考点6 二次函数
二次函数知识点总结及练习题
二次函数考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 注意： （1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0， 而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式）例1： 函数y=（m ＋2）x 22-m ＋2x －1是二次函数，则m= _______．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a____时，是二次函数；当a______，b_____时，是一次函数；当a_______，b_______，c_________时，是正比例函数．例3：函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（ ）A ．m 、n 为常数，且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数 例4： 下列函数中是二次函数的有（ ）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=2x1＋x ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax 2+bx+c （a ≠0），对称轴：直线x=ab2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， ) （2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x1）（x-x2）（a ≠0）,对称轴:直线x=22x1x + (其中x1、x2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为____________；对称轴是___________。
二次函数【考点精讲】- 中考数学考点总复习高分导航(全国通用)(原卷版)
考点1：二次函数的图象和性质1．二次函数的一般形式：(a,b,c是常数，a≠0)注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。
2．函数图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图象a>0a<0性质①当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸.①对称轴是abx2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab4422，.①在对称轴的左侧,即当x<ab2-时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，①当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸.①对称轴是abx2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--abacab4422，.①在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y随x的增大而减小，简记为左增右减.专题10 二次函数知识导航知识精讲y随x的增大而增大，简记为左减右增.①抛物线有最低点，当x=ab2-时，y有最小值，y最小值=abac442-.①抛物线有最高点，当x=ab2-时，y有最大值，y最大值=abac442-.【例1】（山东中考真题）一次函数()0y ax b a=+≠与二次函数()20y ax bx c a=++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【例2】（四川中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c=++（a，b，c为常数，0a≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x=，有下列结论：①0abc>；①0a b+>；①4230a b c++<；①无论a，b，c取何值，抛物线一定经过,02ca⎛⎫⎪⎝⎭；①2440am bm b+-≥．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.方法技巧a >0时，抛物线开口向上；a <0时，抛物线开口向下；a 的绝对值越大，开口越小. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线abx 2-=，故：①b =0时，对称轴为y 轴；①abx 2-=>0（即a,b 同号） 时，对称轴在y 轴左侧；①abx 2-=<0（即a,b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.(口诀:“左同右异”）【注意问题】（1）二次函数的图象与系数的关系;（2）会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换.1．（湖南中考真题）若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数cy x=-在同一个坐标系内的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（福建中考真题）二次函数()220y ax ax c a =-+>的图象过1234()()3,,1,,2(),,)4,(A y B y C y D y --四个点，下列说法一定正确的是（ ） A ．若120y y >，则340y y > B ．若140y y >，则230y y > C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <3．（湖北中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；①420a b c ++<；①80a c +<；①若抛物线经过点()3,n -，则关于针对训练x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点2：二次函数的平移1．抛物线y=a (x -h )2+k 与y=ax 2的关系（1）二者的形状相同，位置不同，y=a (x -h )2+k 是由y=ax 2通过平移得来的，平移后的顶点坐标为(h,k). （2）y=ax 2的图象y=a (x -h )2的图象y=a (x -h )2+k 的图象.口诀：上加下减，左加右减【例3】（广东）把函数y ＝（x ﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式（ ） A ．y ＝x 2+2 B ．y ＝（x ﹣1）2+1C ．y ＝（x ﹣2）2+2D ．y ＝（x ﹣1）2﹣3图像平移规律：由函数y =ax 2平移得到y =a (x -h )2+k 满足“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”.1．（上海中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A ．开口方向不变B ．对称轴不变C ．y 随x 的变化情况不变D ．与y 轴的交点不变2．（绥化）将抛物线y ＝2（x ﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物方法技巧针对训练右左 上下线的解析式是（ ） A ．y ＝2（x ﹣6）2 B ．y ＝2（x ﹣6）2+4 C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2+43．（哈尔滨）将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线 为（ ） A ．y ＝（x +3）2+5 B ．y ＝（x ﹣3）2+5 C ．y ＝（x +5）2+3 D ．y ＝（x ﹣5）2+3考点3：二次函数与方程、不等式的关系 1．二次函数与一元二次方程的关系二次函数图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。
二次函数
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(1)∵f(1+x)=f(1-x), ∵ 关于直线x=1对称 对称, ∴函数f(x)关于直线 函数 关于直线 对称 的最大值为15, 又f(x)的最大值为 的最大值为 故可设f(x)=a(x-1)2+15(a<0). 故可设 ∴f(x)=ax2-2ax+a+15,
15 ∴x1+x2=2,x1x2=1+ a ,
a +2 = 1.即a=-4，而函数 是定义在［ ］ 即 ，而函数f(x)是定义在［a,b］ 是定义在 2 a +b 上的， 关于x=1对称 ∴ 2 = 1 .∴b=6. 对称.∴ 上的，即a,b关于 关于 对称 ∴
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解法二： 二次函数的对称轴为 解法二：∵二次函数的对称轴为x=1, 与原函数表达式对比可得a+2 ∴f(x)=(x-1)2+c与原函数表达式对比可得 与原函数表达式对比可得 =-2, ∴a=-4,又 又 ∴b=6.
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3.二次函数的三种表示形式 二次函数的三种表示形式 一般式: 一般式 y=ax2+bx+c(a≠0) . 顶点式: 顶点式 y=a(x-h)2+k(a≠0) ,其中 其中 (h,k) 为抛
物线的顶点坐标. 物线的顶点坐标 两根式: 两根式: y=a(x-x1)(x-x2) ,其中 ,其中 x1,x2 是
1 (2)试比较 试比较f(0)·f(1)-f(0)与 16 的大小 并说明理由 的大小,并说明理由 并说明理由. 试比较 与
【分析】可利用二次函数中根与系数的关系列出不 分析】 等关系,从而确定参数 的取值范围 等关系 从而确定参数a的取值范围 从而确定参数 的取值范围.
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【解析】 (1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a, 解析】 令 ∆>0
二次函数必背知识点(精辟)
标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根.
（5）一次函数 y kx nk 0的图像 l 与二次函数 y ax2 bx ca 0的图像
（2）函数 y ax 2 的图像与 a 的符号关系. ①当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）.
3.二次函数 y ax2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线.
y最小 ax22 bx2 c 。
考点四、二次函数的性质 （6~14 分） 1、二次函数的性质
二次函数
函数
y ax2 bx c(a,b,ห้องสมุดไป่ตู้c是常数，a 0)
a>0
a<0
y y
图像
0
x
0
x
（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；
（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；
（2）对称轴是 x= b ，顶点坐标是（ b ， （2）对称轴是 x= b ，顶点坐标是
性质
2a
2a
2a
4ac b2
）；
4a
（
b
4ac b2
，
）；
2a 4a
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5
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（3）在对称轴的左侧，即当 x< b 时，y 随 2a
x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当 x>
专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)
二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2ba，244ac b a -）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2图1专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.图2ABCD图1菜园墙例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）x6.17 6.18 6.19 6.202y ax bx c =++0.03- 0.01- 0.02 0.04Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<图2考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．图1。
二次函数考点、知识点、例题(全)
二次函数考点1 二次函数的概念一般地，形如① (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式. 考点5 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系考点6 二次函数的应用1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.命题点1 二次函数的图象和性质例1 (2013·昭通)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A.a＞0B.3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根C.a＋b＋c＝0D.当x＜1时，y随x的增大而减小方法归纳：解决此类问题应注意观察所给抛物线的特征，逐个排除不符合的选项.1.（2014·上海）如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( )A.y＝x2－1B.y＝x2＋1C.y＝(x－1)2D.y＝(x＋1)22.（2012·巴中）对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，下列说法正确的是( )A.图象的开口向下B.当x>1时，y随x的增大而减小C.当x<1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=－13.（2014·云南）抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为 .4.（2014·珠海）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为 .5.（2014·滨州）已知二次函数y=x2-4x+3.（1）用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧），及△ABC的面积.命题点2 二次函数的图象与系数的关系例2 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是( )A.b 2-4ac ＜0 B.abc ＜0 C.-2ba＜-1 D.a-b+c ＜0方法归纳：解决此类问题应当了解a,b,c,Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c 的符号判定的方法，同时还要观察对称轴x=2b a-.1.(2014·黔东南)如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc ＜0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④b 2-4ac ＞0. 其中正确结论的有( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2.(2014·陕西)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是( ) A.c ＞-1 B.b ＞0 C.2a+b ≠0 D.9a+c ＞3b3.（2014·巴中）已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，则下列叙述正确的是( )A.abc ＜0B.-3a+c ＜0C.b 2-4ac ≥0D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax 2+c 命题点3 确定二次函数的解析式例3 （2013·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A,C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=23-x 2+bx+c 的图象经过B,C 两点.（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y>0时x 的取值范围. 【思路点拨】（1）通过正方形的边长得出点Ｂ，Ｃ的坐标，然后代入函数解析式列方程求解；（２）求出函数图象与x轴的交点坐标，结合图象求解.【解答】方法归纳：求二次函数的解析式，通常采用待定系数法，根据题目给出的条件选择不同的函数表达式，这样便于计算.1.（2013·安徽）已知二次函数图象的顶点坐标为（1，-1），且经过原点（0，0），求该函数的解析式.2.（2014·宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2,0），B（0，-1）和C（4,5）三点.（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.1.（2013·益阳）抛物线y=2（x-3）2+1的顶点坐标是( )A.（3，1）B.（3，-1）C.（-3，1）D.（-3，-1）2.（2014·宿迁）若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( )A.y=(x+2)2+3B.y=(x－2)2+3C.y=(x+2)2－3D.y=(x－2)2－33.（2013·泰安）设A（-2，y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为( )A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y3＞y2＞y1D.y2＞y1＞y34.(2014·东营)若函数y=mx2+(m+2)x+12m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( )A.0B.0或2C.2或-2D.0,2或-25.（2014·毕节）抛物线y=2x2，y=-2x2,y=12x2共有的性质是( )A.开口向下B.对称轴是y轴C.都有最低点D.y随x的增大而减小6.（2014·黄石）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是( )A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞37.（2014·新疆）对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是( )A.开口向下B.对称轴是x=-1C.顶点坐标是（1，2）D.与x轴有两个交点8.（2014·淄博）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）.它与反比例函数y=8x的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为( )A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x2+x+29.（2013·广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc＞0，②2a+b=0，③b2-4ac＜0，④4a+2b+c＞0.其中正确的是( )A.①③B.只有②C.②④D.③④10.（2014·长沙）抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是 .11.（2013·北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 .12.已知函数y=-3(x-2)2+4，当x= 时，函数取得最大值为 .13.（2013·河南）点A（2，y1）,B（3，y2）是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1<y2（填“＞”“＜”或“=”）.14.(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为 .15.(2013·温州)如图，抛物线y=a(x－1)2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为（－1,0）.（1）求抛物线的解析式；（2）求梯形COBD的面积.16.（2014·龙东）如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A（－3,0）和B（1,0）两点，交y轴于点C，点C,D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B,D.（1）请直接写出D点的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.1.（2014·荆州）将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y＝(x－4)2－6B.y＝(x－4)2－2C.y＝(x－2)2－2D.y＝(x－1)2－32.（2014·黔东南）已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2 014的值为( )A.2 012B.2 013C.2 014D.2 0153.（2014·长沙）函数y=ax与y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )4.（2014·泰安）已知函数y=-（x-m）（x-n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=mxn的图象可能是( )5.（2014·凉山）下列图形中阴影部分的面积相等的是( )A.②③B.③④C.①②D.①④6.（2014·枣庄）已知二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y轴B.直线x=52C.直线x=2D.直线x=327.（2014·烟台）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点（－1，0），对称轴为直线x=2,下列结论：其中正确的结论有( )①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞－1时，y的值随x的值的增大而增大.A.1个B.2个C.3个D.4个8.（2014·齐齐哈尔）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4）,抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C,D两点.点P是x轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式;（2）当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.9.(2014·徐州)某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案考点解读①y=ax2+bx+c ②上③下④减小⑤增大⑥增大⑦减小⑧上⑨下⑩小⑪y ⑫左⑬右⑭原点⑮正⑯负○17唯一○18两个不同○19没有○20a+b+c○21a-b+c ○22＞○23＜○24y=ax2+bx+c ○25y=a(x-h)2+k ○26y=a(x-x1)(x-x2) ○27x○28横○29＞○30＜各个击破例1 B解析：根据抛物线的开口向下，可判断a＜0，故A错误；由抛物线与x轴的交点（-1,0)和对称轴x=1可知抛物线与x轴的另一个交点是（3,0），故B正确；由当x=1时，y=a+b+c≠0，故Ｃ错误；从图象即可看出，当x＜1时，y 随x的增大而增大，故Ｄ错误.故选B.题组训练1.C2.C3.(1,2)4.直线x=25.(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,∴其函数的顶点C的坐标为（2，-1），∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大.(2)令y=0,则x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3,∴A（1，0），B（3，0），AB=|1-3|=2.过点C作CD⊥x轴于D，则△ABC的面积=12AB·CD=12×2×1=1.例2 C 解析：由图象与x 轴有2个交点可判断Ａ错误；根据图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点可判断a ＜0，2ba-＜-1，c ＞0，即abc ＞0，故B 错误，C 正确；由当x=-1时，y=a-b+c ＞0可判断D 错误.故答案选C. 题组训练1.B2.D3.B例3 (1)由题意可得：B （2,2），C （0,2），将B,C 坐标代入y=23-x 2+bx+c ，得c=2，b=43， ∴二次函数的解析式是y=23-x 2+43x+2.(2)解23-x 2+43x+2=0，得x 1=3，x 2=-1.由图象可知：y>0时x 的取值范围是-1＜x ＜3.题组训练1.设二次函数的解析式为y=a （x-1）2-1（a ≠0）， ∵函数图象经过原点（0，0），∴a （0-1）2-1=0，解得a=1，∴该函数解析式为y=（x-1）2-1.2.(1)∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过B （0，－1），∴二次函数解析式为y=ax 2+bx －1.∵二次函数y=ax 2+bx －1的图象过A （2,0）和C （4,5）两点，∴42101641 5.a b a b +-=⎧⎨+-=⎩，解得1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩－∴y=12x 2－12x －1. (2)当y=0时，12x 2－12x －1=0，解得x=2或x=-1，∴D （-1,0）.(3)如图，当-1＜x ＜4时,一次函数的值大于二次函数的值.整合集训 基础过关1.A2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.A9.C10.(2,5) 11.y ＝x 2＋1 12.2 4 13.＜ 14.y=a(1＋x)215.(1)把A （－1,0）代入y=a(x －1)2+4，得0=4a+4，∴a=－1.∴y=－(x －1)2+4.(2)当x=0时，y=3，∴OC=3.∵抛物线y=－(x －1)2+4的对称轴是直线x=1，∴CD=1.∵A （－1,0），∴B （3,0），∴OB=3.∴S 梯形COBD =13)32+⨯（=6. 16.(1)D （-2，3）.(2)把点A,B 代入y=ax 2+bx+3中，得9330,30.a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ ∴二次函数的解析式为y=-x 2-2x+3.(3)x ＜-2或x ＞1.能力提升1.B2.D3.D4.C5.A6.D7.B 提示：∵抛物线的对称轴为直线x=2b a-=2，∴b=-4a ，即4a+b=0，故①正确； ∵当x=-3时，y ＜0，∴9a-3b+c ＜0，即9a+c ＜3b ，故②错误；∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），∴a-b+c=0，而b=-4a ，∴a+4a+c=0，即c=-5a ，∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a ，∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a+7b+2c ＞0，故③正确;观察图象，④明显错误,即正确的结论是①③2个.8.(1)∵抛物线顶点坐标为（1,4），∴设y=a(x-1)2+4，由于抛物线过点B(0，3)，∴3=a(0-1)2+4，解得a=-1.∴解析式为y=-(x-1)2+4，即y=-x 2+2x+3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E （0，-3），连接AE 交x 轴于点P.设AE 解析式y=kx+b ，则4,3.k b b +=⎧⎨=-⎩解得7,3.k b =⎧⎨=-⎩∴y AE =7x-3.当y=0时，x=37，∴点P坐标为(37，0).9.(1)y=ax2+bx-75图象过点（5，0），（7，16），∴255750, 4977516.a ba b+-=⎧⎨+-=⎩解得1,20.ab=-⎧⎨=⎩y=-x2+20x-75的顶点坐标是（10，25）.当x=10时，y最大=25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元.(2)∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元.。
考点06 高中数学-二次函数与幂函数-考点总结及习题
考点06二次函数与幂函数【命题趋势】此知识点也是高考中的常考知识点，注意：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数12321,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况.【重要考向】一、求二次函数和幂函数的解析式二、幂函数的图像与性质的应用三、二次函数的图像与性质的应用二次函数与幂函数的解析式1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x－1图象性质定义域R R R {x |x ≥0}{x |x ≠0}值域R {y |y ≥0}R {y |y ≥0}{y |y ≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2．二次函数的概念形如2()(0)f x ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数.3．表示形式(1)一般式：f (x )=ax 2＋bx ＋c (a ≠0).(2)顶点式：f (x )=a (x −h )2＋k (a ≠0)，其中(h ，k )为抛物线的顶点坐标.(3)两根式：f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标.【巧学妙记】1.已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．【答案】f (x )＝x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.2.已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________.【答案】x 2＋2x解析设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a ＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .3.若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．13B ．3C ．13-D ．−3【答案】A【解析】由题意可设()(f x x αα=为常数），因为满足()()432f f =，所以432αα=，所以2log 3α=，所以()2log 3f x x =，所以2log 311223f -⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选A ．幂函数的图像与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y =x α在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x-=【巧学妙记】4.若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c 【答案】B【解析】由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.5.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为()A ．－3B ．1C ．2D ．1或2【答案】B【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.6.若(a＋1)13－<(3－2a)13－，则实数a的取值范围是____________．【答案】(－∞，－1)【解析】不等式(a＋1)13－<(3－2a)13－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或23<a<32.二次函数图像与性质的应用函数解析式2()(0)f x ax bx c a=++>2()(0)f x ax bx c a=++<图象(抛物线)定义域R值域24[,)4ac ba-+∞24(,]4ac ba--∞对称性函数图象关于直线2bxa=-对称顶点坐标24(,)24b ac ba a--奇偶性当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数单调性在(,]2ba-∞-上是减函数；在[,)2ba-+∞上是增函数.在(,]2ba-∞-上是增函数；在[,)2ba-+∞上是减函数.最值当2bxa=-时，2min4()4ac bf xa-=当2bxa=-时，2max4()4ac bf xa-=【巧学妙记】7.一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是()【答案】C【解析】若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.8.函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是()A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．9.已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.10.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(－∞，－1)【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m －54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.1.已知[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为（）A.(－∞，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，1)∪(2，＋∞)C.(－∞，1)∪(3，＋∞)D.(1，3)2.设函数()21f x mx mx =--，若对于[]1,3x ∈，()2f x m >-+恒成立，则实数m 的取值范围（）A.()3,+∞ B.3,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C.(),3-∞ D.3,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭3.已知函数2()2()f x x ax a R =-+∈在区间[1,+∞)上单调递增，则a 的取值范围为（）A.(2,+∞)B.[2,+∞)C.(－∞,2)D.(－∞,2]4.函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.6a =- B.6a ≥- C.6a >- D.6a ≤-5.已知幂函数a y k x =⋅的图象过点(4,2)，则k a +等于（）A.32B.3C.12D.26.若幂函数f (x )的图象过点21,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则函数()()x f x g x e =的递增区间为（）A.()0,2 B.()(),02,-∞+∞ C.()2,0- D.()(),20,-∞-+∞ 7.若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（）A.1a b >>B.1a b >>C.0b c>> D.0d c>>8.已知幂函数()y f x =的图象过点13(,)33，则3log (81)f 的值为（）A.12B.12-C.2D.2-9.（多选题）已知点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，则过点A 的曲线():C y f x =的切线方程是（）A.640x y --=B.470x y -+=C.470x y -+=D.3210x y -+=二、填空题10.已知函数()223f x x ax =-++在区间(),4-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.11.已知直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是___________.12.已知函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，且该函数是偶函数，则m 的值是____13.幂函数()24222m y m m x --=--在(0,+∞)上为增函数，则实数m =_______.14.已知幂函数223()()m m f x x m Z +-=∈是奇函数，且()51f <，则m 的值为___________.一、单选题1．（2013·浙江高考真题（文））已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（）A ．a >0，4a ＋b ＝0B ．a <0，4a ＋b ＝0C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝02．（2007·湖南高考真题（文））函数244 1(){431x x f x x x x -≤=-+>，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．（2008·江西高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-4．（2011·上海高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A ．2y x-=B ．1y x-=C ．2y x=D ．13y x=二、填空题5．（2017·北京高考真题（文））已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.6．（2012·山东高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.三、解答题7．（2014·辽宁高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.一、单选题1．（2021·北京高三二模）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．1y x -=C ．2(1)y x =-D ．ln y x=2．（2021·新疆高三其他模拟（文））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<3．（2021·全国高三月考（文））已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +-4．（2021·江西新余市·高三二模（文））已知a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增的概率为（）A ．18B ．38C ．58D ．785．（2021·全国高一课时练习）已知函数()()2ln 23f x x x =--+，则()f x 的增区间为（）A ．（–∞，–1）B ．（–3，–1）C ．[–1，+∞）D ．[–1，1）6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x x =；⑤1()f x x=满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++>>的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·江西高三二模（文））设ln 2a =，0.1b =，0.1c =，则下列关系中正确的是（）A ．b a c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>8．（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题9．（2021·全国高一课时练习）有如下命题，其中真命题的标号为（）A ．若幂函数()y f x =的图象过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()132f >B ．函数()(110x f x aa -=+>且)1a ≠的图象恒过定点()1,2C ．函数()21f x x =-在()0,∞+上单调递减D ．若函数()224f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是[]1,2三、填空题10．（2021·全国高一课时练习）已知偶函数()24a af x x -=在()0∞+，上是减函数，则整数a 的值是________．11．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（文））已知2()31f x ax x =-+，若对任意的[1,1]a ∈-，总有()0f x ≥，则x 的范围是______．12．（2021·千阳县中学高三其他模拟（文））给出以下几个不等式：①0.30.70.40.1<；②45log 3log 4<；③131sin sin 223<；④16181816<．其中不等式中成立序号为______．四、解答题13．（2020·上海高一专题练习）幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.参考答案跟踪训练1.【答案】：C 【分析】根据题意，转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，得出()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，即可求解.【详解】由题意，因为[1,1]a ∈-时不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，可转化为关于a 的函数()2(2)44f a x a x x =-+-+，则()0f a >对于任意[1,1]a ∈-恒成立，则满足()()2215601320f x x f x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得1x <或3x >，即x 的取值范围为(,1)(3,)-∞+∞ .故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，其中解答中根据条件转化为关于a 的函数，结合其图象特征，列出不等式组是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.2.【答案】：A 【分析】由题意变量分离转为231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭->，求出最大值即可得到实数m 的取值范围.【详解】由题意，()2f x m >-+可得212mx mx m ->-+-，即()213m x x +>-，当[]1,3x ∈时，[]211,7x x -+∈，所以231m x x >-+在[]1,3x ∈上恒成立，只需2max31m x x ⎛⎫⎪+⎝⎭->，当1x =时21x x -+有最小值为1，则231x x -+有最大值为3，则3m >，实数m 的取值范围是()3,+∞，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.3.【答案】：D 【分析】直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.【详解】依题意对称轴12ax =≤，解得2a ≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.4.【答案】：B 【分析】根据函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，则根据函数的图象知：对称轴必在x=3的左边，列出不等式求解即可．【详解】∵函数()22f x x ax =++在()3,+∞上单调递增，x=2a -∴32a-≤，即6a ≥-故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴的求法与应用，属于基础题．5.【答案】：A 【分析】根据题意，由幂函数的定义可得1k =，将点(4,2)的坐标代入解析式，计算可得α的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，函数y k x α=⋅为幂函数，则1k =，若其图象过点(4,2)，则有24α=，解可得12α=，则32k α+=；故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义以及解析式的求法，注意幂函数解析式的形式，属于基础题．6.【答案】：A 【分析】设()f x x α=，代入点求出α，再求出()g x 的导数()g x '，令()0g x '>，即可求出()g x 的递增区间.【详解】设()f x x α=，代入点1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2122α⎛= ⎝⎭，解得2α=，()2x x g x e∴=，则()2222()x x x xx x xe x e g x e e --'==，令()0g x '>，解得02x <<，∴函数()g x 的递增区间为()0,2.故选：A.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题.7.【答案】：B 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案.【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题.8.【答案】：C 【分析】设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，求得()12f x x =，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】由题意，设幂函数的解析式为()()f x x R αα=∈，根据幂函数的图象过点13()33，可得31(33α=，解得12α=，即()12f x x =，所以12333log (81)log 81log 92f ===.故选：C .9.【答案】AD 【分析】先根据点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，可求出a ，再设出切点()00,P x y ，求出在点P处的切线方程，然后根据点A 在切线上，即可解出．【详解】因为点2(1)A ，在函数()3f x ax =的图象上，所以2a =．设切点()00,P x y ，则由()32f x x =得，()26f x x '=，即206k x =，所以在点P 处的切线方程为：()3200026y x x x x -=-，即230064y x x x =-．而点2(1)A ，在切线上，∴2300264x x =-，即()()()()222000002111210x x x x x ---=-+=，解得01x =或012x =-，∴切线方程为：640x y --=和3210x y -+=．故选：AD ．【点睛】本题主要考查过某点的曲线的切线方程的求法，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．二、填空题10.【答案】：[)4,+∞【分析】求出二次函数的对称轴方程，根据二次函数的单调区间，确定对称轴与区间的关系，即可求解.【详解】()223f x x ax =-++对称轴方程为x a =，()f x 在区间(),4-∞上是增函数，所以4a ≥.故答案为:[)4,+∞.【点睛】本题考查函数的单调性求参数，熟练掌握初等简单函数的性质是解题的关键，属于基础题.11.【答案】：514a <<【分析】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，即满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象即可求出.【详解】直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点等价于方程21x x a =-+有四个解，则21a x x =-++，满足y a =和21y x x =-++有四个交点，画出函数图象如下，观察图象可知，要使y a =和21y x x =-++有四个交点，需满足514a <<故答案为：514a <<.【点睛】本题考查利用函数图象求参数，属于基础题.12.【答案】：1【分析】由幂函数的定义可得211m m +-=，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定m 的值.【详解】∵函数23()(1)m f x m m x +=+-是幂函数，∴211m m +-=，解得2m =-或1m =，又∵该函数是偶函数，当2m =-时，函数()f x x =是奇函数，当1m =时，函数4()f x x =是偶函数，即m 的值是1，故答案为1.【点睛】本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．13.【答案】：－1【分析】利用幂函数定义和单调性可得2221m m --=且420m -->，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得2221m m --=，解得：3m =或1m =-因为在()24222m y m m x--=--()0+∞，上为增函数，所以420m -->，即12m <-，所以1m =-故答案为：1-【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.14.【答案】：0【分析】由(5)1f <和m Z ∈，可确定1m =-或0m =，由()f x 是奇函数，可舍掉1m =-，即可得到本题答案.【详解】因为22323(5)5123012m m f m m m +-=<⇒+-<⇒-<<，又因为m Z ∈，所以1m =-或0m =，当1m =-时，2232m m +-=-，不符合题意，舍去；当0m =时，2233m m +-=-，符合题意.故答案为：0真题再现1．A 【分析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项.【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0，又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0，故选：A.【点睛】本题考查二次函数的对称轴，单调性，属于基础题.2．C 【详解】试题分析：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g （x ）=log 2x 的图象，如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点，故选C.考点：1.函数的图象与图象变化；2.零点个数．3．C 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立；当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.4．A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数，C.2y x =在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．5．1[,1]2【详解】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即0,0x y ≥≥，1x y +=表示线段，那么22x y+的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.6．14【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x =不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意7．（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析.【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（），求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证．（1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤；当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤.当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤.考点：1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．模拟检测1．D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断选项即可.【详解】对于A 选项：指数函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，底数112<，所以函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上单调递减；对于B 选项：幂函数1y x -=，10-<，所以幂函数1y x -=在(0,)+∞上单调递减；对于C 选项：二次函数2(1)y x =-，对称轴为1x =，所以二次函数2(1)y x =-在(0,1)上单调递减，在(1)+∞，上单调递增；对于D 选项：对数函数ln y x =，底数1e >，所以对数函数ln y x =在(0,)+∞上单调递增.故选：D.【点睛】本题主要考查基本初等函数的单调性，基本初等函数的函数性质是整个高中数学知识的奠基，和很多专题知识都有交融，是整个数学学习的基础.2．A【分析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1()2xy =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11(()22m n <，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.3．B【分析】设()()20f x ax bx c a =++≠，根据已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.4．D【分析】利用函数单调性求得a ，b 关系，结合几何概型即可求解．【详解】因为a ，b 是区间[0,4]上的任意实数，则函数2()1f x ax bx =-+在[2,)+∞上单调递增所以242≤⇒≤b b a a如图所示阴影部分：则所要求的概率为14414147244168⨯-⨯⨯===⨯P 故选：D5．B【分析】先求出函数的定义域，然后由复合函数的单调性可得出答案.【详解】由2230x x --+>，得31x -<<，当31x -<<-时，函数223y x x =--+单调递增，所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递增；当11x -<<时，函数223y x x =--+单调递减，所以所以函数2()ln(23)f x x x =--+单调递减，故选：B.6．D【分析】条件121221()()(0)22x x f x f x f x x ++⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图象可作答．【详解】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.7．D【分析】利用指对函数的性质，结合中间量比较大小【详解】ln 2ln 1a e =<=Q，0.10.101b c =>=>=，b c a ∴>>．故选：D8．D【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围.【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上，∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<，∴11(,3)13n m +∈+.故选：D.【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.9．BD【分析】由()f x 所过点可求得幂函数()f x 解析式，由此得到()132f <，知A 错误；由()12f =恒成立可知()f x 过定点()1,2，知B 正确；由二次函数的性质可知C 错误；由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定m 的范围，知D 正确.【详解】对于A ，令()f x x α=，则122α=，解得：1α=-，()1f x x -∴=，()11332f ∴=<，A 错误；对于B ，令10x -=，即1x =时，()1112f =+=，()f x ∴恒过定点()1,2，B 正确；对于C ，()f x 为开口方向向上，对称轴为0x =的二次函数，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，C 错误；对于D ，令()4f x =，解得：0x =或2x =；又()()min 13f x f ==，∴实数m 的取值范围为[]1,2，D 正确.故选：BD.10．2【分析】由()24aa f x x -=在()0+∞，上是减函数，可得04a <<，进而可得结果.【详解】因为()24a a f x x -=在()0+∞，上是减函数，所以240a a -<，解得04a <<，又函数为偶函数，且a Z ∈，当1a =时，()-3f x x =为奇函数当2a =时，()4f x x -=为偶函数当3a =时，()3f x x -=为奇函数；所以2a =故答案为：211．31331322x +-+-≤≤【分析】把函数f (x )视为关于参数a 的一次型函数，在端点-1，1处的函数值不小于0，建立不等式组求解即得.【详解】令g (a )=x 2·a -3x +1，则g (a )是一次型函数，它在闭区间上图象为线段，则在闭区间上函数值不小于0，即对应图象不在x 轴下方，只需端点不在x 轴下方即可，22310[1,1],()0[1,1],()0310x x a f x a g a x x ⎧-+≥∴∀∈-≥⇔∀∈-≥⇔⎨--+≥⎩，解2310x x -+≥得：352x ≤或352x ≥，解2310x x --+≥得：31331322x --+≤≤，所以有3322x +-+-≤≤.答案为：3322x +-+-≤≤【点睛】在参数范围给定的含该参数的函数问题中，转换“主”、“辅”变元的位置是解题的关键.12．②③④【分析】利用幂函数的单调性可判断①的正误；利用对数函数的单调性结合作差法、基本不等式可判断②的正误；利用函数()sin x f x x=的单调性可判断③的正误；利用对数函数()ln x g x x=可判断④的正误.【详解】对于①，()()0.10.10.330.170.10.40.40.0640.10.0000001==>=，①错误；对于②，()()22245ln 3ln 5ln 4ln 3ln 5ln 4ln 3ln 42log 3log 4ln 4ln 5ln 4ln 5ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪-⎝⎭-=-=<(()22ln 40ln 4ln 5-=<，所以，45log 3log 4<，②正确；对于③，令()sin x f x x =，其中()0,1x ∈，则()2cos sin x x x f x x -'=，令()cos sin h x x x x =-，其中()0,1x ∈，则()sin 0h x x x '=-<，所以，函数()h x 在()0,1上单调递减，当()0,1x ∈时，()0h x <，则()0f x '<，所以，函数()f x 在()0,1上单调递减，因为110132<<<，则1123f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即112sin 3sin 23<，故131sin sin 223<，③正确；对于④，设()ln x g x x =，其中0x >，则()21ln x g x x-'=，当x e >时，()0g x '<，即函数()g x 在(),e +∞上单调递减，所以，()()1618g g >，即ln16ln181618>，所以，1816ln16ln18>，因此，16181816<，④正确.故答案为：②③④.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用.13．25()f x x =或85()f x x =.【分析】根据幂函数的定义和性质得到关于t 满足的式子，即可求得t 的值.【详解】因为幂函数273235()(1)t t f x t t x +-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，所以322117320732t t t t t t ⎧-+=⎪+->⎨⎪+-⎩是偶数，解得1t =或1t =-，当1t =时，25()f x x =，当1t =-时，85()f x x =.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关幂函数的问题，能够正确解题的关键是熟练掌握幂函数的定义和幂函数的性质.。
专题六二次函数十大考点中考题型归纳2022年中考数学一轮专题复习讲义
专题六 二次函数考点题型归纳考点一：求二次函数的解析式1．根据下列已知条件，求二次函数的解析式．(1)已知二次函数的顶点在原点，且过另一点(2，－4)，则二次函数的解析式为；(2)已知二次函数的顶点在y 轴上，且纵坐标为2，过另一点(1，4)，则二次函数的解析式为 ；(3)已知二次函数的顶点在x 轴上，且横坐标为2，过另一点(1，－4)，则二次函数的解析式为；(4)已知二次函数的图象经过点(－3，0)，(1，0)，(0，3)，则二次函数的解析式为；(5)已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，则二次函数的解析式为 ；(6)已知二次函数图象经过点A(3，0)，对称轴为直线x ＝1，与y 轴正半轴交于点C ，且OC ＝2，则二次函数的解析式为；(7)将抛物线y ＝4x 2向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为． 考点二：二次函数的图像与性质1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与x 轴交于点(－3，0)，其对称轴为直线x ＝－12，结合图象分析下列结论：①abc>0；②3a ＋c>0；③当x<0时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1＝－13，x 2＝12；⑤b 2－4ac4a <0；⑥若m ，n(m<n)为方程a(x ＋3)(x －2)＋3＝0的两个根，则m<－3且n>2，其中正确的结论有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2. 在同一平面直角系中，若抛物线42)12(2-+-+=m x m x y 与n x n m x y ++-=)3(2关于y 轴对称，则m= ,n= .3. 如图，抛物线是二次函数1322-+-=a x ax y 的图像，那么a 的值为 。
4. 在同一直角坐标系XOY 中，一次函数ax y =与二次函数a ax y -=2的图像可能是（ ）5.已知（﹣3，y 1），（1，y 2），（5，y 3）是抛物线y ＝﹣2x 2﹣4x +m 上的点，则（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 1＝y 2＞y 3D ．y 1＞y 2＝y 36.已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k ）2+h ，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，则函数中k 的取值范围是（ ） A ．k ≥2B ．k ≤2C ．k ＝2D ．k ≤﹣27.如图，点A 、B 在y ＝x 2的图象上．已知A 、B 的横坐标分别为﹣2、4，直线AB 与y 轴交于点C ，连接OA 、OB ． （1）求直线AB 的函数表达式； （2）求△AOB 的面积；（3）若函数y ＝x 2的图象上存在点P ，使△PAB 的面积等于△AOB 的面积的一半，则这样的点P 共有 个．考点三：根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系1.如图，已知点A （﹣1，0）和点B （1，1），若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点，则c 的取值范围是（ ） A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤2.已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，在下列五个结论中： ①2a ﹣b ＜0；②abc ＜0；③a +b +c ＜0；④a ﹣b +c ＞0；⑤4a +2b +c ＞0． 其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.对称轴为直线x ＝1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）如图所示，现有结论：①abc ＜0，②b 2＞4ac ，③3a +c ＞0，④ac ﹣bc +c 2＜0．其中结论正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点四：二次函数中平移、旋转问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧︒︒=--=：得到抛物线绕原点旋转：得到抛物线绕顶点旋转：轴对称得到抛物线沿：轴翻折后得到抛物线沿：）对称得到抛物线，关于点（个单位得到抛物线轴向右平移沿：已知抛物线76543221180)6180).5).4y ).312).2:3).14)1(.1C C C x C C C x x y C 2. 已知抛物线C 1：222--=ax ax y 的顶点M ，直线l ：a x y -=2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 。
九年级数学 二次函数知识点、考点、典型例题及练习(附解析)
二次函数知识点、考点、典型例题及练习（附解析）一、二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的二、专题与考点专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a，244ac b a-）. 例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）图2图1专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为（不要求写出自变量x的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）；3.若已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.例2 已知抛物线的图象以A（-1，4）为顶点，且过点B（2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）22.如图2，在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，且AOOC=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是．A BC D图1菜园墙图23.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况. 例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题：本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例：某商场将进价2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．三、典型例题题型 1 二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365y x x =--+的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B.（1，8） C （-1，2） D （1，-4） 点拨：本题主要考察二次函数的顶点坐标公式例2.（拓展，2008年武汉市中考题，12）下列命题中正确的是（ ） ○1若b 2－4ac ＞0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3 ○2若b 2－4ac=0，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。
艺术生高考数学专题讲义：考点6 二次函数与函数的最值
考点六二次函数与函数的最值知识梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质①二次函数f(x)的顶点坐标为(a,b)，则对称轴为x=a；②二次函数f(x)满足对任意x总有f(x)=f(a)，则对称轴为x；③二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(a)，则对称轴为x a；④二次函数f(x)满足对任意x总有f(a+x)=f(b)，则对称轴为x. 2．函数的最值说明：闭区间上的二次函数必有最值. 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．典例剖析题型一 二次函数的解析式例1 二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 答案 f (x )＝12(x －2)2－1解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0，1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.变式训练 已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.解题要点 二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴两交点坐标，宜选用零点式． 题型二 二次函数的图象和性质例2 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是________．(填序号)①② ③④答案 ④解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有④满足． 变式训练 如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 答案 5解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. ∴ f (x )的最小值为5.题型三 闭区间上二次函数最值例3 函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式． 解析 当a <－2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2<－1，则g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝3－a 22；③当a >2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2>1，则g (a )＝f (1) ＝5－2a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a <－2），3－a22（－2≤a ≤2），5－2a （a >2）.变式训练 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ； 当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.解题要点 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论 题型四 二次函数恒成立问题例4 对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，36－4(5－a )(a ＋5)＜0，解得－4＜a ＜4.变式训练 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解析 2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 解题要点 1.二次函数在R 上恒成立的两个常见结论：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则对于x ∈R ， 二次函数f (x )>0恒成立， 二次函数f (x )<0恒成立.2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a > f (x )恒成立，则a > f (x )max ，a <f (x )恒成立，则a < f (x )min .当堂练习1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为______________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x . 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则f (－3)、c 、f (52) 的大小关系是______________．答案 c ＜f (52)＜f (－3)解析 选.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称．又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)＞f (52)＞f (2)＝f (0)＝c .3. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________． 答案 [－6，12]解析 y ＝2(x －2)2－6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12.4．已知f (x )＝x 2－2mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]5．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由f (0)＝1，得c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．课后作业一、 填空题1．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32＞1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数，∴y min ＝2－6＋3＝－1.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列说法正确的是________．(填序号)①a >0,4a ＋b ＝0 ②a <0,4a ＋b ＝0 ③a >0,2a ＋b ＝0 ④a <0,2a ＋b ＝0 答案 ①解析 由f (0)＝f (4)可知x ＝－b2a＝2，∴b ＋4a ＝0，又f (0)>f (1)知f (x )先减后增，即a >0.3．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是________． 答案 －4<a ≤0解析 当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0；当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0.综上可知：－4<a ≤0.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (1)、f (2)、f (4)的大小关系是________． 答案 f (2)<f (1)<f (4)解析 ∵f (2＋t )＝f (2－t )，∴f (x )关于x ＝2对称，又开口向上．∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝f (3)．∴f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4). 5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a (x ∈[0,1])，若f (x )有最小值－2，则a 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，且x ∈[0,1]， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2，∴a ＝－2.6．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤2或a ≥3解析 对称轴a ≤2或a ≥3，函数在(2,3)内单调递增．7．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2]．8．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于________． 答案 2解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1在[1，b ]上递增， 由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1f (b )＝bb ＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0b ＞1，解得b ＝2.9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________．答案 [2,4]10．函数f (x )＝－x 2＋3x －1，x ∈[3，5]的最小值为 ． 答案 －11解析 f (x )＝－x 2＋3x －1,其对称轴为,所以函数f (x )＝－x 2＋3x －1在[3，5]上递减， 所以当x ＝5时，函数有最小值为－11．11．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋6满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为__________． 答案 6解析 由f (－1)＝f (3)知，对称轴x ＝－b2a ＝1，则b ＝－2a ，所以f (2)＝4a ＋2b ＋6＝6.二、解答题12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数. 解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (2)＝－1，f (x )max ＝f (－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上为单调函数， 只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 13．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1，得c ＝1， 故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]恒成立，即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1,1]上恒成立， 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上单调递减，∴g (1)＝1－3＋1－m ＞0，得m ＜－1， 故m 的取值范围是m ＜－1.。
二次函数常见考点汇总
二次函数常见考点汇总二次函数是高中数学中重要的概念之一，也是中学数学的基础知识。
在高考中，二次函数常常作为考察的重点，题目形式多样，考点较为固定。
下面是对二次函数常见考点的汇总。
1. 二次函数定义：二次函数是指一种特殊形式的函数，它的表达式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数且a ≠ 0。
二次函数的自变量x是实数，因变量f(x)是实数。
2.二次函数的图象与性质：二次函数的图象是一个抛物线，具有以下性质：-当a>0时，抛物线开口向上，称为正抛物线；当a<0时，抛物线开口向下，称为负抛物线。
-抛物线的顶点是一个特殊点，其横坐标为-x/(2a)，纵坐标为f(-x/(2a))。
-若a>0，则抛物线在顶点处取得最小值；若a<0，则抛物线在顶点处取得最大值。
- 抛物线与x轴相交的点称为零点，即f(x) = 0的解。
当抛物线与x轴有相交时，存在一个零点或两个相等的零点，取决于Δ = b² - 4ac的值。
3. 抛物线的对称性：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，若抛物线存在对称轴，则对称轴方程为x = -b/(2a)。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分，即左右对称。
4.抛物线的平移与缩放：二次函数可以通过平移和缩放进行变换，常见的变换有：-平移：将抛物线沿x轴平移h个单位，得到f(x-h)=a(x-h)²+b(x-h)+c；将抛物线沿y轴平移k个单位，得到f(x) + k = ax² + bx + (c + k)。
- 缩放：将抛物线的横坐标缩放为原来的t倍，纵坐标缩放为原来的s倍，得到f(tx) = as²x² + bsx + c；将抛物线的纵坐标缩放为原来的s倍，得到sf(x) = as x² + bsx + sc。
5.二次函数的零点与因式分解：二次函数与零点有关的考点较为常见。
二次函数中考考点+例题-全面解析
二次函数中考考点分析考点1、确定a 、b 、c 的值．二次函数：y=ax 2+bx+c （a,b,c 是常数，且a ≠0） 开口向上， 开口向下．抛物线的对称轴为: ，由图像确定2ba-的正负，由a 的符号确定出b 的符号,a,b 符号左 右 ．即当抛物线的对称轴在y 轴的左边时，a,b 号。
由x=0时,y= ，知c 的符号取决于图像与y 轴的交点纵坐标，与y 轴交点在y 轴的正半轴时，c 0，与y 轴交点在y 轴的负半轴时，c 0．确定了a 、b 、c 的符号，易确定abc 的符号．考点 2、确定a+b+c 的符号．x=1时，y= ，由图像y 的值确定a+b+c 的符号．与之类似的还经常出现判断4a+2b+c 的符号（易知x=2时，y= ），由图像y 的值确定4a+2b+c 的符号．还有判断a －b+c 的符号（x=－1时，y= ）等等．考点3、与抛物线的对称轴有关的一些值的符号．抛物线的对称轴为x=2ba -，根据对称性知：取到对称轴 距离相等 的两个不同的x 值时， 值相等，即当x=2b a -+m 或x=2ba-－m 时，y 值相等．中考考查时，通常知道x=2b a -+m 时y 值的符号，让确定出x=2ba-－m 时y 值的符号．考点4、由对称轴x=2b a -的确定值判断a 与b 的关系．如：2b a-=1能判断出a = b ． 考点5、顶点与最值．若x 可以取全体实数，开口向下时，y 在顶点处取得最大值，开口向上时，y 在顶点处取得最小值．例1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解析：此题考查了考点1、2、3、4、5． ①错误．因为：开口向下a ＜0;对称轴x=2ba-=1，可以得出b ＞0; x=0时,y=c ＞0，故abc ＜0．②错误．因为：由图知x=－1时，y=a －b+c ＜0，即b ＞a+c ．③正确．因为：由对称轴x=1知,x=0时和x=2时y 值相等，由x=0时，y ＞0，知x=2时，y=4a+2b+c ＞0．④正确．因为：由对称轴x=2ba-=1，可以得出a =－ b ，代入前面已经证出b ＞a+c ＞c,即3b ＞2c ．⑤正确．因为：抛物线开口向下，故顶点处y 值最大，即x =1，y= a+b+c 最大，此时a+b+c ＞am 2+bm+c （1≠m ），即)(b am m b a +>+，（1≠m ）．答案：B ．考点6、图象与x 轴交点．∵ ＞0，ax 2+bx+c=0有两个不相等的实根； ＜0，ax 2+bx+c=0无实根； =0，ax 2+bx+c=0有两个相等的实根．∴b 2-4ac ＞0，抛物线与x 轴有 个交点；b 2-4ac＜0，抛物线与x 轴 交点；b 2-4ac=0，抛物线与x 轴 个交点． 例2、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：求图象与x 轴的交点应令y=0，即x 2－2x+1=0,∵b 2-4ac ＝4－4=0,∴二次函数图象与x 轴只有一个交点．答案：B ．考点7、判断在同一坐标系中两种不同的图形的正误．如：在同一种坐标系中正确画出一次函数y ax b =+和二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，关键是 两个式子中的a 、b 值应相同． 例3、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ）．解析：二次函数2y ax bx =+过点（0，0），故排除答案B 与C ．若a ＞0，抛物线开口向上，一次函数y ax b =+的y 值随着x 值的增大而增大；若a ＜0，抛物线开口向下，一次函数y ax b =+的y 值随着x 值的增大而减小．答案：A.考点8、能分别判断出在对称轴的左右两侧二次函数y 值随x 值的变化而变化情况．抛物线当开口向上时，在对称轴的左侧二次函数y 值随 的增大而减小，在对称轴的 侧二次函数y 值随x 值的增大而增大．抛物线开口 时，在对称轴的左侧二次函数y 值随x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而减小．例4、已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象经过点(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )． A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大解析：二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象没说明开口方向，故过点(-1，2)，(1，0)的抛物线有可能开口向上或向下，见图再结合选项，抛物线当开口向上时，在对称轴x =x 0（x 0>0）的左侧二次函数y 值随x 值的增大而减小，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而增大．抛物线开口向下时，在对称轴x =x 0（x 0<0）的左侧二次函数y 值随x 值的增大而增大，在对称轴的右侧二次函数y 值随x 值的增大而减小．答案：D ．考点9、二次函数解析式的几种形式． (1)一般式：y ＝ax 2+bx+c (a,b,c 为常数，a ≠0).(2)顶点式：y ＝a(x-h)2+k(a,h,k 为常数，a ≠0). 抛物线的顶点坐标是(h,k)，h ＝0时，抛物线y ＝ax 2+k的顶点在 轴上；当k ＝0时，抛物线y ＝a(x-h)2的顶点在x 轴上；当h ＝0且k ＝0时，抛物线y ＝ax 2的顶点在 .(3) (3)两根式：y ＝a(x-x 1)(x-x 2)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a ≠0）的两个根. 求解析式时若已知抛物线过三点坐标一般设成一般式，已知抛物线过的顶点坐标时设成顶点式，已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标时设成两根式．例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．求该二次函数的解析式OxyO x yOxyOxyA为 ．解析：（1）设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，二次函数图象过点(30)B ，，044a ∴=-，得1a =． ∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--．【知识梳理】1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.用配方法可化成：的形式，其中.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.轴右侧，则.（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.（1）轴与抛物线得交点为(0, ).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与轴的交点二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点; ②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点.（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故练一练：1、如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴．(以下有（1）、（2）两问，每个考生只须选答一问，若两问都答，则只以第（2）问计分)第（1）问：给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0 其中正确的结论的序号是 （答对得3分，少选、错选均不得分）． 第（２）问：给出四个结论：①abc ＜0；②2a+b ＞0；③a+c=1；④a ＞1．其中正确的结论的序号是 （答对得5分，少选、错选均不得分）．2、二次函数122-++=a x ax y 的图像可能是 【 】3、 如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图像经过点和点B ．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．4、 有一抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ， 如图所示，把它的图形放在直角坐标系中①求这条抛物线所对应的函数关系式；②如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少？xyO3－9－1 －1ABA. xyB. xyC. xyD. x y【参考答案】：1、（1）①，④． （2）②，③，④2、B.3、解：（1）将x =-1，y =-1；x =3，y =-9分别代入c x ax y +-=42得 ⎩⎨⎧+⨯-⨯=-+-⨯--⨯=-.3439,)1(4)1(122c a c a 解得 ⎩⎨⎧-==.6,1c a ∴二次函数的表达式为642--=x x y ． （2）对称轴为2=x ；顶点坐标为（2，-10）．（3）将（m ，m ）代入642--=x x y ，得 642--=m m m ， 解得121,6m m =-=．∵m ＞0，∴11-=m 不合题意，舍去． ∴ m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2=x 对称， ∴点Q 到x 轴的距离为6． 4、①2＋1.6x ；②3.84m ．。
初中数学考点：二次函数易错点讲解
数学考点：二次函数1.二次函数在数学中，二次函数最高次必须为二次，二次函数表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)的多项式函数。
二次函数的图像是一条对称轴平行于y轴的抛物线。
二次函数表达式y=ax²+bx+c的定义是一个二次多项式，因为x的最高次数是2。
如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
2.二次函数的图象3.二次函数主要特点(1)二次函数图像与X轴交点的情况当△=b²-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。
当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。
当△=b²-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。
(2)二次函数图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。
1.如何学习二次函数(1)二次函数对比一次函数学习。
(2)掌握重点。
(3)多做题.熟练度高一些自然简单了。
(4)要举一反三.延伸更多做题技巧。
2.二次函数知识要点(1)要理解函数的意义。
(2)要记住函数的几个表达形式，注意区分。
(3)一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小(增大)等的差异性。
(4)联系实际对函数图像的理解。
(5)计算时，看图像时切记取值范围。
(6)随图像理解数字的变化而变化。
二次函数考点及例题二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。
因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现，而且综合性很强，一般会综合四边形.三角形.一次函数出现。
3.误区提醒(1)对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；(2)对二次函数图象和性质存在思维误区；(3)忽略二次函数自变量取值范围；(4)平移抛物线时，弄反方向;(5)二次函数既不是正比例函数也不是反比例函数.1.二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[-b/2a,(4ac-b²)/4a]把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
《二次函数的图像与性质》常见考点
《二次函数的图像与性质》常见考点一．二次函数的图像与性质知识梳理：1. 一般式: 2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数,且0a ≠）2. 顶点式：2()y a x m k =++ (0)a ≠其中对称轴是直线x m =-， 顶点坐标为(,)m k -.3. 交点式（两点式）：12()()y a x x x x =-- (0)a ≠其中：12,x x 为抛物线与x 轴交点的横坐标（一元二次方程20ax bx c ++=的两根） 4. 二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：224()24b ac b y a x a a -=++的形式 其中对称轴是直线2b x a=-, 顶点坐标为24(,)24b ac b a a --.二．抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 1. a 决定开口方向及开口大小，当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大,开口越小；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同2. a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=， i. 0=b 时，对称轴为y 轴ii.0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧 iii.0<a b （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧（左同右异） 3. c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ） i.0=c ，抛物线经过原点 ii.0>c ，抛物线与y 轴交于正半轴 iii. 0<c ，抛物线与y 轴交于负半轴三. 待定系数法求二次函数的解析式一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 顶点式：()k h x a y +-=2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：()()21x x x x a y --=. 已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式.一般地，对于抛物线2y ax bx c =++，沿着x 轴正方向看，可见它的变化情况如下： 当0a >时，抛物线在对称轴（即直线2b x a =-）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的；当0a <时，抛物线在对称轴（即直线2b x a=-）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的.【例1】画出函数21212y x x =-+的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【变式1】画出函数2288y x x =-+-的图象，并指出图象顶点坐标、对称轴及函数最值．【例2】 指出二次函数2264y x x =--+图像的开口方向、顶点坐标和对称轴，并画出这个函数的图像.【变式2】已知函数(1)(3)y x x =-+-.（1）指出这个函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴，以及它的变化情况；（2）画出这个函数的图像.【例3】已知一个二次函数的图像经过(0,1)(1,3)(1,1)A B C -、、三点，求这个函数的解析式.【变式3】已知抛物线2，将这条抛物线平移，当它的顶点移到点(2,4)y x3M的位置时，所得新抛物线的表达式是什么？。
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)
二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案)考点1：二次函数的图象和性质一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数．2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2b a，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2b a，y 随x 的增大而增大． ⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a时，函数有最大值244ac b a-。
3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象．⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同．注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第六讲 二次函数(含答案)(全国通用版)
第六讲 二次函数专项一 二次函数的图象和性质知识清单一、二次函数的概念一般地，形如 （a ，b ，c 为常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中ｘ是自变量，a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项系数、 和常数项． 二、二次函数的图象和性质1. 二次函数的图象是一条 ．其一般形式为y =ax 2+bx +c ，由配方法可化成y =a （x -h ）2+k 的形式，其中h=2ba-，k=244ac b a -．2. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象和性质3. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与系数a ，b ，c 符号的关系ab ＜0（a ，b 异号）对称轴在y 轴右侧 c决定抛物线与y 轴的交点c ＞0 交点在y 轴正半轴 c =0 交点在原点 c ＜0交点在y 轴负半轴考点例析例1 抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（-1，0），（3，0），且与y 轴交于点（0，-5），则当x=2时，y 的值为（ ）A ．-5B ．-3C ．-1D ．5分析：画出抛物线的大致图象，可知抛物线的对称轴为x=1，根据抛物线的对称性可求出y 的值． 例2 一次函数y=ax+b 的图象如图1所示，则二次函数y=ax 2+bx 的图象可能是（ ）A B C D分析：根据一次函数y=ax+b 的图象经过的象限得出a ＜0，b ＞0，可知二次函数y=ax 2+bx 的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．例3 二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图2所示，下列说法中，错误的是（ ） A ．对称轴是x=12B ．当-1＜x ＜2时，y ＜0C ．a+c=bD ．a+b ＞-c图2分析：由图可知，对称轴是x=1+22-=12，选项A 正确；当-1＜x ＜2时，函数图象在x 轴的下方，所以当-1＜x ＜2时，y ＜0，选项B 正确；当x=-1时，y=a-b+c=0，所以a+c=b ，选项C 正确；当x=1时，y=a+b+c ＜0，所以a+b ＜-c ，选项D 错误．例4二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x ＝12，且经过点（2，0）．有下列说法：①abc ＜0；②﹣2b +c ＝0；③4a +2b +c ＜0；④若112y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，252y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是抛物线上的两点，则y 1＜y 2；图1⑤14b +c ＞m （am +b ）+c （其中m ≠12）．其中正确的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个图3分析：由抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴的交点可得a ，b ，c 的符号，从而可得abc 的正负；由对称轴x=2b a -=12，得b=-a ，由图象易知当x=-1时，y=a-b+c=﹣2b+c ＝0；根据抛物线经过点（2，0），可得4a+2b+c=0；根据“开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”可判断y 1与y 2的大小；由图象知当x ＝12时，y 有最大值为14a+12b+c=14b +c ，由此可判断14b +c 与m （am +b ）+c 的大小关系．归纳：（1）几种常见代数式的判断①2a ±b 2b a-与±1比较②a ±b +c 令x ＝±1，看纵坐标 ③4a ±2b +c 令x ＝±2，看纵坐标 ④9a ±3b +c令x ＝±3，看纵坐标⑤3a +c ，3b -2c 等关于a ，c 或b ，c 的代数式 一般由②③④式与①式结合判断（2①当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小．ꎻ②利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小． ③利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小；开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小． 跟踪训练1.已知二次函数y=（a-1）x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＞0 B ．a ＞1 C ．a≠1 D ．a ＜12.二次函数y=x 2+4x+1的图象的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=4C ．x=-2D ．x=-4 3.关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值64.一次函数y=ax+b （a≠0）与二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A B C D5.如图3，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C．有下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c=0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4第5题图6.定义：[a，b，c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[m，1-m，2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值；④如果m＜0，当x＞12时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是．专项二确定二次函数的解析式知识清单用待定系数法求二次函数的解析式时，若已知条件给出了图象上任意三点（或任意三组对应值），可设解析式为；若给出顶点坐标为（h，k），则可设解析式为；若给出抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则可设解析式为.考点例析例在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5分析：由抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标与点C的坐标，然后结合中心对称的性质，求得新抛物线的顶点坐标，用待定系数法求出新抛物线的解析式．跟踪训练1.若抛物线y=x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4，对称轴为直线x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P 关于x轴的对称点的坐标是（）A．（2，4）B．（-2，4）C．（-2，-4）D．（2，-4）2.在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了如图所示直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中a的值最大为（）A．52B．32C．56D．12第2题图专项三二次函数图象的平移知识清单二次函数图象的平移规律平移前的解析式平移方向及距离平移后的解析式口诀顶点坐标y=a（x-h）2+k （a≠0）向左平移m个单位长度y=a（x-h+m）2+k左加右减纵坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h-m）2+k向上平移m个单位长度y=a（x-h）2+k+m上加下减横坐标不变向平移m个单位长度y=a（x-h）2+k-m平移前后ａ值不变例将抛物线y=-x2-2x+3向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过（）A．（-2，2）B．（-1，1）C．（0，6）D．（1，-3）分析：先将y=-x2-2x+3转化成顶点式y=a（x-h）2+k，再利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，得出平移后抛物线的解析式，最后把各选项的点代入判断即可．跟踪训练1.将抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移2个单位长度，以下说法错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变2.抛物线的函数解析式为y=3（x-2）2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数解析式为（）A．y=3（x+1）2+3 B．y=3（x-5）2+3 C．y=3（x-5）2-1 D．y=3（x+1）2-13.已知抛物线y=a（x-h）2+k与x轴有两个交点A（-1，0），B（3，0），抛物线y=a（x-h-m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（）A．5 B．-1 C．5或1 D．-5或-14.已知抛物线y=x2+kx-k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．-5或2 B．-5 C．2 D．-25.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．6.如图，二次函数y=（x-1）（x-a）（a为常数）的图象的对称轴为x=2．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式．第6题图专项四二次函数与一元二次方程的关系知识清单二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的关系：Δ=b2-4ac一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系Δ>0有两个不等的实数根有两个不同的公共点Δ=0有两个相等的实数根只有唯一的公共点Δ<0无实数根没有公共点考点例析例已知关于x的一元二次方程x2+x-m=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）二次函数y=x2+x-m的部分图象如图所示，求一元二次方程x2+x-m=0的解．分析：（1）由方程x2+x-m=0有两个不相等的实数根，可得Δ>0，列不等式即可求出m的取值范围；（2）根据二次函数图象的对称性，可得二次函数y=x2+x-m的图象与x轴的另一个交点，从而得到一元二次方程x2+x-m=0的解．解：跟踪训练1.已知直线y=kx+2过第一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x2-2x+3的交点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．1或22.已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的部分对应值见表格，有下列结论：①c=2；②b2-4ac＞0；③方程ax2+bx=0的两根为x1=-2，x2=0；④7a+c＜0．其中正确的有（）3.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k=．4.对于任意实数a，抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是．5.武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0．下列四个结论：①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．其中正确的是．（填序号）专项五二次函数的应用知识清单构建二次函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）审题，分析问题中的变量和常量；（2）建立二次函数模型表示它们之间的关系；（3）充分结合已知条件，利用函数解析式或图象等得出相应问题的答案，或把二次函数解析式用顶点坐标公式或用配方法化为顶点式，确定出二次函数的最大（小）值；（4）结合自变量的取值范围和问题的实际意义，检验结果的合理性.考点例析例1某超市经销一种商品，每件成本为50元．经市场调研，当该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数解析式；（2）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？分析：（1）根据“该商品每件的销售价为60元时，每个月可销售300件，若每件的销售价每增加1元，则每个月的销售量将减少10件”列出y与x的函数解析式；（2）设每个月的销售利润为w元，根据等量关系“利润=（售价-进价）×销量”列出函数解析式，配方后根据二次函数的性质求解．解：例2某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为y=-16（x-5）2+6．（1）求雕塑高OA；（2）求落水点C，D之间的距离；（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF=1.8 m，EF⊥OD．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．分析：（1）根据给出的抛物线的函数解析式，令x=0，求出点A的纵坐标，可得出雕塑高OA；（2）根据给出的抛物线的函数解析式，令y=0，求出点D的横坐标，可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD=OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；（3）将x=10代入函数解析式y=-16（x-5）2+6求出y的值，将求出的y值与1.8比较后即可得出顶部F是否会碰到水柱．解：跟踪训练1.某快餐店销售A，B两种快餐，每份利润分别为12元，8元，每天卖出份数分别为40份，80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．2.某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的质量有20%的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为m=50+0.2x，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）设销售收入为p（万元），求p与x之间的函数解析式；（3）原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润=销售收入-总支出）第2题图3. 如图①是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5 m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图②，桥面上方有3根高度均为4 m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数解析式；②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．① ②第3题图专项六 二次函数中的分类讨论思想分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法．我们在运用分类讨论思想时，必须遵循下列两个原则：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类对象；二是要找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简原则. 引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面:①由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；②由数学变形所需要的限制条件引起的讨论；③由图形的不确定性引起的讨论；④由于题目含有字母引起的讨论等等． 考点例析例 已知关于x 的二次函数y 1=x 2+bx+c （实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x=1，求此二次函数的解析式； （2）若b 2-c=0，当b-3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数y 2=2x 2+x+m ，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y 2≥y 1，求实数m 的最小值．分析：（1）将（0，4）代入二次函数y 1=x 2+bx+c ，可求得c ，由对称轴为x=-2b=1，可求出b ；（2）二次函数y 1=x 2+bx+c 图象的对称轴为x=-2b ，需要分三种情况：b ＜-2b ，b-3＞-2b 和b-3≤-2b≤b 进行分类讨论；（3）设函数y 3=y 2-y 1，根据二次函数图象的增减性进行求解． 解：跟踪训练科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数解析式；（2）求出y2与x之间的函数解析式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？参考答案专项一二次函数的图象和性质例1 A 例2 D 例3 D 例4 B1．B 2．C 3．D 4．C 5．B6．①②③专项二确定二次函数的解析式例 A1．A 2．A专项三二次函数图象的平移例 B1．D 2．C 3．C 4．B 5．y=2x2+4x6. 解：（1）因为y=（x-1）（x-a）=x2-（a+1）x+a，图象的对称轴为x=2，所以+12a=2，解得a=3．（2）由（1），知a=3，则该二次函数的解析式为y=x²-4x+3．所以二次函数的图象向下平移3个单位后经过原点．所以平移后图象所对应的二次函数的解析式是y=x²-4x．专项四二次函数与一元二次方程的关系例（1）由题意，知Δ＞0，即1+4m＞0，解得m＞-14．（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为x=-12，所以该函数图象与x轴的两个交点关于直线x=-12对称．由图可知抛物线与x轴的一个交点为（1，0），所以另一个交点为（-2，0）．所以一元二次方程x2+x-m=0的解为x1=1，x2=-2．1．C 2．B 3．1 4．①②④专项五二次函数的应用例1 （1）y=300-10（x-60）=-10x+900．（2）设每个月的销售利润为w元．由（1），知w=（x-50）y=（x-50）（-10x+900）=-10x2+1400x-45 000=-10（x-70）2+4000．因为-10＜0，所以当x=70时，w有最大值为4000．所以该商品每件的销售价为70元时，每个月的销售利润最大，最大利润是4000元．x2=11．所以OD=11 m．．因为从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，所以OC=OD=11 m．所以CD=OC+OD=22 m1．12642．解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b．w（万元）．（3）设销售利润为所以原料的质量x为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是65.2万元．3. 解：（1）根据题意，知点F的坐标为（6，-1.5），可设拱桥侧面所在抛物线的函数解析式为y1=a1x2．=a2（x-6）2+1．（2）①根据题意，知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其解析式为y2②设彩带的长度为L m．所以当x=4时，L 最小值=2．答：彩带长度的最小值是2 m ．专项六 二次函数中的分类讨论思想例 （1）因为二次函数的图象经过点（0，4），所以c=4．（2）当b 2-c=0时，b 2=c ，此时函数的解析式为y 1=x 2+bx+b 2． 根据题意，分三种情况：所以（b-3）2+b （b-3）+b 2=21，解得b 3=4，b 4=-1（舍去）．（3）由（1），知二次函数的解析式为y 1=x 2-2x+4．设函数y 3=y 2-y 1=x 2+3x+m-4． 所以当x=0时，y 3即y 2-y 1有最小值m-4，所以m-4≥0，即m≥4．所以m 的最小值为4． 跟踪训练解：（1）y 1=5x+30．（2）当x=6时，y 1=5×6+30=60．因为y 2的图象是过原点的抛物线，所以可设y 2=ax 2+bx ． 因为点（1，35），（6，60）在抛物线y 2=ax 2+bx 上，所以=35366=60.a b a b ++⎧⎨⎩，解得=5=40.a b ⎩-⎧⎨，所以y 2=-5x 2+40x ．所以y 2与x 的函数解析式为y 2=-5x 2+40x ． （3）设小钢球和无人机的高度差为y 米． 令y 2=0，则-5x 2+40x=0，解得x=0或x=8．因为6＜x≤8，所以当x=8时，y的最大值为70．70米．。
二次函数的变换(热考题型)-解析版
专题06 二次函数的变换【思维导图】◎考点题型1二次函数的平移（1） 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：（2） 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）将抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ） A ．y ＝﹣3（x ＋2）2 B ．y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣1 C ．y ＝﹣3（x ＋1）2﹣1 D ．y ＝﹣3（x ﹣1）2＋3【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度得y ＝﹣3(x+2)2＋1， 抛物线y ＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y ＝﹣3(x ＋2)2． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．变式1．（2021·山东烟台·九年级期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（ ） A ．2b =，6c =- B ．6b =-，8c = C ．6b =-，2c = D ．2b =，0c【答案】D 【解析】 【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【详解】由题意可得新抛物线的顶点为(1,4)-， ∴原抛物线的顶点为(1,1)--，设原抛物线的解析式为2()y x h k =-+， 代入得：22(1)12y x x x =+-=+，∴2b =，0c ． 故选：D ． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．变式2．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是( ) A ．22(8)2y x =-+ B ．22(8)6y x =-- C ．22(2)6y x =+- D ．22(2)2y x =++【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是22(35)24y x =-+-+，即22(2)2y x =++．故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．变式3．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由22y x =的图像经过平移得到函数22(6)7y x =-+的图像呢？小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度； 小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度． 对于上述两种说法，正确的是（ ） A ．小亮对 B ．小丽对C ．小亮、小丽都对D ．小亮、小丽都不对【答案】B【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x-6）2+7，则小丽说法正确；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．◎考点题型2 二次函数图象的对称（1）关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；（2）关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；（3）关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．例．（2022·河南周口·九年级期末）已知抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点，则n 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1,)n -和(2,)n 可以确定函数的对称轴1x =，再由对称轴的12mx =-=，即可求解． 【详解】解：抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点， 可知函数的对称轴12122x -+==， 122m ∴-=， 1m ∴=-；21y x x ∴=--，将点(1,)n -代入函数解析式，可得1n =； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的对称性． 变式1．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）已知4a -2b +c =0，9a +3b +c =0，则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象顶点可能在（ ） A ．第一或第四象限 B ．第三或第四象限 C ．第一或第二象限 D ．第二或第三象限【答案】A 【解析】 【分析】首先由已知条件4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，得出此二次函数过点（-2，0），（3，0），然后根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴，进而得出二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能所在的象限．【详解】解：∴4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=12，∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象与性质求出对称轴为直线x=12是解题的关键．变式2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx ＋c，函数y与自变量x的部分对应值如表：x……﹣11234……y (10521)25……若A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，则当m满足（）时，y1＜y2A．m≤2B．m≥3C．m52<D．m52>【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据先确定抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，然后根据二次函数图象的性质，列出m 的不等式，解不等式即可．【详解】解：由表格可知，该函数图象开口向上，对称轴为直线x042+==2，∴A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，y1＜y2，∴2﹣（m ﹣1）＞m ﹣2， 解得：m 52＜，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据表格中的数据确定二次函数图象的对称轴，列出关于m 的不等式，是解题的关键．变式3．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）点1P （－1，1y ），2P （3，2y ），3P （5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y =>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．23y y y <<【答案】A 【解析】 【分析】已知函数表达式里面二次项系数和一次项系数，可以求出该函数图像的对称轴2ba-，结合对称轴，分析函数的增减性即可．当a <0，x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；当a <0，x <2ba-时，y 随x 的增大而增大． 【详解】 对称轴：x =2ba-=212(1)-=⨯- 11(1)P y -，到对称轴有1-（-1）=2个单位长度； 22(3)P y ，到对称轴有3-1=2个单位长度；∴12y y = ∴a =-1<0 ∴当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小 ∴33(5)P y ，，5>3>2b a- ∴32<y y综上：321y y y <= 故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，结合函数表达式求出函数图像的对称轴，根据二次项系数的正负和对称轴分析函数的增减性是解题的关键．◎考点题型3 二次函数的图象与系数的关系二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的系数与图象的关系（1）a 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的开口方向决定：0>⇔a 开口向上 ，0>⇔a 开口向上；（2）b 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的对称轴的位置及a 的符号共同决定：对称轴在y 轴左侧b a ,⇔同号，对称轴在y 轴右侧b a ,⇔异号；（3）c 的符号由抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的位置决定：与y 轴正半轴相交0>⇔c ，与y 轴正半轴相交0<⇔c ⏹ 二次项系数a二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．⑴ 当a >0时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑴ 当a <0时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．【总结起来】a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，|a |的大小决定开口的大小． ⏹ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a >0的前提下，当b >0时，−b2a <0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧（a 、b 同号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a >0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧（a 、b 异号）． ⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b >0时，−b2a >0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧（a 、b 异号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a <0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧（a 、b 同号）． 【总结起来】在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．常数项c⑴ 当c >0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c <0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 【总结起来】c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ， b ， c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．例．（2021·山东烟台·九年级期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数y ax b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】逐图分析系数a ，b 的符号，即可判断． 【详解】A ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＞，此选项错误；B ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＜，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项错误；C ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项正确；D ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＜，0b =，此选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题关键是会根据图象判断系数a ，b 的符号．变式1．（2022·云南玉溪·九年级期末）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是( )A ．abc <0B ．b =－4aC ．4a +2b≥m (am +b )D ．a －b ＋c >0【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口向下可知a <0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知c <0，由抛物线的对称轴x =2可得出a 、b 的关系，再对四个选项进行逐一分析． 【详解】∴抛物线的开口向下， ∴a ＜0，∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c ＞0，∴抛物线的对称轴为直线2x =， ∴22ba-=，即4b a =- ∴4a +b =0，故B 正确，不符合题意；； ∴0b >，∴abc <0，故A 正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线2x =，a ＜0， ∴当2x =时，y 取得最大值为42a b c ++ ∴对于任意实数m ，242a a c am bm c ++≥++∴4a +2b +c≥m (am +b )+ c ∴4a +2b ≥m (am +b )， 故C 正确，不符合题意；当x =﹣1时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上，即a ﹣b +c =0，故D 错误， 符合题意．故选D ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数y = ²+bx +c (a ≠0)的图象，当a <0时，抛物线向下开口，当a 与b 同号时(即ab >0，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时(即ab <0)，对称轴在y 轴右．变式2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：∴240b ac -<；∴当1x >-时，y 随x 增大而减小；∴0a b c ++<；∴若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；∴0b c -+>．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】 【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：根据题意得：二次函数与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac >0，故∴错误；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x =-1， ∴抛物线开口向下，∴当x >-1时，y 随x 增大而减小，故∴正确；∴抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和-2，0）之间，对称轴为直线x =-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，∴x =1时，y =a +b +c <0，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （－1，2），抛物线开口向下， ∴函数的最大值为2，∴当m >2时，抛物线与直线y =m 没有交点， ∴方程ax 2+bx +c -m =0没有实数根，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），抛物线开口向下， ∴当x =-1时，2a b c -+=，0a <， ∴20b c a -+=->，故∴正确， ∴正确的有4个． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x 轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合思想解答，属于中考常考题型．变式3．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限． 【详解】解：∴抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0， ∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限， 故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n 、m 的符号．◎考点题型4二次函数与一次函数的综合判断例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可． 【详解】解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b-＞0，0c <，0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误，抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b bx --=-=， ∴102b-＞， ∴抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数2y ax bx c =++ 中各项系数的意义及利用数形结合的思想是解答本题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】题干中二次函数2y ax =的图象开口向下，可以判断出a 的符号为负，一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，可以据此判断出b 、c 的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数2y ax bx c =++的图象． 【详解】∴二次函数2y ax =的图象开口向下， ∴a <0，又∴一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，∴b >0，c >0， 则2ba->0， 可知二次函数2y ax bx c =++开口方向向下，对称轴在y 轴右侧，且与y 轴交点在y 的正半轴，选项B 图象符合， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系．变式2．（2021·河南驻马店·九年级期中）函数1y ax =+与()210y ax ax a =++≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数图象可确定a 的符号，再确定二次函数图象的大致形状和位置即可． 【详解】解：根据四个选项中一次函数图象在一、二、三象限，可以确定a ＞0时， ∴a ＞0，函数y ＝ax 2+ax +1（a ≠0）的图象开口向上， 对称轴为直线122a x a =-=-； 在y 轴左侧， 只有C 选项符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，准确进行判断推理．变式3．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数2y ax c =+与一次函数y ax c =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断,a c 符号，即可求解． 【详解】解：A 、由二次函数图象，可得0a < ，一次函数图象，可得0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、由二次函数图象，可得0a > ，一次函数图象，可得0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、由二次函数图象，可得0c > ，一次函数图象，可得0c < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、由二次函数图象，可得0a > ，0c <，一次函数图象，可得0a > ，0c <，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到,a c 符号是解题的关键．◎考点题型5 根据图像判断式子符号例．（2021·广东湛江·九年级期末）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：∴ac ＜0；∴a -b +c =0；∴4ac －b 2＜0；∴当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【详解】∴∴抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a> 0，c< 0∴ac<0故结论∴正确；∴从图中可以看出，抛物线经过点(-1，0)，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故∴正确；∴∴抛物线与x轴有两个交点∴b2- 4ac> 0即4ac- b2< 0故结论∴正确；∴∴抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1所以当x < 1时，y随x的增大而减小故结论∴错误故正确的结论有∴∴∴共3个；故选：B．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．变式1．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息：∴c＞0；∴b2﹣4ac＞0；∴a＋b＋c＜0；∴对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【分析】由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断∴，由抛物线与x轴交点个数可判断∴，由图象可得x=1时y＞0可判断∴，根据（-5，m）、（1，n）与对称轴的距离可判断∴．【详解】解：∴抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴正确．∴抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，∴正确．由图象可得x=1时y＞0，∴a+b+c＞0，∴错误．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），∴n＞m，∴正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．变式2．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3010﹣3…下列结论正确的是（）∴ab＞0；∴a+b+c＜0；∴若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根.A．∴∴∴B．∴∴∴C．∴∴∴D．∴∴∴【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为x=1，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．【详解】解：由表格可知，该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），∴a＜0，b＜0，∴ab＞0，故∴正确；由表格可知，当x=1时，y=a+b+c=-3＜0，故∴正确；∴点（-7，y1）到对称轴x=-1的距离小于点（7，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，故∴错误，∴图象经过（-3，-3）和（1，-3）两个点，∴方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根，故∴正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式3．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：∴当x＞3时，y＜0；∴3a＋b＞0；∴﹣1≤a≤23；∴3≤n≤4中，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】∴由抛物线的对称轴为直线x =1，一个交点A （-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项∴作出判断；∴根据抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴方程求得b 与a 的关系是b =-2a ，将其代入（3a +b ），并判定其符号；∴利用一元二次方程根与系数的关系可得3c a =-，然后根据c 的的取值范围利用不等式的性质来求a 的取值范围；∴把顶点坐标代入函数解析式得到43n a b c c =++=，利用c 的取值范围可以求得n 的取值范围． 【详解】解：∴抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴对称轴直线是x =1，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 观察图象得：当x >3时，y <0，故∴正确； ∴观察图象得：抛物线开口方向向下， ∴a <0， ∴对称轴12bx a=-=， ∴.2b a =-，∴3320a b a a a +=-=<，即3a ＋b ＜0，故∴错误； ∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点（-1，0），（3，0）， ∴方程ax 2+bx +c =0的两根为-1，3， ∴133c a =-⨯=-，即3ca =-， ∴抛物线与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴23c ≤≤， ∴2133c -≤-≤-，即213a -≤≤-，故∴正确； ∴.2b a =-，3c a =-， ∴223c b a =-=， ∴顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，43n a b c c =++=， ∴23c ≤≤， ∴84433c ≤≤，即843n ≤≤，故∴错误； 综上所述，正确的有∴∴，共2个．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键．◎考点题型6 抛物线y =ax 2+bx +c 最值抛物线y =ax 2+bx +c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）⏹ 公式法：y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ， ∴顶点是（−b 2a ，4ac−b 24a ），对称轴是直线x =−b 2a . ⏹ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x −h )2+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线x =h .【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.例．（2022·浙江金华·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数表达式为2s at bt =+，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1200米【解析】【分析】先根据滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，求出函数的解析式，然后求出函数的最大值即可．【详解】解：∴10t =时，450s m =；20t =时，600s m =，∴1001045040020600a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：3260a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴23602S t t =-+， ∴()2233602060022S t t t =-+=--+， ∴当20t =时，S 最大，且最大值为600，即飞机的最大滑行距离为600米，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和最大值，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y （元）与降价x （元）之间的关系是y ＝－2x 2＋60x ＋800，则利润获得最多为（ ）A ．15元B ．400元C ．800元D ．1250元【答案】D【解析】【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．【详解】解：y ＝－2x 2＋60x ＋800＝－2（x －15）2＋1250∴－2＜0故当x ＝15时，y 有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D ．此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．变式2．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∴二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∴1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（）A．12-B．13-C．12-或13-D．﹣1或13-【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：2(21)3y x a x =+--，∴图象开口向上，对称轴为直线212a x -=-， ∵﹣1≤x ≤3， ∴当2112a --时，即12a -，3x =时有最大值1， 9(21)331a ∴+-⨯-=，13a ∴=-， 当2112a --时，即12-a ，1x =-时有最大值1， 1(21)(1)31a ∴+-⨯--=，1a ∴=-，1a ∴=-或13-， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．◎考点题型7 待定系数法求函数解析式例．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．【答案】（1）1m =-；（2）直线1x =-【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式2b x a=-求解即可． 【详解】解：（1）∴二次函数y ＝x 2－2mx ＋5m 的图象经过点(1，－2)，∴－2＝1－2m ＋5m ，解得1m =-；∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －5．（2）二次函数图象的对称轴为直线2122b x a =-=-=-； 故二次函数的对称轴为：直线1x =-；【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．【答案】二次函数的表达式为24y x =+．【解析】【分析】将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．【详解】 解：二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)， ∴485a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：14a c =⎧⎨=⎩． ∴二次函数的表达式为24y x =+．【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数的表达式．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式【答案】245y x x =-++【解析】【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入求解即可．【详解】解：∴抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，∴设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，∴()()21545y x x x x =-+-=-++．∴该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式． 变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，与y 轴的交点坐标为()0,3．（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）()1,4 ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将(1,0)-，(0,3)两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；（2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：（1）把(1,0)-，(0,3)代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）()222232113(1)4=-++=--+-+=--+y x x x x x ，。