4-4渐开线与摆线
人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线
解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
林老师网络编辑整理
24
归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动 地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可 知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相 对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
林老师网络编辑整理
10
2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
林老师网络编辑整理
22
由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
林老师网络编辑整理
23
[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过 一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数 方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
林老师网络编辑整理
12
4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．
第二讲 四渐开线与摆线
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 x＝3cos φ＋φsin φ， π 所以基圆半径 r＝3.然后把 φ＝ 2 y＝3sin φ－φcos φ，
代入方程，可得 y ＝ 3 sin
3π x＝ 2 ， 即 y＝3.
金品质•高追求 我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
利用向量来建立摆线的参数方程． 解析：如图所示，设半径为a的圆在x轴上滚动，开始时 定点M在原点O处．取圆滚动时转过的角度 (以弧度为单位) 为参数．当圆滚过φ角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A， 定点M的位置如图所示，∠ABM＝ .
金品质•高追求
我们让你更放心！
返回
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
4．基圆半径为 1 的渐开线方程是____________．
x＝cos φ＋φsin 5． 已知圆的渐开线的参数方程是 y＝sin φ－φcos
φ， φ
(φ
为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数 π φ＝ 时，对应的曲线上的点的坐标为________________． 4
，再代入求出x值．
返回
我们让你更放心！
◆数学•选修4-4•(配人教A版)◆
解析： (1)圆 C 平移后圆心为 O(0,0)， 它到直线 x－y－6 2 6 2 ＝0 的距离为 d＝ ＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和 2 圆是相切的． (2) 由 于 圆 的 半 径 是 6 ， 所 以 可 得 摆 线 方 程 是 x＝6φ－6sin φ， (φ 为参数)． y＝6－6cos φ (3) 令 y ＝ 0 ， 得 6 － 6cos φ ＝ 0 ⇒ cos φ ＝ 1 ， ∴φ ＝ 2kπ(k∈Z)．代入 x＝6φ－6sin φ，得 x＝12kπ(k∈Z)，即圆的 摆线和 x 轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．
高中数学 第2讲 参数方程 4 渐开线与摆线学案 新人教A版选修4-4(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第2讲参数方程4 渐开线与摆线学案新人教A 版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2讲参数方程4 渐开线与摆线学案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第2讲参数方程4 渐开线与摆线学案新人教A版选修4-4的全部内容。
四渐开线与摆线1．借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹（平摆线）、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹（渐开线），了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．(重点)2．通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的实例．(难点)[基础·初探]教材整理1 渐开线及其参数方程阅读教材P40～P41“思考”及以上部分，完成下列问题．1．把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是错误!（φ为参数）．教材整理2 摆线及其参数方程阅读教材P41～P42，完成下列问题．1．当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线．2．设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是错误!（φ是参数)．错误!(φ为参数)表示的是( )A．半径为5的圆的渐开线的参数方程B．半径为5的圆的摆线的参数方程C．直径为5的圆的渐开线的参数方程D．直径为5的圆的摆线的参数方程【解析】根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确．【答案】B［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑:圆的渐开线的参数方程A，B对应的参数分别是错误!和错误!，求A,B两点的距离.【导学号：91060027】【思路探究】先写出圆的渐开线的参数方程，再把A，B对应的参数代入参数方程可得对应的A，B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式可得A，B之间的距离．【自主解答】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是错误!（φ为参数)，分别把φ＝错误!和φ＝错误!代入，可得A，B两点的坐标分别为A错误!，B错误!。
第2讲-渐开线和摆线 共27页
即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．
课
代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2， 当
前
堂
自 主 导 学
所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈Z)．
双 基 达 标
又由实际可知 r>0，所以 r＝k1π(k∈N＋)．易知，当 k＝1
当 堂 双
主
基
导 学
解参数方程的过程，可知其中的字母 r
达 标
是指基圆的半径，而参数 φ 是指绳子外
端运动时绳子与基圆的切点 B 转过的角
课
堂 互
度，如图，其中的∠AOB 即是角 φ.显然
课
动
时
探 究
点 M 由参数 φ 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利
作 业
用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使
φ， φ
(φ 为参数)，
堂 双 基 达
学
分别把 φ＝π3和 φ＝π2代入，
标
课 堂 互
可得
A、B
两点的坐标分别为
3＋ A( 6
3π，3
36－π)，
课
动 探 究
B(π2，1)．
时 作 业
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
课
当
前 自 主 导
|AB|＝
3＋ 6
课 时 作 业
线)的生成过程；了解摆线在实际应用中的
实例.
菜单
新课标 ·数学 选修4-4
1．渐开线及其参数方程
课
当
前 自
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头
人教版A版高中数学选修4-4渐开线与摆线
3.通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开 线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在 实际中应用的实例(例如,最速降线是平摆线,椭圆是特殊 的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割 机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共 汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
【解】 (1)C1 是圆,C2 是直线.C1 的普通方程为 x2＋y2＝1,
圆心 C1(0,0),半径 r＝1.
C2 的普通方程为 x－y＋ 2＝0.因为圆心 C1 到直线 x－y＋
2＝0 的距离为 1,所以 C2 与 C1 只有一个公共点.
x＝cos θ (2)压缩后的参数方程分别为 C1′:y＝12sin θ
(φ 为参数)
的右顶点,则常数 a 的值为________.
解析:直线
x＝t， l:y＝t－a
消去参数 t 后得 y＝x－a.
椭圆
x＝3cos φ， C:y＝2sin φ
消去参数 φ 后得x92＋y42＝1.
又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y＝x－a 得 a＝3. 答案:3
的极坐标方程为 ρ＝2 2sin(θ＋π4). (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.
解:(1)消去参数 t,得直线 l 的直角坐标方程为
y＝2x－3;
ρ＝2 2sin(θ＋π4),即 ρ＝2(sin θ＋cos θ),两边同乘以 ρ 得 ρ2
的距离 d＝ 2 ＝ 2, 2
【名师点评】 消去参数可得普通方程,在关于正弦余弦 函数时常利用平方和关系消参.
变式训练
5.直线yx＝＝－1＋1－4t 3t (t 为参数)被曲线 ρ＝ 2cos(θ＋π4)所截 的弦长为多少？
高考数学平摆线和渐开线
自主预习
讲练互动
课堂达标
1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
自主预习
讲练互动
课堂达标
【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
课堂达标
题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
自主预习
讲练互动
课堂达标
人教版高中数学选修4-4课件：2.3直线的参数方程 2.4 渐开线与摆线
9
【解析】经过点M(1,-3)且倾斜角为 的直线,以定点 3
M到动点P的位移t为参数的参数方程是x
1
tcos
， 3
(t为参数)即为
x
1(1t为t，参数) 2
y
3
tsin
， 3
答案:
x
1
1(tt，为参y 数3) 2
3 t. 2
y 3
三 直线的参数方程 四 渐开线与摆线
林老师网络编辑整理
1
【自主预习】
1.直线的参数方程
已知直线l经过点M0(x0,y0),倾斜角为
(
点M(x,y) )，
为直线l上任意一点,则直线l的普通方程和参2 数方程分
别为
林老师网络编辑整理
2
普通方程
参数方程
_y_-_y_0_=_t_a_n_α__(_x_-_x_0_) __xy__yx_00__ttsc_ion_s_，_ (t为参数) 其中,直线的参数方程中参数t的绝对值|t|=_Muu_u0u_Mur_. .
3
倾斜角
，
2
2
2. 3
林老师网络编辑整理
29
(2) x
1
1 t, 不2 是直线参数方程的标准形式,
令t′=y -t2,得 到23 t标准形式的参数方程为
x
1
1 2
t,
(t′为参数)
y 2
3 t. 2
林老师网络编辑整理
30
3.已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°. (1)写出直线l的参数方程. (2)求直线l与直线x-y+1=0的交点.
高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）4-4(1)
【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二讲三、四 直线的参数方程 渐开线与摆线课时训练（含解析）新人教A 版选修4-41．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，那么点P 到直线l 的距离为( )C ．1 答案：B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t y ＝－33＋32t (t 为参数)和圆x2＋y2＝16交于A ，B 两点，那么AB 的中点坐标为() A ．(3，－3) B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋ty ＝1－t (t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )B ．4014答案：C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t y ＝3t (t为参数)被双曲线x2－y2＝1截得的弦长为( ) A ．210C ．2 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋tcos θy ＝b ＋tsin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值别离为t 一、t2，那么线段BC 的中点M 对应的参数值是( )答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，那么P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22) C ．(－3，－4) D ．(125，125) 答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t y ＝2－3t (t 为参数)，那么l 上任一点到定点(1,2)的距离是( ) A ．t B ．|t||t|答案：C8．(2021·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系．假设极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，那么|AB|＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2，y ＝t3，∴x3＝y2(x≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，x3＝y2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－8，∴|AB|＝4－42＋8＋82＝16.答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－tsin π6y ＝2＋tcos π6(t 为参数)，那么直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 通过点P(1,1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x2＋y2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋tcos π6y ＝1＋tsin π6， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32t y ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x2＋y2＝4，得(1＋32t)2＋(1＋12t)2＝4， t2＋(3＋1)t －2＝0，t1t2＝－2，那么点P 到A ，B 两点的距离之积为2.11．(2021·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程别离为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P 为C1的圆心，Q 为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t3＋a ，y ＝b 2t3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y －2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋y －22＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x1＝0，y1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧ x2＝2，y2＝2. 因此C1与C2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)． 注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标别离为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab 2＋1.[ 因此⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2. 12．过抛物线y2＝4x 的核心F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y2＝4x 的核心为F(1,0)，设过核心F(1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22ty ＝22t(t 为参数)，将此代入y2＝4x ， 得t2＋42t －8＝0，设那个方程的两个根为t1，t2，由根与系数的关系，有t1＋t2＝－42，t1·t2＝－8，∴|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝ －422＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。
摆线泵与渐开线齿轮泵比较
摆线泵与渐开线齿轮泵比较
摆线泵是一种为输送液质流体而提供中、低压力的装置，它与渐开线齿轮泵比较，在相同的结构尺寸条件下具有流量大的优点。
由于摆线泵的核心技术—摆线齿轮副的设计计算理论和制造方法在工程中远未如渐开线齿轮普及，因而摆线泵在工程中的应用甚少，往往仅在一些国外机械产品中有所发现。
设计开发摆线泵局部替代渐开线齿轮泵，达到减少原材料的消耗，于生产企业具有降低产品成本的效益，对社会则有利于资源合理利用和环境保护。
摆线泵的原理：
电机旋转带动摆线泵吸油，再将油输送到润滑点，出油口压力可通过溢流阀调节。
最远润滑点到泵出油口为4-5m，吸油高度为500mm。
摆线泵需要注意的安全事项
①为了保护儿童，请不要让儿童靠近。
儿童看不懂所写的安全事项，儿童不理解安全的重要性。
②为了防止事故发生，请在使用时准备好灭火器。
③电机使用的场所，要有明确关闭电源的方法指示。
④用户购买油泵和电机后必须对操作者做彻底的安全教育，完全明白方法后，方能操作。
⑤在搬运、安装、配线时，必须由专业人员进行，不然会损坏机器。
⑥在打开包装时，请注意上下，不要倒放，注意安全。
⑦购买产品后，到货时，请确认型号是否正确，以防搞错。
⑧在搬运过程中，不要随意打开包装，以免损伤机器。
⑨在运输过程中，不要把会移动的物品靠近包装，防止碰击，损伤油泵。
⑩油泵上的铭牌是纸做的，请保持清洁，安装时不要损坏，请做好保护措施。
参考资料：/。
2014年人教A版选修4-4教案 四 渐开线与摆线
1、当 ， 时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。(BC层)
2、求圆的渐开线 上当 对应的点的直角坐标。(BC层)
3、求摆线 与直线 的交点的直角坐标(A层)
四、课堂小结
课
后
学
习
教
学
内
容
分
析
教学
重点
圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学难点Biblioteka 圆和摆线的渐开线参数方程与普通方程的互化
教学流程与教学内容
一、本节知识点：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （ 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（ 为参数）
二、典型例题：
例1求半径为4的圆的渐开线参数方程（学生尝试练习）
例2求半径为2的圆的摆线的参数方程
例3、设圆的半径为8，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 的最大值，说明该曲线的对称轴。（A层）
课题
渐开线与摆线
三
维
教
学
目
标
知识与
能力
1、了解圆的渐开线的参数方程
2、了解摆线的生成过程及它的参数方程（BC层）
3、学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤（A层）
过程与
方法
能培养学生的逻辑推理能力和思维能力
情感、
态度、
价值观
通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第二讲 2.4 渐开线与摆线
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．对 照一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ， (φ 为参数)可求 r 的值，然 y＝rsin φ－φcos φ
栏 目 链 接
π 后把 φ＝ 代入方程，即得对应的点的坐标． 2
解析： 所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ，
栏 目 链 接
所以基圆半径 r＝3. π 把 φ＝ 代入方程，可得 2
π π π y＝3sin 2－2cos 2，
x＝3π， 2 即 y＝3.
π π π x＝3cos 2＋2sin 2，
π ∴A2－1，1.
栏 目 链 接
3π 当 t2＝ 时， 2 3π 3π 3π x＝ －sin ＝ ＋1， 2 2 2
3π y＝1－cos ＝1， 2
3π ∴B 2 ＋1，1.
栏 目 链 接
故 A，B 两点间的距离为 |AB| ＝ π＋2.
3π π 2 ＋1－ －1 ＋1－12 ＝ π＋22 ＝ 2 2
第二讲 参数方程
2.4 渐开线与摆线
栏 目 链 接
1. 了解圆的渐开数的参数方程，了解摆线的生
成过程及它的参数方程。 2. 掌握用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和 步骤。
栏 目 链 接
栏 目 链 接
1．以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直 角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：
线 y＝1 相交与 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离．
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos t＝0， 又 0≤t≤2π， π 3π ∴t1＝ ，t2＝ . 2 2 π 当 t1＝ 时， 2
高二数学人教A版选修4-4课件：第二讲 四 渐开线与摆线
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过 α 角时，圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 AM 的
长相等，它们的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， 向量―O→B ＝(2α，2)，向量―M→B ＝(2sin α，2cos α)， ―BM→＝(－2sin α，－2cos α)，因此―OM→＝―O→B ＋―BM→ ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))． 又动点 M 的坐标为(x，y)，向量―OM→＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．
高中数学第二讲参数方程2.4渐开线与摆线课件新人教A版选修4_4
-6-
四 渐开线与摆线
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”. (1)只有圆才有渐开线. ( × )
(2)渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以
变式训练 1 已知圆的渐开线的参数方程是
������ ������
= =
csions������������-���+���c���o���ss���i���n������,(φ
为参数),则此渐开线对应的基圆的直径
是
,当参数 φ=π4时对应的曲线上的点的坐标
为
.
答案：2
√2 2
+
√2π 8
,
√2 2
四 渐开线与摆线 探究一
探究二
思维辨析
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
变式训练 若半径为5的圆的摆线上某点的纵坐标为0,则其横坐
标可能是( )
A.π B.5π C.10πD.12π
������ = 5������-5sin������,
π4,则对应
的点的直角坐标分别为 .
答案：
2π 3
-√3,1
,
π 2
-√2,2-√2
-12-
四 渐开线与摆线 探究一
探究二
思维辨析
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
2021学年高中数学第二讲参数方程四渐开线与摆线学案新人教A版选修4_4
四 渐开线与摆线学习目标 1.了解圆的渐开线的参数方程.2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤．知识点一 渐开线思考 把绕在圆盘上的细绳展开，细绳外端点的轨迹是一条曲线，看看曲线的形状．假设要建立曲线的参数方程，请试着确定一下参数．答案 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，如下图．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )．显然，点M 由角φ惟一确定．梳理 圆的渐开线及其参数方程 (1)定义把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切，外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆． (2)参数方程设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ是参数)．知识点二 摆线思考 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？ 答案 摆线．梳理 摆线及其参数方程 (1)定义当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫做旋轮线． (2)参数方程设圆的半径为r ，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ是参数)．类型一 圆的渐开线例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．解 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0―→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧0AM 的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，那么|AM |＝0AM ＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得OA →＝(4cos θ，4sin θ)． 由几何知识知，∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)， 得OM →＝OA →＋AM →＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))． 又OM →＝(x ，y )， 因此所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4(cos θ＋θsin θ)，y ＝4(sin θ－θcos θ).反思与感悟 圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．跟踪训练1 圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin30°＋φsin φsin30°，y ＝sin φcos60°－φcos φcos60°(φ为参数)，那么该基圆半径为________，当圆心角φ＝π时，曲线上点A 的直角坐标为________． 答案 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φsin 30°＋φsin φsin 30°，y ＝sin φcos 60°－φcos φcos 60°，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12(cos φ＋φsin φ)，y ＝12(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．∴基圆半径r ＝12.当φ＝π时，x ＝－12，y ＝π2，∴A 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，π2. 类型二 平摆线例2 一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为________．答案10解析 由圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ知，圆的方程为x 2＋y 2＝9，∴圆的圆心为(0,0)，半径r ＝3，∴圆上定点M 的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝3π2－3，y ＝3×(1－0)＝3，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝(－3)2＋12＝10.反思与感悟 (1)摆线的参数方程摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，其中r ：生成圆的半径，φ：圆在直线上滚动时，点M 绕圆心作圆周运动转过的角度∠ABM .(2)将参数φ的值代入渐开线或摆线的参数方程可以确定对应点的坐标，进而可求渐开线或摆线上两点间的距离．跟踪训练2 一个圆的摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，那么该摆线一个拱的高度是________；一个拱的跨度为________． 答案 6 6π解析 当φ＝π时，y ＝3－3cos π＝6为拱高；当φ＝2π时，x ＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.1．圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )A ．πB ．3πC ．6πD ．10π答案 C2．当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)上的点是( )A ．(6,0)B ．(6,6π)C ．(6，－12π)D ．(－π，12π)答案 C3.如下图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线〞，其中AE ，EF ，FG ，GH …的圆心依次按B ，C ，D ，A 循环，它们依次相连接，那么曲线AEFGH 的长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π答案 C解析 根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF 是半径为2的14圆周长，长度为π；FG 是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH 是半径为4的14AEFGH 的长是5π. 4．一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解 首先根据摆线的参数方程可知，圆的半径为4， 所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数)．1．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程．3．由于渐开线、摆线的方程复杂，所以不宜用普通方程来表示．一、选择题1．圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，那么此渐开线对应的基圆的周长是( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．4π答案 B2．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(t 为参数，0≤t <2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A ．(π－2,2)，(3π＋2,2)B ．(π－3,2)，(3π＋3,2)C ．(π，2)，(－π，2)D ．(2π－2,2)，(2π＋2,2)答案 A3．给出以下说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比拟麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是惟一的交点． 其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①③④答案 C 4．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2(cos t ＋t sin t )，y ＝2(sin t －t cos t )(t 为参数)上与t ＝π4对应的点的直角坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，1－π4B.⎝⎛⎭⎪⎫1－π4，1＋π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－π4，1－π4D.⎝⎛⎭⎪⎫1＋π4，－1－π4答案 A5．圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ) (φ为参数)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0是此渐开线上的一点，那么渐开线对应的基圆的周长是( ) A.32π B ．3π C ．4π D ．6π答案 B解析 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0在渐开线上， 得⎩⎪⎨⎪⎧32＝r (cos φ＋φsin φ)，0＝r (sin φ－φcos φ)，易知φ＝0，那么r ＝32，故基圆的周长为3π.6．圆的渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)，当φ＝π时，渐开线上的对应点的坐标为( ) A ．(－2,2π) B ．(－2，π) C ．(4,2π) D ．(－4,2π)答案 A解析 将φ＝π代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2×(－1＋π×0)，y ＝2×[0－π×(－1)]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2π.二、填空题7．基圆直径为10，那么其渐开线的参数方程为__________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)8．有一标准的齿轮，其齿廓线的基圆直径为22mm ，那么齿廓所在的摆线的参数方程为__________________． 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)解析 因为基圆直径为22 mm ， 所以基圆半径为11 mm ，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(φ－sin φ)，y ＝11(1－cos φ)(φ为参数)．9．圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos t ＋t sin t )，y ＝6(sin t －t cos t )(t 为参数)，那么该渐开线的基圆的半径为________，参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是_______________________________________． 答案 6 (－3＋23π，33＋2π)解析 由参数方程，得基圆的半径rt ＝2π3代入参数方程，得⎩⎨⎧x ＝－3＋23π，y ＝33＋2π，即参数t ＝2π3对应的点的直角坐标是(－3＋23π，33＋2π)． 10．圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，那么点P 的坐标为________． 答案 (π，2)解析 由题意知，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(cos φ＋φsin φ)，y ＝2(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为(π，2)．三、解答题11．给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程． 解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系． 又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)．12．圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，求此圆的摆线中，参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离．解 由圆的参数方程，得圆的半径r ＝3，那么其摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．把φ＝π2代入摆线的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，故点A 与点B 之间的距离 |AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋3－3π22＋(2－3)2＝10.13．一个圆的平摆线方程是x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标． 解 由平摆线方程知，圆的半径为2，φ＝π时，y 有最大值4，平摆线具有周期性，周期为4π.∴平摆线上最高点的坐标为(2π＋4k π，4)(k ∈Z )． 四、探究与拓展14.如图，△ABC 是正三角形，曲线ABCDEF …叫做“正三角形的渐开线〞，其中弧CD ，弧DE ，弧EF …的圆心依次按A ，B ，C 循环，它们依次相连接，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是( )A ．8πB ．6πC ．4πD ．2π答案 C解析 ∵∠CAD ，∠DBE ，∠ECF 是等边三角形的外角， ∴∠CAD ＝∠DBE ＝∠ECF ＝120°. 又AC ＝1，∴BD ＝2，CE ＝3， ∴弧CD 的长＝13×2π×1，弧DE 的长＝13×2π×2，弧EF 的长＝13×2π×3，∴曲线CDEF 的长＝13×2π×1＋13×2π×2＋13×2π×3＝4π.15．渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标． 解 由渐开线方程可知，基圆的半径为6，那么圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长为原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2144＋y 236＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
曲齿
摆线应用
人字齿
摆线应用
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构） 相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
摆线应用
斜齿
摆线应用
曲线齿
摆线应用
准双曲面齿轮
y
M O D
ϕC
A
B
E
设开始时定点M 在原点，圆滚动了ϕ角后与x轴 相切于点A，圆心在点B。 从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。
x
探究新知
3、摆线的参数方程 设点M 的坐标为( x, y ), 取ϕ为参数，根据点M 满足
的几何条件，有
x = OD = OA − DA = OA − MC = rϕ − r sinϕ,
y = DM = AC = AB − CB = r − r cos ϕ .
所以，摆线的参数方程为： 所以，摆线的参数方程为：
x = r (ϕ − sin ϕ ), (ϕ为参数) y = r (1 − cos ϕ ).
探究新知
3、摆线的参数方程
M O y
ϕ
B
A
M O D
ϕC
A
B
E
x
摆线的参数方程为： 摆线的参数方程为： x = r (ϕ − sin ϕ ), (ϕ为参数) y = r (1 − cos ϕ ).
x = r (cos ϕ + ϕ sin ϕ ) 解得 (ϕ是参数)。 y = r (sin ϕ − ϕ cos ϕ )
y M B
2、渐开线的参数方程
这就是圆的渐开线的参数方程。 这就是圆的渐开线的参数方程。 圆的渐开线的参数方程
ϕ
O A
新知运用
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳， 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳， 制造安装较为方便， 制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用 这种齿形。 这种齿形。 设计加工这种齿轮， 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线 方程。 方程。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
课外作业
• 搜集有关摆线的应用实例。 • 借助P43“阅读”，探究变幅内、外摆线的参 数方程。
摆线应用
平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构） 平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）
直 齿
摆线应用
斜齿
摆线应用
齿轮齿条
摆线应用
内齿轮
摆线应用
交
蜗杆蜗轮
摆线应用
课堂小结
1、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时， 动圆上一点的轨迹。当基线是直线时，就得到平摆线或 变幅平摆线。平摆线的参数方程为：
x = r (ϕ − sin ϕ ), (ϕ为参数) y = r (1 − cos ϕ ).
2、当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线 或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得 到外摆线或变幅外摆线。 3、参数方程在研究摆线中的作用
摆线在它与定直线的两个相邻交 点之间的部分叫做一个拱 一个拱。 点之间的部分叫做一个拱。
M O
ϕ
B
A
探究新知
3、摆线的定义 同样地，我们先分析圆在滚动过程中， 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的 这个动点满足的几何条件。 这个动点满足的几何条件。
线段OA的长等于MA的长，即OA = rϕ。
探究新知
3、摆线的参数方程 思考1 在摆线的参数方程中， 思考1：在摆线的参数方程中，参数 ϕ 的取值范 围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？ 围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？ 思考2：若点Q在半径 上，且AQ=r/2，当圆 在半径AP上 思考2 若点 在半径 ， 滚动时， 的轨迹是什么？ 滚动时，点Q的轨迹是什么？ 的轨迹是什么
探究新知
3、摆线的定义 思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记， 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记， 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记 那么自行车在笔直的道路上行使时， 那么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记 会画出什么样的曲线？ 会画出什么样的曲线？ 上述问题抽象成数学问题就是： 上述问题抽象成数学问题就是： 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时， 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 上一个定点的轨迹是什么？ 上一个定点的轨迹是什么？
uuuu r uuuu r BM = ( x − r cos ϕ , y − r sin ϕ ),| BM |= rϕ .
取ϕ为参数，则点B的坐标为 （rcosϕ ,rsinϕ）,从而 r 由于向量e1 = (cos ϕ ,sin ϕ )是 uuu r 与OB同方向的单位向量，
y M B
ϕ
O A
探究新知
四 渐开线与摆线
探究新知
1、渐开线的定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上， 绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧， 绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳 子与圆相切而逐渐展开， 子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条 曲线。这条曲线的形状怎样？ 曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨 迹方程？ 迹方程？
探究新知
1、渐开线的定义 动点（笔尖）满足什么几何条件？ 动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A， 当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角ϕ的一段弧AB，
展开后成为切线，所以切线 BM 的长就是 AB 的长，
这是动点（笔尖）满足的几何条件。
y
我们把笔尖画出的曲线叫 圆的渐开线， 做圆的渐开线，
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线， 我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线， 平摆线 摆线 又叫旋轮线 旋轮线。 又叫旋轮线。
探究新知
3、摆线的参数方程 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴， 定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点， 定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点， 建立直角坐标系。设圆的半径为r。 建立直角坐标系。设圆的半径为 。
r uuuu r 因而向量e 2 = (sin ϕ , − cos ϕ )是与向量 BM同 uuuu r r 方向的单位向量。所以 | BM |= (rϕ )e 2 , 即
uuuu r | BM |= ( x − r cos ϕ , y − r sin ϕ ) = rϕ (sin ϕ , − cos ϕ )
B
M
相应的定圆叫做渐开线 基圆。 的基圆。
ϕ
O A x
探究新知
2、渐开线的参数方程 以基圆圆心O为原点 直线OA为x轴，建立 为原点， 以基圆圆心 为原点，直线 为 轴 平面直角坐标系。 平面直角坐标系。 设基圆的半径为r 绳子外端M的坐标为(x, 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为 y) 显然， 唯一确定。 显然，点M由角 ϕ 唯一确定。 由角