材料力学(刘鸿文)08章-组合变形
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材料力学(刘鸿文)第八章 组合变形
Fy Fz ∥ A 是剪力，按横力弯曲切应力公式计算切应力；
y , z 矢量叠加；
各力矩对应的变形
z
M x与x 重合， 对应扭转变形
Mx Fx
Fz Mz
x
M x 扭 矩T
y
My Fy
P
My与x 垂直， 对应弯曲变形;
以y轴为中性轴.
弯矩 M y
；
M z 垂直于x轴， 对应另一个方向的弯曲变形；
_+ _+
z ++
++
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
P1 P2
m
m
ze
b
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
m
m
m
P1 +P2
+=
t,max
c,max
t ,max
Fl Wy
F A
c,max
Fl Wy
F A
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[t ]
c,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力
Fx F Fy
y , z 矢量叠加；
各力矩对应的变形
z
M x与x 重合， 对应扭转变形
Mx Fx
Fz Mz
x
M x 扭 矩T
y
My Fy
P
My与x 垂直， 对应弯曲变形;
以y轴为中性轴.
弯矩 M y
；
M z 垂直于x轴， 对应另一个方向的弯曲变形；
_+ _+
z ++
++
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
P1 P2
m
m
ze
b
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
m
m
m
P1 +P2
+=
t,max
c,max
t ,max
Fl Wy
F A
c,max
Fl Wy
F A
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[t ]
c,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力
Fx F Fy
材料力学(刘鸿文_第5版)
第十四章 习题
2012年11月5日星期一
常州大学机械学院力学教研室
第五章 习题
第六章 弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 §6-2、挠曲线的微分方程 §6-3、用积分法求弯曲变形 6.1和连续性条件 6.3(a) Page 196 §6-4、用叠加法求弯曲变形 6.9(a) 6.10(b) Page 200 §6-5、简单超静定梁 Page 208 6.36 §6-6、提高弯曲刚度的一些措施
第十三章 习题
§13-1、概述 §13-2、杆件应变能的计算104 Page §13-3、应变能的普遍表达式 §13-4、互等定理 Page 106 §13-5、卡氏定理 Page 107 §13-6、虚功原理 §13-7、单位载荷法 Page 109 莫尔积分 §13-8、计算莫尔积分的图乘法 Page 109
第一章 绪论
§1-1、材料力学的任务 §1-2、变形固体的基本假设 §1-3、外力及其分类 §1-4、内力、截面法和应力的概念 §1-5、变形与应变 §1-6、杆件变形的基本形式
第一章 绪论习题
Page 11 1.2 Page 11 1.4 1.6
第二章 拉伸、压缩与剪切 第二章 习题
§2-1、轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2-2、轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力 2.2 Page 53 2.1(a)(c) §2-3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 Page 54 2.6 §2-4、材料拉伸时的力学性能 §2-5、材料压缩时的力学性能 §2-7、失效、安全因数与强度计算54 2.7 Page 54 2.12 Page §2-8、轴向拉伸或压缩时的变形 58 2.19 Page 61 2.30 Page
附录 I 平面图形的几何性质
材料力学2-第八章-组合变形PPT课件
x
z
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
② 应力
My引起的应力：
MyzMzcojs
Iy
Iy
M z引起的应力：
MzyMysijn
Iz
Iz
合应力： M(zcoj sysijn)
Iy
Iz
m
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
③ 中性轴方程 M(z0cojsy0sijn)0 中性轴
Iy
Iz
D2
tg y0 Iz ctgj
均布力作用， []=12MPa，许可挠度为L/200 ，E=9GPa，试选
择截面尺寸并校核刚度。
解：① 外力分析—分解q
yq
z
26°34´
q
A
B
L
qyqsin 80 0.0 44 375 N8/m
q z q co 8 s 0 0 .8 0 9 74 N 15 /m
Mzmaxqy8L235838240N 3m Myma xqz8L271 83 5280N4m
az
中性轴
1 yP y0 zPz0 0
iz2
iy2
ay
截面核心
已知 ay， az 后 ，
z
1
yPa y
i
2 z
0
1
z
Pa
i
2 y
z
0
P(zP,yP)
可求 P力的一个作用点 (zP,yP)
y
利用以上关系可确定截面核心的边界
例3 分别确定圆截面与矩形截面的截面核心.
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第八章组合
33
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横 向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合 变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。
34
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当 大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。
20
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕 通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相 互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点 处弯曲正应力为零。
态，故可把t,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度
条件。
37
材料力学Ⅰ电子教案
Ⅱ.偏心拉伸(压缩)
第八章 组合变形及连接部分的计算
偏心拉伸或偏心压缩是 指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。
图a所示等直杆受偏心 距为e的偏心拉力F作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
P
P
P
e
Pe
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-4 扭转和弯曲的组合变形
机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合 变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴 便是一种典型的情况。土建工程中发生扭－弯组合变形的杆件 往往是非圆截面的。
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横 向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合 变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。
34
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当 大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。
20
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕 通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相 互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点 处弯曲正应力为零。
态，故可把t,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度
条件。
37
材料力学Ⅰ电子教案
Ⅱ.偏心拉伸(压缩)
第八章 组合变形及连接部分的计算
偏心拉伸或偏心压缩是 指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。
图a所示等直杆受偏心 距为e的偏心拉力F作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
P
P
P
e
Pe
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-4 扭转和弯曲的组合变形
机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合 变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴 便是一种典型的情况。土建工程中发生扭－弯组合变形的杆件 往往是非圆截面的。
9.刘鸿文版材料力学-组合变形
xM
z
Mzy Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
偏心拉（压） 截面核心 中性轴方程
对于偏心拉压问题
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
P PyP y0 PzP z0 P yP y0 z P z0 (1 2 2 )0 2 2 A Aiz Aiy A iz iy
y
z P az 0 1 2 0 iy
可求 P力的一个作用点 ( zP , yP )
50
偏心拉（压） 截面核心 例3 如图所示偏心受压短柱的截面为矩形，试确定截面核心。 解： 矩形截面的对称轴即为形心主惯性轴，且 b2 h2 2 iy , i z2 12 12 若中性轴与AB边重合，则中性轴 在坐标轴上的截距分别是 h cy , az 2 代入公式，得力的作用点a的坐标是
P（zP， yP） y
y P y0 zP z0 2 0 1 2 iz iy
i ay , az y FP z FP
48
2 z
2 iy
偏心拉（压） 截面核心 危险点
（距中性轴最远的点）
P Mz My L max A Wz Wy P Mz My y max A Wz Wy
20 20
解：内力分析如图 y
yC
z P
100
坐标如图，挖孔处的形心
201020 zC 5mm 100102010
N M
101003 I yC 10100 52 12
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
P
M 5P 3 500Nm 10
刘鸿文《材料力学》(第5版)章节题库(组合变形)【圣才出品】
第8章 组合变形一、解答题1．矩形截面梁如图8-1（a ）所示。
已知：q ＝2kN ／m ，P 0＝240kN ，P 1＝160kN ，P 2＝4kN ，b ＝12cm，l ＝2m ，h ＝16cm 。
求梁内的最大拉应力和压应力以及危险截面上中性轴的位置。
图8-1解：梁的固定端为危险截面，其上的内力为危险截面上M y 和M z所引起的应力的正、负号如图8-1（b ）所示。
从图中可以看出，最大拉应力发生在第一象限的角点A ，最大压应力发生在第四象限的角点B 。
对于危险截面，N ＜0、M y ＞0、M z ＞0；而矩形截面的惯性半径的平方所以，中性轴n －n 在z 轴和y 轴的截距分别为2．简易摇臂吊车如图8-2（a ）所示，吊重F ＝8 kN ，梁由两根槽钢组成，许用应力[σ]＝120 MPa 。
试按正应力强度条件选择槽钢的型号。
图8-2解：梁AB 的受力简图如图8-2（b ）所示，由平衡方程∑M A ＝0，得F （2．5＋1．5）－F C sin30°×2．5＝0F C ＝25．6 kN力F Cr 在x ，y 方向的分量分别为F xC ＝F C cos30°＝22．2kNF Cy ＝F C sin30°＝12．8 kNAB 梁受轴力F Cr ，横向力F 及F Cy作用发生压缩与弯曲组合变形，其轴力图和弯矩图如图8-2（c）所示，危险截面是C 截面。
C 截面的压缩应力和最大弯曲正应力分别为压缩和弯曲的组合应力为有两个未知参数，可先不考虑轴力的影响，按弯曲应力选取即得W z ≥10×1044 mm 3每根槽钢w'z ≥5×104mm 3，查型钢表，选取12．6槽钢，其W'z ＝6．2×104mm 3，A ＝1569 mm 2。
根据压缩和弯曲的组合应力进行校核强度满足，选定12．6槽钢。
3．偏心拉伸杆，弹性模为E ，尺寸、受力如图8-3所示，试求：（1）最大拉应力和最大压应力的位置和数值；（2）AB 长度的改变量。
材料力学第8章 组合变形_OK
作用在横梁上的力有载荷F，拉杆的 拉力FB，支座C的反力FCx、FCy，将 B点的作用力分解为FBx、FBy。可以 将作用在BC梁上的力分为两组：F、
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章 组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章 组合变形 应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲 应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度， 就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]
14
FBy、FCy使梁发生弯曲变形。FBx、F
第8章 组合变形
由静平衡方程可求得
FB 40kN FCx FBx FBcos30 34.6kN
略不计。将以上两项正应力叠加后
就得到横截面上任意点的总应力为
' " FN (x) M z (x) y
（8－1）
A
Iz
式中A为横截面面积，Iz为截面对z轴的惯性矩。叠加后的正
应力分布如图8－4(d)所示。
11
第8章梁组发合变生形弯曲变形时固定端处弯
矩最大，固定端处为弯曲的危险截
面；由于轴力是常量，每个横截面
M
Wz
32M
d 3
31.29MPa
30
第8章 组合变形 应力叠加后，最大拉应力发生在立柱的右侧，其值为
t max 32.51MP a t
最大压应力发生在立柱的左侧，其值为
c max 30.07MP a c
由此例可以看出，偏心拉压中的偏心距越大，弯曲 应力所占比例就越高。因此，要提高偏心拉压杆件的强度， 就应尽可能减小偏心距或尽量避免偏心受载。
第8章(4）组合强变形度计算。由型钢表查得N
o20a号工字钢横截面面积A=35.5cm2
=35.5×10-4m2，抗弯截面系数Wz=23
7cm3=237×10-6m3。危险截面J的上
边缘各点的应力为 σcmax
FN A
M max W
3354.5.6110034
28103 237106
9.75118.14127.9MPa[σ]
拉(压)与弯曲的组合
max
F
M
114.3 48.98
163.3MPa [ ] 140MPa
正应力分布图如下：
下边缘应力为：
max
F
M
114.3 48.98
65.3MPa(拉应力)
讨论：
显然，钢板的强度不够；引起应力增 大的原因是偏心距造成的。因此，解 决此类问题就是消除偏心距，如左：
max
FN A
弯扭组合的危险点可代第三或第四强度理论公式
材料力学电子教程
第八章 组合变形
三、弯扭组合强度计算准则
强度公式推导： – 由应力公式
max
min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
得：
1 3
1 2
2 4 2
第三强度理论：
❖ σr3 =σ1-σ3≤[σ] 得： r3 2 4 2
第四强度理论：
M=FNe=400kN.mm
FN引起的应力
F
FN A
F (b t)
80 10 3 10 (80 10)
114.3MPa
M引起的应力
M
M Wz
F e (b t)2
80 10 3 5 10 (80 10)2
48.98MPa
6
6
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第八章 组合变形
例8-2（续）
因此，最大拉应力为（上缺口最低点）：
第八章 组合变形
解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解
Py P sin Pz P cos
2.分别研究两个平面弯曲 （1）内力
Mz Py(L x) P(L x)sin Msin M y M cos
8 组合变形简练版
M 2 T 2
W
r4
M W
2
3
T WP
2
M 2 0.75T 2
W
（4）
材料力学 第八章 组合变形
例8-4-1 图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切 向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的 点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直径 dD=200 mm。已知许用应力 [s ]=100 MPa。试按第四 强度理论求轴的直径。
1.5ｍ
M A 0, Fcy 18kN, Fcx 24kN
做弯矩图和轴力图，危险截面 为C点左侧截面。
2ｍ
1ｍ
注意：求工字钢截面几何尺寸 时，因为A、W不可能同时获 得，所以不能同时考虑弯矩与 轴力条件，可先按弯曲强度条 件试算，再按弯压组合进行强 度校核。
12kN .m
24kN
例6.2图
P P 500
z yc
c
y
h
材料力学 第八章 组合变形
解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。
最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b 处，其值分别为
a b
P A
P A
Pe y c Iz
Pe y 2 Iz
32.3MPa 53.5MPa
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M 2 T 2 W d 3
W
32
d 3
32
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(组合变形)【圣才出品】
Iz
（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算 危险点通常位于截面上距中性轴最远处。 （1）强度条件 危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。 （2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章 组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理 组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变 形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析 横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较 小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析 （1）拉伸正应力：
（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算 危险点通常位于截面上距中性轴最远处。 （1）强度条件 危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。 （2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章 组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理 组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变 形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析 横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较 小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析 （1）拉伸正应力：
材料力学刘鸿文(第四版)课件ch8
m
m
y
与 My 相应的正应力为
My σ'= z Iy
与 Mz 相应的正应力为
σ"= − M z y
Iz
m MZ
z
o
z
My
y C ( y,z )
m
y
C 点处的正应力为
My Mz σ =σ'+σ"= z− y Iy Iz
三、 横截面上中性轴的位置 假设点 假设点 e ( z0 ,y0 ) 为中性轴
z
R RA
NAB
中间截面为危险截面。 中间截面为危险截面。最大压应力
S
A
300
B
发生在该截面的上边缘。 发生在该截面的上边缘。 截面的上边缘
D HA
P
C
压缩正应力
0.866P HA =− σ =− A A
最大弯曲正应力
A
300 D
B
1.2m
1.2m
0.6P 1.2RA =± σ Wmax = ± Wz Wz
n
压
在截面外侧有最大压应力
P 425×12.5P − ≤ [σC] σC max =σ′+σ′′C max = 15 5310
所以取 [P] ≤ 45.1 KN
[P] ≤ 171.3 KN
补充：圆形截面在两个相互垂直平面内的弯曲 补充：圆形截面在两个相互垂直平面内的弯曲
双对称截面梁 在水平和垂直两纵向对称面内同时受 横向外力作用， 横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向 对称面内发生对称弯曲。 对称面内发生对称弯曲。 斜弯曲。 两相互垂直平面内的弯曲也称 斜弯曲。
z0
y
z1
P P
350 150
刘鸿文材料力学第五版课件
z A 1kN· m 5kN C 1kN· m B D x
z
5kN A CC 10kN B 3.64kN D
D
x
y
1.82kN 300mm
300mm
100mm
3.64kN
1 kN· m使轴产生扭转
y 1.82kN 10kN
§8-4 扭转与弯曲的组合
（3）绘制轴的内力图
z 5kN
3.64kN
1kN· m B D x
第八章 组合变形
§8-3 偏心压缩 §8-4 扭转与弯曲的组合
北京交通大学工程力学研究所
柯燎亮
§8-3 偏心压缩
一、偏心拉（压）
1.定义 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时, 将引起轴向 拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形. 例如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。 F
F2
F1
O1
z A(yF,zF) y
M max 20kN m
πD W (1 4 ) 32
3
15kN· m
+
扭矩
20kN· m
-
r3
M2 T2 157.26MPa [ ] W
弯矩
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题2 传动轴如图所示.在A处作用一个外力偶矩Me=1kN· m,皮 带轮直径D=300mm,皮带轮紧边拉力为F1,松边拉力为F2.且 F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力[]=160MPa.试用第三强度理论设 y 计轴的直径
§8-3 偏心压缩
2. (外力分析)以横截面具有两对称轴的等直杆受偏心拉力 F 为例
（1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种 基本变形形式 轴向拉力 F 力偶矩 M = F e，
z
5kN A CC 10kN B 3.64kN D
D
x
y
1.82kN 300mm
300mm
100mm
3.64kN
1 kN· m使轴产生扭转
y 1.82kN 10kN
§8-4 扭转与弯曲的组合
（3）绘制轴的内力图
z 5kN
3.64kN
1kN· m B D x
第八章 组合变形
§8-3 偏心压缩 §8-4 扭转与弯曲的组合
北京交通大学工程力学研究所
柯燎亮
§8-3 偏心压缩
一、偏心拉（压）
1.定义 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时, 将引起轴向 拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形. 例如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。 F
F2
F1
O1
z A(yF,zF) y
M max 20kN m
πD W (1 4 ) 32
3
15kN· m
+
扭矩
20kN· m
-
r3
M2 T2 157.26MPa [ ] W
弯矩
§8-4 扭转与弯曲的组合
例题2 传动轴如图所示.在A处作用一个外力偶矩Me=1kN· m,皮 带轮直径D=300mm,皮带轮紧边拉力为F1,松边拉力为F2.且 F1=2F2,l=200mm,轴的许用应力[]=160MPa.试用第三强度理论设 y 计轴的直径
§8-3 偏心压缩
2. (外力分析)以横截面具有两对称轴的等直杆受偏心拉力 F 为例
（1）将外力向截面形心简化,使每个力（或力偶）只产生一种 基本变形形式 轴向拉力 F 力偶矩 M = F e，
材料力学-8组合变形
C2
C1
对于许用拉、压应力相等的材
C3
料，可取任意点C1 来研究。
C2
A截面
C3 C4
C1
T C4
C2
C1 点处于平面应力状态
26
三、强度分析
1、主应力计算
1 ( )2 2 1 2 4 2
3 2
2
22
2 0
2、相当应力计算
1 、拉伸正应力 ' FN
A
2、弯曲正应力 '' M y
Iz
' '' FN M y
A Iz
( z,y)
M
z
0
x
FN
y
z
z 单向应力状态
9
强度条件
由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态， 故其强度条件为
max [ ] （拉压等强度材料）
当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时， 应分别建立杆件的抗拉、 抗压强度条件。
一、受力特点 作用在杆件上的外力既有轴向拉( 压 )力，还有横向 力
二、变形特点 杆件将发生拉伸 (压缩 ) 与弯曲组合变形
7
内力分析
横截面上内力 1、拉(压) ：轴力 FN
弯矩 M
2、弯曲 剪力
M
z
0
x
FN
y
因为剪力引起的剪应力较小，故一般不考虑。
8
应力分析
横截面上任意一点 ( z, y) 处的 正应力计算公式为
t max [ t ]
cmax [ c ]
10
例1 桁架结构如图所示。横梁用20a工字钢制成。 其抗弯截面模量 Wz = 237cm3,横截面面积 A=35.5cm2，总荷载F= 34kN，横梁材料的许用应
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P1
80ºP2 z
P1=600N，
[]=100MPa，试用 第三强度理论校核 此杆的强度。 P1 z P2z Mx A 150 B 200 C 100 D y
x
解： ①外力分析： Mx 弯扭组合变形
A
150
B 200
C
100
D
P2y
x y
（Nm） M T n (Nm)
120 Mn
② 内 力 分 析 ：
F2 R M e
M e 300 F2 1500 N R 0 .2
300 N.m 300 N.m
1400 N
1500 N
200 150
300N.m 1400 N 300N.m 1500 N
150
（2）作内力图 危险截面E 左处
200
T 300 N.m
2 M My M z2 176 N.m
5KN 3.64KN
A
C y
10KN
B
D
x
1.82KN 300mm 300mm 100mm
z
5KN
3.64KN 10KN
解：1、外力分析： 画出受力图
y
A
C
B
D
x
1.82KN 300mm 300mm 100mm
z
A
1KN.m
5KN
3.64kN 1KN.m
C
B
D x
y z
1.82KN
10kN
A
1KN.m
C
0.227 1
B
πd W 32 轴需要的直径为
d 32 1372
3
3
Mz图
100动轴左端的轮子由电机带动，传入的扭转力偶矩Me=300N.m。 两轴承中间的齿轮半径R=200mm，径向啮合力F1=1400N，轴的材 料许用应力〔σ〕=100MPa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 解：（1）受力分析，作计算简图
§8.2
拉(压)与弯曲的组合
=
+
t ,max
Fl W
=
c ,max
t ,max
F c A
+
t ,max
c ,max
Fl W
c ,max
t ,max
Fl F [ t ] W A Fl F [ c ] W A
=
+
c ,max
例3：已知：F1=5kN, F2=2kN, a=200, b=60, d0=100, D=160, Fr=13.7Ft, [σ]=80MPa; 按第三强度理论设计轴的直径。
解：1、外力分析：画出受力图 2、内力分析：画出扭矩图和弯矩图 危险点为C点：
2 2 M C M CY M CZ
4802 352 481.3 N .m TC T 240 N .m
M W T Wp
1 2 1 4 2 2 2 2 0
1 2 3 4 2 2 2
第三强度理论：
圆截面轴:
M W T Wp
1 2 1 4 2 2 2 2 0
1 2 3 4 2 2 2
x
M Z (Nm)
危 险 面 内 力 为 ：
(Nm)
M max 71.3Nm
71.25
X
T 120Nm
③应力分析：
40
(Nm) My (Nm)
X
x
r3
2 M max T2 W
7.05
M
(N m)
(Nm)
M 71.3 max
5.5
97.5MPa
40.6
X
所以结构安全。
例5： 图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有铅垂切向 力 5 KN,径向力 1.82 KN;齿轮 D上作用有水平切向力10 KN,径向 力 3.64 KN 。齿轮 C 的节圆直径 dc = 400 mm ,齿轮 D 的节圆直 径 dD =200 mm。设许用应力 =100 MPa ,试按第四强度理论求 轴的直径。
3、强度计算：由第三理论得：
d
3 2 MC TC2
0.1 [ ]
(481.3 103 ) 2 (240 103 ) 2 0.1 80 67.23 103 (mm3 )
d 3 67.23 10 3 40.7 mm; 取：d 42mm
例4图示空心圆杆，内 径d=24mm，外径 D=30mm，
T=1KN.m
3.强度计算
+
1 r 3 M 2 T 2 [ ] W
W
d
3
32
+
1KN.m
d 44.83mm
例2：图示为圆轴AB，在轴的右端联轴器上作用有一力偶 M。已知：D=0.5m，F1=2F2=8kN, d=90mm, a=500mm,[σ]＝ 50MPa，试按第四强度理论校核圆轴的强度。
Fl
1
T τ Wp
M σ z Wz
3
τ T Wp
σ Mz Wz
max
x y 1 2 2 x y 4 xy 2 2
M W min T Wp
1 2 4 2 0 2 2 x y 1 2 2 x y 4 xy 2 2 1 2 4 2 0 2 2
解：1.外力分析：将力向轴 的形心简化
M1=(F1-F2)D/2=1kN.m
2.内力分析：分别画出扭矩 图和弯矩图 可以看出C截面为危险界面。 3.强度计算：由第四强度理论，
r4
M 2 0.75T 2 Wz
(3 106 ) 2 0.75 (1106 ) 2 0.1 903 42.83MPa [ ] 50 MPa； 强度足够！
弯矩图： 载荷集度、剪力和弯矩的微分关系。 2.应力计算公式： 扭转切应力：
T Ip
max
T Wp
弯曲正应力：
My Iz
max
M Wz
l
C
A
C平面 B
y T z
2 3 Mz 1 4
F a
x
1
τ
σ
T M
Fa
T Wp
Mz Wz
3
T τ Wp
σ Mz Wz
2
（2）立柱横截面的内力
FN F M 425 10 3 F N.m
（3）立柱横截面的最大应力
t . max
Mz 0 FN Iy A
F
350
FN
M
425 10 3 F 0.075 F 5.31 10 5 15 10 3 667 F Pa
第4章 弯曲内 力 组 合 变 形
王明禄
2015年3月18日星期三
第 八 章
组合变形工程实例
压弯组合变形
组合变形工程实例
F
F
350
F
350
M
FN
拉弯组合变形
组合变形工程实例
弯扭组合变形
组合变形工程实例
拉扭组合变形
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形：在复杂外载作用下，构件的变形常包含几
F F
350
F
350
M
FN
y1
z0
y
z1
50
A 15000mm 2 z0 75mm z1 125mm 7 4 I y 5.3110 mm
（2）立柱横截面的内力
150 50 150
M F 350 7510 3 425F 10 3 N.m
FN F
A 15000mm z0 75mm z1 125mm 7 4 I y 5.3110 mm
最大弯曲正应力
A
300 D
B
1.2m
1.2m
0.6 P 1.2 R A W max Wz Wz
R
NAB
RA B
0.866 P 0.6 P c max A Wz
S
A
300
D HA
94.37 MPa [ ]
P
练习:
一折杆由两根无缝钢管焊接
而成,已知两根钢管的外径都
（3）由强度条件设计d
B
m
A
0
N sin 30 2.4 1.2 P 0
AB
0
1.2m
NAB=P
1.2m
RA=0.5P
HA=0.866P
R RA
NAB
AB为平面弯曲与压缩组合变形。 中间截面为危险截面。最大压应力 发生在该截面的上边缘。
S A
300
B
D HA
P
C
压缩正应力
0.866P HA A A
c. max
Mz1 FN Iy A
t . max
c. max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
t . max 667 F
F
350
c. max 934 F
FN
（4）求压力F
Tx
B C
P
M
x 12kN .m N
24kN
x
在C左侧的下边缘压应力最大， 需要进行校核。
+
=
HA
RA
A
T
Ty
Tx
B C
P
N M max 24 10 12 10 M max 4 A W 26.4 10 141 10 6 94.3MPa 100MPa