函数知识点的复习
各种函数的知识点总结
各种函数的知识点总结1. 函数的定义函数的定义包括参数、返回值和函数体。
参数是函数的输入,可以有多个参数;返回值是函数的输出,可以是任意类型的值;函数体是包含一段逻辑代码的部分,用来实现具体的功能。
2. 函数的调用函数的调用是指在代码中使用函数来实现特定的功能。
调用函数时,需要传入参数,并获取函数的返回值。
3. 函数的声明和定义在编程中,函数需要先声明再定义。
声明函数是指在代码中告诉编译器有一个函数存在,并告诉编译器函数的参数和返回值类型;定义函数是指在代码中实现具体的函数逻辑。
4. 函数的参数函数的参数包括形参和实参。
形参是在函数声明和定义中用来表示函数输入的变量,实参是在函数调用时实际传入的值。
函数的参数可以是任意类型的值,包括基本类型、数组、结构体、指针等。
5. 函数的返回值函数的返回值可以是任意类型的值,包括基本类型、数组、结构体、指针等。
在函数中使用return语句来返回具体的数值。
6. 函数的重载函数的重载是指在同一个作用域中,可以有多个同名函数,但它们的参数列表不同。
在调用函数时,编译器会根据参数列表的不同选择调用哪个函数。
7. 函数的递归函数的递归是指函数调用自身的过程。
递归函数可以实现一些复杂的逻辑,比如遍历树、计算阶乘等。
8. 函数的作用域函数的作用域指的是函数的可见范围。
在C语言中,函数的作用域是局部的,只在函数内部可见。
在C++中,函数的作用域可以是全局的,也可以是局部的。
9. 函数的参数传递函数的参数传递包括值传递、引用传递和指针传递。
值传递是指将实参的值复制一份传递给形参,函数内部改变形参的值不会影响实参的值;引用传递是指将实参的引用传递给形参,函数内部改变形参的值会影响实参的值;指针传递是指将实参的地址传递给形参,函数内部通过指针可以改变实参的值。
10. 函数模板函数模板是一种通用的函数定义,可以在不同的类型之间进行操作。
函数模板可以实现任意类型的函数,比如比较两个数的大小、排序数组等。
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)(一)正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地,形如y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k 叫做比例系数.注:正比例函数一般形式y=kx(k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时,直线y=kx 经过三、一象限,从左向右上升,即随x 的增大y 也增大;当k<0时,•直线y=kx 经它可以看⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 注:y =kx+b 中的k ,b 的作用:1、k 决定着直线的变化趋势①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的2、b决定着直线与y轴的交点位置①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交(4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.(6)图像的平移:当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位..轴交点坐标为与(方法:联立方程组求x、y例题:已知两直线y=x+6与y=2x-4交于点P,求P点的坐标?7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系(1)两条直线平行:k1=k2且b1≠b2(2)两直线相交:k1≠k2(3)两直线重合:k1=k2且b1=b2平行于轴(或重合)的直线记作.特别地,轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx +b 的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a ,b 为常数,a ≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.. (22b c x +的图(1(2)x 的反比例取值范围: ①k≠0;②在一般的情况下,自变量x 的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y 的取值范围也是任意非零实数。
高中数学知识点总结(第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示)
第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1.函数与映射的概念2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发.(2)如果函数y=f(x)是用表格给出,则表格中x的集合即为定义域.(3)如果函数y=f(x)是用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同.(4)函数的表示法:表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数.(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.(3)各段函数的定义域不可以相交.考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y =ln1-x x +1+1x的定义域是( ) A .[-1,0)∪(0,1) B .[-1,0)∪(0,1] C .(-1,0)∪(0,1]D .(-1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(-1,0),则函数f (2x +1)的定义域为( ) A .(-1,1) B.⎝⎛⎭⎫-1,-12 C .(-1,0)D.⎝⎛⎭⎫12,1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1-x >0,x +1>0,x ≠0,解得-1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(-1,0)∪(0,1).(2)令u =2x +1,由f (x )的定义域为(-1,0),可知-1<u <0,即-1<2x +1<0, 得-1<x <-12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1.使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)y =x 0要求x ≠0;(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1; (5)正切函数y =tan x ,x ≠k π+π2(k ∈Z);(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求. 2.抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域. [题组训练] 1.函数f (x )=1lnx +1+4-x 2的定义域为( ) A .[-2,0)∪(0,2] B .(-1,0)∪(0,2] C .[-2,2]D .(-1,2]解析:选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,ln x +1≠0,4-x 2≥0,得-1<x ≤2,且x ≠0.2.若函数y =f (x )的定义域是[1,2 019],则函数g (x )=f x +1x -1的定义域是________________.解析:因为y =f (x )的定义域是[1,2 019],所以若g (x )有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x +1≤2 019,x -1≠0,所以0≤x ≤2 018,且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}. 答案:{x |0≤x ≤2 018,且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x +1)=4x 2-6x +5,求f (x ); (2)已知函数f (x )满足f (-x )+2f (x )=2x ,求f (x ). [解] (1)法一:待定系数法因为f (x )是二次函数,所以设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0),则f (2x +1)=a (2x +1)2+b (2x +1)+c =4ax 2+(4a +2b )x +a +b +c .因为f (2x +1)=4x 2-6x +5, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =4,4a +2b =-6,a +b +c =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-5,c =9,所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法二:换元法令2x +1=t (t ∈R),则x =t -12,所以f (t )=4⎝⎛⎭⎫t -122-6·t -12+5=t 2-5t +9(t ∈R),所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R). 法三:配凑法因为f (2x +1)=4x 2-6x +5=(2x +1)2-10x +4=(2x +1)2-5(2x +1)+9, 所以f (x )=x 2-5x +9(x ∈R).(2)解方程组法由f (-x )+2f (x )=2x , ① 得f (x )+2f (-x )=2-x ,② ①×2-②,得3f (x )=2x +1-2-x . 即f (x )=2x +1-2-x3.故f (x )的解析式是f (x )=2x +1-2-x3(x ∈R).[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式,再利用恒等式的性质,或将已知条件代入,建立方程(组),通过解方程(组)求出相应的待定系数.(2)换元法对于形如y =f (g (x ))的函数解析式,令t =g (x ),从中求出x =φ(t ),然后代入表达式求出f (t ),再将t 换成x ,得到f (x )的解析式,要注意新元的取值范围.(3)配凑法由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).[提醒] 由于函数的解析式相同,定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域.[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,则f (x )=________________.解析:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx . 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x (x ∈R).答案:12x 2+12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x +1=lg x ,则f (x )=________________.解析:令2x +1=t ,得x =2t -1,则f (t )=lg 2t -1,又x >0,所以t >1,故f (x )的解析式是f (x )=lg2x -1(x >1). 答案:lg2x -1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,则f (x )=________. 解析:∵2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,①把①中的x 换成1x ,得2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f x +f ⎝⎛⎭⎫1x =3x ,2f ⎝⎛⎭⎫1x +f x =3x,解此方程组可得f (x )=2x -1x(x ≠0).答案:2x -1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,a x +b ,x ≤0(0<a <1),且f (-2)=5,f (-1)=3,则f (f (-3))=( )A .-2B .2C .3D .-3[解析] 由题意得,f (-2)=a -2+b =5,①f (-1)=a -1+b =3,②联立①②,结合0<a <1,得a =12,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x >0,⎝⎛⎭⎫12x +1,x ≤0,则f (-3)=⎝⎛⎭⎫12-3+1=9,f (f (-3))=f (9)=log 39=2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照分段函数不同段的端点.考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(0,+∞)C .(-1,0)D .(-∞,0)[解析] 法一:分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时,f (x +1)<f (2x ),即为2-(x +1)<2-2x,即-(x +1)<-2x ,解得x <1. 因此不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时,f (x +1)<f (2x ),即为1<2-2x,解得x <0.因此不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0). 法二:数形结合法∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,∴函数f (x )的图象如图所示. 结合图象知,要使f (x +1)<f (2x ), 则需⎩⎪⎨⎪⎧x +1<0,2x <0,2x <x +1或⎩⎪⎨⎪⎧x +1≥0,2x <0, ∴x <0,故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可;(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解.[题组训练]1.设f (x )=⎩⎨⎧x ,0<x <1,2x -1,x ≥1,若f (a )=f (a +1),则f ⎝⎛⎭⎫1a =( ) A .2 B .4 C .6D .8解析:选C 当0<a <1时,a +1>1,f (a )=a ,f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴a =2a , 解得a =14或a =0(舍去).∴f ⎝⎛⎭⎫1a =f (4)=2×(4-1)=6.当a ≥1时,a +1≥2,f (a )=2(a -1),f (a +1)=2(a +1-1)=2a , ∵f (a )=f (a +1),∴2(a -1)=2a ,无解. 综上,f ⎝⎛⎭⎫1a =6.2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤1,f x -1,x >1,则f (f (3))=________.解析:由题意,得f (3)=f (2)=f (1)=21=2, ∴f (f (3))=f (2)=2. 答案:23.(2017·全国卷Ⅰ)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x ,x >0,则满足f (x )+f ⎝⎛⎭⎫x -12>1的x 的取值范围是________.解析:由题意知,可对不等式分x ≤0,0<x ≤12,x >12讨论.①当x ≤0时,原不等式为x +1+x +12>1,解得x >-14,故-14<x ≤0.②当0<x ≤12时,原不等式为2x +x +12>1,显然成立.③当x >12时,原不等式为2x +2x -12>1,显然成立.综上可知,所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫-14,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-14,+∞ 4.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x -7,x <0,x ,x ≥0,若f (a )<1,则实数a 的取值范围是____________.解析:若a <0,则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a-7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8,解得a >-3,故-3<a <0; 若a ≥0,则f (a )<1⇔a <1,解得a <1,故0≤a <1. 综上可得-3<a <1. 答案:(-3,1)[课时跟踪检测]1.下列所给图象是函数图象的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选B ①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图象;②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图象;③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图象.故选B.2.函数f (x )=2x -1+1x -2的定义域为( ) A .[0,2)B .(2,+∞)C .[0,2)∪(2,+∞)D .(-∞,2)∪(2,+∞)解析:选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1≥0,x -2≠0,解得x ≥0,且x ≠2.3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( ) A.74 B .-74C.43D .-43解析:选A 令t =12x -1,则x =2t +2,f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,则4a -1=6,解得a =74.4.(2019·贵阳检测)下列函数中,同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A .y =x -1 B .y =ln x C .y =13x -1D .y =x +1x -1解析:选D 对于A ,定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞),不满足题意;对于B ,定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足题意;对于C ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,-1)∪(0,+∞),不满足题意;对于D ,y =x +1x -1=1+2x -1,定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),值域也是(-∞,1)∪(1,+∞).5.(2018·福建期末)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x +a ,x >0,4x -2-1,x ≤0.若f (a )=3,则f (a -2)=( )A .-1516B .3C .-6364或3D .-1516或3解析:选A 当a >0时,若f (a )=3,则log 2a +a =3,解得a =2(满足a >0);当a ≤0时,若f (a )=3,则4a -2-1=3,解得a =3,不满足a ≤0,所以舍去.于是,可得a =2.故f (a -2)=f (0)=4-2-1=-1516.6.已知函数y =f (2x -1)的定义域是[0,1],则函数f 2x +1log 2x +1的定义域是( )A .[1,2]B .(-1,1] C.⎣⎡⎦⎤-12,0 D .(-1,0)解析:选D 由f (2x -1)的定义域是[0,1], 得0≤x ≤1,故-1≤2x -1≤1, ∴f (x )的定义域是[-1,1], ∴要使函数f 2x +1log 2x +1有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧-1≤2x +1≤1,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0.7.下列函数中,不满足f (2 018x )=2 018f (x )的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=x -|x | C .f (x )=x +2D .f (x )=-2x解析:选C 若f (x )=|x |,则f (2 018x )=|2 018x |=2 018|x |=2 018f (x );若f (x )=x -|x |,则f (2 018x )=2 018x -|2 018x |=2 018(x -|x |)=2 018f (x );若f (x )=x +2,则f (2 018x )=2 018x +2,而2 018f (x )=2 018x +2 018×2,故f (x )=x +2不满足f (2 018x )=2 018f (x );若f (x )=-2x ,则f (2 018x )=-2×2 018x =2 018×(-2x )=2 018f (x ).故选C.8.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x ;③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A .①② B .①③ C .②③D .①解析:选B 对于①,f (x )=x -1x ,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x-x =-f (x ),满足题意;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x=f (x ),不满足题意;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x >1,即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足题意.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 9.(2019·青岛模拟)函数y =ln ⎝⎛⎭⎫1+1x +1-x 2的定义域为________. 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧ 1+1x >0,1-x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,-1≤x ≤1⇒0<x ≤1. 所以该函数的定义域为(0,1].答案:(0,1]10.(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )=⎩⎨⎧ lg 1-x ,x <0,-2x ,x ≥0,则f (f (-9))=________. 解析:∵函数f (x )=⎩⎨⎧ lg 1-x ,x <0,-2x ,x ≥0,∴f (-9)=lg 10=1,∴f (f (-9))=f (1)=-2. 答案:-211.(2018·张掖一诊)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x >0,x +1,x ≤0,若f (a )+f (1)=0,则实数a 的值等于________.解析:∵f (1)=2,且f (1)+f (a )=0,∴f (a )=-2<0,故a ≤0. 依题知a +1=-2,解得a =-3.答案:-312.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ 12x +1,x ≤0,-x -12,x >0,使f (x )≥-1成立的x 的取值范围是________. 解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0,12x +1≥-1或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0,-x -12≥-1,解得-4≤x ≤0或0<x ≤2,故所求x 的取值范围是[-4,2].答案:[-4,2]13.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ax +b ,x <0,2x ,x ≥0,且f (-2)=3,f (-1)=f (1). (1)求函数f (x )的解析式;(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象.解:(1)由f (-2)=3,f (-1)=f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧ -2a +b =3,-a +b =2, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1,b =1,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +1,x <0,2x ,x ≥0. (2)函数f (x )的图象如图所示.。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结(含例题和答案)(总6页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的概念总结一、知识梳理1.映射的概念:设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f 表示对应法则注意:⑴A 中元素必须都有象且唯一;⑵B 中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
2.函数的概念(1)函数的定义:设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的每一个数,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为(2)函数的三要素:定义域、值域和对应法则(3)函数的定义域、值域:在函数中,叫做自变量,的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合称为函数的值域。
3.函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法(1).图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;(2).列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3).解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
二、考点分析考点1:映射的概念例1.(1)A R =,{|0}B y y =>,:||f x y x →=;(2)*{|2,}A x x x N =≥∈,{}|0,B y y y N =≥∈,2:22f x y x x →=-+;(3){|0}A x x =>,{|}B y y R =∈,:f x y →=上述三个对应是A 到B 的映射.B A 、f A B A B B A f →:B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =例2.若}4,3,2,1{=A ,},,{c b a B =,,,a b c R ∈,则A 到B 的映射有个,B 到A 的映射有个,A 到B 的函数有个例3.设集合{1,0,1}M =-,{2,1,0,1,2}N =--,如果从M 到N 的映射f 满足条件:对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数,则映射f 的个数是()()A 8个()B 12个()C 16个()D 18个答案:1.(2);2.81,64,81;3.D考点2:判断两函数是否为同一个函数方法总结:看化简后的表达式定义域值域是否完全一样。
关于函数的应用知识点总结
关于函数的应用知识点总结一、函数的基本概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
具体来说,设A和B是两个非空集合,如果存在一个规则f,使得对于A中的任意元素x,都有一个对应的元素y∈B,那么我们就说f是从A到B的一个函数。
我们通常用f(x)来表示函数f对元素x的映射结果。
2. 函数的符号表示函数通常用f(x)、g(x)、h(x)等符号表示,其中x称为自变量,f(x)称为因变量。
自变量的取值范围称为函数的定义域,因变量的取值范围称为函数的值域。
3. 函数的性质函数可以分为线性函数、多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等不同类型。
不同类型的函数具有不同的性质,例如线性函数的图像是一条直线,多项式函数的图像是曲线等。
二、函数的图像和性质1. 函数的图像函数的图像是自变量和因变量之间的关系在坐标系中的表示。
通常在直角坐标系中,自变量沿横轴,因变量沿纵轴,可以用一个曲线或者一系列点来表示函数的图像。
2. 函数的性质函数的性质可以通过图像的形状来进行观察和判断。
例如,函数的增减性、奇偶性、周期性等性质可以通过函数的图像来了解。
通过分析函数的性质,可以更好地理解函数的规律和特点。
三、函数的应用1. 函数在数学中的应用函数在数学中有着广泛的应用,例如在微积分中,函数被用来描述曲线的斜率、曲率、面积等概念。
在代数学中,函数被用来解方程、求极限、求导等。
在概率论和统计学中,函数被用来描述随机变量之间的关系等。
函数的应用贯穿于数学的方方面面,为数学的发展提供了重要的支撑。
2. 函数在物理中的应用函数在物理中有着重要的应用,例如在描述物体运动的过程中,速度、位移、加速度等物理量都可以用函数来表示。
在描述能量转化和传递的过程中,功率、能量等物理量也可以用函数来表示。
函数在物理学中有着广泛的应用,为理解和研究物理现象提供了重要的工具。
3. 函数在工程中的应用函数在工程中有着广泛的应用,例如在建筑设计中,通过函数来描述建筑物的结构和材料的力学性质。
函数高考知识点梳理
函数高考知识点梳理函数是高中数学的重要内容,也是高考考点之一。
掌握函数的相关知识对于高考数学成绩的提升至关重要。
本文将对函数的相关知识点进行梳理和总结,帮助同学们更好地备考。
一、函数的定义和性质1. 函数的定义:函数是一种有序对的关系,是自变量与因变量之间的映射关系。
2. 定义域:函数中自变量的取值范围。
3. 值域:函数中因变量的取值范围。
4. 图像:函数在坐标系中的表示,通常用曲线表示。
5. 奇偶性:函数关于坐标原点对称称为偶函数,关于y轴对称称为奇函数,否则为无偶奇性。
6. 单调性:函数的增减趋势。
7. 有界性:函数在某个区间上是否有上下界。
二、函数的分类1. 初等函数:基本初等函数(常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数)以及它们的有限次四则运算、函数的复合和函数的构造所得的函数。
2. 反函数:与原函数满足互逆关系的函数。
3. 反比例函数:自变量与因变量之间呈现反比例关系的函数。
4. 分段函数:根据自变量的取值范围,函数表达式有不同的形式。
5. 参数方程:自变量和因变量均用参数表示的函数。
三、函数的性质与运算1. 函数的和、差、积、商:函数间的四则运算。
2. 复合函数:一个函数作为另一个函数的自变量时构成的函数。
3. 反函数的性质:反函数的定义域和值域与原函数的相反。
4. 函数的平移:函数图像在坐标系中的平移和拉伸。
5. 函数的复合:多个函数进行复合运算的结果仍然是一个函数。
6. 函数的解析式与图像的关系:函数图像与函数的解析式之间的对应关系。
四、应用题1. 函数在实际问题中的应用,如函数模型的建立、函数图像的解读等。
2. 函数方程的解:求解函数方程的解析式。
通过对函数的相关知识点进行梳理和总结,我们可以更加全面地了解函数的定义、性质和运算规律。
在高考数学备考中,熟练掌握函数的相关知识点,能够灵活运用函数解决实际问题,将会为我们取得更好的成绩提供有力的支持。
精确理解函数的定义、掌握函数的分类和性质、善于运用函数的运算、熟练应用函数解决实际问题,是我们备考高考数学时不可或缺的能力。
函数的基本性质知识点总结
函数的基本性质基础知识:1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )为奇函数;如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (-x )=f (x ),则称f (x )为偶函数。
如果函数f (x )不具有上述性质,则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f (x )既是奇函数,又是偶函数。
注意:①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x ,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f (-x )与f (x )的关系;③作出相应结论:若f (-x ) = f (x ) 或 f (-x )-f (x ) = 0,则f (x )是偶函数;若f (-x ) =-f (x ) 或 f (-x )+f (x ) = 0,则f (x )是奇函数。
(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称;②设()f x ,()g x 的定义域分别是12,D D ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y =f (x )的定义域为I , 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2)),那么就说f (x )在区间D 上是增函数(减函数);注意:①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f (x 1)<f (x 2)。
函数的知识点归纳总结
函数的知识点归纳总结1. 函数的定义和调用- 函数是一段完成特定任务的代码块,可以重复使用。
- 函数的定义一般包括函数名、参数列表和函数体。
- 调用函数时,需要使用函数名和传入参数的值。
2. 函数的参数- 函数可以接收输入参数,用于在函数内部进行操作。
- 参数可以分为位置参数和关键字参数。
- 可以定义默认参数值,使得参数在调用时变得可选。
3. 函数的返回值- 函数可以返回一个值,用于向调用者传递结果。
- 可以返回多个值,以元组的形式返回。
4. 函数的作用域- 函数内部的变量和函数外部的变量是独立的。
- 函数可以访问外部变量,但是不能修改其值,除非使用`global`关键字。
5. 匿名函数- 匿名函数是一种简单的函数,不需要使用`def`关键字来定义。
- 使用`lambda`关键字来创建匿名函数。
6. 递归函数- 递归函数是一种调用自身的函数。
- 递归函数可以解决一些数学和计算问题。
7. 高阶函数- 高阶函数可以接收函数作为参数或者返回一个函数。
- 可以用于实现函数式编程的一些特性,比如map、filter和reduce。
8. 内置函数- 编程语言提供了一些内置函数,用于完成一些常见的操作。
- 例如,Python中的`print`、`len`、`range`等函数。
9. 函数的重载- 有些编程语言支持函数的重载,允许定义多个同名函数。
- 函数的重载可以根据参数的类型和个数来决定调用哪个函数。
10. 闭包- 闭包是一个函数和其环境变量的组合。
- 闭包可以保存函数的状态,使得函数可以记住之前的操作。
11. 装饰器- 装饰器是一种特殊的函数,用于修改其他函数的行为。
- 可以用于添加日志、认证、性能测试等功能。
12. 函数式编程- 函数式编程是一种编程范式,将计算视为数学函数的求值。
- 函数式编程强调函数的纯度和不可变性。
13. 函数的异常处理- 函数中可能会发生异常,需要使用异常处理机制来应对。
- 可以使用`try`、`except`、`finally`关键字来处理异常。
《函数的基本性质》知识点总结
《函数的基本性质》知识点总结《函数的基本性质》知识点总结「篇一」《函数的基本性质》知识点总结基础知识:1.奇偶性(1)定义:如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数。
如果函数f(x)不具有上述性质,则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则f(x)既是奇函数,又是偶函数。
注意:①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)。
(2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;②确定f(-x)与f(x)的关系;③作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数。
(3)简单性质:①图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称;②设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇2.单调性(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数);注意:①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1<x2时,总有f(x1)<f(x2)。
(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间。
函数知识点复习整理
函数知识点复习整理函数是数学中的基本概念之一,它在解决问题、研究现象和建模等方面起到了重要的作用。
函数的知识点主要包括函数的定义、函数的性质和函数的应用等方面。
下面就对函数的知识点进行复习整理。
一、函数的定义函数是一种特殊的关系,它把一个集合与另一个集合中的元素进行对应。
数学中常用的函数记作f(x),其中x表示自变量,f(x)表示因变量。
函数的定义包括以下几个要素:1.自变量的定义域:自变量x的取值范围,通常用集合表示。
2.因变量的值域:因变量f(x)的取值范围,也用集合表示。
3.函数表达式:函数的具体表达形式,可以是一个公式或者一个算法。
4.函数名称:给函数取一个名称,以便于引用和表示。
二、函数的性质函数的性质主要包括函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性、连续性和可导性等方面。
下面对这些性质进行详细讲解:1.奇偶性:如果对于函数f(x),有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数;如果对于函数f(x),有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数。
2.周期性:如果对于函数f(x),存在一个正数T,使得对于任意x,有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数。
3.单调性:如果对于函数f(x)中的任意两个数a和b,当a<b时,有f(a)<f(b);当a>b时,有f(a)>f(b),则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递增;反之,如果当a<b时,有f(a)>f(b);当a>b时,有f(a)<f(b),则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递减。
4.有界性:如果对于函数f(x)中的任意x,存在两个常数M和N,使得当,x,>M时,有,f(x),<N,称函数f(x)在无穷远处有界。
5.连续性:如果对于函数f(x)中的任意x0,当,x-x0,趋近于0时,有f(x)趋近于f(x0),则称函数f(x)在点x0处连续。
6.可导性:如果对于函数f(x)中的任意x0,存在一个常数f'(x0),使得当x趋近于x0时,有[f(x)-f(x0)]/[x-x0]趋近于f'(x0),则称函数f(x)在点x0处可导。
高三数学函数知识点归纳大全
高三数学函数知识点归纳大全函数是高中数学中重要的内容之一,它在解决实际问题和研究数学规律中起着关键作用。
为了帮助高三学生更好地掌握数学函数知识,本文将对高三数学函数知识点进行归纳总结,以便于学生们系统地复习和巩固相关知识。
一、函数的定义与性质1. 函数的定义:函数是一个对应关系,将一个集合的每个元素(自变量)映射到另一个集合的唯一元素(因变量)。
函数通常用f(x)表示。
2. 定义域与值域:函数的定义域是自变量的所有可能取值,值域是函数的所有可能输出值。
3. 奇函数和偶函数:若对于定义域内的任意x,有f(-x) = -f(x),则函数f(x)称为奇函数;若对于定义域内的任意x,有f(-x) = f(x),则函数f(x)称为偶函数。
4. 基本初等函数:常见的基本初等函数有常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
二、函数的图像与性质1. 函数的图像:函数的图像是平面直角坐标系中点的集合,表示函数的输入和输出之间的关系。
2. 单调性:函数f(x)在定义域内,如果对于任意的x1 < x2,有f(x1) ≤ f(x2),则称函数f(x)在该区间上是递增的;如果对于任意的x1 < x2,有f(x1) ≥ f(x2),则称函数f(x)在该区间上是递减的。
3. 极值与最值:函数f(x)在定义域内,如果存在一个数x0,使得在x0的某个邻域内,有f(x) ≤ f(x0)(或f(x) ≥ f(x0)),则称f(x0)为函数f(x)的极大值(或极小值);最大值和最小值统称为最值。
4. 对称性:函数的图像可以关于y轴、x轴或原点对称。
三、函数的运算与性质1. 函数的四则运算:函数的加减乘除运算仍然是函数。
2. 复合函数:若给定函数f(x)和g(x),则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换,再对结果进行f(x)的变换。
3. 反函数:若函数f(x)在定义域上是一一对应的,即对于任意x1 ≠ x2,有f(x1) ≠ f(x2),且存在一个函数g(x),使得f(g(x)) = x,g(f(x)) = x,则称g(x)为f(x)的反函数,记为f^(-1)(x)。
高一数学《函数》全章知识点整理
△情况 △ =b2-4ac
一元二次不等式解集
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
(a>0)
(a>0)
△ >0
x x x1或x x2
x x1 x x2
图
象
△ =0
x x x0
与
解
△ <0
R
1、已知函数 f ( x) 4x 2 mx 5 在区间 [ 2, ) 上是增函数,则 f (1) 的范围是(
)
、 1个
C 、 2个
D 、3个
()
y
y
2
2
1
1
O 12 x
O 1 2x
y 3 2 1
O 1 x
y
2 1 O 12 x
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义;
(3)对数函数的真数必须大于零;
(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于
与 g(x) 的单调性相同,则 y f g x 在 M 上是增函数。
1 判断函数 f ( x) x3 (x R) 的单调性。
2 例 函数 f (x) 对任意的 m, n R ,都有 f (m n) f ( m) f (n) 1 ,并且当 x 0时, f ( x) 1,
⑴求证: f ( x) 在 R 上是增函数;
注意点:(1)对映射定义的理解。 ( 2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射,多对一是映射
2、函数 构成函数概念的三要素
①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件:三要素有两个相同
《函数的基本概念与表示》知识点及典型例题总结
函数的基本概念与表示模块一、函数与映射要点一、映射1.映射:设A 、B 是两个集合,如果按照某种对应关系f ,对于集合A 中的 元素,在集合B 中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到 的映射,记作 .2.象与原象:如果f :A→B 是一个A 到B 的映射,那么和A 中的元素a 对应的 叫做象, 叫做原象。
要点二、函数1.定义:设A 、B 是 ,f :A→B 是从A 到B 的一个映射,则映射f :A→B 叫做A 到B 的 ,记作 。
2.函数的三要素为 、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同时,二者才能称为同一函数。
3.函数的表示法有 、 、 。
要点三、函数相等只有当两个函数的 和 都分别相同时,这两个函数才是相等函数(或称为同一个函数)。
考点一、同一函数的判断 例1.下列各组函数中,表示同一函数的是( ).A. B. C. D. 变式训练1:下列函数中,与函数y=x 相同的函数是 ( )A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=考点二、已知函数解析式求函数值例2-1. 已知f(x)= 12−x (x ∈R,x≠2),g(x)=x+4(x ∈R).⑴求f (1),g (1)的值.⑵求f [g (1)],g [f (1)]的值.⑶求f [g (x)],g [f (x)]的表达式.例2-2. 设f (x )={1−√x ,x ≥0,2x ,x <0,则f(f (−2))=( ) A. -1 B. 14 C. 12 D. 32变式训练2:函数f (x )={x 2+2(x ≤2),2x (x >2)则f (−4)=( ),若f (x 0)=8,则x 0=( )。
1,x y y x==211,1y x x y x =-+=-33,y x y x ==2||,()y x y x ==x x 2x x 2log 2模块二、函数的三要素要点四、函数的定义域1. 函数的定义域就是使函数式 的集合.2.常见函数:使式子有意义(1)整式:定义域为R(2)一次函数:,定义域是R 。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结本节主要知识点(1)函数的概念.(2)函数的三要素与函数相等.(3)区间的概念及其表示.知识点一 函数的概念初中学习的函数的传统定义一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与之对应,我们就说x 是自变量,y 是因变量,此时也称y 是x 的函数. 函数的近代定义设A , B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应,那么就称f :B A →为从集合A 到集合B 的一个函数,记作)(x f y =,A x ∈.其中,x 叫作自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫作函数值,函数值的集合{}A x x f y y ∈=),(叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.对函数的近代定义的理解(1)只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的.如x x y --=11就不是函数.(2)注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.任意性:集合A 中的任意一个元素x 都要考虑到.存在性:集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都存在对应元素y .唯一性:在集合B 中,与每一个元素x 对应的元素y 是唯一的.(3)集合B 不一定是函数的值域,值域是集合B 的子集.在集合B 中,可以存在元素在集合A 中没有与之对应者.例1. 讨论二次函数的定义域和值域.解:二次函数的一般式为()02≠++=a c bx ax y ,为整式函数,所以其定义域为R ,其值域的确定分为两种情况:①当0>a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 442; ②当0<a 时,函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 442. 注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R 上的,若二次函数的定义域是R 的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.知识点二 函数的三要素函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了. 定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x 的取值范围.确定函数定义域时,要从两个方面考虑:(1)使函数解析式有意义;(2)符合客观实际.对应关系 用f 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量x 施以某种运算,类似于程序的作用.值域 在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.例2. 讨论反比例函数()0≠=k x k y 的定义域和值域. 解:反比例函数()0≠=k xk y 的定义域为{}0≠x x ,值域为{}0≠y y . ()()A a a f ∈与()x f 的区别与联系)(a f 表示当a x =时()x f 的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;)(x f表示自变量为x 的函数,它表示的是变量.如x x f 2)(=表示的是一个函数,()63=f 是它的一个函数值,是常量.知识点三 具体函数的定义域的确定方法所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:(1)如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R .(2)如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;(3)如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;(4)如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.(5)如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.(6)如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.知识点四 函数的相等只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数. 对函数的相等理解时要注意:(1)当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.(2)定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.(3)定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.如函数2)(-=x x f 与函数x x f 2)(=的定义域都是R ,值域都是R ,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.(4)因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.如函数1)(2+=x x f 与函数1)(2+=t t f 表示的就是同一个函数.(5)对)(x f 中x 的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但f 施加关系的对象不同,两个函数也不相等.如函数2)(x x f =和函数2)1(x x f =-表示的就不是同一个函数.例3. 下列各组函数表示同一函数的是【 】(A )x x f =)(,()2)(x x g = (B )1)(2+=x x f ,()12+=t t g(C )1)(=x f ,xx x g =)( (D )x x f =)(,()x x g =分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.解:(A )选项中,函数x x f =)(的定义域为R ,函数()2)(x x g =的定义域为{}0≥x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;(B )选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;(C )选项中,函数1)(=x f 为常数函数,其图象为一条平行于x 轴的直线,其定义域为R ,函数xx x g =)(的定义域为{}0≠x x ,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;(D )选项中,函数x x f =)(与函数()x x g =的定义域均为R ,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.选择【 B 】.例4. 求下列函数的定义域:(1)2322---=x x x y ; (2)x x y -⋅-=11; (3)x y --=113; (4)2253x x y -+-=.分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.解:(1)由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-023202x x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧-≠≠≤2120x x x 且,解之得:x ≤0且21-≠x . ∴函数2322---=x x x y 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧-≠≤210x x x 且; (2)由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-0101x x ,解之得:1=x . ∴函数x x y -⋅-=11的定义域为{}1=x x ;(3)由题意可知:⎩⎨⎧≠--≥-01101x x ,即⎩⎨⎧≠≤01x x ,解之得:x ≤1且0≠x . ∴函数x y --=113的定义域为{}01≠≤x x x 且;(4)由题意可知:⎩⎨⎧≥-≥-050322x x ,即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≥5533x x x 或 解之得:5-≤x ≤3-或3≤x ≤5. ∴函数2253x x y -+-=的定义域为{}5335≤≤-≤≤-x x x 或. 注意: (1)函数的定义域要表示成集合或区间的形式.(2)若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.知识点五 区间的概念及其表示设b a ,是两个实数,且b a <,规定:(1)满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合,叫做闭区间,表示为[]b a ,;(2)满足不等式b x a <<的实数x 的集合,叫做开区间,表示为()b a ,;(3)满足不等式a ≤x b <或x a <≤b 的实数x 的集合,叫做半开半闭区间,分别表示为)[b a ,,](b a ,.这里的实数b a ,叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.区间的数轴表示(几何表示)实数集R 可以用区间表示为()+∞∞-,.“∞”读作“无穷大”,“∞-”读作“负无穷大”,“∞+”读作“正无穷大”.把满足不等式a x >,x ≥a ,b x <,x ≤b 的实数x 的集合,分别表示为()+∞,a ,)[∞+,a ,()b ,∞-,](b ,∞-.对区间的概念及其表示的理解:(1)区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合{}3,2,1就不能用区间来表示.(2)区间的左端点必须小于右端点.(3)区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.(4)在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.(5)在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.(6)若a 为区间的左端点,b 为区间的右端点,则把a b -叫做区间的长度.区间的长度必须大于0.(因为a b >)(7)连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.例5. 函数513)(-+-=x x x f 的定义域是【 】 (A ))[∞+,3 (B ))()[+∞,44,3(C )()+∞,3 (D ))[4,3分析:不等式(组)的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.解:由题意可知:⎩⎨⎧≠-+≥-05103x x ,即⎩⎨⎧-≠≠≥643x x x 且,解之得:x ≥3且4≠x . ∴函数513)(-+-=x x x f 的定义域用集合表示为{}43≠≥x x x 且,用区间表示为)()[+∞,44,3 .选择【 B 】.知识点六 复合函数与抽象函数复合函数的概念如果y 是u 的函数,记为)(u f y =,u 又是x 的函数,记为)(x g u =,且)(x g 的值域与)(u f 的定义域的交集非空,那么y 通过u 的联系也是自变量x 的函数,我们称y 为x 的复合函数,记为))((x g f y =.其中u 叫做中间变量,)(x g u =叫做内层函数, )(u f y =叫做外层函数.对复合函数概念的理解由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.例6. 下列函数中,是复合函数的是【 】(A )32)(x x x f += (B )1)(+=x x f(C )x x f =)( (D )xx f 2)(= 分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的. 解:函数1)(+=x x f 是由函数u y =和1+=x u 两个函数复合而成的,是复合函数.选择【 B 】.抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.知识点七 求抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:(1)函数)(x f 的定义域是自变量x 的范围.(2)函数))((x g f 的定义域是自变量x 的范围,而不是)(x g 的范围.(3))(x f 、))((x g f 两个函数中,x 、)(x g 在对应关系f 下的范围相同. 求抽象函数或复合函数定义域的方法(1)已知)(x f 的定义域为A ,求))((x g f 的定义域,其实质是)(x g 的取值范围为A ,求x 的取值范围;(2)已知))((x g f 的定义域为B ,求)(x f 的定义域,其实质是已知))((x g f 中的x 的取值范围为B ,求)(x g 的范围(值域),此范围就是)(x f 的定义域.(3)已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先按(2)求出)(x f 的定义域. 例7. 已知函数xx x f 3)(+=,则函数)1(-x f 的定义域为【 】 (A ){}1,4-≠-≥x x x 且 (B ){}1,2≠-≥x x x 且(C ){}0,2≠-≥x x x 且 (D ){}1,4≠-≥x x x 且分析:本题需要根据具体函数)(x f 的解析式,先求出函数)(x f 的定义域,然后再确定抽象函数)1(-x f 的定义域:函数)(x f 中自变量x 的取值范围与()1-x 的范围相同,从而列出关于x 的不等式(组),解集即为函数)1(-x f 的定义域. 解:∵函数xx x f 3)(+= ∴⎩⎨⎧≠≥+003x x ,解之得:x ≥3-且0≠x . ∴函数xx x f 3)(+=的定义域为{}03≠-≥x x x 且. 对于函数)1(-x f ,则有:⎩⎨⎧≠--≥-0131x x ,解之得:x ≥2-且1≠x . ∴函数)1(-x f 的定义域为{}1,2≠-≥x x x 且.选择【 B 】.例8. 已知()12-x f 的定义域为[]3,0,则)(x f 的定义域为_________. 分析:函数()12-x f 的定义域为[]3,0,指的是x 的取值范围是[]3,0,而不是()12-x 的范围.先根据[]3,0∈x ,求出()12-x 的范围,此范围即为函数)(x f 的定义域. 解:∵()12-x f 的定义域为[]3,0∴0≤x ≤3,根据二次函数的知识可得:1-≤12-x ≤8∴)(x f 的定义域为[]8,1-.例9. 若函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21,则函数()1-x f 的定义域为__________. 分析:本题为已知已知))((x g f 的定义域,求))((x h f 的定义域,要先确定)(x f 的定义域.解:∵函数()1+x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,21 ∴21-≤x ≤2,∴121+-≤1+x ≤12+ ∴21≤x ≤3 ∴函数)(x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21. 对于函数()1-x f ,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-31211x x ,解之得:23≤x ≤4 ∴函数()1-x f 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,23. 知识点八 求函数的函数值(1)若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;(2)求抽象函数的函数值,常采用赋值法求求解.例10. 已知xx f +=11)(()1-≠x ,2)(2+=x x g . (1)求)2(f 和()2g ;(2)求()()2f g ,())(x g f ;(3)若()4)(1=x g f ,求x . 分析:函数的本质是对应关系f ,()f 表示的是对括号里的内容施以某种运算.计算())(a f f 的值时,应从内到外依次计算.解:(1)31211)2(=+=f ,()62222=+=g ; (2)()()9192313122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g f g ()31211)(11)(22+=++=+==x x x g x g f ;(3)∵()4)(1=x g f∴43112=+x ,432=+x ,解之得:1±=x . 例11. 已知函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f +=成立. (1)求()0f ,()1f 的值;(2)若()()q f p f ==3,2(q p ,为常数),求()36f 的值. 解:(1)∵函数()x f 对任意实数b a ,,都有()()()b f a f ab f += ∴令0==b a ,则有:()()()000f f f += ∴()00=f .令0,1==b a ,则有:()()()010f f f += ∴()01=f .(2)∵()()q f p f ==3,2∴()()()()()p f f f f f 22222224==+=⨯=()()()()()q f f f f f 23233339==+=⨯=∴()()()()q p f f f f 22949436+=+=⨯=.例12. 已知函数()x f 的定义域为()+∞,0,对任意正实数y x ,都有()()()y f x f xy f +=,且()24=f ,则()=2f_________.解:∵()()()y f x f xy f +=,且()24=f∴令2==y x ,则有:()()()()222224=+=⨯=f f f f ,∴()12=f . 令2==y x ,则有:()()()()122222=+=⨯=f ff f∴()212=f.知识点九 求函数的值域求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示法等.方法1 观察法通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域. 如函数211xy +=,因为12+x ≥1,所以y <0≤1,即该函数的值域为{}10≤<y y .方法2 配方法常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义域来求函数值域的一种方法.注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域. 方法3 分离常数法形如bax dcx y ++=的函数常用分离常数法求值域.分离过程为: ()b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx y +-+=+-++=++= ∵0≠+-b ax a bcd ,∴a c y ≠ 所以函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠a c y y .方法4 换元法形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令d cx t +=(t ≥0),用t 表示出x ,并标明t 的取值范围,并代入函数解析式,将y 表示成关于t 的二次函数,最后用配方法求出值域.用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.方法5 图象法有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.方法6 判别式法形如fex dx cbx ax y ++++=22(d a ,中至少有一个不为0)的函数常用判别式法求值域.具体做法是:先把函数转化为关于x 的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式∆≥0,求出y 的取值范围,即为原函数的值域.(注意对二次项系数的讨论).方法7 反表示法根据函数解析式用y 表示出x ,根据原函数中x 的取值范围列出关于y 的不等式,不等式的解集即为原函数的值域. 例13. 求函数1-=x y 的值域. 分析:采用观察法求其值域. 解:∵x ≥0(x ≥0) ∴1-x ≥1-∴函数1-=x y 的值域为)[∞+-,1.例14. 求函数322+-=x x y 的值域,其中)[3,0∈x .分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解. 解:∵()213222+-=+-=x x x y∴函数图象的顶点坐标为( 1 , 2 ) ∵)[3,0∈x ,1)[3,0∈ ∴函数的最小值为2.∵()()633233,303=+⨯-==f f∴函数的值域为)[6,2. 例15. 求函数312-+=x x y 的值域. 分析:求形如bax dcx y ++=的函数的值域,常用分离常数法.解:()3723732312-+=-+-=-+=x x x x x y∵037≠-x ,∴2≠y ∴函数312-+=x x y 的值域为()()+∞∞-,22, .例16. 函数12++=x x y 的值域为__________.分析:形如d cx b ax y +++=()0≠a 的函数常用换元法求值域. 解:令12+=x t ,则t ≥0∴212-=t x∴()1121211222-+=+-=++=t t t x x y ∵t ≥0,01<- ∴y 随t 的增大而增大 ∴当0=t 时,21min -=y ,无最大值.∴y ≥21-. ∴函数12++=x x y 的值域为)⎢⎣⎡∞+-,21.注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,例17. 求下列函数的值域:(1)123422--+-=x x x x y ;(2)3274222++-+=x x x x y . 分析:对于形如fex dx cbx ax y ++++=22(d a ,中至少有一个不为0)的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.要求会用十字相乘法分解二次三项式.解:方法一(分离常数法):∵123422--+-=x x x x y∴()()()()()()1227211227122112312131+-=+-+=+-=+---=x x x x x x x x x y (1≠x 且21-≠x ). ∵()01227≠+x ,∴21≠y当1=x 时,3211231-=+⨯-=y∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .方法二(反表示法):由上面的方法得到:123+-=x x y (1≠x ) ∴y y x 213-+=(21≠y ) ∵1≠x ,∴1213≠-+y y ,解之得:32-≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2121,3232, .(2)∵3274222++-+=x x x x y∴整理得:()()0732222=++-+-y x y x y . 当2=y 时,0723≠+⨯,不符合题意,舍去;当2≠y 时,∵函数3274222++-+=x x x x y 的定义域为R∴()[]()()2734222-+--=∆y y y ≥0,解之得:29-≤y ≤2. 综上,函数的值域为)⎢⎣⎡-2,29.例18. 已知函数41)(xx x f -+=,求函数)(x f 的值域. 分析:先把函数解析式里面的绝对值去掉,化为分段函数的形式,然后画出函数的图象,由图象得出函数的值域.解:∵41)(xx x f -+= ∴()()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=021101)(x x x x f ,其图象如图所示.由图象可知,函数的只有为](1,∞-.例19. 求函数122+--=x x xx y 的值域.解:方法一(配方法):∵122+--=x x xx y∴4321111111112222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=+--+-=x x x x x x x y ∵43212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ≥43,∴4321102+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x ≤34∴31-≤14321112<+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x ∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.方法二(判别式法):∵122+--=x x xx y∴x x y xy y x -=+-22,整理得:()()0112=+-+-y x y x y∵函数122+--=x x xx y 的定义域为R∴关于x 的方程()()0112=+-+-y x y x y 有实数根.当1=y 时,01≠,不符合题意,舍去;当1≠y 时,有()()1412---=∆y y y ≥0,解之得:31-≤y ≤1综上,31-≤1<y∴函数的值域为)⎢⎣⎡-1,31.★例20. 已知)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83,试求())(21)(x f x f x F -+=的值域.解:∵)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡94,83∴83≤)(x f ≤94,∴98-≤)(2x f -≤43-,∴91≤1)(2x f -≤41 ∴31≤)(21x f -≤21. 令)(21x f t -=,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴()212t x f -=∴()()112121)(22+--=+-==t t t t F x F . ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31t ,∴)(t F 随着t 的增大而增大.∴当31=t 时,()971131212min =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F当21=t 时,()871121212max =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=t F ∴)(t F 的值域即()x F 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡87,97.。
高中数学函数知识点总结
函数一、函数的定义:1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则3.函数的表示方法:(1)解析法:明确函数的定义域(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。
4、函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.Cxx每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在Cxx .(2) 画法A、描点法:B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平移。
(3)函数图像平移变换的特点:1)加左减右——————只对x2)上减下加——————只对y3)函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4)函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5)函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6)函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7)函数y=f(x) 先作x≥0的图像,然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)二、函数的基本性质1、函数解析式子的求法(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.(2)、求函数的解析式的主要方法有:1)代入法:2)待定系数法:3)换元法:4)拼凑法:2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
八年级数学函数的相关概念知识点总结
八年级数学函数的相关概念知识点总结一、函数的概念:1、函数的定义:一般地,如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,并且对于变量 X 的每一个值,变量 y 都有唯一的值与它对应,那么我们称 y 是 x 的函数 (function),其中 x 是自变量。
例如某天的气温随时间变化的曲线如下图所示:从这条曲线可以看出温度是随时间变化的,也就是可以知道不同时间对应的温度和同一温度对应的未使用时间。
2、函数的表示法:可以用三种方法来表示函数: ① 图象法、② 列表法、③ 关系式法。
3、函数值:对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值,这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
二、理解函数概念时应注意的几点:① 在某一变化过程中有两个变量x与y;② 这两个变量互相联系,当变量x取一个确定的值时,变量y 的值就随之确定;③ 对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一的一个值与它对应。
如在关系式y^2 = x(x>0)中,当 x=9 时,y 对应的值为 3 或-3,不唯一 ,则 y不是 x的函数。
三、函数的应用:1、判别是否为函数关系;2、确定自变量的取值范围;3、确定实际背景下的函数关系式;4、由自变量的值求函数值;5.探究具体问题中的数量关系和变化规律。
四、典例讲解:例题1、下列各图像中,y 是 x 的函数的图像是( D )例题2、在函数变量为x , y,常量为 5 ,-3 ,自变量为x ,当 x = -1 时,函数值为 2 。
例题3、一名老师带领 x 名学生到动物园参观。
已知成人票每张 30 元,学生票每张 10 元。
若设门票的总费用为 y 元,则 y 与 x 的函数关系式为(A )例题4、下面的表格列出了一个实验的统计数据,给出的是皮球从高处落下时弹跳高度 b 与下降高度 d 的关系。
下列能表示这种关系的式子是( C)例题5、已知两个变量 x , y 满足 2x^2 - 3y + 5 = 0 , 试问:① y 是 x 的函数吗?② x 是 y 的函数吗?若是,写出 y 与 x 的关系式;若不是,请说明理由。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念,在很多学科领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、符号与表示、反函数等角度总结函数的相关知识点。
一、函数的定义函数是一种将每一个元素都映射到唯一的结果上的关系。
具体地说,如果每个元素 x 都有一个对应的元素 y,则可以表示为:f(x) = y其中,f 表示函数,x 是自变量,y 是因变量。
函数的定义域是自变量可能的值域,值域是因变量可能的值域。
二、函数的性质1. 一对一性:对于每一个 x,在函数中有唯一的 y 与之对应。
也就是说,不会有两个不同的 x 具有相同的 y 值,于是存在一个逆映射,反映自变量 y 在函数中对应的自变量 x。
简单地讲就是,每一个 x 对应一个 y,而且每一个 y 也都对应着一个 x,不存在重复的值。
2. 映射性:函数把每个定义域内的元素映射到值域中且无遗漏。
也就是说,对于定义域内的任何一个元素,都能在值域中找到相应的元素,并且一个元素只能对应一个元素。
3. 连续性:若对于定义域中的任意一个数 x,当 x 的取值无限接近某个数 a 时,对应的函数值 f(x) 也无限接近一个数 L,则称函数 f 在 x = a 处连续,其数值为 L。
三、符号与表示一般情况下,我们用小写字母 x 来表示自变量,用小写字母 y或 f(x) 来表示函数值。
一些特别的函数如指数函数 e^x,对数函数logx,三角函数 sinx、cosx、tanx 等,则用特定的符号表示。
同时,在符号表示时,会出现一些特殊的符号。
1. ∞ 表示无穷大,一般情况下分正负无穷大。
2. ∑ 是求和符号,表示把一列数加起来的结果。
3. + 和 - 符号可能同时表示加法和减法。
4. / 和 ×符号可能同时表示除法和乘法。
四、反函数反函数是指,若函数 f 将 x 映射到 y,则函数 f 的逆映射将 y 映射回 x。
相应地,如果 g 为函数 f 的逆映射,则 g(f(x)) = x,f(g(y)) = y。
函数的概念知识点
函数的概念知识点函数是数学中一个重要的概念,存在于各个数学分支以及其他学科中。
在数学中,函数可以描述两个变量之间的关系,而在计算机科学中,函数则是一段特定的代码块,用于完成特定的任务。
本篇文章将介绍函数的概念、数学函数和计算机函数的特点以及它们在不同领域中的应用。
一、函数的概念函数是一种映射关系,将一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。
数学函数通常表示为f(x),其中x是自变量,f(x)是因变量。
数学函数可以用各种方式表示,如方程、图表、图像等。
函数的定义域是自变量的取值范围,值域是因变量的取值范围。
函数的性质包括一一映射、多对一映射、奇偶性等。
二、数学函数的特点1. 一对一映射:在数学函数中,每个自变量对应唯一的因变量,且不同的自变量对应不同的因变量。
这种特性保证了函数的唯一性和可逆性。
2. 奇偶性:函数可以分为奇函数和偶函数。
奇函数满足f(x)=-f(-x),在坐标系中以原点对称;偶函数满足f(x)=f(-x),在坐标系中以y轴对称。
3. 单调性:函数可以是递增的、递减的或者保持不变的。
递增函数表示随着自变量增加,因变量也增加;递减函数表示随着自变量增加,因变量减少。
4. 极限:函数的极限可以描述函数在某一点处的趋势。
左极限和右极限分别表示自变量趋近于某一点时因变量的趋势。
5. 函数的图像:函数的图像可以通过绘制自变量和因变量的坐标点来表示。
图像可以反映函数的增减趋势、交点等特征。
三、计算机函数的特点在计算机科学中,函数是一段特定的代码,用于完成特定的任务。
计算机函数通常具有以下特点:1. 输入与输出:计算机函数接收输入数据,经过特定的处理后,输出结果。
输入可以是零个、一个或多个参数;输出可以是一个返回值或者执行特定的操作。
2. 模块化:函数可以作为程序中的独立模块,完成特定的功能。
这样可以提高代码的可维护性和可重用性。
3. 参数传递:函数可以接收参数,通过参数传递数据或配置信息。
函数的零点知识点总结
函数的零点知识点总结一、函数的定义与性质1.1 函数的定义在数学中,函数是一种将一个集合的元素(称为自变量)映射到另一个集合的元素(称为因变量)的规则或方法。
形式上,函数可以表示为f: X → Y,其中 X 是自变量的集合,Y 是因变量的集合,f 是一个特定的规则或方法。
1.2 函数的性质(1)定义域和值域:对于函数f: X → Y,定义域是指所有可能的自变量的取值集合,而值域是指所有可能的因变量的取值集合。
(2)单调性:函数在其定义域上的单调性描述了函数的增减规律。
一个函数可能是增函数、减函数或者不变函数。
(3)奇偶性:对于函数 f(x),如果 f(-x) = f(x),则称该函数为偶函数;如果 f(-x) = -f(x),则称该函数为奇函数。
(4)周期性:如果存在一个正数 T,使得对于任意的 x,有 f(x+T)=f(x),则称函数具有周期性,T 称为该函数的周期。
(5)连续性:如果一个函数在某个区间上具有连续性,即在该区间内任意两点 x 和 y 之间都存在一点 z,使得 f(z) 介于 f(x) 和 f(y) 之间,那么该函数在这个区间上是连续的。
(6)可导性:如果一个函数在某一点处具有导数,那么称该函数在该点可导。
二、零点的概念与方法2.1 零点的定义函数的零点是指使得函数取值为零的自变量。
形式上,如果 f(a) = 0,那么 a 就是函数 f 的一个零点。
2.2 求解零点的方法对于一般的函数,其零点通常需要通过特定的方法来求解,以下是一些常用的方法:(1)代数法:对于一些简单的函数,可以通过代数运算将函数转化成方程,然后直接求解方程来得到零点。
(2)图像法:通过绘制函数的图像,可以直观地看出函数的零点。
(3)数值法:对于复杂的函数,可以通过数值计算的方法来逼近函数的零点,如二分法、牛顿迭代法等。
(4)分析法:对于一些特殊函数,可以通过数学分析的方法来得到函数的解析解。
三、常见函数的零点3.1 一次函数的零点一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b,其中 a 和 b 是实数且a ≠ 0。
函数的知识点
函数的知识点函数的学问点第一篇定义与定义表达式一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax’2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a0时,抛物线向上开口;当a0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b’2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b’2-4ac0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ,则y=f(x)是周期为2 的周期函数;函数的学问点第三篇1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);(3)推断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为冗杂,应先化简,再推断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法:若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域,相当于x∈[a,b]时,求g(x)的值域(即f(x)的定义域);讨论函数的问题肯定要留意定义域优先的原则。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
函数知识点的复习考点1、平面直角坐标系定义;在平面内画两条------------------------的数轴,就组成了平面直角坐标系。
建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点,不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用有序——————表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。
当时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
3、不同位置的点的坐标的特征①各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限(,)点P(x,y)在第二象限(,)点P(x,y)在第三象限(,)点P(x,y)在第四象限(,)②坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上,--------坐标为0点P(x,y)在y轴上,--------坐标为0点P(x,y)既在x 轴上,又在y轴上,即点P坐标为()③两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上------与--------相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上----------与----------互为相反数④和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的------------相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的-------------相同。
例如AB平行于x轴,AB长度为4个单位且A(2,3)则B()AB平行于y轴,AB长度为4个单位且A(2,3)则B()点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:(1)点P(x,y)到x轴的距离等于()(2)点P(x,y)到y轴的距离等于((3)点P(x,y)到原点的距离等于()如P(2,6) 到x轴的距离等于()原点的距离等于()5对称性:若直角坐标系内一点P(a,b),则P关于x轴对称的点为P1(),P关于y轴对称的点为P2(),关于原点对称的点为P3().6坐标平移:若直角坐标系内一点P(a,b)向左平移h个单位,坐标变为P(),向右平移h个单位,坐标变为P();向上平移h个单位,坐标变为P(),向下平移h个单位,坐标变为P().如:点A(2,-1)向上平移2个单位,再向右平移5个单位,则坐标变为A()二,函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中,可以取不同数值的量叫----------数值保持不变的量叫----------。
一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值与它对应,那么就说x 是--------,y 是---------函数。
2、函数的三种表示法(1)两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫-----------。
(2)---------法(3)--------法(3)由函数解析式画其图像的一般步骤,-----------,-----------,-----------。
一次函数和正比例函数1、一次函数的概念:一般地,形如y = ---------- (k ,b 是常数,k≠0),那么y 叫做x 的一次函数。
特别地,当一次函数 中的b 为-------时,(k 为常数,)。
这时,y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数、正比例函数的图像一次函数y =kx +b(k≠0)的图像是经过点(0, )( ,0)的直线(,b 是直线与y 轴的交点的纵坐标,即一次函数在y 轴上的截距);正比例函数 的图像是经过( )的直线。
如y =3x +4于坐标轴的交点坐标( )和( ) 3、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式中的常数k 。
确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 (k 0)中的常数k 和b 。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
4、一次函数图象和性质(1)一次函数图象是过 两点的一条直线,|k|的值越大,图象越靠近于y 轴。
(2)当k>0时,图象过---------象限,y 随x 的-----------;从左至右图象----------(左低右高);(3)当k<0时,图象过----------象限,y 随x 的----------。
从左至右图象----------(左高右低); (4)当b>0时,与y 轴的交点( , )在正半轴;当b<0时,与y 轴的交点(0,b)在 ------半轴。
当b =0时,一次函数就是-------函数,图象是过---------的一条直线 (5)几条直线互相平行时 ,------值相等而--------不相等。
练习与提高1、已知m 是整数,且一次函数(4)2y m x m =+++的图象不过第二象限,则m 为 .2、若直线y x a =-+和直线y x b =+的交点坐标为(,8)m ,则a b += .3、在同一直角坐标系内,直线3y x =+与直线23y x =-+都经过点 .4、当m 满足 时,一次函数225y x m =-+-的图象与y 轴交于负半轴5、函数312y x =-,如果0y <,那么x 的取值范围是 .6、如图1是函数152y x =-+的一部分图像,(1)自变量x 的取值范围是 ;(2)当x 取 时,y 的最小值为 ;(3)在(1)中x 的取值范围内,y 随x 的增大而 .7、已知函数y=(k-1)x+k 2-1,当k_______时,它是一次函数,当k=_______•时,它是正比例函数.8、已知一次函数y kx b =+的图象经过点(2,5)-,且它与y 轴的交点和直线32xy =-+与y 轴的交点关于x 轴对称,那么这个一次函数的解析式为 . 9、一次函数y kx b =+的图象过点(,1)m 和(1,)m 两点,且1m >,则k = ,b 的取值范围是 .11、一次函数1y kx b =+-的图象如图2,则3b 与2k 的大小关系是 ,当b = 时,1y kx b =+-是正比例函数.12、b 为 时,直线2y x b =+与直线34y x =-的交点在x 轴上.13、已知直线42y x =-与直线3y m x =-的交点在第三象限内,则m 的取值范围是 . 一次函数的应用 例1、某地上年度电价为0.8元,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55~0.75元之间,经测算,若电价调至x 元,则本年度新增用电量y (亿度)与(x —0.4)(元)成反比例,又当x =0.65时,y =0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%?[收益=用电量×(实际电价-成本价)]例2、汽车从A站经B站后匀速开往C站,已知离开B站9分时,汽车离A站10千米,又行驶一刻钟,离A站20千米.(1)写出汽车与B站距离y与B站开出时间t的关系;(2)如果汽车再行驶30分,离A站多少千米?例3、甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥,已知甲库可调出100吨水泥,乙库可调出80吨水泥,A地需70吨水泥,B地需110吨水泥,两库到A,B两地的路程和运费如出它的图象(草图).(2)当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时,总运费最省?最省的总运费是多少?问题3 怎样调水从A,B两水库向甲乙两地调水,其中甲地需水15万吨,乙地需水13万吨,A,B两水库各可调水14万吨,从A地到甲地50千米,到乙地30千米,从B地到甲地60千米,到乙地45千米。
设计一个调运方案,使得水的调运量(单位:万吨×千米)最小1、反比例函数的概念一般地,形如y =---------(k 是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成---------,和----------- 的形式。
自变量x 的取值范围是----------, 2、反比例函数的性质和图像1)反比例函数 的图像形状是-------------且关于------------对称所以只要描出它在一个象限内的分支,再对称地画出另一分支。
反比例函数与正比例函数的交点关于-------对称 例如,y =x8于y =2 x 的交点(2,4)则另一个交点( ) (1),当k>0时,函数图像的两个分支分别在---------象限。
在每个象限内,y 随x 的---------------(2)当k<0时,函数图像的两个分支分别在-----------象限。
在每个象限内,y 随x 的-----------。
性质2:反比例函数xk y =的图象关于直线x y ±=对称性质3:随着k 的增大,反比例函数xk y =的图象的位置相对于坐标原点越来越远3、反比例函数解析式的确定确定的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数 中,只有一个待定系数,因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标,即可求出k 的值,从而确定其解析式。
4、反比例函数中反比例系数的几何的意义过反比例函数 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ,PN ,则所得的矩形PMON 的面积S=PM PN= -------例1。
如图,直线l 和双曲线ky x=(0k >)交于A 、B 两点,P 是线段AB 上的点(不与A 、B 重合),过点A 、B 、P 分别向x 轴 作垂线,垂足分别为C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ,设△AOC的面积为1S 、△BOD 的面积为2S 、△POE 的面积为3S ,则有( )A .123S S S <<B .123S S S >>C . 123S S S =<D .123S S S => 例2.如图,双曲线y=x k与直线y=mx 相交于A 、B ,则A 点坐标( )例3;已知反比例函数的图象经过点A (2,6),(1)这个函数的图象分布在哪个象限?y 随x 的增大如何变化?(2)点B (3,4)、C (- 212 ,- 445 )和D (2,5)是否在这个函数的图像上?例4;如图是反比例函数y= m- 5x 的图象的一支,根据图象回答下列问题:(1)图象的另一支在哪个象限?常数m 的取值范围是什么? (2)在图中的图象上取点A (a ,b )和 B (a ′,b ′),如果a >a ′,那么b 和b ′有]二次函数1、二次函数的概念:一般地,形如y =-------------(其中 ),那么y 叫做x 的二次函数。
叫做二次函数的一般式。
二次函数的图像是----------- 抛物线的a ,b ,c 的作用1)当二次项系数a 决定二次函数图像的开口方向和大小。