人教新目标九年级数学上册垂直于弦的直径(3)导学案

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人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计

人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.1.2《垂直于弦的直径》是圆的一部分性质的教学内容。

本节课主要让学生了解并掌握垂直于弦的直径的性质，能灵活运用这一性质解决相关问题。

教材通过实例引导学生探究，培养学生的观察、思考和动手能力，为后续圆的弦和圆弧的学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的性质和定理有一定的理解。

但垂直于弦的直径这一性质较为抽象，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步掌握性质，提高学生的空间想象和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.了解垂直于弦的直径的性质，能证明并运用这一性质解决相关问题。

2.培养学生的观察、思考、动手和合作能力。

3.提高学生对圆的一部分性质的兴趣，为后续圆的学习打下基础。

四. 教学重难点1.垂直于弦的直径的性质及其证明。

2.灵活运用垂直于弦的直径的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生探究，培养学生的解决问题能力。

3.合作学习法：分组讨论，共同完成任务，提高学生的团队协作能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，加深对性质的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和动画，辅助教学。

2.教学素材：准备相关的几何图形，便于学生观察和操作。

3.教学设备：投影仪、计算机、黑板、粉笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，展示垂直于弦的直径的性质，激发学生的兴趣。

2.呈现（10分钟）展示垂直于弦的直径的性质，引导学生观察、思考，并提出问题。

3.操练（10分钟）分组讨论，让学生动手操作，证明垂直于弦的直径的性质。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用垂直于弦的直径的性质解决，提高学生的应用能力。

九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径精品导学案新人教版

垂直于弦的直径课题：24.1.2垂直于弦的直径序号：学习目标：1、知识与技能（1）理解圆的轴对称性；（2）了解拱高、弦心距等概念；（3）使学生掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算和证明问题；2、过程与方法：通过研究圆的轴对称性，得到垂径定理的有关结论，并学会运用这些结论解决一些有关证明。

计算和作图问题。

3、情感.态度与价值观：引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

学习重点：“垂径定理”及其应用学习难点：垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明导学过程：. 一、课前预习：阅读课本P80---81的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。

. 二、课堂导学：1．情境导入.阅读《导学案》83页的问题导学2. 出示任务，自主学习阅读教材80.81页的有关内容，尝试解决下面的问题：（1）同学们能不能找到下面这个圆的圆心？动手试一试，有方法的同学请举手。

问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________（2）在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是哪样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？（3）若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才相类似的结论吗？（4）要求学生在圆纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。

（5）猜想结论是否正确，要加以理论证明引导学生写出已知，然后让学生阅读课本P81证明，并回答下列问题：①书中证明利用了圆的什么性质？②若只证AE=BE ，还有什么方法？3.合作探究《导学》难点探究和展题设计三、展示与反馈检查预习情况，解决学生疑惑。

四、课堂小结：垂径定理：分析：给出定理的推理格式A B C DO A B C D O A B C D O E推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且五、达标检测：1.辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？2. 83页《导学案》.自主测评1—4题课后作业:1、必做题：教材88页习题24.1 5-8题板书设计：24.1.2垂直于弦的直径1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形，有无数条对称轴，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》导学案

OA B新人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》导学案课题垂直于弦的直径课型展示课执笔人审核人级部审核学习时间第周第导学稿教师寄语学习目标1、理解圆的轴对称性；了解拱高、弦心距等概念。

2、掌握垂径定理，并能应用它解决有关弦的计算。

（重点）3、垂径定理的题设和结论以及垂径定理的证明。

（难点）学生自主活动材料一.前置性自学1、自学课本80-81页2、怎样找到右边这个圆的圆心？问题：①在找圆心的过程中，把圆纸片折叠时，两个半圆 _______②刚才的实验说明圆是____________，对称轴是经过圆心的每一条_________。

3、在找圆心的过程中，折叠的两条相交直径可以是怎样一些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？二.小组反馈1、若把AB 向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？2、在纸片上画出图形，并沿CD 折叠,实验后提出猜想。

①书中证明利用了圆的什么性质？ ②若只证AE=BE ，还有什么方法？3、垂径定理：推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且 4、下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？三合作探究1、已知：在圆O 中，弦AB=8，O 到AB 的距离等于3，求圆O 的半径。

2、已知直径是1000mm 的圆柱形水管截面如图所示，若水面宽800 AB mm ，求水的最大深度、四.展示交流AB CDO A B C D O A B C D O E A B C D O E A B O EA B O E D A B OE DB A OMO ABP1、如图，已知AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，若AB=10，PB=4，OP=5，求⊙O 的半径的长。

2、⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦长为 . 最长弦长为_______．五.拓展提升1、已知一段弧AB ，请作出弧AB 所在圆的圆心。

2、已知线段AB 和CD 是圆O 的两条平行弦，且与圆心的距离分别为3和4，求此二平行弦之间的距离。

2019年九年级数学上册 24.1.2 垂直于弦的直径导学案(新版)新人教版 .doc

4.什么是垂径定理？请默写一遍，并尝试证明。
5.由垂径定理又得到了什么推论？试着逻辑证明一下。并用符号语言表示。
试剖析垂径定理的条件和结论：条件：（）结论：（）
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：
1过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
垂径定理就是满足（）条件，而推出（）。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
方法指导
温馨提示：
（用时分钟）
三、
问
题
探
究
自学教材P80—P81探究：
1.你是怎样画圆的？你能讲出形成圆的方法有多少种吗？
2.通过对折圆，圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆还具有哪些对称性？
3.教材80页思考？从图中找到哪些相等的线段和弧？为什么？
【收获与反思】
从中选出两种用符号语言表示：
方法指导
圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。符号语言： ∵AB是⊙O的直径又∵CDAB∴DE CE温馨提示：
（用时分钟）
四、
反
馈
提升Βιβλιοθήκη 1.你知道赵州桥吗？它是1300 多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
5．如图4，OE⊥AB、OF⊥CD，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）
6.如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线,大圆于点C，若AB=3，BC=1，则圆环的面积最接近的整数是（）

【人教版】九年级上册数学：全册导学案-24.1.2 垂直于弦的直径

24．1．2 垂直于弦的直径一、知识点回顾：1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。

2．如右图，____________是直径，___________是弦，____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。

3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。

4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。

5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。

二、新知学习：（一）．学习目标：1-知识目标：掌握垂径定理2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题（二）．自学要求：P80—P81垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵AB CD∴CE DE推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵CE DE∴AB CD三、典型拓展例题：1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径。

3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD AB于D，OE AC于E.求证：四边形ADOE为正方形。

4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D。

求证：AC BD5．如图所示，在⊙O中，C、D是弦AB上的两点，且AD BC.求证：OC OD四、检测与反馈：1．如图，在⊙O中，AB是弦，OC AB于C.⑴若OA5，OC4，求AB的长；⑵若OA6，AB8，求OC的长；⑶若AB12，OC8，求⊙O的半径；⑷若AOB120，OA10OA =10，求AB的长。

垂直于弦的直径(三)数学教案

垂直于弦的直径（三）数学教案标题：垂直于弦的直径（三）数学教案一、教学目标：1. 学生能够理解和掌握垂直于弦的直径的性质。

2. 学生能运用所学知识解决相关问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力。

二、教学内容：本节课主要讲解圆的几何性质之一——垂直于弦的直径。

具体包括理解垂直于弦的直径的概念，掌握其基本性质，并能灵活运用到实际问题中。

三、教学方法：采用直观教学法、讨论法和实践操作法相结合的方式进行教学。

四、教学过程：1. 引入新课：首先回顾上节课的内容，然后展示一些关于圆的问题，让学生观察并思考其中的规律，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

2. 讲解新课：(1) 定义解释：在圆中，如果一条直线垂直于弦并且穿过圆心，那么这条直线就是圆的直径。

(2) 性质介绍：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

通过实例和图形演示，帮助学生理解和掌握这个性质。

3. 实践操作：组织学生进行实践活动，例如画图或制作模型，以加深对垂直于弦的直径的理解和记忆。

4. 课堂练习：设计一系列题目供学生练习，以检验他们是否真正掌握了垂直于弦的直径的性质。

5. 小结与作业：总结本节课的主要内容和重点难点，布置相关的课后作业。

五、教学评估：通过课堂提问、课堂练习以及课后作业的完成情况，对学生的学习效果进行评估。

六、教学反思：通过对教学过程的反思，找出教学中的优点和不足，以便于在今后的教学中改进。

七、拓展学习：鼓励学生利用课外时间阅读有关圆的书籍或资料，进一步深化对垂直于弦的直径的理解。

九年级数学上册《垂直于弦的直径》教案、教学设计

2.各小组派代表进行汇报，分享讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固垂径定理的相关知识。
2.教师巡回指导，针对学生的疑问进行解答，帮助他们找到解题思路。
3.选取部分学生的解答进行展示，分析解题过程中的关键点和易错点，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握垂直于弦的直径的定义，能够准确判断一个直径是否垂直于弦。
2.熟练运用垂径定理及其推论解决相关问题，特别是弦中点、弦心距和弦长之间的关系。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力，提高他们解决实际问题的能力。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过展示生活中的实例，如桥的拱形、圆形桌面等，引导学生观察并思考其中蕴含的几何原理，为新课的学习做好铺垫。
-通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的知识点，形成体系。
-提出拓展性问题，激发学生思考，为后续学习打下基础。
7.课后作业，反馈评价
-布置适量的课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
-对学生进行及时的反馈评价，指导他们调整学习方法，不断提高。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的圆形物体，如硬币、圆桌、车轮等，引导学生观察并思考：为什么这些物体都是圆形的？圆有哪些特殊的性质？
4.实践应用，巩固提高
-设计具有层次性的练习题，让学生在解决问题中巩固所学知识，提高解题能力。
-针对不同学生的认知水平，给予个别指导，使他们在实践中不断提高。
5.小组合作，交流分享
-鼓励学生分组讨论，共同解决难题，培养团队协作精神。
-组织学生进行课堂展示，分享解题心得，提高他们的表达能力和自信心。

人教版数学九年级上册：24.1.2垂直于弦的直径-教案(3)

人教版九年级数学上册24.1.2 垂径定理的应用教学目标1.知识与技能:熟练掌握圆中垂径定理结合勾股定理解决实际问题的方法。

掌握连半径，作弦心距这两条重要辅的助线。

解决情景问题，提高学生解决问题的能力2.过程与方法:复习垂径定理，然后用几何画板展示动画小蚂蚁爬动的情景问题引出课题，悬而不决，激发学生的求知欲。

再有探究变式，由易到难，梯度训练，让学生反复思考，使思维得到充分的锻炼。

借助几何画板进行动画的展示，生动有趣。

3.情感与态度：解决情景问题，提高学生解决问题的能力.知识由浅入深让同学们在合作交流中体会学习的快乐教学重难点教学重点：垂径定理的应用。

教学难点：垂径定理的灵活应用。

教学过程一、课前复习1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧此图,AB是☉O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.AM=BM即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即=,=.2.垂径定理的几个基本图形二、合作与探究 1.情景引入：一小蚂蚁行至转弯处是一段圆弧(即图中AB,点O 是AB 的圆心),其中圆半径为10cm ，弦AB 为8cm,蚂蚁从B点沿直线行至A 点，请问蚂蚁行进过程中离圆心的距离的范围是？（几何画板动画展示蚂蚁行进的过程，让学生带着疑问学习，提高学生的学习热情）2.例题讲解例题：如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分是有水的部分；问题1：如果水面宽度AB 为8cm ，横截面的圆心到水平面的距离为3cm ，则输水管横截面半径为？（借助几何画板教师引导学生分析，和同学们一起完成解析）变式1：如果输水管横截面半径为10cm ，水面最深处高度为4cm ，则水面宽度AB 为？变式2：如果水面宽度AB 为24cm,输水管横截面半径为15cm ，则水面最深处的高度为？（探究变式，由易到难，梯度训练，让学生反复思考，使思维得到充分的锻炼。

借助几何画板进行动画的展示，生动有趣。

）3.解决课前问题一小蚂蚁行至转弯处是一段圆弧(即图中AB,点O 是AB 的圆心),其中圆半径为10cm ，弦AB 为8cm,蚂蚁从B 点沿直线行至A点，请问蚂蚁行进过程中离圆心的距离的范围是？借助图形，转化问题，图中P 是动点，借助几何画板教师展示OP 长度的变化过程，分析得到问题的答案，并让学生写出完整的解答过程。

人教版九年级数学上册导学案：24.1.2垂直于弦的直径

一、自主预习请按下面要求完成下题：1、如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． ⑴如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？⑵你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ ①相等的线段：，相等的弧：，②下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.∴点和点关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合．∴ ，垂径定理：垂直于_______的直径平分弦，并且平分弦所对的两条__________．几何语言表达式：2、已知CD 是直径，且平分弦AB ，能否得到CD ⊥AB ，且平分弧ADB 及弧AB 。

推论: 平分弦（_____________）的直径垂直于________，并且平分弦所对的两条__________．几何语言表达式：二、合作探究在半径为50mm 的⊙O 中,弦AB 的长50mm 求∠AOB 的度数并计算点O 到AB 的距离.三、展示交流如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径.科目数学班级：学生姓名课题 24.1.2垂直于弦的直径（1）课型新授课时 1主备教师备课组长签字学习目标： 1、经历探索圆的轴对称性及相关性质。

2、理解并应用垂径定理及推论进行相关的计算学习重点垂直于弦的直径的性质、推论及其应用学习难点对垂直于弦的的直径的性质、推论的说明过程的理解四、随堂检测班级：姓名：1、判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦（） ②平分弦的直径必垂直弦（） ③平分弦的直径垂直于这条弦（） ④弦的垂直平分线是圆的直径（）⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦（）⑥在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧（） 2、在⊙O 中，直径为10cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm, 求弦AB 的长（拔高练习题) 3、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE =2，EB =6，∠DEB =30求弦CD 长？BA CE DO。

九年级数学《垂直于弦的直径》导学案

第二节 24.1.2 垂直于弦的直径【知识脉络】【学习目标】了解圆的轴对称性，会运用垂径定理的知识解决有关问题。

【要点检索】构成垂径定理的要素。

【方法导航】1、“有弦可作弦心距（垂径）”这是一条规律性辅助线，可使很多问题简单化。

如弦AB交同心圆于CD ，求证：AC=BD 。

2、“弦心距、弦的一半、半径”三个量合在一起可构成一个直角三角形，结合勾股定理可作求弓形高、弦长、半径等方面的计算。

【情境导入】任意两个条件做题设，都可能得到其它三个条件的结论· ＡＢＣＤ1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,你能求出主桥拱的半径吗？【问题探究】1、实验发现：用纸剪一个圆（课前布置学生做好），沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（1）①圆是轴对称图形吗？②如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？③你是用什么方法解决上述问题的?（２）①圆是中心对称图形吗？②如果是,它的对称中心是什么?③你又是用什么方法解决这个问题的?2、如图1,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥ AB,垂足为E.如图1(1)这个图形是轴对称图形吗?若是,那么它的对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?请说明理由.。

二、验证1、已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。

求证：2.推论的探究如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？①直线CD过圆心O③AM=BM，(AB不是直径)注意：。

【合作交流】例１．如图，在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。

求证：AC = BD例2 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).【练习反馈】1.下列图形是否具备垂径定理的条件？2.判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧. ( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心. ( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分. ( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）3.如图1,在圆O中,若MN⊥AB,MN为直径,则____, _______, _______.图一4. 如图2,已知圆O的半径OA长为5,直径MN垂直于AB,AB长为8, 则OC的长为( )A. 3B. 6C. 9D. 105. 如图2:MN为圆O的直径,AB为弦,MN垂直于AB于点C,则下列结论错误的是( )A. ∠AOC=∠ BOCB.AC=BCC.MC=NCD.AN=BN图二6．圆的半径为3,则弦长x的取值范围是_____.7.若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和5,则此二条平行弦之间的距离是______8．如图1，在⊙O中, AB是弦, OC = OD。

人教新课标九年级数学上册垂直于弦的直径教案

人教新课标版初中九上垂直于弦的直径教案【学习目标】1.理解垂径定理并灵活运用垂径定理解决一些实际问题．2.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．3.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．【学习重点】垂径定理及其运用．【学习难点】探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．【学习过程】1、创设情境，引入新课：把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？2、新授：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．点评:（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ．这样，我们就得到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 OA OB OM OM=⎧⎨=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM ∴点A 和点B 关于CD 对称∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．∴AC BC =，AD BD =3、例题：例1、如图，赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m ，求赵洲桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）？解：如图(见课件)，用弧AB 表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O ，半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB 相交于点D ，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C 是弧AB 的中点，CD 就是拱高．在图中 AB=37，CD=7.23，在Rt △OAD 中，由勾股定理，得 18.53721AB 21AD =⨯==OA2 = AD2 + OD2即 R2=18.52+（R－7.23）2解得：R≈27.3（m）∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.归纳：（1）两条辅助线：半径、圆心到弦的垂线段.（2）一个Rt△：半径、圆心到弦的垂线段、半弦.（3）两个定理：垂径定理、勾股定理.4、练习：（1）判断：①垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧.（）②平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧．（）③经过弦的中点的直径一定垂直于弦．（）④圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．( )⑤弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．( )（2）已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．（3）在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D 两点．求证：AC＝BD．5、小结：通过本节课的学习，你有什么收获？。

人教版九年级上册数学导学案：24.1.2 垂直于弦的直径

24.1.2 垂直于弦的直径预习案一、预习目标及范围：1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.预习范围：P81-83二、预习要点1.书中证明利用了圆的什么性质？2.若只证AE=BE，还有什么方法？3.垂径定理：4.分析：给出垂径定理的推理格式5.推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且 \三、预习检测1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作问题 1 剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明这个结论吗？可以发现：问题2 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和劣弧? 为什么?明确：理由如下：归纳:垂径定理想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？活动2：探究归纳垂径定理的几个基本图形：垂径定理的推论：活动内容2：典例精析例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.解析：例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长. 解：例3：你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB 的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.练一练：如图a、b,一弓形弦长为46cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿＿＿____＿.归纳：在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.二、随堂检测1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= ___ .3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 ____4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.5.如图，⊙O 的直径为10，弦AB=8,P 为AB 上的一个动点，那么OP 长的取值范围 .参考答案预习检测： 1.解：OE AB ⊥ 118422AE AB ∴==⨯= 在Rt △ AOE 中 222AO OE AE =+2222=3+4=5cm AO OE AE =+答：⊙O 的半径为5cm. 2.证明;OE AC OD AB AB AC ⊥⊥⊥90 90 90OEA EAD ODA ∴∠=∠=∠=1122AE AC AD AB ==， ∴四边形ADOE 为矩形，又 ∵AC=AB ∴ AE=AD∴ 四边形ADOE 为正方形. 随堂检测 1. 5cm 2. 10 3 cm 3. 14cm 或2cm4. 解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.,OE CD ⊥11600300(m)22CF CD ∴==⨯=根据勾股定理，得()22230090.R R =+- 解得R=545.∴这段弯路的半径约为545m 5. 3cm≤OP ≤5cm。

人教版数学九年级上册同步导学案-24.1.2垂直于弦的直径导学案

《24.1.2垂直于弦的直径》导学案课题垂直于弦的直径数学年级九年级上册知识目标1.掌握垂径定理及其推导过程。

2. 利用垂径定理解决圆的一般问题。

重点难点重点：垂径定理及其运用难点：垂径定理及其运用教学过程知识链接什么是轴对称图形？我们学过哪些轴对称图形？圆也是轴对称图形吗？怎样验证一个图形是轴对称图形，是否圆也具有轴对称的性质呢？今天这节课我们一起来探索相关知识，板书课题。

合作探究活动一、拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？结论：圆是轴对称图形。

有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．活动二、如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？结论：AE=BE,即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB、弧ADB,即=,=.试一试证明你的发现！已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．∴AE＝BE，你能用文字语言、符号语言归纳出上述结论吗？（1）垂径定理：（2）符号语言：∵AB是⊙O的又∵CDAB⊥∴DECE= = ； =_________我们把这个定理分成几个结论分别有：①CD是直径、AB是弦，②CD⊥AB③AE＝BE④=⑤我们知道①②可以推出结论③④⑤，那么如果交换符号结论是否有更多的结论成立？试一试：例如：①直径过圆心③平分弦推出②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧证明这个结论。

（这个证明方法类似上面的证法，教师点评）形成推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．为什么强调这里的弦不是直径？一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．类比推论1你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!小组之间讨论，最后教师归纳总结：垂径定理及推论小结：垂径定理的几个基本图形，教师展示ppt，垂径定理中出现的常见三角形，用于计算：在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．例、我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。

人教版九年级上册数学《垂直于弦的直径》导学案

《圆》第一节垂直于弦的直径导教案主编人：主审人：班级：学号：姓名：学习目标：【知识与技术】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其余结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些相关证明、计算和作图问题3认识拱高、弦心距等观点【过程与方法】经历研究发现圆的对称性，证明垂径定理及其余结论的过程，锻炼思想质量，学习证明的方法【感情、态度与价值观】在学生经过察看、操作、变换、研究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培育学生的新意识，优秀的运用数学【要点】垂径定理及其推论【难点】垂径定理及其推论学习过程 :一、自主学习（一）复习稳固判断：1、直径是弦，弦是直径。

（）2、半圆是弧，弧是半圆。

（）3、周长相等的两个圆是等圆。

（）4、长度相等的两条弧是等弧。

（）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。

（）6、在同圆中，优弧必定比劣弧长。

（）7、请在图上画出弦CD，直径 AB. 并说明 ___________________________ 叫做弦；_________________________________叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出观点及表示方法. 弧： ____半圆： _________________________优弧：________________ _表示方法：__劣弧： _______________________________,表示方法：______9、齐心圆 : ___________________ _等圆: ___________________________.10、同圆或等圆的半径_______. 等弧 : _______________________（二）自主研究请同学按下边要求达成下题：如图， AB 是⊙ O 的一条弦，作直径CD，使 CD⊥ AB，垂足为M．（ 1）如图是轴对称图形吗？假如是，其对称轴是什么？圆是对称图形，其对称轴是随意一条过的直线．（ 2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为何？C 相等的线段：A BM 相等的弧：O这样，我们就获得垂径定理：D垂直于的直径均分弦，并且均分弦所对的两条．表达式：下边我们用逻辑思想给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M求证： AM=BM ，弧 AC=BC，弧 AD=BD.剖析：要证 AM=BM ，只需证 AM 、 BM 组成的两个三角形全等．所以，只需连接OA、?OB 或 AC、 BC 即可．证明：如图，连接 OA、 OB，则 OA=OB在 Rt△ OAM 和 Rt△ OBM 中CA BM ∴ Rt△OAM≌ Rt△ OBM()O∴ AM=∴点和点∵⊙ O 对于 CD对称对于CD 对称D∴当圆沿着直线CD对折时，点A 与点 B 重合，弧AC与BC重合，AD 与CD重合．∴，，进一步，我们还能够获得结论：均分弦（）的直径垂直于，并且均分弦所对的两条．表达式：（三）、归纳总结：1．圆是图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理推论．（四）自我试试：1、辨析题：以下各图，可否获得AE=BE的结论？为何？COO O OA EB A E B A E B A E BD D D2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？CEA BRD注：在半径r,弦 a，弦心距d,拱高 h 四个量中，随意知道此中的个量中，利用定理，就能够求出其余的量。

人教版九年级数学上册《垂直于弦的直径》导学案

18cm<<24．1．2 垂直于弦的直径>>学案知识目标①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性； ②②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题； ③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段和连结半径。

重点:探究、发现、理解和掌握垂径定理。

难点:垂径定理的证明及推论中弦AB 不为直径。

方法:以圆形纸片为工具，借助多媒体演示辅助教学。

一、观看花式篮球视频,创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容1．打篮球不仅增强体质、愉悦身心，还能培养团队精神。

今天向大家介绍一种全新的篮球项目----花式篮球，请大家观看花式篮球的视频。

2. 问题：篮球放在两张凳子之间，经测量两凳子之间的距离AB=24cm ，篮球顶端（圆弧的中点）离凳子表面的距离为18cm ，则这个篮球的半径为多少cm （篮球标准半径是13.2cm)？二、实验观察、探究新知【活动一：探究圆的性质】请同学们将标有圆心O 的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是_______图形，任何一条_______________都是它的对称轴．【活动二：探究证明垂径定理】将圆形纸片沿直径CD 对折，找一组对称点A 与B ，连结 AB 交直径CD 于点M ．①CD 与AB 的位置关系是_______________②图中相等的线段有_______________，相等的弧有_____________________________【变式训练,巩固新知一】1下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOA DOABcOE DC A B24cmEO ABDC【活动三：探究垂径定理推论】若条件为①CD 是直径，③AM=B 是否能推得结论：②CD ⊥AB ④AC =BC ， ⑤AD =BD 。

证明：【分组讨论】如果题目中的直径CD 平分弦AB （AB 是直径）那么②CD ⊥AB ，AC =BC ， ⑤AD =BD ,还成立吗？2.如图1，已知⊙O 的弦AB=4,圆心O 到AB 的距离为1,那⊙O 的半径为____3.如图2，已知：如图，直径CD ⊥AB ，垂足为E .若半径R = 5 ，AB = 8 , 则DE 的长________O BOB(弦AB 不是直径）AA C 图1图2┐└M1.如图1，⊙O 的弦AB=6，H 为AB 的中点，OH=3,则∠OAB= ____度。

九年级数学垂直于弦的直径教案人教新课标版

《垂直于弦的直径》第1课时教案新人教版初中九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》教学过程1让学生体会到运用时要注.学生独立判断，个3直径和直径垂直于弦这意：别回答。

两个条件缺一不可。

2.说一说：引导学生归纳圆的性质（垂径定理）并且平分垂直于弦的直径平分弦，弦所对的两条弧； 3 .辨一辨：，在图中是否有AE=BE2用心爱心专心.【活动3】探一探1.思考：如图AB是。

0的一条弦，作直E 。

CD 径CD 使丄AB垂足为（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 2）你能发现图中有哪些相等的线段（和弧？ 1 •通过课件演示，在学生分析、观察的基础上，弧BC 得出（EA=EB 弧 AC= 弧 AD=I BD ）.在探一探的基础上2引导学生归纳垂直定理。

寻练学生数学文字语言与符号语言之间的互换。

培养学生归纳、概括能力。

教师通过课件引导学生思考不断变换已知条件, 从而可以得出相应的结论。

探索能够变换命题的条件，加深对垂直定得到的结论，并由垂直定理可理的认识。

BD弧弧BC,弧AD=M AC=D ,，得到直径平分ABCD使CD1AB于E O E AB。

并且平分弧ACB及平分弧ABC观察图形，并思考：,CD是直径，且平分弦AB已知（1）ACB能否得到CD，且平分弧丄AB ? AB及平分弧（不是平分弦学生讨论，并归纳得到：并且平分弦所直径）的直径垂直于弦，对的两条弧. 且平分弦直线CDAB垂直于弦）（2经过圆心，且CDAB能否得到ACB平分弧及平分弧AB?吗？）如图（3AB弧，你能平分弧AB .组织反思对比5 4的设计是让学生在】【活动例1 11 .讲解例探究过程中，进一步把实际.师生共同完成例题的1已知排水一条排水管的截面如图所示。

讲解，教师求解。

例1掌握问题转化为数学问题，。

求截AB=16OB=1管的半径，水面宽应重点关注学生能否到水面的距离。

面圆心O通过作辅助线构造垂径定会利用垂径定理及推进而发展理的基本结构图，。