中考数学压轴题全面突破之三点的存在性
2015中招压轴题讲解 点的存在性
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商丘兴华学校成功导案(点的存在性5)主备人 初审人 审核人 九年级______班 姓名___一、成功学习今天我们来学习动点中梯形问题,祝你学的愉快!1、成功目标⑴掌握解决因动点产生梯形问题的一般思路;⑵熟练解决相关问题。
2、成功自学例1、已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线y =ax 2-(a +1)x 与直线y =kx 的一个公共点为A(4,8).(1)求此抛物线和直线的解析式;(2)若点P 在线段OA 上,过点P 作y 轴的平行线交(1)中抛物线于点Q ,求线段PQ 长度的最大值;(3)记(1)中抛物线的顶点为M ,点N 在此抛物线上,若四边形AOMN 恰好是梯形,求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积.3、成功量学:已知,矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A 的坐标为(4,0),点C 的坐标为)20(-,,直线x y 32-=与边BC 相交于点D . (1)求点D 的坐标;(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M ,使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.二、成功展示三、成功检测已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N.将△PMN沿直线MN 对折,得到△P1MN.在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.图1 图2四、成功思学————————————————————————————。
中考数学复习专题突破专题09 存在性问题(全国通用)
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专题09 存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题知识面广,综合性强,构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,存在性问题分为肯定型和否定型,,并具有较强的探索性,解题上分为代数方面的存在性问题,如根的存在性、最值的存在性、点的存在性等,思路是:假设存在-推理论证-得出结论。
运用数形结合、分类讨论等数学思想,本专题眼于平面直角坐标系下的几何存在性问题,通过本专题的巩固训练,对于其他函数和几何中的存在性的问题有抛砖引玉的作用。
一、填空题1.在平面坐标系中,已知线段AB,且A、B的坐标分别A(2,4),B(5,4),点C为线段AB的中点.(1)线段AB与x轴的位置关系是______,AB=______,点C的坐标为______;(2)在y轴上是否存在点P,使得三角形PAC面积为6?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由二、解答题2.如图,在平面直角坐标系中,A、B、C三点的坐标分别为(0,1)(2,0)(2,1.5),(1)求三角形ABC的面积.(2)如果在第二象限内有一点P(a),试用含a的式子表示四边形ABOP的面积.(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使得四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等?若存在,请求出点P的坐标?若不存在,请说明理由.3.在平面直角坐标系中,有三点()()(),0,,3,,0A a B b C c ()2640a b c +-++-= (1)求A 、B 、C 三点坐标;(2)已知,在y 轴上有一点30,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,在坐标轴上是否存在一点P ,使△ABP 和△ABC 的面积相等?若存在,求出P 点坐标.若不存在,请说明理由.(C 点除外)4.如图,平面直角坐标系中,ABCD 为长方形,其中点A 、C 坐标分别为(﹣8,4)、(2,﹣8),且AD ∥x 轴,交y 轴于M 点,AB 交x 轴于N .(1)求B 、D 两点坐标和长方形ABCD 的面积;(2)一动点P 从A 出发(不与A 点重合),以12个单位/秒的速度沿AB 向B 点运动,在P 点运动过程中,连接MP 、OP ,请直接写出∠AMP 、∠MPO 、∠PON 之间的数量关系; (3)是否存在某一时刻t ,使三角形AMP 的面积等于长方形面积的13?若存在,求t 的值并求此时点P 的坐标;若不存在请说明理由.5.如图,在长方形ABCD 中,边8AB =,4BC =,以点O 为原点,OA ,OC 所在的直线为y 轴和x 轴,建立直角坐标系.(1)点A 的坐标为()0,4,则B 点坐标为______,C 点坐标为______;(2)当点P 从C 出发,以2单位/秒的速度沿CO 方向移动(不过O 点),Q 从原点O 出发以1单位/秒的速度沿OA 方向移动(不过A 点),P ,Q 同时出发,在移动过程中,四边形OPBQ 的面积是否变化?若不变,求其值;若变化,求其变化范围.6.已知,在平面直角坐标系中,点A ,B 的坐标分别是(),a a --,(),0b 20b -=. (1)求a ,b 的值;(2)在坐标轴上是否存在点C ,使三角形ABC 的面积是8?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由.7.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为()2,1,点B 坐标为()1,3-,y 轴上是否存在一点P ,使ABP △为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.8.已知:如图,在平面直角坐标系中,点A 、B 的坐标分别为()4,0A -、()0,3B 、()1求AB 的长;()2过点B 作BC AB ⊥、交轴于点C ,求点C 的坐标;()3在()2的条件下,如果P 、Q 分别是AB 和AC 上的动点,连接PQ ,设AP CQ x ==,问是否存在这样的使得APQ 与ABC 相似?若存在,请求出的x 值;若不存在,请说明理由.9.如图,在平面直角坐标系中,A (a ,0),B (b ,0),C (-2,1),且|a+2b +1|+(3a-4b+13)2=0.(1)求a ,b 的值;(2)在y 轴上存在一点D ,使得△COD 的面积是△ABC 面积的两倍,求出点D 的坐标.(3)在x 轴上是否存在这样的点,存在请直接写出点D 的坐标,不存在请说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,已知点 (0, 3)A ,(5,0)B ,(5,4)C 三点.(1)在平面直角坐标中画出ABC ∆,求ABC ∆的面积(2)在x 轴上是否存在一点M 使得BCM ∆的面积等于ABC ∆的面积?若存在,求出点M 坐标;若不存在,说明理由.(3)如果在第二象限内有一点(, 1)P a ,用含a 的式子表示四边形ABOP 的面积;(4)且四边形ABOP 的面积是ABC ∆的面积的三倍,是否存在点P ,若存在,求出满足条件的P 点坐标;若不存在,请说明理由.11.如图,已知在平面直角坐标系中,ABO 的面积为8,OA OB =,12BC =,点P 的坐标是(,6)a .(1)求ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标;(2)若点P 坐标为(1,6),连接PA ,PB ,求PAB △的面积;(3)是否存在点P ,使PAB △的面积等于ABC 的面积?如果存在,请求出点P 的坐标.12.如图,在平面直角坐标系中,点A (4、0)、B (3,4),C (0,2).(1)求ABCO S 四边形;(求四边形ABCO 的面积)(2)在x 轴上是否存在一点P ,使4APB S ∆=,(三角形APB 的面积),若存在,请直接写出点P 坐标.13.如图,已知在平面直角坐标系中,A (0,﹣1)、B (﹣2,0)C (4,0)(1)求△ABC 的面积;(2)在y 轴上是否存在一个点D ,使得△ABD 为等腰三角形,若存在,求出点D 坐标;若不存,说明理由.14.已知:如图所示,在平面直角坐标系中,.若点是边上的一个动点(与点不重合),过点作交于点.(1)求点的坐标; (2)当的周长与四边形的周长相等时,求的长; (3)在上是否存在点,使得为等腰直角三角形?若存在,请求出此时的长;若不存在,请说明理由.15.如图,已知在平面直角坐标系中,点A 在y 轴上,点B 、C 在x 轴上,8ABO S =△,OA OB =,10BC =,点P 的坐标是(6)a -,,(1)求ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标;(2)连接PA 、PB ,并用含字母a 的式子表示PAB △的面积(2a ≠);(3)在(2)问的条件下,是否存在点P ,使PAB △的面积等于ABC 的面积?如果存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.16.如图,在平面直角坐标系中, A (-1,0),B (3,0),C (0,2),CD ∥x 轴,CD =AB .(1)求点D 的坐标(2)四边形OCDB 的面积OCDB S 四边形(3)在y 轴上是否存在一点P ,使PAB S ∆=OCDB 13S 四边形,若存在这样一点,求出点P 的坐标,若不存在,试说明理由.17.如图,在平面直角坐标系中,已知(0,)A a 、(,0)B b 、(,)C b c ,其中a ,b ,c 满足关系22(3)0,(4)0b c -=-≤.如果在平面内有一点(,1)P m .(1)a =________;b =________;c =________;(2)是否存在m ,使得以A ,O ,B ,P 四点构成的四边形的面积与ABC 的面积相等.若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接,AP BP ,请探究,,OAP PBC APB ∠∠∠之间的数量关系.18.如图,在平面直角坐标系中,点A B 、的坐标分别为()()1,03,0-、,现同时先将点A B 、分别向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到A B 、的对应点C D 、,连接AC BD CD 、、.(1)直接写出点C D 、的坐标;(2)在x 轴上是否存在一点F ,使得三角形DFC 的面积是三角形DFB 面积的2倍?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由.19.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点A C ,分别在y 轴,x 轴的正半轴上,顶点D 与原点重合,顶点B 的坐标为()34,.将矩形ABCD 沿直线EF 折叠,点A 落在BC 边上的点G 处,E F ,分别在ADAB ,上,且点F 的横坐标为2. (1)求点G 的坐标;(2)求EFG 的面积;(3)点N 在x 轴上,直线EF 上是否存在点M ,使以M N F G ,,,为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M 的坐标;若不存在,说明理由.20.如图,在平面直角坐标系中,()()()A 1,0,B 3,0,C 0,2-,CD//x 轴,CD=AB、(1)求点D 的坐标:(2)四边形OCDB 的面积S 四边形OCDB ;(3)在y 轴上是否存在点P ,使S △PAB =S 四边形OCDB ;若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.。
中考数学中的“存在性”问题
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中考数学中的“存在性”问题
发表时间:2017-11-02T12:11:06.693Z 来源:《创新人才教育》2017年第7期作者:黄文帅[导读] “存在性”问题是一种常见的结论为开放与探索型问题。
四川省中江县富兴镇中心学校会棚分校黄文帅 “存在性”问题是一种常见的结论为开放与探索型问题。
其数学一般以几何图形成函数图象为载体,以探索点或线(尤其以点)的存在性问题最为常见。
通常是给出问题条件,让解题者根据条件探索相应结论,并且有时符合条件的结论往往不止一个,或者相应论证的“存在性”需要在解题时进行推断,甚至要求解题者探求条件在变化中的结论。
近年来,这类题型在全国很多地方的中考中都有所出现,而且频率逐年上升。
它的出现对考查学生的发挥思维和综合运用知识的能力,推动初中数学教学改革和促进创新人才的培养具有重要作用。
解这类题的一般方法是先假设存在,然后由此出发,结合已知条件进行大胆猜想,通过计算推理论证得出某个结果,若结果合理,则说明假设成立,否则,假设不存在。
初三压轴题函数图象中点的存在性问题
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第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 如图1,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M 的抛物线y =ax 2+bx (a >0)经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,AO =BO =2,∠AOB =120°.(1)求这条抛物线的表达式;(2)连结OM ,求∠AOM 的大小;(3)如果点C 在x 轴上,且△ABC 与△AOM 相似,求点C 的坐标.图1思路点拨1.第(2)题把求∠AOM 的大小,转化为求∠BOM 的大小.2.因为∠BOM =∠ABO =30°,因此点C 在点B 的右侧时,恰好有∠ABC =∠AOM . 3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似.满分解答(1)如图2,过点A 作AH ⊥y 轴,垂足为H . 在Rt △AOH 中,AO =2,∠AOH =30°, 所以AH =1,OH =3.所以A (1,3)-.因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点, 设y =ax (x -2),代入点A (1,3)-,可得33a =. 图2 所以抛物线的表达式为23323(2)333y x x x x =-=-. (2)由2232333(1)3333y x x x =-=--, 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3-.所以3tan 3BOM ∠=. 所以∠BOM =30°.所以∠AOM =150°. (3)由A (1,3)-、B (2,0)、M 3(1,)3-, 得3tan 3ABO ∠=,23AB =,233OM =.所以∠ABO =30°,3OAOM=. 因此当点C 在点B 右侧时,∠ABC =∠AOM =150°. △ABC 与△AOM 相似,存在两种情况: ①如图3,当3BA OA BC OM ==时,23233BA BC ===.此时C (4,0). ②如图4,当3BC OABA OM==时,33236BC BA ==⨯=.此时C (8,0).图3 图4考点伸展在本题情境下,如果△ABC 与△BOM 相似,求点C 的坐标.如图5,因为△BOM 是30°底角的等腰三角形,∠ABO =30°,因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形,AB =AC ,根据对称性,点C 的坐标为(-4,0).图5例2 如图1,已知抛物线211(1)444b y x b x =-++(b 是实数且b >2)与x 轴的正半轴分别交于点A 、B (点A位于点B 是左侧),与y 轴的正半轴交于点C .(1)点B 的坐标为______,点C 的坐标为__________(用含b 的代数式表示);(2)请你探索在第一象限内是否存在点P ,使得四边形PCOB 的面积等于2b ,且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ,使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.图1思路点拨1.第(2)题中,等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等.2.联结OP ,把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b 的式子表示.3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上.满分解答(1)B 的坐标为(b , 0),点C 的坐标为(0,4b ). (2)如图2,过点P 作PD ⊥x 轴,PE ⊥y 轴,垂足分别为D 、E ,那么△PDB ≌△PEC . 因此PD =PE .设点P 的坐标为(x, x). 如图3,联结OP .所以S 四边形PCOB =S △PCO +S △PBO =1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅==2b .解得165x =.所以点P 的坐标为(1616,55).图2 图3(3)由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--,得A (1, 0),OA =1. ①如图4,以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ,那么△OQC ≌△QOA . 当BA QA QA OA=,即2QA BA OA =⋅时,△BQA ∽△QOA . 所以2()14bb =-.解得843b =±.所以符合题意的点Q 为(1,23+).②如图5,以OC 为直径的圆与直线x =1交于点Q ,那么∠OQC =90°。
中考数学存在性问题的经典方法总结
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中考数学存在性问题的经典方法总结存在性问题是动态几何中的基本类型,包括等腰(边)三角形存在问题;直角三角形存在问题;平行四边形存在问题;矩形、菱形、正方形存在问题;全等三角形存在问题;相似三角形存在问题;其它存在问题等。
函数综合题中,存在性问题是各地中考的热点。
这类题目中图形复杂,不确定因素较多,对学生的知识运用分析能力要求较高,且有一定的难度。
本节介绍几种存在性问题的经典方法,为以后二次函数中的存在性问题的解决提供帮助。
一、等腰三角形存在性问题解决等腰三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快。
1、代数法(盲解盲算法)如果△ABC是等腰三角形,那么存在①AB=AC,②BA=BC,③CA=CB三种情况.代数法的一般步骤:罗列三边长(的平方),分类列方程,解方程并检验.2、几何法(“两圆一线”法)如图,已知线段AB,在平面内找一点C,使得△ABC为等腰三角形,满足条件的点C的集合如下图所示(在以点A,B为圆心,AB长为半径的圆和线段AB的垂直平分线上,除了与AB在同一直线上的点外的所有点)二、直角三角形存在性问题解决直角三角形存在性问题一般有几何法和代数法两种方法,把几何法和代数法相结合,可以使得解题又好又快。
1、代数法(盲解盲算法)如果△ABC是直角三角形,那么存在①∠A为直角,②∠B为直角,③∠C为直角三种情况.代数法的一般步骤:罗列三边长(的平方),分类列方程,解方程并检验.2、几何法(“两线一圆”法)如果已知两个定点A、B,在平面内求找一点C,使得△ABC为直角三角形:分别过已知线段AB的两个端点作线段AB的垂线,再以已知线段AB为直径作圆,这两条直线和这个圆上(除了和A、B在同一直线上)的所有点均满足条件,如下图所示:。
中考数学压轴题专题1《直角三角形的存在性问题》
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中考数学压轴题专题一《直角三角形的存在性问题》【考题研究】这类问题主要是已知直角三角形的一边(即直角三角形的两个点确定),求解第三点。
这类问题主要是和动点问题结合在一起,主要在于考查学生的探寻能力和分类研究的推理能力,也是近几年来各市地对学生能力提高方面的一个考查。
【解题攻略】解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方程,第三步解方程并验根.一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程.有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便.解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起.如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便.在平面直角坐标系中,两点间的距离公式常常用到.怎样画直角三角形的示意图呢?如果已知直角边,那么过直角边的两个端点画垂线,第三个顶点在垂线上;如果已知斜边,那么以斜边为直径画圆,直角顶点在圆上(不含直径的两个端点).【解题类型及其思路】当直角三角形存在时可从三个角度进行分析研究:(1)当动点在直线上运动时,常用的方法是①121k k⋅=-,②三角形相似,③勾股定理;(2)当动点在曲线上运动时,情况分类如下,第一当已知点处作直角的方法①121k k⋅=-,②三角形相似,③勾股定理;第二是当动点处作直角的方法:寻找特殊角【典例指引】类型一【确定三角形的形状】典例指引1.(2019·辽宁中考模拟)已知,m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D,求出点C,D的坐标,并判断△BCD的形状;(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为2个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.【举一反三】(2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c 与x轴交于A(﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型二【确定点的坐标】典例指引2.19.(2019·江西中考模拟)已知抛物线l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线.(1)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是,衍生直线的解析式是;(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求这条抛物线的解析式;(3)如图,设(1)中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点,是否存在点P,使△POM为直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【举一反三】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点E(x,y)为抛物线上一点,且﹣5<x<﹣2,过点E作EF∥x轴,交抛物线的对称轴于点F,作EH⊥x轴于点H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周长的最大值;(3)如图2,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使以点P,A,C为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.类型三【确定动点运动的时间】典例指引3.已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(4,0),且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等.(1)求实数a,b的值;(2)如图①,动点E,F同时从A点出发,其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动,点F5AC方向运动.当点E停止运动时,点F 随之停止运动.设运动时间为t秒.连接EF,将△AEF沿EF翻折,使点A落在点D处,得到△DEF.①是否存在某一时刻t,使得△DCF为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式.【举一反三】(2018·河北中考模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y 轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C 的坐标为(0,),点M 是抛物线C 2:2y mx 2mx 3m =--(m <0)的顶点.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ,使得△PBC 的面积最大?若存在,求出△PBC 面积的最大值;若不存在,请说明理由;(3)当△BDM 为直角三角形时,求m 的值.【新题训练】1.如图1,已知抛物线y =﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点,(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C .(1)求出直线BC 的解析式.(2)M 为线段BC 上方抛物线上一动点,过M 作x 轴的垂线交BC 于H ,过M 作MQ ⊥BC 于Q ,求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标;当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ,使|AR ﹣MR |最大,求出此时R 的坐标.(3)T 为线段BC 上一动点,将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ,是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形,若存在请求出BT 的长,若不存在,请说明理由.2.如图,抛物线y =mx 2+nx ﹣3(m≠0)与x 轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y 轴交于点C ,直线y =﹣x 与该抛物线交于E ,F 两点.(1)求点C 坐标及抛物线的解析式.(2)P 是直线EF 下方抛物线上的一个动点,作PH ⊥EF 于点H ,求PH 的最大值.(3)以点C 为圆心,1为半径作圆,⊙C 上是否存在点D ,使得△BCD 是以CD 为直角边的直角三角形?若存在,直接写出D 点坐标;若不存在,请说明理由.3.(2019·四川)如图,顶点为(3,3)P 的二次函数图象与x 轴交于点(6,0)A ,点B 在该图象上,OB 交其对称轴l 于点M ,点M 、N 关于点P 对称,连接BN 、ON .(1)求该二次函数的关系式.(2)若点B 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动,请解答下列问题:①连接OP ,当12OP MN =时,请判断NOB ∆的形状,并求出此时点B 的坐标. ②求证:BNM ONM ∠=∠.4.(2018·贵州中考)如图,已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-,且抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,其中(1,0)A ,(0,3)C .(1)若直线y mx n =+经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求出点M 的坐标;(3)设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点,求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.5.(2018·四川中考)如图①,已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图像经过点A (0,3)、B (1,0),其对称轴为直线l :x=2,过点A 作AC ∥x 轴交抛物线于点C ,∠AOB 的平分线交线段AC 于点E ,点P 是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若动点P 在直线OE 下方的抛物线上,连结PE 、PO ,当m 为何值时,四边形AOPE 面积最大,并求出其最大值;(3)如图②,F 是抛物线的对称轴l 上的一点,在抛物线上是否存在点P 使△POF 成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.6.(2019·云南中考模拟)已知,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A (﹣1,0)和C (0,3). (1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,使P A+PC的值最小?如果存在,请求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)设点M在抛物线的对称轴上,当△MAC是直角三角形时,求点M的坐标.7.(2019·黑龙江中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A (﹣1,0)B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:;(2)点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点,DE⊥x轴于点E,DF∥AC交抛物线对称轴于点F,求DE+DF的最大值;(3)①在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;②点Q在抛物线对称轴上,其纵坐标为t,请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围.8.(2019·广西中考模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,抛物线与x轴的另一交点为B.(1)若直线y=mx+n 经过B 、C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;(2)设点P 为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标.9.(2019·山东中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB ,tan ∠ABC=2,点B 的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点.(1)求抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一点,过点P 作PD 垂直x 轴于点D ,交线段AB 于点E ,使PE=12DE . ①求点P 的坐标;②在直线PD 上是否存在点M ,使△ABM 为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M 的坐标;若不存在,请说明理由.10.(2019·山东中考模拟)已知:如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A (0,6),B (6,0),C (﹣2,0),点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 运动到什么位置时,△PAB 的面积有最大值?(3)过点P 作x 轴的垂线,交线段AB 于点D ,再过点P 做PE ∥x 轴交抛物线于点E ,连结DE ,请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.11.(2019·陕西中考模拟)如图,已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上.(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标.12.(2019·山东中考模拟)如图,已知直线AB经过点(0,4),与抛物线y=14x2交于A,B两点,其中点A的横坐标是2 .(1)求这条直线的函数关系式及点B的坐标.(2)在x轴上是否存在点C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在请说明理由.(3)过线段AB上一点P,作PM∥x轴,交抛物线于点M,点M在第一象限,点N(0,1),当点M的横坐标为何值时,MN+3MP的长度最大?最大值是多少?13.(2019·河北中考模拟)已知如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与点A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;(3)△APD能否构成直角三角形?若能请直接写出点P坐标,若不能请说明理由;(4)在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大?若存在请求出点M的坐标,若不存在请说明理由.14.(2019·河南中考模拟)如图所示,菱形ABCD位于平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c 经过菱形的三个顶点A、B、C,已知A(﹣3,0)、B(0,﹣4).(1)求抛物线解析式;(2)线段BD上有一动点E,过点E作y轴的平行线,交BC于点F,若S△BOD=4S△EBF,求点E的坐标;(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使△BPD是以BD为斜边的直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由.15.(2019·临沭县青云镇青云初级中学中考模拟)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的P 点,使线段PC 的长有最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求∆PAC 为直角三角形时点P 的坐标.16.(2019·江西中考模拟)如图,矩形OABC 中,点O 为原点,点A 的坐标为(0,8),点C 的坐标为(6,0).抛物线249y x bx c =-++经过A 、C 两点,与AB 边交于点D . (1)求抛物线的函数表达式;(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合),点Q 为线段AC 上一个动点,AQ=CP ,连接PQ ,设CP=m ,△CPQ 的面积为S .①求S 关于m 的函数表达式,并求出m 为何值时,S 取得最大值; ②当S 最大时,在抛物线249y x bx c =-++的对称轴l 上若存在点F ,使△FDQ 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F 的坐标;若不存在,请说明理由.【典例指引】类型一 【确定三角形的形状】典例指引1.(2019·辽宁中考模拟)已知,m ,n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根,且|m |<|n |,抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),如图所示. (1)求这个抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ,求出点C ,D 的坐标,并判断△BCD 的形状;(3)点P 是直线BC 上的一个动点(点P 不与点B 和点C 重合),过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,点Q 在直线BC 上,距离点P为2个单位长度,设点P 的横坐标为t ,△PMQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式.【答案】(1)223y x x =--;(2)C (3,0),D (1,﹣4),△BCD 是直角三角形;(3)2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩<<<或> 【解析】试题分析:(1)先解一元二次方程,然后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先解方程求出抛物线与x 轴的交点,再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,从而得到结论;(3)先求出QF=1,再分两种情况,当点P 在点M 上方和下方,分别计算即可. 试题解析:解(1)∵2+430x x +=,∴11x =-,23x =-,∵m ,n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根,且|m|<|n|,∴m=﹣1,n=﹣3,∵抛物线223y x x =--的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),∴10{3b c c -+==-,∴2{3b c =-=-,∴抛物线解析式为223y x x =--;(2)令y=0,则2230x x --=,∴11x =-,23x =,∴C (3,0),∵223y x x =--=2(1)4x --,∴顶点坐标D (1,﹣4),过点D 作DE ⊥y 轴,∵OB=OC=3,∴BE=DE=1,∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠DBE=45°,∴∠CBD=90°,∴△BCD 是直角三角形;(3)如图,∵B (0,﹣3),C (3,0),∴直线BC 解析式为y=x ﹣3,∵点P 的横坐标为t ,PM ⊥x 轴,∴点M 的横坐标为t ,∵点P 在直线BC 上,点M 在抛物线上,∴P (t ,t ﹣3),M (t ,223t t --),过点Q 作QF ⊥PM ,∴△PQF 是等腰直角三角形,∵PQ=2,∴QF=1. ①当点P 在点M 上方时,即0<t <3时,PM=t ﹣3﹣(223t t --)=23t t -+,∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+,②如图3,当点P 在点M 下方时,即t <0或t>3时,PM=223t t --﹣(t ﹣3)=23t t -,∴S=12PM×QF=12(23t t -)=21322t t -.综上所述,S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-.【举一反三】(2019·淮滨县王店乡教育管理站中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A (﹣1,0)B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式;(2)请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;直线AC的解析式为y=3x+3;(2)点M的坐标为(0,3);(3)符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139),【解析】分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标;(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3,再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,∴﹣2a=2,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩,解得33pq=⎧⎨=⎩,∴直线AC的解析式为y=3x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),∵MB=MB′,∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,∴此时△BDM的周长最小,易得直线DB′的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,∴点M的坐标为(0,3);(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,∵直线AC的解析式为y=3x+3,∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b,把C(0,3)代入得b=3,∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3,解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==,解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则此时P点坐标为(73,209);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,把A(﹣1,0)代入得13+b=0,解得b=﹣13,∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13,解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩==,解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则此时P点坐标为(103,﹣139).综上所述,符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139).类型二【确定点的坐标】典例指引2.19.(2019·江西中考模拟)已知抛物线l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线.(1)如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是,衍生直线的解析式是;(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1,求这条抛物线的解析式;(3)如图,设(1)中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点,是否存在点P,使△POM为直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2﹣3, y=﹣x﹣3;(2)y=2x2﹣4x+1;(3)存在,P为(1172+,﹣2)117-,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2).【解析】分析:(1)衍生抛物线顶点为原抛物线与y轴的交点,则可根据顶点设顶点式方程,由衍生抛物线过原抛物线的顶点则解析式易得,MN解析式易得.(2)已知衍生抛物线和衍生直线求原抛物线思路正好与(1)相反,根据衍生抛物线与衍生直线的两交点分别为衍生抛物线与原抛物线的交点,则可推得原抛物线顶点式,再代入经过点,即得解析式.(3)由N(0,﹣3),衍生直线MN绕点N旋转到与x轴平行得到y=﹣3,再向上平移1个单位即得直线y=﹣2,所以P点可设(x,﹣2).在坐标系中使得△POM为直角三角形一般考虑勾股定理,对于坐标系中的两点,分别过点作平行于x轴、y轴的直线,则可构成以两点间距离为斜边的直角三角形,且直角边长都为两点横纵坐标差的绝对值.进而我们可以先算出三点所成三条线的平方,然后组合构成满足勾股定理的三种情况,易得P 点坐标.本题解析:(1)∵抛物线y=x2﹣2x﹣3过(0,﹣3),∴设其衍生抛物线为y=ax2﹣3,∵y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=(x﹣1)2﹣4,∴衍生抛物线为y=ax2﹣3过抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点(1,﹣4),∴﹣4=a•1﹣3,解得a=﹣1,∴衍生抛物线为y=﹣x2﹣3.设衍生直线为y=kx+b,∵y=kx+b过(0,﹣3),(1,﹣4),∴304bk b -=+⎧⎨-=+⎩,∴13 kb=-⎧⎨=-⎩,∴衍生直线为y=﹣x﹣3.(2)∵衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点,∴将y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1联立,得22121y xy x⎧=-+⎨=-+⎩,解得1xy=⎧⎨=⎩或11xy=⎧⎨=-⎩,∵衍生抛物线y=﹣2x2+1的顶点为(0,1),∴原抛物线的顶点为(1,﹣1).设原抛物线为y=a(x﹣1)2﹣1,∵y=a(x﹣1)2﹣1过(0,1),∴1=a(0﹣1)2﹣1,解得a=2,∴原抛物线为y=2x2﹣4x+1.(3)∵N(0,﹣3),∴MN绕点N旋转到与x轴平行后,解析式为y=﹣3,∴再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=﹣2.设点P坐标为(x,﹣2),∵O(0,0),M(1,﹣4),∴OM2=(x M﹣x O)2+(y O﹣y M)2=1+16=17,OP2=(|x P﹣x O|)2+(y O﹣y P)2=x2+4,MP2=(|x P﹣x M|)2+(y P﹣y M)2=(x﹣1)2+4=x2﹣2x+5.①当OM2=OP2+MP2时,有17=x2+4+x2﹣2x+5,解得,即P,﹣2)或P,﹣2).②当OP2=OM2+MP2时,有x2+4=17+x2﹣2x+5,解得x=9,即P(9,﹣2).③当MP2=OP2+OM2时,有x2﹣2x+5=x2+4+17,解得x=﹣8,即P(﹣8,﹣2).综上所述,当P为(1172+,﹣2)或(1172-,﹣2)或(9,﹣2)或(﹣8,﹣2)时,△POM为直角三角形.【名师点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象及性质,勾股定理及利用其表示坐标系中两点距离的基础知识,特别注意的是:利用其表示坐标系中两点距离,是近几年中考的热点,需学生熟练运用.【举一反三】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A(﹣5,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点E(x,y)为抛物线上一点,且﹣5<x<﹣2,过点E作EF∥x轴,交抛物线的对称轴于点F,作EH⊥x轴于点H,得到矩形EHDF,求矩形EHDF周长的最大值;(3)如图2,点P为抛物线对称轴上一点,是否存在点P,使以点P,A,C为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣x2﹣4x+5.(2)372;(3)P坐标为(﹣2,7)或(﹣2,﹣3)或(﹣2,6)或(﹣2,﹣1).【解析】试题分析:(1)利用待定系数法即可解决问题; (2)构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题;(3)分三种情形分别求解①当90,ACP ∠=o由222AC PC PA +=,列出方程即可解决.②当90CAP ∠=︒时,由222AC PA PC +=, 列出方程即可解决.③当90APC ∠=︒ 时,由222PA PC AC +=,列出方程即可; 试题解析:(1)把A (−5,0),B (1,0)两点坐标代入2y x bx c =-++,得到255010b c b c --+=⎧⎨-++=⎩,解得45b c =-⎧⎨=⎩,∴抛物线的函数表达式为24 5.y x x =--+ (2)如图1中,∵抛物线的对称轴x =−2,2(,45)E x x x ,--+ ∴2452EH x x EF x =--+=--,,∴矩形EFDH 的周长225372()2(53)2().22EH EF x x x =+=--+=-++ ∵−2<0, ∴52x =-时,矩形EHDF 的周长最大,最大值为37.2 (3)如图2中,设P (−2,m )①当90,ACP ∠=o ∵222AC PC PA +=, ∴22222(52)2(5)3m m ++-=+, 解得m =7, ∴P 1(−2,7).②当90CAP ∠=o 时,∵222AC PA PC +=, ∴22222(52)32(5)m m ++=+-, 解得m =−3, ∴P 2(−2,−3).③当90APC ∠=o 时,∵222PA PC AC +=, ∴2222232(5)(52)m m ,+++-= 解得m =6或−1, ∴P 3(−2,6),P 4(−2,−1),综上所述,满足条件的点P 坐标为(−2,7)或(−2,−3)或(−2,6)或(−2,−1).类型三 【确定动点运动的时间】典例指引3.已知二次函数y =ax 2+bx -2的图象与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为(4,0),且当x =-2和x =5时二次函数的函数值y 相等.(1)求实数a ,b 的值;(2)如图①,动点E ,F 同时从A 点出发,其中点E 以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向终点B 运动,点F AC 方向运动.当点E 停止运动时,点F 随之停止运动.设运动时间为t 秒.连接EF ,将△AEF 沿EF 翻折,使点A 落在点D 处,得到△DEF.①是否存在某一时刻t ,使得△DCF 为直角三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由;②设△DEF 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式.【解析】试题分析:(1)根据抛物线图象经过点A 以及“当x =﹣2和x =5时二次函数的函数值y 相等”两个条件,列出方程组求出待定系数的值.(2)①首先由抛物线解析式能得到点A 、B 、C 三点的坐标,则线段OA 、OB 、OC 的长可求,进一步能得出AB 、BC 、AC 的长;首先用t 表示出线段AD 、AE 、AF (即DF )的长,则根据AE 、EF 、OA 、OC 的长以及公共角∠OAC 能判定△AEF 、△AOC 相似,那么△AEF 也是一个直角三角形,及∠AEF 是直角;若△DCF 是直角,可分成三种情况讨论:i )点C 为直角顶点,由于△ABC 恰好是直角三角形,且以点C 为直角顶点,所以此时点B 、D 重合,由此得到AD 的长,进而求出t 的值;ii )点D 为直角顶点,此时∠CDB 与∠CBD 恰好是等角的余角,由此可证得OB =OD ,再得到AD 的长后可求出t 的值;iii )点F 为直角顶点,当点F 在线段AC 上时,∠DFC 是锐角,而点F 在射线AC 的延长线上时,∠DFC 又是钝角,所以这种情况不符合题意. ②此题需要分三种情况讨论:i )当点E 在点A 与线段AB 中点之间时,两个三角形的重叠部分是整个△DEF ;ii )当点E 在线段AB 中点与点O 之间时,重叠部分是个不规则四边形,那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得;iii )当点E 在线段OB 上时,重叠部分是个小直角三角形.试题解析:解:(1)由题意得: 16420{4222552a b a b a b +-=--=+-,解得:a =12,b =32-.(2)①由(1)知二次函数为213222y x x =--.∵A (4,0),∴B (﹣1,0),C (0,﹣2),∴OA =4,OB =1,OC =2,∴AB =5,AC =BC AC 2+BC 2=25=AB 2,∴△ABC 为直角三角形,且∠ACB =90°.∵AE=2t,AF,∴2AF ABAE AC==.又∵∠EAF=∠CAB,∴△AEF∽△ACB,∴∠AEF=∠ACB=90°,∴△AEF沿EF翻折后,点A落在x轴上点D处;由翻折知,DE=AE,∴AD=2AE=4t,EF=12AE=t.假设△DCF为直角三角形,当点F在线段AC上时:ⅰ)若C为直角顶点,则点D与点B重合,如图2,∴AE=12AB=52t=52÷2=54;ⅱ)若D为直角顶点,如图3.∵∠CDF=90°,∴∠ODC+∠EDF=90°.∵∠EDF=∠EAF,∴∠OBC+∠EAF=90°,∴∠ODC=∠OBC,∴BC=DC.∵OC⊥BD,∴OD=OB=1,∴AD=3,∴AE=32,∴t=34;当点F在AC延长线上时,∠DFC>90°,△DCF为钝角三角形.综上所述,存在时刻t,使得△DCF为直角三角形,t=34或t=54.②ⅰ)当0<t≤54时,重叠部分为△DEF,如图1、图2,∴S=12×2t×t=t2;ⅱ)当54<t≤2时,设DF与BC相交于点G,则重叠部分为四边形BEFG,如图4,过点G作GH⊥BE于H,设GH=m,则BH= 12m,DH=2m,∴DB=32m.∵DB=AD﹣AB=4t﹣5,∴32m=4t﹣5,∴m=23(4t﹣5),∴S=S△DEF﹣S△DBG=12×2t×t﹣12(4t﹣5)×23(4t﹣5)=2134025333t t-+-;ⅲ)当2<t≤52时,重叠部分为△BEG,如图5.∵BE=DE﹣DB=2t﹣(4t﹣5)=5﹣2t,GE=2BE=2(5﹣2t),∴S=12×(5﹣2t)×2(5﹣2t)=4t2﹣20t+25.综上所述:2225(0)41340255{(2)3334542025(2)2t tS t t tt t t<≤=-+-<≤-+<≤.【名师点睛】此题主要考查的是动点函数问题,涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识;第二题的两个小题涉及的情况较多,一定要根据动点的不同位置来分类讨论,抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在. 【举一反三】(2018·河北中考模拟)如图,在平面直角坐标系xOy 中,A 、B 为x 轴上两点,C 、D 为y 轴上的两点,经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C 的坐标为(0,),点M 是抛物线C 2:2y mx 2mx 3m =--(m <0)的顶点.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ,使得△PBC 的面积最大?若存在,求出△PBC 面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)当△BDM 为直角三角形时,求m 的值. 【答案】(1)A (,0)、B (3,0);(2)存在.S △PBC 最大值为2716;(3)2m 2=-或1m =-时,△BDM 为直角三角形. 【解析】 【分析】(1)在2y mx 2mx 3m =--中令y=0,即可得到A 、B 两点的坐标.(2)先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式,由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式,根据二次函数最值原理求出最大值.(3)先表示出DM 2,BD 2,MB 2,再分两种情况:①∠BMD=90°时;②∠BDM=90°时,讨论即可求得m 的值. 【详解】解:(1)令y=0,则2mx 2mx 3m 0--=,∵m <0,∴2x 2x 30--=,解得:1x 1=-,2x 3=. ∴A (,0)、B (3,0).(2)存在.理由如下:∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-(a 0≠),把C (0,32-)代入可得,12a =. ∴C1的表达式为:()()1y x 1x 32=+-,即213y x x 22=--.设P (p ,213p p 22--),∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+().∵3a 4=-<0,∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716.(3)由C 2可知: B (3,0),D (0,3m -),M (1,4m -), ∴BD 2=29m 9+,BM 2=216m 4+,DM 2=2m 1+.∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况:当∠BMD=90°时,BM 2+ DM 2= BD 2,即216m 4++2m 1+=29m 9+, 解得:12m =-,22m =(舍去). 当∠BDM=90°时,BD 2+ DM 2= BM 2,即29m 9++2m 1+=216m 4+, 解得:1m 1=-,2m 1=(舍去) . 综上所述,2m 2=-或1m =-时,△BDM 为直角三角形. 【新题训练】1.(2019·重庆实验外国语学校初三)如图1,已知抛物线y =﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点,(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C . (1)求出直线BC 的解析式.(2)M 为线段BC 上方抛物线上一动点,过M 作x 轴的垂线交BC 于H ,过M 作MQ ⊥BC 于Q ,求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标;当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ,使|AR ﹣MR |最大,求出此时R 的坐标.(3)T 为线段BC 上一动点,将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ,是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形,若存在请求出BT 的长,若不存在,请说明理由.【答案】(1)y =﹣34x +3;(2)R (1,92);(3)BT =2或BT =165.【详解】解:(1)令y=0,即2333084x x -++=,解得122,4x x =-=, ∵点A 在点B 的左侧。
29中考数学压轴题之“存在性问题”
![29中考数学压轴题之“存在性问题”](https://img.taocdn.com/s3/m/dbf49a3f0b1c59eef9c7b433.png)
典例
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B 两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D, 与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0), (6,-8).
(1)求抛物线的函数解析式,并分别求出点B和点E的坐标; (2)试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE≌△FCE? 若存在,请直接写 出点F的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线 l交于点Q,试探究:当m为何值时,△OPQ是等腰三角形.
典例
典例
③PO=PQ时,显然不可能,理由: ∵D(6,-8),∴∠1<∠BOD,∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP,∴∠PQO>∠1, ∴PO≠PQ
04
二次函数中的有关三角形面积的存在性问题
典例
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c经过原点O,与x轴交于另一点N, 直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A,D两点,与抛物线交于B(1,m),
典例
解析:
(2)因为ON的长是一定值,所以当 点P为抛物线的顶点时,△PON的面 积最大
又该抛物线的顶点坐标为(5/4,25/8),
此时 tan∠PON =y/x =25/8:5/4 =5/2
典例
S△ONP=½·|ON|·y=½×5/2×(-2x2+5x)=5/4(-2x2+5x)
感谢聆听
By:蜗牛老师王很圆
这类题型对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性, 正确、完整地解答这类问题,是对知识、能力的一次全面的考查.
01 二次函数中平行四边形的存在性问题 02 二次函数中的相似三角形存在性问题 03 二次函数中的等腰(直角)三角形存在性问题 04 二次函数中的有关三角形面积的存在性问题
中考压轴题,带你学习如何证明坐标系内的三点共线?
![中考压轴题,带你学习如何证明坐标系内的三点共线?](https://img.taocdn.com/s3/m/51d04a490066f5335a81216b.png)
中考压轴题之所以难,是因为题目形式多样化,大多数学生只掌握少类题型的解题技巧。
为了帮助各位中考生在压轴题上有一定突破,每天分享一道压轴题。
下面就来学习下如何证明直角坐标系内三点共线。
中考压轴题有常考的模型,但也要防止意料之外的情形。
就像这道二次函数综合题,第一问不考待定系数法求函数解析式,而是已知抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a、c满足的关系式。
这可能会让不少学生感到意外,从而心态和信心受到影响。
其实只要明白抛物线与x只有一个公共点,那么公共点就是顶点坐标,解决这个问题就比较简单。
若说上一问考的是转化思想,那么第二问考的就是逆向思维。
在平时的压轴题中,已知函数解析式探讨特殊三角形的存在性;这题确是设A为抛物线上的一定点,直线l:y =kx+1﹣k与抛物线交于点B、C,直线BD垂直于直线y=﹣1,垂足为点D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC为等腰直角三角形;①求点A的坐标和抛物线的解析式。
转化思想和逆向思维是初中数学中的基本思想,知识的迁移能力是对这两个思想的近一步升华;第三问要证明:对于每个给定的实数k,都有A、D、C三点共线。
在几何中证明三点共线常用反证法,这题跟函数综合,又如何证明?我们根据一次函数图像平行的条件,联想到K值相等b值也相等,那两直线就重合。
解题这道题不需复杂的计算,也没有繁琐的过程,但是需要有完善的知识体系,灵活的应变能力。
俗话说:读万卷书不如行万里路。
这句话强调见识的重要性,要想在压轴题上取得较大突破,不仅只局限于课本上的例题和习题,我们应该多了解历年各省市的中考压轴题。
2014中考数学压轴题全面突破之三:点的存在性(总结)
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中考数学压轴题全面突破之三•点的存在性
题型特点
存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题,比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等.
点的存在性问题常以函数为背景,探讨是否存在点,满足某种关系或构成某种特殊图形.比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等.
解题思路
解决点的存在性问题,遵循函数与几何综合中处理问题的原则.难点拆解
点的存在性问题关键是利用几何特征建等式.建等式的方式有:
①直接表达建等式.分析点存在所满足的特殊条件或关系,直接表达线
段长.
②转化表达建等式.如面积关系问题,转化面积关系为线段关系,结合
关键点所在图形的边角信息及几何特征,建等式.
③构造模型建等式.如角度间关系,需转化、构造将其放到三角形中,
再借助线段间关系建等式.。
中考压轴题--函数图象中点的存在性问题
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函数图象中点的存在性问题目录1.1 因动点产生的相似三角形问题 .................................................错误!未定义书签。
例1 2011年上海市闸北区中考模拟第25题........................... 错误!未定义书签。
例2 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题........................... 错误!未定义书签。
例3 2010年义乌市中考第24题............................................... 错误!未定义书签。
例4 2010年上海市宝山区中考模拟第24题........................... 错误!未定义书签。
例5 2009年临沂市中考第26题............................................... 错误!未定义书签。
例6 2009年上海市闸北区中考模拟第25题........................... 错误!未定义书签。
例7 2008年杭州市中考第24题............................................... 错误!未定义书签。
1.2 因动点产生的等腰三角形问题 .................................................错误!未定义书签。
例1 2011年湖州市中考第24题............................................... 错误!未定义书签。
例2 2011年盐城市中考第28题............................................... 错误!未定义书签。
例3 2010年上海市闸北区中考模拟第25题........................... 错误!未定义书签。
中考压轴题汇编点的存在性问题
![中考压轴题汇编点的存在性问题](https://img.taocdn.com/s3/m/19800324767f5acfa0c7cd05.png)
2007年中考压轴题汇编---点的存在性问题1、(福建龙岩)如图,抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC BC =.(1)求抛物线的对称轴;(2)写出A B C ,,三点的坐标并求抛物线的解析式;(3)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由.解:(1)抛物线的对称轴5522a x a -=-=………2分(2)(30)A -,(54)B ,(04)C ,…………5分 把点A 坐标代入254y ax ax =-+中,解得16a =-……6分 215466y x x ∴=-++…………………………………7分(3)存在符合条件的点P 共有3个.以下分三类情形探索. 设抛物线对称轴与x 轴交于N ,与CB 交于M .过点B 作BQ x ⊥轴于Q ,易得4BQ =,8AQ =, 5.5AN =,52BM = ① 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个:1P AB △.222228480AB AQ BQ ∴=+=+= ···························································· 8分在1Rt ANP △中,1PN ====152P ⎛∴- ⎝⎭, ···················································································· 9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个:2P AB △. 在2Rt BMP △中,22MP ==== ··· 10分25822P ⎛∴ ⎝⎭, ··············································································· 11分 ③以AB 为底,顶角为角P 的PAB △有1个,即3P AB △.画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ,此时平分线必过等腰ABC △的顶点C .过点3P 作3P K 垂直y 轴,垂足为K ,显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△. 312P K BQ CK AQ ∴==. 3 2.5P K =5CK ∴= 于是1OK = ························································ 13分3(2.51)P ∴-, ························································································ 14分注:第(3)小题中,只写出点P 的坐标,无任何说明者不得分. 2、(河南)如图,对称轴为直线x =27的抛物线经过点A (6,0)和B (0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标;(2)设点E (x ,y )是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形,求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)①当四边形OEAF 的面积为24时,请判断OEAF 是否为菱形?②是否存在点E ,使四边形OEAF 为正方形?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由.3、(山东临沂)如图①,已知抛物线的顶点为A (2,1)为B 。
中考数学重难点突破:存在性问题
![中考数学重难点突破:存在性问题](https://img.taocdn.com/s3/m/ee4b0e54326c1eb91a37f111f18583d049640f1e.png)
中考数学重难点突破:存在性问题
存在性类问题是近几年来各地中考的“热点、难点”。
解决存在性问题就是:假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断。
尤其以二次函数中的是否存在相似三角形、三角形的面积相等、等腰(直角)三角形、平行四边形作为考查对象是中考命题热点.这类题型对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对知识、能力的一次全面的考查。
典型例题
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法
灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是:
假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果,就做出“存在”的判断,导出矛盾,就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种或更多可能,所以具有开放的特征,在假设存在性以后进行的推理或计算,对基础知识,基本技能提出了较高要求,并具备较强的探索性,正确、完整地解答这类问题,是对我们知识、能力的一次全面的考验。
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压轴题学习讲义—点的存在性问题
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压轴题学习讲义—点的存在性问题1.(江津市)26.如图,抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3,0)两点, (1)求该抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线交y 轴与C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使△PBC 的面积最大?,若存在,求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.解:(1)将A(1,0),B(-3,0)代2y x bx c =-++中得10930b c b c -++⎧⎨--+=⎩= ∴23b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为:223y x x =--+(2)存在 理由如下:由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称 ∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点, 此时△AQC 周长最小 ∵223y x x =--+, ∴C 的坐标为:(0,3) 直线BC 解析式为:3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-⎧⎨=+⎩的解∴12x y =-⎧⎨=⎩∴Q(-1,2)ABC(3)答:存在。
理由如下: 设P 点2(23) (30)x x x x --+-<<, ∵92BPC BOC BPCO BPCO S S S S ∆∆=-=-四边形四边形 若BPCO S 四边形有最大值,则BPC S ∆就最大,∴BPE BPCO PEOC S S S ∆+Rt 四边形直角梯形= 11()22BE PE OE PE OC =⋅++ =2211(3)(23)()(233)22x x x x x x +--++---++=233927()2228x -+++ 当32x =-时,BPCO S 四边形最大值=92728+∴BPC S ∆最大=9279272828+-=当32x =-时,215234x x --+=∴点P 坐标为315( )24-,)2. (宁德市)26.(本题满分13分)如图,已知抛物线C 1:()522-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边),点B 的横坐标是1.(1)求P 点坐标及a 的值;(4分)(2)如图(1),抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式;(4分)(3)如图(2),点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4.抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点(点E 在点F 的左边),当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标.(5分)解:(1)由抛物线C 1:()522-+=x a y 得顶点P 的为(-2,-5)∵点B (1,0)在抛物线C 1上 ∴()52102-+=a 解得,a =59(2)连接PM ,作PH ⊥x 轴于H ,作MG ⊥x 轴于G∵点P 、M 关于点B 成中心对称 ∴PM 过点B ,且PB =MB ∴△PBH ≌△MBG ∴MG =PH =5,BG =BH =3 ∴顶点M 的坐标为(4,5)抛物线C 2由C 1关于x 轴对称得到,抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式为()54952+--=x y (3)∵抛物线C 4由C 1绕点x 轴上的点Q 旋转180°得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称 由(2)得点N 的纵坐标为5设点N 坐标为(m ,5) 作PH ⊥x 轴于H ,作NG ⊥x 轴于G 作PK ⊥NG 于K ∵旋转中心Q 在x 轴上 ∴EF =AB =2BH =6∴FG =3,点F 坐标为(m +3,0) H 坐标为(2,0),K 坐标为(m ,-5), 根据勾股定理得 PN 2=NK 2+PK 2=m 2+4m +104 PF 2=PH 2+HF 2=m 2+10m +50 NF 2=52+32=34①当∠PNF =90º时,PN 2+ NF 2=PF 2,解得m =443,∴Q 点坐标为(193,0)②当∠PFN =90º时,PF 2+ NF 2=PN 2,解得m =103,∴Q 点坐标为(23,0)③∵PN >NK =10>NF ,∴∠NPF ≠90º 综上所得,当Q 点坐标为(193,0)或(23,0)时,以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形.3. (莆田市)25.(14分)已知,如图1,过点()01E -,作平行于x 轴的直线l ,抛物线214y x =上的两点A B 、的横坐标分别为-1和4,直线AB 交y 轴于点F ,过点A B 、分别作直线l 的垂线,垂足分别为点C 、D ,连接CF DF 、.(1)求点A B F 、、的坐标; (2)求证:CF DF ⊥; (3)点P 是抛物线214y x =对称轴右侧图象上的一动点,过点P 作PQ PO ⊥交x 轴于点Q ,是否存在点P 使得OPQ △与CDF △相似?若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(1) 解:方法一,如图1,当1x =-时,14y =; 当4x =时,4y =∴1A ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,4 ()44B ,设直线AB 的解析式为y kx b =+则1444k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得341k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为314y x =+当0x =时,1y = ()01F ∴,方法二:求A B 、两点坐标同方法一,如图2,作FG BD ⊥,AH BD ⊥,垂足分别为G 、H ,交y 轴于点N ,则四边形FOMG 和四边形NOMH 均为矩形,设FO x =(图1)备用图(第25题图)(图1)(图2)BGF BHA △∽△ BG FG BH AH ∴= 441544x -∴=- 解得1x =()0F ∴,1(2)证明:方法一:在Rt CEF △中,1,2CE EF ==22222125CF CE EF ∴=+=+=CF ∴=在Rt DEF △中,42DE EF ==, 222224220DF DE EF ∴=+=+=DF ∴=由(1)得()()1141C D ---,,, 5CD ∴= 22525CD ∴== 222CF DF CD ∴+= 90CFD ∴∠=° ∴C F D F⊥ 方法二:由 (1)知5544AF AC ===,AF AC ∴= 同理:BF BD = A C F A F C ∴∠=∠ AC EF ∥ A C F C F O∴∠=∠ AFC CFO ∴∠=∠ 同理:BFD OFD ∠=∠ 90CFD OFC OFD ∴∠=∠+∠=°即CF DF ⊥(3)存在.解:如图3,作PM x ⊥轴,垂足为点M 又PQ OP ⊥ R t R t O P M O∴△∽△PM OM PQ OP ∴=PQ PMOP OM ∴=设()2104P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,,则214PM x OM x ==, ①当Rt Rt QPO CFD △∽△时,12PQ CF OP DF === 21142x PM OM x ∴== 解得2x = ()121P ∴,图3②当Rt Rt OPQ CFD △∽△时,2PQ DF OP CF === 2142x PM OM x ∴== 解得8x = ()2816P ∴,综上,存在点()121P ,、()2816P ,使得OPQ △与CDF △相似. 4. 如图①,正方形 ABCD 中,点A 、B 的坐标分别为(0,10),(8,4), 点C 在第一象限.动点P 在正方形 ABCD 的边上,从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动,同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达D 点时,两点同时停止运动, 设运动的时间为t 秒.(1)当P 点在边AB 上运动时,点Q 的横坐标x (长度单位)关于运动时间t (秒)的函数图象如图②所示,请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度;(2)求正方形边长及顶点C 的坐标;(3)在(1)中当t 为何值时,△OPQ 的面积最大,并求此时P 点的坐标;(4)如果点P 、Q 保持原速度不变,当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时,OP 与PQ 能否相等,若能,写出所有符合条件的t 的值;若不能,请说明理由.解:(1)Q (1,0) ····································································································· 1分 点P 运动速度每秒钟1个单位长度.(2) 过点B 作BF ⊥y 轴于点F ,BE ⊥x 轴于点E ,则BF =8,4OF BE ==. ∴1046AF =-=.在Rt △AFB 中,10AB =过点C 作CG ⊥x 轴于点G ,与FB 的延长线交于点H .∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH . ∴6,8BH AF CH BF ====. ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=. ∴所求C 点的坐标为(14,12).(2) 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ,PN ⊥x 轴于点N , 则△APM ∽△ABF . ∴AP AM MP AB AF BF ==. 1068t A M M P∴==. ∴3455AM t PM t ==,. ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==. 设△OPQ 的面积为S (平方单位) ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-(0≤t ≤10) 说明:未注明自变量的取值范围不扣分.∵310a =-<0 ∴当47471062()10t =-=⨯-时, △OPQ 的面积最大. 此时P 的坐标为(9415,5310) . (4) 当 53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等.5. (广州市)25.(本小题满分14分)如图13,二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为45。
中考数学存在性问题的解题策略 中考数学压轴题解题策略
![中考数学存在性问题的解题策略 中考数学压轴题解题策略](https://img.taocdn.com/s3/m/5690070378563c1ec5da50e2524de518964bd364.png)
《中考数学存在性问题的解题策略中考数学压轴题解题策略》摘要:――3其实数,()证明和这二次函数对应元二次方程是x―(―)x + ――30,必定有两不相等实数根摘要现今不仅是高考对考生很重要更多长认走进所高就有只脚踏进了名牌学校门“存性”问题是考试题容易丢分题型简要分析考数学存性问题题策略关键词存性问题题分析、“存性”问题“存性”问题是指判断满足某种条件某种事物是否存问题应对这种问题要学生知识覆盖面广综合分析能力强对整知识结构体系熟悉题方法要灵活常见类题思路假设其存→根据存性推理论证→得出结论→是否与假设相合→结论存(看是否违背公理和定理)根据思路具体做出判断我们知道“存性”问题结论有两种可能所以开放性强我们要假设存对其进行推理或者计算所以对学生基能力要较高并且具备较强探性二、举例分析现我们就以举例方式析例已知二次函数x―(―)x + ――3其实数()证不论取何实数这二次函数图像与x 轴必有两交;()设这二次函数图像与x轴交(x0)、B(x0)且x、x倒数和3这二次函数析式()证明和这二次函数对应元二次方程是x―(―)x + ――30因Δ (―)―(――3)―8 + ―+ 8+6>0所以方程x―(―)x + ――30 必定有两不相等实数根那么不论取何值这二次函数图像与x轴必有两交()首先分析其与x轴有两交xx倒数和3根据这可以得出式子那么我们知道二次函数与x轴交横坐标就是元二次方程根那么题就很容易得出答案了例已知x、x是元二次方程x+bx+0(≠0≠0)两实数根且xx(≠0≠0)()试用和表示b式子;()是否存实数和满足xx使b?65成立,若存出和值;若不存说明理由分析这题目存两可能性即存和不存那么对类问题我们般假设其存(当然你也可以假设不存这样假设不证明)然根据已知条件和有关性质推理;根据推理程得出结论若其与已知条件相合那么就说明假设存结论成立若地已知条件不相合就说明结论不成立()由题得X+X b ①X+X ②由xx得xx ③把③分别代入①、②并消x得b(+)()假设(+)?65成立设(+)6k5k(k>0)由+±√6k5k 知若、存应是方程z?±√6kz+5k0根因Δ(±√6k)―0k k 0所以存整数使方程两实数根平方和等RΔB斜边平方三、总结给出几道例题我们都了怎样答存性问题即假设其存再根据具体条件证明如和假设相合则成立不合就不成立具体选择填空我们可以假设其成立和不成立两种情况用学公式定理将其推翻或合考生要具体问题具体分析其假设状态参考献[]罗春林初数学存性问题法探讨[]才智00()[]赵远刚考数学“存性”问题题策略[]初生辅导008(5)[3]许少华肯定型存性问题四种策略[]学数学教学00(3)相关热词题考性问题策略。
中考压轴题存在性的探究
![中考压轴题存在性的探究](https://img.taocdn.com/s3/m/237fba90c0c708a1284ac850ad02de80d4d80630.png)
中考压轴题的定义 和特点
压轴题的定义
压轴题是中考数学 试卷的最后一道大 题通常难度较大
压轴题通常涉及多 个知识点需要考生 综合运用所学知识 解决问题
压轴题的题型多样 包括几何、代数、 概率等
压轴题的得分率较 低是拉开考生分数 差距的重要因素
压轴题的特点
难度较高:压轴题通常难度较高需要考生具备较强的综合解题能力
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压轴题考察学生的综合解题能力包 括逻辑思维能力、计算能力、空间 想象能力等
压轴题的题型多样包括函数、几何、 代数等需要学生具备全面的数学知 识储备
中考压轴题的解题 思路和方法
解题思路的探究
思考:根据题目要求思考可 能的解题方法
审题:仔细阅读题目理解题 意明确题目要求
创新性:注重考查学生的创 新能力和解决问题的能力
题型:以数学、物理、化学 等学科为主注重综合应用能 力
趋势:更加注重考查学生的 综合素质和实践能力强调学
科间的交叉和融合
命题趋势的预测
注重基础知识的考 查强调学生对基本 概念、定理、公式 的理解和运用。
注重思维能力的考 查强调学生对问题 的分析、综合、归 纳、推理等思维能 力的培养。
审题:仔细阅读题目理解题意明确已知条件和未知条件 建立模型:根据题目中的已知条件建立数学模型 求解:运用数学知识求解模型得到答案 验证:将求解结果代入题目验证答案是否正确 总结:总结解题方法归纳解题技巧提高解题能力
解题思路的拓展
观察题目找出已知条件和未知条件 分析题目找出隐藏条件或隐含信息 运用所学知识尝试解决题目 总结解题方法拓展解题思路
综合素质的培养
基础知识的掌握: 掌握数学、物理、 化学等学科的基 础知识提高解题 能力
2022年九年级数学中考压轴专题-与存在性问题有关的压轴题讲义附答案
![2022年九年级数学中考压轴专题-与存在性问题有关的压轴题讲义附答案](https://img.taocdn.com/s3/m/b2a8bf2e91c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad711.png)
中考压轴专题:与存在性问题有关的压轴题附答案知识点主要题型抛物线的存在性等腰、直角三角形掌握等腰三角形与直角三角形的性质,并能求出相关的点的存在性问题平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大(小)值问题归纳1:抛物线的存在性问题基础知识归纳:抛物线的存在性问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、等腰梯形、直角梯形、线段的最值与面积的最值问题.基本方法归纳:等腰三角形要注意顶点问题的讨论、直角三角形主要讨论斜边、相似三角形的涉及对应边问题、梯形的上底和下底互相平行、平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平分、线段的最值注意二次函数配方法的应用和对称问题.注意问题归纳:点的存在性问题中,关键是点的找法,点不要漏找.【例1】如图,抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点,B 点坐标为(3,0),与y 轴交于点C (0,﹣3)(1)求抛物线的解析式;(2)点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动,当四边形ABPC 的面积最大时,求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积.(3)直线l 经过A 、C 两点,点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动,直线m 经过点B 和点Q ,是否存在直线m ,使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似?若存在,求出直线m 的解析式,若不存在,请说明理由.【例2】在矩形ABCD 中,AB =3,AD =4,动点Q 从点A 出发,以每秒1个单位的速度,沿AB 向点B 移动;同时点P 从点B 出发,仍以每秒1个单位的速度,沿BC 向点C 移动,连接QP ,QD ,PD .若两个点同时运动的时间为x 秒(0<x ≤3),解答下列问题:(1)设△QPD 的面积为S ,用含x 的函数关系式表示S ;当x 为何值时,S 有最大值?并求出最小值;(2)是否存在x 的值,使得QP ⊥DP ?试说明理由.练习题1.已知抛物线C :23y x x m =-+,直线l :y =kx (k >0),当k =1时,抛物线C 与直线l 只有一个公共点.(1)求m 的值;(2)若直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ,B ,直线l 与直线l 1:y =﹣3x +b 交于点P ,且112OA OB OP+=,求b 的值;(3)在(2)的条件下,设直线l 1与y 轴交于点Q ,问:是否在实数k 使S △APQ =S △BPQ ?若存在,求k 的值,若不存在,说明理由.2.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线l 与抛物线2y mx nx =+相交于A (1,,B (4,0)两点.(1)求出抛物线的解析式;(2)在坐标轴上是否存在点D ,使得△ABD 是以线段AB 为斜边的直角三角形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,说明理由;(3)点P 是线段AB 上一动点,(点P 不与点A 、B 重合),过点P 作PM ∥OA ,交第一象限内的抛物线于点M ,过点M 作MC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点N ,若△BCN 、△PMN 的面积S △BC N 、S △PM N 满足S △BC N =2S △PM N ,求出MN NC的值,并求出此时点M 的坐标.3.如图,顶点为M 的抛物线2(1)4y a x =+-分别与x 轴相交于点A ,B (点A 在点B 的右侧),与y 轴相交于点C (0,﹣3).(1)求抛物线的函数表达式;(2)判断△BCM 是否为直角三角形,并说明理由.(3)抛物线上是否存在点N (点N 与点M 不重合),使得以点A ,B ,C ,N 为顶点的四边形的面积与四边形ABMC 的面积相等?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.4.已知如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点,且OA =1,OB =3,OC =4.(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ,使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P (3)若点M 为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当PM AM -的最大值时点M 的坐标,并直接写出PM AM -的最大值.5.抛物线()240y x ax b a =-++>与x 轴相交于O 、A 两点(其中O 为坐标原点),过点P (2,2a )作直线PM ⊥x 轴于点M ,交抛物线于点B ,点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (其中B 、C 不重合),连接AP 交y 轴于点N ,连接BC 和PC .(1)32a =时,求抛物线的解析式和BC 的长;(2)如图1a >时,若AP ⊥PC ,求a 的值;(3)是否存在实数a ,使12AP PN =,若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.6.已知抛物线与x 轴交于A (6,0)、B (54-,0)两点,与y 轴交于点C ,过抛物线上点M (1,3)作MN ⊥x 轴于点N ,连接OM .(1)求此抛物线的解析式;(2)如图1,将△OMN 沿x 轴向右平移t 个单位(0≤t ≤5)到△O ′M ′N ′的位置,MN ′、M ′O ′与直线AC 分别交于点E 、F .①当点F 为M ′O ′的中点时,求t 的值;②如图2,若直线M ′N ′与抛物线相交于点G ,过点G 作GH ∥M ′O ′交AC 于点H ,试确定线段EH 是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时t 的值;若不存在,请说明理由.7.已知Rt△ABC中,∠B=90°,AC=20,AB=10,P是边AC上一点(不包括端点A、C),过点P作PE⊥BC于点E,过点E作EF∥AC,交AB于点F.设PC=x,PE=y.(1)求y与x的函数关系式;(2)是否存在点P使△PEF是Rt△?若存在,求此时的x的值;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+10与x轴,y轴相交于A,B两点,点C的坐标是(8,4),连接AC,BC.(1)求过O,A,C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,PA=QA?(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A,B,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图1,抛物线23[(2)]5y x n =--+与x 轴交于点A (m ﹣2,0)和B (2m +3,0)(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连结BC .(1)求m 、n 的值;(2)如图2,点N 为抛物线上的一动点,且位于直线BC 上方,连接CN 、BN .求△NBC 面积的最大值;(3)如图3,点M 、P 分别为线段BC 和线段OB 上的动点,连接PM 、PC ,是否存在这样的点P ,使△PCM 为等腰三角形,△PMB 为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.10.如图,已知抛物线213y x bx c =++经过△ABC 的三个顶点,其中点A (0,1),点B (﹣9,10),AC ∥x 轴,点P 是直线AC 下方抛物线上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ,当四边形AECP 的面积最大时,求点P 的坐标;(3)当点P 为抛物线的顶点时,在直线AC 上是否存在点Q ,使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,若存在,求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.11.已知:如图,在矩形ABCD 中,Ab =6cm ,BC =8cm ,对角线AC ,BD 交于点0.点P 从点A 出发,沿方向匀速运动,速度为1cm /s ;同时,点Q 从点D 出发,沿DC 方向匀速运动,速度为1cm /s ;当一个点停止运动时,另一个点也停止运动.连接PO 并延长,交BC 于点E ,过点Q 作QF ∥AC ,交BD 于点F .设运动时间为t (s )(0<t <6),解答下列问题:(1)当t 为何值时,△AOP 是等腰三角形?(2)设五边形OECQF 的面积为S (cm 2),试确定S 与t 的函数关系式;(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使S 五边形S 五边形OECQF :S △ACD =9:16?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由;(4)在运动过程中,是否存在某一时刻t ,使OD 平分∠COP ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.12.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx c =++过A ,B ,C 三点,点A 的坐标是(3,0),点C 的坐标是(0,﹣3),动点P 在抛物线上.(1)b =,c =,点B 的坐标为;(直接填写结果)(2)是否存在点P ,使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,说明理由;(3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ,交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ,连接EF ,当线段EF 的长度最短时,求出点P 的坐标.13.如图,抛物线223y ax x =+-与x 轴交于A 、B 两点,且B (1,0)(1)求抛物线的解析式和点A 的坐标;(2)如图1,点P 是直线y =x 上的动点,当直线y =x 平分∠APB 时,求点P 的坐标;(3)如图2,已知直线2439y x =-分别与x 轴、y 轴交于C 、F 两点,点Q 是直线CF 下方的抛物线上的一个动点,过点Q 作y 轴的平行线,交直线CF 于点D ,点E 在线段CD 的延长线上,连接QE .问:以QD 为腰的等腰△QDE 的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.14.如图,抛物线23y ax bx =+-(a ≠0)的顶点为E ,该抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,且BO =OC =3AO ,直线113y x =-+与y 轴交于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)证明:△DBO ∽△EBC ;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ,使△PBC 是等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的P 点坐标,若不存在,请说明理由.15.如图,抛物线L :2y ax bx c =++与x 轴交于A 、B (3,0)两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C (0,3),已知对称轴x =1.(1)求抛物线L 的解析式;(2)将抛物线L 向下平移h 个单位长度,使平移后所得抛物线的顶点落在△OBC 内(包括△OBC 的边界),求h 的取值范围;(3)设点P 是抛物线L 上任一点,点Q 在直线l :x =﹣3上,△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形?若能,求出符合条件的点P 的坐标;若不能,请说明理由.16.如图,已知抛物线经过原点O ,顶点为A (1,1),且与直线y =x ﹣2交于B ,C 两点.(1)求抛物线的解析式及点C 的坐标;(2)求证:△ABC 是直角三角形;(3)若点N 为x N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ,则是否存在以O ,M ,N 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案【例1】(1)223y x x =--;(2)P 点坐标为(32,154-)时,四边形ABPC 的面积最大,最大面积为758;(3)存在,113y x =-.【例2】(1)S =21262x x -+,S 不存在最大值,当x =2时,S 有最小值,最小值为4;(2)当x =72时,QP ⊥DP .练习题1.(1)4;(2)8;(3)不存在.2.(1)2y =+;(2)D (1,0)或(0,2)或(0,2);(3),M (1+,+).3.(1)223y x x =+-;(2)△BCM 是直角三角形;(3)N (2212-+,32)或N (2212--,32)或N (﹣2,﹣3).4.(1)239344y x x =--+;(2)存在,P (5,3);(3)M (1,0)或(﹣5,92-)时,|PM ﹣AM |的值最大,为5.5.(1)26y x x =-+,BC =2;(2)2(3)34.. 6.(1)241921515y x x =-++;(2)①1;②t =2时,EH 最大值为121995.7.(1)12y x =(0<x <20);(2)当x =10或x =16,存在点P 使△PEF 是Rt △.8.(1)21566y x x =-,直角三角形;(2)103;(3)M 1(52,202+),M 2(52,202-),M 3(52,5192),M 4(52,5192-).9.(1)m =1,n =﹣9;(2)758;(3)P (95-,0)或(34,0).10.(1)21213y x x =++;(2)P (92-,54-);(3)Q (﹣4,1),Q (3,1).11.(1)t 为258或5;(2)2131232S t t =-++;(3)t =92;(4)t =2.88.12.(1)b =﹣2,c =﹣3,B (﹣1,0);(2)P (1,﹣4)或(﹣2,5);(3)(2102+,32-)或(2102-,32-).13.(1)223y x x =+-,A (﹣3,0);(2)P (32,32);(3)QD 为腰的等腰三角形的面积最大值为5413.14.(1)223y x x =--;(2)证明见解析;(3)P (1,﹣1)或P (1P (1P(1,3-+)或P (1,3--15.(1)223y x x =-++;(2)2≤h ≤4;(3)P (1,4)或(0,3)或(32+,92)或(32-,3392-).16.(1)22y x x =-+,C (﹣1,﹣3);(2)证明见解析;(3)(53,0)或(73,0)或(﹣1,0)或(5,0).。
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中考数学压轴题全面突破之三•点的存在性
题型特点
存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题,比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等.
点的存在性问题常以函数为背景,探讨是否存在点,满足某种关系或构成某种特殊图形.比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等.
解题思路
解决点的存在性问题,遵循函数与几何综合中处理问题的原则.
难点拆解
点的存在性问题关键是利用几何特征建等式.建等式的方式有:
①直接表达建等式.分析点存在所满足的特殊条件或关系,直接表达线
段长.
②转化表达建等式.如面积关系问题,转化面积关系为线段关系,结合
关键点所在图形的边角信息及几何特征,建等式.
③构造模型建等式.如角度间关系,需转化、构造将其放到三角形中,
再借助线段间关系建等式.
1.(2009湖北武汉)如图,抛物线错误!未找到引用源。
经过A(﹣1,0),C(0,4)
两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
A
O B
x
y C
A
O B
x
y C
2. (2012江苏南通改编)如图,经过点A (0,﹣4)的抛物线错误!未找到引用源。
与x 轴交于点B (﹣2,0)和点C ,O 为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)将抛物线错误!未找到引用源。
先向上平移错误!未找到引用源。
个单位长度、再向左平移m (m >0)个单位长度,得到新抛物线,若新抛物线的顶点P 在△ABC 内,求m 的取值范围.
(3)若点M 在y 轴上,且∠OMB +∠OAB =∠ACB ,求点M 的坐标.
A B C O x y
A
B C O x
y
3. (2011广东深圳)如图1,抛物线错误!未找到引用源。
(a ≠0)的顶点为
C (1,4),与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点
D ,其中点B 的坐标为(3,0).
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图2,过点A 的直线与抛物线交于点E ,与y 轴交于点F ,其中点E 的横坐标为2,若直线PQ 为抛物线的对称轴,点G 为直线PQ 上一动点,则x 轴上是否存在一点H ,使以D ,G ,F ,H 四点为顶点的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及G ,H 两点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)如图3,抛物线上是否存在一点T ,过点T 作x 轴的垂线,垂足为M ,过点M 作直线MN ∥BD ,交线段AD 于点N ,连接MD ,使△DNM ∽△BMD ?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.
图2
Q
P F
E
O y
x
D C
B
A
图1A
B
C
D x
y
O 图3
A
B
D
x
y
O
4. (2012浙江温州)如图,过原点的抛物线错误!未找到引用源。
(m >0)与x
轴的另一个交点为A .过点P (1,m )作直线PM ⊥x 轴于点M ,交抛物线于点
B .记点B 关于抛物线对称轴的对称点为
C (B ,C 不重合).连接CB ,CP . (1)当m =3时,求点A 的坐标及BC 的长.
(2)当m >1时,连接CA ,问m 为何值时CA ⊥CP ?
(3)过点P 作PE ⊥PC 且PE =PC ,问是否存在m ,使得点E 落在坐标轴上?若存在,求出所有满足要求的m 的值,并求出相对应的点E 的坐标;若不存在,请说明理由.
A O y
x P
C
B
M x y O x
y
O
5.(2012辽宁沈阳)如图,已知在平面直角坐标系中,点A的坐标为(﹣2,0),
点B的坐标为(0,2),点E为线段AB上的一动点(点E不与点A,B重
合).以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC AB,抛物线错误!未找到引用源。
的图象经过A,C两点.(1)求此抛物线的函数表达式.
(2)求证:∠BEF=∠AOE.
(3)当△EOF为等腰三角形时,求点E的坐标.
(4)在(3)的条件下,设直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF 的面积是△EDG面积的(错误!未找到引用源。
)倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
点的存在性
y
x
C
E
T
B
F
O
A
y
x
C
E
T
B
F
O
A
1.(1)抛物线的解析式为234
y x x
=-++.(2)点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1).
(3)点P的坐标为
266
525
⎛⎫-
⎪⎝⎭
,.
2.(1)抛物线的解析式为y=1
2
x2-x-4.
(2)符合条件的m的取值范围为0<m<5
2
.
(3)M(0,6)或M(0,-6).
3.(1)抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4.
(2)存在,四边形DFHG的周长最小为225
+,点G坐
标为(1,1),点H坐标为(1
2
,0).
(3)存在,点T的坐标为(3
2,15
4
).
4.(1)A(6,0),BC=4.
(2)m=3
2
.
(3)当m>1时,
当点E在x轴上,m=2,点E的坐标是(2,0);
当点E在y轴上,m=2,点E的坐标是(0,4).
当0<m<1时,
当m=2
3时,点E的坐标是(4
3
,0).
5.(1)抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22.
(2)证明略.
(3)E(-1,1)或E(-2,2-2).
(4)存在,P(0,22)或P(-1,22).。