当3≤x<4时,M、N分别在线段AB、BC上,此时AM=x cm,△AMN底边AM上的高为BN=(8―2x)cm,y=S△AMN=12×AM×BN=12x(8―2x)=―x2+4x,为二次函数,图象为开口向下的抛物线;结合选项,只有A选项符合题意,故选:A.2.(22-23九年级上·安徽合肥·期中)如图,在△ABC中,∠C=135°,AC=BC=P为BC边上一动点,PQ∥AB交AC于点Q,连接BQ,设PB=x,S△BPQ=y,则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.【思路点拨】过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E,根据S△BPQ=y=12QE⋅BP列出解析式再判断即可.【解题过程】解:如图,过点Q作QE⊥BC交BC延长线于点E,∵AC =BC =∴∠A =∠ABC∵PQ∥AB ,∴∠CQP =∠A,∠CPQ =∠ABC∴∠CQP =∠CPQ∴CQ =CP =―x .∵∠ACB =135°∴∠ECQ =45°在Rt △CEQ 中,∠ECQ =45°,∴QE ==―x )=2―,∴y =12QE ⋅BP =12x 2x =―2+x =――2+∴当x =y 最大值=故选:C.3.(2024·河北石家庄·二模)如图所示,△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形,点A 从点D 运动到点E 的过程中,AB 和DF 相交于点G ,AC 和EF 相交于点H ,(S △BGF +S △FCH )为纵坐标y ,点A 移动的距离为横坐标x ,则y 与x 关系的图象大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】如图,过G 作GK ⊥BC 于K ,过H 作HT ⊥BC 于T ,证明四边形ACFD 为平行四边形,可得AD =CF =x ,BF =4―x ,求解CT =FT =12x ,TH ==,同理可得:GK =―x ),再利用面积公式建立函数关系式即可判断.【解题过程】解:如图,过G 作GK ⊥BC 于K ,过H 作HT ⊥BC 于T ,由题意可得:AD∥CF ,DF∥AC ,∴四边形ACFD 为平行四边形,∴AD =CF =x ,∴BF =4―x ,∵△ABC 和△DEF 均为边长为4的等边三角形,AD∥CF ,∴∠D =∠DFB =60°,而∠B =60°,∴△BGF 为等边三角形,同理:△CFH 为等边三角形,∵HT ⊥BC ,∴CT =FT =12x ,TH ==,同理可得:GK =―x ),∴y =12x +12(4―x )⋅―x )=2―+故选B4.(2023·辽宁铁岭·模拟预测)如图,矩形ABCD 中,AB =8cm ,AD =12cm ,AC 与BD 交于点O ,M 是BC 的中点.P 、Q 两点沿着B→C→D 方向分别从点B 、点M 同时出发,并都以1cm/s 的速度运动,当点Q 到达D 点时,两点同时停止运动.在P 、Q 两点运动的过程中,与△OPQ 的面积随时间t 变化的图象最接近的是( )A .B .C .D .【思路点拨】本题考查了动点问题函数图象.根据矩形的性质求出点O 到BC 的距离等于4,到CD 的距离等于6,求出点Q 到达点C 的时间为6s ,点P 到达点C 的时间为12s ,点Q 到达点D 的时间为14s ,然后分①0≤t ≤6时,点P 、Q 都在BC 上,表示出PQ ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可;②6<t ≤12时,点P 在BC 上,点Q 在CD 上,表示出CP 、CQ ,然后根据S ΔOPQ =S ΔCOP +S ΔCOQ ―S ΔPCQ 列式整理即可得解;③12<t ≤14时,表示出PQ ,然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解.【解题过程】解:∵矩形ABCD 中,AB =8cm ,AD =12cm ,AC 与BD 交于点O ,∴点O 到BC 的距离=12AB =4,到CD 的距离=12AD =6,∵点M 是BC 的中点,∴CM =12BC =6,∴点Q到达点C的时间为6÷1=6s,点P到达点C的时间为12÷1=12s,点Q到达点D的时间为(6+8)÷1=14s,①0≤t≤6时,点P、Q都在BC上,PQ=6,△OPQ的面积=12×6×4=12;②6<t≤12时,点P在BC上,点Q在CD上,CP=12―t,CQ=t―6,SΔOPQ=SΔCOP+SΔCOQ―SΔPCQ,=12×(12―t)×4+12×(t―6)×6―12×(12―t)×(t―6),=12t2―8t+42,=12(t―8)2+10,③12<t≤14时,PQ=6,△OPQ的面积=12×6×6=18;纵观各选项,只有B选项图形符合.故选:B.5.(2023·江苏南通·模拟预测)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为AB中点,动点P从点B开始沿BC方向运动到点C停止,动点Q从点C开始沿CD→DA方向运动,与点P同时出发,同时停止;这两点的运动速度均为每秒1个单位;若设他们的运动时间为x(s),△EPQ的面积为y,则y与x之间的函数关系的图像大致是()A.B.C.D.【思路点拨】先求出点P在BC上运动是时间为6秒,点Q在CD上运动是时间为4秒,再根据中点的定义可得AE =BE =12AB ,然后分①点Q 在CD 上时,表示出BP 、CP 、CQ ,再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ,列式整理即可得解;②点Q 在AD 上时,表示出BP 、AQ ,再根据△EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ,列式整理即可得解,再根据函数解析式确定出函数图象即可.【解题过程】解:∵点P 、Q 的速度均为每秒1个单位,∴点P 在BC 上运动的时间为6÷1=6(秒),点Q 在CD 上运动的时间为4÷1=4(秒),∵E 为AB 中点,∴AE =BE =12AB =12×4=2,①如图1,点Q 在CD 上时,0≤x ≤4,则BP =x,CP =6―x,CQ =x ,∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形BCQE ―S △BPE ―S △PCQ ,=12(2+x )×6―12×2x ―12(6―x )⋅x =12x 2―x +6=12(x ―1)2+112②如图2,点Q 在AD 上时,4<x ≤6,则BP =x,AQ =6+4―x =10―x ,∴ △EPQ 的面积为y =S 梯形ABPQ ―S △BPE ―S △AEQ ,=12(x +10―x )×4―12×2x ―12(10―x )⋅2=10,综上所述,y =2―x +6(0≤x ≤4)10(4<x ≤6),函数图象为对称轴为直线x =1的抛物线的一部分加一条线段,只有A 选项符合.故选:A .6.(2024·河南开封·一模)如图1,在△ABC 中,∠B =60°,点D 从点B 出发,沿BC 运动,速度为1cm/s .点P 在折线BAC 上,且PD ⊥BC 于点D .点D 运动2s 时,点P 与点A 重合.△PBD 的面积S (cm 2)与运动时间t (s)的函数关系图象如图2所示,E 是函数图象的最高点.当S (cm 2)取最大值时,PD 的长为( )A .B .(1+cm C .(1+cm D .(2+cm【思路点拨】本题考查动点函数图象,二次函数图象性质,三角形面积.本题属二次函数与几何综合题目.先根据点D 运动2s 时,点P 与点A 重合.从而求得PD ==,再由函数图象求得BC =(2+×1=(2+cm ,从而求得DC =BC ―BD =2+2=,得出PD =DC ,然后根据由题图2点E 的位置可知,点P 在AC 上时,S △PBD 有最大值.所以当2≤t ≤2+点P 在AC边上,此时BD =t ×1=t (cm),PD =DC =(2+―t )cm ,根据三角形面积公式求得S △PBD =―12t ―(13)2+2+【解题过程】解:由题意知,点D 运动2s 时,点P ,D 的位置如图1所示.此时,在Rt △PBD 中,BD =2cm ,∠B =60°,PD ⊥BC ,∴PB =2BD =4(cm),∴PD ==.由函数图象得BC =(2+×1=(2+cm ,∴DC =BC ―BD =2+2=,∴PD =DC .由题图2点E 的位置可知,点P 在AC 上时,S △PBD 有最大值.当2≤t ≤2+P 在AC 边上,如图2,此时BD =t ×1=t (cm),PD =DC =(2+―t )cm ,∴S △PBD =12×BD ×PD =12×t ×(2+t )=―12t 2+(1+t .∵S △PBD =――(1+3)2+2+又∵―12<0,∴当t =1+S △PBD 的值最大,此时PD =CD =2+―(1+=(1+cm .故选:B .7.(2024·安徽·一模)如图,在四边形ABCD 中,∠A =60°,CD ⊥AD ,∠BCD =90°, AB =BC =4,动点P ,Q 同时从A 点出发,点Q 以每秒2个单位长度沿折线A ―B ―C 向终点C 运动;点P 以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D 运动,当其中一点运动至终点时,另一点随之停止运动.设运动时间为x 秒,△APQ 的面积为y 个平方单位,则y 随x 变化的函数图象大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】分当0≤x <2时,点Q 在AB 上和当2≤x ≤4时,点Q 在BC 上,根据三角形的面积公式即可得到结论.【解题过程】解:过Q 作QN ⊥AD 于N ,当0≤x <2时,点Q 在AB 上,∵∠A =60°,∴∠AQN =90°―60°=30°,∴AN = 12AQ =12×2x =x ,∴QN ==,∴y =12×AP ×NQ =12×x ×=2,当2≤x ≤4时,点Q 在BC 上,过点B 作BM ⊥AD 于点M ,∵BM ⊥AD ,∠A =60°,∴∠ABM =30°,∴AM = 12AB =12×4=2,∴BM ==∵CD ⊥AD ,QN ⊥AD ,∴QN ∥CD ,∴∠BQN =∠BCD =90°,∵BM ⊥AD, CD ⊥AD ,∴四边形BMNQ 是矩形,∴QN =BM = ,y =12AP ⋅QN =12x ×=,综上所述,当0≤x <2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分,当2≤x ≤4时,函数图象是直线的一部分,故选:D .8.(23-24九年级上·浙江温州·期末)某兴趣小组开展综合实践活动:在Rt △ABC 中,∠C =90°,CD =,D 为AC 上一点,动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发,在三角形边上沿C→B→A 匀速运动,到达点A 时停止,以DP 为边作正方形DPEF ,设点P 的运动时间为t s ,正方形DPEF 的面积为S ,当点P 由点C 运动到点A 时,经探究发现S 是关于t 的二次函数,并绘制成如图2所示的图象,若存在3个时刻t 1,t 2,t 3(t 1<t 2<t 3)对应的正方形DPEF 的面积均相等,当t 3=5t 1时,则正方形DPEF 的面积为( )A .3B .349C .4D .5【思路点拨】由题意可得:CD =CP =t ,当点P 在BC 上运动时S =t 2+2,由图可得,当点P 与点B 重合时,S =6,求出t=2,即BC=2,当P在BA上时,由图可得抛物线过点2,6,顶点为4,2,求出抛物线解析式为S=(t―2)2+2,从两个函数表达式看,两个函数a相同,都为1,则从图象上看t1,t2关于x=2对称,t2,t3关于x=4对称,t1+t2=4①,t2+t3=8②,结合t3=5t1③,求出t的值即可得出答案.【解题过程】解:由题意可得:CD=CP=t,当点P在BC上运动时,S=DP2=CP2+CD2=t2+2,由图可得,当点P与点B重合时,S=6,∴t2+2=6,∴t=2或t=―2(不符合题意,舍去),∴BC=2,当P在BA上时,由图可得抛物线过点2,6,顶点为4,2,则抛物线的表达式为S=a(t―4)2+2,将2,6代入得:a(2―4)2+2=6,∴a=1,∴抛物线的表达式为:S=(t―4)2+2,从两个函数表达式看,两个函数a相同,都为1,若存在3个时刻t1,t2,t3(t1<t2t3)对应的正方形DPEF的面积均相等,则从图象上看t1,t2关于x=2对称,t2,t3关于x=4对称,∴t1+t2=4①,t2+t3=8②,∵t3=5t1③,由①③③解得t1=1,∴S=t2+2=1+2=3,故选:A.9.(22-23九年级上·浙江嘉兴·期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BC=6,点O为AC 中点,点D为线段AB上的动点,连接OD,设BD=x,OD2=y,则y与x之间的函数关系图像大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E ,先根据直角三角形的性质求得AB =12,AC =OA =12AC =AE ==92可得DE =152―x ,然后再根据勾股定理求得函数解析式,最后确定函数图像即可.【解题过程】解:如图:过O 作OE ⊥AB ,垂足为E∵∠C =90°,∠ABC =60°∴∠A =30°∵BC =6∴AB =2BC =12∴AC ===∵点O 为AC 中点∴OA =12AC =∵∠A =30°∴OE =12AO =∴AE ===92∴DE =|152―x |∴OD 2=OE 2+DE 2,即y =+―x 2=x +274当x =0时,y =0―+274=63当x =152时,y =―+274=274当x =12时,y =12+274=27则函数图像为.故选C .10.(2024·广东深圳·三模)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =12,BC =8,点D 和点E 分别是AB 和AC 的中点,点M 和点N 分别从点A 和点E 出发,沿着A→C→B 方向运动,运动速度都是1个单位/秒,当点N 到达点B 时,两点间时停止运动.设△DMN 的面积为S ,运动时间为t ,则S 与t 之间的函数图象大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】本题主要考查动点问题,依托三角形面积考查二次函数的图象和分类讨论思想,取BC 的中点F,连接DF 根据题意得到DF 和DE ,分三种情况讨论三角形的面积:(1)当0<t ≤6时,得MN =AE =6,结合三角形面积公式求解即可;(2)当6<t ≤12时,得AM ,MC ,CN 和BN ,结合S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN ;(3)当12<t ≤14时,点M 、N 都在BC 上,结合DF 和MN 求面积即可.【解题过程】解:如图,取BC 的中点F ,连接DF ,∴DF ∥AC ,DF =12AC =6∵点D 、E 是中点,∴DE =12BC =4,DF ∥CB ,∵∠C =90°,∴四边形DECF 为矩形,当0<t ≤6时,点M 在AE 上,点N 在EC 上,MN =AE =6,∴S =12MN ⋅DE =12×6×4=12;如图,当6<t ≤12时,点M 在EC 上,点N 在BC 上,∵AM =t ,∴MC =12―t ,CN =t ―6,BN =14―t ,∴S =S ΔABC ―S ΔADM ―S ΔBDN ―S ΔCMN=12×8×12―12×4t ―12×6(14―t)―12(12―t)(t ―6)=12t 2―8t +42;如图,当12<t ≤14时,点M 、N 都在BC 上,∴S =12MN ⋅DF =12×6×6=18,综上判断选项A 的图象符合题意.故选:A .11.(2024·河南南阳·二模)如图是一种轨道示意图,其中A 、B 、C 、D 分别是菱形的四个顶点,∠A =60°.现有两个机器人(看成点)分别从A ,C 两点同时出发,沿着轨道以相同的速度匀速移动,其路线分别为A→B→C 和C→D→A .若移动时间为t ,两个机器人之间距离为d .则 d²与t 之间的函数关系用图象表示大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】设菱形的边长为2,根据菱形的性质求出关于两个机器人之间的距离d2的解析式,再利用二次函数的性质即可解答.【解题过程】解:①设AD=2,如图所示,∵移动时间为t,∠A=60°,∴CK=1,FT=KB=∴AE=t,CF=2―t,∴FK=2―t―1=1+t,∴ET=2―t―(1+t)=1+2t,∴在Rt△EFT中,EF2=ET2+FT2=(1+2t)2+2=4t2+4t+4;②设AD=2,如图所示,∵移动时间为t,∠A=60°,∴BM=t―2,CM=2―(t―2)=4―t,CP=1,PD=LQ=∴MQ=CM―CQ=(4―t)―1=―t,∴在Rt△LMQ中,ML2=MQ2+LQ2=(3―t)2+2=t2―6t+12,∴函数图像为两个二次函数图象;③当从A出发的机器人在B点,从C出发的机器人在D点,此时距离是BD;从A出发的机器人在A点,从C出发的机器人在C点,此时距离是AC;∵设AD=2,∠A=60°,∴BD=2,AE=∴AC=2AE=∴BD<AC,∴函数图象的起点和终点高于中间点;综上所述:A项符合题意;故选A.12.(2024·山东聊城·二模)如图,等边△ABC与矩形DEFG在同一直角坐标系中,现将等边△ABC按箭头所指的方向水平移动,平移距离为x,点C到达点F为止,等边△ABC与矩形DEFG重合部分的面积记为S,则S关于x的函数图象大致为()A.B.C.D.【思路点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象,二次函数的图象,等腰三角形的性质等知识,如图,作AQ⊥BC于点Q,可知AQ=0<x≤1或1<x≤2或2<x≤3三种情形,分别求出重叠部分的面积,即可得出图象.【解题过程】解:如图①,设AC与DE交于点H,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC=2,BC=1,过点A作AQ⊥BC于点Q,则BQ=CQ=12∴AQ===∵四边形DEFG 是矩形,∴∠DEF =90°,DE =AQ ==OF ―OE =5―2=3,当0<x ≤1时,在Rt △HCE 中,∠ACE =60°,EC =x,∴∠CHE =30°,∴HC =2x ,∴HE ===∴S =12EC ×HE =12x ×=2,所以,S 关于x 的函数图象是顶点为原点,开口向上且在0<x ≤1内的一段;当1<x ≤2时,如图,设AB 与DE 交于点P ,∵EC =x,BC =2,∴BE =BC ―EC =2―x,同理可得,PE =x ―2),∴S =S △ABC ―S △PBE =12×2―12(2―x )⋅―x )=―x ―2)2+所以,图象为1<x ≤2时开口向下的一段抛物线索;当2<x ≤3时,如图,S =12×2×=此时的函数图象是在2<x≤3范围内的一条线段,即S=<x≤3),故选:C13.(2024·河南·模拟预测)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ABC=90°,BD是AC边上的中线,将△BCD 沿射线BA方向匀速平移,平移后的三角形记为△B1C1D1,设△B1C1D1与△ABD重叠部分的面积为y,平移距离为x,当点B1与点A重合时,△B1C1D1停止运动,则下列图象最符合y与x之间函数关系的是()A.B.C.D.【思路点拨】本题考查了二次函数与几何图形的综合,涉及等腰直角三角形,平移的性质,二次函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用这些性质,学会分类讨论.过点D作DM⊥AB于M,由△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,可设AB=BC=2,可得AD=CD=BD=DM=AM=BM=1,然后分情况讨论:当0<x≤1时,当1<x≤2时,分别求出关于S、x的函数,再数形结合即可求解.【解题过程】解:过点D作DM⊥AB于M,∵△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,∴ AB =BC ,设AB =BC =2,∴ AD =CD =BD =DM =AM =BM =1,当0<x ≤1时,设B 1D 1交AC 于点G ,B 1C 1交BD 于N ,∴ AB 1=AB ―BB 1=2―x ,由平移知B 1G ∥BD ,∠AB 1G =∠ABD ,∴ △AB 1G 是等腰直角三角形,∴ S △AB 1G =12AB 1·12AB 1=14(2―x )2,又∵ S △ABD =12×12×2×2=1,S △BB 1N =12x 2∴ S =S △ABD ―S △AB 1G ―S △BB 1N =1―14(2―x )2―12x 2=―34x 2+x ,当x =―=23时取得最大值,故排除A 、B 选项当1<x ≤2时,B 1D 1交AC 于点G ,B 1C 1交AC 于点H ,∵ B 1H ∥BC ,∴ ∠B 1HG =∠ACB =45°,又∵ ∠D 1B 1C 1=45°,∴ △B 1GH 为等腰三角形,∵ ∠AB 1D 1=∠ABD =45°=∠A ,∴ AB 1G 为等腰三角形,∴ B 1G =1=―x ),∴ S =S △B 1GH =12·―x )―x )=14(2―x )2,即当1<x ≤2时,函数图像为开口向上的抛物线,故排除C 选项故选:D .14.(23-24九年级上·安徽滁州·期末)如图,菱形ABCD的边长为3cm,∠B=60°,动点P从点B出发以3cm/ s的速度沿着边BC―CD―DA运动,到达点A后停止运动;同时动点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿着边BA 向A点运动,到达点A后停止运动.设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象为()A.B.C.D.【思路点拨】根据题意可知分情况讨论,分别列出当点P在BC上时,点P在CD上时,点P在AD上时表达式,再画图得到函数解析式,即可得到本题答案.【解题过程】解:设点P的运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),①当0≤x≤1时,点P在BC上时,过点P作PE⊥BA,,∵根据题知:∠B =60°,PB =3x,BQ =x ,∴BE =32x ,PE =,∴y =12BQ·PE =12x·=2;②当1<x ≤2时,点P 在CD 上时,过点P 作PH ⊥BA ,,∵根据题知:∠B =60°,BC =3,BQ =x ,∴PH =∴y =12BQ·PH =12x·=;③当2<x ≤3时,点P 在AD 上时,过点P 作PF ⊥BA 交DA 延长线于F ,,∵根据题知:∠B =60°,即∠FAD =60°,∵BC +CD +AD =3+3+3=9cm ,BC +CD +DP =3x ,∴AP =(9―3x)cm ,∴PF =9―3x 2·∴y =12BQ·PF =12x·9―3x 2·=―2;∴结合三种情况,图像如下所示:,故选:D.15.(2023·辽宁盘锦·中考真题)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上,顶点B、C在x轴的正半轴上,D,P(―1,―1).点M在菱形的边AD和DC上运动(不与点A,C重合),过点M作MN∥y轴,与菱形的另一边交于点N,连接PM,PN,设点M的横坐标为x,△PMN的面积为y,则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是()A.B.C.D.【思路点拨】先根据菱形的性质求出各点坐标,分M的横坐标x在0∼1,1∼2,2∼3之间三个阶段,用含x的代数式表示出△PMN的底和高,进而求出分段函数的解析式,根据解析式判断图象即可.【解题过程】解:∵菱形ABCD 的顶点A 在y 轴的正半轴上,顶点B 、C 在x 轴的正半轴上,∴ AB =AD =2,OA=∴ OB===1,∴ OC =OB +BC =1+2=3,∴ A ,B (1,0),C (3,0),设直线AB 的解析式为y =kx +b ,将A ,B (1,0)代入,得:k +b = ,解得k =b =∴直线AB 的解析式为y =―+∵ MN∥y 轴,∴N 的横坐标为x ,(1)当M 的横坐标x 在0∼1之间时,点N 在线段AB 上,△PMN 中MN 上的高为1+x ,∴ N (x,―+,∴ MN=(―+=,∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=⋅(1+x)=2+,∴该段图象为开口向上的抛物线;(2)当M 的横坐标x 在1∼2之间时,点N 在线段BC 上,△PMN 中MN =MN 上的高为1+x ,∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x)=(1+x)=∴该段图象为直线;(3)当M 的横坐标x 在2∼3之间时,点N 在线段BC 上,△PMN 中MN 上的高为1+x ,由D ,C (3,0)可得直线CD 的解析式为y =―+∴ M (x,―+,N (x,0),∴ MN =―+∴ S △PMN =12MN ⋅(1+x )=12(+⋅(1+x )=―2∴该段图象为开口向下的抛物线;观察四个选项可知,只有选项A 满足条件,故选A .16.(22-23九年级上·安徽蚌埠·期末)如图,在平面直角坐标系中,点A (2,0),点B,点C (―,点P从点O出发沿O→A→B路线以每秒1个单位的速度运动,点Q从点O出发沿O→C→B的速度运动,当一个点到达终点时另一个点随之停止运动,设y=PQ2,运动时间为t秒,则正确表达y与t 的关系图象是()A.B.C.D.【思路点拨】先分析各个线段的长,在Rt△OAB中,可知,OA=2,OB AB=4,∠BAO=60°,过点C作CM⊥y轴于点M,易得△OBC是等边三角形,OC=BC=OB P在OA上运动用时2s,在AB上运动用时4s,点Q在OC上运动用时2s,在OC上运动用时2s,则点P和点Q共用时4s,可排除D选项;再算出点P在OA上时,y的函数表达式,结合选项可得结论.【解题过程】解:如图,∵点A(2,0),点B(0,∴OA=2,OB∴AB=4,∠BAO=60°,过点C作CM⊥y轴于点M,则OM =BM CM =3,∴OC =BC ∴△OBC 是等边三角形,∠BOC =60°,∴点P 在OA 上运动用时2s ,在AB 上运动用时4s ,点Q 在OC 上运动用时2s ,在OC 上运动用时2s ,即点P 和点Q 共运动4s 后停止;由此可排除D 选项.当点P 在线段OA 上运动时,点Q 在线段OC 上运动,过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ,由点P ,点Q 的运动可知,OP =t ,OQ ,∴QN =12OQ ==32t,∴PN =52t,∴y =PQ 2=(52t)2+2=7t 2.即当0<t <2时,函数图象为抛物线,结合选项可排除A ,C .故选:B .17.(2022·辽宁·中考真题)如图,在等边三角形ABC 中,BC =4,在Rt △DEF 中,∠EDF =90°,∠F =30°,DE =4,点B ,C ,D ,E 在一条直线上,点C ,D 重合,△ABC 沿射线DE 方向运动,当点B 与点E 重合时停止运动.设△ABC 运动的路程为x ,△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ,则能反映S 与x 之间函数关系的图象是( )A.B.C.D.【思路点拨】分三种情形∶①当0<x≤2时,△CDG,②当2<x≤4时,重叠部分为四边形AGDC,③当4<x≤8时,重叠部分为△BEG,分别计算即可.【解题过程】解:过点A作AM⊥BC,交BC于点M,在等边△ABC中,∠ACB=60°,在Rt△DEF中,∠F=30°,∴∠FED=60°,∴∠ACB=∠FED,∴AC∥EF,在等边△ABC中,AM⊥BC,BC=2,AM=∴BM=CM=12BC•AM=∴S△ABC=12①当0<x≤2时,设AC与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG,由题意可得CD=x,DGCD•DG2;∴S=12②当2<x≤4时,设AB与DF交于点G,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC,由题意可得:CD=x,则BD=4﹣x,DG4﹣x),×(4﹣x)4﹣x),∴S=S△ABC﹣S△BDG=﹣12∴S=2﹣x﹣4)2③当4<x≤8时,设AB与EF交于点G,过点G作GM⊥BC,交BC于点M,此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG,由题意可得CD =x ,则CE =x ﹣4,DB =x ﹣4,∴BE =x ﹣(x ﹣4)﹣(x ﹣4)=8﹣x ,∴BM =4﹣12x在Rt △BGM 中,GM 4﹣12x ),∴S =12BE •GM =12(8﹣x )4﹣12x ),∴S x ﹣8)2,综上,选项A 的图像符合题意,故选:A .18.(2023·山东聊城·三模)如图(1)所示,E 为矩形ABCD 的边AD 上一点,动点P ,Q 同时从点B 出发,点P 沿折线BE ―ED ―DC 运动到点C 时停止,点Q 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1cm/秒,设P ,Q 同时出发t 秒时,△BPQ 的面积为y cm 2.已知y 与t 的函数关系图像如图(2)(曲线OM 为抛物线的一部分),则下列结论不正确的是( )A .AB:AD =4:5B .当t =2.5秒时,PQ =C .当t =294时,BQ PQ =53D .当△BPQ 的面积为4cm 2时,t 或475秒【思路点拨】先由图2中的函数图像得到当t =5时,点Q 到达点C ,即BC =5cm ,然后由5<t <7时,y =10可知△BPQ的面积是定值10cm 2、BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ,AE ==4cm ,可以判定A ;当0<t ≤5时,根据y =25t 2得到y =2.5cm 2,过点P 作PH ⊥BC 于点H ,根据y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2求得PH =2,设QH =x cm ,根勾股定理计算QH =1cm ,可计算PQ =根据AB =CD =4cm ,得到再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10),确定直线HN 或475秒;当t =294>284=7时,故点Q 在DC 上,把t =294代入直线HN 的解析式计算BQ PQ =43.【解题过程】解:设抛物线的解析式为y =at 2,当t =5时,y =10,∴10=25a ,解得a =25,∴y =25t 2,由图2中的函数图像得当t =5时,点Q 到达点C ,即BC =BE =5cm ,∵5<t <7时,y =10,∴△BPQ 的面积是定值10cm 2且BE =5cm,ED=2cm ,当t =7时点P 到达点D ,∴AE =5―2==4cm,AD=BC =5cm ,∴AB:AD =4:5,故A 正确,不符合题意;当0<t ≤5时,∵y =25t 2,t =2.5,∴BP =BQ =2.5cm ,y =2.5cm 2,过点P 作PH ⊥BC 于点H ,∴y =12BQ·PH =12×2.5cm ×PH =2.5cm 2解得PH =2,设QH =x cm ,则BH =BQ ―QH =(2.5―x )cm ,∴2.52=22+(2.5―x )2,解得x =1,x =4(舍去),∴QH =1cm ,∴PQ==故B 正确,不符合题意;根据AB =CD =4cm ,∴再运动4秒到达C 点即H (11,0),N (7,10),设直线HN 的解析式为y =kt +b ,根据题意,得11k +b =07k +b =10 ,解得k =―52b =552 ,∴直线HN 的解析式为y =―52t +552,∵△BPQ 的面积为4cm 2,故4=25t 2或4=―52t +552解得t==―t =475,故D 正确,不符合题意;∵t =294>284=7时,故点Q 在DC 上,当t =294时,y =―52×294+552=758,12PQ·BC =758解得PQ=154∴BQ PQ =5154=43.故C错误,符合题意.故选:C.19.(2023·辽宁·中考真题)如图,∠MAN=60°,在射线AM,AN上分别截取AC=AB=6,连接BC,∠MAN 的平分线交BC于点D,点E为线段AB上的动点,作EF⊥AM交AM于点F,作EG∥AM交射线AD于点G,过点G作GH⊥AM于点H,点E沿AB方向运动,当点E与点B重合时停止运动.设点E运动的路程为x,四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S,则能大致反映S与x之间函数关系的图象是()A.B.C.D.【思路点拨】分三种情况分别求出S与x的函数关系式,根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可.【解题过程】解:∵∠MAN=60°,AC=AB=6,∴△ABC是边长为6的正三角形,∵AD平分∠MAN,∴∠MAD=∠NAD=30°,AD⊥BC,CD=DB=3,①当矩形EFGH全部在△ABC之中,即由图1到图2,此时0<x≤3,∵EG∥AC,∴∠MAD=∠AGE=30°,∴∠NAD=∠AGE=30°,∴AE=EG=x,在Rt△AEF中,∠EAF=60°,∴EF==,∴S=2;②如图3时,当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC,x=6,解得x=4,则x+12由图2到图3,此时3<x≤4,如图4,记BC,EG的交点为Q,则△EQB是正三角形,∴EQ=EB=BQ=6―x,∴GQ=x―(6―x)=2x―6,而∠PQG=60°,∴PG==2x―6),∴S=S矩形EFHG―S△PQG=2x 2―12×(2x ―6)×2x ―6)=―2― ③如图6时,x =6,由图3到图6,此时4<x ≤6,如图5,同理△EKB 是正三角形,∴EK =KB =EB =6―x ,FC =AC ―AF =6―12x ,EF =, ∴S =S 梯形EKCF=―x +6―12x 2=―2, 因此三段函数的都是二次函数关系,其中第1段是开口向上,第2段、第3段是开口向下的抛物线, 故选:A .20.(22-23九年级上·安徽滁州·期末)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边长为4,且点A 与原点O 重合,边AD 在x 轴上,点B 的横坐标为―2,现将菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移,设平移时间为t (秒),菱形ABCD 位于y 轴右侧部分的面积为S ,则S 关于t 的函数图像大致为( )A .B .C .D .【思路点拨】过点B 作x 轴的垂线,垂足为点E ,如图所示,由菱形ABCD 沿x 轴以每秒1个单位长度的速度向右平移,分①当0≤t ≤2时;②当2<t <4时;③当4≤t ≤6时;④当t >6时;四种情况,作图求解S 关于t 的函数解析式,作出图像即可得到答案.【解题过程】解:过点B 作x 轴的垂线,垂足为点E ,如图所示:∵菱形ABCD 的边长为4,且点A 与原点O 重合,边AD 在x 轴上,点B 的横坐标为―2,∴OE =2,OB =4,∴∠OBE =30°,∴∠BOE =60°,BE =①当0≤t ≤2时,如图(1)所示:S =12OA ⋅OF =12×t ×=2;②当2<t <4时,如图(2)所示:S =S △ABE +S 矩形OEBG =12AE ⋅BE +BE ⋅OE =12×2×t ―2)=―③当4≤t ≤6时,如图(3)所示:∵∠C =60°,OD =OA ―AD =t ―4,∴∠KDO =60°,OK=t ―4),∵HO =BE =∴HK =HO ―OK =―t ―4)=―+∵HB =OE =OA ―AE =t ―2,∴CH =BC ―HB =4―(t ―2)=―t +6,S =S 菱形ABCD ―S △CHK =AD ⋅BE ―12CH ⋅HK =4×―12(―t +6)(―+=―2―+=―2―当t >6时,S =S 菱形ABCD =AD ⋅BE=综上所述S =20≤t ≤2―2<t <4t2+―4≤t ≤6t >6 ,∴第一段二次函数部分,开口向上;第二段一次函数部分;第三段二次函数部分,开后向下;第四段平行于x轴的射线,故选:A.。

中考数学论文动点问题论文:例谈中考数学中的动点问题

中考数学论文动点问题论文:例谈中考数学中的动点问题

中考数学论文动点问题论文:例谈中考数学中的动点问题[摘要]本文将以由动点产生的三角形、四边形、圆等几何图形的问题为例,剖析此类问题,让考生有所借鉴,使解决这类问题水到渠成。

[关键词]中考数学动点问题压轴题在中考数学中,最让学生发怵的无疑是被大家称为压轴题的最后一题,而所谓的考试成绩区分度很大程度上取决于最后的压轴题。

纵观各省市多年来的中考压轴题,无不都体现着数形结合的思想,其中函数图像中的动点问题占据着非常重要的一席之地。

这部分的压轴题的主要特征是先求函数的解析式,然后在函数的图像上探求几何条件的点。

本文将以由动点产生的三角形、四边形、圆等几何图形的问题为例,剖析此类问题,让考生有所借鉴,使解决这类问题水到渠成。

一、由动点产生的三角形问题例1 (2010重庆綦江县)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点b(12,0)和c(0,-6),对称轴为x=2.(1)求该抛物线的解析式;(2)点d在线段ab上且ad=ac,若动点p从a出发沿线段ab以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点q以某一速度从c出发沿线段cb匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段pq被直线cd垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点q的运动速度;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点m时,△mpq为等腰三角形?若存在,请求出所有点m的坐标,若不存在,请说明理由。

【思维点拨】1.第一问是典型的已知两点求二次图像的问题,直接运用待定系数法,将两点的坐标代入即可求得抛物线的解析式。

对于本题而言,考生亦可采取通过图像的对称性表示抛物线的解析式,进而将两点的坐标代入求得结果。

2.第二、三问为典型的点的存在性问题,所需满足的几何条件分别为:线段垂直平分以及构成等腰三角形。

解决此类问题,一般假设结论成立即存在满足条件的点,以此作为前提进行推导,所得点即为所求;若推导所得不合题意则假设不成立,即满足条件的点不存在。

中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)之令狐文艳创作

中考数学动点问题专题讲解(一)(建立动点问题的函数解析式)之令狐文艳创作

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.令狐文艳关键:动中求静.数学思想:分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形,让学生经历探索的过程,以能力立意,考查学生的自主探究能力,促进培养学生解决问题的能力.图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况,需要理解图形在不同位置的情况,才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展.这些压轴题题型繁多、题意创新,目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等.从数学思想的层面上讲:(1)运动观点;(2)方程思想;(3)数形结合思想;(4)分类思想;(5)转化思想等.研究历年来各区的压轴性试题,就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向,它有利于我们教师在教学中研究对策,把握方向.只的这样,才能更好的培养学生解题素养,在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向.本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点.函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上,有一个动点P,PH⊥OA,垂足为H,△OPH的重心为G.(1)当点P在弧AB上运动时,线段GO、GP、GH中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x=,求y关于x的函数解析式,并写出函数=,GP y的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH 中,有长度保持不变的线段,这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6).(3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验,6=x 是原方程的根,且符合题意.②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验,0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.本专题的主要特征是两个点在运动的过程中,直接或间接地构造了直角三角线,因此可以利用勾股定理去建立函数关系式. 勾股定理是初中数学的重要定理,在运用勾股定理写函数解析式的过程中,主要是找边的等量关系,要善于发现这种内H M N G P O A B 图1 x y在的关系,用代数式去表示这些边,达到解题的目的. 由于是压轴题,有的先有铺垫,再写解析式;有的写好解析式后,再证明等腰三角形、相似三角形等,还有的再解一些与圆有关的体型. 要认真领会,达到举一反三的目的.1 牢记勾股定理:在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.例题,扇形中∠AOB=45°,半径OB=2,矩形PQRS的顶点P、S在半径OA上,Q在半径OB上,R在弧AB上,连结OR. (1)当∠AOR=30°时,求OP长(2)设OP=x,OS=y,求y与x的函数关系式及定义域2 在四边形的翻折与旋转中,往往会应用到勾股定理,由此产生些函数解析式的问题,要熟练掌握.例题:如图,正方形ABCD中,AB=6,有一块含45°角的三角板,把45°角的顶点放在D点,将三角板绕着点D旋转,使这个45°角的两边与线段AB、BC分别相交于点E、F (点E与点A、B不重合)(1)从几个不同的位置,分别测量AE、EF、FC的长,从中你能发现AE、EF、FC的数量之间具有怎样的关系?并证明你所得到的结论(2)设AE=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域(3)试问△BEF的面积能否为8?如果能,请求出EF的长;如果不能,请说明理由.3 在一些特殊的四边形中,如矩形、正方形,它们都是直角,菱形的对角线互相垂直,这些都有可能构造直角三角形,可以考虑用勾股定理写出函数的解析式.例题:如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠B=60°,点P是射线BC上的一个动点,∠PAQ=60°,交射线CD于点Q,设点P到点B的距离为x,PQ=y(1)求证:三角形APQ是等边三角形(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域(3)如果PD⊥AQ,求BP的值4 作底边上的高,可以构造直角三角形,利用勾股定理写函数的解析式例题:如图,等边△ABC的边长为3,点P、Q分别是AB、BC上的动点(点P、Q与△ABC的顶点不重合),且AP=BQ,AQ、CP相交于点E.(1)如设线段AP为x,线段CP为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域(2)当△CBP的面积是△CEQ的面积的2倍时,求AP的长(3)点P、Q分别在AB、BC上移动过程中,AQ和CP能否互相垂直?如能,请指出P点的位置,请说明理由.5 在解圆的题目时,首选的辅助线是弦心距,它不仅可以运用垂径定理,而且构造了直角三角形,为用勾股定理写函数解析式创造了条件.例题:如图,⊙A和⊙B是外离的两圆,两圆的连心线分别交⊙A、⊙B于E、F,点P是线段AB上的一动点(点P不与E、F重合),PC切⊙A于点C,PD切⊙B于点D,已知⊙A的半径为2,⊙B的半径为1,AB=5.(1)如设线段BP的长为x,线段CP的长为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域(2)如果PC=PD,求PB的长(3)如果PC=2PD,判断此时直线CP与⊙B的位置关系,证明你的结论6 强调圆的首选辅助线是弦心距,它不仅可以平分弦,而且构造了直角三角形,为解题创建新思路.例题:如图,在△ABC中,AB=15,AC=20,cotA=2,P是边AB上的一个动点,⊙P的半径为定长. 当点P与点B重合时,⊙P恰好与边AC相切;当点P与点B不重合,且⊙P与边AC 相交于点M和点N时,设AP=x,MN=y.(1)求⊙P的半径(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域(3)当AP=65时,试比较∠CPN与∠A的大小,并说明理由阶梯题组训练1 如图,E是正方形ABCD的边AD上的动点,F是边BC延长线上的一点,且BF=EF,AB=12,设AE=x,BF=y.(1)当△BEF是等边三角形时,求BF的长;(2)求y与x之间的函数解析式,并写出它的定义域;(3)把△ABE沿着直线BE翻折,点A落在点A′处,试探索:△A′BF能否为等腰三角形?如果能,请求出AE的长;如果不能,请说明理由.2 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D是边AC上不与点A、C重合的任意一点,DE⊥AB,垂足为点E,M是BD 的中点.(1)求证:CM=EM;(2)如果BC=3设AD=x,CM=y,求y与x的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)当点D在线段AC上移动时,∠MCE的大小是否发生变化?如果不变,求出∠MCE的大小;如果发生变化,说明如何变化.中,对角线AC⊥AB,AB=15,AC=20,点P为射线BC上一动点,AP⊥PM(点M与点B分别在直线AP的两侧),且∠PAM=∠CAD,连结MD.(1)当点M内时,如图,设BP=x,AP=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数定义域;(2)请在备用图中画出符合题意的示意图,并探究:图中是否存在与△AMD相似的三角形?若存在,请写出并证明;若不存在,请说明理由;(3)当△为等腰三角形时,求BP的长.4 抛物线经过A(2,0)、B(8,0)、C(0,3316).(4)求抛物线的解析式;(5)设抛物线的顶点为P,把△APB翻折,使点Pl落在线段AB上(不与A、B重合),记作P′,折痕为EF,设AP′=x,PE=y,求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(6)当点P′在线段AB上运动但不与A、B重合时,能否使△EFP′的一边与x轴垂直?若能,请求出此时点P′的坐标;若不能,请你说明理由.5 如图,矩形ABCD中,AD=7,AB=BE=2,点P是EC(包括E、C)上的动点,线段AP的垂直平分线分别交BC、AD于点F、G,设BP=x,AG=y.(4)四边形AFPG是说明图形?请说明理由;(5)求y与x的函数关系式;(6)如果分别以线段GP、DC为直径作圆,且使两圆外切,求x的值.6 在梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥AD,AB=4,AD=5,CD=5. E为底边BC上一点,以点E为圆心,BE为半径画⊙E交直线DE 于点F.(1)如图,当点F在线段DE上时,设BE=x,DF=y,试建立y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当以CD为直径的⊙O与⊙E相切时,求x的值;(3)连结AF、BF,当△ABF是以AF为腰的等腰三角形时,求x的值.7 如图,在正方形ABCD中,AB=1,弧AC是以点B为圆心,AB 长为半径的圆的一段弧,点E是边AD上的任意一点(点E与点A、D不重合),过E作弧AC所在圆的切线,交DC于点F,G为切点.(1)当∠DEF=45°时,求证点G为线段EF的中点;(2)设AE=x,FC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的解析式;5(3)将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,如图2,当EF=6时,讨论△AD1D与△ED1F是否相似,如果相似,请加以证明;如果不相似,只要求写出结论,不要求写出理由.(2003年上海第27题)二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ABC中,AB=AC=1,点D,E在直线BC上运动.设BD=,x CE=y.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y与x之间的函数解析式;(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°. ∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =, ∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90.当=-2αβ︒90时,函数解析式x y 1=成立.例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.A ED C B 图2 A 3(2) 3(1)(3)当BF=1时,求线段AP 的长.解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58.∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时,①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1),则CF=4. ∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2.②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.类似①,可得CF=CE.∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述,当BF=1时,线段AP 的长为2或6.本专题探究在图形的运动变化过程中,存在平行或相似的三角形,利用比例式来建立函数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式,一个变量是线段,也是利用相似或平行来构造比例式,从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题,一般情况下写出解析式后还会有一个证等腰或相似或相切的题目,可以二次函数专题中的解题思想进行处理.1 由平行得到比例式,从而建立函数关系式.1AB,点P是边例题:如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=21PD,∠APD=∠ABC,连结DC并延长交边AC上的一个点,AP=2AB的延长线于点E(1)求证:AD//BC(2)设AP=x,BE=y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域(3)连结BP,当△CDP与△CBE相似时,试判断BP与DE的位置关系,并说明理由2 由三角形相似得到比例式,建立函数关系式例题:如图,在正方形ABCD中,AB=2,E为线段CD上一点(点E与点C、D不重合),FG垂直平分AE,且交AE于F,交AB延长线于G,交BC于H.(1)证明:△ADE∽△GFA(2)设DE=x,BG=y,求y关于x的函数解析式及定义域1时,求DE的长(3)当BH=43 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候,初中阶段的知识已经学了不少,对最后的压轴题的综合性的要求已经很高了.一般会在写解析式前有一些证明或计算,写好解析式后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道小的题目,各个击破,难题也就变简单了.例题:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinB=54,AC=4;D 是BC 的延长线上一个动点,∠EDA=∠B ,AE//BC.(1) 找出图中的相似三角形,并加以证明(2) 设CD=x ,AE=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(3) 当△ADE 为等腰三角形时,求AE 的长4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的,下面来看在平面直角坐标系中怎样写解析式.例题:如图,在直角坐标系中的等腰梯形AOCD 中,AD//x 轴,AO=CD=5,OC AD =52,cos a=53,P 是线段OC 上的一个动点,∠APQ=∠a,PQ 交射线AD 于点Q ,设P 点坐标为(x ,0),点Q 到D 的距离为y(1)求过A 、O 、C 三点的抛物线解析式 (2)用含x 的代数式表示AP 的长 (3)求y 与x 的函数解析式及定义域 (4) △CPQ 与△AOP 能否相似?若能,请求出x 的值,若不能,请说明理由5 当一个变量是比例式,另一个变量是一条线段,怎样来写函数的解析式呢?可以根据题目的要求,由相似三角形面积的比等于相似比的平方,或相似三角形周长的比等于相似比等建立函数解析式.例题:如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,0),点B 、C 的坐标分别为(-1,0),C (0,b ),且0<b <3,m 是经过点B 、C 的直线,当点C 在线段OC 上移动时,过点A 作AD ⊥m 于点D.(1) 求点D 、O 之间的距离 (2) 如果BOC BDA S △△S =ɑ,试求:ɑ与b 的函数关系式及ɑ的取值范围 (3)当∠ADO 的余切值为2时,求直线m 的解析式 (4) 求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候,初中阶段的知识已经学得差不多了,对于一些貌似很复杂的图形,只要能够分层求解,就能化繁为简.例题:如图,在边长为6的正方形ABCD 的两侧如图作正方形BEFG 、正方形DMNK ,恰好使得N 、A 、F 三点在一直线上,连结MF 交线段AD 于点P ,连结NP ,设正方形BEFG 的边长为x ,正方形DMNK 的边长为y.(1)求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围 (2)当△NPF 的面积为32时,求x 的值 (3) 以P 为圆心,AP 为半径的圆能够与以G 为圆心,GF 为半径的圆相切,若能请求x 的值,若不能,请说明理由 练习:1. 如图,在三角形中,AB=AC=8,BC=10,点D 、E 分别在BC 、AC 上(点D 不与B 、C 重合),且∠ADE=∠B ,设BD=x ,AE=y.(1)求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域(2)点D在BC上的运动过程中,△ADE是否有可能成为一个等腰三角形?如有可能,请求出当△ADE为等腰三角形时x的值;如不可能,请说明理由.3,点D是边AC上的点,2.在△ABC中,AB=4,AC=5,cosA=5点E是边AB上的点,且满足∠AED=∠A,DE的延长线交射线CB于点F,设AD=x,EF=y.(1)如图1,用含x的代数式表示线段AE的长(2)如图1,求y关于x的函数解析式及函数的定义域(3)连结EC,如图2,求档x为何值时,△AEC与△BEF相似.3.如图,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.(1)求y关于x的函数关系式(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?12,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?(3)若y=m4.已知在梯形ABCD中,AD//BA,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.(1)如图,P为BC上的一点,且BP=2. 求证:△BEP∽△CPD;(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合),且满足∠EPF=∠C,PF交直线CD与点F,同时交直线AD于点M ,那么(3) 当点F 在线段CD 的延长线上时,设BP=x ,DF=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;(4)当S △DMF =49S △BEP 时,求BP 的长. 5. 如图,在四边形ABCD 中,∠B=90°,AD//BC ,AB=4,BC=12,点E 在边BA 的延长线上,AE=2,点F 在BC 边上,EF 与边AD 相交于点G ,DF ⊥EF ,设AG=x ,DF=y.(3)求y 关于x 的函数解析式,并写出定义域; (4)当AD=11时,求AG 的长; (5) 如果半径为EG 的⊙E 与半径为FD 的⊙F 相切,求这两个圆的半径.6. 如图,在半径为5的⊙O 中,点A 、B 在⊙O 上,∠AOB=90°,点C 是弧AB 上的一个动点,AC 与OB 的延长线相交于点D ,设AC=x ,BD=y.(1) 求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(2) 若⊙O 1与⊙O相交于点A 、C ,且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2,当BD=31OB 时,求⊙O 1的半径;(3) 是否存在点C ,使得△DCB ∽△DOC ?如果存在,请证明;如果不存在,请简要说明理由.7. 已知∠ABC=90°,AB=2,BC=3,AD//BC ,P 为线段BD 上的动点,点Q 在射线AB 上,且满足PC PQ =AB AD (如图1所示)(1) 当AD=2,且点Q 与点B 重合时(如图2所示),求线段PC 的长;(2) 在图1中,连结AP. 当AD=23,且点Q 在线段AB 上时,设点B 、Q 之间的距离为x ,PBC APQ S S △△=y ,其中S △APQ 表示△APQ 的面积,S △PBC 表示△PBC 的面积,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数定义域;(3) 当AD <AB ,且点Q 在线段AB 的延长线上时(如图3所示),求∠QPC 的大小.(2009上海第25题)三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(2004年·上海)如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x .此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x .A B CO 图8 H解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-.综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21. 例2、【09广东】正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直.(1)证明:Rt △ABM ∽Rt △MCN ;(2)设BM =x ,梯形ABCN 的面积为y ,求y 与x 之间的函数关系式;当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积;(3)当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN ,求此时x 的值练习1.如图,在△ABC 中,BC=8,CA= ,∠C=60°,EF ∥BC ,点E 、F 、D 分别在AB 、AC 、BC 上(点E 与点A 、B 不重合),连接ED 、DF 。

动点与函数图像问题剖析

动点与函数图像问题剖析

动点问题的函数图象解答此类问题的策略可以归纳为三步:“看” 、“写” 、“选”。

“看”就是认真观察几何图形,彻底弄清楚动点从何点开始出发,运动到何点停止,整个运动过程分为不同的几段,何点(时刻)是特殊点(时刻),这是准确解答的前提和关键;“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式,注意一定要注明自变量的取值范围,求出在特殊点的函数数值和自变量的值;“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案,多用排除法。

首先,排除不符合函数类形的图像选项,其次,对于相同函数类型的函数图像选项,再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除,选出准确答案。

一、选择题(共30小题)1.已知:如图1,点G是BC的中点,点H在AF上,动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动,运动路径为:G→C→D→E→F→H,相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的函数图象如图2,若AB=6cm,则下列四个结论中正确的个数有()①图1中的BC长是8cm;②图2中的M点表示第4秒时y的值为24;③图1中的CD长是4cm;④图1中的DE长是3cm;⑤图2中的Q点表示第8秒时y的2y=2.如图1,在直角梯形ABCD 中,动点P 从点B 出发,沿BC→CD 运动至点D 停止.设点P 运动的路程为x ,△APB 的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则△BCD 的面积是( )的面积是×运 动,回到点A 时运动停止.设点P 运动的路程长为长为x ,AP 长为y ,则y 关于x 的函数图象大致是( ). C . 2a+2BD=y=))时,y=)2+22+21+4.(2012•绥化)如图,点A 、B 、C 、D 为⊙O 的四等分点,动点P 从圆心O 出发,沿OC ﹣﹣DO 的路线做匀速运动,设运动的时间为t 秒,∠APB 的度数为y 度,则下列图象中表示y (度)与t (秒)之间函数关系最恰当的是( ) .BD 上运动时,∠上运动时,∠5.(2010•宜昌)如图,在圆心角为90°的扇形MNK 中,动点P 从点M 出发,沿MN ⇒⇒KM 运动,最后回到点M 的位置.设点P 运动的路程为x ,P 与M 两点之间的距离为y ,其图象可能是( ).6.如图,矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点P从点B出发,沿B→C→D向终点D匀速运动,设点P走过的路程为x,△ABP的面积为S,能正确反映S与x之间函数关系的图象是()于是他只好从家出发,乘车沿A⇒B⇒C⇒D的路径匀速前进到D为止.在这个过程中,△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是()交AB于M,交DC于N,设AE=x,则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是()BE==BE•MN=x x xPQ为一边作正方形PQRS,若BP=x,正方形PQRS与矩形ABCD重叠部份的面积为y,则y与x的函数的大致图象是()动的路程x为自变量,△ABP面积y为函数的图象,如图2,则梯形ABCD的面积是()的面积是(向运动(点P与A不重合).设P的运动路程为x,则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系()y=回至点O停止,点P在运动过程中速度大小不变,以点O为圆心,线段OP长为半径作圆,则该圆的周长l与点P的运动时间t之间的函数图象大致为().B D13.(2007•泰安)如图,四边形ABCD是边长为2cm的正方形,动点P在ABCD的边上沿A﹣B﹣C﹣D的路径以1cm/s的速度运动(点P不与A,D重合).在这个运动过程中,△APD的面积S(cm)2随时间t(s)的变化关系用图象表示,正确的为()1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点M与点A重合,点N到达点B时运动终止),过点M、N分别作AB边的垂线,与△ABC的其它边交于P、Q两点.线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.则大致反映S与t变化关系的图象是()S=S=此题主要考查了直角梯形的面积求法,以及动点函数的应用,由动点找特殊点,是解决问题的关键.15.(2010•綦江县)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P从起点B出发,沿BC、CD逆时针方向向终点D匀速运动.设点P所走过路程为x,则线段AP、AD与矩形的边所围成的图形面积为y,则下列图象中能大致反映y与x函数关系的是()时,所围成的面积为梯形,时,所围成的面积为三角形,驶到景点B,然后从B沿直径BC行驶到⊙D上的景点C.假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速,则下面各图中能反映旅游船与景点D的距离随时间变化的图象大致是()17.(2010•十堰)如图,点C,D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点,AB=4,点E,F分别是线段CD,AB上的动点,设AF=x,AE2﹣FE2=y,则能表示y与x的函数关系的图象是()时间t的关系可能是下列图形中的()19.(2005•兰州)四边形ABCD为直角梯形,CD∥AB,CB⊥AB且CD=BC=AB,若直线L⊥AB,直线L截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y,点A到直线L的距离为x,则y与x关系的大致图象为()CD=BC=BCCD=BC=xy=数图象的描述问题.此题主要考查正方形的性质与判定,等腰直角三角形的性质,三角形的面积,梯形的面积以及动点分段函20.如图,BC是⊙D的直径,A为圆上一点.点P从点A出发,沿运动到B点,然后从B点沿BC运动到C点.假如点P在整个运动过程中保持匀速,则下面各图中,能反映点P与点D的距离随时间变化的图象大致是()21.在▭ABCD中,对角线AC=4,BD=6,P是线段BD上一动点,过P作EF∥AC,与▱ABCD的两边分别交于E、F.设BP=x,EF=y,则反映y与x之间关系的图象是()得,化简可得y=时,根据平行线的性质,可得=x+9动到点B,运动时间为t,分别以AP与PB为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为()=+t24.如图,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=13,AB=12,E是BC边上一点,过点E作DE⊥BC交AC所在直线于点D,若BE=x,△DCE的面积为y,则y与x的函数图象大致是()直到AB与FE重合,直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的函数图象可能是()运动时间为t,∠APB的度数为y,则y与t之间函数关系的大致图象是()∠向终点B运动,设点P所走过路程CP的长为x,△APB的面积为y,则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是()y=×自左向右匀速穿过正方形.下图反映了这个运动的全过程,设正三角形的运动时间为t,正三角形与正方形的重叠部分面积为s,则s与t的函数图象大致为().B D29.如图,腰长为1和2的两个等腰直角三角形,其一腰在同一水平线上,小等腰直角三角形沿该水平线自左向右匀速穿过大等腰直角三角形,设穿过的时间为x ,大等腰三角形内减去小等腰直角三角形部分的面积为y (各个图中的阴影部分),则y 与x 的大致图象为( ). BDB 点匀速运动,那么表示△PAB 的面积S (厘米2)与点P 运动时间t (秒)之间的函数关系的图象为图( )。

动点生成函数图象问题

动点生成函数图象问题

Q,进而找出运动 过程中不同情形的临界点 4、计算:进行相关的计算
应用
如图1,E为矩形ABCD边AD上一点,点P从点B沿折线 BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止,点Q从点B沿BC运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1cm/s.若P,Q同时开始运 动,设运动时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2).已 知y与t的函数图象如图2,则下列结论正确的有________ ① AE=6cm ② sin∠EBC= 0.8 ③ 当0<t≤10时,y=t2 ④ 当t=12s时,△PBQ是等腰三角形
衢州市兴华中学
聂秀宾
引例
如图1,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC, CD,DA运动至点A 停止,设点P的运动路程为x , △ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所 示,求△ABC的面积。
一般思路
1、判断:判断在运动过程中可能出现的不同情形 2、对照:动点图形和函数图象对照着看,抓住两 图的对应关系。
应用
在△ABC中,点P从B点开始出发向C点运动,在运动过程中, 设线段AP的长为y,线段BP的长为x(如图甲),而y关于x的 函数图象如图乙所示,点Q(1, )是函数图象上的最低点, 请仔细观察甲、乙两图,解答下列问题: (1)请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长 (2)求∠B的度数 (3)若△ABP为钝角三角形,求x的取值范围
挑战 如图1,在矩形 ABCD中,AB=10cm,BC=8cm.点P
从A出发,沿A→B→C→D路线运动,到D停止;点Q从D出发, 沿 D→C→B→A路线运动,到A停止.若点P、点Q同时出发, 点P的速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒2cm,a秒时点P、 点Q同时改变速度,点P的速度变为每秒bcm,点Q的速度变 为每秒dcm.图2是点P出发x秒后△APD 的面积S1(cm2 ) 与x(秒)的函数关系图象;图3是点Q出发x秒后△AQD的面 积S2(cm2)与x(秒)的函数关系图象. ( 1 )参照图象,求 a、b、c、d2 的值; ( 3 )如果点 P、Q分别为半径为 cm,3cm的⊙P、⊙Q的圆 心,那么在运动过程中,当 x 为何值时,两圆外切? (2)当x为何值时,点P,Q相遇?

二次函数——由动点生成的特殊三角形问题

二次函数——由动点生成的特殊三角形问题

二次函数——由动点生成的特殊三角形问题在数学中,二次函数是一类特殊的函数,其数学表达式为y = ax² + bx + c,其中a、b、c为实数,且a≠0。

二次函数在数学中被广泛运用于解决各种问题,其中包括由动点生成的特殊三角形问题。

这个问题是通过将动点移动而生成的三角形,而且有一些特殊性质。

在本文中,我们将探讨这个问题,并研究其中的数学原理和应用。

首先,让我们考虑一个动点M(x, y)在平面直角坐标系上的移动。

该动点的运动路径取决于二次函数y = ax² + bx + c的具体形式。

我们可以通过设置一些特定的条件,来确定动点的运动路径。

例如,如果我们设置动点在y轴上移动,即x始终为常数,那么我们可以得到一条直线y = bx + c,其中b、c为常数。

这条直线称为二次函数的纵轴截距。

同样地,如果我们设置动点在x轴上移动,即y始终为常数,那么我们可以得到y轴上的一条直线y=c。

这条直线称为二次函数的横轴截距。

通过改变a的值,我们可以改变二次函数的开口方向。

当a>0时,二次函数的图像是一个开口向上的抛物线;当a<0时,二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。

有了这些基本概念后,我们可以引出动点生成的特殊三角形问题。

该问题是通过动点在平面上的移动生成一个特殊的三角形。

设有一个二次函数y = ax² + bx + c。

我们将动点M(x, y)沿着该函数的图像移动。

当动点到达二次函数的两个零点时,即该二次函数与x轴的交点时,我们可以得到一个特殊的三角形。

令二次函数与x轴的交点为A(x₁,0)和B(x₂,0)。

那么三角形OAB的面积可以通过计算底边OA和OB之间的面积来得到。

对于这个特殊的三角形,我们可以发现一些有趣的性质。

首先,由于三角形的底边OA和OB的长度是确定的,因此三角形的面积也是确定的。

这意味着不论动点如何移动,三角形的面积是恒定的。

其次,由于底边OA和OB的长度也是确定的,所以这个特殊三角形的形状也是固定的。

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题函数图像中的存在性问题是函数图像是否存在的研究。

在研究函数图像的存在性时,我们通常会考虑到以下几个问题:函数是否有定义域和值域,函数是否连续,函数是否可导等等。

其中,因动点产生的面积问题是函数图像的一个特殊存在性问题。

考虑一个动点在平面上运动,其轨迹为函数的图像,我们可以通过计算该轨迹所围成的面积来研究函数图像的存在性。

首先,让我们考虑一个较简单的函数图像,例如:y=x。

当动点在平面上矩形区域内运动时,其轨迹就可以看作是函数y=x的图像。

我们可以将矩形区域分成无数个小长方形,并计算每个小长方形所围成的面积的和。

当矩形区域趋近于函数图像所占据的面积时,这个和就可以逼近函数图像所围成的面积。

如果这个和存在且为有限值,则可以认为函数图像所围成的面积存在。

然而,对于一些函数图像,存在动点产生的面积问题可能并不存在。

例如:y=1/x。

当动点运动到x=0的位置时,函数图像与x轴相切,不再围成一个有限的面积。

在这种情况下,我们无法通过动点产生的面积来研究函数图像的存在性。

对于一些较为复杂的函数图像,动点产生的面积问题可能会更加具有挑战性。

例如:y = sin(x)。

当动点在平面上运动时,函数图像会在一些位置出现多个极大值和极小值。

在这种情况下,计算动点产生的面积变得更为复杂,可能需要使用更高级的数学工具来解决。

总之,动点产生的面积问题是函数图像存在性问题的一个特殊情况。

通过计算动点所产生的面积,我们可以研究函数图像的存在性。

然而,对于一些复杂的函数图像,动点产生的面积问题可能并不存在或更加困难。

因此,在研究函数图像的存在性时,我们需要综合考虑多个因素,并使用合适的数学工具来解决。

动点问题的函数图象

动点问题的函数图象

【考点精讲】动点问题是中考的常考点,对于解决动点问题中,点动会牵扯到线动、面动,解决这类题目要“以静制动”,即把动态的问题转化为静态问题来解决,一般方法是抓住变化中的“不变量”,以不变应万变。

而对于动点问题的图象问题的解决,要抓住图形中的关键点,例如与x 轴、y 轴的交点,图象上的转折点、图象中与x 轴、y 轴平行的线等图象。

【典例精析】例题1 (贵州贵阳中考)如图,在直径为AB 的半圆O 上有一动点P 从A 点出发,按顺时针方向绕半圆匀速运动到B 点,然后再以相同的速度沿着直径回到A 点停止,线段OP 的长度d 与运动时间t 之间的函数关系用图象描述大致是( )(A . B. C . D .思路导航:情境分三段,点P 在圆周上、在OB 上,在AO 上,因此图象分三段,根据在每一段上线段OP 的长度d 随运动时间t 的变化来确定。

答案:点P 在圆周上时,d 不随t 的变化而变化,故第一段图象平行x 轴,点P 在OB 上,d 随t 的增加而减小,直到0,故此段图象呈下降趋势,点P 在AO 上,d 随t 的增加而增大,直到增加到半径的长度,即与第一段图象齐平,故选A 。

点评:先根据运动过程理解函数与自变量的变化规律以及分段情况,然后对照所给图象找到满足问题情境变化的规律。

注意弄清函数图象中横轴和纵轴意义,以及每段图象的起始点。

例题2 矩形ABCD 中,AB =20cm ,BC =10cm ,有一点P 沿着矩形从A 向B 再向C 以2cm/s 的速度移动。

(1)求△APC 的面积S 与时间t 的函数解析式,并指出自变量的取值范围。

(2)当面积为20cm2时,求点P的位置。

思路导航:△APC的面积为12AP BC⋅或12AP AB⋅,只要利用含t的代数式表示AP和PC即可。

答案:解:(1)1210(010)21(302)20(1015) 2t tSt t⎧⨯⨯<≤⎪⎪=⎨⎪⨯-⨯<<⎪⎩,化简得:10(010)30020(1015)t tSt t<≤⎧=⎨-<<⎩。

几何画板动点与函数问题

几何画板动点与函数问题

第七节动点与函数问题这类问题主要探究动点在移动过程中,相关线段的长或相关图形的面积随点的移动距离的变化而变化的情况,大多可以通过建立直角坐标系,构造出动态的函数图象,结合图象的动态演示过程,来寻找解题思路,明晰各种情况,使问题得到解决。

一、双直线型双动点与函数问题例1如图,在Rt△OAB中,OA=4,AB=3。

动点M从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,沿AO向终点O移动;同时点N从点O出发,以每秒1.25个单位长度的速度,沿OB向终点B移动。

当两个动点运动了x秒(0<x<4)时,解答下列问题:(1)设△OMN的面积是S,求S与x之间的函数表达式;当x为何值时,S有最大值?最大值是多少?(2)在两个动点运动过程中,是否存在某一时刻,使△OMN是直角三角形?若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由。

分析:由条件易知,两个动点运动4秒时,同时到达终点。

可将点M设置为主动点,利用点M的点值构造出点N。

画图时要注意线段的方向,构造动态函数图象时要注意将测量得到的实际长度和面积转化为特定长度和面积。

作法:⑴构造水平线段AO,双击点A标记中心,将点O按固定比43缩放,得到点C;再将点C按—90°旋转,得到点B。

连接OB,AB,得到Rt△OAB。

将点C隐藏。

在OA上构造任意一点M,选定点M,度量其点值;选定点M的点值及线段OB,点击“绘图”菜单中的“在线段上绘制点”,得到点N。

⑵用“线段直尺工具”连接MN,AM,选定点O,M,N,点击“构造”菜单→“构造三角形的内部”,得到△OMN的内部。

度量点A,O的距离,得到线段AO的长;计算AO长与4的商,得到单位长度。

度量点A,M的距离,得到线段AM的长,计算AM长与单位长度的商,得到线段AM的特定长度,修改其标签为x。

选定△OMN的内部,度量其面积,再用面积除以单位长度的平方,得到△OMN的特定面积,修改其标签为y。

⑶建立直角坐标系并标记坐标系。

选定x及y的值,点击“绘图”菜单→“绘制点(x,y)”,在坐标系中得到对应的点D。

例析动点与一次函数的图象问题-绝对经典

例析动点与一次函数的图象问题-绝对经典

图 1 A BP 图 2例析动点与一次函数的图象问题动点在几何图形(正方形、矩形、梯形等)的边上运动,导致了与某些图形组成的图形的面积不断变化形成的一次函数问题,可以巧妙地运用分段的一次函数图象描绘出来,此类问题把“形”与“数”达到了完美的结合,解决此类问题我们要学会用分析的眼光,既要注意动点运动到的某些特殊位置,又要善于从提供的图象中获取有效信息(特别要搞清横纵坐标轴代表的变量意义).例1、(山东省)如图1,在矩形ABCD 中,动点P 从点B 出发,沿BC ,CD ,DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y ,如果y 关于x 的函数图象如图2所示,则△ABC 的面积是A .10B .16C .18D .20分析:,动点P 从点B 出发,沿BC 运动到点C ,△ABP 的面积(y=21AB ·PB )不断增大,对应图像为第①部分,从横轴上可以知道BC=4,当动点P 从点C 运动到点D 时,△ABP 的面积(y=21AB ·CB )保持不变,对应图象为第②部分,故CD=9-4=5,所以△ABC 的面积=21AB ·CB=21×4×5=10故选A.例2、(重庆市)如图3,在直角梯形ABCD 中,DC ∥AB ,∠A=90°,AB=28cm ,DC=24cm ,AD=4cm ,点M 从点D 出发,以1cm/s 的速度向点C 运动,点N 从点B 同时出发,以2cm/s 的速度向点A 运动,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点也随之停止运动.则四边形ANMD 的面积y (cm 2)与两动点运动的时间t (s )的函数图象大致是( D )BCMNAD 图3·P分析:由题意可知四边形ANMD 是一个直角梯形,由梯形的面积公式可得y=21(DM+AN )·AD=21(1×t+28-2t )×4=56-2t 点N 从点B 出发,以2cm/s 的速度运动到点A 时所用的时间为t =28÷2=14 (s)又形成的图形为四边形,故与两动点运动的时间t (s )的取值范围为0<t<14,所以对应图象应选择D .特别提醒:选择图象时,一定要注意自变量的取值范围.包括端点是否能够取得. 例3、(长沙市)在平面直角坐标系中,一动点P (x ,y )从M (1,0)出发,沿由A (-1,1),B (-1,-1),C (1,-1),D (1,1)四点组成的正方形边线(如图①)按一定方向运动。

动静相宜 数形结合——浅析动点生成函数图像问题

动静相宜 数形结合——浅析动点生成函数图像问题

与Y 的关系 , 再由A, 点的坐标 , 求出直线 A B的函

图 1
图 2
( 1 ) 求 A, B两点 的坐标 ;

数关系式 , 从 而求 出 , Y的值 , 即可得 出 P点 的坐 标, 再设 直 线 P D 的 函数 关 系式 为 Y= + 4, 求出 k 的值 , 即可得出直线 P D的函数关系式.

2 中考 回眸 , 考法评价
2 . 1 2 0 1 2年 无锡 卷 第 2 6题
如图 1 , A , D分别在 轴 和 Y轴上 , C D∥ 轴 , B C lY f 轴, 点 P从 D点出发 , 以1 c m / s 的速度 , 沿五 边形 O A B C D的边匀速运动一周. 记顺次连接 P, 0 ,
颗“ 常青 树 ”, 成 为 每 年 中 考 数 学 中 的 一 道 靓 丽
风景.
意 到后三 个 , 但往往会忽略方 向, 总是凭 “ 经验 ” 做 题, 而第 ( 1 ) 问 的难 度恰 好 就在 方 向上. 题 目中没 有
告诉 我们 动点 P从 哪个 方 向运 动 , 只说“ 点 P从 D
D三点所 围成 图形 的面积为 S e m , 点 P运动 的时 间为 t s . 已知 s与 t 之 问的函数关系如 图 2中折线
段O E F G H I 所 示.
D O= 6 一 A O和 S A a ∞: 4 , 即可得出 ÷D D・ A O= 4 ,
从 而得 出 a的值 , 再根 据 图 2得 出 A的坐标 , 再 延 长
1 内容分析
动 点 生成 函数 图象 问题 通 过 点 、 线 或 面 的运 动 构成一 种 函数 关 系 , 生成 一种 函数 图象 , 将几何 图形 与 函数 图象 有机 地 融 合 在一 起 , 体 现 了数 形 结合 的 思想. 在 题 型方 面有 选 择 题 、 填空题、 解 答 题 等 多种 题型, 在 试题 难度 设计 上 大多属 于 中上难 度题. 动点 生成 函数 图象 问题 涉 及知识 面广 , 设 问形 式多 变 、 解

浅析动点问题中的函数图像

浅析动点问题中的函数图像

浅析动点问题中的函数图像摘要:2015年的高考已经结束了,在理科数学全国2卷中,我们看到了有关动点问题中的函数图像类型题。

从历年的高考题中,此类题型时常出现。

此类问题常以动点的运动来研究几何图形的变化规律,通过图像的形式体现出来。

它的特点是:图形中的某个元素(如:点)按照某种规律运动,在运动过程中,引起某个其他元素的变化,从而构造出函数所对应的图像变化,并通过信息技术验证相应的结果。

关键词:动点问题;函数图像;信息技术我们看到,有关动点问题中的函数图像类型题,通常在选择题中出现。

解答此类题型,常用方法有两种:定性法和定量法。

下面,笔者将列举几道近年来的高考题,说明一下这两种方法。

同时,我们也可以借助信息技术来验证结果,从而说明信息技术在数学中的应用。

答案A与D,当p点与C点重合时, x=.经计算,此时PA+PB=。

当p点与Q点(CD的中点)重合时,x=.经计算,此时PA+PB=。

由此我们知道。

故选A。

验证:通过数学软件——几何画板的应用,具体实践如下:1画出矩形ABCD,做出点P,连接PA,PB。

2计算PA+PB:当点P与点C 重合时,PA+PB=3.21;当点P与CD中点重合时,PA+PB=2.84,由此对照确定答案A。

例2. (2014 全国1)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为( )解法分析:同理,上述两法也适用于此题。

定性法:当时,过点M作MQ垂直于OP.由OP=1,得OM=cosx,PM=sinx.所以,有即 ,故f(x)的最大值为;当时,因为P点的运动具有对称性,所以点M到OP的距离也具有对称性,关于直线x=对称,此时,当x=,f()=0。

综上,选D。

特值法:当P与点A重合时,x=0,得到y=0;当OP与OA的夹角,x=时,M到OP的距离最大。

由OP=1知,OM=,则点M到OP的距离为<1;所以,排除答案A,B;当OP与OA垂直时,x=,此时O点与M点重合,那么,点M到OP的距离仍为0,这样就可以排除答案C。

专题02 动点问题的函数图象(解析版)

专题02 动点问题的函数图象(解析版)

专题02动点问题的函数图象【考点1】随时间变化的函数关系【例1】(2018•东城区二模)有一圆形苗圃如图1所示,中间有两条交叉过道AB,CD,它们为苗圃Oe 的直径,且AB CD⊥.入口K位于¶AD中点,园丁在苗圃圆周或两条交叉过道上匀速行进.设该园丁行进的时间为x,与入口K的距离为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示,则该园丁行进的路线可能是()A.A O D→→→→→D.O D B C→→→C.D O C→→B.C A O B【分析】采用排除法解题,注意由圆的对称性,D O A-路线呈现对称性,图象应用对称特征.--、B C【解析】解:按选项A中路线,图象应呈现对称性,故A错误;按选项C,距离K最近点应靠近D,故C错误;选项D中路线,B到C段图象应呈现对称性,故D排除.故选:B.【点拨】本题是动点函数图象问题,解答时注意动点到达临界点前后图象的变化趋势.【变式1-1】(2017•顺义区二模)如图,木杆AB斜靠在墙壁上,30∠=︒,4OABAB=米.当木杆的上端A 沿墙壁NO下滑时,木杆的底端B也随之沿着地面上的射线OM方向滑动.设木杆的顶端A匀速下滑到点O停止,则木杆的中点P到射线OM的距离y(米)与下滑的时间x(秒)之间的函数图象大致是( )A.B.C.D.【分析】作PQ OB⊥,根据三角函数求得OA的长,从而得出其中位线PQ的最大值,再由OA长度与下滑时间满足一次函数关系即可得出答案.【解析】解:如图,过点P作PQ OB⊥于点Q,//∴,PQ OAQ为AB中点,PPQ ∴为AOB ∆的中位线,即12PQ OA =, 30OAB ∠=︒Q ,4AB =,cos 4OA AB OAB ∴=∠==则OP =,当点A 匀速向下滑动时,OA 的长度随时间x 的变化满足一次函数关系, 由于12PQ OA =,PQ ∴的长度与下滑时间满足一次函数关系,且PQ B 选项,故选:B .【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象,解题的关键是根据点A 下滑是匀速得出一次函数关系及由中位线得出PQ 长度的最大值是解题的关键.【考点2】线段间的变量关系【例2】(2019•顺义区一模)如图,点A 、C 、E 、F 在直线l 上,且2AC =,1EF =,四边形ABCD ,EFGH ,EFNM 均为正方形,将正方形ABCD 沿直线l 向右平移,若起始位置为点C 与点E 重合,终止位置为点A 与点F 重合.设点C 平移的距离为x ,正方形ABCD 的边位于矩形MNGH 内部的长度为y ,则y 与x 的函数图象大致为( )A .B .C .D .【分析】根据题意可以分析出各段的函数图象,从而可以解答本题.【解析】解:由题意可得,点C 从点E 运动到点F 的过程中,y 随x 的增大而增大,函数解析式为2sin 45x y =⨯=︒,函数图象是一条线段,当点D 从点H 运动到点G 的过程中,y 随x 的增大不会发生变化,此过程函数图象是一条线段, 当点A 从点E 运动到点F 的过程中,y 随x 的增大而减小,函数图象是一条线段,故选:A .【点拨】本题考查动点问题的函数图象,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.【变式2-1】(2017•朝阳区一模)如图1,在ABC ∆中,AB BC =,AC m =,D ,E 分别是AB ,BC 边的中点,点P 为AC 边上的一个动点,连接PD ,PB ,PE .设AP x =,图1中某条线段长为y ,若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示,则这条线段可能是( )A .PDB .PBC .PED .PC【分析】观察图2,确定x 为何值取得最小值即可一一判断.【解析】解:A 错误,观察图2可知PD 在4m x =取得最小值. B 、错误.观察图2可知PB 在2m x =取得最小值. C 、正确.观察图2可知PE 在34m x =取得最小值. D 、错误.观察图2可知PC 在x m =取得最小值为0.故选:C .【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象,灵活应用所学知识是解题的关键,学会利用函数的最值解决问题,属于中考常考题型.【考点3】周长的变化【例3】(2017•东城区二模)如图,点E为菱形ABCD的BC边的中点,动点F在对角线AC上运动,连接BF、EF,设AF x=,BEF∆的周长为y,那么能表示y与x的函数关系的大致图象是()A.B.C.D.【分析】先根据正方形的对称性找到y的最小值,可知图象有最低点,再根据距离最低点x的值的大小>可判断正确的图形.AM MC()【解析】解:如图,连接DE与AC交于点M.则当点F运动到点M处时,三角形BEF∆的周长y最小,且AM MC>.通过分析动点F的运动轨迹可知,y是x的二次函数且有最低点,利用排除法可知图象大致为:故选:B.【点拨】本题考查了动点问题的函数图象.解决有关动点问题的函数图象类习题时,关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的变化关系,尤其是在几何问题中,更要注意基本性质的掌握和灵活运用.【变式3-1】(2017•平谷区二模)如图,正方形ABCD中,动点P的运动路线为AB BC,动点Q的运动路线为对角线BD,点P,Q以同样的速度分别从A,B两点同时出发匀速前进,当一个点到达终点停止运动时,另一个点也随之停止.设点P的运动路程为x,PQ的长为y,则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为()A.B.C.D.【分析】分两种情况:P点在AB上运动时,点P在BC上运动时;分别判定即可.【解析】解:P点在AB上运动时,y先变小再增大;点P在BC上运动时,y逐渐增大;故选:B.【变式3-2】(2017•石景山区二模)如图1,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,动点P从点B出发,在线段BC上匀速运动,到达点C时停止.设点P运动的路程为x,线段OP的长为y,如果y 与x的函数图象如图2所示,则矩形ABCD的面积是()A .20B .24C .48D .60【分析】根据点P 的移动规律,当OP BC ⊥时取最小值3,根据矩形的性质求得矩形的长与宽,易得该矩形的面积.【解析】解:如图2所示,当OP BC ⊥时,4BP CP ==,3OP =,所以26AB OP ==,28BC BP ==,所以矩形ABCD 的面积6848=⨯=.故选:C .【点拨】本题考查了动点问题的函数图象,关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出4BP CP ==,3OP =.【考点4】面积的变化【例4】(2019•东城区二模)如图1,动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发,沿A C D →→以1/cm s 的速度运动到点D .设点P 的运动时间为()s ,PAB ∆的面积为2()y cm .表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示,则a 的值为( )A B .52 C .2 D .【分析】由图2知,菱形的边长为a ,对角线AC ,则对角线BD 为P在线段AC 上运动时,111222y AP BD =⨯=,即可求解.【解析】解:由图2知,菱形的边长为a ,对角线AC =,则对角线BD 为= 当点P 在线段AC 上运动时,111222y AP BD =⨯=,由图2知,当x =y a =,即12a = 解得:52a =, 故选:B .【点拨】本题考查的是动点图象问题,涉及到二次函数、解直角三角形等知识,此类问题关键是:弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进而求解.【变式4-1】(2018•大兴区一模)如图,在矩形ABCD 中,2AB =,3BC =,点P 在矩形的边上沿B C D A →→→运动.设点P 运动的路程为x ,ABP ∆的面积为y ,则y 关于x 的函数图象大致是( )A .B .C .D .【分析】要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件,结合实际意义画出正确的图象.【解析】解:根据题意和图形可知:点P 按B C D A →→→的顺序在边长为1的正方形边上运动,APB ∆的面积分为3段;当点P 在BC 上移动时,底边不变高逐渐变大,故面积逐渐变大;当点P 在CD 上移动时,底边不变,高不变,故面积不变;当点P 在AD 上时,高不变,底边变小,故面积越来越小直到0为止.故选:B .【点拨】考查点的运动变化后根据几何图形的面积确定函数的图象,图象需分段讨论.1.(2018•顺义区二模)已知正方形ABCD 的边长为4cm ,动点P 从A 出发,沿AD 边以1/cm s 的速度运动,动点Q 从B 出发,沿BC ,CD 边以2/cm s 的速度运动,点P ,Q 同时出发,运动到点D 均停止运动,设运动时间为x (秒),BPQ 的面积为2()y cm ,则y 与x 之间的函数图象大致是( )A .B .C .D .【分析】根据题意,Q 点分别在BC 、CD 上运动时,形成不同的三角形,分别用x 表示即 可.【解析】解:(1)当02x 剟时,2BQ x =14242y x x =⨯⨯=当24x 剟时,如下图2111(44)4(4)(82)4(24)28222y x x x x x x =-+⨯-⨯---⨯⨯-=-++由上可知故选:B .2.(2018•朝阳一模)如图,ABC ∆是等腰直角三角形,90A ∠=︒,6AB =,点P 是AB 边上一动点(点P 与点A 不重合),以AP 为边作正方形APDE ,设AP x =,正方形APDE 与ABC ∆重合部分(阴影部分)的面积为y ,则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是( )A .B .C .D .【分析】如图1,当点D 落在BC 上,利用BPD ∆为等腰直角三角形得到3x =,所以当03x <…时,2y x =,当36x <…时,如图2,正方形APDE 与BC 相交于F 、G ,表示出26DF x =-,所以221(26)2DFG APDE y S S x x ∆=-=-⋅-正方形,然后利用所得的解析式对各选项进行判断.【解析】解:如图1,当点D 落在BC 上,ABC ∆Q 为等腰直角三角形,四边形APDE 为正方形, BPD ∴∆为等腰直角三角形,PB PD x ∴==, 26x ∴=,解得3x =,当03x <…时,2APDE y S x ==正方形,当36x <…时,如图2,正方形APDE 与BC 相交于F 、G , 易得BPF ∆和DGF ∆都是等腰直角三角形,6PF PB x ∴==-,(6)26DF x x x ∴=--=-,22221(26)1218(6)182DFG APDE y S S x x x x x ∆∴=-=-⋅-=-+-=--+正方形,综上所述,22(03)(6)18(36)x x y x x ⎧<=⎨--+<⎩……. 故选:C .3.(2018•东城一模)如图1是一座立交桥的示意图(道路宽度忽略不计),A 为入口,F ,G 为出口,其中直行道为AB ,CG ,EF ,且AB CG EF ==;弯道为以点O 为圆心的一段弧,且¶BC,¶CD ,¶DE 所对的圆心角均为90︒.甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥,均以10/m s 的速度行驶,从不同出口驶出,其间两车到点O 的距离()y m 与时间()x s 的对应关系如图2所示.结合题目信息,下列说法错误的是( )A .甲车在立交桥上共行驶8sB .从F 口出比从G 口出多行驶40mC .甲车从F 口出,乙车从G 口出D .立交桥总长为150m【分析】根据题意、结合图象问题可得.【解析】解:由图象可知,两车通过¶BC,¶CD ,¶DE 弧时每段所用时间均为2s ,通过直行道AB ,CG ,EF 时,每段用时为3s .因此,甲车所用时间为3238s ++=,故A 正确;根据两车运行路线,从F 口驶出比从G 口多走¶CD,¶DE 弧长之和,用时为4s ,则走40m ,故B 正确; 根据两车运行时间,可知甲先驶出,应从G 口驶出,故C 错误; 根据题意立交桥总长为(3233)10150m ⨯+⨯⨯=,过D 正确; 故选:C .4.(2018•海淀一模)如图1,矩形的一条边长为x ,周长的一半为y .定义(,)x y 为这个矩形的坐标.如图2,在平面直角坐标系中,直线1x =,3y =将第一象限划分成4个区域.已知矩形1的坐标的对应点A 落在如图所示的双曲线上,矩形2的坐标的对应点落在区域④中.则下面叙述中正确的是( )A .点A 的横坐标有可能大于3B .矩形1是正方形时,点A 位于区域②C .当点A 沿双曲线向上移动时,矩形1的面积减小D .当点A 位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等【分析】A 、根据反比例函数k 一定,并根据图形得:当1x =时,3y <,得3k xy =<,因为y 是矩形周长的一半,即y x >,可判断点A 的横坐标不可能大于3;B 、根据正方形边长相等得:2y x =,得点A 是直线2y x =与双曲线的交点,画图,如图2,交点A 在区域③,可作判断;C 、先表示矩形面积22()S x y x xy x k x =-=-=-,当点A 沿双曲线向上移动时,x 的值会越来越小,矩形1的面积会越来越大,可作判断;D 、当点A 位于区域①,得1x <,另一边为:2y x ->,矩形2的坐标的对应点落在区域④中得:1x >,3y >,即另一边0y x ->,可作判断.【解析】解:设点(,)A x y , A 、设反比例函数解析式为:(0)ky k x=≠, 由图形可知:当1x =时,3y <, 3k xy ∴=<, y x >Q ,3x ∴<,即点A 的横坐标不可能大于3,故选项A 不正确;B 、当矩形1为正方形时,边长为x ,2y x =,则点A 是直线2y x =与双曲线的交点,如图2,交点A 在区域③, 故选项B 不正确;C 、当一边为x ,则另一边为y x -,22()S x y x xy x k x =-=-=-, Q 当点A 沿双曲线向上移动时,x 的值会越来越小,∴矩形1的面积会越来越大,故选项C 不正确;D 、当点A 位于区域①时,Q 点(,)A x y ,1x ∴<,3y >,即另一边为:2y x ->,矩形2落在区域④中,1x >,3y >,即另一边0y x ->,∴当点A 位于区域①时,矩形1可能和矩形2全等;故选项④正确; 故选:D .5.(2018•延庆县一模)某游泳池长25米,小林和小明两个人分别在游泳池的A ,B 两边,同时朝着另一边游泳,他们游泳的时间为(秒),其中0180t 剟,到A 边距离为y (米),图中的实线和虚线分别表示小林和小明在游泳过程中y 与t 的对应关系.下面有四个推断:①小明游泳的平均速度小于小林游泳的平均速度; ②小明游泳的距离大于小林游泳的距离; ③小明游75米时小林游了90米游泳; ④小明与小林共相遇5次; 其中正确的是( ) A .①②B .①③C .③④D .②④【分析】利用图象信息,一一判断即可;【解析】解:①错误.小明游泳的平均速度大于小林游泳的平均速度; ②正确.小明游泳的距离大于小林游泳的距离; ③错误,小明游75米时小林游了50米; ④正确.小明与小林共相遇5次; 故选:D .6.(2018•通州一模)如图1,点O 为正六边形对角线的交点,机器人置于该正六边形的某顶点处,柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行,柱柱同学将机器人运行时间设为t 秒,机器人到点A 的距离设为y ,得到函数图象如图2,通过观察函数图象,可以得到下列推断:①该正六边形的边长为1;②当3t 时,机器人一定位于点O ;③机器人一定经过点D ;④机器人一定经过点E ;其中正确的有( )A .①④B .①③C .①②③D .②③④【分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点,则可以判断①正确,④错误.结合图象判断34t 剟图象的对称性可以判断②正确.结合图象易得③正确.【解答】解:由图象可知,机器人距离点1A 个单位长度,可能在F 或B 点,则正六边形边长为1.故①正确;观察图象t 在34-之间时,图象具有对称性则可知,机器人在OB 或OF 上,则当3t =时,机器人距离点A 距离为1个单位长度,机器人一定位于点O ,故②正确; 所有点中,只有点D 到A 距离为2个单位,故③正确;因为机器人可能在F 点或B 点出发,当从B 出发时,不经过点E ,故④错误. 故选:C .7.(2017•东城一模)图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场,场地由等边ADE ∆和正方形ABCD 组成,正方形ABCD 两条对角线交于点O ,在AD 的中点P 处放置了一台主摄像机.游戏参与者行进的时间为x ,与主摄像机的距离为y ,若游戏参与者匀速行进,且表示y 与x 的函数关系式大致如图2所示,则游戏参与者的行进路线可能是( )A .A O D →→B .E AC →→C .A ED →→D .E A B →→【分析】根据各个选项中的路线进行分析,看哪条路线符号图2的函数图象即可解答本题.【解析】解:由题意可得,当经过的路线是A O D →→时,从A O →,y 随x 的增大先减小后增大且图象对称,从O D →,y 随x 的增大先减小后增大且函数图象对称,故选项A 符号要求;当经过的路线是E A C →→时,从E A →,y 随x 的增大先减小后增大,但后来增大的最大值小于刚开始的值,故选项B 不符号要求;当经过的路线是A E D →→时,从A E →,y 随x 的增大先减小后增大,但后来增大的最大值大于于刚开始的值,故选项C 不符号要求;当经过的路线是E A B →→时,从E A →,y 随x 的增大先减小后增大,但后来增大的最大值小于刚开始的值,故选项D 不符号要求; 故选:A .8.(2017•房山区一模)如图1,已知点E ,F ,G ,H 是矩形ABCD 各边的中点,6AB =,8BC =,动点M 从点E 出发,沿E F G H E →→→→匀速运动,设点M 运动的路程x ,点M 到矩形的某一个顶点的距离为y ,如果表示y 关于x 函数关系的图象如图2所示,那么这个顶点是矩形的( )A .点AB .点BC .点CD .点D【分析】由图2得出始点E 到顶点的距离为3,只有顶点A ,B 满足,又由开始时先增大,得出只有顶点B 满足.【解析】解:由图2得出始点E 到顶点的距离为3, 6AB =Q ,∴只有顶点A ,B 满足,又Q 沿E F G H E →→→→匀速运动开始时先增大,∴只有顶点B 满足,故选:B .9.(2018秋•朝阳期末)如图,在ABC∆中,AB AC=,MN是边BC上一条运动的线段(点M不与点B重合,点N不与点C重合),且12MN BC=,MD BC⊥交AB于点D,NE BC⊥交AC于点E,在MN从左至右的运动过程中,设BM x=,BMD∆的面积减去CNE∆的面积为y,则下列图象中,能表示y与x 的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.【分析】设:12a BC=,B Cα∠=∠=,求出MN、CN、DM、AH、EN的长度,利用BMD CNES S S∆∆=-,即可求解.【解析】解:过点A作AH BC⊥,交BC于点H,则12BH HC BC==,设12a BC=,B Cα∠=∠=,则MN a=,2CN BC MN x a a x a x=--=--=-,tan tan DM BM B x α==g ,tan tan AH BH B a α==g ,tan ()tan EN CN C a x α==-g ,21tan tan ()(2)tan 222BMD CNEa a S S S BM DM CN EN x a a x ααα∆∆=-=-=-=-g g g g , 其中,tan a αg 、2tan 2a α均为常数,故上述函数为一次函数, 故选:A .10.(2017秋•海淀区期末)两个少年在绿茵场上游戏.小红从点A 出发沿线段AB 运动到点 B ,小兰从点C 出发,以相同的速度沿O e 逆时针运动一周回到点C ,两人的运动路线如图1所示,其中AC DB =.两人同时开始运动,直到都停止运动时游戏结束,其间他们与 点C 的距离y 与时间x (单位:秒)的对应关系如图2所示.则下列说法正确的是( )A .小红的运动路程比小兰的长B .两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇C .当小红运动到点D 的时候,小兰已经经过了点DD .在4.84秒时,两人的距离正好等于O e 的半径 【分析】利用图象信息一一判断即可解决问题.【解析】解:A 、小红的运动路程比小兰的短,故本选项不符合题意;B 、两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻与点C 距离相等,故本选项不符合题意;C 、当小红运动到点D 的时候,小兰还没有经过了点D ,故本选项不符合题意; D 、当小红运动到点O 的时候,两人的距离正好等于O e 的半径,此时9.684.842t ==,故本选项正确;故选:D.。

中考数学选择题压轴题---动点生成函数图像问题(20200709093415)

中考数学选择题压轴题---动点生成函数图像问题(20200709093415)

1 DP ? AE
2
1
xy , 来源 :Z&xx&
]
2
又因为 S ADP
1 SABCD
2
1 34
2
1 6 ,所以 xy
2
6 ,即 y
12

x
来源 学科 网 ZXXK]
12 12
综 上 y 与 x 之间函数关系式为 y
( ≤ x≤ 4)。y 与 x 之间函数关系是反比例关
x5
系,图像是一段双曲线,排除选项
何点(时刻)是特殊点(时刻) ,这是准确解答的前提和关键; “写”就是计算、写出动点在
不同路段的函数解析式, 注意一定要注明自变量的取值范围, 求出在特殊点的函数数值和自
变量的值;“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案,多用排除法。首先,排除不
符合函数类形的图像选项,其次,对于相同函数类型的
函数图像选项,再用自变量的取值
范围或函数数值的最大和最小值进行排除,选出准确答案。
2
2
1
13
33
5
因为 S ADP S ABD ,所以 xy
1 ,即 y
( < x ≤ =。
2
22
2x 2
2
所以函数的图像应是自变量在 3 < x ≤ 5 范围内的一段双曲线,故选 C。
2
2
解答此类问题的策略可以归纳为三步: “看” 、“写” 、“选”。“看”就是认真观察几
何图形, 彻底弄清楚动点从何点开始出发, 运动到何点停止, 整个运动过程分为不同的几段,
中考数学选择题压轴题 --- 动点生成函数图像问题
在近几年的中考试题中, 考查动点生成函数图像问题逐渐成为一种趋势。 这类问题通过

专题01 几何动点函数图象分析(解析版)

专题01 几何动点函数图象分析(解析版)

专题一几何动点函数图象分析【专题解读】几何动点函数图像问题=常以选择题、填空题的形式出现.命题方式常涉及四种题型:①分析实际问题判断函数图象;②结合几何图形中的动点问题判断函数图象;③分析函数图象判断结论正误;④根据函数性质判断函数图象.题目难度中等,属于中考热点题型.类型一一个动点与图形线段长、面积(2020•佛山模拟)如图,△ABC为等边三角形,点P从点A出发沿A→B→C路径匀速运动到点C,到达点C时停止运动,过点P作PQ⊥AC于点Q.若△APQ的面积为y,AQ 的长为x,则下列能反映y与x之间的大致图象是()A.B.C.D.【思路点拨】分两段来分析:①点P从点A出发运动到点B之前,写出此段的函数解析式,则可排除A和B;②设△ABC的边长为m,则当x>m2时,P点过了B点向C点运动,作出图形,写出此阶段的函数解析式,根据图象的开口方向可得答案.【自主解答】∵△ABC为等边三角形,PQ⊥AC于点Q.AQ=x,PQ=AQ•tan60°=√3x∴点P从点A出发运动到点B之前,如图所示:y=12x×√3x=√32x2,∴此时函数图象为顶点在原点,开口向上的抛物线,∴选项A、B不符合题意,排除A和B;设△ABC的边长为m,则当x>m2时,P点过了B点向C点运动,作出图形如下:则CQ=m﹣x,PQ=CQ•tan60°=√3(m﹣x),∴y=12x×√3(m﹣x)=−√32x2+√32mx,∴此时函数图象为开口向下的抛物线,∵选项C此阶段的图象仍然为开口向上的抛物线,选项D为开口向下的抛物线,∴D正确.故选:D.1.(2020•南海区期末)如图,已知A、B是反比例函数图象上的点,BC∥x轴,交y轴于点C,连接OA,动点P从坐标标原点O出发,沿O﹣A﹣B﹣C匀速运动,终点为C.过运动路线上任意一点P,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N,设四边形OMPN的面积为S,P点运动的时间为t,则S关于t的函数图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解析】(1)当点P在AO上运动时,设反比例函数的表达式为:y=kx,设点A(m,n),则mn=k,设∠AOM=∠α,则tanα=nm ,则sinα=√m2+n2,cosα=√m2+n2,则S=PM×PN=t2×sinαcosα=kOA2t2,其中kAO2常数,故函数的表达式为二次函数;(2)当点P在AB段时,S=k为常数;(3)当点P在BC上时,设点P运动的总时间为T,则在BC上运动的时间为T﹣t,S=OC×(T﹣t)为一次函数;故选:A.2.(2020•龙岗区模拟)如图1,在矩形MNPQ中,动点R从点N出发,沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x,图中阴影部分△MNR的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则矩形PQMN的面积为()A.16B.20C.36D.45【答案】B【解析】由图2可知:当x=4时,点R与点P重合,PN=4,当x=9时,点R与点Q重合,PQ=5,所以矩形PQMN的面积为4×5=20.故选:B.3.(2019•镜湖区一模)如图,菱形ABC D中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点,点P由点A出发,沿A→B→C→D作匀速运动,到达点D停止,则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是()A .B .C .D .【答案】B【解析】当点P 在AB 上运动时,即0≤x ≤2,如图1,作PH ⊥AD 于H ,AP =x ,∵菱形ABC D 中,AB =2,∠B =120°,点M 是AD 的中点,∴∠A =60°,AM =1,∴∠APH =30°,在Rt △APH 中,AH =12AP =12x ,PH =√3AH =√32x , ∴y =12AM •PH =12•1•√32x =√34x ;当点P 在BC 上运动时,即2<x ≤4,如图2,作BE ⊥AD 于E ,AP +BP =x ,∵四边形ABCD 为菱形,∠B =120°,∴∠A =60°,AM =1,AB =2,BC ∥AD ,∴∠ABE =30°,在Rt △ABE 中,AE =12AB =1,PH =√3AE =√3,∴y =12AM •BE =12•1•√3=√32;当点P 在CD 上运动时,即4<x ≤6,如图3,作PF ⊥AD 于F ,AB +BC +PC =x ,则PD =6﹣x ,∵菱形ABC D 中,∠B =120°, ∴∠ADC =120°,∴∠DPF =30°,在Rt △DPF 中,DF =12DP =12(6﹣x ),PF =√3DF =√32(6﹣x ),∴y =12AM •PF =12•1•√32(6﹣x )=√34(6﹣x )=−√34x +3√32,∴△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系的图象为三段:当0≤x ≤2,图象为线段,满足解析式y =√34x ;当2≤x ≤4,图象为平行于x 轴的线段,且到x 轴的距离为√32;当4≤x ≤6,图象为线段,且满足解析式y =−√34x +3√32.故选:B .4.(2019•深圳模拟)如图①,在菱形ABC D 中,动点P 从点B 出发,沿折线B →C →D →B运动,设点P 经过的路程为x ,△ABP 的面积为y .把y 看作x 的函数,函数的图象如图②所示,则图②中的b 等于 3√7 .【答案】3√7【解析】如图,连接AC 交BD 于O ,由图②可知,BC =CD =4,BD =14﹣8=6,∴BO =12BD =12×6=3,在Rt △BO C 中,CO =√BC 2−BO 2=√42−32=√7,AC =2CO =2√7,所以,菱形的面积=12AC •BD =12×2√7×6=6√7,当点P 在CD 上运动时,△ABP 的面积不变,为b ,所以,b =12×6√7=3√7.故答案为:3√7.【方法总结】对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点:①自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示,②自变量不变化而函数值变化的图象用铅垂线段表示,③自变量变化函数值也变化的增减变化情况,④函数图象的最低点和最高点.根据图象要对图象及其数量关系进行一定分析,要抓住图象中的转折点及拐点,这些拐点处往往是运动状态发生改变或者相互的数量关系发生改变的地方.类型二 二个动点与图形线段长、面积(2020•南海区二模)如图所示,在矩形ABC D 中,BA =8cm ,BC =4cm ,点E 是CD 上的中点,P 、Q 均以1cm/s 的速度在矩形ABCD 边上匀速运动,其中动点P 从点A 出发沿A →D →C 方向运动,动点Q 从点A 出发沿A →B →C 方向运动,二者均达到点C 停止运动,设点Q 的运动时间为x ,△PQE 的面积为y ,则下列能大致反应y 与x 函数关系的图象是( )A .B .C .D .【思路点拨】分0≤t ≤4、4<t ≤8、8<t ≤12三段,分别求出函数表达式即可求解. 【自主解答】(1)当0≤t ≤4时,如图,y =S 矩形ABCD ﹣S △APQ ﹣S △DPE ﹣S 梯形BCEQ =4×8−12[t 2+(4+8﹣t )×4+4(4﹣t )]=−12t 2+4t +16,该函数为开口向下的抛物线;(2)当4<t ≤8时,同理可得:y =12×PE ×AD =12×4×(4﹣t +4)=16﹣2t ,该函数为一次函数;(3)当8<t ≤12时,同理可得:y =12×PE ×CQ =12(t ﹣4﹣4)×[4﹣(t ﹣8)]=−12(t ﹣8)(t ﹣12); 该函数为开口向下的抛物线,故选:D .5.(2019•南海区二模)如图,在四边形ABC D 中,AD ∥BC ,AB =CD ,B =60°,AD =2,BC =8,点P 从点B 出发沿折线BA ﹣AD ﹣DC 匀速运动,同时,点Q 从点B 出发沿折线BC ﹣CD 匀速运动,点P 与点Q 的速度相同,当二者相遇时,运动停止,设点P 运动的路程为x ,△BPQ 的面积为y ,则y 关于x 的函数图象大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】由题意得:四边形ABCD 为等腰梯形,如下图,分别过点A 、D 作梯形的高AM 、DN 交BC 于点M 、N ,则MN =AD =2,BM =NC =12(BC ﹣AD )=3,则AB =2BM =6,①当点P 在AB 上运动时(0≤x ≤6), y =12BQ ×BP sin B =√34x 2,当x =6时,y =9√3,图象中符合条件的有B 、D ; ②6<x <8,y 为一次函数;③当x ≥8时,点PC =6+2+6﹣x =14﹣x ,QC =x ﹣8, 则PQ =22﹣2x ,而△BPQ 的高常数,故y 的表达式为一次函数, 故在B 、D 中符合条件的为B , 故选:B .6.(2019•丰润区二模)如图,在矩形ABC D 中,AB =8,AD =4,E 为C D 中点,连接AE 、BE ,点M 从点A 出发沿AE 方向向点E 匀速运动,同时点N 从点E 出发沿EB 方向向点B 匀速运动,点M 、N 运动速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t ,连接MN ,设△EMN 的面积为S ,S 关于t 的函数图象为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】连MB,由勾股定理AE=BE=4√2,已知,AM=t,EN=t,ME=NB=4√2−t,∵S△EMNS△EMB =ENEB,∴S△EMN=ENEB⋅S△EMB,∵S△EMBS△EAB =EMAE,∴S△EMB=EMAE⋅S△EAB,∴S=4√2×√2−t4√2×12×4×8=−12t2+2√2t,∵a=−12<0,∴当t=2√2时,S的最大值为4,故选:D.。

动点问题

动点问题

动点问题一、解题策略解决动点问题的关键是“动中求静”.二、中考考点精讲考点一:建立动点问题的函数解析式(或函数图像)例1 (2013•兰州)如图,动点P从点A出发,沿线段AB运动至点B后,立即按原路返回,点P在运动过程中速度不变,则以点B为圆心,线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为()A.B.C.D.解:不妨设线段AB长度为1个单位,点P的运动速度为1个单位,则:(1)当点P在A→B段运动时,PB=1-t,S=π(1-t)2(0≤t<1);(2)当点P在B→A段运动时,PB=t-1,S=π(t-1)2(1≤t≤2).综上,整个运动过程中,S与t的函数关系式为:S=π(t-1)2(0≤t≤2),这是一个二次函数,其图象为开口向上的一段抛物线.结合题中各选项,只有B符合要求.故选B.对应训练1.(2013•白银)如图,⊙O的圆心在定角∠α(0°<α<180°)的角平分线上运动,且⊙O 与∠α的两边相切,图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r(r>0)变化的函数图象大致是()A.B.C.D.1.C考点二:动态几何型题目(一)点动问题.例2 (2013•河北)如图,梯形ABCD中,AB∥DC,DE⊥AB,CF⊥AB,且AE=EF=FB=5,DE=12动点P从点A出发,沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t秒,y=S△EPF,则y与t的函数图象大致是()A.B.C.D.对应训练2.(2013•北京)如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP 的长为x,△APO的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()A.B.C.D.2.A例3 (2013•荆门)如右图所示,已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移,设扫过的阴影部分的面积为S,BP为x,则S关于x的函数图象大致是()A.B.C.D.解:①当直线l经过BA段时,阴影部分的面积越来越大,并且增大的速度越来越快;②直线l经过DC段时,阴影部分的面积越来越大,并且增大的速度保持不变;③直线l经过DC段时,阴影部分的面积越来越大,并且增大的速度越来越小;结合选项可得,A选项的图象符合.故选A.对应训练3.(2013•永州)如图所示,在矩形ABCD中,垂直于对角线BD的直线l,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,则y关于t的函数的大致图象是()A.B.C.D.3.A例4 (2013•牡丹江)如图所示:边长分别为1和2的两个正方形,其中一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形内去掉小正方形后的面积为s,那么s与t的大致图象应为()A.B.C.D.解:根据题意,设小正方形运动的速度为V,分三个阶段;①小正方形向右未完全穿入大正方形,S=2×2-Vt×1=4-Vt,②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形,S=2×2-1×1=3,③小正方形穿出大正方形,S=Vt×1,分析选项可得,A符合;故选A.对应训练4.(2013•衡阳)如图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t,正方形除去圆部分的面积为S(阴影部分),则S与t的大致图象为()A.B.C.D.四、中考真题演练一、选择题1.(2013•新疆)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6),连接DE,当△BDE是直角三角形时,t的值为()A.2 B.2.5或3.5C.3.5或4.5 D.2或3.5或4.51.D2.(2013•安徽)图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是()A.当x=3时,EC<EMB.当y=9时,EC>EMC.当x增大时,EC•CF的值增大D.当y增大时,BE•DF的值不变2.D3.(2013•盘锦)如图,将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合.正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动,当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒,正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s,则s关于t的函数图象为()A.B.C.D.3.B4.(2013•龙岩)如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),B(0,6),动点C在直线y=x上.若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形,则点C的个数是()A.2 B.3 C.4 D.54.B5.(2013•武汉)如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是.519.解:如图,36,2②如图,连结PE,。

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例析动点生成函数图像问题
在近几年的中考试题中,考查动点生成函数图像问题逐渐成为一种趋势。

这类问题通过点、线或图形的运动构成一种函数关系,生成一种函数图像,将几何图形与函数图像有机地融合在一起,体现了数形结合的思想,能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力。

下面举例说明。

例1、在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别按AB、BC、CD、DA的方向同时出发,以1cm /s的速度匀速运动。

四边形EFGH的面积(cm2)随时间t(s)变化的图像大致是()
B
A
S
2
H
G
F
E
D
C
B
A
解析:由勾股定理得,四边形EFGH的面积为
222222
(6)21236
S EH AE AH t t t t
==+=+-=-+(0≤t≤6),所以S是t的二次函数,图像是自变量在0≤t≤6上的一段抛物线,故选C。

例2、在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在BC边上运动,连接DP,过点A,作AE⊥DP,垂足为E,设DP=x,AE=y,则能反映y与x之间函数关系的大致图像是
____
解析:当点P与点B重合时,DP=x
=BD=5
=,因为11
22
ABD
S AB CD AE BD

=∙=∙,所以
11
345
22
y
⨯⨯=⨯⨯,所以AE=
12
5
y=,当点P与点B重合时,DP=x=DC=3,则AE与AD重合,所以AE=y=4,当点P
在BC 之间时,1122ADP S DP AE xy ∆=
∙=,又因为1134622
ADP ABCD S S ∆==⨯⨯=,所以162xy =,即12y x =。

综上y 与x 之间函数关系式为12y x =(125≤x≤4)。

y 与x 之间函数关系是反比例关系,图像是一段双曲线,排除选项B 、D ,又因为125
≤x≤4,所以选C 。

例3、如图,在梯形ABCD 中,AD//BC ,∠B=90,AD=1,AB=32
,BC=2,P 是BC 边上的一个动点,(点P 与B 不重合,可以与点C 重合),DE ⊥AP 于点E 。

设AP =x ,DE=y ,在下列图像中,能正确反映y 与x 的函数关系的是( )
解析:此题与例3类似,当点P 与点C 重合时,
AP=AC 52==,当点P 在BC 上运动时,AP >AB =32
,所以32<x ≤52。

连接DP ,BD ,因为ADP ABD S S ∆∆=,所以1131222xy =⨯⨯,即32y x =(32<x ≤52 =。

所以函数的图像应是自变量在32<x ≤52
范围内的一段双曲线,故选C 。

解答此类问题的策略可以归纳为三步:“看” 、“写” 、“选”。

“看”就是认真观察几何图形,彻底弄清楚动点从何点开始出发,运动到何点停止,整个运动过程分为不同的几段,何点(时刻)是特殊点(时刻),这是准确解答的前提和关键;“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式,注意一定要注明自变量的取值范围,求出在特殊点的函数数值和自变量的值;“选”就是根据解析式选择准确的函数图像或答案,多用排除法。

首先,排除不符合函数类形的图像选项,其次,对于相同函数类型的函数图像选项,再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除,选出准确答案。

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