2014高考数学常考基础20练7
2014高考数学全国卷模拟试题20
高考（文科）数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的1．设函数y =M ，集合{}2|,N y y x x R ==∈，则M N 等于（ ）A ．φB ．NC ．[1,)+∞D ．M2．已知x R ∈，i 为虚数单位，若(12)()43i x i i -+=-，则x 的值等于 （ ）A ．－6B ．-2C ．2D ．63．已知函数()sin126sin(36)cos54cos(36),f x x x x x =-+- 则()f x 是 （ ）A ．单调递增函数B ．单调递减函数C ．奇函数D ．偶函数4．若数列{}n a 满足221n n a a d +-=（d 为正常数，n N +∈）,则称{}n a 为“等方差数列”. 甲：数列{}n a 为等方差数列；乙：数列{}n a 为等差数列，则甲是乙的 （ ） A ．充分不必条件 B ．必不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面．下列命题为真命题的是( ) A ．若m ∥α， m ∥n ，则 n α∥ B ．若,m n αβ⊥⊥、则n m ⊥C ．若,,m m αβ⊥∥则 αβ⊥D ．若,m αβα⊂⊥，则 m β⊥6．若函数1()axf x e b=-的图象在0x =处的切线l 与圆22:1C x y +=相离，则(,)P a b 与圆C 的位置关系是( ) A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不能确定 7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则)3log 2(2+f 的值为 （ ）A ． 241B ． 121C ． 61D ． 318．已知抛物线24y x =上一点，00(,)A x y ，F 是其焦点，若0[1,2]y ∈，则||AF 的范围是（ ）A ．1[,1]4B ．5[,2]4C ．[1,2]D ．[2,3]9．设21(),(1)(2)(2009)f x M f f f x==++⋅⋅⋅+则下列结论正确的是（ ） A ．1M <B ．40172009M =C ．M<2D ．40172009M >10．函数sin y x =和cos y x =的图象在[0,8]π内的所有交点中，能确定的不同直线的条数是 （ ） A ．28B ．18C ．16D ．611．方程lg 3x x +=的解0x ∈ ( )A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，+∞）12．已知函数2()2||f x x x =-，方程|()|f x a =有6个不同的实根．则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．1a >二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.13．已知某个几何体的三视图如图所示．根据图中标出的尺寸（单位：cm ）．可得这个几何体的体积是 3cm ．14．当0>x 时，()122+=x xx f 的值域是 15．阅读左面的流程图，若输入a=6,b=1，则输出的结果是16．在不等式组24030x y x y +-≤⎧⎨+-≤⎩所表示的平面区域内,求点（,x y ）落在x ∈[1，2]区域内的概率是 ．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本题满分12）已知()f x m n =,其中(sin cos ),m x x x ωωω=+(cos sin ,2sin )(0)n x x x ωωωω=->.若()f x 图象中相邻的对称轴间的距离不小于2π. （1）求ω的取值范围（2）在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边．且3,()1a b c f A =+==，当ω 最大时．求ABC 面积．18．（本题满分12分）如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱1111ABCD A B C D -，经平面AEFG 所截后得到的图形．其中45BAE GAD ∠=∠=，22AB AD ==，60BAD ∠=.（1）求证：BD ⊥平面ADG ；（2）求平面AEFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．19．（本题满分12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次．记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85（1）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数．并说明它在乙组数据中的含义；（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；20．（本题满分12分）已知椭圆22221(0x y a b a b+=>>）的离心率e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4。
2014北京高考数学：20题 创新专题
20.（朝阳区2011本小题共14分）对于正整数a,b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得.0,b r r bq a <≤+=特别地，当0=r 时，称b 能整除a ，记作,|a b 已知}.23,,3,2,1{ =A(I)存在,A q ∈使得),910(912011<≤+=r r q 试求q ，r 的值．(Ⅱ)求证：不存在这样的函数},3,2,1{:→A f 使得对任意的整数,,21A x x ∈若},3,2,1{||21∈-x x 则).()(21x f x f =/(Ⅲ)若)((12),B card B card A B =⊆（指集合B 中的元素的个数），且存在,|,,,a b a b B b a <∈则称B 为“和谐集”．求最大的,A m ∈使含m 的集合A 的有l2个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由，20.（朝阳区2011本小题共14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为),3,,,3,2,1,(≥=n n k m a nk公差为,m d 并且*,,,,32ln r n n a a a a 成等差数列．(I)证明212211,,3(1P P n m d p d p d m ≤≤+==是m 的多项式），并求21P P +的值； (Ⅱ)当3,121==d d 时，将数列}{m d 分组如下：),(1d ),,,,,(),,,(98765432d d d d d d d d …（每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为m m c c ()(4),0>求数列}*2{m c d 的前挖项和n s . (Ⅲ)设N 是不超过20的正整数，当N n >时，对于(Ⅱ)中的,n s 求使得不等式n n d S >-)6(501成立的所有N 的值.20．（朝阳区2012本小题共13分）将正整数)2(,,4,3,2,12≥n n 任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数a ，b （a>b ）的比值,ba称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．(I)当n=2时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；(Ⅱ)若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行第j 列的数i ≤1(),1,n j n ≤≤≤且满足⎩⎨⎧>-+-+<--+=⋅,,)1(,,)1(j i n j i n i j i n i j i a u请分别写出n=3，4，5时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；(Ⅲ)对于由正整数2,,4,3,2,1n 排成的n 行n 列的任意数表，记其“特征值”为,λ求证：⋅+≤nn 1λ 20.（朝阳区2012本小题共13分）已知数列≥∈n N n a a a A n n ,(,,,:*21 )2满足,01==n a a 且当*(2N k n k ∈≤≤)时，21)(--k k a a ,1=令⋅=∑=ii n aA s 1)((I)写出)(5A s 的所有可能的值． (Ⅱ)求)(n A s 的最大值．(Ⅲ)是否存在数列,n A 使得?4)3()(2-=n A s n 若存在，求出数列,n a 若不存在，说明理由，20.（朝阳区2012本小题共13分）已知各项均为非负整数的数列,:00a A *),(,,1N n a a n ∈ 满足.,010n a a a n =++= 若存在最小的正整数是，使得),1(≥=k k a k 则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为数列,1,1:)(100++a a A T +-1,k a ⋅+n k a a ,,,0,11 设.,2,1,0),(1 ==+i A T A i i(I)若数列,0,0,3,1,1,0:0A 试写出数列;5A 若数列,0,0,0,0,4:4A 试写出数列;0A (Ⅱ)证明存在唯一的数列,0A 经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列;0,,0,0,个n n(Ⅲ)若数列,0A 经过有限次T 变换，可变为数列,n ⋅个n 0,,0,0设,,2,1,1 =+++=+m a a a S n m m m,n 求证),1](1[++⋅-=m m s S a m m m 其中]1[+m s m 表示不超过1+m sm 的最大整数.20.（朝阳区2013本小题共13分）已知实数)2(,,,21≥n x x x n 满足||i x ),,,3,2,1(1n i =≤记),,.,(21n x x x s⋅=∑≤<≤j i nJ i x x 1(I)求)32,1,1(--s 及S(l ，1，-1，-1)的值； (Ⅱ)当n=3时，求),,(321x x x s 的最小值； (Ⅲ)求),,,(21n x x x S 的最小值． 注：jij i xx ∑<≤.1表示 n x x x ,,,21 中任意两个数xj x i ,)1(n j i ≤<≤的乘积之和.20．（朝阳区2013本小题共13分）设),,,(1021x x x =τ是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义-=∑=12|)(k kxs τ|,31+k x 其中⋅=111x x(I)若),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10(=τ求)(τs 的值； (Ⅱ)求)(τs 的最大值；(Ⅲ)求使)(τs 达到最大值的所有排列τ的个数．20.（东城区2011本小题共13分）对于),2.*≥∈n N n 定义一个如下数阵：,ln 21222211211⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=m n n n m aa a a a a a a a A其中对任意的,1,1n j n i ≤≤≤≤当i 能整除j 时，=ij a ;1当i 不能整除J 时，.0=ij a 设⋅+++==-∑=nj j ni j ija a a aj t 211)((I)当n=6时，试写出数阵66A 并计算);(61j t j ∑=(Ⅱ)若[x]表示不超过x 的最大整数，求证：=∑=)(1j t n j ];[1i nni ∑= (Ⅲ)若,1)(),(.1)(11dx x n g j t n n f n nj ⎰∑===求证：1)(-n g .1)()(+<<n g n f20．（东城区2011本小题共14分）在单调递增数列}{n a 中，,21=a 不等式n n na a n 2)1(≥+对任意*N n ∈都成立．(I)求2a 的取值范围．(Ⅱ)判断数列}{n a 能否为等比数列？并说明理由． (Ⅲ)设=+++=n n n c b ),211.().211)(11( ),211(6n -求证：对任意的.012*,≥--∈nn n a c b N n 20．（东城区2012本小题共14分）已知实数组成的数组,,,,(321 x x x )n x 满足条件：.1||;011=⋅=∑=∑=i i i xx ②① (I)当n=2时，求21,x x 的值；(Ⅱ)当n=3时，求证:;1|23|321≤++x x x(Ⅲ)设,321n a a a a ≥≥≥≥ 且),2(1≥>n a a n 求证：).(21||11n i i ni a a x a -≤∑= 20.（东城区2012本小题共14分）对于数列),,,2,1(},{m n a n =令k b 为k a a a ,,,21 ⋅中的最大值，称数列}{n b 为数列}{n a 的“创新数列”，例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7．定义数列m n c c c c c ,,,,:}{321是自然数1，2，3，…，m （m>3）的一个排列．(I)当m=5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列}.{n c(Ⅱ)是否存在数列⋅}{n c 使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列};{n c 若不存在，请说明理由．20．（东城区2012本小题共14分）若对于正整数)(,k g k 表示k 的最大奇数因数，例如.5)10(,3)3(==g g 设++=)2()1(g g S n ).2()4()3(n g g g +++(I)求)20(),6(g g 的值； (Ⅱ)求321,,s s s 的值； (Ⅲ)求数列}{n s 的通项公式． 20.（东城区2013本小题共13分）已知数列===-1421,,1},{n n n n a a a a a *).(1,014N n a n ∈=+(I)求⋅74,a a(Ⅱ)是否存在正整数T ，使得对任意的*,N n ∈有T n a +n a =? (Ⅲ)设,1010101033221 +++++=n n a a a a S 问：S 是否为有理数？说明理由， 20.（东城区普通高中示范校2012本小题共14分）直线)21,0(1:1±=/=/-+=k k k kx y l 与2121:2+=x y l 相交于点P ．直线1l 与x 轴交于点,1P 过点1p 作x 轴的垂线交直线2l 于点⋅1Q 过点1Q 作y 轴的垂线交直线]l 于点,2P 过点2p 作x 轴的垂线交直线2l 于点,,2 Q 这样一直作下去，可得到一系列点,,,,,2211 Q P Q P 点),2,1( =n P n 的横坐标构成数列}.{n x （I ）当k=2时，求点321,,p p p 的坐标，并猜想点⋅n P 的坐标； (Ⅱ)证明数列}1{-n x 是等比数列，并求出数列}{n x 的通项公式；(Ⅲ)比较2||2nPP 与5||4212+PP k 的大小． 20．（东城区普通高中示范校2013本小题共14分）已知数集<≤=12]0}(,,,{a a a a A n )3,2≥<<n a a n 具有性质),1(,:n j i j i P ≤≤≤∀对i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{O ，l ，3）与数集{O ，2，4，6}是否具有性质P ，说明理由． (Ⅱ)求证：⋅=+++n n a na a a 221 (Ⅲ)已知数集},,,{821a a a A =具有性质P ．证明：数列821,,,a a a 是等差数列，20．（东城区普通高中示范校2013本小题共14分）将所有平面向量组成的集合记作,2R f是从2R 到2R 的映射，记作)(x f y =或=),(21y y ),,(21x x f 其中2121,,,y y x x 都是实数．定义映射f 的模为：在1||=x 的条件下∣y ∣的最大值，记做.||||f 若存在非零向量2R x ∈及实数A ，使得,)(x x f λ=则称λ为f 的一个特征值．(I)若),,21(),(2121x x x x f =求.||||f(Ⅱ)如果),,.(),(212121x x x x x x f -+⋅=计算f 的特征值，并求相应的x ．(Ⅲ)若),,(),(2211221121x b x b x a x a x x f ++=要使，有唯一的特征值，实数2121,,,b b a a 应满足什么条件？试找出一个映射，，满足以下两个条件：①有唯一的特征值A ，②|,|||||λ=f 并验证，满足这两个条件.20.（丰台区2011本小题共13分）用[a]表示不大于a 的最大整数，令集合 },5,4,3,2,1{=P 对任意*,N m P k ∈∈和定义],11[),(51++=∑=i k mk m f i 集合∈=m k m A |1{},*,P k N ∈并将集合A 中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列}.{n a (I)求f(l ，2)的值； (Ⅱ)求9a 的值；(Ⅲ)求证：在数列}{n a 中，不大于100+k m 的项共有),(00k m f 项. 20.（丰台区2011本小题共13分）已知i n n a a a a a A A s ),,,,,(|{321 ==0=或),2}(,,2,1,1≥=n n i 对于),(,,V U d S V U n ∈表示U 和V 中相对应的元素不同的个数．(I)令),0,0,0,0,0(=U 存在m 个,5s V ∈使得,(U d ,2)=v 写出m 的值； (Ⅱ)令),0000(0个，，，，n W ⋅⋅⋅=若,,n S V U ∈求证：),(W U d );,(),(V U d W V d ≥+ (Ⅲ)令),,,,,(321n a a a a U =若,n S V ∈求所有,(U d ）V 之和．20.（丰台区2012本小题共13分）设函数--+=a x a x x x f ln()(ln )().0)(>a x（I ）当a=l 时，求函数)(x f 的最小值；(Ⅱ)证明：对,,21+∈∀R x x 都有12211(ln ln x x x x x ≥+;]2ln ))[ln(212-++x x x (Ⅲ)若,121=∑⋅=ii x证明：*).,(2ln ln 21N n ix x n i i i ∈-≥∑⋅= 20．（丰台区2012本小题共13分）已知函数)(,)(/2x f x x x f +=为函数)(x f 的导函数．(I)若数列}{n a 满足),(1n n a f a =+且,11=a 求数列}{n a 的通项公式． (Ⅱ)若数列}{n b 满足).(,11n n b f b b b ==+(i)是否存在实数b,使得数列}{n b 是等差数列？若存在，求出,的值；若不存在，请说明理由． (ii)若b>0，求证：⋅<+=∑b b b i i ni 111 20.（丰台区2013本小题共14分）已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n 3=,2-等比数列}{n b 中，.1,3411+==a b a b记集合=A =∈=B N n a x x n *},,|{*},,|{N n b x x n ∈=,B A U=把集合 中的元素按从小到大依次排列，构成数列}.{n c(I)求数列}{n b 的通项公式，并写出数列}{n c 的前4项；(Ⅱ)把集合A C 中的元素从小到大依次排列构成数列},{n d 求数列}{n d 的通项公式，并说明理由； (Ⅲ)求数列}{n c 的前n 项和⋅n S 20.（丰台区2013本小题共14分）设满足以下两个条件的有穷数列,1a n a a ,,2 为n(n=2，3，4，…，)阶“期待数列”：;0221=++++n a a a a ① .1||||||||321=++++n a a a a ②(I)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”．(Ⅱ)若某*))(12(N k k ∈+阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式．(Ⅲ)记n 阶“期待数列”的前k 项和为,,3,2,1( =k s k ),n 求证：;21||)1(≤k s ⋅-≤∑=n i a i ni 2121||)2(120.（海淀区2011本小题共13分）对于数列,,,,:21n a a a A 若满足∈i a ),,,3,2,1}(1,0{n i =则称数列A 为“0-1数列”．定义变换T ，T 将“O -l 数列”A 中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A:l ，O ，1，则T(A)：O ，l,l,O,O,l.设0A 是“0-1数列”，令==-k A T A k k ),(1.,3,2,1 (I)若数列.1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1:2A 求数列;,01A A(Ⅱ)若数列0A 共有10项，则数列2A 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若0A 为O ，1，记数列k A 中连续两项都是O 的数对的个数为.,3,2,1, =k l k 求k l 关于k 的表达式． 20.（海淀区2011本小题共13分）已知每项均是正整数的数列,,:21a a A ,,,3n a a 其中等于i 的项有ik ),,3,2,1( =i 设j b ),,3,2,1(.21 =+++=j k k k j +++= 21)(b b m g ).,3,2,1( =-m nm b m(I)设数列,4,1,2,1:A 求),4(),3(),2(),1(g g g g );5(g(Ⅱ)若数列A 满足,10021=-+++n a a a n 求函数)(m g 的最小值. 20．（海淀区2012本小题共13分）已知函数)(x f 的定义域为),,0(+∞ 若),0()(+∞=在xx f y 上为增函数，则称)(x f 为“一阶比增函数”；若2)(x x f y =在),0(+∞上为增函数，则称)(x f 为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,1Ω所有“二阶比增函数”组成的集合记为⋅Ω2 (I)已知函数,2)(23hx hx x x f --=若,)(1Ω∈x f 且,)(2Ω∉x f 求实数h 的取值范围． (Ⅱ)已知1)(,0Ω∈<<<x f c b a 且)(x f 的部分函数值由下表给出，求证：.0)42(>-+t d d(Ⅲ)定义集合,)(|)({2Ω∈=ψx f x f 且存在常数k ，使得任意}.)(),,0(k x f x <+∞∈请问：是否存在常数M ，使得,0,)(（∈∀ψ∈∀x x f ),∞+有M x f <)(成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.20．（海淀区2012本小题共13分）将一个正整数n 表示为+++ 21a a *)(N P a P ∈的形式，其中,,,2,1*,P i N a i =∈且≤1a ,2P a a ≤≤ 记所有这样的表示法的种数为)(n f （如4=,224,314,4+=+==++=4,2114,1111+++故).54(>=f (I)写出)5(),3(f f 的值，并说明理由；(Ⅱ)对任意正整数n ，比较)1(+n f 与++n f n f ()([21)]2的大小，并给出证明； (Ⅲ)当正整数6≥n 时，求证：.134)(-≥n n f20.（海淀区2012本小题共14分）对于集合M ，定义函数=)(x f M ⎩⎨⎧∉∈-.,1,,1M x M x 对于两个集合M ，N ，定义集合=∆N M}.1)()(|{-=⋅x f x f x N M 已知},10,8,6,4,2{=A }.16,8,4,2,1{=B（I ）写出)1(A f 和)1(B f 的值，并用列举法写出集合 .B A ∆(Ⅱ)用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，求)()(B X Card A X Card ∆+∆的最小值． (Ⅲ)有多少个集合对(P ，Q)，满足,,B A Q P⊆且?)()(B A B Q A P ∆=∆∆∆20．（海淀区2013本小题共13分）设A 是由m×n 个实数组成的m 行 n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数， 则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(I)数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）．(Ⅱ)数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和 均为非负整数，求整数a 的所有可能值．(Ⅲ)对由mXn 个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由． 20.（石景山区2011本小题共14分）已知定义在R 上的函数)(x f 和数列,,},{121a a a a a n =/=当*N n ∈且2≥n 时，),(1-=n n a f a 且),()()(11---=-n n n n a a k a f a f 其中a ，k 均为非零常数．(I)若数列}{n a 是等差数列，求k 的值；(Ⅱ)令*),(1N n a a b n n n ∈-=+若,11=b 求数列}{n b 的通项公式； (Ⅲ)若数列}{n a 为等比数列，求函数)(x f 的解析式. 20.（石景山区2012本小题共13分）若数列}{n A 满足,2,1(21==+n A A n n ),,3 则称数列}{n A 为“平方递推数列”，已知数列)1,(2,}{1+=n n n a a a a ，点中在函数x x x f 22)(2+=的图象上，其中n 为正整数．(I)证明数列}12{+n a 是“平方递推数列”，且数列)}12{lg(+n a 为等比数列；(Ⅱ)设（I ）中“平方递推数列”的前竹项之积为,n T 即),12()12)(12(21+++=n n a a a T 求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；(Ⅲ)记,g 112n a n T o b n +=求数列}{n b 的前n 项和,n s 并求使2012>n s 的n 的最小值．20.（石景山区2013本小题共13分）给定有限单调递增数列*,)({N n x n ∈)2≥n 且),1(0n i x i ≤≤=/定义集合,1|),{(i xj x A i ≤=*}.,,N j i n j ∈-≤∏若对任意点,1A A ∈存在点A A ∈2使得O OA OA <⊥21为坐标原点），则称数列}{n x 具有性质P ． (I)判断数列2,2:}{-n x 和数列3,1,1,2:}{--n y 是否具有性质P ，简述理由． (Ⅱ)若数列}{n x 具有性质P ，求证：(1)数列}{n x 中一定存在两项xj x i ,使得;0=+j i x x (2)若0,11>-=n x x 且,1>n x 则).2(12≥=n x(Ⅲ)若数列}{n x 只有2013项且具有性质,1,1-=x P ,23=x 求}{n x 的所有项之和⋅2013s 20.（西城区2011本小题共13分）若m A A A ,,,21 为集合,,2,1{ =A *)2}(N n n n ∈Λ-≥∏的子集，且满足两个条件：;21A A A A m = ①②对任意的,},{A y x ⊆至少存在一个,,3,2,1{ ∈i },m 使}.{}{},{/y R x y x A i =则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P ．如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第L 列的数为⎩⎨⎧∉∈=).(,0),(,1l l N A k A k a当n=4时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由． 集合组};4{},3,2{},3,1{:1321===A A A 集合组}.4,1{},3,2{},4,3,2{:2321===A A A(Ⅱ)当n=7时，若集合组321A ,A ,A 具有性质P ，请先 画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合;,,321A A A(Ⅲ)当n=100时，集合组t A A A ,,,21 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及+||1A ||||2t A A +的最小值．（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数） 20.（西城区2011本小题共13分）定义+-=||),,,(2121a a a a a n τ||||132n n a a a a -++-- 为有限项数列}{n a的波动强度．(I)当n n a )1(-=时，求);,,,(10021a a a τ(Ⅱ)若数列a ，b ，c ，d 满足,0))((>--c b b a 求证：,(a τ);,,,(),,d b c a d c b τ≤(Ⅲ)设数列}{n a 各项均不相等，且交换数列}{n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列}{n a 一定是递增数列或递减数列． 20.（西城区2012本小题共13分）如图，设A 是由n×n 个实数组成的n 行n 列的数表，其中),,3,2,1,(n j i a ij =表示位于第i 行第j 列的实数，且}.1,1{-∈ij a 记S(n ，n)为所有这样的数表构成的集合.对于),,(n n s A ∈记)(A r i 为A 的第i 行各数之积，)(A c j 为A 的第 j 列各数之积，令).()()(11A c A r A l j nj n i i ∑∑==+=(I)请写出一个),4,4(s A ∈使得.0)(=A l(Ⅱ)是否存在),9,9(s A ∈使得?0)(=A l 说明理由．(Ⅲ)给定正整数n ，对于所有的),,(n n s A ∈求)(A l 的取值集合.20．（西城区2012本小题共13分）若0(21==i n n a a a a A 或,1,1=i ),,,2n 则称n A 为O 和1的一个n 位排列．对于,n A 将排列121-n n a a a a 记为);(1n A R 将排列211--n n n a a a a 记为);(2n A R 依此类推，直至⋅=n n n A A R )( 对于排列),1,,2,1)((-=n i A R A n i n 和它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做)(n i n A R A 和的相关值，记作)).(,(n i n A R A t 例如=3A ,110则.1))(,(,011)(31331-==A R A t A R若),1...21(1))(,(-=-=n i A R A t n i n ，，， 则称n A 为最佳排列．（I ）写出所有的最佳排列;3A(Ⅱ)证明：不存在最佳排列;5A(Ⅲ)若某个k A k (12+是正整数）为最佳排列，求排列12+k A 中1的个数.20.（西城区2012本小题共13分）对于数列=∈i N a a a a A i n n ,(,,,:21 ),,,2,1n 定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列:n B ,,,,21n b b b ),1,,2,1(||1-=-=+n i a a b i i i 且|,|1a a b n n -=这种“T 变换”记作).(n n A T B =继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列,, n C 依此类推，当得到的数列各项均为O 时变换结束．(I)试问8,2,4:3A 和9,2,4,1:4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由．(Ⅱ)求3213,,:a a a A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件．(Ⅲ)证明43214,,,:a a a a A 一定能经过有限次“T 变换”后结束.20.（西城区2013本小题共13分）已知集合,|),,,{(121x x x x s n n =n x x ,,2 是正整数1，2，3，…，n 的一个排列),2}(≥n 函数⎩⎨⎧<->=.0,1,0,1)(x x x g 对于,),,,(21n n s a a a ∈ 定义：-+-=i i i a g a a g b ()(1),()12--++i i a a g a ,0},,,3.2{1=∈b n i 称i b 为i a 的满意指数．排列n b b b ,,,21 为排列n a a a ,,,21 的生成列，排列n a a a ,,,21 为排列n b b b ,,,21 的母列．(I)当n= 6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列 O ，-1，2，-3，4，3的母列； (Ⅱ)证明：若n a a a ,,,21 和n a a a ,,,21 为n s 中两个不同排列，则它们的生成列也不同； (Ⅲ)对于n s 中的排列,,,,21n a a a 定义变换.τ将排列n a a a ,,,21 从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其他各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列,,,21 a a n a 变换为各项满意指数均为非负数的排列．20．（2009年北京本小题共13分）已知数集<≤=1211(},,,{a a a a A n )2,2≥<<n a a n 具有性质P:对任意的≤≤≤<j i j z 1,. ⋅i jj i a a a a n 与(),两数中至少有一个属于A.(I)分别判断数集{1，3，4）与{1，2，3，6）是否具有性质P,并说明理由； (Ⅱ)证明：;,111211211n nna a a a a a a h a =++++++-=--- (Ⅲ)证明：当54321,,,,,5a a a a a N n =成等比数列.20．（2010年北京本小题共13分）已知集合,,,(|{21 x x X X s n ==},,2,1},1,0{),n i x x i n =∈),2(≥n 对于,,(21a a A =,),,,,(),,21n n n s b b b B a ∈= 定义A 与B 的差为|);|,|,||,(|2211n n b a b a b a B A ---=- A 与B 之间的距离为.||),(1i i ni b a B A d -=∑=(I)证明：)对,,,n s C B A ∈∀有,n s B A ∈-且,(C A d -);,()B A d C B =-(Ⅱ)证明：对),(),,(),,(,,,C B d C A d B A d S C B A n ∈∀三个数中至少有一个是偶数；(Ⅲ)设P S p n ,⊆中有)2(≥m m 个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为).(P d 证明：⋅-≤)1(2)(m mn P d 20．（2011年北京本小题共13分）若数列)2(,,,:21≥n a a a A n n 满足),1,,2,1(1||1-==-+n k a a k k 则称n A ⋅为E 数列，记⋅+++=n n a a a A S 21)((I)写出一个满足,01==s a a 且0)(5>A S 的E 数列;5A(Ⅱ)若,2000,121==n a 证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是;2011=n a(Ⅲ)对任意给定的整数),2(≥n n 是否存在首项为O 的E 数列,n A 使得?0)(=n A s 如果存在，写出一个满足条件的E 数列;n A 如果不存在，说明理由．20．（2012年北京本小题共13分）设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不太于1，且所有数的和为零，记S(m ，n)为所有这样的数表构成的集合，对于),,(n m s A ∈记)(A r i 为A 的第i 行各数之和i ≤1（)(),A c m j ≤为A 的第j 列各数之和).1(n j ≤≤记k(A)为,|,)(||,)(|21 A r A r |,)(||,)(|1A c A r m |)(|,|,)(|2A c A c n 中的最小值． (I)对如下数表A ，求k(A)的值；(Ⅱ)设数表)3,2(s A ∈形如求k(A)的最大值；(Ⅲ)给定正整数t ，对于所有的),12,2(+∈t s A 求k(A)的最大值.20．（2013年北京本小题满分13分）已知}{n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为,n A 第n 项之后各项 ,,21++n n a a 的最小值记为⋅-=n n n n B A d B , (I)若}{n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意),,4*n n a a N n =∈+写出,,,321d d d 4d 的值；(Ⅱ)设d 是非负整数，证明：),3,2,1( =-=n d d n 的充分必要条件为}{n a 是公差为d 的等差数列； (Ⅲ)证明：若),,3,2,1(1,21 ===n d a n 则}{n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．。
2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练：8-7
［命题报告·教师用书独具]一、选择题1．抛物线的顶点在坐标原点,焦点与双曲线错误!－错误!＝1的一个焦点重合,则该抛物线的标准方程可能是（)A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y解析：由题意得c＝错误!＝3,∴抛物线的焦点坐标为(0，3）或（0，－3)．∴该抛物线的标准方程为x2＝12y或x2＝－12y.答案:D2．(2013年长沙模拟)过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( ）A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点（0,1）且平行于x 轴的直线以及过点（0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0）．答案：C3．(2013年郑州模拟)已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A 。
错误!或错误!B 。
错误!或错误!C 。
π3或错误!D 。
错误!解析：由焦点弦长公式｜AB ｜＝错误!得错误!＝12，∴sin θ＝错误!，∴θ＝错误!或错误!。
答案:B4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若错误!＋错误!＋错误!＝0，则｜错误!｜＋｜错误!｜＋|错误!｜＝( ）A ．9B ．6C ．4D ．3解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0）,由错误!＋错误!＋错误!＝0，可取错误!＝(－1，0)，此时,错误!＋错误!＝（1，0)，注意到对称性，可令A 的坐标为错误!，C 的坐标为错误!。
于是，可得｜错误!|＋｜错误!|＋｜错误!｜＝2 错误!＋1＝5＋1＝6。
选B。
答案：B5．（2012年高考安徽卷）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为（）A。
错误!B。
错误!C.错误!D．2错误!解析：利用抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系求解．如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A到准线x＝－1的距离为3，∴点A的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x得y2＝8,由图知点A的纵坐标y＝2错误!,∴A（2,22),∴直线AF的方程为y＝2错误!（x－1）．联立直线与抛物线的方程错误!解之得错误!或错误!由图知B错误!，∴S△AOB＝错误!|OF|·｜y A－y B｜＝错误!×1×｜2错误!＋错误!|＝错误!错误!.故选C.答案：C二、填空题6．已知抛物线y2＝2px（p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________．解析：依题意得，直线x＝－错误!与圆（x－3）2＋y2＝16相切,因此圆心(3,0)到直线x＝－错误!的距离等于半径4，于是有3＋错误!＝4,即p＝2.答案:27．（2013年南京模拟）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M,N为抛物线上的一点，且｜NF｜＝错误!|MN｜,则∠NMF＝________。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件：常考问题7 三角恒等变换与解三角形
【训练 1】 (2013· 广东卷)已知函数 f(x)＝ (1)求
π f－6的值；
π 2cosx－12，x∈R.
3π π 3 (2)若 cos θ＝ ，θ∈ 2 ，2π，求 f2θ＋3. 5
解 ＝
π (1)f－6＝ π 2cos－4＝
因为
π π π θ∈0，3，所以3－θ∈0，3， π cos3－θ＝
令 f′(θ)＝0，得
3 2，
π π π 所以 －θ＝ ，所以 θ＝ . 3 6 6 当 θ 变化时，f′(θ)，f(θ)的变化状态如下表：
θ f′(θ) f(θ) 所以
π＋6＋2 f(θ)∈2， 6
解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2AB· AD· cos A. 同理，在△CBD 中，BD2＝CB2＋CD2－2CB· CD· cos C. 因为∠A 和∠C 互补， 所以 AB2＋AD2－2AB· AD· cos A＝CB2＋CD2－2CB· CD· cos C＝CB2 ＋CD2＋2CB· CD· cos A. 即 x2＋(9－x)2－2x(9－x)cos A ＝x2＋(5－x)2＋2x(5－x)cos A. 2 2 解得 cos A＝x ，即 f(x)＝x ，其中 x∈(2,5)．
3．正弦定理 a b c sin A＝sin B＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. a b c sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ . 2R 2R 2R a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
1 1 (2)四边形 ABCD 的面积 S＝ (AB· AD＋CB· CD)· sin A＝ [x(5－x)＋ 2 2 x(9－x)] ＝x(7－x) 1－cos2A.
2014数学高考题型历炼(Word解析版)：7-1 函数、函数与方程及函数图象与性质
1．(背景新)定义在R 上的函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，且对任意的实数x 都有f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 013)＝( )A ．0B ．－2C ．1D ．－42．(交汇新)已知函数f (x )＝2x ，等差数列{a n }的公差为2.若f (a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝________.3．(角度新)已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b4．(交汇新)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x －2)＝f (x )，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎨⎧ lg x (x ＞0)，－1x (x ＜0)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,6]内的零点的个数为( )A ．8B ．9C ．10D ．13[历 炼]1．解析：由f(x)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32⇒f(x)＝f(x ＋3)，即f(x)的周期为3，由函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0成中心对称，得f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32＝0，从而得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，即f(x)＝f(－x)， ∴f(－1)＝f(1)＝f(4)＝…＝f(2 011)＝1，f(－1)＝f(2)＝f(5)＝…＝f(2 012)＝1，f(0)＝f(3)＝f(6)＝…＝(2 013)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)＝0.答案：A2．解析：∵f(a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10)＝4，∴f(5a 6)＝4，∴25a 6＝4，∴5a 6＝2，∴a 6＝25.∴a n ＝25＋(n －6)×2＝2n －585，∴f (a n )＝22n －585 ，f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)＝ 22×(1＋2＋3＋…＋10)－10×585 ＝2－6.∴log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]＝log 22－6＝－6.答案：－63．解析：因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )＜0，则函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减；因为y ＝xf (x )为奇函数，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1＜20.2＜2,0＜log π3＜1，log 39＝2，所以0＜log π3＜20.2＜log 39，所以b ＞a ＞c .故选A.答案：A4．解析：由f(x－2)＝f(x)可知，函数y＝f(x)的周期是2.由h(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，分别作出函数y＝f(x)，y＝g(x)的图象，如图所示，由图象可知两函数在区间[－5,6]内的交点有9个，所以函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数为9.故选B.答案：B。
2014数学高考考点狂练专题：直线与圆
直线与圆一、选择填空题1.设k>1，f(x)=k(x －1)(x ∈R) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f－1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P点。
已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于【 】(A)3 (B)32 (C)43 (D)65【答案】B 。
【考点】反函数。
【分析】根据题意画出图形，如图。
∵互为反函数的两个函数的图象关于y=x 对称，∴这两个函数的图象交于P 点必在直线y=x 上，且A ，B 两点关于y=x 对称。
∴AB ⊥OP。
∴四边形OAPB的面积=12·AB·OP=1OP 32=。
∴OP =。
∴P （3，3），代入f （x ）=k （x －1）得：k= 32。
故选B 。
2.以点(1，2)为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切的圆的方程是 ▲ .【答案】22x 1y 225-+-=（）（）。
【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离。
【分析】求出圆心到直线4x ＋3y －35=0的距离，即圆的半径；由圆的标准方程求得圆的方程：∵圆以点（1，2）为圆心，与直线4x ＋3y －35=0相切，5。
∴所求圆的标准方程：22x 1y 225-+-=（）（）。
3.圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是【 】 （A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0【答案】C 。
【考点】圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件。
【分析】直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径； (2)代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。
设直线0ax+by=22(1)(1x y -++=与相切，则1=，由排除法，故选C 。
4.如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,),B(,0),C(,0)a b c ，点P(0,)p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里p c b a ,,,均为非零实数，设直线BP,CP 分别与边AC ，AB 交于点E ，F ，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程：（ ▲ ）011=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y a p x 。
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练：20 矩阵与变换
常考问题20 矩阵与变换1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 43 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立的矩阵M . 解 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n p q ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ，则⎩⎨⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5⇒⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5. 2．(2011·江苏卷)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3，设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎨⎧ 3x ＋2y ＝14x ＋3y ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2.3．(2013·南京，盐城模拟)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤213 4. (1)求矩阵M 的逆矩阵；(2)求矩阵M 的特征值及特征向量． 解 (1)设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd . 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 13 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋3b a ＋4b 2c ＋3d c ＋4d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，∴⎩⎨⎧2a ＋3b ＝1，2c ＋3d ＝0，a ＋4b ＝0，c ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝45，b ＝－15，c ＝－35，d ＝25，∴M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45 －15－35 25. (2)矩阵A 的特征多项式为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －1 －3 λ－4＝(λ－2)·(λ－4)－3＝λ2－6λ＋5，令f (λ)＝0，得矩阵M 的特征值为1或5，当λ＝1时，由二元一次方程⎩⎨⎧－x －y ＝0，－3x －3y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，所以特征值λ＝1对应的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝5时，由二元一次方程⎩⎨⎧3x －y ＝0，－3x ＋y ＝0，得3x －y ＝0，令x ＝1，则y ＝3，所以特征值λ＝5对应的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13.4．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.设向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，试计算A 5β的值．解 由题设条件可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，即⎩⎨⎧ 2＋a ＝4，－2＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4，得矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，解得 λ1＝2，λ2＝3.当λ1＝2时，得α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21；当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，得m ＝3，n ＝1，∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4353395．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k001，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值．解 由题设得，MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10， 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 k 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －2 －20 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 0 k 0 －2 －2，可知A 1(0,0)、B 1(0，－2)、C 1(k ，－2)．计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，则由题设知： |k |＝2×1＝2.所以k 的值为2或－2.6．设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．(1)求矩阵M 的特征值及相应的特征向量； (2)求逆矩阵M－1以及椭圆x 24＋y 29＝1在M －1的作用下的新曲线的方程．解 由题意M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003， (1)由|M －λE |＝0得，λ1＝2，λ2＝3， 当λ1＝2，⎩⎨⎧ (2－2)x ＝0，3y ＝0，∴y ＝0，取x ＝1； 当λ2＝3，⎩⎨⎧2x ＝0，(3－3)y ＝0，∴x ＝0，取y ＝1.所以，特征值为2和3，特征值2对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，特征值3对应的特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01.(2)由逆矩阵公式得：M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13， 设P (x 0，y 0)是椭圆x 24＋y 29＝1上任意一点P 在M －1下对应P ′(x ，y )，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝3y ，所以，椭圆x 24＋y 29＝1在M －1的作用下的新曲线的方程为 x 2＋y 2＝1.。
2014年数学高考文科基础知识巩固训练
2014年数学高考文科基础知识巩固训练目录【1，集合及集合运算】 ......................................................................................................................................... 1 【2，复数及复数运算】 ......................................................................................................................................... 2 【3，向量及向量运算】 ......................................................................................................................................... 2 【4，逻辑关系】 ..................................................................................................................................................... 3 【5，简单的函数性质】 ......................................................................................................................................... 3 【6，统计与概率】 ................................................................................................................................................. 4 【7，简单的数列性质】 ......................................................................................................................................... 5 【8，简单的三角函数性质】 ................................................................................................................................. 6 【9直线与平面的位置关系】 ................................................................................................................................ 7 【10，直线与圆的位置关系】 ............................................................................................................................... 8 【11，简单的圆锥曲线问题】 ............................................................................................................................... 8 【12几何证明选讲】 . (9)【1，集合及集合运算】1． 设全集,U R =集合{}1M x x =>，{}21P x x =>，则______M P2． 集合{}{}2320,10,P x x x Q x mx =-+==-=若P Q ⊇，则实数m 的值是3． 集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ⋂=__ _______. 4． 设全集{}{}1,2,3,4,5,1,4I A ==，则______I C A =，它的子集个数是 5． 若U ={1，2，3，4}，M ={1，2}，N ={2，3}，则()__________U C M N ⋃= 6． 设{1,2,3,4,5,6,7,8}U =,{3,4,5},{4,7,8}.A B ==则:()()U U C A C B ⋂= ,()()U U C A C B ⋃=【2，复数及复数运算】1．若i b i i a -=⋅-)2(，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则22a b +等于 ． 2．设复数121,2()z i z x i x R =+=+∈，若12z z 为实数，则x 等于 ． 3．若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b = ______________.4．3321i i ++＝_____； 2005)11(i i -+ = ______；复数4)11(i +＝________； 5．复数z =i -11的共轭复数是______；6．复数z =111-++-ii在复平面内所对应的点的坐标为 在第 象限． 【3，向量及向量运算】1．若ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，且AB =，AD =，则BE 等于（ ） A ．+21B ．21-C ．+21 D ．21- 2．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==且∥，则αtan = （ ） A ．43B ．43-C ．34D ．34-3．已知ABCD 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________ 4. 已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，则BC →·CA →=__________5．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为 （ ） A.30°B.60°C.120°D.150°6，已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 7．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足n m +=的实数m,n ； （2）若()()k -+2//，求实数k ；【4，逻辑关系】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈” 的 条件．2．设原命题“若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1”则原命题与其逆命题的真假情况是 .3，设集合A ＝{长方体}，B ＝{正四棱柱}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的 条件. 有下列四个命题：①“若0=+y x ，则y x ,互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若1≤q ，则022=++q x x 有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题；其中真命题的个数是 ． 4．“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的条件5.写出命题“x R ∀∈， 2410ax x ++>”的否定形式 .6. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是 __ _______________．7．若命题“p 且q ”为假，且“非p ”为假，则_______________．【5， 简单的函数性质】1． 函数2log (2)y x =+的定义域是2． 函数234,[2,4)y x x x =-+∈的值域是 3． 函数2sin 3sin 4y x x =-+的值域是4．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=)0(1)0(121)(xxxxxf，则f[f(1)]=5．2.知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0,+)∞上是增函数，则f(-2),f(-),f(3)π的大小关系是6．已知2510a b==，则11______________a b+=7．设5.1348.029.01)21(,8,4-===yyy，则321,,yyy的大小关系为______________8.二次函数23)(2++=xxxf的顶点式为________；对称轴为________ 最小值是______.9.函数)()(32Zmxxf mm∈=-是幂函数，当0>x时)(xf是减函数，则m的值是 ______.【6，统计与概率】1．一个单位有职工360人，其中业务人员276人，管理人员36人，后勤人员48人，为了了解职工的住房情况，要从中抽取一个容量为30的样本，若采用分层抽样的抽样方法，则应从后勤人员中抽取人2．下图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据图中的数据回答下列问题：(1)样本数据落在[2，6)内的频率为；(2)样本数据落在[6，10)内的频数为．3．已知一组数据为20、30、40、50、50、60、70、80，其平均数、中位数和众数分别为4．已知一个样本1，3，2，5，x，若它的平均数是3，则这个样本的标准差为5．某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地西瓜约600个，在西瓜上市时随机摘了10个成熟的西瓜，称得如下：则这10个西瓜的平均质量是千克，这亩地西瓜产量约是 千克。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题7：数列2(基础解答题)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编 专题7：数列（基础解答题）1．（2014•新课标Ⅱ理）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n a a a ++⋯+<．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即1n nb b +=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）将1na 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． 【解答】证明（Ⅰ）1111313()2223111222n n n n n n a a a a a a +++++===+++， 113022a +=≠， ∴数列1{}2n a +是以首项为32，公比为3的等比数列； 11333222n n n a -∴+=⨯=，即312n n a -=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1231n n a =-，当2n …时，13133n n n -->-，∴11122131333n n n n n a --=<=--， ∴当1n =时，11312a =<成立， 当2n …时，211211()11111131331(1)133323213nn n n a a a --++⋯+<+++⋯+==-<-． ∴对n N +∈时，1211132n a a a ++⋯+<． 【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．2．（2014•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2nna 的前n 项和． 【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出2a ，4a 的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程2560x x -+=的根为2，3．又{}n a 是递增的等差数列， 故22a =，43a =，可得21d =，12d =， 故112(2)122n a n n =+-⨯=+， （2）设数列{}2nna 的前n 项和为n S ， 3112123122222n n n n na a a a a S --=+++⋯++，① 311223411222222n n n n n a a a a a S -+=+++⋯++，② ①-②得1123411311(1)111111242()1222222222212n n n n n n n a a a S d -++-=++++⋯+-=+⨯--， 解得11131124(1)222222n n n n n n S -++++=+--=-． 【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．3．（2014•新课标Ⅰ理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由． 【考点】等差数列的性质；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ．可得2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，2d λ=．得到222()2442n S n n λλλλλ=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，121()n n n n a a a a λ+++∴-= 10n a +≠，2n n a a λ+∴-=．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ． 则2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，∴2d λ=．∴(1)12n n a λ-=+，112n na λ+=+，222(1)1[1][1]()222442n n n S n n λλλλλλλ-∴=+++=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4λ=． 此时可得2n S n =，21n a n =-． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 4．（2014•大纲版文）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列递推式【分析】（Ⅰ）将2122n n n a a a ++=-+变形为：2112n n n n a a a a +++-=-+，再由条件得12n n b b +=+，根据条件求出1b ，由等差数列的定义证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出n b ，代入1n n n b a a +=-并令n 从1开始取值，依次得(1)n -个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的通项公式n a ． 【解答】解：（Ⅰ）由2122n n n a a a ++=-+得， 2112n n n n a a a a +++-=-+，由1n n n b a a +=-得，12n n b b +=+，即12n n b b +-=， 又1211b a a =-=，所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n b n n =+-=-， 由1n n n b a a +=-得，121n n a a n +-=-，则211a a -=，323a a -=，435a a -=，⋯，12(1)1n n a a n --=--， 所以，11352(1)1n a a n -=+++⋯+-- 2(1)(123)(1)2n n n -+-==-，又11a =，所以{}n a 的通项公式22(1)122n a n n n =-+=-+．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．5．（2014•大纲版理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S …． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过4n S S …得40a …，50a …，利用113a =、2a 为整数可得4d =-，进而可得结论； （2）通过133n a n =-，分离分母可得111()3133103n b n n=---，并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{}n a 中，由4n S S …得： 40a …，50a …，又113a =，∴13301340d d +⎧⎨+⎩……，解得131334d --剟，2a 为整数，4d ∴=-，{}n a ∴的通项为：174n a n =-；（2）174n a n =-， 111111()(174)(214)4417421n n n b a a n n n n +∴===------， 于是12n n T b b b =++⋯⋯+1111111[()()()]41317913417421n n =--+-+⋯⋯+-------111()441717n =----17(174)n n =-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2014•北京文）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列的和． 【解答】解：（1）{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =， 3312d ∴+=，解得3d =， 3(1)33n a n n ∴=+-⨯=．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，则 344112012843b a q b a --===--，2q ∴=， 1111()2n n n n b a b a q --∴-=-=，132(1n n b n n -∴=+=，2，)⋯． （2）由（1）知132(1n n b n n -=+=，2，)⋯． 数列{}n a 的前n 项和为3(1)2n n +，数列1{2}n -的前n 项和为1212112nn -⨯=--，∴数列{}n b 的前n 项和为3(1)212n n n ++-．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（2014•安徽文）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈． （Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出33nn n n b a n ==，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】证明（Ⅰ）1(1)(1)n n na n a n n +=+++，∴111n n a a n n +=++，∴111n n a an n+-=+， ∴数列{}na n是以1为首项，以1为公差的等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(1)1n a n n n=+-=，∴2n a n =， 33nn n n b a n ==，∴231132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+①23413132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+② ①-②得2323333n S -=+++⋯+13n n n +-1133313n n n ++-=--1123322n n +-=- ∴1213344n n n S +-=+【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．8．（2014•福建文）在等比数列{}n a 中，23a =，581a =． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的n a 代入3log n n b a =，得到数列{}n b 的通项公式，由此得到数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23a =，581a =，得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．∴13n n a -=； （Ⅱ）13n n a -=，3log n n b a =，∴1331n n b log n -==-．则数列{}n b 的首项为10b =， 由11(2)1(2)n n b b n n n --=---=…， 可知数列{}n b 是以1为公差的等差数列．∴1(1)(1)22n n n d n n S nb --=+=． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题． 9．（2014•湖北文）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d ，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出n S 根据60800n S n >+，解不等式根据不等式的解集来判断． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成比数列，故有2(2)2(24)d d +=+， 化简得240d d -=，解得0d =或4， 当0d =时，2n a =，当4d =时，2(1)442n a n n =+-=-．（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+， 此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立， 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >，或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41， 综上，当2n a =时，不存在满足题意的正整数n ， 当42n a n =-时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．10．（2014•湖南文）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n a n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得； （Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，111a s ==，当2n …时，221(1)(1)22n n n n n n n a s s n -+-+-=-=-=，∴数列{}n a 的通项公式是n a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)n n n b n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++⋯++-+-+-⋯+2212(12)2212n n n n +-=+=+--．∴数列{}n b 的前2n 项和为2122n n ++-．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．11．（2014•江西文）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的1n >，都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）利用“当2n …时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（2）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．利用等比数列的定义可得21nm a a a =，即2(32)1(32)n m -=⨯-，解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：232n n nS -=，*n N ∈．∴当2n …时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，(*)当1n =时，21131112a S ⨯-===．因此当1n =时，(*)也成立．∴数列{}n a 的通项公式32n a n =-．（2）证明：对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．则21nm a a a =，2(32)1(32)n m ∴-=⨯-， 化为2342m n n =-+， 1n >，22223423()133m n n n ∴=-+=-+>，因此对任意的1n >，都存在2*342m n n N =-+∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（2014•江西理）已知首项是1的两个数列{}n a ，{}(0n n b b ≠，*)n N ∈满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=． （1）令nn na b =ð，求数列{}n ð的通项公式； （2）若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð，可得数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{}n ð的通项公式； （2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð， 120n n c +∴-+=ð，12n n c +∴-=ð，首项是1的两个数列{}n a ，{}n b ，∴数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，21n n ∴=-ð；（2）13n n b -=，nn na b =ð，1(21)3n n a n -∴=-， 0111333(21)3n n S n -∴=⨯+⨯+⋯+-⨯，231333(21)3n n S n ∴=⨯+⨯+⋯+-⨯， 11212(33)(21)3n n n S n -∴-=++⋯+--， (1)31n n S n ∴=-+．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•浙江文）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S =． （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=． 【考点】等差数列的前n 项和；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，把条件转化为关于公差d 的二次方程求解，注意d 的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的前n 项和公式，对1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，*k N ∈进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值．【解答】解：（Ⅰ）由11a =，2336S S =得， 12123()()36a a a a a +++=，即(2)(33)36d d ++=，化为23100d d +-=， 解得2d =或5-， 又公差0d >，则2d =， 所以2*1(1)()2n n n S na d n n N -=+=∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n a n n =+-=-， 由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，(1)()652m m k k a a +++=，即(1)(21)65k m k ++-=，又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯，或(1)(21)165k m k ++-=⨯， 下面分类求解：当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去； 当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去； 综上得，4k =，5m =．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．14．（2014•重庆文）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比为q 满足244(1)0q a q S -++=．求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出4a 和4S ，代入244(1)0q a q S -++=求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-．2(121)13(21)2n n n S n n +-=++⋯+-==； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，47a =，416S =．244(1)0q a q S -++=，即28160q q -+=，2(4)0q ∴-=，即4q =． 又{}n b 是首项为2的等比数列，∴11211242n n n n b b q ---===． 1(1)2(41)13n nn b q T q -==--．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．15．（2015•新课标Ⅰ理）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243nn n a a S +=+ ()I 求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和． 【解答】解：()I 由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，0n a >，12n n a a +∴-=，2111243a a a +=+，11a ∴=-（舍)或13a =， 则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， {}n a ∴的通项公式32(1)21:n a n n =+-=+（Ⅱ）21n a n =+， 111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +∴===-++++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=++++． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 16．（2015•北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -= （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【考点】等差数列的性质【分析】()I 由432a a -=，可求公差d ，然后由1210a a +=，可求1a ，结合等差数列的通项公式可求 ()II 由238b a ==，3716b a ==，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求6b ，结合()I 可求【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ． 432a a -=，所以2d =1210a a +=，所以1210a d +=14a ∴=， 42(1)22(1n a n n n ∴=+-=+=，2，)⋯()II 设等比数列{}n b 的公比为q ， 238b a ==，3716b a ==，∴121816b q b q =⎧⎨=⎩2q ∴=，14b =∴61642128b -=⨯=，而12822n =+63n ∴=6b ∴与数列{}n a 中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．17．（2015•天津文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a b =ð，*n N ∈，求数列{}n ð的前n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出数列{}n a 的公比和数列{}n b 的公差，由题意列出关于q ，d 的方程组，求解方程组得到q ，d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到1(21)2n n c n -=-，然后利用错位相减法求得数列{}n ð的前n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意，0q >， 由已知有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 整理得：42280q q --=．0q >，解得2q =，2d ∴=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈；数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n N ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）有1(21)2n n c n -=-， 设{}n ð的前n 项和为n S ，则01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， 12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，两式作差得：2311222(21)223(21)2(23)23n n n n n n S n n n +-=+++⋯+--⨯=---⨯=--⨯-．∴*(23)23,n n S n n N =-+∈．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．18．（2015•天津理）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列（1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设2221log nn n a b a -=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过2n n a qa +=、1a 、2a ，可得3a 、5a 、4a ，利用23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知12n n nb -=，*n N ∈，写出数列{}n b 的前n 项和n T 、2n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =， 3a q ∴=，25a q =，42a q =，又23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，22323q q q ∴⨯=++， 即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍)，1222,2,n n n n a n -⎧⎪∴=⎨⎪⎩为奇数为偶数；（2）由（1）知2221121log 222n n n n n n a log nb a ---===，*n N ∈， 记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则2321111111234(1)22222n n n T n n --=++++⋯+-+， 233211111222345(1)22222n n n T n n --∴=+++++⋯+-+， 两式相减，得232111111322222n n n T n --=++++⋯+- 2111[1()]12231212n n n ---=+--21113122n n n --=+--1242n n -+=-．【点评】本题考查求数列的通项与前n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（2015•福建文）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋯+的值． 【考点】等差数列的性质【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，利用分组求和求12310b b b b +++⋯+的值． 【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，则1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩，所以3(1)2n a n n =+-=+； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，所以21012310(21)(22)(210)b b b b +++⋯+=++++⋯++210(222)(1210)=++⋯++++⋯+102(12)(110)102101122-+⨯=+=-．【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键． 20．（2015•广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）证明：11{}2n n a a +-为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．【考点】数列递推式【分析】（1）直接在数列递推式中取2n =，求得478a =； （2）由211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，变形得到2144(2)n n n a a a n +++=…，进一步得到211112122n n n n a a a a +++-=-，由此可得数列11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列；（3）由11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，可得1111()22n n n a a -+-=．进一步得到11411()()22n n n n a a ++-=，说明{}1()2n n a 是以1212a =为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{}n a 的通项公式．【解答】（1）解：当2n =时，4231458S S S S +=+，即4353354(1)5(1)8(1)124224a +++++=+++， 解得：478a =； （2）证明：211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，21114444(2)n n n n n n S S S S S S n ++-+∴-+-=-…， 即2144(2)n n n a a a n +++=…，3125441644a a a +=⨯+==，2144n n n a a a ++∴+=．2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----．∴数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列； （3）解：由（2）知，11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，∴1111()22n n n a a -+-=．即11411()()22n n n n a a++-=， {}1()2n n a ∴是以1212a=为首项，4为公差的等差数列， ∴2(1)4421()2n n a n n =+-⨯=-，即111(42)()(21)()22n n n a n n -=-⨯=-⨯， ∴数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．21．（2015•广东理）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； 【考点】数列的求和；数列与不等式的综合 【分析】（1）利用数列的递推关系即可求3a 的值；（2）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． 1431a ∴=-=，2212212422a -++=-=， 解得212a =， 1212242n n n a a na -+++⋯+=-，n N +∈． 121212(1)42n n n a a n a --+∴++⋯+-=-，n N +∈． 两式相减得121214(4)222n n n n n n nna ---++=---=，2n …， 则112n n a -=，2n …， 当1n =时，11a =也满足，112n n a -∴=，1n …， 则321124a ==； （2）112n n a -=，1n …，∴数列{}n a 是公比12q =， 则数列{}n a 的前n 项和111()222112nn n T --==--． 【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．22．（2015•湖北文理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式 （2）当1d >时，记nn na b =ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当1d >时，由（1）知1212n n n --=ð，写出n T 、12n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设1a a =，由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩，解得12a d =⎧⎨=⎩，或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，当12a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=； 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，1(279)9n a n =+，129()9n n b -=；（2）当1d >时，由（1）知21n a n =-，12n n b -=， 1212n n n n a n b --∴==ð， 23411111113579(21)22222n n T n -∴=+++++⋯+-， ∴234111111111357(23)(21)2222222n n n T n n -=++++⋯+-+-， ∴23421111111232(21)322222222n n n nn T n -+=+++++⋯+--=-， 12362n n n T -+∴=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（2015•湖南文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，2133n n n a S S ++=-+，*n N ∈， （Ⅰ）证明23n n a a +=；（Ⅱ）求n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）当2n …时，通过2133n n n a S S ++=-+与1133n n n a S S +-=-+作差，然后验证当1n =时命题也成立即可；（Ⅱ）通过()I 写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：当2n …时，由2133n n n a S S ++=-+， 可得1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-， 23n n a a +∴=，当1n =时，有3123331(12)33a S S =-+=⨯-++=， 313a a ∴=，命题也成立，综上所述：23n n a a +=；（Ⅱ）解：由()I 可得11211112233323k k k k k ka a a a -----⎧=⨯=⎪⎨=⨯=⨯⎪⎩，其中k 是任意正整数， 211234232221()()()k k k k S a a a a a a a ----∴=++++⋯+++2113333k k --=++⋯++113(13)313k k ---=+-153322k -=⨯-，111221253333232222k k k k k k S S a +---=+=⨯-+⨯=-，综上所述，1222533,2233,22n n n n S n -+⎧⨯-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 24．（2015•山东文）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和 【分析】（1）通过对11n n n a a +=ð分离分母，并项相加并利用数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过4n n b n =，写出n T 、4n T 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >， 1(1)n a a n d ∴=+-，11n a a nd +=+，令11n n n a a +=ð，则11111111[][(1)]()(1)n a n d a nd d a n d a nd==-+-++-+ð，1211111111111111[]2(1)n n c c c d a a d a d a d a n d a nd-∴++⋯++=-+-+⋯+-++++-+ð 11111[]d a a nd=-+11()n a a nd =+211n a a dn =+， 又数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +，∴21112a a d ⎧=⎪⎨=⎪⎩，11a ∴=或1-（舍)，2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-；（2）由（1）知21(1)2(211)24n a n n n n b a n n -=+=-+=，121214244n n n T b b b n ∴=++⋯+=++⋯+， 23141424(1)44n n n T n n +∴=++⋯+-+， 两式相减，得121113434444433n n n n n T n ++--=++⋯+-=-， 1(31)449n n n T +-+∴=． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（2015•山东理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）利用233n n S =+，可求得13a =；当1n >时，11233n n S --=+，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）因为233n n S =+，所以112336a =+=，故13a =， 当1n >时，11233n n S --=+，此时，1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=， 所以13,13, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，所以1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，所以012231(132333(1)3)n n T n ---=+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得：10122111221313632(3333(1)3)(1)33313623n n n nn nn T n n --------+=++++⋯+--⨯=+--⨯=--⨯， 所以13631243n nn T +=-⨯，经检验，1n =时也适合，综上可得13631243n nn T +=-⨯． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．26．（2015•四川文）设数列{}(1n a n =，2，3)⋯的前n 项和n S ，满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和【分析】（Ⅰ）由条件n S 满足12n n S a a =-，求得数列{}n a 为等比数列，且公比2q =；再根据1a ，21a +，3a 成等差数列，求得首项的值，可得数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）由于112n n a =，利用等比数列的前n 项和公式求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有 1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-…，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==． 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即1322(1)a a a +=+ 所以11142(21)a a a +=+，解得：12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故2n n a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得112n n a =，所以11(1)1111122112482212n n n nT -=+++⋯+==--． 【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，属于中档题．27．（2015•四川理）设数列{}(1n a n =，2，3，)⋯的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n -=…，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1{}n a 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有1122n n n n n a S S a a --=-=- (2)n …，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==， 又1a ，21a +，3a 成等差数列，11142(21)a a a ∴+=+，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =， ∴211[1()]11112211222212n n n nT -=++⋯+==--． 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n >． 9102512100010242=<<=，10n ∴…．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．28．（2015•浙江文）已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，*12()n n a a n N +=∈，*12311111()23n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由12a =，12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{}n a 的通项公式；再由11b =，1231111123n n b b b b b n++++⋯+=-，取1n =求得22b =，当2n …时，得另一递推式，作差得到11n n n b b b n +=-，整理得数列{}n b n为常数列，由此可得{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出2n n n a b n =，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得*2()n n a n N =∈． 由题意知，当1n =时，121b b =-，故22b =，当2n …时，12311111231n n b b b b b n -+++⋯+=--，和原递推式作差得，11n n n b b b n+=-，整理得：11n n b b n n +=+，∴*()n b n n N =∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n n a b n =， 因此23222322n n T n =+++⋯+23412222322n n T n +=+++⋯+， 两式作差得：2112(12)2222212n nn n n T n n ++--=++⋯+-=--，1*(1)22()n n T n n N +=-+∈．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．29．（2015•重庆文）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，前3项和392S =．可得122a d +=，19332a d +=，解得1a ，d ．即可得出．11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得q ．利用求和公式即可得出．【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =． 111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n nn T -==--． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2015•安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{}n a 的通项公式； （2）求出11n n n n a b S S ++=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． 149a a ∴+=，14238a a a a ==．解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍)， 解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a -=； （2）1(1)211n n n a q S q -==--， 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-∴===-，∴数列{}n b 的前n 项和11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+⋯+-=-=--． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．31．（2016•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和． 【考点】数列递推式【分析】（Ⅰ）令1n =，可得12a =，结合{}n a 是公差为3的等差数列，可得{}n a 的通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，进而可得：{}n b 的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++=． 当1n =时，1221a b b b +=． 11b =，213b =，12a ∴=，又{}n a 是公差为3的等差数列， 31n a n ∴=-，（Ⅱ）由()I 知：11(31)n n n n b b nb ++-+=． 即13n n b b +=．即数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313nn n n S ---==-=--． 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n 项和公式，难度中档． 32．（2016•新课标Ⅱ文）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案； （Ⅱ）根据[]n n b a =，列出数列{}n b 的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===， 452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==．故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．33．（2016•新课标Ⅱ理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{}n b 的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，则公差1d =． n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==， 11[11]1b lg ==， 101[101]2b lg ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==． 1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．34．（2016•新课标Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20nn n n a a a a ++---=． （1）求2a ，3a ；（2）求{}n a 的通项公式． 【考点】数列递推式【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令1n =可得21212(21)20a a a a ---=，将11a =代入可得2a 的值，进而令2n =可得22323(21)20a a a a ---=，将212a =代入计算可得3a 的值，即可得答案； （2）根据题意，将211(21)20n n n n a a a a ++---=变形可得11(2)()0n n n n a a a a ++-+=，进而分析可得12n n a a +=或1n n a a +=-，结合数列各项为正可得12n n a a +=，结合等比数列的性质可得{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 当1n =时，有21212(21)20a a a a ---=， 而11a =，则有221(21)20a a ---=，解可得212a =， 当2n =时，有22323(21)20a a a a ---=， 又由212a =，解可得314a =， 故212a =，314a =； （2）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 变形可得1(2)(1)0n n n a a a +-+=，即有12n n a a +=或1n a =-， 又由数列{}n a 各项都为正数，则有12n n a a +=， 故数列{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，则11111()()22n n n a --=⨯=， 故11()2n n a -=．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到n a 与1n a +的关系． 35．（2016•新课标Ⅲ理）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）1n n S a λ=+，0λ≠． 0n a ∴≠．当2n …时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-， 即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n …， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=， 即111a λ=-， 11()11n n a λλλ-∴=--． （2）若53132S =， 则若451311[()]1132S λλλλ=+=--， 即5311()113232λλ=-=--， 则112λλ=--，得1λ=-． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据2n …时，1n n n a S S -=-的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．36．（2016•天津文）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为*()n S n N ∈，且123112a a a -=，663S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n nb -的前2n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q ，利用求和公式解出1a ，得出通项公式； （2）利用对数的运算性质求出n b ，使用分项求和法和平方差公式计算． 【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，则2111112a a q a q -=，即2121q q -=，解得2q =或1q =-．若1q =-，则60S =，与663S =矛盾，不符合题意．2q ∴=， 616(12)6312a S -∴==-，11a ∴=．12n n a -∴=．（2）n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，221211(log log )(log 222n n n b a a +∴=+=12log 2n -+1)2n n =-．11n n b b +∴-=． {}n b ∴是以12为首项，以1为公差的等差数列． 设2{(1)}n nb -的前2n 项和为n T ，则 2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋯+-+1234212n n b b b b b b -=+++⋯++12112222222nn b b n n +-+==22n =． 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．37．（2016•山东文）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a b ++=+ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出数列{}n ð的通项，利用错位相减法求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）238n S n n =+，2n ∴…时，165n n n a S S n -=-=+，。
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第七章 推理与证明第1课时 合情推理与演绎推理1. (选修12P 35练习题4改编)“因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是______________.答案：大前提错误解析：y ＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错． 2. (选修12P 35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．” 的演绎推理过程________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 答案：每一个矩形的对角线相等(大前提) 正方形是矩形(小前提) 正方形的对角线相等(结论)3. (选修12P 29练习题3(2) 改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________.答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析：等式右边的底数为左边的项数．4. (选修12P 29练习题3(2)改编)观察下列等式： 21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n 的等式，这个等式可以表示为______________________．答案：n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)解析：由归纳推理得n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1＋（n 2＋n ）n ＝（n ＋1）2n ， n ＋1n×(n ＋1)＝（n ＋1）2n ，所以得出结论n ＋1n ＋(n ＋1)＝n ＋1n×(n ＋1)(n∈N *)． 5. 已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝12×底×高，可得扇形的面积公式为________．答案：12rl1. 归纳推理(1) 归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理． (2) 归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3) 归纳推理的特点① 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．② 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③ 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2. 类比推理(1) 根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2) 类比推理的思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3. 演绎推理(1) 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2) 主要形式是三段论式推理． (3) 三段论的常用格式为 M — P(M 是P)① S －M(S 是M)② S — P(S 是P)③ 其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]题型1 归纳推理例1 在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1) 求a 1，a 2，a 3；(2) 由(1)猜想数列{a n }的通项公式； (3) 求S n .解：(1) 当n ＝1时，S 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1，即a 21－1＝0，解得a 1＝±1.∵ a 1>0，∴ a 1＝1；当n ＝2时，S 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2，即a 22＋2a 2－1＝0.∵ a 2>0, ∴ a 2＝2－1.同理可得，a 3＝3－ 2.(2) 由(1)猜想a n ＝n －n －1.(3) S n ＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n. 变式训练已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n(n∈N *)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2007＝________．答案：－123解析：(解法1)分别求出a 2＝－3、a 3＝－12、a 4＝13、a 5＝2，可以发现a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3.(解法2)由a n ＋1＝1＋a n1－a n，联想到两角和的正切公式，设a 1＝2＝tan θ，则有a 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ，a 3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ，a 4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋θ，a 5＝tan(π＋θ)＝a 1，….则a 1·a 2·a 3·a 4＝1，故a 1·a 2·a 3·…·a 2 007＝a 2 005·a 2 006·a 2 007＝a 1·a 2·a 3＝3. 题型2 类比推理例2 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案：a 38解析：在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等(如图1)，即OM ＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，Rt △OPN ≌Rt △ORM ，因此S 四边形OPAR ＝S 正方形OMAN ＝14a 2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a 的正方体重叠部分的体积为18a 3.备选变式（教师专享）已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M 、N 是双曲线：x 2a 2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设点M 的坐标为(m ，n)，则点N 的坐标为(－m ，－n)，其中m 2a 2－n2b2＝1.又设点P 的坐标为(x ，y)，由k PM ＝y －n x －m ，k PN ＝y ＋n x ＋m ，得k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n2x 2－m2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2代入得k PM ·k PN ＝b 2a2.题型3 演绎推理例3 设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n∈N *)；②b n ≤M (n∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界” 数列．(1) 若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2) 判断(1)中的数列{S n }是否为“特界” 数列，并说明理由． 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－n 2＋9n.(2) 由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝（S n ＋2－S n ＋1）－（S n ＋1－S n ）2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1<0，得S n ＋S n ＋22<S n ＋1，故数列{S n }适合条件①，而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20.即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②. 综上，数列{S n }是“特界”数列． 备选变式（教师专享）设数列{}a n 满足a 1＝0且11－a n ＋ 1 －11－a n＝ 1.(1) 求{}a n 的通项公式；(2) 设b n ＝1－a n ＋1n，记S n ＝k ＝1n b k ，证明：S n <1.(1)解： 由题设11－a n ＋1－11－a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，故11－a n ＝n.所以a n ＝1－1n . (2) 证明： 由(1)得b n ＝1－a n ＋1n ＝n ＋1－n n ＋1·n ＝1n－1n ＋1，S n＝1111n nkk k b ====-邋1. 观察下列不等式：1＋122＜32；1＋122＋132＜53；1＋122＋132＋142＜74；…；照此规律，第五个不等式是________． 答案：1＋122＋132＋142＋152＋162<1162. 观察下列各式：a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3；a 3＋b 3＝4；a 4＋b 4＝7；a 5＋b 5＝11；…；则a 10＋b 10＝________．答案：123解析：(解法1)由a ＋b ＝1；a 2＋b 2＝3得ab ＝－1代入后三个等式中符合，则a 10＋b 10＝(a 5＋b 5)2－2a 5b 5＝123.(解法2)令a n ＝a n ＋b n，易得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶8解析：考查类比的方法，V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18，所以体积比为1∶8.4. (选修12P 31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________ .答案：14解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h ，底面面积为S ，正四面体SABC 的内切球的半径为R ，球心为O ，连结OS 、OA 、OB 、OC ，将四面体分成四个三棱锥，则V S ABC ＝V O SAC＋V O SAB ＋V O SBC ＋V O ABC ＝13SR ＋13SR ＋13SR ＋13SR ＝43SR ＝13Sh ，所以R ＝14h.5. (2013·镇江期末)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n （n ＋1）×12n ＝________．答案：1－1（n ＋1）·2n1. (2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x ，y)的个数为4 , |x|＋|y|＝2的不同整数解(x ，y)的个数为8, |x|＋|y|＝3的不同整数解(x ，y)的个数为12 ….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x ，y)的个数为________．答案：80解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n∈N *)的整数解(x ，y)个数为4n ，故|x|＋|y|＝20的整数解(x ，y)的个数为80.2. 若等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则数列{nT n }为等比数列，公比为________．答案：q解析：T n ＝b n1qn （n －1）2，n T n ＝b 1(q)n －1. 3. 若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为mn，如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，四面体A 1ABC 的直度为________．答案：1解析：n ＝4，m ＝4，m n ＝44＝1.4. 若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a2＋y 0yb2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)外，过P 0作双曲线的两条切线的切点分别为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是________．答案：x 0x a 2－y 0y b2＝1解析：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 0(x 0，y 0)，则过P 1、P 2的切线方程分别是x 1x a2－y 1yb2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1.因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1. 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a2－y 0y b 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0xa2－y 0yb 2＝1.1. 合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新的结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路和方法．2. 合情推理的过程概括为：从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想．3. 演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论，数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．4. 合情推理仅是符合情理的推理，他得到的结论不一定真，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．请使用课时训练（A）第1课时（见活页）.[备课札记]。
2014届高考数学常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质
第一部分 17个常考问题专项突破常考问题1 函数、基本初等函数的图象与性质(建议用时：50分钟)1．(2013·北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )．A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x | 解析 y ＝1x 为奇函数；y ＝e －x 为非奇非偶函数；函数y ＝－x 2＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上递减．答案 C2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0， －x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于 ( )．A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 解析 依题意，得f (a )＝2－f (－1)＝2－－（－1）＝1.当a ≥0时，有 a ＝1，则a ＝1；当a <0时，有－a ＝1，a ＝－1.综上所述，a ＝±1.答案 D3．函数f (x )＝log 2|x |，g (x )＝－x 2＋2，则f (x )·g (x )的图象只可能是 ( )．解析 因为函数f (x )，g (x )都为偶函数，所以f (x )·g (x )也为偶函数．所以图象关于y 轴对称，排除A ，D.f (x )·g (x )＝(－x 2＋2)log 2|x |，当0<x <1时，f (x )·g (x )<0，排除B ，选C.答案 C4．(2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2 a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )． A ．[1，2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0，2]解析 ∵f (x )在R 上是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 12a ＝f (－log 2a )＝f (log 2a )， 由题设，得2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1，解之得12≤a ≤2.答案 C5．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1<x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则下列结论中正确的是 ( )．A ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5)C ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5)D ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．∴f (4.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (7)＝f (4＋3)＝f (3)＝f (1)， f (6.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32. 又f (x )在[0，2]上为增函数．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，故有f (4.5)<f (7)<f (6.5)．答案 A6．已知f (x )＝ln(1＋x )的定义域为集合M ，g (x )＝2x ＋1的值域为集合N ，则M ∩N ＝________．解析 由对数与指数函数的知识，得M ＝(－1，＋∞)，N ＝(1，＋∞)，故M ∩N ＝(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)7．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝3x 2＋1>0，∴f (x )在R 上为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知，f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0，令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2，2]知g (m )<0恒成立，可得⎩⎨⎧g （－2）＝－x －2<0，g （2）＝3x －2<0，∴－2<x <23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，给出下列命题： ①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点；④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，说明函数f (x )在[0，2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2，0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2，6]与[－6，－2)上也单调且有f (6)＝f (－6)＝0，因此，函数在[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确．答案 ①②④9．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0，1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝－log a (1－x )(x <1)．所以g (x )＝－log a (1－x )(x <1)．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a 1＋x 1－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x，x ∈[0，1)． 由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0，1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0.故m 的取值范围是(－∞，0]．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，即⎩⎨⎧a ＞0，（a －1）2≤0.∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋1 （x ＞0），－x 2－2x －1 （x ＜0）.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1.∵g (x )在[－2，2]上是单调函数，∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．11．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f (x )＝e x－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。
2014高考新课标数学考点总动员 考点7 强化系统,精确计算,解析几何我们不再害怕
一.专题综述解析几何初步的内容主要是直线与方程、圆与方程和空间直角坐标系，该部分内容是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但由于在高中阶段平面解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择题或者填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．根据近年来各地高考的情况，解析几何初步的考查是稳定的，预计2012年该部分的考查仍然是以选择题或者填空题考查直线与圆的基础知识和方法，而在解析几何解答题中考查该部分知识的应用．圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、考查直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这道解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2012年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．二.考纲解读1．直线与方程①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．③能根据斜率判定两条直线平行或垂直．④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系．⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．2．圆与方程①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．4．空间直角坐标系①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置．②通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．5. 圆锥曲线(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．(2)经历从具体情境中抽象出椭圆(理：椭圆、抛物线)模型的过程，掌握椭圆(理：椭圆、抛物线)的定义、标准方程及简单几何性质． (3)了解抛物线、双曲线(理：双曲线)的定义、几何图形和标准方程，知道抛物线、双曲线(理：双曲线)的简单几何性质．(4)通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想． (5)(文)了解圆锥曲线的简单应用．(理)能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．(6)(理)结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．三.2012年高考命题趋向四．高频考点解读考点一 直线的相关问题例1 [2011·浙江卷] 若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________. 【答案】1【解析】 ∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0，∴1×2－2×m ＝0，即m ＝1. 例2[2011·安徽卷] 在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点；④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数； ⑤存在恰经过一个整点的直线． 【答案】①③⑤【解析】 ①正确，比如直线y ＝2x ＋3，不与坐标轴平行，且当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即不经过任何整点；②错，直线y ＝3x －3中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1,0)；③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；④错误，当k ＝0，b ＝13时，直线y ＝13不通过任何整点；⑤正确，比如直线y ＝3x －3只经过一个整点(1,0)． 【解题技巧点睛】在判断两条直线平行或垂直时,不要忘记考虑两条直线中有一条直线无斜率或两条直线都无斜率的情况.在不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在的情况下才可以应用条件l 1∥l 2⇔k 1=k 2,l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1解决两直线的平行与垂直问题.在判定两直线是否垂直的问题上,除上述方法外,还可以用两直线l 1和l 2的方向向量v 1=(a 1,b 1)和v 2=(a 2,b 2)来判定,即l 1⊥l 2⇔a 1a 2+b 1b 2=0.考点二 直线与圆的位置关系例3[2011·湖南卷] 已知圆C ：x 2＋y 2＝12，直线l ：4x ＋3y ＝25.(1)圆C 的圆心到直线l 的距离为________；(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为________．【答案】(1)5 (2)16【解析】 (1)圆心到直线的距离为：d ＝||－2532＋42＝5;(2)当圆C 上的点到直线l 的距离是2时有两个点为点B 与点D ，设过这两点的直线方程为4x ＋3y ＋c ＝0，同时可得到的圆心到直线4x ＋3y ＋c ＝0的距离为OC ＝3，又圆的半径为r ＝23，可得∠BOD ＝60°，由图1－2可知点A 在弧BD 上移动，弧长l BD ＝16×c ＝c6，圆周长c ，故P (A )＝l BD c ＝16.例4 [2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A 、B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 【解答】 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0.从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.【解题技巧点睛】求圆的方程要确定圆心的坐标(横坐标、纵坐标)和圆的半径，这实际上是三个独立的条件，只有根据已知把三个独立条件找出才可能通过解方程组的方法确定圆心坐标和圆的半径，其中列条件和解方程组都要注意其准确性．直线被圆所截得的弦长是直线与圆相交时产生的问题，是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．解决的方法，一是根据平面几何知识结合坐标的方法，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即如果圆的半径是r ，圆心到直线的距离是d ，则圆被直线所截得的弦长l ＝2；二是根据求一般的直线被二次曲线所截得的弦长的方法解决．考点三 椭圆方程与几何性质例5[2011·福建卷] 设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线Γ的离心率等于( ) A.12或32 B.23或2 C.12或2 D.23或32 【答案】 A【解析】 设|F 1F 2|＝2c (c >0)，由已知|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，得|PF 1|＝83c ，|PF 2|＝43c ，且|PF 1|>|PF 2|，若圆锥曲线Γ为椭圆，则2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，离心率e ＝c a ＝12；若圆锥曲线Γ为双曲线，则2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝43c ，离心率e ＝c a ＝32，故选A.例6[2011·江西卷] 若椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．【答案】 x 25＋y 24＝1【解析】 由题可知过点⎝⎛⎭⎫1，12与圆x 2＋y 2＝1的圆心的直线方程为y ＝12x ，由垂径定理可得k AB ＝－2.显然过点⎝⎛⎭⎫1，12的一条切线为直线x ＝1，此时切点记为A (1,0)，即为椭圆的右焦点，故c ＝1.由点斜式可得，直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，即AB ：2x ＋y －2＝0.令x ＝0得上顶点为(0,2)，∴b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝5，故得所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.例7[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．【答案】x 216＋y 28＝1【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为离心率为22，所以22＝1－b 2a2，解得b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.又△ABF 2的周长为||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||BF 2＋||AF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝2a ＋2a ＝4a ，，所以4a ＝16，a ＝4，所以b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.【解题技巧点睛】离心率是圆锥曲线重要的几何性质，在圆锥曲线的基础类试题中占有较大的比重，是高考考查圆锥曲线的几何性质中的重要题目类型．关于椭圆、双曲线的离心率问题，主要有两类试题．一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的取值范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中a ，b ，c 的关系式，求值试题就是建立关于a ，b ，c 的等式，求取值范围问题就是建立关于a ，b ，c 的不等式．考点四 双曲线方程与几何性质例8[2011·天津卷] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5 【答案】B【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±bax ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－p 2＝－2，即p ＝4.又∵p 2＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝bax得b ＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.例9[2011·辽宁卷] 已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________． 【答案】2【解析】 法一：点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1上，则4a 2－9b2＝1.又由于2c ＝4，所以a 2＋b 2＝4.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4a 2－9b 2＝1，a 2＋b 2＝4得a ＝1或a ＝4.由于a <c ，故a ＝1.所以离心率为e ＝ca ＝2.法二：∵双曲线的焦距为4，∴双曲线的两焦点分别为F 1(－2，0)，F 2(2,0)，点(2,3)到两焦点的距离之差的绝对值为2，即2a ＝2，∴a ＝1，离心率e ＝ca＝2.例10[2011·山东卷] 已知双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( ) A.x 25－y 24＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 【答案】 A【解析】 圆方程化为标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心C (3,0)，r ＝2，所以双曲线焦点F (3,0)，即c ＝3，渐近线为ay ±bx ＝0，由圆心到渐近线的距离为2得|±3b |a 2＋b2＝2，又a 2＋b 2＝9，所以|b |＝2，即b 2＝4，a 2＝c 2－b 2＝9－4＝5，所以所求双曲线方程为x 25－y 24＝1.【解题技巧点睛】求圆锥曲线方程的基本方法之一就是待定系数法，就是根据已知条件得到圆锥曲线方程中系数的方程或者方程组，通过解方程或者方程组求得系数值．考点五 抛物线方程与几何性质例11[2011·课标全国卷] 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 【答案】C【解析】 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，A ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，B ⎝⎛⎭⎫p2，－p ，所以||AB ＝2p ＝12，所以p ＝6.又点P 到AB 边的距离为p ＝6，所以S △ABP ＝12×12×6＝36.例12 [2011·福建卷] 如图1－4，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0.(*)因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)即为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2,1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.例13 [2011·江西卷] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且||AB ＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．【解答】 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.考点六 直线与曲线的位置关系例14[2011·江西卷] 若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33B.⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎫33，＋∞ 【答案】B【解析】 配方得，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1，即曲线C 1为圆心在点C 1(1,0)，半径为1的圆，曲线C 2则表示两条直线：x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，于是知直线l 与圆C 1相交，∴圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m (1＋1)－0|m 2＋1<r ＝1，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， 又当m ＝0时，直线l ：y ＝0与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎫0，33.故选B.例15[2011·陕西卷] 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．【解答】 (1)将(0,4)代入椭圆C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32，y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65.即中点为⎝⎛⎭⎫32，－65. 例16[2011·辽宁卷]如图1－9，已知椭圆C 1的中点在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D .(1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 【解答】 (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立，求得A ⎝⎛⎭⎫t ，a b a 2－t 2，B ⎝⎛⎭⎫t ，ba a 2－t 2. 当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知|BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A |＝b 2a 2＝34.(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a，解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ；当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN . 【解题技巧点睛】当直线与曲线相交时:涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长;涉及到求平行弦中点的轨迹、求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的直线方程问题,常用“差分法”设而不求,将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.其中,判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据.通过相切构造方程可以求值,通过相交、相离还可构造不等式来求参数的取值范围或检验某一个值是否有意义.考点七 轨迹问题例17[2011·陕西卷]如图1－8，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝45|PD |.(1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．【解答】 (1)设M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x P ，y P )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y ， ∵P 在圆上，∴x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25，即C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0.∴x 1＝3－412，x 2＝3＋412.∴线段AB 的长度为|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415. 例18[2011·湖南卷] 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．【解答】 设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ， 则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k.设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.例19[2011·天津卷] 在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．【解答】 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)．由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|，即(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋ca －1＝0. 得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c .可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝()x ，y ＋3c .由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y .于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )．由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．【解题技巧点睛】求曲线轨迹方程是高考的常考题型.考查轨迹方程的求法以及利用曲线的轨迹方程研究曲线几何性质,一般用直接法、定义法、相关点代入法等求曲线的轨迹方程.轨迹问题的考查往往与函数、方程、向量、平面几何等知识相融合,着重考查分析问题、解决问题的能力,对逻辑思维能力、运算能力有较高的要求. 如果题目中有明显的等量关系,或者能够利用平面几何推出等量关系,可用直接法;如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用定义法;如果轨迹的动点P 依赖另一动点Q,而Q 又在某已知曲线上,则可通过列方程组用代入法求出轨迹方程;另外当动点的关系不易找到,而动点又依赖于某个参数,则可利用参数法求轨迹方程,常用的参数有变角、变斜率等.考点八 圆锥曲线的综合问题例20[2011·山东卷] 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 【答案】C【解析】 根据x 2＝8y ，所以F (0,2)，准线y ＝－2，所以F 到准线的距离为4，当以F 为圆心、以|FM |为半径的圆与准线相切时，|MF |＝4，即M 到准线的距离为4，此时y 0＝2，所以显然当以F 为圆心，以||FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交时，y 0∈(2，＋∞)．例20[2011·湖南卷] 如图1－9，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，x 轴被曲线C 2：y ＝x 2－b 截得的线段长等于C 1的长半轴长．(1)求C 1，C 2的方程；(2)设C 2与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与C 2相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E .①证明：MD ⊥ME ；②记△MAB ，△MDE 的面积分别为S 1，S 2.问：是否存在直线l ，使得S 1S 2＝1732？请说明理由．【解答】 (1)由题意知，e ＝c a ＝32，从而a ＝2b .又2b ＝a ，解得a ＝2，b ＝1.故C 1，C 2的方程分别为x24＋y 2＝1，y ＝x 2－1.(2)①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＝kx . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－1得x 2－kx －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－1.又点M 的坐标为(0，－1)，所以k MA ·k MB ＝y 1＋1x 1·y 2＋1x 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)x 1x 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1x 1x 2＝－k 2＋k 2＋1－1＝－1.故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME .②设直线MA 的斜率为k 1，则直线MA 的方程为y ＝k 1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，y ＝x 2－1解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k 1，y ＝k 21－1.则点A 的坐标为(k 1，k 21－1)．又直线MB 的斜率为－1k 1，同理可得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－1k 1，1k 21－1. 于是S 1＝12|MA |·|MB |＝121＋k 21·|k 1|·1＋1k 21·⎪⎪⎪⎪－1k 1＝1＋k 212|k 1|.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －1，x 2＋4y 2－4＝0得(1＋4k 21)x 2－8k 1x ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8k 11＋4k 21，y ＝4k 21－11＋4k 21.则点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 11＋4k 21，4k 21－11＋4k 21.又直线ME 的斜率为－1k 1，同理可得点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 14＋k 21，4－k 214＋k 21. 于是S 2＝12|MD |·|ME |＝32(1＋k 21)·|k 1|(1＋4k 21)(k 21＋4).因此S 1S 2＝164⎝⎛⎭⎫4k 21＋4k 21＋17. 由题意知，164⎝⎛⎭⎫4k 21＋4k 21＋17＝1732， 解得k 21＝4，或k 21＝14. 又由点A ，B 的坐标可知，k ＝k 21－1k 21k 1＋1k 1＝k 1－1k 1，所以k ＝±32.故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为y ＝32x 和y ＝－32x .例21[2011·山东卷] 已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点．(1)证明：x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值； (2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；(3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由．【解答】 (1)(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1， 因为P (x 1，y 1)在椭圆上，所以x 213＋y 212＝1.①又因为S △OPQ ＝62，所以|x 1|·|y 1|＝62，②由①、②得|x 1|＝62，|y 1|＝1，此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2.(ⅱ)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0，其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0， 即3k 2＋2>m 2，(★)又x 1＋x 2＝－6km2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2，所以|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2.因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k 2，所以S △OPQ ＝12|PQ |·d＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k 2＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2.又S △OPQ ＝62，整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(★)式．此时x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝⎛⎭⎫－6km 2＋3k 22－2×3(m 2－2)2＋3k 2＝3， y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2. 综上所述，x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2，结论成立． (2)解法一：①当直线l 的斜率不存在时，由(1)知|OM |＝|x 1|＝62，|PQ |＝2|y 1|＝2，因此|OM |·|PQ |＝62×2＝ 6.②当直线l 的斜率存在时，由ⅰ知： x 1＋x 22＝－3k2m ， y 1＋y 22＝k ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m ， |OM |2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m2＝6m 2－24m 2＝12⎝⎛⎭⎫3－1m 2. |PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2)(2＋3k 2)2＝2(2m 2＋1)m 2＝2⎝⎛⎭⎫2＋1m 2. 所以|OM |2·|PQ |2＝12×⎝⎛⎭⎫3－1m 2×2×⎝⎛⎭⎫2＋1m 2 ＝⎝⎛⎭⎫3－1m 2⎝⎛⎭⎫2＋1m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m2＋2＋1m 222＝254. 所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m2，即m ＝±2时，等号成立．综合①②得|OM |·|PQ |的最大值为52.解法二：因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)＋(y 21＋y 22)]＝10.所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102＝ 5.即|OM |·|PQ |≤52，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此|OM |·|PQ |的最大值为52.(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62. 由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v 2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2.解得u 2＝x 21＝x 22＝32；v 2＝y 21＝y 22＝1.因此u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取．因此D 、E 、G 只能在⎝⎛⎭⎫±62，±1这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点，与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾，所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D 、E 、G . 例22【2011⋅新课标全国】在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足MB //OA ，MA ·AB =MB ·BA，M 点的轨迹为曲线C ．(Ⅰ) 求C 的方程；(Ⅱ) P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．【解题技巧点睛】1.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理．针对训练一．选择题1. （2012届微山一中高三10月考试题）过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是 （ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --= D ．210x y --=或250x y -=【答案】B【解析】考查直线方程的截距式以及截距是0的易漏点,当直线过原点时方程为250x y -=,不过原点时,可设出其截距式为12x y a a +=再由过点(5,2)即可解出.2.【2012年上海市普通高等学校春季招生考试】已知函数222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则（ ）（A ）1C 与2C 顶点相同 （B ）1C 与2C 长轴长相同（C ）1C 与2C 短轴长相同 （D ）1C 与2C 焦距相同 【答案】D 【解析】2222211111:1,12,4,8,2124x y C a b c c +=∴==∴=∴= 2222222222:1,16,8,8,2168x y C a b c c +=∴==∴==综上可知两个曲线的焦距相等。
2014高考数学(理科)小题限时训练20
2014高考数学（理科）小题限时训练2015小题共75分，时量：45分钟，考试时间：晚21：40—22：10 姓名 一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在） 1．函数y =的定义域是 （ ）A ．[0),+∞B ．[1),+∞C ．(0),+∞D ．(1),+∞2．有下列四个命题，其中真命题是 （ ） A ．2,n n n ∀∈≥RB ．,,n m m n m ∃∈∀∈= R RC ．2,,n m m n ∃∈∃∈<R RD ．2,n n n ∀∈<R3．已知三棱柱的三视图如下图所示，其中俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积为 （ ）A．B．C ．D ．64．函数f （x ）=ln ||(0)1(0)x x x x<⎧⎪⎨>⎪⎩的图象大致是 （ ）5．已知ΔABP 的顶点A 、B 分别为双曲线22:1169x y C -=的左、右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则|sin sin |sin A B P-的值等于A ．B ．C ．45D ．546．我市某机构调查小学生课业负担的情况，设平均每人每天做作业时间为x (单位：分钟)，按时间分下列四种情况统计：①0～30分钟；②30～60分钟；③60～90分钟；④90分钟及90分钟以上，有1 000名小学生参加了此项调查，下图是此次调查的流程图，已知输出的结果是600，则平均每天做作业时间在0～60分钟内的学生的频率是 ()A ．0.20B ．0.40C ．0.60D ．0.807．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，则函数2()log 2log 8a b f x x b x a =++的图象恒在x 轴上方的概率为（ ）A ．14B ．34C ．13D ．238．已知f (x )是R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )= 1222xx -，又a 是函数g (x ) =2ln(1)x x+-的正零点，则f （–2），f （a ），f （1.5）的大上关系是 （ ） A ．(1.5)()(2)f f a f <<- B ．(2)(1.5)()f f f a -<< C ．()(1.5)(2)f a f f <<-D ．(1.5)(2)()f f f a <-<二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9．用0.618法确定的试点，则经过 次试验后，存优范围缩小为原来的0.6184倍． 10．在等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=80，则7812a a -的值为 ．11．已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若(,)OC λOA μOB λμ=+∈R ，则λμ+的值是 ．12．在极坐标系中，和极轴垂直相交的直线l 与圆4ρ=相交于A 、B 两点，若|AB |=4，则直线l 的极坐标方程为 ．13．在计算机的运行过程中，常常要进行二进制数与十进制数的转换与运算．如：十进制数8转换成二进制是1000，记作8（10）=1000（2）；二进制数111转换成十进制数是7，记作111（2）=7（10）．二进制的四则运算，如：11（2）+101（2）=1000（2），请计算：11（2）×111（2）+1111（2）= （2）． 14．,x x ∀∈≠且0R ．不等式1|||5|1x a x+>-+恒成立，则实数a 的取值范围是 ．15．设集合M ={1，2，3，4，5，6}，对于a i ，b i ∈M ，记ii ia eb =且i i a b <，由所有i e 组成的集合设为：A ={e 1，e 2，…，e k }，则k 的值为 ；设集合B =1{A}i i i ie |e ,e e ''=∈，对任意e i ∈A ，j e '∈B ，则Μi j e e '+∈的概率为9. 10. 11. ；12.13. 14. 15.理科数学参考答案1． 【解析】A 由2x –1≥0，求得x ≥0 2．【解析】B 对于选项A ，令12n =即可验证不正确；对于选项C 、选项D ，可令n = –1加以验证其不正确，故选B ．3．【解析】C 如图将三棱柱还原为直观图，由三视图知，三棱柱的高为4，设底面连长为a 6a ==．故体积264V ⨯=． 4．【解析】B 函数y =ln|x |（x ＜0）的图象与函数y =ln x 的图象关于y 轴对称，函数1(0)y x x =>的图象是反比例函数 1y x=的图象在每一象限的部分5．【解析】C 由题意得：|PB –P A |=8，|AB |=210=，从而由正弦定理，得|sin sin |||4sin 5A B PB PA P AB --==．6．【解析】B 由流程图可见，当作业时间X 大于60时，S 将会增加1，由此可知S 统计的是作业时间为60分钟以上的学生数量，因此由输出结果为600知有600名学生的作业时间超过60分钟，因此作业时间在0~60分钟内的学生总数有1000–600=400名，所以所求频率为400/1000=0.4. ．7．【解析】D 因为函数图象恒在x 轴上方，则42log 32log 0b a a b -<，01,01,log 0,b a b a <<<<∴> log 0,a b >所以311log ,log 82a ab b >∴>，即12b a <．则建立关于a ，b 的直角坐标系，画出关于a 和b 的平面区域，如图．此时，可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量(Ω)1S =，满足图象在x 轴上方的事件A 所对应的几何度量1122()3S A a da ==⎰．所以()2()(Ω)3S A P A S ==． 8．【解析】A 当a ＞0时，易知g （x ）为增函数，而且g （2）=ln3 – 1＞0，g （1.5）=ln2.5–43＜lne –1=0，于是由零点存在定理可知在区间（1.5，2）内g （x ）存在零点，再由单调性结合题意可知a 就为这个零点，因此有1.5＜a ＜2．又当x ≥0时，直接求导即得()2ln 2x f x'=x ＞1时，我们有2()2l n 21l n 21l n 10f x e '>-=->-=，由此可见f （x ）在(1,)+∞上单调增，可见必有(1.5)()(2)f f a f <<，而又由于f （x ）为偶函数，所以(1.5)()(2)f f a f <<-，故选A ．9．【解析】5次10．【解析】8 由已知得：21048666()()58016a a a a a a a ++++==⇒=，又分别设等差数列首项为a 1，公差为d ，则78111611116(7)(5)82222a a a d a d a d a -=+-+=+==．11．【解析】因为点A (–1，2 )，B (1，–1 )，C (3，–4 )． 所以OC λOA μOB =+(3,4)(1,2)λ⇒-=-+(1,1)μ-，因此324λμλμ-+=⎧⎨-=-⎩，即12λμ=-⎧⎨=⎩，所以1λμ+=．12．【解析】cos ρθ= 由该圆的极坐标方程为4ρ=知该圆的半径为4，又直线l 被该圆截得的弦长|AB |为4，设该圆圆心为O ，则∠AOB =60°，极点到直线l的距离为4cos30d =︒=，所以直线的极坐标方程为cos ρθ=13．【解析】100100 由题可知，在二进制数中的运算规律是“逢二进一”，所以 11（2）×111（2=10101（2），10101（2）+1111（2）=100100（2）．14．【解析】4＜a ＜6 不等式1|||5|1x a x +>-+对于一切非零实数x 均成立，可以先求出1||x x+的最小值，然后利用|5|1a -+小于这个最小值即可求解a 的取值范围．当x ＞0时，12x x +≥=；当x ＜0时，1[()()]2x x --+-≤--．从而1||2x x +≥恒成立，所以不等式1|||5|1x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，可转化主|5|12a -+<，即|5|115146a a a -<⇒-<-<⇒<<． 15．【解析】11；6121由题意知，a i ，b i ∈M ，a i ＜b i ，首先考虑M 中的二元子集有{1，2}，{1，3}，…，{5，6}，共15个，即为26C =15个．又a i ＜b i ，满足ji i ja ab b =的二元子集有： {1，2}，{2，4}，{3，6}，这时12i i a b =，{1，3}，{2，6}，这时13i i a b =，{2，3}，{4，6}，这时23i i a b =，共7个二元子集．故集全A 中的元素个数为k =15 – 7 +3=11．列举A ={1111122334523456354556,,,,,,,,,,}，B ={2，3，4，5，6，354556223345,,,,,}131515243546232222222233334455,,,,,+=+=+=+=+=+=共6对．所求概率为：6121p =．。
高考数学复习演练第七章不等式(含2014-真题)(2021年整理)
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第七章不等式考点1 不等关系与不等式1.(2017•山东,7)若a＞b＞0,且ab=1，则下列不等式成立的是( )A。
a+ ＜＜log2（a+b) B。
＜log2（a+b)＜a+C。
a+ ＜log2(a+b）＜ D.log2（a+b)）＜a+ ＜1. B ∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b= ．则= ，= = ，log2（a+b）= = ∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+ ．故选B．2。
(2017·天津，8）已知函数f（x）= ，设a∈R，若关于x的不等式f(x）≥| +a｜在R上恒成立，则a的取值范围是（)A。
［﹣，2］ B。
[﹣, ] C.[﹣2 ，2] D。
[﹣2 ，]2. A 当x≤1时,关于x的不等式f(x）≥| +a|在R上恒成立,即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+ x﹣3的对称轴为x= ＜1,可得x= 处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x= ＜1，可得x= 处取得最小值，则﹣≤a≤ ①当x＞1时，关于x的不等式f（x)≥｜+a｜在R上恒成立，即为﹣（x+ ）≤ +a≤x+ ,即有﹣（x+ ）≤a≤ + ，由y=﹣（x+ ）≤﹣2 =﹣2 （当且仅当x= ＞1）取得最大值﹣2 ；由y= x+ ≥2 =2(当且仅当x=2＞1)取得最小值2．则﹣2 ≤a≤2②由①②可得,﹣≤a≤2．故选A．3。
2014高考数学专题提升训练 训练7
常考问题7三角恒等变换与解三角形(建议用时：60分钟)1．(2013·济宁二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则b等于()．A．5 B．25 C.41 D．5 2解析∵S＝12ac sin B＝2，∴12×1×c×sin 45°＝2.∴c＝4 2.∴b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－2×1×42×cos 45°.∴b2＝25，b＝5.答案 A2．(2013·北京东城区期末)在△ABC中，A，B，C为内角，且sin A cos A＝sin B cos B，则△ABC是()．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形解析由sin A cos A＝sin B cos B得sin 2A＝sin 2B＝sin(π－2B)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰或直角三角形．答案 D3．(2013·浙江卷)已知α∈R，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于()．A.43 B.34C．－34D．－43解析∵sin α＋2cos α＝10 2，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝5 2.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34. 答案 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )．A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 先用正弦定理求出角B 的余弦值，再求解． 由b sin B ＝csin C ，且8b ＝5c ，C ＝2B ， 所以5c sin 2B ＝8c sin B ，所以cos B ＝45. 所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝725. 答案 A5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )．A.6365 B.3365 C.1365D.6365或3365解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案 A6．(2013·衡水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin A ，求b ＝______.解析 在△ABC 中，sin A cos C ＝3cos A sin C ，则由正弦定理及余弦定理有a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，则4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍)． 答案 47．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos (α＋β)＝________.解析 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π4<α－β2<π2，－π2<α2－β<π4，由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32和sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0，与α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos (α＋β)＝－12. 答案 －128．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为______米．解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD.所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)．在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)． 故索道AC 的长为40013米． 答案 400139．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．解 (1)由题意知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期T ＝10π＝2πω，则ω＝15.(2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6，又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817，∴sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.10．(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 解 (1)因为PB ＝12，所以∠CBP ＝60°，所以∠PBA ＝30°，由余弦定理，得 P A ＝PB 2＋BA 2－2PB ·BA ·cos ∠PBA ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α， 由正弦定理，得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝3 4.即tan∠PBA＝3 4.11．(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．解(1)由已知及正弦定理，得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B，①又A＝π－(B＋C)，故sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C．②由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.又B∈(0，π)，所以B＝π4.(2)△ABC的面积S＝12ac sin B＝24ac.由已知及余弦定理，得4＝a2＋c2－2ac cos π4.又a2＋c2≥2ac，故ac≤42－2，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1. 备课札记：。
2014高考数学高频题型全掌握 20.复数(全国通用)
【精选三年经典试题（数学）】2014届高三全程必备《高频题型全掌
握系列》20.复数
1错误！未指定书签。
．（2013北京昌平二模）i 是虚数单位,则复数21=
i z i -在复平面内对应的点在 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 A
221
1
=222i i
z i i i i -=-=-=+，所以对应的点的坐标为(2,1)，在第一象限，选A.
错误！未指定书签。
2．（2013年山东数学（理））若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数
单位),则z 的共轭复数z 为 （
） A ．2i + B
．2i - C ．5i + D ．5i -
D
3错误！未指定书签。
．（2013年四川卷（理））如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表
示z 的共轭复数的点是
y
x
D
B A O C
（ ）
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
B
两个复数是共轭复数，两个复数的实部相同，下部相反，对应的点关于x 轴对称．
所以点A 表示复数z 的共轭复数的点是B ．
故选B ．
4．（2013年新课标1（理））若复数z 满足(34)|43|i z i -=+,则z 的虚部为 （
）
A ．4-
B ．45-
C ．4
D ．45
D ． 因为复数z 满足（3﹣4i ）z=|4+3i|，所以z====+i ，
故z 的虚部等于，故选D ．。
2014高考数学知识点强化训练20
2014高考数学知识点强化训练201.设函数f（x）=的图象如下图所示，则a、b、c的大小关系是A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.c＞a＞b2.偶函数y=f（x）（x∈R）在x＜0时是增函数，若x1＜0，x2＞0且|x1|＜|x2|，下列结论正确的是A.f（－x1）＜f（－x2）B.f（－x1）＞f（－x2）C.f（－x1）=f（－x2）D.f（－x1）与f（－x2）大小关系不确定3.设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）等于A.0B.1C.D.54.F（x）=（1+）·f（x）（x≠0）是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.是非奇非偶函数5.对于函数y=f（x）（x∈R），有下列命题：①在同一坐标系中，函数y=f（1+x）与y=f（1－x）的图象关于直线x=1对称；②若f（1+x）=f（1－x），且f（2－x）=f（2+x）均成立，则f（x）为偶函数；③若f（x－1）=f（x+1）恒成立，则y=f（x）为周期函数；④若f（x）为单调增函数，则y=f（a x）（a＞0，且a≠1）也为单调增函数.其中正确命题的序号是______________.（注：把你认为正确命题的序号都填上）6.设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0，］，都有f（x1+x2）=f（x1）·f（x2）.（1）设f（1）=2，求f（），f（）；（2）证明f（x）是周期函数.7.设函数y=f（x）定义在R上，对任意实数m、n，恒有f（m+n）=f（m）·f（n）且当x＞0时，0＜f（x）＜1.（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；（2）求证：f（x）在R上递减；（3）设集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax－y+2）=1，a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.参考答案1.解析：f（0）==0，∴b=0.f（1）=1，∴=1.∴a=c+1.由图象看出x＞0时，f（x）＞0，即x＞0时，有＞0，∴a＞0.又f（x）= ，当x＞0时，要使f（x）在x=1时取最大值1，需x+≥2，当且仅当x==1时.∴c=1，此时应有f（x）==1.∴a=2.答案：B2.解析：|x|越小，f（x）越大.∵|x1|＜|x2|，∴选B.答案：B3.解析：∵f（x+2）=f（x）+f（2）且f（x）为奇函数，f（1）=，∴f（1）=f（－1+2）=f（－1）+f（2）=－f（1）+f（2）.∴f（2）=2f（1）=1.∴f（5）=f（3）+f（2）=f（1+2）+ f（2）=f（1）+2f（2）=.答案：C4.解析：g（x）=1+是奇函数，∴f（x）是奇函数.答案：A5.解析：①不正确，y=f（x－1）与y=f（1－x）关于直线x=1对称.②正确.③正确.④不正确.答案：②③6.（1）解：由f（x1+x2）=f（x1）·f（x2），x1、x2∈［0，］知f（x）=f（）·f（）=［f（）］2≥0，x∈［0，1］.因为f（1）=f（）·f（）=［f（）］2，及f（1）=2，所以f（）=2.因为f（）=f（）·f（）=［f（）］2，及f（）=2，所以f（）=2.（2）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，故f（x）=f（1+1－x）f（x）=f（2－x），x∈R.又由f（x）是偶函数知f（－x）=f（x），x∈R，所以f（－x）=f（2－x），x∈R.将上式中－x以x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.7.（1）证明：在f（m+n）=f（m）f（n）中，令m=1，n=0，得f（1）=f（1）f（0）.∵0＜f（1）＜1，∴f（0）=1.设x＜0，则－x＞0.令m=x，n=－x，代入条件式有f（0）=f（x）·f（－x），而f（0）=1，∴f（x）=＞1.（2）证明：设x1＜x2，则x2－x1＞0，∴0＜f（x2－x1）＜1.令m=x1，m+n=x2，则n=x2－x1，代入条件式，得f（x2）=f（x1）·f（x2－x1），即0＜＜1.∴f（x2）＜f（x1）.∴f（x）在R上单调递减.（3）解：由f（x2）·f（y2）＞f（1）f（x2+y2）＞f（1）.又由（2）知f（x）为R上的减函数，∴x2+y2＜1点集A表示圆x2+y2=1的内部.由f（ax－y+2）=1得ax－y+2=0点集B表示直线ax－y+2=0.∵A∩B=，∴直线ax－y+2=0与圆x2+y2=1相离或相切.于是≥1－≤a≤.。
2014高考数学常考基础20练19
∴
∴
设
∴ 时， 与 的夹角为 ，
∴ 的取值X围是 。
例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问
的夹角 取何值时 的值最大？并求出这个最大值.
解法一：ห้องสมุดไป่ตู้
故当 ，即 （ 与 方向相同）时， 最大，其最大值为0。
解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.
1
4．在 中， ， 的面积是 ，若 ， ，则 ( )
5．已知 为原点，点 的坐标分别为 ， ，其中常数 ，点 在线段 上，且有 ，则 的最大值为（）
6．设 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且 ，则 的值等于（）
2 4 8
7.设 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则
① ；②
③ 不与 垂直④
中，是真命题的有( )
2．已知 为非零的平面向量.甲： （）
甲是乙的充分条件但不是必要条件 甲是乙的必要条件但不是充分条件 甲是乙的充要条件 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．已知向量 ，如果向量 与 垂直，则 的值为（）
2
4．平面向量 中，已知 ，且 ，则向量 ______.
5．已知| |=| |=2， 与 的夹角为600，则 + 在 上的投影为。
∴
∴
（2）∵ ，即
也就是
∵ ，∴ 所以 或 ．
例2．已知： 、 、 是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）
（1）若| | ，且 ，求 的坐标；
（2）若| |= 且 与 垂直，求 与 的夹角 .
解：（1）设 ，由 和 可得：
∴ 或
∴ ，或
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2014高考数学常考基础20练7
一．课题：任意角的三角函数
二．教学目标：1．掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示，
2．掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式．
三．教学重点：与α角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与α角终边相同的角为2()k k Z πα+∈；
2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式||l r α=、扇形面积公式12
S lr =； 3．任意角的三角函数．
（二）主要方法：
1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．
（三）例题分析：
例1．若,(0,)2π
αβ∈，且sin cos 0αβ-<， 则 （ C ）
()A αβ< ()B αβ> ()C 2παβ+<
()D 2παβ+> 例2．（1）如果α是第一象限的角，那么
3α是第几象限的角？ （2）如果α是第二象限的角，判断sin(cos )cos(sin )
αα的符号． 解：（1）∵22,2k k k Z ππαπ<<+
∈， ∴22,3336
k k k Z παππ<<+∈， 当3()k n n Z =∈时，22,36n n n Z α
π
ππ<<+∈，3α
是第一象限的角，
当31()k n n Z =+∈时，2522,336n n n Z παπππ+
<<+∈，3
α是第二象限的角， 当32()k n n Z =+∈时，4322,332n n n Z παπππ+<<+∈，3α是第三象限的角． ∴3α
是第一，二，三象限的角．
（2）α是第二象限的角，1cos 0α-<<，0sin 1α<<，
sin(cos )0α<，cos(sin )0α>，∴sin(cos )0cos(sin )
αα<． 例3．（《高考A 计划》考点24“智能训练第6题”） 已知锐角α终边上的一点P 坐标是
(2sin 2,2cos 2)-，则α= （ C ）
()A 2 ()B 2- ()C 22π
- ()D 22π
-
例4．扇形AOB 的中心角为2θ，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 及与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？ 解：设圆1O 及与圆2O 的半径分别为12,r r ， 则111212()sin ()cos()2r r r r r r r θπθ-=⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，得112sin 1sin (1sin )1sin r r r r θθθθ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， ∴122
(1sin )sin (1sin )1sin (1sin )r r r θθθθθ--==++， ∵022θπ<<，∴0θπ<<，令sin 1(12)t t θ=+<<，
2222321312()48t t r t t -+-==--+，当134t =，即1sin 3
θ=时， 圆2O 的半径最大，圆2O 的面积最大，最大面积为64π
．
（四）巩固练习：
1．设02θπ≤<，如果sin 0θ<且cos 20θ<，则θ的取值范围是（ D ）
()A 32ππθ<< ()B 322πθπ<< ()C 344ππθ<< ()D 5744
ππθ<< 2．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是9
(2,]3-．
3．若sin tan cot ()22π
π
αααα>>-<<，则α∈ （ B ）
()A (,)24ππ-
- ()B (,0)4π- ()C (0,)4π ()D (,)42ππ。