2009年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容， 但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一 试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1． 若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2． 已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为 圆 M 上 两 点 ， 在 ABC 中 ， BAC 45 ， AB 过 圆 心 M ， 则 点 A 横 坐 标 范 围为 ．y≥ 0． 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为 ．2 25． 椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为 ．6． 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 ．第一行是前 则最后一行的 数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 1． （ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。
2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)
2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)2009年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1. 已知集合{1,2}M =，{21}N a M a =-∈，则M N ⋂＝（ A ）。
A ．{}1 B ．{}2,1 C ．{}3,2,1 D ．空集 解： 由于{21}{1,3}N M a a ∈=-=，所以{1}M N ⋂=。
答案为 A 。
2. 已知椭圆192522=+y x 上一点P 到点（4, 0）距离等于4，则P 点到直线425-=x 的距离为（ C ）。
A ．4 B ． 6 C ．152 D ．54解：因为5,3a b ==，则4c =。
于是P 到另一个焦点(4,0)-的距离等于2546⨯-=。
由于直线425-=x 为椭圆的左准线方程，则P 到直线425-=x 的距离为667.545d e ===。
答案为 C 。
3. 等差数列{}na 中，01>a，13853a a=，则部分和nS 中最大的是（ C ）A ． 10S B ． 11S C ． 20S D ． 21S解： 由题意知，13853a a =1113(7)5(12392)0a d a d d a ⇒+=+⇒=-<。
所以{}n a 是单调递减数列。
又11122(1)2039(1)()[1]039naa n a a n n =+--=->≤⇒-。
由此可得当20n =时，nS 最大。
答案为 C4. 已知平面上单位向量51243(,),(,)131355a b ==r r ，则下列关系式正确的是（ B ） A ．a b⊥r rB.()()a b a b +⊥-r r r r C.()//()a b a b +-r r r r D.()a ab ⊥+r r r解： 因为,a br r 都是非零单位向量，以,ab r r 为边，,a b a b -+r r r r为对角线构成一个菱形。
2011-2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案
2011-2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈，则1sin 21sin 2θθ-+可化简为（ ）A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 22C. 2±D. 22± 3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ）26464243A ．64B ．32C ．16D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420xa x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数()2sin 3cos 2xf x x=-的最小正周期为__________。
2009年全国高中数学联合竞赛试卷及解析
2009年全国高中数学联合竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、解答题1.(本题14分) 设直线:l y kx m =+（其中k ， m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ， B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ， D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．2.已知p,q （q≠0是实数，方程x 2−px +q =0有两个实根α,β，数列{a n }满足a 1=p,a 2=p 2−q,a n =pa n−1−qa n−2（n =3,4,⋅⋅⋅）．（1）求数列{a n }的通项公式（用α,β表示）； （2）若p =1,q =14，求{a n }的前n 项和．3.求函数y=√x +27+√13−x +√x 的最大值和最小值．4.如图，,MN 分别为锐角ΔABC （∠A <∠B ）的外接圆圆Γ上弧BC,AC 的中点．过点C作PC∥MN 交圆Γ于点P,I 为ΔABC 的内心，联结PI 并延长交圆Γ于点T ，求证：（1）MP⋅MT =NP ⋅NT ；（2）在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q≠A,T,B ），记ΔAQC,ΔQCB 的内心分别I 1,I 2，则Q,I 1,I 2,T 四点共圆．5.求证：不等式−1<∑kk +1−1nn ≤12nk=1（n =1,2,⋅⋅⋅）6.设k.l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m （m≥k ），使得C m k 与l 互质．7.在非负数构成的3×9数表P =(x 11x 12⋅⋅⋅x 19x 21x 22⋅⋅⋅x 29x 31x 32⋅⋅⋅x 39)中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，x 17=x 28=x 39=0,x 27,x 37,x 18,x 38,x 19,x 29均大于1．如果P 的前三列构成的数表S =(x 11x 12x 13x 21x 22x 23x 31x 32x 33)满足下面的性质(O )：对于数表P 中的任意一列(x 11x 21x 31)（k =1,2,⋅⋅⋅,9）均存在某个i ∈{1,2,3}使得x ik ≤u i =min (x i1,x i2,x i3)．① 求证：（1）最小值u i =min (x i1,x i2,x i3)（i =1,2,3）一定去自数表S 的不同列；（2）存在数表P 中唯一的一列(x 1k ′x 2k ′x 3k ′)（k ′≠1,2,3）使得3×3数表S ′=(x 11x 12x 1k ′x 21x 22x 2k ′x 31x 32x 3k ′)仍然具有性质（O ）．二、填空题8.若函数f (x )=√1+x 2，且f (n )(x )=f (f (⋯f (x )))n 个．则f (99)(1) =______．1.9.已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为 ．10.在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 ．2.11.使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 ．12.椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a >b >0)上任意两点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，则乘积|OP|⋅|OQ|的最小值为 ．13.若方程lgkx =2lg(x +1)仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 3.14.一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）:90L x y +-=22:228810M x y x y +---=A L B C M ABC ∆45BAC ∠=︒AB M A M N M 02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤N t 1t x t +≤≤t 01t ≤≤M N ()f t =1111200712213a n n n +++<-+++n a 10015.某车站每天早上8：00~9：00、9：00~10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表1．一旅客8：20到站．则他候车时间的数学期望为______（精确到分）．表1参考答案1.9【解析】1.由22{ 11612y kx mx y =++=消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-= 设()11A x y ，， ()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………4分由消去y 化简整理得设，，则② …………8分因为，所以，此时．由得．所以或．由上式解得或．当时，由①和②得．因是整数，所以的值为，，，，，，．当，由①和②得．因是整数，所以，，．于是满足条件的直线共有9条．………14分 2.a n =(n +1)(12)n=n+12n ,s n =3−n+32n【解析】2. 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知α⋅β=q ≠0，又α+β=p ，所以 a n −px n−1−qx n−2=(α+β)a n−1−αβa n−2，(n =3 ， 4 ， 5 ， ⋯)整理得a n −βa n−1=α(a n−1−βa n−2)令b n=a n+1−βa n ，则b n+1=αb n (n =1 ， 2 ， ⋯)．所以{b n }是公比为α的等比数列．数列{b n }的首项为：b 1=a 2−βa 1=p 2−q −βp =(α+β)2−αβ−β(α+β)=α2．所以b n=α2⋅αn−1=αn+1，即(n =1 ， 2 ， ⋯)．所以(n =1 ， 2 ， ⋯)．①当Δ=p 2−4q =0时，α=β≠0，a 1=p =α+α=2α，(n =1 ， 2 ， ⋯)变为(n =1 ， 2 ， ⋯)．整理得，an+1αn+1−a nαn =1，(n =1 ， 2 ， ⋯)．所以，数列{a n αn }成公差为1的等差数列，其首项为a 1α=2αα=2．所以a n αn=2+1(n −1)=n +1．于是数列{a n }的通项公式为a n =(n +1)αn ；……………………………………………………………………………5分②当Δ=p 2−4q >0时，α≠β，=βa n +β−αβ−ααn+1=βa n +ββ−ααn+1−αβ−ααn+1 (n =1 ， 2 ， ⋯)．整理得a n+1+αn+2β−α=β(a n +αn+1β−α)，(n =1 ， 2 ， ⋯)． 所以，数列{a n+αn+1β−α}成公比为β的等比数列，其首项为a 1+α2β−α=α+β+α2β−α=β2β−α．所以a n +αn+1β−α=β2β−αβn−1． 于是数列{a n }的通项公式为a n =βn+1−αn+1β−α．………………………………………………10分(Ⅱ)若p=1，q =14，则Δ=p 2−4q =0，此时α=β=12．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{a n }的通项公式为a n=(n +1)(12)n=n+12n，所以，{a n }的前n 项和为s n =22+322+423+⋯+n 2n−1+n +12n12s n =222+323+424+⋯+n 2n +n +12n+1 以上两式相减，整理得12s n =32−n+32n+1 所以s n=3−n+32n．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知α⋅β=q≠0，又α+β=p，所以a1=α+β，a2=α2+β2+αβ．特征方程λ2−pλ+q=0的两个根为α，β．①当α=β≠0时，通项a n=(A1+A2n)αn(n=1 ， 2 ， ⋯)由a1=2α，a2=3α2得{(A1+A2)α=2α(A1+2A2)α2=3α2解得A1=A2=1．故a n=(1+n)αn．……………………………………………………5分②当α≠β时，通项a n=A1αn+A2βn(n=1 ， 2 ， ⋯)．由a1=α+β，a2=α2+β2+αβ得{A1α+A2β=α+βA1α2+A2β2=α2+β2+αβ解得A1=−αβ−α，A2=ββ−α．故a n=−αn+1β−α+βn+1β−α=βn+1−αn+1β−α．…………………………………………………………10分(Ⅱ)同方法一．3.【解析】3.函数的定义域为[0 ， 13].因为y=√x+√x+27+√13−x=√x+27+√13+2√x(13−x)≥√27+√13=3√3+√13当x=0时等号成立．故y的最小值为3√3+√13．……………………………………………5分又由柯西不等式得y2=(√x+√x+27+√13−x)2≤(12+1+13)(2x+(x+27)+3(13−x))=121所以y≤11．………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得4x=9(13−x)=x+27，解得x=9．故当x= 9时等号成立．因此y的最大值为11． (15)4.（1）见解析（2）见解析【解析】4.（1）如图，联结NI,MI．由于PC∥MN且P,C,M,N四点共圆，故四边形PCMN是等腰梯形．因此NP=MC,PM=NC．联结AM,CI．则AM与CI交于点I．因∠MIC=∠MAC+∠ACI=∠MCB+∠BCI=∠MCI，所以，MC=MI．同理，NC=NI．于是，NP=MI,PM=NI．故四边形MPNI为平行四边形．因此，SΔPMT=SΔPNT．又∠TNP+∠PMT=180∘．由三角形面积公式得SΔPMT=12PM⋅MTsin∠PMT,SΔPNT=12PN⋅NTsin∠PNT．于是，PM⋅MT=PN⋅NT．（2）如图，联结QM,QN,I1T,I2T．因∠NCI1=∠NCA+∠ACI1=∠NQC+∠QCI1=∠CI1N，所以，NC=NI1．同理，MC=MI2．由MP⋅MT=NP⋅NT，得NTMP =MTNP．由（1）所证MP=NC,NP=MC，故NTNI1=MTMI2．又∠I1NT=∠QNT=∠QMT=∠I2MT⇒ΔI1NT≌ΔI2MT⇒∠NTI1=∠MTI2．故∠I1QI2=∠NQM=∠NTM=∠I1TI2．因此，Q,I1,I2,T四点共圆．5.【解析】5.证明：首先证明一个不等式： ⑴x1+x <ln(1+x)<x ，x >0．事实上，令ℎ(x)=x −ln(1+x)，g(x)=ln(1+x)−x 1+x．则对x>0，ℎ′(x)=1−11+x >0，g ′(x)=11+x −1(1+x)2=x (1+x)2>0．于是ℎ(x)>ℎ(0)=0，g(x)>g(0)=0．在⑴中取x=1n得⑵1n+1<ln(1+1n )<1n ． 令x n=∑kk 2+1−lnn nk=1，则x 1=12，x n −x n−1=n n 2+1−ln(1+1n −1) <n −1因此x n <x n−1<⋯<x 1=12． 又因为lnn =(lnn −ln(n −1))+(ln(n −1)−ln(n −2))+⋯+(ln2−ln1)+ln1=∑ln(1+1k)n−1k=1．从而x n =∑kk 2+1nk=1−∑ln(1+1k )n−1k=1=∑(kk 2+1−ln(1+1k))n−1k=1+nn 2+1 >∑(kk 2+1−1k)n−1k=1=−∑1(k 2+1)kn−1k=1 ≥−∑1(k+1)kn−1k=1=−1+1n>−1．6.见解析【解析】6.证法l ：对任意的正整数t ，令m=k +t 1(k!)．下面证明：(C m k,l )=1．设p 是l 的任一质因子，只要证明：p∤C m k ．若p ∤k!，由k!C m k=∏(m −k +i )k i=1≡∏[i +tl (k!)]k i=1≡∏k i=1i ≡k!(modp )，即p 不整除上式，知p∤C m k．若p |k! ，设α≥1，使p α|k! ，但p α+1∤k!，则p α+1|l (k!) ．由k!C m k=∏(m −k +i )k i=1≡∏[i +tl (k!)]k i=1≡∏k i=1i ≡k!(modp α+1)，及p α|k! ，且p α+1∤k!，知p α|k!C m k ，且p α|k!C m k ．从而，p |C m k ．证法2：对任意的正整数t ，令m =k +tl (k!)2．类似证法1可以证明(C m k ,l )=1．7.见解析【解析】7. （1）假设最小值u i=min {x l 1,x l 2,x l 3}（i =1,2,3）不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何u i 不妨设u i ≠x l 2（i =1,2,3）．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是，u i<x l 2（i =1,2,3）．使得x l o2≤u i 0．矛盾．（2）由抽屉原理知min {x 11,x 12},min {x 21,x 22},min {x 31,x 32}中至少有两个值取在同一列．不妨设min {x 21,x 22}=x 22,min {x 31,x 32}=x 32．由（1）知数表S 的第一列一定含有某个u i ，则只能是x 11=u 1．同理，第二列中也必含某个u i （i =1,2,3）．不妨设x 22=u 2．于是，u 3=x 33，即u i 是数表S 中的对角线上数字：x 11,x 22,x 33．记M={1,2,⋅⋅⋅,9}．令集合I ={k ∈M|x ik >min{x l 1,x l 2}(i =1,3) }．显然，I ={k ∈M|x k 1>x 11,x k 3>x 32 }且1,2,3∉I ．因为x 18,x 38>1≥x 11,x 32，所以，8∈I ．故I ≠∅．于是，存在k ′∈I ．使得x k 2′=ma {2|k∈I }．显然，k ′=1,2,3．下面证明：3×3数表S ′=(x 11x 12x 1k ′x 21x 22x 2k ′x 31x 32x 3k ′)具有性质（O ）．从上面的选法可知u i ′=min {x i1,x i2,x ik ′}=min {x i1,x i2}（i =1,3）．这说明x 1k ′>min {x 11,x 12}≥u 1,x 3k ′>min {x 31,x 32}≥u 3．又由S 满足性质（O ），在式①中取k=k ′，推得x 2k ′≤u 2．于是，u 2′=min {x 21,x 22,x 2k ′}=x 2k ′．接下来证明：对任意的k ∈M ，存在某个i （i =1,2,3）使得u i ′≥x ik ．假若不然，则x k>min {x ik ,x i2}（i =1,3）且x 2k >x 2k ′．这与x 2k ′的最大性矛盾．因此，数表S ′满足性质（O ）．再证唯一性．设有k ″∈M 使得数表S ″=(x 11x 12x 1k ′x 21x 22x 2k ′x 31x 32x 3k ′)具有性质（O ）．不失一般性，可假定{u 1=min {x 11,x 12,x 13}=x 11,u 2=min {x 21,x 22,x 23}=x 22,u 3=min {x 31,x 32,x 33}=x 33,②x 32<x 31．由于x 32<x 31,x 22<x 21及（1），有u 1′′=min {x 11,x 12,x 1k ″}=x 11．又由（1）知，或者u 3′′=min {x 31,x 32,x 3k ″}=x 3k ″，③或者u 2′′=min {x 21,x 22,x 2k ″}=x 2k ″④如果式③成立，则{u 1′′=min {x 11,x 12,x 1k ″}=x 11,u 2′′=min {x 21,x 22,x 2k ″}=x 22,u 3′′=min {x 31,x 32,x 3k ″}=x 3k ″, ⑤由数表S ″满足性质（O ），则对于3∈M 至少存在一个i∈{1,2,3}，使得u i ′′≥x i3．又由式②、⑤知u 1′′=x 11<x 13,u 2′′=x 22<x 23．所以，只能有u 3′′=x 3k ″≥x 33．同理，由数表S 满足性质（O ）得x 33≤x 3k ″．于是，k ″=3，即数表S =S ″．如果式④成立，则{u 1′′=min {x 11,x 12,x 1k ″}=x 11,u 2′′=min {x 21,x 22,x 2k ″}=x 2k ″,u 3′′=min {x 31,x 32,x 3k ″}=x 3k ″,⑥由数表S ″满足性质（O ），则对于k′∈M ，存在某个i （i =1,2,3）使得u i ′′≥x ik ′．由k ′∈I 及式②、⑥知x 1k ′>x 11=u 1′′,x 3k ′>x 32=u 3′′．于是，只能有x 2k ′≤u 2′′=x 2k ″．同理，由S ′满足性质（O ）及k ′∈M 得x 2k ′≤u 2′=x 2k ′．从而k ′=k ″．8.110【解析】8.因为(1f (x ))2=1x 2+1，所以(1f (n )(x ))2 =1x 2+n ．故f(99)(1) =110．9.【解析】9.设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得解得． 10.【解析】10.由题意知11.【解析】11.设．显然单调递减，则由的最大值，可得．12.2a 2b2a 2+b2【解析】12.设P(|OP|cosθ ， |OP|sinθ)，Q(|OQ|cos(θ±π2) ， |OQ|sin(θ±π2))．由P ，Q 在椭圆上，有1|OP|2=cos 2θa 2+sin 2θb 2① 1|OQ|2=sin 2θ2+cos 2θb2② ①+②得1|OP|2+1|OQ|2=1a 2+1b2．于是当|OP|=|OQ|=√2a 2b 2a 2+b 2时，|OP||OQ|达到最小值2a 2b2a 2+b2．13.k<0或k=4[]36，()9A a a -，M AC sin 45d AM =︒AC M d 36a ≤≤212t t -++()f t S =阴影部分面积AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++2009()1111221f n n n n =++++++()f n ()f n ()1120073f a <-2009a =【解析】13.{kx >0x +1>0kx =(x +1)2当且仅当kx >0① x +1>0②x 2+(2−k)x +1=0③对③由求根公式得x 1，x 2=12[k −2±√k 2−4k]④ Δ=k 2−4k ≥0⇒k ≤0或k ≥4．(ⅰ)当k<0时，由③得{x 1+x 2=k −2<0x 1x 2=1>0所以x 1，x 2同为负根．又由④知{x 1+1>0x 2+1<0所以原方程有一个解x 1． (ⅱ)当k =4时，原方程有一个解x =k2−1=1．(ⅲ)当k>4时，由③得{x 1+x 2=k −2>0x 1x 2=1>0所以x 1，x 2同为正根，且x 1≠x 2，不合题意，舍去．综上可得k<0或k =4为所求．14.【解析】14.易知： (ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…，(ⅲ)为所求．设第行的第一个数为，则981012⨯11d =22d =232d =98992d =100a ()2n n ≥n a ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦……故． 15.27【解析】15.旅客候车时间的分布如下表．候车时间的数学期望为10×2+30×3+50×36+70×12+90×18=27．323232n n a --=+⨯()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+981001012a =⨯。
2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。
2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。
2009年全国高中数学联赛试题及答案
2009年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括8填空题和3道大题，满分100分。
答卷时间为80分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括4道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200分。
答卷时问为150分钟。
一 试一、填空（每小题7分，共56分）1．若函数且，则 ．()f x ()()()n n f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()991f =2．已知直线和圆，点在直线上，，:90L x y +-=22:228810M x y x y +---=A L B 为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围C M ABC ∆45BAC ∠=︒AB M A 为 ．3．在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由M N M 02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤N t 不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数1t x t +≤≤t 01t ≤≤M N ()f t = ．4．使不等式对一切正整数都成立的最小正整数1111200712213a n n n +++<-+++ n 的值为 ．a 5．椭圆上任意两点，，若，则乘积的最22221x y a b+=()0a b >>P Q OP OQ ⊥OP OQ ⋅小值为 ．6．若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ．()lg 2lg 1kx x =+k 7．一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的100数是 （可以用指数表示）8．某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随800~900∶∶900~1000∶∶机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶910∶830∶930∶850∶950∶概率161213一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．820∶二、解答题1．（14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点:l y kx m =+k m 2211612x y +=，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量A B 221412x y -=C D l ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．0AC BD +=2．（15分）已知，是实数，方程有两个实根，，数列p ()0q q ≠20x px q -+=αβ满足，，{}n a 1a p =22a p q =-()1234n n n a pa qa n --=-= ，，(Ⅰ)求数列的通项公式（用，表示）；{}n a αβ(Ⅱ)若，，求的前项和． 1p =14q ={}n a n 3．（15分）求函数的最大和最小值．y =++加试一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9．如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的M N ABC ∆A B ∠<∠Γ BC AC 中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．C PC MN ∥ΓP I ABC ∆PI ΓT ⑴求证：；MP MT NP NT ⋅=⋅⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内 AB C Q Q A ≠T B AQC ∆QCB △心分别为，，1I 2IB求证：，，，四点共圆．Q 1I 2I T 10．求证不等式：，，2，…2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤1n =11．设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素．k l m k ≥C km l12．在非负数构成的数表39⨯ 111213141516171819212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，1728390x x x ===27x 37x 18x ，，均大于．如果的前三列构成的数表38x 19x 29x P 111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个()O P 123k k k x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1k =使得{}123i ∈，，⑶．求证：{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，（ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列．{}123min i i i i u x x x =，，1i =S （ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表P ***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭*1k ≠33⨯***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质．()O\。
2009年全国高中数学联赛一、二试及详细答案和评分标准(A卷)
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x ()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x ==， ()()()2f x f f x ==⎡⎤⎣⎦……()()99f x =故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知 ()f t S =阴影部分面积A OB OCD BS S S ∆∆∆=-- ()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b +=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．【答案】 22222a ba b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① ………………………………………………4分由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k ．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）；(Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故 ()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y=【解析】函数的定义域为[]013，.因为y=当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分 又由柯西不等式得 22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分 由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =，121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k kk k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ．若!p k Œ，则由1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o dk p ≡． 即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由 11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合 {}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈． 故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表 ***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表 111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．。
2009年全国高中数学联合竞赛试题答案
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()21xf x x=+且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()121x f x f x x==+， ()()()2212xf x f f x x==⎡⎤⎣⎦+……()()992199xf x x=+．故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得342d ≤． 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =--- 212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．F ED CB A O yx【答案】 2009 【解析】 设()1111221f n n n n =++++++．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若O P O Q ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ． 【答案】 22222a b a b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，，ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+． 于是当22222a b OP OQ a b ==+时，OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】 0k <或4k =【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx > ① 10x +> ② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，221242x k k k ⎡⎤=-±-⎣⎦ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥． (ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810∶ 910∶ 830∶ 930∶ 850∶950∶ 概率16 12 13一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 【答案】 27 【解析】 旅客候车的分布列为候车时间（分） 10 30 50 70 90概率12 131166⨯ 1126⨯ 1136⨯ 候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k +=-+()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分 由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k +=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km kmk k-=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得2323m -<<．因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得33k -<<．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=- 令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =，，．①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =，，变为11n n n a a αα++=+()12n =，，．整理得，111n n n na a αα++-=，()12n =，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =，，． 所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++234112341222222n n n n s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β． ①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数2713y x x x =++-+的最大和最小值． 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为 ()27132713213y x x x x x x =+++-=+++-2713+≥ 3313=+当0x =时等号成立．故y 的最小值为3313+．……………………………………………5分 又由柯西不等式得()222713y x x x=+++-()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y的最大值为1．…………………………………………………………………………………15分。
2009年全国高中数学联赛试题及详细解析
四、在非负数构成的 3 9 数表
P
x11 x21
x12 x22
x13 x23
x14 x24
x15 x25
x16 x26
x17 x27
x18 x28
x19 x29
x31 x32 x33 x34 x35 x36 x37 x38 x39
中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为 1，x17 x28 x39 0 ，x27 ，x37 ，x18 ，
加试
一、填空（共 4 小题，每小题 50 分，共 200 分） 12、如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （ A B ）的外接圆 上弧 BC 、 AC 的 中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆 于 P 点， I 为 ABC 的内心，连接 PI 并延长交圆 于 T ．
⑴求证： MP MT NP NT ； ⑵在 弧 AB （不含点 C ）上任取一点 Q （ Q ≠ A ， T ， B ），记 AQC ， △QCB 的内
S△PMT
1 PM MT sin PMT 2
S△PNT
1 PN NT sin PNT 2
1 PN NT sin PMT 2
于是 PM MT PN NT ．
⑵因为 NCI1 NCA ACI1 NQC QCI1 CI1N ，
二、求证不等式：
1
n k 1
k
k 2
1
ln
1 99x2
10
2.已知直线 L : x y 9 0 和圆 M : 2x2 2y2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为圆 M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为 ．
【答案】 【解析】
(完整word版)2009年全国高中数学联赛试题及答案,推荐文档
2009 年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2009 年全国高中数学联赛由黑龙江省数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和黑龙江数学会负责命题工作。
2009 年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000 年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括8 填空题和3 道大题，满分100 分。
答卷时间为80 分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括4 道大题，其中一道平面几何题，试卷满分200 分。
答卷时问为150 分钟。
、填空（每小题 7分，共56 分） f f fL f x，贝U f 99 11 4 442 4 4 雄n2 22. 已知直线L:x y 9 0和圆M :2x 2yC 为圆M 上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， 为 .y > 03. 在坐标平面上有两个区域 M 和N , M 为y w x , N 是随t 变化的区域，它由y w 2 x不等式t w x w t 1所确定，t 的取值范围是 0 w t w 1，贝y M 和N 的公共面积是函数 f t .1 1 1 14.使不等式 La 2007-对一切正整数n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 13a 的值为 _____ .2 25. 椭圆—2 爲1 a b 0上任意两点 P , Q ，若OP OQ ，则乘积|OP OQ|的a b最小值为 _____ .6.若方程lgkx 2lg x 1仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 _________________ .7. 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数 之和，最后一行仅有一个数，第一行是前 100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的 数是 （可以用指数表示）8. 某车站每天8： 00〜9： 00, 9： 00〜10： 00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻8：108：308：509：109： 309： 50概率111623一旅客8： 20到车站，则它候车时间的数学期望为 __________ （精确到分） 二、解答题2 21. （14分）设直线l : y kx m （其中k , m 为整数）与椭圆 ——1交于不同两16 122 2点A , B ，与双曲线—也1交于不同两点 C , D ，问是否存在直线l ，使得向量4 12AC BD 0 ,若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.8x 8y 1 0 ,点A 在直线L 上，B ,AB 过圆心M ,则点A 横坐标范围1.若函数(n)X2,,数列a n2. （15 分）已知p , q q 0是实数，方程x px q 0有两个实根满足a i p , a2 p2 q , a. pa n 1 qa. 2 n 3,4, L（I ）求数列a n的通项公式（用，表示）；1（H ）若p 1, q —,求a n的前n项和.43. （15分）求函数y 宀―27 • 13—x .. x的最大和最小值.加试一、解答题(共4小题，每小题50分，共200分)1、如图，M , N分别为锐角三角形ABC ( A B )的外接圆中点•过点C作PC II MN交圆于P点，I为ABC的内心，连接T •⑴求证：MP MT NP NT ；⑵在弧A B (不含点C )上任取一点Q ( Q工A , T , B )，记心分别为I i, I2,求证：Q , I i , I2, T四点共圆.2、求证不等式:1In n w , n 1 , 2,2上弧B C、A C的PI并延长交圆于AQC , △ QCB 的内k 1 k2 1PAB13、设k , l是给定的两个正整数•证明：有无穷多个正整数m > k，使得c m与l互素.4、在非负数构成的39数表X11X12X13X14X15X16X17X18X19P X21X22X23X24X25X26X27X28X29X31X32X33X34X35X36X37X38X39中每行的数互不相同，前 6 列中每列的三数之和为1，x17 x28 x39 0，x27，x37，x18，x38，X19，X29均大于•如果P的前三列构成的数表X 11X12X13S X21X22X23X31X32X33x1k满足下面的性质(O)：对于数表P 中的任意一列x2k( k 1 ，2,…，9)均存在某个x3ki 1 ，2，3 使得⑶x ik< u i minx i1 ，x i 2，x i 3求证：(i)最小值u i min xi1，x i2，x i3 ，i 1，2，3一定自数表S的不同列.(11)存在数表P 中唯一的一列x1k*x2k* ，k*x3k*丰1 ,2，3 使得33数表X11 X12 X1k*S X21 X22 X2k*X31 X32 X3k* 仍然具有性质(O) •2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题只设7分的0分两档；其它各题的评阅，请严 格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次。
2009年全国高中数学联赛试题参考答案及评分标准
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 1． 若函数()f x =且()()()n nfx f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f=．【答案】 110【解析】 ()()()1fx fx ==，()()()2fx f fx ==⎡⎤⎣⎦……()()99fx =．故()()991110f=．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在A B C ∆中，45B A C ∠=︒，A B 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线A C 的距离sin 45dA M =︒，由直线A C 与圆M 相交，得2d ≤解得36a ≤≤．3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y xy x⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212tt -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积A OB OCD BE FS S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++ 对一切正整数n 都成立的最小正整数a的值为 ．【答案】 2009 【解析】 设()1111221fn n n n =++++++ ．显然()fn 单调递减，则由()fn 的最大值()1120073f a <-，可得2009a=．5． 椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OPOQ⊥，则乘积O PO Q⋅的最小值为 ．【答案】22222a ba b+【解析】 设()c o s s in P O P O P θθ，，ππc o s s in22Q O Q O Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有222221c o s s in abO P θθ=+① 222221s in c o s abO Qθθ=+②①+②得22221111abO PO Q+=+．于是当O PO Q ==时，O PO Q达到最小值22222a ba b+．6． 若方程()lg 2lg 1k x x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k<或4k= 【解析】 ()20101k x x k x x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+= ③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-±⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k<时，由③得12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ． (ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112k x =-=．(ⅲ)当4k>时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k<或4k=为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n nn n n a a a a-----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27 【解析】 旅候车时间的数学期望为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l ykx m=+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612xy+=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412xy-=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0A CB D +=，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．【解析】 由2211612y k x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkm x m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834km x x k+=-+()()()222184344480km km∆=-+->① ………………………………………………4分由221412y k x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkm x m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223km x x k+=-()()()2222243120km km∆=-+-+>② ………………………………………………8分 因为A CB D +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km km kk-=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k=或0m=．当0k=时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当m =，由①和②得k <<k 是整数，所以1k=-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q≠是实数，方程20x p x q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p=，22a p q=-，()1234n n n a p a q a n --=-=，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p=，14q =，求{}n a 的前n 项和．【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以()1212n n n n n a p x q x a a αβαβ------=+-，()345n=，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1nn nb a a β+=-，则()112n n b b n α+== ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列． 数列{}n b 的首项为：()()222121b a a pq p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以21n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n=，，．所以11n n n a a βα++=+()12n=，，．①当240p q ∆=-=时，αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n=，，变为11n n n a a αα++=+()12n=，，．整理得，111n nn na a αα++-=，()12n = ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1nn a n α=+；……………………………………………………………………………5分 ②当240p q ∆=->时，αβ≠，11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n=，，．整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n=，，．所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n na αβββαβα+-+=--．于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn nn a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n nn n s -+=+++++ 234112341222222n n nn s n ++=+++++以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n nn s +=-．……………………………………………………………………………15分 方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又pαβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212nna A A n nα=+=，，由12a α=，223a α=得()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得121A A ==．故()1nn a n α=+．……………………………………………………5分②当αβ≠时，通项()1212nnn a A A n αβ=+=，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y =的最大和最小值．【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y =≥ =当0x =时等号成立．故y的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y=()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x=．故当9x=时等号成立．因此y的最大值为11． (15)分2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）9． 如图，M ，N 分别为锐角三角形A B C ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧 B C 、 A C 的中点．过点C 作P C M N ∥交圆Γ于P 点，I 为A B C ∆的内心，连接P I 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：M P M T N P N T ⋅=⋅；⑵在弧 A B （不含点C ）上任取一点Q （Q A≠，T ，B ），记A Q C ∆，Q C B △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连N I ，M I ．由于P C M N ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故P C M N 是等腰梯形．因此N P M C =，P M N C =．ABCMNPTI连A M ，C I ，则A M 与C I 交于I ，因为M IC M A C A C I M C B B C I M C I∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以M CM I=．同理N C N I=．于是N P M I=，P M N I =．故四边形M P N I 为平行四边形．因此P M TP N TS S =△△（同底，等高）．又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180T N PP M T ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2P M T S P M M T P M T=⋅∠△1s i n 2P N TS P N N T P NT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是P M M T P N N T⋅=⋅．⑵因为1111N C I N C A A C I N Q C Q C I C I N∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1N CN I =，同理2M C M I =．由M P M T N P N T⋅=⋅得N T M T M PN P=．由⑴所证M PN C=，N PM C=，故12N T M T N I M I =．又因12I N T Q N T Q M T I M T∠=∠=∠=∠，有12I N T I M T∆∆∽． 故12N T I M T I ∠=∠，从而1212I Q I N Q M N T M I T I ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 10． 求证不等式：2111ln 12nk k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，…【解析】 证明：首先证明一个不等式：⑴ln (1)1x x xx<+<+，0x>．事实上，令()ln (1)h x x x =-+，()ln (1)1x g x x x =+-+．则对0x>，1()101h x x'=->+，2211()1(1)(1)x g x xx x '=-=>+++．于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得⑵111ln 11n n n ⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．令21ln 1nnk k x nk==-+∑，则112x =，121ln 111n n nx x nn -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭211n n n<-+210(1)n n=-<+因此1112n n x x x -<<<=．又因为111ln (ln ln (1))(ln (1)ln (2))(ln 2ln 1)ln 1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+⎪⎝⎭∑ ．从而12111ln 11nn n k k k x kk -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k kk -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑1211(1)n k kk-==-+∑111(1)n k k k-=-+∑≥111n=-+>-．11． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)mk t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡．及|!p k α，且1!pk α+Œ，知|!C kmpk α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)mk t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k ml =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C kmpŒ．若!p k Œ，则由1!C ()kkm i k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C kmp Œ．若|!pk ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)pk α+．故由11!C ()k km i k m k i -==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏1ki i =≡∏()1!m o d k pα+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C kmp k α且1!C kmp k α+Œ．从而C kmpŒ．12． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x xx x x x xxx P xx x x xxxx x x xxxx x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k kkx x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，，使得 ⑶{}123m in ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列．（ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123m in ii i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k=，则存在某个{}123i ∈，，使得02iix u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112m in x x ，，{}2122m in x x ，，{}3132m in x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设{}212222m in x x x =，，{}313232m in x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x xx x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M = ，，，，令集合{}{}12|m in 13ik i i I k Mx x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22m a x |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3．下面证明33⨯数表***111212122231323k kk x x xS x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ． 从上面的选法可知{}{}*1212:m in m in i i i i i ik u x x xxx '==，，，，(13)i =，．这说明{}*111211m in k xx x u >，≥，{}*313233m in kx x x u >，≥． 又由S满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k xu ≤，于是{}**2212222m in k k u x x x x'==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i iku x '≥．假若不然，则{}12m in ik i i x x x >，，1i =，3且*22kk x x>．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k kkx x x S x x x xx x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，，⑷{}221222322m in u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x x x ==，，3231x x<．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有 {}11112111m in k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233m in k k u x x x x ==，，，或者 {}2212222()m in k kb u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表 S具有性质()O ，则{}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸ {}22122222m in k u x x x x ==，，，{}3313233m i n kku x x xx==，，． 由数表S 满足性质()O ，则对于3M∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*iik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知， *1111kx x u >=， *3323kx x u >=．于是只能有*222kk xu x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222kk x u x '=≤．从而*k k=．。
2009年全国高中数学联赛加试-试题参考答案及评分标准(A卷)
2009年全国高中数学联合竞赛加试 试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1． 如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ．⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，B求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．【解析】 ⑴连NI ，MI ．由于PC MN ∥，P ，C ，M ，N 共圆，故PCMN 是等腰梯形．因此NP MC =，PM NC =．ABCMNPTI连AM ，CI ，则AM 与CI 交于I ，因为 MIC MAC ACI MCB BCI MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所以MC MI =．同理 NC NI =．于是NP MI =，PM NI =．故四边形MPNI 为平行四边形．因此PMT PNT S S =△△（同底，等高）． 又P ，N ，T ，M 四点共圆，故180TNP PMT ∠+∠=︒，由三角形面积公式1sin 2PMT S PM MT PMT =⋅∠△1s i n 2PNT S PN NT PNT ==⋅∠△1s i n 2P N N T P MT =⋅∠ 于是PM MT PN NT ⋅=⋅．⑵因为1111NCI NCA ACI NQC QCI CI N ∠=∠+∠=∠+∠=∠，B所以1NC NI =，同理2MC MI =．由MP MT NP NT ⋅=⋅得NT MTMP NP=． 由⑴所证MP NC =，NP MC =，故 12NT MTNI MI =． 又因12I NT QNT QMT I MT ∠=∠=∠=∠，有12I NT I MT ∆∆∽．故12NTI MTI ∠=∠，从而1212I QI NQM NTM I TI ∠=∠=∠=∠．因此Q ，1I ，2I ，T 四点共圆． 2． 求证不等式：2111ln 12n k k n k =⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭∑≤，1n =，2，… 【解析】 证明：首先证明一个不等式： ⑴ln(1)1x x x x<+<+，0x >． 事实上，令()ln(1)h x x x =-+，()ln(1)1xg x x x=+-+． 则对0x >，1()101h x x '=->+，2211()01(1)(1)x g x x x x '=-=>+++． 于是()(0)0h x h >=，()(0)0g x g >=．在⑴中取1x n=得 ⑵111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 令21ln 1nn k k x n k ==-+∑，则112x =， 121ln 111n n n x x n n -⎛⎫-=-+ ⎪+-⎝⎭ 211n n n<-+210(1)n n=-<+ 因此1112n n x x x -<<<=． 又因为111ln (ln ln(1))(ln(1)ln(2))(ln 2ln1)ln1ln 1n k n n n n n k -=⎛⎫=--+---++-+=+ ⎪⎝⎭∑．从而12111ln 11nn n k k k x k k -==⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭∑∑12211ln 111n k k n k k n -=⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑12111n k k k k -=⎛⎫>- ⎪+⎝⎭∑ 1211(1)n k k k -==-+∑111(1)n k k k -=-+∑≥111n=-+>-．3． 设k ，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得C k m 与l 互素．【解析】 证法一：对任意正整数t ，令(!)m k t l k =+⋅⋅．我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ． 若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏1[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!m o d k p α+≡．及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ．证法二：对任意正整数t ，令2(!)m k t l k =+⋅⋅，我们证明()C 1k m l =，． 设p 是l 的任一素因子，只要证明：C k m p Œ． 若!p k Œ，则由 1!C ()kkmi k m k i ==-+∏21[((!)]ki i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()!m o d k p ≡．即p 不整除上式，故C k m p Œ．若|!p k ，设1α≥使|!p k α，但1!p k α+Œ．12|(!)p k α+．故由11!C ()k kmi k m k i -==-+∏21[((!)]k i i t l k =≡+∏ 1ki i =≡∏()1!mod k p α+≡及|!p k α，且1!p k α+Œ，知|!C k m p k α且1!C k m p k α+Œ．从而C k m p Œ． 4． 在非负数构成的39⨯数表111213141516171212223242526272829313233343536373839x x x x x x x x x P x x x x x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，1728390x x x ===，27x ，37x ，18x ，38x ，19x ，29x 均大于．如果P 的前三列构成的数表111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭满足下面的性质()O ：对于数表P 中的任意一列123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（1k =，2，…，9）均存在某个{}123i ∈，， 使得⑶{}123min ik i i i i x u x x x =≤，，．求证：（ⅰ）最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3一定自数表S 的不同列． （ⅱ）存在数表P 中唯一的一列***123k k k x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，*1k ≠，2，3使得33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍然具有性质()O ．【解析】 （ⅰ）假设最小值{}123min i i i i u x x x =，，，1i =，2，3不是取自数表S 的不同列．则存在一列不含任何i u ．不妨设2i i u x ≠，1i =，2，3．由于数表P 中同一行中的任何两个元素都不等，于是2i i u x <，1i =，2，3．另一方面，由于数表S 具有性质()O ，在⑶中取2k =，则存在某个{}0123i ∈，，使得002i i x u ≤．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知{}1112min x x ，，{}2122min x x ，，{}3132min x x ， 中至少有两个值取在同一列．不妨设 {}212222min x x x =，，{}313232min x x x =，．由前面的结论知数表S 的第一列一定含有某个i u ，所以只能是111x u =．同样，第二列中也必含某个i u ，1i =，2．不妨设222x u =．于是333u x =，即i u 是数表S 中的对角线上数字．111213212223313233x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭记{}129M =，，，，令集合{}{}12|min 13ik i i I k M x x x i =∈>=，，，．显然{}111332|k k I k M x x x x =∈>>，且1，23I ∉．因为18x ，38111x x >≥，32x ，所以8I ∈．故I ∅≠．于是存在*k I ∈使得{}*22max |k k x x k I =∈．显然，*1k ≠，2，3． 下面证明33⨯数表***111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫⎪'= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ．从上面的选法可知{}{}*1212:min min i i i i i ik u x x x x x '==，，，，(13)i =，．这说明 {}*111211min k x x x u >，≥，{}*313233min k x x x u >，≥．又由S 满足性质()O ．在⑶中取*k k =，推得*22k x u ≤，于是{}**2212222min k k u x x x x '==，，．下证对任意的k M ∈，存在某个1i =，2，3使得i ik u x '≥．假若不然，则{}12min ik i i x x x >，，1i =，3且*22k k x x >．这与*2k x 的最大性矛盾．因此，数表S '满足性质()O ．下证唯一性．设有k M ∈使得数表111212122231323k k k x x x S x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭具有性质()O ，不失一般性，我们假定 {}111121311m i n u x x x x ==，， ⑷{}221222322min u x x x x ==，，{}331323333m i n u x x xx ==，，3231x x <．由于3231x x <，2221x x <及（ⅰ），有{}11112111min k u x x x x ==，，．又由（ⅰ）知：或者()a {}3313233min k k u x x x x ==，，，或者{}2212222()min k k b u x x x x ==，，．如果()a 成立，由数表S 具有性质()O ，则 {}11112111m i n ku x x x x ==，，， ⑸{}22122222min k u x x x x ==，，， {}3313233m i n k k u x x x x ==，，．由数表S 满足性质()O ，则对于3M ∈至少存在一个{}123i ∈，，使得*i ik u x ≥．由*k I ∈及⑷和⑹式知，*1111k x x u >=，*3323k x x u >=．于是只能有*222k k x u x =≤．类似地，由S '满足性质()O 及k M ∈可推得*222k k x u x '=≤．从而*k k =．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。
2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围 为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2） （1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3） 对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。
2009年全国高中数学联合竞赛一试
2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）1． 若函数()f x =且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦L 144424443，则()()991f = ． 【答案】 110【解析】 ()()()1f x f x = ()()()2f x f f x =⎡⎤⎣⎦……()()99f x故()()991110f =．2． 已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，B ，C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．【答案】 []36， 【解析】 设()9A a a -，，则圆心M 到直线AC 的距离sin 45d AM =︒，由直线AC 与圆M 相交，得d 解得36a ≤≤．3． 在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为02y y x y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，N 是随t 变化的区域，它由不等式1t x t +≤≤所确定，t 的取值范围是01t ≤≤，则M 和N 的公共面积是函数()f t = ．【答案】 212t t -++【解析】 由题意知()f t S =阴影部分面积 AOB OCD BEF S S S ∆∆∆=--()22111122t t =---212t t =-++4． 使不等式1111200712213a n n n +++<-+++L 对一切正整数n 都成立的最小正整数a 的值为 ．【答案】 2009【解析】 设()1111221f n n n n =++++++L ．显然()f n 单调递减，则由()f n 的最大值()1120073f a <-，可得2009a =．5． 椭圆22221x y a b+=()0a b >>上任意两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ． 【答案】 22222a b a b+【解析】 设()cos sin P OP OP θθ，， ππcos sin 22Q OQ OQ θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，．由P ，Q 在椭圆上，有 222221cos sin a b OP θθ=+ ① 222221sin cos a b OQ θθ=+ ② ①+②得22221111a b OP OQ+=+．于是当OP OQ ==OP OQ 达到最小值22222a b a b+．6． 若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．【答案】 0k <或4k = 【解析】 ()20101kx x kx x ⎧>⎪⎪+>⎨⎪=+⎪⎩ 当且仅当0kx >① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x，2122x k ⎡=-⎣④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅰ)当0k <时，由③得 12122010x x k x x +=-<⎧⎨=>⎩ 所以1x ，2x 同为负根． 又由④知121010x x +>⎧⎨+<⎩所以原方程有一个解1x ．(ⅱ)当4k =时，原方程有一个解112kx =-=． (ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去． 综上可得0k <或4k =为所求．7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示）【答案】 981012⨯ 【解析】 易知：(ⅰ)该数表共有100行；(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为11d =，22d =，232d =，…，98992d =(ⅲ)100a 为所求．设第()2n n ≥行的第一个数为n a ，则 ()22111222n n n n n n a a a a -----=++=+3222222n n n a ---⎡⎤=++⎣⎦24223222222n n n n a ----⎡⎤=++⨯+⎣⎦323232n n a --=+⨯……()121212n n a n --=+-⨯ ()212n n -=+故981001012a =⨯．8． 某车站每天800~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随一旅客820∶到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．【答案】 27【解析】 旅客候车的分布列为1111110305070902723361218⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=二、解答题1． （本小题满分14分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 【解析】 由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k xkmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+->① ………………………………………………4分 由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k xkmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+>② ………………………………………………8分因为0AC BD +=u u u r u u u r，所以()()42310x x xx -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得2282343km kmk k -=+-． 所以20km =或2241343k k -=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k <．因k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条．………14分2． （本小题15分）已知p ，()0q q ≠是实数，方程20x px q -+=有两个实根α，β，数列{}n a 满足1a p =，22a p q =-，()1234n n n a pa qa n --=-=L ，，(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式（用α，β表示）； (Ⅱ)若1p =，14q =，求{}n a 的前n 项和． 【解析】 方法一：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以()1212n n n n n a px qx a a αβαβ------=+-，()345n =L ，，，整理得()112n n n n a a a a βαβ----=-令1n n n b a a β+=-，则()112n n b b n α+==L ，，．所以{}n b 是公比为α的等比数列．数列{}n b 的首项为：()()222121b a a p q p ββαβαββαβα=-=--=+--+=．所以211n n n b ααα-+=⋅=，即11n n n a a βα++-=()12n =L ，，．所以11n n n a a βα++=+()12n =L ，，． ①当240p q ∆=-=时，0αβ=≠，12a p ααα==+=，11n n n a a βα++=+()12n =L ，，变为11n n n a a αα++=+()12n =L ，，．整理得，111n nn n a a αα++-=，()12n =L ，，．所以，数列n n a α⎧⎫⎨⎬⎩⎭成公差为1的等差数列，其首项为122a ααα==．所以()2111nna n n α=+-=+．于是数列{}n a 的通项公式为()1n n a n α=+；……………………………………………………………………………5分②当240p q ∆=->时，αβ≠， 11n n n a a βα++=+1n n a βαβαβα+-=+-11n n n a βαβααβαβα++=+---()12n =L ，，． 整理得211n n n n a a ααββαβα+++⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，()12n =L ，，． 所以，数列1n n a αβα+⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭成公比为β的等比数列，其首项为2221a ααβαββαβαβα+=++=---．所以121n n n a αβββαβα+-+=--． 于是数列{}n a 的通项公式为11n n n a βαβα++-=-．………………………………………………10分(Ⅱ)若1p =，14q =，则240p q ∆=-=，此时12αβ==．由第(Ⅰ)步的结果得，数列{}n a 的通项公式为()11122nn n n a n +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，{}n a 的前n 项和为231234122222n n n n n s -+=+++++L234112341222222n n n n s n ++=+++++L 以上两式相减，整理得1133222n n n s ++=-所以332n n n s +=-．……………………………………………………………………………15分方法二：(Ⅰ)由韦达定理知0q αβ⋅=≠，又p αβ+=，所以1a αβ=+，222a αβαβ=++．特征方程20p q λλ-+=的两个根为α，β．①当0αβ=≠时，通项()()1212n n a A A n n α=+=L ，，由12a α=，223a α=得 ()()122212223A A A A αααα+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得121A A ==．故()1n n a n α=+．……………………………………………………5分 ②当αβ≠时，通项()1212n n n a A A n αβ=+=L ，，．由1a αβ=+，222a αβαβ=++得12222212A A A A αβαβαβαβαβ+=+⎧⎪⎨+=++⎪⎩ 解得1A αβα-=-，2A ββα=-．故1111n n n n n a αββαβαβαβα++++--=+=---．…………………………………………………………10分 (Ⅱ)同方法一．3． （本小题满分15分）求函数y 【解析】 函数的定义域为[]013，.因为y == 当0x =时等号成立．故y 的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得22y =()()()11122731312123x x x ⎛⎫+++++-= ⎪⎝⎭≤所以11y ≤． ………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得()491327x x x =-=+，解得9x =．故当9x =时等号成立．因此y 的最大值为11．…………………………………………………………………………………15分。