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《用“HL”证直角三角形全等》第4课时练习题

2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点 A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为( A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
C)
90° ． 11．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝_______
12．(2016·镇江)如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA； (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO的度数是多少？
5．如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF＝
AC，FD＝CD.求证：AD＝BD. 解：在Rt△ADC和Rt△BDF中，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵CD＝FD，AC ＝BF，∴Rt△ADC≌Rt△BDF(HL)，∴AD＝BD
知识点2：直角三角形全等判定方法的选用
6．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是( D A．两条直角边分别对应相等 B．斜边和一锐角分别对应相等 C．斜边和一条直角边分别对应相等 )
八年级上册人教版数学第十二章全等三角形
12．2 三角形全等的判定
第4课时用“HL”证直角三角形全等
直角边分别相等的两个直角三角形全等，可简写成 1．斜边和一条_________ HL ”．斜边、直角边 ”或“_______ “_______________ 2．判定两个直角三角形全等的方法．(填简写形式) SSS ；(2)________ SAS ；(3)______ ASA ； (1)_______ (4)_________ AAS ；(5)_______ HL ．练习1：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据 AB＝AC “HL”判定，还需要加条件_______________ ；若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定． __________

全等三角形hl练习题

全等三角形hl练习题1.如图，已知AD为ΔABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且BF=AC,FD=CD. 求证：BE⊥AC2. 已知：BA⊥BD,FD⊥BD, AB=CD ,AC=CF 求证：AC⊥FC.DB3. 如图,在△ABC中，D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，AE＝AF. 求证：∠B=∠CB4.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC. 求证：BE=DF.5. 已知：BA⊥DC,FD⊥DC,∠ACF=90°,AB=CD. 求证：BD+DF=ABC6.如图10，已知AB=AD,AC=AE, ∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交于点F. 求证：CF=EF．直角三角形全等HL例1 如图，B、E、F、C在同一直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，AB=DC，BE=CF，试判断AB与CD的位置关系.例2已知如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC，求证：A D∥BC.B例公路上A、B两站相距26km，C、D为两村庄，DA⊥AB 于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=16km，BC=10km，现要在公路AB上建一个土特产收购站E，使CD两村庄到E站的距离相等，那么E站应建在距A站多远才合理？BE与AC的位置关系.B例如图，A、E、F、B四点共线，AC⊥CE、BD⊥DF、AE=BF、AC=BD，求证：△ACF≌△BDE.DCE AB例如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD 于F，具有BF=AC，FD=CD，试探究1．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90?，AB=DE，AC=DF，那么Rt△ABC与Rt△DEF2．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB 于B，CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC的理由是A．SSS B. ASA C. SAS D. HL3．如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AC∥DB，且AC=BD，那么Rt△AEC≌Rt△BFC的理由是.A．SSSB. AASC. SASD. HLB4．下列说法正确的个数有.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等；②有两边对应相等的两个直角三角形全等；③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等；④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A．1个B.个C.个D.个5．过等腰△ABC的顶点A作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是. ．如图，△ABC中，∠C=90?，AM 平分∠CAB，CM=20cm，那么M到AB的距离是cm.A．全等等8．如图，∠B=∠D=90?，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是 .B. 不一定全等C. 不全等AD. 面积相等，但不全7．在△ABC和△A?B?C?中，如果AB=A?B?，∠B=∠B?，AC=A?C?，那么这两个三角形.D9．如图，在△ABC中，∠ACB=90?，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，求证：DE=AD+BE.10．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，那么，CE=DFNA吗？谈谈你的理由!11．如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：CE=BE；CB⊥AD.提高题型：试说明：DE=DF，AD平分∠BAC.2.如图，在ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且DE=DF，试说明AB=AC.3.如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE，求证：AF=CE.4.如图，△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，M是AB的中点，点N在BC上，MN⊥AB。

现代公司财务管理 HL 课堂(后)练习之一

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现代公司财务管理 HL 课堂（后）练习之一
5．某人将 10000 元存入银行，利息率为年利率 5％，期限为 5 年，采用复利计息方式。试计算期满时的本利和。
6．某人计划在 3 年以后得到 20000 元的资金，用于偿还到期的债务，银行的存款利息
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现代公司财务管理 HL 课堂（后）练习之一
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现代公司财务管理 HL 课堂（后）练习之一
末获得 1000 元用于支付奖金，要求计算该研究所现在应存入银行多少资金？
2．某人采用分期付款方式购买一套住房，货款共计为 100000 元， 20 年内等额偿还，在年利率为 8％，按复利计息，计算每年应偿还的金额为多少？
3．甲公司年初存入银行一笔现金，从第 3 年年末起，每年取出 10000 元，第 6 年年末取完，若存款利率为 10％，则甲公司现存入了多少钱？
B．等额分期付款 D．按月发放的养老金）。 D．永续年金
4．年金按其每期收付款发生的时点不同，可分为（ A．普通年金 B．即付年金）。 C．递延年金
5．下列表述中，正确的有（
A．复利终值系数和复利现值系数互为倒数 B．普通年金终值系数和普通年金现值系数互为倒数 C．普通年金终值系数和偿债基金系数互为倒数 D．普通年金现值系数和资本回收系数互为倒数 6．下列各项中属于经营风险的有（ A．原料价格变动 B．税收调整）。
10．甲、乙两投资方案的期望值不同，甲投资方案的标准差系数为 10％，乙投资方案的标准差系数为 8％，则下列判断正常的是（）。 A．甲方案比乙方案风险大 C．甲、乙两方案风险相同二、多项选择题 1．下列关于资金的时间价值的表述中正确的有（ A．资金的时间价值是由时间创造的 B．资金的时间价值是由劳动创造的 C．资金的时间价值是在资金周转中产生的 D．资金的时间价值可用社会平均资金利润率表 2．递延年金具有如下特点：（）。

直角三角形判定定理练习题HL

（HL）直角三角形判定定理练习
1.A D⊥AB,BC⊥AB,垂足分别是A，B,AC=BD.求证：BC=AD.
3.用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA，OB的垂线，交点为P,画射线OP，则OP平分∠AOBP.为什么？
3.如图，已知∠C=∠D=900，且BC=BD.
求证：AB平分∠CAD。

4.已知AD平分∠BAC，点D是BC边的中点，D E⊥AB,DF⊥AC,
垂足分别是E，F.求证：EB=EC。

5.已知，AD是∠BAC的平分线。

DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC于点F.且BD=DC. 求证：BE=CF.
6.如图，∠B=∠C=900,E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线。

7.如图，已知BD平分∠ABC，AB=BC,点E在BD上，
E F⊥AD于点F，EG⊥CD于点G.求证：EF=EG.
8．如图，已知A B∥CD,AB=CD,AC与BD交于点O，EF过
点O分别交AB与CD于点E，F。

求证：AE=CF。

用“HL”证直角三角形全等同步练习含答案

用“HL ”证直角三角形全等同步练习含答案基础题基础题知识点1 1 用“用“用“HL HL HL”判定两个三角形全等”判定两个三角形全等”判定两个三角形全等1．如图，∠．如图，∠A A ＝∠D＝＝∠D＝909090°，°，°，AC AC AC＝＝DB DB，则△ABC≌△DCB ，则△ABC≌△DCB 的理由是（的理由是（） A ．HL HL B ．ASA C ．AAS D ．SAS2．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是（．下列判定两个直角三角形全等的方法中，不正确的是（） A ．两条直角边分别对应相等．两条直角边分别对应相等 B ．斜边和一锐角分别对应相等．斜边和一锐角分别对应相等 C ．斜边和一条直角边分别对应相等．斜边和一条直角边分别对应相等 D ．两个三角形的面积相等．两个三角形的面积相等3．如图所示，△．如图所示，△ABC ABC 中，中，AD AD AD⊥⊥BC 于D ，再添加一个条件，再添加一个条件____________________________________________________________，可使△ABD≌△ACD.，可使△ABD≌△ACD.，可使△ABD≌△ACD.4．如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从A ，B 出发，小明沿AC 行走，小芳沿BD 行走，并同时到达C 、D ，若CB⊥AB，CB⊥AB，DA DA DA⊥⊥AB AB，则，则CB 与DA 相等吗？为什么？21世纪教育网版权所有5．已知AD⊥BE，垂足C 是BE 的中点，的中点，AB AB AB＝＝DE DE，请说明，请说明AB∥DE 的理由．的理由．6．如图，∠．如图，∠ACB ACB ACB＝∠CFE＝＝∠CFE＝＝∠CFE＝909090°，°，°，AB AB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EF EF，求证：，求证：，求证：AD AD AD＝＝CF.知识点2 2 直角三角形全等判定方法的选用直角三角形全等判定方法的选用直角三角形全等判定方法的选用7．在Rt Rt△△ABC 和Rt Rt△△A ′B ′C ′中，∠′中，∠C C ＝∠C′＝＝∠C′＝909090°，如图，那么下列各条件中，不能使°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt Rt△△ABC ABC≌≌Rt △A ′B ′C ′的是（′的是（）21教育网A ．AB AB＝A′B′＝＝A′B′＝＝A′B′＝55，BC BC＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝3 3 B ．AB AB＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝55，∠，∠A A ＝∠B′＝＝∠B′＝404040°° C ．AC AC＝A′C′＝＝A′C′＝＝A′C′＝55，BC BC＝B′C′＝＝B′C′＝＝B′C′＝3 3D ．AC AC＝A′C′＝＝A′C′＝＝A′C′＝55，∠，∠A A ＝∠A′＝＝∠A′＝404040°°8．如图，在△．如图，在△ABC ABC 中，点D 是BC 的中点，的中点，DE DE DE⊥⊥AB 于点E ，DF DF⊥⊥AC 于点F ，BE BE＝＝CF.(1)(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；图中有几对全等的三角形？请一一列出；图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由．选择一对你认为全等的三角形说明理由．选择一对你认为全等的三角形说明理由．中档题中档题9．如图，在Rt Rt△△ABC 中，∠中，∠BAC BAC BAC＝＝9090°，°，°，DE DE DE⊥⊥BC BC，，AC AC＝＝6，EC EC＝＝6，∠，∠ACB ACB ACB＝＝6060°，则∠ACD °，则∠ACD 的度数为（的度数为（）A ．4545°°B ．3030°°C ．2020°°D ．1515°°1010．如图，在直角三角形．如图，在直角三角形ABC 中，∠中，∠C C ＝9090°，一条线段°，一条线段PQ PQ＝＝AB AB，点，点P ，Q 两点分别在AC 和AC 的垂线AX 上移动，当AP AP＝＝________________时，才能使△ABC≌△QPA.时，才能使△ABC≌△1111．如图，已知方格纸中是．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠3＝个相同的正方形，则∠1＋∠3＝________________________．．1212．如图，已知．如图，已知AE AE＝＝DE DE，，AB AB⊥⊥BC BC，，DC DC⊥⊥BC BC，且，且AB AB＝＝EC.EC.求证：求证：求证：BC BC BC＝＝AB AB＋＋DC.1313．如图所示，已知．如图所示，已知AB AB＝＝CD CD，，DE DE⊥⊥AC 于E ，BF BF⊥⊥AC 于F ，且BF BF＝＝DE DE，求证：AB∥CD.，求证：AB∥CD.，求证：AB∥CD.1414．如图，已知．如图，已知AD AD，，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD AD＝＝AF AF，，AC AC＝＝AE.AE.求证：求证：求证：BC BC BC＝＝BE.综合题综合题1515．已知：点．已知：点O 到△ABC 的两边AB AB，，AC 所在直线的距离相等，且OB OB＝＝OC.(1)(1)如图如图1，若点O 在边BC 上，求证：∠ABO＝∠ACO；上，求证：∠ABO＝∠ACO；(2)(2)如图如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.参考答案参考答案1．A A 2.D 2.D 2.D 3.3.3.答案不唯一，如答案不唯一，如AB AB＝＝AC AC，或，或BD BD＝＝CD 等 4.CB 4.CB＝＝DA.DA.理由：由题意易知理由：由题意易知AC AC＝＝BD. ∵CB⊥AB，∵CB⊥AB，DA DA DA⊥⊥AB AB，， ∴∠∴∠DAB DAB DAB＝∠CBA＝＝∠CBA＝＝∠CBA＝909090°°.在Rt Rt△△DAB 与Rt Rt△△CBA 中，îïíïìBD BD＝＝AC AC，，AB AB＝＝BA BA，， ∴Rt Rt△△DAB DAB≌≌Rt Rt△△CBA(HL)CBA(HL)．． ∴DA＝∴DA＝CB. CB. CB. 5.∵C 是BE 的中点，的中点， ∴BC BC＝＝CE .∵AD⊥BE，.∵AD⊥BE，∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠DCE＝＝∠DCE＝＝∠DCE＝909090°°.在Rt Rt△△ACB 与Rt Rt△△DCE 中，îïíïìAB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EC EC，，∴Rt Rt△△ACB ACB≌≌Rt Rt△△DCE(HL)DCE(HL)．． ∴∠B＝∠E.∴∠B＝∠E. ∴AB∥DE.∴AB∥DE.6.6.证明：∵∠ACB＝∠CFE＝证明：∵∠ACB＝∠CFE＝证明：∵∠ACB＝∠CFE＝909090°，°，°， ∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠DFE＝＝∠DFE＝＝∠DFE＝909090°°.在Rt Rt△△ACB 和RtRt△△DFE 中，îïíïìAB AB＝＝DE DE，，BC BC＝＝EF EF，，∴Rt Rt△△ACB ACB≌≌Rt Rt△△DFE(HL)DFE(HL)．． ∴AC＝∴AC＝DF. DF.∴AC－∴AC－AF AF AF＝＝DF DF－－AF AF，即，即AD AD＝＝CF. CF. 7.B8．(1)△BDE≌△CDF，△．(1)△BDE≌△CDF，△AED AED AED≌△≌△≌△AFD AFD AFD，△，△，△ABD ABD ABD≌△≌△≌△ACD. ACD. (2)∵DE⊥AB，(2)∵DE⊥AB，DF DF DF⊥⊥AC AC，， ∴△∴△BDE BDE 和△CDF 是直角三角形．是直角三角形． ∵D 是BC 的中点，的中点，∴BD BD＝＝CD. 又∵BE＝又∵BE＝CF CF CF，，∴Rt Rt△△BDE BDE≌≌Rt Rt△△CDF(HL)CDF(HL)．． 9.B 10．CB CB 11.9011.9011.90°° 12.12.证明：∵AB⊥BC，证明：∵AB⊥BC，证明：∵AB⊥BC，DC DC DC⊥⊥BC BC，， ∴∠∴∠B B ＝∠C＝＝∠C＝909090°°.在Rt Rt△△ABE 和Rt Rt△△ECD 中，îïíïìAE AE＝＝ED ED，，AB AB＝＝EC EC，， ∴Rt Rt△△ABE ABE≌≌Rt Rt△△ECD. ∴BE BE＝＝CD. ∵BC＝∵BC＝BE BE BE＋＋EC EC，， ∴BC BC＝＝AB AB＋＋DC. DC.13.13.证明：∵DE⊥AC，证明：∵DE⊥AC，证明：∵DE⊥AC，BF BF BF⊥⊥AC AC，， ∴∠∴∠AFB AFB AFB＝∠CED＝＝∠CED＝＝∠CED＝909090°°.在Rt Rt△△ABF 和Rt Rt△△CDE 中，îïíïìAB AB＝＝CD CD，，BF BF＝＝DE DE，， ∴Rt Rt△△ABF ABF≌≌Rt Rt△△CDE(HL)CDE(HL)．． ∴∠∴∠BAF BAF BAF＝∠DCE.＝∠DCE.＝∠DCE. ∴AB∥CD.∴AB∥CD.14.14.证明：∵证明：∵证明：∵AD AD AD，，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，的高， ∴∠∴∠ADB ADB ADB＝∠AFB＝＝∠AFB＝＝∠AFB＝909090°°. ∵AB AB＝＝AB AB，，AD AD＝＝AF AF，， ∴Rt Rt△△ABD ABD≌≌Rt Rt△△ABF. ∴DB DB＝＝FB.∵AC＝∵AC＝AE AE AE，，AD AD＝＝AF AF，， ∴Rt Rt△△ADC ADC≌≌Rt Rt△△AFE. ∴DC DC＝＝FE.∴DB－∴DB－DC DC DC＝＝FB FB－－FE FE，即，即BC BC＝＝BE. BE.15.15.证明：证明：证明：(1)(1)(1)过点过点O 作OE⊥AB 于E ，作OF⊥AC 于F ，则∠BEO＝∠CFO＝，则∠BEO＝∠CFO＝909090°°. 又∵OB＝又∵OB＝OC OC OC，，OE OE＝＝OF OF，，∴Rt Rt△△BOE BOE≌≌Rt Rt△△COF(HL)COF(HL)．． ∴∠ABO＝∠ACO.∴∠ABO＝∠ACO.(2)(2)过点过点O 分别作OE⊥AB，OE⊥AB，OF OF OF⊥⊥AC AC，，E ，F 分别是垂足，则∠BEO＝∠CFO＝分别是垂足，则∠BEO＝∠CFO＝909090°°. 又∵OB＝又∵OB＝OC OC OC，，OE OE＝＝OF OF，， ∴Rt Rt△△OEB OEB≌≌Rt Rt△△OFC.∴∠∴∠EBO EBO EBO＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.＝∠FCO，即∠ABO＝∠ACO.。

人教八年级数学上册- 用“HL”判定直角三角形全等(附习题)

（2） AC = BD （ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA （AAS）；
（4） ∠DBA = ∠CAB （AAS）．
例2 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DFE 的大小有什么关系？为什么？
∠ABC +∠DFE = 90°
DC AB， CF BE， ∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL).
FE
∴AE = DF.
A
B
练习3 如图，B、E、F、C 在同一直线上， AF⊥BC 于F，DE⊥BC与E，AB = DC，BE = CF，你认为 AB 平行于 CD 吗？说说你的理由.
解：平行. 理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AFB 和∠DEC 都是直角，又 BE = CF， ∴BE+EF=CF+EF，即 BF = CE.
B.BC = B′C′ D.∠A′=∠A
综合应用 2.如图，∠DCE = 90°，CD = CE，
AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明 AD + AB = BE. 解：∵AD⊥AC，BE⊥AC， ∴∠A =∠CBE =90°， ∴∠D +∠ACD =90°. 又∵∠DCE = 90°， ∴∠ACD +∠BCE = 90°， ∴∠D =∠BCE.
E
∴CD = CE，
B
又DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B =90°，
பைடு நூலகம்
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
D
AC BC，
CD CE，
A
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL).
∴DA = EB，
C

11.2三角形全等的判定(HL)练习题及答案

11.2三角形全等的判定（HL）◆随堂检测1. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，你能说明BC与BD相等吗？2．如图，两根长相等的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。

3. 如图，已知AD⊥BE,垂足C是BE的中点,AB=DE.求证：AB//DE.◆典例分析CDA B例:已知△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，如 AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的高，且 AD=A′D′．问△ABC与△A′B′C′是否全等？如果全等，给出证明.如果不全等，请举出反例．错解：这两个三角形全等．证明如下：如图1，在Rt△ABD和 Rt△A′B′D′中，∵AB=A′B′，AD=A′D′∴Rt△ABD≌Rt△A′B′D′.∴BD=B′D′同理可证 DC=D′C′，∴BC=B′C′在△ABC和△A′B′C′中，∵AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′.评析：这两个三角形不一定全等．当这两个三角形均为钝角(或锐角)三角形时全等；若一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时就不可能全等．如图2，虽有AB=A′B′，AC=A′C′，但BC≠B′C′，因此这两个三角形不全等．◆课下作业●拓展提高4.把下列说明Rt△ABC≌Rt△DEF的条件或根据补充完整.(1) _______,∠A=∠D ( ASA )(2) AC=DF,________ (SAS)(3) AB=DE,BC=EF ( )(4) AC=DF, ______ ( HL )(5) ∠A=∠D, BC=EF ( )(6) ________,AC=DF ( AAS )5.小明既无圆规，又无量角器，只有一个三角板，他是怎样画角平分线的呢？他的具体做法如下：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线交点为P,画射线OP.则OP平分∠AOB。

14.2(5)全等三角形的判定HL(练习课)

3.已知：如图，在Δ ABC中，高AD,BE相交于点H,当满足什么条件时，Δ BDH≌Δ ADC？
答：（1）BD=AD或（2）DH=DC或（3）BH=AC 证明：∵AD,BE是Δ ABC的高（已知） ∴AD⊥BC,BE⊥AC ∴∠ADC=∠BDH=∠BEC=90°（垂直定义） ∴∠HBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90° （三角形内角和定理） ∴∠HBD=∠CAD（同角的余角相等）
12.已知：如图，AB=CD,BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求证：FG=EG.
证明∵BF⊥AC,DE⊥AC（已知） ∴∠AFB=∠BFG=∠CED=∠DEG=90°（垂直定义） B ∴Δ ABF和Δ CDE都是直角三角形又∵AE=CF（已知） ∴AE-FE=CF-FE（等式性质）பைடு நூலகம்即AF=CE ┌ A 在RtΔ ABF和RtΔ CDE中 F AB=CD（已知） ∵ AF=CE（已证） ∴RtΔ ABF≌RtΔ CDE(HL) ∴BF=DE(全等三角形的对应角相等）在Δ BFG和Δ DEG中 ∠BFG=∠DEG（已证） ∵ ∠BGF=∠DGE（对顶角相等） BF=DE（已证） ∴Δ BFG≌Δ DEG（AAS） ∴FG=EG（全等三角形的对应角相等）
斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为“斜边、直角边”或“HL”
B
∵∠C=∠C′=90° ∴△ABC和△A'B'C'都是直角三角形 A 在RtΔABC和RtΔA'B'C'中 AB=A'B' ∵ BC=B'C'

C B′
∴Rt△ABC≌RtΔA'B'C'(HL)

人教初中数学八上《三角形全等的判定HL》同步练习

三角形全等的判定要点感知1 斜边和一条_______分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成_____或“_____〞).预习练习1-1 如图,∠B=∠E=90°,AB=DE,AC=DF,那么△ABC≌△DEF的理由是( )要点感知2 直角三角形全等除“HL〞外,还有SSS,SAS,ASA,AAS都适合.预习练习2-1 以下命题：①两直角边分别相等的两个直角三角形全等；②两锐角分别相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；④一锐角和一直角边分别相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和斜边分别相等的两个直角三角形全等.其中,正确的命题有_____.(填写正确的序号)知识点1 用“HL〞判定直角三角形全等1.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD，Rt△ABC与Rt△BAD全等吗？为什么？2.，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，求证：AD平分∠BAC.3.如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，求证：AD=CF.知识点2 直角三角形全等的判定方法的选用4.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么以下各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°5.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由.6.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°,那么∠ACD的度数为( )°°°°7.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,一条线段PQ=AB,点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,当AP=_____时,才能使△ABC≌△QPA.8.如图，方格纸中是4个相同的正方形，那么∠1+∠3=_____.9.如图,AE=DE,AB⊥BC,DC⊥BC,且AB=EC.求证：BC=AB+DC.10.如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF,垂足分别为点E，F.求证：BE=CF.11.如下图,AB＝CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F，且BF=DE，求证：AB∥CD.12.如图,AD，AF分别是两个钝角△ABC和△：BC=BE.挑战自我13.：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图1,假设点O在边BC上,求证：∠ABO=∠ACO；(2)如图2,假设点O在△ABC的内部,求证：∠ABO=∠ACO.参考答案课前预习要点感知1 直角边斜边、直角边 HL预习练习1-1 D预习练习2-1 ①③④⑤当堂训练1.Rt△ABC≌Rt△BAD.理由如下：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C＝∠D＝90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB＝BA，AC ＝BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).2.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.3.证明：∵∠ACB=∠CFE＝90°，∴∠ACB=∠DFE=90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中，AB=DE，BC=EF，∴Rt△ACB≌Rt △DFE(HL).∴AC=DF.∴AC-AF=DF-AF，即AD=CF.4.B5.(1)△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD，△ABD≌△ACD.(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形.∵D 是BC的中点，∴∵BE＝CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).课后作业6.B7.CB8.90°9.证明：∵AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠B=∠C=90°.在Rt△ABE和Rt△ECD中,AE=DE,AB=EC,∴Rt△ABE≌Rt△ECD.∴BE=CD.∵BC=BE+EC,∴BC=AB+DC.10.证明：∵在△ABC 中,AD 是中线,∴BD=CD.∵CF ⊥AD,BE ⊥AD,∴∠CFD ＝∠BED ＝90°.在△BED 与△CFD 中,∵∠BED ＝∠CFD,∠BDE ＝∠CDF,BD ＝CD,∴△BED ≌△CFD(AAS).∴BE=CF.11.证明：∵DE ⊥AC,BF ⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°.在Rt △ABF 和Rt △CDE 中,AB=CD ， BF=DE ，∴Rt △ABF ≌Rt △CDE(HL).∴∠BAF=∠DCE.∴AB ∥CD.12.证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高,∴∠ADB=∠AFB=90°.∵AB=AB ，AD=AF ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF.∴DB=FB.∵AC=AE,AD =AF ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE.∴DC=FE.∴DB-DC=FB-FE,即BC=BE. 13.(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于E,作OF ⊥AC 于F,那么∠BEO=∠CFO=90°∵OB=OC,∴Rt △BOE ≌Rt △COF(HL).∴∠ABO=∠ACO.(2)证明：过点O 分别作OE ⊥AB,OF ⊥AC,E ，F 分别是垂足,那么∠BEO=∠CFO=90°,OE=OF.又OB=OC,∴Rt △OEB ≌Rt △OFC.∴∠EBO=∠∠ABO=∠ACO.整式的乘法根底题—初显身手1．以下运算正确的选项是( ) A ．－2(a －b )＝－2a －b B ．－2(a －b )＝－2a ＋b C ．－2(a －b )＝－2a －2b D ．－2(a －b )＝－2a ＋2b2．5m (m －n ＋2)＝5m 2－5mn ＋10m ．3．－6x (x －3y )＝－6x 2＋18xy ．能力题—挑战自我4．x (1＋x )－x (1－x )等于( ) A ．0 B ．2x 2 C ．2x D ．－2x ＋2x 25．(－3a 2＋b 2－1)(－2a )等于( )A ．6a 3－2ab 2B ．6a 3－2ab 2－2aC ．－6a 2＋2ab －2aD ．6a 3－2ab 2＋2a . 6．以下各题计算正确的选项是( ) A ．(ab －1)(－4ab 2)＝－4a 2b 3－4ab 2 B ．(3x 2＋xy －y 2)·3x 2＝9x 4＋3x 3y －y 2 C ．(－3a )(a 2－2a ＋1)＝－3a 3＋6a 2 D ．(－2x )(3x 2－4x －2)＝－6x 3＋8x 2＋4x 7．如图是L 形钢条截面，它的面积为(B ) A ．ac ＋bc B ．ac ＋c (b －c ) C ．(a －c )c ＋(b －c )c D ．(a －b )c ＋(b －c )b8．现规定一种运算：a *b ＝ab ＋a －b ，其中a ，b 为实数，那么a *b ＋(b －a )*b 等于( B ) A ．a 2－b B ．b 2－b C ．b 2 D ．b 2－a9．要使(x 2＋ax ＋1)(－6x 3)的展开式中不含x 4项，那么a 应等于( D )A ．6B ．－1C ．16D ．010．x －x (x －1)＝2x －x 2．11．有一个长方形，它的长为3a ，宽为(7a ＋2b )，那么它的面积为21a 2＋6ab ．12．3x n y n ＋1(－2x n －3－3x 5y 5)＝－6x 2n －3y n ＋1－9x n ＋5y n ＋6．13．ab [ab (ab －1)＋1]＝a 3b 3－a 2b 2＋ab ． 34πm 2． 14．如图，阴影局部的面积为14．观察以下等式：1×(1＋2)＝12＋2×1，2×(2＋2)＝22＋2×2，3×(3＋2)＝32＋2×3，……，那么第n 个等式可以表示为n (n ＋2)＝n 2＋2n ．15．ab 2＝－3，那么－ab (a 2b 5－ab 3－b )＝33．16．计算：(1)(－7x 2y )(2x 2y －3xy 2＋xy ) (2) (－13xy 2)2·［xy (2x －y )＋xy 2］解：(1)原式＝(－7x 2y )·2x 2y －(－7x 2y )·3xy 2＋(－7x 2y )·xy )＝－14x 4y 2＋21x 3y 3－7x 3y 2． (2)原式＝19x 2y 4·［2x 2y －xy 2＋xy 2］＝19x 2y 4·(2x 2y )＝29x 4y 5．17．化简求值：m 2(m ＋3)＋2m (m 2－1)－3m (m 2＋m －1)，其中m ＝25．解：原式＝m 3＋3m 2＋2m 3－2m －3m 3－3m 2＋3m ＝m ＝25．18．下面是小明和小红的一段对话：小明说：“我发现，对于代数式x (3x ＋2)－3 (x 2＋3x )＋7x －2，当x ＝2021和x ＝2021时，值居然是相等的．〞小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果．〞在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由．原式＝3x 2＋2x －3x 2－9x ＋7x －2＝－2，这个代数式的结果与x 无关，所以小明是对的．19．如果一个三角形的底边长为2x 2y ＋xy －y 2，高为6xy ，那么这个三角形的面积是多少？解：12(2x 2y ＋xy －y 2)·6xy ＝3xy (2x 2y ＋xy －y 2)＝6x 3y 2＋3x 2y 2－3xy 3．答：三角形的面积为6x 3y 2＋3x 2y 2－3xy 3．拓展题—勇攀顶峰20．规定表示ab －c ，表示ad －bc ，试计算－的结果．解：原式＝[x (x ＋1)－x 2]－[x (2x －1)－3x ·4x ]＝(x 2＋x －x 2)－(2x 2－x －12x 2)＝x －(－10x 2－x )＝x －10x 2＋x ＝－10x 2＋2x ．21．假设2x 2·(x 2＋mx ＋n )＋x 2的结果中不含x 3项和x 2项．试求m ，n 的值．解：2x 2·(x 2＋mx ＋n )＋x 2 ＝2x 4＋2mx 3＋2nx 2＋x 2＝2x 4＋2mx 3＋(2n ＋1)x 2，因为展开的结果中不含x 3项和x 2项，所以有2m ＝0且2n ＋1＝0，解得m ＝0，n ＝－12．警示:一般来说，为了简化运算，能合并同类项的可先合并同类项，减少项数，再进行下一步的运算．。

人教初中数学八上《三角形全等的判定HL》同步练习(打印版)

12.2三角形全等的判定HL学校：班级：学号：姓名：成绩：1 .判断①两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等〔〕 ②有两角分别对应相等的两个直角三角形全等〔〕 ③有一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等〔〕 ④斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等〔〕2. 在Rt △ABC 和Rt △AB /C /中，∠C=∠C /=90°，以下条件中能判定Rt △ABC ≌Rt △A /B /C /的个数有〔〕(1)AC=A /C / ,∠A=∠A / ；〔2〕AC=A /C / ，AB=A /B /；〔3〕AC=A /C / ，BC=B /C / ；〔4〕AB=A /B / ,∠A=∠A/3. 如图在△ABC 与△ADC 中，∠B ＝∠D ＝90°，假设利用“AAS 〞证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件或；假设利用“HL 〞证明证明△ABC ≌△ADC ，那么需添加条件或 .4. 如图，AB ⊥AC 于A ，BD ⊥CD 于D ，AC 交BD 于点O ，假设AC=DB ，那么以下结论不正确的选项是〔〕A.∠A=∠DB.∠ABC ≌∠DCBC.OB=ODD.OA=OD 5. 如下图，△ABC 中，∠BAD=∠CAD，要判断△ABD≌△ACD: (1)根据SAS 还需要添加的最少条件是： (1)根据ASA 还需要添加的最少条件是：(1)根据AAS 还需要添加的最少条件是：(1)根据HL 还需要添加的最少条件是：6．如下图，∠B=∠ACD,∠ACB=∠D=90°，AC 是△ABC 和△ACD 的公共边。

能否判断△ABC≌△ACD？请说明理由。

A DB COD B CA第3题图第4题图第5题图 A DB7.，如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD=CB，求证：△AB D ≌△CDB。

8. 如图，AB=CD ，AE⊥BC，DF⊥BC，CE=BF，求证：AE=DF。

全等三角形HL判定的基本练习

全等三角形练习1．如图，点C在∠DAB的内部，CD⊥AD于D，CB⊥AB于B，CD=CB那么Rt△ADC≌Rt△ABC 的理由是（）A．SSS B. ASA C. SAS D. HL2.如图，已知∠ABC= ∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）3.如图，△ABC中，D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足，且AE=AF，试说明：DE=DF，AD平分∠BAC..4. 如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD，BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB ⊥AD5.已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC.求证：BE=DF.6.已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE=CF 吗？说明理由。

7.已知AD=CB ， ∠A=∠C ，AE=CF ，问EB ∥DF 吗？说明理由。

8、已知AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2，问CE=BD 吗？9．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A 、D 重合，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量及位置关系，并证明你的猜想．ACDEABCDF E BA DFECAC DBEF G1 210.如图所示，分别以AB 为对称轴，画出已知图形的对称图形.11.如图，在长方形ABCD 中，AB=CD=6cm, BC=10cm,点P 从点B 出发，以2cm/秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒: (1) PC= cm. (用t 的代数式表示) (2)当t 为何值时，△ABP ≌△DCP? (3)当点P 从点B 开始运动，同时，点Q 从点C 出发，以V cm 每秒的速度沿CD 向点D 运动，是否存在这样v 的值，使得△ABP 与△PQC 全等?若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由.AB CED。

《三角形全等的判定——HL》学习任务单及课后练习(人教版八年级数学上册)

人教版八年级数学上册《三角形全等的判定——HL》学习任务单及课后练习【学习任务一】如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？（1）如果用米尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？（2）如果只用米尺，你能解决这个问题吗？【学习任务二】任意画一个Rt△ABC，使∠C =90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，B′C′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？【归纳】________判定方法：____________________________________________.符号语言表达：【学习任务三】用所学的知识解决下列问题。

例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．变式.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC ≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．例2.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E 与路段AB的距离相等吗？为什么？例3.如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：（1）AE =DF （2）CD//AB例4.如图，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2.变式. 在例4的基础上，设EC与AB交于点M，BF与AC交于点N，那么EM和FN相等吗？请说明理由.1.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是高.求证：（1）BD=CD ；（2）∠BAD=∠CAD2.用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB 的两边上，分别取OM ＝ON （如图），再分别过点M 、N 作OA 、OB 的垂线，交点为P ，画射线OP ，则OP 平分∠AOB ，请你说出其中的道理．参考答案:1.由AD 是高可知，AD ⊥BC ，则∠ADB =∠ADC =90°.D CB A。

直角三角形全等的判定HL导学案练习

直角三角形全等的判定HL导学案练习1.如图，∠ACB=∠CFE＝90°，AB=DE，BC=EF，求证：AD=CF.2.在△R t ABC和△R t A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt △ABC≌△R t A′B′C′的是()A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.(1)图中有几对全等的三角形？请一一列出；(2)选择一对你认为全等的三角形说明理由.4.如图,在△R t ABC中,∠BAC=90°,DE⊥BC,AC=6,EC=6,∠ACB=60°,则∠ACD的度数为()A.45°B.30°C.20°D.15°5.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,一条线段PQ=AB,点P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,当AP=_____时△才能使ABC≌△QPA.6.如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠3=_____.7.如图,已知AE=DE,AB⊥BC,DC⊥BC,且AB=EC.求证：BC=AB+DC.8.如图△在ABC中,AD是中线,分别过点B，C作AD及其延长线的垂线BE，CF,垂足分别为点E，F.求证：BE=CF.9.如图所示,已知AB＝CD,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F，且BF=DE，求证：AB∥CD.10.如图,已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE.求证：BC=BE.。

八上数学同步课时训练12.2.4用“HL”判定直角三角形全等

3，1)， ∴OB＝3，AB＝1. ∵∠POQ＝∠ABO＝90°， PQ＝AO， ∴只要有一条直角边对应相等，两个直角三角形就全等．当P(－1，0)时，Q1(0，3)，Q2(0，－3)；当P(－3，0)时，Q3(0，1)，Q4(0，－1)；当P(1，0)时，Q5(0，3)，Q6(0，－3)；当P(3，0)时，Q7(0，1)，Q8(0，－1)．
解：CB＝DA. 理由：由题意易知AC＝BD. ∵CB⊥AB，DA⊥AB， ∴∠DAB＝∠CBA＝90°. 在Rt△DAB和Rt△CBA中， BD＝AC， AB＝BA， ∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL)． ∴DA＝CB.
5．如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF，求证： AD＝CF.
上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程．
解：不正确．直角三角形全等的判定中没有“SSA”，而应该是 “HL”．
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△BFD和Rt△ACD中，FBDF＝＝ACCD，， ∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)． ∴∠DAC＝∠DBF.
证明：∵∠ACB＝∠CFE＝90°， ∴∠ACB＝∠DFE＝90°. 在Rt△ACB和Rt△DFE中， AB＝DE， BC＝EF， ∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)． ∴AC＝DF. ∴AC－AF＝DF－AF，即AD＝CF.
知识点2 直角三角形全等判定方法的选用 6．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( B ) A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3 B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40° C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3 D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°