弧长及扇形面积.新湘教版
湘教版数学9年级下册课件：2.6弧长与扇形面积
1 、已知扇形的圆心角为 120 °，半径为 2 , 则这个扇形 的面积，S扇=____． 2、已知半径为2 的扇形，面积为_____，则它的圆心 角的度数为_____． 3.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积 D 。（精确到0.01cm） 弓形的面积 = S扇+ S△
因为∠AOB=120°所以弧 AB的长是圆 1 1 周长的 因此弧AB 的长是 3 3 O ×2π×15=10π 已知一个半径为r的圆,如何求它的一段圆弧的长度呢?
我知道圆周长c=2r, 其中r是圆的半径, 求圆弧长我还不会.
B
1.由于在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,因此:1° 的圆心角所对弧长为
S 扇形
1 LR 2
（1）当已知弧长L和半径R，
1 求扇形面积时，应选用 S LR 扇形 2
（2）当已知半径和圆心角的
度数，求扇形面积时，应选用
S扇形
nR 2 360
例3:已知扇形AOB的半径1.5cm,∠AOB=58o,
求扇形OAB的面积(结果精确到0.1cm2)
解： r 1.5 cm.n 58 58 2 2 S扇形OAB 1.5 1.1 （cm ） ， 360 2 扇形AOB的面积约为 1.1 cm .
求第三个量，那么请将公式变形求出R和n。
180l R n
180 l n R
O
n°
A
（1）在应用弧长公式 ,进行计算时，要注 意公式中 n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是 不带单位的；
（2）区分弧、弧的度数、弧长三概念．度数相等的 弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧也不一定是等 孤，而只有在同圆或等圆中，才可能是等弧．
湘教版九年级数学下册 弧长与扇形的面积
《弧长与扇形的面积》教案1教学目标【知识与技能】理解并掌握弧长公式的推导过程，会运用弧长公式进行计算.【过程与方法】经历弧长公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力.【情感态度】调动学生的积极性，在组织学生自主探究，相互交流合作的学习中培养学生的钻研精神. 教学重点弧长公式及其运用.教学难点运用弧长公式解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识如图是某城市摩天轮的示意图，点O 是圆心，半径r 为15m ，点A 、B 是圆上的两点，圆心角∠AOB =120°.你能想办法求出AB 的长度吗？【教学说明】学生根据AB 是120°是13周长可直接求出AB 的长，为下面推导出弧长公式打好基础.二、思考探究，获取新知 问题1在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧长_______.【教学说明】在前面学习的圆心角定理知识，同圆或等圆中若圆心角、弦、弧三者有一组量相等，则另外两组量也分别相等，结论自然不难得出.问题2 1度的圆心角所对的弧长l =_____.问题3 半径为R 的圆中，n 度的圆心角所对的弧长l =______.【分析】在解答(1)的基础上，教师引导分析，让学生自主得出结论，这样对公式的推导，学生就不容易质疑了.结论:半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 为·2360180n n r l r ππ== 注：已知公式中l 、r 、n 的其中任意两个量，可求出第三个量.三、典例精析，掌握新知例1已知圆O 的半径为30cm ，求40度的圆心角所对的弧长.(精确到0.1cm ) 解：()40302020.91801803n R l cm πππ⨯⨯===≈.答：40度的圆心角所对的弧长约为20.9cm .【教学说明】此题是直接导用公式.例2如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =15°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交点D ，若AC =6，求弧AD 的长.【分析】要求弧长，必须知道半径和该弧所对的圆心角的度数，即只需求出∠ACD 的度数即可.解:连接CD .因为∠B =15°，∠BCA =90°，所以∠A =90°-∠B =90°-15°=75°.又因为CA =CD ，所以∠CDA =∠A =75°.所以∠DCA =180°-2∠A =30°.所以AD 的长=306180π⨯=π. 【教学说明】在求弧长的有关计算时，常作出该弧所对应的圆心角.例3如图为一个边长为10cm 的等边三角形，木板ABC 在水平桌面绕顶点C 沿顺时针方向旋转到△A ′B ′C 的位置.求顶点A 从开始到结束所经过的路程为多少？解：由题可知∠A ′CB ′=60°.∴∠ACA ′=120°.A 点经过的路程即为AA ′的长.等边三角形的边长为10cm .即AA ′的半径为10cm .∴AA ′的长=12010201803ππ⨯= (cm ). 答：点A 从开始到结束经过的路程为203πcm . 【教学说明】弧长公式在生活中的应用是难点，关键是找出所在的圆心角的度数和所在圆的半径，问题就容易解决了.练习题：1、如课本图，是一个闹钟正面的内、外轮廓线.内轮廓线由一段圆弧和一条弦AB 组成，圆心为O ，半径为3.2cm ，圆心角∠AOB =83°，求内轮廓线的圆弧的长度.2、如课本图，一块铅球比赛场地是由一段80°的圆心角所对的圆弧和两条半径围城的，若该比赛场地的周界是34m ，求它的半径OA 长（精确到0.1m ）.四、运用新知，深化理解1.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为( ) A .6cm B .12cmC .D cm2.如图，五个半圆中邻近的半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从点A 到点B ，甲虫沿着1ADA 、12A EA 、23A FA 、3A GB 的路线爬行，乙虫沿着路线ACB 爬行，则下列结论正确的是( )A .甲先到B 点 B .乙先到B 点C .甲乙同时到达D .无法确定3.如果一条弧长等于l ，它所在圆的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加( )A .1nB .180R πC .180l R πD .13604.(山东泰安中考)如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若∠ABC =120°，OC =3，则BC 的长为()A .πB .2πC .3πD .5π第4题图 第5题图5.一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线无滑动翻滚(如图)，那么B 点从开始到结束时所走过的路径长度是______.【教学说明】在弧长公式及其运用的题目中，多是一些基础题，关键是理解公式的推导过程后，在l 、n 、r 中只知道其中任意两个量，就可求出第三个量了.【答案】1.A 2.C 3.B 4.B 5.43π五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾本小节的知识点.2.通过本节课的学习，你掌握了那些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】1.n °的圆心角所对的弧长180n R l π=.2.学生大胆尝试公式的变化运用. 课后作业1.教材P81页第1题.2.完成同步练习册中本课时的练习.《弧长与扇形面积》教案2教学目标知识与技能1.掌握扇形的定义.2.掌握扇形面积公式的推导过程，会运用扇形的面积进行有关计算.过程与方法经过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.情感态度经历扇形面积公式的推导过程及利用公式解决实际问题，加强合作交流，集思广益. 教学重点扇形面积公式的推导过程及用公式进行有关计算.教学难点用公式求组合图形的面积来解决实际问题.教学过程一、情境导入，初步认识如图所示是一把圆弧形状的扇子的示意图，你能求出做这把扇子用了多少纸吗？要想解决以上问题，需知道求扇形的面积的计算公式.今天我们就来学习扇形的面积.二、思考探究，获取新知1.扇形的定义圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形.【教学说明】1.强调它是一个封闭的图形；2.扇形包括两半径和弧内部的平面部分.2.扇形的面积公式同学们结合圆的面积S=πR2，完成下列各题：(1)该圆的面积可看作是_______的圆心角所在的扇形面积.(2)设圆的半径为R，1°的圆心角所在的扇形面积为______，2°的圆心角所在的扇形面积为，3°的圆心角所在的扇形面积为______，…，n°的圆心角所在的扇形面积为___.学生解答【教学说明】(1)360°(2)2360Rπ22360Rπ23360Rπ2360n Rπ因此，在半径为R的圆中，圆心角为nl 为扇形的弧长. 例1如图，⊙O 的半径为1.5cm ，圆心角∠AOB =58°，求扇形OAB 的面积(精确到 0.1c m 2).解：∵r =1.5cm ，n =58，∴22258 1.558 3.14 1.5 1.1360360()S cm π⨯⨯⨯⨯==≈ 例2已知半径为2的扇形，其弧长为43π，则这个扇形的面积为多少？ 【分析】已知扇形弧长为l ，所在圆的半径为R 时，可直接利用扇形的面积公式：S 扇形=12lR 求解.解: S 扇形=12lR =1442233ππ⨯⨯=. 【教学说明】扇形有两个面积公式，随着已知条件的不同，学生要有不同的公式选择，这样计算更简便.3.组合图形的面积计算.例3如图，把两个扇形OAB 与扇形OCD 的圆心重合叠放在一起，且∠AOB =∠COD ，连接AC .(1)求证:△AOC ≌△BOD ；(2)若OA =3cm ，OC =2cm ，AB 的长为32π，CD 的长为π，求阴影部分的面积.【教学说明】利用“边角边”证明△AOC ≌△BOD ，阴影部分是不规则图形，可先将其转化为规则图形，再计算.(1)证明:∵∠AOB =∠COD ，∴∠BOD =∠AOC .又∵OA =OB ，OC =OD ，∴△AOC ≌△BOD .(2)延长CD ，交OB 于点F ，设AO 交CD 于点E .∵S △AOC =S △BOD ，S 扇形EOC =S 扇形DOF ， ∴S 图形AEC =S 图形BFD .∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD 1315322224πππ=⨯⨯-⨯⨯=.例4、如课本图，是一条圆弧形弯道，已知OA =20m ，OC =12m ，弧CD 的长度为9πm ，求圆弧弯道的面积.【教学说明】扇形面积的学习，主要是求组合图形中的特殊部分的面积，如阴影部分等，关键是找出规则图形之间面积存在怎样的和、差、倍、分关系.练习题：1、如课本图，在圆O 中，∠AOB =120°，弦AB 的长为才cm ，求扇形OAB 的面积. 2、如课本图，分别以△ABC 的顶点A ，B ，C 为圆心，以1为半径画圆，求图中绿色部分的面积.三、运用新知，深化理解1.(甘肃兰州中考)如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为( )A .πB .1C .2D .23π2.如图所示，一张半径为1的圆心纸片在边长为a (a ≥3)的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是( )A .a 2-πB .(4-π)a 2C .πD .4-π3.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 的三等分点.如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则阴影部分的面积为_____.4.如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，BC =⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB 、AC 于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是______(保留π).5.如图，⊙O 的半径为R ，直径AB ⊥CD ，以B 为圆心，BC 为半径作弧CED ，求图中阴影部分的面积.【教学说明】扇形的面积公式是基础，但关键在解决一些实际问题时，它都不是单一的扇形，而是其组合图形，分解组合图形向基本可求出面积的图形转化方可求出组合图形的面积.【答案】1.C 2. D 3.3π 43π 5.解：S 阴=S 半圆OCAD +S △BCD -S 扇形BCED =22221122R R R R ππ+-= 四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.教师强调：①扇形的概念.②圆心角为n°的扇形面积S扇=213602n RlRπ= (l为扇形的弧长).③组合图形的面积.课后作业1.教材P81第2、3题.2.完成同步练习册中本课时的练习.。
数学：3.4弧长和扇形的面积,圆锥的侧面展开图-3.4.1弧长和扇形的面积(1)课件(湘教版九年级下)
如图，对于茶叶罐的密封盖上的这个图案． 作出上部圆弧的圆心； 量出上部圆弧的半径； 量出上部圆弧所对的圆心角的度数； 求出上部圆弧的弧长．
练习
如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线．内轮廓线由 一段圆弧和一条弦AB组成，圆心为O，半径为3.2cm， 圆心角∠AOB＝83°，求内轮廓线的圆弧长度．
277 π 3.2 277 3.14 3.2 解： l (cm) 180 180
A
O ·
B
已知一个半径为r的圆,如何求它的一段圆弧的长度呢? 我知道圆周长c=2r,其中 r是圆的半径,求圆弧长 我还不会.
1.由于在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,因此:1° 的圆心角所对弧长为
1 2 πr 360
2.从第1小题的结论可以得出:n°的圆心角所对的弧长l为
O
·
1°
l
1 2 πr 360 n _______ .
义务教育课程标准实验教科书 SHUຫໍສະໝຸດ UE 九年级下湖南教育出版社
3.4
弧长和扇形的面积,圆锥的侧面展开图
3.4 .1 弧长和扇形的面积
说一说
在同一个圆中,如果圆心角相等,那么它们所对的弧相等吗?
相等
这是根据圆的什么对称性得出的结论?
根据圆的旋转对称性
探究
如图,这是茶叶罐的密封盖上的一个图案. 这个图案的上部和下部都是圆弧你能想办法求出上部圆弧的长度吗?
n°
R
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l为：
n nπr l 2 πr 360 180
在求弧长的公式中，关键是根据圆的什么对称性？
已知圆O的半径为30cm，求40°的圆心角所对的弧长 （精确到0.1cm）
《弧长与扇形面积》PPT课件(湘教版)
一个圆心角是 90°的扇形 ABC，求被剪掉部分的面积.
【教材P81页】
A
解：连接BC，则 BC = 20 cm
又因为 AB = AC, 所以△ABC为
等腰直角三角形.
S扇形 50cm2
B
C O
1. 如图, AB 是☉O 的直径, 弦 CD ⊥ AB,∠CDB ＝ 30°,
CD ＝ 2 3 , 则阴影部分的面积为（ D ）
20 3
cm.
C
B′
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1. 如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线．内轮廓线由一段 圆弧和一条弦 AB 组成，圆心为 O，半径为3.2 cm，圆心 角∠AOB＝ 83°，求内轮廓线的圆弧的长度．【教材P78页】
n = 360°-83°= 277°
l
nr 180
277 3.14 3.2 180
15.5 cm
我们可以发现，扇形面积与组成扇形的圆
心角的大小有关，在同一个圆中，圆心角
越大， 扇形面积也越大.
A O
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如何求半径为 r，圆心角为 n°的扇形的面积呢？
圆的面积可看作是__3_6_0_°__的圆心角 B
所在的扇形面积.
设圆的半径为 r, 1°的圆心角所在的
r 2
扇形面积为__3_6_0__.
解设∠AOB = n°，
∵ OC = 12 m，CD的长度为 9π m，
∴
9
n 12 ，
180
解得 n = 135，即圆心角∠COD = 135 ° .
∴
S扇形OAB
135 202
360
150
m2
，
S扇形OCD
1
2
lr
湘教版数学九年级下册教学设计：2.6 弧长与扇形面积
湘教版数学九年级下册教学设计：2.6 弧长与扇形面积一. 教材分析湘教版数学九年级下册第2.6节“弧长与扇形面积”是圆面积计算公式的延伸，通过本节课的学习，学生能够理解弧长和扇形面积的计算方法，并能运用这些方法解决实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探究弧长和扇形面积的计算公式，培养学生的动手操作能力和数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对圆的性质和公式有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算方法，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以引导为主，让学生通过动手操作和思考，理解并掌握弧长和扇形面积的计算方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握弧长和扇形面积的计算方法，能够运用这些方法解决实际问题。
2.过程与方法：通过动手操作和思考，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：弧长和扇形面积的计算方法。
2.难点：理解并掌握弧长和扇形面积的计算原理。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生思考并探索弧长和扇形面积的计算方法。
2.动手操作法：让学生亲自动手操作，观察和分析弧长和扇形面积的计算过程。
3.讨论法：让学生分组讨论，培养团队合作意识和交流能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示弧长和扇形面积的计算方法。
2.练习题：准备一些练习题，让学生在课堂上进行操练和巩固。
3.教学道具：准备一些实物模型，如圆规、量角器等，帮助学生直观地理解弧长和扇形面积的计算过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：计算一个半径为5cm的圆的弧长和扇形面积。
让学生思考并尝试解答这个问题，引发学生对弧长和扇形面积计算方法的好奇心。
2.呈现（10分钟）利用课件呈现弧长和扇形面积的计算公式，并解释公式的推导过程。
通过动画演示和实物模型展示，让学生直观地理解弧长和扇形面积的计算方法。
湘教版数学九年级下册说课稿：2.6弧长与扇形面积
湘教版数学九年级下册说课稿：2.6 弧长与扇形面积一. 教材分析《弧长与扇形面积》是湘教版数学九年级下册第2.6节的内容。
本节内容是在学生掌握了圆的相关知识的基础上进行学习的，是圆的进一步拓展。
本节内容主要包括弧长的计算公式，扇形面积的计算公式以及弧长和扇形面积的实际应用。
通过本节的学习，使学生能够掌握弧长和扇形面积的计算方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了圆的相关知识，对于圆的性质和概念有一定的了解。
但是，对于弧长和扇形面积的计算公式以及实际应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，从而得出结论。
同时，学生需要具备一定的空间想象能力，能够理解弧长和扇形面积的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握弧长的计算公式，扇形面积的计算公式，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生的空间想象能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 说教学重难点1.教学重点：弧长的计算公式，扇形面积的计算公式。
2.教学难点：弧长和扇形面积的实际应用，学生的空间想象能力的培养。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过观察、思考、探究，得出结论。
2.教学手段：利用多媒体课件，直观展示弧长和扇形面积的概念和计算方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习圆的相关知识，引导学生进入本节内容的学习。
2.探究弧长和扇形面积的概念：利用多媒体课件，展示弧长和扇形面积的定义，引导学生理解并掌握。
3.推导弧长和扇形面积的计算公式：引导学生通过观察、思考、探究，得出弧长和扇形面积的计算公式。
4.实际应用：出示一些实际问题，让学生运用所学知识解决，巩固所学内容。
5.总结：对本节内容进行总结，强化学生的记忆。
七. 说板书设计板书设计主要包括弧长和扇形面积的定义，计算公式以及实际应用。
弧长及扇形面积.新湘教版
解 由图可知，由于∠A′CB′ =60°，则等边
三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，
即∠ACA′ =120°，这说明顶点A经过的 路程长等于AA' 的长. ∵ 等边三角形ABC的边长为10cm， ∴ AA' 所在圆的半径为10cm.
︵
︵
∴ l ︵= 120π 10 = 20 π(cm). AA' 180 3 答：顶点A从开始到结束时所经过的 路程为 20 π c正面的内、外轮廓线. 内 轮廓线由一段圆弧和一条弦AB组成，圆心 为O，半径为3.2cm，圆心角∠AOB=83°， 求内轮廓线的圆弧的长度. 解：
l = (360-83)π× 3.2 = 277× 3.2× π = 1108π (cm) 180 180 225
答：内轮廓线的圆弧的长度为 1108π cm. 225
a 2
A F
E
B
D
C
练习
1. 如图，在圆O中，∠AOB=120°，弦AB的长为 2 3 cm，求扇形OAB的面积. 解：作OM⊥AB 于M. 则 r2= OM2+MB2 2 2+ =(1 r ) （ 3 ） 2 1 2 = 4 r +3 解得 r = 2.
2 2 120 × π × 2 = 4 π(cm ). 所以 S扇形OAB = 360 3
180 r 2 360 90 r 2 360
45 r 2 360
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径 是r，那么扇形面积计算公式为
《弧长与扇形面积 》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (3)
2
3
聪明的同学们一眼就可以看出来了吧。 小黄狗距离原点3米 大白兔距离原点2米 小灰狗距离原点3米
抽象
总结
在数轴上，表示一个数的点与原点的 距 离叫做该数的绝对值〔absolute value)。
你能明白吗？
•想一想 互为相反数的两个数的绝对 值有什么关系？
•一对相反数虽然分别在原点两边， 但 它们到原点的距离是相等的.
S5 8 π 1 .5 25 8 3 .1 4 1 .5 2 1 .1c m 2.
3 6 0
3 6 0
A
58°
·
B
O
练习
如图,圆O中, ∠AOB=120°,弦AB的长为2.6cm, 求扇形OAB的面积(精确到2)
解：由点O做AB的垂线段，垂足为D
那么 AD1AB12.61.3 22
又得∠OAD=30°
那么|a| =________
3. 如果一个数的绝对值等于3.25 ，那么这个数是 _4、如果a 的相反数是-，那么|a| =______
5. 如果|x-1|=2，那么x=______．
练习一:
1.绝对值等于6的数有 -6 和 +6
绝对值是0的数是 0 。
2.比较大小：│－5│ │－8│
│-0.05│
0；
│-3│ 1；
3. 判断〔对的打“√〞，错的打“×〞
〕：
〔1〕一个有理数的绝对值一定是正数。 (
)
〔2〕－1.4<0，那么│－1.4│<0。
()
〔3〕 │－32︱的相反数是32
()
〔4〕 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数
相等
()
〔5〕 互为相反数的两个数的绝对值相等 ( )
2018-2019学年湘教版数学九年级2.6 弧长与扇形面积
2．6 弧长与扇形面积【教学目标】知识与技能掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，会运用弧长及扇形面积公式进行计算． 过程与方法经历弧长及扇形面积公式的推导过程，进一步培养学生探究问题的能力． 情感态度与价值观调动学生的积极性，在组织学生自主探究、相互交流合作学习中培养学生的钻研精神． 教学重点：弧长及扇形面积公式．教学难点：正确理解弧长及扇形面积公式．【导学过程】【知识回顾】圆的周长公式及面积公式是什么？【情景导入】已知⊙O 的半径为R ，⊙O 的周长C ＝2πR ，由于生产、生活实际中常遇到有关弧的长度计算，那么怎样求一段弧的长度呢？【新知探究】探究一、设圆的半径为R ，则：1．圆的周长可以看作__360__度的圆心角所对的弧．2．1°的圆心角所对的弧长是__πR 180__． 3．2°的圆心角所对的弧长是__2πR 180__． 4．4°的圆心角所对的弧长是__4πR 180__． ……5．n °的圆心角所对的弧长是__n πR 180__． (老师点评)根据同学们的解题过程，我们可得到l ＝n 360·2πr ＝n πr 180半径为r 的圆中，n °的圆心角所对的弧长为l ＝n 360·2πr ＝n πr 180请同学们计算半径为3 cm ，圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n °所对的弧长． 探究二、已知圆O 的半径为30 cm ，求40°的圆心角所对的弧长(精确到0.1 cm)探究三、扇形的面积公式如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形问：右图中扇形有几个？答：两个．同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为1°的扇形面积是圆面积的几分之几？进而求出圆心角n 的扇形面积．我们可以把圆看作圆心角为360°的扇形，它的面积即圆的面积S ＝πr 2.因为圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，所以圆心角为1°的扇形能够互相重合，从而圆心角为1°的扇形面积等于圆面积的1360，即πr 2360. 如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为S ＝__n πr 2360__． 因此扇形面积的计算公式为S ＝__n πR 2360__或S ＝__12lR __ 探究四、例1：已知扇形AOB 的半径1.5 cm ，∠AOB ＝58°，求扇形OAB 的面积(结果精确到0.1 cm 2)解：∵r ＝1.5 cm ，n ＝58，∴S 扇形OAB ＝58×π×1.52360≈1.1cm 2. 探究五、例2：这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中OA ＝20 cm ，OC 长为12 cm ，弧CD 长为9π cm ，求贴纸部分的面积解：∵OC ＝12 cm ，l CD ︵＝9π cm ，∴∠COD ＝9π·180°π·OC＝135°. S 贴纸＝S 扇形AOB －S 扇形COD＝135°360°π(AO 2－OC 2) ＝38π(202－122) ＝96π cm 2.【随堂练习】完成课本P 78练习．【课堂小结】本节课你学到了什么？有什么收获和体会？还有什么困惑？1．知识点：弧长、扇形面积的计算公式2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；3．数学思想转化的应用：①转化思想；②整体思想．【课后作业】完成该书本课时的对应练习．。
湘教版九年级数学下册第二章《弧长与扇形面积》精品课件
影部分的面积．
解：连接 OE，∵四边形 ABCD 为正方形，∴S△
ACD＝12AD·CD＝12×42＝8，∠CAB＝45°，∴∠AOE ＝∠EOB＝90°，∴S 扇形 AOE＝39600π·22＝π，S△AOE ＝12OA·OE＝12×22＝2，∴S 阴＝S△ACD－(S 扇形 AOE－S △AOE)＝8－(π－2)＝10－π，∴图中阴影部分的面积 为 10－π.
三、解答题(共 40 分) 12．(12 分)如图，CD 为⊙O 的直径，CD⊥AB 垂 足为 F，AO⊥BC 垂足为 E，AO＝1. (1)求∠C 的大小； (2)求阴影部分的面积．
解：(1)连接 AC.∵AO⊥BC，∴AB＝AC，又∵CD
是直径，CD⊥AB，∴AC＝BC，∴△ABC 是等边三
角形，∴∠BCD＝30°
谢谢观赏
You made my day!
是( D )
17 A.12π
m2
17 B. 6 π
m2
C.245π m2 D.7172π m2
6．(5 分)如图，半径为 1 m，圆心角为 90°的扇
形 OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作半圆，则图中阴
影部分的面积为( C )
A．π m2
2 B.3π
m2
1 C.2
m2
2 D.3
m2
7．(10 分)如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 8．如图，正方形 ABCD 中，分别以 B，D 为圆心， 以正方形的边长 a 为半径画弧，形成树叶形(阴影部分 图案)，则树叶形图案的面积是( C ) A.12π a2 B．a2－12πa C.12πa2－a2 D．a2－14πa2
湘教版九年级下册3.4.1弧长和扇形的面积3教案
3.4.1 弧长和扇形的面积一、复习总结：1、 圆心角定理的推论：在_________中，如果两个圆心角、_______、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
2、 练一练：如图，已知A 、B 、C 、D 是圆O 上的点，，请找出其余相等的几对量 ______________________________。
3、 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于___________的一半。
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是_______，900的圆周角 所对的弦是________。
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的______也相等。
二、新课引入1、已知圆O 的半径是R ，那么圆周长C=________。
2、已知圆O 的半径是R ，那么n 0的圆心角的弧长是多少呢？3、探究：1>圆的半径是R ，把圆分成360份，每份的圆心角______度，所对的弧是_______。
2>n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长______倍。
3>n°圆心角所对的弧长=_________。
结论：在半径为R 的圆中，n°圆心角所对的弧长的公式：练一练：直径为100 cm 的圆弧的度数为，求这条弧的长（结果保留3个有效数字）__________________________________。
4、变式：R=________;_________。
练一练：1>已知半径为5cm 的圆弧长为5 cm,求这条弧所对圆心角的度数（精确到0.10）2>已知圆弧的度数为600，弧长为6.28cm 。
求圆的半径（取3.14）4、 注意：“弧相等”与“弧长相等”是不等价的。
弧相等指是两条弧的度数和长度都相等；反过来，如果两条弧的度数相等，或者两条弧的长度相等，则两条弧不一定相等。
只有在同圆或等圆中，“两条弧的度数相等”，或“两条弧的长度相等”与“两条弧相等”才是等价的。
湘教版九年级多媒体同步课件24-4 弧长和扇形面积 第1课时
(4) 圆心角是n°，占整个周角的
n 360
，因此它
所对的弧长是圆周长的_____36n_0____.
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意 义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算 长一 为算_43__已_.知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧
R
180 °
O
R 90°
O
R 45°
O
R
O
n° R
O
(1) 圆心角是180°，占整个周角的 180 ，因此它 所对的弧长是圆周长的____13_8600_____.360
(2) 圆心角是90°，占整个周角的
9，0 因此它
360
所对的弧长是圆周长的_____396_00____.
(所3)对圆的心弧角长是是45圆°周，长占的整_个__周__346角5_0_的___.3465，0 因此它
r
180 °
O
圆心角占 周角的比例
180 360
90 360
45 360
n 360
r 90°
O
r 45
O°
=
扇形面积占 圆面积的比例
180
1
360
2
90
1
360
4
45
1
360
8
n 360
n° r
O
扇形的 面积
1 r2 2
1 r2 4
1 r2
8 n r2
360
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位 置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？
2016九年级数学下册 2.6 弧长与扇形面积课件 (新版)湘教版
1 A.2
B．2 倍
1 C.4
D．4 倍
11．正三角形 ABC 内接于半径为 2 cm 的圆，则
AB 所对的弧为( D )
24 A.3π B.3π
8 C.3π
4 D.3π
或83π
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 12．(2015·天水)如图，△ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、 弧 EF 的圆心依次是 A，B，C，如果 AB＝1，那么曲 线 CDEF 的长是__4π__．
3．(4 分)如图，⊙O 的半径为 1，A，B，C 是圆周 上三点，∠BAC＝36°，则劣弧 BC 的长是( B )
1234 A.5π B.5π C.5π D.5π
4．(4 分)如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长 线交⊙O 于点 C，连接 BC，若∠ABC＝120°，OC＝3， 则B︵C的长为( B )
＝2 9 3π
15．(14 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC ＝54°，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 D， E，过点 B 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F.
(1)求证：BE＝CE； (2)求∠CBF 的度数； (3)若 AB＝6，求A︵D的长
解：(1)连接 AE，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，即 AE⊥BC，又∵AB＝AC，∴BE＝CE (2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC，∴∠ABC＝63°，又 ∵BF 是⊙O 的切线，∴∠ABF＝90°，∴∠CBF＝ ∠ABF－∠ABC＝27° (3)连接 OD，∵OA＝OD， ∠BAC＝54°，∴∠AOD＝72°，又∵AB＝6，∴OA ＝3，∴A︵D＝72π180×3＝65π
湘教版2.6 弧长与扇形面积1 第2课时 扇形面积
第2课时 扇形面积1．经历扇形的面积公式的探求过程，理解和掌握扇形面积的计算公式；(重点)2．会利用扇形面积的计算公式进行相关的计算．(难点)一、情境导入天气好热呀！你知道图中扇子的面积吗？若已知扇子的圆心角的度数为120°，半径为15cm ，你能求出扇子的面积吗？二、合作探究探究点一：扇形面积的计算一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留π)．解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝n πr 2360＝120·32·π360＝3π.故填3π.方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝12lr ，其中l 是弧长，r 是半径．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习 探究点二：组合图形(阴影部分)的面积 【类型一】 求运动形成的扇形面积如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )A ．π B. 3C.3π4＋32D.11π12＋34解析：在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴BC ＝12AB ＝1.由于这个三角板扫过的图形为扇形BCB 1和扇形ACA 1，∴S 扇形BCB 1＝90·π·12360＝π4，S 扇形ACA 1＝90·π·（3）2360＝3π4，∴S 总＝π4＋3π4＝π.故选A.变式训练：见《课堂点睛》本课时练习 【类型二】 求阴影部分的面积如图，半径为1cm 、圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．πcm 2 B.23πcm 2 C.12cm 2 D.23cm 2解析：设两个半圆的交点为C ，连接OC ，AB .根据题意可知点C 是半圆OA ︵，OB ︵的中点，所以BC ︵＝OC ︵＝AC ︵，所以BC ＝OC ＝AC ，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积．又因为OA ＝OB ＝1cm ，即图中阴影部分的面积为12cm 2.故选C.方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习 三、板书设计教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活运用割补法、转换法等.。
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S扇形OCD = 1 l r = 1 9π 12=54π (m2). 2 2
∴ S弯道ACDB = S扇形OAB - S扇形OCD
= 150π-
54π
= 96π (m2).
答：这条圆弧形弯道的面积为 96π m2 .
2.如图，正三角形ABC的边长为a，分别以A、B、 C 为圆心，以 为半径的圆相切于点D、E、F，求图中阴影部分的面积．
设⊙O的半径为r，即OE=OD=r. ∵∠A+∠B=90°，∠DOB+∠B=90°. ∴ ∠A=∠DOB. 又∵ ∠AEO=∠ODB=90°，
∴△AEO∽△ODB. ∴ OE = AO , BD OB
∴ r =12，
︵ π× 12 =6π . ∴ DE 的长度= 90180
∴
r = 35 - 20 ， 20 400 - r 2
3. 如图，有一直径是20cm的圆形纸片，现从中 剪出一个圆心角是90°的扇形ABC ，求被剪 掉部分的面积. 解：连接BC.
∵ ∠BAC=90°， ∴ BC 是直径. 易求出扇形的半径 AB=10 2cm.
∴ 被剪掉部分的面积为
2 2 90 × π × ( 10 2 ) S = π× 10 = 50π(cm ). 360 2
n nr 50 l 2r = 3 cm 360 180
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
扇形：
如图，由组成圆心角的两条半径 和圆心角所对的弧所围成的图形 叫扇形．
Q
l n° r O
扇 形 面 积 S
怎样计算圆心角是n0 的扇形面积？
圆心角占整个周角的
180 360
所对扇形面积是
M
2. 如图，分别以△ABC的顶点A，B，C为圆心， 以1为半径画圆，求图中绿色部分的面积. 解：设 A= α, B= β, C = γ. 则
2 β× π× 12 γ× π× 12 α × π × 1 S绿 = + + 360 360 360 = (α β γ )× π× 1 360 = 180× π 360 = 1 π. 2
n 1 2 s r 或s lr 360 2
a 2
A F
E
B
D
C
练习
1. 如图，在圆O中，∠AOB=120°，弦AB的长为 2 3 cm，求扇形OAB的面积. 解：作OM⊥AB 于M. 则 r2= OM2+MB2 2 2+ =(1 r ) （ 3 ） 2 1 2 = 4 r +3 解得 r = 2.
2 2 120 × π × 2 = 4 π(cm ). 所以 S扇形OAB = 360 3
问题探究：
上面求的是的圆心角900所对的弧长，若 圆心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为 1800、900、450、n0所对的弧长。
图 23.3.2
圆心角占整个周角的
180 360
所对弧长是
180 2r 360
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
90 2r 360
图 23.3.2
45 360 n 360
45 2r 360
n 2r 360
图 23.3.2
结论：
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r， 那么，弧长的计算公式为：
n nr l 2r 360 180
练一练： 已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求 此圆弧的长度。 解：
24.4弧长和扇形面积
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨 的半径为100米，圆心角为90°．你能求 出这段铁轨的长度吗?
解:∵圆心角900
1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 则铁轨长是
图 23.3.1
1 2 100 50米 4
练习
1. 如图是一个闹钟正面的内、外轮廓线. 内 轮廓线由一段圆弧和一条弦AB组成，圆心 为O，半径为3.2cm，圆心角∠AOB=83°， 求内轮廓线的圆弧的长度. 解：
l = (360-83)π× 3.2 = 277× 3.2× π = 1108π (cm) 180 180 225
答：内轮廓线的圆弧的长度为 1108π cm. 225
180 r 2 360 90 r 2 360
45 r 2 360
90 图 23.3.2 360
图 23.3.2
45 360 n 360
ห้องสมุดไป่ตู้
图 23.3.2
n r 2 360
图 23.3.2
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆半径 是r，那么扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇 形 面 积 S
n 2 s r 360 nr r 1
180
lr 2 2
n 1 2 s r 或s lr 360 2
例2 如图所示，一个边长为10cm的等边三角形木 板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向 旋转到△A′B′C的位置，求顶点A从开始到结 束所经过的路程为多少.
OA=20m， 例4 如下图是一条圆弧形弯道，已知 ︵ OC=12m， CD 的长度为9πm，求圆弧形弯道 的面积.
解 设∠AOB=n°，
∵ OC=12m， CD 的长度为9πm，
∴ 9π = nπ12, 180 解得n=135°，即圆心角∠COD=135°.
︵
2 135 π 20 =150π(m2). ∴ S扇形OAB = 360
又已知该比赛场地的周界是34m，
34 ∴ r =10.0(m). 3.4
例3 如图，圆O的半径为1.5cm，圆心角 ∠AOB=58°，求扇形OAB的面积. (精确到0.1cm2).
解 因为r=1.5cm，n=58，
所以扇形OAB的面积为
2 58 × π × 1.5 S= 360 2 58 × 3.14 × 1.5 ≈ 360 ≈ 1.1(cm2).
2. 如图，一块铅球比赛场地是由一段80°的圆心角 所对的圆弧和两条半径围成的，若该比赛场地的 周界是34 m，求它的半径OA长（精确到0.1m）.
解 设半径OA的长为r. 则根据题意，该比赛场地 的周界为 l AB + 2r = 80· π · r + 2r = 4 π · r+ 2r 3.4r(m). ︵ 180 9
练习：
1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇 23 形的面积等于这个扇形所在圆的面积的 36 2 2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个 扇形的圆心角的度数是_________ 240° °.3
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形 2s 的弧长是
r
例1 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10厘 米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
中考 试题
例
如图，直角三角形ABC的斜边AB=35， 点O在AB边上，OB=20，一个以O为圆心的 圆，分别切两直角边 BC，AC于D、E两点， ︵ 求 DE的长度.
连接OE、OD， ∵⊙O切BC、AC于点D、E， ∴OD⊥BC，OE⊥AC. ∵∠C=90°， ∴四边形OECD为矩形， ∠EOD=90°， OE=OD.
解 由图可知，由于∠A′CB′ =60°，则等边
三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，
即∠ACA′ =120°，这说明顶点A经过的 路程长等于AA' 的长. ∵ 等边三角形ABC的边长为10cm， ∴ AA' 所在圆的半径为10cm.
︵
︵
∴ l ︵= 120π 10 = 20 π(cm). AA' 180 3 答：顶点A从开始到结束时所经过的 路程为 20 π cm. 3
nr 2 60 3.14102 S ≈52.33(平方厘米)； 360 360
扇形的周长为
l nr 60 3.14 10 2r 20 180 180
图 23.3.5
≈ 30.47（厘米）。
一、弧长的计算公式
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式