2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 3.3 复数的几何意义
苏教版数学选修2-2讲义：第3章 3.3 复数的几何意义
3.3 复数的几何意义1.了解复数的几何意义，并能简单应用.(重点)2.理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系.(易错点)3.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 复数的几何意义阅读教材P 120，完成下列问题.1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.2.复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→ 一一对应―→复平面内的点Z (a ，b )――→ 一一对应―→向量OZ →.复数z ＝－1＋i 1＋i－1在复平面内，z 所对应的点在第________象限. 【解析】 z ＝i (i ＋1)1＋i－1＝i －1， ∴复数z 对应的点为(－1,1)在第二象限.【答案】 二教材整理2 复数的模阅读教材P 121“例1”以上部分，完成下列问题.1.定义向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |.2.公式|z |＝a 2＋b 2.3.几何意义复数z 对应点Z 到原点O 的距离.判断正误：(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( )(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )(3)复数的模一定是正实数.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理3 复数加减法的几何意义阅读教材P 122图3-3-5以下部分，完成下列问题.1.如图3-3-1所示，设向量OZ 1→，OZ 2→分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且OZ 1→和OZ 2→不共线.以OZ 1→，OZ 2→为两条邻边画▱OZ 1ZZ 2.则向量OZ →与复数z 1＋z 2相对应；向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2相对应.图3-3-12.|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是。
[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 章末小结 知识整合与阶段检
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.[对应学生用书P46]1．虚数单位i(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．(3)i 的幂具有周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)，则有i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 2．复数的分类复数(z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0，b ≠0)非纯虚数(a ≠0，b ≠0).3．共轭复数的性质设复数z 的共轭复数为z ，则(1)z ·z ＝|z |2＝|z |2；(2)z 为实数⇔z ＝z ，z 为纯虚数⇔z ＝－z .4．复数的几何意义5．复数相等的条件(1)代数形式：复数相等的充要条件为a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)⇔a ＝c ，b ＝d .特别地，a ＋b i ＝0(a ，b ∈R)⇔a ＝b ＝0.注意：两复数不是实数时，不能比较大小．(2)几何形式：z 1，z 2∈C ，z 1＝z 2⇔对应点Z 1，Z 2重合⇔1OZ 与2OZ 重合．6．复数的运算(1)加法和减法运算：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i(a ，b ，c ，d ∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．[对应学生用书P65](时间：120分钟，总分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝________.解析：∵z 1＝2＋i 在复平面内对应点(2,1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 则z 2的对应点为(－2,1)，则z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.答案：－52．(山东高考改编)若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝________.解析：根据已知得a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：3＋4i3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________．解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3＋4i 5＝35＋45i ， ∴z 的虚部是45. 答案：454．已知m 1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________． 解析：m 1＋i＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ， 因为m ，n ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，m ＝2，即m ＋n i ＝2＋i.答案：2＋i5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ， 设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴z ＝3－i.答案：3－i6．在复平面内，复数2－i 1＋i对应的点位于第________象限． 解析：2－i 1＋i ＝(2－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－3i 12＋12＝12－32i ， 对应的点位于第四象限．答案：四7.5(4＋i )2i (2＋i )＝________. 解析：5(4＋i )2i (2＋i )＝5(15＋8i )－1＋2i ＝5(15＋8i )(－1－2i )(－1)2＋22＝1－38i.答案：1－38i8．设a 是实数，且a 1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于________． 解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i )2＋1＋i 2＝⎝⎛⎭⎫a 2＋12＋(1－a )2i 是实数，∴1－a 2＝0，即a ＝1. 答案：19．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4. 设－1＋i 对应的点为C (－1,1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1,1)为圆心，4为半径的圆．答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆10．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________. 解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4，∴z ＝4i＝－4i. 答案：－4i11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ，101－2i ＝10(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝10(1＋2i )12＋22＝2＋4i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4. ∴z ＝3＋4i.答案：3＋4i12．若OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则AB ＝________.(用复数代数形式表示)解析：由于OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位， 所以AB ＝OB －OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i.答案：－5－4i13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1,0)和(1,0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1,1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0， 解得a ＝112，∴m ＝112i. 答案：112i 二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ；(2)4＋5i (5－4i )(1－i ). 解：(1)(2＋i )(1－i )21－2i ＝(2＋i )(－2i )1－2i＝2(1－2i )1－2i＝2. (2)4＋5i (5－4i )(1－i )＝(5－4i )i(5－4i )(1－i )＝i 1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i －12 ＝－12＋12i. 16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数， ∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R.当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0.17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求(1＋i )2(3＋4i )22z的值． 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由|z |＝1＋3i －z ， 得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3， 所以z ＝－4＋3i.则(1＋i )2(3＋4i )22z ＝2i (3＋4i )22(－4＋3i )＝2(－4＋3i )(3＋4i )2(－4＋3i )＝3＋4i. 18．(本小题满分16分)已知ω＝－12＋32i. (1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝ω，求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)ω2＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i 2＝14－32i －34＝－12－32i.ω2＋ω＋1＝⎝⎛⎭⎫－12－32i ＋⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋1＝0. (2)由于ω2＋ω＋1＝0，∴ωk ＋2＋ωk ＋1＋ωk ＝ωk (ω2＋ω＋1)＝0，k ∈Z.∴S n ＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn －1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0， n ＝3k ，1， n ＝3k ＋1，1＋ω， n ＝3k ＋2，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0， n ＝3k (k ∈Z )，1， n ＝3k ＋1(k ∈Z )，12＋32i ， n ＝3k ＋2(k ∈Z ).19．(本小题满分16分)已知z ＝a －i 1－i(a ∈R 且a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模． 解：把z ＝a －i 1－i(a ＞0)代入ω中， 得ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a (a ＋1)2i. 由a (a ＋1)2－a ＋12＝32，得a 2＝4. 又a ＞0，所以a ＝2.所以|ω|＝|32＋3i|＝325. 20．(本小题满分16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以点A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1； 当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1. 即△ABC 的面积为1.。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2学案 3.3 复数的几何意义
第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∁U B),求复数z在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∁U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∁U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∁U B)等价于z∈A且z∈∁U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是③.(填序号)①3i>2i;②|2+3i|>|1-4i|;③|2-i|>2i4;④i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①④错误.又因为|2+3i|==,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故②错误.|2-i|=>2i4=2,故③正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。
3.3 复数的几何意义 学案(苏教版高中数学选修2-2)
3.3 复数的几何意义学案（苏教版高中数学选修2-2）3.3复数的几何意义复数的几何意义学习目标1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴.虚轴.模等概念.3.理解向量加法.减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢答案任何一个复数zabi，都和一个有序实数对a，b一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系梳理建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数知识点二复数的几何意义1复数与点.向量间的对应关系2复数的模复数zabia，bR，对应的向量为OZ，则向量OZ的模叫做复数zabi 的模或绝对值，记作|z|或|abi|.由模的定义可知|z||abi|a2b2.知识点三复数加.减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗答案如图，设OZ1，OZ2分别与复数abi，cdi对应，且OZ1，OZ2不共线，则OZ1a，b，OZ2c，d，由平面向量的坐标运算，得OZ1OZ2ac，bd，所以OZ1OZ2与复数acbdi对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量答案z1z2可以看作z1z2因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量如图图中OZ1对应复数z1，OZ2对应复数z2，则Z2Z1对应复数z1z2.梳理1复数加减法的几何意义复数加法的几何意义复数z1z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数复数减法的几何意义复数z1z2是从向量OZ2的终点指向向量OZ1的终点的向量Z2Z1所对应的复数2设z1abi，z2cdia，b，c，dR，则|z1z2|ac2bd2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离1原点是实轴和虚轴的交点2在复平面内，对应于实数的点都在实轴上3在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数4复数的模一定是正实数类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数zx2x6x22x15i对应的点Z在1第三象限；2直线xy30上解因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数1当实数x满足x2x60，x22x150，即当3x0，x22x150，即当2x0，m23m280，解得m5，7m4.即7m3.故当7m3时，复数z的对应点位于第四象限2由题意，知m28m150，m23m280，由得m7或m4.因为m7不适合不等式，m4适合不等式，所以m4.故当m4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上类型二复数模及其几何意义的应用例2已知复数z13i及z21232i.1求|z1|及|z2|的值；2设zC，满足|z2||z||z1|的点z的集合是什么图形解1|z1||3i|32122，|z2|1232i1223221.2由1知1|z|2，因为不等式|z|1的解集是圆|z|1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z|2的解集是圆|z|2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1|z|2的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示反思与感悟1在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小2复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离跟踪训练2设z为复数，且|z||z1|1，求|z1|的值考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解设zabia，bRz1a1bi，且|z||z1|1，a2b21，a12b21，即a2b21，a12b21，即a2b21，a2b22a0，解得a12，b234，|z1||abi1|a12b21212343.类型三复数加.减法的几何意义例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应的复数为0，32i，24i.求1AO表示的复数；2CA表示的复数；3OB表示的复数解因为A，C对应的复数分别为32i，24i，由复数的几何意义，知OA与OC表示的复数分别为32i，24i.1因为AOOA，所以AO表示的复数为32i.2因为CAOAOC，所以CA表示的复数为32i24i52i.3OBOAOC，所以OB表示的复数为32i24i16i.反思与感悟1常用技巧形转化为数利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理数转化为形对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中2常见结论在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形若|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为矩形若|z1||z2|，则四边形OACB为菱形若|z1||z2|且|z1z2||z1z2|，则四边形OACB为正方形跟踪训练31已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是2i,32i，则|OB|________.2若z12i，z23ai，复数z2z1所对应的点在第四象限上，则实数a的取值范围是__________答案1102，1解析1OBOAAB，OB表示的复数为2i32i13i，|OB|123210.2z2z11a1i，由题意知a10，即a|xyi||y2i|解析由34ixyi，x3，y4.则|15i|26，|xyi||34i|5，|y2i||42i|25，|15i||xyi||y2i|.4设z134i，z223i，则z1z2在复平面内对应的点位于第________象限答案四解析z1z257i，z1z2在复平面内对应的点为5，7，其位于第四象限5设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是32i和24i，则点C对应的复数是__________答案52i解析设AC与BD的交点为E，则E点坐标为52，1，设点C坐标为x，y，则x5，y2，故点C对应的复数为52i.1复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决即数形结合法，增加了解决复数问题的途径1复数zabia，bR 的对应点的坐标为a，b，而不是a，bi2复数zabia，bR的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个2复数的模1复数zabia，bR的模|z|a2b2.2从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2课件：第3章 3.3 复数的几何意义
[质疑· 手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
【答案】
二
1－2i 1－2im＋i m＋2 1－2m (2)z＝ ＝ ＝ ＋ i. m－i m－im＋i m2＋1 m2＋1 m＋2 ①∵点Z在虚轴上，∴ 2 ＝0，则m＝－2. m ＋1 ②点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0， 1 解之得－2<m<2.
1 故实数m的取值范围是－2，2.
→ ＋ OB → 对应的复数为－2 【解析】 (1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i.即向量 OA ＋10i. → 对应复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i， (2)AB → |＝|－4－3i|＝ －42＋－32＝5. ∴|AB
【答案】 (1)－2＋10i (2)5
1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运 算，同样满足三角形和平行四边形法则. 2.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.
苏教版数学高二- 选修2-2学案 3.3复数的几何意义
3.3复数的几何意义一、高考要求1、 了解复数的代数表示法及其几何意义，2、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.二、基础知识梳理1、 复数的几何表示2、 复数的模3、 复数加法的几何意义4、 复数减法的几何意义5、若z ＝a ＋bi, (a, b ∈R), 则 | z |＝ ； z z ⋅＝ .6、设z 1=a+bi ，z 2=c+di ，则|z 1-z 2|=．三、课前热身 1、数i z i z -=+=1,321，则21z z z ⋅=在复平面内的对应点位于第 象限2、复平面内若复数i i m i m z 6)1()1(2-+-+= 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是 3、a 为正实数，i 为虚数单位，2a i i +=，则a=4. 若12z i =+，则||z =5、复数ii i )1)(1(+-在复平面内对应点到原点的距离为 ． 典型例题例题1、如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3+2i,-2+4i ， 试求：（1）AO 、BC 所表示的复数；（2）对角线CA 所表示的复数;（3)求B 点对应的复数.例2 、设z ∈C ，求满足z+z1∈R 且|z －2|=2的复数z例3．已知复数z 满足|z – (4 – 5i)| = 1，求|z + i|的最大值与最小值．巩固练习1．已知复数134z i =-和24z i =-在复平面内所对应的向量分别为12,OZ OZ （其中O 为坐标原点），记向量12Z Z 所对应的复数为z ，则z 的共轭复数为_____________．2、 已知复数z 满足11z i --=，则z 的最小值是3、i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=4.复数z 1，z 2满足|z 1|=|z 2|=|z 2-z 1|=2，则|z 1+z 2|= ▲ .5、已知复数22(6)(2)()z m m m m i m R =+-++-∈在复平面内所对应的点为A ．（1）若复数4z m +为纯虚数，求实数m 的值；（2）若点A 在第二象限，求实数m 的取值范围；（3）求z 的最小值及此时实数m 的值．6、 已知z 1=x 2+12 x i ，z 2=(x 2+a)i 对于任意x ∈R 均有|z 1|＞|z 2|成立，试求实数a 的取值范围7、已知z ∈C ，2z i 和2z i 都是实数． （１）求复数z ；（２）若复数2()zai 在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围．8．已知虚数z 满足44z z i -=-，且141z z z -+-为实数，求z ．9、已知复数3||,121=-=z i z ，那么||21z z -的最大值是 。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.3 复数的几何意义》9
复数的几何意义
一、教材分析
复数的几何意义是学生在学完复数后的一节课，它在复数内容中起着承上启下的关键作用，它是我们研究复数运算的重要根底，故学好本节内容至关重要。
然而，在之前学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，所以通过类比学生很容易理解复数的几何意义。
二、学情分析
学生已经学过实数的几何意义，实数的绝对值的意义，可以通过类比让学生自主和合作探究复数的几何意义相关知识。
三、教学目标
1知识与技能目标
理解复数的几何意义；根据复数的几何意义，在复平面内能描出复数的点；会运用复数的几何意义判断复数所在的象限及求复数的模
2过程与方法目标
通过类比实数的几何意义学习复数的几何意义，类比向量求模来学习求复数的模，培养学生的逻辑思维能力
3情感与态度价值观目标
通过复数的几何意义的学习，培养学生数形结合的数学思想，从而激发学生学习数学的兴趣
四、重点与难点
重点：复数的几何意义以及复数的模；
难点：复数的几何意义及模的综合应用
五、教法与学法
教法：本节主要让学生类比实数的几何意义和实数的绝对值的几何意义，探究出复数的几何意义；类比求向量的模公式探究出求复数模的公式学法：建议学生通过已学内容大胆探索复数的几何意义、复数的模的定义及公式
六、教学过程
七、作业布置
讲义——复数的几何性质八、板书设计。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-2 3.3 复数的几何意义》7
复数的几何意义
教学目标
1．了解复数的几何意义．
2．会用复平面内的点和向量来表示复数． 3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
教学重点 复数的几何意义．
教学难点
复数与向量的关系,复数模的几何意义．
教学过程
活动一 复习引入
问题1 在数轴上描出以下实数所对应的点： 2,4,1,3--．
问题2 请作出与复数12z i =+所对应的点． 活动二 知识生成
1．复平面
问题 ①是不是任何一个复数都可以和复平面内的一个点相对应？
②是不是复平面内的任何一个点都可以和一个复数相对应？
2．复数的三种表示形式
3． 复数的模
例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数,并比较这些复数的模的大小．
5,5,34,43,43i i i i -+-+-
活动三 复数的模的几何意义
例2 1满足2z =的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
2满足23z <<的复数z 对应的点在复平面上的轨迹是什么图形？
问题 复数
12,z a bi z =+在
复平面上分别与点12,Z Z 相对应．
1．写出与复数12z z +相对应的点Z 的坐标．
2．已知复数12,z a bi z c di =+=+相对应的点12,Z Z ，作出12z z +对应的点Z ．
变式 满足下列条件的复数对应的点的轨迹是什么？
活动四 课堂小结
活动五 课后作业
1． 教材第123页练习4,5,6．
Z 2
Z 1
(1)15;
(2)(12)3z z i -=-+=。
江苏省高二数学苏教版选修2-2教学案：第3章2复数的运算(一)
江苏省泰兴中学高二数学讲义（40）复数的运算（一）【教学目标】1.理解并掌握复数的代数形式四则运算及其运算法则.2.理解加法与减法，乘法与除法的关系.3.掌握共轭复数的概念及性质.【知识构建】1.复数相等2.复数的加法法则(a+bi)+(c+di)=复数的减法法则(a+bi)-(c+di)=复数的乘法法则(a+bi)(c+di)=复数的除法法则 a bi c di+=+ 3.复数运算满足的运算律4.共轭复数的概念【典型例题】例1.计算（1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）(12)(34)(2)i i i -+-+（3）1234i i +- （4）ii i i 4342)1)(41(++++-例2.(1)求复数11z i=-的共轭复数. （2）设122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，求实数a 的值.例3.已知12w =-+，求w ，234,,w w w 的值. 江苏省泰兴中学高二数学课后作业（40）班级: 姓名: 学号： 1.0z z +=是z 为纯虚数的 条件2.设z=3+i, 则z 1等于 3.aib bi a ai b bi a +-+-+的值是 4.已知z 1=2－i,z 2=1+3i,则复数521z z i +的虚部为 5.设iy i i x -+-=+1231 (x ∈R,y ∈R),则x=___________, y=___________ 6.已知222(32),()x x x x i x R +-+-+∈与420i -互为共轭复数，则x =7.已知x.y ∈R ，22(2)3(1)x x y x i x y i +++-+和是共轭复数，求复数z ＝x ＋yi 及z .8.已知221,1,,1z az b z i i a b R z z ++=+=-∈-+，求,a b 的值.9.已知椭圆的两个焦点12,F F 在x 轴上，以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点为（3，4），求椭圆的标准方程10.如图，,',A A B 分别是椭圆的顶点，从椭圆上一点P 向x 轴作垂线，垂足为焦点F，且',AB OP FA =平行于，求椭圆的方程11.求曲线2ln y x =上的点到直线230x y -+=的最短距离. A 'F y xP O BA。
数学：3.3.2《复数的运算2》江苏教案(苏教版选修2-2)
• §3.2复数的四则运算（二）
一． 教学目标
1.通过几个特殊的复数（i i i i i 2
321,2321,1,1,--+--+），再次巩固复数的四则运算法则； 2.通过个例，再次体会复数的四则运算是一种新的规定．．
，不是多项式运算法则合情推理的结果。
二． 重点、难点
掌握几个特殊的复数；加强对新事物的科学认识（可以用类比来记忆新事物，但使用之前应
推理、证明）。
三． 知识链接
应用复数的运算法则，计算下列各个结果：
1.,+∈N n n i
4= , 14+n i = , 24+n i = , 34+n i = ； 2.2)1(i += ；2)1(i -= ；
3.解方程)(,13
C x x ∈=
四． 学习过程
例1. 设i 2
321+-=ω，求证： ○
1012=++ωω ○213=ω ○3ωω=2，ωω=2
例2.计算：○11002321）（i +- ○2i
i i i +-+-+1)1(1)1(77
高二数学选修2-2 撰写人：张金凤 用案时间： 编号：
例3. 32-i 是关于x 的方程022
=++q px x 的一个根，求实数q p ,的值。
五、达标检测
1.若规定n n i
i 1=-，当)()(+-∈+=N n i i n f n n ,则集合{}+∈N n n f ),(=
2.在复数范围内分解因式：
○144b a - ○242
+x ○3522++x x ○4ab c b a 22
22+++
3.已知i z 2472--=，求复数z .
反思总结：
后继探究（判断）：i i 2323->+。
高中数学3.3复数的几何意义教案(苏教版选修2-2)
１．复平面内的点 平面向量
2.复数 平面向量
3.复数加法的几何意义：
设复数z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为 、 ，即 、 的坐标形式为 =(a，b)， =(c，d)以 、 为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则对角线OZ对应的向量是 ，
∴ = + =(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i
复数 复平面内的点
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.
5.复数的加(减)法(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
实轴上的点都表示实数
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i
非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
苏教版2018-2019学年高二数学苏教版选修2-2讲义：第3章 3.3 复数的几何意义
3．3复数的几何意义[对应学生用书P43] 复平面的定义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与有序实数对(a ，b )惟一确定，由(a ，b )与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数的几何意义已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．问题1：在复平面内作出复数z 所对应的点Z .提示：如图所示．问题2：向量和点Z 有何关系？OZ提示：有一一对应关系．问题3：复数z ＝a ＋b i 与OZ有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ ，则OZ的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝.a 2＋b 2复数加减法的几何意义如图1OZ 、2OZ分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ 、1OZ －2OZ的坐标．提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ 及1OZ －2OZ所对应的复数分别是什么？提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ和2OZ 不共线．如图，以1OZ ，2OZ为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ OZ就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ，2OZ不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (等于21Z Z)对应，这就是复数减法的几何意义．(a－c)2＋(b－d)2 3．设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44]复数的几何意义[例1] 实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则当a<0且b<0时，复数z对应的点在第三象限；当a>0且b<0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．[精解详析] 因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数． 若已知复数z＝a＋b i，则当a＜0，且b＜0时，复数z对应的点在第三象限；当a＞0，且b＜0时，复数z对应的点在第四象限；当a－b－3＝0时，复数z对应的点在直线x－y－3＝0上．(1)当实数x满足Error!即－3＜x＜2时，点Z在第三象限．(2)当实数x满足Error!即2＜x＜5时，点Z在第四象限．(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝(i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第2i1＋i ________象限．解析：z ＝＝＝＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)2i1＋i 2i(1－i)(1＋i)(1－i)2i(1－i)2在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限；(2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知Error!解得Error!即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知Error!由②得m ＝－7或m ＝4.因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．复数模及其几何意义的应用[例2] 已知复数z 1＝－i 及z 2＝－＋i.31232(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|－i|＝＝2，3(\r(3))2＋(－1)2|z 2|＝＝＝1，|－12＋32i|(－12)2＋(32)2所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝的模为________．1i －1解析：∵z ＝＝＝1－1＋i －1－i(－1＋i)(－1－i)－1－i 2＝－－i ，1212∴|z |＝＝.(－12)2＋(－12)222答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ，∴|z －2|＝<2，即1＋a 2<4，1＋a 2∴a 2<3，即－<a <.33答案：(－，)335．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆．法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．复数加减运算的几何意义[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO 表示的复数；(2) CA表示的复数；(3)点B 对应的复数．[思路点拨] 点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示 ，，的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应，，对应的复数[精解详析] (1)AO ＝－OA ，故AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA ＝OA －OC ，故CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB ＝OA ＋AB ＝OA ＋OC，故OB 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB对应的复数z ，z 在平面内对应的点在第几象限？解：z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，∵z 的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i.以AB 、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD ＝AB ＋AC，即z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)．所以z 4＝z 2＋z 3－z 1＝7＋3i.|AD |＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.101．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝；a 2＋b 2(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA 、OB 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB|＝________.解析：∵OA ＝(7,1)，OB＝(3，－2)，∴AB ＝OB－OA ＝(－4，－3)，∴|AB|＝5.答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限．解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限．答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________.解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝，a 2＋b 2代入方程得a ＋b i ＋＝2＋8i.a 2＋b 2所以Error!解得Error!所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ，∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，(2－|z |)2＋82∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________.解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1.答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝＋i ，则|z |＝________.11＋i 解析：＋i ＝＋i ＝＋i ＝＋i ，则|z |＝＝.11＋i 1－i(1＋i)·(1－i)1－i21212(12)2＋(12)222答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数对应的点在第一象限，z 求实数m 的集合．解：由题意得＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，对应的点位于第一象限，z z 所以有Error!所以Error!所以Error!即1<m <，故所求m 的集合为Error!.327．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB ，BC，AC 对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i.BC对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB|＝|1＋i|＝，|BC |＝|－3＋i|＝，|AC |＝|－2＋2i|＝2，2102∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝|AB |·|AC|＝××2＝2.1212228．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.。
2018-2019学年高中数学苏教版选修2-2课件：第3章 3.2 第二课时 复数的乘方与除法运算
[例 2]
2＋ 2i34＋5i (2) . 5－4i1－i [思路点拨] 解答较为复杂的复数相乘、除时，一个
方面要利用复数乘、除的运算法则、运算律，另一方面要 注意观察式子中数据的特点， 利用题目中数据的特点简化 运算．
[精解详析 ]
1＋i 1＋2 3ii 2 2 (1)原式＝ ＋ (5＋i )－ ＝i 1＋2 3i 2
－1＋ 解析：原式＝ 2i
3i 3 －2＋i1－2i ＝i＋i＝2i. ＋ 5
答案：2i
1．复数除法的运算技巧 在实际进行的复数除法运算中，每次都按乘法的逆运 算进行计算将十分麻烦．我们可以用简便方法操作：先把 两个复数相除写成分式形式，然后把分子与分母都乘以分 母的共轭复数，使分母“实数化”，最后再化简．
求 1＋i＋i2＋…＋i2 014 的值． 利用 in 的性质计算，i4n＝1，i4n 1＝i，i4n
＋
[思路点拨]
＋2
＝－1，i4n＋3＝－i，还可以利用等比数列求和来解．
[精解详析]
法一：1＋i＋i2＋…＋i2 014
1－i2 015 1－i2 014· i 1＋i ＝ ＝ ＝ ＝i. 1－ i 1－i 1－i 法二：∵in＋in 1＋in 2＋in 3＝0(n∈N*)，
对任意复数 z，z1，z2 和 m，n∈N*，有 (z)m· (z)n＝ (z)
m n
m＋ n
；
mn z (z ) ＝ ； n n n z z2 . (z1· z2 ) ＝ 1 ·
2．虚数单位 in(n∈N*)的周期性 i4n＝ 1 ，i4n＋1＝ i ，i4n＋2＝ －1 ，i4n＋3＝ －i .
2i 3． 设复数 z＝ ， 则复数 z2 的实部与虚部的和为_______． －1＋i
江苏省普通中学高二数学苏教版选修2-2教学案：第3章3复数的运算(二)
江苏省泰兴中学高二数学讲义（41）复数的运算（二）【教学目标】进一步熟悉复数的代数形式四则运算【典型例题】例1（1）若12(),34,2f z z z i z i ==+=-+，则12()f z z -=（2）23212123n n n n ii i i --+++++=（3）“12z z R +∈且12z z R ⋅∈”是“12,z z 互为共轭复数”的一个 条件（4）若z 则100501______z z ++=（5）若210z z ++=，则4014011_______z z +=例2.若12,4i z C z z z -∈+⋅=， 求复数z .例3.求同时满足下列条件的复数z ：（1）(]101,6z z+∈（2）z 的实部与虚部都是整数.[学后反思]１.12,,,*,z z C m n N ∈∈有：m n z z ⋅=_________;()m n z =________;12()n z z ⋅=_________2.414243*,____;____;____n n n n N ii i +++∈===3.2321,____,_____,1______2w w w w w =-+==++=有4.满足()()(0)c di x yi a bi c di +⋅+=++≠的复数________x yi +=5.求复数的平方根一般利用开方.平方之间的互逆关系求解.[课堂练习]１.21()1i i-+的值等于２.设复数12z =-+，满足n z z =且大于１的正整数ｎ中最小的是 Ａ.3 B.4 C.6 D.7３.61()i i-的虚部是 4.已知122()1,23,5,)f z z z i z i z =-=+=--1则f(z = 5.5()22,()f z i z z i f i +=+-则=6.已知i 是虚数单位，则能使（n ＋i ）4成为整数的整数n 的个数是A. 2个B.3个C.4个D.无数个江苏省泰兴中学高二数学课后作业（41）班级: 姓名: 学号：1.下列命题中，正确的命题是A ．若22(4)(48)x x x i -++-是纯虚数，则x ＝±2B ．z 2∈R 的一个充分不必要条件是z ∈RC ．若12121122x x y y C x y i x y i ∈+=+、、、，则的充要条件是x 1＝x 2，y 1=y 2D ．2i+1与2i-1是互为共轭复数2.已知2*()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈，集合｛f （n ）｝的元素个数是A ．2 B.3 C.4 D.无数个______= 4.若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数______a = 5.已知42z z i +=，求z 的值6.已知(,)z x yix y R =+∈，且11+-z z 是纯虚数，22(1)(1)z z x y ++=+，求z7. 求下列函数的导数：（1）()cos ln f x x x =⋅ （2）cos ()x x t h x e ⋅=（t 为常数）8.（1）已知双曲线过点(3,2)-,且与椭圆224936x y +=有相同的焦点, 求双曲线的方程（2）已知双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线方程.（3）已知双曲线渐近线方程是3,2y x =±焦点是(0,，求双曲线方程.。
高级中学高中数学(苏教版)选修2-2导学案：3.3(第四课时)复数的几何意义
一、教学内容：复数（第四课时）复数的几何意义二、教学目标：1、了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
2、了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。
三、课前预习：1．复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做________，y 轴叫做________，实轴上的点都表示实数，除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数与点、向量间的对应在复平面内，复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )可以用点Z 表示，其坐标为__________，也可用向量OZ →表示，并且它们之间是一一对应的．3．复数的模复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝____________.4．复数加减法的几何意义如图所示，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ 1→，OZ 2→，四边形 OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是________，与z 1－z 2对应的向量是________．两个复数的__________就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离四、讲解新课1、有关概念：2、有关例题:例1：在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4，2+i ， -i ， -1+3i ， 3-2i例2已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求AB 对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？例3、已知复数1234,15,z i z i =+=-+（1）试比较它们模的大小；（2）计算两复数对应的点的距离。
例4、设z C ∈，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）||2;z = （2）2||3z <<五、课堂练习1．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在第______象限．2．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下说法中正确的有________．(填序号) ①z 对应的点在第一象限； ②z 一定不是纯虚数；③z 对应的点在实轴上方； ④z 一定是实数．3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________．A ，B 之间的距离是4. 已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第二象限，求实数x 的取值范围。
教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版选修2-2教学案：第3章 3.2 第一课时 复数的加减与乘法运算
_3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc ＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z 2z 1＝(c ＋d i)(a ＋b i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i. 故z 1z 2＝z 2z 1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R)．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R)有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38][例1]计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨]解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析](1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通]复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.[例2]计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨]应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析](1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i＝(－2＋11i＋5)(3－4i)＋2i＝(3＋11i)(3－4i)＋2i＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i＝53＋21i＋2i＝53＋23i.[一点通](1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________.解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i＋2i－i2＝－1＋3i.答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a＋b i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝________.解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i＝a＋b i，∴a＝1，b＝3，故a＋b＝4.答案：46．计算下列各题．(1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝－1＋3i.[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .[思路点拨] 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i (a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数．(2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1. ∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数，∴由 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2.∴所求实数为a＝－2，b＝－1 或a＝－4，b＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z＝a＋b i看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、填空题1．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为________．解析：(－i＋3)－(－2＋5i)＝－i＋3＋2－5i＝－6i＋5.答案：5－6i2．若复数z＝1－2i，(i为虚数单位)则z·z＋z的实部是________．解析：∵z＝1－2i，∴z＝1＋2i，∴z·z＝(1－2i)(1＋2i)＝5，∴z·z＋z＝5＋1－2i＝6－2i.答案：63．已知3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)，则z＝________.解析：∵3＋i－(4＋3i)＝z－(6＋7i)∴z＝3＋i－(4＋3i)＋(6＋7i)＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i＝5＋5i.答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R)，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝⎛⎭⎫2－12i ＋⎝⎛⎭⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i ； (3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ； (3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)．解：⎝⎛⎭⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z . 解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i又z ＋z ＝2.∴z －z ＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2， ∴z ＝1－i.。
苏教版数学高二- 选修2-2导学案 3.3《复数的几何意义》(1)
3.3 复数的几何意义导学案（1）教学目标了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。
教学重、难点重点复数的几何意义难点复数加、减法的几何意义教学过程一、问题引入我们知道实数可以用数轴上的点来表示。
那么，类比实数的表示，可以用什么来表示复数？一个复数由什么确定？二、知识新授复平面、实轴、虚轴：复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等.三、例题应用例1、(1)下列命题中的假命题是（D ）(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 3.3 复数的几何意义 导学案(2)
3.3《复数的几何意义》导学案（2）学习目标了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
了解复数加、减法的几何意义，进一步体会数形结合的思想。
学习重、难点重点：复数的几何意义难点：复数加、减法的几何意义学习过程一、复习回顾：二、类比引入：实数绝对值的几何意义：实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。
|a| = |OA|=复数的模的几何意义：复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。
|z|=|OZ|=即：复数的模其实是实数绝对值概念的推广三、知识新授：1、复数的绝对值(复数的模)的几何意义：对应平面向量OZ 的模|OZ |，即复数 z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a ,b )到原点的距离。
| z | = 22a b +||||z z =22a b =+【检测练习】1、满足|z|=5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形？解：2、满足3<|z|<5(z ∈C)的复数z 对应的点在复平面上将构成怎样的图形？解：3、已知复数m=2－3i ，若复数z 满足不等式|z －m|=1，则z 所对应的点的集合是什么图形? 解：2、复数加法运算的几何意义?复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )， 2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是。
∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i3、复数减法运算的几何意义?复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z ，所以，两个复数的差z －z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
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3．3复数的几何意义[对应学生用书P43]问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量OZ和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋b i与OZ有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ ，则OZ 的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.如图1OZ 、2OZ 分别与复数a ＋b i ， c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ 、1OZ －2OZ 的坐标． 提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ 及1OZ －2OZ 所对应的复数分别是什么？ 提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ 和2OZ 不共线．如图，以1OZ ，2OZ 为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ OZ 就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ ，2OZ 不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (等于21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[对应学生用书P44][例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限； 当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2i (1－i )2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①， m ＝4适合不等式①， 所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， 所以|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________．解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i (－1＋i )(－1－i )＝－1－i 2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ， ∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a2<3，即－3<a< 3.答案：(－3，3)5．设z∈C，则满足条件|z|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形？解：法一：由|z|＝|3＋4i|得|z|＝5.这表明向量OZ的长度等于5，即点Z到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以5为半径的圆．法二：设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z|2＝x2＋y2.∵|3＋4i|＝5，∴由|z|＝|3＋4i|得x2＋y2＝25，∴点Z的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆．[例3]已知▱OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO表示的复数；(2)CA表示的复数；(3)点B对应的复数．[思路点拨]点O，A，C对应的复数――――――→向量的坐标表示AO，CA，OB的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO，CA，OB对应的复数[精解详析](1)AO＝－OA，故AO表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA＝OA－OC，故CA表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，故OB表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即点B对应的复数为1＋6i.[一点通](1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∵z的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD＝AB＋AC，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，b i)；(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应向量OZ是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模|z|＝a2＋b2；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．[对应学生用书P45]一、填空题1．若OA、OB对应的复数分别是7＋i,3－2i，则|AB|＝________.解析：∵OA＝(7,1)，OB＝(3，－2)，∴AB ＝OB －OA ＝(－4，－3)， ∴|AB |＝5. 答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2,1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________. 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部． 于是|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2，∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________.解析：11＋i ＋i ＝1－i (1＋i )·(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R)的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32. 7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB ，BC ，AC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解：(1)AB 对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC 对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i. AC 对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB |＝|1＋i|＝2，|BC |＝|－3＋i|＝10，|AC |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2. 故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2,2)之间的距离，最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3。