《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数-九年级上册数学人教版PPT课件
03-第二十二章22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k的图象和性质
确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是x=-1
C.顶点坐标是(-1,2) D.与x轴没有交点
答案 D ∵y=(x-1)2+2,∴抛物线开口向上,对称轴为x=1,顶点坐标为 (1,2),故A、B、C均不正确.∵抛物线开口向上,顶点(1,2)在第一象限, ∴抛物线与x轴没有交点,故D正确.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
的面积为16,则抛物线l2的函数表达式为
.
图22-1-3-2
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
解析 当y=0时,有 1 (x-2)2-2=0,
2
解得x1=0,x2=4,∴OA=4.
∵S阴影=OA·AB=16,∴AB=4,
∴抛物线l2的函数表达式为y= 1 (x-2)2-2+4= 1 (x-2)2+2.
当x=0时,y有最大值,y最大值=k
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例1 (2017湖南邵阳模拟)关于二次函数y=-2x2+1的图象,下列说法中,正 确的是 ( ) A.对称轴为直线x=1 B.顶点坐标为(-2,1) C.可以由二次函数y=-2x2的图象向左平移1个单位得到 D.在y轴的左侧,图象上升,在y轴的右侧,图象下降
当x=h时,y有最大值,y最大值=0
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
栏目索引
例2 (2017广东潮州潮安期中)二次函数y=3x2+1和y=3(x-1)2,以下说法:
①它们的图象都是开口向上;②它们的图象的对称轴都是y轴,顶点坐标
都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它
22. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
解析式是( C )
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x2＋1
D．y＝x2＋3
10．(202X·德州)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋ a的图象可能是( C )
11．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝__4__， c＝_－__3_．
15．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A，B两点，顶点是C. (1)求△ABC的面积； (2)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°，若存在，要求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)S△ABC＝12×4×4＝8 (2)存在．设 Q(m，－m2＋4)，连接 OQ，易知 OQ＝12AB＝2，∴m2＋(4－m2)2＝4，解得 m＝±2，m＝± 3. 但 m＝±2 时，点 Q 在 x 轴上，不合题意，∴点 Q 坐标为( 3，1)或(－
练习2：抛物线y＝－ 1 x2－3的顶点坐标是___(_0_，__－__3_)_____，对称轴 2
是__y_轴_____．
知识点1：二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
1．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正 确的是( D )
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2
练 习 1 ： 将 抛 物 线 y ＝ x2 向 上 平 移 两 个 单 位 后 的 函 数 解 析 式 为 _______________．
y＝x2＋2
2 ． 对 于 抛 物 线 y ＝ ax2 ＋ k ， 当 a ＞ 0 时 ， 开 口 _向__上____ ， 对 称 轴 是 ___y_轴___，顶点为__(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而_增__大_____；当x ＜0时，y随x的增大而__减__小____．当a＜0时，开口_向__下_____，对称轴是 __y_轴___，顶点为___(_0_，__k_)__；当x＞0时，y随x的增大而___减__小___；当x ＜0时，y随x2个单位得到抛物线y＝－3x2＋2，则a ＝____－，3c＝____4．
人教版九年级上册22.1.3二次函数y=a(x-h)2 k图象和性质课件
的对称轴是直线 （ A）
2. 二次函数y=－(x－1)2+2有
（B ）
A. 最大值1
B. 最大值2
C. 最小值1
D. 最小值2
3. 将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平 移2个单位，那么所得抛物线的解析式是（ B ） A. y=(x+2)2+2 B. y=(x+2)2－2 C. y=(x－2)2+2 D. y=(x－2)2－2
问此球能否投中？
20
4米
3米
9
4米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高 度为多少时能将篮球投入篮圈?
• 在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
课后练习
A组
1. 抛物线y=(x－2)2－
A. x=2 C. x=
B. x=－2 D. x=－
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
描点、连线
y1(x1)21 2
…
-5.5 -3 -1.5 -1
直线x=－1
-1.5
-3
-5.5
…
(1)抛物线 y1(x1)21
y 1
2
的开口方向、对称轴、顶点?
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
y1(x1)21
-5
2
4. 抛物线y=2(x－3)2+2的顶点坐标是（ B ）
A. (－3,2)
B. (3,2)
C. (－3,－2)
D. (3,－2)
5. 将抛物线y=－x2向右平移1个单位，再向上平移2 个单位后，得到的抛物线的解析式为 _____y_=_－__(_x_－__1_)_2+_2________．
《 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章二次函数二次函数的图像和性质教学设计第 3 课时二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
1.使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
【教学重点】理解函数y=a(x－h)2＋k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系。
【教学难点】正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。
多媒体课件等。
◆教学目标◆教材分析◆教学重难点◆◆教学过程◆课前准备◆一、复习回顾。
1. 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:1）y = ax22）y = ax2+c3）y = a（x - h）2我们已经学习了形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系?知识点一:y=a(x-h)2+k的图象和性质。
二、合作交流，探究新知。
1. 在同一坐标系内,画出二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x-1)²+1的图象。
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
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x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
第11讲二次函数y=a(x-h)^2 k的图像及性质-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
圆梦堂文化培训学校精品班教案第 11 讲要点1二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1. 二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条，其对称轴是轴，顶点坐标为 .2. 抛物线y＝ax2＋k，当a>0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而；当a<0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而.要点2二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象之间的平移当k>0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向上平移个单位得到的；当k<0时，y＝ax2＋k是将y ＝ax2的图象向平移|k|个单位得到的.要点3二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1. 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条，其对称轴是，顶点坐标为.2. 抛物线y ＝a (x －h )2，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点4 二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2图象之间的平移当h >0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向右平移 个单位得到的；当h <0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向 平移|h |个单位得到的. 要点5 二次函数y ＝a (x －h )2+k 的图象和性质1. 二次函数y ＝a (x －h )2+k(a ≠0)的图象是一条 ，其对称轴是 ，顶点坐标为 .2. 抛物线y ＝a (x －h )2+k ，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点6 二次函数y ＝a (x －h )2+k 与y ＝ax 2图象之间的平移y ＝a (x －h )2+k 是将y ＝ax 2的图象向右(左）平移 个单位再向上（下）平移 个单位得到的；左加右减自变量；上加下减函数值。
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(第1课时)》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章 二次函数22.1二次函数的图象和性质 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象和性质教学设计 第 1 课时一、教学目标1．使学生理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系． 2．会确定二次函数y =ax 2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：理解二次函数y =ax 2＋k 的性质及其图象与y =ax 2的图象之间的关系． 难点：正确理解二次函数y =ax 2＋k 的图象与二次函数y =ax 2的图象之间的关系以及二次函数y =ax 2＋k 的性质．三、教学用具多媒体课件，三角板或直尺。
四、相关资源《二次函数y =ax 2图象与性质的复习》动画，《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象画法》动画，《《二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象》图片，《函数2133y x =+，2123y x =-》动画）。
五、教学过程【复习提问】你能说出二次函数y =ax 2的性质吗？师生活动：教师提出问题，全班学生回顾，一起回答问题．小结：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小，|a |越小，抛物线的开口越大．如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：让学生温习已学的知识，巩固上节课的内容，为本节课作铺垫． 【合作探究】1．在同一直角坐标系中，画出二次函数y =2x 2＋1，y =2x 2－1的图象．师生活动：师生一起完成列表，再由学生画出图象，交流成果，如图所示，教师投影订正．在学生画函数图象时，教师巡视指导．解：（1）列表：（2）描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y =2x 2＋1和y =2x 2－1的图象．设计意图：通过学生动手画二次函数2y ax k =+的图象，给学生创设活动时间和空间，体现教师是主导，学生是主体的教学地位，让学生经历知识的发生、发展的过程，并通过观察、分析、探索出二次函数2y ax k =+的图象的有关性质，培养学生数形给合的思想．2．思考：（1）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？此图片是动画缩略图，此处插入交互动画《【知识探究】画二次函数平移的图象》，可以对y =ax 2图象上下平移得出y =ax 2±k 的图象,观察、分析函数y =ax 2±k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.师生活动：让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见．教师聆听，关注学生回答是否正确．小结：抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1的开口都是向上，对称轴都是y 轴，顶点分别是（0，1）与（0，－1）．（2）抛物线y =2x 2＋1，y =2x 2－1与抛物线y =2x 2有什么关系？师生活动：让学生观察三个函数图象，说出把抛物线y =2x 2的图象向上平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2＋1；把抛物线y =2x 2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y =2x 2－1．（3）抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2有什么关系？师生活动：四人一小组，小组讨论、交流．教师巡查，关注学生是否认真讨论，能否讨论归纳得出结论．归纳：抛物线y =ax 2＋k 与y =ax 2形状相同，位置不同；当k ＞0时，抛物线y =ax 2向上平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ； 当k ＜0时，抛物线y =ax 2向下平移|k |个单位长度可以得到抛物线y =ax 2＋k ．设计意图：通过分析、小组合作探究，引导学生完成对知识的归纳，符合学生的认知规律，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，完成由实践上升到理论这一认知过程．【例题分析】例 分别在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：2133y x =+，2123y x =-。
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿
人教版九年级数学上册22.1.4《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》说课稿一. 教材分析《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》是人教版九年级数学上册第22章第1节的一部分。
这部分内容是在学生已经学习了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。
通过这部分的学习，学生能够理解二次函数的图象特征，掌握二次函数的顶点式，并能够运用二次函数的性质解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，学生能够自主探索二次函数的图象和性质，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学的兴趣和自信心，培养学生的合作意识和探究精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数的顶点式，掌握二次函数的图象特征。
2.教学难点：学生能够运用二次函数的性质解决实际问题，理解二次函数的图象和性质之间的关系。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探究，激发学生的学习动力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的合作意识和团队精神。
4.数形结合法：通过绘制二次函数的图象，引导学生观察和分析，帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考二次函数的图象和性质，激发学生的学习兴趣。
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT精品教学课件
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是 抛物线 ；
(2)三条抛物线的开口方向__向__下___;
(3)对称轴分别是__x=_-_1_,_x_=_1__；
(4) 从左到右顶点坐标分别是(_-_1_,_0_)___(_1_,_0_)_;
y 1 x+12
y y = 2x2+1 y = 2x2 -1
把抛物线y=2x2 向上 平移 1 个单位就得到
8 y = 2x2
抛物线y=2x2+1;把抛物线y=2x2向下平移 1 个单
6
位就得到抛物线y=2x2-1.
4
2
所以，y = 2x2 -1的图象还可以由抛物线
y = 2x2+1 向下 平移 2 个单位得到.
-4 -2 O 2 4 x -1
2
y 1 (x 1)2 2
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12 的图象，并考虑它们的开口方向、对称
2
2
轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
(5)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值均为__y_=_0_； (6)函数的增减性都相同： 对称轴左边时_y_随__x_增__大__而__增__大_， 对称轴右边时_y_随__x_增__大__而__减__小__.
y 3x2
顶点 (0,0)
y 3x2 2
y 3x2 3
向下平移
向上平移
两个单位长度
5个单位长度
(0, -2)
(0, 3)
巩固练习
1.下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( A )
人教版九年级上册数学第22章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．
解：①当 MA＝MB 时，M(0，0)； ②当 AB＝AM 时，M(0，－3)； ③当 AB＝BM 时，M(0，3＋3 2)或 M(0，3－3 2)． 所以点 M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)．
A
A．(1，3) B．(1，－3)
C．(－1，3) D．(－1，－3)
3．(中考·呼伦贝尔)二次函数y＝(x＋2)2－1的图象大致为( ) D
4．下列二次函数中，图象以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1
B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 C D．y＝(x＋2)2－3
＝8时，y＝8，( )
A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0
C
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞0
【点拨】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，代入函数解析式整理得a(9－2h) ＝1.将h的值分别代入即可得出结果．
9．抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状________，位置相__同______．把抛物线y＝ ax2向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、 距离不要同根据__________的值来决定．
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质 第5课时 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图
象和性质
提示：点击 进入习题
(1)向上；向下 (2)x＝h； 1 (h，k)
(1)增大；减小；小；k 6 (2)减小；增大；大；k
答案显示
2A
7D
人教版数学九年级上册《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数1
8
y = 2x2－1
6
4
2
－4 － 2 －2
24
观察上述图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、 函数最值、函数增减性.
新知探究 知识点1
函数 y=ax2+k(a≠0) 的性质： 几何性质： 1.抛物线 y=ax2+k 开口方向由 a 决定：
当 a>0 时，开口向上，当 a<0 时，开口向下； 2.对称轴是 y 轴； 3.顶点坐标是 (0，k)； 4.|a| 决定了抛物线的开口大小.
性质
1.开口方向由 a 的符号决定； 2. k 决定顶点位置； 3.对称轴是 y 轴.
增减性结合开口方向 和对称轴才能确定.
与 y=ax2 的关系
平移规律： k 正向上平移； k 负向下平移.
图象
二次函数 y=a(x-h)2 的 图象及性质
性质
1.开口方向由 a 的符号决定； 2. 顶点坐标为(h，0)； 3.对称轴是 x=h.
a，h的符号
二次函数 y=a(x-h)2 的图象和性质 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0
a<0，h<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线 x=h
（h，0）
当 x<h 时，y 随 x 增大 而减小；当 x>h 时，y 随 x 增大而增大.
x=h 时，y最小值=0
当 x<h 时，y 随 x 增大而 增大；当 x>h 时，y 随 x 增大而减小.
已知函数 y=-(x-1)2 图象上两点 A(2，y1)，B(a，y2)，其中 a>2，则 y1 与 y2
人教版九年级上册数学《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT教学课件
解：如图,以水管与地面交点为原点，
3
原点与水柱落地处所在直线为x轴，水
管所在直线为y轴，建立直角坐标系.
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是y=a(x-1)²+3（0≤x≤3）
由这段抛物线经过点(3,0)可得
0=a(3-1)²+3，
3
解得a
3 4
因此y=-
3 4
(
x
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像：
1
y＝ 2 x2，
y = 1 x2
2
y y＝ 1 (x+2)2 ， 2
y＝
1 2
(x+2)2
，
y＝ 1 (x -2)2 . 解：图象如图.
2
观察三条抛物线的位置关系，并分别 指出它们的开口方向，对称轴和顶点。
-2 O
2 y＝
x
1
(x
-2)2 .
2
练习
【教材
1.抛物线y 1 (x 1)2 1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 2
抛物线y 1 (x 1)2 1 的开口__向__下__、对称轴 2
_直__线__x_=_－__1、顶点是_(_-_1_,_-_1_).
直线x=－1
2.抛物线y 1 (x 1)2 1 的最值、增减性又如何？ 2
(1)顶点都是最__高__点，函数都有最__大__值，最 _大___值为__y_=_-_1__; (2) 当x＞-1(对称轴右侧)时_y_随__x_增__大__而__减__小__， 当x＜-1时(对称轴左侧) _y_随__x_增__大__而__增__大__.
拓展延伸
7.小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线 y= 1x2+3.5的一部分(如图)，若命中篮圈中心，
人教版九年级数学上册 (二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质)二次函数课件
y 1 x 12 1
2
10 y 8 6 4 2
-5 -4 -3 -2 -1-O2 1 2 3 4 5 x
-4 -6 -8 -10
知识点框架
总结归纳
的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
最值
增减性
a>0
向上
（h,k）
直线x=h
当x=h时，y有最 小值k．
当x>h时，随的增大而增大； 当x<h时，随的增大而减小；
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
A2
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
1
B(1，3)
解得:
a=－
3 4
因此抛物线的解析式为:
当x=0时,y=2.25.
O
y= －43 (x－1)2＋3
12 (0≤x≤3)
答:水管长应为2.25m.
C(3,0)
作业布置
7．已知抛物线 y=a(x﹣2)2+1 经过点 P（1，﹣3） (1)求 a 的值； (2)若点 A（m，y1）、B（n ，y2）（m＜n＜2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
下节课见！
第二十二章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应 用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间 的联系.（难点）
当x>h时，随的增大而减小； 当x<h时，随的增大而增大；
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导入新课
复习引入
1.说出下列函数图象的开口方向，对称轴，顶点，最
值和增减变化情况: y
(1)y=ax2
O
y
(2)y=ax2+k
Ox
y
O
x
x
y
y
Ox
Ox
y
Ox
y
y
yy
Ox O
x
(3)y=a(x-h)2
Ox O x
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、 对称轴及最值? 向上平移3个单位 y=-2x2+3
2.如果一条抛物线的形状与
y 1 x2 2 3
形状相
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 ( x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格:
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
0)．
(1)求a的值;
(2)若A(m， y1)、B(m＋n， y2)(n＞0)是该函数图象上 的解两: 点(1)，将(3，当y10＝)代y入2时y＝，a(x－求1)m2－、4，n之间的数量关系．
得0＝4a－4， 解得a＝1; (2)根据题意， 得y1＝(m－1)2－4， y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4， 即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0， ∴m－1＝－(m＋n－1)， 化简， 得2m＋n＝2;
例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管.在 水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中 心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池 中心3m，水管应多长?
12 (0≤x≤3)
答:水管长应为2.25m.
C(3，0)
3x
二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
探究归纳
怎样移动抛物线
y
1 2
x2
就可以得到抛物线
y 1 ( x 1)2 1
2
？
向左平移 y 1 (x 1)2 1 2 1个单位
平移方法1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 x2 1
2
1y
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8 -9
y 1 ( x 1)2 1
-10
2
怎样移动抛物线
y
1 2
x2就可以得到抛物线
y
1 2
(x
1)2
1？
平移方法2
y 1 (x 1)2 2
1
个 单 位
向 下 平 移向左平移 y 1 x2再描点、连线1y
y 1 ( x 1)2 1 2
开口方向向下; 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1，-1)
-5 -4 -3 -2 -1-1O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
直线x=－1
-8 -9
-10
y 1 ( x 1)2 1 2
试一试
画出函数y=2(x+1)2-2图象， 并说出抛物线的开
移平
简记为: 上下平移， 括号外上加下减;
y = ax2 + k
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平
移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
口方向、对称轴、顶点.
y
8
开口方向向下;
6
4
对称轴是直线x=-1;
2
顶点坐标是(-1，-2)
-4 -2 O 2 4
x
-2
知识要点 二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
（h,k）
最值
当x=h时，y最小值=k
3.把y=-2x2的图像 向左平移2个单位 y=-2(x+2)2
4.请猜测一下， 二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否 可以由y=-2x2平移得到? 你认为该如何平移呢?
y
y 2 x 22 3 3
y
y 2 x 22 3
3
-2 O
X
-2 O
X
y 2x2 3
y 2 x2 y 2 x 22
当x=h时，y最大值=k
增减性
当x＜h时，y随x的增大 而减小；x＞h时，y随x 的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而 减小；x＜h时，y随x的增 大而增大.
顶点式
y a x h2 k a 0
h 0, k 0 y ax2 h 0, k 0 y ax2 k
k 0, h 0 y a x h2
y 2x2
讲授新课
一 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
探究归纳
例1 画出函数
y
1 2
( x 1)2
1
的图像.指出它的开口
方向、顶点与对称轴.
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y 1 (x 1)2 1 …
2
-5.5
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5
…
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示， 则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析: 根据二次函数开口向上则a＞0， 根据－c 是二次函数顶点坐标的纵坐标， 得出c＞0， 故一 次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象
例2. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，
第二十二章 二次函数 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象的性质并会应 用.(重点） 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间 的联系.（难点）
解:如图建立直角坐标系，
点(1，3)是图中这段抛物线的顶点. y
因此可设这段抛物线对应的函数是 3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
A 2
∵这段抛物线经过点(3，0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
1
B(1， 3)
解得:
a=－
3 4
因此抛物线的解析式为:
当x=0时，y=2.25.
O
y= －43 (x－1)2＋3
2
1个单位
y 1 (x 1)2 1 2
1y
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
-7
-8 -9
y 1 ( x 1)2 1
-10
2
要点归纳
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
平移规律 左 右
移平
y = a( x - h )2 + k 上 下