电子工程数学方法-复变函数论绪论及第1章
《复变函数》第1章
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4
复变函数论
复变函数产生于十八世纪，主要由欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等数学家创建。
到上九世纪，由于柯西、维尔斯特拉斯、黎曼等数学家的工作，使得复变函数理论得到全面发展并变成十分热C ]的新数学分支。
二土世纪初，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域。
到今天复变函数已有三百多年的历史，被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学、自动控制学.信号理、电子工程、量子信息与量子计算等领域。
复变函数论以其完美的理论体系与独特的技巧方法成为数学学科的一个重要组成部分，推动了许多学科的发展，成为解决某些理论与实际问题的强有力工具。
目录引言第一章复数与复变函数§1.复数1.复数域2.复平面3.复数的模与辐角4.复数的乘幂与方根5.共轭复数6.复数在几何上的应用举例§2.复平面上的点集1.平面点集的几个基本概念2.区域与若尔当(Jordan)曲线§3.复变函数1.复变函数的概念2.复变函数的极限与连续性§4.复球面与无穷远点1.复球面2.扩充复平面上的几个概念第一章习题第二章解析函数§1.解析函数的概念与柯西-黎曼方程1.复变函数的导数与微分2.解析函数及其简单性质3.柯西-黎曼方程§2.初等解析函数1.指数函数2.三角函数与双曲函数§3.初等多值函数1.根式函数2.对数函数3.一般幂函数与一般指数函数4.具有多个有限支点的情形5.反三角函数与反双曲函数第二章习题第三章复变函数的积分§1.复积分的概念及其简单性质1.复变函数积分的定义2.复变函数积分的计算问题3.复变函数积分的基本性质§2.柯西积分定理1.柯西积分定理2.柯西积分定理的古莎证明3.不定积分4.柯西积分定理的推广5.柯西积分定理推广到复周线的情形§3.柯西积分公式及其推论1.柯西积分公式2.解析函数的无穷可微性3.柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理4.摩勒拉(Morera)定理5.柯西型积分§4.解析函数与调和函数的关系§5.平面向量场——解析函数的应用(一)1.流量与环量2.无源、漏的无旋流动3.复势第三章习题第四章解析函数的幂级数表示法§1.复级数的基本性质1.复数项级数2.一致收敛的复函数项级数3.解析函数项级数§2.幂级数1.幂级数的敛散性2.收敛半径R的求法、柯西-阿达马(Hadamard)公式3.幂级数和的解析性§3.解析函数的泰勒(Taylor)展式1.泰勒定理2.幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况3.一些初等函数的泰勒展式§4.解析函数零点的孤立性及惟一性定理1.解析函数零点的孤立性2.惟一性定理3.最大模原理第四章习题第五章解析函数的洛朗(Laurent)展式与孤立奇点§1.解析函数的洛朗展式1.双边幂级数2.解析函数的洛朗展式3.洛朗级数与泰勒级数的关系4.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式§2.解析函数的孤立奇点1.孤立奇点的三种类型2.可去奇点3.施瓦茨(Schwarz)引理4.极点5.本质奇点6.皮卡(Picard)定理§3.解析函数在无穷远点的性质§4.整函数与亚纯函数的概念1.整函数2.亚纯函数§5.平面向量场——解析函数的应用(二)1.奇点的流体力学意义2.在电场中的应用举例第五章习题第六章留数理论及其应用第七章共形映射第八章解析延拓第九章调和函数。
复变函数课件-复变函数1绪论
02
复变函数
复变函数
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03
微分与积分
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的量度，表示函数在该点附近的小范围内变化的 情况。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的切线等方面有广泛应用。
柯西-黎曼方程
柯西-黎曼方程是由法国数学家 柯西和挪威数学家黎曼分别独 立发现的，是复变函数中解析 函数的必要条件。
柯西-黎曼方程是由两个偏微分 方程构成的方程组，描述了复 平面上的可微函数在任意一点 处的导数关系。
柯西-黎曼方程是复变函数中解 析函数的充要条件，即如果一 个复函数在某区域内的全纯导 数存在且满足柯西-黎曼方程， 则该函数在该区域内是解析的 。
单连通区域
一个区域如果不能被分成两个分离的子区域，则称该区域为单连通区域。
单连通区域的共形映射
对于单连通区域，存在唯一的共形映射将该区域映射到单位圆。这个映射可以通过一些特定的函数（如幂函数和 指数函数）来构造。
多连通区域的共形映射
多连通区域
一个区域如果有多个连通的子区域，则称该区域为多连通区域。
复数的几何意义
总结词
复数可以用平面坐标系中的点或向量表示，实部为x轴上的坐 标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以用几何图形来表示。在平面坐标系中，每一个复数 z=a+bi可以对应一个点(a,b)或向量从原点O(0,0)指向点(a,b) 。实部a是横轴上的坐标，虚部b是纵轴上的坐标。这种表示 方法有助于理解复数的几何意义和性质。
06
共形映射共形映射的定义 Nhomakorabea共形映射
复变函数论第1章第1节
由此可知， 复数的加(减)法
y y
oz
z x iy
与向量的加 (减)法运算相一致.
(因此可借助向量加法的平行 四边形法求复数的和差.)
o x x
例如， 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 则
z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ) .
π i 2
1 1 (cos 0 i sin 0) e ,
2 2 (cosπ i sinπ )
0i
2e ,
πi
e 1 , e
πi
2 kπ i
1
( k 0, 1,) .
例4 把复数 z 1 cosα i sinα , (0 α π )化为 三角表示式与指数表示 式, 并求 z 的辐角的主值.
o
θ
r oz
z
z x iy
x
x
z x iy 时， 向量 oz的长度称为复数 z的模 或绝对
r z x2 y2 .
复数和差的模的性质
y
z1 z2 z1 z2
z1 z2 z2 z1
(1.2)
（三角形两边之和大于 第三边）
o
x
z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离, 记作 d ( z1 , z2 ) y z2 z1 z2 即 d ( z1 , z2 ) | z1 z2 |, 于是有 z1 z2
4. 复数的三角表示式与指数表示式
利用直角坐标与极坐标的关系
x r cosθ ,
y r sinθ ,
非零复数 z 可以表示成
z r (cos i sin )
复变函数ppt第一章
y
i
0
r
θ
z ．,=y)x + iy (x
x
x
x = r cos θ y = r sin θ
(3) 指数形式
z = r cos θ + ir sin θ
Euler eiθ = cos θ + i sin θ
iθ
28
z = re
常根据需要,三种形式相互转换.
例3 将下复数化为指数形式
z = 1 − cos ϕ + i sin ϕ
32
例6
求复数 z = −4e
参考解答
π
3
i
的模和辐角主值.
例7
已知正三角形的两个顶点为(0,0),(3,2), 求另一顶点.
参考解答
完
33
思考 已知正方形的两个对角顶点为(0,0),(1,1),求另 一对顶点. Ref：(0,1),(1,0) y
z2
z1(1,1)
0
z3
x
完
34
复数的幂与方根
(2) z = 3 + i
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
完
23
辐角
辐角 实轴正向到非零复数z所对应的向量oz 间的夹角 θ 满足 y tgθ = x 称为复数z 的辐角(Argument).
记作 θ = Argz ,任何非零复数都有无穷多个 的辐角.
24
辐角主值
常以a rg z表示一个特定值
−π < a rg z ≤ π
参考解答
(0 < ϕ ≤ π )
例4 求-4-3i 的辐角
参考解答
例5 已知z=x+iy(z=0),证明Argz=-Argz, 并讨论argz 和 argz 的关系.
复变函数论第三版钟玉泉PPT第一章资料
13
两个共轭复数z, z 的积是一个实数 .
2019/3/2
复变函数
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5. 复数域: 全体复数在四则运算这个代数结构下构 成一个复数域,记作C.实数域和复数域都是代数学 中所研究的域的概念的实例. 6. 共轭复数的性质: z z (1) z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; 1 1 ; z2 2 2 z2 ( 2) z z; ( 3) z z Re( z ) Im( z ) ; (4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ). z1 z1 例1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2 解 z1 (5 5i )( 3 4i ) 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i ) ( 15 20) (15 20)i 7 1 z1 i. 7 1 i. 25 5 5 z2 5 5
6
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复变函数
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7
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复变函数
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背景
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。 为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实 数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复 数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又 得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数 看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪， J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(17071783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义， 澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究 了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛 承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。
复变函数论课件1.1
1 3 1 3 即0 1, 1 i , 2 i. 2 2 2 2
五.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. •共轭复数的性质
(1) ( z1 z2 ) z1 z2
( z1 z2 ) z1 z2
( 2) z z
(4) z z 2 Re (z ) z z 2i Im (z )
2、复数运算：
(a1 ib1 )(a2 ib2 ) (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 a2b1 )
(a1 ib1 ) (a2 ib2 ) (a1 a2 ) i(b1 b2 )
(1) 复数的相等:它们的实部与虚部分别相等。 (2) 复数的四则运算定义为：
三、复数的模与辐角:
1、复数的模：向量的长度称为复数的模，定义 为：
| z | x y
2
2
( x, y )
复数的模满足如下不等式：
(1) | z1 z2 || z1 | | z2 | (2) | z1 z2 ||| z1 | | z2 || (3) | z1 z2 || z1 | | z2 |
第一章、复数与复变函数
第一节、复数
一、复数域
1、复数定义 ：每个复数具有 z=x+iy 的形状，其中 x
和y是实数，i是虚数单位(-1的平方根）。 x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：
x Re z, y Im z
如果 Imz=0 ，则 z 可以看成一个实数；如果 Imz不等于零，那么称z为一个虚数；如果Imz 不等于零，而Rez=0，则称z为一个纯虚数。
(4) | z1 z2 ||| z1 | | z2 || (5) | Re z || z |, | Im z || z |
复变函数论第1章第3节
( x , y ) → ( x 0 , y0 ) ( x , y )∈E
lim
u( x , y ) = a ,
( x , y )→ ( x 0 , y 0 ) ( x , y )∈E
lim
v( x, y ) = b ,
说明
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
π 3
w
2π 3
o
2
x
o
4
u
3 复变函数的极限与连续性
上有定义， 定义1.15 定义1.15 设函数 w = f ( z ) 于点集 E 上有定义， z0 为 E 的聚点 . 若存在一复数 w0 使对任给的 ε > 0, 有 δ > 0 , 只要 0 <| z − z0 |< δ , z ∈ E , 就有
π
3
的直线 ；
( 3) 双曲线 x 2 − y 2 = 4 .
解： 设 z = x + iy = r (cosθ + i sinθ ) ,
w = u + iv = R(cosφ + i sinφ ) .
则
R = r 2 , φ = 2θ .
因此， 因此，
w = z2 R = r 2 ,φ = 2θ .
w 平面
F
u
与点 z 对应的点 w = f ( z ) 称为点 z 的像点， 像点， 而 z 称为点 w = f (z ) 的原像.
为讨论问题方便， 以后不再区分函数、映射 为讨论问题方便， 以后不再区分函数、 和变换. 和变换
复变函数论
复变函数论内容复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。
复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面。
利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使人们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。
关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学有比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质。
微分函数论中用几何方法去表明、解决问题的内容，通常叫作几何函数论，微分函数可以通过共形贾启允理论为它的性质提供更多几何表明。
导数时时不是零的解析函数所同时实现的蓝光就都就是共菱形贾启允，共形蓝光也叫作保与角变换。
共形贾启允在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都获得了广为的应用领域。
留数理论就是微分函数论中一个关键的理论。
留数也叫作残数，它的定义比较复杂。
应用领域留数理论对于微分函数分数的排序较之线分数排序便利。
排序数学分析函数的定分数，可以化成微分函数沿闭电路曲线的分数后，再用留数基本定理化成被分数函数在滑动电路曲线内部边缘化奇点力促留数的排序，当奇点就是极点的时候，排序更加简约。
把单值解析函数的一些条件适度地发生改变和补足，以满足用户实际研究工作的须要，这种经过发生改变的解析函数叫作广义解析函数。
广义解析函数所代表的几何图形的变化叫作拟将保与角变换。
解析函数的一些基本性质，只要稍加发生改变后，同样适用于于广义解析函数。
在二次、三次代数方程求根的公式中就出现了形为式一的一类数，其中α，b是实数。
式二在实数范围内是没有意义的，因此在很长时间里这类数不能为人们所理解。
第1篇 复变函数论-第1章 复变函数
Anhui University
1637年，法国数学家笛卡儿，在《几何学》一书中第 一次出 现了虚数的名称。「imaginaires」代表虚的，及「reelles」代表 实的。后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外。由此 给虚数披上了一层神秘的外衣。
十八世纪，瑞士数学家欧拉(Euler，1707-1783)试图进一步解 释虚数到底是什么数，他把虚数称之为“幻想中的数”或“不可能 的数”。他在《对代数的完整性介绍》(1768－1769年在俄国出版， 1770年在德国出版)一书中说：因为所有可以想象的数或者比零大， 或者比零小，或者等于零，即为有序数。所以很清楚，负数的平方 根不能包括在可能的有序数中，就其概念而言它应该是一种新的数， 而就其本性来说它是不可能的数. 因为它们只存在于想象之中。因 而通常叫做虚数或幻想中的数。1777年，欧拉在一篇递交给彼得堡 科学院的论文《微分公式》中首次以i来表示: 但很少人注意到。
复数商的几何意义
Anhui University
（5）复数的开方：
w n z
1 n
n
z e
j
argz 2 k n
argz 2k argz 2k r cos j sin n n (k 0,1, , n 1)
几何解释：z1/n的n个值就是以原点为中心, r1/n为半径 的圆的内接正n边形的n个顶点。
i
Anhui University
三. 复数的运算规则 （1）复数的和：
z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
复数和的几何意义
Anhui University
（2）复数的差：
z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
复变函数论
章节基本内容第1篇复变函数论第1章解析函数复变函数的理论特别是其中的解析函数在物理学中有着广泛的应用。
本章将建立复变函数的基本概念，并在此基础上引入解析函数；在以后各章将介绍解析函数的性质和应用。
第2章解析函数积分复积分是研究解析函数的工具，本章将在复积分的基础上建立表示解析函数积分的科西（Cauchy）定理和科西积分公式，它们是复变函数的基本理论和基本公式。
第3章无穷级数组数也是研究解析函数的一个重要工具。
我们将看到，一个函数的解析性与一个函数可否展开成幂级数的问题是等价的。
这从另一个侧面了解析函数的本质，因此我们可以进一步认识解析函数。
本章将讨论解析函数表示为幂级数的问题，对于某些和数学分析中平行的结论，往往叙述而不证明。
第4章解析延拓· Г函数解析延拓是解析函数论中的一个重要概念，在本章、下一章和以后多处均会用到；函数是数学物理中应用十分广泛的一种函数。
本章将讨论解析延拓的基本原理和理论依据，并在此基础上讨论函数。
第五章留数定理由第二章的学习，我们对复变函数的围道积分，已有了相当程度的了解。
我们知道，当在内解析时，则由科西定理（2.2.1））有当在内有一阶极点时，则由科西公式（2.3.2）有当在内有阶极点时，由则解析函数的阶导数公式有其中，在内解析。
我们自然会想到，如果在内有有限个孤立奇点（不一定是极点），围道积分的结果又会是怎样的呢？留数理论，将可回答我们的这一问题。
我们已看到科西定理和科西公式等，只能解决围道内被积函数的奇点是极点型的围道积分问题；而从这一章的学习我们将会看到，留数理论不仅能解决奇点为极点，而且还能解决奇点为本性奇点的围道积分问题，它建立了解析函数的积分与函数的奇点的关系，并能用于计算一些实定积分。
第2篇数学物理方程第1章定解问题在对物理问题进行理论研究时，首先必须将之翻译成数学语言。
即，建立描绘和研究物理现象的数学模型—定解问题。
本章将建立定解问题的有关概念，并从物理学中三个典型的实例入手，介绍建立定解问题的一般方法及步骤。
复变函数 第01讲28页PPT文档
质，经过他们的不懈努力，终于建立了系统的复 变函数论.
例2 设:z1 x1iy1,z2 x2iy2 为任意两个复数,求证：
z1z2 z1z2 2Re(z1z2)
二、复数的三角表示
1、复平面:
复数域 C 也可以理解成平面 R×R，作映射：
C R 2:zx iya(x,y)
则在复数集 C 与平面 R×R 之间 建立一个 1－1对应关系。
2、复数的模与辐角:
复数的发展
复数概念的进化是数学史中最奇特的一个 篇章，那就是数系的历史发展完全没有按照教 科书所描述的逻辑连续性。人们没有等待实数 的逻辑基础建立之后，才去尝试新的征程。在 数系扩张的历史过程中，往往许多中间地带尚 未得到完全认识，而天才的直觉随着勇敢者的 步伐已经到达了遥远的前哨阵地。
复数的引入
3、共轭复数的运算性质:
(1) (z1z2)z1z2
(2) (z1z2)z1z2
(3)
( z1 ) z2
z1 z2
, z2
0
(4 )z z x 2 y 2 (R e z )2 (Im z )2
(5)R ez1(zz),Im z1(zz)
2
2i
例1 设 z 1 3i ， i 1i
求：Re z, Im z及zz
自从有了复变函数论，实数领域中 的禁区或不能解释的问题，比如：
1）负数不能开偶数次方； 2）负数没有对数； 3）指数函数无周期性； 4）正、余弦函数的绝对值不能超过1 ；
00. 复变函数绪论
立认识到可以给出复数简单明了的几何解释 高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还
看作是一种向量，并利用复数与向量之间 一一对应的关系，阐述了复数的几何加法 与乘法
C.F.Gauss[德] (1777–1855)
（3）幂级数表示的特征 ，
i
1
1
，
i
!
，
!
，
!
!
.
.
§0.2 复变函数特征举例
（4）复变函数的几何特征
函数
在 上任意次可导，且
考虑圆周
!
在
下的像：
§0.3 复变函数内容一览
边值问题 泊松公式 调和函数
复数 复变函数 解析函数 C-R条件
积分均值公式 最大模原理
代数基本定理
复数运算及其几何表示
初等函数 柯西积分定理 柯西积分公式 高阶导数公式 柯西不等式 刘维尔定理
留数
分式线性映射 S-C映照公式
黎曼映照定理
保域定理
唯一性定理 解析函数零点
泰勒级数 洛朗级数 解析函数孤立奇点 实积分计算 幅角原理 儒歇定理 保形变换
三角、积分学和常微分方程与偏微分方程
理论的大部分内容都无法学懂.”
G.Polya[美](1887-1985）
§0.2 复变函数特征举例
（1）初等函数的特征
§0.2 复变函数特征举例
（2）函数可数导数
→
实函数
在 处可导.
复函数
在 处可导吗？
§0.2 复变函数特征举例
复变函数 Complex Functions
复变函数 第一章
复数 z x iy 可以用复平 面上的点( x , y ) 表示.
o
x
x
35
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量 OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
r
Pz x iy
x z, z x y,
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
以上各式证明略.
32
例2 将下列复数表示为x iy 的形式. 7 1 i i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , 解 (1) 2 1 i (1 i )(1 i )
3．复数域还能扩张吗？
• 我们知道，应客观需要以及为了克服某 种运算在某一数系内不能畅通的矛盾， 人们在从自然数到复数的认识过程中共 经历了4次扩张：
17
扩张原则
• (1)扩张的目的：使在旧数系中不能总进 行的某种运算在扩张后的新数系中总能 进行。 • (2)扩张的范围：进行每一次扩张总是要 从一个较小的旧数系扩充到一个较大的 新数系，且使得旧数系是新数系的一部 分。
5
二．复数发展史
• 为了建立解析函数论的理论基础，由它 所研究的对象易知，我们应该首先讨论 复数与复变函数，显然应该首先关注复 数的有关问题。 • 复数理论的产生和发展经历了漫长而又 艰难的岁月。
பைடு நூலகம்
6
7
8
9
• 1777年，数学家欧拉系统地建立了复数 理论，发现了复指数函数和三角函数间 的关系，创立了复变函数论的一些基本 定理，他首创的用i作为虚数单位的符号 一直沿用到今天。
复变函数第1章
z
k = 0,±1,±2,…. k = 0,±1,±2,…. k = 0,1,2,…,n-1
2 kπ n
n r,
n 0 2kπ, 0 2kπ n r, , n
i
k ( n z )k n ze
0 n re n ,
i
0 2 kπ
n
,
i
0
主辐角（或辐角主值）：满足 π π 的辐角， 记为 = argz， 于是有Argz = argz+2k, k=0,±1,±2,… 注
② 三角表示
欧拉公式
z = r(cos+isin)
ei = cos+isin
③ 指数形式
z = r ei
注意：1) 原点0的模为0，辐角无定义. 2) y
k 0e
,
k = 0,1,2,…,n-1
n次方根
0 n re n ,
i
0
k 0e
i
2 kπ n
,
k = 0,1,2,…,n-1
例1.5 计算下列各值
i
100
(e )
(1+i)100
i sin )100 cos 50 i sin 50 1. 2 2 i 100 4 100 ( 2e ) [ 2(cos i sin )] 4 4 250 ei 25 2 50 (cos 25 i sin 25 ) 2 50.
3 i 对应的点在第一象限
π arg( 3 i) 6
三角形式为
指数形式为
π π 3 i 2 cos i sin 6 6
3 i 2eiπ / 6
复变函数论1-1
20
y
z1 z2 z2 z1 z2 z1
x
三角不等式：
z1 z2 z1 z2 z1 z2
o
点 z1 与点 z2的距离：d ( z1, z2 ) z1 z2
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
z a R 表示以点a 为圆心，R为半径的圆
注：复数差的模表示两点的距离
21
辐角： 实轴正向旋转至向量 oz 的角称为 y 复数 z 的辐角，记为 Argz
规定：逆时针为正，顺时针为负
y
z
y 则有 tan x
任一非零复数z有无穷多个辐角， argz表示一个特定的辐角， 满足 - arg z , 则称主辐角
o
x
0
2
23
例1.2 求 Arg(2 2i)及Arg(3 4i) 答案：
Arg (2 2i )
4
2k (k 0,1,2,)
4 Arg (3 4i ) (2k 1) arctan (k 0, 1, 2, ) 3
例1.3 已知流体在某点M的速度 v 1 i 求其大小和方向. 答案：大小 v 2
z1 arg ( ) 表示向量 oz2 旋转至向量 oz1 的角 z2
z 0 当且仅当 Rez=0且Imz=0
9
1.3 复数的代数运算
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 , 共 1. 两复数的和: z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ).
轭 复 数
2. 两复数的积: z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ).
复变函数论第一章复数与复变函数
引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的．1545年，意大利数学物理学家H Cardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为5+525(15)40--=．但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和B Riemann （黎曼）三人的工作进行的．到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．第一章§1 复数教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗()DeMoiVre 公式.难点：德摩弗()DeMoiVre 公式.课时：2学时.1． 复数域形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位．两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记为 ()x iy x iy +=- 或 x iy x iy -=+设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则复数四则运算规定：121212()()z z x x i y y ±=±±±1212121221()()z z x x y y i x y x y =-++1121221122222222222(0)z x x y y x y x y i z z x y x y +-=+≠++ 容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数z x iy =+实际上是由一对有序实数(,)x y 唯一确定．因此，如果我们把平面上的点(,)x y 与复数z x iy =+对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于x 轴上的点和y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称x 轴为实轴，称y 轴为虚轴，这样表示复数z 的平面称为复平面或z 平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数z x iy =+与从原点到点z 所引的向量oz 也构成一一对应关系（复数O 对应零向量）．从而，我们能够借助于点z 的极坐标r 和θ来确定点z x iy =+，向量oz 的长度称为复数z 的模，记为图1.1220r z x y ==+≥显然，对于任意复数z x iy =+均有x z ≤，y z ≤，z x y ≤+ (1.1)另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式1212z z z z +≤+ (1.2)（三角形两边之和≥第三边，图1.2）图1.21212z z z z -≤- (1.3)（三角形两边之差≤第三边，图1.3）图1.3(1.2)与(1.3)两式中等号成立的几何意义是：复数1z ，2z 分别与12z z +及12z z -所表示的三个向量共线且同向．向量oz 与实轴正向间的夹角θ满足y xθ=tan 称为复数z 的幅角()Argument ，记为Argz θ= 由于任一非零复数z 均有无穷多个幅角，若以Argz 表示其中的一个特定值，并称满足条件 Argz ππ-<≤ (1.4)的一个值为Argz 的主角或z 的主幅角，则有arg 2Argz z k θπ==+ (1.5)(0,1,2,)k =±±注意：当0z =时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数z ，即有 (cos sin )z r i θθ=+ (1.6)同时我们引进著名的欧拉()Euler 公式：cos sin i e i θθθ=+ (1.7)则(1.6)可化为i z re θ= (1.8)(1.6)与(1.8)式分别称为非零复数z 的三角形式和指数形式，由(1.8)式几指数性质即可推得复数的乘除有12121122()121212()111222i i i i i i z z r e r r r e z r e r e z r r θθθθθθθθ+-⎫==⎪⎬==⎪⎭(1.9) 因此 1212z z z z =，1122z z z z = 2(0)z ≠ (1.10) 12121122()Argz z Argz Argz z Arg Argz Argz z =+⎫⎪⎬=-⎪⎭(1.11) 公式(1.10)与(1.11)说明：两个复数1z ，2z 的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）． 特别当21z =时可得 12()12i z z re θθ+= 此即说明单位复数()21z =乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式(1.11)中的Argz 换成argz （某个特定值），若argz 为主值时，则公式两端允许相差2π的整数倍，即有 12121122()2()2Arg z z argz argz k z Arg argz argz k z ππ=++⎫⎪⎬=-+⎪⎭(1.12) 公式(1.9)可推广到有限个复数的情况，特别地，当12n z z z ===时，有()(cos sin )n i n n in n z re r e r i θθθθ===+当1r =时，就得到熟知的德摩弗()DeMoiVre 公式：(cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+ (1.13)例1.1求cos3θ及sin3θ用cos θ与sin θ表示的式子解：3cos3sin 3(cos sin )i i θθθθ++（）= 3223cos 3cos sin 3cos sin sin i i θθθθθθ=+--323cos3cos 3cos sin 4cos 3cos θθθθθθ∴=-=-233sin33cos sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-=-4.曲线的复数方程例1.2连接1z 及2z 两点的线段的参数方程为121()(01)z z t z z t =+-≤≤过1z 及2z 两点的直线（图 ）的参数方程为121()()z z t z z t =+--∞≤≤+∞例1.3 z 平面上以原点为心，k 为半径的圆周的方程为z R =z 平面上以0z 为心，R 为半径的圆周的方程为0z z R -=例1.4 z 平面上实轴的方程为Im 0z =，虚轴的方程为Re 0z =.作业:第42页 2,3,4§2 复平面上的点集教学目的与要求：平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.课时：2学时.1. 几个基本概念定义1.1 满足不等式0z z ρ-<的所有点z 组成的平面点集（以下简称点集）称为点0z 的ρ-邻域，记为0N z ρ（）． 显然，0N z ρ（）即表示以0z 为心，以ρ为半径的圆的内部 定义1.2 设E 为平面上的一个点集，若平面上一点0z 的任意邻域内巨有E 的无穷多个点，则称0z 为E 的内点．定义1.3 若E 的每个聚点都属于E ，则称E 为闭集．若E 的所有点均为内点，则称E 为开集定义1.4 若0M ∃>，z E ∀∈，均有z M ≤则称E 为有界集，否则称E 为无界集．2. 区域与约当()Jordan 曲线定义1.5 若非空点集D 满足下列两个条件：(1) D 为开集．(2) D 中任意两点均可用全在D 中的折线连接起来，则称D 为区域.定义1.6 若0z 为区域D 的聚点且0z 不是D 的内点，则称0z 为D 的界点，D 的所有界点组成的点集称为D 的边界，记为D ∂，若0r ∃>，使得0()r N z D ϕ⋂=，则称0z 为D 的外点 定义1.7 区域D 加上它的边界C 称为闭区域，记为D D C =+有关区域的几个例子 例1.5 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周内部（即圆形区域）：0z z R -< 例1.6 z 平面上以点0z 为心，R 为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）0z z R -≤ 例1.5与例1.6所表示的区域都以圆周0z z R -=为边界，且均为有界区域例1.7 上半平面 Im 0z >下半平面 Im 0z <它们都以实轴Im 0z =为边界，且均为无界区域．左半平面 Re 0z >右半平面 Re 0z <它们都以虚轴Re 0z =为边界，且均为无界区域．例1.8 图1.4所示的带形区域表为12Im y z y <<.图1.4x其边界为1y y =与2y y =，亦为无界区域． 例1.9 图 所示的圆环区域表为r z R <<其边界为z r =与z R =，为有界区域．定义1.8 设()x t 及()y t 是两个关于实数t 在闭区间[,]αβ上的连续实数，则由方程()()()z z t x t iy t ==+ ()t αβ≤≤ (1.13)所确定的点集C 称为z 平面上的一条连续曲线，(1.13)称为C 的参数方程，()z α及()z β分别称为C 的起点和终点，对任意满足1t αβ<<及2t αβ<<的1t 与2t ，若12t t ≠时有12()()z t z t =，则点1()z t 称为C 的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；()()z z αβ=的简单曲线称为简单闭曲线．若在t αβ≤≤上时，()x t '及()y t '存在节不全为零，则称C 为光滑（闭）曲线．定义1.9 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线．定义1.1（约当定理） 任一简单闭曲线C 将z 平面唯一地分为C 、()I C 、()E C 三个点集（图 1.5 ），它们具有如下性质： 图1.5(1)彼此不交．(2)()I C 与()E C 一个为有界区域（称为C 的内部），另一个为无界区域（称为C 的外部） (3)若简单折线P 的一个端点属于()I C ，另一个端点属于()E C ，则P 与C 必有交点． 对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿C 绕行一周时，C 的内部（或挖）始终在C 的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为C 的正方向（或负方向）．定义1.10设D 为复平面上的区域，若D 内任意一条简单闭曲线的内部全含于D ，则称D 为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域．例如，例1.5 1.8-所示的区域均为单连通区域，例1.9所示的区域为多连通区域． （请读者针对定义1.10自己作图思考）作业: 第42页 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9§3复变函数教学目的与要求：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念.重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.课时：2学时.1． 复变函数概念定义1.11 设E 为一复数集，若存在一个对应法则f ，使得E 内每一复数z 均有唯一（或两个以上）确定的复数u 与之对应，则称在E 上确定了一个单值（或多值）函数()w f z =()z E ∈，E 称为函数()w f z =的定义域，w 值的全体组成的集合称为函数()w f z =的值域．例如w z =，w z =及11z w z +=- (1)z ≠均为单值函数，w =w Argz =(0)z ≠ 均为多值函数．今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．设()w f z =是定义在点集E 上的函数，若令z x iy =+，w u iv =+则u 、v 均随着x 、y 而确定，即u 、v 均为x 、y 的二元实函数，因此我们常把()w f z =写成()(,)(,)f z u x y iv x y =+ (1.14)若z 为指数形式，i z re θ=，则()w f z =又可表为(,)(,)w p r i r θθθ=+ (1.15) 其中(,)p r θ，(,)Q r θ均为r 、θ的二元实函数．由(1.14)和(1.15)两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面z 上的点集和复平面w 上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）．故今后我们也不再区分函数、映射和变换．3. 复变函数的极限和连续性定义1.12 设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，若存在一复数0w ，使得0ε∀>，0δ∃>，当00z z δ<-<时有0()f z w ε-< ()z Z ∈则称()f z 沿E 于0z 有极限0w ，记为lim()0()f z w z z z E =→∈ 定义1.12的几何意义是：对于0ε∀>，存在相应的0δ>，使得当z 落入0z 的去心δ-邻域时，相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域．这就说明lim()0()f z z z z E →∈与0z z →的路径无关．即不管z 在E 上从哪个方向趋于0z ，只要z 落入0z 的去心δ-邻域内，则相应的()f z 就落入0w 的ε-邻域内，而在数学分析中，0lim ()x x f x →中x 只能在x 轴上沿着0x 的左，右两个方向趋于0x ，这正是复分析与数学分析不同的根源．今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，lim()0()f z z z z E →∈均写成lim ()0f z z z → 可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：(1)若极限存在，则极限是唯一的．(2)lim ()0f z z z →与lim ()0g z z z →都存在，则有lim [()()]lim ()lim ()000f zg z f z g z z z z z z z ±=±→→→ lim ()()lim ()lim ()000f z g z f z g z z z z z z z =→→→ lim ()()0lim lim ()lim ()000f z z z f zg z g z z z z z z z →=→→→ (()0)g z ≠ 另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理： 定理1.2 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义，000z x iy =+为E 的聚点，则lim ()0f z a ib z z η==+→的充要条件0lim (,)x x u x y a →=及0lim (,)y y v x y b →= 证明：因为()[(,)][(,)]f z u x y a i v x y b η-=-+-从而由不等式1.1可得(,)()(,)()u x y a f z v x y b f z ηη-≤-⎫⎪⎬-≤-⎪⎭(1.16) 及 ()(,)(,)f z u x y a v x y b η-≤-+- (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的证明．由(1.17)可得充分性部分的证明． 定义1.13设()w f z =于点集E 上有定义，0z 为E 的聚点，且0z z ∈，若0lim ()()f z f z =则称()f z 沿E 于0z 连续．根据定义1.13，()f z 沿E 于0z 连续就意味着：0ε∀>，0δ∃>，当0z z δ-<时，有0()()f z f z ε-<与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：(1)若()f z ，()g z 沿集E 于点0z 连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母0z 不为零）沿点集E 于0z 连续．(2)若函数0()f z η=沿集E 于0z 连续，且()f E G ⊆，函数()w g η=沿集G 于00()f z η=连续，则复合函数0[()]w g f z =沿集E 于0z 连续．其次，我们还有定理1.3 设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+于点集E 上有定义,0z E ∈,则()f z 在点000z x iy =+连续的充要条件为：(,)u x y ,(,)v x y 沿E 于点00(,)x y 均连续.事实上,类似于定理1.2的证明,只要把其中的a 换成00(,)u x y ,b 换成00(,)v x y 即可得到定理的证明.例1.10 设1()()2z z f z i zz =- (0)z ≠ 试证()f z 在原点无极限,从而在原点不连续.证明：设(cos sin )z r i θθ=+,则22211()()()sin 222z z z z z z f z i i r zz θ-+-=== 因此000lim ()0z z f z z θπθ→→⎧⎪=⎨→⎪⎩当沿着正实轴=0时1当沿着正实轴=时4故0lim ()z f z →不存在,从而在原点不连续. 定义1.14 若函数()f z 在点集E 上每一点都连续,则称()f z 在E 上连续,或称()f z 为E 上的连续函数.特别地,当E 为实轴上的区间[,]αβ时,则连续曲线(1.16)就是[,]αβ上的连续函数()z z t =其次,若E 为闭区域D ,则D 上每一点均为聚点,考虑其边界上的点0z 的连续性时,0z z →只能沿D 的点z 来取.与数学分析相同,在有界闭集E 上连续的伏辩函数具有以下性质：(1)在E 上()f z 有界,即0M ∃>,使得()()f z M z E ≤∈ (2)()f z 在E 上有最大值和最小值.(3)()f z 在E 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>使对E 上任意两点1z ,2z ,只要12z z δ-<就有12()()f z f z ε-<作业: 第43页 10(1) (3), 11(1)(3) 13 14 15 17。
复变函数 第一章
疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。
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复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着 广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平 面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域 的推广和发展。 自变量为复数的函数就是复变函数, 它是本课程的研究对 象.由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算,第一章 将在原有的基础上作简要的复习和补充; 然后再介绍复平面上 的区域以及复变函数的极限与连续性的概念, 为进一步研究解 析函数理论和方法奠定必要的基础.
复数被Cardan引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler
复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久
因此
arctan
5 i 5 5 z 4 cos( ) i sin( ) 4e 6 6 6
2) 显然, r = | z | = 1, 又
3 sin cos cos 5 5 10 2 3 cos sin sin . 5 5 10 2
z1 z2 z
z z
___________
1
z2
2
z1 z2
zz | z | z z 2 Re( z), z z 2i Im( z )
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例2：设 解：
z1 1, z2 i .
第一章 复变函数
(2)与 (3)为二维Laplace ,满足此方程的函数为调和函数 . 方程
初等函数的重要性质： 初等函数在定义域内连续可导,由 此我们也可知道对初等函数其不可 导处一定是不在定义域内. 函数不可导的点称为函数的奇点. . 初等函数的奇点一定在定义域不存 在的点.例如对有理分式,其分母为零 处为奇点. 1 例2 f ( z ) = z − a 奇点在z=a.除了 z=a点外,f(z)在整个复平面上解析.
第一章 复变函数
• 1.1复数定义与复数运算 • (一)复数的定义: z=x+iy (1) ,其中x,y为实数,i 为 虚数单位,i2=-1 • 上式为复数的代数式(也是其直角坐标式), • x和y 分别为复数的实部与虚部,记为Rez 和Imz . • 理解上复数可看成是复数平面上的一点或一个向 量. • 复数的极坐标与指数表示:z=ρ(cosφ+isinφ) (2), • z=ρe iφ (3)(其中ρ为复数的模, φ为幅角记为Argz) • (二)复数的运算 • 设两个复数z1= x1 + iy1 , z2= x2 + iy2 , • z1 + z2的定义为: (a)z1 + z2 =(x1 + x2)+i(y1+y2)(3)
所以满足上述两条件的区域是开区域,不包括 境界线.由此我们知道区域是一类特殊的点集. 当 需要考虑境界线时(即闭区域问题) , 函数的定义 域大于该闭区域. 用复数表示区域: 例1: | z-a | <R 表示以a点 : 1: a 为圆心,半径为R的圆内的所有点. (三) 初等函数 (1)多项式 : a0+a1z+a2z2+a3z3＋……＋ anzn… (2)有理分式:
1.5 平面标量场
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arg z 的幅角称为主幅角，记做：
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第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 3、复数的指数表示 欧拉公式：ei 则： z
cos i sin
z ei —复数的
7
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第一部分
复变函数论
复变函数核心内容
复变函数的路径积分方法
e dz f ( z) l z ( z 2 1)
z
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第一部分
复变函数论
学习方法
复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函
数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似 之处，但又有不同之处。 在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数 域上特有的那些性质与结果。
2、复数的模与幅角
复数几何意义： 注： 实部与虚部可与平面坐标内 的点建立一一对应关系，所有复 数表征的点构成复平面。
z x yi
y
A( x, y )
x
复平面
复数的模:
z x 2 y 2
x cos
y sin
复数的辐角: arctg ( y / x) 复数的三角表示：z cos i sin
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第一部分
复变函数论
复变函数论发展历程
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分 别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866) 研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗 透到了数学的许多分支，同时，它在热力学、流体力学和电磁 学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹 性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密 切。
复变函数论
§1.2 复变函数 实变函数复习： 实变函数中关于函数的定义：
设X、Y是两个非空实数集合，f为X到Y的一个映
射，则称f为定义在数集X上的函数，记做：
f : x y, y f ( x)
其中x称为自变量，y称为因变量，X称为函数f的定义 域。
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电子工程数学方法
第一部分
复变函数论
§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 4、 复数的共轭 共轭复数：
i e z (cos i sin ) (cos i sin ) * *
z (cos i sin ) e
i
注：
e cos i sin e
复变函数论发展历程
复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。
为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩 大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了 解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史 上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。 到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707 -1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复 数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的 一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利 建立和发展。
1 i n
故 w= n z 的主幅角有n个，即对应有n个值：
(0 k <n)
它们在以坐标原点为中心，半径为 n 的圆周上均 匀分布——多值函数。
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复变函数论
§1.1 复数与复数运算 例：讨论式子 Re(1 / z ) 2 在复平面上的意义 解： 令
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复变函数论
§1.2 复变函数 1、几个基本定义
（一）区域的概念
邻域： 由
邻域。
z z0 确定的平面点集，称为定点z0的
z0
内点： 若z0及其邻域全含于点集E内，称z0为点集E的 内点 外点： 若z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的 外点
边界点: 若z0及其邻域既有含于E内，又有不含于E 内的点，称z0为点集E的边界点。
§1.1 复数与复数运算 例：求方程sinz=2 解：设 z x iy
1 iz iz 1 [ei ( x yi ) ei ( x yi ) ] sin z (e e ) 2i 2i 1 y ix y ix [e e e e ] 2i 1 y y [(cos x i sin x)e (cos x i sin x)e ] 2i 1 y y [(e e )sin x i(e y e y ) cos x] 2 2
指数表示
(cos i sin )
注：1） 1 e2 k i ( 2 k ) i 2）1 e
3） i e
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(2 k / 2) i (2 k 3 / 2) i
(k 0, 1, )
4） i e
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其中： x称为复数的实部， x Re( z )
y称为复数的虚部，y Im( z )
i 1 ,称为虚单位。
全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。 注： 在复数域中，复数没有大小的概念。
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§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念
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第一章
复变函数
§1.1 复数与复数运算 §1.2 复变函数
§1.3 复变函数的导数
§1.4 解析函数 §1.5 单值函数与多值函数
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§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念 1、复数定义 对于任意两个实数x、y，称 为复数。
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任课教师：陈其科
联系方式： E_mail ：qkchen@ 办公电话：61830311
总 学 时: 48课时（3学分）
教
材：梁昆淼，《数学物理方程》（第四版）
成绩构成：课堂测验(4次)40%
+ 课程设计10% + 平时（出勤，作业）10% + 期末考试40%
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§1.1 复数与复数运算 （一） 复数的概念
2、复数的模与幅角
z cos i sin
注： 关于复数幅角 的几点说明：
1）当z=0时，幅角无意义； 2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角
Arg ( z ) 2k (k 0, 1, 2 )
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§1.1 复数与复数运算 例：若 wn =z ，求w。
n n w = z 解： = cos +i sin = n e n n 而 = arg z +2k (k =0, 1, 2, )
wk = n z = n e
i argz+2 k n
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§1.1 复数与复数运算 （二）复数的运算 3、复数的除法
z1 x1 y1i x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 z2 x2 y2i x2 y2 x2 y2
i1 e z 指数式： 1 1 i 1 ei (1 2 ) 2 e 2 2 z2
或 e 2 y 4e y 1 0
y ln( 2 3 )
或 y ln( 2 3 )
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§1.1 复数与复数运算
思考题
z z0 R在复平面上的意义？
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i
i
cos i sin
1 i i cos (e e ) 2 1 i i sin (e e ) 2i
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§1.1 复数与复数运算
（二）复数的运算
1、复数的加减法
z1 z2 ( x1 y1i) ( x2 y2i) ( x1 x2 ) ( y1 y2 )i
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§1.2 复变函数
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§1.1 复数与复数运算 （续上例）
1 y y (e e ) sin x 2 2 1 y y (e e ) cos x 0 2 x 2k cos x 0 2 y y 2y y e e 4 e 4e 1 0
z1 z 1 注： z2 z2
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z1 arg arg z1 arg z2 z2
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