第二章 解析函数
第二章解析函数
第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
第二章 解析函数
在z0解析，若f (z)在区域D内每一点解析，则称f (z)在D
内解析，则称f (z)是D内的一个解析函数（全纯函数或 正则函数）。 如f (z)在 z0不解析, 则称z0为f (z)的奇点。
§1 解析函数的概念
f (z)在 z0解析
函数f (z)在z0的邻域内可导
f (z)在 z0解析 函数f (z)在z0可导 二元函数的微分 [例 ] 的解析性
§3 初等函数 3 乘幂ab与幂函数 [例 ] 求 、 和 的值。
幂函数：
形如：zb=ebLnz（z≠0，b为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意复常数）
的函数成为幂函数。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 性质：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 计算sin(3+4i) ，cosi，sin6i
|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。 [例] 求方程cosz=0的解。
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数
[例] 求方程sinz+cosz=0的解。
其它复变数三角函数：
§3 初等函数 4 三角函数和双曲函数 双曲函数
性质：
§3 初等函数 4 反三角函数和反双曲函数 设z=cosw，则称w为z的反余弦函数，记作： w=Arccosz
ii) f’(z) =f(z); iii) 当Im(z)=0时, f(z) =ex, 其中x=Re(z)。
§3 初等函数 1 指数函数
为整数)
加法定理
§3 初等函数 2 对数函数
主值
[例] 求Ln1, Ln(-2) 以及它们相应的主值。
§3 初等函数 1 指数函数 总结：
第二章解析函数
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
第二章 解析函数
z
zw
n
v
0
w
z1 0
x
u
r
n 0
w z
n
0
26
特别：将w 平面上的角形区域 n n 变成 z 平面上除原点与负实轴的区域．
一般：将张角为
都变成 z 平面除去原点与负实轴的区域．
27
2k 2k Tk : (k 0,1,, n 1) n n n n
33
支割线：用来割破 z 平面，借以分出 z n 的单值解析分支的割线，称为 z 的支割 线．
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
2
f ( z ) f ( z0 ) 注:（1）定义中极限可改为 lim0 z z ； z z 0
若 f (z ) 在D内处处可导，则称 f (z ) 在D内 可导。
（2） z z0 的方式是任意的，因此较一元 实变函数具有许多独特的性质和应用。
推论2：若函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D内解析，且 f ( z ) 0, ( z D) ，则 u( x, y ) c1 v( x, y ) c2 （ c1 , c2 为常数） 是D内两组正交曲线族。
12
证明：由于 f ( z) 0, ( z D) ，故在D内 ( x, y ) 点 u y 与 v y 不全为0。
§3 初等多值函数
定义:设函数 f (z ) 在区域D内有定义，且 对D内任意不同的两点 z1 及 z 2 ，有 f ( z1 ) f ( z2 ) ，则称函数 f (z ) 在D内是单 叶的．并且称区域D为 f (z ) 的单叶性区 域． １、根式函数 根式函数w z 为幂函数 z 数（n是大于１的整数）．
第二章 解析函数
第二章 解析函数§1 复变函数一 、复变函数的概念1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。
其中，称W 为像；Z 为原像。
若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。
2、复变函数与实变函数的关系设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。
例：xy i y x Z W 2)(222+-==⎩⎨⎧=-=⇒xyv y x u 222。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22222222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w 3．关于映射的慨念复变函数在几何上又称为映射（或变换）。
这种函数关系要用两个平面来表示。
函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到w 平面上的一个点集*G 。
例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .见下图：例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xyv yx u xy i y x iy x z w 22)(222222xy v 2=可得22242C v C u c x x v y -=⇒== 是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。
第2章、解析函数
第2章、解析函数第⼆章解析函数本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。
第⼀节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、此定义也⽤εδ-语⾔给出。
注2、可导必连续注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例⼦：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平⾯解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平⾯上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
第二章-解析函数
（5） 函数解析的充要条件
Cauchy-Rieman方程
9
*
定理1 复变函数 f (z) u(x, y点) v(x, y)i z0 x0 y0i
可导（可微）的必要条件是：
⑴函数 u( x,与y) v在( x, y) 存z0 在= x0偏+ y导0i 数
⑵ 在该点满足方程
u v x y
f = u + i v = 0 z z z 证明 二元函数u(x, y),v(x, y)有偏导数，可以
写成z = x + iy及z的函数：
从而
u=u( z + z , z - z ),v=v( z + z , z - z )
2 2i
2 2i
u z
=
u x
x z
+
u y
y z
1
2
u x
i
u
y
(3) 解析函数是以 f = 0为其特征。因此我们 z
说一个解析函数与z无关，而是z的函数
26
容易得到
在区域 D内解析的两个函数 f (z) 与 g(z)的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D内解析.
设函数 h g(z) 在 z 平面上的区域 D内解析, 函数 w f (h) 在 h 平面上的区域G 内解析. 如果 对 D内的每一个点z ,函数 g(z)的对应值h 都属 于 G , 那末复合函数w f [g(z)]在 D内解析.
则f(z) 在区域 D 内为一常数.
证 由已知得：| f (z) |2 u2 ( x, y) v2 ( x, y) c
对上式两边分别对x,y求偏导得：
2uux 2vvx 0, 2uuy 2vvy 0
第二章 解析函数
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
[f (z)g(z)] = f (z)g(z) + f (z)g(z)
f (z) f ' ( z ) g( z ) f ( z ) g' ( z ) [ ]' , ( g( z ) 0) 2 g( z ) g (z) 由以上讨论
在(x,y)处满足
u u v v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； x y x y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy Riemann 条件
那么f(z)在z=x+iy处可导。
• 2.2.2 函数解析的充要条件 • 定理１ 设函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域 D 内有定义，则 f ( z )在 D 内解析的充分必要条 件为 u, v 在 D 内任一点 z x iy处 （1）可微； （2）满足
ex1
试用C-R条件判定下列函数在何处可导，在何处解析：
w z
2
解 设z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 则
u 2x x
u 2y y
v 0 x
v 0 y
仅在点z = 0处满足C-R条件，故
w z 仅在0点可导，但处处不解析 。
2
例2: 设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2),问 常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处 处解析。
例1 求函数 f ( z ) z 的导数（n 为正整数）.
n
解 因为
k k ( z z )n Cn z (z )nk k 0
第二章解析函数
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
例2.1.4
讨论函数 w f ( z ) | Im z 2 | 在点 z0 0 处的可导性.
【解】 首先考察 C-R 条件是否满足. 根据 有
f ( z) | Im z 2 | 2 | xy | u( x, y) iv ( x, y)
u ( x, y ) 2 | xy |
两个例子：1. 求dzn/dz=nzn-1
2. 求证w= z 在z平面上处处连续，但 处处不可导
可导必连续。
例 2.1.1 用导数的定义证明公式： n nz n1 （n 为正整数） (z )
【证明】设 f ( z) z ，故
n
f ( z z ) f ( z ) ( z z ) z n(n 1) n 2 n 1 z[nz z z (z )n 1 ] 2 f ( z z ) f ( z ) lim nz n 1 z 0 z
二、复变函数导数存在的充要条件
可导条件
分析
f ( z) f ( z) lim f ' ( z0 ) lim x x0 x x0 z z y y y y
0 0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
f ( z ) u iv u v lim i x x0 x x0 z x x x y y lim
多项式)，除去使Q(z)=0的点外处处解析。
复变函数与积分变换第二章_解析函数
z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0
第二章_解析函数
基本要求：1 掌握函数在一点处（区域）可导，一点处解析（区域）的概念及相互之间的联系；2掌握函数在一点处可导的充分必要条件；3 掌握函数 解析性的判定方法，掌握解析函数与调和函数之间的关系。
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用。
本章先引入复变函数的导数的概念，然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的。
最后介绍一些常用的初等函数，并讨论它们的解析性。
§1 解析函数的概念1.1 复变函数的导数定义1.1区域D ， 0Z 为D 中一点，点0Z +z 不出D 的范围。
如果极限0+0z 0(z -(lim zf z f z ）） 存在，则称f(Z)在0Z 处可导，这个极限值称为(z)f )在0Z 处的导数，记作()00 z=z |'=d f dz z ω= 0+0z 0(z -(lim z f z f z →））， （2.1）也就是说，对于任给的ε>0,相应地有δ（ε）>0,使得当0<|Δz|<δ时，有| 0+0(z -(zf z f z ））—()0'f z | < ε. 如果()f z 在区域D 内处处可导，则称()f z 在D 内可导. 也称()df z = ()0z 'f z 或()0z 'd f z 为()f z 在0z 处的微分.例1.1 求()2=f z z 的导数.解 因为0+0z 0(z -(lim z f z f z →））=+22z 0(z -z lim zf z →）=z 0 lim (2z+z)=2z → 所以'(z)=2z f .例 1.2 问(z)f =x+2yi 是否可导？ 解 +z 0(z -(lim zf z f z →））=z 0(+- (y+y i--2yi lim zf x x f x →）） = z 0+2yilim +yi x x →若z+Δz 沿平行于x 轴的方向趋向于z ，则Δy=0，z 0+2yi lim +2yi x x →=z 0lim x x →=1.若z+Δz 沿平行于y 轴的方向趋向于z ，则Δx=0，z 0+2yi lim +yix x →= z 02lim yi yi →=2. 故(z)f = +2x yi 的导数不存在.由例1.2可见，函数(z)f = +2x yi 在复平面内处处连续但处处不可导，然而，反过来容易证明在0z 可导的函数必定在0z 连续.事实上，由(z)f 在0z 可导的定义，对于任给的ε>0,有δ>0，当0<|Δz|<δ时，有 |0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z | < ε.令()z ρ=0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z ， 则0+0(z )-(z )z f f =0+z z '(z )()z f ρ.(2.2)而z z 0lim =0ρ→（）， 所以+z 0z 0lim =(z )f f →0（z ）.即(z)f 在0z 连续.由导数的定义和极限运算法则，不难得出如下的求导公式与法则：（1） （C ）’=0，其中C 为复常数.（2） (nz )’=n n-1z ,其中n 为正常数. （3） [(z)g(z)]'='(z)g'(z).f f ±±（4） [(z)g(z)]'='(z)g(z)+(z)g'(z)f f f .（5） 2(z)1[]'=['(z)g(z)-(z)g'(z)],g(z)0.(z)g (z)f f fg ≠ （6） {[(z)]}'='()g'(z)f g f ω，其中ω=(z)g .（7） '(z)f =1'ϕω（）,其中=(z)f ω与z=ϕω（）是两个互为反函数的单值函数，且'ϕω（）≠0.1.2 解析函数的概念定义1.2 如果(z)f 在0z 及 0z 的邻域内处处可导，则称(z)f 在0z 处解析；如果(z)f 在区域D 每一点解析，则称(z)f 在D 内解析，或说(z)f 是D 内的解析函数.如果(z)f 在0z 不解析，则称0z 为(z)f 的奇点.若函数在一点解析，则一定在该点可导，但过来不一定成立.函数在一点解析和在一点可导是两个不等价的概念.但是函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.例1.2 研究函数(z)f =2z ，g(z)=+2x yi ， 2h(z)=|z |的解析性.解 例1.1知(z)f =2z 在复平面内处处解析，由例1.2知g(z)=+2x yi 处处不解析.下面研究2h(z)=|z |的解析性. .由于0+0h(z -h(z z z ））=0+220|z|-||zz z =00000+z z +z -z z =z +z+z zz z z （）（）， （i ） 若0z =0，当z →0时，上式的极限是零.（ii ） 若0z 0≠，当0+z z 沿平行于x 轴方向趋于0z 时，y =0， 0z 00z -lim =lim =lim =1z +z x x yi x x yi x →→→. 当0+z z 沿平行于y 轴方向趋于0z 时，x =0， 0z 00z --lim =lim =lim =-1z +z x x yi yi x yi yi→→→. 从而0+000z -()z =z +z+z zz z z h （）h ， 当z →0时，极限不存在.由（i ），（ii ）可知，2h(z)=|z |仅在z=0处可导，而在其他点都不可导，从而它在复平面内处处不解析。
02_解析函数
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) u v v u i i dz x x y y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v v 1 du , d
举例
dez z e dz
u u v v Ey , Ex Ex , Ey x y x y u v u v , C-R条件 x y y x 静电场的复势 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) v v E Ex iE y gradv i i F ( z ) x y
d 1 12 12 2 dz 2 2
d dz 1 d dz
dF ( ) dF d dz d dz
说明
反之则 不成立
如果函数 f(z)在区域 D内的每一点可导，则称f(z)在区域 D内可导
可导
连续
C-R条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内有定
根式函数
wn z
i arg z 2 k n
由于z的n次方根为wn n z n | z |e
(k 0,1,2,, n 1)
n
且辐角具有多值性，因此根值函数wn
z为n值函数
第四节 解析函数的应用——平 面场的复势
用复变函数刻画平面向量场
我们说某一个向量场是一个平面场，并不是指这个场中所有的向量都定 义在某一平面内，而是指所有的向量都平行于某一固定的平面，而且在 垂直于的任一条直线上所有的点处，向量的大小和方向都相同。这样， 向量场就可以用平面上的向量场来表示 。 如果我们用复数表示平面上的向量，那么场就惟一地确定了一个复变函 数
复变函数-第二章-解析函数
23
(3.4)当为无理数或 Im 0时：
z e
Lnz
e
(ln z i arg z 2 k i )
e
ln z
e
i arg z
e
2 k i
---- 无穷多值函数
(3.5)当 0, z 0 e0Lnz e0 1
在除原点和负实轴复平面内主值支及各分支解析，且 1 Ln z Ln z z e e z 1 z
e e
1 z
1 x yi
1 z
1 z
e
x y i x2 y2 x2 y2
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
16
2、 对数函数 定义 指数函数的反函数称为对数函数.即
把满 足 e w z( z 0)的函 数 w f (z) 称为 对数 函数 , 记作w Lnz.
10
推论1 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y),如果u(x, y)
和 v(x, y)的四个偏导数 :
u u v v , , , x y x y
在点(x,y)处连续 且满足 方程，则 f(z)在点 u , v v C-R u
x y z=x+iy处可导。 , x y .
给定一复数 z，如何计算 Lnz ？
令w u iv , z re i , 那 么 e u iv re i u ln r , v 2k ( k为 整 数).
w Lnz ln r i ( 2k ) ( k 0,1,) 每个确 定的k 或 Lnz ln z iArg z ln z i (arg z 2k ) 对应一
第二章 解析函数
例7 研究函数 f (z) z 的解析性.
解
f z
f (z z) f (z) z
z z z z
z . z
令 z x iy , f x iy .
z x iy
因为 lim f 1, z x0
y0
lim f 1, z y 0
x0
所以
f lim
不存在.
z z0
因此 f (z) 在复平面内处处不解析.
按实部和虚部整理得：
u( x x, y y) u( x, y) ax by o(| z |)； v( x x, y y) v( x, y) ay bx o(| z |)；
因此，u( x, y)及v( x, y)在( x, y)处可微，并有C R方
程 u v x y
u y
v x
解：lim z 0
f (z z) z
f (z) lim ( x x) 2i( y y) ( x 2 yi)
z0
z
x 2yi lim
z0 x yi
当z z沿平行于x轴的直线趋于z,有y 0
x 2yi
lim
1;
x0 x yi
y 0
当z z沿平行于y轴的直线趋于z,有x 0
用定义讨论函数的解析 性绝不是一种好办法！
任务！！！
寻求研究解 析性的更好 的方法
作业：
• 第二章习题p66 • 2(1)(3) • 3(2)(4) •4
一、函数解析的充要条件 二、函数解析的判定方法 小结与思考
三、函数解析的充要条件
定理一
设 函 数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定 义 在 区 域 D 内, 则 f (z) 在 D内 一 点z x yi 可 导 的 充 要 条 件 是: u( x, y) 与 v( x, y) 在 点( x, y) 可 微, 并 且 在 该 点 满 足 柯 西 － 黎 曼 方 程（ 简 称C R方 程 ）
解析函数
充分条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x x0 y y0
lim
f ( z) u iv v u lim i y y 0 z iy y y
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
柯西—黎曼条件的应用
(d)
g ( z) 0
f g ( z )
f ( w) g ( z ), 其中 w g ( z ).
(e)
1 f ( z ) , 其中w f ( z )与z ( w)是 ( w)
两个互为反函数的单值 函数且 ( w) 0
说明
如果函数w=f(z)在区域B内的每一点可导， 则称f(z)在区域B内可导：
kx
的趋向得到不同的值，故原函数在z0=0 处不可导。 本例题告诉我们即使函数满足C-R条件，仍然可 能不可导．那么C-R条件还需加上什么条件才能保 证函数可导呢？因此需要讨论可导的充分必要条件 .
定理
设函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内，则f (z)在D内一点z=x+iy可导的充要条件是：u(x,y)与 v(x,y)在点(x,y)可微，并且在该点满足CauchyRiemann(柯西—黎曼)方程
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
u 1 v , r r v 1 du r r d
三、解析函数的概念
1、定义 若函数w=f (z)在点z0的及其邻域内处处可导，则称函 数w=f (z)在点z0处解析。 若函数w=f (z)在区域D内处处可导，则称函数w=f (z) 在区域D内解析，或称f (z)是区域D内的解析函数。 若w=f (z)在点z0不解析，则称点z0为w=f (z)的奇 点。
第二章 解析函数及其判定
3.复变函数连续、可导、解析之间的关系
根据定义可知: (1)函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是, (2)函数在一点处解析与在一点处可导是不等价 的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处 解析.
函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多.
1313
（1）
f ( z ) 在 z 解析 0 f (z) 在 z 0
z 0
小, f ( z0 ) z 是函数 w f ( z ) 的改变量 w 的 线性部分. f ( z0 ) z 称为函数 w f ( z )在点 z0 的微分,
记作
dw f ( z0 ) z .
1010
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地, 当 f ( z ) z 时, dw dz f ( z0 ) z z , dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0 （2）可导与可微的关系
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
一、复变函数的导数与微分
1.导数的概念:
（1）导数的定义:
设函数 w f ( z ) 定义于区域 D, z0 为D 中的一 点, 点 z0 z 不出 D 的范围, f ( z0 z ) f ( z0 ) 如果极限 lim 存在, z 0 z 那末就称 f ( z ) 在z0可导.这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
7
7
（3）.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
解析函数
第二章 解析函数[Cauchy-Riemann 条件的说明]二元函数),(y x u 的可微：()22''y x o y B x A u dy u dx u du y x ∆+∆+∆+∆=∆⇔+=y u x u u y x ∆+∆≈∆''[命题] ),(y x u 的一阶偏导数),('),,('y x u y x u y x 连续),(y x u ⇒的可微。
设ib a z f +=)('，由于zz f z ∆∆=→∆ω0lim )('，)(z f =ω在（x ，y ）可导意味着 ()()x b y a i y b x a y i x ib a z z f v i u ∆+∆+∆-∆=∆+∆+=∆≈∆+∆=∆))(()('ω x v y u b y v x u a x b y a v y b x a u ∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=⇒⎩⎨⎧∆+∆≈∆∆-∆≈∆, )(')('z f xv i x u ib a z f x =∂∂+∂∂=+= 另一版本的说明见课件。
------------------------------------------------------------------------------------[命题] 若R b a b a ∈≠,,，则iby ax +处处连续但处处不可导。
[证明] by y x v ax y x u ==),(,),(处处可微，因此函数处处连续，b v v u a u y x y x ===='0'0''，当且仅当b a =时CR 条件才满足，所以函数处处不可导。
□ 例如yi x z y i x iy x z z f ⋅+=+-==0Re ,2,)(等。
当b a =时a i a z f az iay ax z f =+==+=0)(',)(，与实变函数ax),(),,(y x v y x u P38 例 32222)(,2)(,)(y x z z h yi x z g z z f +==+==的可导、解析性。
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z 0
2 解析函数
(1) 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 的某个邻域内处处可导, 则称 f ( z ) 在 z0 处解析.
从而，可知 (1) 所有多项式 w P ( z ) a0 a1 z a2 z 2 an z n ,
在复平面内是处处解析的.
P(z) ( 2) 任何一个有理分式函数 在不含分母为 Q( z ) 零的点的区域内是解析的, 使分母为零的点是 它的奇点.
例 3 研究函数 f ( z ) z 的解析性.
2
解
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z
( z z ) 2 z 2 lim z 0 z
lim ( 2 z z ) 2 z
z 0
2z (z )
2
例 2 问 f ( z ) 2 x 3 yi 是否可导？
z 0
即f ( z )在 z0 连续.
f 反过来，由例2 可知， ( z ) 2 x 3 yi 不可导;
但二元函数 u( x, y ) 2 x，v( x, y ) 3 y 连续， 由连续性定理，知 f ( z ) 2 x 3 yi 连续.
(3) 求导法则
由于Байду номын сангаас变函数中导数的定义与一元实函
解析函数的判定方法:
(1) 如果能用求导公式或求导法则证实复变函 数 f ( z ) 的导数在区域 D 内处处存在，则可直 接断定 f ( z ) 在 D 内解析.
f z z g z g z z f z lim z 0 g z z g z z
f z z f z g z f z g z z g z lim z 0 g z z g z z
第二章
解析函数
§1 解析函数的概念
§2 解析函数与调和函数
§3 初等函数
§1 解析函数的概念
1 复变函数的导数
(1) 导数的定义
定义 1 设 w f ( z ) 是定义于区域 D上的复变函数, z0 D ，z0 z D , 如果极限
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim z 0 z
根据C-R方程，有 u y vx v y u x 则
(u x iv x )( x iy ) o( z ) (u x iv x )z o( z )
故f(z)在点(x,y)处可导，且
f ( z ) u x iv x
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim 不存在 z 0 z 2 因此, h( z ) z 仅在 z 0 处可导, 而在其他点都
不可导，根据定义，它在复平面内处处不解析.
1 例4 研究函数 f ( z ) 的解析性. z
1 解 因为 w 在 z 0 处不连续, 故在z 0处 z 不可导，而z 0时，由导数的性质 4，6 知
如果函数 f ( z )在 区域 D 内每一点解析，则称 f ( z ) 在 区域 D 内解析；或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数.
如果 G 是一个区域，若闭区域 D G , 且函 数 f ( z ) 在 区域 G 内解析，则称 f ( z ) 在闭 区域 D 上的解析函数.
(2) 函数解析与可导的关系
x 0
z
y 0
所以 f ( z ) 2 x 3 yi 的导数 不存在.
(2) 可导与连续的关系
函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但函数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导.
事实上，由 f ( z )在z0点可导, 必有
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim f ( z 0 ) 0 z 0 z
1 f ( z ) 2 , z 1 所以 f ( z ) 在复平面内除 z 0 外处处解析. z
（3）函数解析的充要条件
定理2.1
设复变函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在区域 D 内有定义, 则 f ( z ) 在 D 内一点 z0 x0 iy0 可导的充要条件是 : u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 可微, 并且在该点满足Cauchy－Riemann 方程 u v u v , . x y y x
此时，在区域D上的导数构成导函数，记为 f (z ).
注意 z z0 ( 即z 0 ) 的方式是任意的.
也即 z0 z 在区域 D 内以任意方式趋于 z0 时, f ( z0 z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
例 1 求函数 f ( z ) z 的导数.
复变函数在一点处解析必在该点处可导；反
过来不一定成立，即复变函数在一点处可导，不
一定在该点处解析. 复变函数在区域内解析与在该区域内可导 是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该
区域内可导. 反过来，设 f ( z ) 在区域 D 内可导，则
任意z D, 必存在 z 的某个邻域 U , 使得 U D,
( 6)
f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中 w g( z )
1 ( 7 ) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w ) ( w ) 互为反函数, 且 ( w ) 0
f z z f z f ( z) g z z g z 证明（5） lim z 0 z g( z)
f ( z0 z ) f ( z0 ) 令 ( z ) f ( z 0 ) z
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) f ( z 0 ) z ( z ) z ,
再由 lim ( z ) 0,
z 0
所以 lim f ( z0 z ) f ( z 0 ),
由 f ( z ) 在区域 D内可导，必有 f ( z ) 在 U 内可导， 即 f ( z )点 z 处解析，由 z 的任意性，得证.
由求导法则 1~7，很容易得到
在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的和、 差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析.
设函数 h g ( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w f ( h) 在 h 平面上的区域 G 内解析. 如果 对 D 内的每一个点 z , 函数 g ( z ) 的对应值 h 都属 于 G , 那末复合函数 w f [ g ( z )] 在 D 内解析.
z
y 0
直线趋向于0， 即 x 0, y 0
2x 3yi 2 x lim lim 2 z 0 x yi x 0 x
设 z 沿着平行于 y 轴的直线 趋向于 0， 即 x 0, y 0
2x 3yi 3yi lim lim 3 z 0 x yi y 0 yi
f ( z ) g( z )
f ( z ) g( z ).
f ( z ) g( z ) f ( z ) g( z ).
f ( z ) g ( z ) f ( z ) g ( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) 0) 2 g (z) g( z )
解
f f ( z z ) f ( z ) lim lim z 0 z z 0 z
2( x x) 3( y y )i 2 x 3 yi lim z 0 x yi
2x 3yi lim z 0 x yi
设 z 沿着平行于 x 轴的
当 z0 0 时,
令 z0 z 沿直线 y y0 k ( x x0 ) 趋于 z0 , y x iy 1 i x 1 ik z y 1 ik x i y z 1 i x z 1 ki 不趋于一个确定的值. 由于 k 的任意性, z 1 ki
2
解
f ( z0 z ) f ( z0 ) z 0 z z 0 z z
2
2
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 z z
当 z0 0 时,
f ( z0 z ) f ( z0 ) lim 0 z 0 z
数中导数的定义在形式上完全一致，同时， 复变函数中的极限运算法则也和实函数中一 样，而且实函数中的求导法则可推广到复变 函数中，且证明方法相同. 求导公式与法则: (1) (c ) 0, 其中c为复常数.
nz n1 , 其中 n 为正整数. ( 2) ( z )
n
( 3)
( 4)
f ( z ) g( z )
u v v 1 u v v u 1 u f ( z0 ) i i x x y i y y x x i y
该定理指出了一复变函数在一点可导的充要条 件；由此定理可类似导出复变函数在一点解析及在 区域 D 内解析的充要条件。
定理2.2
函数 f ( z ) u( x, y ) iv ( x, y ) 在区域 D 上解析的 充要条件是: 二元函数 u( x, y )、v( x, y ) 在D 内可微, 且 在区域D 内满足Cauchy－Riemann 方程.
证明：充分性
设u, v在( x, y)处可微，且满足 R方程，则有 C u u x x u y y o( z ) v vx x v y y o( z ) u iv (u x iv x )x (u y iv y )y o( z )