上海市闸北区2008届学科期中练习卷高三数学(理科)试题(附解答)
2008年上海高考数学理科试卷
2008年 全 国 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将答 一. 填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．不等式1|1|<-x 的解集是 ．2．若集合}2{≤=x x A 、}{a x x B ≥=满足}2{=B A ，则实数=a ． 3．若复数z 满足)2(z i z -=（i 是虚数单位），则=z ________ ．4．若函数)(x f 的反函数为21)(x x f=-（0>x ），则=)4(f ．5．若向量a 、b 满足1||=a ，2||=b ，且a 与b的夹角为3π，则=+b a ______ ．6．函数⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x f 2sin sin 3)(π的最大值是___ ．7．在平面直角坐标系，从六个点：)0,0(A 、)0,2(B 、)1,1(C 、)2,0(D 、)2,2(E 、)3,3(F 中任取三个，这三点能构成三角形的概率是____ ____（结果用分数表示）． 8．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数．若当),0(+∞∈x 时，x x f lg )(=，则满足 0)(>x f 的x 的取值范围是___________________________．9．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且 总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是_____________ _________________________．10．某海域内有一孤岛．岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界后二位 号 码 校验码是长轴长为a 2、短轴长为b 2的椭圆．已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为1h 、 2h ，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上．现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为1θ、2θ，那么 船只已进入该浅水区的判别条件是____________________________．11．方程0122=-+x x 的解可视为函数2+=x y 的图像与函数xy 1=的图像交点的 横坐标．若方程044=-+ax x 的各个实根k x x x ,,,21 （4≤k ）所对应的点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i x x 4,（k i ,,2,1 =）均在直线x y =的同侧，则实数a 的取值范围是_________________． 二．选择题 (本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内， 选对得 4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论 是否都写在圆括号内），一律得零分． 12．组合数rn C （1≥>r n ，n 、Z r ∈）恒等于 [答] ( )(A)1111--++r n C n r . (B) 11)1)(1(--++r n C r n . (C) 11--r n nrC . (D) 11--r n C rn . 13．给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的 [答] ( ) (A) 充要条件. (B) 充分非必要条件. (C) 必要非充分条件. (D) 既非充分又非必要条件. 14．若数列{}n a 是首项为1，公比为23-a 的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是 [答] ( )(A) 1. (B) 2. (C)21. (D) 45. 15．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、yC 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该 圆的四等分点．若点),(y x P 、点),(y x P '满足x x '≤且y y '≥， 则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧 [答] ( ) (A)AB . (B) BC . (C) CD . (D) DA .三．解答题 (本大题满分90分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 16. (本题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD 中，E 是1BC 的中点．求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示）． [解]17. (本题满分13分) E D C BA 1B 1 1D 1如图，某居民小区的平面图呈圆心角为0120扇形AOB．小区的两个出入口设置在点A及点C处．且小区里有一条平行于BO的小路CD．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．[解]18. (本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分9分.已知双曲线C ：1422=-y x ，P 是C 上的任意点． （1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为)0,3(，求||PA 的最小值． [证明]（1）[解]（2）19. (本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分8分， 第2小题满分8分.已知函数||212)(x xx f -=． （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围． [解]（1）（2）20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分5分，第3小题满分8分. 设),(b a P （0≠b ）是平面直角坐标系xOy 中的点，l 是经过原点与点),1(b 的直线．记Q 是直线l 与抛物线py x 22=（0≠p ）的异于原点的交点． （1）已知1=a ，2=b ，2=p ．求点Q 的坐标；（2）已知点),(b a P （0≠ab ）在椭圆1422=+y x 上，abp 1=．求证：点Q 落在双曲线14422=-y x 上；（3）已知动点),(b a P 满足0≠ab ，abp 1=．若点Q 始终落在一条关于x 轴对称的抛物线上，试问动点P 的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由． [解] (1)[证明](2)[解](3)21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分， 第2小题满分7分，第3小题满分8分.已知以1a 为首项的数列{}n a 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=+.3,,3,1n n n n n a d a a c a a（1）当11=a ，1=c ，3=d 时，求数列{}n a 的通项公式；（2）当101<<a ，1=c ，3=d 时，试用1a 表示数列{}n a 前100项的和100S ； （3）当m a 101<<（m 是正整数），m c 1=，正整数m d 3≥时，求证：数列ma 12-， m a m 123-+，m a m 126-+，ma m 129-+成等比数列当且仅当m d 3=． [解]（1）（2）[证明]（3）。
上海市部分重点中学2008届高三第二次联考(理科)
上海市部分重点中学2008届高三第二次联考数学（理科）试卷 （2008.3）一、填空题：（12×4’＝48’）1、集合}2|||{<=x x A 的一个非空真子集是__________2、若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，则=+b a __________3、在等差数列}{n a 中，2365-==a a ，，则=+++843a a a __________ 4、若1sin()2πα+=，)0,2(πα-∈，则=αtan __________ 5、设函数⎩⎨⎧<-≥+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，那么1(10)f -=_________6、已知圆的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，且圆与直线3x + 4y +4 = 0相切，则圆的标准方程是_______________________7、已知c b a ,,是锐角ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边，若,4,3==b a ABC ∆的面积为33， 则=c8、某机关的2008年新春联欢会原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是_______________9、在极坐标系中，O 是极点，设点)6,4(πA ，2(3,)3B π，则O 点到AB 所在直线的距离是10、设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ；②)2()(+=x f x f ；③当10<≤x 时，12)(-=x x f 。
则=++++)25()2()23()1()21(f f f f f _____________11、在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函y=f(x)的图像恰好经过k 个格点，则称函数y=f(x)为k 阶格点函数．已知函数：①y=2sinx ；②y=cos(x+6π)；③1x y e =-；④2y x = ．其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确论断的序号都填上）12、已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴，若把该长轴n 等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点121,,,-n P P P ，设左焦点为1F，则________)(1111111lim=++++-∞→B F P F P F A F nn n二、选择题（4×4’=16’）13、如果a,b,c 满足c<b<a 且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是 ---------- （ ） A ． ab>ac B ． c(b-a)>0 C ． 22cb ab < D ． ac(a-c)<014、设a,b,c 表示三条直线，βα，表示两个平面，下列命题中不正确的是---------（ ）A. ⎭⎬⎫⊥βαα//a β⊥⇒a B. c b a c b a ⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥内的射影在是内在ββb C. ααα////c c b c b ⇒⎪⎭⎪⎬⎫内不在内在 D. αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a //15、若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是 “对任意R ∈x ,有02>++c x b x a ”的 --------------------------- ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16、由方程1||||=+y y x x 确定的函数)(x f y =在),(∞+-∞上是 --------- （ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增 三、解答题：17、（8+4）已知向量a =（−cosx , sinx ），b =（x ），函数f(x)=a b ⋅ [0,]x π∈ （1）求函数f(x)的最大值 （2）当函数f(x)取得最大值时，求向量a b 与夹角的大小． [解]18、（6+6）在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），AD =1AA =1，2AB =，点E 是AB 上的动点 (1)若直线1D E EC 与垂直，请你确定点E 的位置，并求出此时异面直线1AD 与EC 所成的角 (2) 在（1）的条件下求二面角1D EC D --的大小 [解]19、（7+7）已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比为)0(>x x ，其前n 项和为n S（1）求函数1lim )(+∞→=n n n S S x f 的解析式；（2）解不等式8310)(xx f ->．[解]20、（4+6+4）电信局根据市场客户的不同需求，对某地区的手机套餐通话费提出两种优惠方案，则两种方案付电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示（实线部分）（MN 平行CD ） （1） 若通话时间为两小时，按方案A ，B 各付话费多少元？ （2） 方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3） 通话时间在什么范围内，方案B 比方案A 优惠？ [解]21、（4+6+6）设12,F F 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点(1)设椭圆C上的点到12,F F 两点距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标 (2)设K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段1KF 的中点B 的轨迹方程(3)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线L 有关，并证明你的结论。
2008年高三年级第一学期期中测验数学试卷(理科)
A . f (sin A) f (cos B)B . f (cos B) f (sin A)C . f (sin A) f (sin B)D . f (cos B) f (cos A)二、填空题(每小题 5分共30分)1 3 29.曲线在y x -x ' 5在x =1处的切线的倾斜角为310. 数列 1 , 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5……的第 100 项是 ______________ .北京市四中2007— 2008年高三年级第一学期期中测验数学试卷(理科)(试卷满分150分，考试时间为120分钟)、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 若 A 二｛y | y = log 2 x ｝, B 二｛ y | y =(丄)X ｝，则 A B =2A . {y <0C . 0:::y .. 1B . {y I y 0} D . R方程 2cosx = 1 的解集为 A . {x|x = 2k , k Z}3C . {x|x = 2k 二— 若等比数列的公比为 A . 21 下列求导正确的是1 ” (X ~)：=1xC .函数 5■:丁k Z ｝k 兀D . ｛x|x(-1) —,k Z ｝31，则这个等比数列的前 8项和等于C .B . {x|x = 2k 二3飞Z}2,但前4项和为 B . 19 http://www.mathedu.c n1~2x(3x f-3x log 3e 17D . 15 (x 2 cosx)二-2xsin x21 1y =8x -ln x 在区间(0,—)和(―,1)内分别为4 2B .单调递增，单调递增D .单调递减，单调递减单调递减，单调递增单调递增，单调递减 等差数列｛a n ｝的公差d 不为0, a 1=9d ，若a k 是a 1与a k 的等比中项，则C . 6D . 8命题p ：函数y =log a (ax 2a)(a • 0且a =1)的图象必过定点(—1, 命题q :如果函数y 二f (x)的图象关于 点对称，则有 A . “ p 且q ”为真 B . “ p 或q ”为假定义在 R 上的周期函数f (x)，其周期f &)在［-3, -2］上是减函数，如果A、k=1)；(3, 0)对称，那么函数 y 二f(x-3)的图象关于原 ( ) D . p 假q 真T=2,直线x=2是它的图象的上的一条对称轴，且 B 是锐角三角形的两个内角，则Ji n11. _______________________________________________________________ 已知函数f(x) =sin(2x •石)cos(2x -§)的最小正周期为___________________________________________ .12. 已知f(x)是定义在(-：：，•：：)上的减函数，其图象经过A(/,1) , B (0, —1)两点，f (x)的反函数是f二(X),则f"1)的值是_________________________ ;不等式I f(x_2)|：：：1的解集为___________ .13•已知数列｛a n｝的前n项和S n = n2 -9n • 1,则其通项a.= ________________ ;若它的第k项满足5 ::: a k ::: 8,贝V k = _______ .14. 对于函数f(X)=X2lg(^ x21)有以下四个结论：①f(x)的定义域为R; ②f(x )在(0,=)上是增函数；③f (x)是偶函数；2④若已知a, m • R,且f (a)二m,则f(-a) = 2a - m.其中正确的命题序号是_____________ .三、解答题(本大题共6小题，共80分)15. (本小题13分)已知：函数f(x) =2cos2 x ,3sin2x，a(a・ R).(1)若R,求：f(x)的单调递增区间；(2)若X・［0,—］时，f (x)的最大值为4,求：a的值，并指出这时x的值.23 216. (本小题满分13分)已知：函数f (x)二x - ax -3x.(1)若f (x)在x • ［1,=)上是增函数，求：实数a的取值范围；(2)若x=3是f (x)的极值点，求f (x)在［1,a］上的最小值和最大值17-(本小题13分)已知：数列｛a n｝满足印込3^ 心二齐N•(1)求数列｛a n ｝的通项；18.(本小题13分)已知：△ ABC 中，角A 、B 、C 所对的三边a , b , c 成等比数列兀(1) 求证：0 ：：： B 「31 +sin 2B(2) 求：函数y的值域.sin B +cosB219.(本小题14分)已知：二次函数 f (x)二ax bx c 满足条件：①f(3-x)二f(x);1 1②f (1H 0;③对任意实数x, f (x) 一一 -一恒成立. 4a 2(1) 求：y = f(x )的表达式；(2) 数列｛a n ｝, ｛b n ｝，若对任意的实数 x 都满足 g(x) f(x) a n x b n =x n [(n ，N*)其中g(x)是定义在实数集 R 上的一个函数.求：数列｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式 20.(本小题14分)已知：定义在(—1 , 1)上的函数 f(x)满足：对任意 x, (-1,1)都有X + v f(x) f (v)二 f( ). 1 + xy(1) 求证：函数f (x)是奇函数；(2)设 b n,求数列｛b n｝的前n 项和S n .a n(2)如果当(-1,0)时,有f(x) 0,求证：f (x)在(—1，1)上是单调递减函数；1 1(3)在(2)的条件下解不等式：f(X • —) • f( ) 0.2 1 - x北京市四中2007— 2008年高三年级第一学期期中测验数学试卷（理科）参考答案一、 选择题（每小题 1 . B 2. C 二、 填空题（每小题3兀5分，共40分） 3. C 4. D 5分共30分） 10. 14 11.5. A6. B7. C8. A 12. 4(- 2, 2)13. a nf-7 (n=1) (n^2)-2n -1014.①②④三、解答题 15.解析:(1) f (x) - 3 sin 2x cos2x 1 a 二 2sin(2x) 1 a. 6解不等式 2k ： -一 _2x • — _2k 二2 6JI-一.,口兀 兀，、得 kx _ k 二 一（k Z ）,3.f （x ）的单调区间为 [k ,k ](kZ).36•••当 2x 兀nX [0,—],2JT 7JT< 2x6 6 JI 即x 2 JI +— 6 JI时,f (X )max =3a ・ 6 =4, JI -a =1，此时 x = —616.解析：(1) f (x) = 3x 2 - 2ax-3 一 0 . x_1“31a (x ),x 3 13—(x )是增函数，其最小值为 一(1-1)=0・a 乞0.2 x2⑵ f (3)=0,即27-6a -3 = 0, • a = 4.f (x)二 x 3 _4x 2 _3x, f (x)二 3x 2 _ 8x _ 3, 21令 f (x) = 3x -8x -3 = 0,则 x或 x=3.又因为 0 ：：： • B ,所以一：：：B • — _ —,所以 1「2sin （B • -） < . 2,344124即原函数的值域是（1, 2]17. 18. f (x)—0 +f(x)-6]—18Z—12••• f(x)在x [1,a]上的最小值是f(3) = _18，最大值是f(1)=_6(I) a i3a 232a 3亠•亠3n 'a n=」，3 a 1- 3a 2- 32 a 33 7'3na nj&」 n n -11 /3 a n(n_2), 333a n 寸n _2)验证n=1时也满足上式:(n) b n = n 3n n_1( n —2),N*)S n=1 3 2 32 3 33 n 3n234n -13Sn =1 3 2 33 3"3_2S n =332 33 …3n _ n 3n1,1-3■3n 1S n-1 3因为a 、b 、c 成等比数列，所以 b 2二ac ，由余弦定理得:cosB 二a 2ci 2ac2ac 1 二 ,又因为• B ・（0,二），所以0 - B .23 ⑵由y 二1 si n2B sin B cosB 2(sin B cosB) sin B cosB 二 cosB sin B 二、2 sin(B), 4a+b+c=O 乃=亠 八19 •解：(1 )由条件得< b 3 n 丿 .......... 2分——=— c = —a — b = 2 a l 2a 2 '1111由f (x)得ax 2 -3ax - 2a0恒成立4a 2 4a 2a >0f (x) = x 2 -3x 2 ........................... 5 分 (2) G ，f(1) =0f(2)=0又。
2008年上海市高考数学试卷(理科)及答案
2008年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）不等式|x﹣1|＜1的解集是．2．（4分）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=．3．（4分）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=．4．（4分）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=．5．（4分）若向量，满足且与的夹角为，则=．6．（4分）函数的最大值是．7．（4分）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．8．（4分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是．9．（4分）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是．10．（4分）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是．11．（4分）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．13．（4分）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要14．（4分）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（13分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）18．（15分）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．19．（16分）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．20．（16分）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．21．（18分）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．﹣，a6m+22008年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共11小题，每小题4分，满分44分）1．（4分）（2008•上海）不等式|x﹣1|＜1的解集是（0，2）．【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴﹣1＜x﹣1＜1⇒0＜x＜2．故答案为：（0，2）．2．（4分）（2008•上海）若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2}，则实数a=2．【分析】由题意A∩B={2}，得集合B中必定含有元素2，且A，B只有一个公共元素2，可求得a即可．【解答】解：由A∩B={2}，则A，B只有一个公共元素2；可得a=2．故填2．3．（4分）（2008•上海）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则z=1+i．【分析】直接化简出z，然后化简表达式为a+bi（a、b∈R）即可．【解答】解：由．故答案为：1+i．4．（4分）（2008•上海）若函数f（x）的反函数为f﹣1（x）=x2（x＞0），则f（4）=2．【分析】令f（4）=t⇒f﹣1（t）=4⇒t2=4（t＞0）⇒t=2．【解答】解：令f（4）=t∴f﹣1（t）=4，∴t2=4（t＞0）∴t=2．答案：2．5．（4分）（2008•上海）若向量，满足且与的夹角为，则=．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：6．（4分）（2008•上海）函数的最大值是2．【分析】先根据两角和与差的正弦公式进行化简，再由正弦函数的性质即可得到其最大值．【解答】解：由．故答案为：27．（4分）（2008•上海）在平面直角坐标系中，从六个点：A（0，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（0，2）、E（2，2）、F（3，3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．【分析】本题是一个古典概型．由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；六个无共线的点生成三角形总数为C63；可构成三角形的个数为C63﹣C43﹣C33【解答】解：本题是一个古典概型由题目中所给的坐标知A、C、E、F共线；B、C、D共线；∵六个无共线的点生成三角形总数为：C63；可构成三角形的个数为：C63﹣C43﹣C33=15，∴所求概率为：；故答案为：．8．（4分）（2008•上海）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．【分析】首先画出x∈（0，+∞）时，f（x）=lg x的图象，然后由奇函数的图象关于原点对称画出x∈（﹣∞，0）时的图象，最后观察图象即可求解．【解答】解：由题意可画出f（x）的草图观察图象可得f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）故答案为（﹣1，0）∪（1，+∞）9．（4分）（2008•上海）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5，平均数为10．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是a=10.5，b=10.5．【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求（a﹣10）2+（b﹣10）2最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次函数，求出函数的最小值即可得到a和b的值．【解答】解：这10个数的中位数为=10.5．这10个数的平均数为10．要使总体方差最小，即（a﹣10）2+（b﹣10）2最小．又∵（a﹣10）2+（b﹣10）2=（21﹣b﹣10）2+（b﹣10）2=（11﹣b）2+（b﹣10）2=2b2﹣42b+221，∴当b=10.5时，（a﹣10）2+（b﹣10）2取得最小值．又∵a+b=21，∴a=10.5，b=10.5．故答案为：a=10.5，b=10.510．（4分）（2008•上海）某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a，短轴长为2b的椭圆，已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a．【分析】先根据题意分别表示出|MF1|和|MF2|，只要令|MF1|+|MF2|小于或等于椭圆的长轴即可．【解答】解：依题意，|MF1|+|MF2|≤2a⇒h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a；故答案为：h1•cotθ1+h2•cotθ2≤2a11．（4分）（2008•上海）方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax﹣4=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（x i，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）．【分析】原方程等价于，分别作出左右两边函数的图象：分a＞0与a＜0讨论，可得答案．【解答】解析：方程的根显然x≠0，原方程等价于，原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线的交点的横坐标；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x与交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；所以结合图象可得：；二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）12．（4分）（2008•上海）组合数C n r（n＞r≥1，n、r∈Z）恒等于（）A．B．（n+1）（r+1）C．nr D．r﹣1的关系，即可得【分析】由组合数公式，C n r进行运算、化简，找到其与c n﹣1答案．【解答】解：由，故选D．13．（4分）（2008•上海）给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（）条件．A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要【分析】由垂直的定义，我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题，反之，“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．【解答】解：直线与平面α内的无数条平行直线垂直，但该直线未必与平面α垂直；即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题；但直线l与平面α垂直时，l与平面α内的每一条直线都垂直，即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题；故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件故选C14．（4分）（2008•上海）若数列{a n}是首项为1，公比为a﹣的无穷等比数列，且{a n}各项的和为a，则a的值是（）A．1 B．2 C．D．【分析】由无穷等比数列{a n}各项和为a，则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可．【解答】解：由题意知a1=1，q=a﹣，且|q|＜1，∴S n==a，即，解得a=2．故选B．15．（4分）（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P（x，y）、P′（x′，y′）满足x≤x′且y≥y′，则称P优于P′，如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（）A．B．C．D．【分析】P优于P′的几何意义是：过点P′分别作平行于两坐标轴的直线，则点P 落在两直线构成的左上方区域内．【解答】解：依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求．故选D．三、解答题（共6小题，满分90分）16．（12分）（2008•上海）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1的中点．求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF，得到∠EDF是直线DE与平面ABCD 所成的角，然后再在三角形EDF中求出此角即可．【解答】解：过E作EF⊥BC，交BC于F，连接DF．∵EF⊥BC，CC1⊥BC∴EF∥CC1，而CC1⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD，∴∠EDF是直线DE与平面ABCD所成的角（4分）由题意，得EF=．∵（8分）∵EF⊥DF，∴．（10分）故直线DE与平面ABCD所成角的大小是（12分）17．（13分）（2008•上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）【分析】连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2﹣2CD•OD•cos60°=OC2即，解得（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2﹣2•CD•AD•cos120°=．∴AC=700（米）．．在直角△HAO中，AH=350（米），，∴（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．18．（15分）（2008•上海）已知双曲线，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值．【分析】（1）先设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，再求出双曲线的渐近线方程，根据点到线的距离公式分别表示出点P（x1，y1）到两条渐近线的距离，然后两距离再相乘整理即可得到答案．（2）先设P的坐标为（x，y），根据两点间的距离公式表示出PA|2并根据双曲线方程为，用x表示出y代入整理成二次函数的形式，即可得到|PA|的最小值．【解答】解：（1）设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y=0和x+2y=0．点P（x1，y1）到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数．（2）设P的坐标为（x，y），则|PA|2=（x﹣3）2+y2==∵|x|≥2，∴当时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为．19．（16分）（2008•上海）已知函数．（1）若f（x）=2，求x的值；（2）若3t f（2t）+mf（t）≥0对于恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f （x）=2求出x即可；（2）由时，3t f（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．【解答】解（1）当x＜0时，f（x）=3x﹣3x=0，∴f（x）=2无解；当x＞0时，，，∴（3x）2﹣2•3x﹣1=0，∴．∵3x＞0，∴（舍）．∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴，即时m≥﹣32t﹣1恒成立又﹣32t﹣1∈[﹣10，﹣4]，∴m≥﹣4．∴实数m的取值范围为[﹣4，+∞）．20．（16分）（2008•上海）设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x2=2py（p≠0）的异于原点的交点（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆+y2=1上，p=，求证：点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．【分析】（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．【解答】解：（1）当a=1，b=2，p=2时，解方程组得即点Q的坐标为（8，16）（3分）（2）证明：由方程组得即点Q的坐标为（5分）∵P时椭圆上的点，即=1∴，因此点Q落在双曲线4x2﹣4y2=1上（8分）（3）设Q所在的抛物线方程为y2=2q（x﹣c），q≠0（10分）将代入方程，得，即b2=2qa﹣2qca2（12分）当c=0时，b2=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；当qc=时，，此时点P的轨迹落在圆上；当qc＞0且qc≠时，=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；当qc＜0时=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）21．（18分）（2008•上海）已知以a1为首项的数列{a n}满足：a n+1=（1）当a1=1，c=1，d=3时，求数列{a n}的通项公式（2）当0＜a1＜1，c=1，d=3时，试用a1表示数列{a n}的前100项的和S100（3）当0＜a1＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a2﹣，a3m+2﹣，a9m+2﹣成等比数列当且仅当d=3m．﹣，a6m+2【分析】（1）由题意得（2）由题意知，，，所以S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a6）+…+（a98+a99+a100）==．（3）由题设条件可知，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列；当d≥3m+1时，，，故数列，不是等比数列．所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m【解答】解：（1）由题意得（2）当0＜a1＜1时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，，，，，，∴S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a98+a99+a100）===（3）当d=3m时，，∵，∴；∵∴；∵，∴，∴，，，∴综上所述，当d=3m时，数列，，，是公比为的等比数列当d≥3m+1时，，，，，由于，，故数列，不是等比数列所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m。
2008年高考理科数学试题及参考答案(上海卷)
学习县委书记刘天波在县一中教职工大会上讲话心得体会杨喜莲近段时间，自己认真学习了县委书记刘天波在县一中教职工大会上讲话会上的讲话，刘书记从三大方面高瞻远瞩地阐述清水教育发展存在的差距、发展的思路目标以及切实可行的措施，提出急需解决的“五个问题”，全力重视和抓好三个方面的具体工作。
这次讲话是凝聚人心、鼓舞志气、求实创新、团结奋进的讲话，吹响了坚持科学发展、办好人民满意教育、促进教育大发展的进军号角，开启了新起点上实现全县教育事业崛起新跨越的征程。
使我重新掂量了肩上担子的分量，明确了努力的方向，必须做一个业务能力强、综合素质高的教师，才能紧随教育改革的步伐，否则将会被淘汰，要想达到这一目标，我认为应从以下几方面做起。
一、加强学习，强化创新意识。
江泽民讲：“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。
”回顾以往，我们虽然对创新有了一定的认识。
但在实际教学中创新意识不是很强，力度也不够。
例如：在备课中，我们更多关注的是怎样符合规范化要求和应对各级领导的检查，很少关注其实用价值，既便关注，也只是把备课重点放“教法”上，很少去研究“学法”，关注学生的学习情感，在课堂教学中我们总是希望学生按教案设计的思路，对教师的提问做出回答。
当学生没有回答出教案中预设问题的答案时，教师不厌其烦地引导，要求其他学生再答，直到有人说出了教师教案中的答案，教师才心满意足。
这种教师牵着学生走的模式，大大扼杀了许多学生精彩的想法和创新的思想，教师过多的引导、讲解，挤掉了学生独立思考，探讨和练习的时间，导致课堂效率低，教学质量偏差，要想提高教学质量，就必须扭转这一现象，变以“教”为中心的教案为以“学”为中心的学案，陶行知先生说过：“我认为好的先生不是教书，不是教学生，而是教学生涯。
”如何教学生学，甚至学好，这就需要我们不断地去学习、去研究，去总结。
二、加强研讨，提高合作能力。
有句俗话说得好：“众人拾柴火焰高。
”新教材更需要教师的合作，因为它注重的不是教参，不是现成的课时教案，而是学生学习的实际情况，要想在课堂上大力创新，得心应手解决教学中出现的新情况、新问题，除了独自加强学习外，还必须善于和同事合作交流，从他们那里直接获取信息和灵感，产生新的想法，从而达到事半功倍的效果。
闸北八中~度高三数学第一学期期中考试试卷(理科)
闸北八中新校2008学年第一学期高三数学试卷（理）期中考试一、填空题（每小题4分，满分共44分） 1、若()f x =(3)f -= __________ 2、设全集{}{}{}53,2,52,1,5,4,3,2,1，，===N M U ，那么________)(=N M C U 3、不等式0322>--x x 的解集是（用区间表示）__________________4、若函数)(x f y =的图像经过点()11，，则函数)4(x f y -=的图像经过点_____________5、函数3222)1()(----=m mx m m x f 是幂函数，并且在区间),0(∞+上是减函数，则实数m=6、若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+最小值是___________________7、若关于x 的不等式01>+-x ax 的解集为),4()1(∞+⋃--∞，则实数_______=a 8、函数)4(log 2x y -=的定义域是__________________________9、已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则当0≤x 时，___________)(=x f 10、设函数)3(log )(2+=x x f 的图像为1C ，函数()y g x =的图像为2C ，若1C 与2C 关于直线x y =对称，则)1()1(g f +的值为11、规定“∆”表示一种运算，即+∈++=∆R b a b a ab b a ,,。
则函数x x f ∆=4)(的值域是_____________二、选择题（每小题4分，满分共16分）12、设集合{}{}|03,|02,""""M x x N x x a M a N =<≤=<≤∈∈那么是的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件13、若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在)0,(-∞上是增函数且0)2(=f ，则使得0)(<x f成立的x 的取值范围是 （ ）A )2,(-∞B ),2(∞+C ),2()2,(∞+⋃--∞D )2,2(-14、已知函数xx f 2)(=的反函数)(1x f -满足4)()(11=+--b f a f ，则ba 11+的最小值为（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ． 115、如图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，H 是该沙漏中沙面下降的高度，则H 与下漏时间分(t ）的函数关系用图象表示应该是 （ ）三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 16．（本小题满分12分）设关于x 的不等式01<+-x ax 的解集为P ，不等式1|1|≤-x 的解集为Q （1）若3=a ，求P ；（2）若P Q ⊆，求正数a 的取值范围。
闸北区第二学期高三数学(理、文合卷)期中练习卷.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作闸北区2015学年度第二学期高三数学（理、文合卷）期中练习卷考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（60分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得6分，否则一律得零分．1．设函数()(01x xf x a a a a -=+>≠且），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值是 ．2．已知集合{||2|}A x x a =-<，2{|230}B x x x =--<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．3．如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是 ． 4．（理 ）在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，则34a b -的值是 ．（文）已知x 、y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,若使得z ax y =+取最大值的点(,)x y 有无数个,则a的值等于 ．5．（理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a 为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分别是以7000元、5600元、4200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是 元．（文））在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量OA ，OB 在向量OC 方向上的投影相同，则34a b -的值是 ．6．已知1F 、2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F ∆的面积为9，则b = ．7．ABC ∆中，,,a b c 分别是,,A B C ∠∠∠的对边且222ac c b a +=-，若ABC ∆最大边长是7且sin 2sin C A =，则ABC ∆最小边的边长为 ．8．（理）在极坐标系中，曲线sin 2ρθ=+与sin 2ρθ=的公共点到极点的距离为_________．（文）设等差数列{}n a 的公差为d ，若1234567,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d = ．9．（理）如右图，A 、B 是直线l 上的两点，且2AB =，两个半径相等的动圆分别与l 相切于A 、B 两点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，圆弧CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．（文）已知函数2cos ,||1()21,||1xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是 个．10．（理）设函数2()1f x x =-，对任意⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,23x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 ． （文）设函数1()f x x x=-,对任意[1,)x ∈+∞，()()0f mx mf x +<恒成立，则实数m 的取值范围是 ．二、选择题（15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11．（理）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件（文）若一个长方体共顶点的三个面的对角线长分别是,,a b c ，则长方体的对角线长是( )CBAlD 1 .A 1CEABCD B 1A ．222a b c ++ B ．2222a b c ++ C ．ab bc ac ++ D ．3(2)2b bc ac ++12．（理）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == 2BC =，则球O 的表面积等于（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．π（文）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，则命题:P ||1a b ->是命题5:[,)26Q ππθ∈的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．非充分且非必要条件13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的论断中正确的是（ ）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．可能是等差数列，但不会是等比数列D ．可能是等比数列，但不会是等差数列三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．14．（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动． （1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．14．（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图几何体是由一个棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -与一个侧棱长为2的正四棱锥1111P A B C D -组合而成． （1）求该几何体的主视图的面积；（2）若点E 是棱BC 的中点，求异面直线AE 与1PA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）.15．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）某公司生产的某批产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足42+=x P (其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本)1(6PP +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为)204(P+元／件．（1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？ 16．（本题满分15分，第（1）小题7分，第（2）小题8分）已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；A 1B 1C 1D 1ECBAPD .（2）（理）求证：存在0(,)64x ππ∈，使得0()f x ，0()g x ，00()()f x g x ⋅能按照某种顺序．．．．成等差数列．（文）定义：当函数取得最值时，函数图像上对应的点称为函数的最值点，如果函数()3sinxy F x kπ==的图像上至少有一个最大值点和一个最小值点在圆222(0)x y k k +=>的内部或圆周上，求k 的取值范围．17．（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）若动点M 到定点(0,1)A 与定直线:3l y =的距离之和为4． （1）求点M 的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2）（理）记（1）得到的轨迹为曲线C ，问曲线C 上关于点(0,)()B t t R ∈对称的不同点有几对？请说明理由．（文）记（1）得到的轨迹为曲线C ，若曲线C 上恰有三对不同的点关于点(0,)()B t t R ∈对称，求t 的取值范围．18．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（2）小题8分）已知数列{}n a ，n S 为其前n 项的和，满足(1)2n n n S +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}na 的前n 项和为n T ，数列{}n T 的前n 项和为n R ，求证：当2,*n n N ≥∈时1(1)n n R n T -=-；（3）（理）已知当*n N ∈，且6n ≥时有1(1)()32n mm n -<+，其中1,2,,m n =，求满足34(2)(3)n a n n n n n a ++++=+的所有n 的值．（文）若函数1()(1)31qx f x p =-⋅+的定义域为R ，并且lim ()0(*)n n f a n N →∞=∈，求证1p q +>．高三数学（理文合卷）期中练习卷参考答案一、填空题1、122、3a ≥3、24、（理）2；（文）1-5、（理）5000；（文）26、37、18、（理）13+；（文）12±9、（理）(0,2]2π-；（文）5 10、（理）32m ≤-或32m ≥；（文）1m <-二、11、B 12、（理）A ；（文）B 13、C三、14、（理）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 解：（1）法一：长方体1111ABCD A B C D -中，因为点E 在棱AB 上移动，所以EA ⊥平面11AA D D ，从而1ED A ∠为直线1D E 与平面11AA D D 所成的平面角，1Rt ED A ∆中，145ED A ∠=12AE AD ⇒==. ……………………………5分法二：以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴轴，建立空间直角坐标系，则点1(0,0,1)D ，平面11AA D D 的法向量为(0,2,0)DC =，设(1,,0)E y ，得1(1,,1)D E y =-，由11sin4D E DC D E DCπ⋅=，得2y =，故2AE =（2）以D 为坐标原点，射线1,,DA DC DD 依次为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则点(1,1,0)E ，1(1,0,1)A ， 1(0,2,1)C ，从而1(1,0,1)DA =，1(0,2,1)DC =，(1,1,0)DE = …………3分 设平面11DA C 的法向量为(,,)n x y z =，由1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩020x z y z +=⎧⇒⎨+=⎩ 令1(1,,1)2n =--，所以点E 到平面11A DC 的距离为n DE d n⋅=1=. …………4分14、（文）（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）画出其主视图（如下图），可知其面积S 为三角形与正方形面积之和. 在正四棱锥1111P A B C D -中，棱锥的高2h =，1224242S =⋅⋅+=+. ……………………………5分（2）取11B C 中点1E ，联结11A E ，11A E AE则11PA E ∠为异面直线AE 与1PA 所成角. 在11PA E ∆中，1115,2A E PA ==， 又在正四棱锥1111P A B C D -中，斜高为13PE =， 由余弦定理可得 114533cos 510225PA E +-∠==⋅⋅ ……………………6分所以113arccos 510PA E ∠=，异面直线AE 与1PA 所成的角为3arccos 510.………1分15、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）由题意知， )1(6)204(pp x p p y +--+= 将42+=x P 代入化简得： x x y 2322419-+-= （0x a ≤≤）. ……………6分 （2）10)2(216322)2216(2322=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， 上式当且仅当2216+=+x x ,即2=x 时，取等号。
08届高三数学(理)上期期中考试卷
2
由余弦定理 c2 a 2 b 2 2ab cosC有 b2 4b 3
3 ……………… 2 分
2
，…………… 3 分
3
0,解得 b 1或 b 3 …… 5
分
当b
3时 , S
1 ab sin C
33
2
1 当 b 1时, S ab sin C
08 届高三数学 (理)上期期中考试卷
本试卷分第 I 卷（选择题共 50 分）和第 II 卷（非选择题共 100 分）两
部分。考试时刻为 120 分钟，满分为 150 分。
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题（本题共 10 个小题，每题 5 分，共 50 分）
1． 设集合 U {( x, y) | x R, y R}, A {( x, y) | 2x y m 0},
望值 .
19．（本小题满分 13 分） 如图，已知长方体 ABCD —A1B1C1D1 ，AB=2 ，AA1=1 ，直线 B
D 与平面 AA1B1B 所成的角为 30°，英才苑 AE⊥BD 于 E， F 为 A1B1 的 中点 .
（1）求异面直线 AE 与 BF 所成的角； （2）求平面 BDF 与平面 AA1B1B 所成的二面角（锐角）的大小； （3）求点 A 到平面 BDF 的距离 .
生的视力情形，得到
频率分布直方图如右图，由于不慎将
部分数据丢失，但明白前 4 组的频数
成等比数列，后 6 组的频数成等差数
列，设最大频率为 a，视力在 4.6 到
5.0 之间的学生数为 b，则 a，b 的值
分不为（ ）
A．0.27，78 B．0.27，83
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上海市闸北区2008届高中学科期中练习卷高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一．填空题 (本大题满分40分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线2x y =的焦点坐标为 ． 2．函数x x y cot tan -=的最小正周期为________． 3．若21lim2=++∞→n bnann ，则=+b a ．4．已知虚数z 满足等式：i z z 612+=-，则=z ．5．椭圆92522yx+=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 的最大值为 ．6．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，将该正方体沿对角面 D D BB 11切成两块，再将这两块拼接成一个不 是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．7．某商场开展促销抽奖活动，摇出的中奖号码是8，2，5，3，7，1， 参加抽奖的每位顾客从0～9这10个号码中任意抽出六个组成一组，若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同（不计顺序）即可得奖，则中奖的概率是________．8．已知关于y x ,的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=.0,22m y x x x y 有两组不同的解，则实数m 的取值范围是____________．9．函数||)(b x ax x f -=在区间),0[+∞上是增函数的充要条件是_______________． 10．请写出方程y x y x lg lg )lg(⋅=+的一组解为.__________________,==y x A 1二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错一律得零分．11．在数列}{n a 中，2,121=-=a a ，且)(*21N n a a a n n n ∈+=++，则2008a 为（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-212. 已知边长为1的正三角形ABC 中，则BC AB AB CA CA BC ⋅+⋅+⋅的值为（ ）A ．21 B ．21-C ．23 D ．23-13.在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-=关于 （ ）A ．直线3πθ=轴对称 B ．直线65πθ=轴对称C ．点)3,2(π中心对称 D ．极点中心对称14．设奇函数)(x f 的定义域为R ，最小正周期为3=T ，若132)2(,1)1(+-=≥a a f f ，则a的取值范围是 （ ） A ．1-<a 或32≥a B ．1-<a C ．321≤<-a D ．32≤a三．解答题 (本大题满分94分)本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 15． (本题满分12分) 设b a x f x +=)(同时满足条件2)0(=f 和对任意R x ∈都有1)(2)1(-=+x f x f 成立．（Ⅰ）求f （x ）的解析表达式；（Ⅱ）设函数)(x g 的定义域为]2,2[-，且在定义域内，)()(x f x g =．求)(1x g -；（Ⅲ）求函数)()(1x gx g y -+=的值域．[解]（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）16． (本题满分14分)如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABC Ｄ中，PA ⊥平面ABC Ｄ， PA=AB=1，BC=2． （Ⅰ）求PC 与平面PAD 所成角的大小；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的大小；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为2，若存在，求出BG 的值；若不存在，请说明理由． [解] （Ⅰ）（Ⅱ） （Ⅲ）17． (本题满分14分) 已知A 、B 、C 的坐标分别为A(4，0 )、B(0，4 )、C(3αcos ，3αsin ) (Ⅰ)若(,0)απ∈-，且||||A C B C =．求角α的值；PA BCD E(Ⅱ)若0=⋅BC AC ，求22sin sin 21tan ααα++的值．[解] (Ⅰ) (Ⅱ)18．(本题满分16分)某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定征税率降低)0(≠x x 个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．（Ⅰ）写出税收y （万元）与x 的函数关系式；（Ⅱ）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． [解]（Ⅰ）（Ⅱ）19． (本题满分18分)等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S =+=+，．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设)(2*N n a b n n ∈-=，}{n b 中的部分项nk k k b b b ⋅⋅⋅,,21恰好组成等比数列，且63,141==k k ，求数列}{n k 的通项公式；（III ）设)(*N n nS c n n ∈=，求证：数列}{n c 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[解]（Ⅰ）（Ⅱ）（III ）20． (本题满分20分) 如图，椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>，1A 、2A 、1B 、2B 为椭圆C的顶点．（Ⅰ）设点)0,(0x M ，若当且仅当椭圆C 上的点P 在椭圆的顶点时， ||PM 取得最大值与最小值，求0x 的取值范围；（Ⅱ）若椭圆C 上的点P 到焦点距离的最大值为3，最小值为1，且与直线:l y kx m =+相交于A ，B 两点（A B ，不是椭圆的左右顶点），并满足22BA AA ⊥．试研究：直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由． [解]（Ⅰ）（Ⅱ）y闸北区08届高三数学（理）学科期中练习卷参考答案与评分标准一．填空题 1．)41,0(； 2．2π； 3．2； 4．1+2i ； 5．25； 6．2)224(a +；7．425； 8．120-<≤m ； 9．00≤>b a 且； 10．24011,100+==y x ．二．选择题11．A ； 12. D ； 13. B ； 14．C ． 三．解答题15．17．解：（1）由2)0(=f ，得1=b ，………………………………………………….1分由1)(2)1(-=+x f x f ，得0)2(=-a a x由0>x a 得2=a ，………………………………………………………………….2分12)(+=∴xx f …………………………………………………………………….1分（2）)1(log )(21-=-x x g （]5,45[∈x ）……………………………………….4分（3）由已知得，]2,45[,12)1(log 2∈++-=x x y x．………………………….1分又因为函数12)(+=x x g 与)1(log )(21-=-x x g 在区间]5,45[上均为增函数，2分∴ 函数)()(1x gx g y -+=（D x ∈）的值域为 ]5,122[4-．……………….1分16．解一：(1)由已知得C Ｄ⊥PA ，C Ｄ⊥A Ｄ，所以C Ｄ⊥P Ｄ，所以，PC 与平面PAD 所成角既为∠CP Ｄ，………………………………………….2分又由已知可求得P Ｄ=5，C Ｄ=1 所以∠CP Ｄ55arctan=……………………………………………………………….2分（2）设C Ｄ中点为F ，连结EF ，则E F ∥PC所以AE 与EF 所成角既为所求……………………………………………………….1分又217,2621,25====AF PC EF AE ，10302cos 222-=⋅-+=∠∴EFAE AFEFAEAEF ………………………………………3分∴异面直线AE 与PC 所成角的大小为1030arccos………………………………….1分（3）（3）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ， 即DQ ＝2…………………………………………………………………………….3分 ∴,21<=BG ………………………………………………………………………….1分 故存在点G ，当B G ＝1时，使点D 到平面P A G 的距离为1…………………………….1分解二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，………………………………………………………………………………….1分 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，12，P(0，0，1)。
∴CD ＝(－1，0，0)，AD ＝(0，2，0)，AP ＝(0，0，1)，AE ＝(0，1，12) ，PC＝(1，2，－1)，………………………………………………………………………………….1分(1) 00C D AD C D AD C D PAD C D AP C D AP C D PD C AP AD A ⎫=⇒⊥⎪⊥⎫⎪=⇒⊥⇒⇒⎬⎬⊂⎭⎪=⎪⎭平面平面平面PDC ⊥平面PAD. ….2分 (2)∵cos ,||||AE PCAE PC AE PC 〈〉=＝2－121+14·6＝3010，……………………….4分 ∴异面直线AE 与PC 所成角的大小为1030arccos……………………………1分(3)假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令BG ＝x ，则G(1，x ，0)，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ，即DQ ＝2。
∵2S △ADG ＝S 矩形ABCD ，∴||||||||AG D Q AB AD =＝2………………………….2分∴||A G＝2，又AG ＝x 2+1，∴x ＝1<2， …………………………………….2分故存在点G ，当B G ＝1时，使点D 到平面P A G 的距离为2。
…………………………1分 17．解：(3cos 4,3sin ),(3cos ,3sin 4)AC BC αααα=-=-…………2分（Ⅰ）2222(3cos 4)9sin 9cos (3sin 4)A CBC αααα=-+=+-得sin cos αα∴=………………………………………………………………3分()3,04απαπ∈-∴=-…………………………………………………2分（Ⅱ）22sin sin 22sin cos (cos sin )1tan cos sin ααααααααα++=++2sin cos αα=…2分03cos (3cos 4)3sin (3sin 4)0AC BC αααα=∴-+-=…………………2分3sin cos 4αααα∴+=7，两边平方得２sin cos =-1622sin sin 271tan 16ααα+∴=-+……………………………………………………2分18．解：（1）降低税率后的税率为)%10(x -，农产品的收购量为%)21(x a +万担，收购总金额 %)21(200x a +，……………………………………………………………6分 依题意：).100)(10)(2100(501)%10%)(21(200<<-+=-+=x x x a x x a y …2分（2）原计划税收为).(20%10200万元a a =⋅ 依题意得：%,2.8320)10)(2100(501⨯≥-+a x x a ………………………6分化简得，,100.242,084402<<≤≤-∴≤-+x x x x 又.20≤<∴x答：x 的取值范围是.20≤<x …………………………………………2分19．解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=+⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，…………………………2分故21(n n a n S n n =-+=+．…………………………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12-=n b n ，…………………………………………1分再由已知得，等比数列}{nk b 的公比1251633==b b q ，…………………………2分5=∴q ………………………………………………………………………………2分 ⇒=-∴-1512n n k )15(211+=∴-n n k …………………………………………2分（III）由（Ⅰ）得n n S b n n==+1分假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列， 则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．……………………………2分2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，，22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，．………………………………………2分与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．……2分20．解：（Ⅰ）设2202)(||)(y x x PM x f +-==22202222ab x x x x ac ++-=………2分对称轴方程202cx a x =，由题意a c x a ≥202或a c x a ≤202或0202=cx a …………………………………………4分∴acx 20≥或acx 20-≤或00=x∴),[}0{],(220+∞⋃⋃--∞∈acacx …………………………………………2分（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：3a c +=，1a c -=，…………………………………1分2a ∴=，1c =，2223b a c ∴=-=．∴椭圆的标准方程为22143xy+=． …………………………………………1分设11()A x y ，，22()B x y ，，联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84(3)0k x m kx m +++-=，…………………………………………2分学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 11 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m m kx x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩ ，即，则，…………2分 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+，因为椭圆的右顶点为(20)D ，，1AD BD k k ∴=-，即1212122y y x x =---，…………………………………………1分 1212122()40y y x x x x ∴+-++=，2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --∴+++=+++，2291640m mk k ∴++=．…………………………………………………………2分 解得：12m k =-，227k m =-，且均满足22340k m +->，当12m k =-时，l 的方程为(2)y k x =-，直线过定点(20)，，与已知矛盾；……1分 当227k m =-时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫⎪⎝⎭，．………………1分所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫ ⎪⎝⎭，．…………………………………………1分。