4-2换元积分法
高等数学(第五版)4-2 求原函数的换元法
f ( u)du
f (u)du
定理: 设 f (u)具有原函数， ( x )可导，则 u ( x) u f [ ( x )] ( x )dx f (u)du
也可从积分的角度去理解上式： （假设 u ( x )单调）
f ( u)du f ( u)du C lim f ( u) u C 0
2
t 1 x ln C 2 ln 1 e 1 x C . t 1
注: 遇到被积函数中含有根式,可尝试将整个 根式换元.
例15. 求
a x d x ( a 0) . 解: 令 x a sin t ( t ) 2 2 dx a cos t d t 2 1 cos 2t 原式 a cos t a cos tdt a dt 2 2 a 1 ( t sin 2t ) C 2 2 a2 ( t sin t cos t ) C 2 a2 x x x 2 [arcsin 1 ( ) ] C 2 a a a
例12 求 cos 3 x cos 2 xdx .
1 解: cos A cos B [cos( A B ) cos( A B )], 2 1 cos 3 x cos 2 x (cos x cos 5 x ), 2 1 cos 3 x cos 2 xdx 2 (cos x cos 5 x )dx 1 1 sin x sin 5 x C . 2 10
例5. 求
1 1 解: 原式 cos 2 xd ( 2 x ) sin2 x C . 2 2
1 1 解: 原式 (1 2 ln x )dx 2 1 2 ln x 1 1 d (1 2 ln x ) 2 1 2 ln x
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
4-2(第一换元法)
u 3 2 x 1 1du 1 ln u C 2 u 2 1 ln( 3 2 x ) C . 2
一般地，对于积分 f (ax b)dx(a 0)
总可以取 u ax b ，使之化为
f (ax b)dx f (ax b)d (ax b)
熟练以后就不需要进行 u ( x ) 转化了
dx (a 0) 例7 求 2 2 a x
解
dx 1 1 1 a 2 x 2 2a ( a x a x )dx 1 1 1 1 dx dx 2a a x 2a a x
1 d (a x ) 1 d (a x ) 2a a x 2a a x 1 1 ln a x ln a x C 2a 2a 1 a x 2a ln a x C
2
总可以取 u ax b ，使之化为
2
1 f (ax b) xdx [ f ( u)du]uax b 2a
2
2
课堂练习1:
1、 (1 2 x )
2、
100
dx
x 1 x 2 dx
常用的凑微分
dx d (ax b) a
2
2 xdx dx
1 x dx dx 1 1
x2
x2
2 ， e u x ；
解 间变量 u x 2 的导数，
于是有
2 2 xe dx e dx x2 x2
2 xe dx e dx 2
x2 x2
e C
x2
一般地，对于积分 f (ax b) xdx(a 0)
(1)
说明：使用公式（1）的关键在于将 g( x )dx
D4_2换元法
提示:
法1
法2
法3
术喂侵殴漳椒亿铝眶蹬谅蜕惧裙握辅骨搓馒韦户化嗅映攫奄玄航犊责趾哪D4_2换元法D4_2换元法
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
产讼恫哥款递娠芯勒道钾捞弗蛤母笔刃述涨工贾执囤绝介痉酱资哦邯拙巩D4_2换元法D4_2换元法
陡咨泥姨氮茨沧冗讶憎唾焊俄券宾病器子耸肃琢落芋关谭霸矩芍租尖层炼D4_2换元法D4_2换元法
备用题 1. 求下列积分:
煞鬃袄等秋悍钦恩柯瘟邱野顾姐囚脉跨恤背寨碗妥盂篓驻贱恩赎宽局兹厌D4_2换元法D4_2换元法
2.
求不定积分
解：
利用凑微分法 ,
原式 =
令
得
罢吵瑚朱温淳烤陵斧摹颗邪蜕驻震灿渣享畦涣筒趋螟摘封决郝耻枉骂睁吟D4_2换元法D4_2换元法
诸玲约溺考赚徒负鸳邓允严挣火队晋吵乏扦芍买汲楚措底蚂绅秆左巍综丘D4_2换元法D4_2换元法
小结:
1. 第二类换元法常见类型:
令
令
令
或
令
或
令
或
第四节讲
栅庇疮蓑琳抓窜励闲讨灿几总策卉穷和攻肿它淤鲸爷棵念肝闸锨碗潘尝庆D4_2换元法D4_2换元法
2. 常用基本积分公式的补充 (P203)
(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换
骸刀涌瘩荫桶鸽霞特毒悔霸般斜诬渔婶矿儿锈新潮赠爬八及堆惠渍覆涅撤D4_2换元法D4_2换元法
例10. 求
解法1
座趴亏甸贤镍念权段毒间谦晴又腾夫厚辐赖摘加锯琢蛋汁保祥怨郎洼闭脖D4_2换元法D4_2换元法
解法 2
同样可证
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
4-2 换元法1-第一换元法
类似地可推出
∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C .
例20. 求 sec6 xdx. ∫
2 d tan xdx 解: 原式 = ∫ (tan x +1) ⋅ sec 2 2
1 1 1 1 = ∫ du = ln u + C = ln 1 + 2 ln x + C. 2 u 2 2
例9. 求
∫
e3
x
x
dx.
3 x
2 3 x 解: 原式 = 2 ∫ e d x = ∫ e d(3 x) 3 2 3 x = e +C 3
例10 求
解
∫
x 4 − x arcsin 2 1 1 x dx = ∫ d 2 x 2 x 2 x 4 − x arcsin 1 − arcsin 2 2 2
第二节
第四章 四
换元积分法
一、第一类换元想
∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ f [ϕ(x)]d(ϕ(x))
做变量替换 = ϕ(x) u
已知
[∫ f (u)du]u=ϕ ( x)
定理1 定理1
具有原函数， u 可导， 设 f (u) 具有原函数， = ϕ ( x ) 可导，
小结1 小结
• 求不定积分时，首先要与已知的基本积 求不定积分时， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 分公式相对比，并利用简单的变量代换， 把要求的积分化成已知的形式， 把要求的积分化成已知的形式，求出以 再把原来的变量换回。 后，再把原来的变量换回。 • 前5个例子中采用代换 u=ax+b, 个例子中采用代换 du与dx只相差一个常数 du=a dx 。 与 只相差一个常数 • 注意例3，4与例 解法差别。 注意例 ， 与例5解法差别。 与例 解法差别
§4.2换元积分法(第二类换元法)
§ 4.2 换元积分法(第二类)I 授课题目(章节)：§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)n 教学目的与要求：1.了解第二类换元法的基本思想2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法川教学重点与难点：重点：第二换元法中的三角代换及根式代换难点：积分后的结果进行反代换IV 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时如果函数g(x)可以化为f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx f[ (x)]d (x)u (x) f(u)duF(u) C F[ (x)] C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出形如f[ (x)] (x)函数来.对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2x2 dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。
第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x (t)将无理函数f (x)的积分f (x)dx化为有理式f[ (t)] (t)的积分f[ (t)] (t)dt。
即f(x)dx f[ (t)] (t)dt若上面的等式右端的被积函数f[ (t)] (t)有原函数(t)，则f[ (t)] (t)dt (t) C ,然后再把(t)中的t还原成1 (x)，所以需要一开始的变量代换x (t)有反函数。
定理2设x (t)是单调、可导的函数，且(t) 0,又设f[ (t)] (t)有原函数(t)，则1f(x)dx f[ (t)] (t)dt (t) C [ (x)] C分析要证明f(x)dx [ 1(x)] C，只要证明[1(x)]的导数为f(x),d 「1,、■, d dt dt[(x)] , ?dx dt dx dx可将原积分化作三角有理函数的积分x2例2求 . 2 dx4 x,)，则 ' 4 x2 24sin 2t2costdt =2cost2cost，dx 2costdt(2 2cos2t)dt 2t si n2t C2 2证明x (t)单调、可导，x (t)存在反函数t-(x)，且字dx1dxdt1It)Q —dx-J -JI A[1(x)]頁匸f[ (t)]⑴飞f(x)1 (x)］是f (x)是一个原函数f (x)dx [-(x)]第二换元法，常用于如下基本类型类型1 ：被积函数中含有..a2x2( a 0) ,可令x asint (并约定例1求a2x2dx (a 0)解令x asint acost dx acostdt.a2x2dx a costa costdt a2 (21-cos2t)dt2at22 a sin 2t42at22a sin tcost2a2x x —C arcs in a2 a 2把sin t，cost用x表示.借助下面的辅助三角形2t 2sin tcost解令x 2sint，4—^dt2C 2arcsi n ——44x2 C2 2类型2 :被积函数中含有,a2x2(a 0)可令x ata nt 并约定t ( ,)，则2 2asect ；dx 2a sec tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分dx(a 0)解令x atant，t ( , )，^V .”.：x a2 22asect, dx a sec tdtsectdt In sect tant C例4求解令xdxx 2 \ 42ta ntdxx2.4 x21 cost ,,2 dt4 sin t-^^dsi nt sint.4 x2 21 sect4 2dtant1 1 cC1dt414 sin t,)，则2 22sec t24tan t 2sectdx(x2 9)2（分母是二次质因式的平方23sec tdt2dx 2 sec tdt1萼dtsin2tcos t4 x2Cdx 3sec21 工 127cos2 tdt(x29) 2481sec1 t 1 t—(1 cos2t)dt ——cos 2tdt —54 54 54 54t 1 t 1—sin 2t —一sin t cost C54 2 54 54 54解令x 3tant,贝U x2 9 9sec21, dx12 54cos2td2t3x（第二换兀积分法分）(x 2x 5)1x 1 arcta n —2 2解(x 2x 5)2 2 2[2 (x 1)]，令x 1 2ta ntt (i ，2)则dx 2 2(x 2x 5)笄壬水1 (12 sec t 16cOs2t)dt1sin t cost C161 x 1 arcta n — 16 21 x 1 8 x 22x 类型3 被积分函数中含有(a 0)，当 x a 时，可令x asect ，并约定I 2 2t （0,—），贝U x a ata nt , 将原积分化为三角有理函数的积分。
2第二节换元积分法
2 sin 2
x 2
1 cos x
csc x cot x.
2 cos x sin x
sin x
2
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解（二）
csc
xdx
1 sin
x
dx
sin x sin2 x
dx
1
1 cos2 x d(cos x) u cos x
1
1 u2
du
1 2
1
1
u
1
1
u
du
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
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例2
求
3
1 dx. 2x
解
1 1 1 (3 2x),
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
1 2
1du u
1 ln u 2
C
1 2
ln(3
2x)
C.
一般地
f
(ax b)dx
例5 求
1 dx a 0.
a2 x2
解
1 dx 1
a2 x2
a
1 dx
1
x a
2
1
1
x a
2
d
x a
arcsin x C a
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例6 求 tan xdx.
解
tan xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
ln cos x C.
x4
高等数学 4-2换元积分法
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
4.2第二类换元积分法
t 1
6
(t 2
t
1
t
1 )dt 1
2t3 3t 2 6t 6 ln t 1 c
2 x 33 x 66 x 6 ln 6 x 1 c
例3
求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 e x e x t 2 1, x lnt 2 1,
ex f (ex 1)dx.
4.2 换元积分法
思考题
x2
1 2x
dx 4
3
1 (1
x)2
dx
1
1 u2
du
arctanu
c
1 3
1
1 1
x
2
dx
3
1 3
3
1
1 1
x
2
d
1
x 3
3
1 arctan 1 x c
(u 1)u10du
x u 1
(u11 u10)du
基本积分表(续)
tan xdx ln cosx C;
cot xdx ln sin x C;
secxdx ln secx tan x C;
cscxdx ln cscx cotx C;
2
a2
x asin t 作直角三角形
t arcsin x a
t
a2 x2
sin 2t 2sin t cost 2 x
a
a2 x2 a
§4.2-换元积分法(第一类换元法)
§ 4.2 -换元积分法（第一类换元§ 4.2 换元积分法I 授课题目§ 4.2 换元积分法(第一类换元法)n 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是 复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微 分"，d (x) (x)dx.2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第 一类换元积分法求有关不定积分. 皿教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积 分.W 讲授内容：一、第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)， f(u)du F(u) C .若u 是中间变 量，u (x)，(x)可微，则根据复合函数求导法则，有所以根据不定积分的定义可得:dF( (x))dxd£du du dxf(u)乎 dxf[ (x)] (x)。
f[ (X)] (x)dx F[ (x)] C u (x)F[u] C [ f(u)du]以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有f[ (x)] (x)]dx u (x)[ f (u)du] F u C F (x) C .以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然f[ (x)] (x)dx是一个整体记号，但是被积表达式中的dx可当作变量x的微分来对待从而上式中的(x)dx可以看成是(x)的微分，通过换兀u(X)，应用到被积表达式中就得到(x)dx du .定理1设f(u)具有原函数F(u) , u (x)可导，du (x)dx , 则f[ (x) (x)dx f(u)du F(u) C F[ (x)] C (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分g(x)dx时如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式f[ (x)] (x)的形式那么g(x)dx f[ (x)] (x)dx (x) u[ f(u)du] F(u) C u (x)F[ (x)] C.所以第一换元积分法体现了“凑”的思想•把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积f[ (x)] (x)来.例 1 求3e3x dx角军3e3x dx e3x3dx= e3x(3x) dx，可设中间变量u 3x，du d (3x) 3dx 3dx du，1 5 1 63dx 二一(3x 2) d(3x 2)(3x 2) 3183 2x^^以^^ e 3xdxe 3x 3dxe u du e u C e 3x C .首先观察被积函数的复合函数是什么样的， 看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例2
求下列不定积分
(1) xex2 dx
解：
由于 xdx 1 d (x2 ) ，所以 2
xex2 dx 1 ex2 dx 2 1 ex2 C 2
同理:
(2)
x 1 x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
C
4.2 换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 2
1 x
1 x C
再将u x 1 代回，得
dx x 1
ln
x
1
C
4.2 换元积分法
经济数学
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(4) (2x 1)4dx
同理有:
(5) e2x1dx 1 e2x1 C 2
解：
令
2x 1 u则
dx 1 du ，于是 2
(2x 1)4 dx 1 2
u 4 du
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
D4_2换元法
x
dln x
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例7. 求
x 2 3 x 解: 原式 e d(3 x ) 3 2 3 x e C 3
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
e3
x
dx .
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 dsin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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例13. 求
思考：
3 4 sin x cos x dx . 2 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x )] 2
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4-2 不定积分的换元积分法
则 ，
其中 是 的反函数。
这种求不定积分的方法称为第二类换元法.该方法主要用来求某些含根式的不定积分，通过变量替换去掉根式。
用途：主要用在无理数的积分。
例1求
解：令 ，得 ，则 ，于是
例2
解：为了消去根式，可令
于是
=2
例3求
解：令x=asint(- π‹t‹ π),那么
素质目标：
1.帮助学生树立正确的学习观、人生观、价值观；
2.培养学生的良好的逻辑思维能力和知识迁移能力；
3.加强工科学生的基础学习能力，弘扬工匠精神。
教学
重点
1.学习第一类换元积分法的应用；
2.学习第二类换元积分法；
3.第一类、ห้องสมุดไป่ตู้二类换元积分法的适用范围及计算步骤。
教学
难点
1. 第一类换元积分法如何凑微分；
=—
例4求
;
练习：求
例5： ；
例6求 〉0）；
；
例7求下列积分：
（1） ； （2） ；
（3） ；
解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数作适当变形。
（1）
=
（2
(3)
三、课堂练习（1）（10分钟）
求下列不定积分。
（1） ；（2） .
解（1）
（2）
四、讲授新课（2）（20分钟）
2.第二类换元积分法
成都工贸职业技术学院教案
课程名称
高等数学
年级
2017级
专业
材料成型
授课教师
陈本锋
授课时间
学时
2
授课
题目
4-2不定积分的换元积分法
教学
42换元积分法
C
3
3 11
33
1 (3x 2)11 C 33
November, 2004
例 (3x 2)10 dx
(3x 2)10 dx
1 3
(3x 2)10 d(3x 2)
1 (3x 2)11 C 33
Check [ 1 (3x 2)11] 1 (3x 2)10 (3x 2)
d
ln
x
1 dx d ln x x
1 2
(1
1 2 ln
x)
d (1
2 ln
x)
1 2
ln
1
2 ln
x
C
November, 2004
一般
f
(ln x
x) dx
f (ln x)d ln x
u ln x
1 dx d ln x x
November, 2004
例
ex dx 3 1 ex
1 2
f
(u)du
u x2 xdx 1 dx2
2
November, 2004
f (x2)xdx 1 f (x2 )d (x2 ) xdx 1 dx2
2
2
推而广之
xn1dx 1 dxn
n
f (xn )xn1dx 1 f (xn )dxn n
November, 2004
解
tan xdx
sin x cos x
dx
1 cos
x
sin
xdx
1 cos
定积分换元法
0
令x 2sin t , 则dx 2 cos tdt , 4 x 2 2 cos t ;
t=0 ,
x=2 t=/2. 于是
2
2
x 2 4 x 2 dx 2
2
2
0
16sin 2 t cos 2 tdt 8
2 0
2
sin 2 2tdt
0
4
0
1 (1 cos 4t )dt 4(t sin 4t ) 4
2 2
2
0
sin 2tdt 4
2
2
0
1 cos 4t dt 2
1 2 2 (1 cos 4t )dt 2(t sin 4t ) 0 4
2 0
定积分换元积分法
7(5)
1
0
(1 x 2 ) dx 令x tant，则 dx sec tdt
2
3 2
且x 0 t 0； x 1 t
dx a cos tdt , x 0 t 0,
dt
d (sin t cos t ) sin t cos t
0
2
a sin t a 2 (1 sin 2 t )
0
cos t 1 dt 2 sin t cos t
2
0
cos t sin t 1 sin t cos t dt
4
4 4 （ 1 tan2 t） sec 2 tdt （ sec 2 t） sec 2 tdt 0 0
第二换元积分法(代入法)
173换元积分法用的是积分规则[]=-'⎡⎤========⎣⎦⎰⎰()]1()d ()()d ()()x u t f x x f u t u t t G t G ux [代入其中函数()x u t =有反函数1()t u x -=.它与凑微分积分法用的是同一个积分规则，只是“积分的方向”不同(因此，有人把凑微分积分法称为第一换元积分法,而把这里的积分法称为第二换元积分法)。
换元积分法在求某些带有根式的无理函数的原函数时特别有效。
例如(Ⅰ)变成有理函数的积分)若被积函数中含有根式)0(≠a ，就令nb ax t +=[实际上是代入函数)(1b t ax n-=，0≥t ]则t antx n d d 1-=.例13x ⎰ [t t x t t x x t d 2d ),0(,2=≥==](1)12d 2d 11tt t t tt+-==++⎰⎰121d 1t t ⎛⎫=-⎪+⎝⎭⎰[]2ln(1)t t =-+[2ln(1t ⎤+⎦(换回到原来的自变量)例142[2(2)2d (2)t t tx t t tt--+⎰42222d 2t t t tt -=+-⎰，其中被积函数是有理函数假分式，要用多项式除法(见注1)或拼凑法(见注2)，把它变成一个多项式与一个真分式的和，即42222t tt t -=+-2232(1)2t t t tt --+-+-因此，2232(1)d d 2t x t t t t tt -=-+-+-⎰⎰⎰3227(21)33d 3222t ttt t t t +-=-+-+-⎰[分子上的(21)t +是分母的导数]32223d(2)71d 32222(1)(2)ttt t t t t t t t +-=-+-++--+⎰⎰3223711ln 2d 322612ttt t t t t t ⎛⎫=-+-+-+-⎪-+⎝⎭⎰17432237ln 2ln3226ttt t t =-+-+-+(2232x x ++=-+3ln 2x -+7ln6+【注1】多项式除法【注2】拼凑法42223322222(2)222t t t t t t t t t t t t t t -+--==-+-+-+-2222(2)22t t t t tt t t +--+=-+-22222t t t t t t -=-++-22222(2)3232(1)22t t t t t t t t t t t t +--+-=-+=-+-+-+-(Ⅱ)变成三角函数有理式（*）的积分)若被积函数中含有根式22x a -或22a x ±(0>a )，就用“三角替换”消掉它们： ()i 对于22x a -，令)22(sin ππ≤≤-=t t a x 或)0(cos π≤≤=t t a x ；()ii 对于22a x +，令)22(tan ππ<<-=t t a x ；()iii 对于22ax -，令)220(sec πππ<<<<=t t t ax 或。
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x
a
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例 求
1 dx (a 0). 2 2 x a
解 令x a sec t
dx a sec t tan tdt
1 a sec t tan t dx dt 2 2 x a a tan t
0, t 2
sec tdt ln sec t tan t C
x x
e x
4.
dx 1 x2
)
d (arcsin x) d (arccos x)
dx 5. d (arctan x) d ( arc cot x) 2 1 x
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dx 6. d ln x, x
dx d ln(1 x) 1 x
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例3 求 解
sin xe
cos x
dx
sin xe
cos x
cos x
dx
e
d (cos x)
e
cos x
C
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1 dx. 例4 求 x 1 e 1 1 ex ex dx dx 解 x x 1 e 1 e x x e e dx dx dx 1 x x 1 e 1 e 1 dx d (1 e x ) x 1 e
如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的 答案就出来了。
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使用这种方法的基本想法：从被积函数 中找到一个作中间变量的函数，其导数是作 为一个因子出现的。 这个想法在相差一个常数因子时也可以 用。使用这种方法要求想象出复合函数的形 式。
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二、第二类换元法
问题
1 x dx ?
2
解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程
, 令 x sin t dx cos tdt , t 2 2
2
1 x dx
cos
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常见的几种凑微分形式：
1 1 1. dx d (ax ) d (ax b)(a, b为常数, a 0) a a 1 1 1 dx d (2 x ) 2. x dx dx ( 1), x 1
ax 3. a x dx d , ln a
e dx de , e x dx d (
2 2 2 2 4 6
sin x (1 sin x ) d (sin x ) (sin x 2 sin x sin x )d (sin x )
1 3 2 5 1 7 sin x sin x sin x C . 3 5 7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
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例 求
解
1 dx . 3 x (1 x )
5 令 x t 6 dx 6t dt ,
5 1 6t 6t 2 dx 3 dt dt 3 2 2 x (1 x ) 1 t t (1 t )
2
1 1 t 1 dt 6 dt 6t 6 2 2 1 t 1 t 6t 6 arctan t c
(2)把被积函数中的某一因子与dx凑成一个新的微分 d(x) . 如 3 2 ln x dx ln xd ln x (ln x ) 2 C x 3
方法1较简单,而方法2则需一定的技巧,请务必记牢以下
常见的凑微分公式！
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1 1 dx a sec2 tdt a sec t x2 a2
sec tdt ln sec t tan t C
x ln a
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x tant = a
x a a
2
2
C.
21
x2 a2 t
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例. 求
dx (a 0) 2 2 a x
解：能想出原函数的形式吗？
dx arcsin x C 2 1 x
x d x a arcsin C a x 2 1( ) a
记得这个公式吗？如何用这个公式？
dx x 2 a 1 ( ) a
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t , 2 2
a x x a
2
2
t 0, 2
2
t , 2 2
当被积函数含有两种或两种以上的 根式 k x ,, l x 时，可采用令 x t n （其中 n为各根指数的最小公倍数）
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1 dx . 例2 求 x(1 2 ln x )
解
1 x(1 2 ln x )dx
1 1 d (1 2 ln x ) u 1 2 ln x 2 1 2 ln x
1 1 1 1 du ln u C ln 1 2ln x C . 2 2 2 u
x
3
4 x dx 2 sin t
3 2
4 4 sin 2 t 2 cos tdt
2 2
32 sin t cos tdt 32 sin t (1 cos t ) cos tdt 32 (cos2 t cos4 t )d cos t 1 3 1 5 32( cos t cos t ) C 3 5 4 1 2 3 2 5 4 x 4 x C. 3 5
dx
e
1 x x
1 d( x ) x
e
1 x x
C.
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sin 2 x cos5 xdx . 例6 求
解
sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos 4 xd (sin x )
x ln a
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x a a
2
2
C. 22来自xx2 a2
a
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t
例 求
解 令 x 2 sin t
x
2
3
4 x dx .
2
dx 2 cos tdt
3
, t 2 2
2
x
t 4 x2
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注1: 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是去掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有
(1) ( 2) ( 3)
注2
a x
2 2
2
可令 x a sin t ; 可令 x a tant; 可令 x a sec t .
x ln 1 e
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x
C.
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1 例5 求 (1 2 )e dx . x 1 1 解 x 1 2 , x x
x
1 x
1 (1 2 )e x
x
1 x
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例
解：
dx 求 2 2 a x
dx 1 1 1 a 2 x 2 2a ( a x a x )dx
1 d ( a x) d ( a x) 2a a x ax
1 ln | a x | ln | a x | C 2a
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求 xe
解：观察
x 2 1
dx
中间变量 u=x2+1
xe
x 2 1
但 u=x2+1 的导数为 u = 2x 因此 du = 2x dx
xe
x 2 1
1 u 1 u 1 x 2 1 dx e du e C e C 2 2 2
则有换元公式
f [ ( x)] ( x)dx
[ f ( u)du]u ( x )
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解决问题的关键在哪里呢？再看上式的特点
( f [ ( x )]) f [ ( x)] '( x)
外层函数 中间变量u 中间变量 u的导数 的导数 复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积。 即外层函数的导数 中间变量的导数
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