人教版2013届高三一轮复习课时训练17：同角三角函数的基本关系式及诱导公式

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同角三角函数的基本关系及诱导公式-高考复习

(
)
√2
A.6
(2)已知 sin
√2
B.
6
2√5
α= 5 ,则
2
C.3
5π
+)
2
5π
cos ( -)
2
sin (
tan(π+α)+
=
2
D.
3
.
答案 (1)D
5
5
(2) 或2
2
解析 (1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-√2cos2θ
sin
θ-2cos2θ=
=
,
2
2
2
sin +cos
tan +1
4+2-2
θ=2,故原式=
4+1
=
4
.
5
解题心得 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用
tan
sin
α=cos
≠ π +
π
,∈Z
2
可以实现角 α 的弦切互化.
2.“1”的灵活代换:1=cos α+sin α=(sin α+cos α) -2sin αcos
解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择
恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可
能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简
【例 1】 (1)若
1

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式

高三数学一轮复习——同角三角函数基本关系式及诱导公式1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式概念方法微思考1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号．2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k ·π2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k 是奇数还是偶数．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( × )题组二教材改编 2．若sin α＝55，π2<α<π，则tan α＝ . 答案－12解析 ∵π2<α<π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，∴tan α＝sin αcos α＝－12.3．已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．答案 3解析原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3.4．化简cos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题组三易错自纠5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为．答案－23解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴sin θcos θ＝718.又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴sin θ－cos θ＝－23. 6．若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝；cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝ . 答案 12 12解析由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α＝12.同角三角函数基本关系式的应用1．已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α等于( )A ．－513 B.513 C ．－125 D.125答案 C解析因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125. 2．已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案－105解析由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为．答案－3。

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析

高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。

高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系与诱导公式(有详细的答案解析)..

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系3.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2，π]，则m <－5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.( × )(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是－13.( √ )2．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案－23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝________.答案－1解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35.又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan x ＝sin x cos x ＝43. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.题型二诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值．思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.思维升华熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.答案 (1)－13 (2)－916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.题型三三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α)) ＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.思维升华在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)sin (3π－α)·cos (π－α)＝________.答案 (1)D (2)－255解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.(2)原式＝－sin α·(－sin α)·(－cos α)sin α·(－cos α)＝sin α，∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角．又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.思维启迪利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系．规范解答解析方法一因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法二同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.方法三解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1得，⎩⎨⎧sin θ＝1213cos θ＝－513或⎩⎨⎧sin θ＝－513cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.答案－125温馨提醒三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝713和公式sin 2θ＋cos 2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15C.513D ．－513答案 D解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.2．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15答案 B解析由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 4．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.5．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2. 故A 的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题6．化简：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________. 答案－1解析原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1. 7．如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________. 答案 265 解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(15)2＝265， ∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265. 8．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝________.答案 1解析原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 三、解答题9．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．解由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是 ( ) A.229B ．－229C ．－19 D.19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 2．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 4．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值．解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007) ＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 5．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.② ∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。

高考数学一轮复习专题训练—同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式考纲要求 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__α sin__α cos__α cos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限1.同角三角函数关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( ) (3)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( )(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝13.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)对任意的角α，sin 2α＋cos 2α＝1. (2)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴上时，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝13，当k 为偶数时，sin α＝－13.2.已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝( )A.54B.－54C.53D.－53答案 A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.3.已知α为锐角，且cos α＝45，则sin(π＋α)＝( )A.－35B.35C.－45D.45答案 A解析由题意得sin α＝1－cos 2α＝35，故sin(π＋α)＝－sin α＝－35.4.(2021·天津南开质检)cos 480°＝( ) A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析由诱导公式可得cos 480°＝cos(540°－60°)＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.故选A.5.(2021·成都诊断)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论错误的是( )A.θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB.cos θ＝－35C.tan θ＝－34D.sin θ－cos θ＝75答案 C解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125，∴2sin θcos θ＝－2425，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0， ∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＝75.② ①＋②得sin θ＝45，①－②得cos θ＝－35，∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43.6.(2021·海南期末)若cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝________.答案 15解析 sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝15.考点一诱导公式的应用1.化简cos （π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫11π2－αcos （π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的结果是( )A.－1B.1C.tan αD.－tan α答案 C解析由诱导公式，得原式＝－cos α·（－sin α）·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos α·sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin 2α·cos α－sin α·cos 2α＝tan α，故选C.2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π3，则角α＝( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3答案 C解析由条件得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，又因为α为锐角，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，即sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，所以有α－π3＝π2－⎝⎛⎭⎫α＋π3，解得α＝π4，故选C. 3.(2021·皖北名校联考)sin 613°＋cos 1 063°＋tan(－30°)的值为________. 答案－33解析 sin 613°＋cos 1 063°－tan 30°＝sin(180°＋73°)＋cos(－17°)－tan 30°＝－sin 73°＋cos(－17°)－tan 30°＝－cos 17°＋cos 17°－33＝－33. 感悟升华 1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考点二同角三角函数基本关系及其应用角度1 切弦互化【例1】 (1)已知α是第四象限角，tan α＝－815，则sin α等于( )A.1517B.－1517C.817D.－817(2)已知曲线f (x )＝23x 3在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为α，则sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝( )A.12B.2C.35D.－38答案 (1)D (2)C解析 (1)因为tan α＝－815，所以sin αcos α＝－815，所以cos α＝－158sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，得sin 2α＝64289，又α是第四象限角，所以sin α＝－817.(2)由f ′(x )＝2x 2，得tan α＝f ′(1)＝2，故sin 2α－cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－12tan α＋1＝35.故选C.角度2 sin α±cos α与sin αcos α的转化【例2】(2020·东北三省三校联考)若sin θ－cos θ＝43，且θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝( ) A.－23B.23C.－43D.43答案 A解析由sin θ－cos θ＝43得1－2sin θcos θ＝169，即2sin θcos θ＝－79，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝29，又θ∈⎝⎛⎭⎫34π，π，∴sin θ＋cos θ<0， ∴sin θ＋cos θ＝－23，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sin θ＋cos θ＝－23，故选A. 感悟升华 1.(1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.【训练1】 (1)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan(π＋α)等于( )A.－513B.513C.－125D.125(2)(2021·兰州诊断)已知sin α＋cos α＝75，则tan α＝________.答案 (1)C (2)43或34解析 (1)因为α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－125.(2)将sin α＋cos α＝75两边平方得1＋2sin αcos α＝4925，∴sin αcos α＝1225，∴sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝1225，整理得12tan 2α－25tan α＋12＝0，解得tan α＝43或tan α＝34.考点三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用【例3】 (1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A.53B.23C.13D.59(2)已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. (3)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________. 答案 (1)A (2)－33(3)0 解析 (1)由3cos 2α－8cos α＝5，得3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，即3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝－23或cos α＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53.故选A. (2)∵⎝⎛⎭⎫π6－α＋⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝π， ∴tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.(3)∵cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ，∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 感悟升华 1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等.【训练2】 (1)已知α是第四象限角，且3sin 2α＝8cos α，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝( ) A.－223B.－13C.223D.13(2)(2020·上海徐汇区期中)若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 答案 (1)C (2)35解析(1)∵3sin 2α＝8cos α，∴sin 2α＋⎝⎛⎭⎫3sin 2α82＝1，整理可得9sin 4α＋64sin 2α－64＝0，解得sin 2α＝89或sin 2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－223，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2 021π2＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋1 010π＋π2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－sin α＝223，故选C. (2)∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35.A 级基础巩固一、选择题 1.tan 420°＝( ) A.－ 3 B. 3 C.33D.－33答案 B解析 tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝ 3. 2.若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A.3B.－3C.1D.－1答案 B解析由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3，故选B. 3.已知3s in(π＋θ)＝cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 A解析 ∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)， ∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33， ∵|θ|<π2，∴θ＝－π6.4.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79答案 A解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫432＝－79. 5.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( )A.sin 2－cos 2B.sin 2＋cos 2C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2答案 A 解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 6.已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是( )A.35 B.－35C.－3D.3答案 A 解析sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.7.(2021·四川名校联考)在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，则cos A －sin A 的值为( )A.－32B.－52C.52D.±32答案 B解析 ∵在△ABC 中，sin A ·cos A ＝－18，∴A 为钝角，∴cos A －sin A <0， ∴cos A －sin A ＝－（cos A －sin A ）2 ＝－cos 2A ＋sin 2A －2sin A cos A ＝－1－2×⎝⎛⎭⎫－18＝－52. 8.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( ) A.355B.377C.31010D.13答案 C解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0. 消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角). 二、填空题9.(2021·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2 640°)＋tan 1 665°＝________.答案 1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2 640°＋2 880°)＋tan(1 665°－1 620°)＝sin 150°＋cos 240°＋tan 45°＝sin 30°－cos 60°＋1＝12－12＋1＝1. 10.若sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝________. 答案 35解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋θ ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35. 11.已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________.答案－43解析由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin 2θ＋cos 2θ，得6sin θcos θ＝－8cos 2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－43. 12.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________.答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.B 级能力提升13.已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15B.55C.33D.255答案 B解析由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α≠0，所以 2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以5sin 2α＝1，sin 2α＝15，sin α＝55.故选B. 14.已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝10，则tan α＝( )A.－3B.3或13C.3D.13 答案 C解析因为(cos α＋3sin α)2＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2α＝10，所以cos 2α＋6sin αcos α＋9sin 2αcos 2α＋sin 2α＝10，所以1＋6tan α＋9tan 2α1＋tan 2α＝10，所以tan α＝3. 15.(2021·嘉兴联考)已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________.答案－74 34 解析 sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∵α为钝角，∴34π<π4＋α<54π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－1－⎝⎛⎭⎫342＝－74.cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝34. 16.已知2θ是第一象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么tan θ＝________. 答案 22解析因为sin 4θ＋cos 4θ＝59，所以(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59. 所以sin θcos θ＝23，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝23，即tan θ1＋tan 2θ＝23，解得tan θ＝2或tan θ＝22. 又因为2θ为第一象限角，所以2k π<2θ<2k π＋π2，k ∈Z . 所以k π<θ<π4＋k π，k ∈Z . 所以0<tan θ<1.所以tan θ＝22.。

高三数学高考一轮复习资料：同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式[最新考纲]1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．三角函数的诱导公式辨析感悟1．对三角函数关系式的理解(1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. (×) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立． (×) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，则cos α＝35.(×)2．对诱导公式的认识(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角．(√)(5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．(√)(6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．(×) 3．诱导公式的应用(7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.(×)(8)(·广东卷改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝15，则cos α＝－15.(×) [感悟·提升]1．一点提醒平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)．2．两个防范一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定．考点一同角三角函数基本关系式的应用【例1】 (1)已知tan α＝2，则2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝___________，4sin 2 α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.(2)(·山东省实验中学诊断)已知sin θ·cos θ＝18，且π4＜θ＜π2，则cos θ－sin θ的值为________．解析 (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1，4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2 α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.(2)当π4＜θ＜π2时，sin θ＞cos θ， ∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－14＝34， ∴cos θ－sin θ＝－32. 答案 (1)－1 1 (2)－32规律方法 (1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． (2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．【训练1】 (1)已知sin α＋cos α＝15，0＜α＜π，则tan α＝______. (2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α＝________. 解析 (1)法一联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0.又0＜α＜π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75，由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β，① tan 2α＝9tan 2β，②由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③ ①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4，∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64. 答案 (1)－43 (2)±64考点二利用诱导公式化简三角函数式【例2】 (1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. (2)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析 (1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝1tan π6＝ 3. 答案 (1)1 (2) 3规律方法 (1)诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了． (2)诱导公式应用的步骤：锐角三角函数注意：诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号．【训练2】 (1)sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)＋tan(－1 089°)tan(－540°)＝________.(2)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝________.解析 (1)原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°· sin 261°＋tan 1 089°·tan 540°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)· sin(270°－9°)＋tan(3×360°＋9°)·tan(360°＋180°) ＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＋tan 9°·tan 180° ＝0＋0＝0.(2)原式＝tan αcos αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.答案 (1)0 (2)－1考点三利用诱导公式求值【例3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝______； (2)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________.解析 (1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12. (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案 (1)12 (2)－33规律方法巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【训练3】 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________； (2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________. 解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α，而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝23，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－11π12＝－23.(2)因为tan(π＋α)＝tan α＝－12，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝12. 答案 (1)－23 (2)121．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2 θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2 θ)＝tan π4＝….方法优化2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例】 (·浙江卷)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α＝( )．A.43B.34 C ．－34 D ．－43[一般解法] 由sin α＋2cos α＝102，得sin α＝102－2cos α，① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010.所以tan α＝sin αcos α＝3或－13.当tan α＝3时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×31－32＝－34；当tan α＝－13时，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝2×⎝⎛⎭⎪⎫－131－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝－34.综上，tan 2α＝－34.故选C.[优美解法] 法一(直接法)两边平方，再同时除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－13，代入tan 2α＝2tan α1－tan2α，得到tan 2α＝－3 4.法二(猜想法)，由给出的数据及选项的唯一性，记sin α＝310，cos α＝110，这时sin α＋2cos α＝102符合要求，此时tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.[答案] C[反思感悟] (1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用，如sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α及sin α＝tan α·cos α等．这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在．【自主体验】(·东北三校模拟)已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为()．A.23B．－23 C.13D．－13解析法一∵0＜θ＜π4，∴cos θ＞sin θ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝16 9，∴2sin θcos θ＝7 9，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，∴sin θ－cos θ＝－23.法二 ∵sin θ＋cos θ＝43，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.∴θ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝43，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝223，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13， ∴sin θ－cos θ＝－(cos θ－sin θ)＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－23.答案 B基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( )． A ．－32 B.32 C ．－12 D.12解析因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12. 答案 D2．(·临川一中一调)sin 29π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－29π3－tan 25π4＝( )．A ．0 B.12 C ．1 D ．－12 解析原式＝sin(4π＋5π6)＋cos(－10π＋π3)－tan(6π＋π4) ＝sin 5π6＋cos π3－tan π4＝12＋12－1＝0. 答案 A3．(·郑州模拟)1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝( )． A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2 解析1－2sin (π＋2)cos (π－2)＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2. 答案 A4．(·石家庄模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2 α－sin αcos α的值是( )．A.25 B ．－25 C ．－2 D ．2 解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2 α－sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α－tan αtan 2 α＋1＝25.答案 A5．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )．A.35B.53C.45D.54解析由5x 2－7x －6＝0，得x ＝－35或 2.∴sin α＝－35.∴原式＝cos α(－cos α)·tan 2αsin α·(－sin α)·(－sin α)＝1－sin α＝53.答案 B 二、填空题6．(·杭州模拟)如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A 的值是________．解析 ∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－A ＝－sin A ＝12. 答案 127．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13. 答案－138．(·江南十校第一次考试)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，且－π＜α＜－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝________.解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝13，又－π＜α＜－π2， ∴7π12＜π12－α＜13π12，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝－223. 答案－223三、解答题9．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)(k ∈Z )．解当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1.10．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，(2)由sin A cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0，∴sin A －cos A ＝75，②∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(·辽宁卷)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝()．A ．－1B ．－22 C.22 D ．1解析法一因为sin α－cos α＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.法二因为sin α－cos α＝2，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tan α＝－1.答案 A2．(·衡水质检)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( )． A.355 B.377 C.31010 D.13解析由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又sin 2α＋cos 2α＝1，α为锐角．故sin α＝31010.答案 C二、填空题3．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝45＋12＝912.答案 912三、解答题4．是否存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在角α，β满足条件，则由已知条件可得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β， ①②由①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式成立；当α＝－π4时，由②式知cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，此时①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件.。

高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)

三角函数公式1．同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin αcos α=tan α tan αcot α=12．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限)（一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin αcos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π2+α)＝cos αcos(π2 －α)＝sin α cos(π2 +α)＝- sin αtan(π2 －α)＝cot α tan(π2 +α)＝-cot αsin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π2 +α)＝-cos αcos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π2 +α)＝sin αtan(3π2 －α)＝cot α tan(3π2+α)＝-cot αsin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α3．两角和与差的三角函数cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)=tan α+tan β1－tan αtan βtan(α－β)=tan α－tan β1＋tan αtan β4．二倍角公式 sin2α=2sin αcos αcos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α1－tan 2α5．公式的变形（1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2sin2α＝1－cos2α2（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)〔1－tanαtanβ〕tanα－tanβ＝tan(α－β)〔1＋tanαtanβ) （4）万能公式〔用tanα表示其他三角函数值〕sin2α＝2tanα1+tan2αcos2α＝1－tan2α1+tan2αtan2α＝2tanα1－tan2α6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2sin(x+φ) (tanφ= b a)特殊地：sinx±cosx＝ 2 sin(x±π4)7．熟悉形式的变形〔如何变形〕1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα假设A、B是锐角，A+B＝π4，那么〔1＋tanA〕(1+tanB)=28．在三角形中的结论假设：A＋B＋C=π, A+B+C2=π2那么有tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan A2tanB2＋tanB2tanC2＋tanC2tanA2＝1三角函数的诱导公式1一、选择题1．如果|cos x |=cos 〔x +π〕，那么x 的取值集合是〔〕 A ．－2π+2k π≤x ≤2π+2k π B ．－2π+2k π≤x ≤2π3+2k πC ．2π+2k π≤x ≤2π3+2k π D ．〔2k +1〕π≤x ≤2〔k +1〕π〔以上k ∈Z 〕2．sin 〔－6π19〕的值是〔〕 A ．21 B ．－21 C ．23 D ．－23 3．以下三角函数：①sin 〔n π+3π4〕；②cos 〔2n π+6π〕；③sin 〔2n π+3π〕；④cos ［〔2n +1〕π－6π］；⑤sin ［〔2n +1〕π－3π］〔n ∈Z 〕．其中函数值与sin 3π的值相同的是〔〕 A ．①② B ．①③④ C ．②③⑤ D ．①③⑤4．假设cos 〔π+α〕=－510，且α∈〔－2π，0〕，那么tan 〔2π3+α〕的值为〔〕 A ．－36B ．36C ．－26 D ．26 5．设A 、B 、C 是三角形的三个内角，以下关系恒成立的是〔〕 A ．cos 〔A +B 〕=cos C B ．sin 〔A +B 〕=sin C C ．tan 〔A +B 〕=tan CD ．sin2B A +=sin 2C6．函数f 〔x 〕=cos 3πx〔x ∈Z 〕的值域为〔〕 A ．{－1，－21，0，21，1} B ．{－1，－21，21，1} C ．{－1，－23，0，23，1}D ．{－1，－23，23，1} 二、填空题7．假设α是第三象限角，那么)πcos()πsin(21αα---=_________． 8．sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=_________．三、解答题9．求值：sin 〔－660°〕cos420°－tan330°cot 〔－690°〕．10．证明：1)πtan(1)π9tan(sin 211cos )πsin(22++-+=--⋅+θθθθθ．11．cos α=31，cos 〔α+β〕=1，求证：cos 〔2α+β〕=31．12．化简：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21．13、求证：)π5sin()πcos()π6cos()π2sin()π2tan(θθθθθ+-----=tan θ．14．求证：〔1〕sin 〔2π3－α〕=－cos α；〔2〕cos 〔2π3+α〕=sin α．参考答案1一、选择题1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B 二、填空题7．－sin α－cos α 8．289 三、解答题 9．43+1． 10．证明：左边=θθθθ22sin cos cos sin 2-1--=－θθθθθθθθθθcos sin cos sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 2-+=-++，右边=θθθθθθθθcos sin cos sin tan tan tan tan -+=1-1+=1+-1--，左边=右边，∴原等式成立．11．证明：∵cos 〔α+β〕=1，∴α+β=2k π．∴cos 〔2α+β〕=cos 〔α+α+β〕=cos 〔α+2k π〕=cos α=31．12．解：︒+︒︒︒+790cos 250sin 430cos 290sin 21=)360270cos()70180sin()36070cos()36070sin(21︒⨯+︒+︒+︒︒+︒︒+︒-+=︒-︒︒︒-70sin 70cos 70cos 70sin 21=︒-︒︒-︒70sin 70cos )70cos 70(sin 2=︒-︒︒-︒70sin 70cos 70cos 70sin =－1．13．证明：左边=θθθθθθθθθθsin cos cos )sin )(tan ()sin )(cos ()cos()sin()tan(--=-----=tan θ=右边，∴原等式成立．14证明：〔1〕sin 〔2π3－α〕=sin ［π+〔2π－α〕］=－sin 〔2π－α〕=－cos α．〔2〕cos 〔2π3+α〕=cos ［π+〔2π+α〕］=－cos 〔2π+α〕=sin α．三角函数的诱导公式2一、选择题： 1．sin(4π+α)=23，那么sin(43π-α)值为〔〕 A.21 B. —21 C. 23 D. —23 2．cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为〔〕 A.23 B. 21 C. 23± D. —233．化简：)2cos()2sin(21-•-+ππ得〔〕A.sin2+cos2B.cos2-sin2C.sin2-cos2D.± (cos2-sin2) 4．α和β的终边关于x 轴对称，那么以下各式中正确的选项是〔〕 A.sinα=sinβ B. sin(α-π2) =sinβ C.cosα=cosβ D. cos(π2-α) =-cosβ 5．设tanθ=-2, 2π-<θ<0，那么sin 2θ+cos(θ-π2)的值等于〔〕， A. 51〔4+5〕 B. 51〔4-5〕 C. 51〔4±5〕 D. 51〔5-4〕二、填空题： 6．cos(π-x)=23，x ∈〔-π，π〕，那么x 的值为． 7．tanα=m ，那么=+-+++)cos(-sin()cos(3sin(απα）απ）απ ．8．|sinα|=sin 〔-π+α〕，那么α的取值范围是．三、解答题： 9．)cos(·3sin()cos()n(s 2sin(απα）παπα）π----+-απi ．10．：sin 〔x+6π〕=41，求sin 〔)67x +π+cos 2〔65π-x 〕的值．11．求以下三角函数值：〔1〕sin 3π7；〔2〕cos 4π17；〔3〕tan 〔－6π23〕；12．求以下三角函数值：〔1〕sin3π4·cos 6π25·tan 4π5；〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］.13．设f 〔θ〕=)cos()π(2cos 23)2πsin()π2(sin cos 2223θθθθθ-+++-++-+，求f 〔3π〕的值.参考答案21．C 2．A 3．C 4．C 5．A 6．±65π7．11-+m m 8．[(2k-1) π,2k π]9．原式=)cos (·sin()cos()n s (sin αα）παπα--+--αi =)cos ?(sin )cos (sin 2αααα--= sinα 10．161111．解：〔1〕sin 3π7=sin 〔2π+3π〕=sin 3π=23.〔2〕cos4π17=cos 〔4π+4π〕=cos 4π=22.〔3〕tan 〔－6π23〕=cos 〔－4π+6π〕=cos 6π=23.〔4〕sin 〔－765°〕=sin ［360°×〔－2〕－45°］=sin 〔－45°〕=－sin45°=－22. 注：利用公式〔1〕、公式〔2〕可以将任意角的三角函数转化为终边在第一象限和第二象限的角的三角函数，从而求值.12．解：〔1〕sin 3π4·cos 6π25·tan 4π5=sin 〔π+3π〕·cos 〔4π+6π〕·tan 〔π+4π〕 =〔－sin3π〕·cos 6π·tan 4π=〔－23〕·23·1=－43.〔2〕sin ［〔2n +1〕π－3π2］=sin 〔π－3π2〕=sin 3π=23.13．解：f 〔θ〕=θθθθθcos cos 223cos sin cos 2223++-++=θθθθθcos cos 223cos cos 1cos 2223++-+-+=θθθθθcos cos 22)cos (cos 2cos 2223++---=θθθθθcos cos 22)1(cos cos )1(cos 223++---=θθθθθθθcos cos 22)1(cos cos )1cos )(cos 1(cos 222++--++-=θθθθθcos cos 22)2cos cos 2)(1(cos 22++++-＝cos θ－1， ∴f 〔3π〕=cos 3π－1=21－1=－21.。

高考数学第一轮考点复习课件同角三角函数的基本关系式与诱导公式

同角三角函数的基本关系式与诱导公式
1.理解同角三角函数的基本关系式：
考纲
sin2x＋cos2x＝1，csoinsxx＝tanx.
要求
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
热点提示
同角三角函数的基本关系式和诱导公式是三角函数部分的重要基础知识，对三角函数的考查都会涉及到这部分知识，在高考中除了和其他知识一起综合考查外，有时也直接考查，直接考查时常以小题形式出现.
sinx＋cosx＝15 ① ， sin2x＋cos2x＝1 ② 由①得 sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得 25cos2x－5cosx－12＝0.
∵－π2<x<0，∴scionsxx＝＝－45 35
，
所以 sinx－cosx＝－75.
解法二：∵sinx＋cosx＝15，
∴(sinx＋cosx)2＝(15)2，
解：(1)f(α)＝sinα·ctaonsααs·(i－nαtanα)＝－cosα. (2)∵cos(α－32π)＝－sinα， ∴sinα＝－15，cosα＝－ 525－12＝－25 6， ∴f(α)＝25 6.
【例 1】已知 sin(3π＋α)＝2sin(32π＋α)，求下列各式的值．
(1)5ssiinnαα－＋42ccoossαα；(2)sin2α＋sin2α.
▪ 1．由一个角的一个三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围．
▪ 2.注意公式的变形使用，弦切互化、三角代换、消元是三角代换的重要方法，要尽量减少开方运算，慎重确定符号．
▪
▪ 3.注意“1”的灵活代换，如1＝sin2α＋ cos2α.
▪ 4.应用诱导公式时，重点是“函数名称” 与“正负号”的正确判断，一般常用“奇变偶不变，符号看象限”的口诀．

同角三角函数的基本关系与诱导公式高三数学第一轮复习教案人教版

同角三角函数的基本关系与诱导公式高三数学第一轮复习教案【复习目标】1. 掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；2. 能运用这些公式进行求值、化简与证明．【双基诊断】1、已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ= （）()A 423m m -- ()B 342m m -±- ()C 512- ()D 34-或512-2、化简sin tan tan (cos sin )cot s c c ααααααα+-++3、化简8sin 1-=_________.4、若ααsin sin 1-1+=ααcos sin 1+，则α的取值范围是_______.5、已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．6、设cos α=t ，则tan （π－α）等于A.tt 21-B.－t t 21-C.±tt 21-D.±21tt -7、已知cos α=31，且－2π＜α＜0，求ααααtan cos π2sin πcot ⋅-+⋅--）（）（）（的值.8、若tan α=，求值①ααcos ,sin ； ②cos sin cos sin αααα+-；③ 222sin sin cos cos αααα-+； ④ααcos sin +。

9、已知α是三角形的内角，且137cos sin -=+αα ，则tan α= ．10、已知sin α+cos α=51，那么角α是第______象限的角.11、已知x 是锐角，求函数)cos 34)(sin 34(x x y --=的最小值。

12、若cos130a =，则tan 50= （）()A()B ()C ()D13、设)cos()sin()(βπαπ+++=x b x a x f ，如果0)2007(=f ，则=)2008(f 。

14、已知1cos(75)3α+=，α是第三象限角，求cos(15)sin(15)αα-+-的值．15、已知32,cos(9)5παπαπ<<-=-，求11cot()2πα-的值．16、若(cos )cos 2f x x =，(sin15)f = （）()A 12 ()B 12- ()C ()D17、已知sin β=31，sin （α+β）=1，求sin （2α+β）的值.【深化拓展】1．()z n n n ∈⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简2．已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-βπαπ23cos 23sin 和()()βπα+-=-cos 2cos 3，且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值。

高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式

同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α=tan α， αααcot sin cos =，倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。

二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)．解原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ．例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32．变式1 条件同例，求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32 ，求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。

高三数学第一轮复习课时作业(17)同角三角函数的基本关系式与诱导公式

课时作业(十七) 第17讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间：35分钟分值：80分基础热身1．2011·衡水质检 cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝( ) A.12 B.32C ．－12D ．－322．已知△ABC 中，1tan A ＝－125，则cos A 等于( ) A.1213 B.513C ．－513D ．－12133．2011·山西四校联考已知sin α＋cos α＝2，则tan α＋cos αsin α的值为( ) A ．－1 B ．－2 C.12D ．2 4．2011·烟台调研若sin(π＋α)＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α＝________. 能力提升5．已知A 是△ABC 的内角，则“cos A ＝12”是“sin A ＝32”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π6的值为( ) A.13 B ．－13C.233 D ．－2337．已知f (α)＝sin(π－α)cos(2π－α)cos(－π－α)tan α，则f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值为( ) A.12 B ．－13C ．－12 D.138．2011·全国卷已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 9．2011·焦作联考已知cos α＝－513，且α是第二象限的角，则tan(2π－α)＝________.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2cos π3x (x ≤2000)，x －100(x >2000)，则ff (2012)＝________. 11．若tan α＝2，则11－sin α＋11＋sin α＝________. 12．(13分)已知sin α＝255，求tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α的值．难点突破13．(12分)已知函数f (n )＝sin n π6(n ∈Z )．求值： (1)f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (102)；(2)f (1)·f (3)·f (5)·…·f (101)．课时作业(十七)【基础热身】1．C 解析 cos ⎝⎛⎭⎫－20π3＝cos ⎝⎛⎭⎫6π＋2π3＝cos 2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12，故选C. 2．D 解析由1tan A ＝－125，得tan A ＝－512<0，则A 为钝角，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，sin A ＝cos A tan A ，得cos 2A ＝11＋tan 2A ＝11＋⎝⎛⎭⎫－5122＝144169，因为A 为钝角，则cos A ＝－1213，故选D. 3．D 解析由sin α＋cos α＝2，得1＋2sin αcos α＝2，即2sin αcos α＝1，∴tan α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α＝2，故选D. 4．－33 解析由sin(π＋α)＝12，得sin α＝－12， ∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝32，tan α＝sin αcos α＝－33. 或由sin α＝－12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得α＝－π6，tan α＝－tan π6＝－33.【能力提升】5．A 解析 ∵A 是△ABC 的内角，cos A ＝12， ∴0<A <π2，sin A ＝1－cos 2A ＝32，若sin A ＝32，则cos A ＝±1－sin 2A ＝±12，故选A. 6．A 解析 ∵π3＋α＝π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－13，∴sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，故选A. 7．C 解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos αtan α＝－cos α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12，故选C. 8．－55 【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 9.125 解析由α是第二象限的角，得sin α＝1－cos 2α＝1213，tan α＝sin αcos α＝－125，则 tan(2π－α)＝－tan α＝125.10．－1 解析由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2cos π3x (x ≤2000)，x －100(x >2000)得f (2012)＝2012－100＝1912，f (1912)＝2cos ⎝⎛⎭⎫1912×π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫636π＋43π＝2cos 43π＝－1，故ff (2012)＝－1. 11．10 解析原式＝2(1－sin α)(1＋sin α)＝21－sin 2α＝2cos 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)cos 2α＝2(tan 2α＋1)＝2×(4＋1)＝10.12．解答 ∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝55， tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α ＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝52. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.【难点突破】13．解答 (1)∵sin (n ＋12)π6＝sin ⎝⎛⎭⎫n 6π＋2π＝sin n 6π，∴f (n ＋12)＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (12)＝0，又102＝8×12＋6，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (102)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3. (2)∵f (2n －1)＝sin (2n －1)π6，其周期为6， f (1)·f (3)·…·f (11)＝12×1×12×⎝⎛⎭⎫－12×(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫124. 从1到101有51个奇数，而51＝6×8＋3，∴原式＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫1248·f (1)·f (3)·f (5)＝⎝⎛⎭⎫1234.。

高考数学一轮复习同角三角函数的基本关系与诱导公式

6
2
－cos α）2＝1－2sin αcos α＝，∴sin α－cos α＝ .
答案 D
目录
｜解题技法｜
“sin α±cos α，sin α·cos α”之间关系的应用
sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即（sin α±cos α）2＝
(sin+cos)2 −1
3cos−sin
3−tan
）
1
2
α＝2，故cos α＋ sin
2
2α＝
cos2 +sincos
1+tan
3
＝
＝，故选A.
cos2 +sin2
1+tan2 5
答案 A
目录
｜解题技法｜
利用“齐次化切”求齐次式值的方法
（1）若齐次式为分式，可将分子与分母同除以cos α的n次幂，将分式的分子与
π
2
（4）sin α＝tan αcos α ≠ + π,∈ .
2.（1）sin（kπ＋α）＝（－1）ksin α（k∈Z）；
（2）cos（kπ＋α）＝（－1）kcos α（k∈Z）.
目录
⁠
1.已知sin α，cos α是方程3x2－2x＋a＝0的两个根，则实数a的值为
5
A.
6
5
B.－
6
4
3
2 2
，所以tan
3
二象限角，所以cos α＝－
2 2
α＝± ，又α为第
3
sin
2
＝－ .故选D.
cos
4
α＝
目录
3.已知sin
π
−
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届高三数学一轮复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式

届高三数学一轮复习：同角三角函数的基本关系与诱导公式一、同角三角函数的基本关系式sin 1.平方关系：2α+cos2α=1(α∈R) . π sin α α≠kπ+ ,k∈Z tan α= 2 cos α . 2.商数关系：二.六组诱导公式角函数2π-απ+α-απ-απ -α 2π +α 2正弦-sin α-sin α-sin α cos α -tan αsin αcos αcos α余弦-cos α -cos α 正切-tan α-cosα sin α-sinα-cot αtan α-tanαcot αkπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变2 偶不变，符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”.[小题能否全取]1.sin 585°的值为2 A.- 2 3 C.- 2 2 B. 2 3 D. 2()解析：sin 585° =sin(360° +225° ) =sin 225° =sin(180° +45° )=-sin 45° 2 =- . 2答案：A2.(教材习题改编)已知sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), π |θ| ,则θ 等于2 πA.- 6π C. 6(π B.- 3 π D. 3)解析：∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ), ∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ| ,∴θ= . 2 3 答案：D3.已知tanπ sin 2+θ -cos π-θ θ=2,则=( π sin 2-θ -sin π-θ)A.2 C.0B.-2 2 D. 3cos θ+cos θ 2 2 解析：原式= = = =-2. cos θ-sin θ 1-tan θ 1-2答案：B4.记cos(-80° )=k,那么tan 100° =1-k2 A. k 1-k2 B.- k()k k C. D.- 2 1-k 1-k2 解析：∵cos (-80° )=cos 80° =k,∴sin 80° 1-k2, = 1-k2 ∴tan 80° = k . 1-k2 而tan 100° =-tan 80° =- k .答案：B3π 3 5. (2022年重庆高考)若cos α=- , α∈ π, 2 , tan α 且则5=________.4 解析：依题意得sin α=- 1-cos α=- , 52sin α 4 tan α= = . cos α 34 答案：3应用诱导公式时应注意的问题(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号―脱周期―化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.[例1] =1 (1)(2022年江西高考)若tan θ+ =4, sin 2θ 则tan θ ( )1 A. 5 1 C. 31 B. 4 1 D. 2(2)已知sin(3π+α)=2sin =________.3π +α 2sin α-4cos α ,则5sin α+2cos α[自主解答]1 (1)∵tanθ+ =4, tan θsin θ cos θ ∴ + =4, cos θ sin θ sin2θ+cos2θ 2 ∴ =4,即=4, cos θsin θ sin 2θ 1 ∴sin 2θ= . 2(2)法一：由3π sin(3π+α)=2sin 2 +α 得tan α=2.tan α-4 2-4 1 原式= = =- . 6 5tan α+2 5×2+2法二：由已知得sin α=2cos α. 2cos α-4cos α 1 原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α[答案] (1)D 1 (2)- 6在(2)的条件下，sin2α+sin 2α=________.sin2α+2sin αcos α 解析：原式=sin2α+2sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α+2tan α 8 = = . 5 tan2α+18答案： 51.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦sin α 的互化，利用=tan α可以实现角α的弦切互化. cos α2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子，利用(sinα±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用：1=sin2α+cos2α, sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.1.(1)(2022年长沙模拟)若角α 的终边落在第三象限，则cos α 2sin α 2 + 2 的值为1-sin α 1-cos α ( )A.3 C.1B.-3 D.-1(2)(2022年厦门模拟)已知sin αcos α 等于2 A.- 5 2 2 C. 或- 5 5π sin(3π-α)=-2sin 2+α ,则(2 B. 5 1 D.- 5)解析：(1)由角α 的终边落在第三象限得sin α0,cos α0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α| |sin α| -cos α -sin α π (2)∵sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin 2+α ,∴sinα=-2cossin αcos α tan α α,∴tan α=-2,∴sin αcosα= 2 = = sin α+cos2αtan2α+1 2 - . 5答案：(1)B(2)A[例2](1)3π tan π+α cos 2π+α sin α- 2cos -α-3π sin -3π-α=________.sin kπ+α cos kπ+α (2)已知A= + (k∈Z),则A sin α cos α 的值构成的集合是( )A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2}B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2}[自主解答] tan αcos =(1)原式π αsin -2π+ α+2cos 3π+α [-sin 3π+α ] π αsin 2+αtan αcos =-cos α sin αtan αcos αcos α = -cos α sin αtan αcos α sin α cos α =- =- =-1. sin α cos α sin α。

[最新]高考数学一轮复习专题17同角三角函数的基本关系与诱导公式

[最新]高考数学一轮复习专题17同角三角函数的基本关系与诱导公式专题17同角三角函数的基本关系与诱导公式? π? 1.已知cosα＝k，k∈r、α∈?，π?，那么sin（π+α）＝（）？2.a．－1－k2b、 1－k2c．±1－k2d．－k分析：cosα＝k，α∈?? π? 2，π得sinα＝1－k2，∴sin(π＋α)＝－sinα＝－1－k2答：a2．已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sinα的值是(a.13b.31010c。

377d.35三答案：b3.已知Tanα＝35，则sin2α＝()a、 1517b.-1517c.-8817d。

十七解析：sin2α＝2sinαcosα2×（－3sin2α＋cos2α＝2tanα5）15tan2α＋1＝1。

（－35）2＋1回答：B)-1-π4．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sinα等于()3a.－33b。

2211c．－d.22π-π分析：因为α和β的终端边缘关于直线y=x对称，所以α＋β＝2Kπ+（K∈ z）。

β＝235π1所以α＝2kπ＋(k∈z)，即得sinα＝.62答案：d1.π? 5.已知sin（π-α）＝Log4和α∈?－，然后Tan（2π-α）的值是（）2?2?a．－33b、 333d.33c、±6．若θ∈?a.? π，π?，sin2θ＝3，那么sinθ的值是（）4427-12b.447＋17d、 44c.? ππ? 二解析：由θ∈?，?，知sinθ＋cosθ＞0，sinθ－cosθ＞0.又(sinθ＋cosθ)42＝1＋2sinθcosθ＝14十二(sinθ－cosθ)＝1－2sinθcosθ＝，四-2-∴sinθ＋cosθ＝答案：C717＋1，且sinθ－cosθ＝，从而sinθ＝.2241cosθ7．若sinθcosθ＝，则tanθ＋的值是________．2sinθcosθsinθcosθone解析：tanθ＋＝＋＝＝2.sinθcosθsinθcosθsinθ答案：218.直线2x-y+1=0的倾角为θ，则2的值为_2sinθ-cosθ分析：根据问题的意义，Tanθ＝2，则1二sinθ－cosθ222二sinθ＋cosθtanθ＋15＝＝2＝.22sin－cosθtanθ－135答案：39.已知θ是锐角，sin（θ－）＝，然后tan2θ＝_______;。

2013届高考数学一轮复习教案4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式

§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：__________________________.(2)商数关系：__________________________.2.下列各角的终边与角α的终边的关系3.1.同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的关系是由三角函数的定义决定的.例如：∵sin α＝y r ，cos α＝xr ，∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r2＝1.(2)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定.(3)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法. 2.三角函数诱导公式f ⎝⎛⎭⎫k2π＋α (k ∈Z )的本质三角函数诱导公式f ⎝⎛⎭⎫k2π＋α (k ∈Z )的本质是：奇变偶不变，符号看象限. 对诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”含义的理解：即诱导公式的左边为π2·k＋α (k ∈Z )的正弦或余弦函数，当k 为奇数时，右边的函数名称正余互变；当k 为偶数时，右边的函数名称不改变，这就是“奇变偶不变”的含义，再就是将α“看成”锐角(可能并不是锐角，也可能是大于锐角也可能小于锐角还有可能是任意角)，然后分析π2·k ＋α (k ∈Z )为第几象限角，再判断公式左边这个三角函数(原函数)在此象限是正还是负，也就是公式右边的符号.诱导公式的应用是：求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2k π＋α，0≤α<2π；②转化为锐角.1.若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.2.若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________.3. tan(－1 560°)＝________.4.(2010·全国Ⅱ)已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________.5.sin 43π·cos 56π·tan ⎝⎛⎭⎫－43π的值是( )A.－334B.334C.－34D.34题型一同角三角函数的基本关系式的应用例1 已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.(1)求tan α的值；(2)把1cos 2α－sin 2α用tan α表示出来，并求其值.探究提高 (1)对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子.(1)已知tan α＝2，求sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α；(2)已知sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，求cos α. 题型二三角函数的诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值. 探究提高熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成败的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫α－3π2cos (－α－3π)sin (－3π－α)；(2)已知f (x )＝sin (π－x )cos (2π－x )tan (－x ＋π)cos ⎝⎛⎭⎫－π2＋x ，求f ⎝⎛⎭⎫－31π3的值. 题型三三角函数式的化简与证明例3 求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan θ＝1sin θ＋1cos θ.探究提高证明三角恒等式离不开三角函数的变换.在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化.要细心观察等式两边的差异，灵活运用学过的知识，使证明简便.证明下列恒等式：(1)1＋2sin (360°＋x )cos (360°＋x )cos 2(360°＋x )－sin 2(360°＋x )＝1＋tan x1－tan x；(2)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)＝－tan α.10.分类讨论思想和整体、化归思想在三角函数式化简中的应用试题：(1)(10分)化简：sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α (n ∈Z )； (2)(10分)化简：sin (n π－α)cos[(n －1)π－α]sin[(n ＋1)π＋α]cos (n π＋α) (n ∈Z ).审题视角 (1)角中含有变量n ，因而需对n 的奇偶分类讨论.(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看. 规范解答解 (1)当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则[1分]原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋14π－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. [4分] 当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1 (k ∈Z )时，[5分]原式＝sin ⎝⎛⎭⎫8k ＋34π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫8k ＋54π－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎣⎡⎦⎤2k π＋⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＋cos ⎝⎛⎭⎫5π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. [9分]故sin ⎝⎛⎭⎫4n －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4n ＋14π－α＝0. [10分] (2)当n ＝2k (k ∈Z )时，[1分]原式＝sin (2k π－α)cos[(2k －1)π－α]sin[(2k ＋1)π＋α]cos (2k π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；[4分] 当n ＝2k ＋1 (k ∈Z )时，[5分]原式＝sin[(2k ＋1)π－α]·cos[(2k ＋1－1)π－α]sin[(2k ＋1＋1)π＋α]·cos[(2k ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1. [9分] 综上，原式＝－1.[10分]批阅笔记 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用了分类讨论的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中，考生缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用的方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换： 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ ＝tan π4＝….3.证明三角恒等式的主要思路有：(1)左右互推法：由较繁的一边向简单一边化简；(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子；(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明. 失误与防范1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.答案要点梳理1.(1)sin 2α＋cos 2α＝1 (2)sin αcos α＝tan α2.相同关于原点对称关于x 轴对称关于y 轴对称关于直线y ＝x 对称3.1.－352.343.34.－2555.A题型分类·深度剖析例1 解 (1)方法一联立方程 ⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15 ①sin 2α＋cos 2α＝1 ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形内角，∴sin α>0，∴⎩⎨⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.方法二 ∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝⎝⎛⎭⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α ＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225<0且0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝75，由⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15sin α－cos α＝75，得⎩⎨⎧sin α＝45cos α＝－35，∴tan α＝－43.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α ＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α， ∵tan α＝－43，∴1cos 2α－sin 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257. 变式训练1 解 (1)sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－2tan 2α＋1＝45.(2)∵sin α＝2sin β，tan α＝3tan β， ∴sin 2α＝4sin 2β， ① tan 2α＝9tan 2β，② 由①÷②得：9cos 2α＝4cos 2β，③①＋③得：sin 2α＋9cos 2α＝4， ∵cos 2α＋sin 2α＝1，∴cos 2α＝38，即cos α＝±64.例2 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.变式训练2 解 (1)原式＝tan αcos αsin ⎣⎡⎦⎤－2π＋⎝⎛⎭⎫α＋π2cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)∵f (x )＝sin x ·cos x ·(－tan x )sin x＝－cos x ·tan x ＝－sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫－31π3＝sin 31π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫10π＋π3＝sin π3＝32. 例3 证明左边＝sin θ⎝⎛⎭⎫1＋sin θcos θ＋ cos θ⎝⎛⎭⎫1＋cos θsin θ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ＝⎝⎛⎭⎫sin θ＋cos 2θsin θ＋⎝⎛⎭⎫cos θ＋sin 2θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋cos 2θ＋sin 2θcos θ＝1sin θ＋1cos θ＝右边. 变式训练3 证明 (1)左边＝ cos 2x ＋sin 2x ＋2sin x cos xcos 2x －sin 2x＝(cos x ＋sin x )2(cos x ＋sin x )(cos x －sin x ) ＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x 1－tan x ＝右边. ∴原式得证.(2)左边＝－tan αsin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－tan α(－sin α)cos α－cos αsin α＝－tan α＝右边.∴原式得证.高∴考╬试≧题じ库。