3-1图像变换

二、二维傅里叶变换对 正变换 F（u,v）= （1/N）∑ ∑ f（x,y）exp[-2jπ（ux+vy）/N] ，u=0,…,N-1；v=0,…,N-1 反变换f（ x,y ）=（1/N）∑ ∑ F（u,v）exp[-2jπ（ux+vy）/N] ，x=0,…,N-1；y=0,…,N-1 x=0,…,N-1 y=0,…,N-1 §3.1.2 傅里叶变换性质 一、分离性： ∵ exp[-2jπ（ux+vy）/N] = exp[-2jπux/N] exp[-2jπvy/N] F（x,v）= N{（1/N）∑ f（x,y）exp[-2jπvy/N] }，v=0,…,N-1 F（u,v）= N{（1/N）∑F（x,v）exp[-2jπux/N] }，u=0,…,N-1 ∴一个2D傅里叶变换可由连续2次运用1D傅里叶变换来实现， 先进行y（列）变换，后进行x（行）变换；
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三、算法实现 关键是输入数据的排列次序（奇偶分组排列） • • • • • • • • • • 以N=8为例，介绍位对换规则。 位对换规则：如果二进制位正读存在相应的反读，两者位置互换； x（0） x（1） x（2） x（3） x（4） x（5） x（6） x（7） x（0） x（4） x（2） x（6） x（1） x（5） x（3） x（7） 000 001 010 011 100 101 110 111 000 100 010 110 001 101 011 111 不变 对换 不变 对换 对换 不变 对换 不变
反变换：f（u）= ∑ F（u）exp[-2jπux/N] ，x=0,…,N-1；
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§3.1.1 傅里叶变换（续1） 傅里叶变换（续1
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§3.1.3 快速傅里叶变换
• 一、思路 • 将傅里叶变换分成二个步骤计算，每个步骤用一个1D变换实现； 先算行，后算列；
• 二、1D变换的逐次加倍法 • • • • • • 已知F（u）= （1/N）∑ f（x）exp[-2jπux/N] ， 令WN= exp[-2jπ/N]，得F（u）= （1/N）∑ f（x） WN ux ； 再令N=2M，得F（u）= （1/2M）∑ f（x） W2M ux ； =（1/2）{（1/M） ∑ f（2x） W2M u（2x）+ （1/M） ∑ f（2x+1） W2M u（2x+1） } = （1/2）{Feven（u）+ Fodd（u） W2M u }； ；偶部分 ；奇部分
六、卷积 1. f e 和g e的含义 设一维时f 采样长为A 的序列，g 采样长为B 的序列； 当M=A+B-1时，卷积周期M才不会重叠，且是相邻接的； 若A〈 M，B〈 M，需扩展f , g 为M序列，方法是补充0； 即： f e（x）= f（x） 0 ≤ x ≤ A-1 A ≤ x ≤ M-1
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§3.2 可分离图像变换
傅里叶变换是可分离变换的一个特例。 §3.2.1 可分离变换的一般形式 T（u,v）= ∑ ∑ f（x,y）g（x,y,u,v），x,y=0,…,N-1；u,v=0,…,N-1
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§3.1.2 傅里叶变换性质（续1）
• 二、平移性（不影响幅值，由级数展开可得出对应关系⇔ ） f（x,y）exp[-2jπ（u0x+v0y）/N]⇔F（u-u0,v-v0） • 表明原f（x,y）用f（x,y ）exp[-2jπ（u0x+v0y）/N]替换后 进行傅里叶变换，则变换后的频域中心平移到了新位置。 类似：f（x-x0,y-y0）⇔ F（u,v）exp[-2jπ（ux0+vy0）/N] 表明F（u,v）与一个指数项相乘后再进行傅里叶反变换，则 变换后的空域中心平移到了新位置。
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对设共采了N个样，则这个离散序列可表示为{f (0)，f (1)，f (2)，…，f (N – 1)}。并令x为离散实变量，u为离散频率变量 正变换： F（u）= （1/N）∑ f（x）exp[-2jπux/N] ，u=0,…,N-1； F（u）是复函数，即 F（u） = |R（u）+j I（u）| = |F（u）| exp[jφ] ； |F（u）| = [R（u）2+I（u）2]1/2；幅度函数（傅里叶频谱） φ = arctg [I（u）/R（u）]； 相位角
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• 例 实际图象的傅里叶频谱 • 下图给出两幅实际图象和他们的傅里叶频谱 图。图(a)的图象反差比较柔和，反映在傅里叶频 a)的图象反差比较柔和， 谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（ 谱上低频分量较多，频谱图中心值较大（中心为 频域原点） 频域原点）。图(b)的图象中有较规则的线状物， b)的图象中有较规则的线状物， 反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。 反映在傅里叶频谱上也有比较明显的射线状条带。 • •
•
• 三、周期性和共轭对称性 • • • F（u,v）= F（u+N,v）= F（u,v+N）= F（u+N,v+N） F（u,v）= F*（-u,-v） 利用周期性和共轭对称性，只需一个周期的变换就可确定f （x,y ）或反之，方便了分析和计算。
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例 图象函数和傅里叶频谱的显示 下图(a)给出一个简单2 下图(a)给出一个简单2-D图象函数的透 视图，这里有Z 视图，这里有Z = f (x, y)。这个函数在以原点 为中心的一个正方形内为正值常数，而在其它 地方为零。图(b)是它的灰度图（这里是二值 地方为零。图(b)是它的灰度图（这里是二值 图）显示。图(c)给出这个2 图）显示。图(c)给出这个2-D图象函数傅里叶 频谱幅度的灰度图显示。
§3.1.2 傅里叶变换性质（续2）
四、旋转性质（借助极坐标变换可证明）
f（r, θ+θ0）= F（w,φ+θ0）；
将f（x,y）旋转θ0度对应于将F（u,v）也旋转θ0 ； 反之一样。 五、尺度变换 af(x,y) f(ax,by) aF(u,v) 1/|ab|F(u/a,v/b)
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VC++: FFT(complex<double> * TD, complex<double> * FD, int r)
• Matlab: • F=fft2(f)
fe（x,y）ge（x,y） ⇔ F（u,v）* G（u,v）
两个函数乘积的傅里叶变换对应于两个函数傅里叶变换的卷积；
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f（x,y）= ∑ ∑ T（u,v）h（x,y,u,v），u,v=0,…,N-1；x,y=0,…,N-1
g（x,y,u,v）、h（x,y,u,v）分别称为正向变换核和反向变换核； 是变换中进行级数展开的基本函数。 如果g（x,y,u,v）= g1（x,u）g2（y,v），则称正向变换核是可分离的； 如果h（x,y,u,v）= h1（x,u）h2（y,v），则称反向变换核是可分离的；
• 图象变换 • 空间域 另外一些空间（频率域） •加工处理 • 新的分布
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• 图象可看作线性叠加系统 • 图象变换是一维数字信号处理的推广 • 位移不变系统 • 一维信号：任何波形=基波加权和 一维信号：任何波形= • 图象：image=基图象加权和 图象：image=基图象加权和 • 基波、基图象互为正交
第三章 图像变换
•CHAPTER 3 •IMAGE TRANSFORM
•§1 傅里叶变换(FFT和性质) 傅里叶变换(FFT和性质) •§2 可分离的图像变换
版权所有， 1997 (c) Dale Carnegie & Associates, Inc.
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