10典型图像变换
常见图形的变换及用途：教案详解图像变换方法与应用
常见图形的变换及用途：教案详解图像变换方法与应用图形变换，是指将一个图形进行身形、大小、位置和姿态的改变，从而得到一个新的图形的过程，是图像处理中的重要内容。
图形变换不仅可以使得图像更加丰富和多样化，还可以在很多领域得到广泛的应用，如游戏、电影、多媒体、医疗等领域，今天我们就来详细的学习一下常见图形的变换及用途，希望对你有所帮助。
一、图形变换的基础知识1、图形变换的基本类型：主要包括刚性变换、相似变换、仿射变换、投影变换等。
2、图形变换的重要影响因素：主要包括变换矩阵、变换前后的坐标系、变换前后的图像大小等。
3、图形变换的基本理论：主要包括平移、缩放、旋转、翻转、拉伸、扭曲等几个关键技术。
二、常见图形变换及用途1、平移变换平移变换是将图像在正交平面内沿着x、y轴方向进行移动的一种基本变换，用于调整图像的位置。
通常使用平移矩阵来进行平移变换，矩阵内容为：[[1, 0, dx], [0, 1, dy], [0, 0, 1]]，其中dx、dy分别表示在x、y轴方向上的平移距离。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行平移变换，比如说模板匹配、人脸检测等。
2、缩放变换缩放变换是将图像在x轴和y轴方向上均匀拉伸或收缩的一种基本变换。
通常使用缩放矩阵来进行缩放变换，矩阵内容为：[[a, 0, 0], [0, b, 0], [0, 0, 1]]，其中a、b表示在x、y轴各自方向上的缩放比例。
应用场景：在许多图像处理算法中，都需要将图像进行缩放变换，比如图像放大、縮小、模式识别、图像超分辨率重建等。
3、旋转变换旋转变换是将图像沿着某一点进行旋转的一种基本变换。
通常使用旋转矩阵来进行旋转变换，矩阵内容为：[[cosθ, -sinθ, 0], [sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1]]，其中θ表示旋转的角度。
应用场景：旋转变换在图像矫正、图像特征提取以及计算机视觉领域中得到广泛的应用。
4、翻转变换翻转变换是将图像进行水平或垂直方向翻转的一种基本变换。
4-图像变换
数字图像处理
图像的水平镜像
10
示例：
1 1 2 3 2 3 1 2 3 -1 -2 -3 3 2 1
N 3
1 2
3
数字图像处理
水平镜像示例
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数字图像处理
图像的垂直镜像
垂直镜像计算公式如下（图像大小为M*N）
x ' x (垂直镜像) y' y
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因为表示图像的矩阵坐标不能为负，因此需要在进 行镜像计算之后，再进行坐标的平移。
图像的加减运算
对图像进行加减运算，就是将图像对应的存储矩形点列 上的灰度值进行加减运算。 图像相加可以将一幅图像的内容加到另一幅图像上，可 以实现二次曝光，也可以对同一个场景的多幅图像求平均 值，这样可以降低加性随机噪声；还可以用于图片的衔接 和融合，如数字水印。 图像相减可以用于运动检测，是对运动物体定位的一种 常用方法，通常使用连续捕获到的两到三张图象，通过像 素相减求得图像间的差异，为后续识别和定位打下基础。 或去除图像中不需要的加性图案，如电视的蓝屏技术。
30
zw
数字图像处理
图像的仿射变换—— 齐次坐标的意义
31
提供了用阶数统一的矩阵运算把空间上的一个点 从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 便于表示无穷远点：(xw, yw, w)，令w等于0 变换具有统一表示形式的优点 便于变换合成 便于硬件实现
数字图像处理
图像的仿射变换—— 通式
x' x x 平移： y ' y y
数字图像处理
图像的仿射变换—— 齐次坐标的特点
w 可以取不同值，同一点齐次坐标不唯一。 如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换
三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换①平移变换：(h>0)Ⅰ、水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x)h 左移→y=f(x+h)；2）y=f(x) h 右移→y=f(x -h)；Ⅱ、竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到；1）y=f(x) h 上移→y=f(x)+h ；2）y=f(x) h下移→y=f(x)-h 。
②对称变换：Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； y=f(x) 轴y →y=f(-x)Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到；y=f(x) 轴x →y= -f(x)Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) 原点→y= -f(-x)Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。
y=f(x) x y =→直线x=f(y)Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到；y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x)。
③翻折变换：Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到；Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到④伸缩变换：Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到；y=f(x)ay ⨯→y=af(x)Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标压缩(1)a >或伸长（01a <<）为原来的1a倍得到。
图像变换PPT课件
（3）量化噪声 : 为数字图像的主要噪声，产生原因是对连 续图像的量化所造成，可通过增加量化比特数，以及采用 最优量化方法来改善。 （4）“盐和胡椒“噪声：典型的如在变换域中的误差在反 变换后造成的变换噪声。
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图像平均分为空间域和频率域平均两种方法。 1）空间域平均：对空间的每一个象素取一个邻域S，做 如下计算：（其中S可取四邻域或八邻域）
定义：
H G F
G为输入信号的频谱，F为输出信号的频谱。
从图中可以看出，滤波前 后，频谱基本不变，这点 对滤波器的设计和使用很 有意义。
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中值滤波：一种典型的顺序统计滤波方法。还有其他几种 类似方法。
特点：基于滤波器窗口中的像素点的排序。
1）最小和最大值滤波器：
^
f
x, y
max gs,t
s,t sxy
gi x, ygr x, y
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目的： 减少图像中的噪声。
方法： 空域方法：邻域平均等 频域方法：利用噪声主要分布在高频段的特点
进行滤波。
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图像处理中的常见噪声： （1）加性噪声
这种噪声与图像信号的强度不相关。如传输噪声。 g=f+n
f 为理想图像，n为噪声。 （2）乘性噪声
这种噪声与图像信号的强度相关。如胶片颗粒噪声。 g=f+fn
32
作业： 5.1,5.3,5.5
选做题：就本次课的内容，自已拟定一个题目。
提出问题的能力是一个科研工作者的基本能力！它有时比解决一个问题更重要！ 33
所有灰度级出现的相对频率，称P(Z)的图像为图像f的直方 图。P(Z) 经常用做图像中的灰度级概率密度的估计值。
图像与直方图之间不是一一对应的关系，同一个直方 图可与多个图像相对应。
数字图像处理中的常用变换
一、离散傅里叶变换1.离散傅里叶变换的特点离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。
即使对无限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。
在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。
DFT将空域变换到频域，很容易了解到图像的各空间频域的成分。
DFT的应用十分广泛，如：图像的特征提取、空间频率域滤波、图像恢复和纹理分析等。
2.离散傅里叶变换的性质1）线性性质2）比例性质3）可分离性4）平移性质5）图像中心化6）周期性7）共轭对称性8）旋转不变性9）卷积定理10）平均值二、离散余弦变换1.离散余弦变换简介为了快速有效地对图像进行处理和分析，常通过正交变换将图像变换到频域，利用频域的特有性质进行处理。
传统的正交变换多是复变换，运算量大，不易实时处理。
随着数字图像处理技术的发展，出现了以离散余弦变换（DCT）为代表的一大类正弦型实变换，均具有快速算法。
目前DCT变换在数据压缩，图像分析，信号的稀疏表示等方面有着广泛的应用。
由于其变换矩阵的基向量很近似于托普利兹（Toeplitz ）矩阵的特征向量，而托普利兹矩阵又体现了人类语言及图像信号的相关特性，因此常被认为是对语音和图像信号的最佳变换。
对给定长度为N 的输入序列f(x)，它的DCT 变换定义为:⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=∑-=102)12(cos )()(2)(N x N x x f u C N u F μπ式中：1,,1,0u -=N ，式中的)(u C 的满足：⎪⎩⎪⎨⎧==其它1021)(u u C在数字图像处理中，通常使用二维DCT 变换，正变换为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N x N y N v y N u x y x f v C u C N v u F ππ 其逆变换IDCT 为:⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=∑∑-=-=10102)12(cos 2)12(cos ),()()(2),(N u N v N v y N u x v u F v C u C N y x f ππ 式中：1,,1,0u -=N ，1,,1,0v -=N 。
图像处理第五章-图像变换PPT课件
傅氏谱 F(u,v) R2(u,v) I 2(u,v)
相位
(u,v) tg1 I(u,v)
R(u, v)
能量谱 | F(u,v) |2 R2(u,v) I 2(u,v)
计算傅里叶变换
一维DFT 图像的尺寸为N
F(u)
1
N1
f
j2 un
(n)e N
N n0
0u N 1
ej cos jsin
数字图像处理与分析
第五章 图像变换
青岛科技大学自动化与电子工程学 院
.
•1
5-1
第5章 图像变换
为了有效和快速地对图像进行处理和分 析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某 种形式转换到另外一些空间中，并利用这些空 间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再 转换回图像空间以得到所需的处理效果。
变换是双向的，或者说需要双向的变 换。在图像处理中，一般将从图像空间向其他 空间的变换称为正变换，而将从其他空间向图 像空间的变换称为反变换或逆变换。
.5章
5-9
注意：傅里叶变换FT DFT FFT
DFT
F(u,v)1N1N1f(x,y)ej2(u xv)y/N Nx0y0
IDFT
f(x,y)1N1N1F(u,v)ej2(u xv)y/N
Nx0y0
F(u,v)
|F(u,v)| e j (u,v) R(u,v)+i I(u,v)
幅值
相角 实部 虚部
.第5章5章
5-45
5.2 沃尔什和哈达玛变换
沃尔什变换
1-D沃尔什变换
沃尔什变换有一个特殊的变换核
h(x,u) 1
n1
(1)bi(x) bn1i(u)
用十张动态图片总结高中数学函数图像变换问题
风雨送春归，飞雪迎春到。已是悬崖百丈冰，犹有花枝俏。” 高中数学的函数本身很抽象，函数的图像也是重中之重，而函数图像变换令很多人苦不堪言， 本文对所有函数图像变换进行总结归纳，用动态的形式展现函数图像变换之奥妙，看到以下函 数图像动态变换过程，有助于学生理解图像变换之精髓！
去左翻右： 要得到函数y=f（|x|）的图象，可先做出y=f（x）的图象，去掉y轴左侧部分，再根据y=f（|x|） 是偶函数的特点，将y分）。
五、反函数变换
y=f（x）与其反函数y=f-1（x）的图像关于y=x对称。
高中数学
一、平移变换
上+下将函数y=f（x）的图像向上平移a个单位，即可得到y=f（x）+a的图像。 将函数y=f（x）的图像向下平移a个单位，即可得到y=f（x）-a的图像。
左+右将函数y=f（x）的图像向左平移a个单位，即可得到y=f（x+a）的图像。 将函数y=f（x）的图像向右平移a个单位，即可得到y=f（x-a）的图像。
二、伸缩变换
横坐标伸缩 将函数y=f（x）的图像上各点横坐标变来原来的1/a，纵坐标不变，即可得到y=f（ax）的图像。 （a>1时缩短，0<a<1时伸长）
纵坐标伸缩 将函数y=f（x）的图像上各点纵坐标变来原来的A倍，横坐标不变，即可得到y=Af（x）的图 像。（A>1时伸长，0<A<1时缩短）
三、对称变换
将函数y=f（x）的图像关于x轴对称，得到y=-f（x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于y轴对称，得到y=f（-x）的图像。
将函数y=f（x）的图像关于原点对称，得到y=-f（-x）的图像。
四、翻折变换
图像变换
如普通坐标系的点(2,3)的齐次坐标可以是：
(1,1.5,0.5)，(4,6,2)，(6,9,3)等。
普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多”
普通坐标w =>齐次坐标 齐次坐标/w =>普通坐标 当w = 1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标”
f(x,y) 减去背景图像b(x,y) g(x,y) 添加蓝色背景
图像的错切效果
在这个错切变换中，蒙娜丽莎的图像被变形，但是中心的 纵轴在变换下保持不变。（注意：角落在右边的图像中被 裁掉了。）蓝色的向量，从胸部到肩膀，其方向改变了， 但是红色的向量，从胸部到下巴，其方向不变。因此红色 向量是该变换的一个特征向量，而蓝色的不是。因为红色 向量既没有被拉伸又没有被压缩，其特征值为1。所有沿着 垂直线的向量也都是特征向量，它们的特征值相等。它们 构成这个特征值的特征空间。
=
图像的或运算
模板运算：提取感兴趣的子图像
=
图像的与运算
0 1＝0 1 0＝0 0 0＝0 求两个子图像的相交子图
1 1＝1
^
= 模板运算：提取感兴趣的图像^=图像加法运算举例
＋
＝
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像加法运算举例
图像减法运算举例
=
图像减法运算举例
因为前n个坐标是普通坐标系下的n维坐标。
图像的仿射变换
—— 齐次坐标的特点
(x,y)点的齐次坐标为（xw，yw,w) xw=wx，yw=wy,w≠0
(x,y)点对应的齐次坐标为三维空间的一条直线 ：
xw yw
wx wy
zw
函数图象的几种常见变换
函数图象的几种常见变换⑪ 平移变换：左右平移---“左加右减”（注意是针对x 而言）；上下平移----“上加下减”(注意是针对()f x 而言).⑫翻折变换：()|()|→f x f x ；“下沿X 轴翻折到上面”()(||)→f x f x .“右往左翻折—沿Y 轴”⑬对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.②证明图像1C 与2C 的对称性,即证1C 上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在2C 上,反之亦然.③函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =(y 轴)对称；函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0y =(x 轴)对称；④若函数()y f x =对x R ∈时，()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-恒成立,则()y f x =图像关 于直线x a =对称；⑤若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2a b x +=对称；⑥函数()y f a x =+,()y f b x =-的图像关于直线2b a x -=对称(由a x b x +=-确定)；⑦函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于直线2a b x +=对称；⑧函数()y f x =,()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称(由()()2f x A f x y +-=确定)；⑨函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点成中心对称；函数()y f x =,()y n f m x =--的图像关于点22(,)m n对称；⑩函数()y f x =与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称；曲线1C ：(,)0f x y =,关于y x a =+,y x a =-+的对称曲线2C 的方程为(,)0f y a x a -+=(或(,)0f y a x a -+-+=；曲线1C ：(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线2C 方程为：(2,2)0f a x b y --=. 9.函数的周期性：⑪若()y f x =对x R ∈时()()f x a f x a +=-恒成立,则 ()f x 的周期为2||a ；⑫若()y f x =是偶函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为2||a ；⑬若()y f x =奇函数,其图像又关于直线x a =对称,则()f x 的周期为4||a ；⑭若()y f x =关于点(,0)a ,(,0)b 对称,则()f x 的周期为2||a b -；⑮()y f x =的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称,则函数()y f x =的周期为2||a b -；⑯()y f x =对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()()f x f x a +=-,则()y f x =的周期为2||a ；。
图像变换
Du, v D1 D0 Du, v D1 0 D u , v D1
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5.4.3 中值滤波
问题的提出：线性滤波器如最小均方滤波、平均值滤波 (平滑滤波)等会带来图像细节模糊。脉冲干扰不好消除。 中值滤波： 1）一种非线性信号处理方法。 2）可以解决以上问题。 3）在实际运算过程中并不需要图像的统计特性。
注意： 对一些细节多，特别是点、线、尖顶细节多的 图像不宜采用中值滤波方法。
由于中值滤波是一种非线性运算，对随机输入信号的严格数学分析比较复杂。
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1) 中值滤波原理：
用一个奇数点的滑动窗口，将窗口中心点的值用窗 口内各点的中值代替。 对一维而言：设有一个一维序列f1,f2,…,fn。取窗口长度为 m(m为奇数)，对此一维序列进行中值滤波就是从输入 序列中相继抽出m个数 f i v ,..., f i 1 , f i , f i 1 ,..., f i v
14
图像： f x, y f i x, y f r x, y 照明函数：fi x, y
反射函数：f r x, y
照明函数通常是低频信号，反射函数通常是高频信号。
15
处理如下：
(1).ln f x, y ln fi x, y ln f r x, y
(4).ln g x, y F-1Gln u, v ln gi x, y ln g r x, y lngi x, y g r x, y
gi x, y g r x, y (5).g x, y expln g ( x, y) explngi x, y g r x, y
第五章 图像增强和复原
5 ．1 5 ．2 5 ．3 5 ．4 5 ．5 5 ．6 5 ．7 5 ．8 5 ．9 概 述 灰度修正 图像的同态增晰 平滑 锐化 几何校正 伪彩色图像增强 图像线性滤波复原 全彩色图像增强
图形变换技巧归纳总结
图形变换技巧归纳总结图形变换是计算机图形学中常用的技术之一，通过对图像进行转换、调整，能够实现图像的旋转、缩放、翻转等效果。
本文将对图形变换的常见技巧进行归纳总结，旨在帮助读者更好地应用和理解这些技巧。
一、旋转变换旋转变换是指将图像按照一定角度进行旋转，常见的旋转变换有顺时针旋转和逆时针旋转。
在计算机图形学中，常用的旋转变换方法有仿射变换和投影变换。
1. 仿射变换仿射变换是一种线性变换，通过对图像的平移、旋转和缩放等操作，能够实现图像的旋转效果。
在仿射变换中，通过定义一个变换矩阵，可以对图像进行平移、旋转、缩放等操作。
2. 投影变换投影变换是一种非线性变换，能够实现更加复杂的图像变换效果。
投影变换通常用于实现一些特殊的效果，比如透视变换和仿射变换的组合。
通过投影变换，可以实现对图像的扭曲、转换等操作，使图像达到更加逼真的效果。
二、缩放变换缩放变换是指改变图像的比例大小，常用于图像的放大和缩小操作。
在图形学中，缩放操作通常是通过改变图像的像素点来实现的。
常见的缩放变换方法包括最近邻插值法、双线性插值法和双三次插值法。
1. 最近邻插值法最近邻插值法是一种简单的缩放变换方法，其原理是将源图像中某个像素点的值复制到目标图像中对应的位置。
这种方法操作简单，但会导致图像边缘的锯齿状现象。
2. 双线性插值法双线性插值法是一种常用的缩放变换方法，通过对源图像中像素点的插值来计算目标图像中对应位置的像素值。
这种方法可以提高图像的质量，减少锯齿状现象。
3. 双三次插值法双三次插值法是一种更加精确的缩放变换方法，它通过对源图像中一定范围内的像素点进行插值，计算目标图像中对应位置的像素值。
这种方法可以提高图像的质量，减少锯齿状现象，并且能够更好地保持图像的细节信息。
三、翻转变换翻转变换是指将图像按照水平或垂直方向进行翻转，常见的翻转变换有水平翻转和垂直翻转。
在计算机图形学中，翻转变换通常是通过对图像的像素点进行重新排列来实现的。
10、图像的几何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换
10、图像的⼏何变换——平移、镜像、缩放、旋转、仿射变换1.⼏何变换的基本概念 图像⼏何变换⼜称为图像空间变换，它将⼀副图像中的坐标位置映射到另⼀幅图像中的新坐标位置。
我们学习⼏何变换就是确定这种空间映射关系，以及映射过程中的变化参数。
图像的⼏何变换改变了像素的空间位置，建⽴⼀种原图像像素与变换后图像像素之间的映射关系，通过这种映射关系能够实现下⾯两种计算：原图像任意像素计算该像素在变换后图像的坐标位置变换后图像的任意像素在原图像的坐标位置对于第⼀种计算，只要给出原图像上的任意像素坐标，都能通过对应的映射关系获得到该像素在变换后图像的坐标位置。
将这种输⼊图像坐标映射到输出的过程称为“向前映射”。
反过来，知道任意变换后图像上的像素坐标，计算其在原图像的像素坐标，将输出图像映射到输⼊的过程称为“向后映射”。
但是，在使⽤向前映射处理⼏何变换时却有⼀些不⾜，通常会产⽣两个问题：映射不完全，映射重叠映射不完全输⼊图像的像素总数⼩于输出图像，这样输出图像中的⼀些像素找不到在原图像中的映射。
上图只有(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)四个坐标根据映射关系在原图像中找到了相对应的像素，其余的12个坐标没有有效值。
映射重叠根据映射关系，输⼊图像的多个像素映射到输出图像的同⼀个像素上。
上图左上⾓的四个像素(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)都会映射到输出图像的(0,0)上，那么(0,0)究竟取那个像素值呢？要解决上述两个问题可以使⽤“向后映射”，使⽤输出图像的坐标反过来推算改坐标对应于原图像中的坐标位置。
这样，输出图像的每个像素都可以通过映射关系在原图像找到唯⼀对应的像素，⽽不会出现映射不完全和映射重叠。
所以，⼀般使⽤向后映射来处理图像的⼏何变换。
从上⾯也可以看出，向前映射之所以会出现问题，主要是由于图像像素的总数发⽣了变化，也就是图像的⼤⼩改变了。
在⼀些图像⼤⼩不会发⽣变化的变换中，向前映射还是很有效的。
第10章 图像变换汇编
M 1 N 1
y j 2 ( x N) M
{ f ( x, y) e
FT行 （FT列 （（ f x, y))) FT列 （FT行 （（ f x, y)))
j 2
y N
}e
xu j 2 M
二维傅立叶变换可以转化为两次一维傅立叶变换。
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二维离散傅立叶变换 —— 反变换
如：傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域 的能量分布描述。
通常“另外一个变换域” 更集中地代表了 图像中的有效信息，或者是更便于达到某 种处理目的。
3
图像变换(二)
图像变换的前提条件: 1. 首先，提出的变换必须是有好处的，换句 话说，可以解决时域中难以解决的问题。 2. 其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变 换还原回原时域中。 常用的图像变换包括：
6
DFT的原理
对于一个N点有限长序列x(n)，其DFT变换可表 示为：
N 1 n 0
X (k )
nk x(n)WN
WN e
2π j N
其中：k=0，1，…，N－1；
7
DFT的运算量
假如x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一 X(m)的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法 一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法, 一次复数加法等于两次实数加法。 即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次 “运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那 么求出N项复数序列的X(k)，即N点DFT变换大约 就需要N^2次运算。 当N=1024点甚至更多的时候，需要N^2=1048576 次运算。因此，在N较大时，计算量不可想象。
x1 (r ) x(2r ) x2 (r ) x(2r 1)
变换图像的操作方法
变换图像的操作方法变换图像有许多不同的操作方法，可以通过修改图像的几何属性、颜色属性或者根据特定的应用进行变换。
下面将介绍几种常用的图像变换操作方法。
1. 几何变换几何变换是通过对图像的几何属性进行修改，改变图像的位置、形状、大小和方向。
常见的几何变换包括平移、旋转、缩放和剪裁等。
- 平移：平移是将图像沿着水平和垂直方向移动一定的距离。
平移操作可以通过对图像每个像素坐标进行加法运算来实现。
例如，将一个图像向右平移10个像素，就可以将图像的x坐标都加上10。
- 旋转：旋转是将图像围绕一个中心点进行旋转一定的角度。
旋转操作可以通过对图像每个像素坐标进行旋转矩阵运算来实现。
例如，将一个图像顺时针旋转30，就可以将图像的x和y坐标都根据旋转矩阵进行变换。
- 缩放：缩放是改变图像的大小。
缩放操作可以通过对图像的每个像素进行插值运算来实现。
常用的插值方法有最近邻插值、双线性插值和双三次插值等。
- 剪裁：剪裁是将图像从一个大的尺寸截取到一个较小的区域。
剪裁操作可以通过对图像的像素坐标进行判断，只保留指定区域内的像素值。
2. 色彩变换色彩变换是通过修改图像的色彩属性来变换图像。
常见的色彩变换包括调整亮度、对比度、饱和度和色调等。
- 调整亮度：调整图像的亮度可以通过对每个像素的RGB值进行加减操作来实现。
增加亮度时，可以将RGB值都加上一个较大的常数；减小亮度时，可以将RGB值都减去一个较大的常数。
- 调整对比度：调整图像的对比度可以通过拉伸图像的灰度值范围来实现。
可以使用直方图均衡化等方法将图像的灰度值分布拉伸到更广的范围。
- 调整饱和度：调整图像的饱和度可以通过修改图像的色彩空间来实现。
可以将RGB空间转换为HSV空间，然后修改饱和度分量的值，再将HSV空间转换回RGB空间。
- 调整色调：调整图像的色调可以通过修改图像的色相值来实现。
可以将RGB 空间转换为HSV空间，然后修改色调分量的值，再将HSV空间转换回RGB空间。
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29
t
ˆ ( )
中国石油大学(华东)信控学院
25
bior2.2, bior4.4
h
1 1 1 3 1 1 , , , , 2 8 2 4 2 8
1 3 , 3 , 5 , 5 , 5 , 3 , 3 h 2 16 4 16 2 16 4 16
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
ˆ ( ) i
4
e i / 2 sin 2 / 4
(t )
1 2
0
1
1
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常用的基本小波
2. Daubechies小波
24
D4尺度函数与小波
1.4
2
1.2
1.5
1 0.8 0.6 0.4
0 1 0.5
0.2
-0.5
0 -0.2 -0.4
-1 -1.5 -2
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各种信号分析方法的对比
19
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小波变换定义及特点
小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊 的长度有限、平均值为0的波形。
特点：（1）“小”，即在时域都具有紧支集或 近似紧支集 （2）正负交替的“波动性”，也即直流分
20
量为零
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其中 C
u du ， u
d ds
是 x 的傅里叶变换。
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33
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作
(1) 缩放。就是压缩或伸展基本小波， 缩放系数越小，
则小波越窄
f (t) O f (t) O f (t) O t f (t)＝ (4t)；scale＝0 .2 5 t f (t)＝ (2t)；scale＝0 .5 t f (t)＝ (t)；scale＝1
傅立叶变换
10
基本思想：
将信号分解成一系列不同频率的连续正 弦波的叠加。
缺陷：丢掉了时间信息，无法根据变换结果
判断一个特定的信号是在什么时候发生的。
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小波变换的由来
FT变换适于分析平稳信号。实际中大多数信号含 有大量的非平稳信号，例如：突变，奇异，事件 的起始与终止等情况。这些情况反映了信号的重 要特征，是分析的对像。例如下图：典型的地震 信号。
11
典型的地震记录
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12
实际采集的地震信号
它们的频域特性都随时间而变化。分析它需要提取某 一时间段的频域信息或某一频率段所对应的时间信息
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小波变换的由来
如何完成只分析数据中的一小部分?
13
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短时傅立叶变换（STFT）
f (t ) g a (t b)e
jvt
1 ( t b ) 2 / 4 a jvt dt e dt f (t )e 2a
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短时傅里叶变换和Gabor变换
一维定义
Gw, t0 f (t ) g (t t0 )e jwt dt
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常用的基本小波
7. Meyer小波
它的小波函数与尺度函数都是在频域中进行定义的。具体定义如下：
sin v 3 1 2 4 2 2 3 3 1 i 3 4 8 ˆ 2 2 e 2 cos v 1 3 3 2 4 2 , 8 0 3 3 v t t 4 35 84t 70t 2 20t 3 t 0,1
22
用不规则的小波函数来逼近尖锐变化的信号显然要 比光滑的正弦曲线要好，同样，信号局部的特性用小 波函数来逼近显然要比光滑的正弦函数来逼近要好。
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常用的基本小波
1. Haar小波
1 ( t ) 1 0
1
23
0 t 1/ 2 1/ 2 t 1 其它
g t
2
1
1/ 4
t2 2 2
1, 5
Gabor 小波 Morlet小波
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e
t g t eit
常用的基本小波
5. 高斯小波
t
2 1 tet / 2 2
27
ˆ i e
2 3 (1 t )e
2 t2 / 2
28
2 2 4 2 2 / 2 ˆ ( ) e 3
t
ˆ ( )
这是高斯函数的二阶导数，在信号与图像的边缘提取中具有重要的应用。 主要应用于屋脊型边界和Dirac边缘的提取。 特性： 指数级衰减，非紧支撑；具有非常好的时间频率局部化； 关于0轴对称。
基本思想：
给信号加一个小窗，主要集中在对小窗内的信 号进行变换，因此反映了信号的局部特征。
14
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短时傅立叶变换（STFT）
缺陷：
其窗函数的大小和形状均与时间和频率无关，
保持固定不变，对于分析时变信号不利！
15
（高频信号持续时间短，低频信号持续时间长。我们希望对
于高频采用小的时间窗，低频使用大时间窗进行分析。）
fb,v (t ) f (t b)e jvt
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短时傅里叶变换
短时傅里叶变换只需知道 f (t–b)不为零的 区间就可计算这个时间段上的频谱分量 Gf [f (b, v)]给出 f (t)在接近t = b处的近似频谱 将窗函数 f (t–b)看作正弦波exp(–jvt)的调制 函数，短时傅里叶变换可写为（其中< >代表 内积） Gf f (b, v) f (t ), f (t b)e jvt
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常用的基本小波
9. Battle-Lemarie样条小波
ˆ ( ) 1 ˆ ˆ g ( )f ( ) 2 2 2
16e
i 2
31
2
sin 4
4
4 2 2 2 8sin4 1 sin 3 8sin 4 4 4 3
pn 2 hn , qn 2hn
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~
常用的基本小波
4. Morlet小波
26
(t ) e
t 2 / 2 i0t
e
ˆ ( ) 2 e( 0 )
2
/2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑. Morlet小波是Gabor 小波的特例。
1 2sin 2
t
Battle-Lemarie线性样条小波及其频域函数的图形
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连续小波变换
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform， CWT） 用下式表示：
32
W ( s, )
1 x f x s s
典型图像变换
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Gabor变换
窗函数 短时傅里叶变换 连续Gabor变换 离散Gabor表达
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窗函数
令f (t)为实窗函数，乘积 f (t) f (t) = fb(t)包 含了接近t = b处的 f (t)的信息。
f (t ) t [b , b ] f b (t ) 其它 0
小波变换定义及特点
21
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小波变换定义及特点
傅立叶分析所用的正弦波在时间上没有限制，从负 无穷到正无穷，但小波倾向于不规则与不对称。 FT将信号分解成一系列不同频率正弦波的叠加，小 波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加。而这 些小波函数都是由一个母小波函数经过平移与尺度伸 缩得来的。
函数fb,v(t) = f (t–b)exp(jvt)就像一组波形， 其中正弦波在包络函数 f (t)中振荡。
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Gabor变换
用高斯函数作为窗函数
1 t 2 / 4 a g a (t ) e 2a a0
Ga (w) e
a w2
a0
Gabor 变换
Gg a f (b, v)
常用的基本小波
8. Shannon小波
t
sin t 1/ 2 sin 2 t 1/ 2 t 1/ 2
30
ˆ e
i / 2
1, 2 0, 其它
t
在时域，Shannon小波是无限次可微的，具有无穷阶消失矩，不 是紧支的，具有渐近衰减性但较缓慢；在频域，Shannon小波是 频率带限函数，具有好的局部化特性。
STFT无能为力了！ 不能构成正交基，给数值计算带来不便。
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小波信号隆重登场
16
登场原因：
（1）继承和发展了STFT的局部化思想。
（2）克服了窗口大小不随频率变化、缺
乏离散正交基的缺点。
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正交基的解释
若一物体可用颜色和大小表示，我们称颜色和 大小为特征基，构成此物体特征描述空间。 大小和颜色是互不相干的2种描述，我们称其 为正交。 同时若这些基能够完全表示所有物体，我们称 其为完备特征基。