【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2.2三角恒等式的应用课时作业
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件1.2应用举例第1课时
• A．α，a，b • C．a，b，γ • [答案] C
B．α，β，a D．α，β，b
• [解析] 根据实际情况，α、β都是不易测量 的数据，而a、b可以测得，角γ也可以测得， 根据余弦定理AB2＝a2＋b2－2abcosγ能直接求 出AB的长，故选C．
• 3.如图所示，客轮以速率2v由A至B再到C匀速 航行，货轮从AC的中点D出发，以速率v沿直 线匀速航行，将货物送达客轮，已知AB⊥BC， 且AB＝BC＝50n mile，若两船同时出发，则 两船相遇之处M距C点________n mile.
• 如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两 点A、B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝ 45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河的宽 度．
• [解析] 如图，
在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝60°. 由正弦定理，得AC＝ABsi·nsi∠n∠ACCBBA＝12s0insi6n07°5° ＝20(3 2＋ 6)． 设C到AB的距离为CD， 则CD＝ACsin∠CAB＝ 22AC＝20(3＋ 3)． 答：河的宽度为20( 3＋3)m.
∴(vt)2＝(25 2)2＋x2－2×25 2×x×cos45°， 即34x2＝1250，∴3x2＝4×1250，
∴x＝503
6 n
mile.
• 4．在相距2km的A、B两点处测量目标点C， 若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点 之[答间案的] 距6离为________km.
• [解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°，
• (2)如图，作PD⊥a，垂足为D．在Rt△PDA
中，
PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB ＝x·3x＋5x32＝3×13752＋32≈17.71(km)． 答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71 km.
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法 (1) 应付款 y1 ＝
5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6 ＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
2
2
二次函数模型问题与函数的图象
西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能
在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投 1 入 x 万元，可获得利润 P＝－160(x－40)2＋100(万元)．当地政 府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方 案为： 在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资， 在 未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修 建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；
●温故知新
旧知再现 1．常见的函数模型 kx k为常数，k≠0)； (1)正比例函数模型：f(x)＝____(
k (2)反比例函数模型：f(x)＝____( x k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________( kx＋b k，b为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c a ， b ， c 为常数， (4) 二次函数模型： f(x) ＝ ____________(
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]
由题目可获取以下主要信息： (1)通过图象给出函
数关系， (2) 函数模型为直线型， (3) 比较两种函数的增长差 异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数 值大小的比较．
1 又由题设 P＝－160(x－40)2＋100 知， 每年投入 30 万元时， 795 利润 P＝ 8 (万元)． 前 5 年的利润和为 795 2 775 8 ×5－150＝ 8 (万元)．
《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：3-2-2 三角恒等式的应用
高考数学 能 力 提 升一、选择题1．函数y ＝sin x1＋cos x 的周期等于( )A.π2 B ．π C ．2π D ．3π[答案] C[解析] y ＝2sin x 2cos x 22cos 2x 2＝tan x 2，T ＝π12＝2π. 2．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12[答案] C[解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－22，12＋22.3．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是( )A.223B.233 C.43 D.263[答案] B[解析] 由于函数f (x )的图象关于x ＝5π3对称，则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，∴a ＝－32－a2，∴a ＝－33，∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3，∴g (x )max ＝233.4．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2] B ．[5π4，9π4] C ．[－π4，3π4] D ．[π4，5π4][答案] B[解析] y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故 2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin(ωx ＋π4)＝2sin(x ＋π4)， ∴2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个增区间是[5π4，9π4]．5．(2011重庆高考)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6[答案] C[解析] ∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )． 又A ＋B ＝π－C ， ∴整理得sin(C ＋π6)＝12. ∵0<C <π，∴π6<C ＋π6<7π6. ∴C ＋π6＝5π6.∴C ＝2π3.6．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A.π2B.π4C ．πD ．2π[答案] C[解析] 点(1，3)的象f (x )＝cos2x ＋3sin2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋12cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 二、填空题7．(2012·全国高考全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝______________[答案] 5π6[解析] 由y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3可知－2≤2sin(x －π3)≤2 当且仅当x －π3＝π2时即x ＝5π6取得最大值．8．(2013·四川文)设sin2α＝－sin α，α∈(π2，π)，则tan2α的值是________．[答案]3[解析] 本题考查了倍角公式及诱导公式的使用． sin2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∵α∈(π2，π)，故cos α＝－12，∴α＝23π， tan2α＝tan 43π＝tan π3＝ 3.9．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象． 其中真命题的序号是________． [答案] ①③[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，则T ＝2π2＝π；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π4＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4不是函数f (x )的最值，则直线x ＝π4不是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； 将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，不是y ＝2sin2x 的图象，故①③正确，②④错误．三、解答题10．(2011～2012·北京东城高三期末)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值及f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的最大值和最小值． [解析] (1)∵f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin(2×π6＋π6)＝2，且函数f (x )的最小正周期为π. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2可知，π6≤2x ＋π6≤7π6，所以，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值，最大值为2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为－1. 11．(2013·北京文)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos 4x .(Ⅰ)求f (x )的最小正周期及最大值；(Ⅱ)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且f (α)＝22，求a 的值． [解析] (Ⅰ)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin2x ＋12cos4x ＝cos2x sin2x ＋12cos4x ＝12(sin4x ＋cos4x ) ＝22sin(4x ＋π4)所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22. (Ⅱ)因为f (α)＝22，所以sin(4α＋π4)＝1. 因为a ∈(π2，π)，所以4a ＋π4∈(9π4，17π4)， 所以4a ＋π4＝5π2，故a ＝9π16.12．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． [解析] (1)f (x )＝1－cos2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx＝3sin2ωx －cos2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋1. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. 因为0≤x ≤2π3， 所以－π6≤2x －π6≤7π6. 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.因此0≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤3，即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为[0,3]．。
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2.2三角恒等式的应用课件
和、差、倍角、半角公式化成 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的形式，然后 借助于三角函数的图象及性质去研究 f(x) 的相应性质，解答过 程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失
误．
已知函数 f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期； π (2)若 x∈[0，2]，求 f(x)的最大、最小值．
是________，最小值是________．
3－ 2 [答案] π 2 2 π 3 [解析] 由题可得 f(x)＝ 2 sin(2x－4)＋2，所以最小正周期 T
3－ 2 ＝π，最小值为 2 .
高效课堂
●互动探究
讨论三角函数的性质
已知函数 f(x)＝sin x＋asinxcosx－cos x， 且 (1)求常数 a 的值及 f(x)的最小值；
●探索延拓 在实际中的应用 要把半径为 R 的半圆形木料截成长方形，应怎 样截取，才能使长方形截面面积最大？
[探究]
用三角函数表示长方形的面积，转化为求三角图， 设圆心为 O， 长方形截面面积为 S， ∠AOB＝α， 则 AB＝Rsinα，OB＝Rcosα， S＝(Rsinα)· 2(Rcosα) ＝2R2sinαcosα＝R2sin2α. 当 sin2α 取最大值，即 sin2α＝1 时，长方形截面积最大，不 π 难推出，α＝4时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于 R2. [规律总结] 本题中， 将长方形面积表示为三角函数式， 利用
值为－ 2.
π π π (2)令 2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2(k∈Z)， π 3π 整理得 kπ－8≤x≤kπ＋ 8 (k∈Z)； 又
π x∈0，2，则
3π 0≤x≤ 8 .
高中数学3.2简单的三角恒等变换导学案新人教版必修4
3. 2简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、 预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、 的三角恒等变换。
二、 预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：2、阅看课本 P139---141 例 1、2、3。
三、提出疑惑：课内探究学案一、 学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式， 积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆） ，进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训 练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
学习难点：认识三角变换的特点， 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力。
二、 学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、 2a 与a 有什么关系？ a 与a /2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的 应用。
2、 半角公式中的符号如何确定？ 3 、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例 2）请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。
COS ( a + 3 )=Cos( sin( t an(sin( tan( a + 3 )= a + 3 )=sin2a=ta n2cos2a =a - 3 )= a - 3 )= a - 3 )= a =余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单1、两角和与差的正弦、 余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2 、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例 3）请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。
1、 例3的过程中应用了哪些公式？2、 如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin （ w x+ $ ）的函数？并求y=as in x+bcosx 的周期，最大值和最小值.课后练习与提高、选择题:1 .已知 cos ( a + 3 ) cos ( a —3)=-，则 cos2 a — Sin 2 卩的值为()3C2.在△ ABC 中，若 sin A sin B =cos 2 ，则△ ABC 是()C. 不等边三角形D.直角三角形V3口3. sin a +sin 3 =—— (cos 3 — cos a ), 且 a €( 0,n 3等于（）三、反思、总结、归纳：sin a /2= cos a /2=tansina cos 3 =cos a sin 3 =cos a cos 3 = sin a sin 3 =sin0 +sin $ = sin 0 -sin $ =cos 0 +cos $ =cos0 -cos $ =四、当堂检测：课本 p143 习题3.2 A 组 1、 (3) (7) 2、(1) B 组a /2=A .B .C. D.A. 等边三角形B. 等腰三角形,3^( 0 ,n)，贝U a — 3A. — 2 nB.—n c.上 D. 2 n3333二、填空题4. sin20 ° cos70° +sin10° sin50 ° =5.已知a —3 = 2 n，且cos a +cos卩：=1，则cos ( a+ 3 )等于33三、解答题.5 sin — x6.已知f ( X)=—1+ J , x€( 0,n).2 X2 2sin2(1)将f (x)表示成cosx的多项式；(2)求f (x)的最小值.谍后练习琴芳答案；—S选择题m 比E 3, D二、埴空題:4. 1 5. -I4 P三、解答题Sr r 3rsinsin—2 cos —smx * Y5. 解(1) fM =------ 2 ------ L = ----- 2------- =2cos —cos—YoarfooQjMosY——1.”勺.K * . s 222 sin—2511122⑵(r) -2(8Sl+£) 2—芝，且一1 £CCIS.\<L二当匚曲戶一—时！J'(A")取寻眾小值一2.寧EL；! 4F 客。
【成才之路】2015版高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例(第2课时)练习 北师大版必修5
第二章 §3 第2课时一、选择题1．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( )A ．1507minB ．157hC ．21.5minD ．2.15h[答案] A[解析] 如图，设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－12)＝28x2－20x ＋100.当x ＝－b 2a ＝514时，s2最小，此时x ＝514h ＝1507min.2．如图所示，B 、C 、D 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从C 、D 两点测得A 点的仰角分别为β、α(α＜β)，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．asinαsinβ－B ．asinαsinβ－C ．asinαcosβ－ D ．acosαcosβ－[答案] A[解析] 由tanα＝AB a ＋CB ，tanβ＝AB CB ，联立解得AB ＝asinαsinβ－. 3．一质点受到平面上的三个力F1→、F2→、F3→(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1→、F2→成60°角，且F1→、F2→的大小分别为2和4，则F3→的大小为( )A ．6B ．2C ．25D ．27[答案] D [解析] 由题意，得F1→＋F2→＋F3→＝0，∴F1→＋F2→＝－F3→，∴(F1→＋F2→)2＝F3→2，∴F1→2＋F2→2＋2F1→·F2→＝F3→2，∴4＋16＋2×2×4×cos60°＝F3→2，∴F3→2＝28，∴|F3→|＝27.故选D ．4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里[答案] C[解析] 如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5，∴这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．5．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103米B ．1003米C ．203米D ．30米[答案] D[解析] 设炮台顶部为A ，两条船分别为B ，C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中，求得BD ＝30，DC ＝30 3.在△DBC 中，由余弦定理得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DCcos30°，解得BC ＝30.6.如图，在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，底部的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )A ．20(1＋33)mB ．20(1＋3)mC ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m[答案] B[解析] 由仰角与俯角的意义可知，∠DAE ＝60°，∠EAC ＝45°，又EC ＝20m ，∴BC ＝AE ＝20m ，在△AED 中，DE ＝AEtan60°＝203m.∴塔吊的高度是20(1＋3)m.二、填空题7．一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝________.[答案] 210[解析] 由题意知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝902＋1502－2×90×150×(－12)＝44100.∴AB ＝210，DE ＝210.8．在静水中划船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为________．[答案] 30°[解析] 水流速度与船速的合速度为v ，方向指向河岸，如图由题意可知sinα＝v 水v 船＝2040＝12 ∴α＝30°.三、解答题9．如图所示，海中一小岛周围3.8 n mile 内有暗礁，一船从A 由西向东航行望见此岛在北75°东．船行8 n mile 后，望见此岛在北60°东，如果该船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险．[解析] 在△ABC 中，AC ＝8，∠ACB ＝90°＋60°＝150°，∠CAB ＝90°－75°＝15°，∴∠ABC ＝15°. ∴△ABC 为等腰三角形，BC ＝AC ＝8，在△BCD 中，∠BCD ＝30°，BC ＝8，∴BD ＝BC·sin30°＝4>3.8.故该船没有触礁危险．10．海岛O 上有一座海拔1km 的山，山顶设有一观察站A ，上午11时测得一轮船在岛的北偏东60°的C 处，俯角为30°，11时10分，又测得该船在岛的北偏西60°的B 处，俯角为60°.(1)求该船的速度；(2)若此船以不变的船速继续前进，则它何时到达岛的正西方向？此时轮船所在点E 离海岛O 的距离是多少千米？[解析] (1)如图，在Rt △AOB 和Rt △AOC 中，OB ＝OAcot60°＝33，OC ＝OAcot30°＝3，在△BOC 中，由余弦定理得BC ＝OB2＋OC2－2OB·OCcos ∠BOC ＝393.∵由C 到B 用的时间为1060＝16(小时)， ∴该船的速度为39316＝239(千米/小时)．(2)在△OBC 中，由余弦定理，得cos ∠OBC ＝BC2＋OB2－OC22BC·OB ＝51326， ∴sin ∠OBC ＝1－cos2∠OBC ＝33926.∴sin ∠OEB ＝sin(∠OBE ＋∠EOB)＝sin ∠OBE·cos ∠EOB ＋cos ∠OBE·sin ∠EOB ＝1313.在△BEO 中，由正弦定理得OE ＝OBsin ∠OBE sin ∠OEB＝32， BE ＝OBsin ∠BOE sin ∠OEB＝396. ∴从B 到E 所需时间为：396÷239＝112(小时)＝5(分钟)．故船速为229千米/小时，该船于11时15分到达岛的正西方向，此时E 离海岛O 的距离是1.5千米.一、选择题1．如下图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )A ．1762海里/小时B ．346海里/小时C ．1722海里/小时D ．342海里/小时[答案] A[解析] 由题意知PM ＝68，∠MPN ＝120°，∠N ＝45°，由正弦定理知PM sin45°＝MN sin120°⇒MN ＝68×32×2＝346， ∴速度为3464＝1762(海里/小时)．2．如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心时，测得仰角∠BAC ＝30°时，气球的视角β＝1°，若θ很小时可取sinθ≈θ，试估算该气球的高BC 的值约为( )A ．72mB ．86mC ．102mD ．118m[答案] B[解析] 过C 作CD ⊥AD 于D ，在Rt △ADC 中，先求AC 的长，∵sinβ＝CD AC ，∴AC ＝CD sinβ＝3sin π180≈3π180＝180×3π，再在Rt △ABC 中求BC ， BC ＝ACsin30°＝90×3π≈86(m)．3．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m 到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m[答案] A[解析] 示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BD BC ，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．4．渡轮以15km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( )A ．14.5km/hB ．15.6km/hC ．13.5km/hD ．11.3km/h[答案] C[解析] 由物理学知识，画出示意图，如图．AB ＝15，AD ＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°，在△ADC 中，由余弦定理，得 AC ＝AD2＋CD2－2AD×CD×cosD＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C ．二、填空题5．有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现在要把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________米．[答案] 50(6－2)[解析] 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，AB ＝100，∴AC ＝50 2.又在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∴∠DAB ＝45°－30°＝15°.sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24. 在△ABD 中，由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， ∴BD ＝100×sin15°sin30°＝100×6－2412＝50(6－2)(米)．6．在灯塔上面相距50米的两点A 、B ，测得海内一出事渔船的俯角分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．[答案] 25(3＋1)(米)[解析] 由题意，作出图形如图所示，设出事渔船在C 处，根据在A 处和B 处测得的俯角分别为45°和60°，可知∠CBD ＝30°，∠BAC ＝45°＋90°＝135°，∴∠ACB ＝180°－135°－30°＝15°，又AB ＝50，在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin15°＝AC sin30°，∴AC ＝AB×sin30°sin15°＝50×126－24＝25(6＋2)(米)． ∴出事渔船离灯塔的距离CD＝22AC ＝6＋222＝25(3＋1)(米)． 三、解答题7．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD ．[解析] 如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD ．因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．答：山高CD 为2 186 m.8．如图所示，A 、B 两个小岛相距21n mile ，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9n mile/h 的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6n mile/h 的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．[解析] 行驶t 小时后，甲船行驶了9tn mile 到达C 处，乙船行驶了6tn mile 到达D 处．当9t<21，即t<73时，C 在线段AB 上，此时BC ＝21－9t ，在△BCD 中，BC ＝21－9t ，BD ＝6t ，∠CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－12)＝63t2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189.∴当t ＝2时，CD 取得最小值189＝321.当t ＝73时，C 与B 重合，此时CD ＝6×73＝14>321.当t>73时，BC ＝9t －21，则CD2＝(9t －21)2＋(6t)2－2×(9t －21)×6t×cos60°＝63t2－252t ＋441＝63(t －2)2＋189>189.综上可知，t ＝2时，CD 取最小值321，故行驶2h 后，甲、乙两船相距最近为321n mile.。
【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第三章三角恒等变换3.1.1
第三章 3.1 3.1.1基础巩固一、选择题1．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y[答案] B[解析] 原式＝cos(x ＋y )cos(x －y )＋sin(x ＋y )·sin(x －y )＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y . 2．若sin(π＋θ)＝－35，θ是第二象限角，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是( )A ．－55B ．55 C ．11525D ． 5[答案] B[解析] ∵sin(π＋θ)＝－35，且θ是第二象限角，∴sin θ＝35，cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫352＝－45. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－255，且φ是第三象限角， ∴cos φ＝－255，sin φ＝－55.∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫－255＋35×⎝⎛⎭⎫－55＝55.3．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] 由题意，得cos A cos B －sin A sin B >0. 即cos(A ＋B )>0，－cos C >0，cos C <0.又0<C <π，故π2<C <π，△ABC 为钝角三角形．4．若x ，y ∈R ，则cos x cos y ＋sin x sin y 的最大值为( )A ．2B ．32C ．1D ．12[答案] C[解析] cos x cos y ＋sin x sin y ＝cos(x －y )，故所求最大值为1. 5．若sin α·sin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1 D ．－1[答案] B[解析] ∵sin αsin β＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＝－1sin β＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝1sin β＝1， 由cos 2α＋sin 2α＝1得cos α＝0，∴cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝0＋1＝1. 6．若32sin x ＋12cos x ＝4－m ，则实数m 的取值范围是( ) A ．3≤m ≤5 B ．－5≤m ≤5 C ．3<m <5 D ．－3≤m ≤3[答案] A [解析] ∵32sin x ＋12cos x ＝32sin x ＋12cos x ＝cos x cos π3＋sin x sin π3＝cos(x －π3)＝4－m ，∴cos(x －π3)＝4－m ，∴|4－m |≤1，解得3≤m ≤5.二、填空题7．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则cos(α－π3)的值是________．[答案] 45[解析] cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，12cos α＋32sin α＝45， ∴cos(α－π3)＝12cos α＋32sin α＝45.8．已知tan θ＝34，θ∈(π2，π)，则cos(θ－π3)的值为____________．[答案]33－410[解析] ∵tan θ＝34，∴sin θ＝35，cos θ＝－45，∴cos(θ－π3)＝cos θcos π3＋sin θsin π3＝－45×12＋35×32＝33－410.三、解答题9．已知α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，求cos(α＋π4)的值．[解析] ∵α、β∈(3π4，π)，sin(α＋β)＝－35，sin(β－π4)＝1213，∴α＋β∈(3π2，2π)，β－π4∈(π2，3π4)，∴cos(α＋β)＝1－(－35)2＝45，cos(β－π4)＝－1－(1213)2＝－513，∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)·cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝45×(－513)＋(－35)×1213＝－5665. 10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，求cos α的值． [解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45， 且π4<α<3π4， ∴π2<α＋π4<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝－35×22＋45×22＝210.能力提升一、选择题1．(高考浙江卷)若0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝( )A ．33B ．－3399[答案] C[解析] 根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63，所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539. 2．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，且α、β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( ) A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6[答案] C[解析] ∵0<α<π2，0<β<π2，α<β，∴－π2<α－β<0.又cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－255.又∵0<2α<π，cos2α＝1010， ∴sin2α＝1－cos 22α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×(－255)＝－22. 又0<α＋β<π，故α＋β＝3π4.3．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( ) A ．3－4310B ．4－331055[答案] A[解析] ∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45. ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6＋α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin π6 ＝－45×32＋35×12＝3－4310.4．已知sin α＋sin β＝45，cos α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为( )A ．925B ．1625C ．12D ．－12[答案] D[解析] 由已知，得(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫352＝1， 所以2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1. 所以cos(α－β)＝－12.二、填空题5．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝________. [答案]32[解析] 原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)] ＝cos30°＝32. 6．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos α，则tan α＝________. [答案]33[解析] cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝12cos α＋32sin α＝cos α，∴32sin α＝12cos α，∴sin αcos α＝33，即tan α＝33. 三、解答题7．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2. [解析] ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π，α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53.∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2·sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋23×459＝7527.8．已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0,0<φ<π，x ∈R )的最大值是1，其图象经过点M (π3，12)．(1)求f (x )的解析式；(2)已知α、β∈(0，π2)，且f (α)＝35，f (β)＝1213，求f (α－β)的值．[解析] (1)由题意，知A ＝1，则f (x )＝sin(x ＋φ)．将点M (π3，12)代入，得sin(π3＋φ)＝12.而0<φ<π，∴π3＋φ＝56π，∴φ＝π2，故f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)由题意，有cos α＝35，cos β＝1213.∵α、β∈(0，π2)，∴sin α＝1－(35)2＝45，sin β＝1－(1213)2＝513，∴f (α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×1213＋45×513＝5665.。
【成才之路】高中数学 第三章 函数学 的应用 函数学 模型及其应用 函数学 模型的应用实例课件 新人
①一次性存入5年，本金和利息的总和为
1 000＋5×1 000×2.88%＝1 144(元)；
②存一个三年，再存一个两年，
人 教
A
(1
000＋3×1
000×2.70%)(1＋2×2.43%)＝1133.54(元)；
版 数
学
③存三年，再存两个一年，
1 000(1＋3×2.70%)(1＋2.25%)2＝1130.19(元)；
的最大值，并指出日销售金额最大是第几天．
第三章 函数的应用
[分析] 日销售金额＝日销售量×日销售价格，而日 销售量及销售价格(每件)均为t的一次函数，从而日销售金
额为t的二次函数，该问题为二次函数模型．
[解析] 设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，
人 教
A
版
所以y＝－ t2－t2＋ 14020t＋t＋4800000
版 数
学
款．某顾客购买茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若购
买茶杯数x个，付款为y(元)，试分别建立两种优惠办法中，
y与x的函数关系式，并指出如果该顾客需要购买茶杯40个，
应选择哪种优惠办法？
第三章 函数的应用
[解析] 由优惠办法(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x －4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．
所以y＝15(3－t2)＋35t＝－15t－322＋2210.
第三章 函数的应用
当t＝32时，ymax＝2210＝1.05(万元)，x＝34＝0.75(万元)，
所以3－x＝2.25(万元)．
由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资
人 教
A
金投入分别为0.75万元和2.25万元，总共获得利润为1.05万
3＋B(35－A)＋C＝19 ④
【成才之路】2015版高中数学(人教版必修5)配套课件：3.2 一元二次不等式及其解法 第1课时
第三章
3.2
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修5
1 解法二：∵原不等式的解集为{x|－3≤x≤2}． 1 ∴－3，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，且 a<0. b 1 －3＋2＝－a 由根与系数的关系得 －1×2＝c a 3 5 b a＝－3 即 c＝－2 3 a
函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．
第三章
3.2
第1课时
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由图象可知，当 x∈{ － 1,3} 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为x1＝－1，x2＝3. 当x∈{x|x<－1或x>3}时，y>0， ∴不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}．
第1课时
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解下列不等式． (1)－2x2＋x＋1<0； (2)－x2＋2x－3>0.
[ 解析]
(1)原不等式可化为 2x2－x－1>0，
∵Δ＝9>0，方程 2x2－x－1＝0 的两根分别为 1 x1＝－2，x2＝1， 1 ∴原不等式的解集为{x|x<－2或 x>1}． (2)∵Δ＝－8<0，∴方程 x2－2x＋3＝0 无实数根， ∴原不等式的解集为∅.
x1 ＝x2 b ＝－2a {x|x≠ b －2a} ∅
没有实数根
R ∅
第三章 3.2 第1课时
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画出函数 y＝x2－2x－3 的图象，观察图象．回答问题： (1)x ∈ ________ 时， y ＝ 0 ，方程 x2 － 2x － 3 ＝ 0 的根为 ________． (2)x∈________时，y>0，∴不等式 x2－2x－3>0 的解集为 ________； (3)x∈________时，y<0，∴不等式 x2－2x－3<0 的解集为 ________．
《成才之路》2015版高中数学(人教版B版·必修5)配套课件3.1不等关系与不等式第1课时
[正解] ∵1＋1 x－(1－x)＝1＋x2 x，x2≥0. ①当 x＝0 时，1＋x2 x＝0，∴1＋1 x＝1－x. ②当 1＋x<0，即 x<－1 时，1＋x2 x<0，∴1＋1 x<1－x. ③当 1＋x>0 且 x≠0，即－1<x<0 或 x>0 时，1＋x2 x>0，∴1＋1 x >1－x.
• 你对不等式感兴趣吗？那么就让我们一起来 研究不等式的初步问题吧！
第三章 3.1 不等关系与不等式
第1课时 不等关系与不等式
1 课前自主预习 2 课堂典例讲练
3 易错疑难辨析 4 课时作业
课前自主预习
• 乘坐公交车时常有如下规定：儿童身高不超 过1.1m免票，老人超过70岁凭证免票，这里
的“不超过”、“超过”该如何理解？从数 学的角度，该如何表示上述条件？
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8 －x－0.21.5×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：(8－x－0.21.5×0.2)x≥20.
易错疑难辨析
[错解]
设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． ∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x，而 x2≥0.
• [答案] ≤ • [解析] f(x)－g(x)＝3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－
3x2)＋(x－1) • ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)， • ∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1>0， • ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. • ∴f(x)≤g(x)．
若 x>y>0，试比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小．
三角恒等式与导数综合应用
三角恒等式与导数综合应用三角恒等式是高中数学中常见的重要概念，它们在解题过程中起到了至关重要的作用。
结合导数的综合应用，本文将介绍三角恒等式在求导、解析几何和物理问题中的应用。
一、三角恒等式与求导1.1 恒等式cos²θ + sin²θ = 1这是最基本的三角恒等式之一。
结合求导，可以应用于解析几何问题。
考虑单位圆x² + y² = 1，令x = cosθ，y = sinθ，则恒等式可以写为cos²θ + sin²θ = 1，这表示单位圆上的点满足该恒等式。
在求导时，对x和y分别求导得到dx/dθ = -sinθ 和dy/dθ = cosθ。
利用链式法则，可以得到dy/dx = (dy/dθ) / (dx/dθ) = (cosθ) / (-sinθ) = -cotθ。
1.2 恒等式1 + tan²θ = sec²θ结合求导，这个恒等式可以应用于物理问题的求解。
考虑一个物体以θ角度斜抛，它的水平速度为v₀cosθ，垂直速度为v₀sinθ，其中v₀为初速度。
根据力学定律，物体的加速度在水平方向上为0，在竖直方向上为-g（g为重力加速度）。
利用竖直方向的加速度可以得到v(t) = v₀sinθ - gt。
考虑物体的运动轨迹为抛物线，设竖直方向上的位移为y，水平方向上的位移为x，则y = v₀t*sinθ - 1/2*gt²，x = v₀t*cosθ。
由此得到y² = (v₀t*sinθ - 1/2*gt²)²，x² = (v₀t*cosθ)²。
根据恒等式1 + tan²θ = sec²θ，可将y²和x²重新表示为：y² = x²*tan²θ + (1/2*g*x²) / (v₀²*cos²θ)。
高一数学(人教A版)必修4精品课件：3-2-2 三角恒等式的应用 公开课一等奖课件
第三章
3．2.2 三角恒等式的应用
第三章
三角恒等变换
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课前自主预习
课堂典例讲练
课后强化作业
第三章
3.2 3.2.2
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课前自主预习
第三章
3.2 3.2.2
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[解析]
第三章
3.2 3.2.2
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函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx的周期T＝________.
[答案]
[解析]
π
1－cos2x 1 ∵f(x)＝ ＋ sin2x 2 2
1 1 ＝ (sin2x－cos2x)＋ 2 2 π 1 2 2π 2 x － ＝ sin 4＋2.∴T＝ 2 ＝π. 2
第三章
3.2 3.2.2
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自主预习 三角恒等变换 (1)asinα＋bcosα＝ sin(α＋θ)(ab≠0)，其中tanθ b b a ，a和b的符号确定θ所在的象限．情况． 3
第三章
第三章
3.2 3.2.2
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课堂典例讲练
第三章
3.2 3.2.2
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思路方法技巧
命题方向1 讨论三角函数的性质
已知函数f(x)＝sin x＋asinxcosx－cos (1)求常数a的值及f(x)的最小值；
高中数学 3.2.2三角恒等式的应用课时作业 新人教A版必
【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.2.2三角恒等式的应用课时作业 新人A 教版必修4基础巩固一、选择题1．已知tan α2＝3，则cos α－sin α＝( )A ．45B ．－45C ．75D ．－75[答案] D[解析] ∵tan α2＝3，∴tan 2α2＝1－cos α1＋cos α＝9， ∴cos α＝－45.∵tan α2＝sin α1＋cos α，∴sin α＝3×(15)＝35，∴cos α－sin α＝－45－35＝－75.2．(2013·江西文)若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23[答案] C[解析] 本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2α2＝1－2(33)2＝13. 3．函数y ＝sin x 1＋cos x 的周期等于( )A ．π2B ．πC ．2πD ．3π[答案] C[解析] y ＝2sin x 2cosx22cos2x 2＝tan x 2，T ＝π12＝2π.4．函数y ＝12sin2x ＋sin 2x 的值域是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 [答案] C[解析] ∵y ＝12sin2x ＋sin 2x ＝12sin2x ＋1－cos2x 2＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－22，12＋22.5．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x＋cos x 的最大值是( )A ．223B ．233C ．43D ．263[答案] B[解析] 由于函数f (x )的图象关于x ＝5π3对称，则f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，∴a ＝－32－a 2，∴a ＝－33，∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3，∴g (x )max ＝233.6．函数y ＝cos 2ωx －sin 2ωx (ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )＝2sin(ωx ＋π4)的一个单调递增区间是( )A ．[－π2，π2]B ．[5π4，9π4]C ．[－π4，3π4]D ．[π4，5π4][答案] B[解析] y ＝cos 2ωx －sin 2ωx ＝cos2ωx (ω>0)， 因为函数的最小正周期为π，故2π2ω＝π，所以ω＝1.则f (x )＝2sin(ωx ＋π4)＝2sin(x ＋π4)，∴2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，当k ＝1时，函数的一个增区间是[5π4，9π4]．二、填空题7．函数f (x )＝sin x －cos x 的递增区间是________． [答案] [2k π－π4，2k π＋34π](k ∈Z )[解析] ∵f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4)，∴2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2，即2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4(k ∈Z )8．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的周期为π2，则ω＝________.[答案] 2 [解析] f (x )＝32sin2ωx －1＋cos2ωx 2＝32sin2ωx －12cos2ωx －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12，则有2π2ω＝π2，∴ω＝2.三、解答题9．已知向量OP →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1) OQ →＝(cos x ，－1)，定义f (x )＝OP →·OQ →.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最大值和最小值． [解析] (1)∵f (x )＝OP →·OQ →＝(2cos x ＋1，cos2x －sin x ＋1)·(cos x ，－1) ＝2cos 2x ＋cos x －cos2x ＋sin x －1 ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数f (x )＝2sin(x ＋π4)的最小正周期为2π.(2)当x ＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z 即x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )max ＝ 2.当x ＋π4＝2k π－π2即x ＝2k π－3π4，k ∈Z 时，f (x )min ＝－ 2.10．某一扇形铁皮，半径长为1，圆心角为π3，今铁皮匠想从中剪下一个矩形ABCD ，如右图所示，设∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大，并求出这个最大面积．[解析] 在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α. 在Rt △OAD 中，DA OA＝tan60°＝3， ∴OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α， ∴AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin α·cos α－33sin 2α＝12sin2α－36(1－cos2α) ＝12sin2α＋36cos2α－36α ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.∵0<α<π3，∴当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝33－36＝36.能力提升一、选择题1．函数y ＝cos 4x －sin 4x ＋2的最小正周期是( ) A ．π B ．2π C ．π2D ．π4[答案] A[解析] y ＝cos 2x －sin 2x ＋2＝cos2x ＋2，.T ＝2π2＝π.2．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 [答案] C[解析] y ＝cos 2(x －π2)＋sin 2(x ＋π12)－1＝1＋cos 2x －π62＋1－cos 2x ＋π62－1＝cos 2x －π6－cos 2x ＋π62＝cos2x cos π6＋sin2x sin π6－cos2x cos π6＋sin2x sinπ62＝sin2x2. ∵2π2＝π，且sin(－2x )＝－sin2x . 3．(2011·重庆高考)设△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6[答案] C[解析] ∵m ·n ＝1＋cos(A ＋B )＝3sin A cos B ＋3cos A sin B ， ∴3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )． 又A ＋B ＝π－C ， ∴整理得sin(C ＋π6)＝12.∵0<C <π，∴π6<C ＋π6<7π6.∴C ＋π6＝5π6.∴C ＝2π3.4．设M ＝{平面内的点(a ，b )}，N ＝{f (x )|f (x )＝a cos2x ＋b sin2x }，给出M 到N 的映射f ：(a ，b )→f (x )＝a cos2x ＋b sin2x ，则点(1，3)的象f (x )的最小正周期为( )A ．π2B ．π4C ．πD ．2π [答案] C[解析] 点(1，3)的象f (x )＝cos2x ＋3sin2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin2x ＋12cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 二、填空题5．(全国高考全国卷)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x <2π)取得最大值时，x ＝______________.[答案]5π6[解析] 由y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)由0≤x <2π⇔－π3≤x －π3<5π3可知－2≤2sin(x －π3)≤2，当且仅当x －π3＝π2时即x ＝5π6取得最大值．6．关于函数f (x )＝sin2x －cos2x ，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的周期为π；②直线x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；③点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin2x 的图象．其中真命题的序号是________． [答案] ①③[解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 则T ＝2π2＝π；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π4＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4不是函数f (x )的最值，则直线x ＝π4不是y ＝f (x )的图象的一条对称轴；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8－π4＝0，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的图象的一个对称中心；将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，不是y ＝2sin2x 的图象，故①③正确，②④错误．三、解答题7．已知函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域．[解析] (1)f (x )＝1－cos2ωx ＋23sin ωx cos ωx＝1－cos2ωx ＋3sin2ωx＝3sin2ωx －cos2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋1. 因为函数f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. 因为0≤x ≤2π3，所以－π6≤2x －π6≤7π6.所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1.因此0≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1≤3， 即f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域为[0,3]． 8．(创新探究)点P 在直径AB ＝1的半圆上移动，过P 作圆的切线PT 且PT ＝1，∠PAB ＝α，问α为何值时，四边形ABTP 面积最大？[解析] 如图所示，∵AB 为直径，∴∠APB ＝90°，AB ＝1， ∴PA ＝cos α，PB ＝sin α.又PT 切圆于P 点，∠TPB ＝∠PAB ＝α， ∴S 四边形ABTP ＝S △PAB ＋S △TPB ＝12PA ·PB ＋12PT ·PB ·sin α ＝14sin2α＋14(1－cos2α) ＝14(sin2α－cos2α)＋14 ＝24sin(2α－π4)＋14.∵0<α<π2，－π4<2α－π4<34π，∴当2α－π4＝π2，即α＝38π时，S 四边形ABTP 最大.。
【成才之路】高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.1.3 [ 高考]
![【成才之路】高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.1.3 [ 高考]](https://img.taocdn.com/s3/m/269f91a0bceb19e8b8f6ba75.png)
第三章
3.1
3.1.3
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(3)升幂和降幂公式
α α2 升幂公式：1＋sinα＝sin2＋cos2 ； α α2 1－sinα＝sin2－cos2 ；
1＋cosα＝2cos 2；1－cosα＝2sin 2. 降幂公式： 1＋cos2α 1－cos2α 2 cos α＝ ；sin α＝ . 2 2
第三章
3.1
3.1.3
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cos10° － 3sin10° (4)原式＝ sin10° cos10° 1 3 22cos10° － 2 sin10° ＝ sin10° cos10° 4sin30° cos10° －cos30° sin10° ＝ 2sin10° cos10° 4sin20° ＝ sin20°＝4.
[规律总结] 函数而得解． 解决此类问题的关键是利用非特殊角与特殊角 间的关系，结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角
第三章
3.1
3.1.3
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tan12° － 3 计算： . 4cos212° －2sin12° sin12° － 3cos12° [解析] 原式＝2sin12° cos12° cos24°
2
sin2α 8 17 ∴tan2α＝cos2α＝ 17 .
[点评] 解题过程中注意角 α 的范围的判定．
第三章 3.1 3.1.3
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用倍角公式证明三角恒等式
1＋sin4θ－cos4θ 1＋sin4θ＋cos4θ 求证： ＝ . 2tanθ 1－tan2θ
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三、解答题
9．已知向量＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)
＝(cosx，－1)，定义f(x)＝·.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的最大值和最小值．
[解析](1)∵f(x)＝·
＝(2cosx＋1，cos2x－sinx＋1)·(cosx，－1)
＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1
[解析]∵f(x)＝sinx－cosx＝sin(x－)，
∴2kπ－≤x－≤2kπ＋，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)
8．已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx(ω>0)的周期为，则ω＝________.
[答案]2
[解析]f(x)＝sin2ωx－
＝sin2ωx－cos2ωx－
＝sin－，
A．B．
C．D．
[答案]C
[解析]∵y＝sin2x＋sin2x＝sin2x＋＝＋sin，
∴值域为.
5．已知函数f(x)＝sinx＋acosx的图象的一条对称轴是x＝，则函数g(x)＝asinx＋cosx的最大值是()
A．B．
C．D．
[答案]B
[解析]由于函数f(x)的图象关于x＝对称，
则f(0)＝f，∴a＝－－，∴a＝－，
∴g(x)＝－sinx＋cosx
＝sin，
∴g(x)max＝.
6．函数y＝cos2ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期是π，则函数f(x)＝2sin(ωx＋)的一个单调递增区间是()
A．[－，]B．[，]
C．[－，]D．[，]
[答案]B
[解析]y＝cos2ωx－sin2ωx＝cos2ωx(ω>0)，
2．(2013·Biblioteka 西文)若sin＝，则cosα＝()
A．－B．－
C．D．
[答案]C
[解析]本题考查了余弦的二倍角公式．因为sin＝，所以cosα＝1－2sin2＝1－2()2＝.
3．函数y＝的周期等于()
A．B．π
C．2πD．3π
[答案]C
[解析]y＝＝tan，T＝＝2π.
4．函数y＝sin2x＋sin2x的值域是()
因为函数的最小正周期为π，故＝π，所以ω＝1.
则f(x)＝2sin(ωx＋)＝2sin(x＋)，
∴2kπ－≤x＋≤2kπ＋
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，当k＝1时，函数的一个增区间是[，]．
二、填空题
7．函数f(x)＝sinx－cosx的递增区间是________．
[答案][2kπ－，2kπ＋π](k∈Z)
【成才之路】2015-2016学年高中数学3.2.2三角恒等式的应用课时作业新人A教版必修4
基础巩固
一、选择题
1．已知tan＝3，则cosα－sinα＝()
A．B．－
C．D．－
[答案]D
[解析]∵tan＝3，∴tan2＝＝9，
∴cosα＝－.
∵tan＝，∴sinα＝3×()＝，
∴cosα－sinα＝－－＝－.
＝sinx＋cosx
＝sin(x＋)，
∴函数f(x)＝sin(x＋)的最小正周期为2π.
(2)当x＋＝2kπ＋，k∈Z即
x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝.
当x＋＝2kπ－即x＝2kπ－，k∈Z时，
f(x)min＝－.
10．某一扇形铁皮，半径长为1，圆心角为，今铁皮匠想从中剪下一个矩形ABCD，如右图所示，设∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大面积．
[解析]在Rt△OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.
在Rt△OAD中，＝tan60°＝，
∴OA＝DA＝BC＝sinα，
∴AB＝OB－OA＝cosα－sinα.
设矩形ABCD的面积为S，则
S＝AB·BC
＝(cosα－sinα)sinα