2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)简单的三角恒等变换(含解析)介绍
【三维设计】2016届(新课标)高考数学(文)大一轮复习课件：第3章 第六节 简单的三角恒等变换
解：(1)由
5π 3 f12 ＝ ，得 2
2π 3 Asin ＝ ， 3 2
2π 3 又 sin ＝ ，∴A＝ 3. 3 2
(2)由(1)得 f(x)＝
π 3sinx＋ 4 ，
π π 3 3 由 f(θ)＋f(－θ)＝ ，得 3sinθ＋4 ＋ 3sin－θ＋4 ＝ ， 2 2 π 6 化简得 cos θ＝ ，∵θ∈0， 2 ， 4
∴sin θ＝ 1－cos θ＝ 故
3π f 4 －θ＝
2
1－
10 6 2 ＝ ， 4 4 3sin θ
3π π 3sin 4 －θ＋4 ＝
10 30 ＝ 3× ＝ . 4 4
角度二：给角求值
3 1 2．(2015· 衡水中学二调) － ＝ cos 10° sin 170° A．4 C．－2 B． 2 D．－4
1 2cos x－2cos x＋ 2 2．化简： π π . 2tan4－xsin24＋x
4 2
1 －2sin xcos x＋ 2 解：原式＝ π π 2 2sin4－xcos 4－x π cos4－x
2 2
1 1 2 2 1－sin 2x cos 2x 2 2 1 ＝ π π ＝ π ＝2cos 2x. 2sin4－xcos4 －x sin2－2x
12 ＝ . 9 5 1－ 4
考点一
三角函数式的化简 (基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
sin 2α－2cos2α 2 2cos α 1．化简： ＝ __________. π sinα－4
2sin αcos α－2cos2α 解析：原式＝ ＝2 2cos α. 2 sin α－cos α 2
简单的三角恒等变换(教案)
简单的三角恒等变换(一)张掖中学 宋娟一、教学目标知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用；过程与方法：通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、方程、逆向使用公式的数学思想，提高学生推理能力；情感、态度与价值观：通过例题的讲解，让学生体会化归、变形使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生推理能力. 二、教学重、难点教学重点：利用公式进行简单的恒等变换；教学难点：利用倍角公式推出半角公式，并利用变形的方法解决问题. 三、教学方法：探究式教学法. 四、教学类型：新授课. 五、教学内容复习引入(学生组织完成)问题1：和差角的正弦、余弦、正切公式(六个)； 问题2：二倍角的正弦、余弦、正切公式(三个)； 问题3：二倍角的变形公式(四个). 新课讲解思考1(学生组织完成)：如何用cos α表示222sin cos tan 222ααα、、？分析：观察α与2α的关系是2倍的关系，所以我们要利用刚刚学过的二倍角的变形公式.解：α是2α的二倍角.在倍角公式2cos 212sin αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 12sin 2αα=-，所以21cos sin 22αα-=； ①在倍角公式2cos 22cos 1αα=-中，以α代替2α，以2α代替α，即得2cos 2cos 12αα=-，所以21cos cos 22αα+=. ②将①②两个等式的左右两边分别相除，即得21cos tan 21cos ααα-=+.思考2：若已知cos α，如何计算sincos tan 222ααα、、？sincos tan 222ααα=== (半角公式) 强调：“±”号由2α所在象限决定. 例1：已知5sin 13α=，且2παπ<<，求tan 2α的值.解512sin cos 13213,tan24222tan tan 522πααπαππαπααπαα=<<∴=-<<∴<<∴>=====因为且又由公式例2 求证sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 证明22sin sin2cossin sin 222tan21cos cos cos 2cos 2cos 2222sin sin 2sin 2sin1cos 2222tan2sin sin coscos2sin222αααααααααααααααααααααα⋅====+⋅⋅-====⋅利用例2的结论，再做一下例1，比较两种方法.例3 已知3sin 25θ=，022πθ<<，求22cos sin 12)4θθπθ--+.分析：由降幂公式知22cos 1cos 2αα=+，故有cos sin cos sin θθθθ-=+原式 ﹡ 此处有两种处理方法：方法一、由已知求出cos sin θθ、的值，带入﹡式计算，即可得到结果; 方法二、由﹡继续变形，将半角化为倍角进行计算. 解法一22cos sin......cos sin020cos0,sin02434sin2,02cos2525cos212sin2cos1sin121010θθθθππθθθθπθθθθθθθθ-=*+<<∴<<∴>>=<<==-=-∴==**==原式由由得又带入式得解法二222cos sincos sin(cos sin)(cos sin)(cos sin)12sin cos1sin2......cos sin cos234sin2,02cos252532115544255θθθθθθθθθθθθθθθθπθθθ-=+-=+---==*-=<<=*-*==原式由得带入式得=小结：对于例3，我们从不同角度出发，解法一先利用倍角计算半角，再带入求值，解法二先利用半角化为倍角，再带入求值.在三角恒等变换中,正所谓“条条大路通罗马”.在以后的学习当中，此类问题是三角恒等变换中常见的问题.万丈高楼平地起，在此告诫同学们，基础知识的理解和必要的记忆是很重要的，所以在以后的学习中，不管题目如何变化，都有一个固定的解题理论，那就是我们的倍角公式，及其逆用，掌握好了基础的理论知识，不管题目如何变化，我们都能将他们各个击破.所谓“咬定青山不放松，任尔东南西北风”.下面我们来分小组讨论一下这一个问题：(练一练)化简22221sin sin cos cos cos2cos22αβαβαβ⋅+⋅-⋅.分析：1.从“角”入手,倍角化半角;2.从“幂”入手,利用降幂公式将次;3.从“形”入手,利用配方法.本题目至少有6种解法，请同学们讨论完成.课堂小结三个数学方法1.从“角”入手,倍角化半角(半角化倍角);2.从“幂”入手,利用降幂公式将次(利用升幂公式升次);3.从“形”入手,利用配方法(分母有理化、分子有理化).两个人生哲理1.条条大路通罗马;2.咬定青山不放松，任尔东南西北风.布置作业习题3.2A组1(1)、(2)、(4)、(5)课后反思。
2.3《简单的三角恒等变换》教学设计
2.3简单的三角恒等变换【教学目标】1．能运用两角差的余弦公式推导出两角差与和的正弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式.2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式推导出半角公式，万能公式以及积化和差与和差化积公式，了解它们的内在联系.3．能运用上述公式进行简单的恒等变换，增强学习的积极性，避免对公式的生搬硬套，培养学生的探究意识和严谨的思维品质.【教学重点】推导出半角公式，万能公式以及积化和差与和差化积公式.【教学难点】灵活运用上述公式进行简单的恒等变换.【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．【教学手段】多媒体平台．【核心素养】数学抽象，数学运算，逻辑推理．【教学过程】一、创设情境，引入课题复习回顾：我们刚刚学习了两角差与和的正弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，同学们还能回顾一些这些公式的源头是谁吗？我们从哪个公式作为逻辑推理的起点的呢？没错，就是从向量的数量积推导出两角差的余弦公式，进而一步步得到了后续的公式，我们今天要学习的内容也是建立在前面内容的基础上，进行新的探究和推导.将一个三角函数式变为与之恒等的其他三角函数式的变换过程,称为三角恒等变换. 进行三角恒等变换时,一般要使用三角函数间的关系式,除了我们刚刚学过的那些公式，还有下面要推导的半角公式：二、归纳探索，形成概念半角公式首先提问同学，上节课学习的二倍角公式：再由老师板书：二倍角公式：αααcos sin 22sin =；ααα2tan 1tan 22tan -=ααα22sin cos 2cos -=1cos 22-=αα2sin 21-=在数学研究中，公式经常要灵活理解和运用，比如我们这两节课的学习内容：倍角公式和半角公式，“倍”与“半”都是相对而言的。
结合刚刚复习的倍角公式，你能由αcos 推导出2tan ,2cos ,2sin ααα的数值吗？给同学们一点的时间思考，提问：运用倍角公式，看看能不能得出什么新的关系式？请一位学生回答，由老师板书推导过程：我们从余弦的倍角公式入手，很容易得到正弦的半角公式.下面再给同学们1分钟的时间思考，提问：能不能仿照这个推导过程，得到余弦的半角公式呢？请一位学生回答，由老师板书推导过程：而根据同角三角函数关系，正切的半角公式是不是也就水到渠成了呢？再请一位学生回答，由老师板书推导过程：同学们都应该已经完成了，我们现在得到了正弦、余弦和正切的半角关系式，只不过它们还是平方的形式，我们将上面的三个等式左右两端分别开平方，可得由老师板书：我们就得到了三组半角公式.由于是开平方，具体的正负号，要根据半角所在的象限来判断.我们除了学习数学知识，更要学会通过现象看本质.相信细心的同学不难发现，半角公式和倍角公式实质上是对同一公式的不同变形.三、运用公式，适当延展例1.如果|cos θ|=，＜θ＜3π，求sin 的值？ 解: 根据＜θ＜3π可知角θ是第二象限角，其余弦值为负，即cos θ=-，而＜＜，是为第三象限角，正弦值为负，于是利用半角公式即得结果-.这道题就是要求同学们注意半角的范围，进而确定所求三角函数值的符号.例2已知α∈(−π2,0)，cosα=45，求tan α2的值？ 解：由α∈(−π2,0)及cosα=45，得到sinα=−35， 故tan α2=sinα1+cosα=−351+45=−13． 可以在讲解时，引出这个解法，呼应教材中的例25125π2θ25π5145π2θ23π515积化和差与和差化积公式在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或者差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式，这应如何转化呢？借鉴前面通过两个单位向量的数量积得出差角余弦公式的思路，我们继续尝试用向量的方法来探讨如何将三角函数的和或差转化为积的形式：我们下来就用和角与差角公式来证明.请一位学生回答，由老师板书推导过程：我们通过设两个参数来帮助我们的推导：由老师板书推导过程：类似地我们还可以证明：将上述四个公式称为和差化积的公式.例3：给同学们1分钟的时间思考，类比我们刚刚推导和差化积公式的思路，利用和角与差角公式能不能得到证明过程呢？提问同学，由老师板书推导过程：刚刚例题的结论实质上就是积化和差公式中的两个，剩下的两个同学们自己证明，给大家一点提升：将sin(α+ β)和sin(α-β)两组公式分别相加减，你还能得出哪些结论呢？下面，我们利用这节课所学的公式，证明下面这个问题：例4：观察一下等式两段，右边式子式三次的，我们一时间不好寻找突破口；所以我们从等式左边入手，发现了两个余弦之和的形式，可以尝试运用和差化积的公式进行推导：同时我们也利用三角形内角和的关系，将C转化为A+B的形式：四、归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．总结：1.半角公式：2.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 3.和差化积公式：设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y 2，β＝x －y 2.上面的四个式子可以写成，sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y 2cos x －y 2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cos x ＋y 2cos x －y 2； cos x －cos y ＝－2sin x ＋y 2sin x －y 2. 在这一节课中，主要学习了半角公式，积化和差与和差化积公式，学习了它们的推导过程.对于我们所学的这些三角公式，同学们一定要在理解的基础上去记忆，多在课下进行推导，才能熟练运用这些公式解决问题.作业。
高三数学一轮复习三角恒等变换及应用教案
三角恒等变换及应用tan tan 1tan tan αβα±ααcos ；αα2sin -tan α。
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
二．典例分析(2011·广东高考)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．(1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65.即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝1665. 由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．以题试法1．(1)已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.(2)(2012·济南模拟)已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－7解析：(1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 答案：(1)－75(2)B三角函数公式的逆用与变形应用典题导入(2013·德州一模)已知函数f (x )＝2cos 2x2－3sin x .(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α的值． (1)∵f (x )＝2cos 2x 2－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，∴周期T ＝2π，f (x )的值域为．(2)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13.∵α为第二象限角，∴sin α＝223.∴cos 2α1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223－23＝1－222.由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．以题试法2．(1)(2012·赣州模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( )A.45B.35 C.32D.35(2)若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．解析：(1)由条件得32sin α＋32cos α＝435， 即12sin α＋32cos α＝45. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝45.(2)－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2， 即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2角 的 变 换典题导入(1)(2012·温州模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.(2)(2012·江苏高考)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．(1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2. 故tan(β－2α)＝tan ＝tan β－α－tan α1＋tan β－αtan α＝－2－21＋－2×2＝43.(2)因为α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝725， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝2425×22－725×22＝17250. (1)43 (2)17250由题悟法1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝12；β＝12；π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；α＝π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α. 以题试法3．设tan ()α＋β＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.1318 B.1322C.322D.16解析：选C tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x . 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cosα2 ＝cos2α2－sin2α2sin α2·co s α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－α2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos α2cos αcosα2＝2sin α.法二：原式＝1－tan2α2tanα2·⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos α·co sα2＝2sin α.三角函数式的求值典题导入(1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.(1)原式＝sin30°＋17°－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin ＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2.∴2α＋β＝π. (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值． 解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×22＝－31010.三角恒等变换的综合应用典题导入(2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：2－2＝0.(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45， cos βcos α－sin βsin α＝－45. 两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合．解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )． 故函数f (x )的零点的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，tan tan 1tan tan αβα±ααcos ； αα2sin -tan α。
高三数学第一轮复习 解三角形教案
高三数学第一轮复习解三角形教案三角形是几何学中研究的一个重要的图形，它拥有许多特征和性质，因此在数学中被广泛地研究和应用。
在高三数学第一轮复习中，对于三角形的解题方法和相关知识的掌握是非常重要的。
本文将为大家介绍三角形的基本概念、常用定理和解题技巧。
一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，其中任意两条线段的长度之和大于第三条线段的长度。
2. 三角形的分类：(1) 根据边长分类：等边三角形、等腰三角形、一般三角形。
(2) 根据角度分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
(3) 根据边角关系分类：外角、内角、对角、邻角等。
3. 三角形的元素：三角形的边、角和顶点。
二、三角形的常用定理1. 三角形内角和定理：一个三角形的三个内角的和为180°。
2. 直角三角形的性质：(1) 斜边平方等于两直角边平方和的定理（勾股定理）。
(2) 直角三角形内角的关系：直角对顶角为90°，直角三角形的其它两个内角为锐角。
三、三角形的解题技巧1. 判断三角形的类型：(1) 根据边长关系判断三角形的类型：边长相等的三角形为等边三角形，两边相等的三角形为等腰三角形，其余为一般三角形。
(2) 根据角度关系判断三角形的类型：有一个角大于90°的三角形为钝角三角形，有一个角等于90°的三角形为直角三角形，其余为锐角三角形。
2. 运用三角形的性质和定理解题：(1) 利用三角形内角和定理解决求角度的问题。
(2) 运用勾股定理解决用已知信息求三角形边长的问题。
(3) 利用等腰三角形的性质解决求角度或边长的问题。
四、三角形解题的思路1. 首先，根据问题中给出的已知条件判断三角形的类型，并利用已知信息列写方程。
2. 其次，根据三角形的性质和定理对三角形进行推导和运算，求解未知量。
3. 最后，验证解答的合理性，并作出结论。
通过掌握三角形的基本概念、常用定理和解题技巧，我们不仅可以更好地理解三角形的属性和性质，还能够灵活运用这些知识解决实际问题。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换1
第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。
高三数学一轮复习教案：第六节 简单的三角恒等变换
第六节 简单的三角恒等变换教学目标知识与技能：掌握解三角函数的给值求值问题的基本步骤。
过程与方法：能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).情感与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．授2课时【课 题】 第六节 简单的三角恒等变换【授课时间】 2020年 月 日 班级：高三（ ）班【教学目标】 能运用公式进行简单的恒等变换【教学重点】三角函数式化简的方法，即，弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．【教学难点】进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；【课 型】 辅导课【教学用具】 班班通【教学方法】 讲练结合法，讨论法，分析法【教学过程】初次备课二次备课一、德育教育：二、预习检测：化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( ) A ．－2 B ．－12 C ．－1 D ．1三、新课引入：用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2si n αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.四、新课讲授：1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，则sin α的值为( ) A 817， B.153＋834 ， C.15－8334 ，D.15＋8334解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，所以α－π3∈⎝⎛⎭⎫π6，π2是锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＞0，cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1－⎝⎛⎭⎫15172＝817，所以sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3sin π3＝1517×12＋817×32＝15＋8334.故选D. 答案：D 2．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A ．－79 B ．－29 C. 29 D.79答案：A3．若sin 80°＝m ，则用含m 的式子表示cos 5°＝ . 答案： m ＋121．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( ) A ．1 B.3 C.2 D ．2解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，故选C. 答案：C 2．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A ．－14 B.14 C ．－18 D.18解析：cos 2x ＝2cos 2x －1＝18. 答案：D 3．(2020·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝。
简单的三角恒等变换教案
简单的三角恒等变换教案（一）一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．三、教学设想：（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式（二）新课讲授：1、由二倍角公式引导学生思考：2αα与有什么样的关系？学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台． 例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+． 思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例2．已知135sin =α，且α在第三象限，求2tan α的值。
2.3《简单的三角恒等变换》教案
2.3《简单的三角恒等变换》所以OC 是∠AOB 的平分线， 因而θ=α+β−α2=α+β2。
故OC=(rcos α+β2,rsinα+β2).又r=|OC|=2|OB|cos ∠COB =2cosβ−α2=2cosα−β2所以OC=(2cosα−β2cos α+β2,2cosα−β2sinα+β2)于是，根据平面向量基本定理可得 cos α+cos β=2cos α−β2cos α+β2 sin α+sin β=2cosα−β2sinα+β2这个公式是否对任意角α,β都成立？ 除了通过几何图形可以得到公式， 你还有其他方法吗？ 方法二：我们用字母A,B 来表示α+β2,α−β2.设A=α+β2,B=α−β2.则A+B=α,A-B=β.于是cos α+cos β=cos(A+B)+cos(A-B)=cosAcosB-sinAsinB+cosAcosB+sinAsinB=2cosAcosB =2cosα−β2cosα+β2cos α-cos β=cos(A+B)-cos(A-B)左右两边分别相减，得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ.将上式两边同除以-2，得[cos(α+β)-cos(α-β)].s inαs inβ=-12前面学习的和差化积公式，均是cosα±cosβ以及sinα±sinβ的形式，现在我们来学习如何对sin x+ cos x这种形式进行三角恒等变换。
为了找到变换思路，我们先借助计算机画出函数y= sin x+cos x的部分图象，如图。
通过观察，可以发现图与正弦函数y=Asin(w x+φ)的图象很相似。
于是，我们可以猜测:是否存在某个正数A和角φ，使得y= sin x+cos x可化为y=Asin(w x+φ)的形式，即能否找到某个正数A和角φ，使sin x+cos x=Asin(w x+φ)成立?由和角公式可得Asin(x+φ)=A(sin x cosφ+cos x sinφ)。
新人教A版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形简单的三角恒等变换教案理解析版
基础知识整合１．两角和与差的正弦、余弦和正切公式２．二倍角的正弦、余弦、正切公式１．降幂公式：cos２α＝错误!，sin２α＝错误!.２．升幂公式：１＋cos２α＝２cos２α，１—cos２α＝２sin２α.３．公式变形：tanα±tanβ＝tan（α±β）（１∓tanα·tanβ）．４．辅助角公式：asinx＋bcosx＝错误!sin（x＋φ），其中sinφ＝错误!，cosφ＝错误! .１．（２0１8·全国卷Ⅲ）若sinα＝错误!，则cos２α＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!答案B解析cos２α＝１—２sin２α＝１—错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0１9·吉林模拟）若sin（π—α）＝错误!，且错误!≤α≤π，则sin２α的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析∵sin（π—α）＝错误!，即sinα＝错误!，又错误!≤α≤π，∴cosα＝—错误!＝—错误!，∴sin２α＝２sinαcosα＝—错误!.３．（２0１6·全国卷Ⅲ）若tanθ＝—错误!，则cos２θ＝（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析解法一：cos２θ＝cos２θ—sin２θ＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．解法二：由tanθ＝—错误!，可得sinθ＝±错误!，因而cos２θ＝１—２sin２θ＝错误!.４．（２0１9·南宁联考）若角α满足sinα＋２cosα＝0，则tan２α＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!答案D解析由题意知，tanα＝—２，tan２α＝错误!＝错误!.故选Ｄ．５．若函数f（x）＝（１＋错误!tanx）cosx,0≤x<错误!，则f（x）的最大值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．错误!＋１Ｄ．错误!＋２答案B解析f（x）＝错误!cosx＝cosx＋错误!sinx＝２sin错误!，∴当x＝错误!时，f（x）取得最大值２．6．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知α∈错误!，tanα＝２，则cos错误!＝________.答案错误!解析cos错误!＝cosαcos错误!＋sinαsin错误!＝错误!（cosα＋sinα）．又由α∈错误!，tanα＝２，知sinα＝错误!，cosα＝错误!，∴cos错误!＝错误!×错误!＝错误!.核心考向突破考向一三角函数的化简例１（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝２cos２x—sin２x＋２，则（）Ａ．f（x）的最小正周期为π，最大值为３Ｂ．f（x）的最小正周期为π，最大值为４Ｃ．f（x）的最小正周期为２π，最大值为３Ｄ．f（x）的最小正周期为２π，最大值为４答案B解析根据题意，有f（x）＝错误!cos２x＋错误!，所以函数f（x）的最小正周期为T＝错误!＝π，且最大值为f（x）max＝错误!＋错误!＝４．故选Ｂ．（２）（２0１8·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝错误!的最小正周期为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．πＤ．２π答案C解析由已知得f（x）＝错误!＝错误!＝sinxcosx＝错误!sin２x，f（x）的最小正周期T＝错误!＝π.故选Ｃ．触类旁通三角函数式化简的常用方法（１）异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．２异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.３异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练１．（２0１7·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝错误!sin错误!＋cos错误!的最大值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析∵f（x）＝错误!sin错误!＋cos错误!＝错误!sin错误!＋cos错误!＝错误!sin错误!＋sin错误!＝错误!sin错误!＋sin错误!＝错误!sin错误!，∴当x＝错误!＋２kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值错误!.故选Ａ．２．函数y＝sinxcosx＋错误!cos２x—错误!的最小正周期是（）Ａ．２πＢ．πＣ．错误!Ｄ．错误!答案B解析∵y＝错误!sin２x＋错误!·错误!—错误!＝错误!sin２x＋错误!cos２x＝sin错误!，∴此函数的最小正周期是T＝错误!＝π.考向二三角函数的求值角度错误!给值求值例２（１）（２0１9·汕头模拟）已知tan错误!＝３，则cosα＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!答案B解析cosα＝cos２错误!—sin２错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.故选Ｂ．（２）（２0１8·全国卷Ⅱ）已知sinα＋cosβ＝１，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝________.答案—错误!解析解法一：因为sinα＋cosβ＝１，cosα＋sinβ＝0，所以（１—sinα）２＋（—cosα）２＝１，所以sinα＝错误!，cosβ＝错误!，因此sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝错误!×错误!—cos２α＝错误!—１＋sin２α＝错误!—１＋错误!＝—错误!.解法二：由（sinα＋cosβ）２＋（cosα＋sinβ）２＝１，得２＋２sin（α＋β）＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.（３）（２0１9·重庆检测）已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝错误!，则tan错误!＝________.答案—错误!解析因为sinα＋cosα＝错误!，α是第四象限角，所以sinα＝—错误!，cosα＝错误!，则tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.触类旁通给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.即时训练３．（２0１8·江苏高考）已知α，β为锐角，tanα＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!.（１）求cos２α的值；（２）求tan（α—β）的值．解（１）因为tanα＝错误!，tanα＝错误!，所以sinα＝错误!cosα.因为sin２α＋cos２α＝１，所以cos２α＝错误!，所以cos２α＝２cos２α—１＝—错误!.（２）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）．又因为cos（α＋β）＝—错误!，所以sin（α＋β）＝错误!＝错误!，因此tan（α＋β）＝—２．因为tanα＝错误!，所以tan２α＝错误!＝—错误!.因此tan（α—β）＝tan[２α—（α＋β）]＝错误!＝—错误!.角度错误!给角求值例３（１）（２0１9·浙江模拟）tan70°＋tan５0°—错误!tan70°·tan５0°的值等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!答案D解析因为tan１２0°＝错误!＝—错误!，所以tan70°＋tan５0°—错误!tan70°·tan５0°＝—错误!.故选Ｄ．（２）（２0１8·衡水中学二调）错误!—错误!＝（）Ａ．４Ｂ．２Ｃ．—２Ｄ．—４答案D解析错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—４．触类旁通该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值.即时训练４．（２0１9·九江模拟）化简错误!等于（）Ａ．—２Ｂ．—错误!Ｃ．—１Ｄ．１答案C解析错误!＝错误!＝错误!＝—１．５．（２0１9·上海模拟）计算错误!＝________.答案—４解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—４．角度错误!给值求角例４（１）（２0１9·四川模拟）若sin２α＝错误!，sin（β—α）＝错误!，且α∈错误!，β∈错误!，则α＋β的值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!或错误!Ｄ．错误!或错误!答案A解析因为α∈错误!，所以２α∈错误!，又sin２α＝错误!，所以２α∈错误!，α∈错误!，所以cos２α＝—错误!.又β∈错误!，所以β—α∈错误!，故cos（β—α）＝—错误!，所以cos（α＋β）＝cos[２α＋（β—α）]＝cos２αcos（β—α）—sin２αsin（β—α）＝—错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!，又α＋β∈错误!，故α＋β＝错误!.选Ａ．（２）已知α，β∈（0，π），且tan（α—β）＝错误!，tanβ＝—错误!，则２α—β的值为________．答案—错误!解析∵tanα＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!>0，∴0<α<错误!.又∵tan２α＝错误!＝错误!＝错误!>0，∴0<２α<错误!，∴tan（２α—β）＝错误!＝错误!＝１．∵tanβ＝—错误!<0，∴错误!<β<π，—π<２α—β<0，∴２α—β＝—错误!.触类旁通通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则（１）已知正切函数值，则选正切函数．即时训练6．（２0１9·福建漳州八校联考）已知锐角α的终边上一点P（sin４0°，１＋cos４0°），则α等于（）Ａ．１0°Ｂ．２0°Ｃ．70°Ｄ．80°答案C解析由题意得tanα＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选Ｃ．7．（２0１9·江苏徐州质检）已知cosα＝错误!，cos（α—β）＝错误!，且0<β<α<错误!，则β的值为________．答案错误!解析∵0<β<α<错误!，∴0<α—β<错误!.又∵cos（α—β）＝错误!，∴sin（α—β）＝错误!＝错误!.∵cosα＝错误!，0<α<错误!，∴sinα＝错误!，∴cosβ＝cos[α—（α—β）]＝cosαcos（α—β）＋sinαsin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.∵0<β<错误!，∴β＝错误!.考向三三角恒等变换的综合应用例５（２0１9·广东模拟）已知函数f（x）＝错误!２—２sin２错误!.（１）若f（x）＝错误!，求sin２x的值；（２）求函数F（x）＝f（x）·f（—x）＋f２（x）的最大值与单调递增区间．解（１）由题意知f（x）＝１＋sinx—（１—cosx）＝sinx＋cosx，又∵f（x）＝错误!，∴sinx＋cosx＝错误!，∴sin２x＋１＝错误!，∴sin２x＝错误!.（２）F（x）＝（sinx＋cosx）·[sin（—x）＋cos（—x）]＋（sinx＋cosx）２＝cos２x—sin２x＋１＋sin２x＝cos２x＋sin２x＋１＝错误!sin错误!＋１，当sin错误!＝１时，F（x）取得最大值，即F（x）max＝错误!＋１．令—错误!＋２kπ≤２x＋错误!≤错误!＋２kπ（k∈Z），∴kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z），从而函数F（x）的最大值为错误!＋１，单调递增区间为错误!（k∈Z）．触类旁通三角恒等变换的应用策略（１）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．２把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin x＋φ，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.即时训练8．（２0１9·贵阳模拟）已知函数f（x）＝cosx·sin错误!—错误!cos２x＋错误!，x∈R.（１）求f（x）的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；（２）求f（x）的闭区间错误!上的最大值和最小值．解（１）由已知，有f（x）＝cosx·错误!—错误!cos２x＋错误!＝错误!sinx·cosx—错误!cos２x＋错误!＝错误!sin２x—错误!（１＋cos２x）＋错误!＝错误!sin２x—错误!cos２x＝错误!sin错误!.所以f（x）的最小正周期T＝错误!＝π.由２x—错误!＝错误!＋kπ（k∈Z）得对称轴方程为x＝错误!＋错误!（k∈Z）；由２x—错误!＝kπ（k∈Z）得x＝错误!＋错误!（k∈Z），∴对称中心坐标为错误!（k∈Z）．（２）由x∈错误!得２x—错误!∈错误!，则sin错误!∈错误!，即函数f（x）＝错误!sin错误!∈错误!.所以函数f（x）在闭区间错误!上的最大值为错误!，最小值为—错误!.１．（２0１9·海口模拟）４cos５0°—tan４0°＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!—１答案C解析４cos５0°—tan４0°＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.２．设α为锐角，若cos错误!＝错误!，则sin错误!的值为________．答案错误!解析cos错误!＝错误!，α为锐角，则α＋错误!为锐角，sin错误!＝错误!，由二倍角公式得sin２错误!＝错误!，cos２错误!＝错误!，所以sin错误!＝sin错误!＝sin２错误!cos错误!—cos２错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答题启示角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差，倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．对点训练１．已知tan（α＋β）＝—１，tan（α—β）＝错误!，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．３Ｄ．—３答案A解析错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．（２0１9·合肥模拟）计算：tan２0°＋４sin２0°＝________.答案错误!解析原式＝错误!＋４sin２0°＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.。
高考数学一轮复习 专题21 简单的三角恒等变换教学案 文
专题21 简单的三角恒等变换1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).1．公式的常见变形 (1)1＋cos α＝2cos 2α2； 1－cos α＝2sin2α2； (2)1＋sin α＝(sin α2＋cos α2)2；1－sin α＝(sin α2－cos α2)2.(3)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.高频考点一 三角函数式的化简与求值例1、(1)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝______________________________________________________________.答案 (1)12cos2x (2)268解析 (1)原式＝124x －4cos 2x ＋2×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos α＝213，sin α＝313，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22α＋cos αα＋cos α2＋2α－sin 2α＝268. 【感悟提升】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．【变式探究】(1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9等于( )A ．－18B ．－116C.116D.18(2)若1＋cos2αsin2α＝12，则tan2α等于( )A.54B ．－54C.43D ．－43答案 (1)A (2)D解析 (1)原式＝cos π9·cos 29π·cos(－3π＋49π)＝－cos π9·cos 29π·cos 49π·sinπ9sinπ9＝－12sin 29π·cos 29π·cos 49πsinπ9＝－18sin 89πsinπ9＝－18.(2)1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43. 高频考点二 三角函数的求角问题 例2、(1)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( ) A.3π4B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a ＞1)的两根分别为tan α、tan β，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( ) A.π8 B ．－3π4C.π8或－3π8D.π4或－3π4答案 (1)C (2)B【感悟提升】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： (1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则选正弦较好．【变式探究】 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6(2)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4答案 (1)C (2)A解析 (1)∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22. ∴β＝π4.(2)由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.高频考点三 三角恒等变换的应用例3、已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，f π＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.【感悟提升】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．【变式探究】(1)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． (2)函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是________．答案 (1)1 (2)π解析 (1)因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)， －1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1. (2)f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x ) ＝22sin2x ＋22cos2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π.1.【2016高考新课标2理数】若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.2.【2016高考新课标3理数】若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A 【解析】3.【2016年高考四川理数】22cossin 88ππ-= .【解析】由二倍角公式得22cossin 88ππ-=cos42=π【2015高考四川，理12】=+ 75sin 15sin .【答案】2.【解析】法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=. 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos30+=-++==.法三、6sin15sin 75442-+=+=. 【2015高考浙江，理11】函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ． 【答案】π，]87,83[ππππk k ++，Z k ∈. 【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-. 【解析】(I) 由已知，有1cos 21cos21113()cos22cos2222222x x f x x x x π⎛⎫--⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭112cos2sin 2426x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，11(),(),()34624f f f πππ-=--=-=，所以()f x 在区间[,]34p p-最小值为12-.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p （2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. 【解析】（2）当2[,]63x ππ∈时，有023x ππ≤-≤，从而当0232x ππ≤-≤时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当223x πππ≤-≤时,即52123x ππ≤≤时，()f x 单调递减， 综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减. （2014·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．【答案】43【解析】 如图所示，根据题意，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan∠APB ＝2tan∠OPA 1－tan 2∠OPA ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43. （2014·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，2]（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. （2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·s in ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.（2014·北京卷）如图12，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC＝17. (1)求sin∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图12【解析】(1) 在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝4 37.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝4 37×12－17×32＝3 314.（2014·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．【答案】2 3 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.（2014·湖南卷）如图15所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图15(1)求cos ∠CAD 的值； (2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，求BC 的长．1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，sin∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin∠BAD cos∠CAD －cos∠BAD sin∠CAD＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.故BC ＝AC ·sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.（2014·四川卷）如图13所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)图13【答案】601．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2答案 B解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)．∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.2．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 A3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( )A.118B ．－118C.1718 D ．－1718答案 D解析 cos2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.4．若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)] ＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.5．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 答案 C由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.6．已知tan(π4＋θ)＝3，则sin2θ－2cos 2θ的值为________．答案 －45解析 ∵tan(π4＋θ)＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∵sin2θ－2cos 2θ＝sin2θ－cos2θ－1 ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ－cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ－1 ＝2tan θ1＋tan 2θ－1－tan 2θ1＋tan 2θ－1 ＝45－35－1＝－45. 7．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为________．答案 －210＝22×(35－45)＝－210. 8．若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.答案 －73解析 ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12＜0，∴0＜α＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2α－β＝－74. ∴tan(α－β)＝α－βα－β＝－73. 9．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴． (1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值． 解 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. (1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1. ∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )． 又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13. 又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
高考数学复习知识点讲解教案第24讲 简单的三角恒等变换
1
cos
2
3
∘
10 − sin
2
10∘
=
sin 20∘
4sin 30∘ −10∘
=
1
，故选B.
4
[总结反思]
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,
或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题（1）
cos 20∘
计算：
cos 35∘ 1−sin 20∘
− sin
∘
10
［思路点拨］（1）利用正弦、余弦的二倍角公式化简即可.
[解析] 原式=
∘
1+cos 20∘
2
∘
+ 1 − sin
∘
∘
20
∘
=
1+ 2cos2 10∘ −1
2
∘
cos 10 + cos 10 − sin 10 = 2cos 10 − sin 10 .故选D.
+ 1 − 2sin
∘
10 cos
2
（2）
2
2
sin ± cos
2
2
1 ± sin =___________________.（升幂公式）
2tan
2
2
1+tan
2
2
1−tan
2
2
1+tan
=_________,tan
2
2tan
2
2
1−tan
=_________.（万能公式）
2
（3）
sin =
高三数学一轮复习 22.简单的三角恒等变换学案(1)
湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 22.简单的三角恒等变换学案【学习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2. 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 预 习 案 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝ ；(2)cos 2α＝ ＝ －1＝1－ ； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 2．半角公式：(1)sin α2＝ ； (2)cos α2＝ ； (3)tanα2＝ ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝都适用．4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝ ；sin 2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ .【预习自测】1．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为 ( )A.1＋m 2B.1－m2 C ．± 1＋m2 D. 1＋m22．设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．3．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________．4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为________．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝ ( )A．－45B．－35C.35D.45探究案题型一：求值例1.求值：(1)sin18°cos36°； (2)2cos10°－sin20°cos20°(3)sin10°²sin50°²sin70°.(4) 1＋cos20°2sin20°－2sin10°²tan80°例2.（1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2απ4＋α＝________.(2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)=(3)若cos(π4＋x)＝35，1712π＜x＜74π，求sin2x＋2sin2x1－tan x的值．题型二化简例3.（1）已知函数f(x)＝1－x1＋x.若α∈(π2，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为________．(2)化简sin2α²sin2β＋cos2α²cos2β－12cos2α²cos2β.(3)已知f(x)＝1＋cos x－sin x1－sin x－cos x＋1－cos x－sin x1－sin x＋cos x且x≠2kπ＋π2，k∈Z，且x≠kπ＋π，k∈Z.①化简f(x)；②是否存在x ，使得tan x2²f (x )与1＋tan2x2sin x 相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．题型三：证明例4.已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α.拓展：(1)求证：tan 2x ＋1tan 2x ＝＋cos4x 1－cos4x(2)若tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。
2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)简单的三角恒等变换(含解析)介绍
2016 届高考数学一轮复习教教案简单的三角恒等变换[ 知识可否忆起]半角公式 (不要求记忆 )ααα1．用 cos α表示 sin 2， cos 2， tan 2 .222α 1 － cos αα 1 ＋ cos αα1－ cos αsin 2＝； cos 2＝2；tan 2＝.22221＋ cos αααα2．用 cos α表示 sin ， cos ，tan .222α1－ cos αα 1 ＋ cos αsin ＝±； cos＝±2；222α 1 － cos αtan＝±.2 1 ＋ cos αα3．用 sin α， cosα表示 tan .2αsin α 1 － cosαtan＝＝α.2 1 ＋ cos αsin[ 小题可否全取]1α1． (教材习题改编 )已知 cos α＝，α∈ (π， 2π)，则 cos等于()3266A.B．－3333C. D ．－331απ分析：选 B ∵cos α＝，α∈ (π， 2 π)，∴∈，π ，3221 α1 ＋ cos α1 ＋6 3∴cos ＝－＝－2＝－. 2 232．已知函数 f (x )＝ cos 2 π π ，则 f π＋ x －cos 2 － x 等于 ()4 4 12 11A.B ．－223 3C. D ．－22分析：选 Bf (x )＝ cos2π π π ＝－ sin π 1＋x － sin 2x ＋ ＝－ sin 2 x ，∴f＝－ .44 12 6 21cos 2 α＋ sin 2 α＋ 1)3．已知 tan α＝ ，则 cos 2 α 等于 (2 A ． 3B ． 63 C ．12 D.2分析：选 Acos 2 α＋sin 2 α＋ 1 2cos 2α＋2sin α· cos αcos 2α ＝ cos 2 α＝ 2＋ 2tan α＝ 3.sin 20 ° cos 20 ° 4. ° ＝________.cos 501 1 sin 20sin 40 ° sin 40 °° cos 20 2 ° 2 1分析：° ＝ ＝ ＝ . cos 50 cos 50 ° sin 40°2 1答案：21＋ tan α 1＋tan 2 α＝ ________. 5．若 ＝2 013 ，则1－ tan α cos 2 α1 1 ＋ sin2 αcos α＋ sin α2分析：＋ tan 2 α＝＝cos 2α－ sin 2αcos 2 αcos 2 αcosα＋ sin α 1＋ tanα＝＝＝2 013.cosα－sin α 1 －tanα答案： 2 013三角恒等变换的常有形式三角恒等变换中常有的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．(1)三角函数的化简常有的方法有切化弦、利用引诱公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转变求解．(2)三角函数求值分为给值求值 (条件求值 )与给角求值，对条件求值问题要充足利用条件进行转变求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右双侧函数名、角之间的关系，不一样名则化同名，不一样角则化同角，利用公式求解变形即可．三角函数式的化简典题导入12cos 4x－ 2cos 2x＋2[例 1]化简.ππ2tan －x sin 2＋x441－2sin 2 x cos 2x ＋[自主解答 ]原式＝2π π2sin－ x cos 2 － x 4 4πcos －x41x1cos 2 2x 1－ sin 22 22＝π＝ππsin 2sin － x cos－ x － 2 x 4 421＝ cos 2 x . 2由题悟法三角函数式的化简要按照“三看”原则(1) 一看“角”，这是最重要的一环，经过看角之间的差异与联系，把角进行合理的拆分，进而正确使用公式；(2) 二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，进而确立使用的公式，常有的有“切化弦”；(3) 三看“构造特点”，剖析构造特点，能够帮助我们找到变形的方向，如“碰到分式要通分”等．以题试法1αα － tan2·1 ＋ tan1．化简αα· tan .tan22αααcossinsin sin22 2 α 解：法一：原式＝－ α · 1 ＋ · αα cos α sin cos cos22 2cos 2α α αα － sin 2 cos αcos ＋ sin αsin2 2 22 ＝ α ·α α sin · cos cos αcos2 22cos α－α2cos 2α ＝ ·α sin αcos αcos2α2coscos2 α 2＝ ·＝. sin αα sin α cos αcos2αα1－ tan2sin αsin21＋2法二：原式＝· ααtancos αcos22αα 2 cos αcos ＋ sin αsin22 ＝ · αtan αcos αcos2α2coscos 2α2 ＝ ·＝. sin αα sin αcos α· cos2三角函数式的求值典题导入sin 47°－ sin 17 ° cos 30°[例 2] (1)(2012·重庆高)考＝ ()cos 17 °3 1 A ．－B ．－2213C. D..2234(2) 已知α、β为锐角，sinα＝， cos (α＋β)＝－，则 2 α＋β＝ ________.55sin30 °＋ 17 °－ sin17° cos 30°[自主解答 ] (1) 原式＝cos 17 °sin 30° cos 17°＋ cos 30 ° sin 17°－ sin 17° cos 30°＝cos 17 °sin 30° cos 17°1＝＝ sin 30°.＝cos 17 °2(2) ∵sin3πα＝，α∈0 ，，524∴cos α＝，54∵cos( α＋β)＝－，α＋β∈ (0 ，π)，53∴sin( α＋β)＝，53443∴sin(2 α＋β)＝ sin[ α＋(α＋β)] ＝ sin αcos( α＋β)＋ cos αsin( α＋β)＝×－＋× ＝5555 0.3π又 2 α＋β∈ 0 ，.2∴2 α＋β＝π.[答案 ] (1)C(2) π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特别角，从表面上来看是很难的，但认真观察非特别角与特别角总有必定关系，解题时，要利用察看获得的关系，联合公式转变为特别角而且除去非特别角的三角函数而得解．(2) “给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求此外一些角的三角函数值，解题要点在于“变角”，使其角同样或拥有某种关系．(3) “给值求角”：本质是转变为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确立角．以题试法．·广州一测已知函数f (x ) ＝3 x ＋ π2 (2012tan .)4 π(1) 求 f的值； 93 π α π ＝ 2，求 cosπ (2) 设 α∈ π， ，若 f ＋ 4 α－ 的值．2 34π ππ π π tan ＋ tan43＋ 1 解： (1) f3 9 ＝ tan ＋ ＝ ＝＝－2－ 3.3 4 1 － tan π π1 － 3 tan3 4(2) 由于 f α π α＋ 3 π π3 ＋ ＝ tan 4＋ ＝ tan( α＋ π)＝ tan α＝ 2 ，4 4sin α因此＝ 2 ，即 sin α＝2cos α.① cos α又 sin 2α＋cos 2α＝ 1 ，②1由①②解得 cos 2 α＝ .53 π5 2 5由于 α∈ π， ，因此 cos α＝－， sin α＝－.255ππ π5 2 2 5 23 10因此 cos α－ ＝ cos αcos ＋ sin αsin ＝－× ＋ － 5 × ＝－ . 4 4 4 52 2 10三角恒等变换的综合应用典题导入7 π 3π [例3] (2011·四川高考已知函数f (x ) ＝sin x ＋＋cos x －， ∈R.)4x4(1) 求 f (x )的最小正周期和最小值；4 4π(2) 已知 cos( β－ α)＝ ，cos( β＋ α)＝－，0 ＜α＜ β≤ ，求证： [f ( β)] 2 －2 ＝0.5527 π π π[自主解答 ](1) ∵f (x )＝ sin x ＋ － 2 π ＋cos x － －4 4 2 π＋ sin x － π x － π＝ sin x －＝ 2sin 4，4 4∴T ＝ 2 π， f (x )的最小值为－ 2.4(2) 证明：由已知得 cos βcos α＋ sin βsin α＝ ，54cos βcos α－ sin βsin α＝－ .5 两式相加得 2cos βcos α＝0.π π π∵0 ＜ α＜β≤ ，∴β＝ .∴[f (β)] 2－ 2 ＝ 4sin 2－2＝ 0.2 2 4在本例条件不变状况下，求函数f (x ) 的零点的会合．π解：由 (1) 知 f ( x )＝ 2sin x －，4∴x － π ，∴ － π π ∈ Z) ， ＝＝sin40x4k ( kπ∴x ＝ k π＋ (k ∈Z)．4π故函数 f (x)的零点的会合为x x＝ kπ＋，k∈ Z.4由题悟法三角变换的综合应用主假如将三角变换与三角函数的性质相联合，经过变换把函数化为y＝ A sin(ωx＋φ)的形式再研究性质，解题时注意察看角、名、构造等特点，注意利用整体思想解决有关问题．以题试法3．已知函数f (x)＝ 2cos x cos x－π－ 3sin 2x＋ sin x cos x. 6(1)求 f (x)的最小正周期；(2)当α∈ [0 ，π] 时，若f (α)＝ 1 ，求α的值．解： (1) 由于f( x)＝ 2cos x cosπ－ 3sin 2x＋ sin x cos x x－6＝3cos 2x＋ sin x cos x－3sin 2x＋sin x cos xπ＝3cos 2 x＋sin 2 x＝ 2sin2x＋，3因此最小正周期T＝π.(2) 由f (α)＝ 1，得 2sin2α＋π3＝ 1，ππ 7 π又α∈ [0 ，π]，因此 2 α＋∈，，333π5ππ13 π因此 2 α＋＝或 2α＋＝，3636π11 π故α＝或α＝.41211．在△ABC 中， tan B ＝－ 2 ， tan C ＝ ，则 A 等于 ()3 π 3 π A.B.4 4 π π C.D.36分析：选 A tan A ＝ tan[ π－ (B ＋ C )]1tan B ＋ tan C－ 2 ＋＝－ tan( B ＋ )＝－3＝－C 1 － tan B tan C1 12×3π＝1.故 A ＝ .4sin180 ＋°2 α cos 2α2.· 等于 ( )1 ＋ cos2 α cos 90 °＋ αA ．－ sin αB ．－ cos αC ．sinα D ．cos αsin 2 α2分析：选 D 原式＝· cos α1＋ cos 2 α－ sin α2sin2 αα· cos α· cos＝2α· sin α ＝ cos α.2cos3． (2013 ·深圳调研)已知直线 l: x tan α－y －3tan β＝ 0 的斜率为 2，在 y 轴上的截距 为 1 ，则 tan( α＋ β)＝()77 A ．－B. 335D ．1C.7分析：选 D依题意得， tan α＝ 2 ，－ 3tan β＝ 1，11 tan α＋ tan2 －β 3＝1. 即 tan β＝－ ， tan( α＋ β)＝＝ 31 － tan αtan β 21＋3 4． (2012·山东高考)若 θ∈ π π ， sin 2 θ＝3 74 ， ，则 sin θ＝()28 34 A.B. 557 3C.D.44分析：选 Dπ π π由于 θ∈ ， 2 ，因此 2 θ∈ ， π ，4 2因此 cos 2 θ<0 ，因此 cos 2 θ＝－1 1 － sin2 2 θ＝－ .8又 cos 21 9θ＝ 1－ 2sin 2θ＝－ ，因此 sin 2 θ＝，816因此 sin3θ＝ .4πtan ＋ α · cos α2 5． (2012·河北质检)计算 4的值为 ( )π2cos 2－ α4A ．－ 2B ． 2C ．－ 1D ． 1πtan ＋ α · cos α2分析：选 D 4π2cos 2－ α4πsin＋α · cos α2＝4ππ2sin 2＋α cos＋α44＝cos 2 αππ2sin＋α cos＋α44cos 2 α＝πsin 2＋α4cos 2 α＝πsin＋ 2α2cos 2 α＝＝ 1.cos 2 αa b1sin α sin β33π6．定义运算d ＝ ad－ bc .若cosα＝，＝，0<β< α< ，则c7cos α cos β142β等于 ()ππA. B.126ππC. D.43分析：选 D 依题意有 sinαcos β－ cos αsin β33＝ sin( α－β)＝，14ππ又 0< β< α< ，∴0< α－β<，22故 cos( α－β)＝ 1 －sin 213α－β，141 4 3而 cos α＝ ，∴sin α＝ ，7 7 于是 sin β＝ sin[ α－(α－ β)]＝ sin αcos( α－ β)－ cos αsin( α－β)43 13 1 3 3 3 ＝× － × ＝. 7 14 7 142π故 β＝ .3π ＝3，则 cos 2 θ7．若 tan－ θ ＝ ________.4 1 ＋ sin 2 θ分析：∵ tan π 1 － tan θ－ θ ＝ 1 ＋ tan ＝3 ，4 θ ∴tan1θ＝－ .2cos 2 θcos 2 θ－ sin 2θ∴＝ 2 θ＋ 2sin θcos θ＋ cos 2θ1 ＋ sin2 θ sin11 － tan 2θ1 －4 ＝＝＝ 3.tan 2θ＋2tan θ＋1 1－1＋14答案： 38．若锐角 α、β知足 (1 ＋3tan α)(1 ＋ 3tan β)＝4 ，则 α＋ β＝________.分析：由 (1 ＋ 3tanα)(1 ＋ 3tan β)＝ 4 ，tan α＋tan β3，即 tan( α＋ β)＝ 3.可得 αtan ＝1 － tan βπ又 α＋ β∈ (0 ， π)，因此 α＋ β＝ .3π答案：3cos 10 °＋3sin 10 °9．计算：1 － cos 80＝ ________.°分析：cos 10°＋3sin 10°1 － cos 80 °2sin 30° cos 10°＝2sin 2 40 °2sin 40°＝＝ 2.2sin 40°答案：210 ．已知函数f(x)＝sin x＋cos x， f ′(x)是 f( x)的导函数．(1)求 f ′(x)及函数 y＝ f′(x)的最小正周期；π(2) 当x∈ 0 ，时，求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋ f2(x)的值域．2π解： (1) 由题意可知，f′(x)＝cos x－sin x＝－ 2 · sin x－，4因此 y ＝ f′(x)的最小正周期为T＝2π.(2) F(x)＝cos 2x－ sin 2x＋ 1 ＋ 2sin x cos x＝1＋ sin 2 x＋ cos 2 x2sin 2x＋π＝ 1＋.4πππ 5 π∵x∈0，，∴2 x＋∈，，2444π2∴sin 2 x＋∈－，1.42∴函数 F(x)的值域为[0,1＋2]．11 ．已知 0< α<πα12 < β< π， tan＝2， cos( β－α)＝. 2210(1) 求 sin α的值；(2) 求 β的值．α 1解： (1) ∵tan ＝ ，2 22tanα122 ×4 ∴tan α＝2＝ 1 ＝ ，α2 31 －tan21 －22sin α4＝ ，由 cos α 3sin 2 α＋ cos 2 α＝ 1 ，44解得 sin α＝sin α＝－ 舍去 . 5 5(2) 由 (1) 知 cos α＝ 1 －sin 2α4 3＝1－2＝， 5 5π又 0< α< < β< π，∴β－α∈ (0 ，π)， 22而 cos( β－α)＝ ，10272∴sin( β－ α)＝ 1－ cos 2 β－ α1 －2＝， 1010于是 sin β＝ sin[ α＋(β－ α)]＝ sin αcos( β－ α)＋ cos αsin( β－α)4 2 3 7 2 2＝ × 10 ＋ ×＝. 5 5 102π3 π又 β∈ ， π ，∴β＝ .2412 ．已知 sin(2 α＋ β)＝ 3sin β，设 tan α＝x ，tan β＝y ，记 y ＝f (x )．(1) 求证： tan( α＋ β)＝2tan α；(2) 求 f (x )的分析式．解： (1) 证明：由 sin(2 α＋β)＝ 3sin β，得 sin [( α＋ β)＋ α]＝3sin [( α＋β)－ α] ，即 sin( α＋ β)cos α＋ cos( α＋ β)sin α＝ 3sin( α＋ β)cos α－ 3cos( α＋ β)sin α， ∴sin( α＋ β)cos α＝ 2cos( α＋ β)sin α.∴tan( α＋ β)＝2tanα.(2) 由 (1) 得 tan α＋ tan βx ＋ y ＝ 2tan α，即＝ 2 x ，1 － tan αtan β 1 － xy xx∴y ＝1 ＋2 x 2，即 f(x )＝1 ＋2 x 2 .．·郑州质检已知曲线 ＝ππ1轴右yx ＋－ x 与直线y＝ 订交，若在y 1(2012)2sin4 cos 42侧的交点自左向右挨次记为P ，P ， P ， ，则 | P 1P 5 |等于 ()123A ． πB ． 2 πC ．3 πD ． 4 π注意到 y ＝ 2sin x ＋ πππ π分析：选 Bcos － x ＝2sin 2 x ＋ ＝ 1 － cos 2x ＋ ＝ 1 ＋4 4 4 4sin 2 x ，又函数 y ＝ 1 ＋ sin 2 x 的最小正周期是 2 πx 的图象 (如图＝ π，联合函数 y ＝1 ＋sin 2 2所示 )可知， | P 1P 5 |＝ 2 π.3－sin 70° 2.等于 ()2－ cos 2 10 °12 A.B.22 C ．23 D.2分析：选 C 3 － sin 70°3 － cos 20 °＝2 － cos 2 10 ° 2－ cos 2 10 °32cos 2 10 °－1 2 2－ cos 2 10 ° ＝ 2.＝＝2 － cos 210 ° 2 － cos 210 °．·江西要点高中模拟已知函数 ＝2 x ＋ π π－3 (2012 f (x ) sin ＋ sin2 x － ＋3cos 2 x) 33m ，若 f ( x )的最大值为 1.(1) 求 m 的值，并求 f (x )的单一递加区间；(2) 在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，若 f (B )＝ 3 －1 ，且 3 a ＝ b ＋ c ，试判断三角形的形状．π3cos 2 x － m ＝ sin 2 x ＋3cos 2 x －m ＝ 2sin π解：(1) f (x ) ＝2sin 2 x · cos ＋2 x ＋ －33m .又 f (x )max ＝ 2 － m ，因此 2 －m ＝ 1 ，得 m ＝ 1.π π π 由－ ＋ 2k π≤2x ＋ ≤ ＋2 k π(k ∈ Z)2 3 2 5π π获得 k π－ ≤x ≤k π＋ (k ∈ Z)，12 12因此 f (x )的单一递加区间为5 π πk π－ ， k π＋ (k ∈ Z)．12 12π(2) 由 f (B )＝3 －1 ，得 2sin 2B ＋ － 1 ＝3－1，3π因此B ＝ .6又3 a ＝ b ＋ c ，则 3sin A ＝sin B ＋ sin C ，1 5 ππ1 3sin A＝＋sin－ A ，即sin A－＝，2662ππ因此 A＝，C＝，故△ABC 为直角三角形．321．求证： tanα＋1＝1.tanπ αcosα＋42cosπ αsin α＋2 4证明：左侧＝＋π αcos αsin＋24π απ αsin αsin ＋＋ cos αcos＋4242＝παcos αsin＋4 2cos π α＋－α＝42π αcosαsin＋24π αcos－＝42π αcosαsin＋24π α＋1 sin 42＝＝＝右侧．cosαsinπ α cosα＋24故原式得证．12ππ1 ＋＋－2．已知f(x)＝sin x－ 2sin x· sin x.tan x44(1)若 tan α＝ 2，求f(α)的值；ππ(2) 若x∈，，求f(x)的取值范围．12 2ππ解： (1) f (x)＝ (sin 2x＋sin x cos x)＋ 2sin x＋· cos x＋441－ cos 2 x1π＝＋sin 2 x＋ sin 2 x＋2221 1＝＋ (sin 2 x－ cos 2 x)＋ cos 2 x2 211＝(sin 2 x＋ cos 2 x) ＋ .22由 tan α＝ 2 ，2sin αcosα2tanα4得 sin 2 α＝＝＝ .sin 2α＋ cos2α tan 2α＋ 15cos 2α－ sin 2α 1 － tan 2α3cos 2 α＝＝1 ＋ tan 2＝－ .sin 2α＋ cos 2αα5113因此 f (α)＝(sin 2α＋cos2 α) ＋＝ .2251x＋cos 21(2) 由 (1) 得f(x)＝ (sin 2x)＋222π1＝sin2x＋＋ .242ππ 5 ππ5由 x∈，，得≤2x＋≤ π.12212442π2＋ 1故－≤ sin 2x＋≤ 1 ，则0 ≤f( x) ≤，242因此 f (x)的取值范围是2 ＋1.0 ，2。
高中数学 高三一轮 3.6简单的三角恒等变换学案
高三一轮复习3. 5两角和与差的正弦、余弦和正切公式学案【考纲传真】1.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）2. 本部分内容是高考的重点，利用三角公式进行化简。
变形常研究三角函数的图象性质相结合，有时也与平面向量、解三角形相结合，是高考的热点。
题型以解答题为主，属中低档题【知识扫描】知识梳理：1．公式的常见变形(1）1＋cos α＝2cos2错误!；1－cos α＝2sin2错误!;（2)1＋sin α＝（sin错误!＋cos错误!)2；1－sin α＝（sin错误!－cos错误!）2.(3)tan 错误!＝错误!＝错误!。
2．辅助角公式a sin x＋b cos x＝错误!sin（x＋φ），其中sin φ＝错误!，cos φ＝错误!.名师点睛：1.降幂公式：cos2α＝错误!，sin2α＝错误!. 2。
升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 3。
辅助角公式: a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）,其中sin φ＝错误!，cos φ＝错误!.4。
利用辅助角公式，asin x＋bcos x转化时一定要严格对照和差公式，防止搞错辅助角．5.计算形如y＝sin（ωx＋φ), x∈［a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ的范围和x的范围混淆．【学情自测】1．“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知tanα＝4，则错误!的值为( )A．4错误!B。
错误! C．4 D。
错误!3．设M错误!（x∈R)为坐标平面内一点，O为坐标原点,记f(x)＝|OM|,当x变化时，函数f（x)的最小正周期是( )A．30π B．15π C．30 D．154．若sin 2α＝错误!,sin(β－α)＝错误!,且α∈错误!,β∈错误!，则α＋β的值是（）A.错误!B。
高三数学第一轮复习导学案：第22课时 简单的三角恒等变换
【学习目标】1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【课本导读】1．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin2α＝ ；(2)cos2α＝ ＝ －1＝1－ ；(3)tan2α＝2tan α1－tan 2α(α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)． 2．半角公式：(1)sin α2＝ ； (2)cos α2＝ ； (3)tan α2＝ ＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α＝ ；α2＝ ；3α＝ 都适用．4．由cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α可得降幂公式：cos 2α＝ ；sin 2α＝ ；升幂公式cos2α＝ ＝ . 【教材回归】1．若sin76°＝m ，用含m 的式子表示cos7°为( )A.1＋m 2B.1－m 2 C ．± 1＋m 2 D. 1＋m 22．设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________． 3．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________． 4．已知θ是第三象限的角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin2θ的值为________． 5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45【授人以渔】题型一：求值例1 求值：(1)sin18°cos36°；(2)2cos10°－sin20°cos20° (3)sin10°·sin50°·sin70°. (2) 1＋cos20°2sin20°－2sin10°·tan80°例2 （1）已知cos(π4－α)＝1213，α∈(0，π4)，则cos2αsin (π4＋α)＝________. (2)已知cos(π4－α)＝35，－3π2<α<－π2.则cos(2α－π4)= (3)若cos(π4＋x )＝35，1712π＜x ＜74π，求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．题型二化简例3（1）已知函数f (x )＝1－x 1＋x .若α∈(π2，π)，则f (cos α)＋f (－cos α)可化简为________． (2)化简sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12cos2α·cos2β.(3)已知f (x )＝1＋cos x －sin x 1－sin x －cos x ＋1－cos x －sin x 1－sin x ＋cos x且x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，且x ≠k π＋π，k ∈Z . ①化简f (x )；②是否存在x ，使得tan x 2·f (x )与1＋tan 2x 2sin x相等？若存在，求x 的值；若不存在，请说明理由．题型三：证明例5 已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α.思考题：(1)求证：tan2x＋1tan2x＝2(3＋cos4x) 1－cos4x(2)若tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.。
高三数学第一轮复习导学案：35.简单的三角恒等变换
【学习目标】1．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．2．会解一元二次不等式，以及简单的分式、高次不等式．预 习 案回顾三个一元二次的关系【预习自测】1．不等式x (1－2x )>0的解集是( ) A ．(－∞，12) B ．(0，12) C ．(－∞，0)∪(12，＋∞) D ．(12，＋∞) 2．已知不等式x 2－x ≤0的解集为M ，且集合N ＝{x |－1<x <1}，则M ∩N 为 ( )A ． D ．(－1,0]3．不等式x 2－9x －2>0的解集是_______ _．4．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a <0的解集为( )A ．{x |－1<x <12}B ．{x |x <－1或x >12} C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}5．已知(ax －1)(x －1)≥0的解集为R ，则实数a 的值为________．探 究 案题型一：一元二次不等式的解法例1. 解关于x 的不等式．(1)－2x 2＋4x －3>0； (2)12x 2－ax >a 2(a ∈R )； (3)a (x －1)x －2>1(a >0)．拓展1. (1)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为 （ ）A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)(2)已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )， m 为实数，求使m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0成立的x 的取值范围．题型二：不等式恒成立问题例2. 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(3)当a ∈时，f (x )≥0恒成立，求x 的范围．拓展2. 已知关于x 的不等式2x －1>m (x 2－1)．(1)是否存在实数m ，使不等式对任意x ∈R 恒成立？并说明理由；(2)若对于m ∈不等式恒成立，求实数x 的取值范围题型三：三个二次的关系例3.已知x 2＋px ＋q <0的解集为{x |－12<x <13}，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．拓展3.已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }．(1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.当堂检测：1．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集是 ( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)2．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝ ( )A.52B.72C.154D.1523．不等式x ＋1x≤3的解集为________ ．4.已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ________ ．5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对x ∈(0，12]恒成立，求a 的最小值．我的学习总结：（1）我对知识的总结 .（2）我对数学思想及方法的总结。
高考数学大一轮复习 4.6 简单的三角恒等变换导学案 理
简单的三角恒等变换导学目标： 1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝________________；(2)cos 2α＝______________＝________________－1＝1－________________；(3)tan 2α＝________________________ (α≠k π2＋π4且α≠k π＋π2)．2．公式的逆向变换及有关变形(1)sin αcos α＝____________________⇒cos α＝sin 2α2sin α；(2)降幂公式：sin 2α＝________________，cos 2α＝________________； 升幂公式：1＋cos α＝________________，1－cos α＝_____________；变形：1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝________________________. 自我检测1．(2010·陕西)函数f (x )＝2sin x cos x 是 ()A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．函数f (x )＝cos 2x －2sin x 的最小值和最大值分别为 ()A ．－3,1B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，323．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是 ()A ．－1B ．－12 C.12D ．14．(2011·清远月考)已知A 、B 为直角三角形的两个锐角，则sin A ·sin B ()A ．有最大值12，最小值0B ．有最小值12，无最大值C ．既无最大值也无最小值D ．有最大值12，无最小值探究点一 三角函数式的化简例1 求函数y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x 的最大值和最小值．变式迁移1 (2011·泰安模拟)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12的值；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．探究点二 三角函数式的求值例2 已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin 2α＋tan α－1tan α－1的值．变式迁移2 (1)已知α是第一象限角，且cos α＝513，求sin α＋π4cos 2α＋4π的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α<3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三 三角恒等式的证明例3 (2011·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析表达式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f (x )的值域．变式迁移3 求证：sin 2xsin x ＋cos x －1sin x －cos x ＋1＝1＋cos x sin x .转化与化归思想的应用例 (12分)(2010·江西)已知函数f (x )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x ＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)当m ＝0时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．【答题模板】解 (1)当m ＝0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos x sin x sin 2x＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x 2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，[3分] 由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，3π4，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4，[4分]所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，[5分] 从而得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.[6分](2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m2cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x －m 2cos 2x＝12[sin 2x －(1＋m )cos 2x ]＋12，[8分] 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.[10分] 所以35＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤45＋351＋m ＋12，[11分]解得m ＝－2.[12分] 【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三角函数公式、二倍角公式等，将较复杂的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果．化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等．1．求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．2．三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等．(2)常用的拆角、拼角技巧如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝(α－β)＋β，α＋β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2，α2是α4的二倍角等．(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式．消除差异：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·平顶山月考)已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于 ( )A.13 B ．－13 C.16 D ．－162．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4等于 ( )A.1318B.1322C.322D.163．(2011·石家庄模拟)已知cos 2α＝12 (其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0)，则sin α的值为 ( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－324．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 35．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( )A.1B.2C.3D ．1 题号 1 2 3 4 5 答案 6．(2010·全国Ⅰ)已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________.7．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．8．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为________．三、解答题(共38分)9．(12分)化简：(1)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°； (2)3－4cos 2α＋cos 4α3＋4cos 2α＋cos 4α.10．(12分)(2011·南京模拟)设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12.(1)求f (x )的最小正周期；(2)当∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x .(1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．答案 自主梳理1．(1)2sin αcos α (2)cos 2α－sin 2α 2cos 2α 2sin 2α(3)2tan α1－tan 2α 2.(1)12sin 2α (2)1－cos 2α2 1＋cos 2α2 2cos 2α2 2sin 2α2(sin α±cos α)2自我检测1．C 2.C 3.B 4.D 课堂活动区例1 解题导引 化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解 y ＝7－4sin x cos x ＋4cos 2x －4cos 4x＝7－2sin 2x ＋4cos 2x (1－cos 2x )＝7－2sin 2x ＋4cos 2x sin 2x＝7－2sin 2x ＋sin 22x ＝(1－sin 2x )2＋6，由于函数z ＝(u －1)2＋6在[－1,1]中的最大值为z max ＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为z min＝(1－1)2＋6＝6，故当sin 2x ＝－1时，y 取得最大值10， 当sin 2x ＝1时，y 取得最小值6. 变式迁移1 解 (1)f (x )＝1＋cos 2x 2－2cos 2x －1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝2cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2cos 22x cos 2x ＝2cos 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝2cos π6＝ 3. (2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，3π4，∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.例2 解题导引 (1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解 由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos 4α＝14， ∴cos 4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin 2α＋tan α－1tan α－1＝－cos 2α＋sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos 2α＋－2cos 2αsin 2α＝－cos 5π6－2cos5π6sin5π6＝532.变式迁移2 解 (1)∵α是第一象限角，cos α＝513，∴sin α＝1213.∴sin α＋π4cos 2α＋4π＝22sin α＋cos αcos 2α＝22sin α＋cos αcos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13214. (2)cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝22(cos 2α－sin 2α)， ∵π2≤α<32π， ∴3π4≤α＋π4<74π.又cos(α＋π4)＝35>0，故可知32π<α＋π4<74π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos 2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin 2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos 2α－sin 2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3 解题导引 本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．(1)证明 由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin[(α＋β)＋α] ＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α， ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)解 由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x2.(3)解 ∵角α是一个三角形的最小内角，∴0<α≤π3，0<x ≤3，设g (x )＝2x ＋1x ，则g (x )＝2x ＋1x ≥22(当且仅当x ＝22时取“＝”)．故函数f (x )的值域为(0，24]． 变式迁移3 证明 因为左边＝2sin x cos x[sin x ＋cos x －1][sin x －cos x －1]＝2sin x cos x sin 2x －cos x －12 ＝2sin x cos xsin 2x －cos 2x ＋2cos x －1 ＝2sin x cos x －2cos 2x ＋2cos x ＝sin x 1－cos x＝sin x 1＋cos x 1－cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x sin 2x ＝1＋cos x sin x＝右边． 所以原等式成立． 课后练习区1．D [∵0<α<π，3sin 2α＝sin α， ∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－16.]2．C [因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.]3．B [∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，∴sin α＝－12.]4．B [f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2cos xsin x＝2sin x cos x ＝4sin 2x∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.] 5．C [由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32.] 6．－247解析 因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 7．1－ 2解析 ∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 2.8.12解析 ∵cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22， ∴cos α＋sin α＝12.9．解 (1)∵sin 2α＝2sin αcos α，∴cos α＝sin 2α2sin α，…………………………………………………………………………(2分)∴原式＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·12·sin 160°2sin 80°＝sin 180°－20°16sin 20°＝116.……………………………………………………………………(6分)(2)原式＝3－4cos 2α＋2cos 22α－13＋4cos 2α＋2cos 22α－1………………………………………………………(9分)＝1－cos 2α21＋cos 2α2＝2sin 2α22cos 2α2＝tan 4α.………………………………………………………(12分)10．解 f (x )＝3sin x cos x －cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.…………………………………………………………………………(4分)(1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.…………………………………………………(6分)(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，……………………………………………………………………………………………(10分)当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32.……………………………………………………………………………………………(12分)11．解 (1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.………………………………………………………………………(4分)(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x＝3cos 2x －4cos x －1＝3(cos x －23)2－73，x ∈R.………………………………………………………………(10分)因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73.…………………………………………………(14分)。
高考数学一轮复习 第四章 第六节 简单的三角恒等变换教案 文(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学教案
第六节 简单的三角恒等变换1．常用的公式变形(1)由(sin α±cos α)2＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝1±sin 2α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α ⇒⎩⎨⎧1＋sin 2α＝|sin α＋cos α|，1－sin 2α＝|sin α－cos α|.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(4)sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.2．几个常用的恒等变换(1)万能代换：sin α＝2tanα21＋tan 2α2；cos α＝1－tan 2α21＋tan 2α2；tan α＝2tan α21－tan 2α2.(2)恒等式：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.[小题体验] 1．计算：cos2π8－12＝________. 解析：原式＝2cos 2π8－12＝cosπ42＝24.答案：242．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，则tan x ＝________.解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝35，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45，两式展开相加得2sin x cos π4＝75， ①两式相减得2cos x sin π4＝－15， ②①②两式相除得tan x ＝－7. 答案：－71．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错． 2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．[小题纠偏]1．(2019·镇江调研)已知x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin 2x ＝13，则sin x －cos x ＝________.解析：∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴sin x ＜cos x ，又sin 2x ＝13，∴sin x －cos x ＝－sin x －cos x2＝－1－sin 2x ＝－63. 答案：－632．已知sin α2－cos α2＝－55，450°＜α＜540°，则tan α2＝________.解析：已知等式两边平方得sin α＝45，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－35，所以tan α2＝1－cos αsin α＝2.答案：2考点一 三角函数式的化简基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.答案：22cos α2．化简：1＋sin θ＋cos θ·⎝⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)．解：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2－cos θ24cos2θ2＝cos θ2·⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2·cos θ⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2.因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ.[谨记通法]1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．考点二 三角函数式的求值 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．常见的命题角度有： (1)给值求值；(2)给角求值；(3)给值求角．[题点全练]角度一：给值求值1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12，若f (α)＝26，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2α＝________.解析：法一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为f (α)＝26，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝13.法二：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝ 12sin 2x ＋12cos 2x ，因为f (α)＝26，所以sin 2α＋cos 2α＝23， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝cos π4cos 2α＋sin π4sin 2α＝22(cos 2α＋sin 2α)＝22×23＝13. 答案：13角度二：给角求值2．化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12c os 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.答案：1角度三：给值求角 3．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β＝________.解析：因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，因为sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 所以α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2且cos 2α＝－255，又因为sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α] ＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.答案：7π4[通法在握]三角函数求值的类型及解题策略(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．[演练冲关]1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋2π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.答案：782.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°＝________.解析：原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.答案：－123．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，那么sin 2α＋cos 2α＝________. 解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝17，知tan 2α＋11－tan 2α＝17，所以tan 2α＝－34.因为2α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin 2α＝35，cos 2α＝－45.所以sin 2α＋cos 2α＝－15.答案：－15考点三 三角恒等变换的综合应用 重点保分型考点——师生共研[典例引领]1. (2019·睢宁模拟)已知函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，f (x )＝33，求cos 2x 的值．解：(1)函数f (x )＝3cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2x －12＝3sin x cos x ＋1－cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，又f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63，∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 sin π6＝63×32－33×12＝32－36. 2．已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R)，求：(1)函数f (x )的单调区间；(2)函数f (x )图象的对称轴和对称中心．解：(1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋532＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x －32cos 2x ＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z)，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z)．(2)由2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z)．由2x －π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z)，所以函数f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0(k ∈Z)．[由题悟法]三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．[即时应用](2019·南通中学检测)已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x .(1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (2x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4的值域．解：(1)f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62， ∵x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， ∴2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，∴2x 0＝k π－π6(k ∈Z)，∴g (2x 0)＝1＋12sin 4x 0＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝4－34.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1＋12sin 2x＝32＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＝32＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴h (x )＝32＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.即函数h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________. 解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝sin αcos α，得α为锐角，结合sin 2α＋cos 2α＝1，可得sin α＝255，cos α＝55，∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×15－1＋55＝5－35.答案：5－352．(2018·苏州高三期中调研)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝2，则cos 2α＝________. 解析：cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αtan 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋1＝－45.答案：－453．(2018·通州期末)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝________. 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.答案：－794．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝________.解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°cos 20°－sin 20°＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝ 2.答案： 25．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：由诱导公式得tan(3π－x )＝－tan x ＝2， 故2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－36．(2019·宜兴检测)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足4cos 2A2－cos 2(B ＋C )＝72，则角A 的大小为________．解析：由4cos 2A 2－cos 2(B ＋C )＝72，得2(1＋cos A )－cos 2(π－A )＝72，化简得4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，∵0＜A ＜π，故A ＝π3. 答案：π3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·金陵中学检测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α，则cos 2α＝________. 解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α， 所以12cos α－32sin α＝32cos α－12sin α， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32cos α， 所以tan α＝sin αcos α＝－1， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝0. 答案：02．(2019·苏州中学模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝35，则tan 2α＝________. 解析：由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝35，可得cos α＝－35. 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝45，tan α＝sin αcos α＝－43， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2473．(2018·通州期中)计算：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________. 解析：tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋3t an 20°tan 40°＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3.答案： 34．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________.解析：由题意得tan α＋tan β＝－33＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，且tan α＜0，tan β＜0， 又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3. 答案：－2π35．(2019·如东中学月考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α≤3π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________.解析：∵π2≤α≤3π2，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35＞0， ∴3π2＜α＋π4≤7π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－7210， cos α＝－1－sin 2α＝－210， ∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－2425，sin 2α＝2sin αcos α＝725， 则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝－31250. 答案：－31250 6．已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________． 解析：因为cos(α＋β)＝16， 所以cos αcos β－sin αsin β＝16.① 因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.② ①＋②得cos αcos β＝14. ②－①得sin αsin β＝112. 所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案：137．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析：由tan α＋1tan α＝103，得sin αcos α＋cos αsin α＝103，所以1sin αcos α＝103，所以sin 2α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos 2α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. 答案：－2108．(2019·南京模拟)若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为________． 解析：∵tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴tan α＝3或tan α＝13(舍去)， 则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α ＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2·1＋cos 2α2＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2αtan 2α＋1＋22＝22×69＋1＋2×1－91＋9＋22＝0. 答案：09．(2018·南通调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 求：(1)cos α的值；(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4的值． 解：(1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4， 又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2102＝－7210. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝－35. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35， 所以sin α＝1－cos 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－1＝－725. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫－725×22＝－17250. 10．(2019·扬州调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin α的值；(2)若cos β＝13，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．解：(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝7210×22－210×22＝35. (2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝45， ∵cos β＝13，β∈(0，π)，∴sin β＝1－cos 2β＝223， ∴cos 2β＝2cos 2β－1＝－79，sin 2β＝2sin βcos β＝2×223×13＝429， ∴cos(α－2β)＝cos αcos 2β＋sin αsin 2β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＋35×429＝122－2845. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·启东高三测试)若sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α＝________. 解析：因为sin 2α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，所以sin 22α＝4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，即sin 22α＝4×1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α2，所以sin 22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±3，显然sin 2α＝1＋3不成立，所以sin 2α＝1－ 3.答案：1－ 32．化简：cos π11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11＝________. 解析：原式＝－cos π11cos 2π11cos 8π11cos 4π11cos 5π11＝－2sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π112sin π11＝－18·si n 16π11cos 5π112sin π11＝sin 5π11cos 5π1116sin π11＝12sin 10π1116sin π11＝132. 答案：1323．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． 解：(1)因为角α的终边经过点P (－3，3)，所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. 所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)因为f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，所以g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6. 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以－2≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g (x )＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2,1]．。
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2016届高考数学一轮复习教学案简单的三角恒等变换[知识能否忆起]半角公式(不要求记忆) 1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝±1＋cos α2；tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于( )A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选Bf (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－sin π6＝－12.3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3.4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝ cos α＋sin α 2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013. 答案：2 013三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝12cos 2x. 由题悟法三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2. 解：法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫cosα2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－α2cos αcosα2＝2cos αsin α·cos α2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tanα2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsinα2cos αcos α2＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2＝2cos αsin α·cosα2cos α·cosα2＝2sin α.典题导入[例2] (1)(2012·重庆高考)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin 30°＋17° －sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋45×35＝0.又2α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2.∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π由题悟法三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2．(2012·广州一测)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9的值；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π9＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255×22＝－31010.典题导入[例3] (2011·四川高考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合．解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .由题悟法三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π3，所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan[π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－ －2 ×13＝1.故A ＝π4.2.sin 180°＋2α 1＋cos 2α·cos 2αcos 90°＋α 等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝ －sin 2α ·cos2α 1＋cos 2α · －sin α＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3．(2013·深圳调研)已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4．(2012·山东高考)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18. 又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5．(2012·河北质检)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2 α－β ＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________.解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2 sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10° 2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝2.答案：210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域．解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22，1.∴函数F (x )的值域为[0,1＋2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值；(2)求β的值． 解：(1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan 2α2＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos 2 β－α ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴β＝3π4.12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β， 得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy ＝2x ，∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x1＋2x 2.1．(2012·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P|＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( )A.12B.22 C ．2D.32解析：选C3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－ 2cos 210°－1 2－cos 210°＝2 2－cos 210°2－cos 210°＝2.3．(2012·江西重点高中模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1.(1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－m .又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1. 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3－1＝3－1，所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ，3sin A ＝12＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α.证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α2＝1cos α＝右边．故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得5π12≤2x ＋π4≤54π.故－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2＋12.。